автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов горячей обработки металлов



На правах рукописи

Мазо Александр Бенцианович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ГОРЯЧЕЙ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (механика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Казань - 1996

Работа выполнена в Институте маханики и машиностроения. Казанского научного центра Российской академии наук.

Официальные оппоненты

доктор технических наук, академик Академии технологических наук России, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

И.В. Зуев А.В. Костерин А.В. Лапин

Ведущая организация Институт математического моделирования РАН

Защита состоится 1996 г. в /б? час. _ мин. на заседании диссертационного совета по защите докторских диссертаций Д 063.43.03 при Казанском государственном техническом университете имени А.Н. Туполева по адресу: 420111, Казань, ул. Карла Маркса, 10, КГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан " ^ " _1996

г.

Учёный секретарь диссертационного совета

П.Г.Данилаев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

При сварке и резке плавлепием, термоупроченении, в металлургии, ряде других производств и технологий осуществляется горячая обработка металлов. Она сопровождается поверхностным воздействием мощных источников энергии, вызывающих нагрев и плавление обрабатываемого материала с последующим охлаждением и кристаллизацией. Происходящие при этом структурные и фазовые превращения, концентрация неметаллических включений, а также остаточпые на-пряжепия определяют технологические свойства изделия.

Разработка новых технологий горячей обработки металлов предполагает создание средств прогноза и оптимизации натурных экспериментов, результаты которых в значительной степени определяются динамикой температурного поля. Однако исследование термических циклов в каждой точке обрабатываемого изделия в ходе эксперимента практически невозможно; технологии с опосредованным слежением за температурой, основанные на адаптивных способах управления источником весьма дорогостоящи и применяются лишь в специальных производствах. В.А. Судник считает, что результат горячей обработки нельзя в полной мере проверить и последующим контролем изделия, до 75% дефектов выявляется только при эксплуатации. Поэтому математическое моделирование тепловых процессов в металлах, составляющее предмет диссертации, является практически актуальным.

Классическая математическая теория расчета температурных полей при сварке, термоупрочнении, в металлургии представлена в работах A.B. Лыкова, H.H. Рыкалина, A.A. Углова, Э.М.Гольдфарба, JI.A. Коздобы и др. В большинстве случаев для решения задач применяются аналитические методы теории теплопроводности, автомодельные решения, операционное исчисление, а также методы электро- и гидроапалогий. Наиболее существенные результаты получены в линейных или автомодельных постановках для тел канонической формы. Моделированию процессов горячей обработки металлов в бо-

лее общих постановках с учетом превращения энергии при фазовом переходе на основе задачи Стефана посвящены работы A.A. Углова, H.A. Авдонина, В.Н. Кислевского, В.А. Судника, И.Ю. Смурова, S. Fukusako, B.W. Kumar, Wu Chausong и др. При решение задач широко применяются численные методы конечных разностей и конечных элементов. При этом вопрос о форме сварочной ванны и ее роли в процессе передачи тепла от источника к основному металлу решается по разному: либо гидродинамика моделируется с помощью "эффективного" коэффициента теплопроводности расплава, а форма ванны отождествляется с изотермой плавления, либо форма сварочной ванны задается ( для этого в практических задачах применяется экспериментальный метод выплескивания расплава ). Моделирование системы "источник энергии - жидкая ванна - осповной металл" в общем виде представляет собой чрезвычайно сложную проблему, решение которой подразумевает детальпый расчет термогидродинамики расплава. При этом необходимо учитывать потоки металла через границу ванны, электромагнитные силы, испарение металла с поверхности и силовое взаимодействие расплава с газовыми потоками, тер-мокапилярные эффекты. В современной научной литературе ( A.A. Введенов, Г.Г. Гладуш, A.A. Углов, В.А. Судник, G.M. Orper, R. Clio о, Wu Chuangsoug и др. ), как правило, рассматриваются модели отдельных эффектов; удовлетворительная общая теория не создана.

Общей чертой современных исследований является недостаточное внимание к фундаментальным вопросам математического моделирования : какие уравнения и граничные условия необходимы и достаточны для решения конкретной задачи горячей обработки, в каких случаях можно применять осредненные уравнения, каков порядок ошибки, получающейся при игнорировании температурной зависимости коэффициентов, правомерно ли использование упрощенной модели ванны расплава, источника тепла и т.п.

Таким образом, теоретически актуальным представляет' ся создание методики, позволяющей строить адекватпые це-

лям исследования математические модели тепловых процессов горячей обработки металлов, обосновывая сделанные допущения с той или иной степенью строгости. Особенно это важно при моделировании новых технологических процессов ( в частности, рассматривающихся в диссертации ), когда вид определяющих уравнений неочевиден.

Понятно, что модели должны основываться на универсальных соотношениях, выражающих законы сохранения н превращения энергии. Однако математическое моделирование процессов горячей обработки металлов представляет собой комплексную проблему, решение которой в большинстве случаев невозможпо путем пепосредствеппого интегрирования общих уравпепий тепломассопереноса. В этих условиях на первый плап выступает детальное исследование каждой рассматриваемой задачи с позиций теории подобия (Л.И. Седов, A.A. Гухмап), выявление главных механизмов теплопередачи и обоснованное упрощение исходных соотношений за счет отбрасывания второстепенных эффектов. Применение известных в механике и прикладной математике методов осреднения и гомогенизации приводят к новым рациопальпьш постановкам тепловых задач для конструкций сложной геометрии. Формулировка задач в безразмерной форме и оценка критериев подобия позволяют понять взаимодействие различных факторов исследуемого технологического процесса, оптимизировать натурный и вычислительный эксперимент, выбрать адекватные методы аналитического и численного решения.

Цель работы.

