автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели многокомпонентных временных рядов в системах газораспределения

На правах рукописи

РЕЙТЕР Андрей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В СИСТЕМАХ ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Саратов 2006

Диссертация выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель: кандидат технических наук,

профессор Каримов Равиль Нургалиевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Аникин Валерий Михайлович

доктор технических наук,

профессор Кушников Вадим Алексеевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Астраханский государственный технический университет»

Зашита состоится «22» декабря 2006 г, в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая 77, Саратовский государственный технический университет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан ч21 » ноября 2006 года Ученый секретарь

диссертационного совета

А.А. Большаков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Анализ и прогнозирование физических процессов, зависящих от времени, являются распространенными и актуальными научными и инженерными задачами. В данной работе исследуются реальные процессы, в частности, в системах газораспределения, которые относятся к категории опасных производственных объектов. Их важнейшими характеристиками являются объем газопотребления и число технических инцидентов (неисправностей) с газовым оборудованием, которые описываются многокомпонентными временными радами, т.е. содержат тренд, сезонные, периодические, случайные процессы и помехи измерения. Определение этих компонент необходимо для построения адекватных математических моделей, использование которых актуально для повышения эффективности функционирования систем газораспределения.

Для нахождения компонент применяется аппарат математического моделирования случайных временных рядов (СВР). Теория анализа временных рядов представлена работами Е.Е. Слуцкого, АЛ. Хинчина, Т. Андерсона, Г. Джен-кинса, Дж. Бокса, Дж. Кендалла, А. Стьюарта, Э.Хеннана.

В последние годы в работах Н.Э. Голяндиной, Н.Э. Канторовича, М. Гила, М.Р. Алена, В.П. Носко, Р.Н. Каримова и др. предложены методы анализа н прогнозирования временных радов, использующие различные аспекты разложения по собственным значениям. Для выявления и оценки параметров тренда и периодических компонент при неполной априорной информации об анализируемом процессе разработан ряд параметрических и непараметрических методов. Широко распространено определение структуры и параметров временных рядов, содержащих компоненты с аддитивным белым шумом. Однако, если в состав СВР входит коррелированный шум, то при малом соотношении сигнал-шум существующие методы не выявляют реально присутствующие компоненты и выделяют гармоники, обусловленные шумовой компонентой.

Число и параметры компонент процессов газораспределения априори неизвестны, поэтому для построения их математических моделей необходим непараметрический метод, позволяющий определять компоненты временных рядов при недостатке информации о компонентах и наличии коррелированного шума.

Изложенное определило актуальность данной работы и ее цель.

Целью исследования является повышение Эффективности функционирования систем газораспределения на основе разработки моделей многокомпонентных временных рядов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- выбор и обоснование метода выделения тренда;

- разработка непараметрического метода разведочного анализа временных рядов при наличии коррелированных компонент;

- выбор и обоснование численных методов для эффективного вычисления сингулярного разложения;

- создание программного комплекса, реализующего разработанный метод;

- проведение вычислительного эксперимента для проверки работоспособности предложенного метода;

- выбор параметрических методов оценки периодических компонент;

- построение модели процессов газораспределения и нахождение ее параметров для временных рядов газопогребления и обращений в аварийную газовую службу крупного населенного пункта.

Методы исследований. В работе использованы методы статистической обработки многокомпонентных СВР. имитационного моделирования, численные методы линейной алгебры и объектно-ориентированного программирования.

Достоверность н обоснованность диссертационного исследования определяется применением корректных статистических методов исследований и подтверждается результатами имитационного моделирования, успешным внедрением в ОАО «Гипрониигаз». На защиту выносятся:

1. Метод разведочного анализа малых выборок временных рядов для выделения аддитивных компонент при наличии коррелированного шума.

2. Математическая модель и процедура идентификации компонент процессов газопотребления н возникновения технических инцидентов в сети газораспределения крупного населенного пункта.

3. Комплекс программ, разработанный для обнаружения и идентификации компонент СВР газопотребления и технических инцидентов с газовым оборудованием.

4. Результаты применения математических моделей к процессам газораспределения г. Саратова.

Научная новизна. Построена математическая модель процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта, имеющих сложную многокомпонентную структуру (тренд, сезонные, периодические компоненты и коррелированный щум), что позволило оценить статистики возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием. >

Предложена процедура декорреляции шума, используемая в методе сингулярного разложения, для выделения компонент временных рядов при недостатке информации об их количестве и параметрах, а также известной корреляционной матрице шума.

Создан итеративный метод разведочного анализа временных рядов, основанный на процедуре декорреляции шума и сингулярном разложении. Метод позволяет определять периодические компоненты временного ряда, скрытые коррелированным шумом с неизвестной корреляционной матрицей при малом соотношении си гнал-шум.

Разработана процедура предварительного выделения периодической компоненты низкой частоты временного ряда, основанная на повышении значения соотношения сигнал-шум для гармоники определенной частоты. -

Практическую значимость диссертационной работы представляют следующие результаты.

Построены модели процессов газ о потребления и возникновения технических инцидентов, применение которых позволит повысить эффективность эксплуатации систем газораспределения.

Модель газопотребления может использоваться для решения следующих задач: 4

- прогнозирование объема потребления газа и абонентских платежей;

- планирование ремонтных, профилактических работ газораспределительной сети.

Построена модель процесса возникновения технических инцидентов с га' зовым оборудованием, которая может быть использована для решения, следующих задач:

- прогнозирование числа технических инцидентов;

- прогнозирование числа аварийных ситуаций и возможного, ущерба;

- оценивание качества эксплуатации газораспределительных сетей.

Разработанные методы и построенная модель процесса технических инцидентов использована в ОАО «Гипрониигаз» при выполнении НИР «Разработка системы количественных н качественных показателей обеспечения безопасности газораспределения и газопотребления», а также в учебном процессе СГТУ, что подтверждено актами внедрения.

Программная реализация разработанных методов анализа входит в состав комплекса программ «СВФ - анализ», на который получено свидетельство об официальной регистрации программ^! для ЭВМ в Роспатенте РФ.

Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты работы обсуждались и докладывались на III Всероссийской конференции «Инновационные технологии в обучении и производстве» (Камышин, 2005), XI Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в моделировании и программировании» (Воронеж, 200ö), XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологии» - ММТТ-19 (Воронеж, 2006).

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 9 публикациях, в том числе в 1 статье в журнале, рекомендованном ВАК. Без соавторов опубликованы 3 работы.

Структура н объем работы. Диссертационная работа изложена на 133 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения; список использованной литературы включает 132 наименования; содержит 39 рисунков, 18 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность решаемой научно-технической задачи, определены цель и задачи диссертационной работы, представлены результаты, выносимые на защиту",'

Первая глава посвящена обзору методов анализа многокомпонентных временных рядов: выделение тренда, определение параметров периодических и случайных компонент.

Выделение тренда осуществляется процедурами, основанными на параметрическом и непараметрическом сглаживании СВР с последующей аппроксимацией аналитической функцией.

Если априори известно, что физические механизмы формирования СВР описываются некоторой аналитической функцией, то для прогнозирования непараметрическую оценку тренда аппроксимируют этой функцией. Например,

тригонометрические (периодические компоненты) или полиномиальные ряды невысокого порядка аппроксимируются с помощью методов максимума правдоподобия (ММП) или наименьших квадратов (МНК).

Классические непараметрические методы определения периодических компонент основываются на корреляционном и спектральном анализе. Исследованию СВР в рамках корреляционной теории посвящено значительное количество работ, в которых предполагается, что периодическая компонента скрыта аддитивным белым шумом. В этом случае теоретическая автокорреляционная последовательность (АКП) наблюдаемого СВР равна сумме АКП сигнала и шума, т.е.

+ (D

При этом АКП шума Rlt начиная с задержки, превышающей интервал корреляции Tjt, равна нулю. Таким образом, при к > Ть = АКП СВР в области корреляционного сдвига и гармоника имеют одинаковый период. Метод автокорреляционной функции не требует априорной информации о частоте сигнала, но обладает низкой точностью. Метод взаимной корреляционной функции, используемый в радиотехнике для обнаружения скрытых шумами сигналов, является основой оптимального приемника и, при известном начальном приближении частоты сод, обеспечивает наилучшую точность оценок параметров периодических компонент.

Методы классического спектрального анализа позволяют получить состоятельные оценки спектра только с использованием корреляционных (спектральных) окон или сглаживания, что ведет к снижению разрешающей способности и к появлению ложных пиков.

Более точные оценки параметров периодических компонент СВР получают с помощью методов и алгоритмов, основанных на анализе собственных чисел корреляционной матрицы в пространстве сигнал-шум. Наиболее распространенными являются алгоритмы MUSIC (MUItiple Signal Classification) и EV (Eigenvectors). Эти алгоритмы требуют от исследователя знания априори числа периодических компонент в анализируемом СВР, что в ряде случаев неосуществимо.

К недостаткам классических методов можно отнести невозможность обнаружения и оценки изменения частотного состава наблюдаемого ряда во времени. Этот недостаток преодолен в вей влет-анализе, базовая функция преобразования которого локализована в частотной и временной областях. Недостатком дискре-тизированного вейвлет-преобразования, на основе которого наиболее удобно выполнять поиск периодических составляющих, является большой объем вычислений, требуемых для его реализации.

Моделирование сезонной компоненты производится различными способами. В данной работе предполагается, что сезонная компонента с периодом Т является аддитивной и представляется суммой гармоник с периодами Г, Т/2, 773,...

Любой стационарный СВР с достаточной степенью точности может быть представлен моделью авторегрессии ^ скользящего среднего (АРСС-моделъ):

б

где с[л] — гауссовый белый шум с нулевым средним. Частным случаем является модель авторегрессии (АР-модель), получаемая из выражения (2) обнулением всех коэффициентов £>,, кроме Ь0. С помощью этой модели можно описать большинство СВР. Для определения ее параметров используется линейный предсказатель, параметры которого находятся как решение системы линейных уравнений. Поэтому на практике стационарный СВР часто описывают именно АР-моделью, несмотря на то, что эта модель может не быть оптимальной по числу оцениваемых параметров.

Во второй глав« описываются разработанный в диссертации итеративный метод анализа многокомпонентных СВР с аддитивным коррелированным шумом и результаты имитационного моделирования.

Сингулярное разложение является оптимальным преобразованием по критерию достижения декорреляцин исходного сигнала. Однако при наличии в СВР аддитивного коррелированного шума интерпретация выделяемых составляющих может быть затруднена.

При сингулярном разложении СВР л [и], п = 1,N преобразуется в траек-торную матрицу X размерности Л =*[(+/-1],¡=1,

где Ь - ширина окна, К=М-Ь:

х = иху', (3)

где £ - диагональная матрица, элементами которой являются сингулярные числа, равные неотрицательным квадратным корням из собственных значений матрицы XX, £¡,¡ = <71 = Столбцы матриц и и V в выражении (3) образованы, ортонормировании ми собственными векторами матриц XX и ХХ\ Обе системы упорядочены в соответствии с расположением сингулярных чисел. Если СВР стационарен, то И, = X X с точностью до множителя равна автоковариационной матрице ряда.

После сингулярного разложения матрица X представляется суммой матриц единичного ранга

X = Х<1> + Х(2) +... + Х(Р>, где X® = о,и«У»'.

При разделимости аддитивных компонент СВР сгруппируются ХС(>, так, что сумма каждой группы соответствует аддитивной компоненте ряда. Преобразование в одномерный ряд осуществляется усреднением побочных диагоналей групповой матрицы.

Введем допущение, что СВР состоит из суммы М действительных гармоник ¿[п] со случайными фазами, равномерно распределенными на интервале Ю, 2л] и коррелированного шума е[л]. Сигнал н шум линейно независимы, однако собственные векторы матрицы Н„ соответствующие первым наибольшим собственным числам, зависят от Н(, а также от соотношения сигнал-шум. Первые собственные векторы могут не нести физического смысла, поэтому алгоритмы разделения сигнала и шума, основанные на дисперсионном критерии, в этом случае не вполне оправданы.

В случае априори известной корреляционной матрицы шума Н„ используется вначале алгоритм отбеливания, основанный на вращении пространства сиг-

нала таким образом, чтобы собственные векторы стали ортогональными а метрике Б£е. Определим прямое ДА) и обратное Ь(А) преобразования;

/(A) = £ei/2Ue'A, fc(A) = UeEe-1/2A, где U, — матрица собственных векторов шума; £Е — диагональная матрица, образованная собственными числами шума. Тогда в новом пространстве координат ковариационные матрицы СВР и сигнала имеют вид:

Ri -(Erl/2U«>'R*OW1/2). (4)

к/ =(Ee-1/2U£)'RS(UEEc-1/2).

После вращения координат (4) выполняется следующее равенство:

M[R{]=M[R/] + I.

Собственные векторы матрицы II £ свободны от влияния шума и соответствуют гармоническим компонентам сигнала. Для анализа собственных векторов необходимо применить обратное преобразование:

и£=А(и£) = <исЕГ1/2>и£. (5)

Нахождение компонент СВР осуществляется усреднением диагональных элементов матрицы Y:

Y^XR^EE',

где Е - матрица собственных векторов, относящихся к выделяемым компонентам.

На практике корреляционная матрица шума априори неизвестна. В таких случаях в данной работе предлагается модифицированный итеративный метод, укрупненный алгоритм которого следующий.

1. С помощью сингулярного разложения находится оценка тренда и вычитается из анализируемого ряда.

2. По паре близких по величине сингулярных чисел выбираются ассоциированные с ними собственные векторы, предположительно относящиеся к гармонической компоненте наибольшей мощности, н выделяется эта компонента с[л].

3. Находится случайная реализация остатка е[п] = с{л], которая относится к шуму.

4. Вычисляется ковариационная матрица шума. Выполняется прямое преобразование по формуле (4). Определяются собственные числа, относящиеся к сигналу.

5. Выполняется обратное преобразование собственных векторов сигнала согласно выражению (5).

6. Если мощность компоненты, полученной в результате отбеливания, больше заранее заданной величины, то она вычитается из ряда и выполняется переход к пункту 2, иначе осуществляется останов алгоритма.

Предлагаемая процедура по структуре аналогична переходу от обобщенного МНК (ОМНК) к классическому с помощью «отбеливания» коррелированного остатка. Исследуем сходимость предложенного метода с помощью имитационного

моделирования. Для этого предположим, что СВР д:[л] представлен следующим образом:

= A eos(2n IT ■ п+ф)+€[п], здесь А - неизвестная неслучайная амплитуда; Т- известный неслучайный период; 9 - равномерно распределенная на интервале {0,2л] случайная начальная фаза; е[л]~ случайный остаток с нулевым средним и неизвестной постоянной дисперсией в1, (необязательно белый шум). Начальное приближение для гармонической компоненты определяется следующим образом:

1. Выбирается параметр а, равный половине периода выделяемой гармоники, а = Г/2.

2. Находится реализация СВР у[л] = Дл] - х[п+а]:

у[п] = Лсок(2яп/7'+ф)+Е[я]-ЛсоЕ(27<«+Г/2)/Г + ф)-Е1л+Г/2] = = Л cos(2roi/Г + ф) - Acos(2roi/Г+II+ф) - eln+772] + е(и] = = 2 A cos(2iw/Г+ф) + е[п] - £[«+Г/ 2].

Дисперсия шумовой компоненты ряда у[п] определяется соотношением: D = М{е(п]-е(л + a]}2 -М2{е[п1-е[п+«]>} =

= м{:2[л]+ е2[л+я] - 2z[n]s[n+а]}= 1а\ - 2Rzt[a].

Мощность сигнала в СВР у[л] равна 4А = 2А г. Соотношение сигнал -шум СВР составляет А -Л„[а]), тогда как соотношение сигнал - шум СВР

равно А г/2сД Поскольку < стД то соотношение сигнал - шум СВР у[л]

больше, чем у

3, По у[п] строятся траекторная матрица Y и ковариационная матрица R,, находятся собственные векторы относящиеся к сигналу.

4, Искомым начальным приближением является компонента, определяемая согласно алгоритму метода сингулярного разложения, из СВР л [л], при этом в качестве матрицы собственных векторов используется матрица Е,.

Разработанный метод используется для разложения СВР на компоненты, в предположении, что они являются аддитивными. Его разрешающая способность Af= 1 /L достигает наилучшего значения при L - N/2, Af £ 2IN. Сингулярное разложение предполагает определение небольшого числа собственных чисел и векторов, тогда как предлагаемый метод требует вычисления L собственных чисел и векторов корреляционной матрицы шума. Число арифметических операций, необходимых для нахождения собственных чисел, пропорционально L2. Таким образом, данный метод предназначен для анализа малых выборок СВР с аддитивным коррелированным шумом.

Вычислительные эксперименты показали, что предлагаемый метод определяет наличие гармонических компонент сигнала с аддитивным коррелированным шумом в тех случаях, когда методы Фурье- и вейвлет-анализов не обеспечивают необходимой точности. Для проверки работоспособности разработанного метода генерировался временной ряд с заданными компонентами:

y[n] = b\n\ + c[rt] + Дл], в = 0,.... N- 1, здесь Ъ[п\ - экспоненциальный тренд; с[п] - периодическая компонента; дг[п] -случайная составляющая, с[л) = 5exp(-0,03n)cos(2roi/20) + 3cos(2jot/40), N= 160, b[n]~ 20ехр(-0,05л) и Дл] = -а^л- 1] + е[л], а,=-0,9, где е[п] -

9

нормально распределенный белый шум с кулевым математическим ожиданием и дисперсией асг- 1. График рядами] представлен на рис. 1,а.

2500

1 J

1 ✓

1_

т г

/

г >>

/

-

□ 20 40 60 ВО 1D0 120 14Q 150

6)

Рис. 1. Графики молельного ряда; а — яо временной области; в — периодограмма ряда, no оси абсцисс — период

Периодограмма данного ряда, полученная после дополнения его 160 нулями, представлена на рис. 1,6. На графике периодограммы заметны четко выраженный пик с периодом 30, который соответствует реально существующей во временном ряде гармонике, а также слабовыраженные пики на периодах 20, 35 и 65. Пик на максимальном периоде обусловливается наличием тренда. Гармоническая составляющая с периодом 20 на графике периодограммы не выражена и по мощности значительно меньше компоненты с периодом 65, обусловленной наличием коррелированного шума.

На рис, 2 приведены результаты вейвлет-анализа того же ряда у[л]. В качестве базового выбран вей влет Морле. Графики вейвлет-спектра (рис. 2,а) и усредненного по времени вейвлет-спектра (рис. 2,6) показывают наличие перио-личностей с периодами 20, 30, и 57. Таким образом, вейвлет-анализ выявил несуществующую гармонику. Гармоника с периодом 20 выражена слабо.

. X 10*

Рис. 2. Результаты вейвлет-анализа модельного ряда: а - вей влет-спектр; б — усредненный по времени пейвлет-спектр

Таким образом, наличие экспоненциального тренда и окрашенного шума не позволяет выявить реально присутствующие в ряде периодические составляющие с помощью Фурье-анализа или дискретиэированного вейвлет-преобразования.

6, в - периодические компоненты; г-случайная составляющая

На рис, 3 представлены графики выделенных предлагаемым методом н истинных компонент временного ряда. Результаты имитационного моделирования показывают, что разработанный метод целесообразно использовать для анализа СВР при наличии коррелированного шума и трендовой составляющей. Значительное преимущество перед Фурье-анализом предлагаемый метод показывает при выявлении амплитудно-модулированной гармоники.

Третья глава содержит обзор численных методов, используемых для реализации разработанного метода, а также основные принципы построения комплекса программ «СВФ — анализ» (СВФ—сингулярный, вейвлет, Фурье-анализ).

Основными операциями метода, требующими больших вычислительных затрат, являются нахождение собственных чисел и векторов, атакже вычисление обратной матрицы. Собственные числа определяются на основе 1Л-разложения, требующего наименьшего числа арифметических операций по сравнению со следующими методами: степенным, вращения Якоби, разложения Холецкого и (¿И-разложения. Перед нахождением собственных чисел матрица приводится к трехдиагональной форме методом Хаусхолдера. Собственные векторы определяются обратной итерацией.

Комплекс программ выполняет анализ временных рядов с помощью Фурье-н вейвлет-анализов, а также разработанным методом. Автором создана часть комплекса, реализующая разработанный метод, а также выполнена интеграция подпрограмм комплекса в единое приложение.

Построение комплекса программ осуществлено на объектно-ориентированном языке С++, в состав которого входит стандартная библиотека шаблонов (STL), поддерживающая классы и алгоритмы для хранения и быстрой обработки массивов данных. При разработке модулей, реализующих математические методы, не использовалась прикладная библиотека классов, что позволяет интегрировать математическое ядро созданного комплекса в приложение на любой платформе (WinForms, MFC, ATL, VCL, GTK+ и т.п.). Использование возможностей стандартного С++ позволяет генерировать вычислительные модули, инвариантные к конкретному компилятору.

' 103/^ии |_

1

Document |ф —UbstrectAm^s&b

Т-Г-1 , , А' -

1 I I

_J_I

| watrtxjd i 1

У—'

I I I I

\ piotsyjurn]

|_________________________j МУмюг "t-J

Рис. 4. Обобщенная диаграмма классов

На рис. 4 изображена обобщенная диаграмма классов созданного комплекса в UML-нотации. Для разработки выбрана двухуровневая концепция документ-вид. В классе документа Document агрегирован объект класса AbstractAnalysis, наследниками которого являются класс SsaAnalysis, реализующий разработанный автором метод; WaveletAnalysis, представляющий вейвлет-анализ, и Fu-rieAnalysis, инкапсулирующий Фурье-преобразование. Структура классов явля-егся реализацией паттерна проектирования «Стратегия» (Strategy), позволяющего добавлять, модифицировать алгоритмы, не изменяя классы документа и вида, что удобно, например, для совместной разработки программного обеспечения группой разработчиков.

Одномерные данные представляются классом MVector, а многомерные -классом Matrix2D, реализующим алгоритмы преобразования матрицы к трехдиа-гональиой форме, нахождение собственных чисел и векторов, вычисление обратной матрицы, а также основные матрнчные операции.

Класс lOSyslem предназначен для работы с файловой системой - загрузкой и сохранением данных, PlotSystem - для визуализации результатов на дисплее или печатающем устройстве.

В четвертой главе представлены построенные модели процессов газораспределения. Разработанный метод применен для анализа СВР газопотребления г. Саратова и числа обращений в аварийную газовую службу крупного населенного пункта.

Процессы, представляемые этими рядами, априори могут содержать следующие компоненты: тренд, сезонная и периодическая компоненты, стационарный СВР. Параметры реализации исходного СВР: шаг дискретности - 1 сутки, 12

начало отсчета - 1 января 2001 года, длительность наблюдения - 1095 суток (3 года). Данные получены Саратовской газовой компанией и содержат суммарные показатели расхода газа по газораспределительным станциям (ГРС) ГРС-2, ГРС-Пр истая ное, ГРС-1 за вычетом крупных энергопроизводящих потребителей. На рис. 5 представлен график газопотребления г. Саратова после удаления сезонной гармонической компоненты с периодом 365 суток, ее параметры найдены методом наименьших квадратов.

2400

_I6Q0 С "200 400 600 800' 1000 ".сутки

Рис. 5. Объем газолотр«бления г, Саратов» за 2001-2003 гг. после удаления основной гармоники сезонности. Начало отсчета по оси абсцисс -1 января 2001 г.

Предлагаемая модель гаэопотрейления состоит из аддитивных компонент: *[n] = £>[п] + j[n] + с[я] + е[п], где ¿>[л} - линейный тренд; s[n], с[л] - сезонная и периодическая компоненты; е[л] - стационарный СВР. Анализ СВР с помощью разработанного метода позволил выявить следующие компоненты.'

- медленно изменяющийся гладкий тренд;

- периодические компоненты с периодами примерно 180 и 120 суток;

- стационарный случайный временной ряд.

Тренд соответствует тому, что газопотребление г. Саратова за наблюдаемые три года существенно не изменилось. Периодическая компонента с периодом 365 суток отражает сезонные изменения газопотребления. Так, максимумы этой компоненты приходятся на зимнее время года, а минимумы - на летнее, что объясняется возрастающим потреблением газа в более холодное время года.

Зависимость потребления газа от температуры воздуха не является линейной. В холодное время года при понижении температуры практически пропорционально увеличивается расход газа, что обусловлено расходами на отопление. При повышении температуры выше определенного уровня дополнительный расход газа на отопительные нужды не используется и при дальнейшем росте температуры существенно измениться не может, поскольку в значительной степени вызван технологическими нуждами. Таким образом, сезонная зависимость газопотребления является не чистой гармоникой и должна описываться суммой гармоник с периодами, кратными периоду сезонности. Анализ суммы компонент с периодами 365, 182,5 и 121,7 суток показывает, что эти компоненты относятся к сезонной составляющей и обусловлены более ровным режимом потребления в летние месяцы.

Тренд определен как оценка среднего СВР; параметры сезонных и периодических компонент, а также параметры АР-модели случайной составляющей оценены

с помощью метода наименьших квадратов. Получена следующая модель газопотребления г. Саратова:

Ям] » 3396 + 2418■ cos((2ji/365) - и - 0,072)+ +330-соз((2л/182,5) • и + 0,15)+ + 297 ■ cos((2*/l21,7) • и - 0,42)+ 4"].

где

х[п] = -а1-х[п-\]-а2-х![п-2]-аЗ-х[п-3]+ъ[п], Здесь е[я] - нормальный белый шум с нулевым средним и среднеквадратичен скнм отклонением о. = 257, значения коэффициентов авторегрессии приведены в табл.1.

Оценки параметров AP-модели_Таблица 1

Значения параметров С. к. о. оценки Уровень значимости Няжняй граница 95% доверит, интервала Верхняя граница 95% довернт. интервала

а! -0,74 0,03 0,000 -0,80 -0,68

а2 -0,11 0,04 0,004 -0,18 -0,03

аЗ -0,09 0,03 0,002 -0,15 -0,03

Адекватность построенной модели подтверждается с помощью критерия Фишера, значение полученной статистики Р= 7,13, больше критического значения /^„т (11, 24) "=3,26 при уровне значимости а = 0,01.

Анализируемый СВР числа обращений в аварийную газовую службу одного крупного населенного пункта представлен на рис. б,а. Шаг дискретности -I сутки, длина наблюдаемой реализации — 1095 суток. Первое значение временного ряда соответствует 1 января 2002 года 450

ВД

325

а)

/М

187.5

сутки

-37,5

ф 0 200 400 600 800 1000 п сутки

Рис. 6. Временной рад числа обращений в аварийную газовую службу; а — исходный временной ряд; б — временной ряд после стабилизации дисперсии. Начало отсчета по оси абсцисс соответствует I января 2002 года

Исследованы описательные статистики рР, по которым установлено, что ряд является кососимметричиым и по коэффициенту эксцесса резко отличается от нормального. На рис. 8,а представлена гистограмма исходного временного ряда 14

Для выбора вида преобразования процесса при приведении к нормальному распределению применена процедура стабилизации дисперсии. Графики зависимости среднеквадрэтического логарифма среднеквадратических отклонений от различных степеней среднего значения представлены на рис. 7.

71ЛЗ га,

4813 т,*

Рис. 7. Графики зависимости: а - с.к.о от квадрата; б—с.к.о. от куба среднего; в - логарифм с.к.о. от среднего; г - логарифм с.к.о. от квадрата среднего

Анализ зависимостей показал, что наилучший результат стабилизации дисперсии обеспечивает преобразование вида = -а «хр{-^) + С. Оценки коэффициентов равны: а — 369, Ъ = 0,045, С~ 200. Гипотеза о нормальном распределении преобразованного процесса по хи-квадрат критерию не отвергается на уровне значимости а = 0,05.

300 600

400

200

4™ !

т (

1

Ш 1 I

Щ

Щ

т

-37 37 110 183 257 330 403 в) .200 -100 * 0 100 200

Рис. 8. Гистограмма временного ряда обращений в аварийную газовую службу; а - исходный временной ряд, б - временной ряд после стабилизации дисперсии

Гистограмма СВР после стабилизации дисперсии с помощью преобразования представлена на рис. 8,6. На рис. б,б показан график СВР после преобразования и центрирования. Разброс значений СВР стал более симметричным.

При использовании разработанной модификации метода сингулярного разложения выявлено 3 периодические компоненты: с периодом около 365 суток, 180 суток и 120 суток. Полученные результаты имеют следующую физическую интерпретацию,

1. Неоднородный во времени разброс значений объясняется превышением концентрации в газе одоранта, запах которого воспринимается как запах газа. Превышение концентрации одоранта приводит к тому, что люди начинают интенсивнее ощущать «запах газа» и, соответственно, резко увеличивается число обращений в аварийную газовую службу,

2. Периодическая компонента с периодом около 365 суток носит сезонный характер. В более холодные времена года увеличивается не только объем газопотребления, но и количество используемого газового оборудования. Соответственно увеличивается и число технических инцидентов, происходящих с газовым оборудованием.

3. Периодическая компонента с периодом около 120 суток требует дополнительного исследования числа технических инцидентов в зависимости от вызвавших их причин.

4. Стационарный СВР. Эта компонента обусловлена как ошибками измерений, так и случайным характером возникновения технического инцидента.

Оценка параметров периодических компонент и шума выполнена с помощью метода наименьших квадратов.

q[n] = 19,22 cos((2 л/363) -/1-0,031), С2 [п]=16,18соз((2я/121,7) ■ п ~ 0,63), C3[7il = 9,59cos(C2jVl82,5)-n+0,35).

Результаты оценки параметров шума как АР(3) - модели представлены в табл. 2.

Сводная таблица оценивания параметров АР-модели Таблида 2

Значения параметров С.к.о. оценки Уровень значимости Нижняя граница 95% доверит, интервала Верхняя граница 95% доверит, интервала

ai -0,33 0,03 0,0000 -0,39 -0,27

ai -0,10 0,03 0,0115 -0,16 -0,04

aj -0.11 0.03 0,0013 ' -0.17 -0,05

Коэффициенты авторегрессии значимы, стандартные ошибки достаточно малы, что свидетельствует о надежности полученных оценок. Таким образом, случайный процесс можно описать следующим уравнением:

*[л] = 0,33-л[п—11+0,10*.ф1—2] + 0,11-л[в—3] + е[л], (6)

где е[л] - независимые нормально распределенные величины с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением ое = 44,85.

Временной ряд, значения которого равны числу аварийных заявок, определяется следующим выражением:

- 369 ехр(-0.045Г[п]) + 200 = 19,22 соз((2л/365) ■ п - 0,031) +

+16,18 соз((2я/121,7) • п - 0,63) + 4/1],

где х[и] вычисляется согласно соотношению (6).

Значение статистики Фишера F=8P14 для построенной модели больше критического значения F„p„r (9, 68) — 2,68 при уровне значимости а =0,01, что свидетельствует об ее адекватности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В .диссертационной работе решены задачи анализа и моделирования многокомпонентных случайных временных рядов из области газораспределения при недостатке априорной информации о параметрах компонент. При этом получены следующие результаты.

1. Построены модели временных рядов в системах газораспределения. Адекватность моделей, содержащих тренды, сезонные, периодические и случайные составляющие, подтверждается исследованиями экспериментальных данных.

2. Созданы модели процессов возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта и газопотребления на примере г. Саратова. Предложенные модели позволяют прогнозировать объем потребления газа, число инцидентов, а, следовательно, количество аварийных ситуаций и риск эксплуатации газораспределительной системы.

3. Разработан итеративный метод разведочного анализа временных рядов, позволяющий определять скрытые коррелированным шумом компоненты ряда. Метод основан на комбинации сингулярного разложения н алгоритма «отбеливания» шума н может применяться при неизвестной корреляционной матрице шума

4. Предложенный метод реализован в комплексе программ «СВФ-аналнз», на который получено Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в Роспатенте РФ.

Практическая ценность результатов, полученных в диссертационном исследовании, подтверждена актами внедрения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Рейтер A.A. Применение бутстреп-метода в регрессионном анализе при аномальных наблюдениях отклика / Р.Н. Каримов, А А. Рейтер //Материалы II В серое. конф. г. Камышин, Волгоград, 2003. Т.2. С. 289 - 292.

2. Рейтер A.A. Модифицированное сингулярное разложение временных рядов / О.Н. Долинина, A.A. Рейтер // Материалы III Всерос. конф., г. Камышин: в 3 т, -Волгоград, 2005. Т.2. С. 188-191.

3. Рейтер A.A. Выделение периодических компонент из загрязненных «окрашенным» шумом временных рядов /A.A. Рейтер // Информационные технологии моделирования и управления: научно-технический журнал. Воронеж: Научная книга, 2005, № б (24).-С, 848-854.

4. Рейтер A.A. Анализ временных рядов, загрязненных «окрашенным» шумом /A.A. Рейтер // Современные проблемы информатизации в моделировании и программировании: сб. трудов. Вып. 11, - Воронеж: Научная книга, 2006. - С. 198201,

5. Рейтер A.A. Анализ потока технических инцидентов в системе газораспределения / Р.Н. Каримов, В.В. Мочал ов, A.A. Рейтер // Нефтегазовое дело: электронный журнал / Уфимский гос. нефтяной техн. ун-т. http://www.ogbu3.ru, httpi/Mvav.ogbus.com/eng, M гос. регистрации 0420600005.

6. Рейтер АЛ. «СВФ-анализ» / О.Н. Долинина, Р.Н. Каримов, АЛ. Козлецов,

A.B. Кузнецов, A.A. Рейтер // Свидетельство об официальной регистрации программ № 2005612829 «СВФ-анализ».

7. Рейтер A.A. Итеративный метод сингулярного разложения / Р.Н. Каримов,

B.В. Мочалов, A.A. Рейтер // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-19: сб. трудов XIX Междунар. науч. конф.; в 10 т. Т. 8. — Воронеж: Воронеж. гос.технолог, акад., 2006.-С. 28-31.

8. Рейтер АЛ. Выявление периодичностей в процессах газопотребления // Р.Н. Каримов, В.В. Мочалов, A.A. Рейтер // Научно-технические проблемы совершенствования и развития систем газоэнергоснабжения: сб. науч. трудов.- Саратов: СГГУ, 2006. - С. 4 - 13.

9. Рейтер A.A. Применение инверсной корреляционной функции для анализа временных рядов с помощью сингулярного разложения /АЛ. Рейтер // Вестник СГТУ. -2006. - № 2(13). - Вып. 2. - С. 13-18.

В работах, написанных в соавторстве, Рейтеру A.A. принадлежат следующие результаты (общий объем 1 у сл.-пл.): предложен вариант применения бут-стреп-мегода в регрессионном анализе {1] н в методе сингулярного разложения [2], в [7] разработан итеративный метод анализа, а в [5] построена математическая модель потока технических инцидентов для анализа потока технических инцидентов, выявлены периодические составляющие модели газопотребления г. Саратова [8].

РЕЙТЕР Андрей Алексеевич

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В СИСТЕМАХ ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Автореферат

Ответственный за выпуск Д. А. Кинцель

Корректор O.A. Панина

Лицензия ИД J& 06268 от 14.11.01

Подписано в печать 14.11.06 Бум. тип Тираж 100 экз.

Усл.-печл. 1,0

Заказ 498

Формат 60x84 1/16

Уч.-изд. л. 1,0 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Отпечатано в РИЦ СГТУ, 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

1.1. Характеристика объекта исследования.

1.2. Исследование нестационарных по отношению к тренду временных рядов.

1.2.1. Методы сглаживания и фильтрации.

1.2.2. Сингулярное разложение.

1.2.3. Параметрические методы исследования тренда.

1.3. Методы исследования временных рядов, содержащих периодические компоненты.

1.3.1. Корреляционные методы.

1.3.2. Методы исследования временных рядов в частотной области.

1.3.3. Методы оценивания гармонических компонент, основанные па анализе собственных чисел в пространстве сигнал-шум.

1.3.4. Исследование временных рядов в частотно-временной области с помощью вейвлет-анализа.

1.4. Идентификация случайной составляющей временных рядов.

1.4.1. Анализ временных рядов с помощью модели авторегресии-скользящего среднего.

1.4.2. Оценивание параметров АР-моделсй временного ряда.

1.5. Особенности идентификации сезонных компонент.

1.6. Постановка задач исследования.

ГЛАВА 2. СОЗДАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

2.1. Основные положения метода сингулярного разложения.

2.1.1. Алгоритм сингулярного разложения временных рядов.

2.1.2. Особенности выделения компонент временного ряда методом сингулярного разложения.

2.2. Создание модифицированного метода сингулярного разложения для анализа многокомпонентных временных рядов с аддитивным коррелированным шумом.

2.2.1. Особенности метода сингулярного разложения при идентификации компонент временных рядов при известной и неизвестной корреляционной матрице шума.

2.2.2. Особенности выбора начальных условий итеративного метода анализа временных рядов.

2.3. Имитационное моделирование алгоритмов и методов анализа временных рядов.

2.4. Выводы.

ГЛАВА 3. ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА

ИДЕНТИФИКАЦИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ.

3.1. Эффективные численные методы для реализации алгоритма сингулярного разложения.

3.2. Особенности реализации алгоритма итеративного метода на объектно-ориентированом языке программирования С++.

3.2.1. Проектирование структуры комплекса программ «СВФ-анализ»

3.2.2. Организация эффективного хранения и обработки матриц и векторов в оперативной памяти вычислительной машины.

3.3. Выводы.

ГЛАВА 4. АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ СИСТЕМ

ГАЗОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

4.1. Анализ и моделирование временного ряда газопотребления г. Саратова

4.1.1. Оценка порядка модели временного ряда газопотребления.

4.1.2. Идентификация параметров процесса газопотребления г. Саратова . ^

4.2. Анализ и моделирование временного ряда количества технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта.

4.2.1. Выбор модели технических ицидентов с газовым оборудованием в системе газораспределения.

4.2.2. Оценка парметров модели технических инцидентов.

4.3. Выводы.

Актуальность исследования. Анализ и прогнозирование физических процессов, зависящих от времени являются распространенными и актуальными научными и инженерными задачами. В данной работе исследуются реальные процессы, в частности, в системах газораспределения, которые относятся к категории опасных производственных объектов. Их важнейшими характеристиками являются объем газопотребления и число технических инцидентов (неисправностей) с газовым оборудованием, которые описываются многокомпонентными временными рядами, т.е. содержат тренд, сезонные, периодические, случайные процессы и помехи измерения. Определение этих компонент необходимо для построения адекватных математических моделей, использование которых актуально для повышения эффективности функционирования систем газораспределения.

Для нахождения компонент обычно применяется аппарат математического моделирования случайных временных рядов (СВР). Теория анализа временных рядов представлена работами Е.Е. Слуцкого, А.Я. Хинчина, Т. Андерсона, Г. Дженкинса, Дж. Бокса, Дж. Кендалла, А. Стьюарта, Э. Хеннана.

В последние годы в работах Н.Э. Голяндиной, Г.Г. Канторовича, М. Гила, М.Р. Алена, В.П. Носко, Р.Н. Каримова и др., предложены методы анализа и прогнозирования временных рядов, использующие различные аспекты разложения по собственным значениям. Для выявления и оценки параметров тренда и периодических компонент при неполной априорной информации об анализируемом процессе разработан ряд параметрических и непараметрических методов. Широко распространено определение структуры и параметров временных рядов, содержащих компоненты с аддитивным белым шумом. Однако, если в состав СВР входит коррелированный шум, то при малом соотношении сигнал-шум существующие методы не выявляют реально присутствующие компоненты и выделяют гармоники, обусловленные шумовой компонентой.

Число и параметры компонент процессов газораспределения априори неизвестны, поэтому для построения их математических моделей необходим непараметрический метод, позволяющий определять компоненты временных рядов при недостатке информации о компонентах и наличии коррелированного шума.

Изложенное определило актуальность данной работы и ее цель.

Целью исследования является повышение эффективности функционирования систем газораспределения на основе разработки моделей многокомпонентных временных рядов.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- выбор и обоснование метода выделения тренда;

- разработка непараметрического метода разведочного анализа временных рядов при наличии коррелированных компонент;

- выбор и обоснование численных методов для эффективного вычисления сингулярного разложения;

- создание программного комплекса, реализующего разработанный метод;

- проведение вычислительного эксперимента для проверки работоспособности предложенного метода;

- выбор параметрических методов оценки периодических компонент;

- построение модели процессов газораспределения и нахождение ее параметров для временных рядов газопотребления и обращений в аварийную газовую службу крупного населенного пункта.

Методы исследований. В работе использованы методы статистической обработки многокомпонентных СВР, имитационного моделирования, численные методы линейной алгебры и объектно-ориентированного программирования.

Достоверность и обоснованность диссертационного исследования определяется применением корректных статистических методов исследований и подтверждается результатами имитационного моделирования, успешным внедрением в ОАО «Гипрониигаз». На защиту выносятся

1. Метод разведочного анализа малых выборок временных рядов для выделения аддитивных компонент при наличии коррелированного шума.

2. Математическая модель и процедура идентификации компонент процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов в сети газораспределения крупного населенного пункта.

3. Комплекс программ, разработанный для обнаружения и идентификации компонент СВР газопотребления и технических инцидентов с газовым оборудованием.

4. Результаты применения математических моделей к процессам газораспределения г. Саратова.

Научная новизна. Построена математическая модель процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта, имеющих сложную многокомпонентную структуру (тренд, сезонные, периодические компоненты и коррелированный шум), что позволило оценить статистики возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием.

Предложена процедура декорреляции шума, используемая в методе сингулярного разложения, для выделения компонент временных рядов при недостатке информации об их количестве и параметрах, а также известной корреляционной матрице шума.

Создан итеративный метод разведочного анализа временных рядов, основанный на процедуре декорреляции шума и сингулярном разложении. Метод позволяет определять периодические компоненты временного ряда, скрытые коррелированным шумом с неизвестной корреляционной матрицей при малом соотношении сигнал-шум.

Разработана процедура предварительного выделения периодической компоненты низкой частоты временного ряда, основанная на повышении значения соотношения сигнал-шум для гармоники определенной частоты.

Практическую значимость диссертационной работы представляют следующие результаты.

Построены модели процессов газопотребления и возникновения технических инцидентов, применение которых позволит повысить эффективность эксплуатации систем газораспределения.

Модель газопотребления может использоваться для решения следующих задач:

- прогнозирование объема потребления газа и абонентских платежей;

- планирование ремонтных, профилактических работ газораспределительной сети.

Построена модель процесса возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием, которая может быть использована для решения следующих задач:

- пр огнозирование числа технических инцидентов;

- прогнозирование числа аварийных ситуаций и возможного ущерба;

- оце нивание качества эксплуатации газораспределительных сетей.

Разработанные методы и построенная модель процесса технических инцидентов использована в ОАО «Гипрониигаз» при выполнении НИР «Разработка системы количественных и качественных показателей обеспечения безопасности газораспределения и газопотребления», а также в учебном процессе СГТУ, что подтверждено актами внедрения.

Программная реализация разработанных методов анализа входит в состав комплекса программ «СВФ - анализ», на который получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в Роспатенте РФ.

Апробация работы. Основные теоретические положения и практические результаты работы обсуждались и докладывались на III Всероссийской конференции «Инновационные технологии в обучении и производстве» 7

Камышин, 2005), XI Международной открытой научной конференции «Современные проблемы информатизации в моделировании и программировании» (Воронеж, 2006), XIX Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологии» - ММТТ-19 (Воронеж, 2006).

Публикации. Основные положения диссертации отражены в 9 публикациях, том числе в 1 статье в журнале, рекомендованном ВАК. Без соавторов опубликованы 3 работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 133 страницах и состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 37 рисунков, 19 таблиц. Список используемых источников включает 132 наименования.

4.3. Выводы

В данной главе проведен анализ и моделирование временных рядов газораспределения: газопотребления и возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта.

Выявлены следующие компоненты ряда газопотребления:

- медленно изменяющийся гладкий тренд;

- периодические компоненты с периодами примерно 365, 180,120 суток;

- стационарный случайный временной ряд.

Газопотребление г. Саратова содержит сезонные компоненты, которые имеют понятный физический смысл, в построенной модели они представлены гармониками. Случайная компонента описана процессом авторегресии третьего порядка. Адекватность модели в целом подтверждена на основе критерия Фишера.

Временной ряд количества обращений в аварийную газовую службу характеризуется большим разбросом значений и асимметричностью распределения. Найдено преобразование, стабилизирующее дисперсию и нормализующее распределение данных. В результате анализа выявлены периодические компоненты с периодами 365, 120 суток, которые моделированы гармониками, а параметры найдены методом наименьших квадратов. Случайная составляющая ряда описывается процессом авторегресии третьего порядка, ее дисперсия составляет 81% дисперсии ряда, что подтверждает значительный вклад случайных факторов в возникновение технических неисправностей с газовым оборудованием. Адекватность модели подтверждена по критерию Фишера с высоким уровнем значимости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решены задачи анализа и моделирования многокомпонентных случайных временных рядов из области газораспределения при недостатке априорной информации о параметрах компонент. При этом получены следующие результаты.

1. Выполнен обзор методов анализа временных рядов, выбор и обоснование метода определения тренда. В качестве непараметрического метода применено сингулярное разложение, а параметры определены методом наименьших квадратов.

2. Разработан итеративный метод разведочного анализа временных рядов, позволяющий определять скрытые коррелированным шумом компоненты ряда. Метод основан на комбинации сингулярного разложения и алгоритма «отбеливания» шума, и может применяться при неизвестной корреляционной матрице шума. Сходимость метода существенно зависит от выбора первоначального приближения, поэтому создан алгоритм получения первоначального приближения периодической компоненты.

3. Осуществлен выбор и обоснование численных методов для эффективного вычисления сингулярного разложения, являющегося основой разработанного итеративного метода.

4. Предложенный метод реализован в комплексе программ «СВФ-анализ», на который получено Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ в Роспатенте РФ.

5. Работоспособность метода подтверждена методом имитационного моделирования, в рамках которого сгенерирован временной ряд, содержащий экспоненциальный тренд, две гармонические компоненты и случайную составляющую, являющуюся реализацией АР(1)-процесса. Проведен анализ модельного ряда методами спектрального и вейвлет-анализов, сингулярным разложением, а также разработанным методом. Результаты вычислительного эксперимента показали, что при малом соотношении сигнал-шум и наличии коррелированного шума предпочтительнее использовать разработанный метод.

6. Построены модели временных рядов в системах газораспределения. Адекватность моделей, содержащих тренды, сезонные, периодические, и случайные составляющие, подтверждается исследованиями экспериментальных данных.

7. Построены модели процессов возникновения технических инцидентов с газовым оборудованием крупного населенного пункта и газопотребления на примере г. Саратова. Предложенные модели позволяют прогнозировать объем потребления газа, число инцидентов, а, следовательно, и число аварийных ситуаций, и риск эксплуатации газораспределительной системы.

8. Практическая ценность результатов, полученных в диссертационном исследовании, подтверждена актом внедрения.

1. Адаптивные фильтры: пер. с англ. / под ред. К.Ф.Н. Коуэена, П.М. Гранта. М.: Мир, 1988. 392 с.

2. Айвазян С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики / С.А, Айвазян, B.C. Мхитрян. М.: Юнити, 1998.

3. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983. 472 с.

4. Айчифер Э. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / Э. Айчифер, Б. Джервис.; пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2004. 989 с. ISBN 5-8459-0710-1.

5. Александреску А. Современное проектирование на С++ / А. Александре-ску.; пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2002. 336 с. ISBN 5-84590351-3.

6. Андерсон Т. Статистический анализ данных с пропусками / Т. Андерсон.; пер. с англ. М.: Мир, 1976. 760 с.

7. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. «Успехи физических наук» / Н.М. Астафьева: 1996. Т. 166. №11. С. 1145-1170.

8. Ахмед Н. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов / Н. Ахмед, К.Р. Рао.; пер. с англ. М.: Связь, 1980. 248 с.

9. Балакирев B.C. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления / B.C. Балакирев, Е.Г. Дудников, А.М, Цирлин. М.: Энергия, 1967.

10. Бартлетт М.С. Введение в теорию случайных процессов. / М.С. Барт-летт.; пер. с англ. М.: изд-во иностранной литературы, 1958, 384 с.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков // М.: Физматлит, 2001. 632 с.

12. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных /Дж. Бендат, А. Пир-сол.; пер. с англ. М.: Мир, 1989. 540 с.

13. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. / Р. Блей-хут.; пер. с англ. Н. Н. Грушко. М.: Мир, 1989. 448 с. ISBN 5-09-001009-2.

14. Бобровский С.А. Газовые сети и газохранилища. / С.А. Бобровский, Е.И. Яковлев. М.: Недра, 1980. 413 с.

15. Бокс Дж. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1, 2/ Дж. Бокс, Г. Дженкинс.; пер. с англ.; М.: Мир, 1974. 406 е., 197 с.

16. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2000.

17. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций / С.Я. Виленкин. М.: Энергия, 1979. 320 с.

18. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: учеб. пособие / В.В. Ви-тязев. СПб.: Изд-во С-Петерб. ун-т, 2001. 58 с.

19. Волгин В.В. Оценка корреляционных функций в промышленных системах управления / В.В. Волгин, Р.Н. Каримов. М.: Энергия, 1979. 80 с.

20. Воробьев В.И. Теория и практика вейвлет-преобразования / В.И. Воробьев, В.Г. Грибунин. СПб.: Изд-во ВУС, 1999. 2003 с.

21. Гамма Э. Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Дж. Влиссидес. СПб: Питер, 2003. 386 с. ISBN 5-272-00355-1.

22. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1966. 580 с.

23. Голд Б. Цифровая обработка сигналов. / Б. Голд, Ч. Рэйдер.; пер с англ. М.: Советское радио, 1973. 386 с.

24. Голяндина Н.Э. Метод «ryceHH4a»-SSA: Анализ временных рядов: учеб. пособие / Н.Э. Голяндина. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2004. 76 с.

25. Голяндина Н.Э. Метод «ryceHHua»-SSA: Прогноз временных рядов: учеб. пособие / Н.Э. Голяндина. СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2004. 56 с.

26. Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница» / Под. ред. Д.Л. Данилова, А.А. Жиглявского. Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ, 1997. 307 с.

27. Гренадер У. Случайные процессы и статистические выводы / У. Гренадер. М.: Изд-во ин. лит., 1961. 167 с.

28. Губанов В.А. Непараметрическое выделение динамических сезонных циклов: Препринт WP2/2002/01. М.: ГУ ВШЭ, 2002. 33 с

29. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1, 2. / Г. Дженкинс, Д. Ватте. М.: Мир, 1971. 316 е., 1972. 288 с.

30. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши.; пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.464 с. ISBN 5-93972-044-7.

31. Долинина О.Н. «СВФ-анализ» / О.Н. Долинина, Р.Н. Каримов, А.П. Коз-лецов, А.В. Кузнецов, А.А. Рейтер // Свидетельство об официальной регистрации программ № 2005612829 «СВФ-анализ».

32. Долинина О.Н. Модифицированное сингулярное разложение временных рядов / О.Н. Долинина, А.А. Рейтер // Материалы III Всерос. конф., г. Камышин: в 3 т. Волгоград, 2005. Т. 2. 231 с.

33. Доугерти К. Введение в эконометрику: учебник. 2-е изд. / К. Доугерти.; пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 2004. 432 с. ISBN 0-16-001463-2.

34. Дрейпер Н. Прикладной регрессионный анализ: в 2-х книгах, кн. 1 / Н. Дрейпер, Г. Смит.; пер. с англ., 2-е изд, перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 1986. 366 с.

35. Дремин И.М. Вейвлеты и их использование / И.М. Дремин, О.В. Иванов, В.А. Нечитайло, УФН, 2001. Т.171. № 5. С. 465-501.

36. Дробышевский С. Эконометрический анализ динамических рядов основных макроэкономических показателей / С. Дробышевский, В. Носко, Р. Энтов, А. Юдин. М.: Институт экономики и переходного периода, 2001. 173 с. ISBN 5-93255-056-2.

37. Калман Р.Е. Идентификация систем с шумами / Р.Е. Калман // Успехи математических наук, 1985. Т.40. №4. С.27-41.

38. Канторович Г.Г. Анализ временных рядов / Экономический журнал ВШЭ N2 2002. С. 251-273.

39. Каримов Р.Н. Выявление периодичностей в процессах газопотребления / Р.Н. Каримов, В.В. Мочалов, А.А. Рейтер П Научно-технические проблемы совершенствования и развития систем газоэнергоснабжения: Сб. науч. трудов Саратов: СГТУ, 2006. С. 4-13.

40. Каримов Р.Н. Применение бутстреп-метода в регрессионном анализе при аномальных наблюдениях отклика / Р.Н. Каримов, А.А. Рейтер // Материалы II Всерос. конф. г. Камышин, Волгоград, 2003. Т.2. С. 289-292.

41. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. 4.1 Разведочный анализ. Анализ качественных данных / учеб. пособие изд. второе пере-раб. и доп. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2002. 112 с. ISBN 5-7433-0985-Х

42. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. 4.2 Регрессионный анализ / учеб. пособие изд. второе перераб. и доп. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2002. 116 с. ISBN 5-7433-0986-8.

43. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. Ч.З Многомерный анализ: учеб. пособие / Р.Н. Каримов, изд. второе перераб. и доп. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2003. 116 с. ISBN 5-7433-1127-7

44. Каримов Р.Н. Обработка экспериментальной информации. 4.4 Статистика случайных процессов: учеб. пособие / Р.Н. Каримов, изд. второе перераб. и доп. Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2004. 120 с. ISBN 5-7433-1292-3

45. Каримов Р.Н. Основы теории случайных процессов: учеб. пособие / Р.Н. Каримов. Волгоград: Волг. гос. техн. ун-т, 2003. 156 с. ISBN 5-230-04226-5.

46. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш.; пер. с англ. М.: Мир, 2001.

47. Кашьяп P.JI. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным / P.JI. Кашьяп, А.Р. Рао.; пер. с англ. М.: Наука, 1983.

48. Кендалл М. Дж. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Дж. Кендалл, А. Стьюарт. М.: Наука, 1976. 736 с.

49. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости / В.А. Котельников. М.: Радио и связь, 1998.152 с.

50. Крамер Г. Стационарные случайные процессы / Г. Крамер, М. Лидбет-тер. М.: Мир, 1969. 398 с.

51. Лафоре Р. Объектно-ориентированное программирование в С++. Классика Computer Science. 4-е изд. / Р. Лафоре. СПб.: Питер, 2003. 928 с. ISBN 594723-302-9

52. Лоусон Ч. Численное решение задач метода наименьших квадратов/ Ч. Лоусон, Р. Хенсен.; пер. с англ. М.: Наука, 1986.

53. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов / Ю.П. Лукашин. М.: Финансы и статистика, 2003. 416 с. ISBN 5-279-02740-5.

54. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Л. Льюнг.; пер. с англ. М.: Наука, 1991. 432 с.

55. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл-мл.; пер. с англ. М.: Мир, 1990. 584 с.

56. Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов / Г.Я. Мирский. М.: Энергия, 1972.

57. Мостеллер Ф. Анализ данных и регрессия: в 2-х вып. Вып 2 / Ф. Мостел-лер, Дж. Тьюки, пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1982. 317 с.

58. Новиков И .Я. Основы теории всплесков. Успехи математических наук / И.Я. Новиков, С.Б. Стечкин //Т.53. №6. С. 53-128.

59. Новиков JI.B. Основы вейвлет-анализа сигналов / JI.B. Новиков. СПб., 1999. 152 с.

60. Новиков JI.B. Спектральный анализ в базисе вейвлетов. Научное приборостроение / Л.В. Новиков // Т. 10. №3, 2000. С.57-64.

61. Носко В.П. Анализ прогнозных свойств структурных моделей и моделей с включением результатов опросов предприятий. // В.П Носко, А. Бузаев, П.А. Кадочников, С.С. Пономаренко. М.: Агентство CIP РГБ, 2003. С. 200. ISBN 5-93255-126-7.

62. Нусбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгортмы вычисления сверток / Г. Нусбаумер; пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. 248 с.

63. Оппенгейм А.В. Цифровая обработка сигналов / А.В. Оппенгейм, Р.В. Шафер; пер. с англ. М.: Связь, 1973. 416 с.

64. Отнес Р. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы / Р. Отнес, Л. Эноксон; пер. с англ. М.: Мир, 1982. 428 с.

65. Переберин А.В. О систематизации вейвлет-преобразований / А.В. Переберин // Вычислительные методы и программирование, 2001. Т. 2. С. 15-40.

66. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков: учеб. пособие / А.П. Петухов. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999. 132 с.

67. Постоенко Ю.К. Об алгоритмах вычисления оценки корреляционной функции / Ю.К. Постоенко // Научные труды СИБВИМ. Новосибирск: За-падно-сиб. кн. изд-во, 1964. Вып. 2. С. 89-100.

68. Рабинер Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд; пер. с англ. М.: Мир, 1978. 774 с.

69. Рейтер А.А. Анализ временных рядов, загрязненных «окрашенным» шумом. / А.А. Рейтер // Современные проблемы информатизации в моделирова120нии и программировании: сб. трудов. Вып. 11. Воронеж: Научная книга, 2006. С. 198-201.

70. Рейтер А.А. Выделение периодических компонент из загрязненных «окрашенным» шумом временных рядов / А.А. Рейтер // Информационные технологии моделирования и управления: научно-технический журнал. Воронеж: Научная книга, 2005. № 6 (24). С. 848-854.

71. Рейтер А.А. Применение инверсной корреляционной функции для анализа временных рядов с помощью сингулярного разложения / А.А. Рейтер // Вестник СГТУ. Саратов: СГТУ. 2006. № 2(13). С. 14-18.

72. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику / С.М. Рытов // Случайные процессы. М.: Наука, 1976. 4.1. 494 с.

73. Саттер Г. Новые сложные задачи на С++ / Г. Саттер; пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. 272 с. ISBN 5-8459-Х.

74. Саттер Г. Стандарты программирования на С++. 101 правило и рекомендация / Г. Саттер, А. Александреску; пер. с англ. М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. 224 с. ISBN 5-8459-0859-0.

75. Сверхбольшие интегральные схемы и современная обработка сигналов; пер. с англ. / под ред. С. Гунна, Ч. Уайтхауса, Т. Кайларта. М.: Радио и связь, 1989.472 с.

76. Сергеенко А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергеенко. М.: Питер, 2002. 608 с.

77. Серебренников М.Г. Выявление скрытых периодичностей. / М.Г. Серебренников, А.А. Первозванский. М.: Наука, 1965.

78. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений / B.C. Сизиков. СПб.: СпецЛит, 1999. 240 с.

79. Современные методы идентификации систем; пер. с англ. / под ред. П. Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.

80. Столниц Э. Вейвлеты в компьютерной графике. // Э. Столниц, Т. ДеРоуз, Д. Салезин.; пер. с англ, Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. 272 с.

81. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. М: Советское радио, 1966. 110 с.

82. Тихонов А.Н. Статистическая обработка результатов эксперимента. /А.Н. Тихонов, М.В. Уфимцев. М.: Изд-во МГУ, 1988. 174 с.

83. Торчинский Я.М. Оптимизация проектируемых и эксплуатируемых газораспределительных систем. 2-е изд., перераб. доп. Л.: Недра, 1988. 239 с. ISBN 5-247-00189-3.

84. Турчак Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. М.: Наука, 1987.

85. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей / В.Н. Тутубалин М.: МГУ, 1972. 230 с.

86. Фаулер М. Рефакторинг: улучшение существующего кода / М. Фаулер; пер. с англ. СПб: Символ-Плюс, 2003. 432 с. ISBN 5-93286-045-6.

87. Финк Л.М. Сигналы, помехи, ошибки. / Л.М. Финк. М.: Радио и связь, 1984. 256 с.

88. Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей / Р.А. Фишер; пер. с англ. М.: Госстатиздат, 1958. 267 с.

89. Харкевич А.А. Борьба с помехами / А.А. Харкевич. М.: Наука, 1965.276 с.

90. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры / Р.В. Хемминг; пер. с англ. М.: Советское радио, 1980. 224 с.

91. Хеннан Э. Многомерные временные ряды / Э. Хеннан; пер. с англ, М.: Мир, 1974. 575 с.

92. Хорн Р. Матричный анализ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон; пер. с англ. М.: Мир, 1989, 655 с.

93. Цыплаков А. Введение в прогнозирование в классических моделях временных рядов / А. Цыплаков. Квантиль. №1. 2006. С. 13-19.

94. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления / П. Эйкхофф; пер. с англ. М.: Мир, 1975. 688 с.

95. Энтон P.M. Проблемы прогнозирования некоторых макроэкономических показателей / P.M. Энтон, В.П. Носко, А.Д. Юдин, П.А. Кадочников,

96. C.С. Пономаренко. М.: Институт экономики переходного периода, 2002. 311 с. ISBN 5-93255-093-7.

97. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей / Б. Эфрон. М.: Финансы и статистика, 1988.

98. Ю1.Яглом Я.М. Корреляционная теория стационарных случайных функций / Я.М. Яглом. JI.: Гидрометеоиздат, 1981. 280 с.

99. Alexandrov Th. Automatic extraction and forecast of time series cyclic components within the framework of SSA / Th. Alexandrov, N. Golyandina // Proceedings of the Fifth Workshop on Simulation. 2005. P. 45-50.

100. Allen M.R. Distinguishing modulated oscillations from coloured noise in multivariate data sets / M.R. Allen, A.W. Robertson, Climate Dynamics. 1996. № 12. P. 775-784

101. Allen M.R. Optimal filtering in singular spectrum analysis. / M.R. Allen, L.A. Smith, Physics Letters. 1997. № 234. P. 419-428.

102. Allen M.R. Monte Carlo SSA: detecting irregular oscillations in the presence of coloured noise. / M.R. Allen, L.A. Smith, Journal of Climate. № 9. P. 33733404.

103. Broomhead D.S. Extracting qualitative dynamics from experimental data /

104. D.S Broomhead, G.P King. // Physica D. 1986. Vol. 20. P. 217-236.

105. Broomhead D.S. On the qualitative analysis of experimental dynamical systems / D.S Broomhead, G.P King. // Nonlinear Phenomena and Chaos / Ed. by S. Sarkar. Bristol: Adam Hilger. 1986. P. 113-144.

106. Chan K.H. A Note on Trend Removal Methods: The Case of polynomial versus vitiate differencing / K.H. Chan, J.C. Hayya, J.K. Ord // Econometrica. 1977. Vol. 45, P. 737-744.

107. Dettinger M.D. Software expedites singular-spectrum analysis of noisy time series / M.D. Dettinger, M. Ghil, C.M. Strong, W. Weibel, P. Yiou // Eos, Trans. American Geophysical Union. 1995. Vol. 76(2). P. 12, 14, 21.

108. Dickey D.A. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time-Series with a Unit Root / D.A. Dickey, W.A. Fuller // Journal of the American Statistical Assiciation. 1979. Vol. 74. P. 427-431

109. Dickey D.A. Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root / D.A. Dickey, W.A. Fuller // Econometrica. 1981. Vol. 49. P. 10571072.

110. Ghil M. Advanced Spectral Methods for Climatic Time Series. / M Ghil et al, Review of Geophysics, 2002, P. 1-41

111. Hannachi A. Probabilistic-based approach to optimal filtering. / A. Hannachi //Physical review. Vol. 61. 2000. № 4. P. 3610-3619.

112. Kaczmarek J. Long period oscillations in the longshore current on a sandy, barred coast investigated with Singular Spectrum Analysis. / J. Kaczmarek, G. Rozynski, Z. Pruszak. // OCEANOLOGIA, 47 (1), 2005. P. 5-25.

113. Kaveh M. The Statistical erformance of the MUSIC and the Minimum-Norm Algorithms for Resolvig Plane Waves in Noise. / M. Kaveh, A.J. Barabell // IEEE Trans Acoust Speech Signal Process. 1986. P. 331-341.

114. Ljung G.M. On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models / G.M. Ljung, G.E.P. Box // Biometrika. 1978. 65. P. 297-303.

115. Maddala G.S. Unit Roots, Cointegration, and Structural Change. / G.S. Mad-dala // Cambridge University Press, Cambridge. 1998.

116. Makridakis S.G. Forecasting methods for management / S.G. Makridakis, S.C. Wheelwright // New York: Wiley. 1989.

117. Makridakis S.G. Forecasting: Methods and applications / S.G. Makridakis, S.C. Wheelwright, V.E. McGee // New York: Wiley. 1983.

118. Montgomery. D.C. Forecasting and time series analysis / D.C. Montgomery, L.A. Johnson, J.S. Gardiner//New York: McGraw-Hill. 1990.

119. Nelson C.R. Spurious Periodicity in Inappropriately Detrended Time Series / C.R. Nelson, H. Kang // Journal of Monetary Economics, 10,1981. P. 139-162.

120. Nelson C.R. Trends and Random Walks in Macroeconomic Time Series / C.R. Nelson, C.I. Plosser//Journal of Monetary Economics, 10, 1998. P. 139-162.

121. Nyquist H. Certain topics in telegraph transmission theory / H. Nyquist // Trans. AIEE, vol. 47. Apr. 1928. P. 617-644.

122. Pisarenko V.F. The Retrieval of Harmonic from a Covariance Function. / V.F. Pisarenko // Geophys. J.R. Astron. Soc., vol. 33. 1973. P. 347-366.

123. Pollock D.S.G. A Handbook of Time Series Analysis, Signal Processing and Dynamics. / D.S.G. Pollock // London : Academic Press. 1999. 808 P. ISBN 0-12560990-6

124. Press W.H. Numerical Recipes InC. / W.H Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery // Cambridge University Press, 1997.970 P.

125. Rissanen J. A Universal Prior for the Integers and Estimation by Minimum Description Length / J. Rissanen // Ann. Stat., vol. 11, 1983. P. 417-431.

126. Smith S.V. Covariance, subspace, and intrinistic Cramer-Rao Bounds. / S.V. Smith // IEEE transactions on signal processing, vol. 53, 2005. № 5. P. 16101630.

127. Varady F. Searching for signal in noise by random-lag singular analysis / F. Varady, J.M. Pap, R.K. Ulrich, L. Bertello, С,J. Henney // The Astrophysical Journal, 526, 1999. P. 1052-1061.

128. Vautard R. Singular-spectrum analysis: A toolkit for short, noisy chaotic signals / R. Vautard, P. Yiou, M. Chil // Physica D. 1992. № 58. P. 95-126.

129. Whitcher B. Wavelet analysis of covariance with application to atmospheric time series // B. Whitcher, P. Guttorp, D.B.J. Percival // Geophys. Res., 2000, v.105, P. 941-14.962.

130. Yiuo P. Data-adaptive wavelets and multi-scale singular-spectrum analysis. / P. Yiou, D. Sornette, M. Ghil // Physica D. 142 (2000). P. 254-290.