автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и методы решения многокритериальных задач нечеткой оптимизации

На правах рукописи

004607041

Семенов Борис Александрович

Модели и методы решения многокритериальных задач нечеткой оптимизации

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2010

004607041

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Леденева Татьяна Михайловна

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Матвеев Михаил Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Батаронов Игорь Леонидович

Ведущая организация:

Липецкий государственный технический университет

Защита состоится 30 июня 2010 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, д. 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 28 мая 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20 кандидат физ.-мат. наук

доцент | |1 <! I Провоторов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи математического программирования относятся к детерминированным моделям принятия решений. Необходимо заметить, что данный раздел «составляет» классику исследования операций и в теоретическом плане является хорошо «проработанным». Однако реальные прикладные задачи оказываются намного сложнее, чем предусмотрено классическими постановками. Эта сложность обусловливается необходимостью учета многих критериев при принятии решения, порождая класс задач многокритериальной оптимизации. Исключительное значение для решения таких задач играет принцип Парето, согласно которому оптимальное решение следует выбирать среди Парето-оптимальных точек, образующих область компромисса, причем выбор окончательного решения осуществляется с учетом дополнительной информации. Среди различных подходов, который носят в основном эвристический характер, можно выделить метод последовательного сужения множества Парето, основанный на количественной информации о важности критериев (В.Д. Ногин и др.). Заметим, что принцип Парето не является универсальным и применяется только при выполнении ряда аксиом. И даже если эти аксиомы выполняются, построение множества Парето может вызывать значительные трудности. В основе другого подхода к решению проблемы многокритериальности лежит идея последовательных уступок, основанная на ранжировании критериев в порядке убывающей важности и решении однокритериальной задачи, в которой самый важный критерий принимает экстремальное значение, а на остальные накладываются ограничений. Недостаток данного подхода заключается в усложнении ограничивающих условий и необходимости анализа различных вариантов задачи. Переход к однокритериальной задаче возможен и при агрегировании отдельных критериев в некоторый обобщенный (интегральный) критерий с помощью подходящей свертки. При внешней привлекательности такой подход порождает ряд вопросов: неясно, как определить вид функции агрегирования; трудно или невозможно обосновать принцип оценки ее параметров (весовых коэффициентов, показателей степеней и т.п.); проблематична интерпретация полученных результатов. Кроме перечисленных, существуют подходы, ориентированные на определенные классы задач. Так, для решения задач многокритериальных математического программирования с противоречивой системой ограничений применяются комитетные конструкции (Еремин И.И., Мазуров В.Д.), которые выступают аналогом смешанных стратегий использования допустимых решений, удовлетворяющих подсистемам условий.

В последние десятилетия в рамках математического программирования появились направления, учитывающие особенности и качество исходной информации (нечеткое, возможностное, стохастическое, интервальное программирование). Нечеткие модели оптимизационных задач отличаются разнообразием подходов к их построению (R. Fuller, С. Carlsson, Е. Canestrelli, М. Delgado, F. Herrera, H.J. Zimmermann, С.А. Орловский, A.B. Язенин и др.) и позволяют адекватно учитывать нечеткость данных при принятии решений. Необходимость дальнейшей разработки подходов к решению много-

критериальных задач нечеткого математического программирования обусловливает актуальность диссертационной работы. Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений ВГУ «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Цель и задачи исследования. Цель диссертационной работы заключается в разработке моделей и методов многокритериальной оптимизации в условиях неопределенности, характеризующихся нечеткостью данных. Для достижения цели в работе решались следующие задачи.

1. Анализ подходов к формализации неопределенности и способах ее учета в моделях математического программирования.

2. Разработка оригинальных подходов к формированию моделей и методов для решения многокритериальных задач с четкими и нечеткими целевыми функциями.

3. Разработка методов оценки характера взаимодействия целевых функций в задачах многокритериальной оптимизации с целью их использования как на предварительном этапе математического моделирования, так и на этапе решения.

4. Экспериментальное исследование разрешимости четких и нечетких многокритериальных задач о назначении с помощью генетического алгоритма.

Методы исследования базируются на основных положениях теории математического программирования и векторной оптимизации, теории нечетких множеств и нечеткой логики, дискретной математики, технологии эволюционного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1. Предложены альтернативные модели для многокритериальной задачи с нечеткими целевыми функциями, построенные на основе кванторных предикатов и (если-то)-правил и отличающиеся тем, что за счет формализации нечетких логических операций могут быть получены частные модели, обеспечивающие гибкость в формировании информационной среды для построения модели конкретной прикладной задачи.

2. Предложен метод решения задачи многокритериальной оптимизации для случая линейных целевых функций с нечеткими коэффициентами, основанный на свойствах операций и сравнении нечетких (треугольных и трапециевидных) чисел.

3. Разработан подход к формализации характера взаимодействия целевых функций в многокритериальных задачах, основанный на вычислении их градиентов. Для случая линейных целевых функций введен коэффициент, позволяющий определить характер их взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость) и на его основе осуществить переход к соответствующим нечетким целевым функциям. Предложен метод для решения задачи многокритериальной оптимизации, учитывающий эффект взаимодействия целевых функций.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях в четкой и в нечеткой постановках предложен генетический алгоритм нахождения решения, отличающийся использованием оригинальной процедуры оценки приспособленности особей в популяции.

Содержание диссертации соответствует пунктам 1,3 специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Паспорта специальностей ВАК РФ.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость результатов работы заключается в том, что предложенный комплекс моделей и методов позволяет учитывать много-критериальность и нечеткость исходных данных в реальных прикладных задачах, что обеспечивает высокую степень адекватности принимаемых решений. Предложенный комплекс программ для решения многокритериальной задачи о назначениях в четкой и нечеткой постановках позволяет не только получить решение (в общем случае субоптимальное), но и сравнить его с результатами других методов для повышения степени обоснованности.

Реализация результатов исследования. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе Воронежского государственного университета и Воронежского государственного технического университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и других научных мероприятиях: Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (2007, ВГУ), Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (2009, ВГТУ), У1-я всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами» (2009, УдГУ), 32-я международная школа-семинар «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С.С.Шаталина (2009, ЦЭМИ), ежегодные научные сессии Воронежского государственного университета (г. Воронеж, 2006 - 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных изданиях, в том числе 2 - из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. В совместных работах лично соискателю принадлежат следующие результаты: в [1] - логические модели и метод решения задачи многокритериальной оптимизации; в [2,3] - генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях; в [5] - исследованы некоторые свойства операций осреднения; в [6,7,8] - метод оценки взаимодействия целевых функций; в [9,10] - метод решения задачи формировании инвестиционного портфеля при нечетких оценках рисков и доходности.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Работа содержит 140 страниц текста, включает 48 рисунков и 6 таблиц. Список используемой литературы включает 103 наименования.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования, определены научная новизна и практическая значимость.

