автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы решения задач оптимизации сезонных грузоперевозок

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Построение оптимальной схемы грузоперевозок

§1. Поиск оптимальной схемы снабжения

1.1. Постановка проблемы

1.2. Выбор способов доставки продукта

1.2.1. Математическая постановка многокритериальной задачи

1.2.2. Задача нахождения допустимых весов

1.3. Определение объемов перевозок

1.4. Определение набора ТС

1.5. Попутные рейсы

1.6. Программная реализация

§2. Определение количества ТС на каждом участке транспортной сети .!.

2.1. Математическая постановка задачи

2.2. Алгоритм решения.

2.3. Оценка эффективности метода

ГЛАВА 2. Оптимизация грузоперевозок по ациклической сети

§3. Оптимизация расписания движения ТС в однородном случае.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Алгоритм решения.

3.3. Оценка эффективности алгоритма Ач

3.4. Программа, реализующая алгоритм Ач

§4. Оптимизация движения разнотипных ТС.

4.1. Исходные замечания и постановка задачи

4.2. Построение допустимого решения

4.3. О принципах минимизации количества используемых ТС.

4.4. Оценка эффективности метода ТС.

4.5. Апостериорный анализ

Успехи прикладной математики в количественном анализе сложных реальных систем и явлений существенно определяются двумя обстоятельствами: возможностью построения математической модели исследуемого процесса, адекватно отражающей реальность, и существованием математических средств исследования построенной модели [31].

Один из классов прикладных задач дискретной оптимизации, получивших широкое распространение, состоит из задач оптимизации грузоперевозок [1, 3, 6, 9, 12, 13, 19, 29, 35, 37, 47, 51, 53, 63, 74, 76, 83]. Среди таких проблем основными являются задачи оптимизации транспортных сетей [25, 30, 31, 33, 48, 55, 60, 72, 74, 86, 87, 88, 89, 90], оптимального выбора транспортных средств (ТС), осуществляющих грузоперевозки [3, 6], поиска оптимального расписания движения ТС [35, 36, 38, 39, 40, 42, 48, 50, 51, 56, 57, 58, 59, 62, 64, 65, 67, 69, 73, 75, 79] и др. Транспортировка различных грузов является одной из основных задач человеческой деятельности. Установлено, что, например в США около 10% национального оборота приходится на грузоперевозки [83], в Великобритании - 15% [47]. Более того, транспортировка может существенно (на 10-15%) увеличить стоимость товара.

Организация системы грузоперевозок осуществляется на основе следующих трех уровней планирования [53]:

• стратегическое (долгосрочное) планирование;

• тактическое (среднесрочное) планирование;

• оперативное (краткосрочное) планирование.

Уровень стратегического планирования подразумевает капитальные 4 вложения в создание транспортных инфраструктур, определение путей развития системы, а также месторасположения тех или иных ее элементов.

Среднесрочное планирование включает в себя рациональное распределение ресурсов для функционирования всей системы. На этом уровне происходит агрегация данных и решения принимаются для широкого спектра параметров, не спускаясь до детального плана на каждый день.

Третий уровень нужен для локального управления при учете временного фактора, когда время является одним из главных параметров. На этом уровне требуется оптимизировать функционирование уже отдельных ТС, в частности, определять маршрут, времена отправления, смену экипажей и т.п.

В диссертационной работе особое внимание будет уделено третьему уровню планирования. А именно, проблемам доставки продуктов потребителям.

Проблемы грузоперевозок особенно интенсивно изучаются в течение последних 40 лет [42, 54, 60, 67]. Можно осуществить различные постановки проблем в зависимости от нескольких факторов, ограничений и целей:

• распределение продукта происходит из одного или нескольких пунктов?

• сколько привлечено ТС ? Число ТС фиксировано, или является переменной? ТС являются одинаковыми или разнотипными? Каковы грузоподъемность, скорость, затраты на эксплуатацию каждого ТС?

• потребности в товарах известны заранее или могут меняться с течение времени?

• когда допустимо посещение потребителей? В любое время или лишь в заданные интервалы?

К универсальному методу решения задач оптимизации грузоперевозок можно отнести метод ветвей и границ [33, 66]. Но из-за большой трудоемкости такой подход часто бывает неприемлем.

Другое направление - построение эвристических алгоритмов. Но к сожалению почти все задачи грузоперевозок требуют разработки своих эвристических методов [35].

