автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Методы улучшения управления, основанные на принципе расширения и их приложение к исследованию эколого-экономических и технических систем

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ К Ой ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

I т да

На правах рукописи

УРБАНОВИЧ Дмитрий Евгеньевич

методы улучшения управления, основанные на принципе расширения и их приложение к исследованию эколого-экономических и технических систем

05.13.10 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации яа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск 1994

Работа выполнена в лаборатории системного анализа Иркутского вычислительного центра. СО РАН.

Научный руководитель _ кандидат физико-математических наук,

с.н.с., В.А.Батурин.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.И.Тятюппшн , кандидат физико-математических наук, доцент Г.В.Сидоренко

Ведущая организация - Институт программных систем РАН,

г. Переел авль-Залесский

Защита диссертации состоится ¿¿¿^^ 1994 г. в

часов на заседании Совета Д063.32.04 но гатите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Иркутском государственном университете но адресу: 664003, Иркутск, бул. Гагарина, 20, 1-й корпус ИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского то* сударственного университета (бул. Гагарина, 24),

Автореферат разослан "Ж? ■ _ 1984 г.

Ученый секретарь Совета к.ф-и.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

В настоящее время математические методы, в частности, теория оптимального управления, нахспит все более широкое, применение при исследовании я разработке систем управления. Однако теоретические разработки в какой-то мере опередили разлитие практических приложений н поэтому создание иоанх эффективных алгоритмов управления остается актуальной проблемой.

На текущий момент наиболее разработаны методы улучшения управления первого порядка ( см., например, обзор Р.П.Федоренко1 ) и методы , основанные на использовании принципа максимума И.С.Понтрягнна.

Вопрос о использовании достаточных условий оптимальности для [гостроения на их основе методов улучшения второго порядка рассматривался В.Ф.Кротовым? В.И.Гурмапом, В.А.Батуриным? Ими были тредложены методы с использованием достаточных условий сильного и слабого локального минимума, позволяющие получать решение »адачл оптимального управления в виде локально-оптимального синтеза. Вместе с тем для этих методов отсутствовало доказательство сходимости и они не были реализованы на ЭВМ.

Достаточно часто встречаются на практике задачи, в которых >граничения на управления имеют параллелепипеиный вид. Простой 1ид ограничений естесствеино приводит к желанию разработать ме-год, напрямую учитывающий их. Используемые обычно методы типа условного градиента обладают всеми недостатками, присущими ме-годам первого порядка ( медленная сходимость, попадания в овраг н г.н.). Методы, использующие принцип максимума требуют решения

'Р.П.Фвдорсаго. Пркбляиеяяое решение мм о*т*м*дшого уярияахя«. - М.: Пнут, ®Г8.

'В.Ф.Крогов, В.Н.Гурии). Методы я млм< оатаиипигого упраляеки». - М.! Ниуж»,

втэ.

8П,Й.Гурм»я, В.А,Б»ту1'Ч«, Я.В.Ркяка. Пр«€аях«тмв мбгодк оитжммниого у*р«яо-ш. -Нр*ттсж: Иад-*о Нргтг. де-та, 1983

вспомогательной задачи максимизации функции II (зачастую нел! нешюй), что представляет собой непростую задачу. Таким обр ало требование разработать метод улучшения второго порядка, ориент] ровашюго на более простое решение этой проблемы представляет« актуальным. Цель работы

Целью работы является исследование алгоритмов первого второго порядков, построение модифицированных схем у^учтсии управления, основанных на достаточных условиях оптимальное? В.Ф.Кротова, исследование вопроса о сходимости методов, их пр< гр&ммная реализация и использование для решения прикладных з; дач.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми. Среди них: 1 теоремы о сходимости; 2). модификации методов сильного и слабог улучшения; 3). решение практических задач. Практическая ценность

Разработанные методы улучшения управления реализованы л ПЭВМ л рамках комплекса алгоритмов и программ. Работоспосо£ лость алгоритмов и комплекса программ продемонстрирована и практических задачах управления посадкой вертолета на режим авторотации несущего винта, управления популяцией промысловы животных, на модели бноресурсов второго уровня комплекса моделе "Регион". Разработанный комплекс программ внедрен в В НТК нь Камова и др. Апробация работы

