автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах астрофизики и акустики

Тбилисским государственный университет и. Нв.Джавахшпвили

Чнлачава Темур Ипполитович

Математическое моделирование в задачах астрофизики и акустики

05.13.18- Теоретические основы математического моделирования, численные методы, комплексы программ

На правах рукописи

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора ф:;зико-математнческих наук

Тбилиси 1998

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Сухумского филиала Тбилисского государственного университета им. Ив.Джавахишвили

Нзучныи консультант: доктор физико-математических наук, профессор

Горлезиани Давид Георгиевич

Эксперт: доктор физико-математических наук, профессор

Меладзе Гамлет Варламович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Цип.кишвили Автанднл Ревазовнч

доктор физико-математических наук, профессор Саникидзе Джемал Гуриевнч

доктор физико-математических наук, профессор Абурджаниа Георгий Дуруевич

Ведущая организация: Абастуманскап астрофизическая обсерватория

Академии наук Грузии

Защита диссертации состоится 1998 года в 14 часов на заседании

днссертяцношюго Совета РЬ. т01.08с№5 Тбилисского государственного университета им. ПвДжавахишвили.

Адрес: 380043, Тбилиси, Университетская ул.2, Институт прикладной математики • iiM.il.Н.Векуа Тбилисского государственного университета.

Ознакомиться с диссертацией можно в научной библиотеке университета. рЯ V

Автореферат разослан ..... 1998г.

Ученый секретарь Совета,

доктор физико-математических наук, ^ ^

профессор Т . 1 ^ Т.А.Тадумадзе

"О О

Общая х?рактеристика работы' Актуальность проблемы

Многие проблемы астрофизики требуют для своего решения исследования динамики газовых тел, взаимодействующих с гравитационным полем. Сейчас стало очевидным, что в основу концепций для исследований небесных явлений необходимо положить постановки и решення ряда динамических задач о движениях газа, которые можно рассматривать как математические модели, охватывающие существенные особенности движения и эволюции звёзд к туманностей.

В гидроакустике сейчас на основе накопленного опыта всё больше усилии направляется на разработку новых математических моделей различных процессов в океане, как можно более полно учнтывак дих реальчую океанологическую обстановку (трёхмерная неоднородность среды, неровности поверхности и дна, неоднородность поглощающего дна и т.д.).

Основным существенным и практически важным параметром в задачах теория детонации является скорость детонационной волны, возникающей, например, вследствие точечного взрыва (. см. работы В.ПЛСоробейннкова, В.А-Левина, В.В.Маркова, Н.М.Яворскок).

Исследование движения сильных ударных волн, формируемых с помощью лазера, представляет фундаментальный интерес с точки зрения выяснения общих вопросов газовой динамики. С другой стороны, понимание процессов, происходящих при формировании и распространении таких ударных волн позволяет разработать н методы диагностики плазмы, нагреваемой мошным лазерным излучением. При этом, важным параметром в задачах о свободном движении газа за ионизирующими ударными волнами является их скорость распространения (см. работы Н.Г.Басова, Н.В.Зорева, Г.В.Склнзкова, А.С.Шнканова и др.).

Важным параметром в задачах коллапса звёзд я связанным с ним распространением детонационного горения, приводящего к вспышке сверхновой, является скорость детонационной волны. Её здание позволяет приближённо определить кинетическую эиергию сбрасываемой оболочки.

Довольно эффективным для решеняп сферически-симметричных задач о деияениях совершенного гага оказывается метод интегральных неравенств, разработанный А.Н.Голубятннковым и позволяющий яайтч двустороннюю щепку для закона движения ударной волны.

В современней астрофизике особый интерес вызывают бурные сатгсгрофические процессы взрыва звёзд и получающиеся при этом не".кронные вёзды и коллаиснруюшие тела - чёрные дыры.

Вспышки новых и сверхновых звёзд представляют собой неустановившиеся [вижения больших масс газа, сопровождающиеся бурным возрастанием плучэемой энергии. Для теоретического осмь-ления таких грандиозных :осмических катастроф Л.П.Седовым даны постановка автомодельных задач и гримеры некоторых точных решений уравнений неустановившегося днабатпческого движения газа с учётом гравитационных сил, которые можно осматривать как матемагнческие модели, отражающие некоторые ущественные черты действительных явлений звездных вспышек. В этих моделях ассматризаготся иевращающиесп звёзды.

Однако, многочисленные наблюдения показывают, что звёзды вращаются, причём интерес к вращению звёзд очень сильно возрос после открытия пульсаров - вращающихся с большой угловой скоростью намагниченных нейтронных звёзд.

В связи с этим, одной из центральных проблем астрофизики яьляется исследование в шяиня вращения на внутреннее строение и эволюцию небесных тел.

" История исследований вращающихся гравитирующих газовых тел довольно продолжительна и берёт свои истоки в классических работах Ньютона, Маклорена, Якоби, Лиувилля, Дирихле, Дедекннда, Римана, Пуанкаре, Ляпунова и др.

В двадцатом веке был достигнут значительный прогресс как в доказательстве теорем об общих свойствах стационарно-вращающихся газовых тел для различных уравнений состояния, так и в области численного решения задач о равновесии, устойчивости, колебаниях вращающихся тел.

В астрофизике часто приходится рассматривать расширение горячего газа в срлду очень малой плотности ( плотность межзвёздного газа ~10~г11 у^3) , т.е. практически в пустоту. Например, такое расширение происходит у оболочек новых звёзд, при нагреве поверхностных слоев звезды в результате взрыва, в газовы-. потоках. В связи с этим, значительный интерес представляют вопросы, связанные с взрывными явлениями во вращающихся гравитирующих газовых телах с последующим разлётом в пустоту.

Проблема существования и единственности решения неоднородного уравнения Гельмгольца в трёхмерпо-неод.юродном слое ( водный слой между двумя параллельными плоскостями ) с однородным условием Дирихле на верхней н неоднородным условием Неймана на нижней границе имеет важное приложение в задачах распространения и рассеяния звуковых волн.

Однако, на практике необходимы конкретные расчёты звуковых полей, создаваемых гармоническими точечными источниками. С этой точки зрения сравнительно хорошо исследование» является задача о распространении звука в среде с показателем преломления, зависящие только от глубины (см. работы Л.М.Бреховских 1.

Значительно меньше нзучено распространение звуковых волн в трёхмерно-неоднородной среде. По существу единственным общим подходом к исследованию высокочастотных колебаний в таких средах является лучевой метод. Однако, лучевому подходу свойственны хорошо известные трудности, связанные с дифракционными эффектами: образование каустик, полутеневых и теневых зон.

