автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование движения жидкости по системе эластичных сосудов

Введение.

Глава 1. Линейный анализ волн давления и скорости на графе эластичных сосудов.

§1.1. Математическая модель гемодинамики на графе.

1.1.1. Общая структура графа сердечно-сосудистой системы

1.1.2. Математическая модель ребра графа

1.1.3. Математическая модель вершины графа

§ 1.2. Линеаризованная математическая модель гемодинамики на графе.

1.2.1. Линеаризованная математическая модель ребра графа

1.2.2. Линеаризованная математическая модель вершины графа

§1.3. Свойства системы уравнений гемодинамики.

1.3.1. Уравнения гемодинамики в инвариантах Римана

1.3.2. Линеаризованные гемодинамические (ЛГД) уравнения в инвариантах Римана

§ 1.4. Транспортные коэффициенты.

1.4.1. Математическая постановка задачи о прохождении пульсовой волны через вершину графа

1.4.2. Решение задачи в случае внутренней вершины графа

1.4.3. Решение задачи в случае граничной вершины графа

§ 1.5. Свойства транспортных коэффициентов.

1.5.1. Общие формулы для транспортных коэффициентов

1.5.2. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей мышечную ткань или отдельный орган

1.5.3. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей участок сопряжения сосудов при условии непрерывности давления

1.5.4. Транспортные коэффициенты для вершины, моделирующей участок сопряжения сосудов при условии непрерывности интеграла Бернулли

§ 1.6. Расчет числовых значений транспортных коэффициентов для магистральных сосудов в артериальной части большого круга кровообращения.

1.6.1. Расчет стационарного течения в сосудах большого круга кровообращения

1.6.2. Транспортные коэффициенты для магистральных сосудов артериальной части кровеносной системы человека

§1.7. Примеры маршрутов распространения пульсовых волн по графу сердечно-сосудистой системы.

Глава 2. Решение ЛГД уравнений на произвольном графе сосудов.

§2.1. Аналитическое решение системы ЛГД уравнений на графе сосудов.

2.1.1. Математическая постановка задачи

2.1.2. Построение аналитического решения задачи

§2.2. Алгоритм численной реализации аналитического решения задачи для ЛГД уравнений на произвольном графе.

2.2.1. Реализация, основанная на интерполяции сеточных функций на каждом шаге по времени

2.2.2. Реализация, основанная на рекурсивном вызове функций

§2.3. Результаты сравнения аналитических и численных решений уравнений гемодинамики на графе сосудов.

2.3.1. Постановка расчетной задачи

2.3.2. Результаты сравнения на графе, состоящем из двух ребер

2.3.3. Результаты сравнения на графе, состоящем из трех ребер

Глава 3. Математическое моделирование неспецифического аортоартериита.

§3.1. Медико-физиологическое описание неспецифического аортоартериита.

3.1.1. Пояснение медико-физиологических терминов

3.1.2. Краткое описание клинической картины заболевания

§3.2. Общие принципы моделирования синдромов неспецифического аортоартериита.

§3.3. Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома).

3.3.1. Особенности моделирования коарктационного синдрома

3.3.2. Результаты моделирования стенозирующего варианта поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов

3.3.3. Результаты моделирования деформирующего варианта поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов

3.3.4. Сравнения результатов моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты при сплошном характере поражения сосудов

3.3.5. Результаты моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты с вовлечением в поражение проксимального сегмента брюшной аорты при сплошном характере поражения сосудов

3.3.6. Результаты моделирования стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты при сегментарном характере поражения сосудов

§3.4. Моделирование синдрома поражения бифуркации аорты.

3.4.1. Особенности моделирования синдрома поражения бифуркации аорты

3.4.2. Результаты моделирования стенозирующего варианта поражения аорты

3.4.3. Результаты моделирования деформирующего варианта поражения аорты

§3.5. Моделирование синдрома поражения ветвей дуги аорты.

