автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование сложных технологических процессов доменного производства методами нелинейной динамики

Введение

Глава 1. Доменный процесс выплавки чугуна и моделирование сложных термодинамических систем

1.1. Краткое описание доменного процесса

1.2. Неравновесная термодинамика и методы нелинейной динамики

1.3. Численные методы решения дифференциальных уравнений

1.4. Исследование точности численного решения динамических систем

1.5. Иерархия упрощенных моделей 50 Выводы

Глава 2. Моделирование процессов нагрева и охлаждения насадки доменного воздухонагревателя

2.1. Воздухонагреватели. Типы и основные характеристики

2.2. Модель теплового состояния насадки воздухонагревателя

2.3. Физическая модель воздухонагревателя с учетом суперпозиции действующих сил

2.4. Компьютерное моделирование процесса нагрева и охлаждения насадки воздухонагревателя

2.5. Рассмотрение возможных способов нагрева и охлаждения насадки

2.6. Влияние шага дискретизации в математической модели насадки воздухонагревателя 82 Выводы

Глава 3. Моделирование процесса косвенного восстановления железа в доменной печи с использованием аппарата нелинейной динамики

3.1. Модель косвенного восстановления железа в доменной печи

Изучение процессов, протекающих в системах реального мира, показывает, что поведение объектов зачастую носит сложный для его описания характер. Традиционные подходы к моделированию и исследованию динамики различного рода процессов, к которым относится и большинство процессов доменного производства чугуна, часто искажают картину истинного поведения объектов. Это обстоятельство ведет к снижению эффективности мероприятий, направленных на оптимизацию, автоматизацию и совершенствование процессов доменного производства.

Необходимость анализа металлургического производства вообще и объектов доменного производства, в частности, с позиций новой, активно разрабатываемой и развивающейся в последние десятилетия теории открытых дисси-пативных нелинейных систем, обусловлена практически полным отсутствием математических моделей этих процессов. В настоящее время, благодаря многочисленным работам таких крупных ученых, как лауреата Нобелевской премии И. Пригожина, Ю.Н. Неймарка, С.П. Курдюмова, Г.Г. Малинецкого и др., теория нелинейной динамики стала мощным инструментом, позволяющим описывать объекты, обладающие сложным поведением. Исследования объектов черной металлургии с использованием аппарата нелинейной динамики и неравновесной термодинамики активно развиваются, например, в научных школах В.П. Цымбала, Б.Н. Окорокова и др.

Еще одним затруднением при моделировании объектов доменного производства является то, что в них одновременно протекает большое число разнообразных физических и химических процессов. Кроме того, параметры, определяющие протекание данных процессов, трудноизмеримы, а набор управляющих воздействий, позволяющих проводить эксперименты на объекте, ограничен. При традиционном подходе единое описание поведения системы базируется на синтезе, основанном на анализе элементарных ситуаций и действующих в них законов. Использование этого подхода к сложным системам, в силу действия ряда причин (появление сложных движений, имеющих хаотический характер поведения, «проклятие размерности» для систем высокого порядка, отсутствие наглядности конечного результата, увеличение неустойчивости получаемого результата при повышении точности описания объекта и др.), приводит к тому, что становится невозможным получить свойства целого, изучая его части.

Перечисленные обстоятельства приводят к тому, что при моделировании процессов доменного производства необходимо, оставаясь в рамках теории нелинейной динамики, использовать подход, при котором построение модели основывается на бесспорных общепринятых непротиворечивых для специалистов положениях, с устранением из модели всех второстепенных процессов, ненаблюдаемых и неизмеримых параметров и переменных. Модели данного класса позволяют подтверждать и объяснять наблюдаемые и открывать новые особенности протекания процессов доменного производства, решать задачи оптимизации и автоматизации работы доменного производства.

Работа выполнялась в рамках разрабатываемого в ЛГТУ научного направления «Феноменологические модели и нелинейная динамика высокотемпературных процессов и технологий» при поддержке грантами Минобразования РФ ТОО - 5.2-2928 и ЛГТУ им. Коцаря С.Л. №0111.

