автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование некоторых задач взрыва на выброс

«5» Сг

ССГ

«V

На правах рукописи

ЗАРИПОВА Сирена Наилевна УДК 622.235.5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ВЗРЫВА НА ВЫБРОС

Специальность: 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЗАРИПОВА Сирена Наилевна

УДК 622.235.5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ВЗРЫВА НА ВЫБРОС

Специальность: 05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Нерюнгринском филиале Якутского государственного университета им. М.К.Аммосова Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации.

Научный руководитель:

кандидат ф изико-м атем атичес ки х наук, доцент Софронов С.Т.

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Петроа Е.Е.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Шер Е.Н.

кандидат физико-математических наук Колмогоров А.В.

Ведущая организация:

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится "/¿?" декабря 1997 г. в 15 часов в аудитории 216 учебно-лаборагорного корпуса ЯГУ на заседании диссертационного совета К 064.57.02 в Якутском государственном университете по адресу. 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета

Автореферат разослан "¿ОУ ноября 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Васильев В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При ведении горных работ основным способом разрушения горных пород является буровзрывной. Повышение эффективности горнодобывающих отраслей промышленности и строительства в значительной мере зависит от дальнейшего совершенствования взрывных работ.

Современное развитие взрывного дела основывается на использовании достижений и методов математики, физики и других фундаментальных наук. В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных механике разрушения импульсными силами, которые позволяют с высокой эффективностью управлять разрушающей энергией. Однако на практике существует целый ряд задач, для решения которых имеющихся знаний недостаточно. Например, вопросы, связанные с определением формы воронки разрушения в зависимости от глубины заложения и энергии взрывчатого вещества (ВВ), недостаточно развиты. Также недостаточно изучены вопросы, связанные с определением скорости и траектории полета разрушенных кусков, имеющие немаловажное значение для безопасности при ведении буровзрывных работ.

Целью работы является создание адекватных математических моделей процессов взрывного разрушения массивов горных пород и методов расчета параметров воронки выброса и радиуса безопасной зоны с учетом сопротивления воздуха.

Идея работы заключается в обобщении и развитии существующего метода оценки предельного эффективного времени, по истечении которого давление продуктов детонации ВВ не осуществляет выброс породы на свободную поверхность; использовании методов теории функции комплексной неременной и вариационного исчисления при оценке параметров воронки выброса и исследовании траектории полета взорванного куска породы с целью определения радиуса безопасной зоны.

Основные задачи исследований:

1. Разработка математических моделей для расчета параметров воронки выброса и радиуса безопасной зоны в зависимости от мощности и глубины заложения ВВ.

2. Создание методики моделирования метательного действия сферического заряда ВВ и оценка предельного эффективного времени.

3. Получение зависимости среднего размера кусков при взрыве сферического заряда ВВ от свойств ВВ, структуры породы и масштаба разрушения.

Методы исследований включают: использование математических аппаратов теории функции комплексной переменной, вариационный и операционный методы, методы теории вероятностей, численные методы и вычислительный эксперимент.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Возможность применения методов вариационного исчисления для определения формы и размеров воронки выброса при взрыве сферического заряда ВВ.

2. Методика моделирования метательного действия сферического заряда ВВ, позволяющая оценить предельное эффективное время, по истечении которого начинается непроизводительный сброс давления из газовой камеры.

3. Аналитические методы исследования траектории полета куска горной породы, позволяющие: определить скорость и координаты куска в любой момент времени; получить условие, которое с заданной погрешностью определяет минимальную скорость куска, начиная с которой необходимо учитывать сопротивление воздуха.

4. Возможность применения распределения Розина-Раммлера при получении зависимости среднего размера кусков при взрыве сферического заряда ВВ в массиве горной породы от свойств ВВ, структуры породы и масштаба разрушения.

Научная новизна работы состоит в том, что получены:

1. Расчетные формулы для определения формы и размеров воронки выброса, учитывающие мощность, глубину заложения ВВ и свойства породы.

