автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование систем массового обслуживания с циклической дисциплиной прохождения заявок

На правах рукописи

ХОЛОДОВ АРТЕМ ЮРЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ЦИКЛИЧЕСКОЙ ДИСЦИПЛИНОЙ ПРОХОЖДЕНИЯ ЗАЯВОК

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Астрахань 2008 003453606

Работа выполнена в Астраханском государственном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Петрова И.Ю.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ураксеев М.А.

доктор технических наук, профессор Голованчиков А.Б.

Ведущая организация

Волгоградский государственный университет

Защита состоится «12» декабря 2008 года в 13.00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.03 при Астраханском государственном университете по адресу: 414056, Астрахань, ул. Татищева, 20а, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного университета

Автореферат разослан «11» ноября 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н.

Щербинина О.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В настоящее время в большинство сфер человеческой деятельности успешно интегрируются информационные технологии, сочетающие в себе четкий математический аппарат и стохастическую природу определяемых бизнес-процессов, т.к. исключение вероятностной составляющей, приводит х идеализации систем. Таким образом, становится актуальным создание математических моделей на основе теории вероятностей, теории динамических потоков и, в частности, систем массового обслуживания (СМО). Причем, рассматривая идеализацию систем, через призму теории динамических потоков, получается четкое разделение СМО, описывающих марковские и немарковские процессы. То есть можно абсолютно точно утверждать, что марковский процесс - это определенная идеализация параметров систем, а в целом СМО описывается немарковскими процессами.

Существуют определенные организационные системы, которые можно рассматривать и, соответственно, описывать с позиций СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок. Такие системы возникают в бизнес-процессах образования, управления качеством, здравоохранения, в частности, для последнего - бизнес-процессы диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации. Также определенные выше СМО используются для описания вычислительных систем и решения проблем распределения и коллективного доступа к вычислительным ресурсам.

Здравоохранение признано приоритетным направлением развития во всем мире. С начала 2006 года и в Российской Федерации начал реализовы-ваться национальный проект «Здоровье», в рамках которого запланированы многочисленные мероприятия, призванные усовершенствовать и модернизировать сферу здравоохранения.

Решающую роль в снижении стоимости медицинского обслуживания при сохранении его качества и повышении эффективности играют информационные технологии. По оценкам Еврокомиссии, к 2010 году около 5% национальных бюджетов здравоохранения европейских государств будет вложено в системы и услуги электронного здоровья.

Диспансеризация - активное динамическое наблюдение за состоянием здоровья населения, включающее комплекс профилактических, диагностических и лечебно-оздоровительных мероприятий. Целью диспансеризации является формирование, сохранение и укрепление здоровья населения, профилактика заболеваний, снижение заболеваемости, инвалидности, смертности, достижение активного долголетия. Диспансеризация входит в качестве составной части в широкую систему мер по профилактике заболеваний, осуществляемых государством, обществом, здравоохранением. На эти цели в госбюджете предусматривается 6,0 млрд. рублей.

Таким образом, возникает задача качественной и оптимальной организации процесса диспансеризации всего населения, включающая обязательное обследование, как трудового населения, так и неработающего, как одного из эффективных методов улучшения здоровья нации. Качественная характеристика диспансеризации включает в себя не только высокую квалификацию медицинского персонала, но и качество обслуживания: высокую пропускную способность медицинского учреждения, минимальное время ожидания для пациентов, минимальные простои высококвалифицированного медицинского персонала и другие показатели. Количественные характеристики процесса

\

организации диспансеризации определяются интенсивностями потока пациентов, временем осмотра пациентов специалистами лечебного учреждения.

Данная задача принадлежит к классу задач с циклической дисциплиной* прохождения и не нашла достаточно полного отражения в существующих подходах к анализу СМО.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математических моделей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, соответствующих имитационных моделей, с целью проведения вычислительных экспериментов, их анализа и создания программного комплекса для принятия управленческих решений в соответствующих организационных системах.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе осуществляется решение следующих основных задач:

1. Обзор и анализ существующих математических методов, применяемых для описания немарковских процессов.

2. Анализ существующих программных реализаций ИТ-бизнес-процессов для лечебно-профилактических учреждений (ЛПУ).

3. Разработка математических моделей СМО с циклической дисциплиной похождения заявок, описывающих различную степень детализации процесса с введением вертикали уровней абстракции.

4. Разработка имитационных моделей с целью проверки адекватности предложенных математических моделей и анализа принятия управленческих решений.

5. Разработка имитационной модели СМО с циклической дисциплиной похождения заявок.

6. Создание программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок и, как следствие, для функционирования бизнес-процессов диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации населения, обеспечивающего формирование управленческих решений и рациональное использование ресурсов ЛПУ.

Методы исследования. Для решения поставленных задач и достижения намеченной цели использованы методы теории вероятностей и математической статистики, операционного и функционального анализа, объектно-ориентированного программирования и имитационного моделирования в среде «АпуЬоцк».

Достоверность и обоснованность работы. Обоснованность результатов обусловлена корректным применением указанных методов. Достоверность подтверждается вычислительными и имитационными экспериментами и практическим применением методов и результатов диссертационной работы, что отображено в актах внедрения.