Некоторые из проблем могут быть сформулированы как задачи линейного программирования (ЛП) транспортного типа [9]. Для решения таких проблем разработано множество методов, основанных на алгоритмах решения транспортной задачи (например, венгерский метод, метод потенциалов и др.) [9].

Однако, многие проблемы не вкладываются в рамки постановок ЛП, а представляют собой труднорешаемые задачи дискретной оптимизации. Как большинство дискретных комбинаторных задач, они допускают решение с помощью процесса перебора [10]. Однако число шагов переборного метода растет экспоненциально в зависимости от длины записи исходной информации.

Способом анализа эффективности методов решения таких задач является теория сложности алгоритмов, где сложность измеряется количеством так называемых элементарных операций. С точностью до константы это есть трудоемкость алгоритма. Количество же ячеек памяти ЭВМ, требуемых для хранения исходной и промежуточной информации, называется памятью алгоритма. При этом, эффективными называют алгоритмы, трудоемкость которых ограничена сверху некоторым полиномом от длины записи исходной информации [10].

Теоретическую оценку сложности различных классов задач дает теория КР-полных (трудных) проблем, основанная на работах Кука [18, 52] и Карпа [15, 70]. В этой теории рассматривается класс задач распознавания свойств КР, разрешимых за полиномиальное время недетерминированными алгоритмами, и класс Р задач распознавания свойств, разрешимых за полиномиальное время детерминированными алгоритмами.

В классе № выделены так называемые ИР-полные задачи, к которым полиномиально сводится любая задача из ЫР. Под полиномиальной сводимостью задачи распознавания свойств А к задаче В понимается существование полиномиального алгоритма построения по исходным данным всякой индивидуальной задачи А исходных данных задачи В. Причем, индивидуальная задача А имеет ответ "да"тогда и только тогда, когда соответствующая ей индивидуальная задача В имеет ответ "да". Таким образом, полиномиальный алгоритм решения ЫР-полной задачи существует тогда и только тогда, когда Р=МР.

Оптимизационную задачу называют ИР-труднощ если она не проще некоторой МР-полной задачи. Основной вывод из этой сводимости заключается в том, что существование полиномиального алгоритма для хотя бы одной МР-трудной (полной) задачи влечет существование такого алгоритма для всех задач из ИР.

Среди ИР-трудных (полных) задач существуют проблемы позволяющие решить их за время, ограниченное полиномом от двух характеристик: длины записи входной информации и максимального значения числового параметра. Такие алгоритмы называются псевдополиноми-алъными. Представителями последнего класса являются, например, алгоритм динамического программирования для задачи о ранце [4, 5], алгоритм Форда- Фалкерсона [1, 33] для задачи о максимальном потоке, алгоритм решения задачи разбиения [10] и многие другие. На практике такие алгоритмы очень часто являются вполне приемлемыми для решения реальных задач.

Если же для трудной задачи не удается построить ни полиномиальный, ни псевдополиномиальный алгоритм, то часто разумно разработать приближенный эффективный алгоритм. И здесь важно найти оценку сверху на погрешность получаемого решения. Иногда эту оценку удается установить заранее (априори) для целого класса задач, и такие оценки называются априорными, а соответствующие алгоритмы субоптималъными. В общем же случае такие оценки получить не удается и для установления погрешности пользуются численными экспериментами, устанавливая погрешность уже после решения задачи (апостериори). Последний подход, после представительного численного анализа, дает апостериорную оценку точности исследуемого приближенного алгоритма.

Самый же простой и часто используемый подход для решения сложных практических задач - это применение некоторых эвристических приближенных алгоритмов и сравнение получаемых результатов с решениями, строящимися другими методами или на основе опыта и здравого смысла. Такой подход часто оказывается наиболее приемлемым для практического применения, т.к. во-первых, исходная информация далеко не всегда соответствует действительности и использование высокоточных методов неразумно, а во-вторых, при реализации решений не всегда удается получить желаемый результат из-за множества случайных факторов, которые меняют первоначальную стратегию.

Целью предлагаемой на защиту работы является математическое моделирование, разработка малотрудоемких точных и приближенных алгоритмов и их программная реализация для оптимизации процесса грузоперевозок. Так как проблема изначально ставилась для речных грузоперевозок по р. Лена (так называемый, северный завоз), то в постановках задач использовалась специфика сети перевозок (например, транспортная сеть рассматривалась в виде дерева и лишь корень этого дерева, соответствующий на практике порту Осетрово, являлся источником продуктов, подлежащим перевозке).

