автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель акустического поля воздушного источника в слоистых средах и средах с составными граничными условиями

На правах рукописи

Баталыциков Александр Александрович

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВОЗДУШНОГО ИСТОЧНИКА В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ И СРЕДАХ С СОСТАВНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2005

Работа выполнена в Южно-Российском региональном центре информатизации государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Ростовский Государственный Университет"

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, Александр Викторович Розенберг

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Эдуард Николаевич Потетюнко, кандидат физико-математических наук, доцент Александр Арсеньевич Золотарёв

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Таганрогского радиотехнического университета

Защита диссертации состоится "20"октября 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета К.212.208.04 по физико-математическим и техническим наукам в Ростовском Государственном Университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корпус 2, ЮГИНФО РГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ по адресу: г Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская. 148.

Автореферат разослан "_"_ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Муратова Г. В

Л </£¥51 V

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Широкая распространенность практических задач, связанных с расчетом звуковых полей воздушного источника в воздухе над плоской поверхностью с резким изменением (при переходе некоторой пограничной линии) значения акустического импеданса на ней, а также в слоистых средах, по отношению к которым источник является внешним, обуславливает необходимость разработки соответствующих математических моделей. Так, к задачам о распространения звука воздушного источника в средах с составными граничными условиями можно отнести следующие: исследование акустического поля, создаваемого взлетающими и садящимися самолетами при контроле уровня шумности в аэропортах; распространение звука над водоемами, частично покрытых льдом, а также в окрестности береговой линии. Результаты решения подобных задач могут быть использованы в медицине, для улучшения качества ультразвукового исследования. в дефектоскопии, в архитектурной акустике и ряде других задач.

Исследование особенностей поведения гидроакустическог поля воздушного источника важно для создания и улучшения характеристик широкого спектра гидроакустического оборудования. Ввиду сложности измерения параметров волновода и влияния флуктуаций среды, неучитываемых при расчетах, большую практическую ценность имеют различные, устойчивые к этим факторам, характеристики гидроакустического поля. Знание о средних законах спада гидроакустического поля с расстоянием необходимо для оценки дальности действия гидроакустических антенн, а также может служить основой алгоритмов классификации надводных и подводных источников.

Очевидный интерес представляют задачи, связанные с движущимся воздушным источником. Сложность структуры его гидроакустического поля и необходимость решения обратных задач порождает по-

требность в построении эффективных алгоритмов его аппроксимации.

Цели исследования: обоснование принципа предельного поглощения для избранной акустической задачи с составными граничными условиями; разработка эффективных методов расчета акустического поля движущегося и неподвижного источника; исследование решений гидроакустических задач с целью получения устойчивых к флуктуаци-ям среды характеристик акустических полей, которые в дальнейшем можно использовать для решения обратных акустических задач.

Задачи исследования. В диссертационной работе были поставлены и рассмотрены следующие задачи:

• Исследовать возможность строгого обоснования принципа предельного поглощения в задачах для уравнения Гельмгольца с составными граничными условиями.

• Разработать метод численных расчетов интегральных выражений, полученных при решении задач методом Винера-Хопфа

• Исследовать поведение акустического поля при удалении источника и приемника от места резкого изменения граничных условий.

• Исследовать суммарное гидроакустическое поле, создаваемое воздушным источником на вертикальной антенне, полностью перекрывающей волновод.

• Исследовать особенности амплитудно-фазовых характеристик гидроакустического поля воздушного источника в волноводе при различных горизонтах излучения и приема сигнала.

• Разработать алгоритм аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решения соответствующей задачи для неподвижного источника.

Методы исследования. При решении задач применяется метод Винера-Хопфа. некоторые результаты теории одномерных сингулярных операторов различные асимптотические методы: метод возмуще-

ния, двумерный метод стационарной фазы, методы цифровой обработки сигналов.

Научная новизна работы состоит в:

- обосновании принципа предельного поглощения и асимптотических формулах, полученных для рассмотренной задачи с составными граничными условиями;

- разработанном алгоритме численной факторизации Винера-Хопфа, обусловленная его универсальностью относительно выбора опорных точек в комплексной плоскости;

- полученных оценках погрешности факторизации Винера-Хопфа относительно погрешности аппроксимации факторизуемой функции;

- полученных оценках убывания с расстоянием среднего уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника в горизонтально стратифицированных волноводах с поглощающим дном;

- введении понятия средней фазовой скорости для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника, независящей (в отличие от аналогичной величиной для водного источника) от значения его вертикальной координат что дает реальную возможность использовать эту величину при построении алгоритмов обработки сигналов, так как остальные определяющие ее параметры измеряются в процессе калибровки приемной системы;

- проведенных численных исследованиях, показывающих, что если антенна целиком расположена в интерференционном максимуме тонального воздушного источника, то ее характеристики направленности в волноводе и свободном пространстве, скорость звука в котором равна средней фазовой скорости, совпадают с высокой точностью;

- предложенном алгоритме аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решения волнового уравнения для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника.

- разработке методики выделения при цифровой обработке регистрируемых сигналов и наблюдении с ее помощью в ходе натурного эксперимента воздушной боковой волны в суммарном гидроакустическом поле движущегося воздушного источника, присутствие которой ранее предсказывалось лишь теоретически.

