автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая модель процедуры ординации

российская шдвш наук

БЖГСЛКТКТЬНЬЙ ЦЕНТР

На превах рукописи

Голубятников Лзсшзд Лоошадошгг

шшшичвская модель процедурн 0рдшш1г

Саоциалъг.ость 05.13.16 - птаг.'.знешэ вычислительной техника, ызтематачвсхого моделирования п математических мэтодов в

ЕЗУЧНИХ ПССЛЭДОЗБННЯХ.

АВТОРЕФЕРАТ, диссертации на соискание ученой степени кандидата фазихо-математичесшис. наук

— 1 ОС*

Работа выполнена Научный руководитель:

Б

Вычислительном Центра РАН доктор Аазико-матвматнческих наук Д;0.Логофет

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук.

проф. В.И.Цурков

кандидат биолоютеских наук И.В.Карманова

Ведущая организация: институт системного анализа РАН

(отдел системная экологии). ~

199/г. ч£

Защита состоится у^ч™ " *1__199^т. часов

на заседании специализированного совета Л 002.32.06 при Вычислительном Центре РАН по адресу: 117967", ГСП-1, Москва, В-ЗЗЗ, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке • Математического института им. В.А.С.теклова РАН.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета , кандидат физико-

математических наук //,¡] __О.М.Швартин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Современная геоботаника, как часть экологии, остро нуждается в развитии подходов, позволяидих строго формализованно исследовать растительные сообщества и вскрывать закономерности их' функционирования. Это необходимо для решения таких стоящих перед человечеством проолем, как охрана и рациональное использование растительных ресурсов Земли, создании новых фитосистем, прогнозирование адекватного отклика растительного покрова того или иного региона планеты на определенный вид антропогенного воздействия, Обеспечить объективный подход к геоботаническим проблемам возможно на основе математических методов, но их применение может быть успешным лишь в том' случав, - если удастся формализовать ключевые понятия геоботанических концепций.

'одним из основных понятий учения о континууме растительного покрова - наиболее развитой теории современной геоботаники - является процедура ординации, . т.е. упорядочивание видов растений или их сообществ вдоль одной ■ или нескольких осей, каждая из которых отражает либо изменение некоторого параметра природной среда вдоль выбранного географического направления (т.е. природный градиент), либо ' направление . изменения сходства между сообществами или связей между видами, ирдинация лежит в основе такйх исследований как установление взаимосвязи сложнейших отношений в растительном покрове, определение основных закономерностей 'в его развитии, оценка, тенденции изменения экосистем и,' в известной степени, причин этих изменений. В методах ординации используемых в. современных геоботанических исследованиях . существенным, оказывается субъективный фактор и, как следствие, их результаты зависят от квалификации исследователя.

Целью диссертационной работы является разработка едгкогс фрмзлизовзннсго подхода к проблеме ординации растительных видов, который позволит снять полуэмпирический

- г -

характер современных методов анализа ' континуума растительного покрова и компьютеризовать рассматриваемую процедуру.

Метода исследования. В работе используются аппарат теории интервальных графов, комбинаторного анализа, теории игр, системного и прикладного программирования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- предложен подход и показана возможность применения для приложений в экологическом моделировании таких математических дисциплин, как исследование операций и теория интервальных графов;

- доказан критерий интервальности для последовательно-упорядоченного графа; -

- разработан единый формализованный подход к задаче ординации видов растительных сообществ;

- описан класс матриц, который мокет служить результатом идеальной ординации для последовательности фитоценозов, расположенных в пространстве вдоль изменения некоторого параметра природной среда;

- разработан новый алгоритм .ординации' геоботаничесзщх объектов на основе теории интервальных графов и применения (0,1)-матриц;

- показаны преимущества нового метода ординации геоботанических объектов по сравнению о методами традиционно используемыми в практических задачах

• современной фитоценологии., , ,

Практическая ценность работы; разработанные I полученные результаты могут найти применение

- при дальнейшем развита! математической теории г геоботанике вообще и в фитоценологии в частности; .

- в развитии математической экологии в качестве некоторой обобщающей

- е системах шнаторийга - фато среда для формализованное . знажза полученных' данных. .