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [1-8 По материалам диссертации были сделаны доклады на Четверто конференции молодых у 1еных ИГУ (Иркутск,1986),Всесоюзном сем* паре "Адаптация и оптимизация систем на основе принципа ышиш: зацнн обобщенной работы" (Чолпон-ата,1990), V Всесоюзной школ "Проблемы управления" (Алушта,1991), Международной коиферег шш Methods and software for automatic control systems (Иркутск,1991' 4-ой школы "Математические проблемы экологии" (Душанбе,1991]

ервой Всесибирской конференции "Математические проблемы эко-]гии" (Новосибирск,1992), IX Сибирской школе-семинаре "Методы ¡тиынэацнн и их приложения" (Махсимиха,1992), семинарах кафе-Теории систем ИГУ и семинарах лаборатории системного ана-1за ИрВЦ СО РАН. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и щека литературы из ВО наименований. Работа изложена на fOty границах машинописного текста

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во впадении обосновывается актуальность гоми и дается краткое »ложенне содержания диссертации.

Первая глава содержит постановку задачи, обзор приближенных зтодов решения задач оптимального управления, основанных на не-¡ходимых и достаточных условиях оптимальности.

Рассматривается управляемая система обыкновенных дифферен-«альных уравнений

§ = и) (1)

te i 6 Г = [<о> <i] - отрезок числовой оси, u(t) - кусочно- непрерывная :ктор- функция, принимающая значения в пространстве Rm,x(t) -¡прерывная и кусочно- гладкая вектор- функция, принимающая эна-;ния в пространстве Я",/0,я,и) - определенная всюду п - мерцал ¡ктор- функция n+m+1 переменных. Здесь и далее t будем называть weucu или моментом времегч, х - состоянием или фазовым век->роы, и - управлением или управляющим вектором. На управление состояние наложены ограничения

u(i) е ii(t) (2)

'(h) = *о, «(<) € А'(<), *(<,) € А', (3)

бозначим через z пару функций (x(i), u(f)) — Под множеством ¡нустимых D будем понимать множество элементов г, удовлетворя-пшх дифференциальной связи (1) и ограничениям (2) - (3). Пред-шожим, что I) непусто.

Определи»! функционал

Г J\t,x,u)dt + F(z(t!))

«»»о

где /°(<,г,«), F(x(ij)) - определенные всюду скалярные функции, соответственно, n + mll и п ■ Переменных.

Рассматривается задача о поиске минимизирующей последовательности {г,} функционала I на множестве D:

I(z.) MI = Г

Сформулированную задачу называют задачей оптимального управления. Если существует пара (x*(i),u*{t)), такая что /(ac*(<),u*(<)) — Г , то u'(t) - называют оптимальным управлением, а £*(<) - оптимальной траекторией.

Введем в рассмотрение скалярную функцию <p(t,z), непрерывную всюду н имеющую непрерывные частные производные при всех t за исключением, быть может, конечного числа плоскостей t ~ const в пространстве Яя+Х переменных (1,ж) . Введем в рассмотрение вспомогательные функции

R(t,x,u) = <p',(t,z)/(M,u) - f(t,x,u) + <pt(t,x) G(x(h)) = V{h>x(h)) ~ Vih.sita)) 4- F(*(*i)) L(x,u) = GizM) - R(t,x,u)dt

Далее приводится достаточные условия оптимальности В.Ф.Кратова.

В четвертом параграфе обсуждаются методы, основанные на принципе максимума Л.С.Понтрягнна.

Вторая глава посвящена выводу новых методов улучшения н исследованию ИХ СХОДИМОСТИ.

Предположим, что' X (i) = R*,Xi - R* . Пусть xk{t),uk{t) - текущее приближение. Вывод методой улучшения основан на исследовании вспомогательного функционала

= L(x, н) + ^ hAx'Ebxdt +

&

где Е - единичная матрица, Дг — г(Çi«Ci) " неотрицательные параметры.