Построение и теоретическое исследование математических моделей тепловых процессов с фазовыми превращениями в металлах при технологическом воздействии интенсивных источников энергии.

Создание эффективных средств расчета динамики температурных полей на основе численных методов решения нелинейных краевых задач.

Решение новых теоретических и прикладных задач в области математического моделирования процессов горячей обра-

ботки металлов]

Научная новизна диссертации в целом состоит, с одной стороны в постановке, исследовании и решении ряда новых задач моделирования температурных полей с фазовыми переходами при воздействии на металлы интенсивных источников энергии, а с другой стороны — в единстве математического подхода к разнообразным проблемам моделирования процессов горячей обработки, основанного на применении современных аналитических и численных методов.

Оригинальным является численный метод решения одномерной двухфазной задачи Стефана в классической постановке, обеспечивающий высокую точность определения фронта.

Впервые определена структура теплового пограничного слоя и предложен простой метод расчета температурного поля в окрестности ванны расплава при высокоскоростной сварке длинных листов.

Элементом новизны обладает пакет численных алгоритмов МКЭ для решения двумерных тепловых задач общего вида, включая двухфазную задачу Стефана.

Впервые предложены математическое описание и методы расчета динамики полей температуры металла и концентрации неметаллических включений при высокотемпературном центрифугировании чугунных отливок.

Новым является получепное в диссертации уравнение, описывающее динамику температурного ноля при поверхностном термоупрочнении цилиндрических изделий сложной формы. Новизной обладает постановка и решение обратной задачи управления мощностью источника.

Впервые разработана математическая теория дуговой сварки неподвижным плавящимся электродом по методу МЭИ (ДСНПЭ). Сформулирована и подтверждена с помощью решения задач электродинамики гипотеза об асимметрии электрического поля как причине самодвижения дуги в канале. Построена рациональная математическая модели плавления электрода и пагрева основного металла при ДСНПЭ для расчета .характеристик данпого способа сварки.

Впервые решена задача расчета температурного режима медного водоохлаждаемого электрода при сварке кольцевых швов в режиме регулярного вращения дуги и при реверсе.

Научной новизной обладает математическое описание глобального нагрева трубной доски теплообменного аппарата при вварке пучка труб с помощью нескольких сварочных источников. Впервые построена рациональная математическая модель процесса с использованием методов теории подобия, расчленения конструкции, осреднения и гомогенизации.

Новой является постановка, исследование и численное решение задачи о тепловых процессах при формировании кольцевого шва. Впервые обоснован выбор упрощенных моделей источника и сварочной ванны на основе вычислительного эксперимента. Научную новизну имеют результаты расчета толщины шва в зависимости от времени сварки для разлпчпых режимно - геометрических параметров процесса.

Достоверность результатов диссертации следует из того, что они получены па основе анализа общих уравнений сохранения энергии; упрощенные математические модели получены путем последовательного применения теории подобия и размерностей, определения критериев подобия для каждой рассматриваемой задачи и количественной оценки малости несущественных эффектов по сравнению с доминирующими. Точность применяемых численных методов в большинстве случаев известна априори, при необходимости выполняется специальная серия тестовых расчетов с использованием автомодельных решений, либо методом сгущения сеток. Для ряда задач установлено согласие полученных теоретических результатов с экспериментальными данными.

Практическая ценность.

Большинство из полученных в диссертации результатов имеют практическую направленность. Расчетные методики реализованы в виде законченных программных продуктов, теоретические выводы доведены до конкретных инженерных рекомендаций и были использованы для оптимизации экспе-

римента, отработки технологий и создания соответствующего оборудования. Значительная часть диссертационной работы выполнялась по хозяйственным договорам с промышленными предприятиями, научными учреждениями и своим появлением во многом обязаны специалистам лаборатории сварки КФ МЭИ ( B.JI. Ибатуллин ), АО "Нижнекамскнефтехим" ( Н.И. Хисматуллин, М.М. Ястребов ), ПО "ЕлАЗ" ( A.A. Казанцев, В.А. Бесхлебный ), Научно - экспериментального комплекса в г.Елабуга ( Э.Н. Корниенко ), кафедры технологии металлов и лаборатории сварки МЭИ ( И.В. Зуев, А.Д. Трофимов, В.О. Бушма), участвовавших в постановке проблем и осуществлявших в той или иной 'мере внедрение теоретических результатов (соответствующие Справки об использовании приведены в Приложении хс диссертации).

Результаты, выносимые на защиту:

1. Численный метод расчета немонотонного движения межфазной границы при погружении металлической плиты в расплав. Моделирование наплавки слоя с помощью управления граничными условиями на непогруженной поверхности плиты.

2. Определение структуры теплового пограничного слоя и метод расчета температурного поля в окрестности ванны расплава при высокоскоростной сварке длинных листов.

3. Програмная реализация численных алгоритмов МКЭ для решения двумерных тепловых задач общего вида, включая двухфазпую задачу Стефана.

4. Математическое описание и методы расчета динамики полей температуры металла и концентрации неметаллических включений при высокотемпературном центрифугировании чугунных отливок.

5. Построение математической модели поверхностного термоупрощения цилиндрических изделий сложной формы с

использованием методов теории подобия, осреднения, расчленения конструкции. Постановка, численное и приближенно - аналитическое решение задачи об оптимальном управлении мощностью источника.

6. Постановка и решение задач для оценки магнитных сил, действующих на электрическую дугу при ДСНПЭ. Гипотеза об асимметрии электрического поля как причине самодвижения дуги в канале.

7. Построение рациональной математической модели плавления электрода и пагрева основного металла при ДСНПЭ. Выявлепие особенностей и расчет характеристик данного способа сварки с помощью аналитического решения и численного моделирования.

