автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.10, диссертация на тему:Локальные модели голосования

ИНСТИТУТ ПГОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН

на правах рукописи УДК 519.1:519.874:658.566

АЛЕСКЕРОВ Фуад Таги оглы

ЛОКАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ГОЛОСОВАНИЯ

Специальность: 05.13.10 - Управлепие в социальных и экономических

системах

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1993

РГЗ 0.1

Л ¡, Г, ~

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Официальные оппоненты — доктор технических наук, профессор

Б.Н.БУРКОВ

доктор физико-математических наук, профессор

Д.Б.ЮДИН

доктор технических наук, профессор В.В.ПОДИНОВСКИЙ

Ведущая организация — Институт системного анализа РАН

Защита состоится 23 декабря 1993 г. в 14.30 на заседании Специализированного Совета Д 002.68.03 Института проблем управления РАН (117806, Москва, у .т. Профсоюзная, д. 6-5)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления

Автореферат разослан 7 ^'ноября 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного С к.т.н.

С.А.Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Принятие коллективных решении с помощью процедур голосования является одним из основных способов управления сложными социальным.!! и экономическими системами. Первые упоминания о процедурах голосования восходят к античным временам.

Аксиоматическому построению процедур голосования, начатому классической монографией лауреата Нобелевской премии Кеннета Орроу (Arrow K.J. Social Choice and Individual Vahles.- Yale Univ. Press (1963)) посвящено огромное число исследований. Все они в конечном счете преследуют одну цель - нахождение явного вида процедур, при том, что требования к этим процедурам формулируются в виде некоторых естествен пых ограничений.

До недавнего времени многочисленные исследования затрагивали оа небольшим исключением лишь один тип данных - формализацию индивидуальных мнений и коллективного решения в виде бинарных отношений предпочтения. Задача собственно выбора при этом не рассматривалась, а считалось, что задано (явно пли m-явно) правило выбора, которое предопределяет отбор лучших вариантов в смысле этих отношений. 1? качестве такого правила выбора обычно рассматривалось правило иар-нодомнначтного выбора, т.е. такое, которое отбирает варианты, "выдерживающие" парные сравнения с другими вариантами но множества предъявленных вариантов.

Исследования, начатые в середине 70-х гг., которые проводились в Институте проблем управлении под руководством М.А.Айзермапа, покачали, что отказ от принципа парнодоминлнтности позволяет построить нехлассичесхую теорию выбора, в которой известные модели занимают неботъшое, но важное место.

Построенное обобщение теории выбора позволило обратиться к новым формулировкам задач коллективного выбора и построить неклассические постановки этих задач.

Кроме того, классический результат К.Эрроу был впоследствии "перенесен" па другие задачи, например, задачи пропорционального представительства в парламентах, справедливого распределения коллективных благ и т.д.

Столь широкая и разносторонняя интерпретация этих результатов покапывает необходимость глубокого и всестороннего изучений задами

об аксиоматическом синтеое процедур коллективного выбора.

' Цель работы. Разработка единого подхода с задаче аксиоматического синтеза локальных процедур голосования; исследование поставленной задачи для трех моделей формализации индивидуальных мнений и коллективного решения; применение полученных классов процедур к построению моделей многокритериального выбора.

Научная новизна. Проведено детальное исследование локальных процедур голосования для классической постановки задачи, когда как индивидуальные мнения, так и коллективное решение формализованы в виде бинарных отношений.

Сформулирована и полностью решена задача об аксиоматическом синтезе локальных процедур для случая, когда как индивидуальные мнения, так и коллективное решение задаются в виде функций выбора. . • Сформулирована и полностью решена задача синтеза локальных процедур для случая, когда индивидуальные мнения задаются в виде бинарных отношений, а коллективное решение ищется в виде функции выбора общего вида.

Прикладные результаты работы и их реализация. Сформулирована задача качественного многокритериального выбора и получены классы процедур, охватывающие такие классические процедуры, как правила Парето и Слейтера.

Эффективность использования процедур из этих классов продемонстрирована на приА!ере решения следующих прикладных задач:

а) задачи выбора комплекса природоохранных мероприятий для улучшения экологической обстановки в регионе. Методика решения отой задачи использована при разработке программы охраны окружающей среды в Ярославской области.

б) задачи выбора сценариев долгосрочного регионального развития. Методика решения отой задачи использована при разработке программы развития Московского региона на период до 2010 г.

Публикации По теме диссертации опубликовало 35 научных работ общим объемом 46 пл., в том числе 1 монография.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 6 Международных Конгрессах и симпозиумах, 12 Всесоюзных Совещаниях и конференциях, неоднократно - на всесоюзных и общероссийских семинарах. По результатам работы прочитан курс лекций для аспирантов в Калифорнийском технологическом институте (США).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и Приложения. Объем работы - 365 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Общее описание задачи голосования

Теория голосования изучает следующую модельную ситуацию: коллектив, состоящий из любого конечного числа п индивидуумов (далее избирателей), рассматривает конечное множество А вариантов (ими могут быть кандидаты, планы, проекты и т.д.); каждый избиратель, в пределах некоторых и одинаковых для всех избирателей ограничений, наделе» суверенным правом иметь свою собственную точку зрения на то, какие варианты должны быть выбраны. Задача состоит в том, чтобы "переработать", вообще говоря, несовпадающие решения избирателей в одно коллективное решение, удовлетворяющее тем же ограничениям, если они существуют.

Эта проблема может изучаться в детерминистском или в вероятностном аспекте. В работе речь идет о детерминистской постановке задачи.

Пусть А — конечное' множество вариантов, а X С А — предъявляемые для выбора подмножества.

Задача о синтезе процедур голосования исследуется в трех различных постановках. Общим для всех трех является рассмотрение правила коллективного выбора как оператора, отображающего п "индивидуальных мнений избирателей" в одно "решение коллектива". Различие между этими постановками задачи состоит в определении того, что принимается в качестве мнений избирателей и решения коллектива-бинарные отношения или функции выбора.

Для того чтобы описать эти постановки задач, введем три операторных пространства, обозначив их II/, П// и II///. Элементы этих пространств обозначим тг/, тгц и тг/// и назовем их операторами коллек-

тивного выбора (голосования) первого, второго и третьего типа соответственно1 .