В большинстве теоретических исследованиях распространения звука в волноводе пренебрегают возвышением поверхности и поглощением в жидком неровном неоднородном дне. Однако, :вуковыг сигналы, падающие на дно под достаточно малыми углами, могут проникать в осадочные слои и распространяться в них. Во всяком случае, волны, проьикающие в дно на достаточно большую глубину, уже не возвращаются в воду настолько сильными, чтобы давать существенный вклад в распространение на большие дистанции, поэтому потери ( поглощение ) в жидком неоднородном дне необходимо учитывать.

Цель диссертации и задачи

Целью диссертации являлось построение математических моделей, разработка асимптотических методов, для решения некоторых актуальных проблем астрофизики и акустики.

В задачи диссертации входили: - Разработка метода интегроднфференцнальных неравенств: для определения скорости движения детонационных ударных волн с учётом •• без учёта гравитационных сил, при описании взрывных явлений в детонирующем газе; для определения скорости движения взрывных ионизирующих ударных поли в совершенном газе.

■ Разработка асимптотических методов: для решения задач о распространении ззрывных ударных или детонационных волн в гравптирующпх газовых телах с учётом и без учёта вращения; при математическом моделировании процессов, происходящих в недрах звёзд, а также - явлений вспышек сверхновых.

Разработка асимптотического метода, позволяющего описать разлёт "равитнруюших газовых тел и пустоту, при моделировании расширения в нежзвёзлную среду нагретых в результате взрыва поверхностных слоев звезды.

Нахождение условий разрешимости краевой задачи для неоднородного равнения Гельмгольца в трёхмерно-неоднородном слое с однородным условием 1ирнхле на верхней и неоднородным условием Иеямана па нижней границе. Построение математических моделей , наиболее полно учитывающих реальную «еанологнческуто обстановку ( произвольна' ометрня водной поверхности н юоднородного поглощающего дна ), разработка асимптотического метода, для исчисления звукового поля, создаваемого гармо.шчееккми точечными [сточннкамн в пространственно-неоднородном волноводе.

Новизна н научная ценность диссертации

Развит новый эффективный подход к определению скорости движения етонацнонньи и ионизирующих ударных волн в совершенном газе, основанный а двусторонней оценке их радиуса движения и момента инерции области озмушенчого движения газа, использующей интегральные неравенств."! н оотношення.

Предложен новый эффективный метод определения скорости движения стонациинной волны в совершенном газе с учётом гргвигацнонного полп. 1ля математической модеги нестационарного сферически-симметричного лнабатнческого течения гравитируюшего газа на основаштг уравнений дгнм.танн реды, уравнений энергии и виркала получена с чс!{ нтегроднффереиииальиых неравенств.

Хля грапнтпругащего созершенного |Яза, глет, я методу Г.Г.Черного, ип'р.зьч-редлоясен асимптотический метод, связанный с малым параметрам = (у ~ О/'(" * О ЛЛЯ решения неяптомодельных задач о рлгпрос1р»мсм:ш ¡рьшных ударных или детонационных волг в шаре, пяходящемеч в рзг/юпе.' чи в >остссш!оч гравитационном ц^ле или параболически егкнмаюпемся ¡¡¡>ч улевпм д. лгннн.

- Развит качественно новый приближённый аналитический метод, позволяющий описать адиабат»1, ский разлёт гравитнрующего газового шара в пустоту, после выхода волны на его поверхность.

- Впервые предложен асимптотический метод тонкого ударного слоя дли решения осесимметрических задач о взрывных явлениях во вращающихся гравнтнрующнх газовых телах.

-Предложена новая математическая модель описания тонкого инерционного слоя, для исследования явлений последующего разлёта взрывающегося тела в пустоту. -Найдены условия, при выполнении которых существует единственное решение уравнения Гельмгольца в трёхмерно-неоднородном слое с однородным условием Дирихле на верхней и неоднородным условием Неймана на нижней границе. -Предложен качественно новый метод решения одного класса задач теории распространения звуковых волн низких частот в пространственно-неоднородной среде, связанный с использованием метода асимптотических разложений по малому параметру, характеризующему отклонение показателя преломления среды от единицы.

Практическое значение работы

Полученные в диссертации результаты комплексных исследований имеют большое практическое значение.

- Разработанный метод интегродифференциальных неравенств позволяет определить скорость детонационной волны, которая является существенным и практически важным параметром в задачах теории детонации.

- Результаты исследований, связанные с движением ионизирующих ударных волн, представляют фундаментальный интерес с точки зрения выяснения общих вопросов газовой дннамш-ч, а также имеют большое практическое значение для разработки методов диагностики плазг..ы, нагреваемой мощным лазерным излучением.

-Предложенный метод иитегродифференциальных неравенств, определяющих с/сорос' движения детонационной волны в гравитнрующем газе имеет важное значение в задачах коллапса звёзд и связанным с ним распространением детонационного горения, приводящего к в-пышке свсрхновой, для определения кинетической энергии сбрасываемой оболочки.

- Результаты проведённых исследований могут применяться, например, для описания движений взрывного типа в коллапенрующих га:эвых телах, во вращающихся самогравитирующих звёздах, а также для объяснения результатов наблюдений н определения различных физических характеристик при изучении конкретных астрофизических объектов и явлений.

- Построенные новые математические модели, наиболее полно учитывающие реальную океанологическую обстановку, предложенный асимптотический метод малого параметра, позволяют вычислять звуковые поля, создаваемые гармоническими точечными источниками в трёхмерно-неоднородном волноводе, что, несомненно, имеет большое практическое значение в гидроакустике ( например, в задачах обнаружения источника звука).

Апробация работы

Основные результаты диссертации в различное время докладывались: на семинарах под рук. акад. Л.Н.Седоза в Московском государственном университете им. М.ВЛомоносова ( 1984г. ), в Математическом институте мм. В.А.Стеклова ( Москва, 1984г. ); на 6-й Советской гравитационной конференции ( Москва, 1984г. ); на VI Всесоюзном съезде по теоретической н прикладной механике ( Ташкент, 1986г. ); на XI конференции математиков высших учебных заведений Грузии ( Кутаиси, 1986г. ); на школе-семинаре и ) акустике ( Ростов-на-Дону, 1986г. ); на нроф.-преп. научной конференции Абхазского го су., рственного университета им. А.М.Горького ( Сухуми, 1987, 1988гг.); на научной конференции молодых учёных Абхазии ( Пицунда, 1988г. ); на проф.-преп. научной конференции Сухумского филиала ТГУ им. ИвДжа вахш.чп ил >• (Сухуми, 1990,1991гг.; Тбилиси, 1995-93гт. ); на расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики км. И.Н.Век}'а (Тбилиси, 1991, 1996, 1997гг. ); из научной сессии, посвященной 80-летию акад. Б.В.Хведелидзе в Институте математики им. А. М.Размадзе ( Тбилиси, 1995г. ); на международном симпозиуме "Дифференциальные уравнения и математическая физика", поев. 90-летию со дня розздепия акад. П.Н.Векуа (Тбилиси, 1997г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 2С абот автора, ст.сок которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертационной работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и 122 «именований использованной литературы. Общий объём диссертации 228 гтраниц, из них 1 таблица и 22 рисунка.