8. Методика расчета температурного режима медного водо-охлаждаемого электрода при сварке кольцевых швов при регулярном вращении дуги и при реверсе.

9. Математическое описание глобального нагрева трубпой доски теплообменного аппарата при вварке пучка труб с помощью нескольких сварочных источников. Построение упрощенной математической модели процесса с использованием методов теории подобия, расчленения конструкции, осредпепия и гомогенизации.

10. Постановка, исследование и численное решение задачи о тепловых процессах при формировании кольцевого шва. Обоснование выбора упрощенных моделей источника и сварочной ванны на основе вычислительного эксперимента. Расчет зависимостей толщипы шва от времени сварки для различных режимно - геометрических параметров процесса.

Публикации и апробация работы. Всего автором опубликовано 52 научные работы, в том числе 22 - непосредственно по теме диссертацпл , включая одну мопографию, 11 научных статей и 10 тезисов докладов.

Основные результаты, включенные в диссертацию получены лично автором.

Вклад соавторов публикаций следующий: Н.И. Хисматуллин, М.М. Ястребов как представители Заказчика по работам, проводившимся в рамках хозяйственных договоров, участвовали в постановке производственно - технологических проблем; Б.Л. Ибатуллин разрабатывал конкретные технологии сварки, осуществлял руководство проектированием и созданием опытных образцов сварочных автоматов; В.Л. Федяев координировал технологичекие и расчетпо-теоретические работы, участвовал в постановке задач и практической интерпретации результатов моделирования; Б.А. Снигерев выполнял отдельные расчеты в Главе 2 и §5.2; уравнения для оценки электромагнитных сил §4.1 получены совместно с А.Г. Егоровым, решение соответствующих задач принадлежит автору диссертации; в задаче третьей главы В.А. Чугуновым выписаны конкретные выражения для разрывных коэффициентов определяющего уравнения, им же предложено применить преобразование Лапласа для построения приближенно - аналитического решения задачи об оптимальном управлении мощностью источника (§3.5).

Основные результаты диссертации докладываясь на итоговых научных конференциях КГУ, КНЦ РАН, КФ МЭИ 1987 - 1996 гг.; на семинаре Кафедры прикладной математики КГУ (руководитель - профессор А.Н.Саламатин), на семинаре Кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель - профессор А.Д.Ляшко), на семинаре ИММ КНЦ РАН (руководитель - член-корреспондент РАН М.А.Ильгамов), на Городском технологическом семинаре (руководитель - профессор А.В.Костерин); на семинаре Кафедры технологии металлов МЭИ (руководитель - академик АТН И.В.Зуев); в Институте теплофизики СО АН СССР (Новосибирск, 1990), в Институте математического моделирования РАН (Москва, 1996); на научно-технических конференциях "Концентрированные потоки энергии в технологии обработки и соединения материалов" (Пенза, 1989 и 1991 гг.), на научно-техническом семи-

наре "Эффективные технологические процессы и оборудование для восстановления и упрочнения деталей машин" (Пенза, 1991), на VI Всесоюзной конференции по сварке (Свердловск, 1991), на научно-технической конференции "Повышепие эффективности сварки и упрочнения материалов концентрированными источниками энергии" (Казань, 1991), на научпо-техническом семинаре "Надежность металлов ответственных элементов оборудования ТЭС" (Казань, 1991), на Международной конференции International Conference on Advanced and Laser Technology ALT'92 (Москва, 1992), на IV Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (Свердловск, 1992), на Международном конгрессе "Развитие мониторинга и оздоровление окружающей среды" (Казань, 1994), на XII и XIII Международных школах "Модели механики сплошной среды" (Казань, 1993 и Санкт-Петербург, 1995).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, где обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы и результаты, выносимые на защиту; пяти глав, каждая из которых (за исключением, может быть, первой ) представляет собой, по существу, теоретическую основу разработки отдельной перспективной технологии; заключения, в котором подводится краткий итог выполпепного исследования и намечаются перспективы работы; списка литературы; приложения со справками об использовании результатов.

Работа изложена иа 222 страницах, содержит 56 рисупков и 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1. Модельные тепловые задачи горячей обработки металлов и типичные методы их решения

Рассмотрены типичные задачи, возникающие при математическом моделировании процессов горячей обработки металлов. Дано описание движения фронта плавления - кристаллизации, проведен анализ структуры температурного поля и

распределения теплового потока в основном металле в окрестности сварочной ванны. На примере модельных задач иллюстрируются методы исследования, применяемые в последующих главах: методы подобия и размерностей, анализ тепловых пограничных слоев, выявление малых параметров и упрощение исходных уравнений. В частных случаях приводятся точные аналитические решения, для более сложных задач применяются методы конечных разностей и конечных элементов.

В §1.1 приведена постановка классической двухфазной задачи Стефана, выписано и проанализировано ее автомодельное решение для случая контакта перегретого расплава с плоской плитой . Практический интерес представляет управление движением фронта через граничные условия на непогруженной части плиты, что позволяет применять метод контактного плавления для обновления и наплавки поверхностей металлических изделий. Для моделирования возникающего при этом немонотонного движения фронта предлагается сравнительно простой численный алгоритм, обеспечивающий в одномерном случае достаточную точность расчета дипамики межфазпой границы.

Суть метода в следующем. В каждой из фаз выполняется замена переменной, сводящая область расчета к фиксированному отрезку (аналогично методу "спрямления фронтов" Б.М. Будака). Это приводит к появлению конвективных членов с явным вхождением скорости фронта в уравнениях для температуры Т(х, I). После полудискретизации по времени па каждом временном слое необходимо отыскать распределение температуры Т(х) и число V. Первая задача решается с помощью известной монотонпой разностной схемы с "опусканием" нелинейных коэффициентов на нижний временной слой, а для определения V применяется итерационный процесс, критерием сходимости которого служит условие Стефана; при этом для вычисления тепловых потоков на границе предложена устойчивая интегральная форма. Точность разработанного метода подтверждена тестированием на автомодельных решениях, а в общем случае - расчетами па сгущающихся сетках. С

¡

помощью вычислительного эксперимента исследовалось влияние на решение задачи зависимсти коэффициентов теплоемкости С и теплопроводности Л от температуры. Показано, что для металлов, близких к стали, можно положить С = const, что упрощает расчетные формулы.