3.5.1. Особенности моделирования синдрома поражения ветвей дуги аорты

3.5.2. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой бедренной артерии

3.5.3. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в магистральных артериях левой руки

3.5.4. Результаты моделирования влияния стенозирующего и деформирующего вариантов поражения аорты на величину пульсации давления в левой общей сонной артерии

§3.6. Общие результаты математического моделирования неспецифического аортоартериита.

1. В структуре заболеваемости человека первое место принадлежит болезням сердечно-сосудистой системы. В медицинской литературе описание симптомов этих заболеваний приводится в основном только в случаях их развернутой клинической картины. Однако еще на ранней стадии протекания болезни необходимо иметь возможность по наблюдаемым клиническим симптомам заболевания делать заключение о характере и степени поражения сосудов.

В этом может помочь математическое моделирование заболеваний сердечно-сосудистой системы, которое позволяет получать количественные зависимости степени проявления симптоматики конкретного заболевания от степени поражения сосудистой системы. Такие количественные зависимости могут быть использованы в медицинской практике, как при диагностике болезни, так и для лучшего понимания причин ее возникновения и в выборе более эффективного способа ее лечения.

Проведение математического моделирования сердечно-сосудистых заболеваний основывается, как правило, на возможности сопоставления системе кровообращения некоторой системы эластичных сосудов, вдоль которых движется жидкость (кровь), нагнетаемая сердцем.

В данной работе рассматривается иерархическая математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов предложенная А.П. Фаворским и др. [2]. Суть предложенной модели состоит в следующем. Сердечно-сосудистую систему формально описывают графом, состоящим из набора ребер и вершин. Ребра графа соответствуют либо отдельным сосудам кровеносной системы, либо жгутам однородных мелких сосудов. Вершины графа моделируют либо участки сопряжения сосудов, либо участки фильтрации крови через капиллярные сети мышечных тканей или отдельных органов, либо отдельные органы организма (сердце, почки и т.д.) [2].

Преимущество данной модели по сравнению с другими моделями системы кровообращения заключается в возможности как детализации выбранных участков сердечно-сосудистой системы, так и в возможности их упрощения для рассмотрения только качественной картины течения. Это позволяет для каждого моделируемого заболевания без существенных временных затрат подбирать наиболее приемлемый граф системы кровообращения.

Существуют и другие принципы построения моделей сердечнососудистой системы. Так, например, распространение получили способы построения математических моделей полной системы кровообращения, а также и ее отдельных участков, основанные на экстремальных принципах [22, 32]. Применяемые при построении математической модели критерии оптимальности варьируются в широком диапазоне. Среди них - и чисто энергетические критерии (например, минимум вязкой диссипации энергии в сосудах), и более сложные энергетические критерии, связанные с генерацией эритроцитов и др. [22, 32].

Система кровообращения может строиться и как управляемая биомеханическая система, параметры которой зависят от действия внешних факторов, таких как, например, квазистационарная перегрузка [3]. В этом случае гемодинамика системы кровообращения описывается блоками, соответствующими отдельным участкам сердечно-сосудистой системы: легочному кругу кровообращения, артериям и венам брюшной полости, артериям и венам головного мозга и т.д. В качестве механизмов, регулирующих кровоснабжение, рассматриваются почечный механизм контроля среднего артериального давления, механизм нервной регуляции (включая действие барорецепторного и хеморецепторного центра в продольном мозге) и т.д. [3].

2. В случае если система кровообращения моделируется системой эластичных сосудов, то в основу математической модели сердечно-сосудистой системы закладываются физические законы, описывающие процесс движения крови по сосудам (уравнения гемодинамики).

В зависимости от характерного размера и времени задачи используются одномерные [2], двухмерные [41] и трехмерные [37], стационарные [82] и нестационарные [2] модели течения. Модели реологии крови также варьируются от однокомпонентной невязкой несжимаемой жидкости до многокомпонентной реагирующей смеси.

В случае если многокомпонентность крови не существенна, но важна геометрия течения, используют следующую модель. Предполагают, что стенка сосуда не является тонкой, внутри сосуда решают двух- или трехмерные уравнения Навье-Стокса, а в стенке сосуда используются уравнения для оболочки (интегральные соотношения, использующие закон Гука [58]) [57]. Уравнения для жидкости и оболочки связываются граничными условиями на внутренней стенке сосуда. Таким образом, граничные условия для каждой системы уравнений зависят от решения другой.

