автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели, методы и алгоритмы проектирования оптических покрытий для современных приложений

На правах7рукописи

ЛМОЧКИНА ТАТЬЯНА ВЛАДИМИРОВНА

Модели, методы и алгоритмы проектирования оптических покрытий для современных приложений

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

2 2 0ИТ /009

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2009

003480278

Работа выполнена в лаборатории вычислительного эксперимента и моделирования Научно-исследовательского вычислительного центра Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук.

профессор А.Н.Боголюбов,

Физический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова

доктор физико-математических наук.

профессор А.В.Виноградов,

Физический институт им.П.Н.Лебедева РАН

доктор физико-математических наук,

профессор Т.И.Савелова,

Московский инженерно-физический институт

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 27 ноября 2009 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 501.002.09 при Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, НИВЦ, Большой конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ. Автореферат разослан " 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета В.В.Суворов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Математическое моделирование, разработка численных методов и эффективных алгоритмов решения обратных задач распознавания и проектирования, возникающих в оптике интерференционных покрытий, является важнейшим фактором развития научных исследований в оптике и оптоэлектронике на современном этапе. Интерференционные оптические покрытия находят все большее применение в фундаментальных исследованиях в этих областях, в микроэлектронике, в разработке телекоммуникационных систем, в лазерной физике, в астрономии, в медицинском приборостроении, в архитектурном и прикладном дизайне и многих других областях человеческой деятельности.

Бурный прогресс в оптических и оптоэлектропных нанотехнологиях на рубеже XX-XXI веков выдвинул целый ряд качественно новых требований к задачам проектирования и исследования оптических покрытий и поставил ряд новых задач, требующих разработки новых моделей, методов, алгоритмов и реализующих их программных комплексов.

В работал А.В.Тихонравова 80-90-х годов прошлого века разработан мощный метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный методом игольчатого синтеза. С помощью этого метода можно спроектировать многослойное оптическое покрытие, отвечающее требуемым спектральным характеристикам любой сложности с высокой точностью. Однако в дальнейшем стало ясно, что одного лишь требования достижения высокой точности аппроксимации требуемых спектральных характеристик зачастую недостаточно для решения важнейших практических задач в рассматриваемой области.

В течение последнего десятилетия бурно развивались технологии производства покрытий, повышалась точность и возрастало качество измерительных приборов, расширялась номенклатура пленкообразующих материалов. Современные напылительные установки, оснащенные эффективными системами мониторинга и компьютеризированными системами управления с использованием эффективных алгоритмов контроля, делают реальным изготовление многослойных покрытий, содержащих десятки и даже сотни слоев.

Важнейшим стимулом к дальнейшему развитию моделей, методов и алгоритмов проектирования и исследования оптических интерференционных покрытий служит то обстоятельство, что только лишь соответствие характеристик спроектированных покрытий требуемым спектральным характеристикам с высокой степенью точности перестало быть единственным мерилом качества решения задачи проектирования. В связи с новым скачком в развитии техники, обусловленным, например, переходом к еще более компактным технологиям в микроэлектронике, стремлением к еще более плотной передаче информации, использованием в производстве и научных исследованиях мощных лазеров, появились дополнительные требования к оптическим покрытиям. За счет появления дополнительных требований задача проектирования стала пониматься в более широком смысле, возникла потребность в изменении самого теоретического подхода к проектированию.

К дополнительным требованиям в первую очередь следует отнести требование на лучшую практическую реализуемость спроектированных покрытий. Это требование стимулирует разработку новых алгоритмов проектирования покрытий, которые поз-

воляли бы получать ие одно, а несколько решений задачи проектирования. Множественность решений позволяет в дальнейшем выбирать для практической реализации то покрытие, которое будет обладать спектральными характеристиками, устойчивыми к ошибкам в толщинах слоев, вызываемых различными факторами. Последнее требует, в свою очередь, разработки систем моделирования процессов накопления ошибок в толщинах слоев и получения числовых оценок уровней этих ошибок. Кроме того, так как ошибки в процессе напыления обусловлены в том числе и нестабильностью самого процесса напылеиия, то возникает необходимость выявить факторы процесса напыления, наиболее сильно влияющие па воспроизводимость характеристик покрытий. Это стимулирует развитие систем численного моделирования экспериментов по напылению покрытий.

Высокое качество покрытий не может быть достигнуто без знания с высокой точностью оптических параметров слоев пленкообразующих материалов, так как эти параметры обеспечивают теоретическую и экспериментальную стадии разработки покрытий точной входной информацией. Определение оптических параметров слоев приобрело особенную важность в связи с расширением спектральной области применения оптических покрытий в сторону коротких длин воли, обусловленным прежде всего переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета. Задача определения оптических параметров слоев является обратной задачей распознавания, которая относится к некорректным задачам. Для ее решения требуются разработка системы моделей и методов верификации получающихся результатов. Задача становится более неустойчивой, если требуется определить оитические параметры слоев в ультрафиолетовой области, где точность входных экспериментальных данных намного ниже, чем в других спектральных областях.

Для выявления ошибок, сделанных в ходе экспериментов по напылению сложных покрытий, и последующей калибровки аппаратуры и усовершенствования алгоритмов контроля процессов напыления необходимо решение задачи определения параметров многослойных покрытий. Эта задача также является обратной задачей распознавания. Входной информацией в данной задаче служат измеренные данные спектральных характеристик покрытия. Некоторые из этих характеристик не могут быть измерены напрямую. Для того, чтобы определить такие характеристики, требуется в свою очередь решение обратных задач нахождения этих характеристик из экспериментальных данных. Для решения этих обратных задач требуется разработка специальных моделей, алгоритмов и компьютерных программ.

Для ряда современных приложений к важнейшим дополнительным требованиям к проектируемым покрытиям относятся их устойчивость к мощному лазерному излучению, уменьшенное механическое напряжение, пониженное рассеяние света покрытием. Опыты, проведенные в некоторых ведущих лабораториях мира, показывают, что в качестве покрытий, удовлетворяющих этим требованиям, могут быть использованы так называемые ругейт-покрытия, то есть оптические покрытия, профиль показатель преломления которых представляет собой непрерывную функцию. С точки зрения проектирования и практической реализации, на первый план выходит проблема построения адекватной математической модели ругейт-покрытия. Эта модель должна, с одной стороны, учитывать особенности напылительной аппаратуры, предназначенной для экспериментов по напылению ругейт-покрытий, и, с другой стороны, служить основой для построения эффективных с численной точки зрения алгоритмов вычисле-

ния спектральных характеристик. Модель ругейт-покрытия должна обеспечивать возможность разработки быстрых и эффективных алгоритмов, предназначенных для проектирования ругейт-покрытий, атакже;(ля разработки систем численного моделирования экспериментов по напылению ру гейт-покрытий. Принципиальные технологические различия в подходах к реализации ругейт-покрытий и, соответственно, отличие управляющих параметров процесса напыления требуют от' модели ругейт-покрытия и алгоритма проектирования универсальности, то есть возможности задания профиля спроектированного покрытия посредством управляющих параметров любой папыли-тельной установки. Для проектирования и проведения экспериментов по напылению ругейт-покрытий требуется также построение моделей слоев, образованных смесями материалов. Эти модели могут использоваться для .учета дисперсии показателей преломления пленкообразующих материалов.

Прогресс последних 10-ти лет, произошедший в области технологий напыления, сделал возможным проведение экспериментов по напылению покрытий, содержащих сотни слоев. Аппроксимация требуемых спектральных характеристик со все возрастающей точностью возможна в принципе за счет увеличения толщины и усложнения структуры покрытий. Вопрос о соотношении сложности структуры покрытия и уровня аппроксимации имеет особое значение для задач проектирования наиболее массовых типов покрытий просветляющих оптических покрытий. Необходимость получения ответа на данный вопрос стимулирует проведение всестороннего исследования этих задач с целыо получения оценки максимальной точности аппроксимации. Для проведения исследования возможно использование как теоретических результатов, так и физических соображений и вычислительного эксперимента.

Перечисленные современные требования к покрытиям и очерченный круг задач, возникших в связи со стремлением удовлетворить этим требованиям, стимулируют развитие новых моделей покрытий, моделей тонких слоев, моделей представления измеренных данных, моделей процессов напыления, моделей процессов накопления ошибок, методов проектирования и определения параметров слоев и многослойных покрытий, алгоритмов и комплексов программ, основанных на разработанных моделях и реализующих предлагаемые методы. В диссертации решается комплекс взаимосвязанных между собой задач, направленных на разработку сложных опт ических покрытий. Все возрастающая потребность в таких покрытиях определяет актуальность диссертационной работы.

Целью исследования, проведенного в диссертации, является разработка нового теоретического подхода к математическому моделированию оптических покрытий и разработка эффективных численных методов решения задач проектирования и исследования оптических покрытий, соответствующих современным требованиям науки и технологий.

Научная новизна работы. В диссертации разрабатывается система моделей и алгоритмов, направленная на комплексное решение всех математических задач, возникающих при разработке сложных современных оптических покрытий от стадии их проектирования до стадии послепроизводственного исследования.

Разработан новый метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный обобщенным методом эквивалентных слоев. Метод направлен на получение множественных решений задачи проектирования. Для математического обоснования алгоритма детально исследованы свойства взаимного отображения множества допу-

стимых (реализуемых на практике) параметров слоев покрытий на множество специальных параметров (эквивалентных фазовых толщин и показателей преломления), по которым производится оптимизация функционала качества, оценивающего точность аппроксимации требуемых спектральных характеристик. Впервые задача проектирования оптических покрытий сформулирована как задача минимизации с ограничениями на специальном множестве эквивалентных толщин слоев и показателей преломления. Выяснено, что неоднозначность отображения достижимого множества на допустимое множество позволяет получать сразу множество решений одной и той же задачи проектирования. Покрытия из этого множества имеют близкое число слоев и близкие оптические толщины. Множественность решений является одной из особенностей разрабатываемого в диссертации теоретического подхода к проектированию. Разработанный алгоритм реализован в виде компьютерной программы.

Предложена и обоснована новая модель ругейт-покрытия, адекватно соответствующая современным технологическим возможностям. В соответствии с этой моделью профиль показателя преломления на одной из длин волн задается ломаной, вершины которой являются параметрами алгоритма проектирования. Предложенная модель является универсальной, так как позволяет задать профиль показателя преломления через управляющие параметры любой современной установки, предназначенной для проведения экспериментов по напылению ру гейт-покрытий. На основании разработанной модели предложен принципиально новый метод проектирования ругейт-покрытий. В отличие от существующих предложенный в работе метод автоматически учитывает ограничения на профиль показателя преломления и использует точные формулы для вычисления спектральных характеристик ругейт-покрытий. Для получения гладких профилей показателя преломления предложен регуляризованный вариант алгоритма проектирования. Разработана модификация алгоритма проектирования гибридных покрытий, то есть покрытий, профили показателя преломления которых содержат как постоянные, так и линейные участки. Алгоритмы проектирования реализованы в виде компьютерной программы, позволяющей проектировать ругейт-покрытия, отвечающие любым требуемым спектральным характеристикам.

Разработан подход к выбору моделей для определения параметров тонких слоев пленкообразующих материалов в ультрафиолетовой области спектра. С помощью метода впервые надежно определены параметры широко используемых пленкообразующих материалов. Предложены методы верификации дисперсионных зависимостей показателей преломления пленкообразующих материалов. Построена модель дисперсионной зависимости показателя преломления смеси материалов. Модель обеспечивает связь между показателем преломления смеси на одной длине волны с показателем преломления смеси на любой другой длине волны. Данная модель позволяет использовать разработанный алгоритм проектирования ругейт-покрытий с реальными пленкообразующими материалами, обладающими дисперсией показателя преломления, а также при разработке систем численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий.

Разработан новый алгоритм решения обратной задачи определения спектральных зависимостей групповой задержки и дисперсии групповой задержки специального класса многослойных зеркал, предназначенных для генерации сверхкоротких лазерных импульсов. Эти спектральные характеристики определяются на основе анализа экспериментальных данных, получаемых с помощью интерферометра белого света. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы.

Разработаны алгоритмы учета ошибок в толщинах слоев покрытий для случаев использования в процессе их производства методов оптического контроля. Эти алгоритмы впервые учитывают эффект накопления ошибок в толщинах слоев (кумулятивный эффект). Предложена новая стратегия выбора последовательности контрольных длин волн, направленная на минимизацию кумулятивного эффекта ошибок в толщинах слоев в случае использования в процессе напыления покрытий монохроматических методов контроля.

Впервые разработан алгоритм численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий. основанного па управлении скоростями напыления двух испаряемых материалов. Найден параметр, дающий количественную оценку качества процесса напыления на основе предварительно!« анализа скоростей напыления пленкообразующих материалов. Алгоритм реализован в виде компьютерной программы.

На основе вычислительного эксперимента и теоретическог о анализа проведено комплексное исследование свойств важнейшего класса оптических покрытий просветляющих покрытий. При этом получена зависимость остаточного отражения от оптической толщины, получена физически значимая приближенная эмпирическая формула, выражающая зависимость предельного остаточного отражения широкополосных просветляющих покрытий от параметров задачи проектирования. Получена эмпирическая формула, позволяющая определить оптимальное число слоен просветляющих покрытий в зависимости от практических требований.

На основе вычислительных экспериментов и аналитических оценок исследована задача проектирования многослойных покрытий, изменяющих свой цвет в отраженном свете в зависимости от угла падения. Получены оценки дли пределов изменения цветовых характеристик покрытий.

Достоверность результатов обусловливается использованием для их получения фундаментальных принципов математического моделирования, основных теоретических положений оптики интерференционных покрытий, применением эффективных численных методов, строгими аналитическими выкладками, сравнением получаемых решений с данными натурного эксперимента.

Практическая значимость. Разработанная тема выполнялась в рамках НИР "Математические модели и эксперимент в электродинамике и магнитной гидродинамике'' (номер государственной регистрации 01-2002-05137), а также в рамках гранта РФФИ "Программный комплекс для вычислительных экспериментов в оптике тонких пленок" и шести международных проектов: "Высококачественные тонкие пленки для ультрафиолетовых приложений" с ведущими лабораториями Германии, Франции и Италии, "Ругейт-фильтры: инновационные технологии для оптических фильтров будущего поколения" и "Разработка программного обеспечения для восстановления профилей ругейт-фильтров на основе спектрофотометрических данных и записей долей материалов в режиме on-line" с Фраунгоферовским институтом прикладной оптики и точной механики (г. Йена, Германия), "Оптические свойства смелей материалов" с Лазерным Центром г. Ганновера (Германия), "Интерферометр белого света" с Институтом квантовой оптики им.М.Планка (г. Мюнхен, Германия). Результаты диссертации могут быть использованы в МГУ им.М.В.Ломоносова, МГТУ' им.Баумана, Государственном оптическом институте им.С.И.Вавилова, Физическом институте РАН им.П.Н.Лебедева, а также в отраслевых научно-исследовательских институтах и лабораториях, занимающихся изготовлением оптических покрытий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Для решения современных задач проектирования многослойных оптических покрытий разработан обобщенный метод эквивалентных слоев. Метод основан на минимизации функционала, оценивающего близость требуемых и теоретических спектральных характеристик покрытия, на множестве эквивалентных фазовых толщин и эквивалентных показателей преломления. Ключевым моментом в работе метода является замена эквивалентных слоев на симметричные комбинации слоек с заданными показателями преломления. Неоднозначность замены позволяет получат ь сразу множество решений одной и той же задачи проектирования.

2. Впервые разработана новая универсальная модель ругейт-нокрытия, адекватно учитывающая современные технологические возможности реализации покрытий с непрерывным профилем показателя преломления. Разработан принципиально новый алгоритм проектирования ругейт-покрытий. Алгоритм автоматически учитывает ограничения на значения показателя преломления. Регуляризованный вариант алгоритма позволяет автоматически учитывать требование на гладкость профиля показателя преломления.

3. Разработаны алгоритмы учета ошибок в толщинах слоев покрытий в случаях, когда в процессе напыления покрытий используются монохроматические и широкополосные методы оптического контроля толщин слоев покрытий. При разработке алгоритмов впервые учтен эффект накопления ошибок в толщинах слоев покрытий (кумулятивный эффект). Полученные результаты позволяют формализовать критерии выбора оптимальных для практики конструкций покрытий из множества решений задачи проектирования.

4. Разработан алгоритм численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий, основанного на управлении скоростями напыления пленкообразующих материалов. На основе вычислительных экспериментов, проведенных с помощью данного алгоритма, найден физически значимый параметр, дающий количественную оценку точности реализации ругейт-покрытия на основе предварительного анализа скоростей напыления материалов.

5. Построена однопараметрическая модель слоя, образованного смесью пленкообразующих материалов. С помощью этой модели установлено соответствие между профилем показателя преломления ругейт-покрытия па одной длине волны и профилем показателя преломления ругейт-покрытия па любой другой длине волны. Данная модель позволяет использовать разработанный алгоритм проектирования ругейт-покрытий с реальными пленкообразующими материалами, обладающими дисперсией показателя преломления, а также при разработке систем численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий.

6. Разработан алгоритм решения обратной задачи вычисления групповой задержки и дисперсии групповой задержки сложных многослойных покрытий - чирпо-ванных зеркал - на основе экспериментальных данных, получаемых с помощью интерферометра белого света.

7. Впервые проведено полномасштабное комплексное исследование покрытий самого распространенного типа - просветляющих оптических покрытий. На основе вычислительного эксперимента и теоретического анализа построены практически значимые эмпирические зависимости среднего остаточного отражения просветляющих покрытий от основных параметров задачи проектирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па VII и VIII конференциях "Обратные и некорректно поставленные задачи" (г. Москва. МГУ. 2001, 2003), на конференциях Американского оптического общества (Банфф, Канада, 2001 и Туссон, США, 2004, 2007), на Международной конференции "Тихонов и современная математика" (секция "Обратные и некорректно поставленные задачи", г. Москва, МГУ, 2006), на конференции-семинаре "Информационные технологии математического моделирования: создание моделей, их анализ и интерпретация данных", посвященному 70-летнему юбилею профессора Ю.П.Пытьева (г. Москва. МГУ. 2005). на конференциях Международного общества по оптической технике (г. Сап-Диего. США, 2003, г. Сан-Этьенн, Франция, 2004, г. Йена, Германия. 2005, г. Глазго. Великобритания, 2008). на Международных конференциях "Прикладная оптики" (г. Санкт-Петербург, 2004, 2006), на Ломоносовских чтениях (секция вычислительной математики и кибернетики) в 2002, 2005, 2006, 2009 годах, на научном семинаре "Математическое моделирование и численный эксперимент" (рук. проф. А.В.Тихонравов), на семинаре Государственного оптического института им.С.И.Вавилова (г. Санкт-Петербург), на семинаре "Численные методы электродинамики" Физического факультета МГУ (рук. проф. А.Г.Свешников, проф. А.С.Ильинский), на семинаре кафедры общей физики Физического факультета МГУ (рук. проф. А.М.Салецкий), на семинаре "Обратные задачи математической физики" (рук. проф. А.Г.Ягола, проф. А.Б.Бакушинский. проф. А.В.Тихонравов), на семинаре "Современные проблемы численного анализа" (рук. проф. В.А.Морозов), на Научно-методологическом семинаре НИВЦ МГУ (рук. проф. А.В.Тихонравов).

