автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа безопасности сложных технических систем

На правах рукописи

ГОРОПАШНАЯ Анастасия Визвуговна

МЕТОДЫ АНАЛИЗА БЕЗОПАСНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка

информации»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2009

003476451

Работа выполнена на кафедре Теории управления факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета (г. Санкт-Петербург).

Научный руководитель:

заслуженный работник высшей школы РФ, доктор физико-математических наук, профессор

Жабко Алексей Петрович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Братчиков Игорь Леонидович

Доктор физико-математических наук, старшин научный сотрудкргк Кулик Борис Александрович

Ведущая организация:

Центральный научно-исследовательский институт имени академика А.Н. Крылова

Защита состоится 30 сентября 2009г. в ¿г часов на заседании совета Д.212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, В.О., Университетская наб., 7/9, Менделеевский Центр.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru.

Автореферат разослан » ¿Ыу&'С'Т? 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук, профессор ? Курбатова Г.И

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. К «сложным техническим системам» относят технические системы, состоящие из большого числа составных элементов, соединенных между собой нетривиальными связями (самолеты, корабли, ракеты, ГЭС, АЭС и т.п.). Чем сложнее система, чем больше в ней элементов, чем сложнее связи, тем более трудным является процесс ее анализа и прогнозирования ее состояний, и тем большую потенциальную опасность она в себе таит. Автор по роду трудовой деятельности занимается вопросами обеспечения безопасности кораблей и судов ВМФ, поэтому, в качестве примеров сложных технических систем, в данной работе рассматриваются различные корабли ВМФ, которые, несомненно, являются потенциально-опасными объектами. Для решения задач безопасности в первую очередь необходимо провести системный анализ исследуемого объекта, в ходе которого ограничить объект исследования разумными пределами, четко определить его пространственные границы и дробление на элементы. В данной работе описывается системный подход к анализу технической безопасности системы и ее составных элементов, что не имеет отношения к методам и средствам защиты информации и обеспечению информационной безопасности различных объектов.

Поставленная задача сформулирована на стыке двух областей математики - алгебры логики и теории вероятностей, в рамках логико-вероятностной теории, которая является своеобразным мостом между данными областями математики. Простые структуры (последовательные, параллельные, древовидные) молено анализировать, используя аппарат теории вероятностей, а именно формулы полной вероятности. Однако решать задачи надежности, живучести и безопасности только с помощью формулы полной вероятности и вербального перебора множества гипотез оказалось практически невозможным. И дело не только в размерах системы. Сложные технические системы можно, конечно, свести к описанию через последовательные, параллельные или древовидные структуры, но лишь ценой их принудительного упрощения, что недопустимо при оценке безопасности таких объектов. Реальные системы, как правило, описываются функциями алгебры логики с повторными аргументами, что не дает возможности пользоваться известными методами теории вероятностей.

Близкой по постановке и смыслу задачей является задача расчета надежности систем. История возникновения, становления и развития теории надежности насчитывает уже более 40 лет, написаны сотни книг и десятки учебников. Успехи же в области теории безопасности несравненно скромнее и менее известны. Однако вопрос обеспечения безопасности кораблей ВМФ и входящего в его состав оружия является чрезвычайно важным и ему

должно уделяться большое внимание, а развитие теории безопасности должно шагать в ногу с развитием техники.

Основная проблема при оценке безопасности связана с получением объективных статистических данных о безотказности элементов, статистическая информация о которых принципиально не может быть достаточной для стандартной обработки (ввиду малого объема выборки). Для объектов морской военной техники такая статистическая информация зачастую либо вообще отсутствует, либо труднодоступна. В этом случае построить сценарий развития аварии и соответствующую ему функцию алгебры логики (ФАЛ) можно, однако оценить вероятность реализации негативного события и риск нельзя. В таком случае было бы полезно определить, какие события в аварии более весомы по сравнению с другими. Для этого можно воспользоваться такими характеристиками как вес, значимость, активность и вклад отдельного элемента. Для вычисления веса события не требуется знание вероятностей наступления входящих в сценарий событий. Анализируя и сравнивая различные веса, можно выделить перечень событий, на которые стоит обратить первостепенное внимание, и определить, с каким элементом технической системы (корабля) они связаны. Круг советских ученых во главе с доктором технических наук, профессором И.А.Рябининым исследовал и развивал указанные понятия для монотонных функций, описывающих надежность (живучесть, безопасность) системы. Для немонотонных ФАЛ проверка справедливости этих методов на данный момент не проводилась. Тем не менее, в науке существуют примеры, когда описывающая сценарий развития аварии логическая функция будет немонотонной, на что первым обратил внимание доктор технических наук, профессор А.С.Можаев.

В связи с этим, автору была поставлена задача - разработать методы вычисления характеристик важности элементов логических структур, описываемых немонотонными функциями алгебры логики. В качестве наиболее полного источника информации, касающейся таких понятий, как вес, значимость, активность, вклад элементов, автор использовал книгу И.А.Рябинина и Ю.М.Парфенова «Надежность, живучесть и безопасность корабельных электроэнергетических систем», изданная в BMA в 1997 году. И.А.Рябининым подтверждено, что в школе логико-вероятностных методов (ЛВМ) проблема оценки вышеприведенных показателей для немонотонных ФАЛ не решалась. j

Авторитетные в области алгебры логики специалисты С.В.Яблонский, О.Б.Лупанов, В.Б.Кудрявцев, Г.ПГаврилов, А.А.Сапоженко занимались вопросами дискретной математики, но не рассматривали понятия важности отдельных элементов логической функции, о чем свидетельствует анализ их работ с 1958 по 2005 год.

Цель работы. Разработка методов вычисления характеристик важности отдельных элементов логических структур, описываемых немонотонными функциями алгебры логики.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи использованы методы логико-вероятностного исчисления, алгебры логики, теории вероятностей, а также методы оценки безопасности и риска. На базе этих результатов разработано программное обеспечение для анализа безопасности технических систем.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что разработаны методы вычисления характеристик важности событий, возникающих при аварии, для любой логической функции, описывающей сценарий развитая аварии, как монотонной, так и немонотонной. Это такие характеристики как вес, значимость, вклад, активность. Для этого сформулированы и доказаны леммы, справедливые для любых логических функций. Эти леммы позволяют вычислить двойную и двукратную булеву разность, логическое произведение, логическую сумму, сложение двух булевых разностей по модулю два по разным аргументам. Пользуясь этими леммами, можно определить двойной, двукратный, совместный, суммарный и раздельный веса аргументов немонотонных ФАЛ.

Сформулированы и доказаны теоремы, справедливые для любых структур: о связи двукратного и совместного весов; о связи двойного и раздельного весов; о связи суммарного, раздельного и совместного весов. Сформулировано определение активности аргументов, имеющее смысл для любых логических функций, Сформулирована и доказана теорема о связи активности и относительного вклада для аргументов любой логической функции.