Содержание диссертации Глава I

¡5 §1.1 для сферическн-снммстрнчиых нестационарных адиабатических ечехнй совершенного газа ( к=0 ) на основании yf авненин движении среды

\д2и . 2Эу кх ,—- + 4 к иг -— + -— = О, Эх и2

д и

О)

4 к и'

условии на разрыве

И-О,

д X

ди * . 2 —М-Ахи V дг

= о,

(2)

2{д1.1

> ч ------, -4л и'-—V

(у-!)» Л ) д /

=е(м)м(/), м(<)

¿1

интегрального уравнения энергии

Е з Т+и-кУ-Еа +

(у-1)уу Я

-4я Я

д и

77'

¿т:, (3)

1 М/ \3 1 М М

2 {{а/) г,- I

хс1х

и уравнения внриала ( интегральное уравнение Лагранжа-Якоби)

(4)

2 V.- > \д! и

1 = $и2Ых,

о

где х - масса шара радиуса и(х,1), к - гравитационная постоянная, у - пoкaзaтeJ адиабаты, функция f{x) связана с распределением энтропии по лагранжсвс

координате х, функция определяет закон движения среды, — - скорос

д I

движения, у(г,/) - давление, и(х,() - плотность; Т,1] -к V - соответствен] кинетическая, внутренняя и потенциальная ( гравитационная ) энергии газа, момент инерции области возмущённого движения газа, ()- энерги выделяющаяся на разрыве при сгорании единицы массы газа, Е„- энерп взрыва, происходящего в момент времени / = 0, х = А/(() - закон движеш поеерхности разрыва первого рода ( при <2 = 0- ударной волны, при Q * нюняцношюй волны ) по массе, Л(<) = и(Л/(<),/) - радиус ударной и.

2

детонационном волны, индексами 1,2 обозначены соответственно состоянии газа перед л за волной; в случае лазерной метонацин 0(М)А1 в (2) следует t:\vhht!. на заданную мощность излучения <р(/);

выведена система ннтегроднфференцнхчьных неравенств для радиуса движения детонационной волны и момента инерции области возмущённого двпясения.

При 1 < у2 < 5/3

при у2 =5/3

У = 2Е,

при у, > 5/3

-1]Я + (5-Зу,)Г.р

Т>. 71

з/

(5)

4 Л.

М

(б)

/2

Г:

У

(Гг-ЦУг+Г^Г

а,2 = квадрат скорости звука,

п Ь (Эи)

и = " 0 пюсительная скорость разрыва,

Б2' В2

\ Г, ,2(7^1X7,-7:)^ 1)6^' , 7,(7,-1) О2 й2

В практически важном случае движения детонационной волны

покоящемся газе = о) доказана выпуклость при ух >у, функции двух

переменных

Ф(2,7) =

Гг+у'Тг ~в(гТгУ')

г" / ч"Г' / 1

ЧГ-

ьг

Чт,

и при помощи неравенств Ненссена и Гельдера дана оцсака 1Г , полностью представленная в конечном виде

Г*

аг

Хг'

(уг-1)(Г2 + 0""

^Гг^УЬ

(7)

Я

о

о о

В § О на примере классической задача о сильном взрыве и задачи о .-распространении сильной детонационной волны в покоящемся совершенном газе с переменной плотностью показана эффективность истода шгтегро-дпфференциальных неравенств. Даны варианты конкретных численных оценок.

В § и рассмотрена автомодельная задача о распространении расходящейся сильной детонационной виши, которая поддерживается сходящимся световым пучком переменной мощности Р(<). Дня &е>размерного радиуса детонационной волны н момента инерции области возмущённого двсшши газа получены явные диуслкчннне оценки. Даны примеры конкретных численных оцссск.

В д 1.4 изучена неавтомодельиая задача о двшееннн детонацноаной волны, возникающей вследствие точечного взрыва в покоящемся газе переменной нлогности при нулевом давлении. Получены двусторонние оценки для радиуса распространения сильной детонационной волны, которые обеспечивают практически хорошую точность в его определении. При некоторых значениях показателя падения начальное нлотноста с расстоянием ответ удаётся выразить в элементарных функциях. Привезены конкретные численные оценки.

В § 1.5 рассмотрены неавтомодельиые задачи о распространении ионизирующих взрывных шип по статическому состоянию газа.

В уравнении энергии величина

Е*Т+и+Е,+Ещ

приравнивается аналогичная правой часта в (3) с к = 0, = О, причём Еш-энергия излучения, £, - потенциальная эиерпш «мппапии и диссоциации атомов и молекул газа.

При решении задач венользовава математическая модель объёмной ноиизешш в диссоциации I аза, а также условия

Е, « Е„, Е, 5дЕ0, О <д < 1,

я

= ^еи'^и.

о

Получены явные двусторонние оценки для радиусов ионизирующих ударных волн. Определены предельные значения расстояний и времён до которых применимы полученные решения, что связано с выбором модели. Даны некоторые численные оценки и приведены примеры графических решений неравенств.

Глава П

В § 2.1 для сфернческл-снмметрнчных нестационарных адиабатических течений гравнтирующего совершенного газа на основании уравнений движения среды (1), условий на разрыве (2), интегральных уравнений энергии (3) и Лагранжа-Якобн (4), получена система ннтегродифференциальных неравенств для радиуса движения детопацнонной волны и момента инерции области возмущенного движения.

При 4/3 < у2 S 5/3 ■

V/ > 3(Г, - 1)Е + (5 - 3/г )71 + (Зу2 - 4)к V,, \¡rs2E+(Sy2-S)U_+kr

прн уг > 5/3

[у S 3(г, - 1)Е + (5 - ЗГ,)Г. + (3Г, - 4)* К ,

где оценка Г определена в (5), a U_- максимальная из ннлиих оценок (б), (7) н при у2 >

UtG-V^1^-^) (8)

№

iL /W

dx

Неравенство (8) в сочетания с уравнением энергии (3), а также тривиальным неравенством V>M2/(2R), даёт шн-Зранческс г неравенство, приводящее к двусторонней оценке величины V

maxiV ,—}<V<V..

■ l 2Rj

J

Прн y¡ -- 5/3

к

к±^кг +4 СЕ Ю

, Л2+4 вЕ^О.

В § "".2 рассмотрена автомодельная задача о движении гравнтирующего совершенного газа при наличии детонационной волны, ьозникающей в результате разрушения положении равновесия. Построена явная система неравенств, содержащая трансцендентные выражения, определяющая безразмерный радиус движения детонационной волны и момент инерции по известному начальному состоянию газа ( точное решение перед волной ). Даны варианты конкретных численных оценок.

