автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование волноводных делителей мощности

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

О !1

'. п

г '"■ На правах рукописи

УЗАКОВ АЛИШЕР ХАМИДЖАНОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ МОЩНОСТИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях ( 01.01.00 - математика )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор МГУ Ильинский А.С.

Официальные оппоненты - доктор технических наук Альховский Э.

доктор физико-математических наук, доцент МГУ Моденов В. П.

Ведущая организация: НПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан.

Защита диссертации состоится ПуШ^А 1994 г.

е I/ час. Ъ1~) мин. на заседании Специализированного совета К 053.05.87 в МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899. Москва. Ленинские горы. МГУ. факультет вычислительной, математики и кибернетики, второй учебный корпус, ауд. 6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан пЯО_" ,М-$А 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доцент

В.М.Говоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Актуальным направлением математического моделирования является исследование моделей волноводны*; систем, использующих строгий электродинамический подход. Для волноводной электродинамики метод математического моделирования основан на строгой постановке краевых задач для системы уравнений Максвелла с учетом граничных условий и условий излучения на бесконечности. Наиболее распространенные модели строятся на основе изучения установившихся волновых процессов. ' ,.

В этом отношении совершенно особую роль играют модели для волноводов прямоугольного сечения, поскольку именно такие волноводы систематически используются в проектировании отдельных волноводных узлов сверхвысоких частот ( СВЧ ).

В целом ряде радиотехнических систем СВЧ диапазона необходимы устройства, позволяющие делить, мощность источника в определенном соотношении на несколько каналов или суммировать ее в общей нагрузке. Подобные функции выполняют многоканальные системы возбуждения ФАР, формирующие требуемое амплитудно - фазовое распределение поля в раскрыве антенны, а также устройства суммирования мощностей нескольких источников. Широкое применение находят делители мощности в радиолокационных системах и других радиотехнических устройствах.

К устройствам деления СВЧ мощности предъявляются жесткие. требования, такие, как обеспечение определенного распределения амплитуд и фаз сигналов на N выходах ( или входах)- в заданном диапазоне частот, согласование оощего входа делителя или N входов сумматора в рабочем диапазоне частот, обеспечение развязки выходов ( или входов) в полосе частот для уменьшения взаимного влияния каналов, высокий КПД системы , простота, малые габариты, высокая надежность конструкции и т. д.

Вследствии того, что экспериментальные исследования и настройка таких систем представляют собой определенные технические трудности, большое значение приобретают теоретические

г-

исследования подобных систем.

Поэтому, несмотря на большое число работ, посвященных исследованиям электродинамических свойств излучающих систем, а

также в связи с тем, что выдвигаемые на практике все более высокие требования к техническим характеристикам радиосистем позволяют считать разработки по этому направлению электродинамики не завершенными, остается актуальной разработка математических моделей для волноводных делителей мощности и решения на их основе задач проектирования волноводных систем СВЧ.

Математическое моделирование делителей мощности на основе прямоугольных волноводов должно быть основано на математических методах достаточно точного расчета электродинамических характеристик волноводов, поскольку выбор геометрических параметров, обеспечивающих малые потери энергии, не мотаэт быть сделан на основе грубых приближений.

Разработка таких методов встречается с рядом математических трудностей. Рассматриваемая область■часто имеет сложную форму, включающую в себя нерегулярность, в частности, в виде рупорных переходов. Б связи е этим прямое применение аналитических методов невозможно. Шэтому создание новых численных методов для решения данного круга задач является актуальным..

Цель работы . Разработка и обоснование эффективного проекционного численного метода математического моделирования волноводных делителей мощности на основе прямоугольных волноводов; разработка алгоритма и комплекса программ расчета геометрических и электродинамических характеристик волноводного делителя мощности; на основе численных результатов рассмотрение вопроса проектирования делителя мощности.

Научная новизна. В работе для нового класса волноводных устройств разработана математическая модель, разработан эффективный численный алгоритм расчета характеристик делителя мощности, проведено математическое моделирование характеристик.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут быть использованы для моделирования при разработке и проектировании {^олноеодных трактов, включающих делители мощности.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы 1-3.

Апробация работа Результаты диссертации докладывались на:

- научной конференции молодых ученых факультета ШиК МГУ, 1987 г;

- научном семинаре лаб-и "Радиофизики" Ю и А АН РУз,1988-91 гг;

- научном семинаре кафедры " ЭВМ и П " ТашГУ, 1991-92 гг.;

- научном семинаре лаборатории " Математического моделирования " под рук. проф. Абуталиеьа Ф. Б., НИИ "Кибернетика" АН РУз; 1992 г;

- "Городском семинаре по вопросам прикладной математики" в Политехническом инст-те под рук. академика Кабулова Е К, 1992 г.;

- научном семинаре ка<|едры " Вычислительной математики о ТашГУ,1992 г;

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы из 61 наз^-1 ваний. Объем диссертации страниц машинописи.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность работы, рассматриваются трудности, возникающие при исследовании математических моделей нерегулярных волноводных трактов. Приведен обзор работ и методов, существующих в данной области математического моделирования, а также краткое содержание диссертационной работы,показано отличие предлагаемого проекционного метода от других численных методов, решоздях подобные задачи.

