автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование, анализ и синтез управляемых комбинированных динамических систем

На правах рукописи

Комарова Мария Сергеевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ, АНАЛИЗ И СИНТЕЗ УПРАВЛЯЕМЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2012

005050033

005050033

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Андрейченко Дмитрий Константинович

Официальные оппоненты: Крысько Вадим Анатольевич, доктор

технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.», заведующий кафедрой «Математика и моделирование»

Блинков Юрий Анатольевич, доктор физико-математических наук, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», заведующий кафедрой «Математическое и компьютерное моделирование»

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

и управления РАН, г. Саратов

Защита состоится «27» декабря 2012 г. в 15.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, корп.2, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Автореферат разослан «_» ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А.А. Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многие современные технические системы (спутники с упругодеформируемыми элементами конструкции, облегченные быстродействующие манипуляционные роботы и др.) содержат как объекты с сосредоточенными по пространству параметрами, так и объекты с распределенными по пространству параметрами, динамически связанные через границы раздела. Их математические модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и связанных с ними посредством граничных условий и условий связи уравнений в частных производных при соответствующих начальных условиях, называемые далее комбинированными динамическими системами (КДС). Уравнения движения управляемых КДС зависят от набора параметров обратных связей, а при наличии времени запаздывания в системе управления содержат обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. Оптимизация систем управления требует параметрического синтеза, т.е. выбора значений параметров обратных связей, обеспечивающих минимальные время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

Решению задач динамики управляемых деформируемых конструкций применительно к спутникам, космическим конструкциям и манипуляторам посвящены работы Ф.Л. Черноусько, H.H. Болотника, Л.Д. Акуленко, Ф.Н. Шклярчука, Э.К. Лавровского, A.M. Формальского, С.И. Злочевского, Е.П. Кубышкина, В.И. Гуляева, И.С. Ефремова, А.Г. Чернявского, O.S.Nurre, R.S. Ryan, H.N. Scofield, J.L. Sims, M. Shahinpoor, K.A. Morris, M. Vidyasagar. В работах К.П. Андрейченко, Д.К. Андрейченко были сформулированы и доказаны основные теоремы об устойчивости КДС. Однако параметрический синтез был выполнен лишь для одномерных КДС со скалярными входной и выходной функциями, а алгоритмы численного моделирования не были адаптированы к современным параллельным вычислительным системам. Следовательно, актуальной является задача построения и исследования математических моделей управляемых КДС, а также развитие методов и алгоритмов параметрического синтеза и моделирования динамики и устойчивости КДС.

Целью данной работы является развитие многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями и метода параметрического синтеза, улучшающего качество переходных процессов, а также параллельных алгоритмов численного моделирования КДС. Для достижения данной цели требуется решить следующие задачи:

• построить математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;

• доказать теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей;

• разработать метод параметрического синтеза многомерных моделей управ-

ляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;

• разработать параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС;

• с целью тестирования возможностей данных методов и алгоритмов - разработать программы для численного моделирования устойчивости, динамических процессов и параметрического синтеза ряда управляемых комбинированных динамических систем, в том числе газореактивных систем стабилизации спутников с упругими стержнями и плоских двухзвенных манипуляторов.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы теории интегральных преобразований, теории функций комплексной переменной, качественные и численные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизации, уравнений математической физики. При разработке программного обеспечения использованы компилятор Intel С++ 12.1 (пробная версия), поддерживающий стандарт ОрепМР 3.1, и библиотеки поддержки численного моделирования ODEPack, LAPACK++, IMKL (пробная версия), IMSL (пробная версия).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задач, а также применением апробированных методов качественного и численного анализа математических моделей.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

• развит метод математического моделирования объектов в виде управляемых КДС, основанный на модификации параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;

• построены математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управляемом движении плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;

• предложено новое, свободное от некоторых ограничений на свойства гладкости выходных вектор-функций, доказательство теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления и о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей;

• предложены параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС; показано их масштабирование по числу процессоров (ядер);

• на основе применения разработанных моделей и программ показано, что в нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели может быть существенно уменьшено время регулирова-

ния и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы связана с обоснованием метода параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС, а также созданием параллельных алгоритмов численного моделирования управляемых КДС.

Предложенный метод может быть использован при проектировании космических конструкций, робототехнических систем и других типов управляемых деформируемых конструкций, а параллельные версии алгоритмов численного моделирования адаптированы для использования на современных высокопроизводительных вычислительных системах. Результаты диссертации используются в лекционных материалах для студентов специальности «Прикладная математика и информатика».

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Новый вариант параметрического синтеза управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

2. Параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС.

3. Теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей.

4. Математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами.

5. В нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели могут быть существенно уменьшены время моделирования и ошибка в режиме программного управления движением.

6. Проблемно-ориентированный комплекс программ численного моделирования, анализа и синтеза управляемых КДС.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертации представлялись на XV и XVI Международных конференциях «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, СГУ, 2010, 2012) и на Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, СГУ, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры информатики и программирования и базовой кафедры математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н. Д.К. Андрейченко (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки

x(i) -

ОДУ IT~

УЧП

ГУ

УСК-

НУ

кдс

у(4) РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 7 работах, в том числе в одной статье в издании РАН и в двух статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит

Рис.1. Структурная схема КДС ,,, « - „

166 страниц, 43 рисунка, 2 таблицы. Список использованной литературы включает 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе предложены методы и алгоритмы моделирования КДС, и проведено доказательство ряда необходимых для их обоснования теорем.

Структурная схема КДС с входной и выходной вектор-функциями

х(0 = (®1(*).®2(0."-.а:л1(4))Г и УМ = (y1(i)>J/2(i)>---.i/jV((i))r представлена на рис. 1, ей соответствуют модельные уравнения: у = f(х, у, h); u = F(u, х, у, у), г G П; G(u, y)|g = 0; h = H(u)dS; y(0) = y0, u(r,0) = u0(r), где г = (rvr2,...rN )T G — независимые пространственные координаты объ-

(1)

ектов с распределенными по пространству параметрами, П с К г - область, занятая объектами с распределенными по пространству параметрами, 5 = дО., и(г,£) = (и;(г,{),и2(т,Ь),...,ик (г,£))т - совокупность полей перемещений и скоростей объектов с распределенными по пространству параметра-

ми; h(t)=(h1(t),h2(t),...,hN(t))T, f::

IxR*- хI

' x]

F, G, И -

операторы, соответствующие уравнениям в частных производных, граничным условиям и условиям связи; точкой сверху обозначено дифференцирование по времени 4. При наличии времени запаздывания в системе управления модельные уравнения КДС содержат обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. После линеаризации в окрестности равновесного состояния и выполнения одностороннего интегрального преобразования

_ Г. оо

Лапласа fit) —» /(А) = / f(t)e~

J о

'dt

динамическая

модель

кдс

у(А) = Ф(А)х(А) сводится к матрице передаточных функций

Ф(А) = [Ф^А)] = [<^.(А) / ДА)], к = 1,2,..., ТУ, 3 =1,2,...,(2)

Д(А) = Щ д1з(А) = ^(А). (3)

Здесь .О(А), <5^(А) - характеристический и возмущающие квазимногочлены, аналитические при Ие А > сг0, ст0 6 (—оо,0).

Пусть р = (р1,р2,..,, )т - набор параметров обратных связей, от которых зависит матрица передаточных функций Ф(А,р) = [<3^.(А,р) / ДА,р)]

управляемой КДС; П^'1 е к"' - область устойчивости в пространстве параметров обратных связей. Из ранее доказанных основных теорем об устойчивости КДС следует быстрый алгоритм проверки устойчивости:

р 6 П(Л)

* V

А р) = птг / 2.

0<^<оо

(4)

Предложено новое, свободное от некоторых ограничений на свойства гладкости выходных вектор-функций, доказательство теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления и о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей.