Река Лена с притоками является главной транспортной артерией Северо - Восточного региона нашей страны. Водным транспортом народно - хозяйственные грузы, продовольственные и промышленные товары для населения доставляются почти во все районы Якутии, а также в ряд районов Иркутской и Магаданской областей, Красноярского и Хабаровского краев.

Территория зоны тяготения превышает 3 млн. квадратных километров. Внешние транспортные связи зоны с другими районами страны осуществляются, главным образом, через порт Осетрово с перевалкой грузов с железной дороги на речной транспорт.

В связи с обширностью бассейна, судоходные пути характеризуются разнообразием гидрометеорологических условий. Вскрытие рек происходит длительное время, что определяет индивидуальные окна работы различных портов.

При этом, графики движения ТС должны быть составлены таким образом, чтобы перевозка грузов осуществлялась при наименьших затратах труда и средств и наиболее рационального использования ТС.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Первая глава посвящена построению оптимальной схемы перевозок. В первом параграфе этой главы осуществляется оптимизация схемы снабжения, которая состоит из выбора способов доставки продуктов с использованием системы поддержки принятия решений при наличии нескольких критериев; определения объемов перевозок; определения набора ТС; и оптимального использования попутных не полностью загруженных ТС. В конце параграфа приведено описание программы, реализующей метод многокритериальной оценки вариантов.

Во втором параграфе исследовалась задача определения пропускных способностей участков транспортной сети, которые зависят от количества используемых ТС. Предложен псевдополиномиальный алгоритм, использующий схему динамического программирования.

Вторая глава также состоит из двух параграфов. §3 посвящен оптимизации движения однотипных ТС. Здесь критерием является минимальное количество ТС, которыми можно выполнить грузоперевозки за ограниченное время, с учетом окон работы элементов транспортной сети и удовлетворить потребности всех пунктов-потребителей в некотором однородном продукте. Был предложен эвристический метод в основу которого была положена оптимизация расписания движения ТС с учетом их многократного использования, т.е. с учетом оборота ТС. Представлено описание программной реализации метода.

В заключительном четвертом параграфе диссертации исследуется обобщение, рассмотренной в предыдущем параграфе, проблемы. А именно, использование разнотипных ТС. Предложен метод поэтапного решения задачи, на каждом шаге которого оценивается эффективность некоторого набора ТС. В зависимости от того найдено или нет допустимое решение, этот набор изменяет свой состав.

В заключении приведены основные, вынесенные на защиту, результаты диссертационной работы.

Список литературы состоит из 98 наименований.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики СО РАН по исследованию операций, семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики по моделированию и оптимизации коммутационных сетей, а также на:

• "V Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики", Новосибирск (1980),

• Всесоюзном совещании "Методы и программы решения оптимизационных задач на графах и сетях", Улан-Уде (1982),

• Международном семинаре "Методы и программное обеспечение для систем автоматического управления", Иркутск (1991),

• XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики", Н. Новгород (1999),

Автор выражает искреннюю признательность научному руководителю А.И. Ерзину, а также В.Т. Дементьеву за постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе осуществлен комплексный подход к решению проблемы оптимизации грузоперевозок.

Основными результатами являются:

• формулировка математических моделей задач грузоперевозок;

• разработка эффективных алгоритмов решения поставленных задач. Так для задачи определения способов доставки продуктов от поставщиков потребителям использовалась модель многокритериальной задачи, для которой предложен новый метод поиска весовых коэффициентов критериев. Для определения пропускных способностей участков транспортной сети предложен псевдополиномиальный алгоритм построения точного решения. Для задач оптимизации расписания движения ТС предложены эффективные приближенные алгоритмы;

• осуществлена программная реализация алгоритмов;

• проведен апостериорный (численный) анализ строящихся решений.

1. Адельсон-Вельский Г.М., Диниц Е.А., Карзанов A.B. Потоковые алгоритмы. М.: Наука, 1975.

2. Алексеев О.Г. Комплексное применение методов дискретной оптимизации. М.: Наука, 1987.

3. Бахтин А.Е., Колоколов A.A., Коробкова З.В. Дискретные задачи производственно транспортного типа. Новосибирск, Наука, 1978.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., i960.

5. Беллмам Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

6. Глейзал А. Алгоритм для решения проблемы транспортировки. // Математика, Т. 2, N 1, 1958.

7. Глотов В.А., Павельев В.В. Экспертные методы определения весовых коэффициентов. // Автоматика и телемеханика, N 12, 1976, 95-107.