В первой главе приведена постановка краевой задачи исследования распространения установившихся гармонических колебаний во внутренней области делителя мощности СВЧ с идеальной проводимостью стенок.

BIS описана геометрия делителя мощности в Е - плоскости. Внутренняя область D делителя-задана таким образом

О < х < а

- скэ < z <оО

- F(z) < у < F(z)

где Р ( г ) - положительная функция , описывающая положение верхней границы волноводного делителя. В этом параграфе рассматривается физическая постановка задачи распространения электромагнитной волны в делителе мощности СВЧ. Ё этом случае вектсры комплексных амплитуд наяряженностей электрического и магнитного полей удовлетворяют во внутренней области делителя однородной системе уравнений Максвелла. Граничное условие на боковой поверхности делителя СВЧ есть равенство нулю тангенциальной составляю-

щей вектора напряженности электрического прля. В сечениях соприкосновения подобластей ставятся условия сопряжения для векторов электромагнитного поля, а именно, ставатся условия непрерывности решения краевой задачи и его нормальной производной. Корректная постановка задачи требует установления также "условия на ребре" в точках излома на боковой поверхности рассматриваемого делителя СВЧ. Если окружить точку излома окружности радиуса р , то это условие означает следующее: при отсутствии источников внутри этой окружности поток энергии через эту окружность стремится к нулю при стягивании этой окружности к точке излома.

При решении задачи распространения установившихся колебаний в волноводной системе с границами, уходящими на бесконечность, дополнительными условиями,определяющими поведение электромагнитного поля на бесконечности, являются условия излучения. В рассматриваемом делителе мощности СВЧ условия излучения на бесконечности сформулированы в ввде парциальных условий излучения. ч

В итоге имеем следующую краевую задачу: определить решение уравнений Максвелла

пЛ Е - 1кН пЛ Н - -1кЁ

(1)

во внутренней области делителя Б ( к - '^-волновое число) удовлетворяющее:

1) граничному условию: I п , Е ] О (2.1)

где 21 - боковая поверхность внутренней области делителя, п - внешняя нормаль к ;

3 -

2) условию " на ребре " в" точках излома 2 - гл., 2 - г^ (г^.г^коордикаты поперечных сечений соприкосновения подобластей)

] I Ё 1*"йУ<*х> , У | Н (2.2)

Ур V,

где V/» - окрестность ребра;

3) парциальным условиям излучения вида

Е(Х,У,2) Н(х, у, 2)

оо

гг— И

ИИ

п, т=0 п*> т*"- О

Н , V

е (х,у) их

-

пи

ехр(-1 У г )

"»ЛИ

2

п,т=1 Е(х,у,г) Н(х,у,г)

ЛИ

Н„,(х,у)

(2.3)

• ехр( -1 у г ) , г < г ^ тп

с*=> и , .

Н е«иСх,у)

п,т-0

»«и

т^ О

I »»„(".Л

• ехр( 1 У г) + Чл

п, гги1

е

Т

И1П

I Ь (х,у)

^ ми

(2.4)

ехр( 1 У" г) , г > г.

"Г/?

поперечные составляющие

поперечные составляющие обратных волн волновода;

г ВН ан 1 ^ —------- --------

I х,у), (х, у) ] • ехр( 1 $ г) прямых волн водновода;

6 Е Л

С ~е-в(х'У>> ь (х,у)]»ехр(-1Т г)

и *"р «п -1 "игл

[ ен(х,у), (х,у)1 ♦ ехр(-1 У" г)

I ли ' ит»

0 -у к - - (-у—) постоянные распространения;

а х Ь - размеры прямоугольных ъолноводов в делителе мощности;

ВН £Н

Ктг, > - неизвестные амплитуда отраженных и прошедшиу волн в регулярных частях рассматриваемого делителя мощности.

Во 2 $ электромагнитная задача сведена к решению уравнения Гельмгольца в случае , когда поле возбуждается волной Н ^ . Обозначая через и (у,г) компоненту вектора Н по ОХ

(остальные компоненты полей Е и Н связаны с Нх определенными соотношениями), получены уравнение Гельмгольца и соответствующие граничные условия, что представляет собой конкретную постановку граничной задачи.