Определим ut+1(f, ж) по следующей формула

txt, 4 f û(<,x,y(t,z)) = arg пахff(t,e,v,<p(t,x)), t£Tt u*+l(i.x)= , cet/(')

. u*(0, «eryi

W

Здесь T -- [l0,ii],T, С Г, множество меры с (с- параметр метода). Дат нее приращение функций G и Л разлагается в ряд Тейлора до членов первого или второго порядков, а функция ip задается линейной пли пипейно-квадратичной по х. При линейной v> получается следующая вспомогательная система для метода первого порядка:

V> = -7<ff, "ter»,

rj> = —Я», * 6 Т\Г„ (5)

Wi) = -F,(Ah)),

и аналогичная система для метода второго порядка:

(9)

& = -П„- сгП^г - Hrt<r, при t € Г\Г„ $ = - Яр),

ст = - аПр!! - ft^rr - tri^pO- + (iEt при t G T,

с граничными условиями

Здесь H(i,x,j>) = sup B(t,s,u,p),p = <px и ff(t,x, u,^) считаются в тачках в (t,xk,il>) и (<,ab,uA,V>).

В результате алгоритм метода улучшения содержит следующие основные этапы.

1. Пусть сделано fc итераций метода, следовательно имеется uk(t). Подставив его в уравнение (1) ( исходную систему дифференциальных уравнений), получим «*(<)•

Г

2. Множество Т„ полагается рапным множен гяу Т ( всему отрезку времени).

3. Интегрируется вспомогательная система дифференциальных уравнений (5) ( 1Ш1 (С)).

4. Интегрируется исходная система (1) при и определяемом по формуле (4), тем самым находится ик+1(1) и яА41(*).

5. Бели 7(и*+1,ж*+1) > 1(ик,хк), то множество Т, умен лпается, переход к п.З, иначе переход на новую итерацию.

Приращение функционала можно записать в виде А£ = - / +Сс2

/Тф

Определим

/»*- Л ЛыЯ(<,хк,«,ДОЛ.

■"о

Если отрезок варьирования удовлетворяет условию (см. например работы О.В.Васнльева4 )

(7)

то доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Пусть вектор- функция /(1, г,и), функция /°(<,«,и) непрерывны и липшицевы по «, функции 7ф,х,гр), Р(х), Я(/, ¡с, и, ДО непрерывно- дифференцируема по х , а их первые производные удовлетворяют условию Липшица по х, множество 1/(1) ограничено я функционал I ограничен снизу.

Тогда последовательность {и*} генерируемая данным алгоритмом стремится к ъыполнеиик принципа максимума в смысле

Лт 1лк = 11т Лд„Т(<,*\и\ДОЛ = 0.

к~>со к—оо '«о

*О.В.В*скхм1, А.Н.Тжтовикж. Обоояом метоле реше«*« иди оитиммыюго домищи, ооюашсж и яркхяшш мыехкуш.. • Жда. ыгпса. ттимат*«« ■ тт. (ашп. • И «. - 1М1. - С.Ш1Н184.

Обозначим А//,Лр - максимальное собственное число матриц Т^н — соответственно.

Для метода второго порядка ( при использовании такой же схемы выбора множества варьирования) получено утверждение

Теорема 2. Пусть вектор- функция и) непрерывна и лкп-

ганцева по и , функция И дважды непрерывно- дифференцируема по ж н по р , функции F и II дважды непрерывно- дифференцируема по х и вторые производные этих функций липшицевы по ¡в , функционал ограничен снизу и Ау, А/- либо отрицательны, либо \ц —* С1 < 0,Аг —♦ сг < 0 при к оо .

Тогда последовательность {и*} генерируемая данным алгоритмом

1. стремится к выполнению принципа максимума в смысле

Пт д* = О

к-> со

2. Предельное уравнение Риккати имеет решение на (<о, <1]-

Заметим, что если и*(() -♦■ и*(1) и **(<)» то ПРИ вы~

полнении условий принципа максимума система (в) разделяется и уравнение для а становится дифференциально матричным уравнением Риккати, существование решения которого обеспечивает сильный локальный минимум.

Отдельно рассмотрим случай когда множество V представляет собой параллелепипед, т.е.

!/(<) « {« : «„,-,(*) < « < »„**(*)}. (8)

где ит»»(<)» вектор-функции размерности т. Для вывода ме-

тода улучшения рассмотрим приращение функционала £( на двух соседних итерациях. Здесь функционал будет иметь вид

ЬЛх,и) = Цх,и)+\ Г Г

2 -"о й "а &

Функция <р(М) задается в линейно-квадратичном виде. Приращение функций в и Я разлагается в ряд Тейлора до членов второго порядка

U в результате алгоритм метода улучшения содержит следующие процедуры

1. Пусть сделана к итераций метода и имеется u^i),«1^) и о3^). Интегрируется исходная система дифференциальных уравнений (1), получается

. 2. Интегрируется вспомогательная система

ф = (а1 -а>- Я»)'(Яи» - бЬГЧЯги + «Щфи)', а = -Htt - — НХф<г+

+(Я*tt + аЛфи)(Нии - 6Я)~1(Я„ + аВфиУ + ЬЕ, , .