Апробация. ■ Результата ' диссертационной. работ) доклзшвадась на первом Международном, совещаний по проблей "Математическое моделирование. экосистем и процессов

(Курортное, апрель 1990 г.), на Всесоюзной научно-практической конференции "Совершенствование научного обеспечения лесохозяйственного производства" (Пушкино, октябрь 1990 г.)» на региональной научной конференции "Геоботанические .и флористические исследования в Сибири и на Дальном Востоке" (Красноярск, май 1991 г.), а также на совместном научном семинаре Отдела проблем распознавания и методов комбинаторного анализа Вычислительного Центра РАН и Лаборатории математической экологии Института физики атмосферы РАН (Москва, декабрь 1992 го.

. Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано четыре печатных работы.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографии по теме диссертации и прилокения. Содержание диссертационной работы изложено на 119 страницах, из них 112 основного текста, иллюстрировано ю рисунками внутри текста. Список литературы содержит 84 наименования.

' ' ' СОДЕРЗНАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность теш диссертации, сформулированы цели я основные задачи, изложены научная новизна и практическая-ценность работы.

ШВА -1. МЕТОДЫ МНОГОМЕРНОГО ШКАЛИРОВАНИЯ И ОРДИНАЦИЯ.

Глава носит обзорный характер. В ней рассмотрены основы как методов многомерного шкалирования, так и процедуры ординации, а. такга применение методов многомерного шдаровання .при упорядочивании видов растений или. их сообществ вдоль одной или нескольких осей. В этой главе дается обзор; развития методов многомерного шкалирования и прищура ордшшик, рассмотрена взаимосвязь этих методов.

; Отмечается, что аппарат... многомерного шкалирования .служит методом,- с помощью которого пытаются расположить ' ' объекты из наблюдаемой их совокупности в пространстве

образованном минимально возможным числом выделенных осей, так, чтобы^определить основные свойства изучаемых объектов.. Другими словами, методами многомерного шкалирования находится простая структура (конфигурация) наблюдаемых объектов, которая с заданной точностью воспроизводит реальные, объективно существующие зависимости мевду этими объектами. , - -

Методы многомерного шкалирования нашли свое наиболее полное применение в ординационной технике геоботаники. Под термином "орданация" понимают совокупность методов, которые используют для' анализа континуума растительного покрова, т.е. непрерывного замещения одних видов растений другими вдоль изучаемого природного фактора. Исследования структура растительности .на основе континуального подхода часто применяются как в геоботаничэских исследованиях, так и в математической экологии.

Применительно к исследованиям континуума растительного покрова матрица эмпирических данных (1=1,...,М;

на которой, основаны методы многомерного шкалирования, представляет собой так называемую первичную матрицу, т.е. матрицу элемент которой х^ представляет собой некоторую характеристику вида 1 (например, величину веса, процент проективного покрытия в случае количественных данных или признак присутствия/отсутствия в случае качественных данных) в З-ом описании видов. В качестве исходных объектов исследования для методов многомерного шкалирования могут Еыступать как растительные виды (И-анализ), так к сообщества видов (а-анализ). В первом случае в качестве исходных векторов параметров для составления матрицы сходства берутся строки матрицы эмпирическх данных X., во втором - столбцы этой матрицы. Величину сходства между растительными видами или их сообществами задают одним из индексов сходства.

Из многочисленных методов многомерного шкалирования наиболее часто в практических задачах .фитоценологии используются прямой . градиентный анализ и метод главных компонент, популярна такте и полярная ординация.

Разработанные геоботаника®! методы орданации, такие как

метод стандартных шкал Раменекого, шкалы Эленберга, носят полуэмпирический характер и их результаты зависят от квалификации исследователей. Хорошие результаты (но при определенных условиях на исходные данные) дает применение в качестве ординационных процедур методов, разработанных для анализа данных в социальных науках (большенство из метрических и неметрических методов многомерного шкалирования). Традиционные метричеекае методы предполагают линейный характер отношения растительных видов в факторам среда, что является не типичным для ^ботанических далных. Так называемые неметрические метода ординации хотя и снимают требование линейности данных, но предполагают что исследуемые вида растений составляют один кластер, что накладывает ряд ограничений на исходные данные.

ГЛАВА 2. ФОИШИЭАЦЩ ПОНЯТИЯ ОРДИНАЦШ. '

За исходную геоботаническую теорию математической модели процедуры ; ординации принимается одно из фундаментальных учений современной • геоботаники континуальная теория растительного покрова. Задача формализации. понятия ординации решается с привлечением эколого-математнческой- теории экологических ниш биологических видов и аппарата теории интервальных, графов.