Целью работы является повышение точности и минимизация вычислительных затрат при математическом моделировании сложных технологических процессов доменного производства выплавки чугуна на основе использования аппарата теории нелинейной динамики, а именно, процессов нагрева и охлаждения насадки доменного воздухонагревателя и косвенного восстановления железа в доменной печи. За счет применения математических моделей, основанных на аппарате нелинейных динамических систем, глубже понять процессы и явления, протекающие в агрегатах доменного производства выплавки чугуна, для их анализа, решения задач управления и оптимизации.

Исходя из цели работы, были определены следующие основные задачи исследования:

-проанализировать основные процессы доменного производства, определить особенности процессов, обусловленные нелинейными механизмами;

-вскрыть основные закономерности, лежащие в основе поведения моделируемых процессов, и на их базе разработать нелинейные математические модели;

- провести математическое исследование моделей и особенностей их численного решения. Для подтверждения адекватности модели реальному процессу сопоставить результаты моделирования с экспериментальными данными;

-разработать рекомендации по практическому применению результатов моделирования для управления процессами доменного производства.

Методы исследования. В работе использованы методы теории нелинейной динамики, неравновесной термодинамики, математического моделирования, теории автоматического управления, методы математического анализа, численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна исследования. Разработаны математические модели процессов доменного производства (модель нагрева и охлаждения насадки доменного воздухонагревателя и модель косвенного восстановления железа доменной печи), общей особенностью которых является применение теории нелинейной динамики и неравновесной термодинамики к анализу процессов доменного производства. Использование разработанных моделей позволило математически описать процессы перераспределения потоков газов в насадке воздухонагревателя и впервые вскрыть наличие концентрационных колебаний реагентов в зоне косвенного восстановления железа доменной печи и, как следствие, выработать технологические рекомендации по их оптимизации.

Практическая значимость работы. Разработан комплекс прикладных программ, которые применимы в промышленных и учебных целях для решения задач моделирования, исследования и совершенствования доменного производства, а также решения проблемы их автоматизации и оптимизации. Программы «Моделирование процессов нагрева и охлаждения насадки воздухонагревателя доменной печи» и «Расчет корреляционной размерности для анализа временных рядов» зарегистрированы в Государственном фонде алгоритмов и программ Российской Федерации (№ 50200300116 от 26.02.2003 г. и № 50200300117 от 26.02.2003 г.). Созданные программные продукты могут быть использованы в качестве средств информационного обеспечения алгоритмов управления доменным процессом. Установлены режимы рационального функционирования процессов.

Внедрение результатов работы. Материалы диссертации включены в учебные курсы для инженеров и магистров металлургических специальностей ЛГТУ. Программные средства приняты ОАО «Липецкстальпроект» для использования в процессах моделирования процессов доменного производства.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы освещались на международной конференции «Asia Steel International Conference» (Beijing, 2000), международной научной конференции «Синергетика в современном мире» (Белгород, 2000), V международной электронной конференции «Современные проблемы информатизации в технике и технологиях» (Воронеж, 2000), IX областной научно-технической конференции «Повышение эффективности металлургического производства» (Липецк, 2000), международной научно-технической конференции «Теория и технология производства чугуна и стали» (Липецк, 2000), всероссийской научно-технической конференции «Современная металлургия начала нового тысячелетия» (Липецк, 2001), IX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2002).

Работа по исследованию влияния шага дискретизации на поведение динамических систем была удостоена премии имени С.Л. Коцаря областного Совета депутатов и администрации Липецкой области.

Публикации. Результаты исследований нашли свое отражение в 16 опубликованных в печати научных работах, в том числе двух программах, зарегистрированных в Государственном фонде алгоритмов и программ. Во всех работах личный вклад автора заключается в участии в постановке задач, разработке и анализе моделей, разработке алгоритмов, программировании задач и участии в вычислительном эксперименте.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

Выводы

1) Созданы программные продукты для моделирования процессов нагрева и охлаждения насадки воздухонагревателя доменной печи и расчета корреляционной размерности для анализа временных рядов, зарегистрированные в Фонде алгоритмов и программ Минобразования РФ.

2) Результаты моделирования Доменного Брюсселятора позволили:

- вскрыть механизм концентрационных колебаний в зоне косвенного восстановления железа доменной печи;

- рекомендовать для управления доменной плавкой как низкочастотные (ниже частоты среза системы), так высокочастотные (выше частоты среза) пульсирующие режимы дутья;

- выбирать частоты, превышающие частоту среза системы.