В первой главе рассмотрены общие проблемы моделирования процесса принятия решений, под которым подразумевается целенаправленный выбор лучшего в некотором смысле решения из множества заданных. Понятие цели вводится для того, чтобы получить возможность сравнивать варианты решения между собой по степени предпочтительности: то решение предпочтительнее, которое соответствует достижению цели в большей степени. Как известно, цели подразделяются на измеримые и количественно измеримые. Критерий можно рассматривать как функцию, которая задает количественно измеримую цель. Исследователи отмечают очевидную сложность и решающее влияние на успех процедуры выбора и обоснования критерия (или критериев). В работе анализируются подходы к решению проблемы многокритериальное™ в задачах принятия решений. В качестве базовой модели рассматривается задача математического программирования.

Под моделью математического программирования (в узком смысле) будем понимать задачу

/ (х) —> extr {max, min)

х е С = = (х,.....х„): {g; (х)[< = >]&,- (/ = 7jv)j л х[< = >]о} с Rn , (1)

где f(x) - целевая функция, g, (x)- функции, задающие левую часть ограничений, ty - заданные константы, С - множество допустимых решений.

Заметим, что данная модель является чрезвычайно общей, допуская большое количество интерпретаций.

Если в (1) целевых функций несколько, то получим многокритериальную модель задачи математического программирования.

Особую актуальность приобретают методы математического программирования, позволяющие учитывать плохо формализуемые ограничения и цели. Неопределенность - существенный фактор, осложняющий выбор оптимального решения. Нечеткое математическое программирование развивается для обработки неопределенностей, формализации которых осуществляется с помощью понятия нечеткой меры, а основным принципом, лежащим в основе многих методов, является принцип Беллмана-Заде, согласно которому оптимальное решение максимизирует пересечение функций принадлежности нечетких целей и ограничений.

Во второй главе предлагаются общие и частные модели многокритериальных задач, для построения которых применяется логический подход. Пусть fi [x),...,fN (*) - целевые функции, причем их коэффициенты представляют собой нечеткие числа, Ccä" - множество (четкое) допустимых решений. Представим формально предикат S(x) = «функции /}(х),...,/м(х) достигают максимальных значений в точке х е С». Смысл

данного предложения следующий: хеС и если у принадлежит С, то fi (у) < fj (х) для всех i = l,N .

Тогда

S{x) <-> (х е Сл Уу(у е С -> V/(/. (j,) < fi (*))). (2)

Обобщение на нечеткий случай осуществляется путем введения функции истинности t для элементарных предикатов « х е С » и « fi (у) < fj (х)».

В формулу (2) входит квантор V и логические операции л и , поэтому возникает вопрос об их формальном представлении в нечеткой логике. Обозначим нечеткие логические связки Fg, где в е {->, л, v,V,3} • Тогда (2) можно переписать в терминах функции принадлежности

М*) = ^Л ('[* е C]>Fvy (([у е C],FVi (/[/■ (у) < fi (*}])))), (3)

которая позволяет для каждого значения х вычислить степень принадлежности цц (х), так что S - нечеткое множество, характеризующее оптимальное решение.

Заметим, что, используя различные функциональные представления нечетких логических операций, на основе (3) можно получить множество формул, определяющих функцию принадлежности оптимального решения. В предположении, что конъюнкция л определяется классическим образом, (min.inf), получим, что (3) можно записать в виде

ft s (х) = min {t [х е С], inf I (t [у е С], min (t [fi {у) < fi (*)]) I У у 1

В данной формуле необходимо задать импликацию I, что также можно сделать различными способами, причем подходящий выбор импликации может значительно упростить формулу. Выбор импликации - важнейшая проблема нечеткого моделирования. В диссертационной работе рассматриваются конкретные представления этой операции, и строятся соответствующие формулы, определяющие функцию принадлежности оптимального решения. Так, с помощью импликации IDiene(x,y} = max{l — x,y) получим

(4)

min

t[x е C],mfmax\ l-t[ye С],min(t[fi (у) < fi (*)])

(5)

Рассмотрим другой подход к многокритериальной оптимизации, который предполагает формализацию условия задачи в терминах если-то-правил. Пусть С(х) <=> «хеС», ^(х) <=> «х - оптимальное решение многокритериальной задачи при нечетких ограничениях». Заметим, что можно описать правила, по которым будут исключаться все варианты, кроме оптимального решения:

г) если решение х не допустимое, то оно не может быть выбрано в качестве оптимального;

и) если для некоторого х существуют целевая функция / и такое решение ^, которое удовлетворяет ограничениям С, но при этом ( у) > fi (*),

то д: - не оптимальное решение.

Формально эти правила можно представить в следующем виде:

, Зу(с(у) л (/, (у) > £ (*))) .

Переходя к степеням истинности отдельных высказываний после ряда равносильных преобразований, получим следующую формулу

'<[*£ С],

зиртахР,\ (1[у е С],/[/, (>>) > /, (*)])

(6)

где fiRB (х) - функция принадлежности нечеткого решения многокритериальной задачи, полученная с помощью продукционного подхода.

В диссертационной работе показано, что решение pRB (л) совпадает с

решением, которое определяется формулой (5). Особенностью предложенного подхода является то, что нечеткое решение предоставляет пользователю множество допустимых решений со степенями принадлежности, характеризующими их оптимальность. Разумный подход к выбору «четкого» решения - х* = arg max ps (*).

X

Модели (4)-(6) являются достаточно общими. В диссертационной работе рассматривается частная задача для линейных целевых функций с нечеткими коэффициентами вида

п , _

YjD'JXJ -+тах (i"= l.Nj, j=i

(7)

хеС^Я",

где //-количество критериев, - у -ый нечеткий коэффициент г -ой целевой функции.

В предположении, что нечеткие коэффициенты являются треугольными или трапециевидными нечеткими числами, построена функция принадлежности (х), позволяющая определить оптимальное решение. Так для трапециевидных чисел она имеет следующий вид (в скобках перечислены параметры трапециевидного числа)

Н

('1

= max

хеХ

min

t\x е C],inf min

\^kj+yj)-2bÍjyj)

\\\

z/Axj-yj)- z 4*j-rA I

1 = 1 j = 1 j = r )))

Возникающая в рамках данного подхода проблема сравнения нечетких чисел решается с помощью параметрического метода Ягера-Филева, который позволяет за счет специальных параметров учитывать особенности сравнения. В качестве примера в диссертации рассматривалась задача управления инвестиционным портфелем при нечетких значениях доходности и рисков, которая реализована в программе portfolio_problem.exe.

В третьей главе исследуется взаимодействие целевых функций в рамках задачи многокритериальной оптимизации. К основным типам взаимодействия относятся: кооперация, конфликт и независимость. Для определения типа взаимодействия нами предлагается следующий подход. Будем считать,

что все целевые функции /}: X R (i = J,N ) являются непрерывно дифференцируемыми в X с R", тогда для каждой функции в любой точке х еХ определен градиент V/} (х). Кроме того, для любой точки х е X и

произвольного ненулевого приращения peR" можно определить производную по направлению р функции /¡(х). Идея подхода заключается в следующем. Для функции ft (х) определим направление ej, задаваемое

df¥)

вектором |, тогда -1—:— производная по этому направлению

дej

функции /¡- (х) в точке х°. Однако, направление градиента функции (х) есть направление наиболее быстрого ее роста. Следовательно, для оценки отклонения направления ej от направления, соответствующего градиенту

v/,(/),

можно использовать величину

, I г М

где у е [0,7г] - угол, образованный градиентами V/} | и У/у |.

