автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в прикладных задачах математической физики и механики сплошной среды

с» &

с ^ /о ^

«Г* ^

/

На правах рукописи

ТОРБУНОВ СТАНИСЛАВ СЕМЕНОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

05.13.18. Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Барнаул — 1997

Работа выполнена в Алтайском государственном техническом университете им. И.И.Ползунова и Новосибирском государственном аграрном университете.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Евстигнеев В.В.

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор Семенов В.Ф.

доктор физико-математических наук, профессор Ушаков В.М.

доктор технических наук, профессор Охорзин В.А.

Ведущая организация: Томский государственный политехнический университет им. С.М.Кирова.

Защита состоится ШОН>~ _1997 г. в_час. на заседании

Диссертационного Совета Д064.5401 при Красноярском государственном техническом университете по адресу: г. Красноярск, ул. Киренского, 26.

С диссертацией можно ознакомить« в библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан " / % *_.^-й-Д—_1997 г.

"Ученый секретарь диссертационного Совета докто технических наук В.Н.Тимофеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ. Механика сплошных сред и математическая физика в исследованиях прикладного характера выдвигает мно-жестзо разнообразных задач оптимального управления. Наряду с большим количеством добытых фактов и решенных задач, при исследовании так называемых распределенных систем остается множество открытых вопросоэ, среди которых немало серьезных проблем большого практического значения. К'кш относятся задачи об оптимальной форме обтекаемых тел а гидродинамике и об оптимальной форме сопел и вытекающих струй в условиях течения со сверхзвуковыми скоростями, задачи о регулировании температурных полей в твердых телах, способы устранения внутренних потерь. Многочисленные примеры постановки задач оптимального управления возникают а различных сельскохозяйственных процессах, э теории обработки материалов, особенно при ограничениях на фазовые координаты, часто встречающихся в вопросах проектирования, и их учет отвечает насущной практической потребности. Очень большое значение имеет разработка эффективных методов приближенного решения задач, связанных с определением параметров управления распределенными системами, а также моделирования этих задач. С другой стороны, ясно, что исследование теоретических вопросов не может быть плодотворным без необходимой интуиции и опыта. Математические трудности часто являются следствием плохой постановки задачи, обусловленной недостаточным пониманием ее физических особенностей. Для решения задачи оптимального управления необходимо знать уравнения состояния и предельные условия, списывающие поведение объекта. Характер этих уравнений и условий определяется принятой математической моделью, составляет определение модальной системы.

Особое место з исследованиях прикладного характера занимают инженерные задачи, ставящие целью теоретическое обоснование технического задания для создания или усовершенствования конструкции и технологического процесса и определение условий оптимального управления рабочим режимом.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Разработать методику теоретико-экспериментального исследования и методы математического моделирования физических процессов в инженерных задачах прикладной механики и математической физики, независимо от их механического содержания, для определения оптимальных условий поведения механических систем в зависимости от конструктивных параметров и внешних факторов.

Цель достигается решением следующих задач:

1. Построить математическую модель системы "поток несжимаемой жидкости - наклонная пластинка на конечной глубине с образованием каверны за пластинкой".

2. Получить аналитическое решение уравнений Чаплыгина для плоских сверхзвуковых течений идеального газа при адиабатическом процессе.

3. Построить математическую модель температурного поля цилиндра двигателя в пусковой период для произвольной температуры окружающей среды.

4. Установить зависимость состояния масляных роторных центрифуг тракторных двигателей от частоты вращения ротора и расхода топлива.

5. Построить математические модели движения и работы сельскохозяйственных агрегатов (плуг, молотильно-сапарирующее устройство зерноуборочного комбайна, силосоуборочный комбайн'-с основной и резервной технологическими емкостями) в зависимости от технологических, условий и' конструктивных параметров. Исслздовать эти модели для определения оптимальных условий работы агрегатов.

6. Получить математическую модель взаимодействия рабочих органов, прокатного стана и обрабатываемого материала сучгтом его упругих свойств.

7. Исследовать нелинейные колебания с несмежной формой разновзсая с целью наилучшего воздействия на обрабатываемый материал и установить условия работы соответствующей вибрационной системы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Ргсчетно-теорэтические исследования выполнены путем решения дифференциальных уравнений, использования методов конформного отображения и фазовых координат, исследования статистических зависимостей, полученных с применением современных методов обработки экспериментальных данных, и принципов внешних дополнений и агрегирования, т.е. методов системного анализа. Адекватность полученных моделей реальным процессам проводилась на экспериментальных установках, в производственных испытаниях, по статистическим критериям и сравнением с известными решениями.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работа заключается в разработке методики решения инженерных задач построением приближенных, .математических моделей динамических систем на основе методов системного анализа, которая позволила, в частности, следующее.

Построена математическая модель комплекса "поток несжимаемой жидкости со свободной поверхностью - наклонная пластинка на конечной глубине". Получены зависимости, .позволяющие определить лобовое сопротивление и подъемную силу, а также оптимальную форму обтекаемого тела по физико-математической модели.

Для выявления закономерностей сверхзвукового безвихревого течения идеального газа приближенным методом решены основные краевые задачи сверхзвуковой газовой динамики без упрощения краевых условий. Для решения задач с приближенными уравнениями состояния получены зависимости, более точные по сравнению с известными.

С целью учета нестационарного характера температурного поля решена задача теплопроводности для цилиндра двигателя внутреннего сгорания с воздушным охлаждением при установленной экспериментально зависимости температуры внешней стенки цилиндра от наружной температуры и времени прогрева двигателя.

Для оптимального времени технического обслуживания роторных масляных центрифуг тракторных двигателей установлен критерий по частоте вращения ротора и расходу топлива.

Определены критерии выбраковки лемехов плугов для устойчивой пахоты по значениям конструктивных параметров лемеха для заданных глубины пахоты, скорости движения агрегата и твердости почвы.

Доказано увеличение потерь зерна за комбайном при неравномерной подаче растительной массы и получено условие минимизации потерь зерна при двухбарабанном обмолоте и сепарации.

При уборке растительной массы силосоуборочным комбайном с основной и технологической емкостями установлены оптимальные параметры сцепки и для расчета энергозатрат по решению задачи движения тела с переменной массой получена зависимость тягового усилия от условий уборки.

Решена задача определения давления на вальцы при прокатке материалов с учетом их упругости, что явилось основой расчета поджимного устройства.

Разработана теория наилучшего воздействия на обрабатываемый материал вибрационной механической системой с ударным элементом, работающим при условии несмежного положения равновесия с перескоком (типа мембраны).

АПРОБАЦИЯ. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих съездах, конференциях, семинарах и совещаниях:

- I Республиканской конференции по гидроаэродинамике и тепломассообмену, Киев, 1967;

- Ill и IY Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике, Москва, 1968, Киев, 1972;

-теоретическом семинаре в Институте Гидродинамики СО РАН, Новосибирск, 1968;

- Всесоюзной конференции по краевым задачам и их приложениям в механике жидкости и газа, Казань, 1970;

- Межвузовском семинаре по теоретической механике, Новосибирск. 1972-1987;

- научных конференциях НГАУ, Новосибирск, 1971-1987;

- Всесоюзном совещании заведующих кафедрами высшей математики, физики и механики высших военных летных училищ, Борисоглебск, 1989;

- научных конференциях АГАУ, Барнаул, 1990-1994;

- Всесоюзном совещании заведующих кафедрами теоретической механики, Пермь, 1979;

- научной конференции АптГТУ, Барнаул, 1988;

- теоретическом семинаре ВЦ СО РАН, Красноярск, 1996.