В § 2.3 изучена автомодельная задача о движении детонационной волны, иозннкающен в результате неоднородного гравитационного коллапса газа при нулевом давлении ( точное решение, соответствующее параболическому падению пыли ). Выведена явная система неравенств, содержащая трансцендентные выражения, определяющая безразмерный радиус детонационной волны и безразмерный момент инерции области возмущённого движения по извес.ному начальному состоянию газа. Приведены некоторые численные оценки.

В § 2.4 рассмотрена автомодельная задача о движении детонационной волны при эллиптическом сжатии газа с нулевым давлением. Найдено точное решение перед детонационной волной, соответствующее элчиптнческому падению пыли и выведена явная система неравенств, содержащая трансцендентные выражения, определяющая безразмерный радиус детонацнонной волны л момент инерции по известному начальному состоянию газа. Даны варианты численных оценок.

В случае отсутствия выделения энергии на разрыве (О = 0) при показателе адиабаты у -- 5/3 доказано, что ударная волна будет увлекать за собой газ ч положение равновесия за ударной волной не будет резлизовываться.

В § 3.1 приближённым методом, еввзанным с разделением лагрангсевых переменных

численно решена неавтомодельна!: задача о сильном взрыве (¡0 <0- шшеат взрыва) однородного газового шара, сжимающегося в собственном гравитационном поле.

В качестве начальных данных ( решение перед ударной волной ) взято точное решение системы (1), соответствующее параболическому падению пыли

Глава Ш

Полученные численные результаты, соответствующие графические решения, найденные асимптотики ( при 1->0_) и интерполяционные формулы позволяют описать эффект остановки и последующего снос! ударной волны к центру.

В случае взрыва в пылевом сферическом теле конечной массы ( тело конечного радиуса ), найдено общее (для любого у ) достаточное условие ухода границы тела на бесконечность после выхода ударной волны на нее.

В § 3.2 предложен новый асимптотический метод, позволяющий описать адиабатический разлёт гравитнрующего газового шара в пустогу, после выхода волны на его поверхность и связанный с малым параметром £ = (у - \)/{у т 1) . Этим методом решена задача о последующем разлёте взрывающегося гравитнруюиего однородного газового шара в пустоту, после выхода ударной волны на его поверхность. При этом предполагается, что го выхода ударно;! волны на поверхность тела реализуется асимптотика решения задачи о сильном точечном взрыве.

Доказано, что основная масса расширяющегося газа сосредоточена в тонком сферическом слое с центром в и = Я^) и с относительной толщиной порядка -е 1п£. Установлено, что граница расширяющегося в пустоту газа движемся со скоростью з 21/3 раз большей скорости движения основной массы газа.

Найдены распределения кинетической, внутреннем н гравитационной энергий по отношению к энергии взрыва на всей стадии разлёта

1 = Ео=0(1)_ (9) Е 9Е0 ЧЯ К6г7' 0 ^ >' v '

и = к^_2£ + _8я2е2 1 V 8?г2£2 1

Е 9Е0 Я" Е 9Е0 Я

Доказана лемма, позволяющая пренебречь гравитацией на всей стадии разлёта.

Анализ (9) показывает, что на начальной стадии разлёта ( Я > 1) существенна только внутренняя энергия газового шара, которая на расстояниях /?„2 2:/;",

становится сравнимой с кинетической, дающей уже на расстояниях И... =£~1'(вг) основной вклад в уравнение энергии.

В § 3.3 рассматривается неавтомодельная задача о центральном взрыве, сопровс:хдающемся детонацией, однородного гравитнрующего газового шара.

В качестве начальных данных взято точное решение системы уравнен. ;) (1), соответствующее равновесию однородного гравитнрующего газового шара.

(' ' 2л 1

и = . * = у(1-и), (10)

Для решения задачи применяется асимптотический метод тонкого ударного слоя, связанный с малым параметром £ = (/2 - !)/'(/, !) ( у - значение показателя адиабаты за детонационной волной ). Для применимости метода вплоть до выхода детонационной волны на поверхность теля величины энергии

взрыва н удельного тепловыделения на разрыве предполагаются соответственно порядков ]Д' и 1/с по сравнению с параметрами начального состояния

Е = Е0/е\ В0 =0(1), <3 = <30/е, О0 =0(]).

(П)

Качественный анализ системы уравнений (I), краевых условий (2), при использовании (10), (11) показывает, что решение в окрестности за детонационной волной можно искать в виде (г = )

и(х,т) = (г) + е Н(х,т)+...,Я(т) = 110(т) + е Я,(т)+...,

(12)

у(х, Т) =---- + V, (г, Т)+..., >фг, Т) = -+ УС, (х,т)+....

Однако вблизи центра екмметргн х = 0 разложение (12) оказывается нерегулярным.

В этой области для регуляризации решения применен метод последовательных приближении, который состоит в следующем: в нулевом приближении в выражении для плотности \у0(х,т)удержаны члены порядка е.

г

Далее из уравнения неразрывности массы V/ = 4;Т и -

с использованием

граничного условия в центре и(0, т) = 0 и вида нулевого приближения

1+

+2а

■ф

, , ( 4гг Л

'

1

>'.=-, при у, -1 = 0(1); У. = —т = ?(1)' "Р" прч Г, = Г.

У, " У, -1 -

найдено следующее ( первое ) приближение для закона движения среды Н(х,г)\ ударной волны Л,(г), а из уравнений движения и адиабатичносги (1) определень соответственно у,(х, т). и,(х, г) .

Доказано, что полученное решение, при отсутствии гравитации (к- 0 ) 1 выделения энергии на разрыве (2 = 0) совпадает с точным решением задачи

сильном взрыве с точностью до о(е')-

Показано, что при малых временах räC^Ve) полученное решение совпадает с

решением задачи о взрыве в детонирующем совепшенном газе с противодавлением, если устремить к нулю гравитационную постоянную, сохранив величину начального давления ч центре постоянной.

Асимптотическим методом, предложенным в § 3.2, описан процесс разлёта основной массы газа в пустоту, после выхода детонационной волны на поверхность тела.

Доказано, что не происходит сильного "размазывания" массь газа и почти вся масса сосредоточена в тонком слое с относительной толщиной порядка -eine. Установлено, что граница расширяющегося в пустоту газа движется со скоростью п [2 - 2Q. т / (3£0)]'3 раз большей скорости движения основной массы газа.

В § 3.4 рассмотрена неавтомодельная задача о центральном взрыве неоднородного газового шара, находящегося первоначально в равновесии в собственном гравитационном поле.