Публикации. Диссертация написана по материалам тридцати четырех работ автора, которые указаны в списке литературы. Пятнадцать из работ опубликованы в журналах из перечня ведущих периодических изданий ВАК.

В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим. Личный вклад автора состоит в построении предлагаемых в диссертации моделей, формулировке и реализация методов и алгоритмов решения задач, разработке компьютерных программ, анализе и интерпретации полученных результатов. Экспериментальные данные, используемые в диссертации, были получены в рамках международного сотрудничества с научными группами из Института квантовой оптики им.М.Планка (г. Мюнхен, Германия), Фраунгоферовского института прикладной оптики и точной механики (г. Йена, Германия), Лазерного центра Ганновера (г. Ганновер, Германия), чем обусловлено участие иностранных авторов в совместных публикациях.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Объём диссертации составляет 281 страницу.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации и сформулирована цель работы.

Главы диссертации имеют следующую структуру. В начале каждой главы содержится краткое введение в проблему, рассматриваемую в данной главе. В первом параграфе каждой главы содержатся обзор наиболее значимых публикаций и приводятся основные результаты, связанные с рассматриваемыми в данной главе задачами и служащие отправной точкой для исследований, проводимых автором. В первых параграфах глав кратко формулируются принципиальные отличия подходов, разработанных автором, от существовавших ранее. Следующие параграфы содержат материалы, полученные автором. В конце каждой главы приведены основные результаты, полученные в данной главе.

В первой главе диссертации разработан обобщенный метод эквивалентных слоев, направленный на получение множественных решений задачи проектирования многослойных оптических покрытий с требуемыми спектральными характеристиками.

В § 1.1 приводится краткое изложение теоретических основ многослойной оптики: описываются базовая модель многослойного оптического покрытия и основные расчетные формулы для решения прямой задачи вычисления спектральных характеристик покрытия. В данном параграфе приводятся также необходимые теоретические обоснования метода эквивалентных слоев и описываются ранее существовавшие методы проектирования многослойных покрытий, использующие эквивалентные слои.

Согласно базовой модели.1 оптическое покрытие представляет собой среду, показатель преломления которой зависит только от одной координаты г. Покрытие находится между плоскостями ~ = 0 и г = Профиль показателя преломления покрытия есть произвольная кусочно-непрерывная функция гг(г). В общем случае при наличии поглощения в среде функция п{г) комгитекснозначная. Область г < 0 называется подложкой и характеризуется постоянным показателем преломления п„. область г > г„ называется внешней средой и характеризуется показателем преломления па. Число г„

называется физической толщиной покрытия. Величина ТОТ = $ п(г)йг называется

о

полной оптической толщиной покрытия.

Пусть плоская электромагнитная монохроматическая волна длины А надает из внешней среды па покрыт ие под углом в. В этом случае из уравнений Максвелла получается следующая задача Коши1

¿и ., dv .. г 9, ч 21

— = гки. — =гк\п 1г) — а \и, 0 < г < za. „,

dz dz 1 1 Ц)

и(0) = 1. = й

для случая в-поляризоваппого света и 1

du __

Tz~ [/ n2(z)

U(0) = 1. !>(0)=flj

v. ^ = ikn2(z)u, 0 < z < za, , .

dz ^J

1Fwrman Sh., Tikhonmvov A.V. Basics of Optics of Multilayer Systems. Gif-sur-Yvctte: Edition Fronticres, 1992

для случая р-поляризованного света. Здесь к = 2я-/А - волновое число в вакууме. а = па sin в, qsa,p - эффективные показатели преломления подложки в случае s- и р-поляризованного света. Эффективный показатель преломления материала с показателем преломления п определяется как:

д5 = л/п2 — а2, для «-поляризованной волны . .

= п2/\/п2 — а2. для р-поляризовапной волны.

Для любых заданных Л, п,, п^), па. га, в задачи Коши (1) и (2) позволяют вычислить амплитудные коэффициенты отражения г и пропускания V.

г __ - фа) ^ _ 2да ^

9аф«) + у(^): Чаи(ха) + у(га)'

Энергетические коэффициенты пропускания Т и отражения Я определяются как:

д-|г|'- (5)

Многослойные покрытия представляют собой самый распространенный класс оптических покрытий. Профиль показателя преломления многослойного покрытия можно рассматривать как кусочно-постоянную функцию. С другой стороны, многослойное покрытие можно рассматривать как последовательность из т слоев (рис. 1). Обозначим физические толщины слоев ¿1, ¿2, ■ ■ ■, а их показатели преломления п1,п2,.-.пт. Предположим, что все слои непоглощающие, и рассмотрим только случай нормального падения света. В случае многослойного покрытия решение прямой задачи вычисления спектральных характеристик существенно упрощается.

п\ "i

Idj

Я 2 ъ Я

Рис. 1. Модель многослойного покрытия

Рис. 2. Симметричная комбинация трех однородных непоглощающих слоев

Матричный метод Абеле ставит каждому слою в соответствие характеристическую матрицу. В случае нормального падения характеристическая матрица у го слоя есть

sin<¿>j

/ cos<¿jj —

Mj = ^ п,

У ÍTljS\Tltpj cosl/jj

(С)

где = ^rijij фазовая толщина j-го слоя.

Произведение характеристических матриц всех слоев М = МтМт-\ ■ - ■ известно как характеристическая матрица покрытия. Обозначим элементы характеристической матрицы покрытия ту, где из = 1.2.

Амплитудные коэффициенты пропускания £ и отражения г выражаются через элементы характеристической матрицы покрытия по формулам

2па пат\\ - п,7п22 + пап,т\2 ~ тп

t —-, г =-. (7)

п„тп + п, 77122 + П„тг,77112 + т 21 ПаТПц + Пя ТП22 + ПаПяТП\2 + ГП21

Не ограничивая общности предположим, что требуемой спектральной характеристикой является энергетический коэффициент' отражения, который обозначим Л(А). Л € Л. А € Е1 заданная спектральная област ь. Самой распространенной является ситуация, когда число слоев тп и показатели преломления слоев щ известны, причем показатели преломления принимают только два значения щ. и пц. пц > гг/,. Такие покрытия называются двухкомпонетными. Толщины слоев в.] (з = 1.... ,ш) являются параметрами задачи проектирования. Задача проектирования многослойного оптического покрытия состоит в том. чтобы найти набор толщин слоев, обеспечивающий коэффициент отражения, близкий к требуемому.1 2

Введем вектор X физических толщин слоев: X — {¿1. «¿2- • • ■ -¿т} , X 6 Е+. Обозначим Я(Х, А) коэффициент отражения покрытия, определяемого вектором X. Введем в заданной спектральной области Л сетку длин волн {А)},= 1,.... Ь. Пусть 8 - точность аппроксимации требуемого коэффициента отражения.

Один из наиболее распространенных способов оценки близости теоретического и требуемого коэффициентов отражения состоит в оценке их взвешенного среднеквадратичного отклонения на сетке длин волн2

F(X) =

It

i=i

R{X, \j) - Я(А,)

A;

(8)

Величины Aj в (8) называют' допусками, функционал F{X) называют функционалом качества.

В стандартной постановке1,2 задача проектирования формулируется как задача оптимизации:

F{X) —> min, Xe£;n nil (9)

где П - замкнутое ограниченное множество, определяемое технологическими ограничениями. Например, $2 = {X е Я™ : «¿¿,тй1 < ¿^ < = 1, ...,т}.

Основная проблема, возникающая в процессе применения численных оптимизационных алгоритмов, связана с невыпуклостыо функционала качества. Вообще говоря, функционал качества имеет огромное число локальных минимумов. Решение большого числа практических задач показывает, что стандартные методы оптимизации эффективны только лишь при выборе хорошего стартового покрытия. К сожалению, для многих задач проектирования хорошие стартовые покрытия неизвестны и этим обусловлена необходимость разработки специальных методов проектирования покрытий.

Furman Sh., Tikhonmvov A.V. Basics of Optics of Multilayer Systems. Gif-sur-Yvette: Edition Fioutieres, 1992

2 Тихонов A.H., Арсении Б.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979

Один из возможных подходов к проектированию многослойных покрытий связан с использованием эквивалентных слоев. Рассмотрим симметричную комбинацию из трех непоглощающих однородных слоев с физическими толщинами di, 2^2, <¿1 и показателями преломления щ, п^, щ (см. рис. 2). Характеристическая матрица этой трехслойной комбинации при нормальном падении имеет вид:

| соз2^>1 соз2^2 - ps¡n2^i sin2^2 — (sin2y>i соз2^ + ;;cos2íjj sin2^j + <7sin2^a)

M ~ „1

V iiii fsm2j] cos2^>2 + Peossin— г/sin2 ) cos2^i coa2^-j - /<sinsin2^¡

где

P 2 ni/ 9 2 \n2 ni

и i/?] = -J-(njcíi). <£2 = - фазовые толщины слое».

А A

Зафиксируем произвольную длину волны Ао. которую в дальнейшем будем называть контрольной. По теореме Герпина1 симметричная трехслойная комбинация может быть заменена на контрольной длине волны Ао одним эквивалентным слоем с характеристической матрицей

Ме = | сокФ

íN sin Ф cos Ф

Эквивалентный слой обладает на контрольной длиие волны Ао тем же коэффициентом отражения, что и трехслойная симметричная комбинация, если эквивалентная фазовая толщина Ф и эквивалентный показатель преломления N определены следующим образом:

cos Ф = cos 2ifii cos2</?2 — psiu2i^i sin 2</>2- (1")

/sin2i/3i cos2</з2 cos2^! sin2(^2 - gsin2<¿>2 ,,,,

jv=niw-. (11)

у sill 2951 cos 2ip? + p cos 2ipi sin 2ip2 + Я sm 2уг

Для того чтобы эквивалентная фазовая толщина Ф и эквивалентный показатель преломления N были действительными числами, должны быть выполнены следующие условия:

|cos2^!cos2i^2 — psin2<¿>isinj < 1, (12)

sin 2ipx eos 2ip2 + p cos 2ipi sin 2tp2 — q sin 2ip2

sin eos 2</j2 + p eos sin 2<$i + q sin 2<¿>2

> 0. (13)

Эквивалентные слои использовались в середине прошлого века для исследования периодических многослойных систем и решения ряда специфических задач проектирования аналитическими методами.2 В настоящее время данный подход применяется достаточно редко, так как, во-первых, достигаемая точность аппроксимации требуемых спектральных характеристик не соответствует современным требованиям и, во-вторых, круг задач, которые можно решить таким путем, слишком узок.

lHerpin A. Calcul du pouvoir reflecteur d'un systerae stratifié quelconque // C.R. Acad.Sci. 1947. 225. 182-183

2Thelen A. Design of optical interference coatings. New York: McGraw-Hill, 1989

В диссертации предлагается принципиально новый численный метод проектирования двухкомпонентных покрытий с заданными показателями преломления слоев пц.гц„ названный обобщенным методом эквивалентных слоев. Суть метода состоит в следующем. В отличие от базовой модели, оптическое покрытие задается не вектором физических толщин слоев, а вектором У = {Фь N1..... Фе, Л^} 6 Е2е эквивалентных фазовых толщин и эквивалентных показателей преломления. Задача проектирования решается в пространстве координат вектора У. При этом длина волны не фиксирована и меняется на всей области задания спектральных характеристик Л С Пусть Угея решение этой задачи проектирования. Покрытие, задаваемое вектором Уге.,, может быть нереализуемым, так как показатели преломления ЛГ* могут принимать значения, отличные от заданных п\.пг. Для получения реализуемого покрытия длина волны А = Ло € Л фиксируем 'СЯ И Уге$ отображается в пространство фазовых толщин слоев {¥>1^. <¿>2^! ■■■Ч>>\\ Ч>2 } ^ Такое отображение неоднозначно. Далее осуществляется переход из пространства фазовых толщин слоев в пространство физических толщин слоев {с^1', <¿2 , 2 } € Е2е при помощи замены фазовых толщин на физические.

Затем покрытие, задаваемое вектором физических толщин, используется в качестве стартового, и решается задача проектирования в стандартной постановке (см. (9)).

В §§ 1.2. 1.3 приводится математическое обоснование метода. Множество фазовых толщин </>1.</?2> удовлетворяющих уравнениям (12) и (13), будем называть допустимым множеством. Это множество показано серым цветом на рис. 3. Для каждой пары " < (<Р1,<Р2) < 7Г из допустимого множества однозначно определяются значение эквивалентного показателя преломления N и значение эквивалентной фазовой толщины Ф. Все возможные пары (Ф. N) образуют множество И. которое назовем достижимым множеством. Это множество показано на рис. 4 серым цветом. В диссертации получены

О тс 2 я Зл 4я Эквивалентная фазовая толщина, Ф

Рис. 4. Достижимое множество эквивалентных фазовых толщин и показателей преломления

Рис. 3. Допустимое множество фазовых толщин

0.25л

аналитические выражения для границ достижимого множества, необходимые для эффективной алгоритмической реализации предлагаемого метода проектирования. Здесь для краткости приведены формулы для верхней границы ^„(Ф) и нижней границы Д^(Ф) для случая, когда щ > щ, то есть для случая, когда внешние слои трехслойной комбинации имеют показатель преломления пя, а внутренний слой имеет показатель преломления га/, (см. рис. 2). Выражения для 7У„(Ф) и А^Ф) могут быть записаны в

следующей форме:

1П\, при Ф 6 [О, тг] U [Зтг, 4тг]

/ v/J? - cosa Ф +7 (14)

"'V / 2 ЛГ^' "ри тг.ЗЧ-

У yip2 — cos Ф - q

|н2, при Ф g [0, тг/2] U [тг,5тг/2] U [5тг/2. Зтг] и [7тг/2,4тг],

„ MtzSS^tzl, ПрИ Фе^/г.^иртг/г.бтг/^и^.зт/г], (15)

V VP2 -со+ ?

В § 1.3 детально исследуются свойства отображения достижимого множества на допустимое и устанавливается, что это отображение не является однозначным. Аналитически доказано, что лишь нары (Ф, N). пг < N < щ могут' бы ть однозначно заменены нарами (</?i. (¿>г)- Все остальные пары (Ф, N) могут быть заменены парами ((/>[. <¿>2) Двумя способами.

В § 1.4 разрабатывается новый алгоритм проектирования, основанный па обобщенном методе эквивалентных слоев. Алгоритм состоит из трех главных шагов: построение проготиппого покрытия, замена прототипного покрытия на двух компонентное и получение из последнего результирующего покрытия.

Обозначим R(Y.\) коэффициент отражения покрытия, задаваемого вектором Y — {Фь Ni..... Ф„. NP} 6 Е2г. Введем функционал качества по аналогии с (8) следующим образом:

F,(Y) :

а,

]=1

R(Y,Xj) - R(\:l)

(IG)

Минимизируем функционал качества (16) по вектору Y € Е-''. При этом требуется, чтобы каждая пара (Фi. Ni) принадлежала достижимому множеству D С Е2.

Для решения задачи минимизации с ограничениями в диссертации используется метод штрафных функций.1 Для того, чтобы в процессе оптим изации все пары (Ф<, Щ, х = 1,... ,е принадлежали множеству D, вводится штрафная функция P(Y):

с

Р(У) = Е [(ma*M - О})2 + (шах{Л'((Ф,) - N.. О})2] , (17)

¡=1

где функции Nu и Ni определены соотношениями (14) и (15).

Таким образом задача проектирования сводится к серии задач оптимизации

F?{Y) + AkP{Y) - min, У б £2с, Ак > 0. Нш Ак = +оо. (18)

к—+ОС

Для решения задачи (18) применялись различные методы минимизации первого порядка. Наряду с хорошо известным методом сопряженных градиентов, применялись методы, разработанные автором, а именно двухшаговый метод проекции градиента, од-ношаговый и двухшаговый методы проекции градиента с переменной метрикой [1, 2, 3].

Пусть Yres - решение задачи (18). Назовем покрытие, определяемое вектором YTes, прототипным покрытием.

1 Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных 'ладач. М.-. Наука, 1988

На втором шаге предлагаемого алгоритма проектирования фиксируем Ао 6 Л и заменяем все слои прототипного покрытия на эквивалентные трехслойные комбинации. Из-за отсутствия взаимно однозначного отображения достижимого множества на допустимое, каждый слой с Л^ < п.2 или /У, > щ может быть заменен на симметричную комбинацию двумя способами. Поэтому одно прототипное покрытие может быть заменено на К двухкомпонентных покрытий, 1 < К < 2е, задаваемых векторами X'1' = {<11*',е Е2к+1},к = 1,..., Л". Число слоев получающихся двухкомпонентных покрытий равно 2е 4- 1, а не Зе, так как крайние пары слоев трехслойных комбинаций с одинаковыми показателями преломления можно заменить одним слоем.

Рассмотрим какое-либо покрытие, задаваемое вектором X = X'*'. Тогда Л(УГМ, А0) = Я{Х, Ао) и ЩУгеа, А) ф ЩХ, А), А ф Ао- На длинах волн, отличных от Ао, коэффициенты отражения прототипного и двухкомпонентпого покрытий отличаются, потому что эквивалентным параметрам (Ф, Щ соответствуют другие пары (<рг,1р2). Это явление известно как дисперсия эквивалентных фазовых толщин и эквивалентных показателей преломления. Из-за дисперсии коэффициент отражения двухкомпонентного покрытия хуже аппроксимирует требуемый коэффициент отражения. Чтобы скомпенсировать это ухудшение, выполняется третий шаг алгоритма, представляющий собой решение задачи (9).

Замена прототипного покрытия двухкомпонентным покрытием является центральной частью предложенного алгоритма, так как благодаря возникающей при замене неоднозначности можно сразу получить множественные решения задачи проектирования. Причем покрытия, получаемые таким образом, имеют близкое количество слоев, близкие значения оптической толщины и функционала качества. Из полученного множества можно выбирать покрытия, наилучшим образом соответствующие требованиям практической реализуемости. Критерием выбора может служить, например, наименьший уровень ошибок в толщинах слоев в случаях, если в процессе напыления покрытий предполагается использовать оптические методы контроля. Соответствующие алгоритмы вычисления уровней ошибок получены в §§ 5.2, 5.3 Главы 5. Получение множества покрытий является основной отличительной особенностью нового теоретического подхода к проектированию оптических покрытий.