Работа раскрыта в 2 монографиях и 22 статьях и материалах научных конференций и съездов.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ НАУЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ: Математические модели, расчетные формулы нашли ' применение и могут быть использованы как для конструирования г.;ашин и механических устройств, так и для реализации производственных процессов со сниженными энергозатратами и вредными потерями.

Данные физико-математического моделирования использованы в рекомендациях кафедры "Тракторы и автомобили" НГАУ по методике запуска тракторных двигателей в зимних условиях Западной Сибири 11 техническому обслуживанию тракторных двигателей, кзфэдры "Эксплуатация машинно-тракторного парка" - для расчета сцепки силосоуборочного комбайна с основной и резерзной технологическими емкостями и энергозатрат при такой форме уборки растительной массы, кафедры "Почвообрабатывающие и зерноуборочные машины" - в рекомендациях по выбраковке ле;дзхов при пахоте в услоаилх Кочковского и Тулинского совхозов Новосибирской области и оптимальной настройке параметров молотильно-сепарирующего устройства зерноуборочного комбайна СКД-5.

По результатам решения задачи определения давления на вальцы при прокатке упругих материалоа проведен расчет поджимного устройства, что реализовано в СибИМЭ СО РАН при получении нового вида корма в процессе плющения фуражного зерна с обжаривением.

Теория нелинейных колебаний вибрационных систем с перескоком явилась основой создания экспериментальной установки и проверки полученных теоретических результатов.

ОСНОВНОЙ ТЕЗИС, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЩИТУ: Разработана, методика "математического моделирования в прикладных задачах математической физики и механики сплошной среды, позволившая построить математические модели в задачах гидрогазодинамики, механизации сельскохозяйственного производства и обработки металлов.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, 92 наименований, изложенных на 196 страницах, и содержит 30 рисунков и 2 таблицы.

т

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность проблемы, дан краткий обзор известных результатов, определена цель работы, методы исследования и изложены основные положения диссертации и апробация результатов работы.

1. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ МЕТОДАМИ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

1.1. Методы системного анализа в построении математических ?лоделей.

Главным содержанием системного анализа являются проблемы принятия решений, получаемых неформальными методами, на основе принципа "внешних дополнений". В связи с этим для решения задач оптимального управления большее значение имеет построение модели, то есть формализация изучаемого процесса или явления на языке математики, которая объединяет описание субъекта и совокупность всех ограничений и условий.

1.2. Классификация инженерных задач системного анализа по целям и методам исследования операций.

Типичными задачами системного анализа являются задачи математического программирования. Однако исследование операций не является чисто математической дисциплиной, главные сложности анализа конкретных ситуаций могут быть именно в формализации задачи, ее адекватности реальному процессу, что достигается преодолением неопределенности цели введением различных гипотез и свойств решений, им удовлетворяющих. Наиболее употребительными способами преодоления неопределенности цели являются: линейная свертка, использование контрольных показателей, редукция к однокритериальной задаче, введение метрики в пространстве целевых функций, компромиссы Парето, принцип наилучшего гарантированного результата, принцип рззновесия (устойчивости).

1.3. Построение приближенных математических моделей.

В силу объективных обстоятельств полученная исследователем информация может быть недостаточно точной для построения модели. В этих условиях стремление добиться предельной адекватности модели реальному процессу будет не только ненужной, но и вредной.

Поэтому имеет смысл построить, наряду с исходной моделью, некоторую близкую модель, в которой будут упрощены система ограничений и критерий, и сама задача может оказаться на много порядков проще исходной, а оптимальные параметры системы будут при этом почти совпадать. В качестве полной модели могут быть результаты контрольного эксперимента, производственных испытаний или известные достоверные модели.

1.4. Классификация модельных систем.

Для определения пути построения математической модели системы (модельной системы) необходимо знать внутренние связи, взаимодействие составляющих систему элементов, которое в общем случае изменяется в пространстве и во времени. По структуре самой системы и взаимодействию ее элементов можно выделить "следующие: сложная динамическая система; многосвязная система (более общая, чем сложная динамическая); динамическая система (с одним преобразованием, ставящим в однозначное соответствие фазовое пространство исходной физической модели); система с переменной (случайной) структурой (имеющая несколько детерминированных структур, переход в которые возможен в случайные моменты времени по случайному закону).

1.5. Модельные системы в задачах математической физики и механики сплошной среды.

Многие классические задачи математической физики могут быть сформулированы как задачи об экстремуме функционалов, получившие название задач оптимального управления. Поведение управляемого объекта изображается моделями с сосредоточенными или распределенными параметрами. Математически такие модели описываются, соответственное системой обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальными уравнениями в частных производных. Для этих уравнений, в свою очередь, ставятся соответствующие оптимальные задачи, среди которых задачи механики сплошных сред занимают особое место. К этим задачам относятся традиционные в гидродинамике задачи об оптимальном выборе формы обтекаемых профилей, рационального

проецирования сверхзвуковых сопел в газовой динамике, задачи о регулировании температурных полей в твердых телах, вопросы оптимизации конструкций в условиях упруго-пластического поведения, проблема оптимизации при ограничениях на фазовые координаты, с условиями устойчивости движения механических систем.

В конечном счете задача математического моделирования физических полей сводится к математическому описанию закона их .построения и распространения и решению уравнений относительно искомого параметра в заданной точке пространства в зависимости от краевых условий и возможных возмущений поля. Для полей с нестационарными параметрами задача решается с учетом времени и начальных условий.

Несмотря на большое многообразие физических явлений, обусловливающих формы различных полей, законы распространения и распределения физических полей независимо от их природы имеют много общего. Это позволяет сгруппировать (классифицировать) физические поля по признаку идентичности математических зависимостей, описывающих поля, и рассматривать математические задачи на конкретных примерах.

Одним из общих методов подхода к исследованию поведения материальных сред является статистический метод, в котором применяется вероятностный подход к изучаемым явлениям и вводятся средние по большому ансамблю частиц характеристики, а поэтому возникает необходимость во введении дополнительных гипотез о свойствах частиц, их взаимодействии и, в целях получения решения, упрощение этих свойств и взаимодействий.

Другим общим методом подхода к исследованию движения материальных тел и физических полей является построение феноменологической макроскопической теории, основанной на общих, добытых из опыта закономерностях. Макроскопические теории являются эффективным средством решения практически важных задач, и добытые с их помощью сведения согласуются с опытом. В обоих методах общим является, в целях получения решения, введение эвристических или статистических гипотез, получившее название принципа внешних дополнений в методах системного анализа.

Из утвержденного следует, что задача о построении моделей применительно к классам реальных объектов и реальных явлений в математической физике и механике сплошных сред представляет собой одну из основных задач физико-математического исследования.

Разрешение этой задачи связано с опорой на исходные, универсальные и частные, базисные допущения, на данные опытов и на согласование наблюдений и эмпирических измерений с теоретическим выводом и расчетами в пределах точности, необходимой практически или задаваемой по смыслу поставленных проблем.

2.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГИДРОМЕХАНИКЕ И ГАЗОВОЙ ДИНАМИКЕ

2.1. Моделирование кавитационного обтекания наклонной пластинки тяжелой жидкостью

Кавитационные течения невесомой жидкости достаточно хорошо изучены и нашли обширное практическое применение при изучении естественной кавитации, возникающей при больших скоростях, когда влиянием весомости жидкости можно пренебречь. Однако возможность искусственной каверны с помощью поддуаа в нее газа значительно расширила область практического использования кгзитационных течений, в частности, на малые скорости движения каеитирующих тел, когда влияние весомости (тяжести) жидкости становится существенным.