Апробация и внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 9-й и 10-й школе-семинаре академика Л. М. Бреховских "Акустика океана" (Москва, 2002, 2004 г.), на 13-й сессии Российского акустического общества (Москва, 2003 г.) на конференции "Параллельные вычисления в задачах математической физики"(Ростов-на-Дону, 2004 г).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 2 статьи в резецензируемых журналах, 6 статей в сборниках трудов всероссийских и международных конференций и одно свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 124 страницы основного текста, и включает 14 рисунков. Список литературы состоит из 47 наименований на 5 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, раскрывается её теоретическая и практическая значимость, приводится структура и кратко формулируются основные результаты. В первой главе определяется место избранных для исследования задач в круге смежных акустических и математических задач Описываются известные подходы к решению избранных задач, обсуждаются их преимущества и недостатки

Первый раздел главы посвящен методам решения дифракционных задач для уравнения Гельмгольца в области с составными граничными условиями. Вначале рассматриваются известные результаты, относящиеся к задачам дифракции акустических и электромагнитных волн на клине. В некоторых частных случаях эти задачи решались еще А. Пуанкаре и А. Зоммерфельдом, а существенным продвижением в этой области для случая имепедансных граничных условий стали работы Г. Д. Малюжинца "Излучение звука вибрирующими границами произвольного клина" // Акуст. журн. 1955. Т. 1, с 152-174 (часть 1), с. 240248 (часть 2), открывшие возможность решения этой задачи в случае импедансных граничных условий.

Основное внимание в разделе уделено методу Винера-Хопфа, являющемуся эффективным методом решения краевых задач с составными граничными условиями, поставленными в полуплоскости. Известным изложением этого метода является книга Б. Нобла "Метод Винера-Хопфа" М.: Инлит, 1962. В главе рассматриваются основные этапв решения задачи методом Винера-Хопфа, решение уравнения Винера-Хопфа.

Формулируется принцип предельного поглощения (ППП). Вводятся определение факторизации Винера-Хопфа:

Определение 1. Говорят, что заданная на контуре Г функция а{Ь) допускает каноническую факторизацию, если ее можно представить в виде произведения а(Ь) = а+{1)а~Ц), (а+(г))±1 € А+ (Г), (а_(2;))±1 € А~ (Г), где А+ (Г) - множество функций, аналитичных в области, лежащей слева от контура Г и непрерывных в замыкании этой области, А~ (Г) — множество функций, аналитичных в области, лежащей справа от контура Г и непрерывных в её замыкании.

В этом же разделе первой главы вводится операторная форма записи уравнения Винера-Хопфа и необходимые понятия, такие как оператор Коши и сингулярные интегральные проекторы.

Далее рассматриваются существующие подходы к численной факторизации Винера-Хопфа, такие как: расчет по универсальной формуле, выражающей факторизацию через двумерные интегралы Фурье; метод бесконечных произведений пригодный для факторизации меро-морфных функций; метод, основанный на аппроксимации рациональными функциями (аппроксимация Паде). Делается вывод о том, что последний метод на сегодняшний день является лучшим компромиссом между эффективностью и универсальностью.

Второй раздел первой главы посвящен гидроакустическому полю воздушного источника. Решение уравнения Гельмгольца, описывающего гидроакустическое поле неподвижного воздушного источника, пред-ставимо в виде интеграла Ханкеля, который при деформации контура интегрирования в комплексной плоскости можно представить в виде трех слагаемых: донной боковой волны, воздушной боковой волны и суммы вычетов в полюсах подынтегральной функции (квазираспро-страняющихся мод). Наличие боковой волны (непрерывный спектр), распространяющейся вдоль границы раздела вода/воздух со скоростью звука в воздухе и экспоненциально затухающей с увеличением глубины приема сигнала, является отличительной особенностью гидроакустического поля воздушного источника, по сравнению с полем водного источника.

В разделе рассматриваются методы, применяющиеся при исследовании основных свойств гидроакустического поля водного источника, так как гидроакустическое поле воздушного источника имеет с ним много общего. Прежде всего это. законы спада осредненного по вертикали и/или горизонтали уровня интенсивности гидроакустического поля водного источника.

Данные методы использовались авторами работы "Об особенностях среднего уровня звукового поля в гидроакустическом волноводе от источника, расположенного в воздухе" (сборник трудов "VI между-

народной научно-технической конференции" «Современные методы и средства океанологических исследований», часть 1, МгИОРАН, 2000 г., с. 264-273) для оценки уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника, осредненного по горизонтали на интервалах, превосходящих максимальный период интерференции мод

Исследованию гидроакустического поля водного источника в зонах интерференционных максимумов посвящена работа Г. А. Грачева, Г. Н. Кузнецова "О средней скорости изменения фазы акустического поля вдоль плоского волновода"//Акуст. журн. 1985, т. 31. № 2, с. 266-268. В ней было показано, что звуковое давление в окрестностях интерференционных максимумов представимо в виде локально плоской волны:

Р(г,г,ш) = а°(Г' ехр {г[«(г - г*) + <р(г\ г.и)]} , (1)

у/Г

г+Дг/2 . г+Дг/2

й= / / «2(0* = Е^/(2)