В диссертации рассматриваются свойства введенного коэффициента взаимодействия целевых функций. Так как Лу (У/))^«» = ^ (./} , то в

дальнейших рассуждениях коэффициент обозначается ку |х° |.

В линейном случае Vi = 1, N

' И ^

fi(x)='Ecikxk

к=1 у

градиент полностью оп-

ределяется коэффициентами целевой функции V/J (х) = ), поэтому

кц = с<и у -

\СЦ'\С1\

к=1

(10)

и ■ Л<

11=1 V 1=1

Для определения типа взаимодействия целевых функций разобьем на три промежутка [0,7г] = и и \^7Уз,7Г~\ (разбиение

можно осуществить иначе). С учетом этого разбиения на основе коэффициентов к у можно сформулировать следующие правила принятия решений:

У2, /^, то цели кооперируют;

то цели конфликтуют (конкурируют)',

-1/1/

a) если ку е

b) если ку е

c) если ку е /2'/2!'то цели независимы-На рис. 1 изображены градиенты целевых функций

/](х1,х2) = 3х]+2х2, /2(х1,х2) = 4х1-4х2, /3(х1,х2) = ~5х1+4х2,

Л (х1-х2) = ~2х1 + Зх2. /5 (х/.х2) = ~3х1 -5*2 ■

Для функций /2(х) и /3(х) к2$ =-0.994 - они являются конфликтующими, и их градиенты противоположно направлены, а f${x) и /4(х) кооперируют (к23 =0.953) -

их градиенты образуют острый угол. Очевидно, что если цели независимы, то угол между соответствующими им градиентами «почти прямой». Целевые функции /](х) и /4 (х) - независимые, их градиенты образуют прямой угол (кц =0).

Рис. 1

Пусть для каждой пары (У/./у) целевых функций определен коэффициент взаимодействия ку, тогда для целевой функции (х) определим степень ее конфликтности с остальными целевыми функциями, например, в

виде к(/,)=^куе1-1.1].

Анализ различных примеров взаимодействующих целевых функций позволил сделать вывод, что если i -ая целевая функция кооперирует с j -ой, а j -ая с к -ой, то необязательно i -ая и к -ая цели являются кооперирующими. Поэтому в диссертации понятие кооперации уточняется следующим образом.

Будем говорить, что цели f{ (x),fj2 (х),...,// (х) сильно кооперируют в совокупности, если

min {кц\е\1/>,1~\ . (11)

Vt,se{l....."> L/2 J

Подмножество {Д (x).....fi (x)J целевых функций образует класс кооперации, если они кооперируют в совокупности и подмножество является максимальным по включению, т.е. добавление любой другой целевой функции, не входящей в это подмножество, нарушает отношение кооперации. В отличие от сильно кооперирующих в совокупности целей слабо кооперирующие цели либо кооперируют, либо независимы. Именно в случае кооперирующих целей, на наш взгляд, целесообразно переходить к некоторой

обобщенной целевой функции. Пусть Agg^f^ (х),(x)j - операция агрегирования, тогда целесообразно определить следующие условия, которым должна удовлетворять эта операция в зависимости от типа кооперации:

a) если функции Д (х),(х) сильно кооперируют, то эффект от их совместного действия превышает эффект каждой из целевых функций, т.е.

Agg(fii{x),...Jir{x))>mjjLfii(x)-,

b) если функции Д (х).....ft (х)слабо кооперируют, то эффект от их

совместного действия превышает эффект нечеткого большинства целевых функций, действующих совместно, т.е.

Agg(fh (x).fh (x),...,fir (*)) > ФЩ (fh (x),fh (x).....Д (*)),

где Wq - вектор весовых коэффициентов, построенный с использованием функции квантификации Q(x), формализующей принцип нечеткого большинства, Фщ - порядковый оператор взвешенного агрегирования.

В данной главе также предложен алгоритм решения многокритериальной задачи, учитывающей эффект взаимодействия целевых функций. Пусть /;(х),...,/дг(х) - целевые (четкие) функции, которые необходимо максимизировать, х е X с R" . Поскольку практически невозможно найти такое решение х, которое это делает для всех функций одновременно, то целесообразно преобразовать f( (л:) в такие функции Bt (х), которые позволяют для каждого решения х определить степень его принадлежности к нечет-

кому множеству «хороших решений» для г -й цели. Очевидно, что на промежутке [т,-,М;] В, (х) должна быть неубывающей, поэтому положим

1,если / (х) > Мг

'Мх)-»,^1

Я,(х) =

, если rr>j <t< Mj, (12)

Mi -/я,-

О.если /¡{х)<т^ где trtj = min fi (x), A/,- = max ft (x).

X X

Преобразование функции fi (x) в функцию (x) позволяет сделать целевые функции сравнимыми (однородными), и, по сути, является нормированием, а показатель + е [0,2] придает «нелинейный» характер

этому нормированию: при k(fj) е[-/,0) преобладает свойство конфликтности и функция Bj (х) выпукла вниз (пессимистическое отношение к риску), при функция £, (х) выпукла вверх (оптимистическое отношение к риску).

Компромиссное решение для многокритериальной задачи можно определить на основе вспомогательной задачи

maxmin{Bj(x), .. . ,BN{x)\ (13)

хеХ

которая, с одной стороны, построена с помощью максминного принципа оптимальности, а с другой - соответствует подходу Беллмана-Заде. Формула (13) допускает обобщение: операцию min можно заменить произвольной треугольной нормой1, которая, как известно, моделирует операции типа умножения.

В результате получим задачу вида

тахТ{В1{х), ... ,%(х)). (14)

х^Х

В диссертационной работе с помощью пакета MatLab было проведено исследование возможности использования различных Т -норм для получения решения многокритериальных задач линейного программирования.

Рассмотрим задачу max \fi{x1,x2),f2{x1,x2),f3(x1,x2)}, где f1 (х) = 3xj - 5х2 , f2 (х) = -4xj +17х2, f3 (х) = 2х, + 1х2.

1 Треугольной нормой называется операция Т: [0, У]х[0, У] —> [0,/], удовлетворяющая следующим условиям: коммутативность, ассоциативность, монотонность по обоим аргументам и ограниченность в виде Т(0,0) = 0, 7" (х, 7) = Т(1,х) = х.

Проделав необходимые расчеты и рассматривая в качестве треугольных норм апс/(х,у) = тт{х,у] и рапс/(х,у) = ху, получим следующие одно-критериальные задачи, которые представлены на рис. 2. Решениями этих задач будут точки х*,)(/ = х*ра„^ =(1.1,1.6).

В четвертой главе рассматривается многокритериальная задача о назначениях, постановка которой имеет вид

N N _

2 2 сихи т'"(тах) [к = 1'М)

ЫН (15)

I х9=1 = I ху=1 (¡ = Щ, Ху е {0,1} (и = Щ. 1=1 ]=1 где N - размерность задачи (количество работ и исполнителей), матрицы

С1 ,...,СМ задают критерии, М - число критериев, матрица X = {-^у}^ ^ -

искомое решение (матрица назначений), которое определяет распределение работ между исполнителями, при условии каждая работа выполняется одним исполнителем.