В качестве начальных данных взято точное решение системы уравнений (1), соответствующее равновесию самогравитнрующего неоднородного газового шара

ГЗ-оО^ у = ^-2л- Л_„2(1-.Л № = гГ» (13)

Из условий конечности массы и начальной энергии получены ограничения на показатель падения начальной плотности с расстоянием со

со e[0,l)u(l, 2,5) . (14)

Асимптотическим методом тонкого ударного слоя вычислены первые два приближения для скорости движения ¡п ермодинамических характеристик газа.

Доказано, что несмотря на неоднородность газового шара ( быстрое падение начальной плотности с расстоянием от центра симметрии ) (13), (14), тонкий ударный слой не разрушается вплоть до выхода ударной волны на его поверхность.

Показано, что при адиабатическом разлёте газового шара в пустоту, основная масса газа сосредоточена в тонком слое с относительной толщиной порядка -е 1аг, движущейся со скоростью в [(б-ш)/(3-ш)]1/3 раз меньшей скорости границы тела.

Установлено, что при достаточно большой энергии взрыва первонач^ зьно неоднородный самогравитиру:ощнн газовый шар, моделирующий звезду, после выхода ударной волны на его поверхность будет разлетаться в пустоту (межзвёздную среду) полностью без центрального гравитационного остатка. Полученная асимптотика при больших временах показывает, что имеет место разлёт газа в пустоту с постоянной скоростью.

В § 3.5 асимптотическим методом тонкого ударного слоя решена неаптомодельная задача о центральном взрыве ( < 0 - момент взрыва ), сопровождающемся термоядерной детонацией, однородного коллапсируюшего при нулевом давлении газового шара.

В качестве начальных данных ( решение перед детонационной волной ) взято точное решение системы уравнений (1), соответствующее параболическому падению пыли

Качественный анализ системы уравнений (I), начальных (15) и краевых условии (2), приводит к асимптотическому разложению для решения за детонационной волной

к(х,т) = 1ф) -г е Я (г, ф..., Л'(г) = /^(т)+е Я, (г)+..., (16)

у(г, т) = у0(х, т) +■ е у,(х,т)+. .., »{*, г) = + »,(х,т)+...,

при этом, функция А/0(т) = 2/<,3(г')Д9(1-т)2| есть точное решение специальной задачи Кошп

3(1 — -г)2»-" +(1-т):>'3 -4(1 -т)»-'->■ а=0. т е(0Л),

и имеет вид

А/0(х) = (1 - т)—Г"[1 - (1 - г)-"'"] .

Пайдеим первые два члена асимптотического разложения (16). Показано, чте, начиная с момента времени т^

первоначально расходящаяся детонационная волна начинает сноситься к центру и гри X1 имеет место коллапс. Получены соответствующие асимптотики ( при' и при Г—»!_).

В случас взрыва в пылевом сферическом теле конечной массы получено достаточное условие, при котором, начиная с момента времени гст, первоначально расходящаяся детонационная волна начинает сноситься к центру, а также условие, при котором, начиняй с некоторого момента времени т., возможен уход границы тела на бесконечность.

г >'М ..

ПШ —7-г = -МО

т->0+ ><г)

Глава IV

В главе IV для уравнений осесимметрнческого адиабатического движения -равитнрующего газа, записанных в эйлеровой сферической системе коорднчат : г,0,<р )

"в _ 1 д У ) с?Ф с/? г и> д г д г '

(17)

^ Цг?/е __1 д у 1 д Ф

—г/ +--'- = 0,

с!( г г

•>._!?)»' . д г д / \

Г- «пв-^у+ 51П0—[и-И/^ + Г-^-^Нд 51П0)=О,

М-

— ]-0 — ~ — + и ~ + сНК\м7)~ ' <и"д1+и'дг+ г 50'

у(г,0,/)-

дтвление,

с/г

плотность,

нг = г, г = ив = г 0, и^ - ГБшв <р- физические компоненты вектора

скорости движения частиц среды и(и,,ив,и^, а потенциал гравитациоинс-о поля Ф внутри тела удовлетворяет уравнению Пуассона

ДФ = -4яАи\ или в соответствующей лагранжевой форме

д'-г

д I2

\Э1] Кд1

1 д у | дФ 1С д г д г '

(18)

(19)

д ( г д 0") Г . „(д <р| 1 д V

— г ---ЯП 20 —31 =—-г—

д1) 2 \д1) кдв

~{г2 Егагв= 0, у = (у-1)//и.в]*', с^/ч о// \/

V ЭФ

0 + Э0'

Г|'_ 51П©

У ъ|" '

= &1

г

1.1 = и,

причём х - эйл )иLii.iе сферические координаты, а в качестве лаграпжевых переменных ^ приняты: т = —г - масса газа, заключенная в начальны» момент

времени внутри сферы радиуса г,0,<р - начальные значения углов; функция j связана с распределением энтропии по лагранжевым координатам /?;,©, а также условии на разрыве

Цк,-D)]'=0. ["'] =0- [v+ »'(«.= О,

(u,-D)' У VT - '

—---+ —--=0, и=и ■п+и,, D=D-n,

2 r-lwj

i.ie D- вектор скорости движения ударной волны,« - внешняя нормаль к

—> —>

поверхности разрыва, и , - проекция вектора скорости движения газа ¡/ на касательную плоскость к поверхности разрыва,

решена задача о начальной стадии, вплоть до выхода ударной волны на поверхность тела, центрального взрыва вращающегося гравнтирующего однородного газового эллипсоида.

В § 4.1 найдено точное решение (17), (18), соответствующее стационарному твердотельному вращению однородного осеснмметрического газового эллипсоида ( сфероид Маклорена)

иг = ив - 0, ur = г sin 0 ф, (р = со = const,

v= ,4[l-rJ(l + /2cos2e)j, Л=2л (/ -arctgl)/!3,

. 1 h r-i arc,x! f2sin:ef , 1 \ r2 cos2 О /, ,, ) = 2л U/ I: —7^—т--:— arcigl-----:-(I-arctgl

V [Ф +l) 21 1 1 + 1 J ''

I' =-

i;ie «,<■- соответственно большая п малая полуоси эллипсоида вращения, /-экснсшрпсизст, коюрый связан с угловой скоростью вращения ы

ш 1 = 7 к (/: г- S^jrctg! - 3 //(/2 1 3)j /13.

Решение (19) за ударной волной ищется ь виде асимптотического разложения /■ч малому параметру e = (v-l)/(y-ri).

е.т] = к (т) + £- Il^in,0,tJ +...,Л(0,т) =- Л„(т) + е /?,(©,т)+..., (20)

,Ц0,г) = М0(г) + е М,(0,т)+...,0(т,ё,1| = 0+£0,[т,0,:^т ,

( л Л У0(ш,т) Г - ^ Г « А / . Ч

где /л=М(0,г)- закон движения ударной волны по массе, Л = Д(г\г)- форма

ударной волны, х = I / л/е.