При построении математической модели сосуда, как правило, считают, что ось сосуда имеет фиксированное положение, т.е. она всегда лежит на одной и той же прямой линии [57, 65]. Однако, как показывают экспериментальные данные, ось сосуда является кривой линией, изгиб которой может изменяться (особенно это заметно в коронарных артериях) [40, 68].

Вследствие этого при моделировании течения крови по сосудам в ряде работ производится также учет и геометрии сосуда [43, 61]. Так, в работе Lynch D.G. и др. (1996) рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости по сосуду, кривизна оси которого изменяется с течением времени по известному закону [61]. Взяв за основу трехмерное уравнения Навье-Стокса и уравнение неразрывности, в предположении, что кручение стенок сосуда отсутствует, и ось сосуда всегда лежит в одной и тоже плоскости, авторы получили систему уравнений, описывающих течение жидкости по данному сосуду. При построении модели авторы предполагали, что поперечное сечение сосуда имеет круговую форму, причем радиус сечения постоянен вдоль всего сосуда и не зависит от времени [61].

Недостатком моделей, предложенных Lynch D.G. (1996) и Heil М. (1998), является то, что они требуют большого объема вычислений и сложны для аналитического исследования [57, 61]. Поэтому, при моделировании течения крови по эластичным сосудам используют также и более простые модели [2, 39, 62, 66].

Так, полагая сосуд достаточно протяженным по сравнению со своим поперечным размером (диаметром), для его математического описания можно использовать квазиодномерное приближение [17]. Такая модель течения основана на осреднении трехмерных уравнений Навье-Стокса по поперечному сечению [2, 66]. Форма поперечного сечения сосуда предполагается круговой.

Практически во всех работах по квазиодномерному приближению предполагается существование локального закона, связывающего площадь поперечного сечения S и трансмуральное давление (разница давлений внутри и снаружи сосуда) Р: P=P(S) [2, 39, 62]. Такой закон учитывает только эластичные свойства сосуда, а эффекты продольного растяжения и изгиба игнорируются [2].

Однако экспериментальные данные [60] показывают, что продольное растяжение сосуда может вызывать такие эффекты, как, например, формирование ударных волн сокращения и растяжения в сосуде [62, 73]. Вследствие этого, для учета упругого натяжения при продольном растяжении и изгибе сосуда, в закон P=P(S) добавляют зависимость от производной площади поперечного сечения S по пространственной переменной [39, 62]. Но это приводит к усложнению модели, кроме того, достаточно хорошо изучены только физиологические закономерности связи давления и площади поперечного сечения сосуда [77].

Таким образам, квазиодномерная модель, описывающая движения крови в сосуде, обычно состоит из трех уравнений. Первое и второе уравнение выражают законы сохранения (закон сохранения массы крови и закон сохранения количества движения) [2, 59]. Эти уравнения не зависят от физиологических свойств сосуда и справедливы для сосудов с любыми характеристиками. В качестве третьего уравнения берут закон, связывающий площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление. Именно в этом уравнении учитываются все присущие данному сосуду свойства. Это все делает квазиодномерные уравнения гемодинамики похожими на уравнения газовой динамики, где закон P=P(S) играет роль уравнения состояния [24].

Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков сопряжения (бифуркации) сосудов. При построении математической модели бифуркации сосуда обычно предполагают, что в области сопряжения сосудов выполняется закон сохранения массы крови и закон сохранения энергии [40, 70]. Однако в виду того, что ряд исследований [67, 70] показывает, что в местах бифуркации сосуда нередки образования вихревых течений, которые приводят к диссипации кинетической энергии, часто вместо закона сохранения энергии используются различные полуэмпирические соотношения: непрерывность давления в сосудах в близи соединения, непрерывность величины Бернулли [2, 40, 59, 67].

3. Математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов, в основу которой положены квазиодномерные уравнения гемодинамики, позволяет успешно моделировать функционирование сердечнососудистой системы, в том числе и при различных патологиях [4, 11]. Используя данную модель системы кровообращения можно моделировать эффекты перераспределения потока крови при пережатии некоторых сосудов, изучать влияние различных органов на характеристики потока крови в сердечно-сосудистой системе и т.д.

Однако основными симптомами многих заболеваний кровеносной системы служат не изменения характеристик потока крови, а нарушения в распространении волны давления (в биомеханике ее называют пульсовой волной). Эти нарушения могут носить разнообразный характер - от ослабления амплитуды пульсовой волны и ее запаздывания в ряде периферийных артерий до возрастания пульсового давления и увеличения скорости распространения пульсовой волны [34, 35, 42]. В этой связи возникает задача математического моделирования процесса распространения волн давления и скорости по системе кровообращения, который формально можно описать линеаризованными уравнениями гемодинамики.

Разработка метода, позволяющего получать точные аналитические решения задачи о распространении волн давления и скорости на произвольном графе сосудов, с последующим применением разработанной теории для решения некоторых прикладных задач медицины и составляет предмет рассмотрения настоящей работы, что обуславливает ее актуальность.

Изучению распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов стало уделяться большое внимание исследователей уже со времен открытия Гарвеем У. в 17 веке системы кровообращения. Начало теоретического анализа распространения волн давления по эластичным сосудам приписывается Young Т. [80], который в начале 19 века впервые вычислил скорость пульсовой волны в артерии человека.

Одними из первых работ по математическому моделированию распространения пульсовой волны являются работы Grashey Н. [51] и Von Kries J. [78], предложивших в конце 19 века концепцию отражения пульсовой волны. Авторы, рассматривая сосуд на конце которого задавалось условие свободного вытекания жидкости или условие ее полного отражения, установили, что пульсовая волна, дойдя до конца сосуда, отражается от него.

Однако в кровеносной системе рассматриваемые Grashey Н. и Von Kries J. условия на конце сосуда в явном виде не имеют места. Поэтому концепция отражения пульсовой волны была модернизирована сначала Hamilton W.P. и Dow Р. [55], показавшими, что пульсовая волна отражается от участков бифуркации аорты и тазового деления подвздошной артерии, а затем McDonald D.A. и Taylor M.G. [64], установившими эффект отражения волны давления и скорости от точек "разрыва" сердечно-сосудистой системы. Точками "разрыва" сердечно-сосудистой системы были названы участки резкого изменения диаметра сосуда или эластичных свойств его стенки, а также места сопряжения сосудов.

Используя концепцию отражения пульсовой волны, McDonald D.A. [63] объяснил отличия в форме волн давления и скорости крови, наблюдаемых в артериальной системе. Концепция отражения также объясняет образование пиков пульсовой волны в ряде периферийных сосудов, в которых величина амплитуды образовавшейся волны выше, чем в более близких к сердцу сосудах (Nichols W.W., O'Rourke M.F. [65]). Эта концепция является полезной для качественного объяснения и некоторых других эффектов, наблюдаемых в сердечно-сосудистой системе.

Исследованию распространения пульсовой волны по системе кровообращения посвящена также работа Саго C.G. и др. [40]. Авторы в линейном приближении получили выражения для коэффициентов, характеризующих степень изменения амплитуды пульсовой волны после момента прохождения ею участка сопряжения трех сосудов. При этом авторы полагали выполненными на границе соединяющихся сосудов условие непрерывности давления и закон сохранения потока. Средняя скорость крови предполагалась малой по сравнению со скоростью распространения малых возмущений, а величина колебания давления малой по сравнению со средним трансмуральным давлением. Эти результаты были использованы для объяснения резких перепадов давления, наблюдаемых в аорте во время сердечного цикла.

Результаты, полученные в работах McDonald D.A., Nichols W.W. и Саго C.G., используются для качественного обоснования наблюдаемых в системе кровообращения явлений. Количественное описание происходящих в кровеносной системе процессов в данных работах не рассматривается.