Для. решения поставленной задачи .вводятся определения уточненной • ленточной матрицы .и послодовательно-упорядоченного интервального, графа.

(0,1)-матрицу (1=1, — ,Ы, 3=1,...,Ю Назовем

ушечнвцнаа ленточной, ¿отрицай если существуют два целочисленных . • вектора Я= ,.. ) и К= (й ,...•, ^), координаты которых удовлетворяют нераьонствам: а) ^ ? О и = 1,..,,И), .

> ^ > 0 (3> 1,...,М-1), в) + + (3 = 1,.'..,1Й),

и такие,.что для 1=1,......М, 3=1,....ы

- б -

1, если Wj < i ç + v/j

О во всех ост льных случаях. Примером такой матрицы является следующая матрица

г 1 1 0 0 0 0 1 11110 0 0 11110 Ü О О 1 1 о

0 0 0 0 11 J,

для которой И= (0,0,1,1,2,4), К=(2,3,2,3.3,1).

В дальнейшем рассматриваются квадратные' уточненные ленточные матрицы, которые не имеют тоадественных столбцов. Последнее, в терминах неравенств а)-в), означает, что по крайней мере одно из неравенств б) или в) является строгим.

Пусть матрица (1=1,...,К," J=1,...,N) является

уточненной ленточной, матрица X=tx1;J] отличается от матрицы А только порядком расстановки столбцов I 1-й столбец матрицы А тождественен J-ому столбцу матрица X. Назовем число 1 первоначальным погром 3-го столбца матрицы Х=Сх1;)].

Согласно теории интервальных графов ненаправленный, без петель, n-вершинный (п<®) граф G=(V,E) (где V - мновэство вершин, Е - множество ребер) называется интервальным, если каждой вершине íeV можно поставить в соответствие интервал (открытый или замкнутый) на действительной прямой, так что f^np.^0 для всех i^jeV тогда и только тогда, когда вершина 1 и вершина J этого графа соединены ребром. Критерии, которым удовлетворяют интервальные графа, была предложены С.Леккеркеркером с Дн.Боландом (Lekkerkerker, Boland 1962), П.Гшаюром -ir" А.Хофманом (Gilmore, Hoííman 1964), Д.Фалкерсоном с О.Гроссом (Fulkeraon, Groas 1965). Как показал анализ литературы по прикладным аспектам теории интервальных графов, до настоящего времени графы этого типа не применялись . для исследования изменения растительного покрова.' ; ' ''•'

Предположим, что N-вершинный интервальный граф обладает дадуужзм свойством; ' замкнутые интервалы ■ f3i=iti,h1] il=i,...»N) на действительной прямой соответствующие его

вврвйнам упорядочены следувдим образом

Такое упорядочение интервалов в терминах теории интервальных 'графов является частным случаем, так называемого, хронологического упорядочения, типы которого имеют следувдуя классификацию

а) интервал строго предшествует интервалу

б) интервал р^Е^,^] слабо предшествует интервалу

если х

а) интервал р^и^М накрывает интервал р^сг^.и^], если

Назовем интервальный граф послеОовшвльно-упорйОоченныд если зюяшутне интервала ' Л1-1,. . на действительной прямой соответствующие его варйинш упорядочены согласно неравенствам: (1).

Критерием интарвашюсти для последовательно-упорядоченного графа является доказанная;в диссертации

Тоорет 1. Для того чтобы граф был последовательно-упорядоченным интервальным греком необходимо и достаточно, чтобы од был представим в ввде уточненной ленточной матрицы.

Под зкологическ<?й нииэй вида- понимается область некоторого пространства жизненно вашнх факторов окруааюцей среда, внутри которой обеспечивается существование вида и -вне которой з?о существование невозмоано. Согласно •континуальной теории раЬтительного . покрова проекции экологических ниш Я радов, растений на ось изменения значений некоторого природного фактора представляются в виде совокупности N. интервалов г1,я1з я1<Ь1) (1=1,...,Н), которые могут пересекаться и которые возможно упорядочить в соответствии с неравенствами (1).

Согласно определению последовательно-упорядоченного интервального графа, совокупность рассматриваемых N видов можно представить графом этого типа, который представляет сооой один иг способов формализованного представления взаимосвязи . видов растений, произрастающих на

рассматриваемой трансекте вдоль выбранного природного фактора.