Во всех трех' случаях рассматриваются классы операторов кг,и г/я, удовлетворяющие некоторому наберу дополнительных условий, которые формулируются для них сходным образом.

Основным является, условие локальности. Оно в такой ыере важно и специфично для систем голосования, что его удобно выделить и ввести в определение всех трех операторных пространств: далее мы будем считать, что пространства ПлГЬ/ к Пш содержат только локальные операторы тг/, ~ц и 7.7/7 соответственно.

В каждом из таких пространств могут быть выделены области" локальных операторов, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям "разумности" или "естественности* оператора коллективного выбора. Эти условия обычно называют нормагпвными. Обочн.лам эгя области в ПлПи и Пш — соответственно Пш>Пш? « Пию- Ro тсх трех пространствах области типа L) взодятег сходным образом: формулируются несколько условий (характеристические сьоистоа операторов - например, условие нейтральности); каждое из inix выделает область в П»; пересечение таких областей в каждом на пространств П«(г" — 1,11,1 II) рассматривается как область f].-^.

Рассмотрим теперь иной способ выделения классов операторов П.д(г — 1,11,111). Выше говорилось о том, кг,к соображения "ptyjy:,;-ности" бинарных отношений и функций выбора приводгг к выделении областей Y^d в S ~ множество бинарных отношений (например, любые ациклические бинарные отношения, любые траипитвпкые отношений иг т.д.), и Сц D пространстве функций Выборг С (например, Сп — любые функции, удовлетворяющие условию наследования Н -- ся.далее). Если предполагать, что все избиратели придержяейютса гсвоих* отиошенш* Gi или функций C'i(-) на таких областей, тс »стесгдеиио требовать, чтобы коллективное решение G или С(-) также было го тех л;'- областей — только в «этом случае коллективное решение удовлетворяет тем же тре-

'Иост&ноыа садани, пул которой мнения »-.лбмрмезей '..рчазаэуютсв е виде функций Выборг, а коллективное решение мщетси d виде оламсп i г пространства в литературе ис рассматривалось. Отс> связано с тем, что, допуская представление мпекяи избирателей в столь общем виде как функции выбора, было бы иессгзуслашэ искать колясктиекос ыиеиие в тажок "яромехуточной* форме как бгшарвое отаоше-иве, хотя бы R5JKC достаюччо обшито айда.

юваниям "разумности", которые приняты для индивидуальных мнений юбирателей. Ограничения такого рода принят о называть ограниченней рациональности.

Ограничения рациональности приводят к понятию областей задания

и значений операторов голосования.

Сформулируем теперь задачу синтеза операторов коллективного вы->ора.

Пусть область ф/ (С}и или фш) как-либо зафиксирована. Требуется (айтн в операторном пространстве П/ (соответственно в Пя или Ппг) тератор 7г/, который принадлежит области, выделяемой совокупностью юрмативных ограничений и области рациональности 5,-.

Наиболее важно при этом рассмотрение таких Q¿ и которые от->ажают требования рациональности к индивидуальным и коллективным лнениям.

Глава 2.Рациональность индивидуальных мнений я коллективного решения.

Выше в главе 1 уже указывалось, что одним из способов формализа-дии индивидуальных мнении и коллективного решения является их представление в виде бинарного отношения.

В работе рассматриваются следующие отношения <7:

— ациклические;

— строгие частичные порядки (ациклические и транзитивные отношения);

— слабые порядки (ациклические, транзитивные и отрицательно-транзитивные (хСу&увг => хвг) отношения);

— строгие порядки (слабые порядки, удовлетворяющие условию лит яейности).

Кроме того, рассматриваются иные бинарные отношения.

Будем говорить, что отношение О удовлетворяет условию сильной интервалъностпи, если для любых х,у,2,ш € А из хву и гСги следует хСи) или гйу.

Бинарное отношение С, удовлетворяющее условию сильной интер-вальности называется отношением бипорядка или просто бипорядком. Отношение б,, удовлетворяющее условиям антирефлексивности и сильной интервалыгости, называется отношением интервального порядка

или, кратко, интервальным порядком.

Говорят, что отношение (? удовлетворяет условию полутранзитиано-сти, если для любых г, у, г,то 6 А из хйувг следует хСгу или Би-

нарное отношение <7, удовлетворяющее условиям антирефлексивности, полутранзитивности и сильной интервзльности называется отношением полуиорядка. Если в этом определении условие антирефлексивности опустить, то полученное бинарное отношение называют когерентным бипорядком.

Будем говорить, что отношение (7 удовлетворяет условию слабой ин-тсрвальности, если для любых четырех различных х, у, г, и: из хОу и гСт следует хСю или гСу или уОш или или у Су или тСы.

Наконец, отношение С? удовлетворяет условию слабой цикличности. если для любых трех х,у,г £ А кз наличия цикла хОувгСх следует существование хотя бы одной рефлексивной или симметричной игры, т.е. пары вида г.Ох или , например, хСу.

Бинарное отношение (3, удовлетворяющее условиям слабой интер-вальности и слабой цикличности, назовем ошбим бипорядком.

В классической теории использование бинарных отношений в моделях выбора опирается на презумпцию парности-доминантности: в предъявленном множестве X выбирается вариант, который ''выдерживает" парные сравнения с другим л вариантами из X, т.е.

С{Х) = е е х ■. хОУ} (2л)

Правило (2.1) выбора на бинарном отношении <7 называется правилом парно-доминантного сыбора. Механизм выбора с некоторым би-. парным отношением (У и правилом (2.1) называется механизмом парио-Ооминантпого выбора. Функция выбора С'(-). которая может быть порождена правилом (2.1) на некотором бинарном отношении {?, называется рационализируемой отношением <7, или парко-доминакшко порождаемой функцией выбора на отношении (7.

Другая модель выбора, основанная на "экстремизацконной парадигме", состоит в предположении о существовании па А некоторого критерия качества (ценности, полезности); в выбор на X € Л попадают варианты, имеющие экстремальное значение по этому критерию.

Рассмотрим эту модель в формальных терминах. На А считается заданным критерии и(-). так что каждому х € А соответствует его

критериальная оценка уз(х). А правило выбора записывается следующим образом:

С(Х) = {у £ Х\] 3* € х : *>(*) > Р(у)}. (2.2)

Механизм < у>(-), (2.2) > называется механизмом одпокритериалъно-го выбора и функция С(-), порождаемая таким механизмом, пазывается рационализируемой критерием f(-), или одпокритгриально порождаемой функцией выбора.