8. Голынтейн Е.Г., Соколов H.A. Декомпозиционный метод решения производственно транспортных задач. // Экон. и мат. методы, N 1, 1997, 112-128.

9. Голынтейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. // М.: Наука, 1969.

10. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднореша-емые задачи. М.: Мир, 1982.

11. Ерзин А.И. Решение одной задачи о ранце. // Управляемые системы, N 29, Новосибирск, 1989, 41-56.

12. Золотухин В.Ф., Мартемьянов C.B., Нечитайло Н.Ф. Решениемногостадийной транспортной задачи по критерию общего времени алгоритмом знаков. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. н., N 2, 1995, 17-23.

13. Канторович Л.В., Гавурин М.К. Применение математических методов в вопросах анализа грузопотоков. // Проблемы повышения эффективности работы транспорта, Изд. АН СССР, 1949, 110-138.

14. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1980.

15. Карп Р. Сводимость комбинаторных проблем. // Кибернетический сборник, М.: Мир, 1975, N 12, 16-58

16. Корбут А. А., Финкелыптейн Ю. Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

17. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М. Мир, 1978.

18. Кук С. Сложность процедур вывода теорем. // Кибернетический сборник, М.: Мир, 1975, N 12, 5-15.

19. Манкрес Д. Алгоритм решения задачи выбора и транспортной задачи. // Методы и алгоритмы решения транспортной задачи. Госстандарт, 1963, 73-79.

20. Меламед И.И. Линейная свертка критериев в многокритериальной оптимизации. // Автомат, и телемех., N 9, 1997, 119-125.

21. Меламед И.И., Сигал И.Х. Теория и алгоритмы решения многокритериальных задач комбинаторной оптимизации. М., 1996.

22. Мовшович С.М. Об одной задаче планирования перевозок неоднородных взаимозаменяемых продуктов. // Применение математики в экономических исследованиях, т. 3, Мысль, 1965.

23. Модели и методы векторной оптимизации. / Емельянов С.В. и др. // Техническая кибернетика. Итоги науки и техники, М. Изд. ВИНИТИ, 1973, 386-448.

24. Озерной В.М. Принятие решений (обзор). // Автоматика и телемеханика. 1071, N 11, 106-121.

25. Пападимитриу X., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985.

26. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М.: Сов. радио, 1975.

27. Подиновский В.В, Многокритериальные задачи с однородными равноценными критериями. ЖВМ и МФ, N 2, 1975, 330-344.

28. Подиновский В.В. Коэффициенты важности критериев в задачах принятия решений. Автоматика и телемеханика, N 10, 1978, 130-141.

29. Современное состояние теории исследования операций, (ред. Моисеев H.H.). М.: Наука, 1979.

30. Трубин В.А., Гндоян А.К. Алгоритм и свойства задачи синтеза сетей с одним источником. // Теория оптимальных решений. Киев, 1980, 82-87.

31. Филлипс Д., Гарсиа А. Методы анализа сетей. М. Мир, 1984.

32. Финкельштейн Ю.Ю. Приближенные методы и прикладные задачи дискретного программирования. М.: Наука, 1976.

33. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. М.: Мир, 1974.

34. Юдин Д.Б., Гольдштейн Е.Г. Линейное программирование. М.: Наука, 1969.

35. Altinkemer K., Gavish B. Parallel savings based heuristic for the delivery problem. // Operations Research 39, 1991, 456-469.

36. Assad A.A. Modeling and implementation issues in vehicle routing. // B.L. Golden and A.A. Assad, eds., Vehicle Routing: Methods and Studies, Noth-Holland, Amsterdam, 1988, 7-45.

37. Appa G.M. The Transportation Problem and its Variants. // Operational Reg. Quart., 24(1), 1973, 79-99.

38. Ball M., Bodin L., Dial R. A Matching Based Heuristic for Scheduling Mass Transit Crew and Vehicles. // Transportation Science, 17(1), 1983. 4-31.

39. Bertossi A.A., Carraresi P., Gallo G. On Some Matching Problems Arising in Vehicle Scheduling Models. // Networks, 17, 1987, 271-281.

40. Besselink I., van Asparen F. Numerical Optimization of the Linear Dynamic Behavior of Commercial Vehicles. // Vehicle Syst. Dyn., 23, 1994, 53-70.

41. Bestle D., Eberhard P. Multi-Criteria Multi-Model Design Optimization. // Bestle D., Schiehlen W (eds.) Optimization of Mechanical Systems -IUTAM Symposium. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996, 863-876.