В § 1.5 приводятся примеры применения алгоритма к решению ряда сложных задач проектирования.

Во второй главе диссертации предлагается алгоритм проектирования оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления - ругейт-покрытий.

В § 2.1 содержится обзор литературы, посвященной ругейт-покрытиям, и излагаются основные отличия метода проектирования, предложенного в диссертации, от существовавших ранее методов.

Ругейт-покрытиями называют оптические покрытия с непрерывным профилем показателя преломления п(г). Ранее эти покрытия рассматривались лишь для узкого класса задач проектирования специальных полосовых фильтров, решения которых трудно или невозможно было найти в классе многослойных покрытий. В тех случаях, когда требовалось обеспечить узкую зону высокого отражения и подавление побочных всплесков коэффициента отражения, задачи решались по сути путем подбора, основываясь на модификациях синусоидальных профилей показателей преломления. Предложенный затем численный метод, основанный на преобразовании Фурье, позво-

лил решать более широкий круг задач проектирования. Однако этот метод имеет два существенных недостатка. Во-первых, решение прямой задачи вычисления спектральных характеристик основано на приближенных формулах. Во-вторых, ограничения на профиль показателя преломления Пь < п(г) < Пц не учитываются при проектировании. Нужно отметить, что почти все существовавшие ранее разработки, связанные с ругейт-покрытиями, носили теоретический характер, так как практическая реализация этих покрытий крайне сложна.

С появлением в начале XXI века новых технологий, позволяющих весьма точно реализовывать покрытия с непрерывным профилем показателя преломления, задача построения практически значимых моделей ругейт-покрытий и эффективных алгоритмов их проектирования приобрела особую актуальность.

Модель ругейт-покрытия, предложенная в диссертации, максимально соответствует условиям эксперимента по напылению ругейт-покрытий. Алгоритм и модель, предложенные в диссертации, учитывают все аспекты, связанные с практическим проектированием ругейт-покрытий, а именно, дисперсию показателей преломления материалов и подложки, поглощающие свойства материалов и подложки, отражение от обратной стороны подложки. При этом в отличие от Фурье-подхода алгоритм, предложенный в диссертации, основан на точных формулах, связывающих профиль показателя преломления и его спектральные характеристики. Кроме того, ограничения на практически реализуемый диапазон показателя преломления учитываются алгоритмом с самого начала процесса проектирования.

В § 2.2 описывается модель ругейт-покрытия и приводится алгоритм решения прямой задачи вычисления спектральных характеристик ругейт-покрытия. Согласно модели, предложенной в диссертации, профиль показателя преломления ругейт-покрытия представляет собой ломаную (рис. 5). Вершины ломаной, задаваемые парами где г! - координата на оси толщин, а щ - показатели преломления, являются параметрами алгоритма. Профиль показателя преломления задается на произвольной контрольной длине волны До- Такой выбор модели объясняется следующими двумя причинами. Первая'причина связана со спецификой методов реализации ругейт-покрытий. Один из самых распространенных методов основан на одновременном испарении двух пленкообразующих материалов с показателями преломления гг/, и пц, смешивании их и осаждении смеси на подложку. Показатель преломления полученной смеси зависит от концентраций составляющих ее материалов, которые в свою очередь зависят от скоростей напыления. Управление скоростями напыления позволяет получать смеси материалов с нужными показателями преломления в диапазоне от П1 до пц. До начала напыления задается последовательность управляющих параметров, соответствующих вершинам ломаной (гх, п{),..., (гк, плг), -ч = 0. В процессе напыления линейный переход от одной вершины ломаной к другой обеспечивается автоматически с помощью изменения скоростей напыления материалов. Вторая причина выбора модели связана с вычислительным аспектом. Ломаную можно рассматривать как линейную интерполяцию любого непрерывного профиля показателя преломления. Увеличивая число вершин ломаной, можно аппроксимировать любой непрерывный профиль с наперед заданной точностью.

Здесь нужно отметить, что предлагаемая модель универсальна и может применяться не только для установки, в которой для получения смеси используется метод одновременного испарения, но и для любых других напылительных установок, в которых

П{2)

п(г)

г

г

Рис. 5. Модель профиля показателя преломления ругейта: произвольный непрерывный показатель преломления (слепа) и аппроксимирующая ломаная (справа)

используются другие методы. Отличие состоит лишь в том, что ломаную, определяющую результирующий профиль показателя преломления (решение задачи), для непосредственной реализации на папылительной установке нужно задать с помощью других управляющих параметров.

Спектральные характеристики ругейт-покрытий, задаваемых с помощью ломаных, вычисляются следующим способом. Каждый отрезок £¿+1]. г = 1.....N — 1 разбивается па некоторое число I частей. Каждая такая часть соответствует тонкому слою со средним показателем преломления щ < Таким образом, ломаная, представляющая собой профиль показателя преломления ругейт-покрытия, заменяется на многослойное покрытие, состоящее из т — (М — 1) х I топких слоев. Спектральные характеристики ругейт-покрытий вычисляются по формулам, выведенным для многослойного покрытия. Увеличивая число частичных отрезков разбиения I можно вычислять спектральные характеристики ругейт-покрытий с любой точностью. Слишком большое число отрезков разбиения приводит, однако, к существенному замедлению вычислений. В диссертации приводятся оценки для числа отрезков разбиения I. достаточных для практических вычислений.

В § 2.2 также описывается, как в предложенном алгоритме учитывается дисперсия показателей преломления и коэффициентов экстинкции материалов и подложки. Для установления связи профиля показателя преломления на контрольной длине волны с профилем показателя преломления на любой другой длине волны, необходимой для учета дисперсии материалов, используются результаты, полученные в § 4.4 Главы 4.

В § 2.3 приводится постановка задачи и описывается новый алгоритм проектирования ругейт-покрытий.

Не ограничивая общности предположим, что требуемой спектральной характеристикой является энергетический коэффициент отражения Д(А) и что предполагается нормальное падение света. Введем в области задания требуемого коэффициента отражения Л сетку длин волн {Л^}, ] = 1,..., Ь.

Введем (2Ы — 1)-мерное пространство векторов X = {гь ¿2,..., Глг, щ,..., ггдг}. Координата ^ = 0 фиксирована. Координаты вектора X должны удовлетворять естественным ограничениям:

< с<+1, г = 1,... ../V - 1, пь<п{<пи, г = I,.... N.

(19)

Обозначим посредством и множество, определяемое ограничениями (19).

Коэффициент отражения ругейт-покрытия, заданного с помощью вектора X, обозначим Д(Х, А). Для оценки близости коэффициента отражения этого покрытия и требуемого коэффициента отражения введем функционал качества:

Ф(Х) =

\

it

(20)

где Aj заданные допуски.

Задача проектирования состоит в том, чтобы найти вектор X € U, доставляющий минимум функционалу качества (20).

Предлагаемый алгоритм проектирования основан на минимизации функционала качества (20) по координатам вектора X 6 U. Чтобы учесть ограничения (19). вводится штрафная функция:

Р(Х) = £ (max(g,. О))2 + £ (шО))2 + £ (шах(3^. О))2,

i=i ¿=i ¡=1 ^Ч

gt = г, — Cj+1. t = l.....N — I. gHi = п,- — nH, gLi = ri/, - n,-. г = 1.....N.

Проведенные эксперименты по решению задач проектирования ругейт-покрытий показали, что получаемые в ходе проектирования профили показателя преломления содержат резкие вариации показателя преломления от пц до п/,. то есть близки к профилям двухкомпонентных покрытий. Такая тенденция полностью согласуется с принципом максимума в многослойной оптике.1 Однако, по самому своему определению, связанному с рядом отмеченных ранее практических требований, ругейт-покрытия должны иметь плавный профиль показателя преломления. Поэтому для того, чтобы избежать резких вариаций профиля показателя преломления, производится дополнительная регуляризация алгоритма путем введения стабилизирующего функционала.

Стабилизирующий функционал задается в виде:

= (22)

Фактически Q(X) есть сумма квадратов численных производных профиля показателя преломления, взятых в вершинах ломаной. Разработанный регуляризованный алгоритм проектирования ругейт-покрытий сводится к серии задач минимизации:

(Ф2(Л-) + АкР(Х) 4- аП(Х)) min, X € EiN~\ Ак > 0. lim Ак = +оо, (23)

fc—оо

где параметр а представляет собой весовой множитель, коррелирующий требования на отсутствие резких вариаций профиля показателя преломления и на точность аппроксимации требуемых спектральных характеристик. Параметр а подбирается для каждой конкретной задачи методом проб и ошибок.

Для обеспечения высокой численной эффективности алгоритма в § 2.3 получены формулы для аналитического вычисления производных функционала качества (23) по

1Тихопраеов A.B. О задачах оптимального управления, связанных с синтезом слоистых сред// Дифференциальные уравнения, 1985. 21. № 9. 1516-1523

координатам вершин профиля показателя преломления Это позволяет увели-

чить точность и быстродействие алгоритма.

Выше из соображений краткости изложения в качестве требуемой спектральной характеристики был выбран коэффициент отражения и рассмотрен случай нормального падения. Однако разработанный алгоритм позволяет задавать в качестве требуемых спектральных характеристик коэффициенты отражения и/или пропускания и учитывать наклонное падения е-, р-поляризованного света и неиоляризовапного света. В общем виде функционал качества может- иметь весьма сложный вид.

Примеры применения предложенного алгоритма для решения сложных задач проектирования ругейт-покрытий приводятся в § 2.4.

В § 2.5 предлагается модификация алгоритма, разработанная для проектирования так называемых гибридных покрытий, профили показателя преломления которых могут содержать как однородные слои, так и линейные звенья. Необходимость в таких покрытиях связана с проведением экспериментов но напылению ругейт-покрытий на этапе настройки нанылительной аппаратуры. Гибридные покрытия также могут успешно применяться для решения задач просветления в широком диапазоне углов.

Эксперименты по напылению ругейт-покрытий, рассчитанных с помощью разработанных в диссертации алгоритма и программы, проводились в Германии во Фраун-гоферовском институте прикладной оптики и точной механики (г. Йена), в Лазерном центре Ганновера и во Фра.унгоферовском институте технологий напыления (г. Браун-швейг). Эти эксперимент ы продемонстрировали универсальность модели и алгоритма. Измеренные значения спектральных характеристик изготовленных покрытий близки к теоретическим спектральным характеристикам спроектированных ругейт-покрытий.

Третья глава диссертации посвящена полномасштабному исследованию свойств самого распространенного вида оптических покрытий - просветляющих покрытий (ПП). ПП являются важными составляющими элементами оптических систем, состоящих из большого количества линз или других оптических компонентов, где необходимо максимально минимизировать отражение света. Основная задача ПП - уменьшение отражения от поверхности подложки, на которую нанесено ПП.

В ряде современных приложений возникает необходимость в ПП, обладающих предельно низким уровнем остаточного отражения. Уменьшение уровня остаточного отражения возможно за счет усложнения структур покрытий. При этом технологии напыления и методы контроля процесса напыления позволяют изготавливать сложные покрытия, содержащие десятки и даже сотни слоев, однако, стоимость производства резко возрастает с увеличением числа слоев покрытия. В силу этого получение практически значимых формул и рекомендаций, касающихся выбора оптимального с практической точки зрения числа слоев ПП, является крайне важным.

Параметрами задачи проектирования ПП являются границы спектральной области просветления А = [А(, А„], показатели преломления пленкообразующих материалов пь,пя, показатели преломления подложки па и внешней среды п„, полная оптическая толщина ТОТ. Задача проектирования ПП состоит в нахождении покрытия, обладающего уровнем остаточного отражения меньшим некоторой заданной величины. Зачастую в процессе проектирования выясняется, что требуемый уровень остаточного отражения в задаче проектирования ПП при заданных параметрах не может быть достигнут. Увеличение оптической толщины, подбор различных стартовых покрытий,

применение разных методов проектирования не приводят к желаемому результату. Возникает гипотеза о существовании предельного остаточного отражения. Таким образом, уже при постановке задачи проектирования ПП важно знать ответы на два практически важных вопроса. Первый вопрос состоит в том, в какой степени путем усложнения структуры покрытия и увеличения ега полной оптической толщины можно уменьшить остаточное отражение от покрытия. Второй вопрос касается получения практически значимой зависимости остаточного отражения от основных параметров задачи проектирования ПП. В диссертации проведена всеобъемлющая серия вычислительных экспериментов, направленная на исследование свойств ПП в зависимости от основных параметров задачи, и получены ответы на эти вопросы.

В § 3.1 приводится обзор наиболее значимых публикаций, связанных с проектированием ПП. Здесь же приводится постановка задачи проектирования ПП и обосновывается основной подход, использованный автором для исследования свойств ПП.

Обозначим профиль показателя преломления п(г), (п< п{г) < пц), коэффициент отражения покрытия с этим профилем Я(п(г). Л). Для оценки близости коэффициента отражения к нулю в области Л введем средний остаточный коэффициент отражения (далее просто "остаточное отражение"):

Решением задачи проектирования ПП будем считать покрытие с профилем показателя преломления n(z) таким, что он доставляет минимум остаточному отражению Rav. причем оптическая толщина покрытия максимально близка к ТОТ. Показано,1 что задача проектирования ПП близка к задаче квадратичного программирования, решение которой существует и единственно. Согласно принципу максимума в многослойной оптике2 среди всех кусочно-непрерывных профилей показателя преломления Пь £ n(z) < пи оптимальным является двухкомпонентный профиль, то есть многослойное покрытие, состоящее из слоев с чередующимися высоким и низким показателями преломления. Теоретические результаты указанных работ приводят к важному выводу о том, что структуры оптимальных ПП должны совпадать независимо от метода проектирования, выбора стартового покрытия, конкретного метода оптимизации и т.д.

Величина Rav зависит от параметров задачи проектирования ПП: показателей преломления ni, пц, па, ns, границ спектральной области просветления А;, А„ и от оптической толщины ТОТ. Задача получения аналитической зависимости Ra„ от этих семи параметров крайне сложна, так как параметров много и они взаимосвязаны. Практическая важность задачи побуждает использовать в качестве инструмента для исследования ПП вычислительный эксперимент. В ходе вычислительных экспериментов проводилось многократное решение задачи проектирования ПП с разными значениями всех физически значимых параметров. Анализ результатов позволил выявить, важные закономерности в структурах ПП и получить практически значимые зависимости Rav

1 Tikhonravov А. V., Dobrowolski J.A. Quasi-optimal synthesis method for antireflection coatings: a new method //Дифференциальные уравнения, 1993. 32, 4265-4275

2Тшонравов A.B. О задачах оптимального управления, связанных с синтезом слоистых сред// Дифференциальные уравнения, 1985. 21. К» 9. 1516-1523

(24)

от параметров задачи проектирования. Проектирование ПП проводилось с помощью метода игольчатого синтеза.1

В §3.2 получена эмпирическая зависимость остаточного отражения от полной оптической толщины. Из теоретических результатов работ разных авторов (в том числе и автора диссертации) следует, что параметрами задачи проектирования ПП являются не абсолютные значения показателей преломления и границ области просветления, а их отношения pur. = пц/п¡,. pu = п(,/п0, рш = n„jn„, \u/\i-

В ходе первых 120-ти вычислительных экспериментов были спроектированы ПП для разных наборов параметров Phl, Р.т- Pi,n. А„/А/ и для возрастающих значений оптической толщин ТОТ. В результате анализа полученных результатов было подтверждено. что оптимальные ПП имеют качественно одинаковую структуру и состоят из квазипериодических групп слоев примерно одинаковой оптической толщины Тс - так называемых кластеров. Кластерная структура ПП впервые была замечена и объяснена в работе.2 В этой работе была получена оценка ,гля оптической толщины кластера. Однако, в отличие от этой работы, в диссертации найдены ПП, содержащие существенно большее (до 38-ми) число кластеров.

Так как оптимальные ПП имеют кластерную структуру, то оптическая толщина не меняется непрерывно. Существует взаимно-однозначное соответствие между полной оптической толщиной ТОТ и числом кластеров M: ТОТ ~ Тс ■ М. На основании результатов первых 120 вычислительных экспериментов была предложена следующая дв.ухпараметрическая зависимость остаточного отражения от числа кластеров:

Rav = RxbllM. M = 1..... 10, (25)

где Raо и 6 - некоторые параметры. На рис. 6 маркерами отмечены экспериментальные зависимости R,„, от числа кластеров M ,чля спектральной области [400,1200] нм (А„/А; = 3). Зависимости, рассчитанные но формуле (25), изображены на рис. б сплошными линиями. На этом рисунке сплошные линии выбраны лишь из соображений наглядности, в действительности же Я„„ определяется только в целых точках. Так как число кластеров связано с полной оптической толщиной, то зависимость (25) можно рассматривать и как зависимость остаточного отражения Rav от оптической толщины. Зависимость (25) подтверждена всеми остальными вычислительными экспериментами, число которых превосходит 2000. В вычислительных экспериментах с A„/Ai > 2 значения Rar приближаются формулой (25) с относительной точностью 0.002%, с А,,/А( = 2 с относительной точностью 0.01%. Параметр Rx назовем предельным остаточным отражением.

Из вычислительных экспериментов следует, что для широкополосных ПП 1п6 не превосходит 1. На основе (25) в диссертации получена практически значимая оценка относительного уменьшения остаточного отражения при добавлении нового кластера:

АЛ 1

rZ-W (26)

Величины Яоо и Ь в формуле (25) есть функции, зависящие от четырех параметров проектирования ПП: pffL'. Pbai Psa и Очевидно, что оценка величины Нес важна, с

1 Свешников А.Г., Тихоправод А.В. Математические методы в задачах анализа и синтеза слоистых сред// Математическое моделирование, 1989. 1. №7. 13 -38.

2 Dobrowolski J.A., Tikhonravov A.V., Trubetskov М.К., Sullivan В. Т., Verly P.G. Optimal single-band normal-incidence ant ¡reflect ion coatings// Appl. Opt., 1996. 35, 644-658

5 6 7 Число кластеров, M

Рис. С. Среднее остаточное отражение Яа„ ПП ,тля области просветления Л = [400,1200] им с разными отношениями показателей преломления: рщ^ = 1.4= 1.45 (точки), рщ, = 1-5,/гьо = 1.45 (треугольники), рш, = 1.7./>/.„ = 1.45 (квадраты), рщ. = 1.7,р/м = 1.38 (ромбы). Сплошные линии вычислены из (25)

практической точки зрения, так как остаточный коэффициент отражения Rm. близок к Rx даже для ПП, содержащих 4-5 кластеров.