В работе рассматривается обобщепне механизма одпокритериалыго-го выбора, определяемое тем, что вариантам х <Е А "приписываются*' не точечные оценки >р{х), а интервал значения критерия [<p{x),ip{x) -f sj.

. Правило выбора будет записано так

С(Х) = {у G Х\]3* е X : ф.) - р(у) > е} (2.3)

Такой механизм выбора < ^(-),£;(2.3) > определяемый правилом (2.Л), критерием <р(-) и функцией погрешности е, назовем механизмом интервального выбора.

Исследуются различные возможные случаи представления функции погрешности е в (2.3):

а) е s 0; Ь) е — const-, с) t = e(z); d)e — е(х, у); е)е = е(Я); /) с = c(s, у, Jf).

Обобщением одно критериальной модели выбора является многокритериальная модель, реализуемая механизмом многокритериального выбора. Считается заданным вектор п критериев fi(-),. ■ ■ ,<?„(•), каждому нарианту'г G А ставится в соответствие вектор критериальных оценок ф{х), а правило выбора обобщает понятие экстремнзационного правила для одного критерия. Существует ряд таких правил, одно из которых принимается безоговорочно всеми исследователями ~ правило Парето: .

С'(Х) = {у£ Х\\3*€Х : (Vi = 1,...,n <pi(x) >

V»i(y) k 3i0 : Vi.(x) > wM)} (2.4)

Правило (2.4) вместе с вектором критериев <р образует механизм многокритериального иаретовского выбора, который далее будем обозначать череч < tp, (2.1) >.

Другое правило, также рассматриваемое в литературе называете! правилом Слейтера или слабым правилом Парето, и записывается еле дующим образом:

С7(Х) = {убХЦЗгеХ: VI = 1,..., п <р{х) > <р{у)}. (2.5

Механизм < <р, (2.5) > назовем механизмом слейтеровского выбора.

Одна из возможностей постулирования свойств при внешнем описа нии выбора - это указание того, как изменяется выбираемое множеств» У = С(Х) при различных "деформациях" предъявления, т.е. множеств; X. Множество всех функций выбора на А будем обозначать через С, < множество всех непустых функций выбора через С

Далее мы приводим те свойства, которые будут использоваться в это! книге.

Определение 2.1. Будем говорить, что функция С(-) удовлетворяем

a) условию наследования (обозначение - Н), если для всех X, X' X' С X С(Х') Э С(Х) П X'.

b) условию согласия (обозначение - С), если для всех Х',Х" X = Х'ИХ" С(Х) э С{Х')Г)Х".

c) условию независимости от отбрасывания отвергнутых вариан тов (обозначение - О), если для всех Х,Х' С(Х) С X' С X =Ф- С(Х') = С(Х),

<1) аксиоме Джсймисоиа - Лоу - Фишберна, если УХ, X', X" € Л°, X С Х'\С(Х') и С(Х') П Х"^ 0 => (Х\С(Х)) П С(Х") = 0

е) условию неподвижной точки (обозначение - ЕР), если в любом .Д существует у Е X такой что у £ С(Х') для всех X' С Х,у 6 X'.

£) условию функциональной ацикличности (обоначение - РА.), ест не существует такого набора г,вариантов Ех,. Е А и предъявлен!!] Хг,... ,ХТ С А таких, что € X,-, (г — 1,г,хг+1 = хх) и

XI 6 С{Х\),хг $ С{Х1),х3 6 С(Х2),х3 £ С(Хг),х3 € С(Х3), ...,

тгеС(Хг),Хг$С(ХТ).

g) условию слабой функциональной ассиметричностпи, еслиУХ^Хг < А" имеет место С{Хг) % С{С{Хг) и Х5) => С(Хг) С С(С{Х3) и Хг).

Связь между тремя описаний, введенными выше, устанавливаете следующей теоремой 2.1

ТлЬ. V1

Механизмы парно-доминантного выбора

Механизмы критериального выбора

Области в С

строгие порядки слабые порядки полупорядки

интервальные пор*дки когерентные битюрядкн

бипорядки

строгие частичные

порядки

ациклические отношения

произвольные бинарные отношения

однокритериальные, строгие критерии однохритериальный, произвольные критерии интервальный с постоянной неотрицательной погрешностью

интервальный, с функцией погрешности вида £ = ф) > О

интервальный, с постоянной погрешностью

интервальный, с погрешностью вида е = ф)

механизм паретовского выбора

интервальный, с погрешностью вида £ = £(г,у) > О

интервальный, с функциями погрешности вида £ = ф,у)

интервальный, с погрешностью вида £ = е(Х) >

О

интервальный, с,погрешностью вида е = е(Х) интервальный, с погрешностью вида £ = ф, у,Х) > О интервальный, с погрешностью вида £ = Ф,У,Х)__

К в С Кв С

условие функциональной асимметричности и аксиома Джеймисона-Лоу-Фишберка

условие функциональной асимметричности

условие слабой функциональной асимметричности и аксиома Джейми-сона-Лоу-Фишберна условие ,слабой функциональной асимметричности

за П'С п,р в с

НПСв^

Н Л,<3 в С

условие функциональной ацикличности и условие неподвижной точки условие функциональной ацикличности условие ^неподвижной точки

любая функция в С

Теорема 2.1 Существует взаимно-однозначное соответствие между классами механизмов, указанными в столбцах 1 и 2 таблицы 2.1, а также между этими классами и областями в пространстве С, указанными в третьем столбце этой таблицы.

Первые семь утверждений теоремы принадлежат А. Сену, П.Фиш-берну, М.А. Айзерману, A.B. Малишевскому, К.Эрроу, Р.П.Агаеву и автору.

Глава 3. РЕЛЯЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГОЛОСОВАНИЯ

Индивидуальные мнения представляются набором бинарных отношений - профилем избирателей - G = {Gi,... ,G„}, а коллективное решение также представляет собой бинарное отношение G.

Далее, всегда предполагается, что отношения G'; из профиля представляют собой отношения слабого порядка., т.е. ациклические, транзитивные и отрицательно транзитивные отношения.