На защиту выносятся:

1. Математические модели СМО с циклической дисциплиной прохождения трех уровней детализации

2. Математический метод «виртуальных очередей».

3. Имитационная модель маршрутизации.

4. Комплекс программ, обеспечивающий формирование управ-

ленческих решений и рациональное использование ресурсов ЛПУ при проведении диспансеризации, профосмотра и дополнительной диспансеризации.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели с различной степенью абстракций, описывающие этапы процесса и включающие:

• метод рсккурснтного переноса нагрузки разрезов - стратегический уровень абстракции;

• метод матриц преобразований Лапласа от плотностей распределений входного и обслуженного потоков - тактический уровень абстракции;

• интегральный метод расчета вероятностей отказа СМО - оперативный уровень абстракции.

2. Разработана имитационная модель СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок в среде «AnyLogic» с целью установления адекватности предложенных математических моделей, и как результат анализа имитационных экспериментов - определен метод «виртуальных очередей», препятствующий вырождению системы в последовательную.

3. Разработана диаграмма потоков данных для компьютерной системы, формирующей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, с целью определения функциональных характеристик системы и маршрутизации заявок.

Апробация научных результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на X Международной конференции «РЕГИОНАЛЬНАЯ ИНФОРМАТИКА - 2006» (Санкт-Петербург, 2006), Международной конференции «АСТИНТЕХ - 2007» (Астрахань, 2007), Международной конференции «ИНФОРМАЦИОННАЯ СРЕДА ВУЗА XXI века - 2008» (Петрозаводск, 2008), Всероссийской школе-конференции «Актуальные вопросы фундаментальной медицины и прикладной фармакологии - 2008» (Москва, 2008). Отдельные результаты работы используются при обучении студентов кафедры «Управление качеством» в Астраханском государственном университете и кафедр «САПР и ПК» и «ЭВМ и сети» Волгоградского государственного технического университета. Предложенные в диссертации методы и модели нашли практическое применение в виде программного комплекса проведения диспансеризации для медицинских учреждений.

Публикации. Основные положения диссертационной работы отражены в 11 опубликованных научных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения. четырех глав основного текста, заключения, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем работы 146 страниц машинописного текста, который включает 41 рисунок, 3 таблицы и 83 формулы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы, определены цель и задачи исследования.

В первой главе проводится обзор и анализ существующих математических методов описания немарковских процессов:

• Система физических состояний - система дифференциальных уравнений (динамическое состояние), система алгебраических уравнений (стационарное состояние).

• Метод вероятностных графов - описание параллельно-последовательных и простейших мостиковых вероятностных графов.

• Использование преобразований Лапласа - правило «свертки» для установления зависимостей между характеристиками процессов.

• Использование аппроксимационных приближений - замена различных типов вероятностных распределений показательным распределением.

Также проводится обзор, и анализ существующих информационных технологий и программных реализаций для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемых отечественными и иностранными разработчиками.

Для совершенствования и развития лечебно-профилактических учреждений (ЛПУ) в настоящее время используются различные методы и технологии. Применение вычислительной техники и информационных технологий помогает решить проблему эффективного использования мощных концептуальных, математических и технических средств, с целью системной реорганизации материальных, финансовых и информационных потоков, перераспределения и максимального использования различных ресурсов, ориентации на потребности клиентов (для ЛПУ - пациентов), повышения качества их обслуживания. Таким образом, речь идет об использовании совершенно новых подходов, основанных на последних достижениях информационных технологий.

Автором был проведен анализ программного обеспечения для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемого отечественными и иностранными разработчиками: «ЦентрИнвест Софт» (Москва), «МЕДКОР-2000» (Москва), «СоюзМедИнформ» (Москва), «Galen» (Израиль), «Orsis» (Израиль).

Всеми разработчиками предлагаются как различные независимые модули, так и некоторые комплексные решения на их основе. Поскольку существует определенная нормативная документация, описывающая структуру и формат данных, подлежащих хранению, то идет речь о создании единого информационного пространства различных служб территориальных подразделений. Но из-за унификации данных программные реализации различных разработчиков, по сути, эквивалентны и различаются лишь формой реализации и особенностями интерфейса.

По приказу Минздравсоцразвития РФ № 188 от 22.03.2006, каждого диспансерного обследуемого должны осмотреть:

- врач-терапевт (врач общей практики);

- хирург;

- эндокринолог;

- невролог;

- офтальмолог;

- гинеколог (женщин);

- уролог (мужчин).

Кроме того, каждый обследуемый должен сдать анализы (клинический анализ крови и мочи, кровь на уровень холестерина и сахара), пройти ЭКГ и флюорографию. Женщины старше 40 лет - сделать маммограмму или УЗИ молочных желез. Причем, последовательность прохождения хирурга, эндокринолога, невролога, офтальмолога, гинеколога (женщины), уролога (мужчины) не регламентируется. Таким образом, пациент может проходить специалистов в любом порядке.