§ 3.3 посвящен получению зависимости предельного остаточного отражения Rx от параметров Phl, Pin- Р™ и А„/А| на основе физических соображений и результатов вычислительных экспериментов. Для этого проектировались последовательности оптимальных ПП для пяти значений р/,„ = 1.38.1.45.1.0,1.85.2, для семи значений Рш, = 1-4,1.5,1.G, 1.7.1.8,2 и 2.2, для одного значения рш = 1.52, и для пяти значений А„/А/ = 2,2.5,3,3.5 и 4. Число кластеров в каждой последовательности M = 1,.... 10. В общей сложности было спроектировано 5 • 7 • 1 ■ 5 = 175 последовательностей ПП. Для каждой последовательности методом наименьших квадратов находилось значение Я-о, обеспечивающее наилучшую аппроксимацию экспериментальных значений Rav зависимостью (25). В качестве примера па рис. 7(a) и 7(b) разными маркерами показаны значения Roc. найденные для пяти указанных значений piM в случае спектральных областей [400,1200] нм (А„/А, = 3) и [400,1600] им (А„/А, = 4). Зависимость Rx от параметров искалась вначале отдельно по каждому из параметров.

Известно,1 что при возрастании параметра рм остаточное от ражение убывает. При Piil —• 1 многослойное покрытие превращается в однослойное, коэффициент отражения которого ¡\ находится по следующей формуле:

(Р1а+Ы2(1+Р.,а)2

Л =

(27)

Основываясь на приведенных выше соображениях и результатах вычислительных экспериментов зависимость R!X(p¡lL) искалась в виде двухпараметрической зависимости:

Лоо = Л • о > 0, А< 1. (28)

1Тихоправов A.B. О задачах оптимального управления, связанных с синтезом слоистых сред// Дифференциальные уравнения, 1985. 21. № 9. 1516-1523

(a) (b)

Рис. 7. Знамения R^, найденные экспериментально в случае области просветления (400.1200) им (а) и [400,1600] нм (Ь) для разных значений p¡,a'- р[,а = 1.38 (черные точки), Pia = 1-45 (треугольники), p¡M = 1.6 (квадраты), р^а = 1.85 (ромбы) и pu = 2 (серые точки). Сплошные линии рассчитаны по формуле (31)

Было получено, что для всех значений p¡,a и Au/A¡ вычисленные значения параметра о находились в пределах от 1.9 до 2.2. Для дальнейших рассмотрений было зафиксировано значение а = 2.

При убывании pu, остаточное отражение убывает. При pi.a —* 1 остаточное отражение стремится к нулю. Последнее наблюдение согласуется с результатами работ других авторов. При возрастании p¿„ остаточное отражение возрастает. Зависимость Rao(pLa) была задана в виде двухпараметрической зависимости:

Я» = fi ■ B^'-iV, /3>0, 0<В<1. (29)

Было получено, что для всех значений Phi а А„/А¡ вычисленные значения параметра ß находились в пределах от -0.48 до -0.72. Для дальнейших рассмотрений было зафиксировано значение ß = —0.5.

При убывании А„/А/ остаточное отражение убывает. При А„/А¡ —> 1 спектральная область стягивается в спектральную точку. Известно,1 что на одной длине волны при помощи двухслойного ПП можно добиться нулевого уровня отражения. Поэтому при Л,,/Ai —» 1 остаточное отражение должно стремиться к нулю.

Зависимость fíoo(Au/A|) искалась в виде двухпараметрической зависимости:

Roo = fi ■ Í Cl • С2л"/а'-' J , 0<СЬС2<1. (30)

В этом выражении учтены уже найденные зависимости (28), (29).

На основе данных многочисленных вычислительных экспериментов были получены следующие значения параметров Ci и C¡: Cj = 0.8, Сг = 0.02. Таким образом,

1 Theten A. Design of optical interference coatings. New York: McGraw-Hill, 1989

предлагаемая в диссертации зависимость Кх от основных параметров ПП имеет вид:

(1 - 1/P2hl)

Roo = /, {PLa, р,а) ■ [о.8 ((Ш)1'«*"'*1-"] ^

,1/(^/^.-1)1 v/pZ^I

(31)

где fi вычисляется по формуле (27).

Типичные примеры приведены на рис. 7(а)—'7(Ь). Сплошные линии на этих рисунках вычислены по формуле (31). Как видно, рис. 7(а)—7(Ь) демонстрируют отличное соответствие между экспериментальными и эмпирическими зависимостями.

Заметим, что в (31) отражена зависимость Rx от параметра р,и. который в ходе описанных вычислительных экспериментов был фиксирован: рт = 1.52. Для проверки надежности зависимости от этого параметра вычислительные эксперименты при перечисленных выше значениях параметров Phl, PLa,XJh были повторены при п., = 1.64. ns = 1.46, ns = 1.75. Значения Rx. полученные в ходе этих экспериментов, полностью согласуются со значениями, предсказанными формулой (31).

В ходе многочисленных дополнительных вычислительных экспериментов по проектированию ПП в случае наклонного падения «-поляризованного света было выяснено, что зависимость (31) хорошо приближает предельное остаточное отражение при углах падения от нуля до 60-ти градусов. Дополнительные эксперименты по проектированию ПП показали также, что формула (31) хорошо приближает величины R0с в инфракрасных спектральных областях просветления в случае нормального и наклонного падения света от нуля до 50 градусов. Для больших углов падения (31) дает оценку снизу для предельного остаточного отражения.

В § 3.4 получена практическая оценка числа слоев в оптимальных ПП. Многие современные напылительные установки позволяют напылять большое число слоев. Однако покрытия с меньшим числом слоев более предпочтительны для практической реализации с точки зрения влияния ошибок на характеристики покрытия, по соображениям стоимости и т.д. Так как оптимальные ПП имеют кластерную структуру, а кластеры содержат примерно одинаковое число слоев, то число слоев т покрытия оценивается как

где Л^ - число слоев в одном кластере. В диссертации получена следующая оценка числа слоев в одном кластере:

Оценка основана на предположении, что число слоев в кластере зависит от числа зон высокого отражения, попадающих в спектральную область [А;, А„] и подавленных с помощью ПП. Справедливость формулы подтверждается результатами всех проведенных выше вычислительных экспериментов.

В § 3.5 рассматриваются примеры решения практических задач проектирования ПП. Примеры демонстрируют, что формулы, полученные в §§ 3.2-3.4, дают хорошее приближение остаточного отражения и числа слоев ПП при проектировании с учетом дисперсии показателей преломления материалов и подложки, а также с учетом возможного отклонения падения света от нормального.

т — М ■ Nd,

(32)

Четвертая глава диссертации посвящена выбору моделей и разработке алгоритмов для решения обратных задач определения параметров диэлектрических слоев и, в частности, слоев, образованных смесями двух материалов. В этой же главе предложена модель, описывающая показатель преломления смеси двух пленкообразующих материалов с переменной концентрацией. Данная модель необходима для проектирования и исследования р.угейт-покрытий. В главе также рассматривается еще одна задача, предшествующая задаче определения параметров тонких слоев. Это - задача определения из экспериментальных данных нетривиальной спектральной характеристики, дисперсии групповой задержки зеркала. Эта характеристика не может быть непосредст венно измерена. В то же время ее определение стало крайне важным в связи с применением специальных многослойных покрытий, предназначенных для работы со сверхкороткими лазерными импульсами, чирповаиных зеркал.

В § 4.1 содержится постановка обратной задачи определения параметров слоев из экспериментальных фотометрических данных и приводится обзор наиболее значимых работ, посвященных существующим методам ее решения, обсуждается специфика задачи построения моделей слоев, образованных смесями материалов, обосновывается необходимость построения модели и алгоритма для решения задачи определения фазовых характеристик чирповаиных зеркал из экспериментальных данных.

Оптические свойства тонких слоев определяются дисперсией показателя преломления, поглощающими свойства слоя, объемной неоднородностью, поверхностной шероховатостью. Оптическими параметрами тонких слоев называют параметры моделей, позволяющих описать оптические свойства этих слоев. К важнейшим оптическим параметрам относятся параметры, задающие дисперсионную зависимость показателя преломления и коэффициента экстинкции (мнимая часть комплексного показателя преломления слоя, ответственная за поглощение в слое), степень объемной неоднородности, толщина поверхностного слоя, степень крупномасштабной и мелкомасштабной поверхностной шероховатости. Известно, что оптические параметры слоев зависят от процесса и условий напыления. Знание с высокой степенью точности оптических параметров слоев позволяет обеспечить стадии проектирования и реализации оптических покрытий точной входной информацией. Изучение оптических свойств и определение оптических параметров слоев пленкообразующих материалов проводится на основе качественного анализа и числовой обработки экспериментальных данных. В диссертации основными исходными данными для определения параметров слоев являются данные спектральной фотометрии, а также некоторые другие данные.

Общая схема определения параметров слоев на основе фотометрических данных такова. Изготавливается образец, который представляет из себя тонкий слой пленкообразующего материала, напыленный на подложку толщины й„. Затем производятся измерения коэффициента отражения К и/или коэффициента пропускания Т этого образца в некоторой спектральной области Л = [А*, А„]. Длины волн заданы на сетке {А^},} = 1,.... Ь. Таким образом, измеренные данные представляют собой наборы значений к^ = Д(А^) и/или Т) = Т(А^). По измеренным данным требуется найти параметры слоя. Данная задача относится к классу обратных задач распознавания.

В диссертации рассматривается задача определения параметров слоя в ультрафиолетовой области спектра. Основная сложность решения этой задачи по сравнению с задачей определения параметров слоен в видимой спектральной области связана с существенно более низкой точностью измеренных данных.

В § 4.2 предлагается подход к определению параметров топкого слоя, основанный на последовательном уточнении используемой модели слоя. Пусть X € Ет - вектор параметров модели слоя. Обозначим Я(Х, Х),Т(Х, А) - теоретические коэффициенты отражения и пропускания образца слоя, вычисленные в рамках модели, определяемой вектором X. Для оценки близости теоретических и измеренных коэффициентов отражения и пропускания введем функцию невязки:

1 ь

щ,

АТ,

(34)

где Т] — заданные погрешности измерения коэффициента отражения в

спектральной точке.

Параметры модели находятся как решение задачи минимизации функции невязки (34) по координатам вектора X:

Р(Х) - пип, X ей, (35)

где П - замкнутое ограниченное множество. При решении задачи (35) требуется максимальный учет всей априорной информации как для выбора конкретной модели слоя, так и для задания множества Г2.

Для исследования тонких слоев разработан подход, при котором в максимальной степени используется вся наличествующая априорная информация об искомом решении, с помощью которой из возможного множества моделей выделяется одна модель, наиболее адекватно соответствующая данной информации, а также выделяется замкнутое ограниченное множество П возможных значений параметров модели.

Для решения обратной задачи определения параметров слоя в ультрафиолетовой области спектра предложен пошаговый процесс уточнения модели слоя на основе имеющейся априорной информации и информации, которая может быть получена в ходе специальных дополнительных экспериментов. На первом шаге проводится анализ измеренных данных непокрытой подложки, на основе которого получаются данные о точности измерений. При наличии в данных систематических ошибок дается рекомендация о калибровке измерительной аппаратуры и повторении измерений, так как систематические ошибки существенно влияют на решение задачи определения параметров тонких слоев 14}, На втором шаге проводится сравнение величины потерь света в образце и отдельно взятой подложке, на основе которого получается информация о наличии или отсутствии потерь в слое, необходимая для выбора соответствующего класса моделей слоя. На третьем шаге на основе исследования спектральных зависимостей коэффициентов отражения и пропускания образца и известных результатов теории тонких пленок проводится качественный анализ наличия в исследуемом образце объемной неоднородности и поверхностной шероховатости. При проведении этого анализа может производится предварительное тестовое решение обратной задачи на основе упрощенных моделей слоя. Для окончательного выбора модели слоя, учитывающей наиболее существенные факторы, могут быть предложены дополнительные эксперименты для уточнения априорной информации о-свойствах исследуемого объекта. Третий шаг завершается физически обоснованным выбором окончательной модели слоя. На последнем, четвертом, шаге решается обратная задача определения параметров слоя на основе выбранной модели. При этом вся использованная ранее априорная

информация, а также литературные данные о возможных диапазонах значений параметров слоя используются для выделения компактного множества П, на котором решается обратная задача.

Исходные экспериментальные данные были предоставлены некоторыми ведущими лабораториями Германии и Франции в рамках Европейского проекта ^Высококаче-ственные оптические покрытия для УФ области". С помощью предлагаемого подхода впервые получены надежные дисперсионные зависимости показателей преломления материалов, наиболее часто использующихся при изготовлении покрытий для ультрафиолетовой области.

В § 4.3 проводятся исследования, имеющие своей целью построение модели дисперсионной зависимости показателя преломления слоя, состоящего из смеси двух пленкообразующих материалов. Смеси пленкообразующих материалов применяются для реализации ругейт-покрытий и многослойных покрытий, содержащих слои с промежуточными показателями преломления. Знание дисперсионных зависимостей показателей преломления смесей необходимо на этапах проектирования и реализации этих покрытий.

Существует ряд моделей для вычисления дисперсионных зависимостей показателей преломления композитных материалов: модель Лорентц-Лоренца, модель Брюггемана и др. Согласно каждой из этих моделей, показатель преломления композитного материала п(А) есть некоторая функция 7(р/,.р//. п;,(А), п/ДА)), где пг,(А), ггн(А) показатели преломления материалов, образующих композитный материал, р/,.рн - концентрации этих материалов. Однако все существующие модели основаны на макроскопическом рассмотрении электродинамических параметров композитных материалов в предположении, что один из них образует объемные вкрапления в другом, оси Овном материале. В случае слоев, полученных при совместном напылении двух материалов, смешивание происходит на молекулярном уровне и поэтому существующие модели непосредственно неприменимы для рассматриваемого случая. Кроме того, для вычисления п(А) в рамках любой из макроскопических моделей смесей необходимо знание концентраций, что в большинстве случаев требует специальных измерений.

На основе анализа фотометрических данных и решения большого числа обратных задач определения параметров слоев смесей предложена модель дисперсионной зависимости показателя преломления слоя, образованного смесями двух материалов. Согласно этой модели показатель преломления слоя п(А) принадлежит однопараметри-ческому семейству кривых

п(А) = рпц(Х) + (1 — (36)

Предложенная модель позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между профилем показателя преломления на контрольной длине волны Ао и профилем показателя преломления покрытия, образованного смесями материалов, на любой другой длине волны (см. рис. 8). Это соответствие необходимо для учета дисперсии показателей преломления при вычислении спектральных характеристик и градиентов функционала качества при проектировании ругейт-покрытий (Глава 2), а также для разработки системы численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий (§ 5.4 Главы 5). Заметим, что при использовании данной модели знание концентраций материалов не нужно. При проведении натурных экспериментов по напылению параметр р, в формуле (36) непосредственно соотносится с параметром установки, регулирующим

взаимное соотношение пленкообразующих материалов.

Предложенная модель была построена на основе анализа экспериментальных данных. полученных в рамках сотрудничества с Лазерным центром в г. Ганновер и Фраун-гоферовским институтом прикладной оптики и точной механики в г. Иена, Германия.

В § 4.4 рассматривается обратная задача определения спектральных фазовых характеристик чирпованных зеркал на основе экспериментальных данных, непосредственно не содержащих эти характеристики. Чирпованные зеркала представляют собой сложные многослойные покрытия, предназначенные для генерации сверхкоротких лазерных импульсов. Эти покрытия должны иметь высокий уровень отражения в заданной спектральной области Л и заданные спектральные зависимости фазовых характеристик групповой задержки (ГЗ) и дисперсии групповой задержки (ДГЗ). Данные характеристики есть первая и вторая производные фазы амплитудного коэффициента отражения по частоте:

&р г„ <?ч> 2ж с

r3 = ~Ä? = v = argr' Ш = (37)

В случае чирпованных зеркал коэффициент отражения близок к 100% и спектральные фотометрические данные являются малоинформативными. Поэтому для решения обратных задач определения толщин слоев изготовленных чирпованных зеркал необходима дополнительная информация, в качестве которой могут использоваться ГЗ(А) и ДГЗ(А). Кроме того, эти характеристики определяют основные свойства чирпованных зеркал и их знание необходимо также независимо от решения обратной задачи определения толщин слоев.

В отличие от коэффициента отражения, спектральные зависимости ГЗ и ДГЗ непосредственно измерить нельзя. В принципе существуют способы измерения фазового сдвига при отражении tp, и теоретически ГЗ и ДГЗ могут быть получены из фазового сдвига с помощью численного дифференцирования. Однако, из-за ошибок в исходных данных получаемая зависимость ¡р(Х) сильно зашумлена, и ее численное дифференцирование практически невозможно.

В диссертации для определения ГЗ и ДГЗ используются экспериментальные данные, предоставляемые интерферометром белого света (ИБС). В § 4.4 описывается схема измерений, в результате которой получается двумерный массив исходных экспериментальных данных размерности 12000 на 1340. Каждая строка массива есть спектральное распределение интенсивности для заданного временного положения движущегося мотора интерферометра, а каждый столбец есть интерферограмма - временное распределение интенсивности, соответствующее одной длине волны. Значения времени, соответствующие центральным позициям интерферограмм, представляют групповую задержку при соответствующих длинах волн1 (рис. 9). Определение центральных позиций интерферограмм является типичной некорректной задачей, так как исходные данные содержат ошибки измерений.

В диссертации предложена модель представления интенсивности в интерферограм-ме, основанная на модели случайной световой волны.2 Согласно этой модели, огибаю-

1Кпох W.H., Pearson N.M., Li K.D., Harlimann С.А. Interferometric measurements of femtosecond group delay in optical components // Opt. Lett. 1988. 13.574-576

2Ахманов СЛ., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: Изд. МГУ, 2004

1.Д

400 500 600 тоо 600 900 1000 Длина ВОЛНУ, ни

Рис. 8. Дисперсионные зависимости показателей преломления пленкообразующих материалов пн(Д) и п/ДА) (жирные линии) и показателей преломления смесей (тонкие линии), полученные из (36) для ц = 0.2,0.4,0.6,0.8

Рис. 9. Интерферограммы, соответствующие трем длинам волн. Координаты Т1,Т2,Тз центров показаны пунктирными линиями. Относительный сдвиг координат определяет ГЗ при соответствующих длинах волн

щая интерферограммы представляется функцией:

1 sin(Au(t — трр)/2) _ 4тг ДА

h-{t) ~ 51 bu(t-TGD)/2 ' (38)

где I интенсивность волнового пакета, ДА — спектральная ширина волнового пакета, тар групповая задержка.