Определение 3.1 Пусть заданы два профиля {G;} и {GJ}. Назовем оператор F локальным, если для любой пары (х, у) £ А х А, для которой выполнено Уг(х,у, {G;}) = Vi(z,y, {G<}) и V2(x, у; {Gi}) = соотношение (х, у) G G имеет место в том и только в том случае, когда (z,y) е G', где G = *•({(?,}), G' = F({G?}), у; {<?.•}) = {i € N\(*,y) е G.), VMy^Gi}) = {«• е A-|(y,x) е G,}.

Введем ряд нормативных свойств локальных операторов. При этом будем пользоваться названиями аналогичных свойств из монографии Arrow (1963).

1° . Условие положительного суверенитета

Для каждой пары (х,у) 6 А х А существует профиль {Gi) такой, что (x,v)eG = F({Gi}).

1" . Условие отрицательного суасренитстпа

Для каждой пары (г,у) £ А х А существует профиль {G;} такой, что

2". Условие монотонности.

Пусть заданы два профиля {G,-} и {GJ} и пусть некоторая пара {г,у) включена в G = F({G,}). Тогда, если имеет место

то =

3°. Условие, нейтральности

Дня любых (х,у) и {г,ад), таких, что У1(х,у;{С;}) = VI; {б;}) и Уг(ж, у; {6,}) = У2(г, ю; {С,}) имеет место (г,у) (г, ад) € С.

. 4°. Условие анонимности

Для любого взаимно-однозначного отображения г/ : N N имеет место *•({<?<}) = F({G,){i)}).

5°..Положительное условие Парето

Если V» € N (у, г) $ вг и Э»„ : (х, у) Е £?,•„, то (х, у) € С.

51- Отрицательное условие Парето

Если V» € N (х,у) £ Gi! то (х,у) £ <?

6°. Условие положительного единогласия.

Если V» € N (х,у) е б,-, то (х,у) Е (?.

61. Условие отрицательного единогласия.

Если Уг £ N (у,х)б^, го(х,у)£С.

Определение 3.2 Класс операторов, удовлетворяющих условиям

a) 11ПГ-П2вПЗ°П51;

b) К01-П2ат°П4оГ\5о_-, будем называть, соответственно, .

a) центральной;

b) симметрично-центральной областью в пространстве С.

Для обозначения этих областей будем использовать символы Лс и Л5С«, соответственно.

Введем два специальных оператора из центральной области, имеющие большое значение для дальнейшего изложения.

Оператор "единогласие" (обозначение - И). Этим оператором пара (х, у) включается в отношение О в том и только в том случае, если она присутствует в отношениях G¡ всех избирателей. Для этого оператора, очевидно,

Оператор "хотя бы один голос за" (обозначение - V). Этим оператором пара (х, у) включается в (3, в том и только в том случае, если она присутствует в отношении <7, хотя бы одного избирателя » 6 Ы, т.е.

<€ДГ

Далее в главе 3 изучается явное представление операторов голосования.

Определение 3.2 Назовем локальный оператор Р оператором "иерархическая федерация" и будем обозначать его через НЕ, если отношение С? = .Р^С?;) может быть определено через отношения в{ следующим образом:

£ = и П <?,Л 6 тпг

1=1 з=1

Назовем локальный оператор Е оператором "иерархическое представительство" и будем обозначать его через НЯ, если отношение С = ^({С,}) может быть определено черео отношения б,- следующим образом:

е=1 <г=1

Теорема 3.1 Центральная область и классы операторов "иерархическая федерация" и "иерархическое представительство" совпадают, т.е.

Ас = АЯГ = Лял

Исследуются частные случаи операторов НЕ и НЯ.

Определение 3.3 Назовем оператор "иерархическая федерация" оператором "олигархия иерархий" (обозначение - ОН, если в определении оператора "иерархическая федерация" р = 1, т.е.

А А-з=1я

Оператор "иерархическое представительство" при л = 1 назовем оператором '"синдикат иерархий" (обозначение - 5Я).

Таким образом, для оператора "синдикат иерархии" SH

G= UrI

d-1 *

Оператор "олигархия иерархий" при /3 = 1 (или, что то же самое, оператор "синдикат иерархий" при 5=1) назовем оператором "иерархия" (обозначение - Н).

В этом случае

G = IGU.

Оператором "иерархическая коллегия" (обозначение - НС) назовем оператор "иерархическая федерация", в определении которого хотя бы одно из мпожеств индексов {l,...,Qi} удовлетворяет условию Gijq - Gvj'4, где q £ {!,.-• ,aj}; /, l' = 1, - •. ,р; = 1,... ,ßt.

Определение 3.4 Оператор F из центральной области \с назовем оператором

a) "(¿1, ki)- большинство": решение (понимаемое как включение пары (х,у) в результирующее отношение G) принимается, если за него голосует пх > ki избирателей, а против - п2 < к2 избирателен (остальные n — (ni +п2) избирателей должны "воздерживаться" при голосовании);

b) "абсолютное к—большинство": решение принимается, если за него голосует щ > к избирателей. При этом остальпые п — щ избирателей могут высказаться "против" этого решения пли воздержаться от него;

c) "относительное fc-большинство": решение принимается, если за пего голосует щ > к избирателей, а остальные п — избирателей воздерживаются при голосовании.

Оператор "(ki, ^большинство" 6571см обозначать через (ki,k2) — M, оператор "абсолютное ^-большинство" через кР, оператор относительное ¿-большинство через RkM.

Определение 3.5 Оператор F из центральной области \с назовем оператором "т-система (fci, к^)-большииспк" и будем обозначать через {(к\, к^У} — М, если этот оператор является объединением совокупности операторов ~ М

Например, если t — 3, то одним из таких операторов является оператор {(3,2), (4,3), (7, б)}-большинство, т.е. решение принимается, если за него голосуют не менее трех избирателей и не более двух избирателей

голосуют против, или за него голосуют пе менее четырех избирателей, а против - не более трех, и т.д.

Теорема 3.2 Сь'мл'лшричпо-цастральиаг область ь пространстве локальных операторов совпадает с классом операторов "г-система Ок1,к2)-большинста", т.е.

Азс =

Иной, отличный от аксиоматического, способ определения "классов локальных операторов возникает, если заранее требовать, какого типа отношениями должны описываться индивидуальные и коллективное решения.