42. Bodin L.D., Golden B.L., Assad A.A. Routing and scheduling of vehicle and crews: The state of the art. // Computers and Operations Research, 10(2), 1983, 63-211.

43. Bracken J., McGill J. T. Mathematical Programs with Optimization Problems in the Constraints. // Oper. Res., 21(1), 1973, 37-44.

44. Brans J.P., Mareschal B., Vincke P. How to Select and How to Rank Projects: the PROMETHEE Method. // European Journal of Operational

45. Research, 24, 1986, 228-238.

46. Brans J.P., Vincke P. A Preference Ranking Organization Method. The PROMETHEE Method for MCDM. // Management Science, 31(6), 1985, 647-656.

47. Burkard R.E. Efficiently solvable special cases of hard combinatorial optimization problems // Mathematical programming. Ser. B, 1997, 79(1-3), 55-70.

48. Button K.J. Transport Economics. Edward Erlag, 1993.

49. Carraresi P., Gallo G. Network Models for Vehicle and Crew Scheduling. // Europ. J Oper. Res., 16, 1984, 139-151.

50. Charnes A., Cooper W.W. Goal Programming and Multiple Objective Optimization. // European J. of Operations Research, 1(1), 1977, 39-54.

51. Chu H.D., Gelman E., Johnson E.L. Solving Large Scale Crew Scheduling Problems. // Europ. J Opl. Res., 97, 1997, 260-268.

52. Clarke G. Wright J.W. Scheduling of vehicles from a central deport to a number of delivery points. // Operations Research, 12, 1964, 568-581.

53. Cook S.A. The Complexity of Theorem-proving Procedures. // Proc. 3rd Ann. Symp. on Theory of Computing, Assouation for Computing Machinery. N.Y., 151-158.

54. Crainic T.G., Laporte G. Planning models for freight transportation // Eur. J. Oper. Res., 97(3), 1997, 409-438.

55. Daganzo C.F. Logistics Systems Analysis. // Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems, 361, Springer-Verlag, Berlin, 1991.

56. Daskin M.S. Network and Discrete Location: models} algorithms and applications. John Wiley and Sons, New York, 1995.

57. Dell'Allmico M., Fischetti M., Toth P. Heuristic Algorithm forthe Multiple Deport Vehicle Scheduling Problem. // Management Science, 39(1), 1993, 115-125.

58. Desrochers M., Desrosiers J, Solomon M. A New Optimization Algorithm for the Vehicle Routing Problem with Time Windows. // Operations Research, 40(2), 1992, 342-354.

59. Desrochers M., Rousseau J.M. (eds) Computer-aided Transit Scheduling. (/ Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems, 386, Springer, 1990.

60. Ellon S., Watson-Gandy C.D.T., Christofides N. Distribution manageme Mathematical modelling and practicalanalysis. Griffin, London, 1971.

61. Erzin A.I. One Generalized Knapsack Problem // Proc. 2 of the II ALIO/EURO Workshop on Practical Combinatorial Optimization, Valparaiso, 1996, 24-26.

62. Fisher M.L. Vehicle routing. // M. Ball, T.L. Magnati, C.L. Monma, and G.L. Nemhauser, eds., Handbooks in Operations Research and Management Science, 8. Network Routing, Noth-Holland, Amsterdam, 1995, 1-33.

63. Florian M. An introduction to network models used in transportation planning. // M. Florian, ed., Transportation Planning Models, North -Holland, 1984, 137-152.

64. Gendreau M., Laporte G., Potvin J.-Y. Vehicle Routing: Modern Heuristics. ¡I Aarts, E.H.L., Lenstra J.K. (eds.). Local Search in Combinatoria

65. Optimization. Wiley, Chichester, 1997, 311-336.

66. Gendreau M., Hertz A., Laporte G. A tabu search heuristic for vehicle routing problem. Management Science 40, 1994, 1276-1290.

67. Gerdon B., Crainic T.G. A branch and - bound algorithm for deport location and container fleet management Location Science 3(1), 1995, 3953.

68. Golden B.L., Assad A.A. Vehicle Routing: Methods and Studies, North Holland, Amsterdam, 1988.

69. Hochbaum D.S. Heuristics for the fixed cost median problem, jj Math. Progr, 22(2), 1982, 148-162.

70. Hoffman K.L., Padberg M. Solving Airline Crew Scheduling Problems by Branch-and-Cut. j I Management Science, 39(6), 1993, 657-682.