г-Дг/2 ' г-Дг/2 ^ = 1 ' 3 = 1

где ш — круговая частота источника, к — среднее горизонтальное волновое число, Ь]. к3 — амплитуды и волновые числа распространяющихся в волноводе мод, г* — горизонтальное расстояние от источника до некоторой точки в окрестности рассматриваемого интерференционного максимума, ■р(г *, г. и>) — фаза акустического поля в этой точке, ад (г, г, ш) — амплитуда звукового поля, скорректированная на цилиндрическое расхождение звукового фронта. При отсутствии диссипативных потерь в дне величина к не зависит от расстояния и определяется лишь горизонтами излучения и приема сигнала и параметрами волновода. При коэффициенте поглощения /3 отличном от 0 величина к становится адиабатическим инвариантом по г и в выражении (2) следует заменить Ь3 на Ь](г) = Ъ3 ехр[—(1т к3)г}. Аналогичный подход применяется в настоящей работе при анализе гидроакустического поля воздушного источника в условиях мелкого моря.

Далее в разделе обсуждаются наиболее известные результаты, касающиеся гидроакустического поля неподвижного воздушного источника, в частности, классическая работа Д. M Чепмена и П. Д. Варда "The normal-mode theory of air-to-water transmission in the ocean" J. Acoust. Soc. Amer., 1990, v. 87, p. 601-617.

В заключении главы рассматривается гидроакустическое поле движущегося воздушного источника, при этом сделан акцент на методах, использующих модовое представление поля. В частности, к этой тематике относится работа А. Н. Горбанёва, С. М. Грудского. В. С. Рабиновича, Е. А. Ривелиса, Ю. В. Хохи, С. Л. Эдельштейна "Асимптотика акустического поля, создаваемого в океаническом волноводе движущимся воздушным источником звука" // Океаническая акустика, М.гНаука, 1993г., с. 9-20

Вторая глава целиком посвящена двумерной задаче о распространении звука в полупространстве над поверхностью с составными граничными условиями второго и третьего рода.

Задача рассматривается в заданной системе координат Oxz, в верхней полуплоскости (z > 0). Математическая постановка задачи состоит из уравнения Гельмгольца с заданными на оси Ох составными граничными условиями второго и третьего рода. С помощью стандартной замены, исходная задача сводится к задаче для однородного уравнения Гельмгольца:

АР0(х, z) + к2Р0{х, z)= 0 (3)

и заданных на оси Ох граничных условий:

= 0, х>0, (4)

^j(z.O) + АР0(х,0) = -APs(x,0), х < 0. (5)

Здесь Pq(x,z) искомая комплексная амплитуда звукового давления, ^ = Ш1 + Ш7 оператор Лапласа. A (ImA > 0) — комплексный па-

раметр. характеризующий поглощающие свойства границы, fc — волновое число, Ps(x, z) — известная функция, содержащая в себе зависимость от точечного монохроматического источника, имеющего координаты (то. zq). Постановка задачи дополняется требованием выполнения принципа предельного поглощения (при построении решения предполагается, что к = fco(l + ге), где £ > 0 — коэффициент поглощения).

Решение задачи разыскивается в специально выбранном классе функций Wi Функция /(х, z), определенная в области M х К+, К+ = {zgR | г > 0}, принадлежит классу х ®+)> если

а) f(x, z) дважды непрерывно дифференцируема по обеим переменным в области M х R+;

б) для каждого фиксированного z > 0 выполняется: f(-,z) е L^(К), %(-,z)eL2(R), 0(.,z)€L2(R).

в) существуют такие функции /о(.г) и /д(х) принадлежащие классу L2(R), что

]™||/(-,г) -/0(-)|Il2(r) =0, lim

г) zhrnJ\f(;z)\\L2m =0.

Здесь — пространство функций, интегрируемых с квадратом на

R. Основной полученный результат — обоснование принципа предельного поглощения — содержится в следующих теоремах.

Теорема 1. Решение задачи (3)-(5) в классе функций W2(K х R+) при коэффициенте поглощения е > 0, функция Pq(x,z) := Pq(x,z,s), существует и единственно.

Теорема 2. Для всяких фиксированных х £ №., z > 0 существует конечный предел предел функции Pq(t,z,e) := Pq(x1z) при е —* 0'

lim P0(x,z,e) = P0{x,z,0).

21

dz

= 0.

LoCRI

Доказательство первой теоремы состоит в следующем. С помощью метода Винера-Хопфа, при е > 0, строится решение задачи (З)-(о) в виде:

+оо +оо

рп(х z) - iA Г [ G-(«)G+(< mX'Z) fc0(27r)2 J J 7(a)7(t)(a-

oo —oo

x exp(îfco[7(0^0 + £xo + 7{a)z — ax\) dÇda,

где функции результат факторизации Винера-Хопфа функ-

ции:

= = (6)

7(а) = + ге)2 - а2.

Знак «-» в знаменателе подынтегральной функции указывает на то, что внутренний интеграл по £ следует понимать как предел соответствующих интегралов, когда комплексный параметр а стремится к вещественной оси из нижней полуплоскости по некасательным направлениям.

Далее, используя обоснованные в ходе решения свойства функций G±(a). непосредственно проверяется, что полученное выражение (6) при с > 0 удовлетворяет уравнению (3), краевым условиям (4), (5) и принадлежит введенному классу W2(R x R+).

