автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование физических процессов в диодных структурах на основе варизонных полупроводников с высокой эффективность излучельной рекомбинации

КИЕВСКШ ОРДЕНА ЛЕША И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫ»! УНИВЕРСИТЕТ им. Т. Г. ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи

УДК 317. 968

]

' РОССОХАТАЯ НАТАЛЬЯ АЛЕКСЕЕВНА

'¡АТеМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЛЮДНЫХ СТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ ВАРИЗОННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ВЫСОКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ ИЭЛУЧАТЕЛЬНОИ РЕКОМБИНАЦИИ

03.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов ■ в научных исследованиях Сфизике)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена на кафедре численных методов Математической физики факультета кибернетики Киевского государственного университета им.Т. Г. Шевченко

Научные руководители:

доктор физико-математических наук,

профессор В.Л.Макаров

кандидат физико-математических наук,

доцент И. П. Гаврилюк

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор Б.Н. Четверушкин

кандидат физико-математических наук,

доцент Б. П. Довгий

Ведущая организация - Институт математики АН БССР

У< ¿Г

Защита диссертации состоится "30" (¿¿¿1л 1991 г. ъ/х_ час. на заседании специализированного Совета К 068.18.10 при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко. Адрес: 252127, г.Киев-127, проспект академика Глушкова, 6, КГУ, факультет кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КГУ.

Автореферат разослан "30" 1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат фиэ. -мат. наук, доцент

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

<■:," Актуальность теш. В настоящее время одна из важных проблем "полупроводниковой электроники состоит в создании новых приборов и улучшении характеристик уже существующих. Перспективном . путем ее решения является использование в качестве активных областей приборов полупроводниковых твердых растворов, в которых такие важнейшие параметры, как ширина запрещенной зоны, эффективные массы носителей заряда, диэлектрическая проницаемость и другие плавно изменяются вдоль одного или нескольких направлений. Интерес к таким полупроводника», называвши варизенными (или градиентными), вызван особенностями проявления в них шогих физических явлений, а такке возникновением новых эффектов, не свойственных полупроводникам с однородной зонной структурой Сгомозонным).

Несмотря на то, что варизонниа полупроводники уже используются во многих приборах, физические процессы и особенности функционирования приборов, в частности, инфекционных, изучены далеко не полностью. Причинам! этого, в частности, является, во-первых, сложность построения математических моделей приборов на основе ва-ризонных полупровоников, связанная о необходимостью описания новых физических эффектов (например, переизлученля), присущих таким материалам, во-вторых, - невозможность нахождения аналитического ре-иэния, обусловленная нелинейностью задачи. В результате, известные к настоящему времени решения получены лишь для относительно небольшого числа сильно упрощенных моделей, что препятствует их широкому практическому использовании. В этой связи особое значение приобретает численное моделирование процессов в указанных структурах. Однако,насколько известно автору, публикаций, посвященных этому вопросу, применительно к варизонным полупроводникам, нет. С другой стороны, эффективное проведение численного моделирования требует строгого математического обоснования модели, создания новых методоз и комплексов программ, позволяющих получать характеристики прибора с требуемой точность». Кроме того, постоянное увеличение степени интеграции приборов и, соответсвенно, уменьшение линейных размеров отдельных элементов требует построения дзух- и трехмерных моделей, учитывающих особенности границ.

Таким образом, развитие полупроводниковой электроники делает актуальным математическое моделирование приборов на основе вари-зонных полупроводников, включающее в себя гостроение модели, ее теоретическое обоснование и проведение вычислительного эксперимен-

та, с адекватным описанием протекающих в них физических процессов.