Для решения задачи (15) использовался генетический алгоритм (ГА), который предоставляет лицу, принимающему решение, значительно больший объем информации, чем одна единственная точка, являющая результатом использования большинства существующих методов. Заметим, что общая схема ГА является универсальной, а специфика конкретной задачи учитывается параметрами (хромосома, функция приспособленности, селекция, кроссовер). В рамках предложенной реализации алгоритма особью (хромосомой) является матрица X. При переходе к новому поколению допустимость ге-нокода (в каждой строке и в каждом столбце матрицы должна сохраниться только одна единица) обеспечивается специальной процедурой скрещивания. В диссертации рассматривается нечеткий вариант задачи (15), в котором коэффициентами целевых функций являются гауссовы нечеткие числа. Для них введены операция сложения и процедура сравнения.

Нечеткая многокритериальная задача о назначениях также решается с помощью генетического алгоритма. Оценка приспособленности особей осуществляется с помощью предложенной оригинальной процедуры, основанной на вычислении расстояния между нечеткими числами. Многокрите-риальность учитывается следующим образом. Из текущей популяции с помощью описанной процедуры сравнения гауссовых чисел выбирается множество Парето-оптимальных вариантов, они запоминаются и до окончания расчетов оценок исключаются из рассмотрения. Далее ищется множество Парето-оптимальных вариантов в усеченном множестве, и исключаются они. Эта процедура повторяется до тех пор, пока все варианты не будут исключены из начальной популяции. В качестве процедуры селекции используется стандартный механизм пропорционального отбора. Для создания новых особей-потомков используем частично отображаемый кроссовер. В качестве критерия остановки вычислений используется следующая проверка: если за последние 20 поколений лучшие особи популяции не изменились, то дальнейшая работа прекращается. Для окончательного выбора некоторого решения из найденных в качестве оптимального, предложена модификация известного и часто используемого в обычных задачах векторной оптимизации метода ограничений.

Разработанные алгоритмы для решения многокритериальной задачи о назначениях были реализованы в форме программного комплекса, включающего следующие программы: тиНюгИ/_ргоЫет_Рт,<иНеа1 для решения четкой многокритериальной задачи о назначениях; multicrit_assignment_ргоЫет_БТАТ для сравнения модификаций ГА; muШcrit_assignment_ргоЫет_Г№2 для решения многокритериальной задачи о назначениях.

С помощью разработанных программ был проведен вычислительный эксперимент, включающий следующие исследования.

а) Оценка эффективности различных способов кодирования и операторов кроссовера (частично отображаемого, упорядоченного, циклического, измененного): лучшее качество решений показал частично отображаемый кроссовер.

б) Проверка эффективности работы ГА в случае четких коэффициентов целевых функций: результаты сравнивались с результатами известной про-

цедуры STEM, возвращающей в качестве ответа единственную парето-оптимальную точку. По итогам тестирования выяснилось, что точка-результат STEM каждый раз либо не доминирует лучших особей из последнего поколения, либо сама входит в это поколение.

в) Анализ эффективности работы ГА в случае нечетких коэффициентов целевых функций: при «размытии» коэффициентов четкой задачи были получены решения, существенно доминирующие над результатами четкой задачи.

Основные результаты работы

1. Существующие методы решения проблемы многокритериальное™ в задачах принятия решений отличаются значительным многообразием. Однако необходимость учета качества исходной информации обусловливает развитие новых подходов. Приближенная информация о коэффициентах целевых функций многокритериальных задач математического программирования может быть формализована с помощью нечетких чисел, а аппарат теории нечетких множеств и нечеткой логики предоставляет эффективные инструменты для обеспечения адекватности и качества соответствующих моделей и методов.

2. Разработан подход к решению задачи многокритериальной оптимизации с нечеткими целевыми функциями, основанный на представлении условий, определяющих оптимальное решение, с помощью кванторного предиката и позволяющий сформировать функцию принадлежности оптимального решения, с помощью которой можно оценить «оптимальность» каждого допустимого решения. Конкретизация моделей осуществляется на основе формализации нечетких логических операций. Построены частные модели для случая трапециевидных и треугольных нечетких чисел. В качестве примера рассмотрена задача формирования инвестиционного портфеля с двумя целевыми функциями, коэффициенты которых являются треугольными нечеткими числами.

3. Предложен подход к определению взаимодействия целевых функций в многокритериальных (четких) задачах, основанный на вычислении угла между соответствующими им градиентами. Для задач с линейными целевыми функциями введен коэффициент взаимодействия, позволяющий тип взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость). Предложен метод решения многокритериальной задачи, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях и ее нечеткого аналога предложены реализации генетического алгоритма для получения оптимального решения. На основе вычислительного эксперимента проведен анализ особенностей работы генетических алгоритмов и их эффективности.

Основные публикации по теме диссертации

1. Семенов Б. А. Многокритериальная оптимизация на основе нечеткой логики / Б. А. Семенов, Т. М. Леденена // Системы управления и икформ. технологии. - М.; Воронеж : Науч. кн., 2009. - №1 (35). - С. 43-47.

2. Семенов Б. А. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях / И. JI. Каширина, Б. А. Семенов // Информ. технологии. - М., 2007. - № 5. - С. 62-68.

Ь I • '/

- /V

3. Семенов Б. А. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях при нечетких коэффициентах целевой функции / Б. А. Семенов, И. Л. Каширина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Систем, анализ и информ. технологии.

- Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2006. -№ 1. - С. 102-108.

4. Семенов Б. А. Гибридные системы на примере нечеткой многокритериальной задачи о назначениях / Б. А. Семенов// Современные проблемы механики и прикладной математики : сб. тр. междунар. шк.-сем. Воронеж, 17-19 сент. 2007 г. - Воронеж : Науч. кн., 2007. - С. 317-320.

5. Семенов Б. А. О линейной комбинации операторов агрегирования / Т. М. Леде-нева, Т. Н. Недикова, Б. А. Семенов //Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики : сб. тр. междунар. конф., Воронеж, 22-24 июня 2009 г.

- Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2009. - Ч. 2. - С. 12-14.

6. Семенов Б. А. О взаимодействии целей в многокритериальных задачах / Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Управление большими системами : сб. тр. VI Всерос. шк.-сем. молодых ученых, Ижевск, 31 авг. - 5 сент. 2009 г. - Ижевск : Информ. -издат. центр «Бон Анца», 2009. - Т. 2. - С. 351-359.

7. Семенов Б. А. Об одном подходе к исследованию взаимодействия целевых функций / Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Системное моделирование социально-экономических процессов : докл. 32-й Междунар. науч. шк.-семинар им. акад. С. С. Шаталина, Вологда, 5-10 окт. 2009 г. - Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. - С. 162.

8. Семенов Б. А. Решение задачи многокритериальной оптимизации при нечетких критериях / Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Систем. анализ и информ. технологии. - Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2007. - № 2. - С. 50-54.