Доказательство теоремы 2. В ходе решения исходной задачи, для выражения (3) было получено следующее представление:

U f+oo

Ро{х, г) = / ф(а)е-гЬо(а*+7(а)2 da >

V2tt J-oo

где функция Ф(а) = Ф+(а) + Ф_(а), Ф±(а) 6 Л±(М) есть решение уравнения Винера-Хопфа

<?(а)ф+(а) + ф-(а) = д{а). a G R, (8)

1 л+оо

Ф+(с*,0) = lim -7= / PQ(x,z)elk°axdx, г->0 V27T Уо

1 /-0

ф- (а, 0) = lim / Ро(х, z)ék°ax dx,

г^О ^/27Г J-oo

Фб~(а,0) = 4= Г ^(^O)e^dx.

V27T J-oo

При е > О функция G (а) принадлежит классу Гёльдера i/i(IR) и уравнение (8) имеет единственное решение. Для анализа случая е = 0 это уравнение рассматривается на контуре Г, полученном деформацией вещественной оси в окрестности нуля с тем, чтобы контур Г был отдален от особенностей функции G(a) при всех значениях е е [0:ci), и записывается в операторной форме:

Лг:12(ГН£2(Г), Ar = Pr~G(a)Qr,

Pr = \(I + Sr), Qr = \(I-Sr)

где Sr — оператор сингулярного интегрирования. Используя необходимые сведения из теории одномерных сингулярных интегральных операторов, удается доказать, что существует обратный оператор Ар1, норма которого непрерывно зависит от s е [0:ci) Данное утверждения, с учетом связи решений уравнения (8) на контурах Г и 1, приводит к существование искомого предела выражения (3) при г —» 0 для всяких фиксированных i е R, г > 0 Тем самым, теорема 2 доказана

Следующий раздел второй главы посвящен асимптотическому анализу интегрального представления решения (6). В качестве большого безразмерного параметра была взята сумма расстояний между источником и началом координат, и между приемником и началом координат, выраженная в длинах волн:

R-

ко (jzl + xl + ^z2 + x2^j (10)

С помощью формул Сохоцкого выражение (6) записывается в виде:

+оо

Л р / „Ч Г ехр {гк0[^(а)(г0 + г) + а(х0 - ж)]}

47г у (Л + гА:о7(а))7(а)

—оо

где Роо(х,г) определяется формулой (6), где внутренний интеграл понимается в смысле главного значения. Двумерный методом стационарной фазы, для него была получена асимптотическая формула, справедливая при отдаленности точки стационарной фазы от полюса подынтегральной функции:

ы*>-Ц чШ^гЛп^о^}, (11)

Используя более развитую технику, включающую принцип локализации особенностей, метод стационарной фазы и сведение к модельным интегралам, также удалось получить более общую формулу, учитывающую случай слияния точки стационарной фазы и полюса подынтегральной функции.

В заключение были рассмотрены некоторые частные случаи из полученных формул, связанные со взаимным расположением приемника и источника, косвенно подтверждающие их справедливость.

Третья глава посвящена задачам, связанным с гидроакустическим полем воздушного источника. Рассматриваемая модель представляет собой водный слой постоянной толщины Н, окруженный сверху воздушным, а снизу донным полупространством. Воздух и дно также считаются однородными и жидкими; для донного полупространства учитывается поглощение в виде комплексной добавки к показателю преломления вода/дно. Точечный монохроматический акустический источник находится в воздухе, а приемник — в воде. Поле рассмат-

ривается на больших расстояниях, то есть предполагается, что горизонтальное расстояние между источником и приемником г много больше толщины водного слоя и высоты источника 2ц В этих условиях гидроакустическое поле Р(г. г) хорошо описывается модовым представлением:

р / ^ _ г ^ ф1(цГг)ф2{^-го)ц0Н^\кь:г1л,:1)

где кш волновое число в воде, ^ собственные функции соответствующей задачи Штурма-Лиувилля, а Ш(/л) — составленный из них вронскиан. — З-й корень дисперсионного уравнения = 0. Дис-

персионное уравнение имеет счетное число корней, однако суммирование ведется по первым Ь удовлетворяющим условию Иед^ > 11екш (квазираспространяющиеся моды).

В первом разделе рассматривается задача о средней интенсивности гидроакустического поля воздушного источника, осредненной по перекрывающей весь волновод вертикальной антенне. То есть производится оценка интеграла:

Ш = ^ I" \Рт(г.г)\2 ¿г.

Используя то, что собственные функции поперечного оператора фх (//..,, г) почти ортогональны на интервале [0; Я], проводится асимптотический анализ данного интеграла при условии справедливости следующих соотношений:

КН » 1, (12)

(13)

где сто ~ константа, определяемая параметрами волновода.

Первое условие означает требование многомодового распространения. Второе условие означает что мы рассматриваем поле на больших по сравнению с толщиной водного слоя расстояниях от источника, но

таких, чтобы число мод, вносящих эффективный вклад в формирование акустического поля и уменьшающееся с ростом расстояния из-за диссипативных потерь при отражении звуковых сигналов от дна, было еще достаточно велико.