Рассмотрим плоское установившееся безвихревое обтекание наклонной пластинки идеальной несжимаемой тяжелой жидкостью по схеме Жуковского-Рошко. (рис.2.1)

С концов пластинки сходят струи, которые ограничивают каверну с постоянным давлением Рл.

Введем обозначения: длина пг.астикки, я - ширина каверны, ая- - угол атаки, 0<а < 1/2, у„ и р„-скорость и даеление нзгозмущгнного потока на нулевой линии тока, подходящей к критической точке л, положение которой пока неизвестно. Систему координат выбираем как указано на рис.2 Л. (Все пояснения к рисунку здесь и дглег будем давать в тексте с указанием номера рисунка).

Интеграл Бернулли в этом случае имеет вид: 2

+ + ГУ* =Ру+Лг + У У - согШ, (2.1)

где р~ плотность жидкости, у,- ордината бесконечно удаленной точки нулевой линии тока, у -ордината текущей точки свободных линий тока ВС и БЕ, у -скорость течени? на свободных линиях тока, у - рд, д - ускорение силы тяжести.

Так как у - переменная величина, то из (2.1) следует, что V не постояннее течениях с относительно небольшими отклонениями по вертикали точек С и Е спрямления свободных линий тока от точек схода свободных струй В и О пренебрегаем изменением скоростей на свободных линиях тока и считаем их постоянными, равными V,- на Еерхней свободной линии тока и уг-на нижней. Из (2.1) следует, что V, ¿V, <.у3.

Физическая модель, очевидно, по саоей структура относится к динамическим системам на плоскости.

Введем два числа кавитации <т, и аг и число Фруда Рг

сг, = (у, /V„)* - 1, сг2 - {уг /V,)* -/ , Рг = / (дЛ)"г, Л = /вта-т.

Для решения задачи используем метод Жуковского Н.Е.. Конформно отображая верхнюю полуплоскость изменения некоторого переменного комплексного параметра ( (рис.2.2) на область изменения функции Жуковского а, по формуле Шеарца-Кристоффеля получим:

1 &У/ V (1г

со =1п| — — | = 1 п —

1{^ + ь){1+с)(1-с)а-1)}

Тп . (2.2)

В формуле (2.2) ю = <р + гц/, <р - потенциал скорости, функция тока, б>- угол наклона вектора скорости к оси ОХ; постоянные N , а, ь, с. е определяются из условий:

©(/) = 1п — + «я7,&>(е) = 1п —, й>(0)=0 «(-с) = 1п , й>(-ь) = 1п- (] -

через эллиптические интегралы 1-го и 3-го родов [1].

Связь с физической плоскостью выразится формулами:

(2.3)

г = х +

/у = (I 5Шал)[\ Г' / 1т }г3 ехр[-<у(()]с#

(2.4)

[АВ| = - 1т /Г3 ехр[-щ(*)]Л .

л- Бт ояг

Давление на пластинку определяется из (2.1):

2 /

-1

тогда для коэффициента С, сопротивления пластинки х и коэффициента С подъемной силы у получим:

(\ -- ——,X = О бшал,

р\~~Ит ал

(2.5)

ТУ

С - -;--- , У - Осаъап .

р\' у .чт ал

Для значений о-, = 0,221, а2 = 0,433, Рг = 3,07, ал = 20" на рис.2.3, рис.2.4 изображены физическая модель течения и графики коэффициентов сопротивления и подъемной силы пластинки. Пунктирной линией нанесены свободные струи при обтекании невесомой жидкостью с числом кавитации

Рассмотренная схема отрывного течения отражает следующие свойства по сравнению с течением невесомой жидкости: 1) точка спрямления нижней свободной струи находится значительно ближе к точке срыва, чем соответствующая точка верхней струи; 2) имеет место всплытие каверны (каверна в тяжелой жидкости приподнята относительно каверны в невесомой жидкости).

Таким образом, полученная математическая модель построена на преобразовании верхней полуплоскости параметра/, являющейся фазовым пространством, в физическую модель, а принцип внешних дополнений, заключающийся в гипотезе постоянства скоростей потока жидкости на свободных поверхностях, использован для получения решения задачи. Адекватность реальному процессу проверена по данным эксперимента.

2.2. Метод интегральных операторов в математических моделях плоских сверхзвуковых течений идеального газа

Плоские сверхзвуковые течения газа относятся также к динамическим системам на плоскости. Для построения модельной системы фазовой плоскостью служит плоскость годографа скорости и ее модификации.

Плоские сверхзвуковые установившиеся движения идеального газа в плоскости годографа скорости определяются уравнениями:

сг

и, + сг.

2

^ + = 0,375.

v

(2.6)

Щ ¿-¡1 ду]

(2.7)

и

где К =К(1) ■ функция Чаплыгина, 4 и ц - характеристические переменные плоскости годографа скорости,

í = Исиад — - агс1дт ,Л7 = ^ + 1 ,ш2 = М' - Г, п у -1

Г =С ус „ = 1,405; М - число Маха.

При адиабатическом процессе давление р, плотность р, модуль скорости v, отнесенные к соответствующим значениям а точке торможения, а таюке функция Чаплыгина связаны числом (переменной) Маха:

(2.8)

__2_

Переход к физической плоскости г = х + /у производится по формуле

Г I ^ е'" Л? = с*е> +— (2.9)

I р ) V

Из (2.7) следует уравнение для функции тока:

+ =0, (0 = ^1. (2.10) решение которого будем искать в виде ряда Бергмана

.(<)• (2.11)

я=0

К - фМ) + рЛп) - решения волнового уравнения

/л(г), - произвольные функции, на которые для удовлетворе-

ния уравнениям (2.10) наложим условия:

Ограничиваясь для функции /„, /„ частными решениями, функция тока (2.11) с учетом (2.12) в конечном счете будет зависеть от двух произвольных функций Ф0(4) и Ра(ч)- Для потенциала скорости из (2.7) получим

Функции (2.11) и (2.13) дают решение системы уравнений (2.7) достаточно общего характера, поскольку зависят от двух произвольных функций. Ряд (2.11) для такого итерационного процесса является сходящимся в некоторой области С, содержащей линию L, если на этой линии известна функция тока = непрерывная вместе со своими производными 1-го порядка и смешанной производной а области С и удовлетворяющая уравнению (2.10) [8].

В этой задаче внешнее дополнение участвует в самой постановке задачи как идеализация процесса, но и это упрощение, с силу нелинейности уравнения (2.10), но позволяет получить простое аналитическое решение для построения математической модели приближенной физической системы.

Поэтому для практических целей решение уравнения (2.10) выразим конечным числом в ряде Бергмана, то есть получим приближенное решение- Приближенные решения этого уравнения ка основе введения гипотетического газа с аппроксимирующей функцией Чаплыгина хорошо известны (Седов Л.И., Христианоаич СА, Домбровский Г.А., Чуриков Ф.С.), но для больших изменений скорости потока адекватность адиабатическому процессу необходимо устанавливать в нескольких точках, что затрудняет применение такого метода.

Приближенное решение в виде конечного ряда Бергмана содержит точную функцию Чаплыгина, ¡¡редставляющую адиабатическое состоя-

//+г/, = О,/;+г/. = -(с, + 2ГС,),

(2.12)

= л.,•* = «...

(2.13)

низ (2.8). Однако, если после подстановки конечного ряда Бергмана в уравнение (2.10) считать функцию K(t) неизвестной, то решение полученного уравнения приводит к аппроксимации функции Чаплыгина, в том числе Христиановича С.А. и Домбровсхого Г.А. (для одного и двух членов в ряде Бергмана, соответственно), то есть здесь внешним дополнением является введение некоторого "гипотетического" газа.