3) Показано, что при проектировании процессов нагрева и охлаждения воздуха в устройствах рекуперативного типа (воздухонагревателях) необходимо учитывать суперпозицию действующих физических сил. Проверка созданной модели на адекватность показало ее хорошее совпадение с известными результатами исследования термодинамических процессов в воздухонагревателе.

4) Полученные результаты переданы в ОАО «Липецкстальпроект» и приняты к внедрению при проектировании объектов доменного производства (технологических процессов доменной печи и процессов нагрева и охлаждения газов в воздухонагревателях).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1) Определено направление, в котором необходимо производить моделирование и исследование высокотемпературных процессов доменного производства, а именно, применение нелинейных динамических моделей с использованием аппарата неравновесной термодинамики.

2) Впервые построена и исследована математическая термодинамическая модель процесса нагрева и охлаждения насадки доменного воздухонагревателя, учитывающая самоорганизующееся перераспределение потоков газа. Предложенная модель расширяет класс теплотехнических феноменологических моделей, позволяя рассматривать различные направления движения газов, что дает возможность совершенствовать процесс работы доменного воздухонагревателя.

3) Впервые построена и исследована математическая модель концентрационных автоколебаний в зоне косвенного восстановления железа доменной печи. Сделан вывод о возможном существовании как восстановительных, так и окислительных процессов в агломерате. Показано, что эта модель является обобщением модели Брюсселятора, предложенной научной школой нобелевского лауреата И. Пригожина. Даны технологические рекомендации по управлению процессом доменной плавки с помощью пульсирующей подачи газов в зону косвенного восстановления железа.

4) Исследованы характеристики временных рядов параметров доменной плавки. Выявлена связь между микроколебаниями концентраций веществ в зоне косвенного восстановления железа доменной печи и колебаниями параметров доменной плавки.

5) Численный анализ математических моделей нагрева и охлаждения насадки доменного воздухонагревателя и концентрационных автоколебаний реагентов в зоне косвенного восстановления железа доменной печи, а также их технологическая интерпретация дают возможность сделать заключение о пригодности их использования для оптимизации и автоматизации процессов доменного производства с учетом внесения конкретных данных о параметрах ре

147 ального объекта.

6) Разработаны программы моделирования процессов нагрева и охлаждения насадки воздухонагревателя доменной печи, расчета корреляционной размерности для анализа временных рядов, зарегистрированные в Государственном фонде алгоритмов и программ, и программа моделирования концентрационных автоколебаний в зоне косвенного восстановления железа доменной печи.

1. Рамм А.Н. Современный доменный процесс / А.Н. Рамм. М.: Металлургия, 1980. - 304 с.

2. Клименко В.А. Основы физики доменного процесса / В.А. Клименко, Л.С. Токарев. Челябинск: Металлургия. Челябинское отделение, 1991. - 288 с.

3. Андронов В.Н. Минимально возможный расход кокса и влияние на него различных факторов доменной плавки: Учеб. пособие / В.Н. Андронов. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 142 с.

4. Андронов В.Н. Современная доменная плавка: Учеб. пособие / В.Н. Андронов. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.- 100 с.

5. Готлиб А.Д. Доменный процесс / А.Д. Готлиб. М.: Металлургия, 1966.-503 с.

6. Павлов М.А. Металлургия чугуна Т. II. Доменный процесс / М.А. Павлов. -М.: Металлургиздат, 1949. 628 с.

7. Китаев Б.И. Теплотехника доменного процесса / Б.И. Китаев, Ю.Г. Ярошенко. ~М.: Металлургия, 1978. -248 с.

8. Применение математических методов и ЭВМ для анализа и управления доменным процессом / И.Г. Товаровский, Е.И. Райх, К.К. Шкодин, В.А. Улахович. М.: Металлургия, 1978. - 264 с.

9. Коршиков Г.В. Энциклопедический словарь справочник по металлургии / Г.В. Коршиков. - Липецк: Липецкое изд-во Госкомпечати РФ, 1998. -780 с.