Цель работы. Цельс диссертационной работы является построение и исследование одномерной и двумерной моделей функционирования варизонного полупроводникового диода в условиях переизлучения, адекватным по своим свойствам реальным структурам и имеющим минимальные ограничения на диапазоны изменения параметров и режимов работы. Комплекс вопросов, связанный с изучением математической модели, вклсчает в себя:

1) исследование однозначной разрешимости задачи о распределении

концентрации носителей заряда в варизонном диоде с переизлучением;

2) построение дискретизованных моделей и исследование разреши-

мости соответствующих дискретных задач;

3) исследование сходимости приближенного решения к точному;

4) проведение вычислительного эксперимента.

. Научная новизна полученных в работе результатов состоит в, следующем. Предложены.новые одномерная и двумерная математические модели функционирования полупроводниковых приборов на основе • твердого раствора А3В° с высокой эффективностью излучательной рекомбинации, основанные' на уравнении квазиэлектронейтральности объема и учитывающие явление переизлучения. ■

С помощью теории псевдомонотонных коэрцитивных операторов и априорных оценок доказана однозначная разрешимость в классе обобщенных функций начально-краевой задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных, являющейся математической моделью варизонного диода с переизлучением.

Построена схема метода прямых для нахождения приближенного решения задачи о распределении концентрации носителей заряда в варизонном диоде с переизлучением. Получена оценка скорости сходимости приближенного решения к точному.

Методика исследоваеий. В работе использованы методы функционального анализа, а именно теория псевдомонотонных коэрцитивных операторов и методики Ладыженской O.A. и Уральцевой Н.И. получения, априорных оценок, а также метод прямых с применением операторов точных разностных схем и кусочно-линейных восполнений для нахождения приближенных решений.

Практическая ценность работы. На основе • предложенных в диссертации моделей и ' численных алгоритмов разработан комплекс программ для нахождения нестационарного координатного распределения концентрации носителей заряда в варизонном диоде на основе

твердого раствора ^Аз переменного состава с высокой эффек-

тивностью межзонной излучательной рекомбинации, учитывающая реальные зависимости физических параметров для указанного материала. Получены основные стационарные и динамические электрофизические характеристики указанных диодных структур в широком диапазоне рабочих ретаюв, что позволяет разрабатывать методики отбраковки потенциально ненадежных светодиодов, оптронов, других оптоэлект-ронных приборов, а также оптимизировать условия их эксплуатации.

Полученные в диссертации теоретические результаты и разработанный алгоритм имеют самостоятельный интерес и могут бьггь использованы при численном решении нелинейных задач полупроводниковой электроники.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях республиканского научного семинара '"Теория разностных схем" и семинарах кафедры численных методов математической физики КГУ, на 4-м Всесоюзном совещании "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах" Сг. Ярославль, декабрь 1930 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 4 печатные работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 164 наименований. Обьем диссертации составляет 148 страниц машинописного текста, 5 рисунков, 1 таблица.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы и научная новизна полученных результатов, поставлена цель работы и основные задачи, приведен краткий обзор литературы по моделировании физических процессов в полупроводниках и полупроводниковых приборах.

Первая глава посвящена постановке одномерной модели, исследованию вопросов однозначной разрешимости задачи о распределении концентрации носителей заряда в варизонном диоде с эффектом пере-нзлучения.

Рассмотрена диодная р+-п-структура с базовой областью, однородно легированной мелкими донорами с концентрацией N и обладающей высокой эффективностью межзонной излучательной рекомбинации. Инжектирующий р*-тх-переход образован высоколегированной подложкой

р-типа и эпитаксиальным вариэонным слоем п-типа Сх=0). В точке х=1 расположен омический контакт.

Плотности тока для электронной и дырочной компонент записываются в стандартном виде:

^Сх, 0=с?мппСх, ОЕСх)-к?Вп^*' j Сх, ¿)=др рСх, ОСЕ(х)+Е Э-дБ С1)

jnCx.O + jpCx,t)=j

Предполагается, что базовая область электрически нейтральна в любой момент времени, т.е.