9. Семенов Б. А. О нечетком подходе к формированию фондового портфеля / Е. М. Мелькумова, Б. А.Семенов // Интеллектуальные информационные системы : тр. Всерос. конф., г. Воронеж, 18-19 июня 2009 г. - Воронеж : Воронеж, гос. техн. ун-т, 2009.-С. 81-83.

10. Семенов Б. А. Управление инвестиционным портфелем при нечетких значениях доходности и рисков / Б. А. Семенов, Т. М. Леденева // Вестн. Воронеж, филиала Всесоюз. заоч. фин.-экон. ин-та : науч.-практ. журн. ВФ ВЗФЭИ. - Воронеж : ВФ ВЗФЭИ, 2008. - № 6. - С. 42-44.

Работы №1,2 опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Подписано в печать 27.05.10. Формат 60x84 '/16. Уел, печ. л. 0,93. Тираж 80 экз. Заказ 733

Отпечатано с готового оригинхча-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. АНАЛИЗ ПОДХОДОВ К ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.

1.1. Общая структура задачи принятия решений и ее особенности.

1.1.1. Неопределенность информации и способы ее формализации в задачах принятия решений и управления.

1.1.2. Общая характеристика задач многокритериальной оптимизации.

1.2. Нечеткие и лингвистические модели представления информации.

1.2.1. Понятие нечеткого множества.

1.2.2. Нечеткие операции.

1.3. Современная информационная технология как средство обеспечения интеллектуальности информационных систем.

Выводы к первой главе.

Глава 2. РАЗРАБОТКА ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ЧЕТКОГО И НЕЧЕТКОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ.

2.1. Общая конструкция задач нечеткого математического программирования.

2.2. Нечеткая логическая модель задачи многокритериальной оптимизации

2.3. Задача многокритериальной линейной оптимизации с нечеткими коэффициентами целевых функций.

2.4. Управление инвестиционным портфелем при нечетких значениях доходности и рисков.

Выводы ко второй главе.

Глава 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЦЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ.

3.1. Анализ взаимодействия целевых функций.

3.2. Алгоритм решения многокритериальной задачи, учитывающий характер взаимодействия целевых функций.

Выводы к третьей главе.

Глава 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ ПРИ ЧЕТКИХ И НЕЧЕТКИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ

4.1. Решение четкой многокритериальной задачи о назначениях с помощью генетического алгоритма.

4.1.1. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях.

4.1.2. Исследование эффективности различных способов кодирования и операторов кроссовера.

4.2. Генетический алгоритм решения многокритериальной задачи о назначениях при нечетких коэффициентах целевой функции.

4.2.1. Нечеткая многокритериальная задача о назначениях.

4.2.2. Генетический алгоритм решения задачи.

4.2.3. Выбор рекомендуемой точки среди решений, найденных ГА.

4.2.4. Эксперимент и обсуждение результатов.

4.3. Программные реализации.

Выводы к четвертой главе.

Актуальность темы. Задачи математического программирования относятся к детерминированным моделям принятия решений. Необходимо заметить, что данный раздел «составляет» классику исследования операций и в теоретическом плане является хорошо «проработанным». Однако реальные прикладные задачи оказываются намного сложнее, чем предусмотрено классическими постановками. Эта сложность обусловливается необходимостью учета многих критериев при принятии решения, порождая класс задач многокритериальной оптимизации. Исключительное значение для решения таких задач играет принцип Парето, согласно которому оптимальное решение следует выбирать среди Парето-оптимальных точек, образующих область компромисса, причем выбор окончательного решения осуществляется с учетом дополнительной информации. Среди различных подходов, который носят в основном эвристический характер, можно выделить метод последовательного сужения множества Парето, основанный на количественной информации о важности критериев (В.Д. Ногин и др.). Заметим, что принцип Парето не является универсальным и применяется только при выполнении ряда аксиом. И даже если эти аксиомы выполняются, построение множества Парето может вызывать значительные трудности. В основе другого подхода к решению проблемы многокритериальное™ лежит идея последовательных уступок, основанная на ранжировании критериев в порядке убывающей важности и решении однокритериальной задачи, в которой самый важный критерий принимает экстремальное значение, а на остальные накладываются ограничений. Недостаток данного подхода заключается в усложнении ограничивающих условий и необходимости анализа различных вариантов задачи. Переход к однокритериальной задаче возможен и при агрегировании отдельных критериев в некоторый обобщенный (интегральный) критерий с помощью подходящей свертки. При внешней привлекательности такой подход порождает ряд вопросов: неясно, как определить вид функции агрегирования; трудно или невозможно обосновать принцип оценки ее параметров (весовых коэффициентов, показателей степеней и т.п.); проблематична интерпретация полученных результатов. Кроме перечисленных, существуют подходы, ориентированные на определенные классы задач. Так, для решения задач многокритериальных математического программирования с противоречивой системой ограничений применяются комитетные конструкции (Еремин И.И., Мазуров В.Д.), которые выступают аналогом смешанных стратегий использования допустимых решений, удовлетворяющих подсистемам условий.

В последние десятилетия в рамках математически эграммирования появились направления, учитывающие особенности и ество исходной информации (нечеткое, возможностное, стохастическое, интервальное программирование). Нечеткие модели оптимизационны -?адая: отличаются разнообразием подходов к их построению (R. F' С. Carlsson, Е. Canestrelli, М. Delgado, F. Herrera, HJ. Zimmermann, С.А. Орловский, А.В. Язенин и др.) и позволяют адекватно учитывать не1 v лъ данных при принятии решений. Необходимость дальнейшей разраОолш подходов к решению многокритериальных задач нечеткого математического программирования обусловливает актуальность дисссл ч ".тонной работы. Диссертационная работа выполнена в рамках одного из основных научных направлений ВГУ «Математическое моделирование, программное и информационное обеспечение, методы вычислительной и прикладной математики и их применение к фундаментальным исследованиям в естественных науках».

Цель и задачи исследования. Цель диссертаг ионной работы заключается в разработке моделей и методов м гокритериальной оптимизации в условиях неопределенности, характеризующихся нечеткостью данных. Для достижения цели в работе решались следующие задачи.

1. Анализ подходов к формализации неопределенности и способах ее учета в моделях математического программирования.

2. Разработка оригинальных подходов к формированию моделей и методов для решения многокритериальных задач с четкими и нечеткими целевыми функциями.

3. Разработка методов оценки характера взаимодействия целевых функций в задачах многокритериальной оптимизации с целью их использования как на предварительном этапе математического моделирования, так и на этапе решения.

4. Экспериментальное исследование разрешимости четких и нечетких многокритериальных задач о назначении с помощью генетического алгоритма.

Методы исследования базируются на основных положениях теории математического программирования и векторной оптимизации, теории нечетких множеств и нечеткой логики, дискретной математики, технологии эволюционного моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной.

1. Предложены альтернативные модели для многокритериальной задачи с нечеткими целевыми функциями, построенные на основе кванторных предикатов и (если-то)-правил и отличающиеся тем, что за счет формализации нечетких логических операций могут быть получены частные модели, обеспечивающие гибкость в формировании информационной среды для построения модели конкретной прикладной задачи.

2. Предложен метод решения задачи многокритериальной оптимизации для случая линейных целевых функций с нечеткими коэффициентами, основанный на свойствах операций и сравнении нечетких (треугольных и трапециевидных) чисел.