В работе предложен и реализован метод параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС по матрице передаточных функций Ф(А, р), существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением. Метод основан на

минимизации функции Р:

[к(°>р0)1ГЧКМГ

+<х>, Р £

■ 1шп

ЯР) =

8()

+с2 - д,(0,р)<'н|| , 0' = <Ю/ Лш.

НеФ|/7(го),р), Л.(р)*0;

(5)

Здесь В,А (о;,р) =

[(М'о*)2)/(1 + ('о«)4МДр)*0;

I ■(1 - (г0®)2) / (1 + (/0«)4), А/р) = 0;

Ф^(А,р)=Ф(/.(А,р)/А, А.(р) =

1/2

1,2,-,

j = 1,2,..., N, а символом [| ,|| обозначена норма Фробениуса матриц.

Линеаризованные модели управляемых КДС могут зависеть не только от набора параметров обратных связей р, но и от конструктивных параметров

s — (svs2,...,sN)T 6 П5 С М"*. Следовательно

Ф(А, р, в) = [Q„(A, р, в) / ДА, р, в)], № = n(;°(s). Если требуется улучшить качество переходных процессов при фиксированном s = sQ, однако при выполнении требования

р б fi«, n(s<) = PL, ^ Vs 6 n. P € fiW(s), (6)

то обобщением (5) может служить следующий вариант параметрического синтеза на основе минимизации функции F : R ' -» К, F{р) —> min

к(°.Ро)Г + ||Дл(0.Р)|Г]/0°"Л«,р)<г^, Р €

+оо, pgn{st);

Р) = |Л>'Р) - Д„(0.Р)Л»Г + с, ||д>,р) -Ra(0,p)R'J(w)]|2 + (7) +с2 ||д>,Р) - ' = d° 1 du}]

Jl + JRe^.(icj, p,sj], А.(p) = 0;

^7(1 - (t^f) / (1 + (t^), A(p) = 0; ll/2

> Ф„>(А,р>в0)=Ф (A,p,s0)/A,

F( p) =

RÄ цр) = "i

R'Au)

и = 1,2,...,Му] ¿ = 1,2,...,^.

При реализации параметрического синтеза выполняется минимизация (5) либо (7) на основе безградиентного метода Нелдера-Мида; при этом

/0 р)^ = Дч + ЛчрМЧ

(8)

0:

О 1 2 шN N+1

Параллельный алгоритм параметрического синтеза основан на распараллеливании в стиле «портфель задач». Создается два набора задач. Задачи из первого набора соответствуют вычислению отдельных слагаемых в (8), а задачи из второго набора соответствуют проверке условия (6) при фиксированном э. Задачи из созданных наборов поочередно запускаются на свободных в текущий момент времени вычислителях (процессорах, ядрах и т.п.) и выполняются на них параллельно. Например, запуск задач в отдельных потоках поддерживается стандартом ОрепМР 3.x.

Как правило, в исходной нелинейной КДС (1)

F(i, и, х, у, у) = F(£, и, х, у) + L(t, у, и)у. (9)

При прямом численном моделировании выходных вектор-функций нелинейных КДС дискретизация уравнений в частных производных по независимым пространственным переменным может быть выполнена при помощи проекционного метода Галеркина на основе предположения

и приближенной замены уравнений (1), (9) равенствами f u-Wk(r)dn = £[F(i,u,Xjy) + L(i,y,u)y].Wl(r)iin! fc = 1,2,...,^; jG(u,y)-Tt(T)dS = 0, к = 1,2,...,NS.

Здесь Wt(r), к =1,2,... - полная система функций в области П; rt(r |s), к = 1,2,... - полная система функций на границе S = с?Г2, а символ • означает скалярное произведение вещественных векторов соответствующей размерности. Далее в работе область, занимаемая объектами с распределенными по пространству параметрами, отображается в единичный отрезок, т.е. П = [0,1], S = 80. = {0,1}, Wfc(r) суть вектор-функции, компонентами которых служат смещенные ортогональные полиномы Чебышева 1-го рода, а функции Г4(г| ) представляют собой столбцевые векторы, компоненты которых принимают значение 0 или 1.

В результате применения (10) и (11) КДС (1), (9) сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

Y = F(i,Y), Y^(yvy2,...,y^,u1,u2,...1uNf (12)

достаточно большой размерности. Система (12) является «жесткой», и для ее численного интегрирования используется «жестко устойчивый» ФДН-метод, что требует вычисления матрицы Якоби dF(t, Y) / dY, причем на вычисление элементов матрицы Якоби затрачивается основное количество машинного времени.

Параллельный алгоритм численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС основан на том, что столбцы матрицы Якоби могут быть вычислены независимо. Распараллеливание выполняется посредством создания набора задач, сопоставленных вычислению столбцов матрицы Якоби.

Во второй главе на основе известной теории гибких стержней выполнено построение дискретно-континуальных динамических моделей управляемых деформируемых конструкций, которые служат основой для математического моделирования спутников с упругими стержнями и газореактивными системами стабилизации, выполненного в главе 3, а также манипуляторов с упругими звеньями в главе 4 . Объекты с распределенными по пространству параметрами рассмотрены с точки зрения моделей Эйлера-Бернулли и Тимошен-

ко. Для модели Эйлера-Бернулли, в результате исключения продольных ускорений, получена вспомогательная линейная краевая задача относительно продольных усилий.

В третьей главе рассмотрены задачи анализа устойчивости и параметрического синтеза газореактивных систем стабилизации с упругими стержнями на основе методов, предложенных в главе 1. Линеаризованная модель стабилизируемого спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом (рис. 2) в безразмерных переменных и параметрах принимает вид За = Ь + Мй- аРд - рга{г - т) - р2а(< - г) -

П1-Т

-РзJв а(£Ж> тсУс = -Р0, + "1) = т1{ус+у1+(1+а)а] = р1-1 и + и"" + 7й"" + ус + (а + х)а = 0, ()' = д{) / дт, и(0,0 = «'(0,¿) = 0; «(1,0 = »1(0, и'(М) = ^(0; (13)

М0=и"( 0^) + 7й"(0,<)1 Ра = и" М1=и"{\1) + 7«"а<)> Р, =

при -т < г < 0 а(г) = ¿(¿) = 0; ах(0) = ¿,(0) = ус(0) = уе(0) = ¡/,(0) = 0) = «(*,()) = й(х,0) = 0. Безразмерная входная вектор-функция х(£) = {£(£)} содержит лишь один компонент - внешний возмущающий момент, а выходная безразмерная вектор-функция также содержит лишь один компонент - ошибку системы стаби-

Рис. 2. Расчетная схема спутника

р„ = (0.5,50,25):

,г т = 0.01 !„ = 0.05

р = (6.507,145.1,1567)г

15

0.004

= (5,200,150)г

т = 0.01 1 = 0.02

0

-0.001

р = (7.481,272.8,3863)г

2.5

7.5

0.04 0.02

0 -0.01

г = 0.02 („ = 0.05

АЦЦ^Р. = (0.5,30,10Г ¡У 5Ё В ■| А А ГА А . , р = (3.489,98.20,90.33)'

V 1 ""А""'*« ч *

2.5

7.5

-0.0041

т = 0.02 ¡0 = 1

р0 = (5,45,600)''

р = (4.469,65.58,872.2)т

Рис. 3. Зависимость от времени ошибки системы стабилизации

0.004

г = 0.001 („ = 1

^р„=(5,200,400)т

0.002 ■

р = (107.1,1531,4232)т

|Г

т = 0.01 („ = 1

0.004

О

-0.001

! Ч^Р, = (5,200,400)т

= (8.90,178.2,2496)т

1!^ Р„ = (5,60,500)т

г = 0.02 <, = 0.02

• -,р = (4.884,66.26,1379)*

лизации у(£) = {а(£)}. При га1 —+ 0, 71 —> 0 (13) переходит в математическую модель спутника с одним упругим стержнем (типа Оеоэ)