пСх, 0=рСх, П+А^-. ' С2)

Уравнения непрерывности записываются в виде

япгъ- #-> Сх, О пСх,1)-п СхЭ д*' <Г'—^--—--ВпСх' О+ССх.пр),

п СЗ)

2пГ„ Сх, О рСх, О-р Сх)

д* з" -ЦзР—--Г-2-ВаС "рс х, О X, яр).

р

работе *:

Скорость генерации носителей заряда вычислялась аналогично . ССх. тф)=//Сх. у)пСу. ОрСу. Ос1у.

о

" °° Г где /Сх, у^В^СЬш.у^СЫ.х) ^--—— ехр^-аСЬу)/ 1'+ Г*. }<±- +

о о +Г

+ [кб)—--€5ср(- аСЬу)/ 1'8+ г® ]• drcK.hu->, '

а С hi\x) =

, hv-E Сх) , ао«хр[-3-J, hv < EgCx);

. hv > Е Сх). э

1 г г hv-E' Сх) ..г л SChр.хз - [ —-JL-) ].

1=|х-у|, Г=х+у.

Kurl yama T. , Kami ya T. , Yanai H. Effect photon reoyoling of diffusion length and internal quantum efficiency in QaAs-Al^Oa^ hcterostruoiurea. //3. Journ. Appl . Phy». , t » tt,

V. t в, p. 4«0-47T.

Граничные условия имеют вид:

j со,Ü = 0;

(4)

р(1,0) = роС1) • Для исследования нестационарных процессов в качестве начального условия возьмем следующее:

р(х,0) =pQ CxD • (5)

После соответствующих преобразований, задачу (D-CS) можно представить в виде начально-краевой задачи для нелинейного интегро-диффоренциалыюго уравнения в частных производных с нелинейной как дифференциальной, так и интегральной составляющими:

дпсх.п а у г _ . пСу-°-ао(х) . ~af--Эх 4X'n'3*J + -т- +

п

+ ВпСх, £)(пСх, О-/,' )-G(x,n) = 0,

а

С 6)

с граничны?.«! условияшг

К (0, а. (73

пС 1,1)=п С 8)

»

и начальным условном

пСх,0)-п Сх). С 9)

о

Здесь использованы следующие обозначения:

¿дп +

где - постоянные, эависявде от физических параметров

образца, 0<?<Л'(1; •

ССх.п)=//Сх.у)пСу. ОСпСу. О-И )с!у.

о

Учитывая физический смысл функций пСх,£) и рСх,I); рассматриваются только те решения задачи (6)-(9), для которых имеет место неравенство

пСх.ПУГ. (10)

О

Далее исследуется вспомогательная модель:

(из

+ВСгг(хД)-/Г)+(Са(х,1)-/Г)++^)-ССх,Сп-//^)++/Л) = О,

а а а а а

K(o,(n-Wd)4Wd.^]=0, (12)

(8), (9),где u+=max<.u,0).

гЧ-61

Задача С11),С12),(8),С9) представляется в операторном виде: $£+AtCu)+Ag(u)+F(u)=0, u(0)=u ,

О

О

где дифференциальные операторы A%t Аа: W40,l)—fW'40,1) и интег-

о

ральный оператор F:W40,1)—»L tO.llcVT'tO.l] определены следующим образом:

<Ai(i¡),u>=JXi dx+4" JXn-n )vdx,

o no0

<F(u), u>=JBCn-Nd)+[ Cn-Nd)++Wd]wdx-jreCx, Ín-N^+N )vdx;

o o

n(x)=u(x)+n хг,

к, (x.u.JO^+J^ .

i-

При ограничении на параметры задачи

anín^yH )<1 "3)

установлены следующие свойства операторов A ,Aa,F:

1). А( является сильно монотонным оператором;

2). 'А и F - локально липшиц непрерывны;

3). оператор At+Aa+F коэрцитивный.