3. Разработан подход к формализации характера взаимодействия целевых функций в многокритериальных задачах, основанный на вычислении их градиентов. Для случая линейных целевых функций введен коэффициент, позволяющий определить характер их взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость) и на его основе осуществить переход к соответствующим нечетким целевым функциям. Предложен метод для решения задачи многокритериальной оптимизации, учитывающий эффект взаимодействия целевых функций.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях в четкой и в нечеткой постановках предложен генетический алгоритм нахождения решения, отличающийся использованием оригинальной процедуры оценки приспособленности особей в популяции.

Содержание диссертации соответствует пунктам 1,3 специальности 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ Паспорта специальностей ВАК РФ.

Достоверность научных результатов. Научные положения, теоретические выводы и практические рекомендации обоснованы корректным использованием математического аппарата, подтверждены результатами вычислительного эксперимента.

Практическая значимость результатов работы заключается в том, что предложенный комплекс моделей (в общем случае) математического программирования позволяет учитывать такие факторы реальных прикладных задач, как многокритериальность и нечеткость, что обеспечивает высокую степень адекватности и формирует основу для обоснованного принятия решений. Предложен метод решения задачи о формировании инвестиционного портфеля при нечетких оценках рисков и доходности.

Реализация результатов исследования. Теоретические результаты диссертации в форме моделей, алгоритмов и программ используются в учебном процессе Воронежского государственного университета и Воронежского государственного технического университета при чтении спецкурсов, выполнении дипломных и курсовых работ.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях, семинарах и др. научных мероприятиях: Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (2007, ВГУ), Всероссийская конференция «Интеллектуальные информационные системы» (2009, ВГТУ), VT-я всероссийская школа-семинар молодых ученых «Управление большими системами» (2009, УдГУ), 32-я международная школа-семинар «Системное моделирование социально-экономических процессов» имени академика С.С.Шаталина (2009, ЦЭМИ), ежегодные научные семинары профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Воронежского государственного университета (г. Воронеж, 2006 — 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных изданиях, в том числе 2 — из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Работа содержит 140 страниц текста, включает 48 рисунков и 6 таблиц. Список используемой литературы включает 103 наименования. В первой главе рассмотрены общие проблемы моделирования процесса принятия решений. Описаны важнейшие ,

Основные выводы и результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Существующие методы решения проблемы многокритериальное™ в задачах принятия решений отличаются значительным многообразием. Однако необходимость учета качества исходной информации обусловливает развитие новых подходов. Приближенная информация о коэффициентах целевых функций многокритериальных задач математического программирования может быть формализована с помощью нечетких чисел, а аппарат теории нечетких множеств и нечеткой логики предоставляет эффективные инструменты для обеспечения адекватности и качества соответствующих моделей и методов.

2. Разработан подход к решению задачи многокритериальной оптимизации с нечеткими целевыми функциями, основанный на представлении условий, определяющих оптимальное решение, с помощью кванторного предиката и позволяющий сформировать функцию принадлежности оптимального решения, с помощью которой можно оценить «оптимальность» каждого допустимого решения. Конкретизация моделей осуществляется на основе формализации нечетких логических операций. Построены частные модели для случая трапециевидных и треугольных нечетких чисел. В качестве примера рассмотрена задача формирования инвестиционного портфеля с двумя целевыми функциями, коэффициенты которых являются треугольными нечеткими числами.

3. Предложен подход к определению взаимодействия целевых функций в многокритериальных (четких) задачах, основанный на вычислении угла между соответствующими им градиентами. Для задач с линейными целевыми функциями введен коэффициент взаимодействия, позволяющий тип взаимодействия (кооперация, конфликт, независимость). Предложен метод решения многокритериальной задачи, основанный на специальном преобразовании целевых функций с учетом коэффициента взаимодействия.

4. Для многокритериальной задачи о назначениях и ее нечеткого аналога предложены реализации генетического алгоритма для получения оптимального решения. На основе вычислительного эксперимента проведен анализ особенностей работы генетических алгоритмов и их эффективности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Алтунин А. Е. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях : монография / А. Е. Алтунин, М. В. Семухин. — Тюмень : Изд-во Тюмен. гос. ун-та, 2002. 265 с.

2. Баева Н. Б. Модели производственных процессов, логистики и риска / Н. Б. Баева, Т. В. Азарнова. Воронеж : ЛОП ВГУ, 2005. - 87 с.

3. Баева Н. Б. Основы теории и вычислительные схемы векторной оптимизации / Н. Б. Баева, Ю. В. Бондаренко. Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2009. -95 с.

4. Беллман Р. Принятие решений в расплывчатых условиях / Р. Беллман, Л. А. Заде // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М. : Мир, 1976.-С. 172-215.

5. Блэк М. Метафора / М. Блэк // Теория метафоры : пер. с англ., нем., исп., пол. яз. -М. : Прогресс, 1990. С. 153-172.

6. Букатова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения / И. Л. Букатова. М.: Наука, 1979. - 231 с.

7. Вагнер Г. Основы исследования операций : в 3 т. / Г. Вагнер. — М. : Мир, 1973.-Т. 2.-486 с.

8. Дубов Ю. А. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем / Ю. А. Дубов, С. И. Травкин, В. Н. Якимец. М. : Наука, 1986.-294 с.

9. Дюбуа Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике / Д. Дюбуа, А. Прад ; пер. с фр. В. Б. Тарасова ; под ред. С. А. Орловского. М. : Радио и связь, 1990. — 286 с.

10. Емельянов В. В. Теория и практика эволюционного моделирования /

11. B. В. Емельянов, В. М. Курейчик, В. В. Курейчик. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003.-431 с.

12. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования / Ю. М. Ермольев. М. : Наука, 1976. - 239 с.

13. Задачи линейной оптимизации с неточными данными = Linear optimization problems with inexact data / M. Фидлер, Й. Недома, Я. Рамик, И. Рон, К. Циммерманн ; пер. с англ. С. И. Кумкова ; под ред.

14. C. П. Шарого. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер, исслед. : Регуляр. и хаот. динамика, 2008. 286 с.

15. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений / Л. А. Заде. М. : Мир, 1976. — 165 с.

16. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании, экономике / С. Карлин. М. : Мир, 1964. - 838 с.

17. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. — 5-е изд., испр. М. : Физматлит, 2000. - 263 с.

18. Каширина И. Л. Генетический алгоритм решения квадратичной задачи о назначениях специального вида / И. Л. Каширина // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. Воронеж, 2003. - № 1. - С. 128-131.

19. Кашьян P. JI. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / P. JI. Кашьян, А. Р. Рао. М. : Наука, 1983. — 384 с.

20. Корн Г. А. Справочник по математике : для науч. работников и инженеров : Определения. Теоремы. Формулы / Г. А. Корн, Т. М. Корн. -6-е изд., стер. СПб. и др. : Лань, 2003. - 831 с.

21. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А.Кофман. М. : Радио и связь, 1982. — 432 с.