дифференциальных уравнений. Здесь производные функции ¿/считаются в точке

3. Интегрируется система (1) замкнутая синтезом ufe(i) + Ди(1, Да), где ñv(t,Ax) - есть решение задачи квадратичного программирования

(Я» + (Я„ + стЯ^УДгУДи + iДи'(Яиа - 6Е)Ди mas (10)

При ограничениях (8). Одновременно вычисляются а1 и о3 но формулам

Щпйя — < Щгыж

+ (Я»» + (гЯ^и)'Дг + (Яои - íiЕ)Ди, и, = uim4x

2 _ / 0, и,™» < И» < ¡Чтлх

? -ЯИ - (Я1Ц - оЕ^'Ьх - (Я„и - 6 Я) Ди, и,- = и,„и.

Тем самый получаютс? х4+1(0 « """'СО = »*(*)+Д«(*.*4+|(')-**(«))' (На первой итерации о'(<) и а3(1) полагаются равными нулю).

4. Если Да4,и*)> 1{хш ,ик+х), то переход иа новую итерацию.

5. Иначе параметры (1,616 увеличиваются, переход к п.2.

Здесь приращение функционала £{ будет иметь вид Д£{= /,,(а,-а2-Яь)'(Яии-6Е)"1(а1-"2-Ни)+о(<,| Ах |а)Л+о(1 Ахх13)

•"о

Основываась на этой формуле и свойствах решения задачи квадратичного программирования доказывается релаксационность алгоритма.

Затем предлагается модификация метода. Вспомогательная система дифференциальных уравнений примет вид

Ф =

а = -//« - - НхфО- -(- &В, = ~Ря(хк(Н))у

а(и) = -/■„(»'(«О) -

Алгоритм данного метода будет совпадать с алгоритмом, описанным выше, только вместо ¡вспомогательной системы (9) будет использоваться вспомогательная система (11) и отпадет необходимость вычислять параметры с*1 и а2 . В отличие от , методов предложенных В.Ф.Кротовым* и Ь.Б.Вельтюковым^, также использующих систему вида (11), предлагаемый метод требует решения хорошо изученной задачи квадратичного программирования при не сложных ограничениях, что проще, чем вспомогательные процедуры упомянутых алгоритмов.

В третьей главе содержится описание комплекса программ, реализующего описанные выше алгоритмы.

Комплекс программ предназначен для решения задач оптимального управления разработанными методами улучшения и их

*Кротов В.Ф.,Фельдии И.11. Итсрыионхий метод решены х«дм оптвмиьмого у Ер»-ваеии. -Тех». »»йсриетмк.ШЗ.К 2,с. 160-Ш.

'иедьтююв 111). Одн& ишифякш«! исгод» второго сори»» решена« мд&ч оятпимь-лого улр&ьдея*«//Попроси устоИчилогт* я опт*и«5№и» дмиичесых сясми.-йрхутсз: Иш-во Иргу т. у«-т», ШЗ,с.ЗМЗ.

иодифшшишыи. Комплекс нрогавд ориентировал на использование ПЭВМ серии 1ВМ РС. Он ииеет модульную структуру я организован к виде библиотеки стандартных ваднрограим.

Краткая характеристика.

Тип ЭВМ - 1ВМ РС АТ. О&ьеи комплекса - 260 К.

Требуемый объем оперативной памяти - 260 К + необходимая

намять для описания задачи.

Устройствс ввода - терминал.

Устройство вывода - терминал , принтер.

Язык программирования - ФОРТРАН, С .

. Функциональное наполнение - методы первого и второго порядков , методы улучшения дли задач с ограничениями параллелепипеднош тина .

Комплекс программ хранится на внешнем запоминающем устройстве в виде библиотеки загрузочных модулей, которая включает в себя две головные программы, управляющие работой алгоритмов в Подпрограммы, используемые для вспомогательных целей ( как, например, ввод начальных данных, решения задачи одномерного поиска, печати результатов и т.п.), а также монитор, управляющий работой комплекса, обеспечивающий интерфейс с пользователем и др. Общая схема приведена на Рис. 1.