Как сказано выше, рассмотренная в диссертации задача в школе ЛВМ не решалась, а анализ работ специалистов в области алгебры логики позволяет сделать вывод о новизне полученных результатов.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что ее результаты могут быть! использованы для оценки безопасности кораблей ВМФ и судов обеспечения при их проектировании, строительстве, эксплуатации и утилизации, а также в любых других научных областях, где ставится вопрос оценки риска и безопасности. Данные результаты могут быть использованы и в теории надежности при понимании, что вместо сценариев аварии рассматривается система, надежность которой необходимо исследовать, а роль событий играют элементы системы, которые имеют два состояния (отказ, неотказ) и вероятность из реализации.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на:

1. V ¿Международной научной школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (МА БР-2005, СПб);

2. III Всероссийской научной конференции «Проектирование инженерных и научных приложений в среде MatLab» (СПб 2007);

3. Заседаниях кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета;

4. VII Международной научной школе «Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в Сложных Системах» (МА БР-2007, СПб).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Основные принципы системного анализа сложного технического объекта при оценке его безопасности и безопасности его составных элементов.

2. Новое понятие активности аргументов, которое имеет смысл для любых логических функций. Теорема о связи активности и относительного вклада для аргументов любой логический гЪунктши

3. Леммы, справедливые для любых логических функций, позволяющие вычислять двойную и двукратную булеву разность, логическое произведение, логическую сумму, сложение двух булевых разностей по модулю два по разным аргументам.

4. Теоремы, справедливые для любых структур, о связи: двукратного и совместного весов; двойного и раздельного весов; суммарного, раздельного и совместного весов.

5. Программа, реализующая ( приведенные методы вычисления характеристик важности событий.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ, в том числе две статьи в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 8 разделов, заключения, трех приложений и библиографического списка и содержит 109 страниц машинописного текста, в том числе 7 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определена актуальность постановки задач безопасности сложных технических систем и развития теории безопасности. Сформулированы основные положения, принятые в диссертации. Поставлена задача оценки безопасности кораблей ВМФ.

Первый раздел посвящен понятию «безопасность». Сформулированы основные принципы, на которые опирается система представлений в области безопасности: понятие опасности, его применимость ко всем объектам в мире. Сформулировано само понятие опасности - вероятность (угроза, ожидание) ущерба, бедствия, катастрофы. Определены два важнейших свойства опасности: измеримость в количественных характеристиках и

вероятностная природа понятия, т.е. среди характеристик опасности обязательно должны содержаться параметры, определяющие вероятность или частоту реализации ущерба.

Понятие безопасности является производным от понятия опасности и требует для своего определения представления о допустимом уровне опасности, который признается приемлемым. Технические системы, уровень опасности которых ниже допустимого, признаются безопасными. Таким образом, безопасность определяется как допустимая (приемлемая) опасность.

В качестве основного показателя безопасности системы используется понятие риска. В разделе сформулирована концепция приемлемого риска, как методологическая основа для установления показателей и критериев безопасности: величина риска 10"6 Угод представляет собой верхнюю границу риска от естественных (природных) катастроф. Для каждой системы предложения по показателям безопасности разрабатываются с учетом их задач, структурных особенностей и условий функционирования. Для кораблей, например, показателем безопасности может являться риск гибели корабля, экипажа, населения, и пр.

Фундаментальным понятием в теории безопасности является понятие аварийной ситуации (опасного «»стояния) системы и соответствующей логической функции опасности системы. В теории безопасности в каждом конкретном случае требуется дать аналитическое описание того опасного состояния системы, которое может привести к гибели людей или иному ущербу в больших масштабах (заранее оговариваемому как неприемлемому в данном случае). Молено выделить два подхода к анализу безопасности.

Первый подход характеризует анализ аварии «с конца в начало». После определения опасного состояния системы анализируются первопричины (события, сочетания нескольких событий), которые приводят систему в данное опасное состояние. В процессе анализа строится логическая схема, содержащая все возможные сценарии, приводящие к ущербу большого масштаба По логической схеме строится функция алгебры логики (ФАЛ), аргументами которой являются события, являющиеся исходными, т.е. присутствующие в сценарии.

С помощью второго подхода решается задача поиска путей прихода системы в опасное состояние при условии возникновения какого-либо инициирующего событии (ИС), выводящего систему из равновесия. Таким образом, он характеризует анализ аварии «с начала в конец». Для кораблей такими событиями могут быть пожар в помещении, короткое замыкание в электрической сети, поступление воды и т.д. Практика анализа безопасности сложных объектов показала, что удобнее прослеживать их реакцию на ИС, чем определять пути успешного развития событий, т.е. составляется сценарий развития аварии в системе. Далее, так же как и в первом подходе,

строится логическая функция, аргументами которой являются события, являющиеся исходными, т.е. присутствующие в сценарии.

После построения ФАЛ любым из подходов производится оценка вероятности ее реализации (вероятности того, что она примет значение, равное единице). Это самый сложный с математической точки зрения этап оценки риска В конце, подставляя в вероятностную функцию (ВФ) значения входящих в нее вероятностей, вычисляется вероятность возникновения конечного события. Полученный показатель сравнивается с допустимым уровнем риска, на основании чего делается вывод с! безопасности системы, о достаточности принятых мер обеспечения безопасности. Если полученный показатель выше допустимого уровня, система признается опасной, а меры неудовлетворительными, таким образом, выявляются те места, которые отвечают за высокий уровень риска.

Второй раздел посвящен развитию логико-вероятностной теории и ее использованию при исследовании ^''З о лп 1 ^ * сгтл^ииу гм^т*»** ллрттп.т разработанные на основе логико-вероятностной теории, четки, однозначны и обладают большими возможностями при анализе влияния любого элемента на безопасность всей системы, поэтому они наиболее привлекательны для практического использования. Логико-вероятностная теория является своеобразным мостом между алгеброй логики и теорией вероятностей. Она базируется на логическом представлении развития опасных состояний и математических методах вычисления истинности ФАЛ, представляющей сценарии развития аварии.

Из-за невозможности проведения полноценных натурных экспериментов, все возможные варианты развития аварийной ситуации проигрываются на математических моделях. Поскольку компьютерные технологии непрерывно развиваются, то этот путь оказывается весьма перспективным. Препятствием на пути решения этой задачи является представление о практической невозможности перебора всех ситуаций, которые могут привести систему в опасное состояние. Существуют меры преодоления этого:

- максимально конкретизировать и четко представлять суть опасного состояния;

- ограничить объект исследования разумными пределами: пространственные границы, дробление системы на элементы;

Также в разделе приведено представление множества монотонных и немонотонных логических функций.

Множество всех логических функций

Множество немонотонных функций

Рассмотрены два вида немонотонных ФАЛ, особенности рассмотрения немонотонных функций каждого типа и приведены два способа проверки функции на монотонность.

К первому типу относят ФАЛ, которые в наиболее краткой ДНФ (дизъюнктивно-нормальной форме, которую невозможно упростить) для любого номера аргумента 1 содержат только отрицание ¿-го аргумента, сам аргумент х[ в функцию не входит, т.е. функция представима в следующем виде ¡{^^-[у^^^^у^К^), где (у ь К- конъюнкции, содержащие х\, (у Кя) - конъюнкции, не содержащие х\.

Ко второму типу откосятся ФАЛ в ДНФ, в которые хотя бы для одного номера аргумента 1 входят как события х,, так и отрицания этих событий х', т.е. функция представима в следующем виде = где {ч]К]) - конъюнкции, содержащие

х,, (X Кь) - конъюнкции, содержащие х\, - конъюнкции, не

содержащие х, и х\.