22. Кочин Д. Ю. Метод классификации заданного множества многокритериальных альтернатив / Д. Ю. Кочин // Методы поддержки принятия решений. М. : УРСС, 2001. - С. 4-18.

23. Круглов В. В. Интеллектуальные информационные системы : компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода / В. В. Круглов, М. И. Дли. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 254 с.

24. Круглов В. В. Искусственные нейронные сети : теория и практика / В. В. Круглов, В. В. Борисов. — 2-е изд. М. : Горячая линия — Телеком, 2002.-382 с.

25. Курейчик В. М. Эволюционные алгоритмы : генетическое программирование / В. М. Курейчик, С. И. Родзин // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2002. № 1. - С. 127-137.

26. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах / О. И. Ларичев. 2-е изд., перераб. и доп. -М. : Логос, 2002. - 390 с.

27. Левин В. И. Новое обобщение операций над нечеткими множествами /

28. B. И. Левин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 1. - С. 143-146.

29. Леденева Т. М. Моделирование процесса агрегирования целей в целенаправленных системах / Т. М. Леденева. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. тех. ун-та, 1999. — 160 с.

30. Леденева Т. М. Обработка нечеткой информации / Т. М. Леденева. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2006. 233 с.

31. Леденева Т. М. Операторы агрегирования в оценочных моделях / Т. М. Леденева, Т. Н. Недикова // Информ. технологии. 2003. - № 2. - С. 2-9.

32. Леденева Т. М. Особенности использования нечетких отношений в задачах многокритериального выброса / Т. М. Леденева // Системное моделирование социально-экономических процессов. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2000. С. 144-156.

33. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования / Б. Лю. М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2005. - 416 с.

34. Малышев В. А. Метод принятия решений в условиях многообразия способов учета неопределенностей / В. А. Малышев, Б. С. Пиявский,

35. C. А. Пиявский // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2010. - № 1. -С. 46-61.

36. Матвеев М. Г. Идентификация параметров нечетких продукционных правил при моделировании системы «состав-свойство» / М. Г. Матвеев, Ю. А. Полянский // Системы упр. и информ. технологии. — 2009. — № 4. — С. 43-46.

37. Матвеев М. Г. Модели и методы искусственного интеллекта. Применение в экономике / М. Г. Матвеев, А. С. Свиридов, Н. А. Алейникова. М. : Финансы и статистика : Инфра-М, 2008. — 446 с.

38. Матвеев М. Г. Статическая модель принятия решений в условиях метеорологической неопределенности / М. Г. Матвеев, В. В. Михайлов // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Систем, анализ и информ. технологии. — Воронеж, 2006. № 2. - С. 19-23.

39. Месарович М. Теория иерархических многоуровневых систем : пер. с англ. / М. Месарович, Д. Мако, И. Такахара ; под ред. И.Ф. Шахнова. — М. : Мир, 1973.-344 с.

40. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной / А. Н. Борисов и др.. — Рига : Зинатне, 1982. — 256 с.

41. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н. Н. Моисеев.-М. : Наука, 1981.-488 с.

42. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. -М. : Наука, 1975.-528 с.

43. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер ; пер. с нем. Н. В. Васильченко, В. А. Душского. — М. : Мир, 1990.-206 с.

44. Негойце К. Применение теории систем к проблемам управления / К. Негойце. -М. : Мир, 1981. 179 с.

45. Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение : пер. с англ. / Дж. фон Нейман, О. Моргенштейн ; под. ред. и с добавлением Н. Н. Воробьева. М. : Наука, 1970. - 707 с.

46. Нечеткие гибридные системы : теория и практика / под. ред. Н. Г. Ярушкиной. М. : Физматлит, 2007. - 208 с.

47. Нечеткие множества и теория возможностей : пер. с англ. / под ред. Р. Р. Ягера ; под ред. С. И. Травкина. М. : Радио и связь, 1986. - 405 с.

48. Ногин В. Д. Принцип Эджворта-Парето и относительная важность критериев в случае нечеткого отношения предпочтения // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2003. - Т. 43, № 11. - С. 1666-1676.

49. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А. Н. Борисов и др.. М. : Радио и связь, 1989. - 302 с.

50. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации / С. А. Орловский. М. : Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1981. — 208 с.

51. Оценка и анализ рисков / И. В. Орлова, А. И. Пилипенко, В. А. Половников, В. А. Кошлякова. М. : Финстатинформ, 2002. - 64 с.

52. Паклин Н. Нечеткая логика математические основы / Н. Паклин. — URL: http://www.basegroup.ru/fuzzylogic/math.htm (дата обращения: 10.05.2009).

53. Райфа Г. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности : пер. с англ. / Г. Райфа ; под ред. С. В. Емельянова. — М.: Наука, 1977.-406 с.

54. Ракитянская А. Б. Генетический алгоритм диагностики на основе нечетких отношений / А. Б. Ракитянская // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. - № 5. - С. 121-126.

55. Растригин JI. А. Статистические методы поиска / JI. А. Растригин. — М.: Наука, 1968.-376 с.

56. Роберте Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам : пер. с англ. / Ф. С. Роберте ; под ред. А. И. Теймана. М. : Наука, 1986. - 496 с.

57. Ротштейн А. П. Нечеткий многокритериальный анализ вариантов с применением парных сравнений / А. П. Ротштейн // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2001. № 3. - С. 150-154.

58. Ротштейн А. П. Нечеткий многокритериальный выбор альтернатив: метод наихудшего случая / А. П. Ротштейн // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. - № 3. - С. 51-55

59. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы : пер. с пол. / Д. Рутковская, М. Пилиньский, JI. Рутковский. — М. : Горячая линия Телеком, 2006. - 383 с.

60. Рыжов А. П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А. П. Рыжов. М. : Диалог-МГУ, 1998. - 116 с.

61. Сю Д. Современная теория автоматического управления и ее применение : пер. с англ. / Д. Сю, А. Мейер ; под ред. Ю. И. Топчеева. — М. : Машиностроение, 1972. 552 с.

62. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем / А. А. Фельдбаум. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Наука, 1966. 623 с.

63. Финансовая математика. Математическое моделирование финансовых операций / под ред. В. А. Половникова, А. И. Пилипенко. — М. : Вуз. учеб., 2004. 358 с.

64. Хьюбер П. Робастность в статистике : пер. с англ. / П. Хьюбер ; под ред. И. Г. Журбенко. М. : Мир, 1984. - 303 с.

65. Цыпкин Я. 3. Адаптивные методы выбора решений в условиях неопределенности / Я. 3. Цыпкин // Автоматика и телемеханика. 1976. — №4.-С. 78-91.

66. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации и принятия решений / И. Г. Черноруцкий. СПб.: Лань, 2001.-384 с.

67. Щитов И. Н. Введение в методы оптимизации / И. Н. Щитов. — М. : Высш. шк., 2008. 204 с.

68. Юдин Д. Б. Задачи и методы стохастического программирования / Д. Б. Юдин. -М. : Сов. радио, 1979. 391 с.

69. Ярушкина Н. Г. Основы теории нечетких и гибридных систем / Н. Г. Ярушкина. М. : Финансы и статистика, 2004. - 320 с.