10. Щербаков В.П. Основы доменного производства / В.П. Щербаков. -М.: Металлургия, 1969. 326 с.

11. Писи Дж.Г. Доменный процесс. Теория и практика / Дж.Г. Писи, В.Г. Давенпорт; Пер. с англ. М.: Металлургия, 1984. - 143 с.

12. Самарский A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. М.: Наука, 1989.-616 с.

13. Окороков Б.Н. Управление сталеплавильными процессами как открытыми термодинамическими системами / Б.Н. Окороков, Е.А. Смирнов. // Сталь. 1989. -№3. - С. 19-23.

14. Дубровский С.А. Феноменологические модели и нелинейная динамика металлургических процессов / С.А. Дубровский // Теория и технология производства чугуна и стали: Сб. науч. тр. Липецк, 2000. - С. 13-21.

15. Нелинейная динамика химических превращений в шахте доменной печи / С.А. Дубровский, H.H. Богдашкин, О.В. Голубев, В.А. Дудина // Теория и технология производства чугуна и стали: Сб. науч. тр. Липецк, 2000. - С. 121-126.

16. Дубровский С.А. К концепции создания «интеллектуальных» металлургических процессов / С.А. Дубровский // Современная металлургия начала нового тысячелетия: Сб. науч. тр. Ч. 1. - Липецк, 2001. - С. 9-14.

17. Дубровский С.А. Основы общего подхода к моделированию металлургических процессов / С.А. Дубровский, H.H. Богдашкин // Славяновские чтения: Сб. науч. тр. Липецк, 1999. - С. 245-250.

18. Богдашкин H.H. Режимы протекания модельной колебательной химической реакции / H.H. Богдашкин, С.А. Дубровский // Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ. -Липецк, 1999. -№1. - С. 139-144.

19. Богдашкин H.H. Феноменологическая модель автокаталитической реакции и процесс обезуглероживания / H.H. Богдашкин, С.А. Дубровский, В.В. Ткаченко // Теория и технология производства чугуна и стали: Сб. науч. тр. -Липецк, 2000. С. 193-199.

20. Богдашкин H.H. Перераспределение компонентов шихты и течения газов в противоточном реакторе шахтного типа / H.H. Богдашкин, С.А. Дубровский // Современная металлургия начала нового тысячелетия: Сб. науч. тр. Ч. 1.-Липецк, 2001.-С. 59-66.

21. Dubrovsky S.A. The self-organizing of heating and cooling processes in air heating system cells / S.A. Dubrovsky, N.N. Bogdashkin, O.V. Golubev, N.S. Ino-zemcev // Asia steel', Volume В Ironmaking. Beijing, China, 2000. - C. 250-253.

22. Богдашкин H.H. Моделирование процессов самоорганизации работывоздухонагревателя доменной печи с использованием модели нелинейной динамики / H.H. Богдашкин, О.В. Голубев /У Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ. Липецк, 2000,-№2.-С. 14-18.

23. Цымбал В.П. Введение в теорию самоорганизации с примерами из металлургии/В.П. Цымбал. Новокузнецк: СибГТМА, 1997.-251 с.

24. Шур А.Б. Проблемы теории доменного процесса в свете дискуссии о принципе Грюнера / А.Б. Шур // Производство чугуна на рубеже столетий. Труды V международного конгресса доменщиков. Днепропетровск Кривой Рог, 1999.

25. Шур А.Б. Совершенствование технологических расчетов в доменном производстве / А.Б. Шур, H.H. Лепило // Производство чугуна на рубеже столетий. Труды V международного конгресса доменщиков. Днепропетровск Кривой Рог, 1999.

26. Соломенцев С.Л. Рациональные типы насадок и доменных воздухонагревателей / С.Л. Соломенцев. Липецк: ЛГТУ, 2001. - 432 с.

27. Щукин A.A. Экономия топлива в черной металлургии / A.A. Щукин. -М.: Металлургия, 1973. 272 с.

28. Лемлех И.М. Высокотемпературный нагрев воздуха в черной металлургии / И.М. Лемлех, В.А. Гордин. М.: Металлургиздат, 1963. - 352 с.

29. Ницкевич Е.А. Теплоэнергетика доменного производства / Е.А. Ниц-кевич. М.: Металлургия, 1966. - 384 с.

