автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса распространения излучения в световодах

гг^ яд 1 о ФЕЗ 15РЗ

на правах рукописи

Садыков Наиль Рахматуллович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В СВЕТОВОДАХ

специальность 05.13.18 "Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск-1997

Работа выполнена во Всероссийском научно-исследовательском институте технической физики

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Николаев В.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Бучельников В. Д. доктор физико-математических наук Зубов А.Д..

Ведущая организация: Государственный Ракетный Центр "КБ им. В.П. Макеева"

Защита состоится ф^МЛ^ХШ года в -// часов

на заседании диссертационного совета Д 064.19.03 при Челябинском государственном университете по адресу.

454021, г.Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Челябинского государственного университета.

Автореферат разослан К)Ч" ^Н'ЬЯр^ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-математических наук <Г. Свиридюк Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации.

Интерес к исследованиям нелинейных волновых процессов в оптических волноводах обусловлен рядом факторов, к важнейшим пз которых следует отнести перспективы создания на их основе оптических приборов, устройств и систем передачи информации. Примерами могут служить оптические переключатели, транзисторы, различные логические элементы и запоминающие устройства с большой плотностью записи. Все они используют в качестве основного элемента нелинейную среду, т.е. среду с нелинейным откликом на действующее электромагнитное поле. Использование нелинейной оптической среды позволяет добиться ряда преимуществ по сравнению с традиционной электроникой. Среди них прежде всего надо отметить быстрый отклик на поле, что приводит к возможности использования мощных сверхкоротких импульсов. Это в свою очередь позволяет достичь более быстрого (на несколько порядков) действия, чем в электронных устройствах.

Кроме создания новых опгоэлектронных устройств, важным для приложений является генерация и преобразование сверхкоротких оптических импульсов. Эти импульсы находят много приложений в спектроскопии твердого тела и жидкостей, при передаче информации на сверхдальние (> 1000км) расстояния и др.. Перспективными для генерации, формирования и усиления таких импульсов являются нелинейные оптические процессы в волокнах. Все это обуславливает необходимость дальнейшего развития теории нелинейных оптических процессов в волноводах и на поверхностях раздела конденсированных сред.

В конце 90-х годов ВНИИТФ включился в работу, целью которой является создание волоконно-оптических систем связи. Составной частью таких систем являются оптические волноводы (световоды), к параметрам которых предъявляются очень жесткие требования. Вслед-

ствие этого, задача синтеза волоконно-оптических структур для своего успешного решения требует разработки новых и совершенствование существующих методик расчета таких структур. Сложность решения этой задачи состоит также в том, что технология получения таких структур сложна, многостадийна и дорога, что практически исключает чисто эмпирический метод оптимизации. Поэтому математическое моделирование физических процессов, происходящих в световодах, начинает играть большую роль.

Цель работы. Математическое моделирование физических процессов в световодах в области пространственно-неустановившегося режима; математическое моделирование процесса распространения излучения в световодах при наличии неодяородностей; определение оператора возмущения при наличии неоднородностей в форме периодически возмущенной границы сердцевины; разработка и создание численных методик, позволяющих рассчитывать параметры одно-и многомодовых световодов.

Научная новизна. Предложен и обоснован неявный разностный метод решения нестационарного волнового уравнения (уравнение типа Шредингера), описывающего процесс распространения излучения в световоде. На основе этого метода реализован численный алгоритм поиска собственных функций и собственных значений мод различных световодов.

Предложен метод определения оператора возмущения в случае периодически возмущенной границы сердцевины световода.

В области слабой связи для случая несинусоидально-возмущенной сердцевины предсказан эффект, аналогичный эффекту в области сильной связи, что непосредственно подтверждается численными расчетами.

Предложена математическая модель световода с поглощающим по-

крытием, позволяющая определить мнимую часть постоянных распространения вытекающих мод.

На основе модели световода с поглощающим покрытием исследована область пространственно-неустановившегося режима для простых н сложных (ответвители) световодов.

В приближении геометрической оптики с учетом временной дисперсии и керровской нелинейности получено уравнение, описывающее эволюцию сверхкоротких импульсов. Полученное уравнение представляет собой уравнение типа Кортевега-де Фриса (Кс1У), где роль неизвестной функции выполняет амплитуда вектора Пойнтинга. Прослежен предельный переход от хорошо апробированной модели нелинейного уравнения Шредингера к уравнению К<1У. Определена зависимость скорости, длительности солитона от параметров среды и интенсивности излучения.