1& = Ь + Мй- аР0 - рга(г - г) - р2а(г - т) - , тсУс = ~Ра\

й + и"" + 7й"" + ус+(а+х)а = 0, ()' = «()/(14)

«(0, = и'(0, *) = 0; и"(1, *) = и'"(1, г) = 0; м0 = и"(0,г) + 7й"(0,г), р0 = и"'(0,4) + 7«"'(о,0;

при -г < 4 < 0 сЦ) = а(£) = 0; уе (0) = ус (0) = и(х, 0) = й(х, 0) = 0. На рис. 3 представлены ре- а[£ зультаты моделирования переходных функций для модели (14) при 7=0.07442, гп =34.75, а = 0.05, 7 = 0.01 и т = 0.01, 0.02, а на рис. 4 -аналогичные результаты для модели (13) при

т, = т = 34.75,

1с '

7=7 = 0.07442, т = 0.001,

1с ' '

0.01, 0.02. Пунктиром показаны переходные функции до, а сплошной линией — после выполнения параметрического синтеза согласно (5). Видно, что в данном случае выполнение параметрического синтеза позволяет уменьшить время регулирования и ошибку системы стабилизации.

Рассмотрим далее линеаризованную модель стабилизируемого спутника с выносными двигательными установками (рис. 5), которая, после приведения к безразмерным переменным и параметрам, принимает вид За = Ь + 2М0 -2аР0\ 7°(а + а1) = -М1;

Рис. 5. Расчетная схема спутника

Рис. 4. Зависимость от времени ошибки системы стабилизации

О

й + и"" + 7й"" + (а + х)а = О, (У = д()/дх-, (15)

«(О, г) = о, и'(о, г) = 0; и(1,г) = у, (г), «'(1,£) = ^(г); л/0 = «"(0,4) + -Р0 = «"'(О.*) + 7«"'(01г);

м, = «"а г) + ^ = «'"(М) +

-г < г < 0 : а(<) = а(г) = 0; аДО) = а,(0) = уДО) = уДО) = и(х,0) = й(г,0) = 0.

На рис. 6 приведены переход-

0.15 -0.15

-о.з

а 0.18 О

-0.18 -0.36

р = (0.35,3.19,0.31)1

гД

и

!! ( V

'¡V

V-

Ч *

и

Ро = (0-7,15,2)

10

15

Л

= 0.01

,р = (0.38,3.19,0.31)т

.л

IV/V» \у V у, V V иХЛ/^^чДАч^, 1' 1 '1, 1Л ' Л; и |'л/ V»

I I'» «У I' II V'

|' II

II > М _ /П *Т ОП 1 \Т

ЧР„ ={0.7,20,1)

Рис. 6. Зависимость от времени ошибки системы стабилизации

Рис. 7. Расчетная схема КАН

ные функции системы стабилизации спутника с двумя выносными двигателями на упругих стержнях с параметрами тс =34.75, 7 = 0.07442, т, = 3,

С ' 1 '

^ = 0.007, а = 0.05, 7 = 0.01. Осциллирующий характер переходных функций до выполнения параметрического синтеза связан с малым размером области устойчивости в пространстве параметров обратных связей. Тем не менее, и в данном случае выполнение параметрического синтеза существенно уменьшает время регулирования и ошибку газореактивной системы стабилизации.

Рассмотрим далее задачу о программном развороте космического аппарата наблюдения (КАН) в случае, когда программный разворот КАН реализуется при помощи приложенного непосредственно к спутнику управляющего (корректирующего) момента (рис. 7). Здесь входная вектор-функция содержит два компонента (внешний возмущающий момент и желаемый угол поворота КАН), а выходная

вектор-функция содержит один компонент (угол поворота КАН):

x(i) = (£(i),a0(i))r; y(t) = {«(*)}•

Линеаризованные модельные уравнения принимают вид Jca = L - Plà(t - т) - p2a(t - т) - p3f*~T(a($) - о-0(ОЖ + Ш0 - 2аР0;

Jj(a + ¿4) = -Mjj mj[j/j + (1 + o)d] = Рл\ й + и"" + ты"" + (а + ж)а = 0, ()' = <Э() / (16)

u(Q,i) = 0; u'(Q,t) = 0; u(l,i) = 2/j(i); u'(l,i) = ^(t);

M0(t) = u"(0,t) + tù"(0, i) ; pq(i) = u"'(0,t) + tù"'(0,t);

Mx(i) = «"(1,0 + 7«"(i,i); P,(t) = U"'(1,<) + T«"'(1,<); -T<t< 0 : q(î) = q(î) = 0; o^O) = ¿^(0) = yx( 0) = ^(0) = u(x, 0) = ф,0) = 0.

Ha рис. 8 для КАН с параметрами mc = 34.75, J = 0.07442, m, = 3,

С ' 1 '

Jj = 0.007, т = 0.01,

т = 0.01, а = 0.05 приведены реакции на следующие входные возмущения: сверху на возмущающий момент, а снизу на желаемый угол поворота до и после параметрического синтеза. Штриховой линией показаны реакции системы стабилизации до параметрического синтеза, а сплошной - после выполнения параметрического синтеза. Пунктиром на нижнем рисунке показана заданная зависимость от времени желаемого угла поворота. В данном случае выполнение параметрического синтеза обеспечивает подавление нежелательного входного возмущения (помехи) L(t) и поворот

спутника практически в соответствии с желаемым углом поворота a0(t).

В четвертой главе, на примере задачи об управляемом движении плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами (рис. 9), исследовано масштабирование по числу процессоров (ядер) предложенных в главе 1 параллельных алгоритмов параметрического синтеза управляемых КДС и прямого численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС. После приведения к безразмерным переменным и параметрам нелинейные уравнения КДС принимают вид:

V1 = V1 + li + r2j + + x2j соз(М%) - y2j sin(Aia23),

u il

о.ооз Eii.

I fil «Г p = (5.400,500f

m=\t)

\

p = (9.795,331.7,13210f

0 12 3 t

,p = (9.795,331.7,13210)r

a 0.8 0.6 0.4 0.2 0

= (5,400,500)т

" / / 0, i < 0

" / / «оМ = t, 0 < t < 1

1, t>l

1

0 1 2 3 t

Рис. 8. Переходные функции КАН

х(*) = р = (Р1,р2,р3,р4,р5,р6У

Желаемые углы поворота звеньев

Коэф-ты усиления ПИД-регуляторов

уАЩ

у (г) = (хву),Ув(г),авЮ)т/

Линбйные и угловая коорд. выходной точки _ tУl (1

V »,'

Рис. 9. Расчетная схема плоского двухзвениого манипулятора У2]-1 = ^ +Х2^'т^%) + У21 соз(ма2.); х = г2.; j = l,2; { =1; х2 = х3 соз(/ха3) - у3 8ш(/4£*3); у2 = зш(/ш3) + у3 соз(/к*3); = г3;

"Г' = "Г"1 = £!=А > -Г' = ^ аГ)=

а™ = «£) + ^'(г , + Г + г + - +

+2^01 "'"'й'2^ +Й(2Л ; з = 1,2; ^ =1; а<°"» = 0; а^'1 = 0. (т2 + т3)а<°6" = д1(2)(0,£)соз[м(а2 + а3)] + +М2'(0,{)зт[/1(а2 + «3)] - <51(1)(1,£)соз(/ло2) - м;(1,£)зт(/^2); (т2 + т><°"> = ^зЦ^ + а,)] --М2'(0,г)созМа2 + а3)]- ^'(М^т^) + соз(/я*2);

т., а

(аба)

= соз(/ха4) - М2'(г2, г)зт(ма4);

"3

= +Л#1(0)г)-г1М1'(0,£); ЗД^ = -М[я) -М^Ц)-г2М[{\,1)-ЗД^ = М[к) + М2(0,£) -гзм2'(0,ЗД^=-М2{12,1)-^М'2{12^ М. = Г(к. + 7«^), 3 = 1,2; 12 = 1, к. = 1 + <5

« (£,«) = r\2(v,t)drj, ú (t,t) = -/i [V (77,í)ú; (T7,, j = 1,2; xí 2 i * JO vi yi

x ** cosi LLCt )

ux¡(l,t) = u^ +r2.--p^; üt(l.,t) = ú^ +r2já2jSm j = 1,2; í, = 1;

^tC + fytVi + * + ¿"O - + 2¿4t4. + (1?)