В §1.2 рассматривается модельная тепловая задача о высокоскоростном плавлении ( сварке ) длинного листа. В известных подходах к решению этой задачи ( H.H. Рыкалин и

A.A. Углов, В.И. Махненко, Ф.Н. Кислевский, В.А. Судник,

B.V. Kumar, И.П. Дубовенко ) либо рассматривается средняя по толщине листа температура, либо не учитывается процесс фазовых переходов, либо, когда принимаются во внимание названные факторы, используются, громоздкие численные процедуры. Между тем, при высокой скорости движения источника около границы сварочной ванны в твердой фазе образуются температурные пограничные слои, анализ структуры которых необходим как для понимания механизмов протекающих здесь процессов теплообмена, так и при конструировании методов распета. Методологически близкий подход к моделированию высокоскоростной сварки используют N. Postaclogut и J. Dowden.

Чтобы проанализировать особенности конвективного теплообмена вблизи фронта плавления вводится локальная криволинейная система координат. В безразмерных переменных исходная задача преобразуется к виду

СП / ч0Т 6 ■ ,

—ЬРе cosía — т)——(- — sm(a — т)-— = on ф от.

~ фдп дп + \ф) dr2' [ '

йЧ1

н = 0: Г= 1, — = KfSPecosa-Q, (2)

on

где т и п — касательная и нормаль к межфазной границе, a — угол между вектором скорости "набегающего" металла и п, Q — плотность теплового потока, значения Ре 1 соответствуют высокоскоростной сварке, K¡ - критерий фазовых переходов, 6 <С 1 — безразмерная толщина пограничного слоя.

Исследуя уравнения (1) - (2) методами теории подобия, выделено три участка вблизи фронта плавления с различными механизмами теплопередачи : лобовую часть 1, придонную 2 и переходную 3 (см. рис. 1).

Рис. 1: Структура пограничного слоя вблизи фронта плавления. Я — характерный радиус кривизны межфазной границы.

Для каждой из зон с точностью получены ма-

тематически одномерные уравнения, которые решаются либо аналитически, либо известными численными методами. Температурное поле в зоне кристаллизации при больших Ре характеризуется малами градиентами температуры в направлении потока. Соответствующее уравнение пограничного слоя решено численно.

Результаты расчета температурного ноля вблизи границы жидкой ванны представлены на рис. 2 в виде изотерм. Явно выделяется тепловой пограничный слой в зоне плавления и его "размывание" в зоне кристаллизации.

При моделировании сложных практически важпых тепловых процессов часто возникает необходимость решать многомерные уравнения теплопроводности с учетом фазовых переходов в сложных областях. Для этих целей в диссертации применяется метод конечных элементов. В настоящее время МКЭ получил очень широкое распространение в математическом

Рис. 2: Температурное поле в окрестности жидкой ванны при высокой скорости движения источника

моделировании, в том числе и при решении задач теплообмена. Необходимые сведения теоретического и практического характера можно найти, например, в работах О.Зенкевича, Д. Норри и Ж. Де Фриза, Г. Стрэнга и Дж. Фикса, Д. Ши, А. Джорджа, Дж. Лго, С. Писсанецки, М.М. Карчевского, A.B. Лапипа и многих других. Представленный в §1.3 материал представляет конкретизацию известных подходов для задач горячей обработки металлов с целью создания пакета программ для эффективного ресчета тепловых процессов.

Рассмотрена модельная двумерная нестационарная задача теплопроводности

аГ

C~dt=V'Q~ + - + /1 В Д f > 0; (3)

Q = fcVT; ¿ = 0: Т = Т0{х,у);

Здесь X — (х, у), Х\ — точки области £> с границей Г = Г1 иГг; точки я, 6 Г1; п — внешняя нормаль к Г; функции с, к могут зависеть от искомой температуры Т и X, а коэффициенты

Qn — —оеТ + /3 на Г); Qn = P2Ös{s - на Г2.

(4)

(5)

а, /3, /, qi суть функции X, t; координаты Х{, и параметры pi,p2 зависят от t.

Формулировка (3) - (5) описывает довольно широкий класс задач : сосредоточенные движущиеся и распределенные источники тепла в области и на границе; теплопроводность и теплоемкость, зависящие от температуры; вообще говоря, многосвязная область расчета. В рамках этой же постановки рассчитываются температурные поля для процессов с условиями Дирихле на Гх вида Т = Т\; для этого в (4) полагается а = A,ß = АТиА~>1.

Зависимость с(Т) позволяет приближенно учитывать и фазовые превращения. В обобщенной форме записи задачи Стефана в левой части уравнения (3) стоит производная от энтальпии Н ( O.A. Олейник, А.Н. Мейрманов ). Если Н{Т) — T + sgn(T)K//2, то согласно приему, предложенному A.A. Самарским и Б.Д. Моисеенко

dH/dt = [1 + Kf • 6{T)]dT/dt = c(T)dT/dt,

где S(T) — функция Дирака, котрая в расчетах заменяется сглаженным аналогом.

После дискретизации по t от задачи (3) - (5) осуществляется переход к интегральному тождеству

J(fcVT • Vu + qvT)dD + J avTdTx =

D Г!

= J fvdD + Plv(Xi) + P2v( Xj) + I ßvdVu (6)

D Г2

определяющему обобщенное решение задачи на текущем временном слое (здесь v — пробная функция).

При решении нелинейных задач организуется цикл итераций для уточнения значений коэффициентов, зависящих от решения Т. При этом на каждой итерации решается задача (6), в которой коэффициенты к, д, заменяются соответствующими параметрами, вычисленными по значению Т на предыдущей итерации.

Область D покрывается треугольной сеткой, к (6) применяется процедура поэлементной сборки, в результате получается

система уравнений с невырожденной, симметричной и положительно определенной матрицей. Для ее решения применяются как итерационные методы сопряженных направлений ( A.A. Самарский и Е.С. Николаев , JI. Хейгеман и Д. Янг), так и прямые методы, основанные на разложении Холецкого. В последнем случае использовались современные методы решения больших разреженных систем с оптимизацией нумерации узлов сетки по обратному алгоритму Катхилла - Макки ( А. Джордж, Дж. Лю, С. Писсанецки).

На базе постановки (6) создан пакет программ для IBM-совместимых компьютеров, который реализует следующие функции: генерация и редактирование сеток, оптимизация номеров узлов сетки, построение уравнений МКЭ по структуре интегрального тождества, решение задач итерационным и прямым методами, графические средства представления результатов. С помощью этого пакета были получены многие из численных решений для задач, рассматриваемых в следующих главах.

Глава 2. Математические модели очистки расплава при высокотемпературном центрифугировании чугунных отливок

Исследуются сложпые процессы теплопередачи и миграции неметаллических включений в тигле при высокотемпературном центрифугировании чугунных отливок. Нагрев и плавление металла происходит благодаря радиационному воздействию' нагревателя, вокруг которого вращается тигль. Решение вспомогательных 'задач и оценки интенсивности тепловых потоков за счет теплопроводности, излучения, свободной конвекции позволили сделать вывод, что и па стадии охлаждения и затвердевания слитка определяеющими являются условиями радиационной теплоотдачи па открытой поверхности. В области ликвидуса, граница которого продвигается от открытой поверхности образца, наблюдается изменение концентрации включений, всплывающих в поле центробежных сил (используется модель Стокса).

Математическая модель для температуры содержит краевую задачу Стефана в энтальпийной постановке с нелиней-

ным условием излучения на границе. Для расчета миграции частиц получено уравнение типа конвективной диффузии, коэффициенты которого (скорость всплывания и коэффициент диффузии) вычисляются по температуре. В ходе постановки и анализа задачи определен главный критерий подобия Ре, концентрирующий в себе информацию о радиусе частиц, скорости вращения и размерах установки, теплофизических свойствах материала. Для упрощения счета уравнение для концентрации распространено и па кристаллическую фазу, в которой скорость частиц и коэффициент диффузии полагаются равными нулю.

Обе задачи квазиодномерны (используются уравнения с фиксированной трубкой тока) и решаются с использованием неявных двухслойных разностных схем сквозного счета; нелинейные коэффициенты уточняются в итерациях.

Рис. 3: а) Термические циклы в сечениях 1 — Х=0Л; 2 — Х=0.5; 3 — Х=0.9; Горизонтальной штриховой линией отмечена температура плавления - кристаллизации, вертикальной — время начала ожлаждения; 6) Изменение концентрации частиц вдоль оси слитка со временем.

Проведено численное моделирование процесса высокотемпературного центрифугирования, зафиксированы существенные изменения кривых распределения частиц по размерам и особенности этих изменений в различных сечениях отливки.

Рис. 4: Изменение функции распределения частиц по размерам при центрифугировании в сечениях X = 0.5 (верхний рисунок) и X = 0.1 (внизу). Цифры у кривых обозначают развитие во времени

Глава 3. Расчет температурных полей при оптимизации поверхностного термоупрочнения цилиндрических изделий

Многие элементы машин и механизмов представляют собой цилиндрические изделия из металла, работающие в режиме вращения. Это различные валы, кулачки,, эксцентрики. При изготовлении и ремонте подобных изделий их рабочая боковая поверхность подвергается термообработке с целью придать особые прочностные свойства тонкому приповерхностному слою.

В качестве типичного и достаточно общего примера рассматривается распределительный вал двигателя внутреннего сгорания. Он может быть представлен как совокупность фрагментов, содержащих кулачок, показанный на рис.5. Одним из способов упрочнения рабочей боковой поверхности литого чугунного кулачка является переплав тонкого слоя 6 с помощью сканирующего в направлении г нагревателя ( электрической дуги либо индуктора ) при одновременном вращении детали с угловой скоростью ш за один оборот вала.

Рис. 5: К постановке задачи о термоупрочнении кулачка.

По технологии требуется, чтобы толщина переплавленного слоя 6 была равномерной по всей боковой поверхности. Для

этого необходимо регулировать мощность источника Ра(£), поскольку форма кулачка отличается от круга, а изделие в целом нагревается со временем.

Математическая модель для расчета среднего по толщине кулачка температурного поля получена с помощью расчленения конструкции по линии г = 0 и вывода условия теплового контакта между кулачком и валом. При этом решение задачи для вала выписывается аналитически, а безразмерная температура кулачка описывается уравнением в полярных координатах

= (7)

г > 0, 0 < В < нк(<р), 0 < у < 2ж, С = 1 + 3Е2(ф - ф) • 1/(Д - Вв), I? = -3Е2ф • и(В - Вв). с краевыми словиями

* = о : Т = 0; Т(Д, <р, <) = Т(В, (р + 2тг, *); ип Як ОН

где

ф = -ехр{ВЧ)егй:(ВтД), Ш = ± ) ф(№,

В,Е - критерии подобия, Вв ~ радиус вала.