Для двух членов в ряде Бергмана решение уравнения (2.10) представится следующим:

у = J(t)K"И(0[Ф(4) + Ffa)] + К '';(0[Ф'Ш + (2-Й)

где

Ф(£) = .-Ffo) = ] F0{,])dT, (2.15)

w 4JU 4\kJ J m3 m m

, . m - darctg —,

а . У_ ш „ ИА (2.16)

24 4 8 '-1)

к; = к; = к; = *',./,' = .г

Точность решения зависит от поведения функций Ф(д) и Р(^), определяемых из краевых условий задачи.

3 работе решены:

- задача Гурса по данным потенциалу скорости <р и функции тока у на двух характеристиках различных семейств, пересекающихся в точке

(^о»7о)>

- задача Коши, когда на линии т] = д(4) (или £ = пересекающейся прямыми 4 = г] = г]а только один раз, известна функция тока у =

- задач сверхзвуковых течений идеального газа со свободной поверхностью и твердой стенкой;

- сверхзвуковое истечение газа из плоского сопла при расчетном режиме, то есть на выходе из сопла и в приемнике давления равны;

- сверхзвуковое истечение идеального газа из плоского сопла при нерасчетном режиме, то есть при давлении во внешнем пространстве (приемнике), меньшем давлении на выходе из сопла.

2.3. Новые аппроксимации функции Чаплыгина в моделировании плоских сверхзвуковых точений идеального газа

Если конечный ряд Бергмана подставить в уравнение для функции тока и рассматривать K(t) как неизвестную функцию, получим уравнение для ее определения. При одном члене в ряде Бергмана решением этого уравнения является аппроксимация Христиановича С.А., при двух - аппроксимация Домбровского Г.А. Для трех членов в ряде Бергмана функция Чаплыгина K(t ) аппроксимируется следующими:

К = К,

t-b

B(t-b) +с

при Б >0 ,

(2.17)

К2 = л4[1 -nit-b)cthm(l - /q)]"4 при Б -

4т'

<0 .

(2.18)

Здесь постоянные В,Ь,с,п,т^0 определяются из условий касания аппроксимирующих функций и их производных (по числу постоянных) с точной функцией Чаплыгина и ее соответствующими производными или уз условий наиболее точного приближения гипотетического потока к адиабатическому, задаваясь равенством давления, скорости и переменной Маха при равенстве плотности в некоторой точке £ = е,.

Из (2.17) следуют частные случаи при с = 0 и при Ь = О:

(2.1Q)

Вычисления значительно упростятся, если принять f, = b. Тогда при K(i,) = К„, K'(t,) = К'0, /С"((,) = К'„' для получим (из условия касания с точной зависимостью K(t)):

л =

16\kJ 8 °

teY К£ UJ кс

mcthm(t, - f0) =

(2.20)

п

- Из указанных и известных аппроксимаций наиболее точными являются К2 и А"3.

З.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДВИГАТЕЛЯХ ВНУТРЕННЕГО СГОРАНИЯ

3.1. Математическая модель температурного поля цилиндра двигателя с воздушным охлажденном.

При пуске и последующем прогреве двигателя з холодных условиях температура стенок цилиндров длительное время остается ниже точки росы продуктов сгорания. В этот период на стенках конденсируются пары, которые образуют с продуктами сгорания различные кислоты, спо-.собствующие повышенному износу. Интенсивность изнашивания деталей цилиндро-поршневой группы определяется преимущественно тепловым режимом, контроль которого при экспериментах осуществляется с помощью термопар, установленных в теле цилиндра. В ряде 'случаев непосредственно измерить температуру в заданной точке двигателя технически трудно, а иногда невозможно. Возникает задача получить физико-математическую модель температурного поля ципиндра двигателя (для данного исследования - с воздушным охлаждением). Заметим, что известные решения поставленной далее задачи теплопроводности относятся к неограниченным, полуограничекным и ограниченным с нулевой температурой окружающей среды телам, а также с известными краевыми условиями.

.Данная задача относится к рассмотренным в первой главе динамическим системам распространения в пространстве физических полей.

Направим ось координат от внутренней стенки цилиндра х = о к внешней стенке х = / перпендикулярно оси цилиндра. Тогда одномерная краевая задача теплопроводности третьего рода для нестационарного процесса сформулируется так:

^ = = г)-^(г), (3.1)

—(/, г)+лг(;, г) = ьт„ = у, = сопэг,

(УХ

(х,0)= ^,/Л.Л = аД.

Здесь а2 =• Л/{ср), с - теплоемкость вещества, р - плотность, ти{%) - температура продуктов сгорания у стенки цилиндра, ти - температура охлаждающей среды, Л - коэффициент теплопроводности, а - коэффициент теплопередачи от стенки.

После приведения краевых условий к однородным получено решение задачи:

Т(х, т) = -(а,х + /3,)ЛГ,„ (г) + (а,х + /3 )ЛГ. -

-¿7- 2}' - (3.2)

(Л* + у2пу + 2И\ и„ у

аг„- положительные корни трансцендентного уравнения с/огг--(аг2 - /з2 )/2Л.

Для заданных 7„ и т(/, г) согласно законам теплопередачи Ньютона и теплопроводности Фурье

где с?, - внутренний диаметр цилиндра, с12 - внешний диаметр цилиндра.

Так, по замерам температур с помощью термопар и потенциометра для 1 = 0,013м; Л = 54ккал/мчасград; гя = -20°с; р- 7100кг/м3; а = ЗЗОккал/мчасград; с = 0,12ккал/кггрзд; 2^.29,97;аг2 =245,48; с(, = 0,105м; = 0,118м, 0 < г < 15 мин получена аппроксимация:

Т(0,г) = -1СД1 + 12,25 т-0,47г2.

Для х = 0,0015 м экспериментальная и расчетная для двух членов в сумме (3.2) зависимостиТ(г) изображены на рис.3.1.

Результаты расчетов по изложенному выше решению могут быть обобщены на подобные в тепловом отношении двигатели, что устанавливается вычислением соответствующих критериев подобия.

При решении этой задачи использован феноменологический подход к рассмотрению процесса, однако принцип внешних дополнений потребовал определения неизвестной начальной'функции статистически по данным специального эксперимента. Построенная таким образом модель

температурного поля цилиндра двигателя позволяет производить тепловой расчет конкретного типа двигателя воздушного охлаждения, а в холодное время года, что очень важно для Сибири с ее климатом, определить время прогрева двигателя (до выхода его работы в установившийся режим).

3.2. Математическое моделирование технического состояния реактивных м?.сляных центрифуг тракторных двигателей

Многочисленные исследования системы смазки дизельных двигателей сельскохозяйственных тракторов выявили нелинейность роста отложений загрязняющих масло примесей на стенке ротора реактивных масляных центрифуг (РМЦ). В начальный период эксплуатации происходит интенсивное увеличение слоя отложений'до некоторой величины, после чего интенсивность замедляется, что приводит к увеличению загрязнения в картерном масле. К тому же инструкциями по обслуживанию РМЦ интервал между очистками ротора строго регламентирован и не зависит от вида выполняемых работ и загрузки трактора.

В силу многих факторов, влияющих на чистоту картерного масла, а также нелинейности роста слоя загрязняющих масло примесей на стенке ротора масляной центрифуги, задача построения модельной системы по некоторому дифференциальному уравнению является весьма затруднительной, поэтому целесообразнее для феноменологического описания физического процесса использовать статистический подход, а в качестве внешнего дополнения принять эвристическое существование точки перегиба функции изменения слоя загрязняющих примесей на стенке ротора, зависящей от какого-то параметра, рассматриваемого как агрегат состояния масла (т.е. объединяющий влияние всех факторов на чистоту масла).