30. Шкляр Ф.Р. Доменные воздухонагреватели (конструкции, теория, режимы работы) / Ф.Р. Шкляр, В.М. Малкин, С.П. Каштанова. М.: Металлургия, 1982.- 176 с.

31. Буровой И.А. Автоматическое управление химико-металлургическими процессами с сосредоточенными параметрами / И.А. Буровой, В.Н. Горин. -М.:1. Металлургия, 1977. 344 с.

32. Стромберг А.Г. Физическая химия: Учеб. для хим. спец. вузов / А.Г. Стромберг, Д.П. Семченко. М.: Высш. шк., 1999. - 527 с.

33. Климонтович Ю.Л. Физика открытых систем / Ю.Л. Климонтович // Успехи физических наук, 1966. Т. 168.

34. Осипов А.И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра. Ч. 1. Равновесная термодинамика / А.И. Осипов // Соросовский образовательный журнал. 1999. -№4.

35. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. Ч. 1, 2. / Ю.Л. Климонтович // Синергетика. Труды семинара. Т. 3. Материалы круглого стола «Самоорганизация и синергетика: идеи, подходы и перспективы». -М,2000.-С. 100-142.

36. Лоскутов А.Ю. Синергетика и нелинейная динамика: новые подходы к старым проблемам / А.Ю. Лоскутов // Синергетика. Труды семинара. Т. 3. Материалы круглого стола «Самоорганизация и синергетика: идеи, подходы и перспективы». -М., 2000. - С. 204-224.

37. Румер Ю.Б. Термодинамика, статистическая физика и кинетика / Ю.Б. Румер, М.Ш. Рывкин. М.: Наука, 1977. - 552 с.

38. Ферми Э. Термодинамика / Э. Ферми; Пер. с англ. Харьков: Изд-во харьковского ун-та, 1969. - 140 с.

39. Зоммерфельд А. Термодинамика и статистическая физика / А. Зом-мерфельд. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955. - 480 с.

40. Телеснин Р.В. Молекулярная физика / Р.В. Телеснин. М.: Высшая школа, 1973. - 360 с.

41. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика / М.А. Леонтович. -М.: Наука, 1983. 416 с.

42. Гухман A.A. Об основаниях термодинамики / A.A. Гухман. М.: Энергоатомиздат, 1986. -384 с.

43. Миронова В. А. Математические методы термодинамики при конечном времени / В.А. Миронова, С.А. Амелькин, A.M. Цирлин. М.: Химия, 2000.384 с.

44. Жуховицкий A.A. Физическая химия / A.A. Жуховицкий, JI.A. Шварцман. М.: Металлургия, 1976.

45. Пригожин И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой / И. Пригожин, И. Стенгерс; Пер. с англ. М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

46. Николис Г. Познание сложного. Введение / Г. Николис, И. Пригожин; Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 344 с.

47. Пригожин И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И. Пригожин, И. Стенгерс. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 240 с.

48. Пригожин И. От существующего к возникающему / И. Пригожин. -М.: Наука, 1985.

49. Хакен Г. Синергетика / Г. Хакен. -М.: Мир, 1980.-404 е.

50. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания / A.M. Жабо-тинский. -М.: Наука, 1974.

51. Гарел Д. Колебательные химические реакции / Д. Гарел, О. Гарел. М.: Мир, 1980, 148 с.

52. Полак JI.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических реакциях / Л.С. Полак, A.C. Михайлов. М.: Наука, 1983. - 285 с.

53. Богдашкин H.H. Модель возникновения автоколебаний зазоров в приводной линии прокатного стана / H.H. Богдашкин, С.А. Дубровский // Научные труды: Межвузовский сб. Липецк, 1998. - С. 38-42.

54. Богдашкин H.H. Автоколебания и детерминированный стохастизм в механических системах / H.H. Богдашкин, О.В. Голубев // Синергетика в современном мире: Сб. докл. Международной научн. конференции. Белгород, 2000. - С. 94-99.

55. Андронов A.A. Теория колебаний / A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин.-М.: Наука, 1981. 586 с.

56. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Ней-марк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

57. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы / К.Ф. Теодорчик. М., Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, 1952.