71. Karp R.M. Reducibility Among Combinatorial Problems. // R.E. Miller and J.W. Thatcher (eds.), Complexity of Computer Computations, Plenum Press. N.Y., 1972, 85-103.

72. Keeney R.L., RaiffaH. Decision with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs. N.Y.: Wiley, 1976.

73. Krarup J. Fixed-cost and other network flow problems. // Ph. D. thesis, IMSOR, Technical University of Denmark, 1967.

74. Laporte G. The Vehicle Routing Problem: An Overview of Exact and Approximate Algorithms. // Europ. J. Oper. Res., 59,1992, 345-358.

75. Magnanti T.L., Wong R.T. Network design and transportation planning: Models and algorithms. Transportation Science, 18(1), 1986, 1-55.

76. McQuei R. Cargo Vehicle Productivity. // Management Sei., 18(2), 1971, B36-B51.

77. Potts R.B., Oliver R.M. Flows in Transportation Networks. // Academic Press, Inc., N.Y., 1972.

78. Powell W.B., Frantzeskakis L. Restricted recourse strategies for dynamic networks with random arc capacities. Transport Science, 28(1),1994, 3-23.

79. Psaraftis H.N. Dynamic vehicle routing: Status and prospects. Annals of Operations Research, 61, 1995, 143-164.

80. Rushmeier R.A., Hoffman K.L., Padberg M. Resent Advances in Exact Optimization of Airline Scheduling Problems. Technical Report,1995.

81. Srinivasan V., Shocker A.D. Estimating the Weights for Multiple Attributes in a Composite Criterion Using Pairwise Judgment. // Psychometric 38(4), 1973, 473-493.

82. Stackelberg H. V. The Theory of the Market Economy. Oxford: Oxford Univ. Press, 1952.

83. Stadler W. Multicriteria Optimization in Engineering and in the Science. N.Y.: Plenum Press, 1988.

84. Taff C.A. Management of Physical Distribution and Transportation. Irvin, Homewood, IL, 1978.

85. Vincke P. Multicriteria Decision Aid. John Wiley & Sons, 1992.

86. Zhang J., Zhu D. A bilevel programming method for pipe network optimization. // SIAM J. Optimization, 6(3), 1996, 838-857.

87. Qijing P. et.al. Computer Network. // China Railway Press, 1985.

88. Qijing P. A Combined Algorithm for Capacity Assignment and Topology Optimization of Centralized Computer Networks. // ICCS'88 Proc., Singapore, 1988.

89. Qijing P. An Integrated Optimal Design Approach of Tree Computer Networks. // FPCN Proc. -1, Novosibirsk, Russia, 1991, 170-176.

90. Schwartz M. Computer Network Design and Analysis. // Prentice-Hall, Inc., 1977.

91. Wang K., Enslow P.H., Qijing P. Topology Design of Centralized Networks with. Tree Structure. 11 ICCS'90 Proc., Singapore, 1990.

92. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Задачи оптимизации речных грузоперевозок. // "Организация работы флота Сибири в условиях полного хозрасчета", Новосибирск, НИИВТ, 1992, 12-18.

93. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Разработка эффективных методов решения задачи оптимизации диспетчерского управления транспортного флота. II Научный отчет, Новосибирск, МНТП "Алго-ритм"при Институте математики СО АН СССР, инв. N 2, 1990.

94. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Задача поиска оптимальной схемы снабжения на основе многокритериального анализа. // Тез. докл., XII Межд. конф. "Проблемы теор. кибернетики", Н. Новгород, 1999, 71.

95. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Одна задача оптимизации грузоперевозок по ациклической сети. // Тез. докл., XII Межд. конф. "Проблемы теор. кибернетики", Н. Новгород, 1999, 72.

96. Андреев А.А., Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Задача оптимизации речных грузоперевозок разнот/ипными транспорт,ным,и средствами. II Сб. трудов НГАВТ "Современные тенденции развития транспорта Сибири", Новосибирск, 1999, 35-49.

97. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Поиск оптимальной схемы снабжения. //Сб. трудов НГАВТ "Современные тенденции развития транспорта Сибири" , Новосибирск, 1999, 90-104.

98. Ерзин А.И., Семенов М.Ф. Определение количества транспортных средств на каждом участке транспортной сети. //Сб. трудов НГАВТ "Современные тенденции развития транспорта Сибири", Новосибирск, 1999, 29-35.

99. Erzin A.I., Semenov М. F. Some optimization problem of river boats control system. // Summaries of papers IMACS/IFAC Int. workshop. Irkutsk, 1991, 51-52.