На основании этих свойств доказано следующее утверждение: Теорема 1. Пусть по(х)бС[0,1], ng4x)>Nd, níN^ и выполнено условие (13). Тогда решение вспомогательной задачи (И),(12),(8), (9) существует в классе обобщенных функций W^'°(QT)nLa „(Qj.), удовлетворяет неравенству

а

почти всюду и совпадает с решением основной задачи (В)-(9), для которого имеет место неравенство (10). Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2 Пусть no(x)eW40,l), ■ nQ(x)>Nd+e, где с - сколь угодно малое положительное число, и выполнено условие (13). Тогда любое решение задачи (6)-(9) из пространства W^'íQj.), для которого выполняется неравенство (10), принадлежит пространотву W'-Hüj.).

Теорема 3 Пусть в условиях теоремы 2 noCx)€W*[0,l]. Тогда для любого решения задачи С6)-С9), удовлетворяющего неравенству

Лгп

СЮ), смешанная производная ^töx принадлежит пространству LzCQT5.

Теорема 4 Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда решение задачи С6)-С9), удовлетворяющее условию СЮ), единственно.

Во второй главе построена схема метода прямых с использованием кусочно-линейных восполнений для нахождения приближенного решения задачи СИ), С12), С8), С9), приведены результаты вычислительного эксперимента.

На отрезке [0,1] вводится сетка u=<xt*th|i=0,n+l>, *о=0,

о

х =1. И через Hh обозначено гильбертово пространство сеточных функций, обращающихся в 0 в точке х =1, со скалярным произведением [u,u)=) u,v,h+u V h/2 и порожденной им нормой llull=[ и, и)'/г.

J ¿J 1 1 о о i = I

Для нахождения приближенного решения задачи СИ), С12) , С8),(9) применим метод прямых согласно схеме:

a^rC$Ct))+rCAiC^Ct)))+T^CA2C^Ct)))+rCFC9Ct)))-

a^TsC?Ct))+T!<CAiC$Ct)))+TxCA2C9Ct)))+TxCFC$CO))=0, хеш С14)

yCl,t)=n, $Cx,0)-noCx),

где усредняющий оператор Тх имеет вид:.

Т* С и) =h's" JhC h-1 s-x I) uC s) ds,

x-h

h

T*Cu) =2h~2JCh-s)uCs)ds

о

$Cs,t)=yCx1 , t)+Cs-xt)y_ , xl t<s<x..

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 5 Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда решение задачи С14) существует и единственно. Для него имеет место нера-'. венство

Nd<$Cs, t).

Теорема 6 Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда решение . схемы метода прямых С14) сходится к решению задачи С6)-С9), удовлетворяющему условию СЮ), в норме L^ eCQT). При этом имеет ■ место оценка

- пи (0 с h^s^m + ц^ш-i ж\ ' l.

Данная схема реализована в виде Фортран-программы для расчета нестационарного координатного распределения концентрации носителей заряда в диодной р+-п-структуре с варизонной базой из полупроводникового твердого раствора AlzGaizAs переменного состава, обладающего высокой эффективностью межзонной излучательной рекомбинации. Проаналиэоровано влияние переизлучения, градиента ширины запрещенной зоны и режимов работы диода на нестационарное координатное распределение носителей заряда в базе ¡ой области и полученные на его основе главные статические и динамические характеристики: стационарное прямое падение напряжения и время установления стационарного состояния. Установлено, что аффект переизлучения усиливает действие градиента ширины запрещенной зоны. Определены условия, при которых снижается рассеиваемая на диоде мощность и повышается его быстродействие.

По результатам расчета разработаны рекомендации для улучшения статических и динамических параметров таких приборов.

Третья глава посвящена построению и исследованию двумерной модели варизонного диода с эффектом переизлучения; Такая модель получена в результате учета процессов на боковых поверхностях, оказывающих существенное влияние на характеристики прибора, геометрические размеры которого уменьшены до единиц микронов.