Определение 3.6 Оператор Р назовем порождающим операторам для пары (?,-). если для любых С; € (г € Ы) имеет место

/<Х{<7,}) =

Класс. Т операторов Р назовем порождающим классом для пары (£?(>, ОД если любой оператор из этого класса ¿вл*ется порождающим для нары (¡?*,<?г).

Наибольший (в смысле теоретико-множественного включения) порождающий класс для пары ((¿г, Яг) назовем полкам порождающим классом., кратко - полным классом для пары (ф<ь (¡г) и будем обозначать через к(дл,дг).

В качестве области далее будем рассматривать только множество всех слабых порядков, а в качестве , - множества (¿¡¡,с всех ациклических отношений, (¿¡о. всех частичных порядков, а также .множество ¿¡?и0. Эти области связаны следующим образом: С С фСе-

Теорема 3.3 Класс операторов "иерархическая коллегии" строго вложен в пересечение полного порождающего класса Л^^) для области 0ес и центральной области, т.е. Л({?„е)ПЛс 3 Лнс.

Пересечение полного порождающего класса Л(0РО} для области (¿р., с центральной областью совпадает с классом операторов "олигархия иерархий", т.е. А(<?г»)ПЛс = \он.

Пересечение полного порождающего класса Л(б?шо) для области £?ио с центральной областью совпадает с классом операторов "иерархия", т.е. Л(0.„)ПЛо=Лв.

Второе утверждение теоремы ЗЛ принадлежит В.Я.Данилову, а третье - П.Фишберну.

ÎeopeMa 3.4 flpuky < пересечение полного порождающего класса Л(Qас) для области Q„c всех ациклически! отношений и класса операторов "(ki, к^) - большинство" пусто.

При ki > кг псрессчтис полного класса Л(Qac) с симметрично -центральной областью совпадает с подклассом класса опе-

раторов "(к, к) -большинство", выделяемому условием2 {г^} > ш, т.е.

При m > п (п - число избирателей) пересечение полного класса \(Qae) с симметрично-центральной областью совпадает с классом. операторов "относительное к - большинство", т.е. при m >

п Л«?«) ПЛ5<7 = ЛЛЫ". ■

Следствие. Пересечение полного класса Л (Qac) для области с классом операторов "абсолютное к -большинство" состоит из операторов, удовлетворяющих условию — m- При m > п это пересечение

состоит ira единственного оператора U.

Замечание. Для общего случая операторов из пересечения Л (Qac) и класса "г-спстема (/о], й^-болышшетв" можно получить следующие результаты:

a) Л((?«)ПЛ^_= 0:

b) Если Vr £ 1, t выполняется kl > к;, то Д(Qac) П Л5С = А^'^П-м, где m < min{kj/Щ};

c) еслп m > п, то А((?«)ПА5С = ■

Перейдем к рассмотрению пересечений классов \(Qpo) и A(Q„,0) для областей частичных и слабых порядков с симметрично-центральной областью.

Теорема 3.5 Пересечение полного порождающего класса A(Qpo) для области Qr„ с симметрично-цснтральной областью совпадает с классом операторов "относительное к -большинство", т.е. A(Qac)riAsc =

\ПкМ

Пересечение полного порождающего класса A(Qux>) для области Qwo с симметрично-центральной областью пусто, т.е. A(Qvia)|"| Asc = 0.

2! Здесь через {а} обозначено наименьшее целое число, большее или равное {а}.

Глава 4. Локальные операторы в пространстве функций выбора

В данной главе изучается следующая задача. Предполагается, что имеется группа из п избирателей. Одно и то же предъявление — подмножество X G А" сообщается всем избирателям, входящим в эту группу. Каждый t-й избиратель пользуется своей функцией выбора (?;(•) и определяет свой выбор, т.е. свое подмножество Y{ = Ci(X).

Условие локальности вводится следующим образом.

Определение 4.1 Оператор F называется локальным (кратко —' L-оператором если при любых X 6 А" и х G X для любых двух профилей, удовлетворяющих условию: (Vi € Nx G Ci(X) х G С-(Х)) имеет место (х G С(Х) <&xG С'(Х)).

Аналогично случаю реляционных операторов вводятся нормативные ограничения, специальные операторы U и V, и определяются центральная и симметрично-центральная области.

Явный вид операторов из центральной области дается в определении 4.2.

Определение 4.2 Назовем L-оператор оператором "федерация" и обозначим его через Ф, если существует семейство iî = (шь..., шя) (где q > 1) непустых подмножеств индексов, такое что для всех j — 1,..., q Wj С N и для любых х и Х(х € X 6 А") х 6 С(Х), если и только если существует хотя бы одно мпожество индексов a>j из Î2 такое, что для всех i € ojj х G С{(Х).

Класс всех операторов "федерация" обозначим через А*.

Оператор "федерация11 может быть формально записан так:

С(Х)=ии Пi&liCi(X).

Назовем ¿-'оператор оператором "представительство" побозначим его через R, если существует семейство Е = {fii,..., £t}(i > 1) непустых множеств индексов такое, что для всех j = 1,..., tej С /, и для любых х и Х(х G X G А")х G С(Х), если и только если в любом множестве индексов Ci,...,£t существует хотя бы один индекс i, такой что z G С;(Х).

Исследуем теперь частные виды операторов "федерация" ("представительство").

Определение 4.3 Оператор "федерация", представимый в виде

С(Х) =

назовем оператором "олигархия" н будем обозначать череп О.

Оператор "представительство", представимый в виде

назовем оператором "синдикат" и будем обозначать через S.

Оператор "олигархия" (соответственно, оператор "синдикат"), представимый в виде

С{Х) = Ci.(X),

назовем оператором "диктатор" и будем обозначать через Т>.

Назовем оператор "федерация оператором "Л-голосов", если семейство fi в определении оператора "федерация содержит все множества из множества к.

Теорема 4.1 В пространстве С центральная область Ас совпадает с классом операторов "федерация" ("представительство"), т.е. Ас = А9 = Лд.

В пространстве С симметрично-центральная область Asc совпадает с классом операторов "к голосов", т.е. Asc = АК.