Близость между модельной огибающей функцией 7eTO,(t) и измеренными локальными экстремумами интенсивности /тах,/Ь ЛпшЛ- оценивается с помощью функции невязки:

ч ЛГщах -J ^rnin

F = JJ— J2 V™{U) - WO2 + ТГ- Е - W)2 • (39)

Jvraax к=\ jvmin t=l

где U - временные координаты локальных максимумов и минимумов интенсивности.

Задача определения ГЗ в спектральной точке А состоит в минимизации функции невязки F по трем модельным параметрам /, ДА, tcd'

F -> min, /0 е [/Шт, I max ], ДА 6 [О, ДА], Tgde[0,Tgd max ]• (40)

Все три параметра изменяются на отрезках, поэтому задача минимизации функции невязки корректна. Однако для численного решения этой задачи приходится решать дополнительные вспомогательные задачи, связанные с необходимостью определения временных координат U в формуле (39).

Временные координаты, входящие в (39), есть значения времени задержки волнового пакета при проходе по неподвижному плечу интерферометра:

= А<*> Д<к = 2Д«*/с,

где Ask расстояние между к—й и к + 1-й позициями мотора, передвигающего зеркало в подвижном плече интерферометра. Из-за непостоянства шагов мотора, значения U непостоянны. Для определения значений t{ могут быть сформулированы обратные задачи на основе использования данных интерферограмм. Для решения обратных задач вычисления ti разработаны специальная модель и численная процедура.

Предлагаемый алгоритм решения обратной задачи вычисления ГЗ и ДГЗ состоит из четырех основных шагов. На первом шаге с помощью специально разработанной процедуры вычисляются временные координаты ¿¿,г = 1...., 12000. На втором шаге решается задача (40) для всех и получается последовательность ту;в(Aj). На третьем и четвертом шагах вычисляются ГЗ(А) и ДГЗ(А). Эти зависимости получаются с помощью аппроксимации зависимости Tc[){\j) сглаживающими кубическими сплайнами. Точность вычисления ГЗ и ДГЗ оценена на основе решений модельных задач и составляет 0.3% и 4% соответственно.

Разработка модели и алгоритма проводилась в сотрудничестве с Институтом квантовой оптики им.М.Планка (г. Мюнхен. Германия). В этом институте проводятся успешные эксперименты по напылению сложных чирпованпых зеркал, предназначенных для работы с предельно короткими импульсами. Алгоритм и программа, разработанные в диссертации, применяются для вычисления ГЗ и ДГЗ этих зеркал.

В пятой главе диссертации рассматриваются задачи, связанные с разработкой моделей и алгоритмов, направленных на практическую реализацию оптических покрытий.

Несмотря на прогресс в развитии алгоритмов проектирования покрытий, методов напыления, совершенствовании измерительной аппаратуры, изготовление покрытий для современных приложений является сложной задачей. В § 5.1 рассматриваются основные факторы, влияющие на воспроизводимость спектральных характеристик сложных покрытий, и приводится обзор литературы, тематика которой связана с проблемами реализации покрытий.

В §§ 5.2, 5.3 предложены модели учета ошибок в толщинах слоев многослойных покрытий, возникающих в процессе контроля напыления покрытий оптическими методами. На основе этих моделей разработаны алгоритмы для оценки ожидаемого уровня ошибок в толщинах слоев.

При использовании оптических методов контроля измеряется коэффициент пропускания Т некоторого образца, находящегося в папылительпой камере. На основе анализа измеренных данных принимается решение о прекращении напыления слоя. Оптические методы контроля делятся на монохроматические (измерения коэффициента пропускания происходят для каждого слоя dj на одной длине волны A= 1,..., m) и широкополосные (измерения коэффициента пропускания происходят для каждого слоя dj па сетке длин волн {Аь}, к = 1,..., L).

Ошибки в толщинах слоев Sdj, то есть отклонения реальных толщин от теоретических d'y.

Sdj=dai-d!jt j = 1, ...,m, (41)

вызваны различными факторами, к которым относятся систематические и случайные ошибки в измеряемом коэффициенте пропускания, нестабильности скоростей напыления, запаздывание времени закрытия заслонки в момент прерывания напыления слоя, ошибки, связанные с работой алгоритма контроля. Все перечисленные факторы могут

быть оценены статистически.

В предложенной в диссертации модели впервые учтена реальная ситуация, когда ошибки в толщинах слоев зависимы, то есть ошибки в предыдущих слоях влияют на ошибки в последующих слоях, и с ростом числа слоев ошибки накапливаются (имеет место так называемый кумулятивный эффект ошибок в толщинах слоев). Предполагается, что напылительная и измерительная аппаратура, а также алгоритм контроля таковы, что указанные ошибки малы. Тогда при оценке ошибок можно использовать теорию возмущений первого порядка.

Приведем здесь расчетные формулы, полученные в § 5.3 для оценки ошибок в толщинах слоев в случае учета ошибок в измеряемом коэффициенте пропускания при использовании широкополосных методов контроля:

з

И = ^ да, где ц) = XIдля ¿ = 1.1; ц] = 1;

*=<

2

< ^ /ар эгл ул /этл

(42)

{А*> 4 -1 ' {ли

а =-Е

{Аа} {А*}

[■де Ттеш(Л/с) - случайные ошибки в измеряемом коэффициенте пропускания.

Значения <г3 стандартных отклонений величин 5(1] будем называть уровнем ошибок. Из (42) следует:

= Х>;)Мд) .•=1

где сг(Д) выражается через <7шем - стандартное отклонение ошибок в измеряемых данных Гтеаз(А/ь):

I 1/2

1/2

(43)

<Т(Д') = <7теоз/

т)

(44)

1.1М

Заметим, что формулы (42), (43) и (44) содержат лишь производные теоретического коэффициента пропускания по толщинам слоев и параметр, задающий уровень ошибок в измеряемых данных. Благодаря этому возможно выполнять допроизводственный анализ спроектированных покрытий и выбирать из множества решений одной и той же задачи проектирования покрытия, обладающие наименьшим уровнем ошибок.

В § 5.4 описывается разработанная система численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий. В настоящее время существует несколько хорошо апробированных физических процессов напыления ругейт-покрытий. При использовании одного из самых распространенных методов, основанного на одновременном испарении двух материалов (см. Главу 2), требуемый профиль показателя преломления ругейт-покрытия реализуется за счет изменения нужным образом во времени функции р(£), которая в свою очередь зависит от скоростей напыления 77,(4) и тц(1) материалов с низким и высоким показателями преломления:

Перед началом напыления задается последовательность пар (и, р;), г = 1,..., Лг, где

= р(и)- Напылительная установка, управляемая встроенной программой, обеспечивает переход от отношения скоростей р, в момент времени и к отношению 1 в момент времени £¡+1. Скорости напыления материалов измеряются в ходе напыления с помощью изолированных друг от друга кварцевых кристаллических мониторов и записываются через каждые сек. Все решения в системе принимаются на основе записей скоростей напыления тц,, щк> к ~ 1,..., Ыг в моменты времени ..., — = Д(.

Типичные значения для интервала Д( составляют 0.1-0.3 сек.

В каждый момент времени и можно вычислить текущее значение показателя преломления и текущую толщину по формулам: и

г< = J гЕ(г)си, п; = ргпн + (1 - р,)п;„ Р/ = (46)

о

Важно заметить, что по технологическим причинам суммарная скорость напыления ге(£) поддерживается постоянной. С вычислительной точки зрения это дает возможность с помощью формул (45)—(46) установить взаимно-однозначное соответствие между профилем, заданным вершинами (^,п,),г = 1,..., ЛГ, и последовательностью управляющих параметров напыления ругейт-покрытия (¿,,р;),г = 1. ...А'.

В диссертации впервые используются вычислительные эксперименты по напылению ругейт-покрытий, учитывающие влияние нестабильностей скоростей напыления материалов. Этот фактор является определяющим, так как весь процесс напыления построен на анализе скоростей напыления в режиме он-Нпе. Процесс моделирования скоростей напыления основывается на общем предположении о том, что зависимости скоростей напыления г^(£), Г//(£) представляют собой стационарные случайные процессы.

Вычислительные эксперименты показывают, что важной количественной характеристикой, определяющей точность воспроизведения спектральных характеристик ругейт-покрытий, является величина

Д = ть5ть + тн5гн, (47)

где ть,тц — времена корреляции, а 5гь,6гц - уровни флюктуаций процессов Гц(Ь). Данный результат выявляет необходимость тщательного предварительного анализа записей реальных скоростей напыления. Времена корреляции и уровни флук-туаций, найденные на основе реальных скоростей напыления, а также вычислительные эксперименты с полученными значениями параметров позволяют предварительно оценить точность воспроизведения спектральных характеристик спроектированных ругейт-покрытий.

В §5.5 рассматривается задача проектирования покрытий, меняющих нужным образом цвет отраженного света в зависимости от угла падения. Установлено, что не все цветовые зависимости достижимы. Оценка, полученная в диссертации, показывает, что покрытие может менять цвет отраженного света только по ненасыщенным цветам радуги.

Основные оригинальные результаты, полученные в диссертации:

1. Разработан и программно реализован принципиально новый метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный обобщенным метом эквива-

лентных слоев. Метод позволяет получать множественные решения современных задач проектирования покрытий с заданными спектральными характеристиками.

2. Предложена модель покрытия с непрерывно изменяющимся профилем показателя преломления, адекватно учитывающая современные технологические возможности. На основе этой модели разработан и программно реализован универсальный метод проектирования покрытий с непрерывными зависимостями профилей показателя преломления.

3. На основе комплексного исследования, включающего в себя вычислительный эксперимент и теоретический анализ, детально исследованы свойства важнейшего класса покрытий просветляющих оптических покрытий, получены практически значимые эмпирические зависимости их основных характеристик от параметров задачи проектирования.

4. Разработан подход к выбору моделей для решения обратных задач определения параметров тонких слоев в ультрафиолетовой области спектра; построена модель дисперсионной зависимости показателя преломления смеси материалов; разработан и программно реализован алгоритм решения обратной задачи определения групповой задержки чирнованных зеркал по иитерферометрическим данным.

5. Разработаны модели учета ошибок в толщинах слоев и получены алгоритмы вычисления ожидаемого уровня ошибок в толщинах слоев ири широкополосном и монохроматическом методах контроля процесса напыления. На основе серии вычислительных экспериментов найден параметр, дающий количественную оценку точности реализации покрытий с непрерывным профилем показателя преломления.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

изданиях

Публикации в изданиях из Перечня ВАК:

1. Амонкшш Т.В., Недич А. Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге. // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Вычисл. матем. и киберп., 1995. № 2. 5-11.

2. Васильев Ф.П., Амочкина Т.В., Недич А. Об одном регуляризованном варианте двухшагового метода проекции градиента. // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 15, Вычисл. матем. и киберп. 199G. № 1. 35 -42.

3. Амочкипа Т.О. "Непрерывный метод проекции градиента с переменной метрикой". // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. 37. 1134-1142.

4. Tikhonravov A.V., Trubetskov М.К., Kokarev М.А., Amotchkina T.V., Duparre A., Quesnel E., Ristau D., Gunster S. Effect of systematic errors in spectral photometric data on the accuracy of determination of optical parameters of dielectric thin films // Appl. Opt. 2002. 41. 2555 -2560.

5. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.К., Amotchkina T.V., Thelen A. Optical coating design algorithm based on the equivalent layers theory // Appl. Opt. 200G. 45. 15301538.

6. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V., Kokarev M.A., Kaiser N., Stenzel 0., Willbrandt S., Gabier D. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings // Appl. Opt. 2006. 45. 1515-1524.

7. Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K., Amotchkina T. V. Statistical approach to choosing a strategy of monochromatic monitoring of optical coating production // Appl. Opt. 2006. 45. 7863-7870.

8. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V. Investigation of the effect of accumulation of thickness errors in optical coating production using broadband optical monitoring // Appi: Opt. 2006. 45. 7026-7034.

9. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V. Computational experiments on optical coating production using monochromatic monitoring strategy aimed at eliminating a cumulative effect of thickness errors // Appl. Opt. 2007. 46. 6936 6944.

10. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V., Dobrowolski J.A. Estimation of the average residual reflectance of broadband antireflection coatings // Appl. Opt. 2008. 47. C124-C130.

11. Амочкина T.B. Аналитические свойства спектральных характеристик просветляющих покрытий // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 3, Физика. Астрономия, 2007. N 5. 37-40.

12. Amotchkina T. V. Empirical expression for the minimum residual reflectance of nonnaland oblique-incidence antireflection coatings // Appl. Opt. 2008. 47. 3109-3113.

13. Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K., Amotchkina T. V. Application of constrained optimization to the design of quasi-rugate optical coatings // Appl. Opt. 2008. 47, 5103-5109.

14. Amotchkina T.V., Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Gruppc. D., Apolonski A., Pervak V. Measurement of group delay of dispersive minors with white-light interferometer // Appl. Opt. 2009. 48. 949-956.

15. Амочкина T.B., Козлов И.В., Тихонравов А.В., Трубецков М.К. Исследование De-ализуемости оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления // Вестн. Моск. ун-та, Сер. 3, Физика. Астрономия 2009. N 2. 49-53.

Публикации в других научных изданиях:

16. Амочкина Т.В. Алгоритм синтеза многослойных оптических покрытий, основанный на теории эквивалентных слоев // Вычисл. методы и прогр. 2005. 6. 71-85.

17. Tikhonravov А. V., Trubetskov М.К., Amotchkina T. V., Kokarev M. A. Key role of the coating total optical thickness in solving design problems // Proc. SPIE. 2004. 5250. 312-321.

18. Janicki V., Wilhrandt S., Stenzel O., Giibler D., Kaiser N., Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina Т. V. Hybrid optical coating design for omnidirectional antireflection purposes // J.Opt. A: Pure Appl. Opt. 2005. 7. L9--L12.

19. Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V., Tikhonravov A. A., Rist.au D., Giinster S. Reliable determination of wavelength dependence of thin film refractive index // Proc. SPIE. 2003. 5188. 331 342.

20. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amochkina T.V., Kokarev M.A., Kaiser N., Stenzel 0., Wilbrandt. S.f Giibler D. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings // Proc. SPIE. 2005. 5963. 596304-1 -596304 9.

21. Амо-чкииа T.B. Вычислительные эксперименты по проектированию просветляющих покрытий и эмпирическая формула для остаточного отражения // Вычисл. методы и нрогр. 2008. 9. 94 -96.

22. Amotchkina T.V., Tikhonravov A.V., Trubetskov М.К. Estimation for the number of layers of broad band anti-reflection coatings // Proc. SPIE. 2008. 7101. 710104 710111.

23. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Kokarev M.A., Amotchkina T.V., Duparrc A., Quesnel E., Rist.au D., Giinster S. Influence of systematic errors in spectral photometric measurements он the determination of optical thin film parameters. // Proc. on Optical Interference Coatings. Report ThB5. Banff, Canada. Washington DC: Optical Society of America. 2001.

24. Amotchkina Т. V., Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K. New optical coating optimization algorithm based on the equivalent layers theory // Proc. on Optical Interference Coatings. Report TuB4. Tucson, USA. Washington DC: Optical Society of America. 2004.

25. Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K., Amotchkina T.V., Yanshin S.A. Design of multilayer coatings with specific angular dependencies of color properties // Proc. on Optical Interference Coatings. Report WB2. Tucson, USA. Washington DC: Optical Society of America. 2007.

26. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Amotchkina Т. V. Theoretical notes on one magic reflectance value // Proc. on Optical Interference Coatings. Report WB3. Tucson. USA. Washington DC: Optical Society of America, 2007.

27. Amotchkina T.V., Rist.au D., Lappschies M., Jupe M., Tikhonravov A. V., Trubetskov M.K. Optical properties of tio2-sio2 mixture thin films produced by ion-beam sputtering // Proc. on Optical Interference Coatings. R.eport TUA8. Tucson, USA. Washington DC: Optical Society of America, 2007.

28. Amotchkina T.V., Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Yanshin S.A. Structural properties of antireflection coatings // Proc. on Optical Interference Coatings. Report WB5. TYicson, USA. Washington DC: Optical Society of America, 2007.

29. Тихонравов А.В., Трубецков M.K., Амочкина T.B. Об одном способе оценки полной оптической толщины в задаче синтеза многослойных оптических покрытий // В сб.:

Тезисы докладов VII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: МГУ им.Ломоносова, 2001. 83.

30. Тихонравов A.B., Трубецков М.К., Амочкина Т.В. Применение теории эквивалентных слоев к задаче синтеза многослойных оптических покрытий // В сб.: Тезисы докладов VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". М.: МГУ им.М.В.Ломоиосова, 2003, 62.

31. Tiklwnravov /I.V., Trubetskov М.К., Amotchkina T.V., Kokarev U.A., Kaiser N., Stemel O., Wilbrandt S. General approach to the synthesis of rugate coatings. // В сб.: Международная конференция "Прикладная онтика-2004". С.-Пб.: ГОИ им.С.И.Вавилова. 2004. 12-15.

32. Stenzel О., Wilbrandt. S., Gabler D., Kaiser N., Tikhonravov A.V., Tru.he.bkmt M.K., Kokarev M.A., Amotchkina Т. V. Refractive índices of Si02 and N1)205 mixture films // В сб.: Международная конференция "Прикладная оптика-2004". С.-Пб.: ГОИ им.С.И.Вавилова. 2004. 34- 38.

33. Тихонравов A.B., Трубецков М.К., Амочкиш Т.В. General approach to the synthesis of rugate optical coatings // В сб.: Тезисы докладов Международной конференции "Тихонов и современная математика" (секция "Обратные и некорректно поставленные задачи"). М.: МГУ им.М.В.Ломоиосова, 2006. 195-19G.

34. Амочкина. Т.В., Яншин С.А., Тихонравов A.B., Трубецков М.К. Синтез многослойных оптических покрытий, обладающих заданными цветовыми свойствами // В сб.: Международная конференция "Прикладная оптика-2004". С.-Пб.: ГОИ им.С.И.Вавилова. 2006. 240- 244.

Подписано в печать 28.09.2009 г. Формат 60x84/16. Бумага офс. № 1. Печать ризо. Усл. печ. л. 2.5. Тираж 100 экз. Заказ № 8.

Участок оперативной печати НИВЦ МГУ 119992, ГСП-2, Москва, НИВЦ МГУ имени М.В.Ломоносова

Введение. Задачи проектирования оптических покрытий для современных приложений

1 Обобщенный метод эквивалентных слоев для автоматизированного проектирования многослойных оптических покрытий

1.1 Постановка задачи проектирования многослойных оптических покрытий. Оптимизационный метод и метод эквивалентных слоев.

1.2 Допустимое множество фазовых толщин и достижимое множество эквивалентных параметров.

1.3 Исследование свойств взаимного отображения допустимого множества на достижимое множество

1.4 Обобщенный метод эквивалентных слоев.