Соотношения диффузионно-дрейфового переноса и уравнения непрерывности записываются аналогично одномерному случаю:

j Сх, О = qu nCx, 0?Сх) + qD упСх, t); n n n . (15)

j Cx, D = qpppCx, l)C?(x)+£o) - qDp7p(x, t);

J = JnCx,t) + JpCx,t);

n 1 (x, t) n(x, t)-n (x)

SBL^il = div-*-_---- - BnCx, l)p(x, t) + GCx.np);

^ П

(16 )

irfv ,-> T Cx,t) pCx,t)-p Cx)

foffi ° = -div^-5----^-- BnCx,t)pCx,t) + GCx.np);

p

Условие электронейтральности имеет тот же вид С2).

. С учетом процессов на боковых поверхностях темп генерации электронно-дырочных пар в результате поглощения собственного рекомбинационного излучения G(x,np) имеет вид:

GCx,np)=BJ7Cx,y)nC'y, OpCy, Ddy, n

ГДе U tt Ю

г т— гГ RCk.p 3 t »

/Сх,у) = В sChv,y)aChi>)) N-¿-S-exp\-aChi/)*x J

+

o)

RCk,p 3 , , RCk.p J , . .

+ -exp -aChi>K + -2-e.xp -aChi/)/ +

Ml 1 V,J 4я I2 L VoJ

RCk,p ) , -,1 •

+ -!__exp -aChi/U MzdChv),

X , t '

1

где I* =1* , +[Ck-C-l)m)+C-l)mCx + у, )]г, Xj,m з-i i

^-i=Cxi- V**2*- i=1-2; m=0,1,

OCO,l)xCO,l), RCk, 9) =

fEkC0), Bie ;

С17)

С18)

OiRC0)il.

LI. в<£ ,

о

Граничные условия имеют вид

j Сх, t) = 0 при х =0, , n,i r t

ггСх, t) = ni при x^l; j Сх, О = a CnCx, t)-n ) при x =0,

Jn,2 0 1 r г

j Cx, t) '= -a CnCx,t)-n ) при x =1.

■'n, г 11 r г

Начальное условие

nCx,0) = a Cx), . С19)

о

где noCx) - известное начальное распределение концентрации

электронов. . '

Как и в одномерном случае, задача CIS)-С19),С2) сводится к

начально-краевой задаче для нелинейного интегро-дифференциалыюго

уравнения: .

Ягn ~ я г л, 1 пСх, О-n. Сх) ¿тех, t j у a_v rv „ an i, ' о ,

~Bf—2 э^х 1х'п,3х-.г—Г?-+

С 20)

+ BnCx, tMnCx, t)-N.3 - GCx,n) = 0,

a

с граничными условиями:

Пх,п,|-) = 0 при xt=0, . .

С 20)

nCx, 0=»п ' при х( =1;-

Кг[х,п,|^-]= a.o(.ntx,n-nt^)q~i при хг=0, кДх.п.д^-^-а^СпСх, О-п^ц'1 при хг=1.

С 22)

и начальным условием (19).

По аналогии с одномерным случаем, здесь .

КС х, п, 7П)

ССх,п)=В//Сх,у)пСу, 1)[пСу, О-М^у.

Рассмотрена вспомогательная модель:

(1 'а- г » ПСХ,П-П С'х)

'Щ^*1 -I ЭхЛ + -т 2 +

1=1-1' 1 п

+ВСпСх, 0-М.)+<Сп.С>;, ) - ССх,Сп-МЛЧ/Г) = О,

с! 1 <1 с1 <1 <1

КСхДп-^)^,!^-) = 0 при Х1 =0,

I

, п(х, 4) = п при Х( =1;

Као£п£у,1)-п 59- . при хг=0,

КгГх,Сп-//£1)+^(1,^-)=-й1СпСх,1)-п)(?-1 при хг=1 £

и начальным условием С19), которая представлена в операторном виде:

. ^^+А1Сии)ЖАгСиСО),и>+ГСиСП) =0, иСО) = и

о

О 11

где операторы А1#А2,ГМЧЮ—ЙГ^А), р>2, р+~г=1, определены следующим образом:

<А,Си5,и>=| ^ ^ (х.Чп-К^,^)!^* + 4-|са-по)^хЧ о1 ■1 1 1 л п

^ТспСх ,13-п Жх ,Шх + -^-ГспСх ,0)-п ОиСх ,(Шх ; J I I 1* 1 ^ Л 1 1 1 1

о „ о

, <АгСи),и> = [ I ^ [х.Сп-^Ч'^^*'. <РСи),и>=в|(а-Мс|)+ССп-М(1)++Мс1)^х - ^СхДп-М^+М^ийх,

+ *

где п(х)=и(х)+п ха,

К' (х,п, уп)=а-(3п+гчп+ф£, '

При ограничении на параметры задачи:

-Л!-Г|/5|=+_кИ_] < 1, С23)

гтШу.О >1- (К,-?)"0

где |и| обозначает величину М = и^

доказаны следующее свойства операторов А^А ,Г:

1) оператор ^í является сильно монотонным для р-2 и монотонным при р>2;

2) операторы А и Г - локально липший, непрерывны при р>2;

3) оператор А +А +Г - коэрцитивный при 2.

На основании этих свойств получены следующие результаты. Теорема 7. Пусть поеССГ5), по(х)М , п ^ и выполнено неравенство С23). Тогда существует решение задачи С19)-С22) в классе . обобщенных функций аС0т)п\/'г'°(.(1т)п\/''"(0т), р>2, для которого . имеет место неравенство

пСх.О^К, С 24)

почти всюду.

Теорема 8. Пусть а еИЧА) и п СхЗ^А^+е, где с - сколь угодно малое положитплт.ное число и выполнено условие С23).Кроме того, * функция п Сх)удовлетворяет неравенству

5 с, ДЛЯ ро<ССа,/3.г.г,Ма>.

2 р0

Тогда любое решение задачи С19)-(22), Из пространства \^'о(0т), удовлетворяющего условию С24), принадлежит пространству.

с о^пм*;«

Теорема 9. Пусть тгo6W^(fi) и выполнены1 условия теоремы 8. Тогда для решения задачи С19)-(22),(3.8), удовлетворяющего условию (24), смешанная производная ■ принадлежит пространству Ьа(0т), и при этом имеет место оценка

«жН',* с •

4« V 1 •

Теорема 10. Пусть выполнены условия теоремы 8. Тогда решение задачи (19)-(22), для которого имеет место неравенство (24), единственно.

В четвертой глава построена и обоснована схема метода прямых с использованием функций кусочно-линейного восполнения для нахождения приближенного решения задачи С19)-С 22),' удовлетворяющего не- • равенству С24).

я Область П покрыта сеткой ы=<х|х ;£=17Н>, Ь4=1/Сп+1),

^УЛ» где

у =<х|х =0, х =£Л , 1=1Тп),

' I ' I г г' '

^=<>•'1^=1, 1=Г7Тг+Т>,

г =<х|х =чЬ , х =0, 1=1,п),

' э 1 I I г

г^ч=<х|х1 . х2=1, 1=Г7п>, Гэ=С0,0)иС0,1),

Для нахождения приближенного решения задачи С19)-С22), удовлетворяющего условию С24), построена схема:

|гТ>Т2С^С1))+Т1ТгСЛ1С?С1)))+Т1Т2САЕ(^С1)))+Т1ТЕСГС^С1)))=0, хсы ^гГТ2С^С1))+ГТг(А1С?С1)))+Т°ТгСАг($С£)))+Т°ТеСГС9С£)))-

1 I

у( х,1)=п_ хег8 ^Т Т°С#и))+Т Т°СА'С$СШ)+Т Т°СА С^СШНТ Т°СГС0(1)))-

ц£ I г ' 1 г г * ■ 12 ' (23)

^ГТ1Г + ,С^С£))+Т1Г + ,СА1С9С£)))+Т1Г + ,САг($?С1)))+Т1Г + ЧГС$С£))) + |гТ^Т°С9С1))+Т°ГСА1С$С£)))+ГТЧА2С$С1)))+Т°ГСР(9С£)))-