Численное решение задачи для круглой детали строится с помощью разностной схемы, явной по г и неявной по ср. При моделировании распространения тепла в детали произвольной формы выполняется отображение в каноническую область, после чего преобразованное уравнение со смешанными производными решается методом конечных разностей с применением итерационного процесса последовательной верхпей релаксации.

Имея решение прямой задачи (7) - (8) (расчет температуры тела по заданному источнику), можно ставить обратную задачу об оптимальном управлении мощностью нагревателя. Соответствующий критерий качества может быть сформулирован

Рис. 6: Динамика температурного поля кулачка общей формы. Пунктиром показан вал, залита черным область расплава Т > 1. Шаг между изотермами равен 0.1.

так: оптимальное управление Р(<) минимизирует функциоиал

НР) = {^[Нк~А~о^/иЕ1М]2^} ' (9)

где значение определяется равенством Т(/?1, <р, = 1 (безразмерная температура плавления равна единице) при условии, что Т(Я, <р, г) есть решение задачи (7) - (8).

Квазирешепие некорректной задачи (9) ищется методом подбора ( А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин ) в классе экспоненциально убывающих функций, описывающих закон изменения мощности источника. Данный метод определения квазиоптимальных режимов источника тепла связан с трудоемкими расчетами и требует "искусства" подбора параметров в ходе вычислительного эксперимента. В §3.5 получено приближенное аналитическое решение задачи об оптимальном управлении мощностью нагревателя на основе упрощенных моделей, которые могут быть использованы в инженерной практике, служить теоретической основой технологических САПР.

Глава 4■ Тепловые задачи дуговой сварки неподвижным плавящимся электродом

Теоретически исследуется процесс дуговой сварки неподвижным плавящимся пластинчатым электродом, помещенным между двумя свариваемыми элементами и отделеппому от них тонкими прокладками изолятора. В процессе сварки электрическая дуга вырабатывает канал, образуемый торцем электрода (сверху), двумя плоскостями свариваемых деталей (по бокам) и металлом шва (внизу). Быстро сканируя вдоль канала, электрическая дуга плавит электрод и переносит расплав ко шву, где происходит кристаллизация; изолятор при этом выгорает. Таким образом, канал в целом перемещается вверх, формируя снизу сварной шов.

В §4.1 предлагается объяснение самодвижения дуги в канале из-за асимметрии электромагнитного поля в окрестности подвода тока к дуге: при движении вдоль канала дуга плавит электрод, так что перед пей образуется "уступ" высотой

6. Для оценки силы, разгоняющей дугу, проведен критериальный анализ уравнений электродинамики (законы Ампера, Био-Савара-Лапласа), выделен малый параметр равный отношению ё к радиусу пятна дуги (1; при этом решение задачи для потенциала электрического поля ищется в виде асимптотического разложения и = щ + £оП\ + 0(^1). Для отыскания щ ш щ получены задачи

Ащ = 0, у > 0,

п дио У- 0: - — ду

1 + со5(7га;), |х| < 1, 0, |ж > 1,

(10) (И)

У = о :

Ащ = О, дщ

У> 0,

д £(х)дщ

ду ^Х^ дх ео дх '

(12) (13)

где функция

<*) =

X < -1,

|[1+С08^±% \Х\<1,

0,

х > 1,

описывает форму границы электрода.

Задачи (10) и (12) решались с использованием МКЭ и известной асимптотики поведения потенциала на удалении от источника. Показано, что старший член разложения ыо сим-метричеп и пе вносит вклада в поперечную составляющую магнитного ноля, которая целиком определяется функцией «1, показанной на рис.7.

Как показывают вычисления, соответствующая размерная величина имеет порядок

Щ = -2ео#о = —

61

(14)

2тг сР'

где I — сила тока дуги. По найденной напряженности Щ с . помощью экспериментальных данных определена теоретическая скорость сканирования дуги вдоль капала, ее значение ~ 5 м/с согласуется с данными натурных испытаний.

Рис. 7: Линии «i = const

Высокая частота сканирования дуги (100 с-1 при длине канала 4.5 см.) позволяет применять осредненное зпачепие теплового потока при моделировании источника тепла с учетом переноса расплава в задачах о плавлении электрода и о нагреве основного металла (§4.2).

Сами эти задачи формулируются и решаются в §§4.3 - 4.4. У задачи о температуре электрода получается простое решение для пограничного слоя, формирующегося перед фронтом плавления (модель скоростного плавления с удалением расплава). Оно свидедетельствует о том, что скорость сварки постоянна, не зависит от габаритов свариваемых деталей и определяется только размерами электрода и мощностью тока.

Температурное поле в основном металле, рассчитанное с помощью метода конечных элементов, оказывается близким к известному решению для быстродвижущегося точечного источника, см. рис.8. Из-за высокой скорости сварки температурное поле в осповном металле неравномерно: линия шва сильно прогрета, тогда как периферийные области остаются холодными в течепие всего процесса сварки. Влияние окружающей среды во время сварки на температуру ничтожно; опо будет сказываться лишь при остывании детали.

В §4.5 обсуждается возможная причина образования дефектов сварного шва — дефицит металла из-за выгорапия элек-

трода, увеличение дугового зазора и, как следствие, периодическая смена ориентации дуги.

Глава 5. Моделирование сварки кольцевых швов вращающейся дугой

Глава посвящена математическому моделированию тепловых процессов, протекающих при вварке пучка труб в трубную доску теплообменного аппарата с помощью сварочных автоматов, основанных на принципе вращающейся магнитоуправля-емой дуги.

В §5.1 изучается температурный режим медного кольцевого водоохлаждаемого электрода. Отдельно рассмотрен режим регулярного вращения, когда тепловая энергия равномерно распределена по рабочей поверхности электрода, и режим реверса (изменения направления вращения), при котором в течение короткого отрезка времени вся мощность концентрируется в пятне дуги.