Таблица 1

Сводная таблица функциональных возможностей программных комплексов, представленных выше разработчиков, применительно к сбору и обработке статистической информации и проведению диспансеризации

Разработчики Ввод данных о пациенте в формате соответ-1 ствующего реестра Сбор статистической информации Вывод различных отчетов по любым временным интервалам Обработка статистических данных - построение функций распределения (мониторинг) Маршрутизация прохождения диспансеризации Оперативный доступ к динамической информации при проведении диспансеризации

«ЦентрИнвест Софт» + + + + - -

«МЕДКОР-2000» + + + — — —

«СоюзМедИнформ» + + + + — —

«Оа1еп» + + + — — —

«Огаэ» + + + — — —

Проведенный обзор и анализ данных (таблица 1) позволяет сделать следующие выводы:

1. В большинстве случаев программные продукты для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемые отечественными и иностранными разработчиками, по своей сути являются реализациями электронного документооборота.

2. Предлагаемые информационные технологии построены без учета целенаправленности процессов обслуживания пациентов и не дают возможности для комплексной оценки их эффективности.

3. Рассмотренные информационные технологии организации бизнес-процессов системы управления опираются на теорию систем массового обслуживания только с целью прогнозирования.

Во второй главе дается описание задач теории массового обслуживания посредством определения трех показателей:

- входящими потоками заявок (функциями плотностей распределения временных интервалов поступления заявок);

- структурой и информацией об обслуживающих устройствах (функциями плотностей распределения времени обслуживания заявок в устройствах и возможными связями между ними);

-дисциплиной обслуживания заявок.

Решение прикладной задачи, принадлежащей к СМО, является получение необходимых характеристик (вероятность занятости-свободности системы, пропускной способности системы, данных о средних величинах времени пребывания в системе и очередях и т.д.), описывающих ее поведение и установление различных закономерностей между ними и структурой системы. Естественно, наиболее полную информацию о системе можно получить из анализа вероятностной функции, описывающей ее поведение, но практически получить ее в аналитическом виде в большинстве случаев невозможно.

Сделан вывод о том, что бизнес-процесс диспансеризации населения является прикладной задачей теории систем массового обслуживания.

Используя обозначения СМО, система, описывающая процесс диспансеризации, в общем случае, может быть представлена как трехфазная система, где вторая фаза есть узел, описываемый как СМО с 10-ю обслуживающими устройствами с циклической дисциплиной прохождения и входным потоком, состоящим из заявок трех типов. Причем можно выделить систему, описываемую как блок с 7-ю обслуживающими устройствами, так же с циклической дисциплиной прохождения, но уже с однородным входным потоком, что представляет прохождение общего модуля. Узел диспансеризации можно представить в виде объединения четырех модулей:

(1) - модуль, являющийся общим для всех, включает в себя кабинеты хирурга, эндокринолога, невролога, офтальмолога, параклинических

анализов, ЭКГ и флюорографии;

(2) - модуль, являющийся кабинетом уролога;

(3) - модуль, являющийся кабинетом гинеколога;

(4) - модуль, являющийся кабинетом УЗИ.

Трехфазная модульная схема процесса диспансеризации представлена на рис. 1.

Профессиональный осмотр и дополнительная диспансеризация так же являются прикладными задачами теории массового обслуживания и являются частными случаями задачи диспансеризации.

Рис. 1. Трехфазное модульное представление процесса диспансеризации

В качестве подходов к построению математических моделей систем с циклической дисциплиной обслуживания объединены методы вариационных принципов и иерархических цепочек, что приводит к введению вертикали абстрактных уровней моделирования:

1. Стратегический уровень - высокий уровень абстракции (минимум деталей, стационарность состояний, высокий уровень обобщений).

2. Тактический уровень - средний уровень абстракции (средняя детальность, динамика потоков, очереди, средний уровень обобщений).

3. Операционный уровень - низкий уровень абстракции (много деталей, расстояния/маршрутизация, управление очередями, максимальная детализация).

Модель стратегического уровня основана на методе рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа, тактического уровня - на методе матрицы преобразований Лапласа и оперативного уровня основана на интегральном методе представления параллельных соединений с произвольными типами распределения.

Метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа

Рассматривается СМО, состоящая из N обслуживающих устройств с показательными независимыми распределениями интервалов времен обслуживания, простейшим входным потоком и циклической дисциплиной прохождения заявок.

Известный метод вероятностных графов (МВГ) заключается в создании графа, отображающего структуру СМО - в качестве узлов используются обслуживающие устройства, в качестве ребер - доступные переходы между устройствами. В качестве базовой характеристики метода используются вероятности занятости (свободкости) дуг (обозначают щ, где к- идентификатор дуги) и, используя структуру графа, находится вероятность занятости (свободное™) всей СМО.

Введены шесть (VI) базисных правил, присущих таким системам и описывающих свертки последовательных и параллельных соединений вероятностного графа:

(I) - тт(?1, р.) - прохождение потока заявок через обслуживающее устройство;

(И) - ш = —-— - вероятность занятости однолинейной системы; Л + |Д

Х-ц "

(III) - ^ = , ^Хк=Х, к = 1,2,..., N - распределение прохождения про-

1-1

стейшего поюка по параллельно-соединенным обслуживающим устройствам;

(IV) - X = ^Х, - сумма простейших входящих потоков (с характеристиками

X,) также является простейшим входящим потоком (с характеристикой X);

(V) - ю01;„„С1 =1-(]-ю,)-(1-ш2)-...-(1-ют) - вычисление вероятности занятости для последовательного соединения;

(VI) - оэой пар = ©, ■ ш2 •...■ со„ - вычисление вероятности занятости для параллельного соединения.

Метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа заключается в преобразовании вероятностного графа со сложной мостиковой структурой в параллельно-последовательный вероятностный граф «всевозможных путей», путем введения разрезов и правил рекуррентного переноса потоков и дальнейшего применения МВГ (рис. 2.).

Введены обозначения вершин графа (двух типов):

• вершины типа щя, где q = 1,2,..., N.

• вершины типа «А^ d », где к : 1, 2, ..., N, d, описаны рекур-

рентно: d, = 1, 2, ..., k-l, к+1, ..., N, или если fü = {1, 2,..., N}, то

1-1

(/, = О n k п [и/с.. ], т.е. к - обслуживающее устройство через которое заявка вошла в систему, индексы d, содержат информацию о последовательности прохождении заявкой других обслуживающих устройств (повторение исключается). Для определения характеристик входящего потока по дуге к обслуживающему устройству кd d¡i в разрезе используются характеристики

всех потоков из разрезов R,(j= 1, ..., h) к соответствующим вершинам (устройствам) к, dl,...,d¡,..,dhA, т.е. в названии метода вполне оправдано использование слова «рекуррентный».

Начиная с разреза R2 потоки, входящие в вершины типа q (разрез Л,) переносятся (в данном случае складываются, используя (IV)) с потоками, определенными по «правилу прохождения» (1), входящими в вершины тина К, (1 dt ПРИ к = q и делятся (используя (III)) на их количество. Дальше процедура продолжается - для разреза /?3 используется информация с разрезов R\ и R2 и т.д.

Следующий этап - определение вероятностей занятости дуг (используя (II)) и используя (V) и (VI) - «свертки» вероятностного графа и получения итоговой вероятности занятости системы.

Приведен анализ двухкомпонецтных систем и показано теоретически и графически, что вероятность отказов системы с циклической дисциплиной обслуживания всегда меньше, чем для системы с последовательным соединением, таким образом, она более эффективна. Также сформулировала и доказана теорема для произвольного количества обслуживающих устройств (рис. 3.).

го потока для двух, трех, четырех и пятикомпоиентных систем с циклической и последовательной дисциплиной прохождения

Сформулирована и доказана теорема.

Вероятность отказа стационарного состояния системы массового обслуживания (СМО) с отказами, определяемая простейшим входящим потоком и показательными независимыми распределениями интервалов времени обслуживания в устройствах, при последовательном соединении всегда больше, чем при циклической дисциплине прохождения для любого количества обслуживающих устройств.

Полученные результаты применения данного метода могут быть использованы для управленческих решений медицинских организаций город-

ского и областного уровня - проводить мониторинг диспансеризации, оценивать загруженность различных районных ЛПУ, а так же функцию распределения интервалов времени, блока обслуживающих устройств.

Метод матрицы преобразований Лапласа

Введено в рассмотрение понятие функционального анализа - преобразование Лапласа и показано его применение в теории вероятностей.

Рассматривается произвольная система с циклической дисциплиной обслуживания. На вход СМО, содержащей п обслуживающих устройств, поступает входной поток заявок, описывающийся функцией распределения интервалов между ними - <2(Y). Плотности распределения функций обслуживания каждым обслуживающим устройством соответственно равны /](<)> /2(0,-., fit). Заявка, поступающая в систему, проходит п обслуживающих устройств (цикличность дисциплины прохождения), общая плотность распределения функции обслуживания заявки всеми устройствами будет определяться интегралом свертки от плотностей распределений функций обслуживания каждого устройства. В общем случае, когда в системе одновременно находится в среднем к заявок, общая плотность распределения функции обслуживания одной из заявок всеми устройствами, будет равна

L „СО = Ш) о /.(0)+CvaC0О Ш+Ш) о /з(0)+-+W) о/„(/)), (1)

где vj/2(t), УзО),..., v|/„(t) - плотности распределений функций ожидания заявками обслуживания перед соответствующими устройствами. Поскольку интеграл от свертки равен произведению их преобразований Лапласа и в целом в системе существует «! комбинаций прохождения п обслуживающих устройств, последние удобнее представить через квадратную матрицу преобразований Лапласа от плотностей распределения функций обслуживания каждого устройства 'H^COFVs) ... x¥*]{s)F*i(s)\

4>*2(s)F*2(s) V*2(s)F*2(S) ... 4>*2(s)F*2(s)

V*As)F*Js) V*„(s)F*n(s) ... 4J\(s)F*n{s)/

где F*,(s) и xi'*j(s) - преобразования Лапласа от функций f(t) и НО(0-

Фиксируя любой элемент матрицы (2) в первом столбце, что характеризует первоначальное поступление заявки в систему через данное обслуживающее устройство и «вычеркивая» первый столбец и соответствующую устройству строку, получаем матрицу размерности [(и - 1)х(и - 1)]. Суммируя элементы главной диагонали, полученной матрицы, с выбранным элементом, получаем преобразование Лапласа общей плотности распределения.

FV,(s)=4,*1 (s)-F* (s)+vp»J (s).F*2(s)+...+4"„(s). F\{s)

(*) = '*2 (s>F*2 W+^I (Wi (s)-F*„ (s)

Из соотношений (3) видно, что преобразования Лапласа для общей плотности распределения функции обслуживания каждой заявки совпадают, поскольку они являются перестановкой одних и тех же сомножителей, и, в общем, полученные соотношения характеризуют среднее время нахождения заявки в системе обслуживания

т—^М I т—^Ай I т - I гм

Л и л и-. ^ и.

которые, как видно из формул (4) при отсутствии очередей перед обслуживающими устройствами, равны между собой

Ттх=Т^Тг = ... = Тк. (4.1)

Этот результат отражает тот факт, что заявки по циклу проходят одни и те же обслуживающие устройства и их времена обслуживания и ожидания суммируются, что и приводит к соотношениям (4). Если на вход системы обслуживания поступает поток заявок, описывающийся функцией распределения интервалов между ними - 0(0, то нетрудно получить величину среднего интервала между ними

»

/;„= (5)

о

, ч ¿2(0

где д(1) = ———- плотность функции распределения интервалов поступления Л

между заявками. Тогда в системе обслуживания одновременно в среднем находится к заявок, их количество определяется отношением среднего времени нахождения заявки в системе к величине среднего интервала поступления заявок (формула Литтла)

к = ^. (6) Т

ни

Перейдя к рассмотрению частного случая - плотности распределений функций обслуживания устройств подчиняются показательному закону с параметрами обслуживания, т.е. ц, = —; ;... = —. Вводим зависимость

ТК Тг Тп

соотношений Уг(0> VЧ'пСО - плотностей распределений функций ожидания заявками обслуживания устройствами для потоков заявок от отношения у, которое определяет три варианта загрузки системы и получены формулы среднего времени нахождения заявок в системе:

у, (5))

Т„

\наг ' »

05

= прик<п.

(7)

у .... ........2о-*г_

т:

= + при к = п.

1=1

¿[Ч» * (5)^* (5) • *2 (.?) • Г*2 (*)) ■... ■■ (У *„ (5) • Г*„ (5))]

на\(к>п) ' ^

= 11Т,+~^{2 + к-п)Т2аг прик>п.

(9)

-I п-г

п п

Вводим в рассмотрение ^,/(0 - распределение длительностей нахождения заявок в системе обслуживания:

= (10)

'иж 0

где / е (1, к).

В системе наблюдается к независимых потоков, каждый из которых, после обслуживания, проведя в нем время Тн„х, случайно покидает заявка, образуя объединенный поток освобождений, функцию распределения которого обозначим через /•'„(/). Тогда для объединенного потока имеем

1-^(0 = 11(1-^(0), (11)

ы

или

= где НС1(0 = 1-Ги. (12)

1=1

Используя (3), (4) получаем:

Т =^--5-, (13)

ос к

то есть средний интервал освобождения системы равен времени нахождения заявки в системе поделенной на среднее число заявок, одновременно находящихся в системе. Причем среднее время нахождения заявки в системе обслуживания в зависимости от загрузки системы определяется по формулам (7), (8) и (9). Необходимо заметить, что данный метод опирается на работы Дж. Джексона, где он рассматривал СМО с произвольной дисциплиной прохождения и покидания системы без очередей, установив тем самым некоторые закономерности между вероятностями состояний при многошаговых переходах. Резюмируя вышеизложенное, отметим:

1. Предложен матричный метод преобразований Лапласа от плотностей распределений функций ожидания и обслуживания каждого устройства для анализа СМО с циклической дисциплиной обслуживания.

2. Разработана математическая модель СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок на основе матриц преобразований Лапласа, с помощью которых установлены зависимости между показателями системы обслуживания и потоком обслуженных заявок при различном соотношении количества заявок и количества обслуживающих устройств: формулы (7) - (9), (13) (рис. 4).

а б

Рис. 4. Графическое представление зависимости времени а - нахождения в системе; б -освобождения из системы, от количества заявок для СМО состоящей из 8-ми обслуживающих устройств, со средними временами обслуживания: Т]=3, Т2=4, Тз=5, Т4=6, Тз=7, Т6=8, Т7=9, Т8=10 мин.

Интегральный метод для СМО с произвольными типами распределения

Случайный процесс, протекающий в однолинейной системе обслуживания, состоит в том, что в систему в случайные моменты времени приходят заявки, интервалы следования между которыми имеют распределение С(/). Средний интервал следования заявок равен тср. Пусть распределение времени обслуживания имеет вид /г(() со средним временем обслуживания равным 0ср. Естественно предположить, что функции распределения определены в первом квадранте, то есть т и 0 > 0. При этом, если время обслуживания 0, /-ой заявки будет больше, чем т, интервал между приходом ;-ой и (/+1)-ой заявками, то (;+1)-ая заявка получит отказ в обслуживание. При этом будет выполняться условие т, - 9, < 0. Вероятность указанного события будет определяться распределением процесса

7-=а-0, (14)

Найдем закон распределения величины Г, являющийся разностью случайных величин 9 - интервалов следования заявок и 0 - времени обслуживания однолинейной системы

#,(0=-Р<7<')=.Р(э-е<о= = Р((9,0)сО)= Цй(т,6)й?тс?9 = | |/г(т,6)с/тс/0'

I) 0 0

где /г(т,9) - совместная плотность функции распределения величин & и 0, область О - проекция сечения плоскости Т плоскостью 1\ - I на координатою плоскость хОб, при чем выбирается та область или то множество точек {9,0}, для которых выполняется условие 9 - 0 <

В силу независимости случайных процессов потока заявок и времени обслуживания их совместная плотность равна произведению плотностей функций распределения каждой величины

)./(0). (16)

с/в

Подставляя соотношение (16) в формулу (15) получим функцию распределения взаимодействия случайных потоков заявок и обслуживания

0С/+6

#,(0=1де)л</е. (17)

о о

Из соотношения (17) нетрудно получить вероятность отказа в обслуживания для однолинейной системы через функцию распределения взаимодействия Я, (г) случайных потоков заявок и обслуживания, естественно для этого должно выполняться условие т, - 0, < 0, поэтому значение функции распределения в нуле будет определять вероятность отказа

«т(Н8

Рш ф = ПТ < 0) = Я,(0) = | ( Я(т) • /(в)Л<Ю. (18)

о о

Нормируем аргументы в функциях распределений

тч> ^

тогда функция распределения взаимодействм случайных потоков заявок и обслуживания (17) и вероятность отказа (18) будут иметь следующий вид

1*0, вер

ОС ТС/1

7///) = тС1„0ф | } £(т„-т£„)./(0„.0с,)Л^9„ (20)

о о

или, переходя к плотностям распределений с нормированными аргументами,

(21)

получим

(+8 дер V. т ср

04-0 Оср

ТС1>

Р^Ф = ПТ<0) = Н,(0)=\ | я„(т)-/,(9)Л^е, (23)

о о

Путем аналогичных рассуждений для двух, трех-линейной систем получены закономерности и определена функция распределения взаимодействия случайных потоков заявок и обслуживания в и-линейной системе обслуживания

г„0) _

'•„Н

Он Опер 0/т-] 0п-\ср 0202ср /+0101с/7 тер 2 тер (л-1>тф п тф

|1 \ &(^„(е1)/2„(02).../„ч„(ел.1)/„„(е„)лл,л2..лй„_1л„ (24)

Мпср Вп-1 £п-1ср 0202ср хч{)101ф тф 2 тер (/?-!) тер птср

и соответствующая вероятность отказа в и-линейной системе обслуживания

'"„И

(ЫЭлср Вп-1 Вп-1г/> А202с/> 0-НЧ-Мф сс тер 2 тф (я-1)те/» и тф

п 1-1 I (25)

о о_о_о_о_

Ьп-Цпср 0я-10п-1ф 82 Й2ф ээ тер 2 чер (п-])-тер пир

0 0 0 0 0

В качестве проверки предложенного метода использована тождественность вероятностей отказа, рассчитанных с использованием интегрального метода и полученных из формул Эрланга.

Кроме того, интегральный метод позволяет учесть, во-первых, различный порядок дисциплины обслуживания, поскольку перемена мест для внутренних интегралов в соотношение (25) влияет на результат вычислений и, во-вторых, асимметричность, которая возникает при смене порядка прохождения обслуживающих устройств с разным временем обслуживания.

В третьей главе обусловлена важность имитационного моделирования и обоснован выбор пакета Апу!л^ю.

Приведены данные статистического анализа - использование критерия Пирсона (х2) для проверки гипотез о теоретическом распределении на основе экспериментальной генеральной совокупности.

Проведен анализ имитационных моделей двухкомпонентных систем с отказами и установлена адекватность предложенного метода рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа, для циклической дисциплины прохождения. Так же установлена адекватность интегрального метода и подтвержден основной вывод метода - асимметричность системы (рис. 5).

а б

Рис. 5. Графическое представление вероятности отказа от времени для СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, состоящей из 2-х обслуживающих устройств, с частотами обслуживания: Ц1=3, цг=1 и входящим потоком с частотой Х=4 при внутренней последовательности доступа: а - устройство с Ц], потом цг, р_о1каг « 0.4; б - устройство с Ц2, потом р_о1каг ~ 0.45.

Представлена таблица с описанием активных блоков, используемых в построенных моделях, и создан класс сообщений с полями, фиксирующими прохождение обслуживающих устройств. Реализована пользовательская функция распределения потока заявок.

Построена имитационная модель с семью обслуживающими устройствами и очередями, описывающая поведение общего модуля (1) процесса диспансеризации (рис. 6.).

Рис. 6. Блок-схема имитационной модели с семью обслуживающими устройствами и очередями - реализация общего модуля (1) диспансеризации

Создан активный класс сообщений с девятью полями - семь отвечающих за прохождение обслуживающих устройств и два поля, использующих функцию £еШтеО, для фиксации модельных времен возникновения заявки в системе и выхода из системы после обслуживания. Использована пользовательская функ-

ция управления потоком заявок по принципу минимальной очереди: заявка направляется на обслуживание в то устройство, где она еще не была обслужена и очередь, перед которой минимальна. С помощью данной имитационной модели установлена адекватность метода матриц преобразования Лапласа.

При проведении имитационных экспериментов над данной моделью, с различной градацией средних времен облуживания в устройствах и ограничением количества заявок, была установлена закономерность, приводящая к вырождению циклической дисциплины обслуживания в последовательное прохождение системы, т.е. устройства с меньшим средним временем обслуживания пропускают через себя поток заявок и, останавливаясь, фактически прекращают свое функционирование в системе. В связи с этим, на основании метода матриц преобразований Лапласа предложен метод введения виртуальных очередей, который препятствует вырождению в последовательное прохождение системы, обеспечивая постоянную работу (загрузку) всех обслуживающих устройств. Определяются средние времена обслуживания r_ dF*d*) 1 т .. dF*2(s) I dF\(s) ,

ds U' 2~ ds ds U' ( }

среди них определяется максимальное Tniax с индексом j и Vi = 1,2, ...,j — 1, j +1,..., n вводятся

F*tl(s)-F*,(s)^F*J(s), (27)

где F *„ (s) - преобразование Лапласа функции плотности распределения временных интервалов виртуальной очереди, соответствующего /-го обслуживающего устройства. Определяем среднее время нахождения в виртуаль-dF * is)

ной очереди Тт = ——— |j (; и принимая в качестве количества заявок в

Т

виртуальной очереди /в округленную величину , используем ее в пользовательской функции распределения прохождения заявок по принципу минимальной суммы реальной и виртуальной очереди.

Используя средства AnyLogic, реализована имитационная модель процесса диспансеризации с учетом маршрутизации реального плана расположения врачебных и лабораторных кабинетов Областной клинической больницы № 3 г. Астрахани и реальных данных времен обслуживания, на основании схемы на рис. 1., с организацией трех входных потоков. Используя метод введения виртуальных очередей, при обслуживании 150 пациентов (норма медицинского учреждения - прохождение профосмотра и дополнительной диспансеризации 150-тью обследуемыми в течение 6-ти часов) получена экономия времени 18%, что является 65-ю минутами, т.е. чуть больше часа, либо возможностью прохождения дополнительно 27-и пациентов.

В четвертой главе приводится описание программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок и, как следствие, разработана система, обеспечивающая формирование управленческих решений и рациональное использование ре-

сурсов ЛПУ для функционирования бизнес-процессов диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации населения. Диаграмма потоков данных представлена на рисунке 7.

Модуль (1) - реализует сбор статистической информации об интервалах времен обслуживания во врачебных, процедурных и параклинических кабинетах.

Модули (2) - обрабатывает статистическую информацию, определяя типы и характеристики вероятностных распределений, используя аппроксимацию функции плотности нормального закона распределения показательным на временном интервале, используя метод наименьших квадратов и итерационный метод релаксации.

Модуль (3) - фактически создает структуру СМО, описывает входящий поток пациентов (либо путем введения теоретической частоты, либо, используя связь с модулем статистического анализа). Далее вводится количество кабинетов и повторяется процедура введения соответствующих частот, характеризующих показательные распределения, присущие каждому кабинету.

Модуль (4) - реализует регистрацию пациента и формирует листы маршрутизации (рис. 8.).

Модуль (5) - формирует отчеты о количестве пациентов, прошедших испансеризацию, для заданных интервалов времени.

мужчины ЛИСТ МАРШРУТИЗАЦИИ

Иванов

Иван

Иванович

- хирург;

- эндокринолог;

- офтальмолог,

- невролог;

- параклинические анализы, -ЭКГ.

-флюорография;

- уролог,

- врач-терапевт

женщины моложе 40 ЛИСТ МАРШРУТИЗАЦИИ

Петрова Любовь Сергеевна

- флюорография,

- хирург.

- эндокринолог:

- офтальмолог;

- невролог;

- параклинические анализы,

- гинеколог; -ЭКГ;

- врач-терапевт

женщины старше 40 ЛИСТ МАРШРУТИЗАЦИИ

Семенова

Лидия

Васильевна

- хирург;

- эндокринолог,

- невролог;

- офтальмолог;

- гинеколог,

- параклинические анализы; -ЭКГ;

- флюорография,

- маммограмма,

- врач-терапевт

Рис. 8. Примеры листов маршрутизации для групп диспансеризуемых

В приложениях приведены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, акт о внедрении программного комплекса проведения диспансеризации, профессиональною осмотра и дополнительной диспансеризации в Областной клинической больнице №3 г. Астрахани, акты о внедрении программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок в учебный процесс Астраханского государственного университета и Волгоградского государственного технического университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Проведен обзор и анализ существующих математических методов описания немарковских процессов, который показал актуальность разработки математических методов, с целью построения моделей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок.