Найдены два первых приближения (20) для радиальной составляющем скорости движения газа за ударной волной и формы ударной волны.

Доказана лемма 4.1, показывающая сплюснутость формы ударной в^лны

д Я

—— >0, при 0 < 0 < я /2,

-< 0, при к /2 < 0 < я.

¿0 '

Лемма 4.2 и вспомогательная лемма 4.3 доказывают, что радиальная скорость движения газа за ударной волной в области экватора больше, чем на полюсах

.дт)

дг_ дт

. (д'г) дг

, Ш - =-

дг

Доказана лемма' 4.4, утверждающая, что гравитационное поле в области перед ударной волной остаётся неизменным и не вызовет нарушения условий стационарности движения.

Лемма 4.5 доказывает, что нулевые приближения гравитационного потенциала и его градиента непрерывны на ударной волне

К =2(4

В § 4.2 вычислены два первых приближения для угловых составляющих и термодинамических характерно нк пза.

Доказана лемма 4.6, позволяющая аналитически обнаружить чффги-т зозннкновения в области за ударной волной двух тороидальных расширяющихся знхрен

— <0, 0 <6 <я /2. д т '

при гп= Л/(0, т)

— >0, 1с/2-ъ<п, дт

Пр.!

т = 0

¿0 дг

> О, 0 < 0 < ж.

Доказано, что ударная волна вначале выюднт на поверхность газовог эллипсоида на полюсах и полученное решение позволяет оценить скорост выброса газовых струй в пустоту.

В § 4.3 предложена .латематнческая модель тонкого инерционного ело ( предполагается, что почти вся масса газа сосредоточена вблизи некоторо поверхности в ), позволяющая аналитически исследовать явление последующег разлёта взрывающегося эллипсоида в пустоту.

Доказана теорема об инвариантности системы уравнений слоя

д_ dt

(д 0

= V,(/)-Г sin 0,

д 0

(21)

д ( 2¿0| t\dr 2 . -

tíW ТГ)=-**(*)—r tm&-

сUK dt) dQ

h. dt'

дг dQ д 0 дг dt 0 в dl dQj

г2 sin0,

щ

g- = arsinoí

l

f \ : г \ 1/2

дг 2 д&

+ г

KdQj id Gy У

где а- поверхностная плотность на - давление газа, !'(/)- объём облает

ограниченной поверхностью = 1 на части Б, расположенной внут{ эллипсоида,и', = Она части 5, граничащей с пустото

г = 0 = 0(^0,<р = ср - закон движения газа;

относительно группы преобразований

г'-г, 0'= ;:-©, 0' = я-0,

14 когорои следует симметричность решения относительно экваториалы^

ü.10ck-0ct ii.

Методом последовательных приближений найдено точное решение (2 ( ленче приближение по с дли закона движения газа I.

Асимптотическим методом малого параметра £ найдены и перв; нри.'.ны.-сн.и: решений ; равнений оссснм.метрнчсското адиабатического двшкен:

гравнтнругешего совершенного газа (для закона движения и те >мо динамических сарактеристпк среды).

Доказано, что основная масса сосредоточена вблизи некоторой поверхности, з тонком слое с относительной толщиной порядка -е Ine.

Установлен важный эффект сферизацин поверхности S, имеющей несимметрическую форму в начальный период разлёта и найдено время :фернзации после выхода ударной волны на поверхность гязоного эллипсоида. Хоказано, что граница расширяющегося газа, граничащая с пустотой н имеющая |>орму сферы, движется со скоростью в 2"раз большей скоросн движения (сновной массы газа.

Глава V

В § 5.1 рассмотрены вопросы существования ¡1 единственности решения равнения Гельмгольца в трёхмерно-неоднородном слое с однородны,*.! условием (нрихле на верхней и неоднородным условием Неймана на нижней границе.

По аналогии пространства Соболева-Слободеикою рассмотрены про-транства Hs-L(Si) и где v&P\v еЯ\у > !, Q = If х [0,h\h =. const > 0, a

1-дифференциальный оператор в L2(jO,A]) , порождённый дифференциал .ным ыраженнем

пределённом ня функциях из С2([0,я]) и краевым:! условиями

;'(0) = /(Л) = 0.

Определение 1. Пусть H!L(Q) есть пространство обобщённых функций (х),х еП, таких что

о а'

dl;' dz <оо,

= 'dx' • преобразование Оурье по

перемешюн

' = (*,, х2).

Определение 2. Через оботдчнм пространство обобщённых функций

(г),зг eil. таких что

Пусть функция *г(х) вещественна и представнма в виде

*2(х) = р2(г) + 9(х',г),

где р2{:) еСг([0,А]) положительная функция, такая, что однородная задача

>"(.-) +р2(г)><г) = О, ХО) = у(А) = 0

имеет в пространстве ¿г([0,Л]) только тривиальное решение, а д(х) - бесконечна дифференцируемая функция, убывающая на бесконечности, причём

Теорема 5.1. Неоднородная краевая задача

у,(х',0) = 0, = 0 . ^

д г

разрешима в пространстве Н**2Х(С1) при всех /"(х) е//5;1(П), ортогональны] некоторому конечномерному подпространству Л с: 1^). Однородная задача

(Д + к г (*})"{*) = 0, н(х\0) = 0, = 0 (23)

имеет в Н*'2!(0) конечное число линейно независимых решений.

Существует такая не зависящая от /"(г) константа с = с(у), что дл! принадлежащих Н^2Х.(П) решений »(х) (22), справедлива сценка

ЦНя-м+Мя,^,)

Если (23) имеет в #У5*21(Л) только тривиальное рсс-еякс, или решение и (х (22) ортогонально в решениям (23), то

Теорема 5.2 (принцип предельного поглощения ).

Пусть выполнены условия теоремы 5.1 и (22) имеет в пространстве Яу5*зд(0 решение при всех /-"(х) е#5;'(П), V >

1 + 0, ве [0.1}

Тогда решение wt(x) s (П) задачи

" (A + *2(x) + ;e)w,(x) = .F(*),

и»£(х',0) = 0, i!J.(x',A) = О,

ipa сходятся в к решению w(x) (22). При этом справедлива

¡цепка

Orwedcienue Ъ. Через Я**2"'(Л1) обозначим пространство обобщённых

^уШЕОТЙ g(x'), Т2ХПХ ЧТО

д'

/)• У собственные значения

я"

ператора

го

Теоугма S3. Пусть /(х) e//f;£(ft), yjgfl^.^iv) < тогда решение

(г)€Я,""(й) грзиачяоЗ задачи

(А+*'(*)>(«) = /(*),

<7 Z

^шествует п единственно.