Многовариантные расчеты температуры электрода в регулярном режиме при различных расходах охлаждающей воды (критерий Био В в граничном условии на внутренней стенке канала) проводились с помощью МКЭ. Температурное поле электрода и разогрев его рабочей части в зависимиости от В показаны на рис. 9.

Быстрый разогрев конца электрода при реверсе описывается в рамках одномерной модели, допускающей аналитическое решение. Безразмерная температура в центре пятна дуги имеет простой вид :

Т0 — То + 20^,

где То. - максимальное значения регулярной температуры, Q - безразмерная мощность источника. На основании этого соотношения оцевается максимально допустимое время реверса дуги без оплавления электрода, когда 7о < 1:

*то« = ^ " [(1 - То)/0]2- (15)

Полученные результаты позволяют выбрать режим охлаждения, сформулировать требования к системе управления дуге!!.

В двух последних параграфах исследуются температурные поля в металле трубной доски.

Характерной особенностью тепловых процессов в основном металле является наличие двух пространственно-временных

масштабов: локальный нагрев, плавление и кристаллизация металла в окрестности сварного шва происходит на фоне глобального разогрева трубной доски как целого. С точки зрения математического описания это означает, что локальное температурное поле при формировании сварного соединения можно рассматривать отдельно, учитывая глобальные изменения температуры через начальное условие задачи; в свою очередь, при расчете динамики температуры трубной доски в целом отпадает необходимость моделировать сложные процессы плавления-кристаллизации вблизи нагревателей, а сами источники тепла можно считать точечными.

§5.2 посвящен исследованию макроскопических температурных полей трубпой доски при одновременном действии нескольких сварочпых автоматов. При построении математической модели решаются две принципиальные проблемы: 1) описание распространения тепла в перфорированной многосвязной области и 2) учет теплового взаимодействия трубпой доски с пучком ввариваемых труб.

Рис. 10: Схематическое изображение трубной доски и ячейки периодичности

Чтобы решить первую проблему, перфорированная плита представляется как периодическая структура (см. рис. 10). Следуя методу гомогенизации ( Н.С. Бахвалов, Э. Санчес-

Паленсия ), перфорированный металл заменяется фиктивной сплошной средой, свойства которой ( эффективная теплопроводность ц ) определяются с помощью решения модельной задачи на ячейке периодичности. Для решения второй проблемы осуществляется расчленение конструкции, вывод условия па контакте и решение тепловой задачи для трубки с помощью преобразования Лапласа; после осреднения по толщине трубной доски в уравнении появляется дополнительный член — интеграл типа свертки, учитывающий "историю" отвода тепла в трубки.

В результате получена математическую модель глобального пагрева трубной доски

ди 1 -тп Ълг(1 — тп) я *

- (1 ~™)М [Ъи + ^(и - ш«о)], 1,У£ Д1>0; (16)

г = о : и = 0; Ге : ди/дп = 1 - тп) щ

«о(0 = /«(«- «1 = ¿1 = тК

- £ - «1ехр[(с? - *)«] ег^а^} .

В уравнепии (16) фупкции Л'*(<), У)*(£) описывают "траекторию" перемещения сварочного источника интенсивности </*(?) по трубной доске, N - число нагревателей, М - число ячеек, тп - отношение площади "скелета" трубной доски к ее общей площади, и = шТ, безразмерные коэффициенты Ь, В, а, в,, Л'д определяются по исходным данным задачи.

Разаработан алгоритм числепного решения задачи на основе метода конечных элементов. Один из результатов, когда каждый источник обрабатывает сектор круга, показан па рис. 11.

В §5.3 моделируются тепловые процессы формирования кругового шва и рассчитывается локальное температурное поле в его окрестности. Сформулирована начально - краевая задача в цилиндрических координатах для уравнения Стефапа в

Рис. И: Изотермы при движении источников а) - от центра, б) - к центру. Пунктиром выделен один из секторов, обозначена траектория обхода ячеек. N = 10, М = 120

энтальпийной постановке; область расчета составлена из двух сред : металла вокруг трубки и перфорированного окружения ячейки, теплопроводность которого определена в ходе процедуры гомогенизации. Плотность теплового потока от источника распределена но нормальному закону. Сварочная ванпа моделируется с помощью "эффективного" коэффициента теплопроводности расплава. Главной технологической задачей моделирования локального теплового процесса является установление зависимостей между глубиной проплавлепия, временем сварки, мощпостыо и сосредоточенностью источника, размерами изделия.

С помощью вычислительного эксперимента для данного способа сварки обосповапо применение упрощенной модели сварочной ванны, показано, что ошибки в задании сосредоточенности дуги слабо влияют на искомые характеристики процесса.

По результатам расчета построены номограммы и таблицы, позволяющие определить мощность источника, требуемую для получения нужного сварного шва в конкретной ситуации.

Рис. 12: Температурное поле в основном металле на момент t = 1. Цифры на изотермах - температура в "С.

В Заключении подведен краткий итог выполненного в рамках диссертации исследования, намечены направления перспективных исследований.

Публикации по теме диссертации

1. Мазо A.B. Математическое моделирование процессов горячей обработки металлов. - Казань, Казанский фонд "Математика", 1996. - 209 с.

2. Мазо А.Б. Численное решение задачи для нелинейного уравнения параболического типа с вырождением на подвижной границе // Исследования по прикладной математике, вып. 11. - Казань, Изд-во КГУ, 1984. - С.111 - 123.

3. Мазо A.B., Федяев В.Л., Ибатуллин B.JI. Особенности теплообмена вблизи границы жидкой ванны при больших скоростях сварки // Интенсификация процессов тепломассообмена в энергетических и теплотехнических установках. Тр. МЭИ, вын.201. - М., 1989. - С.45 - 51.

4. Мазо Л.Б., Федяев B.JI., Ястребов М.М, и др. Математическое моделирование тепловых процессов при сварке вращающейся дугой // Моделирование нелинейных процессов в механике и теплотехнике. Тр. КФТИ.- Казань,1989, вып.14. - С.78 - 85.

5. Мазо A.B., Федяев B.JL, Хисматуллин Н.И. Расчет динамики межфазной границы при контактном плавлении металлов // Моделирование нелинейных процессов в механике и теплотехнике. Тр. КФТИ.- Казань, 1989, вып. 14. - С.66 - 77.

6. Мазо A.B., Федяев В.Л., Ястребов М.М. и др. Математическое моделирование тепловых процессов при сварке вращающейся дугой // Науч. - техн. конф. "Концептр. потоки энергии в технол. обраб. и соед. материалов". Тез. докл. - Пенза, 1989. - С. 68 - 69.

7. Федяев В.Л., Тазюков Ф.Х., Мазо A.B. и др. Математическое моделирование упрочнения кулачков распредвала методом поверхностного переплава // "Наука -производству". Тез. докл. респ. науч. - техн. конф., по-свящ. 10-летию КамПИ - Набережные Челпы, 1990. - С. 124.

8. Ибатуллин Б.Л., Ястребов М.М., Мазо A.B. и др.

Автоматическая сварка кольцевых швов вращающейся дугой // "Наука - производству". Тез. докл. респ. науч. -техн. конф., посвящ. 10-летию КамПИ - Набережные Челны, 1990. - С. 123 - 124.

9. Мазо A.B., Федяев В.Л., Барабина E.H. и др. Поведение межфазной границы при контакте твердого тела с расплавом // Науч. - техн. конф. "Повышение эффективн. сварки и упроч. материалов конц. источниками энергии". Тез. докл. - Казань, 1991. - С. 7 - 8.

10. Мазо A.B., Федяев В.Л., Бесхлебный В.А. и др.

Оптимизация технологических режимов поверхностного

упрочнения тел сложной формы // Науч. - техн. конф. "Повышение эффективн. сварки и упроч. материалов коиц. источниками энергии". Тез. докл. - Казань, 1991. - С. 30.

11. Хисматуллин Н.И., Федяев B.JL, Мазо A.B. Использование метода погружения при изготовлении и ремонте нефтехимического оборудования // "Эффективн. технол. процессы и оборудование для восст. и упроч. деталей машин". Тез. докл. семинара. - Пенза, 1991. - С. 80 - 81.

12. Мазо А.Б., Федяев B.JI. Расчет оптимальных режимов упрочпения рабочих поверхностей распредвалов // "Копцептрир. потоки энергии в обраб. и соед. материалов". Тез. докл. конф. - Пепза, 1991. - С. 7 - 8.

13. Мазо A.B., Федяев B.JL, Чугунов В.А. Расчет температурного поля при моделировании термоунрочнения рабочей поверхности распредвала // Исследования по прикладной математике, вып. 18- - Казань, Изд-во КГУ, 1992.

- С.87 - 95.

14. Fedyaev V.L., Mazo A.B., Ibatullin B.L. Mathematical modeling of thermo-hydrodynamic processes under the influence of concentrated energy stream on materials // International conf. on advanced and laser tech. Book of summaries. Part 6.

- 1992. - P.3 - 4.

15. Мазо A.B., Егоров А.Г. Тепловые задачи моделирования сварки неподвижным плавящимся электродом // Инженерно - физический журнал, 1994, т.67, №5-6. - С.110 -116.

16. Федяев B.JI., Ибатуллин B.JL, Мазо A.B. и др. Новые технологии ремонта и восстановления оборудования // Тез. докл. науч.-техн. семинара "Надежность металлов отв. элемептов оборуд. ТЭС" - Казань, 1994. - С.З.

17. Мазо A.B., Снигерев В.А. Математические модели очистки расплава при высокотемпературном центрифу-

гировании // Инженерно - физический журнал, 1995, т.1, №68. - С.110 - 116.

18. Мазо A.B., Федяев В. JI., Ибатуллин В. JI. и др. Моделирование процессов горячей обработки металлов // Обзоры исследований по механике сплошной среды. К 50-летию КНЦ РАН. - Казань, 1995. - С.165 - 173.

19. Мазо A.B. Температурный режим кольцевого водоохла-ждаемого электрода. - Препринт JVs95-4. - Казань, Казанский фонд "Математика", 1995. - 15 с.

20. Ибатуллин B.JI., Гараева Г.Б., Мазо A.B. и др.

Исследование и разработка мероприятий по повышению ресурса и надежности котлов-утилизаторов этиленового производства // Материалы докл. итоговой пауч. конф. проф. - преп. состава КФ МЭИ. 4.1 - Казань, 1995. - С. 109.

21. Мазо A.B. Температурное поле трубной доски при ввар-ке пучка труб // Прикладная физика, 1996, №1.

22. Мазо A.B. Моделирование тепловых процессов в окрестности кольцевых сварных швов // Прикладная физика, 1996, №2.

Благодарности

Автор благодарен своим учителям - А.Н. Саламатину и В.А. Чу гу но ну.

Необходимо выразить признательность B.JT. Федяеву - заведующему Лабораторией моделирования технологических процессов ИММ КНЦ РАН за внимание к работе и поддержку. Автор благодарен Р.З. Даутову и Е.М. Федотову за полезные консультации по теоретическим вопросам применения численных методов, А.Г. Егорову за неформальные обсуждения математических моделей и Б. А. Снигереву за помощь в проведении расчетов.