Немонотонные логические функции первого типа можно привести к монотонным путем замены переменных. Пусть л,,/ = \,к - те аргументы, которые входят в ФАЛ с отрицанием, тогда производится замена следующего типа: для аргументов, входящих с отрицаниями г, = х],г ~\,к, для всех остальных аргументов, входящих без отрицаний = хр}Ф\ = \,к . Далее к

полученной ФАЛ можно применять аппарат, разработанный ранее И.А.Рябининым для монотонных функций. Следует только внимательно

отслеживать номера аргументов, которые заменяются как г, = х\,1 = \,к , поскольку вероятности новых переменных л,.,1 = \,к, вычисляются следующим образом: = Р(х,),1 = 1,к, в отличие от

Немонотонные логические функции второго типа, в отличие от функций первого типа, нельзя привести к монотонным путем какой-либо замены переменных, поскольку в функцию входят как события х,, так и х[, и

Множество монотонных функций

при любой замене невозможно избавиться от отрицания элемента. Таким образом, математический аппарат, разработанный для монотонных функций, не может быть применен. А для функций второго вида необходимо разрабатывать новые методы оценки важности входящих в них аргументов.

Также в разделе определены понятия «веса» и «значимости» событий, их смысл. Описано возникновение проблемы и обосновывается необходимость ее решения.

В третьем разделе сформулирована задача исследования.

В четвертом разделе приведены основные результаты исследования, касающиеся определения характеристики важности для одного события для немонотонной логической функции. Для удобства понимания полученных результатов в тексте раздела приведены основные определения, использующиеся в данном разделе.

Вес логической функции, состоящей из т элементов, есть

птнпг.итеп^няя лппп нябппгт тпрментгт ня к-птопых гЬинкттия пяштя 1 гпр.тта

■ ■ X • У X ^ * А » " Г - г 1

всех 2"' наборов возможных значений элементов.

Булева разность любой функции у(Хт) по аргументу xi есть результат сложения по модулю два функции у(Хт) и симметричной с ней функцией у^Х,,,) = >(*„...,*;,»..*„) •

Лемма 4.1.1: Монотонная логическая функция у(Хт) является импликантой ее единичной функции у[°(Хш) = у(х1,...>1,--,хт), а нулевая фунщия Уо\Хт) = есть имппиканта исходной функции

у{Хт), т.е., обозначив через [у{Хт)] множество наборов Хт, на которых у(Хт) = 1, получаем включение \^{ХК)] с [у(Хя)] с Ы°(^„,)] ■

Доказана несправедливость леммы 4.1.1 для немонотонных логических функций произвольного типа.

Сформулирована и доказана альтернативная лемма для немонотонных ФАЛ первого типа.

Лемма 4Л.2: Немонотонная логическая функция у(Хт) первого типа

является импликантой ее нулевой функции у^\ХП1)= у(х1,...,0,...,хю), а единичная функция у^{Хт)~ у(хх,...,1,.:,хт) есть импликанта исходной функции у(Хт), т.е., обозначив через [у{Хт)} множество наборов Хт, на которых у(Хт) = 1, получаем включение: [у1°(Х„,)] е[у(^„,)]с[у®(^,„)].

Вес аргумента х: в ФАЛ есть вес булевой разности монотонной логической функции по аргументу х1 gJt( = g(AX|y(Xm)).

Значимость аргумента xt есть частная производная от вероятности опасного функционирования всей системы Рс = Р{у{Хт) = 1) по вероятности опасности данного события Pi = Р(х( =1) £ = дРс \ дР,. Под записью Р(а) понимаем вероятность истинности а, т. е. Р(а = 1).

Теорема 4.1.1: Знакимостъ аргумента д-. в монотонной логической функции численно равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу х,: £ = y(XJ).

1

Для немонотонных функций произвольного типа данная теорема не выполняется, поскольку в ходе доказательства используется лемма 4.1.1, которая справедлива только для монотонных логических функций.

Сформулирована и доказана альтернативная теорема, справедливая для немонотонных ФАЛ первого типа.

Теорема 4.1.2: Значимость аргумента х, в немонотонной логической функции первого типа численно равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу xt со знаком минус: =-Р(Д у(Хт)).

Вкладом события в безопасность системы называется полная вероятность опасного функционирования системы, определяемая данным событием Д. = Pt ■ £ .

Относительный вклад v, = В, \РС.

Также в разделе разъяснен смысл определений значимости и вклада элементов для немонотонных функций. Приведено определение активности элементов немонотонных структур, которое имеет смысл, как для немонотонных, так и для монотонных функций алгебры логики: с, = (P((VjKj)\/(vlKl))\Pc, где {^jKj) - конъюнкции, которые содержат

х,; (vLKL) - конъюнкции, содержащие л;'; P((vJKJ)v(vLKL)~ 1) -

вероятность опасной работы системы, вычисленная по конъюнкциям, содержащих х и х\.

Сформулирована и доказана теорема о связи активности и относительного вклада для аргументов любых логических функций.

Теорема 4.2: Верно соотношение v,. < а,, где v, - относительный

вклад i-го аргумента, а а, - его активность.

В пятом разделе приведены основные результаты, касающиеся определения характеристики важности для двух аргументов немонотонных логических функций. Для удобства понимания полученных результатов в тексте раздела также приведены основные использующиеся определения.

Двукратная булева разность любой функции у{Хт) по аргументам ж,, и х} есть выражение ЬЬщу{Хя) = •

Двойная булева разность любой функции у(Хт) по аргументам х1 и х} есть результат сложения по модулю два исходной функции у{Хт) и симметричной с ней функции ух-х'(Х„,У=у(х1г.^1А/1,хЫг.,хя,х),хм,.,х1,у.

Лемма 5.1: Двукратная булева разность любой ФАЛ не зависит от порядка аргументов, по которым она вычисляется, т. е. АА^у(Хт) = ААх^у(Хт).

Лемма 5.2.1: Двойная нулевая функция по аргументам х, и х] является импликантой нулевой единичной (единичной нулевой) функции по

[/¡¿Л? игСс ОрсуМ6пшйЛ-1, КО'ГпОриЯ, о СаОЮ ОЧсрсдо, ЯбЛЯС/иСЯ 1иши\иКС*пТп01*

двойной единичной функции для всех монотонных ФАЛ, т. е. имеют место включения [У^Шо'Шу'о! V

Доказана несправедливость леммы 5.2.1 для немонотонных логических функций произвольного типа.

Сформулирована и доказана альтернативная лемма для немонотонных ФАЛ первого типа.

Лемма 5.2.2: Двойная единичная функция по аргументам х, и х^

является импликантой нулевой единичной (единичной нулевой) фунщии по тем же аргументам, которая, в свою очередь, является импликантой двойной нулевой функции для всех немонотонных ФАЛ первого типа, т. е.