1.5 Примеры решения актуальных задач проектирования оптических покрытий.

2 Алгоритм проектирования оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления

2.1 Методы проектирования оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления.

2.2 Выбор модели ругейт-покрытия.

2.3 Алгоритм проектирования ругейт-покрытии.

2.4 Примеры решения актуальных задач проектирования ругейт-покрытий.

2.5 Проектирование гибридных покрытий.

3 Комплексное исследование просветляющих покрытий на основе вычислительных экспериментов

3.1 Задача проектирования просветляющих покрытий.

3.2 Зависимость среднего остаточного отражения от оптической толщиныЮб

3.3 Зависимость предельного остаточного отражения от параметров задачи проектирования.

3.4 Оценка числа слоев оптимальных просветляющих покрытий

3.5 Примеры решения практических задач проектирования просветляющих покрытий.

4 Выбор моделей и разработка алгоритмов для определения параметров тонких слоев и многослойных оптических покрытий

4.1 Определение параметров слоев и многослойных покрытий как решение обратной задачи распознавания.

4.2 Метод выбора моделей для определения оптических параметров слоев пленкообразующих материалов в ультрафиолетовой области спектра.

4.3 Модели дисперсионных зависимостей показателей преломления смесей материалов.

4.4 Построение модели и разработка алгоритма для определения групповой задержки в чирпованных зеркалах с использованием интерферометра белого света.

5 Модели, методы и алгоритмы, связанные с проблемой практической реализации сложных покрытий

5.1 Основные факторы, влияющие на точность практической реализации сложных покрытий.

5.2 Моделирование кумулятивного эффекта ошибок в толщинах слоев покрытия при монохроматическом методе контроля.

5.3 Моделирование кумулятивного эффекта ошибок в толщинах слоев покрытия при широкополосном методе контроля.

5.4 Численное моделирование процесса напыления оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления.

5.5 Исследование проблем реализуемости покрытий с заданными цветовыми свойствами.

Математическое моделирование, разработка численных методов и эффективных алгоритмов решения обратных задач распознавания и проектирования, возникающих в оптике интерференционных покрытий, является важнейшим фактором развития научных исследований в оптике и оптоэлектронике па современном этапе. Интерференционные оптические покрытия находят все большее применение в фундаментальных исследованиях в этих областях, в микроэлектронике, в разработке телекоммуникационных систем, в лазерной физике, в астрономии, в медицинском приборостроении, в архитектурном и прикладном дизайне и многих других областях человеческой деятельности.

Бурный прогресс в оптических и оптоэлектронных нанотехнологиях на рубеже XX-XXI веков выдвинул целый ряд качественно новых требований к задачам проектирования и исследования оптических покрытий и поставил ряд новых задач, требующих разработки новых моделей, методов, алгоритмов и реализующих их программных комплексов.

В работах А.В.Тихонравова 80-90-х годов прошлого века разработан мощный метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный методом игольчатого синтеза. С помощью этого метода можно спроектировать многослойное оптическое покрытие, отвечающее требуемым спектральным характеристикам любой сложности с высокой точностью. Однако в дальнейшем стало ясно, что одного лишь требования достижения высокой точности аппроксимации требуемых спектральных характеристик зачастую недостаточно для решения важнейших практических задач в рассматриваемой области.

В течение последнего десятилетия бурно развивались технологии производства покрытий, повышалась точность и возрастало качество измерительных приборов, расширялась номенклатура пленкообразующих материалов. Современные напылительные установки, оснащенные эффективными системами мониторинга и компьютеризированными системами управления с использованием эффективных алгоритмов контроля, делают реальным изготовление многослойных покрытий, содержащих десятки и даже сотни слоев.

Важнейшим стимулом к дальнейшему развитию моделей, методов и алгоритмов проектирования и исследования оптических интерференционных покрытий служит то обстоятельство, что только лишь соответствие характеристик спроектированных покрытий требуемым спектральным характеристикам с высокой степеныо точности перестало быть единственным мерилом качества решения задачи проектирования. В связи с новым скачком в развитии техники, обусловленным, например, переходом к еще более компактным технологиям в микроэлектронике, стремлением к еще более плотной передаче информации, использованием в производстве и научных исследованиях мощных лазеров, появились дополнительные требования к оптическим покрытиям. За счет появления дополнительных требований задача проектирования стала пониматься в более широком смысле, возникла потребность в изменении самого теоретического подхода к проектированию.

К дополнительным требованиям в первую очередь следует отнести требование на лучшую практическую реализуемость спроектированных покрытий. Это требование стимулирует разработку новых алгоритмов проектирования покрытий, которые позволяли бы получать не одно, а несколько решений задачи проектирования. Множественность решений позволяет в дальнейшем выбирать для практической реализации то покрытие, которое будет обладать спектральными характеристиками, устойчивыми к ошибкам в толщинах слоев, вызываемых различными факторами. Последнее требует, в свою очередь, разработки систем моделирования процессов накопления ошибок в толщинах слоев и получения числовых оценок уровней этих ошибок. Кроме того, так как ошибки в процессе напыления обусловлены в том числе и нестабильностью самого процесса напыления, то возникает необходимость выявить факторы процесса напыления, наиболее сильно влияющие на воспроизводимость характеристик покрытий. Это стимулирует развитие систем численного моделирования экспериментов по напылению покрытий.

Высокое качество покрытий не может быть достигнуто без знания с высокой точностью оптических параметров слоев пленкообразующих материалов, так как эти параметры обеспечивают теоретическую и экспериментальную стадии разработки покрытий точной входной информацией. Определение оптических параметров слоев приобрело особенную важность в связи с расширением спектральной области применения оптических покрытий в сторону коротких длин волн, обусловленным прежде всего переходом лазерной литографии в область вакуумного ультрафиолета. Задача определения оптических параметров слоев является обратной задачей распознавания, которая относится к некорректным задачам. Для ее решения требуются разработка системы моделей и методов верификации получающихся результатов. Задача становится более неустойчивой, если требуется определить оптические параметры слоев в ультрафиолетовой области, где точность входных экспериментальных данных намного ниже, чем в других спектральных областях.

Для выявления ошибок, сделанных в ходе экспериментов по напылению сложных покрытий, и последующей калибровки аппаратуры и усовершенствования алгоритмов контроля процессов напыления необходимо решение задачи определения параметров многослойных покрытий. Эта задача также является обратной задачей распознавания. Входной информацией в данной задаче служат измеренные данные спектральных характеристик покрытия. Некоторые нз этих характеристик не могут быть измерены напрямую. Для того, чтобы определить такие характеристики, требуется в свою очередь решение обратных задач нахождения этих характеристик из экспериментальных данных. Для решения этих обратных задач требуется разработка специальных моделей, алгоритмов и компьютерных программ.

Для ряда современных приложений к важнейшим дополнительным требованиям к проектируемым покрытиям относятся их устойчивость к мощному лазерному излучению, уменьшенное механическое напряжение, пониженное рассеяние света покрытием. Опыты, проведенные в некоторых ведущих лабораториях мира, показывают, что в качестве покрытий, удовлетворяющих этим требованиям, могут быть использованы так называемые ругейт-покрытия, то есть оптические покрытия, профиль показатель преломления которых представляет собой непрерывную функцию. С точки зрения проектирования и практической реализации, на первый план выходит проблема построения адекватной математической модели ругейт-иокрытия. Эта модель должна, с одной стороны, учитывать особенности напылительной аппаратуры, предназначенной для экспериментов по напылению ругейт-покрытий, и, с другой стороны, служить основой для построения эффективных с численной точки зрения алгоритмов вычисления их спектральных характеристик. Модель ругейт-покрытия должна обеспечивать возможность разработки быстрых и эффективных алгоритмов, предназначенных для проектирования ругейт-покрытий, а также для разработки систем численного моделирования экспериментов по напылению ругейт-покрытий. Принципиальные технологические различия в подходах к реализации ругейт-покрытий и, соответственно, отличие управляющих параметров процесса напыления требуют от модели ругейт-покрытия и алгоритма проектирования универсальности, то есть возможности задания профиля спроектированного покрытия посредством управляющих параметров любой напылительной установки. Для проектирования и проведения экспериментов по напылению ругейт-покрытий требуется также построение моделей слоев, образованных смесями материалов. Эти модели могут использоваться для учета дисперсии показателей преломления пленкообразующих материалов.

Прогресс последних 10-ти лет, произошедший в области технологий напыления, сделал возможным проведение экспериментов по напылению покрытий, содержащих сотни слоев. Аппроксимация требуемых спектральных характеристик со всевозрастающей точностью возможна в принципе за счет увеличения толщины и усложнения структуры покрытий. Вопрос о соотношении сложности структуры покрытия и уровня аппроксимации имеет особое значение для задач проектирования наиболее массовых типов покрытий - просветляющих оптических покрытий. Необходимость получения ответа на данный вопрос стимулирует проведение всестороннего исследования этих задач с целью получения оценки наилучшей точности аппроксимации. Для проведения исследования возможно использование как теоретических результатов, так п физических соображений и вычислительного эксперимента.

Перечисленные современные требования к покрытиям и очерченный круг задач, возникших в связи со стремлением удовлетворить этим требованиям, стимулируют развитие новых моделей покрытий, моделей тонких слоев, моделей представления измеренных данных, моделей процессов напыления, моделей процессов накопления ошибок, методов проектирования и определения параметров слоев и многослойных покрытий, алгоритмов и комплексов программ, основанных на разработанных моделях и реализующих предлагаемые методы.

Диссертация состоит из пяти глав. В первом параграфе каждой главы описываются решаемые задачи, приводится обзор наиболее значимых публикаций, посвященных данной задаче, и краткий исторический экскурс с перечислением результатов других авторов. Остальные параграфы каждой главы содержат материал, полученный автором. В конце каждой главы приводится формулировка основных результатов, полученных автором.

В Главе 1 разрабатывается новый метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный обобщенным методом эквивалентных слоев. Основной особенностью метода является возможность получать не одно, а сразу множество решений одной и той же задачи проектирования.

В Главе 2 предлагается и обосновывается новая модель ругейт-покрытия, адекватно соответствующая современным технологическим возможностям. На основании этой модели разрабатывается принципиально новый алгоритм проектирования ругейт-покрытий.

В Главе 3 на основе вычислительного эксперимента и теоретического анализа проводится комплексное исследование свойств важнейшего класса оптических покрытий - просветляющих покрытий. При этом получается ряд практически важных зависимостей, а именно: зависимость остаточного отражения от оптической толщины, физически значимая приближенная эмпирическая зависимость предельного остаточного отражения просветляющих покрытий от параметров задачи проектирования, эмпирическая формула, позволяющая определить оптимальное число слоев просветляющих покрытий в зависимости от практических требований.

В Главе 4 решается ряд обратных задач распознавания, результаты решения которых необходимы на стадиях проектирования, изготовления и послепроизвод-ственного исследования оптических покрытий. В диссертации решается задача определения параметров тонких слоев пленкообразующих материалов в ультра^ фиолетовой области спектра, задача определения параметров слоев, образованных смесями материалов, п задача определения дисперсионных зависимостей фазовых характеристик сложных многослойных зеркал.

Глава 5 посвящена решению задач, связанных с проблемой реализуемости покрытий. Объектами исследований в данной Главе являются покрытия, спроектированные с помощью алгоритмов, разработанных в Главах 1 и 2. В данной главе разрабатываются алгоритмы учета ошибок в толщинах слоев покрытий для случаев использования в процессе их производства методов оптического контроля, алгоритм численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий, а также исследуется задача проектирования многослойных покрытий, обладающих заданными цветовыми свойствами.

В целом в диссертации разрабатывается система моделей и алгоритмов, направленная на комплексное решение математических задач, возникающих при разработке сложных современных оптических покрытий от стадии их проектирования до стадии послепроизводственного исследования.

Основные результаты пятой главы:

1. Разработаны модели учета ошибок и получены алгоритмы вычисления ожидаемого уровня ошибок в толщинах слоев при монохроматическом методе контроля. Предложена новая стратегия выбора длин волн монохроматического метода контроля, направленная па минимизацию кумулятивного эффекта ошибок в толщинах слоев.

2. Разработаны модели и получены алгоритмы вычисления ожидаемого уровня ошибок в толщинах слоев при широкополосном методе контроля. Учтены влияния случайных и систематических ошибок в измеряемых значениях коэффициента пропускания и прямые ошибки, связанные с нестабильностью процесса напыления.

3. Разработана система численного моделирования процесса напыления ругейт-покрытий, основанного на управлении скоростями напыления. Найден параметр, дающий количественную оценку качества процесса напыления на основе предварительного анализа скоростей напыления пленкообразующих материалов.

4. На основе комплексного исследования, включающего в себя теоретический анализ и вычислительный эксперимент, изучена задача проектирования покрытий, изменяющих заданным образом цвет отраженного света при изменении угла падения. Получена аналитическая формула, из которой следует, что покрытие может менять цвет отраженного света только по ненасыщенным цветам радуги.

Основные оригинальные результаты, полученные в диссертации

1. Разработан и программно реализован принципиально новый метод проектирования многослойных оптических покрытий, названный обобщенным метом эквивалентных слоев. Метод позволяет получать множественные решения современных задач проектирования покрытий с заданными спектральными характеристиками.

2. Предложена модель покрытия с непрерывно изменяющимся профилем показателя преломления, адекватно учитывающая современные технологические возможности. На основе этой модели разработан и программно реализован универсальный метод проектирования покрытий с непрерывными зависимостями профилей показателя преломления.

3. На основе комплексного исследования, включающего в себя вычислительный эксперимент и теоретический анализ, детально исследованы свойства важнейшего класса покрытий — просветляющих оптических покрытий, получены практически значимые эмпирические зависимости их основных хаг рактеристик от параметров задачи проектирования.

4. Разработан подход к выбору моделей для решения обратных задач определения параметров тонких слоев в ультрафиолетовой области спектра; построена модель дисперсионной зависимости показателя преломления смеси материалов; разработан и программно реализован алгоритм решения обратной задачи определения групповой задержки чирпованных зеркал по интерфе-рометрическим данным.

5. Разработаны модели учета ошибок в толщинах слоев и получены алгоритмы вычисления ожидаемого уровня ошибок в толщинах слоев при широкополосном и монохроматическом методах контроля процесса напыления. На основе серии вычислительных экспериментов найден параметр, дающий количественную оценку точности реализации покрытий с непрерывным профилем показателя преломления.

Автор выражает глубокую благодарность директору Научно-исследовательского вычислительного центра МГУ им.М.В.Ломоносова профессору А.В.Тихонравову за плодотворные научные дискуссии, ценные советы и всестороннюю поддержку при написании диссертации.

Автор искренне благодарен доктору физико-математических наук М.К.Трубецкову за ценные замечания и дискуссии на семинарах. Автор признателен сотрудникам НИВЦ МГУ за дружескую поддержку, оказанную при выполнении диссертационной работы.

1. L. 1. Epstein. The design of optical filters. J. Opt. Soc. Am., 1952, vol. 42, pp. 806-810.

2. A. Thelen. Equivalent layers in multilayer filters. J. Opt. Soc. Am., 1966, vol. 56, pp. 15331538.

3. M. C. Ohmer. Design of three-layer equivalent films. J. Opt. Soc. Am., 1978, vol. 68, pp. 137-139.

4. H. A. Macleod. Thin film optical filters. McGraw-Hill, New York, 1986.

5. A. Thelen. Design of optical interference coatings. McGraw-Hill, New York, 1988.

6. T.V.Amotchkina, A.V.Tikhonravov, and M.K.Trubetskov. New optical coating optimization algorithm based on the equivalent layers theory. In: Optical Interference Coatings on CD-ROM, The Optical Society of America, 2004, (Washington, DC), p. TuB4.

7. A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, T.V. Amotchkina, and A. Thelen. Optical coating design algorithm based on the equivalent layers theory. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 15301538.

8. Т. В. Алючкина. "Алгоритм синтеза многослойных оптических покрытий, основанный па теории эквивалентных слоев". Вычисл. методы и прогр., 2005, т. 6, с. 71-85.

9. A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, T.V. Amotchkina, and M. A. Kokarev. Key role of the coating total optical thickness in solving design problems. SPIE Proceedings, 2004, vol. 5250, pp. 312-321.

10. Sh. Furman and A. V. Tikhonravov. Basics of Optics of Multilayer Systems. Edition Frontieres, Gif-sur-Yvette, 1992.

11. А. В. Тихонравов. "О принципиально достижимой точности решения задач синтеза". Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, № 6, с. 1421-1433.

12. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. Методы решения некорректных задач. Наука, Москва, 1986.

13. P. Baumeister. Design of multilayer filters by successive approximations. J. Opt. Soc. Am., 1958, vol. 48, pp. 955-958.

14. A. Herpin. Calcul du pouvoir reflecteur d'un systemc stratifie quelconque. C.R. Acad.Sci., 1947, vol. 225, pp. 182-183.

15. C. J. van der Laan and H. J. Frankena. Equivalent layers: another way to look at them. Appl. Opt., 1995, vol. 34, pp. 681-687.

16. D. M. Himmelblau. Applied Nonlinear Programming. McGraw-Hill, 1972.

17. Ф. П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. Наука, Москва, 1988.

18. Т.В. Амочкина, А. Недич. "Об одном варианте непрерывного метода проекции градиента второго порядка и его дискретном аналоге". Вест. Моск. Ун-та, сер. 15, Вычисл. матем. и матем. киберн., 1995, т. 2, с. 5-11.

19. Ф.П. Васильев, Т.В. Амочкина, А. Недич. "Об одном регуляризованном варианте двухшагового метода проекции градиента". Вест. Моск. Ун-та, сер. 15, Вычисл. матем. и матем. киберн., 1996, т. 1, с. 35-42.

20. Т.В. Амочкина. "Непрерывный метод проекции градиента второго порядка с переменной метрикой". Ж. вычпсл. матем. и матем. физ., 1997, т. 37, с. 1134-1142.

21. Антипин А. С. "Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования и типа проектирования". Вопр. кибернетики. Вычисл. вопросы аналнза больших систем, 1989, с. 5-43.

22. S. Wilbrandt, О. Stenzel, D. Gabler, and N. Kaiser. Re-engineering of inhomogeneous coatings based on in-situ optical bradband monitoring data. Proc. SPIE, 2005, vol. 5963, pp. 59630F-1-OF-12.

23. P. G. Verly, J. A. Dobrowolski, W.J. Wild, and R.L. Burton. Synthesis of high rejection filters with the fourier transform method. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2864-2875.

24. L. Li and Y. Yen. Wideband monitoring and measuring system for optical coatings. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2890-2894.

25. D. Ristau, Т. Gross, and M. Lappschies. Optical broadband monitoring of conventional and ion process. In: Optical Interference Coatings 011 CD-ROM, Optical Society of America, Washington DC, 2004, (Tucson, USA), OSA Technical Digest Series, p. TuEl.