70. Яхъяева Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети / Г. Э. Яхъяева. — М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2008. 320 с.

71. Яхъяева Г. Э. Основы теории нечетких множеств / Г. Э. Яхъяева // Интернет-университет информационных технологий. — http://\vww.intuit.ru/department/ds/fuzzysets/ (дата обращения: 07.12.2009).

72. Bertoluzza С. On a new class of distances between fuzzy numbers / C. Bertoluzza, N. Corral, A. Salas // Mathware & Soft Computing. 1995. - № 2.-P. 71-84.

73. Bonissone P. P. Editorial: reasoning with uncertainty in expert systems / P. P. Bonissone, R. M. Tong // International Journal of Man-Machine Studies. -1985. Vol. 22, № 3. - P. 241-250.

74. Bouchon-Meunier B. On the formulation of optimization under elastic constraints (with control in mind) / B. Bouchon-Meunier, V. Kreinovich, A. Lokshin, H. T. Nguyen // Fuzzy Sets and Systems. 1996. - Vol. 81, №. 1. -P. 5-29.

75. Brdys M. Optimal structures for steady-state adaptive optimizing control of large-scale industrial processes / M. Brdys, P. D. Roberts. // International Journal of Systems Science. 1986. - T. 17, № 10. - P. 1449-1474.

76. Cano A. A Genetic algorithm to approximate convex sets of probabilities / A. Cano, S. Moral // Proceedings of IPMU-96 : Conference. Vol. 2. - P. 859864. — (ftpV/decsai.ugr.es/pub/utai/other/acu/genetic.ps.Z ) (дата • обращения: 24.07.2009).

77. Carlsson С. Multiobjective linguistic optimization / C. Carlsson, R. Fuller // Fuzzy Sets and Systems. 2000. - Vol. 115, № 1. - P. 5-10.

78. Carlsson C. Multiple Criteria Decision Making : The Case for Interdependence / C. Carlsson, R. Fuller // Computers & Operations Research. -1995. -№ 22, № 3. P. 251-260.

79. Carlsson C. On interdependent biobjective decision problems / C. Carlsson, R. Fuller // Proceedings of the Seventh European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT'99). Aachen, 1999.

80. Chen S. J. Fuzzy multiple attribute decision making : methods and applications / S. J. Chen, C. L. Hwang. N.Y. ; Berlin : Springer-Verlag, 1992. - 540 p.

81. Detyniecki M. Ranking fuzzy numbers using a-weighted valuations / M. Detyniecki, R. Yager // International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems. 2001. - Vol. 8 (5). - P. 573-592.

82. Dubois D. Fuzzy sets and systems : theory and applications / D. Dubois, H. Prade. N.Y : Acad. Press, 1980. - 394 p.

83. Dubois D. Linear programming with fuzzy data / D. Dubois // Analysis of Fuzzy Information / J. C. Bezdek (ed.). Boca Raton : CRC Press, 1987. - Vol. 3 : Applications in Engineering and Science. - P. 241-263.

84. Dubois D. Systems of linear fuzzy constraints / D. Dubois, H. Prade // Fuzzy Sets and Systems. 1980. - Vol. 3, № 1. - P. 37-48.

85. Holland J. H. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with application to biology, control, and artificial intelligence / J. H. Holland. 2nd ed. - Cambridge ; Boston : MIT Press, 1992. - 210 p.

86. Inuiguchi M. Relative modalities and their use in possibilistic linear programming / M. Inuiguchi, H. Ichihashi // Fuzzy Sets and Systems. 1990. -Vol. 35, № 3.-P. 303-323.

87. Kickert W. Application of fuzzy controller in a warm water plant / W. Kickert, H. V. N. Lemke // Automatica. 1976. - Vol. 12, № 4. - P. 301308.

88. Kim D.S. Some properties of a new metric on the space of fuzzy numbers I D.S. Kim, Y.K. Kim // Fuzzy Sets and Systems. 2004. - Vol. 145, № 3. - P. 395—410.

89. Klir G. Fuzzy sets and fuzzy logic : theory and applications / G. Klir,

90. B. Yuan. N. Y : Prentice Hall: Upper Saddle River, 1995. - 574 p.

91. Kosko B. Fuzzy Systems as Universal Approximators / B. Kosko // IEEE Transactions on Computers. 1994. - Vol. 43, № 11. - P. 1329-1333.

92. Mamdani E. H. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic systems / E. H. Mamdani // IEEE Transactions on Computing. 1977. -Vol. 26.-P. 1182-1191.

93. Negoita С. V. On considering imprecision in dynamic linear programming /

94. C. V. Negoita, S. Minoiu, E. Stan // Economic computation and economic cybernetics studies research. — 1976. — Vol. 3. P. 83-95.

95. Nguyen H. T. Multi-criteria optimization : An important foundation of fuzzy system design / H. T. Nguyen, V. Kreinovich // Fuzzy systems design : social and engineering applications. N. Y : Phisica-Verl., 1998. - P. 24-35.

96. Orlovsky S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation / S. A. Orlovsky //Fuzzy Sets and Systems. 1978. - Vol. 1, № 3. - P. 155-167.

97. Orlovsky S. A. Multiobjective programming problems with fuzzy parameters / S. A. Orlovsky // Control Cybernet. 1984. - Vol. 13. - P. 175183.

98. Ramik J. Inequality relation between fuzzy numbers and its use in fuzzy optimization / J. Ramik, J. Imanek // Fuzzy Sets and Systems. 1985. - Vol. 16, №2.-P. 123-138.

99. Ruan P. Fuzzy implication operators and generalized fuzzy method of cases / P. Ruan, E. E. Kerre // Fuzzy Sets and Systems. 1993. - Vol. 54, № 1. - P. 23-37.139v

100. Tanaka H. Fuzzy linear programming problems with fuzzy numbers / H. Tanaka, K. Asai // Fuzzy Sets and Systems. 1984. - Vol. 13, № 1. - P. 110.i

101. Tanaka H. On fuzzy mathematical programming / H. Tanaka, T. Okuda, K. Asai // International Journal of Cybernetics. 1974. - Vol. 3, № 4. - P. 3746.

102. Xu R. Multidimensional least-squares fitting with a fuzzy model / R. Xu, C. Li // Fuzzy Sets and Systems. 2001. - Vol. 119, №. 2. - P. 215-223.

103. Yager R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicriteria decision making / R. R. Yager // IEEE Trans. Systems Man and Cybern.- 1988.-Vol. 18,№ l.-P. 183-190.

104. Zadeh L. A. Fuzzy Sets / L. A. Zadeh // Information and Control. 1965. -Vol. 8, №3.-P. 338-353.

105. Zimmermann H.J. Description and optimization of fuzzy systems / H. J. Zimmermann // International Journal of General Systems. 1976. - Vol. 2. -P. 209-215.

106. Zimmermann H.J. Fuzzy programming and linear programming with several objective functions / H. J. Zimmermann // Fuzzy Sets and Systems. — 1978.-Vol. 1,№ l.-P. 45-55.

107. Zimmermann H. J. Fuzzy set theory and its applications / H. J. Zimmermann. Boston : Kluwer Academic Publishers, 1997. - 429 p.