Информационным параметром, наиболее полно отражающим влияние условий работы и состояния очищаемого масла на процесс увеличения слоя отложений в РМЦ, является частота вращения ротора РМЦ. По наблюдениям за работой масляных центрифуг двигателей А-41 и СМБ-14 в весенне-осенний период в условиях Западной Сибири [16], статистической обработки данных и регрессионно-дисперсионного анализа построена статистическая модель на основе уравнения регрессии, из которой следует, что рекомендуемый посменный контроль РМЦ необходимо проводить, когда расход топлива двигателем составит 906 кг, а техническое обслуживание РМЦ следует проводить при частоте ротора 4445 об/мин. В этой задаче критериями адекватности модельной системы реальному процессу являются статистические критерии.

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ

4.1. Математическое моделирование движения плуга в про-дольно-вертикапьной плоскости

На качество вспашки и расход топлива тракторами влияет физическое состояние рабочих органов, в основном режущих элементов, которые наиболее быстро изнашиваются. Поэтому повышение работоспособности лемехов, качество работы плугов имеет важное хозяйственное значение. Непостоянство физических и технологических свойств почвы, неровности микрорельефа и другие факторы вызывают варьирование сил, действующих на корпус плуга, поэтому процесс работы плуга необходимо рассматривать в динамике. В результате износа лемехов при работе плугов на лезвии лемеха образуется затылочная фаска с различными отрицательными углами е3 наклона ко дну борозды (см.рис.4.1).

Изменение геометрических параметроз фаски влияет на устойчивость движения плуга в продольно-вертикальной плоскости и вызывает значительные колебания глубины вспашки, которые приводят к снижению урожайности культур. Поэтому при эксплуатации пахотных агрегатов следует определять работоспособность лемехов, которая зависит от устойчивости движения плуга. По агротехническим требованиям критериям устойчивости движения плуга в продольно-вертикальной плоскости является изменение глубины вспашки (до ±2 см от заданной). Однако, этот показатель имеет косвенное отношение к устойчивости движения плуга, так как из-за неровности рельефа, налипания почвы на колеса и по другим причинам коэффициент вариации глубины вспашки не равен нулю, хотя движение плуга может быть вполне устойчивым. Необходимо учитывать силы, действующие нз лемехи, имеющие различные геометрические параметры лезвия. При незначительных величинах моментов, действующих на корпус плуга, считаема движение плуга поступательным. Тогда уравнениями движения корпус?, 'плуга в продольно-вертикальной плоскости являются:

д ш д ш

где ось х направлена по горизонтальной составляющей скорости, ось г - по вертикали верх, с - вес плуга, приходящийся на один корпус, д -ускорение силы тяжести, Р - сила тяги на крюке трактора, К - главный вектор сил сопротивления, зависящий от скорости движения .рактора (у), твердости почвы (Г), глубины вспашки (а), угла наклона затылочной

фаски с,, ширины затылочной фаспл (/,) (индексы в дальнейшем отсутствуют).

Задача относится к исследованию динамической системы на плоскости, физическое состояние которой описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (4.1), а правые части уравнений являются стохастическими функциями конструктивных (с, I), физических (Г ) и технологических {V,a) параметров. Эти функциональные зависимости для конкретного поля могут быть определены статистически и тем самым достигается адекватность модельной системы реальным условиям, а сами зависимости явятся внешним дополнением, построенным неформальным путем.

Пусть VK = V = const, Уг = dajdt,

Введем возмущения Ае, А1, ЛГ, Да и ограничимся членами первого порядка малости в разложениях функций (4.2) для возмущенных аргументов в ряд Тейлора. После некоторых преобразований получим следующие условия устойчивости движения (Ла = 0)

Rx =f{cJ,T,V,a), R, = ç(s,l,T ,V ,а). Тогда из уравнений (4.1) следует

(4.2)

(4.3)

(4.4)

К полученным условиям из требования теоремы'А.М.Ляпунова о минимальности потенциальной энергии в положении равновесия добавится равенство:

<р + а — + НдР = й , (4.5)

8а

где р - угол наклона тяги к горизонту.

Найдем условие для Л а , определяющее интервал глубины устойчивой пахоты, записав второе уравнение (4.3) для (а + Ла) и учитывая, что с*2 Аа/Ы7 0 при а -» аус , тогда

<р{а + Да) - <р(а) + [/ (а + Да) - /(а)] гдр-О. (4.6)

Итак, задаваясь одним из параметров, очевидно, твердостью почвы, при известных [,<р,С и р определяем скорость движения агрегата, глубину пахоты в интервале аТ4а и значения параметров ¿- и I, обеспечивающие устойчивую пахоту. По номограмме для заданных V и а можем производить выбраковку лемехов при подготовке агротехники к пахоте. Для получения зависимостей (4.2) рекомендуется тензометриче-ский корпус плуга, сконструированный в Новосибирском агроуниверсите-те (Мухин В.А., Мяленко В.И.). Полученные, здесь теоретические результаты подтвердились проведением эксперимента с помощью этого плуга для построения <ри / на полях Тулинского совхоза Новосибирской области.

4.2. Потери зерна за комбайном при неравномерной подаче растительной массы и их минимизация по математической модели процессов обмолота и сепарации.

Технологический процесс и условия уборки зерновых культур значительно влияют на сохранность урожая. Одним из факторов, увеличивающих потери зерна за комбайном, является неравномерность подачи растительной массы.

Исследования процессоз .'^молота и сепарации при обработке зерновой массы (И.Ф.Василенко, кДШеповалов и др.) предполагают равномерность подачи зерновой (растительной) массы в комбайн и используют вероятностно-статистический метод построения моделей этих процессов.

Закон распределения вероятностей подачи растительной массы в комбайн, как известно, хорошо согласуется с нормальным, то есть плотность распределения вероятностей определяется функцией:

(4.7)

где д-подача зерновой массы, д0 -ее математическое ожидание, а -среднее квадратическое отклонение, ст* - дисперсия.

Потери зерна в конечном интервале (а,Ь) достаточно точно пред-ставимы экспонентой (Медведчиков В.М.)

р = аеЛ +с , (4.8)

где а, Дс - постоянные, определяемые экспериментально и зависящие от конструктивных' особенностей молотильно-сепарирующего устройства и условий уборки.

Так как зависимость (4.8) - нелинейная, то закон распределения потерь зерна не является нормальным. Превышение средневероятностно-го значения потерь зерна при неравномерной подаче ( так как агрг > 0) над потерями зерна при равномерной подаче растительной массы составит:

Р ~ Р0 = а ■ _ ^ . ехр^дг0 . (4.9)

ДВ результате экспериментальных исследований, проведенных на полях Новосибирской области, и полученной зависимости доказано, что при неравномерной подаче потери зерна значительно увеличиваются («50%).

Одним из приемов минимизации потерь зерна за комбайном является настройка МСУ'в оптимальный режим по минимальному значению целевой функции, построенной на основе стоимости потерь;

у =0

с; IX +с

(4.10)

где С\ - стоимость зерна, -снижение стоимости зерна при травмировании, О - расчетная производительность МСУ, х. - доля выделенного зерна на /-ом этапе от всего поступившего в МСУ, г]- доля травмированного зерна из числа выделившихся на соответствующем этапе при ограничениях

N ¡м

Преобразования приводят целевую функцию (4.10) к кубической параболе

у* = -а(х*)3 +Ьх*, (4.11)

существование минимума которой позволяет отстроить МСУ в оптимальный режим.