58. Бутенин Н.В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н.В. Буте-нин, Ю.И. Неймарк, H.A. Фуфаев. -М.: Наука, 1976. 384 с.

59. Баутин H.H. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / H.H. Баутин, Е.А. Леонтович. М.: Наука, 1990. -488 с.

60. Андронов A.A. Качественная теория динамических систем / A.A. Андронов, Е.А. Леонтович, А.Г. Майер, И.И. Гордон. М.: Наука, 1966.

61. Курдюмов С.П. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы / С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий. - М.: Знание, 1983. - 64 с.

62. Арнольд В.И. Теория катастроф / В.И. Арнольд. М.: Наука, 1990.128 с.

63. Иосс Ж. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций / Ж. Иосс, Д. Джозеф; Пер с англ. М.: Мир, 1983. - 301 с.

64. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику / Г.Г. Малинецкий. М.: Эдиториал УРСС, 2000.-256 с.

65. Заславский Г.М. Стохастическая необратимость нелинейных систем / Г.М. Заславский. -М.: Наука, 1970.

66. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

67. Инвариантные множества динамических систем в Windows. А.Д. Морозов, Т.Н. Драгунов, С.А. Бойкова, Малышева М.: Эдиториал УРСС, 1998. -240 с.

68. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1970. - 720 с.

69. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения / JI.C. Понтрягин. -М.: Наука, 1965.

70. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л.Э. Эльсгольц. М.: Наука, 1965.

71. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 1 Колебания линейных систем; Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

72. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах / Е.П. Попов. М.: Наука, 1973. - 412 с.

73. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. М.: Наука, 1979. 256 с.

74. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Мер-кин. М.: Наука, 1976.-320 с.

75. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики / Г.Г. Малинецкий, А.Б. Потапов. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

76. Статистическая обработка экологического мониторинга / С.А. Дубровский, П.В. Лизогуб, Д.И. Корчагин, В.А. Дудина и др. // Вестник ЛГТУ-ЛЭГИ, Липецк, 2002.

77. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем / A.A. Самарский. М.: Наука, 1971.

78. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Наука, 1967. - 368 с.

79. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С.П. Нерсетт, Г. Ваннер; Пер. с англ. М.: Мир, 1990.-685 с.

80. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер; Пер. с англ. М.: Мир, 1999. - 685 с.

81. Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений / В.Э. Милн. -М.: Изд-во иностр. лит-ры., 1955.

82. Беллман Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных / Р. Беллман, Э. Энджел. М.: Мир, 1974. - 208 с.

83. Березин И.С. Методы вычислений. Т. 1 / И.С. Березин, Н.П. Жидков. -М.: Наука, 1966. 632 с.

84. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. М.: Наука, 1977.-456 с.

85. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. М.: Наука, 1970. - 664 с.

86. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В .Я. Арсенин. -М.: Наука, 1979. 288 с.

87. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Ю.И. Неймарк. М.: Наука, 1979. - 336 с.

88. Дубровский С. А. Динамический хаос, порождаемый эффектом дискретизации / С.А. Дубровский, Р.Н. Милевский, В.В. Ткаченко // Синергетика в современном мире: Сб. докл. Междунар. науч. конф. Белгород, 2000. - С. 61 - 67.

89. Дубровский С.А. Исследование устойчивости решения феноменологической модели процесса обезуглероживания / С.А. Дубровский, В.В. Ткаченко // Современная металлургия начала нового тысячелетия: Сб. науч. тр. Ч. 2. Липецк, 2001. - С. 109-113.

90. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф. -М.: Мир, 1975.-688 с.

91. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

92. Голубев О.В. Исследование модели доменного воздухонагревателя с учетом действия силы Архимеда / О.В. Голубев, С.А. Дубровский // Современная металлургия начала нового тысячелетия: Сб. науч. тр. Ч. 1. Липецк, 2001. - С. 78-82.

93. Соломенцев С.Л., Коршиков В.Д., Басукинский С.М. Математическая модель теплопереноса в насадке воздухонагревателя с учетом поперечного теплопереноса. // Изв. вузов. Черная металлургия. 1985. № 7. С. 142-144.