Для введения ограничений рациональности воспользуемся следующим определением

Определение 4.4 Назовем область функций выбора Q С С замкнутой относительно L-onepamopa, если для любого профиля (СД-)} такого, что для всех i G N £?,-(•) 6 Q, имеет место i({Ci(-)}) — С(") G Q-Будем называть область Q С С замкнутой относительно класса операторов С С С, если Q замкнута относительно каждого оператора L G С. Если С состоит из всех L-операторов, относительно которых замкнута область Q, то будем назызать С полным классом операторной замкнутости для области Q и обозначать через Aq.

Очевидно, что Aq представляет собой наибольший (в смысле теоретнко-множествешюго включения) класс, относительно которого замкнута область Q.

Полные классы операторной замкнутости для фундаментальных областей, выделяемых условиями H, С, G, Ы С и т.д., будем обозначать через Лн. Лс,Ло, ЛнпС и т.д.

Теперь основной результат главы 4 формулируется следующим образом

Теорема 4.2 Рассмотрим, две категории классов операторов: а) классы, определяемые пересечениями полных классов операторной замкнутости и б) классы, выделяемые совокупностью характеристических условий. Тогда пересечения классов первой категории, указанных в верхней строке табл.^Л и классов второй категории, указанных в левом столбце табл.4.1, совпадают с классами Ь-операторов, заданных в явном виде, указанными в пересечении строк и столбцов этой таблицы.

Таблица 4.1

Области Классы полной операторной замкнутости

в С А я А с Ао Ая ПЛс

1) г) 4)

\с А* А* А°

8) ») 10) П)

А5С . А* и V и

Области Классы полкой операторной замкнутости

в С ЛяПЛо ЛрП Ао Ля П Ас П Ло

«)

Xе А* Л® ьР

13) 14)

Л5С V 0 0

В главе 4 проведено полное изучение функциональных операторов. Исследованы случаи операторов, не удовлетворяющих условиям 3° нейтральности к вариантам и 2® - монотонности, а также проведено изучение случая, когда область задания оператора голосования не вложена в область его значений <2,, т.е. Q¿ % (¿г.

При изучении немонотонных операторов получен аналог теоремы Уилсона.

Глава 5. РЕЛЯЦИОННО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГОЛОСОВАНИЯ

Предметом исследования здесь является третья модель голосования, в которой индивидуальные мнения представляются в виде бинарных отношений, а коллективное решение ищется в виде (не парно-домииаитной)

функции выбора.

Пусть, как всегда, задано конечное множество А вариантов (|Л| = тп > 2) и конечное множество N участников (| //1 = п > 2). Каждый участник г Е N независим от других участников и выражает свое мнение о вариантах в виде бинарного отношения С;.

Далее, как и в главе 3, предполагается, что отношения (3^ являются отношениями слабого порядка.

Множество всех отношений слабого порядка далее будет обозначаться черео УУ. Через С? будем обозначать профиль {<3Ь..., С„} слабых порядков на множестве участников.

Таким образом, оператор голосования отображает профили (7 в функции выбора С(-), или, точнее говоря, отображает область, определяемую п-кратным прямым произведением И?п = х ... х УУ в пространство С.

Определение 5.1 Доминирующим множеством варианта х в бинарном отношении в называется множество вариантов более предпочтительных чем г, т.е.

р(аО = {уеА| (у,х)ев },

Определение 5.2 Оператор Ё : >У** —► С назовем локальным, если о/г удовлетворяет следующему условию: пусть задапы два профиля О и С и для любых х,Х (х 6 X € А"), для которых выполнено Уг 6 N ХГ[Щх) = ХГ\Щх), имеет место г € С{Х) Ох? С'(Х), где Д(х) - доминирующее множество х в (7,-, - доминирующее множество х

в Ст{, С(-) = Пв) и С'(-) =

Введем теперь нормативные ограличения на локальные операторы.

I®. Условие суверенитета. Это условие представляется конъюнкцией двух следующих условий.

1®. Условие положительного суверенитета: Ух,Х(х € X € Л") существует профиль (3 такой, что х 0 С(X).

1°. Условие отрицательного суверенитета: существует профиль С такой, что х £'С(Х).

2°. Условие монотонности. Рассмотрим профиль G, G' и х из X (х £ X £ Л"). Пусть имеет место V» £ W 2^(г) ПХ С 2?,-(в) П X. Тогда г £ <7(Х) г •£ С'(Х).

3". Нейтральность. Ото условие является конъюнкцией следующих условий

3°а. Независимость от. варианта. Пусть для ДЕух профилей G и G' и х,у,Х (х,у £ X £ А") имеет место Vt Хр\Щх) = ХП^(у)- Тогда г £ С(Х) С'(Х).

3"б. Независимость от контекста. Пусть для двух профилей G и G' и для х,Х',Х" (г £ X' € € X" £ А") имеет место Vt б N

1'ПД(г) = X" fl®i(a). Тогда г G С(Х') С(Х").

Отметим, что оба оти условия сильнее, чем условие локальности: в У а достаточно положить х = у, и в условии 3° - .X' = X".

Л". Условие анонимности. Пусть г} - взаимно-однозначное отображение N на N. Тогда С(-) = С'(-), где С(-) = F(G\,. ..,Gn), С'(-) = .., Gn(n)).

5V Условие недом-ипируемости. Ото условие является конъюкнией двух следующих условий

5° . Условие положительной недо.иинируемости: Vx,X, (г £ X £ А"), если существует г0 £ N такой, что Dio(г:) ПX = 0, то х £ С(Х).

51. Условие отрицательной тдомичируе.мостпи: \'х, X (х € X £ А"), если Vt £ N Д (г) Л X £ 0, то х £ С{Х).

6". Условие единогласия. Если для некоторых х,Х (х £ X £ имеет место Vt £ NDi{x)f]X = 0, то х £ С(Л').

Можно показать, что оператор Парето

г £ С(Х) &(13у£Х : Vi £ N )

удовлетворяет конъюнкции следующих условий 1" П 2" П За П 4° П 5° Л б"

Аналогичным образом вводятся операторы U и V.

Дальнейшие исследование охватывает только два специальных класса операторов: а) класс, в котором одновременно удовлетворяются условия суверенитета, монотонности и нейтральности. Этот класс будем обозначать через и называть центральной областью в £; б) класс, в котором выполнено дополнительно условие анонимности. Этот класс будем обозначать через ASu и называть симметрично-центральной областью в С.