2. Уравнения траектории полета куска породы, учитывающие сопротивление воздуха, начальные угол и скорость вылета куска.

3. Условие, с заданной погрешностью определяющее минимальную скорос ть, начиная с которой необходимо учитывать сопротивление воздуха при полете взорванного куска породы.

4. Решение обобщенного дифференциального уравнения теории внешней баллистики.

Обоснованность и достоверность научных положений и выводов, сформулированных в работе, обеспечивается использованием строгих математических доказательств и выводов, достаточной сходимостью результатов математического моделирования с натурными данными.

Научная и практическая ценность. Полученные формулы для определения формы и размеров воронки выброса могут быть использованы в инженерных расчетах в горнодобывающей промышленности.

Предложенные методы исследования полета взорванного куска породы могут быть использованы для решения задач теории внешней баллистики.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на: научном семинаре НФ il ГУ, научной конференции ЯГУ, Втором Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск), заседании лаборатории разрушения горных пород взрывом Института горного дела СО РАН.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 5 работах.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 142 страницах машинописного текста, содержит 17 рисунков, 16 таблиц и состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованной литературы из 76 наименований.

Автор выражает благодарность доктору технических наук, профессору A.B. Самохину за проявленное внимание и помощь в работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен краткий обзор литературы и проведен анализ имеющихся результатов по математическому моделированию процессов взрывного разрушения горных пород.

В основу математического описания существующих схем разрушения горных пород взрывом положены теории Бродского М.П., Белаенко Ф.А., Власова O.E., Войцеховского Б.В., Гаек Ю.В., Друковашюго М.Ф., Лаврентьева М.А., Основина С.Д., Покровского Г.И., Смирнова С.А., Суханова А.Ф., Фролова М.М., Ханукаева А.Н., Шумило В.А. и др. Эти теории хотя и не приводят к резко противоречивым выводам, но отличаются по физическим предпосылкам и методам анализа.

Анализом действия заряда выброса и обоснованием расчетных формул занимались Барон Л.И., Беляев А.Ф., Данчев U.C., Докучаев М.М., Демидгок Г.Б., Кузнецов В.М., Кутузов Б.Н., Мудрагей А.И.. Родионов В.Н. и др. Полученные формулы носят в основном полуэмиирический характер и применимы только при определенных условиях.

Баллистике разлета кусков при взрывах иа выброс посвящены работы Абрамова A.B., Гунченко А.И., Кузнецова В.А., Мосинец В.Н., Покровского Г.И., Черниговского A.A. и др. В этих работах при определении радиуса безопасной зоны либо пренебрегают сопротивлением воздуха, либо используют приближенные методы решения дифференциального уравнения внешней баллистики.

Вторая глава посвящена теоретическому исследованию количественных характеристик воронок выброса. Задача определения размеров и форм воронок выброса в первых двух моделях решается методами вариационного исчисления.

В первой модели уравнение у^-у(х) границы воронки определяется в предположении, что работа А касательных составляющих сил, действующих по линии границы, минимальна. Тогда глубина Н и радиус К воронки равны соответственно

# = /2 +

Р Я

1 о "о

рё

К+1

5

р р 1

2

V*!

■к*

(I)

Здесь Но- радиус заряда ВВ; Р0- давление, создаваемое ВВ на поверхности заряда; V- параметр, зависящий от мощности ВВ (1 < V < 2); р- плотность среды; g- ускорение силы тяжести; И- глубина заложения заряда.

Рассмо трим зависимость между радиусом воронки и массой ВВ:

Р

Ф-1)

К

.Злр&

у/3

■т

2х-1 3(^1)

-к2

(2)

где Рт, п,вв - плотность и масса ВВ.

Из формул (1) и (2) вытекают очевидные утверждения: - с увеличением массы ВВ при постоянной глубине его заложения радиус и глубина воронки увеличиваются;

- с увеличением глубины заложения ВВ при его неизменной массе радиус воронки уменьшается, глубина увеличивается. Из (2) искомая зависимость принимает вид

1<« т

3(^1)

(3)

где

при N,1:

у =1,5: Я ~ т V з.