Далее описываются правила работы с комплексом, его основные компоненты и результаты решения тестовых примеров с выводами и рекомендациями для дальнейшего использования методов.

В четвертой главе описаны математические модели, поставлены задачи оптимального управления и приведены нх решения с использованием разработанных методов.

1. Задача оптимального управления динамикой биологических ре-' сурсов в модели второго уровня Байкальского региона.

Рассматривается модель, входящая в систему эколого- экономиче-

Ряс. 1. Общи схема пмяшевся программ.

ских расчетов "Регион" . Эта система имеет многоуровневую структуру и содержит несколько концептуальных моделей. Модель верхнего уровня позволяет всесторонне рассмотреть взаимодействие отраслей производства и природных ресурсов на региональном уровне, вместе с тен, она содержит сравнительно небольшое число агрегированных показателей, поэтому для интерпретации полученных решений нужны более подробные модели - модели второго уровня.

Уравнения модели биоресурсов второго уровня имеют вид: ~ = Q(R — Я*) -Cv- FbL - Qd(Y - Y*) + Jz-w.

Здесь R' - вектор естественное состояние ресурса, v(t) - вектор выпусков продукции, по отраслям (входная информация, поступающая из модели верхнего уровня ), L(t) - численность населения, z(t) - вектор, отражающий интенсивность искусственного восстановления природных ресурсов (входная величина, поступающая из модели верхнего уровня), Y, Y* - вектора показателей состояния природной среды л ее естественного состояния (входная информация из модели верхнего уровня), Q - матрица самовосстановления и взаимного влияния показателей ресурса, С - матрица удельных затрат ресурсов на выпуск единицы продукции, FL - вектор удельных воздействий на ресурс со стороны населения, J - матрица, характеризующая искусственное восстановление ресурса, QB - матрица, учитывающая влияние показателей природной среды, описываемых моделью верхнего уровня, на показатели модели второго уровня, ш - вектор добычи бторесурсоа.

Решается задача о максимизации добычи: ,т *

/ = /„ таг,

•"> i-i

при ограничениях 0 < < с/1"*; Я""* < Я(<) где (jriae имеет смысл максимально возможной добычи (ограничения на "мощности" звер-промхозов), & Я"1*" - минимально допустимый запас биоресурсов. Решение получено за 2 - 4 итераций ( в зависимости от ограничений и района), нарушение ограничений не превышало 2%.

2). Задача оптимального управления динамикой численности промысловых животных с у петой лесопромышленного освоения.

Динамическая модель имеет семь фазовых переменных, и качестве которых выступают функции динамики численности следующих видов: соболь (¿^(О)» белка (хз(/))> рябчик(зз(1)), а также вектор численности копытных £<(1) (где хА = (я^з;}, ас^.з})) с компонентами, характеризующими численность лося, кабана, изюрбря и косули соответственно.

Типичное уравнение динамики численности животных имеет вид:

х,- = Ь(1,х)х{ -¿.(М)*. - и.' - -

где и ¿1 • функции рождаемости и смертности, щ — «,(<) - теми заг готовок промысловых хозяйств, и,- = и,(<) - темпы неконтролируемых заготовок, /¡(х) - функция влияния хищников.

Рассматривается задача максимизации суммарной добычи па заданном отрезке времени, т.е.

/Т 7

] -- I тах

м »«.1

при ограничениях 0 < и,(/) < и 0) < л,(Г). Здесь и?"* имеет

смысл максимально возможной добычи, с,- - закупочная цена. Решение было получено за 2 - 3 итерации ( в зависимости от метода).

3). Задача управления посадкой вертолета на режиме автороташш пс гуда та винта.

Модель движения вертолета в период посадки описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

тУ, = -Х,г ст($) - Г(у>а)8т(г*),

тЦ, = -X., вт(0) + Г(<РО)СЙЗ(Г') - С?1( Мь

Здесь V» и Vy - горизонтальная и вертикальная скорости вертолета; G\ - вес вертолета; h - высота полета; и - угловая скорость вращения несущею винта; J¡, - момент инерции несущего винта; M¡,

- крутящий момент; Х,г - сила сопротивления несущих элементов; Т

- тяга несущего винта; 6 - угол наклона траектории к горизонту; m

- масса вертолета; г* - угол наклона автомата перекоса.