В результате получена следующая асимптотическая формула:

г (г г) ^_й9Н^_

а = §= Р2*2«)2™*

2 [к1 яя)2 (п| - 1)' (кн)Ъ 7з (п°)

Н = я + --

где т^ — отношение плотности дна к плотности воды, пд — показатель преломления границы сред вода/воздух, п® реальная часть показателя преломления вода/дно. На разных этапах получения этой формулы использовались следующие вспомогательные результаты: асимптотическое разложение корней дисперсионного уравнения по малому параметру со, равному отношению плотностей воздуха и воды; асимптотика функции Ханкеля для больших значений аргумента; асимптотика корней дисперсионного уравнения при 1; асимптотика функции Френеля для больших значений аргумента

Поскольку мало, то можно сделать вывод, что уровень интенсивности гидроакустического поля воздушного источника, осреднен-ный по апертзфе вертикальной антенны, перекрывающей весь водный слой, на средних дальностях (13) в горизонтально стратифицированных волноводах с поглощающим дном изменяется с расстоянием как г-5/2_

Справедливость полученного закона подтверждается проведенными численными экспериментами, результаты которых изложены в четвертой главе диссертации.

Во втором разделе третьей главы показано, что аналогично полю водного источника, гидроакустическое поле неподвижного воздушного источника в зонах интерференционных максимумов представимо в виде локально плоской волны (1), в которой

* = Т = 1>А,/х>12, (14)

Ъ3 ~ 79(м) = уЧ ~ М2,

Ь3, «^ — соответственно комплексные амплитуда и волновое число ]-й моды, у; — средняя фазовая скорость. Из последнего соотношения следует, что в отличие от случая водного источника, величины к, V/ воздушного источника (14) не зависят от значения его вертикальной ко-ординты. Из того, что при получении соотношений (2), (14) для к в качестве весовой функции использовался квадрат амплитуды поля а§(г), следует что ду/дг близко к в зонах интерференционных максимумов.

Возможность аппроксимации гидроакустического поля неподвижного воздушного источника в зонах интерференционных максимумов квазиплоской волной (1), (14) проверялась в ходе численных экспериментов по сравнению отклика линейной горизонтальной антенны, находящейся в волноводе, на звуковой сигнал, излучаемый источником, с диаграммой направленности этой же антенны в безграничном пространстве, волновое число которого выбирается по формуле (14).

В результате этих экспериментов было показано, что относительная погрешность аппроксимации характеристики направленности антенны в волноводе диаграммой направленности той же антенны в безграничном пространстве с волновым числом к не превосходит 0,1 дБ, если антенна целиком расположена в зоне интерференционного максимума. Положение и ширину интерференционных максимумов можно определять по превышению текущими значениями амплитуды гидроакустического поля его среднего уровня, вычисляемого методом скользящего

окна по формуле

_ / 1 rr+Ar/2 Ч1/2

Длина горизонтального разреза Ar, ira котором производится осреднение, должна превышать максимальный период интерференции мод, то есть

Дг > 2тг/тш Ак1т = 2ж/Ак12 « 8/3 • Я2Л-1,

1,тп

где Л — длина звуковой волны в воде.

В третьем разделе третьей главы приводится алгоритм аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решений волнового уравнения для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника.

Поле монохроматического движущегося источника, в силу эффекта Доплера, уже не является монохроматическим. Показано, что с ростом скорости движения воздушного источника наиболее заметные искажения претерпевает фаза гидроакустического поля, в то время как изменением амплитуды можно пренебречь даже для скоростей, сравнимых со скоростью звука в воздухе.

Используя представление для гидроакустичстического поля неподвижного воздушного источника в зонах интерференционного максимума (1), (14) и уравнение, определяющее доплеровский сдвиг наблюдаемых частот мод гидроакустического поля движущего воздушного источника, определяется круговая частота «

û = W0 (l + V/vjiôj))-1, (15)

где шо, V — собственная круговая частота и радиальная скорость движущегося воздушного источника. С помощью численных расчетов показывается, что гидроакустическое поле движущегося воздушного источника в зонах интерференционных максимумов можно аппроксими-

ровать с помощью решения волнового уравнения для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника, излучающего частоту и1 (15), горизонтальная координата которого изменяются во времени í в виде г(Ь) = г0 + УЬ.

Качество предложенной аппроксимации контролируется коэффициентом корреляции, результаты численного моделирования приводятся в четвертой главе.

Четвертая глава содержит результаты численных расчетов в рамках рассмотренных выше задач и результаты обработки данных натурного эксперимента по исследованию гидроакустического поля движущегося воздушного источника.

Первый раздел данной главы посвящен численной факторизации Винера-Хопфа. Вначале приводится описание разработанного алгоритма, основанного на аппроксимации факторизуемой функции рациональными функциями. Отличием предложенного подхода от известных аналогов является возможность произвольного выбора комплексных опорных точек для построения аппроксимации. Входными параметрами алгоритма являются: желаемый порядок аппроксимации (числа N и М — степени полиномов в числителе и знаменателе), набор комплексных опорных точек 22, ... г^ (среди них может быть и бесконечно удаленная точка) и наборы из аг первых коэффициентов ряда Тейлора для каждой точки гг На основе этих данных строится рациональная аппроксимация и производится её факторизация Алгоритм реализован в виде библиотеке на языке МАТЬАВ. Есть специальная версия для четных функций, отличающаяся большей эффективностью и точностью.

В заключении раздела выводится аналитическая оценка погрешности численной факторизации Винера-Хопфа, выражающая относительную погрешность факторизации через относительную погрешность аппроксимации Полученная оценка является строгой, не ассимптоти-

ческой.