Научная и практическая ценность результатов работы.

Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации параметров волоконно-оптических линий связи и возможности определения вариации: нелинейных параметров среды и геометрии волокна. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших научных исследований и решений прикладных задач.

На основе реализованного алгоритма рассчитаны параметры реальных световодов, вытянутых в НИИКЦ, определены физические потери в случае конического утолщения сердцевины.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

Метод попска собственных значений и собственных функций направляемых мод.

Математическая модель световода с поглощающим покрытием, позволяющая реализовать метод поиска на основе этой модели собственных значений и собственных функций вытекающих мод.

Результаты математического моделирования процесса распространения излучения при наличии периодически возмущенной сердцевины световода.

Метод определения оператора возмущения при наличии периодически возмущенной границы сердцевины.

Результаты математического моделирования процесса самофокусировки мощного лазерного излучения в нелинейной среде.

Математическая модель распространения сверхкоротких импульсов в оптических средах при наличии дисперсии.

Достоверность работы. Часть полученных результатов сравнивалась с известными аналитическими решениями и результатами численных расчетов. Результаты теоретических и численных расчетов согласуются с ранее полученными результатами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на 1-ой Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (г.Саров 1991), математических конференциях ВНИИТФ (Снежинск 1990, 1992, 1993), а также обсуждались на научных семинарах ВНИИТФ.

Публикации. Результаты работы изложены в 14 печатных работах, список которых приведен в списке литературы, в отчетах ВНИИТФ.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа изложена на 156 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения, цитированной литературы из 87 наименований и приложения. Диссертация содержит 25 рисунков на 25 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении диссертации обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы дели исследований и основные полученные результаты, определены их новизна и практическая ценность, дан литературный обзор работ, кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе диссертации на основе численного решения скалярного волнового уравнения

В Ф „ „

2!^ + Дл.Ф + (n2fc2 - /?2)Ф = 0 (1)

предложен алгоритм поиска собственных значений (постоянных распространения мод) и собственных функций планарных (плоских) и осесимметричных световодов, где в случае планарного световода

Ф(* = ±а) = 0, (2)

в случае осесимметричного световода

В (2) и (3) величина а определяет внешнюю границу световода. В (1) п - показатель преломления, к = 27г/А, А - длина света в вакууме, Р = const.

. При численном решении на равномерных сетках uihT (планарный световод) и шрт (осесимметричный световод) уравнение (1) с соответствующими краевыми условиями (2) и (3) аппроксимировалось двухслойной разностной схемой с весом а

_ xj/o-l „

----= г'5Л(^Фа + (1-а)Фа-1), (4)

г

где для осесимметричного световода — Ф(z = atr, rm ~ тпр), 6А -разностный аналог дифференциального оператора

а для планарного световода Фа = Ф(г = cvr, ,г-( = //¿), <5.4 - разностный аналог дифференциального оператора

<6>

Для определения собственных значений и собственных функций для уравнения (4) организуются прямые итерации. В этом случае алгоритм определения собственных значений п собственных векторов аналогичен процессу нахождения их в методе Виландта. Разностное решение в рассматриваемом методе сходится к искомой n-ой собственной функции со

I 1 + irö\n irr TT гч

скоростью геометрической прогрессии | --— . Прп тбА„ 1 ско-

1 + ITÖÄi

рость сходимости перестает зависеть от т. Рассмотренную двухслойную схему можно использовать для численного моделирования физических процессов в световодах.

Для определения собственных значений и собственных функций вытекающих мод предложена математическая модель световода с поглощающим покрытием, которое обуславливается наличием мнимой части у показателя преломления в области покрытия. В качестве прикладных задач определены собственные значения и собственные функции планарных и осесимметричных световодов.

Во второй главе численно промоделирована область пространственно-неустановившегося режима трансляционно-ннвариантных и непнвари-антных (У-Ответвители) световодов с поглощающим покрытием. Показано, что при г | ß —ßi |<С 1, с —+ 0.5, а > 0.5 величину ß в (1) можно считать равной ß « пс[к, где ncik - показатель преломления оболочки, ßi - собственные значения низших мод.