Рассмотрим следующий оператор, который будем обозначать как Fn(N,0):Yxe Л'£>

ге<7(Х)Ф*|П (*Г)ЭД)| = 0,

ieif

Этот оператор может быть обобщен на случай, когда в его определении участвует не множество N, а некоторая коалиция I С N. ТЬкой оператор будем обозначать через F(I,0) и назовем частичным оператором Парето.

Пусть теперь зад о семейство коалиций. Определим два следующих

one;-гора: а) П W.0) и б) (J ín(/,0).

i£T iei

tí случае а) выбираемый вариант должен быть Парето-оптимальным для всех коалиции из семейства Т.

Обобщим далее понятие частичного оператора Парето следующим образом:

Рп(/,дГ) : х £ С(Х) о | П < <?',

iei

т.е. вариант г выбирается, если даже для каждого участника существует q1 более предпочтительных, чем х, вариантов.

Назовем этот оператор q — частичным оператором Парето. Рассмотрим теперь некоторый иной оператор: Уж, X (х £ X G А")

FJN, 0) : г £ С(Х) & \ |J (*р|ЭД)1 = 0,

¿eJv

т.е. вариант х выбирается, если не существует другого варианта у, который более предпочтителен, чем г, хотя бы для одного участника. Иначе говоря, х должен быть победителем, или самым лучшим вариантом для каждого участника i £ N.

Болеё общий вид этого оператора FU{J, 0) определяется для коалиции J. Будем называть этот оператор " выбор частичного победителя". Можно ввести оператор "выбор частичного победителя" в семействе

коалиций J - для всех коалиций из J П FU(J, 0), или хотя бы для

j еа

одной коалиции J € J U -^и(ЛО)-J.eJ

Рассмотрим следующее обобщение оператора "выбор частичного победителя":

ВД/) : х 6 С(Х) о | ^ Я7'

т.е. х включается в коллективный выбор, если он предпочитается в совокупности не более, чем р3 другими вариантами в отношениях участников из коалиции 3.

Такой оператор .Ри(./)р",)) будем называть оператором "выбор р-ча-стичного победителя".

Рассмотрим частный случай оператора 2Лп(/,р7), и именно, случай, когда I = {¿о}- Тогда х принадлежит коллективному выбору, если х является доминируемым не более, чем рг" другими вариантами. Естественно, назвать такой оператор "р диктатором". При р = 0 коллективный выбор совпадает с недоминируемыми вариантами по отношению (?,•„. Аналогичная ситуация имеет место для оператора ДДЛ?') при J = {*<>}, т.е. ^и({1о},р'°) = ^({¿о},?*")- Такой оператор будем обозначать через

Структура центральной области определяется в теореме 5.1.

Теорема 5.1 Оператор У принадлежит центральной области \с если и только если существуют целые числа г, а > 0, два набора семейства коалиций {Х*}^ и целые и {Pí}JeJ^t такие что \//0 < < т — 1, У./0 <у/ < т — 1 и

л ад.амшй п ад?/))].

Определение 5.3 Назовем р-коалицией пару (1,р), где 0 с / С IV, О < р < т- 1.

Назовем *олигархией р-коалиций' и будем обозначать через О оператор Р, который определяется семейством 1 — {(Л,р1), - - •, (Л,Р*)} и

р = пвдУ).

^=1

Назовем "синдикатом р-коалиции? и будем обозначать через <1? оператор который определяется г семейством I = 1,...,г, причем каждое семействами Х1 состоит из одной р-коалпции, т.е. = {(/(,р')}, и

^ = 0 ВД.Р1)-»=1

Назовем "федерацией р-коалиций" и обозначим через Ф оператор F, который определяется г семействами £ = 1,...,г, Г, = {(/{, р'),...,

(Ы)}«

I, /=1

Пользуясь дистрибутивностью операции и и П оператор "федерация р-коалиций" можно переписать в виде

^пиад.й).

.Г, £=1

Такой оператор будем называть "представительство р-коалиций" и обозначать через Я.

Оператор "р-частичное Парето" назовем оператором "р-Парето" и будем обозначать через рЛГ, если в определении этого оператора I = N, т.е. оператор "р-Парето" записывается в виде jP = Fn(N,p).

Оператором "олигархия k-большинств" (обозначение &0) назовем оператор "олигархия р-коалиций" при следующих ограничениях: Vj = 1,..., з | Tj | = к, pj — p и л = С*, т.е. семейство I состоит из всех групп избирателей числепностыо к.

Оператором "синдикат к-большинстеГ (обозпачепие kS) назовем оператор "синдикат р-коалиций* при ограничениях: г = С*, |/(] = к npt=p для всех t = \,...,r.

Назовем оператором "система k-болыиикств" и обозначим К оператор "федерация р-коалиций" когда в опеределении этого оператора каждое семейство It определяет "олигархию &-болыцинств".

Классы введенных операторов, возникающие при варьировании параметров в определении всех операторов будем обозначать через А°, As, А*, Ля, Ap~Par, ApD, Apff, Ah°, AkS, и Лк, соответственно.

Непосредственно на определения оператора "федерации р-коалиций" и теоремы 5.1 вытекает следующая

Теорема 5.2 Центральная область б пространстве реляционно-функциональных операторов совпадает с классом операторов "федерация р-коалиций" и с классом "представительство р-коалиций", т.е.

Ас = л* = Ля

Определение 5.4 Назовем область замкнутой относительно реляционно-функционального оператора Р, если УС? Р(0) 6 (¿. Область ф назовем замкнутой.относительно класса операторов Т, если С^) замкнута относительно каждого оператора Г € Т.

Максимальный в теоретико-множественном смысле класс операторов Т, относительно которого замкнута область <3, назовем полным классом операторной замкнутости для области С) и будем обозначать через Л(ф)

В качестве областей значения (¡Т операторов вновь исследуются области Н,С,0 и К.

Теорема 5.3 Центральная область Ас строго вложена в полный класс операторной замкнутости для области Н, т.е. Ас С Л(Н).

Основной результат этой главы формируется в теореме 5.4.

Теорема 5.4 Пересечение центральной и симметрично-центральной области с полными классами операторной замкнутости для областей Н, Н П О, Н П С, Н П С П О и К содержит операторы, показанные на пересечении строк и столбцов этой таблицы, и только такие операторы.