верно, что \ ^Ш^ЫСу'Мдиу'^] •

Дальнейшие леммы и теоремы сформулированы и доказаны автором. Лемма 5.3: Двукратная булева разность любой ФАЛ по аргументам л,, и Xj может быть вычислена по формуле (здесь и в дальнейшем знаки конъюнкции опущены)

Мх<х.у(ХтНУпУ1оУо1Ут^(ЯМоУаУооУО1 ^¡оУтУоо) V(У1 ¡УюУмУоо) V •

уО^оУоУоо) у (УпУюУиЗ'оо)47 (УпУюУюУю) * (УиУ'мУыУоо)-

Лемма 5.4: Двойная булева разность любой ФАЛ по аргументам х. и х] может быть вычислена по формуле

= ч/х''х)1.У0047УпУоа)) V(0,4- ^уХЛоЛи ^УшУО,)) ■

Лемма 5.5; Для тобой ФАЛ логическое произведение булевых разностей от одной и той же функции по аргументам х, и xj может быть вычислено по формуле

VC-J &= ((х^ХУиУиУи vy'nywym)) v v (С^ЧОС^иУо^оо vУпУиУы)) V v УиУюУоо)) V

v ((х',х')(У1оУыУ'оо v^'oyoï^oo))-Лемма 5.6: Для любой ФАЛ логическую сумму булевых разностей от одной и той же функции по аргументам х, и Xj можно вычислить по

формуле àXiy(XJvAXjy(Xm) = xtyuy[^ x(y'uywv Xjyny'^ vxjy'nyn v

^■УаУооv х'Уо1Уооv ^>10Уооvх';У[оУоо ■

Лемма 5.7: Для любой ФАЛ результат сложения по модулю два булевых разностей от одной и той оке функции по аргументш{ х,. и Xj может быть определен по формуле

bXiy(Xm)®àXjy{Xm) = ((V7 ^ФШоУо, vj'.o/oi))v v ((x',xj v x/jXyny;0 v У^да)). Лемма 5.8: Для любой ФАЛ имеет место соотношение АД Vjy(XJ v (УпХо^оЛо)v (ХЛоИц-Ум) = v

v (А,,^; {Xm)àXjy{Xm)y {^y{Xm)àXjy.{Xm)) ^ух. (X„,)AXjy,{XJ). Двукратный вес элементов xi и х; в системе есть вес двукратной булевой разности логической функции по аргументам х, и х.

g2i,xj =р{АА*^У(Хт)}\Я1,о.5,ы^> гДе запись в, =0.5,1 = 1,m - означает, что

значение вероятностей ( Л,. ) событий xi ( 1 = 1, m ) равны 0,5.

Двойной вес элементов х. и Xj в системе есть вес двойной булевой разности логической ФАЛ по аргументам х, и х]

Совместный вес элементов х{ и Xj в системе есть вес логического произведения булевых разностей ФАЛ по аргументам х, и xj 8= Р{^,У(Х,„) л t\Xjy{Xm )} 5.

Суммарный вес элементов хг. и ху в системе есть вес логической суммы булевых разностей ФАЛ по аргументам х/ и х)

Раздельный вес элементов х. и х) в системе есть вес результата сложения по модулю два булевых разностей ФАЛ по аргументам х, и х}

8,.:, = Р{\У(*т) ©•

Теорема 5.1: Двукратный вес элементов хи х] в системе и совместный вес этих элементов связаны соотношением

4&г,«у +НЧУчУ[оУо1Уоо)^(УиУюУо1Ум))-

Теорема 5.2: Двойной вес элементов х. и х}- в системе численно равен раздельному весу этих элементов ^хх —¿^ф^*

Теорема 5.3: Суммарный вес элементов х1 и Ху в системе равен сумме раздельного и совместного весов этих элементов в системе

В разделе шесть рассмотрены методы перевода функции алгебры логики в вероятностную функцию: алгоритм ортогонализации, наращивания путей, рекуррентный алгоритм. Также проведен их сравнительный анализ.

Зависимость количества производимых операций от количества элементарных конъюнкций ФАЛ, представленной в ДНФ, приведена в следующей таблице:____

п Рек НП Орт ш Рек НП Орт

2п-1 Зп-2 2п-2* 2п-1 Зп-2 2п-2*

1 1 1 0 6 И 16 10

2 3 4 2 7 13 19 12

3 5 7 4 8 15 22 14

4 7 10 6 9 17 25 16

5 9 13 8 10 19 28 18

*дпя алгоритма ортогонализации приведено только количество предварительных вычислений, конечное число зависит от конкретной функции

Таким образом, рациональнее всего было бы использовать рекуррентный алгоритм, т.к. он требует наименьшее число вычислений. Это действительно так, если значения вероятностей возникновения исходных событий достаточно точны, тогда при их умножении не возникнет большой погрешности. В противном случае удобньм оказывается алгоритм наращивания путей, т.к. за счет использования условных вероятностей некоторые переменные заменяются единицей, а значит, при умножении не

влияют на результат. Лучше всего в случае, когда вероятности найдены приближенно, использовать алгоритм ортогонализации, т.к., во-первых, вероятность там вычисляется один раз в конце, во-вторых, вероятности складываются. Таким образом, суммарная погрешность меньше.

Для программной реализации удобнее всего в использовании, с учетом его достоинств и недостатков, оказывается рекуррентный алгоритм, являющийся приемлемым компромиссом между простотой в использовании и погрешностью результата.

В седьмом разделе приведено описание программы, реализующей приведенные методы вычисления характеристик важности событий.

В восьмом разделе приведен пример, иллюстрирующий использование полученных результатов.

В заключении сформулированы результаты работы и выводы.

Приложение 1 содержит список принятых сокращений.

Приложение 2 содержит основные определения и теоремы, приведенные в тексте.

Приложение 3 содержит приведенные в работе рисунки и таблицы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Показано, что все основные определения показателей важности аргументов монотонных ФАЛ, кроме понятия активности (веса, значимости, вклада двукратного, двойного, совместного, суммарного и раздельного весов, двукратной значимости), могут применяться и для оценки важности аргументов любых немонотонных логических функций.

Предложено новое определение активности, справедливое для любых функций алгебры логики.

Все результаты, полученные ранее для монотонных логических функций, были проанализированы с точки зрения их справедливости для немонотонных функций. В итоге:

- отдельные утверждения оказались справедливы и для немонотонных функций;

- отдельные утверждения оказались неверны для немонотонных функций произвольного типа, но справедливы для немонотонных логических функций первого типа;

- для каждого результата, не выполняющегося для немонотонных функций, автором разработан альтернативный вариант.

Предложенные леммы позволяют вычислять показатели важности аргументов способом, который, в отличие от вычисления напрямую по определению, значительно сокращает трудоемкость и время расчетов, как ручных, так и машинных. Это происходит за счет того, что при использовании лемм производится логическое умножение и логическое

сложение функций у'(0,У[х, которые значительно проще, чем исходная

функция, поскольку i-ый и j-ый аргументы заменены на константы 0 или 1. Кроме того, при использовании лемм не производится весьма трудоемкая операция сложения по mod2, что также значительно упрощает расчеты и уменьшает временные затраты.

Как сказано выше, в диссертации рассматривались немонотонные ФАЛ двух типов. Функции первого типа можно привести к монотонным путем замены переменных. Затем к полученной ФАЛ применять аппарат, разработанный ранее И.А.Рябининым для монотонных функций. Функции второго типа, в отличие от функций первого типа, нельзя привести к монотонным путем какой-либо замены переменных, значит нельзя воспользоваться математическим аппаратом для монотонных функций.

Предложенные в работе методы позволяют оценивать важность элементов ФАЛ для любых немонотонных функций. Кроме того, полученные теоремы и леммы оказались справедливы и для монотонных, т.е. вообще доя любы* ппгичр.г.киу функций (см. рис) Таким образом, предложенный в работе математический аппарат подтверждает ранее полученные результаты в области оценки характеристик важности аргументов монотонных логических функций и обобщает их на область немонотонных функций.

• Суммируя сказанное, можно утверждать, что предложенный аппарат можно использовать для любой ФАЛ, без проверки ее на монотонность, которая часто представляет собой также непростую задачу.