В качестве трансляционно-инвариантных световодов рассмотрены

простой планарный и осесимметрпчный световоды. Например, для осе-симметричного световода с поглощающим покрытием п = п' + гп", п' > О, п" > О

. (1-5; о < г <

п = {

\ 1.49; 5 < г <

ГО; 0 < г < I________,

тг = < " " (7)

\0.01; ---------------

О < г < 5 мкм,

100 мкм. О < г < 50 мкм, 50 < г < 100 мкм.

коэффициенты затухания НЕц, и НЕ\% - мод соответственно

равны (Ц2 = 2.7 • 10~5 мкм, = 1.12 • 10"4 мкм и = 1.33 • 10~3 мкм.

В качестве сложных световодов расмотрены ответвитель, состоящий из двух простых тунельно связанных плаяарных световодов, и У-ответвптель (симметричный и несимметричный). Симметричный У-ответвитель представлял собой совокупность двух прямых одинаковых одномодовых волноводов, угол раствора между которыми равнялся 1°. Толщина сердцевины такого сложного планарного волновода при 2 = 0 (точка ветвления) была в два раза больше, чем у простых одномодовых световодов. В точке ветвления рассматриваемый волновод содержал две направляемые моды - симметричную и антисимметричную.

Несимметричный К-ответвитель представлял собой совокупность прямолинейного и изогнутого планарных волноводов. Расстояние между плоскостями симметрии этих волноводов при г > Ьр — I менялось по закону

к{г) = #( 1 — 005(^2/^0)), г> Ьр — I,

где 20 = тгД/2, Я - изменялся в диапозоне от 46 до 82 мкм, Ьр - длина области ветвления, I - длина секции расширения. При 0 < г < Ьр — I сложный волновод совпадал с одномодовым простым волноводом. Для

несимметричного V - ответвптеля с двухмодовой секцией расширения установлен осцилирующий характер эффективности перекачки от угла ветвления. В этом случае при изменении средней кривизны 7? ответвляемого канала в интервале 46 < Я < 82 мкм эффективность перекачки т/ мощности в ответвляемый канал изменялась в диадозоне 0.32 < 7/ < 0.57. В случае одномодовой секции ветвления происходило деление сигнала фактически пополам.

В третьей главе на основе нестационарного скалярного волнового уравнения

численно промоделирован процесс распространения излучения в световоде в случае сильной связи. В (8) а(х) - оператор возмущения, /(г) - периодическая функция от г. Показано, что в случае несинусоидального периодического возмущения в области слабой связи возможен эффект, аналогичный эффекту сильной связи. Эффект будет проявляться, если период неоднородности Ь в целое число п раз превосходит период Ьо синусоидальной неоднородности в случае сильной связи. Причем период е доля перекачиваемой мощности будет определяться п-м коэффициентом разложения периодической функции /(г/Ь)=Ц1+г/Ъ) в ряд Фурье

В третьей главе теоретически обоснован новый метод определения оператора возмущения в случае синусоидально возмущенной границы световода и численно рассчитаны матричные элементы этого оператора в предположении, что профиль периодической функции не имеет разрывов первого рода. В случае синусоидального возмущения показатель преломления может быть записан в виде п = п(х)

2г/+ (Дх + п2к2 - + а(*)Ф/(г) = 0

8г

(8)

х2 = г — ЬЕ(х)созАг, х1 = х + Ьf(x)s^nAz,

(9)

дГ

где — = /(.т), Ь «С 1, А = 2тг/Ь - период неоднородности, /(.т) -непрерывная безразмерная функция, а:1'- поперечная коЬрдината в декартовой системе координат. Из уравнений Максвелла в системе координат (9) нетрудно получить уравнение (8), где Дх = д2/дх7, оператор возмущения а(х) равен

аФ = 2Ь/' (л2*;2Ф0 + - /32Фо) + +6[_2/''4-Л2/] ^ + 2ЬА2^/?2Ф0-Ь/'"ФО. . - . (Ю)

где Ф = Фо вхр(г'/3г)

Для простого планарного световода с симметрично возмущенной границей сердцевины длина области перекачки мощности двух взаимодействующих мод, вычисленная предложенным в этой работе методом, на 23% отличается от вычисленной в соответствии с теорией связанных мод.