4.3. Математическое моделирование работы силосоуборочного комбайна с основной и резервной технологическими емкостями.

Работа безбункерных уборочных машин сопряжена с простоями, вызываемыми заменой технологических емкостей. Для ликвидации простоев уборочных машин, связанных с заменой емкостей, целесообразно использовать агрегаты, состоящие из комбайна, автоматической сцепки, основной и резервной технологических емкостей. Прицепка емкостей к агрегату осуществляется на ходу без использования ручного труда (Блынский Ю.Н., Пискарев А.5.).

Создание комбинированных уборочных агрегатоз вызывает необходимость обоснования основных параметров автоматической сцепки и также определение силы тяги уборочной машины в зависимости от фона поля, грузоподъемности емкостей и стохастического поступления зеленой массы в основную емкость.

Рассматриваемая динамическая система является уже сложной, так как может быть разбита на две составляющие системы, одна из которых моделирует взаимодействие отдельных частей уборочного агрегата,' другая - описывает движения всего агрегата в зависимости от управляющих (скорость агрегата) и технологических (условия уборки) параметроз. Схема сил, действующих на агрегат, приведена на рис.3.2 (в горизонтальной плоскости), где Р - сила сопротивления перемещению оснозной емкости с учетом поступающей в нее зеленой массы весом С,/^- сила сопротивления перемещению резервной емкости, Ос - конструктивный вес технологической емкости, 5 и5„ - реакции (усилия) е основной и дополнительной штангах сцепки, / - коэффициент сопротивления перемещению, Р0 = Ю0, Р = /((?„ +С), а - расстояние между линией тяги комбайна и продольной осью резервной технологической емкости, Ъ - расстояние между линией тяги и дополнительной штангой, Л - конструктивная ширина емкости, - допустимое расстояние между емкостями, при этом должно выполняться условие а > Л.

При равномерном движении агрегата

БВЪ - Р0а = О Р,(а-Ъ)+ЗЬ-РЪ =0 ,

от!суда

0 ь

Из решения следует, что усилие в дополнительной штанге постоянно и штанга работает на растяжение, усилие в прицепном устройстве (основная штанга) максимально при отсутствии резервной емкости и полной загрузке: 5 =/(<?„ +С). В начальный момент системы усилие в

прицепном устройстве минимально при — = 2.

ь

Существующие зависимости для определения силы тяги уборочного агрегата не учитывают влияние резервной емкости и переменного веса растительной массы в основной емкости на тяговые показатели. Рассмотрим динамику поступательного движения уборочного агрегата с резервной и основной емкостягли, масса последней является переменой:

¿[у„(л1. +1Л, + лО!

I л '---= (4.13)

Л

где Р - тяговое усилив уборочной машины, т, и т3 - массы основной и резервной емкостей, тр - масса поступающей в оснозную емкость растительной массы, - рабочая скорость движения афегата. Полагая, что тр -V? -1Л при IV, 11=сопв1, где IV - производительность уборочной машины, гг/с, 1Л урожайность зеленой массы, кг/га, £ - время загрузки основной емкости.

Послэ дифференцирования (4.13) для равномерного движения получим:

-и(у +т7), " (4.14)

= (415)

и(Гг+Ач)

Выразим время погрузки через грузоподъемность С, урожайность!/ и производительность \Л/: ( = С^ид .Тогда из (4.14)

Рщ« "УПЛГ+ф, +О, +С), (4.16)

где О, = т,д, О 2= т2д.

Для * = (».(начальный момент времени):

(4.17)

и„

Так как \Л/=сопз1, то,приравняв (4.15) и (4.17), с учетом (4.16), получим:

Для г = о из (4.16) и (4.18) следует.

1Л/иу[\УЦу +{(0, +<?, +С)] + ГС(01 +о7) р°" тлгт • (419)

Если О, = О, = О , \Л/Ц^П, то после подстановки (4.19) в (4.18)

Рши =[П2 + 2/(0 + С}П + 0(2£ + <3)]/(П + . (4.20)

Построенная модельная система содержит два существенных внешних дополнения: постоянство технологических параметров и равномерное поступление растительной массы в основную технологическую емкость. Из решения этой задачи следует еще один интересный вывод: применение теории движения тел с переменной массой даже к малым скоростям позволяют существенным образом уточнять параметры процесса и его поддержание (например, расход топлива).

Таким образом, полученные результаты позволяют рассчитать автоматическую сцепку и основные тяговые параметры уборочного агрегата при работе с основной и резервной технологическими емкостями.

5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МАТЕРИАЛОВ

5.1 Математическое моделирование прокатки упругих материалов.

С появлением новых материалов и их обработкой прокаткой (плющением) появилась необходимость разработки ' физико-математической модели, учитывающей упругие свойства материала. В опубликованных работах по тесрии обжатия вальцами различных материалов рассматриваются процессы деформации, происходящие только на участке АВ (рис.5.1).

Поскольку эффект расширения материала на выходе (участок ВС) имеет существенное значение для технологического процесса, расчет давления на вальцы произведем с добавлением соответствующих зон контакта обрабатываемого материала с поверхностями вальцов. Ввиду симметрии процесса рассмотрим взаимодействие материала и одного вальца. Разделим'площадъ контакта материала с рэльцами (рис.5.2) на 4 зоны, предполагая, что характер изменения удельных давлений з зонах 3, 4 аналогичен характеру изменения их в зонах 1, 2, но вместо сжатия материала происходит его расширение. При этом в зоне 1 имеет место сжатие с отставанием, в зоне 2 - сжатие с опережением, в зоне 3 - расширение с опережением, в зоне 4 - расширение с отставанием. Под отставанием и опережением понимается замедление (пробуксовка) или ускорение (выдавливание) материала относительно вальца.

Система координат вводится симметрично относительно вальцов. Величина нормальной реакции вальца N на участке dS определяется как pdS, где р - давление материала на поверхность вальца. Постоянный коэффициент трения между поверхностью .вальца и материалом обозначим через ц. Составляющая по оси х удельного напряжения материала в сечении х считается постоянной: егг = ст. Из физических соображений и предыдущих исследований (Целиков А.И.) полагаем.

р = К a, К = const. (5.1)

Это внешнее дополнение является физической гипотезой, упрощающей исходную математическую модель, но позволяет попучить точное аналитическое решение дифференциальных уравнений, описывающих взаимодействие вальца и обрабатываемого материала.

Из дифференциальных уравнений действия сил для каждой зоны получим следующие решения:

2S

Го-^у-

V а - sin <р )

(2)

(3)

g-srnp, \a~ sintpj

(5-2)

cr = a.

a - sm <

a - sm <p.

Л-Л,)

(4) a = aÁ—,- e .

где (pa соответствует началу зоны 1, <z>, - концу зоны 1, <рг - концу зоны 2

<р2 = jj, <P¡ • концу зоны 3, <р, = ¡рв - концу зонь! 4 на выходе материала

с поверхности вальца; А = А(гр) - известная функция [19], А, = A(tp¡), сг, = ст^,), i = 0,1,...,4.

Значение постоянной К в (5.2) найдется по значениям ст0 и ав:

к = In[{a - sin <р Да - sin <р,Xa - l)~'j - In <JB /<т0

ln[(a - sin р„Ха - sin рДа - l)"'] - ДА» - 2А, - 2А, + А4)'

С учетом того, что dS = Rd<p, суммарное давление обрабатываемого материала на валец определим по средним значениям давлений в каждой зоне:

P'^ifa+P,)^*. (5.4)

i. i>I

Полученные результаты проверены при плющении фуражного зерна с одновременным обжариванием в целях получения улучшенных кормов. Материалом явилась пшеница "Новосибирская-67" с влажностью 16%.