94. Соломенцев С.Л. Расчет теплообмена в насадках доменных воздухонагревателей с учетом поперечного теплопереноса / С.Л. Соломенцев, В.Д. Коршиков, С.М. Басукинский // Деп. в Библ. указателе ВИНИТИ: Деп. рукописи. 1984. - С. 110.

95. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М.: Наука, 1966.

96. Араманович И.Г. Уравнения математической физики / И.Г. Арама-нович, В.И. Левин. -М.: Наука, 1969. 288 с.

97. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами: Справочное пособие / А.Г. Бутковский. М.: Наука, 1979. - 224 с.

98. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем; Под ред. И.И. Блехмана. М.: Машиностроение, 1979.-351 с.

99. Лекомцева Е.Д. Исследование аэродинамики доменных воздухонагревателей и ее влияние на температурные условия работы насадки / Е.Д. Лекомцева // Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн. наук. -Свердловск, 1975. -207 с.

100. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач /

101. А.Н. Тихонов // ДАН СССР. ; 963. -№1.153.

102. Похвистнев А.Н. Анализ работы доменных печей при критических гидродинамических условиях / А.Н. Похвистнев, В.М. Клемперт // Подготовка доменного сырья к плавке: Сб. науч. тр. Т. LXIX. М., 1971. - С. 111-117.

103. Боклан Б.В. Влияние количества дутья на перепад статического давления газа в доменных печах большого объема / Б.В. Боклан, В.А. Гришко, С.З. Немченко // Контроль и регулирование параметров доменного процесса: Сб. науч. тр. Киев, 1972. - С. 129-137.

104. Корж А.Т. Исследование газодинамической характеристики столба шихтовых материалов на модели доменной печи / А.Т. Корж, С.М. Соломатин // Контроль и регулирование параметров доменного процесса: Сб. науч. тр. -Киев, 1972.-С. 242-248.

105. Самопроизвольное перераспределение материалов и газов по радиусу колошника доменной печи / М.А. Стефанович, Н.П. Сысоев, С.К. Сиба-гатуллин, А.И. Ваганов // Производство чугуна: Сб. науч. тр. Свердловск, 1980.-С. 124-135.

106. Чернобривец Б.Ф. Еще раз о соотношении между показателями прямого и косвенного восстановления оксидов и расходом кокса в печи / Б.Ф. Чернобривец, М.А. Альтер // Сталь. 1998. - №2. - С. 1-4.

107. Рубин А.Б. Лекции по биофизике: Учебное пособие / А.Б. Рубин. -М.: Изд-во МГУ, 1998. 168 с.

108. Рабинович М.И. Автоколебания распределенных систем / М.И. Рабинович // Изв. вузов (радиофизика) Т. 17. 1974, вып. 4.

109. Андреев В.В. Моделирование нестационарных процессов в гетерогенном катализе / В.В. Андреев. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 2001. -136 с.

110. Голубев О.В. Корреляционная размерность в применении к анализу временных рядов / О.В. Голубев, С.А. Дубровский // Современные проблемы информатизации в технике и технологиях: Труды V Международной электронной науч. конф. Воронеж, 2000. - С. 79.

111. Голубев О.В. Анализ временных рядов через структурные характеристики механизма их генерации / О.В. Голубев, C.B. Пожидаев II Студенческая научно-практическая конференция "Наука и молодежь на рубеже столетий": Сб. науч. тр. Липецк, 2000. - С. 12-13.

112. Герасимович А.И. Математическая статистика / А.И. Герасимович. Мн.: Высшая школа, 1983. -279 с.

113. Дубровский С.А. Введение в математическую статистику: Уч. пособие / С.А. Дубровский, В.А. Суворов. Липецк: Изд-во ЛЭГИ, 1999. - 60 с.

114. Ван-дер-Варден Б. Математическая статистика / Б. Ван-дер-Варден. -М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1960.

115. Изерман Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман; Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.-541 с.

116. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса / П.Л. Капица // ЖЭТФ. Т. 25. 1951. - С. 588 - 597.

117. Барабанов В.Ф. Интерактивные средства моделирования сложных технологический процессов / В.Ф. Барабанов, С.Л. Подвальный. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2000. - 124 с.