26. A. V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and T.V. Amotchkina. Investigation of the effect of accumulation of thickness errors in optical coating production using broadband optical monitoring. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 7026-7034.

27. H. A. Macleod. Turning value monitoring of narrow-band all-dielectric thin film optical filters. Optica Acta, 1972, vol. 19, pp. 1-28.

28. A. V. Tikhonravov and M.K. Ъ-ubetskov. Elimination of cumulative effect of thickness errors in monochromatic monitoring of optical coating production: theory. Appl. Opt., 2007, vol. 46, pp. 2084-2090.

29. A. V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and Т. V. Amotchkina. Statistical approach to choosing a strategy of monochromatic monitoring of optical coating production. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 7863-7870.

30. A. Thelen, M. Tilsch, A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, and U. Brauneck. Topical meeting on optical interference coatings (oic'2001): design contest results. Appl. Opt., 2002, vol. 41, pp. 3022-3038.

31. П.П. Яковлев, Б.Б. Мешков. Проектирование интерференционных покрытий. Изд. Машиностроение, Москва, 1987.

32. Li Li. Optical coatings for displays. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 423-454.

33. R. Szipocs, К. Ferencz, С. Spielmann, and F. Krausz. Chirped multilayer coatings for broadband dispersion control in femtosecond lasers. Opt. Lett., 1994, vol. 19, pp. 201-203.

34. A.V.Tikhonravov, M.K.Trubetskov, V.Pervak, F.Krausz, and A.Apolonski. Design, fabrication and reverse engineering of broad band chirped mirrors. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WB4.

35. A.B. Тихонравов, M.K. Трубецков. "Современное состояние и перспективы развития методов проектирования многослойных оптических покрытий", 2007. Т. 74, с. 66-74.

36. А. В. Тихонравов, А.Г. Свешников. "Математические методы в задачах анализа и синтеза слоистых сред". Математическое моделирование, 1989, т. 1, № 7, с. 13-38.

37. V. Janicki, S. Wilbrandt, О. Stenzel, D. Gabler, N. Kaiser, A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and Т. V. Amotchkina. Hybrid optical coating design for omnidirectional antireflection purposes. J.Opt. A: Pure Appl. Opt., 2005, vol. 7, pp. L9-L12.

38. A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, T.V. Amotchkina, M.A. Kokarev, N. Kaiser, 0. Stenzel, S. Willbrandt, and D. Gabler. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1515-1524.

39. A.V.Tikhonravov, M.K.Trubetskov, T.V.Amochkina, M.A. Kokarev, N.Kaiser, O.Stenzel, S. Wilbrandt, and D. Gabler. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings. SPIE Proceedings, 2005, vol. 5963, pp. 596304-1 596304-9.

40. А. В. Тихонравов, M. К. Трубецков, T.B. Амонкина. "General approach to the synthesis of rugate optical coatings". В сб.: Тезисы докладов Международной конференции, МГУ им. Ломоносова, Москва, 2006, с. 00.

41. В. G. Bovard. Rugate filter theory: an overview. Appl. Opt., 1993, vol. 32, pp. 5427-5442.

42. W. H. Southwell and R. L. Hall. Rugate filter sidelobe suppression using quintic and rugated quintic matching layers. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2949-2951.

43. W. H. Southwell. Using apodization functions to reduce sidelobes in rugate filters. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 5091-5094.

44. H. Fabricius. Gradient-index filter: designing filters with step skirts, high reflection and quintic matching layers. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 5191-5196.

45. Н. А. АЪи-Safia, A. I. Al-Sharif, and I. О. Abu Aljarayesh. Rugate filter sidelobe suppression using half-apodization. Appl. Opt., 1993, vol. 32, pp. 4831-4835.

46. T.D. Rahmlow, Jr. Lazo-Wesem, and J.E. Lazo-Wasem. Rugate and discrete hybrid filter designs. Proc. SPIE, 1997, vol. 3133, pp. 25-35.

47. B. G. Bovard. Rugate filter design: the modified fourier transform technique. Appl. Opt., 1990, vol. 29, pp. 24-30.

48. J. A. Dobrowolski and D. Lowe. Optical thin film synthesis program based on the use of Fourier transforms. Appl. Opt., 1978, vol. 17, pp. 3039-3050.

49. R.R. Willey. Rugate broadband antireflection coating desugn. Proc. SPIE, 1989, vol. 1168, pp. 224-228.

50. R. R. Willey, P. G. Verly, and J. A. Dobrowolski. Design of wideband antireflection coating with th fourier transform method. Optical Thin Films and Applications, R.Herrmann, ed., Proc.Soc.Photo-Opt. Instrum.Eng., 1990, vol. 1270, pp. 36-44.

51. P. G. Verly, J.A. Dobrowolski, and R. R. Willey. Fourier-transform method for the design of wideband antireflection coatings. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 3836-3846.

52. W. H. Southwell. Coating design using very thin high- and low-index layers. Appl. Opt., 1985, vol. 24, pp. 457-460.

53. M. Lappschies, B. Gortz, and D. Ristau. Application of optical broadband monitoring to quasi-rugate filters by ion-beam sputtering. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1502-1506.

54. J.Allen and B. Harrington. Digitized rugate filters for laser application. Proc. SPIE, 1993, vol. 2046, pp. 126-131.

55. A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and T.V. Amotchkina. Application of constrained optimization to the design of quasi-rugate optical coatings. Appl. Opt., 2008, vol. 47, pp. 5103-5109.

56. Y. Wada, N. Toyohara, Y. Shinta, Sh. Iura, K. Takahashi, and K. Kawamata. Design of minus filters using arbitrary refractive index films, 2004. p. TuB5.

57. P. G. Verly, A. V. Tikhonravov, and M. K. Trubetskov. Efficient refinement algorithm for the synthesis of inhomogeneous optical coatings. Appl. Opt., 1997, vol. 36, pp. 1487-1495.

58. P. G. Verly, A. V. Tikhonravov, and M. K. Trubetskov. Efficient refinement of inhomogeneous optical coatings: oblique incidence. In: OSA Annual Meeting, 1996, Vol. ILS-XII, p. 189.

59. А. В. Тихонравов. "О задачах оптимального управления, связанных с синтезом слоистых сред". Дифф. уравнения, 1985, т. 21, № 9, с. 1516-1523.

60. А. V. Tikhonravov. On the optimality of thin film optical coating design. In: Optical Thin Film and Applications, Proc. SPIE, 1990, pp. 28-35.

61. G. DeBell, A. V. Tikhonravov, and M. K. Trubetskov. Use of a new synthesis algorithm to design polarization insensitive optical coatings. SPIE Proceedings, 1994, vol. 2262, pp. 187-197.

62. А. Г. Свешников, А. В. Тихонравов, С. А. Яншин. "Синтез оптических покрытий при наклонном падении света". Ж. вычисл. матем. и матем. физики, 1983, т. 23, № 4, с. 929-936.

63. М. Zukic and К. Н. Guenther. Design of nonpolarizing achromatic beamsplitters with dielectric multilayer coatings. Opt. Eng., 1989, vol. 28, pp. 165-171.

64. A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, and G. W. DeBell. Design of coatings for wide angular range applications. SPIE Proceedings, 1997, vol. 3133, pp. 16-24.

65. M. Tilsch, K. Hendrix, and P. Verly. Optical interference coating design contest 2004. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1544-1554.

66. M. Tilsch and K. Hendrix. Optical interference coatings design contest 2007: triple bandpass filter and nonpolarizing beam splitter. Appl. Opt., 2008, vol. 47, pp. C55-C69.

67. А. В. Тихонравов. "О методе синтеза оптических покрытий, использующем необходимые условия оптимальности". Вест. Моск. Ун-та, сер. 3, Физика. Астрономия, 1982, т. 23, № 6, с. 91-93.

68. А. V. Tikhonravov, М. К. Trubetskov, and G. DeBell. Application of the needle optimization technique to the design of optical coatings. Appl. Opt., 1996, vol. 35, no. 28,pp. 5493-5508.

69. A. V. Tikhonravov and M. K. Trubetskov. Design of multilayers featuring inhomogeneous coating properties. SPIE Proceedings, 1996, vol. 2776, pp. 48-57.

70. V. Pervak, A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, J. Pistner, F. Krausz, and A. Apolonski. Band filters: 2-material technology versus rugate. Appl. Opt., 2007, vol. 46, pp. 1190-1193.

71. E.P. Donovan, D. V. Vechten, A.D.F. Kahn, C.A. Carosella, G.K. Hubler, B.A. Nichols, and R.M. Wood. Near infrared rugate filter fabrication by ion-beam assisted deposition of sin films. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2940-2944.

72. W.J. Gunning, R.L. Hall, F.J. Woodberry, W.H. Southwell, and N.S. Gluck. Near infrared rugate filter fabrication by ion-beam assisted deposition of sin films. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2945-2948.

73. J.P. Heuer, J.P. Elben, R.L. Hall, and W.J. Gunning. Scale-up considerations for codeposited gradient index optical thin film filters, 1992. pp. 122-124.

74. P.V. Bulkin, P.L. Swart, and B.M. Lacquet. Fourier-transform design and electron cyclotron resonance plasma-enhanced deposition of lossy graded-index optical coatings. Appl. Opt., 1996, vol. 35, pp. 4413-4419.

75. A.G. Greenham, B.A. Nichols, R.M. Wood, N. Nourshargh, and K.L. Lewis. Optical interference filters with continuous refractive index modulations by microwave plasma-assisted chemical vapor deposition. Opt.Eng., 1993, vol. 32, pp. 1018-1023.

76. C. Stolz and F. Genin. Laser resistant coatings. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and tf. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 423-454.

77. D. Ristau, H. Schink, F. Mittendorf, S. M. Akhtar, J. Ebert, and H. Welling. Laser induced damage of dielectric systems with gradual interfaces at 1.064mum. NIST Spec. Publ., 1988, vol. 775, pp. 414-426.

78. H. Bartzsch, J. Weber, K. Lau, D. Gloss, and P. Frach. Sputter process with time-variant reactive gas mixture for the deposition of optical multilayer and gradient layer systems. Proc. SPIE, 2008, vol. 7101, pp. 71010J1-J8.

79. И. С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Физматгиз, Москва, 1960.

80. Т.В. Амочкина. "Непрерывный метод линеаризации второго порядка с переменной метрикой". Вест. Моск. Ун-та, сер. 15, Вычисл. матем. и матем. киберн., 1997, т. 3, с. 9-12.

81. Т.В. Амочкина, Ф.П. Васильев, А. С. Антипин. "Непрерывнй метод линеаризации с переменной метрикой для задач выпуклого программирования". Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997, т. 37, с. 1459-1466.

82. А. Н. Тихонов, А. В. Тихонравов, М. К. Трубецков. "Методы оптимизации второго порядка в задачах синтеза многослойных покрытий". Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1993, т. 33, № 10, с. 1518-1535.

83. R. Leitel, О. Stenzel, S. Willbrandt, D. Gdbler, V. Janicki, and N. Kaiser. Optical and non-optical characterization of nb2o5-sio2 compositional graded-index layers and rugate structures. Thin Solid Films, 2006, vol. 47, pp. 135-141.

84. S. Willbrandt, 0. Stenzel, and N. Kaiser. Experimental determination of the refractive index profile of rugate filters based on in situ measurements of transmission spectra. J. Phys. D: Appl. Phys., 2007, vol. 40, pp. 1435-1441.

85. A. V. Tikhonravov. Some theoretical aspects of thin film optics and their applications. Appl. Opt., 1993, vol. 32, pp. 5417-5426.

86. A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and G. W. DeBell. Optical coating design approaches based on the needle optimization technique. Appl. Opt., 2007, vol. 46, no. 5, pp. 704-710.

87. W. Southwell. Extended-bandwidth reflector designs by using wavelets. Appl. Opt., 1997, vol. 36, pp. 314-318.

88. D. Poitras, S. barouche, and L. Martinu. Design and plasma deposition of dispersion-corrected multiband rugate filters. Appl. Opt., 2002, vol. 41, pp. 5249-5255.

89. A.V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, and Т. V. Amotchkina. Theoretical notes on one magic reflectance value. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WB3.

90. U. Schulz, U. Shallenberg, and N. Kaiser. Symmetrical periods in antireflective coatings for plastic optics. Appl. Opt., 2003, vol. 42, pp. 1346-1351.

91. J.A. Dobrowolski, Y. Guo, T. Tiwald, P. Ma, and D. Paitras. Toward perfect antireflection coatings, experimental results obtained with the use of reststrahlen materials. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1555-1562.

92. J.A. Dobrowolski, D. Paitras, P. Ma, H. Vakil, and M. Acree. Toward perfect antireflection coatings: numerical investigation. Appl. Opt., 2002, vol. 41, pp. 3075-3083.

93. Т. В. Амочкина. "Аналитические свойства спектральных характеристик просветляющих покрытий". Вест. Моск. Ун-та, сер. 3, Физика. Астрономия, 2007, т. 5, с. 3740.

94. Т. V. Amotchkina, А. V. Tikhonravov, М. К. Trubetskov, andS. A. Yanshin. Structural properties of antireflection coatings. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WB5.

95. A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, Т. V. Amotchkina, and J. A. Dobrowolski. Estimation of the average residual reflectance of broadband antireflection coatings. Appl. Opt., 2008, vol. 47, no. 13, pp. C124-C130.

96. Т. В. Амочкина. "Вычислительные эксперименты по проектированию просветляющих покрытий и эмпирическая формула для остаточного коэффициента отражения". Вычисл. методы и прогр., 2008, т. 9, с. 94-96.

97. Т. V. Amotchkina. Empirical expression for the minimum residual reflectance of normal-and oblique-incidence antireflection coatings. Appl. Opt., 2008, vol. 47, pp. 3109-3113.

98. T.V. Amotchkina, A. V. Tikhonravov, and M.K. Trubetskov. Estimation for the number of layers of broad band anti-reflection coatings. SPIE Proceedings, 2008, vol. 7101, pp. 710104-710111.

99. J. W. S. Rayleigh. On reflections of vibrations at the confines of two media between which the transition is gradual. Proc. London Math. Soc., 1880, vol. 11, pp. 51-56.

100. J. Strong. On a method of decreasing the reflection from non-metallic substances. J. Opt. Soc. Am., 1936, vol. 26, pp. 73-74.

101. Гребенщиков И. В., Власов JI. Г., Б. С. Henopeum, Н. В. Суйковская. Просветление оптики. Гос. изд-во технико-теоретической литературы, Москва, Ленинград, 1946.

102. N. Kaiser. Optical coatings road-map. In: International Workshop on Optical Coatings In Celebration of Dr. J.A.Dobrowolski's 50th Year at NRC, 2006, (Ottawa, Canada).

103. U. B. Shallenberg. Antireflection design concepts with equivalent layers. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1507-1514.

104. J. A. Dobrowolski, A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, В. T. Sullivan, and P. G. Verly. Optimal single-band normal-incidence antireflection coatings. Appl. Opt., 1996, vol. 35, pp. 644-658.

105. D. Poitras and J.A. Dobrowolski. Toward perfect antireflection coatings. 2.theory. Appl. Opt., 2004, vol. 43, pp. 1286-1295.

106. U. Schulz, U.B. Schallenberg, and N. Kaiser. Antireflection coating design for plastic optics. Appl. Opt., 2002, vol. 41, pp. 3107-3110.

107. A. V. Tikhonravov and J. A. Dobrowolski. Quasi-optimal synthesis method for antireflection coatings: a new method. Appl. Opt., 1993, vol. 32, pp. 4265-4275.

108. R. R. Willey. Predicting achievable design performance of broadband antireflection coatings. Appl. Opt., 1993, vol. 32, pp. 5447-5451.

109. R. Willey. Refined criteria for estimating limits of brad-band ar coatings. Proc. SPIE, 2004, vol. 5250, pp. 393-399.

110. A. Premoli and M. L. Rastello. Minimax refining of optical multilayer systems. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 1597-1605.

111. M. L. Rastello and A. Premoli. Continuation method for synthesizing antireflection coatings. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 6741-6746.

112. A. V. Tikhonravov, P. W. Baumeister, and К. V. Popov. Phase properties of multilayers. Appl. Opt., 1997, vol. 36, pp. 4382-4392.

113. J. A. Dobrowolski and F. Ho. High performance step-down ar coatings for high refractive-index ir materials. Appl. Opt., 1982, vol. 21, pp. 288-292.

114. U. Schulz, P. Munzert, R. Leitel, I. Wendlimj, N. Kaiser, and A. Tunnermann. Antireflection of transparent polymers by advanced plasma etching procedures. Optics Express, 2007, vol. 15, pp. 13108-13113.

115. I.M. Thomas. Method for the preparation of porous silica antireflection coatings varying in refractive index from 1.22 to 1.44. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 6145-6149.

116. P. Prene, J.J. Proittron, L. Beavrain, and P. Belleville. Preparation of sol-gel broadband antireflective and sctrach resistant coating for blast shields of the french laser lil. J. Sol-Gel Sci. Technol, 2000, vol. 19, pp. 533-537.

117. Ф. Гила, У. Мюррей, M. Райт. Практическая оптимизация. Мир, Москва, 1985.128. http://sopra.com.

118. E. D. Palik. Handbook of optical constants of solids II. Academic Press, Boston, 1991.

119. M. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. Наука, Москва, 1973.

120. М. Friz and F. Waibel. Coating materials. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 105-130.

121. H.K.Pulker. Film deposition materials. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 131-153.

122. В. T. Sullivan and J. A. Dobrowolski. Deposition error compensation for optical multilayer coatings, i. theoretical description. Appl. Opt., 1992, vol. 31, pp. 3821-3835.

123. T.V. Amotchkina, A.V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, D. Gruppe, A. Apolonski, and V. Pervak. Measurement of group delay of dispersive mirrors with white-light interferometer. Appl. Opt., 2009, vol. 48, pp. 949-956.

124. E. D. Palik. Handbook of optical constants of solids. Academic Press, Orlando, 1985.

125. А. Duparri and D. Rustau. Optical interference coatings 2007 measurement problem. Appl. Opt., 2008, vol. 47, pp. C179-C184.

126. J. A. Dobrowolski, F. С. Ho, and A. Waldorf. Determination of optical constants of thin film coating materials based on inverse synthesis. Appl. Opt., 1983, vol. 22, pp. 3191-3200.

127. W.E. Case. Algebraic method for extracting thin-film optical parameters from spectrophotometer measurements. Appl. Opt., 1983, vol. 22, pp. 1832-1836.

128. P.O. Nilsson. Determination of optical constants from, intensity measurements at noraml incidence. Appl. Opt., 1968, vol. 7, pp. 435-442.