2. Проведен анализ функциональных возможностей программных реализаций ИТ-бизнес-процессов для ЛПУ, который показал необходимость разработки программного комплекса, управляющего маршрутизацией пациентов при проведении диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации.

3. Применен комплексный подход теории моделирования, объединяющий вариационный метод и метод иерархических цепочек, на основании ко-

торого введена вертикаль уровней абстракции моделирования, что позволило определить абстракции и математические методы для каждого уровня.

4. Разработан метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа - стратегический уровень абстракции, что позволило определять вероятность отказа стационарного состояния и при определенных допущениях, используя аксиоматическое утверждение Риордана, функцию распределения блока обслуживающих устройств.

5. Разработан метод матрицы преобразований Лапласа - тактический уровень абстракции, что позволило получить временные зависимости от числа находящихся в СМО и обслуженных заявок и, используя формулу Литтла, установить связь с входящим потоком при любых типах распределения времени обслуживания и интервалов поступления заявок.

6. Разработан интегральный метод представления п-линейных СМО -оперативный уровень абстракции, что позволило рассчитать вероятность отказа при любых типах распределения времени обслуживания и интервалов поступления заявок и установить асимметричность системы относительно порядка прохождения устройств.

7. Разработан метод «виртуальных очередей», препятствующий вырождению циклической дисциплины прохождения заявок в последовательную, что позволило разработать алгоритм определения маршрутизации заявок через обслуживающие устройства и реализовать его в программном комплексе.

8. Разработана имитационная модель бизнес-процесса диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации, что позволило путем проведения имитационных экспериментов установить характеристики распределения времени обслуживания во врачебных и лабораторных кабинетах и интервалов поступления пациентов, с целью ограничения времени ожидания и количества пациента в очередях.

9. Разработана и внедрена компьютерная система диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации, что привело, путем организацией управления данными бизнес-процессами, к тому, что время прохождения диспансеризации уменьшилось на 18%.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, включенных в список ВАК РФ.

1. Холодов, А.Ю. Математическая модель проведения профессионального осмотра для учреждения здравоохранения / А.Ю. Холодов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2006. - № 4(5). С. 786 - 793.

2. Холодов, А.Ю. Имитационная модель профессионального осмотра для анализа адекватности математической модели систем обслуживания с эйле-ровскими циклами / А.Ю. Холодов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2006. - № 4(5). С. 794 - 796.

3. Холодов, А.Ю. Метод вероятностных графов для систем массового обслуживания (СМО) с циклической дисциплиной обслуживания / А.Ю. Хо-

тодов // Южно-Российский вестник геологии, географии и глобальной энер-ии. - 2006. - Кг 8(21). С. 373 - 378.

4. Холодов, А.Ю. Метод расчета вероятности отказа в однолинейной истеме обслуживания на основе функций распределений потока и обслужи-ающего устройства / А.Ю. Холодов И Вестник Астраханского государствен-гого технического университета. - 2007. - № 1(36). С. 50-53.

5. Холодов, А.Ю. Интегральный метод расчета систем массового обслу-ивания / А.Ю. Холодов // Системы управления и информационные техноло-ии. -2007. 1.1(27). С. 198-201.

6. Холодов А.Ю., Зарипов P.M. Метод рекуррентной нагрузки разрезов вероятностного графа для систем массового обслуживания (СМО) с циклической дисциплиной прохождения / А.Ю. Холодов, P.M. Зарипов //' Известия волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. «уч. ст. - 2007. - № 2(28). С. 20 - 24.

7. Холодов А.Ю. Анализ пропускной способности двухкомпонентных систем путем имитационных экспериментов / АЛО. Холодов // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. науч. ст.-2008.-№5. С. 146- 153.

Другие публикации.

8. Холодов, А.Ю. Описание и создание математической модели класса систем массового обслуживания (СМО) с дисциплиной обслуживания - эйлеров-ским циклом как подкласса вероятностных потоков / А.Ю. Холодов // «Региональная информатика - 2006»: материалы X Санкт-Петербургской международной конференции 24-26 октября 2006 г. - СПб. - 2006. С. 60.

9. Зарипов, P.M., Холодов, А.Ю. Математическая модель динамики процесса обучаемости / P.M. Зарипов, А.Ю. Холодов // Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности «АСТИНТЕХ-2007»: материалы Всероссийской научной конференции 18-20 апреля 2007 г. в 2 ч./ сост. И.Ю. Петрова. - Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет» -2007.-4.1. С. 160- 164.

10. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611266. «Автоматизированная система поддержки принятия решений для оптимизации процессов массового обслуживания потребителей в организациях сервиса на базе математического аппарата теории очередей и теории графов». Авторы Холодов А.Ю., Зарипов P.M. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 23 марта 2007 г.

11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611555. «Имитационная модель систем управления с циклической дисциплиной прохождения обслуживающих блоков». Автор Холодов А.Ю. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12 апреля 2007 г.

Подписано в печать 29.10.2008 г. Усл. Печ. Л. 1,4. Уч.-шд Л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ № 1622.

Оттиражировано в Издательском доме «Астраханский университет» 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 20 E-mail: asupress@vandex ru Факс (8512) 25-17-18, тел. 54-01-89, 54-01-87