Второй раздел четвертой главы посвящен численной проверке полученной в третьей главе асимптотической формуле для осредненного по вертикальной гидроакустической антенне поля воздушного истоника. Вычисления по асимптотической формуле сравнивались с результатами численного интегрирования поля.

Проведенная серия численных расчетов для физически правдоподобных наборах входных параметров, показывает что полученная формула верно описывает спад среднего поля для достаточно протяженной зоны на средних растояниях между источником и приемником (13).

В третьем разделе четвертой главы приводится результаты численного анализа полученной аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника полем неподвижного воздушного источника В начале раздела приводится использованный алгоритм расчета поля движущегося источника.

Для оценки качества аппроксимации использовались коэффициенты корреляции — интегральный и точечный:

-1/2

г+Аг/2 г+Дг/2 г+Аг/2

р(г) = Ке I Р„(ОРот I \PviO\4 I |Ро(012#

г-Дг/2

Рр(г) =

г-Дг/2 г-Дг/2

Ру(г)-Р0(г)

I едмадг

где Ро — поле неподвижного аппроксимирующего источника, Ру — поле движущегося источника.

Точечный коэффициент корреляции в данном случае более информативен и проведенные численные эксперименты демонстрируют высокий уровень коррелированности сигналов именно в зонах интерференционных максимумов.

Для подтверждения надежности регистрации гидроакустического сигнала движущегося воздушного источника был проведен натурный

эксперимент, результаты которого приводятся в четвертом разделе данной главы. В качестве акустического источника при проведении эксперимента использовался вертолет Прием осуществлялся на вертикальную антенну. Диапазон используемых при обработке частот соответствовал условиям распространения сигналов в мелком море.

При обработке данных эксперимента в суммарном гидроакустическом сигнале была выделена воздушная боковая волна, распространяющаяся в водном слое со скоростью звука в воздухе 330 м/с), присутствие которой ранее предсказывалось лишь теоретически.

В заключении обобщены итоги и результаты проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Обоснован принцип предельного поглощения в двумерной задаче о распространении звука над поверхностью с составными граничными условиями второго и третьего рода

2. Разработан метод численной факторизации Винера-Хопфа на основе аппроксимации Паде, позволяющий производить факторизацию функций, допускающих аппроксимацию рациональными функциями в окрестности контура интегрирования

3. Получены асимптотические формулы для расчета поля в задаче о распространении звука над поверхностью с составными граничными условиями второго и третьего рода

4. Получен закон убывания с увеличением расстояния от воздушного источника интенсивности его гидроакустического поля, осред-ненной по глубине мелкого моря

5. Разработан алгоритм аппроксимации гидроакустического поля воздушного источника в зонах интерференционных максимумов квазиплоской волной Получено выражение для фазовой скорости данной волны через фазовые скорости мод, показывающее,

что данная величина не зависит от вертикальной координаты источника.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНИИ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

1. Аграновский А. В., Батпалыциков А. А., Грудский С. М., Розенберг А. В., Сборщиков В. А. Изменение с расстоянием величины среднего уровня интенсивности сигнала воздушного источника. // Доклады 9-й школы-семинара акад. Л М. Бреховских "Акустика океана"- М.: ГЕОС, 2002, с. 45-49.

2. Багпалъщиков А. А., Розенберг А. В. О возможности аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника решениями уравнения Гельмгольца задачи для неподвижного источника. // Тезисы докладов международной научной конференции «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности». Таганрог: ТРТУ, 2003, с 69-71.

3. Баталъщиков А. А., Розенберг А. В. Коэффициент корреляции гидроакустических полей движущегося и неподвижного воздушного источника. // Тезисы докладов международной научной конференции «Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности». Таганрог: ТРТУ, 2003, с. 83-85.

4. Аграновский А. В., Баталъщиков А. А., Розенберг А. В., Сборщиков В. А. Средняя скорость изменения с расстоянием фазы гидроакустического сигнала воздушного источника. // Сб. трудов 13-й сессии Российского акустического общества. Т 4. - М.: ГЕОС, 2003, с. 117-120.

5. Баталъщиков А. А , Розенберг А. В., Сборщиков В. А. Выделение воздушной боковой волны в гидроакустическом поле движущегося воздушного источника. Результаты обработки экспе-

риментальных данных. // Доклады 10-й школы-семинара акад. Л М. Бреховских "Акустика океана", 2004, с. 447-450

6. Баталъщиков А. А. Численная факторизация Винера-Хопфа методом многоточечной аппроксимации Паде //Труды конференции «Параллельные вычисления в задачах математической физики» 2004, с. 16-23.

7. Баталъщиков А. А. Обоснование принципа предельного поглощения в задаче для уравнения Гельмгольца с составными граничными условиями //Научная мысль Кавказа, №3, 2005, с. 117-122.

8. Баталъщиков А. А Численная факторизация Винера-Хопфа функции с корневыми разрезами //Научная мысль Кавказа, №4, 2005, с. 82-86.

9. Баталъщиков А. А., Морев О. К., Розенберг А. В. Комплекс программных средств Air2Hydro3L для расчета гидроакустического поля движущегося воздушного источника и оценки возможности его пеленгации стационарными гидроакустическими системами. Версия 1.1. // Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №20056Ю935/РОСПАТЕНТ - М., 19.04 2005.