- кЧ\ (О-а.-СрСт-А/^^.^.О. . х=С0,0)

- | Г + 'кЛо,51,С9С£))-//а)++Ма,^|^-]=0, х=С0,1)

jiCx,0)r-noCx)

Здесь Ti,Tjs - одномерные операторы точных разностных схем, аСх) - усреднение по Стеклову, а

• " SXvv" = УСх,»'х.4'13+Св.-х,13Ув|+" ' xi-i-si-xii ■

Доказаны следующие утверждения.

Теорема 11. Пусть выполнены условия теорем 8. Тогда задача С25) однозначно разрешима и для ее решения имеет-место неравенство

NjStfCs.O.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 9. Тогда решение схемы метода прямых С 25) сходится к решению задачи С19)-С 22), удовлетворяющему неравенству С24), в норме La „Сй^. При этом имеет место оценка:

.. .. у« I 1! II ^

V

a2n|i ■ . II дгп ахг|| • ЦЭхТЭх

Основные выводы

1. В диссертации построена одномерная модель вариэонного диода в условиях переизлучения. Доказана однозначная разрешимость в классе обобщенных функций (0Т) задачи о распределении концентрации носителей заряда в полупроводниковом диоде с переизлуче-* нием.

2. Построена и обоснована схема метода прямых для нахождения решения начально-краевой задачи для нелинейного интегро-дифферен-циального уравнения в частных производных,- являющейся математической моделью вариэонного диода в условиях переизлучения. Получена оценка скорости сходимости порядка ОСЬ) решения схемы метода прямых к решению аналитически сформулированной задачи.

'3. По предложенной схеме проведен вычислительный эксперимент, позволивший установить особенности функционирования полупроводниковых вариэонных диодов на основе А в условиях переизлучения. Определены зависимости основных характеристик диода от параметров структуры и режимов работы. Разработаны рекомендации для повышения быстродействия и снижения потребляемой мовщости таких приборов. ■■ ...

4. Предложена двумерная модель функционирования вариэонного

диода с переизлучением, учитывающая процессы на боковых поверхностях полупроводника. Приведено ее теоретическое исследование. Установлен результат существования и единственности решения в про-• странстве W*'1 CQ?) двумерной задачи о распределении концентрации носителей заряда в полупроводниковом диоде с переизлучением.

5, Построена и обоснована схема метода прямых для нахождения решения двумерной задачи о распределении концентрации носителей заряда в варизонном диоде в условиях переизлучанпя. Получана оценка скорости сходимости 0С|/1|,/в) приближенного решения к точному.

Публикации,, положенные в основу диссертации 1.. Макаров В. Л., Гаврил»«; И. П. , Россохатая H.A. Исследование математической модели варизонного диода с переизлучением. // Тезисы 4-го Всесоюзного совещания "Математическое моделирование физических процессов в полупроводниках к полупроводниковых при-' борах", Ярославль, 10-14 декабря 19S0r., с.83.

2. Макаров В. Л., Гаврилак 1.П. , Розсохата Н. 0. Про 1снувания та 1 едшасть розв'язку в V*'l(Q^) початково-крайово1 задач1 роз-

под1лу коицентрацН kocüb заряду у вар1зонному д1од1 з перо-випром1нюванням. // feicmiK КДУ, 1991, вып.4."

3. Макаров В.Л., ГаЬрилюк И.П., Россохатая H.A. 0 скорости сходи- ' мости схемы метода прямых для нелинейного интегро-дифферонцц-ального уравнения параболического типа,-описывающего функционирование варизонного диода с переизлучением. // Сб. "Выч. и прикл. матем. ", 1991, в печати.

4. Гаврилюк И. П. , Макаров В. Л., Россохатая H.A. Математическая модель варизонного полупроводникового диода с переизлучением. // Жури. выч. мат. и мат. физ. , 1991, N7.