Расчетная сила давления равна 32,4 кН, величина поджимающего усилия изменялась в интервале [32,1; 33,8] кН при площади контакта

10'3м2.

5.2. Колебания нелинейных вибрационных систем с одной степенью свободы с перескоком.

При периодическом процессе обработки материалоз одними из критериев оценки являются максимальная скорость взаимодействия и глубина деформирования обрабатываемого материала. Целесообразно иметь рабочий орган, осуществляющий "быстрый и легкий удар".

Этому условию могут отвечать динамические системы (множество Парето), упругие характеристики которых заданы кубической параболой

ay +Ьу3 <= Ф(у), (5.5)

где у - перемещение от силы Ф, приходящейся на единицу массы системы; а,Ъ = const.

При выборе динамической системы неопределенность цели преодолевается введением общего критерия - отношения максимальной скорости к амплитуде колебаний, а исследование будем проводить в фа-

зовой плоскости ■

Из уравнений движения, восстанавливающей силы, фазовой траектории и сравнения отношения максимальной скорости к амплитуде предпочтительной является система с несмежной формой равновесия при А'«5 > а!/2Ь, А - амплитуда колебаний, о -частота.

Интегрирование уравнения движения с несмежной формой разно-сзсия производим по методу прямой линеаризации. Метод прямой, линеаризации заключается в аппроксимации восстанавливающей силы прямей Ф = (1)2у .

Предложенная в работе линеаризация

5(Л'Ь-4аУ

является наиболее точной из известных (по критерию Мышкиса А.Д.).

Рассмотрим вынужденные колебания с несмежной формой равновесия

у-ау + by3 = Нsin/з/ ,а,Ь > 0.

По методу Галеркина Б.Г., выделим периодическое решение того 1я

же периода —, что и период возмущающей силы, тогда единственное Р

периодическое движение с действительной амплитудой возможно при

Н > — 9

Х* + Р*У ь

У =

(1МЧ1М*

зт рЬ.

(5-7)

С учетом сопротивления устойчивость таких нелинейных колебаний исследована Бондарем Н.Г..

В качестве реализации предложим систему из ударника 1 (рис.5.3) на подвеске 2 с несмежной формой равновесия.

Движение такой системы вместе с движением водила 3 будет характеризоваться ударно-циклическим взаимодействием со щеками "Л" и "П" этого водила, совершающего гармоническое движение:

ув = ЛзтаХ±^,

у = ±,[а/Ь - положения устойчивого равновесия ударника. Условием максимизации скорости соударения является

(5.8)

У В'У

со

-» тах,

(5.9)

где ув и у-скорости водила и ударника в момент касания, то есть в конце фазы свободного движения ударника.

В качестве упругого элемента вибрационной системы регулируемой жесткости с нелинейной упругой характеристикой (Алабужев П.М. и др.) может быть балка или стержень симметричного сечения с неподвижно закрепленными концами и предварительно сжатые вдоль своей оси.

Зависимость стрелы прогиба 5 элемента от поперечной нагрузки О выражается так:

16Ю21р\РкК~Юрг)

р{з

5 - площадь сечения, /Г = Р/Р„р, Р - сила предварительного осевого сжатия элемента, Р„р - критическая сила Эйлера, р = (Л^ /Е^)''", Е - модуль упругости материала; / - момент инерции сечения; Кх и Еу - переменные горизонтальная и вертикальная реакции опоры; 1 - длина балки.

Введем безразмерную поперечную силу О' = 0/0а и безразмерный прогиб 8" = 5/$а, тогда

¿д/?-/7

(5.10)

128£/

А = 2(//5)*,/? = р1Ц.

Р КБ

Задавая К, получим параметрическую зависимость о*(<?•) при изменении параметра р в интервале 0, ~ 4к

Таким образом, при заданной начальной силе осевого поджатая р можно рассчитать параметры упругого элемента. При достаточно больших значениях К упругие элементы будут скачком менять форму равновесия (явление "хлопка"). Статические и динамические испытания таких вибрационных систем ( П.МАпабужев, Г.К.Резанов, К.Ф.Потехин, Г.К.Юрьев, А.К.Зуев, С.П.Лаврентьев) подтвердили правильность теоретических результатов и показали хорошую работоспособность упругого элемента.

Таким образом, для построения модельной системы использован комплекс формальных (математических) и неформальных (эвристических) приемов исследования динамических систем на плоскости:

- выбор множества альтернативных вариантов достижения цели с неопределенностью: максимум скорости, минимум амплитуды;

- введение общего критерия, позволившего преодолеть неопределенность цели и по исследованию в фазовой плоскости выделить одну систему;

- использование принципа внешних дополнений, состоящем в линеаризации упругой характеристики с целью получения точного решения приближенного дифференциального уравнения;

- доказательство адекватности сравнением с известными решениями;

- определение критерия оптимизации рабочего процесса и установление условий оптимального режима;

- проверка работоспособности конструкции контрольным испытанием.

ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Методами системного анализа получены аналитические решения задач, различных по тематике, но тем и доказательнее целесообразность такого подхода к исследованию процессов, главным звеном в которых является физическое поле (температурное поле, поля напряжений, механическое движение), и позволяющего с помощью полученных решений контролировать и управлять рабочим режимом этих процессов и даже оптимизировать некоторые из них, то есть разработана методика, позволяющая построить модельные системы в прикладных задачах математической физики и механики сплошной среды.

2. При условии постоянства скоростей свободных струй несжимаемой тяжелой жидкости, ограничивающих каверну, получено решение задачи обтекания наклонной пластинки, доказано явление "всплытия каверны" относительно каверны в невесомой жидкости, а по форме каверны может быть предложен профиль подводного тела с наименьшим сопротивлением для определенной рабочей скорости движения.

3. Получено решение плоских краевых задач сверхзвуковой газовой динамики потенциальных течений идеального газа для данного адиабатического состояния и рассмотрены два случая истечения газа из плоского сопла для любого значения сверхзвуковой скорости на свободной поверхности струи, что невозможно для решений по методу аппроксимаций адиабаты. Однако, рассматривая и такой подход, на основании применяемого приближенного метода интегральных операторов получены новые аппроксимации, более точные по сравнению с известными.

4. Используя полученную экспериментально зависимость температуры внешней стенки цилиндра двигателя внутреннего сгорания от температуры окружающей среды, построена математическая модель температурного поля цилиндра двигателя в период пуска, позволяющая определить время прогрева двигателя.

5. Обоснованы критерии определения оптимального времени контроля и технического обслуживания реактивных масляных центрифуг тракторных двигателем по частоте вращения ротора и расходу топлива.

6. Получены критерии выбраковки лемехов плугов при пахоте в зависимости от технологических условий процесса (твердость почвы, глубина пахоты и скорость движения агрегата). Для данных значений конструктивных параметров лемеха может быть определена скорость агрегата, обеспечивающая устойчивость пахоты для определенных глубины и твердости почвы.

7. Доказано увеличение (причем значительное) потерь зерна за зерноуборочным комбайном при неравномерной подаче в комбайн растительной массы. Получено условие минимизации потерь зерна в двух-барабанном молотильно-сепарирующем устройстве комбайна.

8. Для способа уборки урожая силосоуборочным комбайном с основной и резервной технологическими емкостями определены оптимальные параметры сцепки для этих емкостей и энергозатраты при таком способе уборки. Исследована возможность минимизации энергозатрат в зависимости от урожайности, производительности комбайна и условий уборки.