Таким образом, учитывая симметрию возбуждения и геометрии имеем следующую краевую задачу для и (у,г) в области

( y.z^R | 0 < у < F(z) ) :

определить решение уравнения Гельмгольца Ди (y,z) + ( k*-AU (у.г) = 0 ,

(2.5)

во внутренней области делителя ( где к - волновое число, <=<-977 а ; а - широкая стенка (по ОХ) делителя) удовлетворяющее: 1) граничному условию

аи / _ , ац/ = О

Эп /_ Зу (2.6)

где "Ж- - границы области D о . п - внешняя нормаль к 3SL;

2) условию в точках излома z. - z^, г^

J lU/^dydz <«э<о (2.7)

где До - окрестность ребра;

3) условиям излучения для поля U (y,z) - Н^ (y,z)

и (y,z) -Xt exp(i fz)l + R exp(-ifz)]. '¿(y)

mso D-O

z < z.

: ' ¿ У

U (V.z) T¿. expíi rw,(z-d)}3'f„,(y) ,

где 1!н иТ^ - неизвестные коэффициенты отражения и прохождения; ^'(у), У^(у) - собственные функции поперечного сечения при г - и г - гдсоответственно; j - количество каналов де-оШтеля; у и - постоянные распространения нормальных волн регулярных "частей делителя. *'

Б 3 $ главы 1 представлен.приближенный метод расчета электромагнитных характеристик делителя мощности . Следуя общему методу с помощью замены переменных

\

JL и

(3)

В

Z

( у , г - декартовы координаты на плоскости; , к^ - новые координаты).суть которого заключается в отображении на единичную полосу рассматриваемую внутреннюю область й делителя, получены уравнение Гельмгольца и граничное условие в новых координатах для приближенного решения вида

где N - количество гармоник; - коэффициенты, подлелсащие

определению; ^(^) - система базисных функций, не зависящих от размера поперечного сечения волновода

Приведены виды уравнения и граничного условия,а также условий излучения в новых координатах.

Система дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов А^С*^) приближенного решения вида (4) получается из требования ортогональности дифференциального оператора приближенного решения Ь [ и^ к первым N функциям ( у ) .

Выписаны формулы расчета матриц - коэффициентов системы дифференциальных уравнений 2-го порядка

Граничные условия для этой системы получаются из условий сшивания в сечениях 0 и И,- <1. Из этих условий сшивания получены формулы счета приближенных значений коэффициентов Й^

Полученная краевая задача является типичным примером краевых задач, матрица системы уравнений которых имеет особые свойства, а именно,собственные значения матрицы имеют действительные части , которые велики по абсолютной величине. Последние могут быть как положительными, так и отрицательными. К тому же число уравнений системы может составлять несколько десятков,а интервал на котором задана, краевая задача, велик. Следует отметить, что такие задачи типичны для теории волноводов.

Обшая схема метода была предложена и обоснована в работах А. Г. Свешникова в 1963 г. Затем, ряд работ по применению методов расчета нерегулярных волноводов были проведены И. П. Котиком, А. С. Ильинским, Е П. Моденовым. В нашей работе общая схема метода дополнена формулировкой условий сшивания на многосвязном стыке рупора и регулярных волноводов вышеописанного делителя. Для реализации вычислительной схемы метода был применен метод направленной ортогонализации разработанный А. С. Ильинским и А. А. Быковым. Нри применении этого метода высокая точность опре-

(4)

деления собственных.значений и собственных векторов не требуется. В отличие от стандартных методов этот метод позволяет снять ограничения на порядок системы и длину интервала, устойчив к ошибкам округлений при численном■решении задачи Коши методом Рунге-Кутта.

Во второй главе решается проблема обоснования приближенного решения на основе энергетических соотношений. Суть процесса обоснования основывается на аналогичности энергетических соотношений для. точного и приближенного решений. Этот метод обоснования подробно представлен в работах профессоров А. Г. Свешникова, А. С. Ильинского и других.

BIS главы 2 , в предположении вещественности волнового числа, выводится энергетическое соотношение для точного решения путем применения к функциям U(y,z) и U(y,z) второй формулы Грина в области D .ГЬсле соответствующих подстановок получим

И»з<7 ' ■ J УПяо

Энергетическое соотношение для приближенного решения, аналогичное соотношению для точного решения , получим из условий сшивания при И^ - 0 и - d , налагаешх на приближенное решение вида (4). Это соотношение позволяет исследовать вопрос о существовании, единственности приближенного решения.