'5 .

'=2: Я ~ т

'4,5 ,

по Борескову и Иванову: Я « т' ; по Кузнецову В.М.: Л' ~ т

4/ 9

1/

по Гаффней Е.С.: Я « т ' ; по Холсэппл и Шмидт: Я ~ т

3,56

Анализируя формулы (1), приходим к следующему выводу, который является важным с практической точки зрения: чтобы эффективно

б

использовать энергию ВВ, следует увеличивать радиус и глубину воронки за счет увеличения массы ВВ, а не за счет уменьшения глубины его заложения.

Во второй модели уравнение границы воронки у ~у(х) определяется в предположении, что работа Л, затраченная на вынос разрушенной массы за пределы воронки на свободную поверхность, пропорциональна энергии ВВ: Л = а ■ IV, а- параметр, зависящий от глубины заложения ВВ (О- а<1). Эта задача является вариационной задачей на условный экстремум, решая которую получаем радиус и глубину воронки

I I 6п2а¥~~

~Т(Зщ-2)д*' Н~ пД(Зп,-2)№ <4>

Здесь «/.и? - коэффициенты, учитывающие неоднородность породы (г>иП2 >1).

Если положить И-я(у{х)), то при п/>1 размеры воронки будут следующими

| ъаИГ 2 \~lhaW

Я = з1------- , Н-—я-=—-.

\Цп1-\)рё п2^(п1~1)рё

В предположении, что взрываемая масса является однородной, проведен количественный анализ формул (4). Относительные расхождения для радиусов теоретической и экспериментальной воронок нормального выброса не превышают 10,5%, для глубин - 79%.

В третьей модели параметры воронки определяются из условия, что кинетическая энергия движения центр а масс пропорциональна энергии О ВВ: /2 = к(), где площадь рассматриваемой области на единицу толщины, \'0- скорость центра масс, к- коэффициент пропорциональности. Полагая, что искомая линия границы описывается степенной

н р

функцией У = * , где Н- глубина, К- радиус воронки, параметр

(Д> I), выводится условие, при выполнении которого взорванная масса оказывается за пределами воронки:

В четвертой модели путем исследования решения дифференциального уравнения движения разрушенных кусков определяется угол раствора у воронки выброса в зависимости от мощности V используемого ВВ:

Таблица1

V 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Г(гР) 120й 124° 126° 128° 130° 132°

В пятой модели определяются формы воронок разрушений путем введения дополнительных условий в модели 1.

Б шестой модели уравнение границы воронки выводится из предположения, что в результате взрыва разрушенный кусок падает на границу воронки под некоторым углом а и отскакивает под углом па. (0<п<1). Приближенное решение этой задачи при «=/ получено методом Рунге-Кутга четвертого порядка точности.

В этой же главе решается задача определения предельного эффективного времени для заряда ВВ цилиндрической формы по методу Крысина-Жукова и построено решение аналогичной задачи для сферического заряда ВВ.

В результате взрыва ВВ вспучивание поверхности породы в направлении линии наименьшего сопротивления (ЛНС) сопровождается образованием трещин, по которым происходит прорыв газов и, следовательно, непроизводительный сброс давления из газовой камеры. Чтобы задержать начало прорыва газов, необходимо знать предельное время, по истечении которого взрывные газы уже не способны производить метание.