В качестве управляющих переменных рассматриваются функции г* и <p¡¡ , на которые наложены ограннче"ня:

<рГ < ЫО < <РГ, С. < r'(i) < С«.

а также имеются ограничения на высоту полета и угол наклона автомата перекоса:

/ Л™. + 1.7 + L siii(r' - г) - h(t) < 0, при h(t) > h , , > \т-г*>0, при h{t)< Я, { '

НО > Am».

Заданы ограничения на момент посадки:

V,{ti)>V,k, h(h)^hk,

и функционал I = Ht(ti), который требуется минимизировать:

Рассматриваемая задача имеет сложную нелинейную структуру. Многие коэффициенты модели вычисляются с использованием интерполяционных таблиц или как решение неявных алгебраических уравнений. Время, затрачиваемое на решение одной задачи Коши для описанной системы составляет несколько минут процессорного времени ЭВМ. Более подробно модель описана в [1].

В заключении приведены основные выводы и выносимые на защиту результаты:

1. Разработай метод улучшения управления первого порядка, основанный на достаточных условиях оптимальности В.Ф.Кротова. Доказана его сходимость к выполнению условий принципа максимума Л.С.Понтрягина.

2. Разработал метод улучшения! управления «тоporo порядка. Доказана теорема о сходимости к условиям локального минимума.

3. Разработан метод улучшения управления втг poro порядка для задач с ограничениями на управление параллелепипедного типа. Доказана его релаксационность.

4. Для упрощенной с.хсмы этого метода доказана сходимость к стационарному решению.

5. Предложенные методы программно реализованы в рамках комплекса алгоритмов и программ для решения задач оптимального управления.

0. Методы улучшения и комплекс программ опробованы на решении тестовых примеров и применены к сложной нелинейной задаче оптимального управления посадкой вертолета на режиме авторотации несущего винта.

7. Разработаны модели динамики бноресурсов второго уровня в системе эколого-экономичсских моделей "Регион" и модель динамики промысловых животных Иркутской области. Для них сформулированы задачи оптимального управления и решены с использованием разработанных алгоритмов.

Публикации по теме диссертации:

1). В.И.Гурмаи, В.Л.Батурин, Л.Г.Бобрышсп, Г.Л.Колокольиикова, П.В.Расина, Д.Е.Урбанович. Настройка и калибровка методов улучшения //Методы улучшения в вычислительном эксперименте.- Новосибирск: Паука, 1988, с. 37-47.

2). Батурин В.Л., Урбанович Д.Е. Метод улучшения управления, использующий критерий обобщенной работы//Тезисы докладов всесоюзного семинара "Адаптация и оптимизация систем на основе принципа минимизации обобщенной работы".-Фрунзе, 1990. - с.10.

3). Baturin V.A.,Divakov A.O.,Urbanovich D.E. Elaboration experience and usage methods of control improvmenfc//Summaries of papers IMACS/IFAC International workshop "Methods and software for automatic control systems".- Irkutsk, 1991.-p.10-H.

4). Урбанович Д.Е. Оптимальное управление популяцией промысло-

вызс животных Иркутской области//Тезисы докладов 4-ой школы "Математические проблемы экологин".-Дутанбе,1991.-с.55.

5). Москаленко А.И.,Урбанович Д.Е.,Леонтьев Д.Ф. Модель динамики численности промысловых животных с учетом лесопромышленного освоения.- Иркутск: препринт.- 1992.-53 с.

6). Урбанович Д.Е. Модификация метода сильного улучшения второго порядка, использующая конечные вариации управления// Тезисы док адов IX Сибирской школы-семинара "Методы оптимизации и их прнложения".-Иркутск, 1992.- с.77.

7). Урбанович Д.Е. Использование конечных вариаций управления в методе сильного улучшения первого порядка//Асимптотическке методы в теории сисгем.-Иркутск: Изд-во ИрВЦ СО РАН, 1992, с.58-66.

8). Gurman V.I., Danilina E.V., Baturin V.A., Colokolnikova G.A., Urbanovich D.E. Mathematical modelling of nature economic processe8//The International Conference on Siberian Ecology. Book of abstacts.-Irkutsk: 1993, p.76-78.