Так, из соотношений: при ^ 0 / 4

(6.1)

ir /

Л < - I /и-/) / (б-2^

при к, - с1 ( здесь Gj - ширина узкой стенки з - го канала )

{Зи^с0 /,' г ГЗи1, и; / о1т } ап ¡»/я?-X. ап ' (7.2)

V с} С:

а также из системы дифференциаЛьных уравнений краевой задачи для неизвестных коэффициентов приближенного решения вида (4),получим

энергетическое соотношение

£(|<I - 1) Re^lRj^Zf Rer/lg'^- О . (8)

Из соотношения (8) следуют основные свойства краевой задачи для приближенного решения вида (4):

- соответствующая однородная краевая задача имеет лишь тривиальное решение, в силу линейности краевой задачи из этого следует единственность решения краевой задачи;

- в силу свойств линейных систем ОДУ следует существование решения вида (4) при любом значении номера N ;

- из (8) следуют условия ограниченности

р° . л/ а,

<«»£.•' (9Л)

♦fliV

г J I

SHte^lTj < 4jL. (9.2)

где константа qx не зависит от яомера N , а определяется условиями возбуждения.

В, 2 8 главы 2 исследуется вопрос сходимости приближенного решения вида (4) к точному решении. Для этого рассматриваем оценку разности точного и приближенного решения при N -> оо . Введя функцию

Vf-V ~u(f'V

(10)

выписываются соответствующе соотношения для этой функции, как функции, являющейся решением краевой задачи для приближенного решения. Условия сшивания, для функции . (с,) на границах ^ - О и - а получаются аналогичным путем, как при получении соотношений,- являющихся условиями сшивания по потоку для приближенного решения на этих же границах рассматриваемых подобластей. Для доказательства сходимости в среднем приближенного решения им(у к точному решению в рассматриваемой области,ибо этого достаточно для того, чтобы доказать, что при N -> оо коэффициенты и стремятся к точным значениям I?«, и Т^, , доказывается , что правая часть энергетического соотношения для функции ^Т'К) стремится к нулю при N -> оо .

Соотношение, полученное для . принимает вид

Очевидно, при N -> оо и левая часть (11) стремится к нулю, отсюда следует сходимость в среднем приближенного решения к точному.

Третья глава диссертации посвящена результатам численного моделирования.,

В 1 8 описан комплекс прикладных программ расчета основных характеристик делителя мощности. Комплекс программ составлен на языке ФОРТРАН и предназначен для решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом направленной ортогонализации. Комплекс программ составлен в виде отдельных модулей.

Б 2 В дается анализ численных результатов. Примерь/ вычислительного эксперимента показывают влияние изменений значений исходных геометрических параметров на электродинамические характеристики делителя, а именно, на приближенные значения коэффивд-ентов прохождения и коэффициента отражения. Методические расчеты позволили определить количество учитываемых гармоник и значение точности на шаге интегрирования системы уравнений. Из анализа расчетов можно сделать следующие выводы:

1) для плоского волноводного делителя на основе Е -секториально-го рупора линейное согласование является наиболее допустимым;

2) с ростом длины переходного участка энергия, прошедшая в волновод В, из нулевой гармоники перекачивается в первую:

В результате проведенного численного зксперимента получены результаты , которые могут быть применены в проектировании СВЧ тракта содержащего такие делители мощности.

Большинство моделей сравнивалось со стендовыми только для нулевой гармоники, в связи с этим в таблицах приведены только эти результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ 1. Разработана математическая модель исследования характеристик болководных делителей мощности на основе прямоугольных волно-еодов. Разработан и обоснован вычислительный метод решения задачи расчета основных электродинамических характеристик волноводного

делителя мощности СВЧ на 2 /и каналов. Метод основан на идее построения приближения по методу типа Галеркина в неограниченной области.

2. Реализован вычислительный алгоритм построения приближенного решения задачи распространения колебаний в нерегулярной волно-водной системе. Метод основан на решешы краевой задачи для жесткой системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом ортогональной прогонки.

3. Проведено моделирование электродинамических характеристик волноводных делителей с целью выбора геометрических параметров реальных СВЧ устройств. На основе моделирования выработаны рекомендации по проектированию делителей мощности.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

1. Узаков А. X Математическая модель волноводного делителя мощности // Конференция молодых ученых факультета ЕМ и К МГУ. Тезисы докладов, декабрь, 1987. 11: 1Л7У.

2. Узаков А. X _ Обоснование численного метода расчета основных характеристик волноводного делителя мощности // Республиканский семинар по методам расчета электронно-оптических систем. Тезисы докладов, 16-17 ноября 1388 г., ИЭ и АН УзССР. -Ташкент. - С. 50.

3. Узаков А. X К обоснованию численного метода расчета основных характеристик нерегулярного прямоугольного волновода // Изв. АН УзССР. Серия физ. -мат. наук. - 1989. - Но 4. - С. 40-43.

работах: