автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы решения задач устойчивости газодинамических процессов в газогенераторах на твердом топливе

Основные сокращения и обозначения

• ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВНУТРИБАЛЛИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КАМЕРЕ СГОРАНИЯ ТВЕРДОТОПЛИВНОГО

ГАЗОГЕНЕРАТОРА

1.1 Анализ физико-химических процессов в камере сгорания

1.2 Уравнения газодинамических процессов в камере сгорания газогенератора 23 1.2.1 Уравнения внутренней баллистики в корпусе воспламенителя ф 1.2.2 Уравнения внутренней баллистики в переднем и в предсопловом объемах камеры сгорания ГГТТ 26 1.2.3 Уравнения газовой динамики в канальных областях камеры сгорания ГГТТ

1.3 Уравнения тепловых процессов в камере газогенератора

1.3.1 Уравнения для расчета тепловых потоков в камере сгорания

1.3.2 Уравнения прогрева корпуса ГГТТ и поверхностного слоя топлива 33 1.4. Методы решения уравнений внутренней баллистики ГГТТ

• Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О РАЗВИТИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

2.1 Метод линеаризации. Основные положения

2.2 Линеаризация уравнений внутренней баллистики

2.3 Исследование свойств коэффициентов чувствительности в уравнениях для расчета возмущений

Глава 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ

РАЗВИТИЯ ВНУТРИКАМЕРНЫХ ПРОЦЕССОВ

3.1 Анализ устойчивости внутрикамерных процессов в твердотопливном газогенераторе

3.2 Методы оценки устойчивости технических систем

3.3 Разработка алгоритма расчета собственных значений линеаризованных систем уравнений

3.3.1 Преобразование уравнений для отклонений параметров

3.3.2 Алгоритм решения задачи о собственных значениях матрицы

3.3.3 Тестирование алгоритма расчета собственных значений

3.3.4 Спектральный анализ начального участка работы ГГТТ

Глава 4. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ИЗМЕНЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ

4.1 Математические модели расчета дисперсий

4.2 Анализ изменения дисперсий на начальном участке работы ГГТТ 128 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 140 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основные сокращения и обозначения - время процесса; л: - пространственная координата; р - плотность газа (продуктов сгорания); р - давление газа;

Е - энергия газа;

Т - температура газа;

Н - теплосодержание газа; и - скорость движения газа; ивосп,ит - скорости горения навески воспламенительного состава и топлива соответственно; а - массовые концентрации компонентов газовой смеси; Я - газовая постоянная газа;

Ср,Су - удельные теплоемкости газа при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно;

Л, У,Я - динамическая вязкость, кинематическая вязкость и коэффициент теплопроводности газа соответственно; д,СС - тепловой поток и коэффициент теплоотдачи соответственно; Рг, Ыи, Яе, Гг, Сг- критерии подобия Прандтля, Нуссельта, Рейнольдса, Фруда, Грасгофа соответственно; О - секундный массовый расход газа;

IV, 1¥всп - объем камеры двигателя и объем корпуса воспламенителя; Р - площадь поперечного сечения канала; 5 - площадь поверхности горения топлива; П - периметр горящей поверхности; £> эфф - эффективный диаметр канала.

Подстрочные индексы: всп - параметры, относящиеся к воспламенителю; т - параметры, относящиеся к топливу; н - начальные значения параметров; м>, я - параметры на поверхности топлива; / - номер рассчитываемой области.

Сокращения:

ТТ - твердое топливо;

ГГТТ - газогенератор на твердом топливе.

Актуальность темы.

Проектирование различных технических объектов, как правило, выполняется с использованием детерминированных математических моделей. Математические модели поверочного типа воспроизводят штатный режим работы технического объекта, и при их построении предполагается, что все исходные данные - это параметры, имеющие вполне конкретные точные значения. В действительности, исходные данные имеют вполне определенную погрешность. Например, в задачах проектирования тепловых машин или тепловых двигателей исходные данные по геометрии конструкции обязательно должны содержать допуски. Наличие допусков, как следствие, приводит к появлению разбросов других параметров и рабочих характеристик, определяющих работу тепловой машины (разбросы секундного массового расхода, давления и пр.). Кроме того, в ряде случаев для проектируемого теплового двигателя можно отметить группы параметров, точные знания которых принципиально не могут быть заданы точно (например, какой-то параметр невозможно измерить). Существующая неопределенность заставляет выполнять решение задачи и ее обработку при варьировании неизвестных параметров во всем диапазоне их изменения. Разбросы рабочих характеристик теплового двигателя могут оказывать влияние на возникновение и развитие других явлений, представляющих интерес для практических приложений. В частности, к таким явлениям в тепловом двигателе следует отнести возможность возникновения и дальнейшего развития низко- или высокочастотных колебаний газодинамических параметров в камере сгорания. Такие колебания могут представлять опасность при эксплуатации двигателя. В отдельных случаях колебания могут создаваться искусственно для реализации того или иного технологического процесса. Записанное выше справедливо для любого класса тепловых машин или тепловых двигателей. Для каждого типа двигателей имеется необходимость в создании математических инструментов прогноза возможности возникновения и развития колебаний в камере сгорания, определения параметров, определяющих характеристики этих колебаний. Об этом свидетельствуют, например, работы [35] (рассматриваются вопросы, связанные с ракетным двигателестроением), [39] (рассматриваются вопросы, связанные с проектированием двигателей внутреннего сгорания), [71] (рассматриваются вопросы, связанные с проектированием теплообменных систем). В монографии [69] рассматриваются вопросы устойчивости работы жидкостных ракетных двигателей. Рассматриваемые в диссертации вопросы актуальны для тепловых двигателей различных типов. Однако в дальнейшем ограничимся задачами построения математических моделей и методов решения задач об устойчивом развитии процессов в твердотопливных газогенераторных установках.

В задачах проектирования твердотопливных двигателей вопросы, связанные с определением разбросов газодинамических параметров рабочего процесса (внутрибаллистичеких параметров) и их колебаний, исследовались в работах Соркина P.E. [61,62], Райзберга Б.А., Ерохина Б.Т., Самсонова К.П. [50], Ерохина Б.Т., Липанова A.M. [30,31], Шишкова A.A., Панина С.Д., Румянцева Б.В. [78], Абугова Д.И., Бобылева В.М. [1], Алемасова В.Е., Дрегалина А.Ф., Тишина А.П. [2], Приснякова В.Ф. [48]. Существенный вклад в исследовании устойчивости и колебаний в камере твердотопливного двигателя внесли профессоры Романов Б.Я., Пивкин Н.М, Боднарь Т.А. и др. Среди зарубежных ученых следует отметить существенный вклад в исследование вопросов устойчивости работы двигателей на твердом топливе Куо К., Кумара М., Кулкарни А., М. Кьюлика Ф. [41,81] и др. Отдельные вопросы, связанные с анализом устойчивости работы тепловых двигателей на твердом топливе, являлись предметом Российских и Международных научно-технических конференций и семинаров [44,65-68,82].

Вопросы возникновения и развития колебаний внутрибаллистических параметров в камере сгорания теплового двигателя на твердом топливе или в камере сгорания твердотопливного газогенератора (в дальнейшем -просто твердотопливного газогенератора или ГГТТ) в равной мере интересны на квазистационарных и на нестационарных режимах их работы. В соответствии с существующими физическими представлениями (например, [35,61] и др.) возникновение и развитие колебаний в камере твердотопливного газогенератора обусловлено, главным образом, двумя факторами. Первый фактор - это нестационарное горение твердого топлива. Горение топлива является источником возникновения колебаний термогазодинамических параметров в камере газогенератора в связи с периодическим выгоранием в составе топлива металлических включений и гранул окислителя (эти компоненты имеют размер от десятков до сотен микрон). Второй фактор - это тот факт, что камера газогенератора является резонатором, у которого существуют собственные частоты колебаний. Возникнув на поверхности топлива, низко- или высокочастотные колебания термогазодинамических параметров по мере перемещения продуктов сгорания к сопловому блоку либо диссипируют, либо усиливаются. Рабочий процесс в камере газогенератора может стать неустойчивым, если приход энергии колебаний от поверхности топлива не успевает диссипировать или расходоваться через сопловой блок газогенератора. При этом первоначальная частота колебаний термогазодинамических параметров и их амплитуда могут изменяться по мере продвижения продуктов сгорания от переднего днища к его сопловому блоку.

Моделирование последовательности описанного выше физического процесса предполагает запись математических моделей детерминированного процесса работы твердотопливного газогенератора (уравнения газовой динамики, прогрева, воспламенения и горения твердого топлива и т.п.), математических моделей для расчета отклонений рассчитываемых параметров от их детерминированных значений и математических моделей анализа устойчивости внутрикамерных процессов.

Современные математические модели детерминированного развития процессов в ракетных системах на твердом топливе излагаются в работах P.E. Соркина, A.M. Липанова, Б.Т. Ерохина, И.Г. Русяка и др. [16,30,31,37,54,55,62,76] и могут быть применены при расчете внутрикамерных процессов с различной детализацией и размерностью. Применение этих моделей позволяет выполнить расчет изменения внутрибаллистических параметров двигателя или газогенератора в течение всего периода работы - при выходе на режим, на квазистационарном режиме и при спаде давления в камере двигателя. При решении задач, соответствующих этой группе математических моделей, формируются таблицы, содержащие зависимости основных внутрибаллистических параметров (давление, скорости, температуры и т.д.) от времени. Обработка таблиц вычислительными методами позволяет оценить устойчивость развития внутрикамерных процессов, выделить в зависимостях внутрибаллистических параметров от времени наличие гармонических составляющих, если они присутствуют.

Математические модели для расчета отклонений рассчитываемых параметров от их детерминированных значений могут быть построены на базе математических моделей детерминированного типа. Одним из инструментов, позволяющим выполнить это построение, - это применение линеаризации для уравнений внутренней баллистики. Линеаризация - это известный способ упрощения математических моделей, при применении которого предполагается, что отклонения исследуемых физических переменных от их детерминированного значения относительно невелики. Применение линеаризации при решении задач математической физики и газовой динамики излагаются, например, в [43,45,60]. Исследование свойств линейных и квазилинейных уравнений и систем уравнений выполнено в [52].

Математические модели исследования устойчивости развивающегося физического процесса могут быть основаны на исследовании (аналитическом или вычислительном) двух систем уравнений - для определения детерминированного изменения параметров и для изменения их отклонений. При этом могут использоваться методы, излагающиеся в работах [8,18,20,25,26,36,45,48,63,64]. Наиболее распространенным методом исследования рабочих процессов и их устойчивости в ракетных двигателях является метод, основанный на решении волнового уравнения [8,18,25,63,72]. Из работ последних лет, связанных с исследованием устойчивости в этом классе двигателей с использованием волнового уравнения, следует отметить статью Шардакова И.Н. и Голотиной Л.А. [77]. В этой работе решается задача о трехмерных акустических колебаниях в камере твердотопливного двигателя. Задача решается для случая потенциального течения продуктов сгорания. Краевая спектральная задача для потенциала акустической скорости решается с использованием метода геометрического погружения. Разработанный в [77] итерационный алгоритм обладает сходимостью и позволяет последовательно вычислить собственные формы и частоты акустических колебаний, начиная с низшей частоты. В работе Коковихиной О.В. [38] решается задача на собственные значения потенциала акустической энергии для области, обладающей осевой симметрией. После формулирования дополнительных допущений решение задачи осуществляется аналитически с использованием метода А.Н. Некрасова.

В работах [57,70] рассматривается другой способ оценки устойчивости технических систем, основанный на исследовании собственных значений матрицы для системы алгебраических уравнений, а система алгебраических уравнений может быть получена из системы дифференциальных уравнений в частных производных, записанных в

10 конечно-разностном виде. Такой подход используется при решении задач квантовой механики и задач устойчивости атомных реакторов. Обзор работ показывает, что последний метод до настоящего времени не использовался для анализа устойчивости рабочих процессов в тепловых двигателях и, в частности, в двигателях и газогенераторах на твердом топливе. Применение этого подхода может оказаться эффективным.

Выполненный обзор работ позволяет сделать вывод о том, что к настоящему времени отсутствуют математические модели, описывающие развитие возмущений в камере твердотопливного газогенератора (твердотопливном двигателе). В данной работе выводятся уравнения для возмущений газодинамических параметров для нестационарных процессов на начальном участке работы газогенератора. Для выведенных уравнений разрабатываются алгоритмы, позволяющие вычислить собственные значения и частоты собственных колебаний, соответствующие процессам в камере газогенератора на нестационарных режимах его работы. В работе предлагается методика расчета дисперсий газодинамических параметров в камере газогенератора как функций времени и пространственной координаты.

Выполненный обзор позволяет сформулировать следующие основные положения по диссертационной работе.

Объект исследования - газодинамические процессы в камере сгорания твердотопливного газогенератора на нестационарном этапе его работы.

Предмет исследования: математическая модель расчета отклонений основных газодинамических параметров от их математических ожиданий, методы расчета устойчивости работы твердотопливного газогенератора и методы расчета дисперсий.

Целью диссертационной работы является создание математических моделей, алгоритмов и вычислительных методов расчета динамики развития возмущений газодинамических параметров твердотопливного газогенератора.

Для решения поставленной цели решаются следующие задачи:

- вывод уравнений для возмущений газодинамических параметров в камере твердотопливного газогенератора;

- разработка методики расчета собственных значений и частот газодинамических параметров в камере газогенератора при его выходе на режим;

- разработка методики расчета дисперсий газодинамических параметров на нестационарных этапах работы твердотопливного газогенератора.

На защиту выносятся:

- математические модели для отклонений газодинамических параметров твердотопливного газогенератора в нестационарные периоды его работы;

- методика расчета собственных значений и собственных частот газодинамических параметров в камере газогенератора;

- методика расчета дисперсий газодинамических параметров в камере газогенератора при его выходе на режим;

- результаты исследования устойчивости процессов и изменения динамики собственных частот газодинамических параметров при выходе газогенератора на режим;

- результаты анализа динамики изменения дисперсий газодинамических параметров в камере газогенератора при выходе на режим.

Научная новизна работы: разработаны математические модели развития возмущений газодинамических параметров в камере твердотопливного газогенератора, основанные на применении процедуры линеаризации уравнений газовой динамики;

- разработан оригинальный метод расчета собственных значений и собственных колебаний газодинамических параметров, сопровождающих работу твердотопливного газогенератора, основанный на применении ортогональных преобразований;

- разработан метод расчета дисперсий основных внутрибаллистических параметров твердотопливного газогенератора на нестационарных режимах его работы, основанный на применении метода статистических испытаний;

- выполненный анализ показал, что в твердотопливном газогенераторе собственные значения, частоты собственных колебаний, дисперсии газодинамических параметров являются функциями времени и пространственной координаты, и это обусловлено последовательностью физических процессов, протекающих в камере сгорания газогенератора.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается применением фундаментальных законов механики жидкости и газа. Для решения сформулированных задач используются надежные, апробированные вычислительные методы и элементы технологии вычислительного эксперимента. Используются сравнения результатов расчетов с отдельными экспериментальными данными.

Научная и практическая значимость.

Полученные результаты являются новыми. Разработанные математические модели, алгоритмы и методики позволяют исследовать динамику изменения дисперсий газодинамических параметров в камере твердотопливного газогенератора на нестационарных и квазистационарных режимах его работы. Методики позволяют рассчитать спектры частот собственных колебаний газодинамических параметров в камере сгорания газогенератора.

Применение перечисленных методик позволит повысить качество проектирования твердотопливных газогенераторов и тепловых двигателей на твердом топливе. Полученные в работе результаты могут быть применены при проектировании тепловых двигателей других типов.

Реализация работы состоит в выполнении научно-исследовательской работы по гранту РФФИ №03-01-00123 (2002-2004 гг.). Кроме того, материалы, связанные с расчетом отклонений, дисперсий и собственных значений газодинамических параметров в тепловых двигателях включены ® в курсы лекций по дисциплинам «Математическое моделирование» и

Проектирование РДТТ» (специальность 160302.65 «Авиа- и ракетостроение»), читаемых на кафедре «Тепловые двигатели и установки» Ижевского государственного технического университета.

Апробация работы.

Результаты исследований докладывались на следующих научных ^ конференциях:

- Российская научно-практическая конференция «Наука и технологии: Реконструкция и конверсия предприятий», г. Бийск, 21 октября 1999 г.;

- Международные научно-практические конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве», г. Тирасполь, 27-30 июня 2001 г., 17-20 сентября 2003 г., 21-24 июня 2005 г.;

- Международные научно-технические конференции «Процессы горения и внутренняя баллистика», г. Санкт-Петербург, 26-30 июня 2000 г.; 22-25 июля 2004г.;

- Международные научно-технические конференции «Внутрикамерные процессы и горение в установках на твердом топливе и в ствольных системах», 12-16 ноября 2002 г, г. Ижевск; 11-15 июля 2005 г., г. Москва;

- Международная научно-техническая конференция «К 100-летию идеи К.Э. Циолковского», Москва-Калуга, 15-19 сентября 2003 г.

Полностью работа докладывалась на научных семинарах в ИжГТУ.

Публикации. Результаты диссертационной работы отражены в 8 научных статьях (Список литературы, ссылки [83-90]). Отдельные этапы работы выполнены по гранту РФФИ №03-01-00123 (2002-2004 г.) и содержатся в отчете [91].

Личное участие автора состоит в постановке задач исследования, в разработке математических моделей для возмущений параметров работы твердотопливного газогенератора, в выборе и модификации используемых вычислительных алгоритмов. При личном участии автора выполнялся анализ и интерпретация результатов исследований.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору, доктору технических наук И.Г. Русяку и заведующему кафедрой «Тепловые двигатели и установки» ИжГТУ профессору, доктору физико-математических наук A.B. Алиеву за всестороннюю помощь и поддержку при подготовке данной работы.

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, изложенных на 150 страницах, содержит 30 рисунков, 6 таблиц и библиографический список, включающий 91 наименование.

Заключение

1. С использованием метода линеаризации построены математические модели развития возмущений в камере сгорания ГГТТ. Математические модели построены для уравнений внутренней баллистики. Предложены разные формы уравнений для «возмущенных» параметров, что позволяет применять разработанные модели для решения различных практических задач. В частности, один вариант разработанных математических моделей используется для анализа устойчивости работы ГГТТ, другой вариант - для решения задач о динамике изменения дисперсий (среднеквадратических отклонений) внутрибаллистических параметров.

2. Показано, что для крупного ГГТТ коэффициенты чувствительности, входящие в уравнения для отклонений внутрибаллистических параметров, -существенно нелинейные функции. Нелинейность обусловлена сложным характером протекания процессов в камере ГГТТ в период его выхода на режим квазистационарной работы и качественно его повторяет. Максимальные значения коэффициентов чувствительности могут составлять сотни метров в секунду. К моменту завершения нестационарных процессов значения коэффициентов стабилизируются.

3. Разработан алгоритм вычисления собственных значений, сопровождающих работу ГГТТ в период выхода на режим. Особенностью разработанного алгоритма является то, что он позволяет установить зависимость собственных значений как от времени, так и от пространственной координаты. Алгоритм состоит из двух этапов. На первом этапе применяется ортогональный метод Якоби, на втором этапе для каждого узла газодинамической задачи решаются характеристические уравнения (матрица размером 4x4). Расчетами установлено, что собственные значения могут иметь ненулевую мнимую часть, что соответствует наличию в объеме камеры сгорания собственных частот колебаний. Конкретные значения амплитуды и частоты колебаний являются функциями времени и пространственной координаты. Показано, что для рассматриваемого крупного ГГТТ собственные частоты колебаний в переднем и предсопловом объемах составляют 10-20 Гц. В центральном канале ГГТТ характерны собственные частоты 30-80 Гц. ^ 4. Разработана методика расчета среднеквадратических отклонений и дисперсий внутрибаллистических параметров в камере сгорания ГГТТ на нестационарных режимах работы. Методика позволяют прогнозировать на ЭВМ развитие погрешности внутрибаллистических параметров еще до проведения натурных испытаний. Рассмотрены два алгоритма расчета дисперсий. Наиболее эффективным является алгоритм, основанный на применении оригинального варианта метода статистических испытаний. В каждом испытании все исходные данные, определяющие работу двигателя, пересчитываются с учетом их стохастического характера. Максимальное число ^ статистических испытаний в этом алгоритме может быть ограничено 50 расчетами.

5. Расчетами показано, что величина дисперсий в ГГТТ функция времени и пространственной координаты. Для конкретной конструкции ГГТТ установлено, что на начальном этапе дисперсии плотности продуктов сгорания больше дисперсий других параметров внутренней баллистики (дисперсии могут составлять 15% и более). По мере завершения нестационарных процессов наибольшие значения дисперсий соответствуют давлению продуктов сгорания. Максимальных значений дисперсии всех внутрибаллистических параметров # достигают в период распространения пламени по топливному заряду. В этот период времени значения дисперсий могут более чем в 2 раза превосходить квазистационарные значения дисперсий.

1. Абугов Д.И., Бобылев В.М. Теория и расчет ракетных двигателей твердого топлива. М.: Машиностроение, 1987. - 272 с.

2. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П. Теория ракетных двигателей. М.: Машиностроение, 1980. - 464 с.

3. Алиев A.B. Исследования рабочих процессов в тепловых двигателях и установках // Вестник ИжГТУ: Периодический научно-теоретический журнал Ижевского государственного технического университета. -Ижевск: изд. ИжГТУ, 2001. Вып.1.-С. 18-22.

4. Алиев A.B. Пакет прикладных программ «Твердотопливный двигатель» // Каталог инновационных разработок Ижевского государственного технического университета. Ижевск: изд. ИжГТУ, 2001. - С. 24.

5. Алиев A.B., Паклина Н.В. Пакет программ по анализу начального участка работы РДТТ // Второе собрание УрРНЦ РАРАН, Собрание УрО Научного Совета РАН по горению (Миасс, февраль 1997 г.). Ижевск: изд. ИПМ УрО РАН, 1997. - С. 113-124.

6. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. М.: Мир, 1990.

7. Апполонов И.В., Северцев H.A. Надежность восстанавливаемых систем однократного применения. М.: Машиностроение, 1977. - 211с.

8. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974.-432 с.

9. Баранов H.A., Белоцерковский A.C., Каневский М.И., Турчак Л.И. Численные методы динамики летательного аппарата в условиях аэродинамической интерференции. М.: Наука, 2001. - 207 с.

10. Бартеньев О.В. ФОРТРАН для профессионалов. Математическая библиотека IMSL: Ч. 1-3. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000-2001.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-600 с.12