Из доказанной теореш следует, что класс уточненных ленточных матриц, может служить результатом идеальной ор,ганации для последовательности фитоценозов, расположенных в пространстве вдоль изменения некоторого природного фактора. Эта последовательность фитоценозов носит название экологического ряда вдоль рассматриваемого природного фактора.

Для того чтобы исходная геоботаническая информация могла быть пред^тавима в виде уточненной ленточной матрица весь диапазон условий произрастания рассматриваемых N видов растений необходимо представить в виде разбиения {у, ,...,г/м>. как Н участкоЕ, каздый из которых характеризуется значением природного фактора /± и списком растительных видов щ. Это разбиение долено быть таким, что для разных участков как значения фактора, так и списки видов различны, т.е. /¿¡V-, и т^т^ если 1/3. Долгнц быть различны и проекции экологических ниш рассматриваемых К

видов растений на это разбиение, т.е. воля

Таким образом, используя класс уточненных ленточных матриц, возможно, дать формализованное описание смены растительных сообществ в пространстве в соответствии с основными принципами континуальной теории геоботаники. Строки этой матрицы соответствуют описаниям сообществ, расположенным в порядке изменения величины фактора среды, столбцы - проординированые вдоль этого природного фактора виды растений.

ГЛАВА. 3. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ ПРОЦЕДУРЫ ОРДИНАВДИ.

Как правило, результаты геоботанических описаний не соответствуют рассмотренной во второй главе модели. Это связано; во-первых, с тем, что заложенные серии пробных площадей не всегда удовлетворяют условиям, наложенным выше йэ раз9и?]Ж диапазона условий произрастания, во-вторых,

виды в; списках" не . упорядочены вдоль изменения изучаемого

фактора среда. Последнее может быть исправлено с'помощью специальной процедуры, которая рассматривается в этой главе и означает в сущности идентификацию предложенной модели по данным наблюдений.

В основе алгоритма идентификации предложенной модели процедуры ордннации лекат качественные данные о наличии' видов р растительных сообществах. Исходная геоботаническая информация задается в виде квадратной матрицы А = fä^] (1, 3 = 1,...,N), строки которой образуют описания сообществ, расположенные в порядке возрастания величины фактора среда, а столбцы соответствуют неордшшровашым видам. Таким образом, в исходной матрице элемент равен единице, если 3-й вид есть в 1-й описании и равен нулю в противном случав.

Рассматривается слэдутадая задача. Пусть дана квадратная матрица А = tä13) (1.,3=1....,Н) отличающаяся от уточненной ленточной матрицы только порядком расстановки 'столбцов. Требуется определить перестановку столбцов этой. матрицы, в результате которой данная матрица Л приобрззуется к форме уточненной ленточной матрицы А = ia^l.

Для решения поставленной задачи предлагается алгоритм,' основанный на минимизации целевой функции F(X), заданной на множестве квадратных (0,1)-матряц X=£x13J <1.3= 1,...,И). Для каздого столбца tx матрицы X определяем числа q^, р^, bj» п^ следующим образом

q^ = min 1, р3 * шах 1,

1=775 1=Т7н

bj = min <3, n^ = шах (3. р^).

Целевую функцию J?(X) задаем формулой ы к

ш) j (3-d2 (2)

где ф13;

i J-i-l2

j=1 1=1

r 2, если bj « i «5 njf = 0

z^', во всех остальных случаях.

(3)

Установлено, что для поставленной задачи с" таким образом выбранной целевой функцией, решение существует я единственно.

Единственность решения задачи следует из доказанной в диссертации следующей теоремы 2.

Теорема г. Пусть К - множество матриц, состоящйе Ез уточненной ленточной матрицы (1,3=1,...,11) и матриц,

отличающихся • от матрицы X только порядком расстановки столбцов. Тогда, если Р - функция, определяемая по формуле (2), то

юш Ш)=?ш. ъа

■ I ■

Доказательство этой теоремы основывается- не сформулированных нике и доказанных в диссертации двух утверждениях.

Обозначим через квадратную иэтрицу порядка! Н, получающуюся из единичной матрицы перестановкой ее 3-й и ;Г-й строк.

Назовем шранспозщшо инверсионной, если в

полученной при этой транспозиции перестановке пара (с^.а^) образует инверсию.