В случае простого световода с несимметрично возмущенной границей сердцевины это же различие составило к 21%. Еще большее различие ~в 2 раза в случае сложного световода с одной периодически возмущенной сердцевиной. Такое отличие, по-видимому, объясняется тем, что в рассматриваемом случае в отличии от теории связанных мод не привлекается трансляционно-инвариантный световод, а используется геометрия самого возмущения. Чтобы проверить отличие полученных результатов от результатов теории связанных мод требуются дополнительные экспериментальные данные.

В четвертой главе получено и обосновано уравнение для математического описания сверхкоротких импульсов

дУУ и/ю дТУ 1 д3к2д31¥_ дз +2кс2 д! 12кди3 8$ ~ ' ^ '

где IV - амплитуда, вектора Пойнтинга, а - коэффициент, характеризующий нелинейный эффект Кэрра И = аИ^Е, Б и Е - вскто!> электрической индукции и вектор электрического поля, п2 = ¡1 и е - магнитная и электрическая проницаемости, § = з - продольная

г . дк

координата, < = г — —я - время в сопутствующей системе координат, ош

к = 2пп/\, А - длина волны света в вакууме. Полученное уравнение представляет собой уравнение Кортевега де Фриса. Прослежен хорошо апробированный предельный переход от нелинейного уравнения Шредингера к уравнению Кортевега де Фриса и наоборот. Определена зависимость скорости, длительности солитона от его амплитуды и параметров среды.

Промоделирован процесс самофокусировки волновых пучков в нелинейных средах. В качестве исходного профиля интенсивности рассматривался гауссовский профиль. Для этого случая детально рассмотрен механизм самофокусировки в области N — 1 1, N = Ец/Е^-р., £Ь_амплитуда гауссовского профиля волны, £кр.- критическое поле в начальном сечении. Оказалось, что интенсивность поля на оси симметрии при N < N0 = 1.06 монотонно убывает, при N = Nо интенсивность шля в окрестности точки г = 0 не меняется, при N > N0 интенсивность поля монотонно возрастает.

Полученные в результате численных экспериментов положения единственного максимума 1т при различных N. где N > А^, Дг < 2, сравнивались с теоретически вычисленными значениями 1т. Отлпчие численных результатов и теоретических значений 1т составило 1 — 13%. Определены положения фокусов в многофокусной области N > 2. Из полученных расчетов следует, что с увеличением N положение фокусов приближается к г = 0.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В первой главе рассмотрена н обоснована неявная двухслойная

разностная схема для решения нестационарного волнового уравнения (уравнения типа Шредингера), описывающего процесс распространения излучения в световоде. На основе этого подхода к решению волнового уравнения реализован численный алгоритм поиска собственных значений мод различных световодов. Полученные с помощью алгоритма численные результаты сравниваются с точными решениями для идеальных световодов.

Предложенная в первой главе математическая модель световода с поглощающим покрытием позволяет определить мнимые значения вытекающих мод, а также позволяет численно промоделировать область пространственно-неустановившегося режима для простых и сложных волноводов. Например, для ступенчатого осесимметричного световода с п" =0.01 коэффициент затухания НЕ\2 моды составил 2.7-10_5мкм-1. В случае одномодового планарного световода с поглощающим покрытием тг" = 0.01 длина области пространственно-неустановившегося режима равнялась ~ 1000 мкм.

Во второй главе численно промоделирована область пространственно-неустановившегося режима в случае простых и сложных световодов (симметричные и несимметричные У-ответвители). Для У-ответвптеля с двухмодовой секцией расширения установлен осциллирующий характер эффективности перекачки от угла ветвления. В этом случае при изменении средней кривизны Я ответвляемого канала 46 <С Я 82мкм эффективность перекачки мощности в ответвляемый изменялась в диапозоне 0.32 < < 0.57. В случае одномодовой секции ветвления показано, что практически происходит деление сигнала пополам между основным и ответвляемым каналами.

В третьей главе предложен метод определения оператора возмущения в форме периодически возмущенной границы сердцевины. Для простого планарного световода с симметрично возмущенной границей

сердцевины длина области перекачки мощности двух взаимодействующих мод, вычисленная предложенным в этой работе методом, на 23% отличается от вычисленной в соответствии с теорией связанных мод.