В работах опубликованных в соавторстве лично Батальщикову А. А. принадлежат следующие результаты: в [1] проведение численных экспериментов и равнозначно с С. М. Грудским, А. В. Розенбергом получение аналитического выражения для среднего уровня величины интенсивности гидроакустического поля воздушного и водного источника в зависимости от расстояния; в [4] аналитический вывод выражения для средней фазовой скорости гидроакустического поля воздушного источника в горизонтально стратифицированном волноводе. В работах [2,3,5,9] вклад всех соавторов равнозначный.

0*1684 1

РНБ Русский фонд

2006-4 12755

Тип ООО «ФЕНИКС» Заказ № 97 от 7 09 2005 г Тираж 100 экз

Основные обозначения

Введение

1 Обзор существующих методов исследования акустического поля воздушного источника

1.1 Существующие методы решения задач с составными граничными условиями

1.2 Гидроакустическое поле воздушного источника.

2 Источник в полупространстве с составными граничными условиями

2.1 Описание модели. Постановка задачи.

2.2 Интегральное представление решения.

2.3 Доказательство теоремы существования и единственности решения

2.4 Обоснование принципа предельного поглощения

2.5 Асимптотика поля на больших расстояниях.

3 Гидроакустическое поле воздушного источника

3.1 Усредненные законы убывания с расстоянием интенсивности гидроакустического поля воздушного источника.

3.1.1 Постановка задачи, формулы полного поля и его модовой части

3.1.2 Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного источника

3.1.3 Убывание с расстоянием среднего по глубине моря уровня интенсивности гидроакустического поля водного источника

3.2 Гидроакустическое поле воздушного источника в зонах интерференционных максимумов.

3.3 Аппроксимация гидроакустического поля движущегося воздушного источника

3.3.1 Выражение для поля движущегося источника.

3.3.2 Алгоритм аппроксимации поля движущегося источника.

4 Результаты численного моделирования 76 4.1 Численная факторизация Винера-Хопфа.

4.1.1 Оценка погрешности факторизации Винера-Хопфа.

4.1.2 Алгоритм численной фактризации Винера-Хопфа.

4.1.3 Численный расчет факторизации функции с конечными разрезами

4.1.4 Численный расчет факторизации G(a).

4.2 Расчет среднего уровня убывания гидроакустического поля воздушного источника.

4.3 Результаты моделирования поля движущегося источника с помощью неподвижного источника.

4.4 Результаты обработки данных натурного эксперимента

Широкая распространенность практических задач, связанных с расчетом звуковых полей воздушного источника в слоистых средах, по отношению к которым источник является внешним, а также в воздухе над плоской поверхностью с резким изменением акустических свойств вдоль некоторой границы, обуславливает необходимость разработки соответствующих математических моделей. Так, к задачам о распространения звука воздушного источника в средах с составными граничными условиями можно отнести следующие: исследование акустического поля, создаваемого взлетающими и садящимися самолетами при контроле уровня шумности в аэропортах; распространение звука над водоемами в окрестности береговой линии. Результаты решения подобных задач могут быть также использованы в медицине, для улучшения качества ультразвукового исследования, в дефектоскопии, в архитектурной акустике и ряде других задач.

Исследование особенностей поведения гидроакустического поля воздушного источника важно для создания и улучшения характеристик широкого спектра гидроакустического оборудования. Ввиду сложности измерения параметров волновода и влияния флуктуации среды, неучитываемой при расчетах при расчетах, большую практическую ценность имеют различные, устойчивые к этим факторам, характеристики гидроакустического поля. Знание о средних законах спада гидроакустического поля с расстоянием необходимо для оценки дальности действия гидроакустических антенн, а также может служить основой алгоритмов классификации надводных и подводных источников.

Очевидный интерес представляют задачи, связанные с движущимся воздушным источником. Сложность структуры его гидроакустического поля и необходимость решения обратных задач порождает потребность в построении эффективных алгоритмов его аппроксимации.

В связи с указанной проблематикой в настоящей диссертационной работе были поставлены и рассмотрены следующие задачи:

• Исследовать возможность строгого обоснования принципа предельного поглощения в задачах для уравнения Гельмгольца с составными граничными условиями.

• Разработать метод численных расчетов интегральных выражений, полученных при решении задач методом Винера-Хопфа.

• Исследовать поведение акустического поля при удалении источника и приемника от места резкого изменения граничных условий.

• Исследовать суммарное гидроакустическое поле, создаваемое воздушным источником на вертикальной антенне, полностью перекрывающей волновод.

• Исследовать особенности амплитудно-фазовых характеристик гидроакустического поля воздушного источника в волноводе при различных горизонтах излучения и приема сигнала.

• Разработать алгоритм аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решения соответствующей задачи для неподвижного источника.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава содержит краткий обзор известных методов решения дифракционных задач в областях с составными граничными условиями и и задач о волноводном распространении акустических сигналов в средах, по отношению к которым источник является внешним.

Заключение

В результате выполненных в данной работе аналитических и численных исследований были решены поставленные задачи и получены следующие результаты.

Обоснован принцип предельного поглощения в двумерной задаче для уравнения Гельмгольца в полуплоскости с составными граничными условиями 2-го и 3-го рода.