+üy¡} = - 1 -¿MV2 дк^Л + ^Qf + ,j = 1,2;

u (0,í) = 0, u'(0,í) = 0; "i yi

sin(¿x<x.) , sinfua.)

uy(l,t) = u™ u Q = j = 1,2, I, =1;

' 1I-! ' /i ' /i

Q«" = -мК'М; +2KM;'+S.(Q,™ +ú'v¡n 3 = 1,2, S, = 1;

Qf'CO.i) + /«1(0,í)M1,(0,í) = -/xr^^"2;

<?j(l)/ a t)+/«s a ¿Ka o=«»о*«,)+«^ +^ ^ ■

9^(0,0 + /^(0,^(0,f) = s2[a^ cos(p(a2 + aj) +a™ sin(/x(a2 +«,)) - /ít,^];

1

Qf(l2,t) + ^{l2,t)M'2{l2,t) = S2[a<°"> cos(/za4) > sin(MQJ +/jr4fi<;b'>2];

»3 f3

rM<ñ> + Mf + p^á, = -/( uu>0) / /i, тМ[л) + M<*> + pMá3 = -Д/ш,) / p;

шо = + P2(fvi - ai(°)) + Рз/0 (aiM - xl(rl))dV,

= PÁ + P5K - aM) + Pe f'(a,(V) ~ x2('n))dr¡, /(0) = 0, /'(0) = 1.

*J 0

Здесь Q' = д()/д£, компоненты входной вектор-функции х(£) = (q¡c)(í),»^'(í))1 суть безразмерные «желаемые» значения углов поворота упругих звеньев, а компоненты выходной вектор-функции у(£) = (xB(t),yB(t),ag(t))T суть линейные и угловая координаты выходной точки манипулятора. На рис. 10 показаны переходные функции (возмущения координат выходной точки), полученные до (пунктиром) и после (сплошной линией) параметрического синтеза по линеаризованному (при = + a:2(£) = /3/¿i + af /3 = Const, /х0) аналогу (17)

при т2 —т3 = тп4 = 0.34, Jj =0.2, J2 = J3 = J4 =0.1, i2 =1, 52 = 1, I2 =1,7=0.01,1} =r2 =r3 =г4 =0.1,т = 0.026, = l,/3 = 7Г / 4 (18) Параметрический синтез согласно (7) (s = {/3}, íij = [0,7г]) выполнен по матрице передаточных функций, связанных с возмущениями линейных и угловой координат у = (хв,ув,ав)т выходной точки манипулятора. Как видно,

2 1

0 -1

О 50 100 150 t

1

0.5 0

-0.5

"1 0 50 100 150 t _____р=(3,60,2,3,60,2)т

_ р=(4.157,1.386,0.1494,31.00,67.05,9.657)т

Рис. 10. Переходные функции плоского двухзвенного манипулятора (возмущения координат выходной точки) выполнение параметрического синтеза значительно уменьшает время регулирования. Ниже в таблице 1 приводится сравнение времени выполнения (в секундах) последовательной и параллельной версий алгоритма параметрического синтеза.

_Таблица 1

Л <\ / йлЛ Y Cf, Ув V V v *'

If'rsy^ U.J а, лул/ V V x(t) = (1(t),0)T

Хв 1

А

___

-'ЧУ u

x(t) = (0, tt))T

Vs-

—_

№ AMD Turion x2 1800 МГц AMD Phenom II х4 3200 МГц

теста Последователь- Параллельная Последователь- Параллельная

ная версия версия ная версия версия

1 432.199 225.218 204.812 56.332

2 431.746 226.528 204.719 56.082

3 432.011 226.668 204.626 56.145

4 432.947 226.606 204.641 56.051

5 433.4 226.528 204.688 56.036

Переход к параллельной версии сокращает характерное время параметрического синтеза практически пропорционально числу ядер.

На рис. 11 на основе нелинейной математической модели (17) приведены результаты численного моделирования координат выходной точки плоского двухзвенного манипулятора при его переводе из одного состояния в другое и последующем возврате в исходное состояние. Использован проекционный метод Бубнова-Галеркина в предположении

Тп(х) = соз(пагссоэх), = 1,2, ^ = 1.

Приняты значения (18) и предполагается х(£) — Ц1 '(£) / /х, /2( '(£) / /х) ,

/(z) = thz,/<°'(i) =

О, i < 0;

Oj, 0 < i < f„; /^'(i) = 0, t > i„;

A i<0;

/3+a3, 0<i <ift;

A

a3= 0.3, = 60, ц = 0.05. Пунктиром показаны результаты моделирования координат выходной точки манипулятора на основе линеаризованной КДС после выполнения параметрического синтеза. Штриховой и сплошной линиями показаны результаты численного моделирования управляемого движения манипулятора на основе нелинейной КДС (17) до и после параметрического синтеза соответственно. Выбор параметров обратных связей

Р = (pvP2iРз'Р4> Р5> Рв)Т ПРИ П0М°ЩИ параметрического синтеза на основе линеаризованной КДС в данном случае позволил значительно уменьшить отклонение выходной точки манипулятора от заданной траектории.

Ниже на рис. 12 приведены данные, характеризующие эффективность распараллеливания вычислений на основе параллельного алгоритма моделирования выходных вектор- ^ функций нелинейных КДС. ^ Пунктиром показана зависимость характерного времени 1-7 численного моделирования j5 (в секундах) от характерного значения Л^ = N2 (формулы (19)) в последовательной у версии разработанных про- j 5 грамм, а сплошной линией - j 3 в параллельной. На процессоре AMD Turion переход к параллельной версии при 09

п 7

умеренных значениях N1 и N2 вызывает ускорение вы- аЕ

1.3

_

/ гч 4/VVV J\/\>

ъ 1 / » / v / 'Х/

V I г.. \/\ Г.......... JV ■j'Vl

7

50

100

150

•

If ч.

г \ ^ *

/ V * Ал. л. Л f\ Л f\ А /

-* и V. «/V V V

50

100

150

1.1 0.9

[ 1 -Л' \л

I / 1 и V Л л

v \ Дд л л, д,

V V V

числительного процесса не менее чем в 1,5 раза, а с ростом JVj и N2 ускорение вычислительного процесса постепенно приближается к 0.7 двукратному значению (про- 0 порционально числу ядер).

На четырёхъядерном

,.mn, тт . -Нелинейная задача после параметрического синтеза

процессоре amu rnenon их4 Риа , L 3ависимость

от времени координат выходной 3200 МГц решение задачи точки манипулятора

50

100 150 t • Линейная задача после параметрического синтеза ----Нелинейная задача до параметрического синтеза

Рис. 12. Сравнение последовательной и параллельной версий

численного моделирования управляемого движения манипулятора при гораздо более высокой производительности не приводит к пропорциональному числу ядер ускорению вычислительного процесса.

Это объясняется тем, что у процессора AMD Phenom 11x4 3200 МГц, наряду с разделённой кэш-памятью уровня 2, имеется общая для всех ядер кэшпамять уровня 3 объёмом 6 МБ, и переход к многопоточной версии не вызывает пропорционального числу потоков увеличения ресурса кэш-памяти уровня 3 в вычислительном процессе.