Пусть сферический заряд ВВ радиуса Я0 расположен на глубине Я от свободной поверхности полупространства. Выброс породы начинается там, где фронт смещения раньше достигнет свободной поверхности. Таким образом, если с плоской обнаженной поверхности в направлении ЛНС (рис.1) уже фактически происходит метание породы, то в остальных направлениях еще только движется волна смещения. После достижения волной разгрузки зарядной камеры, расширившейся при взрыве (а при наличии трещин - несколько раньше), начинается интенсивное движение массы породы по нормали к волновому фронту. Такое преимущественное направление деформации взрывной полости ускоряет процесс выброса породы по ЛНС с последующим прорывом газов в атмосферу. Следовательно, предельной выброшенной массой будет та, которая расположена на участке, где волна разгрузки достигает стенок деформированной камеры, и минимальное давление здесь еще способно выбросить этот участок породы за пределы воронки. Для определения предельного эффективного времени выброса породы на свободную поверхность, используя

второй закон Ньютона и то, что на участок А В действует давление Р0 газов и противодействует сила тяжести участка АВ, запишем уравнение движения крайнего участка породы с единичной площадью поперечного сечения в проекции на направление движения, т.е. на АВ в виде

Л/— = Р0е"" ~ Mgcosa 5 (5)

где g- ускорение свободного падения; М- масса участка АВ грунта; и-скорость; а- угол между ЛНС и направлением метания предельного участка, t- продолжительность движения упругой среды с момента начала взрыва; т- коэффициент затухания давления, Рй- начальное давление продуктов детонации на стенки камеры.

Так как участок АВ (рис.!J породы должен пройти путь О В, чтобы оказаться вне пределов воронки, то конец указанного пути соответствует времени окончания метательных процессов непосредственно действием взрывных газов. Далее продолжается разлет породы по инерции. Поэтому следует принять вместо текущего Бремени t предельное эффективное время (р действия давления газов. С учетом геометрии задачи после очевидных преобразований из (5) получаем уравнение, связывающее величины ta и 1Р:

Pjn2+ 1-е'""' pm{H4i^\ - J3R0)

-]-g{tp-t,f-H{n2+\) = 0 (б)

_ H-W+1-PR, Л_+2М I и , 1 _ р \2

Здесь - ОРТ? I / " момент перед

с3 ¿гькаор v /

началом движения предельного участка породы, п- показатель действия взрыва, Р- коэффициент расширения камеры возгорания (3 + 5), су

/////j////////m//////

Рис. 1. Предельный участок метаемого грунта

du

\Л + 2ц

скорость звука, —~—" скорость продольных волн сжатия;

упругие постоянные Ламе, р- плотность среды до деформации.

Уравнение (6) дает решение поставленной задачи определения предельного эффективного времени 1Р, но истечении которого давление продуктов детонации ВВ не осуществляет выброс породы.

Из анализа формулы (6) следует утверждение: предельное время увеличивается с увеличением глубины заложения ВВ и показателя действия взрыва. Практическая пригодность формулы (6) вытекает из того факта, что полученные результаты неплохо согласуются с экспериментальными данными. Относительные расхождения с данными Кейсер Н.Д., Гам-сахурдия Ш.Г. при глубинах заложения ВВ от 1 до 25 м не превышают 15%.

Третья глава посвящена исследованию траектории полета кусков взорванной горной породы. Для расчета дальности перемещения кусков в зависимости от размера с учетом сопротивления воздуха используется дифференциальное уравнение движения тела, применяемое в теории внешней баллистики:

--ьоиГг, (7)

где о-скорость движения куска, I -время, Ь -коэффициент, учитывающий

сопротивление среды, ¿»-ускорение силы тяжести.

В данной работе предлагается два способа решения уравнения (7) в

параметрической форме. Вводя прямоугольную систему координат с осью

Ох, направленной горизонтально в сторону движения, и осью Оу,

направленной вертикально вверх, дифференциальное уравнение (7) можно

представить в виде системы

(1и, г—-,-г ¿иу /—;-г

-Ь^о! + и] + о2у -иу - я, (В)

где <Л > - компоненты вектора скорости.