В § S3, предложен новый зффектпзны:"} метод рекгенпя одного класса задач еорпн распространения звуковых саля шпкнх частот в трёхмеряо-неодязродяом олиоводе, связанный с использвззипем метода асимптотических разложений по алелту параметру, характеризую гзгму отклонение показателя преломления зеды or единицы.

Звуковое давление, создаваемое гармоническим точечным источнике л в зчке x = (x,,x„z) водного сдся,описывается вырз=кяяем p(x,/) = Rе[м,(:ф *е комплексная гмилятуда звукового поля и,(х) есть решение краевой задачи величины размерпсетя ддзвы даны в безразмерном »¡аде, прячВ» в качестве хзмерпего физического параметра длины взята глубиш воялеведа П: f = ^jx тойЦх"\ х' = (х„х,Х По с: Я1; г = Л(х')<0 - уравяяяге яла, а решение

тределзгтея в области П, = По х (л(х'),о) ):

(д + /Г-/Г(х)).7г(х) = -§(х-х°), -1 + £/(х')<г<0, . (24)

/ м д иг(х)!

д V

и£(х) —► 0, |г-х°|->ос, 1гаш>0,

где "2{х)- квадрат показатели преломления водного слоя, : = - 1+е/(х')-уравнение дн? в безразмерном виде ( предполагается, что отиошеиш вертикального рдзиера неровности дна к глубине волновода мало ),к безразмерное волновое число, х° = (0,0,1°)- точка, в которой располох;е1 источник, /(х')>0 - гладкая функция, отличная от нуля лишь на некоторое

ограниченном множестве О: = при т > 1 =0, Уе - внешня!

г-1

нормаль к границе.

Решение краевой задачи (24) ищется в виде регулярного асимптотическоп разложения '

4(4 (25)

по введенному нами малому параметру е :

/г(х)=1 + £ 7)(*). ч(*)бС(П,), тах 1.ю<1 Ц(х)<0(1).

Найдены два первых члена разложения (25) ( нулевое и0(х) и первое и,(х приближения)

ио(х) = ис(Г,:) = ^п(рУ)вт(рпг)Щ (кХпг\ (26)

2 я=о

Р={0,5 + п)л, «е^ЛЧДо}, Хл=(1~Р1/к>)Ь\

функция Ханке..я первого рода нулевого порядка. Требование равномерности разложения (25)

1/у_,(х)» к ,,;(х), jeN

приводит к условию £ к « 1, что соответствует малым частотам (ннзкочастотш или длинноволновое приближение).

Если ограничиться только двумя членами разложения (25) , то облает применимости решения будет характеризоваться радиусом г 5 0(е"').

Приведены некоторые практически важные следствия. Даны варианты численных расчётов. Рассмотрен случай вычисления звуковое поля, создаваемого конечным числом точечных гармонических исто1.ников.

Доказано, что возмущение звукового поля н,(х) имеет пнд континуальной суммы расходящихся вторичных волн, "источниками" которых являются неоднородности среды и неровности твёрдого дна; прн этом амплитуды этих волн пропорциональны е и зависят от параметров всех мод ( нормальных волн ).

В § 5.3, асимптотическим методом малого параметра е , предложенного в § 5.2, решена задача вычисления звукового поля гармонического точечного источника в трёхмерно-неоднородном волноводе с неровным однородным жидким дном 3 О, Д(г)зО).

(Д + А2п'(х))мг(--) = -5(х - х°), -1 + е /(*') < г < Ед(х'),

(27)

= , =о, !—-х-' ди

д V,

дУ,

= 0

(д + к*п;,(г))и(х) = О, 1<-\ + е /(х') ие(х)->0, ь(х)->0, 1х — х°| —>со, 1т ет>О,

(28) (29)

где л2(х) = 1 + е т}(х), "я(г) = "?( 1 + ,е Р{:)) - соответственно квадраты показателен преломления водного слоя и жидкого дна, г = е 4(х'), х = -1 + е /(х') соответственно уравнения водной поверхности и жидкого дна, К"'=р,/рг-отношепие плотностн воды к плотностн дна.

Предполагается, что вертикальный масштаб неровности жидкого дна, значительно меньше глубины волновода, а также

а = 0(1),

что позволяет в первом приближении учесть рассеяние звуковых волн в дне.

Найдены нулевое (26), первое г/,(х) приближения асимптотического разложения (25), а также точное решение (28) в дне

(30)

Условие излучения (29), соответствующее затухак..ю звуковой волны на бесконечности (г -»со) приводит к ограничению на Я я( ветвь квадратного корня в (26) выбирается из условия ЬпЯ. >0).

В § 5.4 асимптотическим методом малого параметра е решена задача (27) -(29) нахождения звукового поля гармонического точечного источник.» а

трёхмерно-неоднородном волноводе с взволнованной поверхностью (ç(r') * о) и

неоднородным поглощающим ровным дном (¿5 (г) * 0,/(*') s О) .

Предполагается, что отношение вертикального размера возвышения водно» поверхности к глубине волновода порядка е .

Доказана теорема 5.4 об ортогональности системы функций {Л„(г)}~0

сопряжённой задачи (г = -1 плоскость сопряжения граничных условий ) на полупрямой (-'-л.0] с кусочно-постоянным весом, позволяющая найти точное решение для нулевых приближений асимптотических разложений

».M=Z*4M. «М=2>ЧМ (31)

Определены п первые приближения и, (г), «/,(*) разложений (31), Аналитически описано рассеяние звука 1'еоднороднэсгями водного слоя (

рефракция ), неровностью водной поверхности и поглощение в неоднородном дне.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. А.Н.Голубятш1Ков, Т.П.Чнлачава. Об оценках движения детонационных волн в гравитирующем газе. Известия АН СССР, МЖГ, 1984, N.2, с.140-145.

2. ТЛГЧилачава. Оценки движения детонационных и ионизирующих ударны! волн в совершенном газе. Москва, ВПШ1ТП, 19S3, /¿6541,22с.

3. Т.П.Чнлачава. Сильный взрыв в однородно сжимающемся гравитирующем газе. Труды 6-й Советской гравитационной конференции. Москва, МГПН, 1984, с.155-157.

4. Т.П.Чнлачава. Задача о сильном взрыве и однородно сжимающемся гравнтнруюыем газе. Вестннк МГУ, серия I, математика, механика, 1985, АН,с.7S - 83.

5. А.Н.Голуйпгнккон, Т.П.Чнлачава. О распространении детонационной волны в гравитирующем таре с последующим разлетом в пустоту. Пзвестни АН СССР,

:>:жг, !ss6,/¿4, c.is? - isi.

6. А.Н.Голубитннков, Т.П.Чнлачава. О центральном взрыве рращающегосп гравнтнрующето тела. Досады АН СССР, 1983, т. 273, №4, с. 825 - 829.

7. Т.П.Чнлачава. Распространении детонационной волны в гравитирующем таре с последующим разлётом в пустоту. В кн. Тезисы докл. VI Всесоюзного съезда по теоретической п прикладной механике. Ташкент, 1986, с. 140.