Другой подход к изучению распространения волн давления и скорости был предложен Kamm R.D. и Shapiro А.Н. [59]. Авторы для изолированного сосуда количественно описали поведение малых отклонений давления и скорости от фоновых значений, являющихся решением стационарных квазиодномерных уравнений гемодинамики. Для случая выполнения на границе двух соединяющихся друг с другом сосудов условия непрерывности интеграла Бернулли и закона сохранения потока вещества, авторы получили коэффициенты, связывающие амплитуду распространяющейся волны давления, с амплитудами волн, образующихся после момента прохождения пульсовой волной участка сопряжения сосудов.

Учитывая, что в работе Kamm R.D. и Shapiro А.Н. рассматривается только два соединяющихся друг с другом сосуда, полученные результаты можно использовать для математического моделирования распространения пульсовой волны на локальных участках кровеносной системы.

При математическом моделировании процесса распространения пульсовой волны по всей сердечно-сосудистой системе необходимо учитывать, что кровеносная система представляет собой сильно ветвящийся граф сосудов. Причем степень детализации отдельных фрагментов этого графа зависит от конкретных задач, решаемых с помощью математического моделирования.

Аналитическое решение, построенное в диссертации, позволяет получать в линейном приближении точное решение задачи о распространении волн давления и скорости на произвольном графе сосудов. Данное аналитическое решение позволяет не только воспроизводить известные физиологические закономерности, но и может быть использовано при диагностике сердечнососудистых заболеваний по клиническим симптомам, которыми служат наблюдаемые нарушения в распространении пульсовой волны.

В диссертации были проведены серии расчетов направленные на математическое моделирование основных синдромов сосудистого заболевания неспецифический аортоартериит. Были получены количественные связи степени поражения сосудистой системы неспецифическим аортоартериитом и симптоматики данного заболевания. Полученные связи качественно согласуются с имеющимися в медицинской литературе данными.

Аналитическое решение задачи о распространении волн давления и скорости на графе эластичных сосудов является хорошей тестовой задачей для верификации реальной точности и надежности численных методик решения уравнений гемодинамики.

В диссертации было проведено сравнение результатов численных расчетов ряда модельных задач [2], с аналитическим решением, полученным в данной работе. Сравнение показало, что при небольших амплитудах пульсовой волны наблюдается достаточно хорошее совпадение аналитического решения с численным.

Сопоставляя результаты математического моделирования распространения волн давления и скорости на графе эластичных сосудов с известными физиологическими закономерностями, можно судить также и о степени соответствия рассматриваемого графа сосудов реальной системе кровообращения. Учитывая, что в медицинской литературе указывается только диапазон, в котором значение параметра сосуда может варьироваться, аналитическое решение задачи о распространении пульсовой волны позволяет корректировать значения параметров ребер графа для более адекватного воспроизведения графов реальной сердечно-сосудистой системы.

Все это в целом обуславливает актуальность математического моделирования распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов.

4. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, содержит 65 рисунков, 7 таблиц, 5 диаграмм. Библиография насчитывает 82 наименования.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Получены аналитические выражения общего вида для транспортных коэффициентов, связывающих амплитуды волн давления и скорости до и после момента прохождения ими вершины графа. Найденные формулы справедливы для произвольного числа ребер, соединенных с вершиной графа. Установлены основные свойства транспортных коэффициентов. Для графа, соответствующего магистральным сосудам в артериальной части системы кровообращения, составлена таблица значений транспортных коэффициентов.

2. Аналитически решена задача для линеаризованных уравнений гемодинамики на произвольном графе сосудов. Разработан эффективный алгоритм численной реализации найденного решения, включенный в качестве расчетного модуля в программный комплекс CVSS. Проведена верификация программного комплекса CVSS путем сравнения результатов численного решения типовых задач на графе сосудов с построенным аналитическим решением линеаризованных уравнений гемодинамики.

3. Проведено математическое моделирование основных синдромов неспецифического аортоартериита. Воспроизведена качественная картина симптоматики заболевания. На основании расчетов получены количественные оценки влияния степени поражения кровеносной системы неспецифическим аортоартериитом на значения амплитуды волн давления сосудах.

Заключение

1. Абакумов М.В., Гаврилюк К.В., Есикова Н.Б., Кошелев В.Б., Лукшин А.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Математическая модель гемодинамики сердечно-сосудистой системы // Дифф. уравнения. -1997. Т.ЗЗ. - №7. - С. 892-898.

2. Александров В.В., Садовничий В.А., Чугунов О.Д. Математические задачи имитации полета. М.: Изд-во Московского Университета, 1986г. - С. 159-176.

3. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Анализ и сравнение некоторых аналитических и численных решений уравнений гемодинамики // Дифф. уравнения. 2000. - Т.36. - №7. - С. 919-924.

4. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Частные решения уравнений гемодинамики. М., 1999. — 43 с. — Препринт Диалог-МГУ.

5. Ашметков И.В., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Численное исследование свойств разностной схемы для уравнений гемодинамики. -М., 1999. 14 с. - Препринт Диалог-МГУ.

6. Бранков Г. Основы биомеханики I Пер. с болг. М.: Мир, 1981. - 254 с.

7. Большая медицинская энциклопедия. Т. 12. М.: Изд-во "Советская энциклопедия", 1980. - С. 93-132, 375-376.

8. Буничева А.Я., Лукшин В.А., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П.

9. Численное исследование гемодинамики большого круга кровообращения. — М., 2001. 21 с. - Препринт МАКС Пресс.

10. Владимиров Ю.А., Рощупкин Д.И., Потапенко А .Я., Деев А.И. Биофизика. -М.: Медицина, 1983.-С. 152, 171.

11. Волобуев А.Н. Биофизика. Самара: "Самар. Дом печати", 1999. - С. 1670.

12. Джонсон П. Периферическое кровообращение / Пер. с англ. М.: Медицина, 1982. - 440 с.

13. Конради Г.П. Регуляция сосудистого тонуса. Л.: Наука, 1973. - С. 38, 158, 168.

14. Лайтфут Э. Явления переноса в живых системах / Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-520 с.

15. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. -М.: Наука, 1986. С. 13-82.

16. Левтов В.А., Регирер С.А., Шадрина Н.Х. Реология крови. М.: Медицина, 1982.-270 с.

17. Лищук В.А. Математическая теория кровообращения. М.: Медицина, 1991.-254 с.

18. Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Линейный анализ волн давления и скорости в системе эластичных сосудов. М., 2001. -38 с. - Препринт МАКС Пресс.

19. Мухин С.П., Соснин Н.В., Фаворский А.П., Хруленко А.Б. Математическое моделирование неспецифического аортоартериита. — М., 2001. — 52 с. — Препринт МАКС Пресс.

20. Образцов И.Ф., Ханин М.А. Оптимальные биомеханические системы. -М.: Медицина, 1989. 272 с.

21. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов I Пер. с англ. -М.: Мир, 1983.-400 с.

22. Попов Ю.П., Самарский А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. - 422 с.

23. Рашмер Р. Динамика сердечно-сосудитой системы / Пер. с англ. М.: Медицина, 1981.-600 с.

24. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. -М.: Наука, 1968.

25. Савенков И.В. О нестационарных осесимметричных течениях в трубках с упругими стенками Н ЖВМиМФ. 1996. - Т.36. -№2. - С. 147-164.

26. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - С. 127-148.

27. Фолков В., Нил Э. Кровообращение / Пер. с англ. М.: Медицина, 1976. -464 с.

28. Шмидта Р., Тевса Г. Физиология человека. Т2. М.: Мир, 1996. - С. 498565.

29. Шошенко К.А., Голубь А.С., Брод В.И. и др. Архитектура кровеносного русла. Новосибирск: Наука, 1982. - 184 с.

30. Чазова Е.И. Болезни сердца и сосудов. Tl. -М.: Медицина, 1992. 496с.

31. Чазова Е.И. Болезни сердца и сосудов. ТЗ. М.: Медицина, 1992. - С. 328336.

32. Чиркин А.А., Окороков А.Н., Гончарик И.И. Диагностический справочник терапевта. Минск: Беларусь, 1993. - С. 234.

33. Akgun G., Demiray Н. Non-linear wave modulation in a prestressed viscoelastic thin tube filled with an inviscid fluid // Intern. J. Non-Linear Mech. -1999. -Vol.34. -№3. -P. 571-588.

34. Berger S.A. Flow in large blood vessels II Fluid dynamics in biology. Proc. of AM S -IMS SI AM summer research Conf. Contemporary Math. - 1991. - Vol.141. -P. 479-518.

35. Bertram C.D. The effect of wall thickness, axial strain and endpoint proximity on the pressure-area relation of collapsible tubes II J. Biomech. 1987. - Vol.20. -P. 863-876.

36. Cancelli C., Pedley T.J. A separated-flow model for collapsible-tube oscillations // J. Fluid Mech. 1985. - Vol.157. - P. 375-404.

37. Caro C.G., Pedley T.J., Schroter R.S., Seed W.A. The mechanics of the circulation. Oxford University Press, New York - Toronto, 1978. - 624 p.

38. Chakravarty S., Mandal P.H. A nonlinear two-dimensional model of blood flow in an overlapping arterial stenosis subjected to body acceleration П Math. Comput. Modeling. 1996. - Vol.24. - №1. - P. 43-58.

39. Cotran R.S., Kumar V., Collins T. Robbins pathologic basis of disease. 6th ed. Saunders, 1999.-P. 515-520.

40. Daskopoulos P., Lenhoff A.M. Flow in curved ducts: bifurcation structure for stationary ducts 11 J. Fluid Mech. 1992. - Vol.203. - P. 125-148.

41. Demiray H. Dressed solitary waves in fluid-filled elastic tubes I I Intern. J. Non-Linear Mech. 1999. - Vol.34. - №1. - P. 185-196.

42. Demiray H. Non-linear waves in a fluid-filled thick elastic tube II Intern. J. Non-Linear Mech. 1998. - Vol.33. - №2. - P. 363-375.

43. Erlich L., Friedman M.H. Computational aspects of aortic bifurcating flows 11 Comput. and Fluids. 1985.-Vol.13.-№2. - P. 177-183.

44. Fruchter G., Ben-Haim S. Dynamic properties of cardiovascular system // Math. Biosci.- 1992,-Vol.110.-№1.-P. 103-117.

45. Fung Y.C. Biomechanics Circulation. (2nd ed.) New York: Springer Verlag, 1996.

46. Fusco D., Manganaro N. Exact solutions to flows in fluid filled elastic tubes II Diff. Eqns with appl. to math, physics. In: Math. Sci. Eng. Academic Press, Boston, MA.- 1993.-Vol.192. -P. 87-99.

47. Ge Z.Q. A mathematical model of the blood flow in lung microcirculation -the case of tissue-fluid motion H J. Biomath. 1994. - Vol.9. - №1. - P. 85-90.

48. Grashey H. Die Wellenbewegung elasticher Rohren und der Arterienpuls des Menschen. Leipzig, 1881.

49. Greenfield J.C., Patel D.J. Relation between pressure and diameter in ascending aorta of men II Circulation Res. 1962. - Vol.10. - №5. - P. 778-781.

50. Guyton A.C., Coleman T.G., Grander H.J. Circulation: overall regulation H Ann. Rev. Physiol. 1972.

51. Guyton A.C., Coleman T.G., Maning R.D., Hall J.E. Some problems and solutions for modeling overall cardiovascular regulation II Math. Biosci. 1984. -Vol.72. - №2. - P. 141-155.

52. Hamilton W.P., Dow P. An experimental study of the standing waves in the pulse propagated through the aorta II Am. J. Physiol. 1939. - Vol.125. - P. 4859.

53. Hart V.G., Shi J. Wave propagation in joined thin dissimilar elastic tubes containing viscous fluid II Internal. J. Engrg. Sci. 1994. - Vol.32. - №4. - P. 617634.

54. Heil M. Stokes flow in elastic tube a large-displacement fluid- structure interaction problem II Int. J. Numer. Meth. Fluids. - 1998. - Vol.28. - P. 243-265.

55. Heil M., Pedley T.J. Large post-buckling deformations of cylindrical shells conveying viscous flow II Int. Fluids Struct. 1996. - Vol.10. - P. 565-599.

56. Kamm R.D., Shapiro A.H. Unsteady flow in a collapsible tube subjected to external pressure or body forces 11 J. Fluid Mech. 1979. - Vol.95, part 1. - P. 178.

57. Kececioglu I., McClurken M.E., Kamm R.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Parti. Experimental observations II J. Fluid Mech.1981.-Vol.109.-P. 367-389.

58. Lynch D.G., Waters S.L., Pedley T.J. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent curvature: governing equations and simple examples II J. Fluid Mech. -1996.-Vol.323.-P. 237-265.

59. McClurken M.E., Kececioglu I., KammR.D., Shapiro A.H. Steady, supercritical flow in collapsible tubes. Part2. Theoretical studies 11 J. Fluid Mech. 1981. -Vol.109.-P. 391-415.

60. McDonald D.A. Blood flow in arteries. London: Edward Arnold, 1974. 734 P

61. McDonald D.A., Taylor M.G. An investigation of the arterial system using an hydraulic oscillator 11 J. Physiol. 1956. - Vol. 133.

62. Nichols W.W., O'Rourke M.F. Blood flow in arteries. London: Edward Arnold, 1990.

63. Olsen J.H., Shapiro A.H. Large amplitude unsteady flow in liquid-filled elastic tubes II J. Fluid Mech. 1967. - Vol.29. - №3. - P. 513-538.

64. Olufsen M.S. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries 11 Am. J. Physiol. 1999. - Vol.276. - P. 257-268.

65. Pao Y.C., Lu J.T., Ritman E.L. Bending and twisting of an in vivo coronary artery at a bifurcation И J. Biomech. 1992. - Vol.25. - P. 287-295.

66. Pedley T.J., Riley D.S., Wild R. Viscous flow in collapsible tubes of slowly varying elliptical cross-section II J. Fluid Mech. 1977. - Vol.81, part 2. - P. 273294.

67. Pedley T.J., Schroter R.C., Sudlow M.F. Flow and pressure drop in systems of repeatedly branching tubes II J. Fluid Mech. 1971. - Vol.46, part 2. - P. 365-383.

68. Poiseuile J. Recherches experimentelles sur le mouvement des liquides dans les tubes de tres petits diametres H Comptes Rendus. 1840. - Vol.11. - P. 9611041.

69. Rubinow S.I., Keller J.B. Waves in viscous fluid in a viscoelastic tube II J. Fluid Mech.- 1978.-Vol.88, part l.-P. 181-203.144

70. Rudinger G. Shock waves in mathematical models of the aorta // J. Appl. Mech. 1970. - Vol.37. - P. 34-37.

71. Skalak R. Wave propagation in blood flow И Biomechanics Symposium. ASME, New York. 1966. - P. 20-41.

72. Smith F.T. Flow through constricted or dilated pipes and channels: Part 1 II Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1976. - Vol.29. - №3. - P. 343-364.

73. Sun S.M., Shen M.C. Existence of solitary pressure pulses in a cylindrical fluid-filled elastic tube II J. Diff. Equations. 1995. - Vol.115. - №1. - P. 224-256.

74. Tichner E.G., Sacks A.H. A theory for the static elastic behavior of blood vessels JI Boirheology. 1967.-Vol.4. - №4. - P. 151-168.

75. Von Rries J. Studien zur Pulslehre. Freiburg, 1892.

76. Weber W. Theorie der durch Wasser oder andere incompressible Fluesig-keiten in elastichen Rohren fortgepflanzten Wellen. Verh. koenigl. saechs, Ges. Wiss. 18, 353, Leipzig, 1866.

77. Young T. On the function of the heart and arteries: The croonian lecture II Phil. Trans. Roy. Soc. 99 1809. - P. 1-31.

78. Yu J., Lakin W.P., Renar P. A hybrid asymptotic numerical study of a model for intracranial pressure dynamics // Stud. Appl. Math. - 1995. - Vol.95.- №3. -P. 247-267.

79. Zacek M., Krauset E. Numerical simulation of blood flow in human cardiovascular system II J. Biomechanics. 1996. - Vol.29. - №1.