Вводя параметр р = 1'х, где /- длина траектории движения куска, можно выразить компоненты вектора скорости в явном виде, а координаты х, у куска в любой момент времени - в квадратурах: при движении вверх

Х = _____= (9)

Ь 2 , г г \ Ь 1 У,(р)

при движении вниз

pdp 1 г pdp

f pap t f_

~bUp2-l-F,<P) (10)

= l_P(_pdp__l\_pdp У h ■> F.ín) h J F.

b¡PlF,(p) bjF2(p)-

Здесь F12 — c + ~~ ^ + P"Jp2 ~ 1' с- постоянная, определяемая из начальных условий; параметр р при движении вверх меняется от Pi — cos 1 a0 до р2 = 1, а при движении вниз - от р2 до да, щ-начальный угол вылета куска.

Другой подход при решении дифференциального уравнения (7)

основан на введения угла a наклона касательной к траектории полета тела

относительно горизонта:

d и , da

—— - -bo - е sin a ,и —— = - я cos a . dt dt

Решая эту систему, можно определить компоненты вектора скорости и координаты куска в виде

ox=g[F(a)]-"2, oy = g-tga[F(a)J~"\ (11)

х = -g í--;—F ' (a)da,v~-g\-;—F~l(a)da

J cos' a ' J cos' a

ab aG

( sin a 1 I + sin а4] Здесь T'(a) = c-bg[ ¡ +~z.ln~ : , с -постоянная, определяемая \cos a 2 1-smaJ '

я

из начальных условии, параметр a меняется от а» до - - .

Экспериментально установлено (Гунченко А.И. и др.), что максимальная скорость выброса связана с массой заряда и глубиной его заложения зависимостью

umiX * (2,31* 3,09)-16-

W

V h J

(12)

т.е. скорость выброса грунта уменьшается с увеличением глубины заложения заряда к Зависимость начальной скорости разлета взорванной горной массы от величины заряда приведена в работе Мосинец В.Н. и др.:

ии = 21,5 ■

h

(13)

Анализ результатов массовых взрывов по созданию илотин в ущелье Медео и на реке Банпаза показал, что начальная скорость разлета взорванной горной массы изменяется от 12 до 42 м/с в зависимости от величин заряда и ЛНС. Установлено также (Барон В.Л., Кантор В.Х.), что в случае взрывания как одиночных, так и серий зарядов, как в сланцах, так и в более прочных породах типа базальтов, наиболее характерными являются величины о0 < 30 м/с.

Чтобы убедиться в справедливости выведенных формул (9)-(11), приведены сравнения результатов численного расчета с теми величинами, которые получаются с помощью численного интегрирования дифференциального уравнения (7). При начальной скорости вылета кусков и0 - 50м . с и b-l-10'A 1'м скорость полета по (11) не превышает 49 м/с, а при h=l-W' 1м - ¡6 м/с. Относительные расхождения результатов вычислений по (7) и (9) составляют не более 2%.

Величины, вычисленные по формулам (9)-(10) при ио = 200 м/с, b = 1-10'3 Ни ,а0-30° по методу Симпсона с числом разбиения отрезка на 10 частей показывают, что координаты вершины траектории Xi-739,57, у1=266,33. Численное интегрирование уравнения (7) дает следующие результаты: Х]~719,75, yj=258,48. Отсюда видно, что относительные расхождения при вычислении xi uyi равны соответственно 2,75% и 3,04%.

При известной начальной скорости движения кусков взорванной породы дальность их полета по Мосинец В.Н. и др. определяется формулой

ol sin 2а

(14)

где а- угол вылета куска относительно горизонта, g- ускорение свободного падения.

Относительные расхождения в результатах вычислений по формулам (10) и (14) при и0 --50м/с, ао~45° и Ь = 1-10~ь(~) составляют 13%.

В этой же главе выведено условие минимальной скорости куска, начиная с которой необходимо учитывать сопротивление воздуха:

Ьо2

,чт а0 + сои ад ■ 1п

с4т

а,

п(200-п) (100-п)2 '

(15)

где «-допустимая погрешность. При п~10% и Ь=1-10~ для различных значений угла ао значения о„т, приведены в таблице 2.