В случае простого световода с несимметрично возмущенной границей сердцевины это же различие составило « 21%. Еще большее различие ~в два раза в случае сложного световода с одной периодически возмущенной сердцевиной. Такое отличие, по-видимому, объясняется тем, что в рассматриваемом случае в отличии от теории связанных мод не привлекается трансляционво-инвариантный световод, а используется геометрия самого возмущения. Чтобы проверить отличие полученных результатов от результатов теории связанных мод требуются дополнительные экспериментальные данные.

В случае сильной связи определена длина области перекачки мощности, стр.335) двух взаимодействующих мод, которая определяется матричными элементами оператора возмущения.

Теоретически предсказано существование в области слабой связи эффекта, аналогичного эффекту сильной связи. Эффект будет проявляться, если период неоднородности в целое число раз превосходит период синусоидальной неоднородности в случае сильной связи. При наличии периодических неоднородностей процесс распространения излучения непосредственно численно промоделирован.

В четвертой главе получено и обосновано уравнение для математического описания распространения сверхкоротких импульсов. Полученное уравнение представляет собой уравнение Кортевега де Фриса (Кс1У). Прослежен хорошо апробированный предельный переход от нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) к К<1У и наоборот. Определена зависимость скорости солитона в сопутствующей системе координат от амплитуды солитона и параметров среды.

На основе НУШ численно промоделирован процесс самофокусиров-

ки мощного лазерного излучения. Детально исследована одно-и многофокусная области самофокусировки, а также область, где отсутствует самофокусировка.

Основные результаты, полученные автором диссертации, изложены в следующих публикациях

1. Л.И.Ардашева, Н.Р.Садыков, В.Е.Черняков. Метод расчета постоянной распространения для направляемых мод.// Квантовая электроника, 1992, т.19, с.903.

2. Дремов В.В., Садыков Н.Р., Садыкова М.О. Метод определения оператора возмущения при наличии периодических неоднородно-стей в форме возмущенной границы сердцевины.// -г.Снежинск, 1996,- Препринт /РФЯЦ—ВНИИТФ, N 89.

3. Дремов В.В., Садыков Н.Р. Моделирование процесса распространения излучения в световоде в случае сильной связи.// Оптика и спектроскопия, 1996, т.80, N5, с.814.

4. Садыков Н.Р. Распространение циркулярно-поляризованного излучения по искривленной траектории.// Квантовая электроника, 1992, т.19, N10. с.1021.

5. Садыков Н.Р. Влияние слабого изгиба световода на параметры поля излучения.// Квантовая электроника, 1993, т.20, с.1140.

6. Садыков Н.Р. Распространение циркулярно-поляризованного излучения по скрученной траектории.// Квантовая электроника, 1996, т.23, с.277.

7. Садыков Н.Р. Эволюционное уравнение типа уравнения Кортевега-де Фриса для амплитуды вектора Пойнтинга.// -г.Снежинск, 1996. -Препринт/РФЯЦ—ВНИИТФ, N 107.

8. Садыков Н.Р. Эволюционное уравнение типа уравнения Кортевега-де Фриса для амплитуды вектора Пойнтинга.// Квантовая электроника, 1997, т,24, с.190.

9. Садыков Н.Р. Уравнение траектории луча с учетом циркулярной поляризации.// Квантовая электроника, 1993, т.20, с.1137.

10. Садыков Н.Р. Влияние рытовского вращения векторов поля на траекторию луча.// Квантовая электроника, 1994, т.21, с.1093.

11. Садыков Н.Р. Скручиваемость траектории луча в случае квазимонохроматического циркулярно-поляризованного излучения.// Оптика и спектроскопия, 1995, т.78, N2, с.300.

12. Садыков Н.Р. Влияние параметров фазового фронта на траекторию луча.// Квантовая электроника, 1995, т.22, с.628.

13. Садыков Н.Р. Поперечное отклонение пучка лучей в неоднородных локально-изотропных средах.// Квантовая электроника, 1996, т.23, с.177.

14. Николаев В.Г., Садыков Н.Р., Садыкова М.О. Самовоздействие лазерного излучения.// -г.Снежинок, 1996- Препринт/РФЯЦ-ВНИИТФД 101.

Отпечатано в ПМЛ ОНТИ РФЯЦ— ВНИИТФ Тираж 100 экземпляров Заказ №5