Для реализации поставленных задач был разработан проблемно-

Рис. 13. Схема взаимосвязей между отдельными частями комплекса

ориентированный комплекс программ численного моделирования управляемых КДС. Схема взаимосвязей между отдельными частями комплекса показана на рис. 13.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Построены математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами.

2. Предложен и реализован метод параметрического синтеза управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

3. Доказаны теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей.

4. Предложены и реализованы параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС.

5. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного моделирования управляемых КДС.

6. По результатам численного моделирования показана существенная эффективность предложенного метода параметрического синтеза управляемых КДС при решении задачи уменьшения ошибок в режимах стабилизации и программного управления движением линейных и нелинейных КДС, а также масштабирования параллельных алгоритмов и программ по числу процессоров (ядер).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ

1. Комарова М.С. Выбор параметров систем и динамический анализ газореактивных систем стабилизации с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Известия РАН. Теория и системы управления. -2012.— № 4.-С. 101-114.

2. Комарова М.С. Параметрический синтез систем стабилизации / М.С. Комарова // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2012. -Вып. 2. - С. 82-90.

3. Komarova M.S. Parameter Selection and Dynamic Analysis of Gas Jet Stabilization Systems with Elastic Rods / D.K. Andreichenko, K.P. Andreichenko, M.S. Komarova // Journal of Computer and System Sciences International. - 2012. - Vol. 51. -N 4. - Pp. 573-586.

Публикации в других изданиях

4. Комарова М.С. Параллельный алгоритм параметрического синтеза комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Доклады Академии военных наук. - 2012. - №5 (54). - С. 14-20.

5. Комарова М.С. Параллельный алгоритм параметрического синтеза управляемых комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Компьютерные науки и информационные технологии: материалы Междунар. науч. конф. - Саратов: Издат. центр «Наука», 2012. -С. 22-25.

6. Комарова М.С. Выбор оптимальных параметров комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 16-й Саратовской зимней школы. - Саратов: ООО «Издательство «Научная книга», 2012. -С. 8-9.

7. Комарова М.С. Параметрический синтез газореактивной системы стабилизации / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Доклады Академии военных наук. - 2010. - №5 (44). — С. 6-10.

Авторские документы

8. Комарова М.С. Программа для ЭВМ «Проблемно-ориентированный комплекс программ численного моделирования управляемых комбинированных динамических систем» / М.С. Комарова, Д.К. Андрейченко: Свидетельство №21 от 22 ноября 2012 г. о депонировании и регистрации произведения - объекта интеллектуальной собственности в Саратовском областном совете Всероссийского общества изобретателей и рационализаторов.

Комарова Мария Сергеевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ, АНАЛИЗ И СИНТЕЗ УПРАВЛЯЕМЫХ КОМБИНИРОВАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат

Подписано в печать 23.11.2012 Формат 60*84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 41

ООО «Издательский Дом «Райт-Экспо»

410031, Саратов, Волжская ул., 28 Отпечатано в ООО «ИД «Райт-Экспо» 410031, Саратов, Волжская ул., 28, тел. (8452) 90-24-90

ВВЕДЕНИЕ.

1. КОМБИНИРОВАННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ВХОДНЫМИ И ВЫХОДНЫМИ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯМИ.

1.1. Комбинированные динамические системы (КДС) с сосредоточенными входными и выходными вектор-функциями непрерывного времени.

1.2. Линеаризация и основные теоремы об устойчивости КДС.

1.3. Учет времени запаздывания в системе управления.

1.4. Области устойчивости управляемых КДС.

1.5. Параметрический синтез управляемых КДС.

1.6. Параллельный алгоритм параметрического синтеза.

1.7. Параллельный алгоритм моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС.

Выводы по главе 1.

2. КОМБИНИРОВАННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМЫХ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

2.1. О дифференцировании векторов в подвижных системах координат.

2.2. Индексация объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами.

2.3. Кинематика и динамика объектов с сосредоточенными по пространству параметрами.

2.4. Кинематика объектов с распределенными по пространству параметрами.

2.5. Динамика объектов с распределенными по пространству параметрами

2.6. Исключение продольных ускорений для модели Эйлера-Бернулли

2.7. Плоское движение цепи упругих звеньев.

Выводы по главе 2.

3. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ АКТИВНЫХ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ СПУТНИКОВ С УПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ.

3.1. Математические модели активных систем стабилизации спутников с упругими стержнями.

3.2. Параметрический синтез активных систем стабилизации.

3.3. Области устойчивости и параметрический синтез в задачах о программном разворотеКАН .Г

Выводы по главе 3.

4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ В МОДЕЛИРОВАНИИ КОМБИНИРОВАННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

4.1. Нелинейная комбинированная динамическая модель плоского двухзвенного манипулятора.

4.2. Нелинейная управляемая КДС «плоский двухзвенный манипулятор» с ПИД-управлением.

4.3. Области устойчивости и параметрический синтез плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-управлением.

4.4. Дискретизация уравнений движения упругих звеньев плоского двухзвенного манипулятора на основе проекционного метода Бубнова-Галеркина.

4.5. Вычисление матрицы Якоби.

4.6. Численное моделирование управляемого движения плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-управлением.

Выводы по главе 4.

Многие современные технические системы (спутники с упруго деформируемыми элементами конструкции, облегченные ^быстродействующие -манипуля-ционные роботы, большие космические конструкции, гидродинамические подвесы и опоры и т. д.) содержат как объекты с сосредоточенными по пространству параметрами, так и объекты с распределенными по пространству параметрами, динамически связанные через границы раздела. Их математические модели представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений и связанных с ними посредством граничных условий и условий связи уравнений в частных производных при соответствующих начальных условиях, называемые далее комбинированными динамическими системами (КДС) [1,2]. Уравнения движения управляемых КДС зависят от набора параметров обратных связей, а при наличии времени запаздывания в системе управления содержат обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающими аргументами. Оптимизация систем управления требует параметрического синтеза, т.е. выбора значений параметров обратных связей, обеспечивающих минимальные время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

Решение задач динамики и стабилизации спутников и орбитальных космических конструкций с упруго деформируемыми элементами рассматривалось в работах [3,4,5,6,7,8,9,10,11] советских и российских авторов. За рубежом исследования по данной тематике опубликованы в работах

12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25]. Вопросы, связанные исследованием динамики, управления движением и оптимизации конструкций манипуляционных роботов с упругими звеньями рассмотрены в монографии [26], в статьях [27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51], опубликованных за рубежом, и в публикациях [52,53] отечественных авторов. В большинстве из данных работ моделирующие движение объектов с распределенными параметрами уравнения в частных производных в той или иной форме приближенно сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В ряде случаев, как показано в работе [12], априорная дискретизация моделирующих движение объектов с распределенными по пространству параметрами уравнений в частных производных, приводит к излишнему управлению и генерации колебаний по неучтенным собственным формам. В работе [13] показана необходимость учета малой, но конечной диссипации механической энергии в деформируемых конструкцциях, рассматриваемых как объекты с распределенными по пространству параметрами^ с точки зрения задач построения математических моделей и проектирования систем управления. Также по результатам данных работ можно сделать вывод о том, что задачи обеспечения устойчивости и улучшения качества переходных процессов, т.е. уменьшения времени регулирования и ошибок в режимах стабилизации и программного управления движением линейных и нелинейных управляемых деформируемых конструкций требует дальнейшего изучения и решения. Решение задачи о стабилизации упругого звена манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза в работе [54] выполнено на основе точного решения линейных уравнений в частных производных (в изображениях Лапласа), однако рассмотренная задача является регулярной задачей управления с обратной связью по положению и скорости выходной точки упругого звена манипулятора. Устойчивость непотенциально нагруженных управляемых деформируемых конструкций исследовалась в работах [55,56,57,58].