Утверждение 1, Предположи, что в матрице (1,3=1 ,...,Н), которая является .уточненной ленточной1 матрицей или отличается от нее только порядком расстановки" столбцов, существуют два столбца с номерами 3 к г (3<г>, такие что их первоначальные номера, .соответственно 1 и к, удовлетворяют неравенству 1<1с. Тогда, если матрица (1,3=1 .....Ю такова, что^и функция Р, определяемая по формуле (2), то Р(ХХР(Х).

Утверждение 2. Любая перестановка может быть получена из нормальной перестановки посредством нескольких инверсионных транспозиций. . ; . . '

Показано, что поставленная задача наховдения искомой' перестановки столбцов данной матрицы А сводится к решению частного 'случая . транспортной 'задачи линейного программирования, а именно, к решению задачи о назначениях, •

- и -

решаемой методами исследования операций. Для этой цели определяется матрица С » (1,3 = 1 элементы с^

которой вычисляются по формуле

м

1)гФш;!,

т=1

где ц>т) определяется по формуле (3>.

Таким образом, каждый элемент а1} матрица пО - это "вклад" элементов 3-го столбца исходной матриц« А в сумму £"и), вычисляем по формуле (2), если этот столбец будет занимать 1-ое место в матрице.

Задача о назначениях эффективно решается с помощью алгоритма,, известного год названием венгерского метода. Этот алгоритм для решения задачи о назначениях сходится за конечное число шагов.

Таким образом, существование решения в. рассматриваемой задаче следует из существования, решения в задаче о назначениях. .

Итак, метод вдентафакацпи вдели сводится к приведению Исходной матрицу А = к .форме уточненной ленточной-

матрицы А = Са^] (1,3 = 1,..4,М), т.е. к наховдешго такого роспологэния столбцов исходной матрицы данных А, при котором получаемая матрица •минимизирует функция I , определяемую формулой (2). Установлено, что искогзый порядок расположения столбцов походной матрицы существует и единственен, что обеспечивает, корректность в постановке задачи.

Из галогенного в этой главе диссертации доказательства существования решения рассматриваемой задачи следует формальный алгоритм идентификации модели процедуры ординации, состоящий из следующих шагов:

I - формирование исходной' геоботанической информации в виде квадратной матрицы, строки которой образуют описания сообществ, расположенные в порядке возрастания величины ■ природного фактора, столбцы. - расположенные в произвольном порядке виды растений;

II - формирование на основе матрицы исходных данных

и функции Р, определяемой формулой (2), "стоимостной" матрицы; ' .

III - решение задачи о назначениях^ II видов на N

мест, так чтобы суммарная "стоимость", определяемая формулой (2), была минимальна;

IV -. преобразование матрицы исходных данных в

соответствии с порядком расстановки видов, получаемом при решении задачи о назначениях.

При правильном подборе геоботанических • данных предложенный алгоритм можно рассматривать и как' метод орданацич видов растений вдоль ведущего фактора среды, если таковой существует. Этот алгоритм, математически корректен и лишен двух очень существенных недостатков многих других методов ординации - линейности и необходимости определения сходства объектов ординации. С помощью этого алгоритма возможно получить экологический ряд по выбранному фактору природной среды, матричная модель которого дает наглядное представление о смене аколого-ценотических груш вдоль • выбранного фактора, ь также позволяет выделить индикаторные виды, составляющие исходную информацию, в соответствии о изменением рассматриваемого фактора среды. ;

Рассмотренный в этой .главе гипотетический пример, соответствующий требованиям классической континуальной теории геоботаники, показывает, что предлагаемый метод ординации . позволяет упорядочить_ вида ■ растительности достаточно широкого эколого-фитоценотическаго диапазона.

• Достичь такого га • результата с помощью традиционно используемых в прикладных задачах. геоботаники методов ординации, таких . как полярная ординация, метод ортогональных осей Орлоци,. анализ главных компонент, невозможно, так как все эти методы эффективны лишь при работе с совокупностями растительных группировок очень ограниченного разнообразия. Метод имеет преимущества и перед 5ВДнам с' ним. прямым градиентным анализом, так как существуют исходные геоботанические данные, на которых

прямой градиентный анализ неприменим ввиду недостатке информации, в то время как предложенный метод дает правильный результат.

Идентификация предложенной модели процедуры ординации проводилась на данных, которые уже использовались в качестве исходных данных в тех или иных методах ординации и результат ординации которых - экологические ряды - из весны, а также на данных, результат ординации которых оценивался экспертно.