Таким образом, основным результатом работы является развитие логико-вероятностной теории в части анализа важности отдельных аргументов ФАЛ. Приведенные в работе результаты распространяют возможности ЛВМ оценки показателей важности на область рассмотрения немонотонных ФАЛ, описывающих безопасность системы.

Разработано программное приложение, позволяющее вычислять различные параметры важности аргументов для любых логических функций (монотонных и немонотонных).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. A.B. Горопашная, Г.А. Тюрин. О возможностях упрощения логико-вероятностных расчетов в задачах оценки безопасности структурно сложных систем.// «Modelling and analysis of safety and risk in complex systems». Proceedings of the Forth International Scientific School MA-SR-2005. Saint-Petersburg, June 28-July 1, 2005, C378-383.

2. A.B. Горопашная, Г.А. Тюрин. Анализ трудоемкости алгоритмов перевода функции алгебры логики в вероятностную функцию при оценке безопасности структурно сложных систем.// «Modelling and analysis of safety and risk in complex systems». Proceedings of the Forth International Scientific School MA-SR-2005. Saint-Petersburg, June 28-July 1, 2005, с 375-378.

3. A.B. Горопашная. Анализ безопасности эксплуатации гражданских судов и кораблей ВМФ.// Вопросы механики и процессов управления №24: Устойчивость и процессы управления. СПб: изд-во СПбГУ, 2006, с 3-14.

4. A.B. Горопашная. Адаптация логико-вероятностных методов оценки веса, значимости, вклада, ущерба и активности элементов для немонотонных логических функций.// Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: Труды международной научной школы МАБР-2007. (Санкт-Петербург, 4-8 сентября 2007). СПб ГУАП, 2007, 409-412.

5. A.B. Горопашная. Применение MATLAB для анализа безопасности и оценки риска сложных технических систем./002F Труды Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». СПб.: изд-во СПбГУ, 2007, С157-164.

6. A.B. Горопашная. Оценка важности аргументов немонотонных логических функций при логико-вероятностном анализе сложных технических систем.//Вестник СПбГУ, серия 10, выпуск 1, 2009, с 1932.

7. A.B. Горопашная. Логико-вероятностный анализ безопасности кораблей ВМФ при возникновении аварийных ситуаций.//Судостроение № 2, 2009, с32-34.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетрая. Гарнитура «Times». Уч.-изд. л. 1,0. Уч.-печ. л. 1,0. Подписано в печать 12,08.09. Тираж 100 экз.

ФГУП «ЦНИИ им. акад. А.Н.Крылова» Редакционно-издательский отдел 196158, Санкт-Петербург, Московское шоссе, 44

Введение

1 Основные принципы анализа безопасности сложных технических систем

1.1 Понятие безопасности

1.2 Понятие риска

1.2.1.Концепция приемлемого риска как методологическая основа для установления показателей и критериев безопасности

1.2.2.Предложения по показателям безопасности системы

1.3 Принцип анализа безопасности. Два подхода к анализу безопасности

2 Логико-вероятностная теория и ее использование при исследовании безопасности сложных систем

2.1 Общие положения

2.2 Понятие монотонности функции алгебры логики 25 2.2.1.Общие понятия 25 2.2.2.Два вида немонотонных логических функций 26 2.2.3.Особенности рассмотрения немонотонных функций первого типа 27 2.2.4.0собенности рассмотрения немонотонных функций второго типа

2.2.5.Проверка функции на монотонность

2.3 Понятие важности элементов функции алгебры логики. Возникновение проблемы

3 Постановка задачи

4 Характеристики важности для одного события немонотонной функции алгебры логики

4.1 Определения и теоремы

4.2 Смысл определений веса, значимости и вклада элементов для немонотонных функций

4.3 Активность элементов немонотонных структур

4.4 Основные результаты

5 Характеристики важности для двух событий немонотонной функции алгебры логики

5.1 Определения и теоремы

5.2 Основные результаты

6 Методы перевода функции алгебры логики в вероятностную функцию

6.1 Алгоритм ортогонализации

6.2 Рекуррентный алгоритм

6.3 Алгоритм наращивания путей

6.4 Сравнительный анализ алгоритмов

7 Описание программного приложения

7.1 Логический калькулятор

7.2 Определение вероятности опасного функционирования системы

7.3 Определение показателей важности для одного аргумента

7.4 Определение показателей важности для двух аргументов

7.5 Прочие возможности программы 81 7.5.1 .Изменение вводимых данных 81 7.5.2.Сохранение данных

8 Пример расчета различных параметров важности аргументов немонотонной функции алгебры логики

К «сложным техническим системам» относят технические системы, состоящие из огромного числа составных элементов, соединенных между собой нетривиальными связями (самолеты, корабли, ракеты, ГЭС, АЭС и т.п.).

Чем сложнее система, чем больше в ней элементов, чем сложнее связи, тем более сложным является процесс ее анализа и прогнозирования ее состояния, и тем большую потенциальную опасность она в тебе таит. Очевидно, что аварии с кораблями эпохи Петра I, не могут по опасности и последствиям сравниться с возможными авариями на кораблях начала XX века, которые, в свою очередь, значительно уступают в этом вопросе современным надводным кораблям (НК) и подводным лодкам (ПЛ). Пожар на парусной шхуне может привести лишь к гибели всей команды и корабля, потери груза. Аварии же с подводной лодкой могут привести к значительному загрязнению окружающей среды (корабль несет большое количество токсичных и радиоактивных веществ), гибели большого количества людей, разрушениям, что приведет к колоссальным убыткам для государства и может вызвать международный скандал.

Автор занимается вопросами обеспечения безопасности кораблей и судов ВМФ, поэтому, в качестве примеров сложных технических систем в данной работе рассматриваются различные корабли ВМФ, которые, несомненно, являются потенциально-опасными объектами. Вопрос обеспечения безопасности кораблей ВМФ и входящего в его состав оружия, как показывает жизнь, является чрезвычайно важным и ему должно уделяться большое внимание. Поэтому развитие такой науки, как безопасность должно шагать в ногу с развитием техники!

В развитии своей технологической базы общество движется в направлении достижения приемлемого равновесия между пользой и опасностью того или иного вида техники. Корабли ВМФ не являются исключением в этом ряду, и сама актуализация проблемы обеспечения безопасности кораблей является ярким свидетельством в подтверждение этого тезиса. Для рационального развития отрасли военно-морской техники требуется создание научно-обоснованных подходов к оценке безопасности кораблей.

Понятия «надежность» и «безопасность» используются в повседневной жизни довольно часто и встречаются в различных сферах человеческой жизни (надежная конструкция, надежный банк, надежный человек, безопасная конструкция, безопасный вклад, безопасное вещество). Однако, употребление этих понятий, в большинстве случаев, предполагает лишь качественную оценку опасности. Количественные показатели надежности и безопасности получили свое распространение в небольшом кругу отраслей человеческой деятельности: технике, экономике, медицине, экологии.

Поставленная автору задача сформулирована на стыке двух областей математики - алгебры логики и теории вероятностей, в рамках логико-вероятностной теории (см. раздел 2), которая является своеобразным мостиком между данными областями математики. Для перехода от функции алгебры логики (ФАЛ) к вероятностной функции (ВФ) требуется преобразование логической функции, которое обеспечивает применение к ней основных теорем теории вероятностей. Логико-вероятностную теорию следует отличать от известной вероятностной логики, предметом которой является оценка истинности гипотез (высказываний), заключенных в промежутке между ложью и истиной (0 < х < 1). Предметом логико-вероятностного исчисления (ЛВИ) или логики вероятностей является вычисление вероятности истинности случайных событий (высказываний), принимающих только два значения (0; 1) [31], [32], [35]. Простые структуры (последовательные, параллельные, древовидные) можно анализировать, используя аппарат теории вероятностей, а именно, формулу полной вероятности. Однако решать задачи надежности, живучести и безопасности только с помощью формулы полной вероятности и вербального перебора множества гипотез оказалось практически невозможным. И дело не только в размерах системы, сложные технические системы можно, конечно, свести к описанию через последовательные, параллельные или древовидные структуры, но лишь ценой их принудительного упрощения, что недопустимо при оценке безопасности таких объектов. Реальные системы, как правило, описываются ФАЛ с повторными аргументами, отрицаниями аргументов, что не дает возможности напрямую пользоваться известными методами теории вероятностей.

Близкой по постановке и смыслу задачей является задача расчета надежности систем, т.е. анализ способности системы сохранять свойства, необходимые для выполнения заданного назначения, при нормальной эксплуатации. В прикладной математике теория надежности - одно из ее направлений, в котором разрабатываются методы обеспечения эффективной работы систем. Одним из основных в теории надежности является понятие отказа - потери работоспособности. В этой теории вводятся количественные показатели надежности, разрабатываются рекомендации по обеспечению надежности на этапах проектирования, производства, хранения, эксплуатации и ремонта систем, изучаются процессы возникновения отказов, разрабатываются методы выявления предотказовых состояний. События, определяющие надежность изделий (моменты отказов, длительности ремонта и др.), в теории надежности рассматриваются как случайные, поэтому особое место при оценивании надежности систем занимают методы вероятностной и математической статистики [104]. История возникновения, становления и развития теории надежности насчитывает уже более 40 лет, написаны сотни книг и десятки учебников. Успехи же в области теории безопасности несравненно скромнее и менее известны. Несмотря на солидный возраст теории надежностной в ней остались «белые пятна», связанные с проблемой получения объективных статистических данных о безотказности элементов, статистическая информация о которых принципиально не может быть достаточной для стандартной обработки (ввиду малого объема выборки).

С математической точки зрения оценивание и надежности и безопасности может осуществляться с помощью идентичных математических аппаратов. Автор теории ЛВИ - И.А.Рябинин доктор технических наук, контр-адмирал, профессор ВМА им. Н.Г.Кузнецова. Он разработал методы оценивания важности элементов технической системы при оценивании ее надежности, которые наиболее полно изложены в [3] и [4]. Эти методы были разработаны для вычисления характеристик важности элементов монотонных логических функций (см. раздел 2.2), описывающих работоспособность (отказ) системы [1]-[6], Для немонотонных функций работоспособности системы (ФРС) проверка справедливости этих методов на данный момент не проводилась.

Все методы, разработанные И.А. Рябининым для оценки надежности, не сложно переформулировать в терминах теории безопасности [3]: вместо отказов элементов рассматриваются события, происходящие с системой, вместо одновременного отказа нескольких элементов, рассматривается одновременное возникновение нескольких событий, приводящее систему в опасное состояние. Однако вопрос о применимости их для немонотонных логических функций здесь также остается.

И.А. Рябинин подтвердил, что в школе ЛВИ для немонотонных ФАЛ указанные методы до настоящего времени не разрабатывались, поскольку немонотонные структуры не принимались в рассмотрение, и работа по изучению вклада отдельного элемента заведомо была направлена на изучение только монотонных систем. Первой работой, которая посвящена рассмотрению именно немонотонных функций следует считать работу ученика И.А.Рябинина А.С.Можаева, изданную в 1994г. [26]. По словам И.А.Рябинина А.С.Можаев единственный специалист в области ЛВИ, работающий с немонотонными ФАЛ.

Проверка ранее разработанных для монотонных ФАЛ методов или разработка для вычисления характеристик важности элементов немонотонных

ФАЛ новых методов необходимы, поскольку, как в теории надежности, так и в теории безопасности существуют примеры, когда ФРС и функция опасного функционирования системы (ФОС) являются немонотонными (см. раздел 2.2).

Авторитетные в области алгебры логики специалисты С.В.Яблонский, О.Б.Лупанов, В.Б.Кудрявцев, Г.П. Гаврилов, А.А.Сапоженко занимались вопросами дискретной математики и не рассматривали понятия важности отдельных элементов логической функции, о чем свидетельствует анализ их работ с 1958 по 2005 год [39] - [73]. В другой литературе по теме диссертации [74] - [99] с 1958 по 2005 год автор также не нашел отражения методов оценки характеристик важности элементов. Это позволяет сделать вывод, что рассмотренная в диссертации задача ранее не исследовалась, поэтому полученные результаты являются новыми.

Понятия «веса» и «значимости» [3], [4], равно как и предложенная тема работы, родились в области военной техники, поэтому, как уже говорилось, иллюстрация методов оценки безопасности в диссертационной работе будет проведена на сложных технических системах, в качестве которых рассматривались различные корабли ВМФ. Однако ниже приведенные рассуждения могут быть использовать в других научных и прикладных областях для оценки безопасности, надежности, живучести различных систем (социальных, экономических, биологических и пр.).

В данной работе описывается системный подход к анализу технической безопасности системы и ее составных элементов, что не имеет отношения к методам и средствам защиты информации и обеспечению информационной безопасности различных объектов.

Выводы

Предложенные леммы 5.3-5.8 позволяют вычислять такие показатели, как двукратный, двойной, совестный, суммарный и раздельный вес альтернативным способом, который в отличие от вычисления напрямую по определению значительно сокращает трудоемкость и, время расчетов, как ручных, так и машинных (см. раздел 7). Это происходит за счет того, что при использовании лемм происходит логическое умножение и логическое сложение функций У%0,Ум,Ую,Уп> которые значительно проще, чем исходная функция за счет того, что i-ый и j-ый аргументы заменены на константы 0 или 1. Кроме того, при вычислении с помощью формул не используется весьма трудоемкая операция сложения по mod2, что также значительно упрощает расчеты и уменьшает время работы, как инженера, так и программы.

Выведенные теоремы и леммы оказались справедливы как для немонотонных функций, так и для монотонных, т.е. вообще для любых логических функций (см. рис. 2.1). Таким образом, предложенный в работе математический аппарат подтверждает ранее полученные результаты оценки характеристик важности аргументов логических функций в области рассмотрения монотонных функций и обобщает их на область немонотонных функций.

В процессе работы рассматривались два типа немонотонных ФАЛ (см. раздел 2.2):

- Функций f(Xm) типа (2.2), как сказано ранее, заменой переменных (2.4) можно привести к монотонным, и далее к полученной ФАЛ применять аппарат, разработанный ранее И.А. Рябининым для монотонных функций. Следует только внимательно отслеживать номера аргументов, которые заменяются как zt = x\,i = \,к, поскольку вероятности новых переменных zi ,i = 1,к, вычисляются следующим образом: P(zj) = \-P(xi),i = 1,к, в отличие от P(zj) = P(xj),j ф i = l,k.

Однако, полученные в работе результаты справедливы для этих функций и могут применяться для оценки параметров важности аргументов таких ФАЛ.

- Функции f(Xm) типа (2.3), в отличие от (2.2), нельзя привести к монотонным путем какой-либо замены переменных. В функцию f(Xm) входят как события х;, так и xj, и при любой замене невозможно избавиться от отрицания элемента, значит нельзя воспользоваться математическим аппаратом для монотонных функций.

Предложенные в работе методы позволяют оценивать важность элементов ФАЛ для функций типа (2.3).

Суммируя сказанное, можно утверждать, что полученные результаты одинаково применимы как для анализа немонотонных функций как типа (2.2), так и типа (2.3), и, как сказано выше, для анализа монотонных ФАЛ. Таким образом, предложенный аппарат можно использовать для любой ФАЛ, без проверки ее на монотонность, которая нередко представляет собой также непростую задачу (см. раздел 2.2.5).

В итоге, основным результатом работы является развитие логико-вероятностной теории в части анализа важности отдельных аргументов ФАЛ. Приведенные в работе результаты расширяют возможности ЛВМ оценки показателей важности на область рассмотрения немонотонных ФАЛ, описывающей безопасность системы.

1. Ryabinin I.A. Reliability of Engineering Systems. Principles and Analysis. Moscow, "Mir", 1976, -532p.

2. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. -СПб.: Политехника, 2000, -248с.

3. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. -СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007, -276с.

4. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Надежность, живучесть и безопасность корабельных электроэнергетических систем. СПб, изд-во ВМА, 1997, -430с.

5. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности структурно-сложных систем. -М.: Радио и связь, 1981, -264с.

6. Парфенов Ю.М. Надежность, живучесть и эффективность электроэнергетических систем. ВМА им. А.А. Гречко, ЛВМА, 1989, -324с.

7. Рябинин И.А. Логико-вероятностные методы и их создатели. СПб, изд-во ВВМИУ 1998, -34с.

8. Рябинин И.А. Теоретические основы проектирования электроэнергетических систем кораблей. Л.: ВМА, 1964г, -282с.

9. Рябинин И.А., Киреев Ю.Н. Надежность судовых электро-энергетических систем и судового электрооборудования. Л. Судостроение, 1974, -264с.

10. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. Л. Судостроение, 1967, 362с.

11. Рябинин И.А. Основы теории и расчета надежности судовых электроэнергетических систем. Л. Судостроение, 1971, 2-е изд, -456с.

12. Рябинин И.А. со авт. Вилесов Д.В. Судовые самовозбуждающиеся синхронные генераторы. М., 1962, -180с.

13. Парфенов. Ю.М., Цыглин В.А. Статика и ее применение в технике ВМФ. Уч. пособие. СПб: ВМИ-СПб, 2000, -121с.

14. Гливенко В.И. Курс теории вероятностей. Гос. объединение научно-техническое изд-во. Ред. технико-теоретической лит-ры. M.-JL, 1939, -220с.

15. Хенли Дж. Э., Кумамото X. Надежность технических систем и оценка риска. М.: Машиностроение, 1984, -528с.

16. Ernest J. Henley and Hiromitsu Kumamoto. Reliability engineering and risk assessment. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1981.

17. Birnbraun Z.W. On the importance of different components in a multicomponent system. Multivariate Analyses 2; New York: Academic Press, 1969. p.581-592.

18. Порецкий П.С. Решение общей задачи теории вероятностей при-помощи математической логики. //Труды Казанской сессии физ. мат. Наук. Сер.1, Т.5, 1987, с.112.

19. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Булевы разности для монотонных функций алгебры логики. //Автоматика и телемеханика, № 10, 1997, с193-204.

20. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Определение «веса» и «значимости» отдельных элементов при оценке надежности сложной системы. //Известия АН СССР. Энергетика и транспорт, 1978, № 6, с22-32.

21. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М., Хватов В.А. Определение приращения надежности системы при изменениях ее структуры и характеристик. //Известия АН СССР. Энергетика и транспорт, 1980, № 1, с36-43.

22. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Определение характеристик важности совокупности элементов энергетической системы при исследовании ее безопасности. //Известия АН СССР. Энергетика и транспорт, 1991, №1, с44-57.

23. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М., Цыпин О.Д. Логико-вероятностная теория безопасности технических систем. //Электричество, № 7, 1994, с17-23.

24. Рябинин И.А., Парфенов Ю.М. Надежность и эффективность структуры сложных технических систем. //Основные вопросы теории и практики надежности. Минск, «Наука и техника», 1982, с25-39.

25. Можаев А.С. Современное состояние и некоторые направления развития логико-вероятностных методов анализа систем. //Теория и информационная технология моделирования безопасности сложных систем. Выпуск 1, Препринт 101. Санкт-Петербург, 1994, с23-53.

26. Рябинин И.А. Концепция логико-вероятностной теории безопасности. //Приборы и системы управления, 1993, № 10, сб-9.

27. Рябинин И.А. Задача № 35 и история ее исследований. //Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в сложных системах: Труды международной научной школы МАБР-2004 (Санкт-Петербург, 22-25 июня, 2004). ГОУ ВПО, СПб ГУАП, 2004, с408-415.

28. Рябинин И.А. Феномен логико-вероятностного исчисления. //Морской вестник, 2005, №1(13), с36-40.

29. Рябинин И.А. Феномен логико-вероятностного исчисления. //Моделирование и Анализ Безопасности и Риска в сложных системах: Труды международной научной школы МАБР-2005 (Санкт-Петербург, 28 июня-1 июля, 2005). ГОУ ВПО, СПб ГУАП, 2005, с16-27.

30. Рябинин И.А. Логика теории безопасности и реальный мир. //Морской вестник, 2005, №3(19), с109-112.

31. Рябинин И.А. О связи математической логики с теорией вероятностей. //Ученые записки. Российский государственный гидрометеорологический университет. СПб, 2008, №6, с170-176.

32. Нечипоренко В.И. Структурный анализ и методы построения надежных систем. М.: Сов. Радио, 1968,-255с.

33. Ryabinin I.A. A suggestion of a new measure of system components importance by means of boolean difference. //Microelectronics and reliability, vol.34, №4. Printed in Great Britain, 1994, pp603-613.

34. Ryabinin I.A. Logic-probabilistic theory of safety of complex systems. //International Conference on Informatics and Control (ICI&C97), Proceedings, vol.3, 1997, ppl069-1075.

35. Яблонский С.В. и др. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966, -119с.

36. Яблонский С.В. Теория графов и сетей. М., 1972, -49с.

37. Яблонский С.В. Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1974, -312с.

38. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, 1е издание. М.: Наука, 1979, -272с.

39. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, 2е издание. М.: Наука, 1986, -384с.

40. Яблонский С.В. и др. Учебное пособие по курсу «Дискретная математика». Анализ и синтез схем в многозначных логиках. 4.1. М.: МЭИ, 1989, -117с.

41. Яблонский С.В. и др. Предполные классы в многозначных логиках. Учебное пособие по курсу «Дискретная математика». М.: МЭИ, 1997, -142с.

42. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. Учебное пособие для ВУЗов. 4е издание. М.: Высш. шк., 2003, -384с.

43. Труды математического института им. В.А.Стеклова. Сборник статей по математической логике и ее приложениям к некоторым вопросам кибернетики. Под ред. С.В. Яблонского. М.: Акад. Наук СССР, 1958, том L1, -364с. с5-142.

44. Дискретная математика и математическая кибернетика: Сборник статей. Под ред С.В. Яблонского. М.: Научный совет по комплекс, пробл. «Кибернетика», 1982, Вып. 86, -168с.

45. Яблонский С.В. Надежность и контроль управляющих систем. Материалы всесоюзного семинара по дискретной математике и ее приложениям. М: МГУ, 1986. -203с.

46. Лупанов О.Б. Лекции по математической логике. ч.1, М., 1970, -80с.

47. Лупанов О.Б. Лекции по математической логике. ч.2, М., 1970, -27с.

48. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 1984, -138с.

49. Лупанов О.Б. Алгебра, логика и теория чисел. М., 1986, -102с.

50. Лупанов О.Б. Теоретические и прикладные аспекты математических исследований. М.: Изд-во МГУ, 1994, -111с.

51. Материалы всесоюзного семинара по дискретной математике и ее приложениям. Под ред. О.Б. Лупанова. М.: Изд-во МГУ, 1986, -203с.

52. Труды семинара по дискретной математики и ее приложениям. Под ред. О.Б. Лупанова. М.: Изд-во МГУ, 1989, -295с.

53. Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах. Под ред. О.Б. Лупанова. -М.: Изд-во МГУ, 1991, -204с.

54. Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики. Под ред. О.Б. Лупанова. М., 1992, -199с.

55. Аналитическая теория чисел и приложения. Под ред. О.Б. Лупанова. М.: Наука, 1997, т.218, -447с.

56. Кудрявцев В.Б. К теории функциональных систем. М.: Б.и., 1981, -8с.

57. Кудрявцев В.Б. О функциональных системах. М.: ВЦ АН СССР, 1981, -64с.

58. Кудрявцев В.Б. Функциональные системы. М.: Изд-во МГУ, 1982, -157с.

59. Кудрявцев В.Б. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985, -319с.

60. Кудрявцев В.Б. Введение в теорию абстрактных автоматов. М.: Изд-во МГУ, 1985, -174с.

61. Кудрявцев В.Б. Основы теории однородных структур. М.: Наука, 1990, -296с.

62. Гаврилов Г.П. Методы линейной алгебры в теории графов. М.: Изд-во МГУ, 1996,-71с.

63. Логический подход к искусственному интеллекту. Под ред. Г.П. Гаврилова. М.: «Мир», 1990, -429с.

64. Сапоженко А.А. Дизъюнктивно-нормальные формы. М.: Изд-во МГУ, 1975,-90с.

65. Сапоженко А.А. Некоторые вопросы сложности алгоритмов. М.: фак-т. ВМиК МГУ, 2001, -46с.

66. Сапоженко А.А. Проблема Дедекинда и метод граничных функционалов. М.: фак. ВМиК МГУ, 2005, -124с.

67. Комбинаторный анализ и теория графов: Сборник статей. Под ред. А.А. Сапоженко. М.: Науч. совет по комплексной пробл. "Кибернетика", 1980, Вып 64,-130с.

68. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. М.: Наука, Физматлит, 1972, -288с.

69. Горьковой В.Ф. Лекции по дискретной математике: Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. -160с.

70. Богомолов A.M., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997, -368с.

71. Гладкий А.В. Математическая логика. М.: Рос. Гос. Гуманитарный ун-т, 1998, -479с.

72. Ермолов Ю.Л., Палютин Е.А, Математическая логика. Учебное пособие для вузов. 2-е издание, испр. и доп. М.: Наука, 1987, -336с.

73. Игонин В.Н. Математическая логика и теория алгоритмов. М.: «Академия», 2004, -448с.

74. Кац М., Улам С. Математическая логика. Ретроспективы и перспективы. М.: «Мир», 1971, -254с.

75. Клини С.К. Математическая логика. Пер с англ. Под ред. Г.Е. Минца. 2-е издание. М.: Едиториал: УРСС, 2005, -480с.

76. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М. Едиториал: УРСС, 2004, -240с.

77. Косовский Н.К. Элементы математической логики и ее приложения к теории субрекурсивных алгоритмов. Учебное пособие. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981,-192с.

78. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. 2-е издание. М.: Энергоатомиздат, 1988, -480с.

79. Лексаченко В.А, Логика. Множества. Вероятность. М.: Вузовская книга, 2001, -128с.

80. Линдон Р. Заметки о логике. М.: «Мир», 1968, -128с.

81. Лихтарников И.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. СПб.: Изд-во «Лань», 1998, -288с.

82. Марков А.А. Элементы математической логики. М.:Изд-во МГУ,1984,-80с.

83. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984, -320с.91'. Новиков П.С Элементы математической логики. М. 1973,-400с.

84. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2000, -304с.

85. Слупецкий Е, Борковский Л. Элементы' математической логики и теории множеств. М.: «Прогресс», 1965, -368с.

86. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебник. М.: ИНФРА-М, Новосибирск: НГТУ, 2004, -224с.

87. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. вводный курс математической логики. 2-е издание. М.: Физматлит, 2002, -128с.

88. Харин Н.Н Математическая логика и теория множеств. Росвузиздат, 1963, -192с.

89. Черт А. Введение в математическую логику. М.: Изд-во ин. Лит-ры, 1960, -486с.

90. Шенфилд Д. Математическая логика. М. 1975, -528с.

91. Избранные вопросы алгебры логики. Сборник. АН СССР Сибирское отделение. Институт математики. Новосибирск: Изд-во «Наука», Сибирское отделение. 1973, -340с.

92. Математическая логика и ее применения: Сборник статей. Под ред. Э. Нагела, П. Сапса, JI. Торского. Пер. с англ. Под ред. А.Н. Мельцева. М.: «Мир», 1965, -344с.

93. Математческая логика и алгоритмические проблемы. АН СССР Сибирское отделение. Труды института математики. Под ред. Ю.Л. Ершова, т. 12 Новосибирск: Изд-во «Наука», Сибирское отделение. 1989, -188с.

94. Математическая логика и алгебра: Сборник статей. Под ред. С.И. Адаяна. М.: «Наука». 2003, т.243, -207с.

95. Москалев Ю.И., Журавлев В.Ф. Уровни риска при различных условиях лучевого воздействия. М. Энергоатомиздат, 1983, -108с.

96. Математика. Большой энциклопедический словарь. Гл.ред. Ю.В. Прохоров. 2-е изд. М.: Большая Российская Энциклопедия, 1998.

97. Хованов Н.В., Математические модели риска и неопределенности. -СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998, -201с.

98. Федеральный закон «Об обязательном социальном страховании от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний». Свод законов РФ, 1998, №26 Ст. 3009.

99. Ш.Горопашная A.B. Анализ безопасности эксплуатации гражданских судов и кораблей ВМФ. //Вопросы механики и процессов управления №24: Устойчивость и процессы управления. СПб: изд-во СПбГУ, 2006, сЗ-14.

100. ПЗ.Горопашная А.В. Применение MATLAB для анализа безопасности и оценки риска сложных технических систем. //Труды Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». СПб.: изд-во СПбГУ, 2007, с157-164.

101. Горопашная А.В. Оценка важности аргументов немонотонных логических функций при логико-вероятностном анализе сложных технических систем. //Вестник СПбГУ, серия 10, выпуск 1, 2009, с19-32.

102. Горопашная А.В. Логико-вероятностный анализ безопасности кораблей ВМФ при возникновении аварийных ситуаций. //Судостроение № 2 2009г, С32-34.

103. Пб.Горопашная А.В. Построение функционала Ляпунова одной дифференциально-разностной системы. //Процессы управления и устойчивость: труды 36-й межвузовской конференции аспирантов и студентов. СПб.: изд-во СПбГУ, 2005, с19-23.