Класс комбинированных динамических систем (КДС) был предложен в работах Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. В работах [1,2] были сформулированы и доказаны основные теоремы об устойчивости КДС и, в частности, теорема об устойчивом характеристическом квазимногочлене КДС, являющаяся фактически основой для быстрого алгоритма проверки устойчивости КДС. На основе данных теорем, методов и алгоритмов в работе [59] было выполнено детальное исследование устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса. В работе [60] применительно к задачам численного моделирования выходных вектор-функций линейных и линеаризованных КДС предложен эффективный алгоритм численного обращения одностороннего интегрального преобразования Лапласа. Предложенная в [1] теория устойчивости КДС в работе [61] была распространена на активные системы стабилизации спутников и орбитальных конструкций с упругими стержнями и с учетом времени запаздывания в газореактивных двигателях.

Известна проблема определения критических сил для непотенциально нагруженных деформируемых конструкций [55-58]. В работах [62,63] развитая ранее теория устойчивости КДС нашла применения в задачах данного класса.

Применительно к комбинированным динамическим моделям на примере гироскопического интегратора линейных ускорений с плавающей платформой [64] выполнен параметрический синтез на основе среднеквадратического приближения вещественной частотной характеристики проектируемой системы к желаемой вещественной частотной характеристике. При этом учитывались малые поправки по первой и второй производным вещественной частотной характеристики по частоте, что позволяет избежать возникновения узких конечных пиков частотной характеристики (которым соответвтуют малые слабо затухающие компоненты в переходных функциях). Поскольку число параметров обратных связей относительно невелико (не более нескольких десятков), в процессе параметрического синтеза при минимизации негладкой целевой функции использовался безградиентный метод Нелдера-Мида [65].

Однако параметрический синтез был выполнен лишь для одномерных КДС со скалярными входной и выходной функциями, а алгоритмы численного моделирования не были адаптированы к современным параллельным вычислительным системам.

Следовательно, актуальной является задача построения и исследования математических моделей управляемых КДС, а также развитие методов и алгоритмов параметрического синтеза и моделирования динамики и устойчивости КДС.

Целью данной работы является развитие многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями и метода параметрического синтеза улучшающего качество переходных процессов, а также параллельных алгоритмов численного моделирования КДС. Для достижения данной цели требуется решить следующие задачи:

• построить математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;

• доказать теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей;

• разработать метод параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;

• разработать параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС;

• с целью тестирования возможностей данных методов и алгоритмов - разработать программы для численного моделирования устойчивости, динамических процессов и параметрического синтеза ряда управляемых КДС, в том числе газореактивных систем стабилизации спутников с упругими стержнями и плоских двухзвенных манипуляторов.

Методы исследования. В диссертационной работе„использованы методы теории интегральных преобразований, теории функций комплексной переменной, качественные и численные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизации, уравнений математической физики.

При разработке программного обеспечения использован компилятор Intel С++ 12.1 (пробная версия), поддерживающий стандарт ОрепМР 3.1 распараллеливания на основе многопоточности для симметричных мультипроцессорных систем с общей памятью [66], и библиотеки поддержки численного моделирования ODEPack (численное интегрирование систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе явно-неявного метода Адамса [67] и «жестко устойчивого» ФДН-метода [68]), LAPACK++ (свободно распространяемая объектно-ориентированная оболочка для библиотек поддержки высокопроизводительных вычислений при решении задач линейной алгебры BLAS/LAPACK), IMKL (библиотека Intel поддержки высокопроизводительных вычислений, в частности, реализующая функциональность BLAS/LAPACK; пробная версия), IMSL (библиотека поддержки численных методов, в частности, методов оптимизации и адаптивных вариантов метода Гаусса [69] численного интегрирования на конечных отрезках и полубесконечных интервалах; пробная версия).

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задач, а также применением апробированных методов качественного и численного анализа математических моделей.

Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:

• развит метод математического моделирования объектов в виде управляемых КДС, основанный на модификации параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающей время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;

• построены математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управляемом движении плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами;

• предложено новое, свободное от некоторых ограничений на свойства гладкости выходных вектор-функций, доказательство теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления и о возможных границах области устойчивости управляемыхКДС-в пространстве параметров обратных связей;

• предложены параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС; показано их масштабирование по числу процессоров (ядер).

• на основе применения разработанных моделей и программ показано, что в нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели может быть существенно уменьшено время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением;

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы связана с обоснованием метода параметрического синтеза многомерных моделей управляемых КДС, а также созданием параллельных алгоритмов численного моделирования управляемых КДС.

Предложенный метод может быть использован при проектировании космических конструкций, робототехнических систем и других типов управляемых деформируемых конструкций, а параллельные версии алгоритмов численного моделирования адаптированы для использования на современных высокопроизводительных вычислительных системах. Результаты диссертации используются в лекционных материалах для студентов специальности «Прикладная математика и информатика».

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Новый вариант параметрического синтеза управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

2. Параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций в нелинейных КДС.

3. Теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных .связей.

4. Математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами.

5. В нелинейной управляемой КДС на основе параметрического синтеза по линеаризованной модели могут быть существенно уменьшены время моделирования и ошибка в режиме программного управления движением.

6. Проблемно-ориентированный „комплекс программ численного моделирования, анализа и синтеза управляемых КДС.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертации представлялись на XV и XVI Международных конференциях «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, СГУ, 2010, 2012) и на Международной конференции «Компьютерные науки и информационные технологии» (Саратов, СГУ, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры информатики и программирования и базовой кафедры математического обеспечения вычислительных комплексов и информационных систем Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского под руководством д.ф.-м.н. Д.К. Андрейченко (Саратов, 2012); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2012).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 7 работах, в том числе в одной статье в издании РАН и в двух статьях в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 166 страниц, 43 рисунка, 2 таблицы. Список использованной литературы включает 89 наименований.

Выводы по главе 4

1. Области устойчивости плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-управлением демонстрируют качественное сходство с областями устойчивости спутника с упругим стержнем и закрепленным на его конце телом.

2. Применение ПИД-регуляторов значительно улучшает качество переходных процессов по сравнению с применением ПД-регуляторов.

3. Применение предложенного варианта параметрического синтеза значительно улучшает качество переходных функций - реакций на малые входные возмущения. Именно, происходит значительное уменьшение времени регулирования.

4. Параллельный алгоритм параметрического синтеза управляемых КДС обеспечивает масштабирование вычислительного процесса пропорционально числу процессоров (ядер).

5. Выполнение параметрического синтеза по предложенному алгоритму позволяет значительно сократить время регулирования и ошибку в режиме программного управления движением для исходной нелинейной КДС.

6. При численном моделировании выходных вектор-функций нелинейных КДС на основе дискретизации по независимым пространственным переменным модельных уравнений в частных призводных далее предпочтительно использовать «жестко устойчивый» ФДН-метод численного интегрирования полученных обыкновенных дифференциальных уравнений.

7. Параллельный алгоритм численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС обеспечивает на процессорах с разделенной кэш-памятью масштабирование вычислительного процесса пропорционально числу процессоров (ядер). На процессорах с общей для всех ядер кэш-памятью, при более высокой производительности в целом, эффекты от рапараллеливания вычислений носят менее отчетливый характер. Это связано с тем, что в данном случае переход к многопоточной версии не приводит в вычислительном процессе к умножению пропорционально числу потоков критического ресурса - объема кэш-памяти.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы по работе:

1. Построены математические модели управляемых КДС применительно к задаче о развороте космического аппарата наблюдения и задаче об управлении движением плоского двухзвенного манипулятора с ПИД-регуляторами.

2. Предложен и реализован метод параметрического синтеза управляемых КДС с отрицательными интегральными обратными связями, существенно уменьшающий время регулирования и ошибки в режимах стабилизации и программного управления движением.

3. Доказаны теоремы об устойчивых, но не асимптотически, КДС; об обобщенной степени характеристического квазимногочлена КДС при учете времени запаздывания в системе управления; о возможных границах области устойчивости управляемых КДС в пространстве параметров обратных связей.