S. Т.П.Чнлачава. О распространен!!!: взрывной волны в гравитирующем шаре с последующим разлётев пустоту. XI конференция математиков Вуз-ов Грузин, Кутаиси, 19S6, с. 224.

9. Т.П.Чнлачава. О центральном взрыис в неоднородном шарг, находящемся с равновесии п собственном гравитационном паче. Известия АН СССР, МЖГ, 198S, .№3, с. 179- 184.

10. Т.И.Чилачана. Об асимптотическом методе решения одного класса задач теории гравитации. Юбилейные дни акад. ИЛШекуа. Тезисы докл. научн. конф. Тбилиси, 19S5, с. 13- 14 ( па груз. яз. ).

1. Т.П.Чнлачава, Об асимптотическом методе решения одного класса задач ингулярных возмущений газовой д1.ламнки. Тезисы докл. П научной гоиф. СФ ТУ. Сухуми, 1991, с. 53 - 54 ( на груз. яз..).

2. T.Chilachava. On the asymptotic method of solution of one class of gravitation leory nonlinear problems. Reports of Enlarged Session of the Seminar of LVekua istitute of Applied Mathematics, 1996, vol. 11, .№3, p.18-26.

i. T.Chilachava. On the asymptotic method of solution of a class of nonlinear problems Г gravitating gas dynamics. Abstracts. Differential equations and Mathematical hysics. Internationa! Symposium. Tbilisi, 1997, p.117.

t. T.Chilachava. On the solution of one nonlinear problem of mathematical physics, eports of the Seminar of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1997, vol. 23, p.1-9. 5. T.Chilachava. On the. asymptotic method of solution of one class of nonlinear mixed -oblems of mathematical physics. Bulletin of Georgian Academy of Sciences, 1998, vol. >7,Ш, p. 373-377.

i. Т.П.Чнлачава, Н.А-Кекелня, Н.И.Чнлачава. О распространении термоядерной тонацлонной волны а коллапсирующем газе. Сообщения СФ ТГУ, Тбилиси, Пз-ю ТГУ, 1998, сДб-29 (па груз, языке ).

'.Т.П.Чнлачава. О разрешимости уравнения Гельмгольца в неоднородном лноводе с жидким дном. В сб. Тезисы научной конференции АГУ, Сухуми," 988. .Т.П.Чнлачава. О решении сопряжённой задачи для уравнения Гельмгольца в юстраиственно-неоднороднон среде. Доклады расшнр. засед. семинара ППМ им. Н.Векуа, Тбилиси, 1989, т. 4, № 1, с. 136-139 (на груз. яз. ).

. Т.П.Чнлачава. О разрешимости уравнения Гельмгольца в пространственно-однородном слое с жидким дном. Сообщения СФ ТГУ, Тбилиси, Пз-тво ТГУ, 98, J^J, с. 15-18 (на груз, языке ).

. Т.П.Чнлачава. Поле точечного источника в неоднородном волноводе. Дубна, ПШ РУМБ, ДСП, 19S5,18с.

. Т.П.Чнлачава. О поле точечного источника в неоднородном волноводе с ровным дном. Дубна, ЦШШ РУЛ1Б, ДСП, 19S5, 8с.

Т.П.Чнлачава. Об одном асимптотическом методе решения задачи нахояедения гкового поля гармоннческого точечного источника в неоднородном волноводе, уды школы-семинара по акустике, Ростов-на Дону, 19S6.

Т.П.Чнлачава. Рассеяние звука в трёхмерно-неоднородном волноводе с ювным жидким дном. Академия Наук СССР, Акустнч. журн., 19S6, т. 32, в.5. с. S-711.

Т.П.Чнлачава. О приближённом решении одного класса задач теории лространеннп звуковых волн низких частот. XI конференция математиков Вуз-Грузпи, Кутаиси, 19S6, с. 305.

Т.П.Чнлачава. Об асимптотическом решении одной задачи математической рин дифракции. В сб. Тезисы паучн. конф. молодых учёных Абхазии, Пни тда, 8. "

Т.П.Чнлачава. Об асимптотическом решении одного класса задач теории стики. Юбилейные дин акад. П.П.Векуа. Тезисы дом. научи, конф. Тбилиси, 5, с. 15 ( на груз. яз.).

Temur Chilachava

MATHEMATICAL MODELLING IN TI IE AS i'ROPH YSIC AND ACOUSTIC PROBLEMS

05.13.18. - Theoretical foundation of the mathematical modelling, computational methods, complex of programs

Bulletin of the Dissertation of Doctor Degree of Physics and Mathematics

The dissertation is dedicated to mathematical problems of theoretical astrophysics and acoustics, which are related both to the investigation of dynamic processes accompanying explosions of stars and to the study of the problems of sound diffusion taking into account the real non-homogeneous nature of streams. The research work aims at creating effective mathematical models, stating and developing asymptotic and numerical methods of solution of a number of problems of physics, which ar'- of interest in relation to observation problems of astronomy and technical applications.

The main results of the dissertation are as follows:

'. Development of the method of integrodiiiercniial inequalities, which enables to define effectively the law of movement of a shock or detonating wave in one-dimensional non-stalionary problems of gas dynamics without solving the full system of non-linear dtlfercntiotul equations in partial derivatives, which can be solved afterwards by means of analytical methods or numerically. The method also enables to carry out effective testing of direct numerical methods;

2 Application of the asymptotic method for the investigation of complicated three-dimensional problems of movement of a shock layer taking into account its appearance on the surface of a body and consequent expansion in the vacuum;

3. Working out a new method of solution of a class of problems of the theory of low frequency sound wave spreading in the non-homogeneous medium related to the usage of the method of asymptotic decomposition on a stria!" parameter, which shows the deviation from the unit of the exponent of the refraction of the medium.

New non-automodcl problems of gravitating gas related to spreading of exploding, detonating or ionising shock waves, which arise ir: stars or interstellar gas clouds and depend uron the mechanisms of energy supplies and the initial condition of the gas, namely conv.-pond to die balance and the developed gravitational collapse, are solved with the help o: ti-■ mentioned mathematical methods. The important astrophysics! problem of the centra e<picsion of a rotating star, which results in the creation of the systems of two expandinj tiiorjidal whirlwinds, it, solved. The received results csn be applied, for example, in th< identification of the remains of supcmovie stars.

The work also sol ves (he problems of calculation of the sound field of a harmonic source :i the Lhree-dimciisional uon-homogereous wave-guide, with confederation of roughness or, ; free sir/ace. as v.ei! as une\cancss and absorptive features of the liquid bottom. The result r.:e of significant piaeticul importance in hydroacoustics, e.g. in the problems of sound sotire dvtecticr..