9. При обработке упругих материалов прокаткой между вращающимися вальцами определены значения удельных давлений на поверхности вальцов с учетом упругих сесйств материала, что позволяет празильно рассчитать поджимное устройство и энергозатраты.

10. Для наилучшего воздействия на обрабатываемый материал в вибрационных механизмах предложен и рассчитан ударный элемент типа мембраны, реализующий нелинейные колебания с несмежной формой равновесия. При этом скорость удара язляется наибольшей, а время действия и деформации - наименьшими.

Полученные результаты образуют раздел общей теории моделирования в прикладных задачах математической физики и механики сплошной срэды и являются базовыми для конструирования новых механических систем, разработки и оптимизации технологических процессоз, что в совокупности могут быть квалифицированы как значительнее достижение в развитии перспективных направлений построения модельных систем в инженерных задачах и имеющих большое значение для науки и практики, а сама методика решения таких задач является значительным достижением в методологии решения задач прикладной механики и математической физики.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Торбунов С.С. О кавитационном обтекании пластинки тяжелой жидкостью: сб. работ по гидромеханике и теории упругости. -Томск:- Из-во ТГУ, 1967. 7 с.

2. Назаров Г.И., Торбунов С.С. Приближенное решение основных краевых задач сверхзвуковой газовой динамики методом Бергмана: сб. работ по гидромеханике и теории упругости.Томск:- Из-во ТГУ, 1967.16 с.

3. Торбунов С.С. Приближенное решение задачи о сверхзвуковом истечении газа из плоского сопла при расчетном режиме: сб. работ по гидромеханике и теории упругости.Томск:- Из-во ТГУ, 1967. 4 с.

4. Торбунов С.С. Применение двух приближенных методов к сверхзвуковым течениям газа из плоского сопла. Тезисы докладов 111 Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.:, Из-во АН СССР, 1968.

5. Торбунов С.С. Приближенный метод Бергмана в сверхзвуковой магнитной газодинамике.: Труды I Республиканской конференции по гидроаэродинамике и теплообмену. - Киев:- Из-во КГУ, 1969. 8с.

6. Торбунов С.С. К исследованию сверхзвуковых струй идеального газа, истекающих из плоского сопла.: Материалы Всесоюзной конференции по краевым задачам и их приложениям в механике жидкости и газа. -Казань:- Из-во ,КГУ, 1970. 2 с.

7. Торбунов С.С. К решению краевых задач сверхзвуковой газовой динамики в плоскости годографа скорости.: Сб. научных трудов.- Новосибирск:- Из-во НСХИ, 1971, т.46. 15 с.

8. Назаров Г.И., Торбунов С.С. О точности приближенных решений краевых задач сверхзвуковой газовой динамики, основанных на аппроксимациях функции Чаплыгина. Сб.'Теоретическая и прикладная механика и математика" - Киев: - Из-во КНИГА, 1971. выпЛ. 5 с. Томск:- Из-во ТГУ, 1967

9. Торбунов С.С. Решение краевых задач сверхзвуковой газовой динамики двумя приближенными методами.: Автореферат дисс. на со-иск. уч. ст. к. ф.-м.н., - Новосибирск:- Из-во НСХИ, 1972.

10. Белоусов И.С., Озолин Э.Э., Торбунов С.С. Исследование задержки давления масла в период пуска двигателей Д-37М и А-41.: Сб. научных трудов. - Новосибирск:- НСХИ, 1973, т.64. 9 с.

11. Озолин Э.Э., Торбунов С.С. Математическое моделирование температурного поля цилиндра двигателя с воздушным охлаждением: Сб."Рабочие процессы двигателей внутреннего сгорания",- Иркутск,-: ИСХИ, 1975. 5 с.

12. Лаврентьев С.П., Торбунов С.С. Сравнительное исследование свободных колебаний некоторых вибрационных систем с одной степенью

свободы: Сб."Механизация сельскохозяйственного процесса в условиях Западной Сибири". - Новосибирск:- НСХИ, 1975. 8 с.

13. "Горбунов С.С. К исследованию нелинейной консервативной системы с одной степенью свободы с перескоком: Сб. научных трудов,- Новосибирск: НСХИ, 1975, т.88.9 с.

14. Торбунов С.С., Рушев А.Ф. Средневероятностное значение потерь зерна за комбайном: Сибирский вестник сельскохозяйственной науки. - Новосибирск:- Из-во СО РАН СССР, 1977.- N5. 2с.

15. Бах А.Н., Крохта Г.М., Озолин Э.З., Торбунов С.С. Исследование износа сопряжения держателя и шестерни автомата выключения пускового агрегата тракторного двигателя А-41.: Сб. научных трудов,- Новосибирск: НСХИ, 1978, т.113.4 с.

16. Торбунов С.С., Фурсов А.Н. Определение периодичности контроля реактивных масляных центрифуг тракторных двигателей: Сибирский вестник сельскохозяйственной науки,- Новосибирск:- Из-зо СО РАН СССР, 1973. N6. 6с.

17. Кубрак H.H., Мухин В.А., Торбунов С.С. К вопросу устойчивости движения плуга в продольно-вертикальной плоскости: Сб. научных трудов.- Новосибирск: НСХИ, 1979, т.125.6 с.

18. Блынский Ю.Н., Гуськов A.B., Торбунов С.С. Определение тяговых параметров уборочного агрегата с основной и резервной технологическими емкостями: Сибирский вестник сельскохозяйственной ¡»яуки,-Новосибирск Из-во СО РАН СССР, 1986. N5. 6 с.

19. Логин O.A., Торбунов С.С. Удельные давления на поверхность вальца при обжаривании фуражного зерна в процессе плющения: Сибирский вестник сельскохозяйственной науки.-Нозосибирск: Из-во СО РАН СССР, 1985. N6. 4 с.

20. Торбунов С.С. К теории прокатки упругих материалов: Тезисы докладов научной конференции АСХИ. - Барнаул: Из-во АСХИ, 1S92.

21. Торбунов С.С. Физико-математические модели в прикладной механике. - Барнаул: Из-во АлтГТУ, 1995,125 с.

22. Торбунов С.С. Оптимизация вынужденных нелинейных колебаний вибрационной системы с перескоком: Тезисы докладов научной конференции АлтГТУ,- Барнаул: Из-во АлтГТУ, 1996.

23. Торбунов С.С. Прокатка упругих материалов: Тезисы докладов научной конференции АлтГТУ.-Барнаул: Из-во АлтГТУ, 1993.

24. Торбунов С.С. Построение модельных систем в инженерных задачах математической физики и механики сплошной среду.- Барнаул: Из-во АлтГТУ, 1997; 75 с.

статистическая модель

3.2

2.1: УьУ2=соп51 3.2: точка перегиба

Ф>),т ' 5 1: р = ка

! известные решения

физические гипотезы

Модельные системы в прикладных задачах

(схема методики построения) Способы построения модельных систем

внешнее дополнение

2.1-2.5; 3.1:3.2; 4.1; 4.2; 5.1; 5.2

агрегирование

фазовая плоскость

4.1; 4.2

Классификация внешних дополнений

статистические зависимости

3.1: 4.1:

4.2:

Т((,т)=ТЛт)

р = ехр(1с,<7) Критерии адекватности

статистические

метрические Г Контрольный

2.1-2.5; 5.2

упрощения дифференциальных уравнений

2.5: К(1}=ш 4.1; 5.1; 5.2:

линеаризация

2.1-2.5; 5.2

3.2

5.2

эксперимент 2.1; 3.1; 5.2

Производственные испытания

4.1-4.3; 5.1