Получены асимптотические формулы для решения указанной выше задачи с составными граничными условиями по большому параметру, представляющему собой сумму расстояний от начала координат до приемника и от начала координат до источника. Прямое применение метода стационарной фазы позволило получить асимптотические формулы, неравномерные по некоторым параметрам задачи. Для получения равномерных формул использовался принцип локализации особенностей, позволивший свести исходный интеграл к модельному, учитывающему случай слияния точки стационарной фазы и полюса подынтегральной функции.

Для проведения численных расчетов по формулам, получаемым при решении задач методом Винера-Хопфа, был разработан алгоритм численной факторизации Винера-Хопфа, основанный на аппроксимации факторизуемой функции рациональными функциями и применимый для функций, допускающих равномерную рациональную аппроксимацию в окрестности контура интегрирования. Реализованный на языке МаЫаЬ алгоритм, кроме основного, содержит специальную версию алгоритма для четных функций, отличающуюся повышенным быстродействием и точностью. Разработан подход, позволяющий применять предложенный алгоритм для некоторого класса функций, не допускающих равномерную рациональную аппроксимацию. Идея этого подхода была высказана в работе ([14]) и заключается в факторизации функции, возведенной в квадрат с последующим извлечением квадратного корня из получившихся факторов (при этом некоторую сложность при практической реализации представляет корректировка разрезов в комплексной плоскости получившихся после извлечения квадратного корня функций).

Получена аналитическая оценка погрешности факторизации Винера-Хопфа, связывающая относительную погрешность аппроксимации с относительной погрешностью факторизации. Особенностью полученной оценки является то, что она строгая, не ассимптотическая. Для ее практического использования необходимо иметь оценку интеграла Коши от относительной погрешности аппроксимации.

Получены оценки убывания с расстоянием осредненного по глубине водного слоя уровня интенсивности гидроакустического поля воздушного и водного источника в горизонтально стратифицированных волноводах с поглощающим дном. Данные законы справедливы в тех же диапазонах расстояний в которых справедлив степенной закон "3/2" для усредненного по глубине квадрата амплитуды звукового поля, полученный Л. М. Бреховских. Справедливость полученных закономерностей проверена результатами численного моделирования.

Введено понятие средней фазовой скорости для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника, независящее (в отличие от аналогичной величины для водного источника) от значения его вертикальной координат что дает реальную возможность использовать эту величину при построении алгоритмов обработки сигналов, так как остальные определяющие ее параметры измеряются в процессе калибровки приемной системы.

Проведенные численные исследования показали, что если гидроакустическая антенна целиком расположена в интерференционном максимуме тонального воздушного источника, то ее характеристики направленности в волноводе и свободном пространстве, скорость звука в котором равна средней фазовой скорости, совпадают с высокой точностью.

Предложен алгоритм аппроксимации гидроакустического поля движущегося воздушного источника с помощью решения волнового уравнения для гидроакустического поля неподвижного воздушного источника. Численные расчеты показали, что при средних скоростях и не очень высоких частотах коэффициент корреляции полей движущегося и неподвижного источника со скорректированной частотой ш в зонах интерференционных максимумов близок к единице. Так как фактор движения источника позволяет определять положение и ширину зон интерференционных максимумов, и в этих зонах гидроакустическое поле неподвижного воздушного источника хорошо аппроксимируется локально плоской волной и характеристика направленности антенны в волноводе оказывается близка к диаграмме направленности этой же антенны в свободном пространстве с волновым числом к, то становится реализуемым практически построение алгоритма оценки углового положения движущегося воздушного источника с помощью формирования характеристики направленности антенны в волноводе в моменты, когда на ее апертуре наблюдается максимум звукового поля.

При обработке данных натурного эксперимента по регистрации гидроакустического поля движущегося воздушного источника получили подтверждение следующие тезисы:

- узкий приповерхностный слой характеризуется преобладанием воздушной боковой волны над модовой составляющей поля;

- с увеличением глубины амплитуда боковой волны резко убывает: в придонном слое боковую волну можно наблюдать лишь на частотах ниже критической частоты волновода. В записи приповерхностного гидрофона боковая волна на частотах ниже критической частоты волновода уверенно выделяется на расстоянии до 400 глубин моря; в записи придонного гидрофона она практически не наблюдается и её присутствие в спектре сигнала около точки траверза объясняется исключительно большой акустической мощностью вертолета. Отметим также, что детальный анализ закона убывания с расстоянием затруднен несомненным большим влиянием на сигнал диаграммы направленности источника;

- смещение наблюдаемых частот движущегося источника определяется фазовой скоростью сигнала й/ и скоростью движения источника V (эффект Доплера) и для боковой волны, распространяющейся с фазовой скоростью звука в воздухе проявляется заметно сильнее, чем для мод, поэтому оценка скорости источника по перепаду частот может производиться точнее и для записей с меньшей частотой дискретизации;

- боковая волна в условиях эксперимента выявлена на частотах ниже критической частоты волновода, на которых нормальные волны не распространяются.

Разработана методика выделения при цифровой обработке регистрируемых сигналов и наблюдении с ее помощью в ходе натурного эксперимента воздушной боковой волны в суммарном гидроакустическом поле движущегося воздушного источника, присутствие которой ранее предсказывалось лишь теоретически.