Рассматриваемые в этой главе примеры реальных геоботанических данных показывают, что, как правило, результаты геооотанических описаний не соответствуют предлагаемой модели. Это связано, главным образом, с тем, что заложенные серии пробных площадей не всегда удовлетворяют условиям, наложенным во второй главе на разбиение диапазона условий произрастания. В этом случае предложенный алгоритм упорядочивает; исходные данные в соответствии с введенным критерием и дает в результате некоторое приближение исходной матрицы к форме уточненной ленточной матрицы. При этом результаты ординации, как показали исследования, совпадают с результатами, полученными с помощью других методов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В работе рассмотрен формализованный подход к решению задачи многомерного шкалирования, возникающей при ^ординации геоботанических объектов. Задача ординации, состоящая из обработки массового гёоботанического материала - описаний растительности, является чрезвычайно трудоемкой операцией. Традиционные методы применяемые в процедуре ординации растительности, как было отмечено в первой главе, носят полуэмпиричеакий характер, некоторые из них математически некорректы, для реализации других требуются также и большие затраты машинного времени.

В работе предлагается единый формализованный подход к процедуре ординации геоботанических объектов. В основе этого подхода лежат качественные данные о наличии видов в

растительных сообществах. Разработан и обоснован высокоэффективный алгоритм процедуры . ординации. Этот алгоритм базируется на теории интервальных графов и использовании (0.,1)-матриц. Проведен сравнительный анализ процедур ординаций, предложенной в диссертации и традиционно используемых в геоботаничоских исследованиях. Использование программного модуля, реализующего предложенный алгоритм, позволяет получить последовательность фитоценозов, расположенных в пространстве вдоль изменения природного фактора среда - экологический ряд. Предложенный алгоритм позволяет получить адекватное реальным фотосистемам представление об их структуре и существенно экономить машинное время.

. ВЫВОДЫ.

1. разработан единый формализованный подход к . задаче ординации видов растительных сообществ, на основа таких математических дисциплин как исследование операций в теория интервальных графов, а также на одной из наиболее разработанных теорий современной геобртаники континуальной теории растительного покрова. Этот подход мокет быть использован в качества некоторой обобщающей схемы при дальнейшем развитии как математической экологии, так и теоретической фитоценологии.

2. Опасен класс матриц, который ногат слуккть результатом идеальной ординации для последовательности фитоценозов, расгйшэЕэнных в пространстве вдоль изменения некоторого параметра' природной среда.

3. Разработан новый алгоритм ординации геоботашчоских объектов. Предложенный алгоритм математически корректен и лишен двух существенных недостатков многих других процедур ординации - линейной зависимости' исследуемых геоботанич&ских объектов от факторов природной > среда и необходимости определения сходства между этими объектами В процесс? их ординации. Это позволяет снять субъективный фактор с процедуры ординации геоботанических объектов.

4. Показана преимущества предложенной процедуры ординации геоботанических объектов по сравнению с методами традиционно используемыми в практически?. задачах фитоценологии. Показано, что этот метод ординации более адекватен основополагажей для всех процедур ординации континуальной теории геоботаники. Предложенный в работе' метод позволяет .упорядочить геоботанические объекты достаточно широкого разнообразия, в то время как другие поддающиеся формализации процедуры ординвцки эффективны лиаъ при работе в достаточно узком эколого-фитоценотическом диапазоне.

5. Предложенный алгоритм реализован в виде программного модуля для персонального компьютера типа IBM PC. эта програгяда использовалась для анализа геоботанических данных с целью получения представления о структуре

рассматриваемых фзтосистем.

- v

Основные результаты диссертации опубликованы в 'работах:

1 .Голубятников Л.Л. Кэтод орданацил йадов в лесных, сообществах. . //Тезиса Всесесоюзной конфзреншпг "Совершенствование научного обеспечения

лэсохозяйственногр производства", Цушгано, 1990, с.16,

2.Голубятников Л.Л. ' Единственность в представлении модели экологического ряда уточненной ленточной матрицей п алгоритм идентификации ыодела как метод ординации. //Тезиса • научной конференции ' "Геоботанические. и флористические исследования в Сибири а на Дальнем

. Востоке", Красноярск, 1991, с.81-82.

3.Александров Г.А., Голубятников Л.Л. Моделирование экологических рядов. У.: ВЦ АН СССР, 1991, 25с.

4.Голубятников Л.Л. Идентификация иодели экологического ряда. //Журнал общей биологии, 1991, т.52, i.'S, с.821-829