4. Предложены и реализованы параллельные алгоритмы параметрического синтеза управляемых КДС и численного моделирования выходных вектор-функций нелинейных КДС.

5. Разработан проблемно-ориентированный комплекс программ численного моделирования управляемых КДС.

6. По результатам численного моделирования показана существенная эффективность предложенного метода параметрического синтеза управляемых КДС при решении задачи уменьшения ошибок в режимах стабилизации и программного управления движением линейных и нелинейных КДС, а также масштабирования параллельных алгоритмов и программ по числу процессоров (ядер).

1. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории комбинированных динамических систем// Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 3. С. 54-69.

2. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П., Смарунь А.Б. Динамическое моделирование линейных дискретно-континуальных систем // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 183-195.

3. Шклярчук Ф.Н. Нелинейные и линеаризованные уравнения движения упругих космических конструкций //Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996. № 1. С. 161-175.

4. Рутковский В.Ю., Суханов В.М. Управление угловым движением деформируемого спутника с распределенными массами // Космические исследования. 1970. Т. 8. Вып. 1.С. 71-79.

5. Злочевский С.И., Кубышкин Е.П. О стабилизации спутника с гибкими стержнями. I //Космические исследования. 1989. Т. 27. Вып. 5. С. 643-651.

6. Злочевский С.И., Кубышкин Е.П. О стабилизации спутника с гибкими стержнями. II //Космические исследования. 1991. Т. 29. Вып. 6. С. 828-839.

7. Гуляев В.И., Ефремов И.С., Чернявский А.Г., Кошкин B.JL, Бондарь В.К., Шинкарь Ю.А. Динамика орбитальной станции с протяженной фермой // Космические исследования. 1994. Т. 32. Вып. 2. С. 61-70.

8. Литвинов Н.Д. Формирование математических моделей космического аппарата с учетом процесса деформации его конструкции // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. № 6. С. 158-174.

9. Мануйлов Ю.С., Новиков Е.А., Кравцов А.Н. Синтез и исследование оптимального регулятора угловой стабилизации космического аппарата наблюдения нежесткой конструкции // Авиакосмическое приборостроение. 2011. №1. С. 16-25.

10. Акуленко Л.Д., Болотник H.H., Кумакшев С.А., Чернов A.A. Активное гашение колебаний крупногабаритных несущих конструкций посредством перемещения внутренних масс // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №1. С. 135145.

11. Лавровский Э.К., Формальский A.M. О стабилизации положения круглой мембраны // Прикладная математика и механика. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 457-465.

12. Nurre J.S., Ryan R.S., Scofield H.N., Sims J.L. Dynamics and control of large space structures // Guidance, Control, and Dynamics. 1984. V. 7. № 5. P. 514-526.

13. Ashley H. On passive damping mecyanisms in large space structures // Journal of Spacecraft and Rockets. 1984. V. 21. № 5. Pp. 448-455.

14. Buchanan H.J., Schock R.W, Waites H.B. An on-orbit experiment for dynamics and cjntrol of large structures // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. V. 7. No 5. Pp. 554-562.

15. Shaechter D.B., Eldred D.B. Experimental demonstration of the control of flexible structures // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. V. 7. No 5. Pp 527-534.

16. Maganti G.B., Singh S.N. Simplified adaptive control of an orbiting flexible spacecraft // Acta Austronautica. 2007. V. 61. Pp. 575-589.

17. Qinglei Hu. Robust integral variable structure controller and pulse-width pulse-frequency modulated input shaper design for flexible spacecraft with mismatched uncer-taibty/disturbance // ISA Transactions. 2007. V. 46. Pp. 505-518.

18. Hyochoong Bang, Yuncheol Cho, Hyunjae Lee. Slewing maneuver control of flexible spacecraft by output feedback // Acta Austronautica. 2004. V. 55. Pp. 903-916.

19. Tang Jiali, Ren Gexue. Modeling and Simulation of a flexible inverted pendulum system // Tshinshua Science and Technology. 2009. V. 14 No S2. Pp. 22-26.

20. Tomoyuki Nagasano, Takashi Kida, Takashi Ohtani, Yoshiro Hamada. Design and implementation of robust symmetric attitude controller for ETS-VIII spacecraft // Control Engineering Practice. 2010. V. 18. Pp. 1440-1451.

21. Chaoyang Dong, Lijie Xu, Yu Chen, Qing Wang. Networking flexible spacecraft attitude maneuver based on adaptive sliding mode control // Acta Astronáutica. 2009. V. 65. Pp. 1561-1570.

22. Yasushi Kojima, Shigemune Taniwaki, Yoshiaki Okami. Dynamic simulation of stickslip motion of flexible solar array // Control Engineering Practice. 2008. V. 16. Pp. 724735.

23. Mistra A.K. Dynamics and control of tethered satellite systems // Aucta Astronáutica. 2008. V. 63. Pp. 1169-1177.

24. Shengping Liu, Licheng Wu, Zhen Lu. Impact dynamic and control of a flexible dualarm space robot capturing an object. // Applied Mathematics and Computation. 2007. V. 185. Pp.1149-1159.

25. Betsch P., Sanger N. On the use of geometrically exact shells in a coserving framework for flexible multibody dynamics // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2009. V. 198. Pp. 1609-1630.

26. Черноусько Ф.Л., Болотник H.H., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 368 с.

27. Бенати М., Моро А. Динамика цепи упругих звеньев // Современное машиностроение. Серия Б. 1989. № 7. С. 51-56.

28. Кастелацо И.А., X. Ли. Нелинейная компенсация для упругих манипуляторов // Современное машиностроение. Серия Б. 1990. № 9. С. 32-39.

29. Р.П. Петрока, Л.В. Чан. Экспериментальное подтверждение адекватности динамической модели (эквивалентная система с жесткими звеньями) на примере одно-звенного гибкого манипулятора // Современное машиностроение. Сер. Б. 1990. № 9. С. 1-8.

30. Л.В. Чжан, Дж.Ф. Гамильтон. Моделирование манипуляторов с гибкими звеньями с помощью метода последовательного интегрирования // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 9. С. 43-47.

31. Асада X. Ма З.Д., Токумару X. Обратная динамика гибкой руки робота (модельное представление и расчет траекторного управления) // Современное машиностроение. Сер. Б. 1990. № 12. С. 1-10.

32. Л.В. Чжан, Дж.Ф. Гамильтон. Исследование кинематики роботов-манипуляторов с гибкими звеньями с помощью модели Эквивалентной системы жестких звеньев // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 7. С. 143-149.

33. Л.В. Чжан, Дж.Ф. Гамильтон. Динамика роботов-манипуляторов с гибкими звеньями // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 7. С. 149-155.

34. Цзюэ Б.К., Шахинпур М. Анализ динамической устойчивости двухзвенного гибкого манипулятора с управлением по силе // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. №5. С. 155-161.

35. Моррис К.А., Видьясагар М. Сравнение различных моделей колебаний стержней с точки зрения проектирования системы управления// Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. № 2. С. 8-16.

36. Спектор В.А., Флашнер X. Моделирование и расчет несовмещенных систем управления гибкими конструкциями // Современное машиностроение. Сер. Б. 1990. №2. С. 11-19.

37. Хуан, Ли. Обобщение формулировки уравнений динамики Ньютона-Эйлера для нежестких манипуляторов // Современное машиностроение. Сер. Б, 1989. № 4.1. С. 79-87.

38. Мулен, Байо. Точность отслеживания траектории выходной точки гибкой руки, полученной путем решения обратной динамической задачи нерегулярным методом.

39. Mohamed Z., Tokhi М.О. Command shaping technics for vibration control of a flexible robot manipulator // Mechatronics. 2000. V. 14. Pp 69-90.

40. Park H.W., Yang H.S., Park Y.P., Kim S.H. Position and vibration control of a flexible robot manipulator using hybrid controller // Robotics and Autonomous Systems. 1999. V. 28. Pp. 31-41.