Таблица 2

а0,° 10 20 30 40 50 60 70 80

отт(м'с) 81 59 50 46 44 44 44 46

Величина минимальной скорости, вычисленной по формуле А.В.Ов-сиенко, равна 45 м/с. Таким образом, при вычислении минимальной скорости, начиная с которой необходимо учитывать сопротивление воздуха, можно использовать условие (15).

Далее получено строгое решение обобщенного уравнения теории внешней баллистики:

йи — ~

где и- любое натуральное число. Поступая так же, как и при решении уравнения (7), получены координаты тела в любой момент времени для любого п.

В конце главы рассмотрены приближенные модели полета тела с учетом сопротивления воздуха, позволяющие в явном виде определить координаты в зависимост и от времени. Сравнивая результаты вычислений с натурными данными, нужно отметить, что модель, в которой полет взорванного куска описывается системами дифференциальных уравнений

где и - модуль средней скорости; верхний знак соответствует движению куска вверх, а нижний - вниз.

Четвертая глава посвящена статистике осколков, образующихся при разрушении твердых тел взрывом. Здесь подробно дан анализ грансостава взорванной горной породы на основе закона Розина-Раммлера и выведена формула среднего размера кусков при взрыве сферического заряда ВВ:

к

т + 3

где к, т- постоянные, зависящие от свойств ВВ и структуры породы, /?;-радиус разрушения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬ ТА ТЫ

В диссертации даны решения актуальных научных задач, состоящих в исследовании размеров воронок разрушений, предельного времени выброса горной породы, скорости и дальности полета кусков, а также среднего размера кусков взорванной горной породы.

Основные результаты диссертационной работы, выдвигаемые на защиту, сводятся к следующему.

1. Разработаны методы расчета размеров воронок выброса и метательного действия сферического заряда ВВ. При этом:

выведены формулы для определения размеров воронки, учитывающие мощность, глубину заложения ВВ и свойства породы;

- получена зависимость радиуса воронки от массы ВВ в виде И~тк,

у

где к = —(7 < у<2) меняется от 1/5,7 до 1/4,5;

- выведена формула предельного времени для заряда ВВ сферической формы;

- проведено сравнение результатов с моделями других авторов.

2. Исследована задача полета тела с учетом сопротивления воздуха в зависимости от начальной скорости и угла вылета относительно горизонта. При этом:

- выведены зависимости для определения скорости тела в любой момент времени;

- получены формулы для вычисления координат тела, позволяющие определить дальность полета отделившихся кусков;

- выведено условие, определяющее минимальную скорость полета тела, начиная с которой необходимо учитывать сопротивление воздуха;

- построено решение обобщенного дифференциального уравнения теории внешней баллистики;

- получены приближенные модели движения тела, позволяющие в явном виде определить параметры полета с учетом сопротивления воздуха в любой момент времени.

3. На основе закона Розина - Раммлера выведена формула среднего размера кусков, получающихся при взрыве сферического заряда ВВ в массиве горной породы, в которой учитываются свойства ВВ, структура породы и радиус разрушения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Зарипова С.Н. Некоторые математические модели разрушения твердых тел импульсными силами // Второй Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике. -Новосибирск, 1996. С.219.

2. Зарипова С.Н., Софронов С.Т. Расчет основных параметров полета тела с учетом сопротивления среды // Математические заметки ЯГУ. Т.2, №2, 1995. С.106-109.

3. Зарипова С.Н., Софронов С.Т. Решение обобщенного уравнения внешней баллистики // Математические заметки ЯГУ. Т.З, № 1, 1996. С.122-125.

4. Зарипова С.Н. Некоторые вопросы, касающиеся взрыва на выброс // Научная конференция студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутия). -Якутск: изд-во ЯГУ, 1997. С. 19.

5. Зарипова С.Н. Вариационные методы определения границы воронки выброса при взрыве // Вторая Международная конференция по математическому моделированию, Якутск. -Новосибирск: изд-во Института математики СО РАН, 1997. С.148-150.