129. T.C. Paulick. Inversion of normal-incidence (r,t) measurements to obtain n+ik for thin films. Appl. Opt., 1986, vol. 25, pp. 562-564.

130. L. Vriens and W. Rippens. Optical constants of absorbing thin solid films on a substrate. Appl. Opt., 1983, vol. 22, pp. 4105-4110.

131. R.C. McPhedran, L.C. Botten, D.R. McKenzie, and R.P. Netterfield. Umambigous determination of optical constants of absorbing films by reflectance and transmittance measurements. Appl. Opt., 1984, vol. 23, pp. 1197-1205.

132. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. Гос. изд. научно-техн. лит., Москва, 1957.

133. D. Minkov. Computation of the optical constants of a thin dielectric layer on a transmitting substrate from the reflection spectrum at inclined incidence of light. J.Opt. Soc. Am. A, 1986, vol. 10, pp. 306-310.

134. T. Pisarkieuiicz. Reflection soectrum for a thin film with non-uniform thickness. J. Phys. D: Appl. Phys., 1994, vol. 27, pp. 160-164.

135. J.C. Martinez-Anton. Determination of optical parameters in general film-substrate systems a reformulation based on the concepts of envelope extremes and local magnitudes. Appl. Opt., 2000, vol. 39, pp. 4557-4568.

136. S-C. Chiao, B.G. Bovard, and H.A. Macleod. Optica-constant caculation over an extended spectral region: application to titanium dioxide film. Appl. Opt., 1995, vol. 34, pp. 7355-7360.

137. S. Gunster, D. Ristau, and S. Bosch-Puig. Spectrophotometry determination of absorption in the duv/vuv spectral range for ingf2 and laf3 thin films. Proc. SPIE, 2000, vol. 4099, pp. 35-42.

138. R.M. Bueno, J.F. Trigo, J.M. Martinez-Duart, E. Elizalde, and J.M. Sanz. Study of the optical constants determination of thin films dependence on theoretical assumptions. J. Vac. Sci. Technol. A, 1995, vol. 13, pp. 2378-2383.

139. S.V. Babu, M. David, and P.O. Patel. Two steps regression procedure for the optical characterization of thin films. Appl. Opt., 1991, vol. 30, pp. 839-846.

140. A.H.M. Holstag and P.M.L.O Scholte. Optical measurements of the refractive index, layer thickncss and volume changes of thin films. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 5095-5104.

141. J. P. Borgogno, P. Bousquet, F. Flory, B. Lazarides, E. Pelletier, and P. Roche. Inhomogeneity in films: limitation of the accuracy of optical monitoring of thin films. Appl. Opt., 1981, vol. 20, pp. 90-94.

142. J. P. Borgogno, F. Flory, P. Roche, B. Schmitt, G. Albrand, E. Pelletier, and H. A. Macleod. Refractive index and inhomogeneity of thin films. Appl. Opt., 1984, vol. 23, no. 20, pp. 3567-3570.

143. J. P. Borgogno, B. Lazarides, and E. Pelletier. Automatic determination of optical constants of inhomogeneous thin films. Appl. Opt., 1982, vol. 21, pp. 4020-4029.

144. A.V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, В. T. Sullivan, and J. A. Dobrowolski. Influence of small inhomogeneities on the spectral characteristics of single thin films. Appl. Opt., 1997, vol. 36, pp. 7188-7199.

145. A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, A.A. Tikhonravov, and A. Duparre. Effects of interface roughness on the spectral properties of thin films and multilayers. Appl. Opt., 2003, vol. 42, pp. 5140-5148.

146. A.V.Tikhonravov, M.K.Trubetskov, A.V.Krasilnikova, E.Masetti, A.Duparri, E.Quesnel, and D.Ristau. Investigation of the surface micro-roughness of fluoride films by spectroscopic ellipsometry. Thin Solid Films, 2001, vol. 397, pp. 229-237.

147. D. Ristau. Characterization and monitoring. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 181-205.

148. N. Kaiser. Some fundamentals in optical thin film growth. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 5980.

149. R. Leitel, 0. Stenzel, S. Wilbrandt, D. Gabler, V. Janicki, and N. Kaiser. Optical and non-optical characterization of nb2o5-sio2 compositional graded-index layers and rugate structures. Thin Solid Films, 2006, vol. 497, pp. 135-141.

150. G. Koppelmann and K. Krebs. Die optischen eigenschaften dielektrischer schichten niit kleinen homogenitatsstorungen. Zeitschrift fur Physik, 1961, vol. 164, pp. 539-556.

151. B.A. Морозов. Методы регуляризации неустойчивых задач. Изд. МГУ, Москва, 1987.

152. Н. Schroder. Bemerkung zur theorie des lichtdurchgangs durch inhomogene durchsichtige schichten. Annalen der Physik, 1941, vol. 39, pp. 55-58.

153. С. K. Carniglia. Ellipsometric calculations for nonabsorbing thin films with linear refractive-index gradients. J. Opt. Soc. Am. A, 1990, vol. 7, pp. 848-856.

154. R. Tousey. Optical constants of fluorite in the extreme ultraviolet. Phys. Rev., 1936, vol. 50, pp. 1057-1066.

155. R. Thielsch. Optical coatings for the duv/vuv. In: Optical Interference Coatings, edited by N. Kaiser and H. K. Pulker, Springer-Verlag, (Berlin), 2003, pp. 257-279.

156. Г. В. Розенберг. Оптика тонкослойных покрытий. Гос. изд. физ.-мат. лит., Москва, 1958.

157. J.C.M. Garnett. Colors on metal glasses and metal films. Trans. R. Soc. London, 1904, vol. 53, pp. 385-420.

158. J.C.M. Garnett. Berechtung verschiedener physikalischer konstanten von heterogenen substanzen, inbesondere dielektrizitatskonstanten und leitfahigkeiten der mischkorper aus isotropen substanzen. Ann. Phys., 1935, vol. 24, pp. 636-664.

159. D. J. Bergman. The dielectric constant of a composite material a problem in classical physics. Appl. Opt., 1978, vol. 43, pp. 377-407.177. 0. Stenzel. The physics of thin film optical spectra. Springer-Verlag, Berlin, 2005.

160. S. Chao, W.-H. Wang, M.-Y. Hsu, and L.-C. Wang. Characteristics of ion-beam-sputtered high-refractive-index tio2-sio2 mixed films. J. Opt. Soc. Am. A, 1999, vol. 16, pp. 1477-1483.

161. Jyh-Shin Chen, Jiann-Shiun Kao, Huan Nia, and Chih-Hsin Chen. Mixed films of tio2-sio2 deposited by double electron-beam coevaporation. Appl. Opt., 1996, vol. 35, pp. 90-96.

162. X. Wang, H. Masumoto, Y. Someno, and T. Hirai. Microstructure and optical properties of amorphous tio2-sio2 composite films synthesized by helicon plasma sputtering. Thin Solid Films, 1999, vol. 338, pp. 105-109.

163. J.-C. Diels and W. Rudolph. Ultrashort laser pulse phenomena. 2nd Edition, Academic Press, 2006.

164. R. Szipocs, K. Ferencz, C. Spielmann, and F. Krausz. Chirped multilayer coatings for broadband dispersion control in femtosecond lasers. Opt. Lett., 1994, vol. 19, pp. 201-203.

165. V. Pervak, A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, S. Naumov, F. Krausz, and A. Apolonski. 1.5-octave chirped mirror for pulse compression down to sub-3 fs. Appl. Phys. B, 2007, vol. 87, pp. 5-12.

166. A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, V. Pervak, F. Krausz, and A. Apolonski. Design, fabrication and reverse engineering of broad band chirped mirrors. Appl. Phys. B, 2007, vol. 87, pp. 5-12.

167. V. Pervak, C. Tiesset, A. Sugita, S. Naumov, F. Krausz, and A. Apolonski. High-dispersive mirrors for femtosecond lasers. Opt. Express, 2008, vol. 16, pp. 10220-10233.

168. V. Pervak, S. Naumov, F. Krausz, and A. Apolonski. Chirped mirrors with low dispersion ripple. Opt. Express, 2007, vol. 15, pp. 13768-13772.

169. V. Perva, F. Krausz, and A. Apolonski. Dispersion control over the uv-vis-nir spectral range with hfo2/sio2 chirped dielectric multilayers. Opt. Lett., 2007, vol. 32, pp. 11831185.

170. W. H. Knox, N. M. Pearson, K. D. Li, and C. A. Hirlimann. Interferometric measurements of femtosecond group delay in optical components. Opt. Lett., 1988, vol. 13, pp. 574-576.

171. W. H. Knox. Dispersion measurements for femtosecond-pulse generation and applications. Appl. Phys. B, 1994, vol. 55, pp. 225-235.

172. A. Gosteva, M. Haiml, R. Paschotta, and U. Keller. Noise-related resolution limit of dispersion measurements with white-light interferometers. J. Opt. Soc. Am. B, 2005, vol. 22, pp. 1868-1874.

173. M. Beck and I. A. Walmsley. Measurement of group delay with high temporal and spectral resolution. Opt. Lett., 1990, vol. 15, pp. 492-494.

174. K. Naganuma, K. Mogi, and H. Yamada. Group-delay measurement using the fourier transform of an interferometric cross correlation generated by white light. Opt. Lett., 1990, vol. 15, pp. 393-395.

175. S. Daddams and J.-C. Diels. Dispersion measurements with white-light interferometry. J. Opt. Soc. Am. B, 1996, vol. 13, pp. 1120-1129.

176. Морозов В.А. "Некоторые аспекты восстановления сигналов методом регуляризации". Вычисл. мет. и прогр., 2001, т. 10, с. 177-183.

177. V. Nirmal Kumar and D. Narayana Rao. Using interference in the frequency domain for precise determination of thickness and refractive indices of normal dispersive materials. J. Opt. Soc. Am. B, 1995, vol. 12, pp. 1559-1563.

178. C.A. Ахманов, С.Ю. Никитин. Физическая оптика. Изд. Наука, Москва, 2004.

179. Морозов В.А. "О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации". В сб.: Вычисл. мет. и прогр., Т. 14, Изд-во МГУ, (Москва), 1970, с. 46-62.

180. С. Н. Reinsch. Smoothing by spline function. Numerische Methematik, 1967, vol. 10, pp. 177-183.

181. A. V. Tikhonravov, M. K. Trubetskov, Т. V. Amotchkina, and S. A. Yanshm. Design of multilayer coatings with specific angular dependencies of color properties. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WB2.

182. T.B. Амочкина, C.A. Яншин, А.В. Тихонравов, M.K. Трубецков. "Синтез многослойных оптических покрытий, обладающих заданными цветовыми свойства^ ми". В сб.: Международная конференция "Прикладная оптика-2006", ГОИ нм. С.И.Вавилова, 2006, с. 240-244.

183. Т.В. Амочкина, И.В. Козлов, А.В. Тихонравов, М.К. Трубецков. "Исследование реализуемости оптических покрытий с непрерывным профилем показателя преломления". Вест. Моск. Ун-та, сер. 3, Физика. Астрономия, 2009, т. 2, с. 49-53.

184. A. Zoeller, М. Boos, Н. Hagedorn, and В. Romanov. Computer simulation of coating processes with monochromatic monitoring. SPIE Proceedings, 2008, vol. 7101, pp. 71010G-1-71010G-6.

185. А. V. Tikhonravov, M.K. Trubetskov, and I. Kasahara. Achievements and Challenges in the Design and Production of High Quality Optical Coatings. IEICE Trans Electron, 2008, vol. E91-C, no. 10, pp. 1622-1629.

186. D. Ristau, H. Ehlers, S. Schlichting, and M. Lappschies. State of the art in deterministic production of optical thin films. SPIE Proceedings, 2008, vol. 7101, pp. 71010C-1-71010C-14.

187. A.V.Tikhonravov and M.K.Trubetskov. Computational manufacturing as a bridge between design and production. Appl. Opt., 2005, vol. 44, pp. 6877-6884.

188. М. Tilsch. Deposition and monitoring of optical coatings. In: International Workshop on Optical Coatings In Celebration of Dr. J.A.Dobrowolski's 50th Year at NRC, 2006, (Ottawa, Canada).

189. R. R. Willey. Optical thickness monitoring sensitivity improvement using graphical methods. Appl. Opt., 1987, vol. 26, pp. 729-737.

190. R. Richer, A. Fornier, and E. Pelleyier. Optical monitoring of thin-film thickness. In: Optical Interference Coatings, edited by F. Flory, Macel Dekker Inc., (New York), 1995, pp. 57-90.

191. A. Zoeller, M. Boos, R. Goetzelmann, H. Hagedorn, and W. Klug. Substantial progress in optical monitoring by intermittent measurement technique. SPIE Proceedings, 2005, vol. 5963, pp. 105-113.

192. H.A. Macleod. Monitoring of optical coatings. Appl. Opt., 1981, vol. 20, pp. 82-89.

193. P. Bousquet, A. Fornier, R. Kowalczyk, E. Pelletier, and P. Roche. Optical filters: monitoring process allowing the auto-correction of thickness errors. Thin Solid Films, 1972, vol. 13, pp. 285-290.

194. H.A. Macleod and D. Richmond. The effect of errors in the optical monitoring of narrowband all-dielectric thin film optical filters. Optica Acta, 1974, vol. 21, pp. 429-443.

195. H.A. Macleod and E. Pelletier. Error compensation mechanisms in some thin-film monitoring systems. Optica Acta, 1977, vol. 24, pp. 907-930.

196. А. V. Tikhonravov and M. К. Trubetskov. Automated design and sensitivity analysis of wavelength-division multiplexing filters. Appl. Opt., 2002, vol. 41, no. 16, pp. 3176-3182.

197. F. Zhao. Monitoring of periodic multilayers by the level method. Appl. Opt., 1985, vol. 24, pp. 3339-3342.

198. R. Willey. Variation of band-edge position with errors in the monitoring of layer termination level for long- and short-wave pass filters. Appl. Opt., 1999, vol. 38, pp. 54475451.

199. C. J. van der Laan. Optical monitoring of nonquarterwave stacks. Appl. Opt., 1989, vol. 25, pp. 757-760.

200. C. Holm. Optical thin film production with continuous reoptimization of layer thicknesses. Appl. Opt., 1978, vol. 18, pp. 1978-1982.

201. C. Grezes-Besset, F. Chazallat, and G. Albrand. Synthesis and research of the optimum conditions for the optical monitoring of non-quarter-wave multilayers. Appl. Opt., 1997, vol. 32, pp. 5612-5618.

202. Ch. Lee, K. Wu, Ch. Kuo, and Sh. Chen. Improvement of the optical coating process by cutting layers with sensitive monitoring wavelengths. Optics Express, 2005, vol. 13, pp. 4854-4861.

203. J. A. Dobrowolski and A. Waldorf. Manufacture of all-dielectric filters with layers of arbitrary thickness and refractive index. J. Opt. Soc. Am., 1970, vol. 60, pp. 725.

204. B. Vidal, A. Former, and E. Pelletier. Optical monitoring of nonquarterwave multilayer filters. Appl. Opt., 1978, vol. 17, pp. 1038-1047.

205. B. Vidal, A. Fornier, and E. Pelletier. Wideband optical monitoring of nonquarterwave multilayer filters. Appl. Opt., 1979, vol. 18, pp. 3851-3856.

206. B. Vidal and E. Pelletier. Nonquarterwave multilayer filters: optical monitoring with a minicomputer allowing correction of thickness errors. Appl. Opt., 1979, vol. 18, pp. 38573862.

207. X.-Q. Ни, Y.-M. Chen, and J.-F. Tang. Apparatus for wideband monitoring of optical coatings and its uses. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 2886-2888.

208. C. Clark and H. A. Macleod. Errors and tolerances in optical coatings. In: 40th Annual Technical Conference Proceedings, Society of Vacuum Coaters, Washington DC, 1997, Technical Conference Proceedings, pp. 274-279.

209. S. Dligatch. Real* time process control and monitoring in multilayer filter deposition. In: Optical Interference Coatings on CD-ROM, Optical Society of America, Washington DC, 2004, (Tucson, USA), OSA Technical Digest Series, p. TuE5.

210. S. Wilbrabdt, 0. Stenzel, N. Kaiser, A. V. Tikhonravov, and M. K. Trubetskov. On-line re-engineering of interference coatings. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WC10.

211. B. Badoil, F. Lemarchand, M. Cathehnaud, and M. Lequime. An error compensation strategy for broadband optical monitoring. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2007, p. WC5.

212. В. T. Sullivan and J. A. Dobrowolski. Deposition error compensation for optical multilayer coatings, ii. experimental results sputtering system. Appl. Opt., 1993, vol: 32, pp. 2351-2360.

213. A. V. Tikhonravov and M. K. Trubetskov. On-line characterization and reoptimization of optical coatings. SPIE Proceedings, 2004, vol. 5250, pp. 406-413.

214. S. Wilbrandt, O. Stenzel, N. Kaiser, A. V. Tikhonravov, and M.K. Trubetskov. In situ optical characterization and reengineering of interference coatings. Opt. Express, 2008, vol. 47, pp. C49-C54.

215. A.V. Tikhonravov and M.K. Trubetskov. Computational manufacturing as a bridge between design and production. Appl. Opt., 2005, vol. 44, pp. 6877-6884.

216. В. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. Наука, Москва, 1988.

217. А. V. Tikhonravov. Virtual deposition plant. SPIE Proceedings, 2005, vol. 5870, pp. 108-120.

218. А. V. Tikhonravov, М. К. Trubetskov, Т. V. Amotchkina, М. A. Kokarev, N. Kaiser, О. Stenzel, S. Wilbrandt, and D. Gabler. New optimization algorithm for the synthesis of rugate optical coatings. Appl. Opt., 2006, vol. 45, pp. 1515-1524.

219. J. A. Dobrowolski, F. С. Ho, and A. Waldorf. Research on thin film anticounterfeiting coatings at the national research council of canada. Appl. Opt., 1989, vol. 28, pp. 27022717.

220. J. D. T. Kruschwitz. Designing color correcting coatings for optimum color rendering index and light output. In: Optical Interference Coatings, Optical Society of America, 2001, pp. TuB2-l.

221. A. Piegari and P. Polato. Multilayer coatings on glass for painting protection and optimized color rendering. Appl. Opt., 2002, vol. 41, pp. 3319-3326.

222. J. A. Dobrowolski, S. Browning, M. Jacobson, and M. Nadal. 2007 topical meeting on optical interference coatings: Manufacturing problem. Appl. Opt., 2008, vol. 47, pp. C2311. C245.

223. R. W. G. Hunt. Measuring Colors. Fountain Press, London, 1998.

224. P. Фейнман, P. Лейтон, M. Сэндс. Фейнмановские лекции по физике. Мир, Москва, 1965.