41. Zhang X., Xu W., Nair S.S. Comparison of some modeling and control issues for a flexible two link manipulator // ISA Transactions. 2004. V.43. Pp. 509-525.

42. Felini A., Balthazar J.M. The rigid-flexible nonlinear robotic manipulator: modeling and control // Common Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2011. V. 16. Pp 2332-2341.

43. Lianfang Tian, Curtis Collins. Adaptive neuro-fuzzy control of a flexible manipulator // Mechatronics. 2005. V. 15. Pp. 1305-1320.

44. Ho-Cheol Shin, Seug-Bok Choi. Position control of a two link flexible piezoelectric actuators and sensors // Mechatronics. 2001. V. 11. Pp. 707-729.

45. Dong Sun, James K. Mills, Jinjuin Shan, S.K. Tso. A PZT actuator control of a singlelink flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement. Vtchatronics. 2004. V. 14. Pp. 381-401.

46. Mohamed Z., Mrtins J.M., Tokhi M.O., Sa da Costa J., Botto M.A. Vibration control of a very flexible manipulator system // Control Engineering Practice. 2005. V. 13. Pp. 267277.

47. Subudhi В., Morris A.S. Dynamic modeling, simulation and control of a manipulator with flexible links and joints // Robotics and Autonomous Systems. 2002. V. 14. Pp. 257270.

48. Akira Abe. Trajectory planning for residual vibration suppression of a two-link rigidflexible manipulator considering large deformation // Mechanism and Machine Theory. 2009. V. 44. Pp. 1627-1639.

49. Vakil M., Fotouhi R., Nikiforuk P.N. Maneuver control of the multilink flexible manipulators // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2009. V. 44. Pp. 831-844.

50. Alam M.S., Tokhi M.O. Designing feedforward command shapers with multi-objective genetic optimization for vibration control of a single-link flexible manipulator // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2008. V. 21. Pp. 249-246.

51. Vincente Feliu, Emiliano Pereira, Ivan M. Diaz, Pedro Roncero. Feedforward control of multimode single-link flexible manipulators based on an optimal mechanical design // Robotics and Autonomous Systems. 2006. V. 54. Pp. 651-666.

52. Голубев Ю.Ф., Дитковский A.E. Управляемое движение упругого манипулятора // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 6. С. 166-175.

53. Голубев Ю.Ф., Дитковский А.Е. Управление упругим манипулятором с учетом полезной нагрузки и силы тяжести // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 5. С. 807-818.

54. Лавровский Э.К., Формальский A.M. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза // Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57, Вып. 6. С. 51-60.

55. Болотин В В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физма-тгиз, 1961. 339 с.

56. Болотин В.В, Гришко А.А, Петровский А.П. О влиянии демпфирующих сил на послекритическое поведение существенно непотенциальных систем // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. С. 158-167.

57. Кириллов О.Н., Сейранян А.П. Влияние малого внутреннего и внешнего трения на устойчивость распределенных неконсервативных систем // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 4. С. 584-611.

58. Агафонов С.А. Стабилизация параметрическим возбуждением упруговязкого стержня, находящегося под действием следящей силы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 3. С. 137-141.

59. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории устойчивости цилиндрического гидродинамического подвеса // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2009. №1. С. 13-26.

60. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т.40. №7. С.1030-1044.

61. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. К теории стабилизации спутников с упругими стержнями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 6. С. 150-163.

62. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П., Петрова Т.Ю. Динамическое моделирование неконсервативной дискретно-континуальной системы // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. Вып. 5. С. 776-783.

63. Андрейченко К.П., Андрейченко Д.К. Устойчивость непотенциально нагруженной дискретно-континуальной гироскопической системы с внутренним и внешним трением // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76. Вып. 3. С. 383-393.

64. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П. Динамический анализ и выбор параметров модели гироскопического интегратора линейных ускорений с плавающей платформой // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 76-89.

65. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. - 128 с.

66. OpenMP Application Program Interface. Version 3.1 July 2011. Электронный ресурс./ OpenMP Architecture Rewiew Board. Электрон, дан. - 2012 - Режим доступа: http://www.openmp.Org/mp-documents/OpenMP3.l.pdf, свободный - Загл. с экрана.

67. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. - 512 с.

68. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. -М.: Мир, 1999. 685 с.

69. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. -М.: Высш. шк., 2002. 840 с.

70. Бицадзе A.B. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1969.-240 с.

71. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциалное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 424 с.

72. Неймарк Ю.И. Динамические процессы и управляемые системы. М.: Наука, 1978.-336 с.

73. Комарова М.С. Выбор параметров систем и динамический анализ газореактивных систем стабилизации с упругими стержнями / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. - № 4. — С. 101-114.

74. Комарова М.С. Параметрический синтез систем стабилизации // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. -2012.-вып. 2.-С. 82-90.

75. Komarova M.S. Parameter Selection and Dynamic Analysis of Gas Jet Stabilization Systems with Elastic Rods / D.K. Andreichenko, K.P. Andreichenko, M.S. Komarova //

76. Journal of Computer and System Sciences International. 2012, Vol. 51. - N 4. -Pp. 573-586.

77. Комарова M.C. Параметрический синтез газореактивной системы стабилизации / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Доклады Академии Военных наук. 2010. - № 5 (44). - С. 6-10.

78. Андрейченко Д.К., Ирматов П.В., Комарова(Ирматова) М.С., Щербаков М.Г. О реализации конечно-элементного моделирования на кластерных системах СГУ// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 3. С. 77-85.

79. Комарова М.С. Параллельный алгоритм параметрического синтеза комбинированных динамических систем / Д.К. Андрейченко, К.П. Андрейченко, М.С. Комарова // Доклады Академии Военных наук. 2012. - № 5 (54). - С. 14-20.

80. Эндрюс Г. Р. Основы многопоточного, параллельного и распределённого программирования /Под ред. А. Б. Ставровского. М.; СПб.; Киев: Вильяме, 2003. -505 с.

81. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. -352 с.

82. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.1. Статика. М.: Высш. шк., 1978.- 320 с.

83. Светлицкий В.А. Механика стержней. 4.II. Динамика. М.: Высш. шк., 1978. -304 с.

84. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: Издательский дом МЭИ, 2008 -396 с.

85. Эхтер Ш., Роберте Дж. Многоядерное программирование. СПб: Питер, 2010. -316 с.

86. Лупин С.А., Посыпкин М.А. Технологии параллельного программирования. М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М, 2011. - 208 с.

87. Чиликин М.Г., Сандлер A.C. Общий курс электропривода. М.: Энергоиздат, 1981.-576 с.

88. Андрейченко Д.К., Андрейченко К.П., Боровский A.B. Области устойчивости и параметрический синтез плоского двухзвенного манипулятора с упругими звеньями // Доклады Академии военных наук. 2011. № 5 (49). С. 14-21.1. РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

89. ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО1. КБ ЭЛЕКТРОПРИБОР »

90. Россия, 410065, Сиратов 2-Й Красноармейский тупик, 3 Телеграфный адрес "МАГНИТ"1. УТВЕРЖДАЮ»1. Первый заместительот.

91. Телефон (845-2) 63-24-50 Факс (845-2) 63-24-50 Е-таП: тадпск^кЬер.гигенерального директора по науке ^^тр^ОА® «КБ Электроприбор»гг г™™.»,,™1. Г.С. Говоренко2012 г.1. АКТ РЕАЛИЗАЦИИ

92. Метод, алгоритмы и программы параметрического синтеза газореактивной системы стабилизации космического аппарата с упруго-деформируемыми элементами конструкции.

93. Параллельные алгоритмы численного моделирования управляемых деформируемых конструкций.

94. Исполнитель от ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского»: Комарова Мария Сергеевна.д.т.н.1. К.Т.Н.1. В.А. Поршнев1. Д.П. Тетерин