Ли ЛнпО Лнг.С

ли федерация, представительство сипдикат р-коалиций 0-частичный победитель для всех коалиций из набора

Л* синдикат к-болышгнств 0)

ЛнпСпО Л(К)

Ас 0-частичпый диктатор

оператор Парето Г(г,0)

А»0 оператор Парето 0

тадо)

Проанализируем утверждения теоремы 5.4. Так, область НПО, содержащая функции Плотта, или функции, удовлетворяющие условию независимости от пути, оказалась замкнутой относительно операторов но центральной области в том п только в том случае, если »то операторы "синдикат р-коалиции". В частности, если коалиции одноэлементны и р = 0, то эти операторы определяют правило совокупно-доминантного выбора. Область Н Л С классически-рациональных функций выбора, которые, как было показано в главе 2, порождаются механизмами интервального выбора при е = е(х, у), оказалась замкнутой относительно

операторов вида П 7,0) из центральной области. Область НП СП О, гег

для которой в главе 2 были найдены порождающие многокритериальные механизмы паретовского типа, оказалась замкнутой относительно аналогичных механизмов, определенных не на совокупности критериев, а на слабых порядках. При этом, такие операторы единственны в классе локальных реляционно-функциональных операторов, удовлетворяющих дополнительно условиям суверенитета, монотонности и нейтрально» ги.

Наконец, замкнутость, области К относительно операторов "диктатор" представляет собой аналог классической теоремы Эрроу.

В Заключении обсуждаются новые постановки задачи аксиоматического синтеза процедур голосования и проблемы манипулирования мнениями избирателен.

Приложение к работе состоит из двух частей.

В Части 1 Приложения модели, разработанные в гл.'1-5 основного текста, используются для построения различных моделей многокритериального выбора. Отличительная особенность этих моделей состоит в том, что они оперируют с оценками вариантов, которые заданы в порядковой шкале, т.е. с точностью до произвольного монотонного преобразования. Кроме того, построены обобщения отих правил для случая оценок вариантов, заданных не в "точечном" виде, а в форме интервала значений критерия. Этим вопросам посвящепа глава 1.

В главе 2 разработанные модели многокритериального выбора используются дня решения экологической задачи - выбора вариантов проведения природоохранных мероприятий в регионе, а в главе 3 эти модели применяются к решению задачи выбора и оценки сценариев развития региона на длительную перспективу.

Высокая сложность таких задач не позволяет использовать при их решении чисто оптимизационные методы. Поэтому были построены человеко-машинные системы поддержки решений, основанные на имитационных моделях.

В Части 2 Приложения приводятся акты о внедрении полученных'результатов.

В главе 1, которая называется "Качественные модели многокритериального выбора", ставится и исследуется задача о построении моделей выбора для случая, когда критериальные оценки вариантов заданы в порядковой шкале, и, более того, когда оценки вариантов заданы в виде интервала значении критерия.

Дли каждого х £ А считается определенным вектор п. критериев <¡3 и п функций погрешности £;(г),I = 1,... ,п, т.е. каждому х поставлено в соответствие п интервалов [^¿(ж) — + £;(£)] = [д<(г), Л;(г)],

где д,(т) = <рг{х) - а{х), К(х) - +

Приводится ряд правил выбора, которые были впервые введены, по

видимому, в [1], и исследуются свойства порождаемых этими правилами функций выбора.

Аналогично правилу Слейтера (слабому правилу Парето) вводится правило

С{Х) = {у £ ХЦЗс £ X : г £ N д1(х) > А,-(у)},

т.е. верхние оценки выбранного варианта не могут быть меньше по всем критериям. чем нижние оценки какого-то другого варианта г.

Обобщение этого правила можно записать как

С(Х,1,Р!) {у £ Х\ГМЛ (П [X Л Д(у)]) < /},

•е/

т.е. выбираются р1 -оптимальные (для набора I критериев) варианты.

Обратим внимание па то обстоятельство, что если р1 = т — 1, где т - число вариантов в Л, то функция С(Х, 1,тп — 1)~Х для: всех X. Точно так жё можно доопределить ото правило на случай р1 < 0 и положить о этом случае, что при р1 < 0 С(Х,1,р1) ~ 0 для пс.сх X. Поэтому далее рассматриваются нетривиальные случаи 0 < р < т — 1.

Будем называть ото правило правилом р-Иярето (поскольку при р = О и I — N ото нрагпяо совпадает со слабым правилом Парсто), а выбора-ег,;ые варианты согласно этому ;фавнлу, р-онтимальньгми ларетовски-мп. Эти операторы являются прямыми гпгогокрятсряалышми аналогами операторов, рассмотренных в главе 5 основного текста и впервые исследованных в [-31,33].

В каких случаях может использоваться это правило, допускающее выбор таких вариантов, что в множестве X существуют иные варианты, имеющие да:ке более высокие опенки? Предположим, что оценка вариантов по критериям произведена настолько неточно, что даже использование интервальных оценок не гарантирует надежного выбора истинных парсто-оптнмальньтх элементов.- Тогда, естественно ввести некоторый порог р, при котором выбор р-оптимальпых парстовских вариантов гарантирует, что истинные паретовские элементы не окажутся в числе отброшенных. Такие ситуации возможны, например', в тех случаях, когда точная оценка вариантов но критериям сопряжена со значительными затратами. Вполне попятно, что в среднем число выбранных вариантов согласно этому правилу будет тем больше, чем больше число р. Однако, тогда можно использовать указанное правило на первом этапе оптимизации для сокращения общего количества вариантов, а затем для оценки

оставшихся вариантов использовать необходимые дорогостоящие процедуры.

Запишем, наконец, самую общую форму рассматриваемого правила. Пусть задано множество 7j* наборов критериев Ij С N. Обобщенным правилом многокритериального интервального выбора назовем следующее цравало

c(X) = \j Г\с(х,1^) (ni)

¿=1

Согласно этому правилу в выбор попадают варианты, которые являются р-оптимальными паретовскими хотя бы в одном наборе критериев h-

Исследуем теперь, каким условиям удовлетворяет функция выбора, порождаемая приведенным правилом.

Теорема П1- Функция выбора С(•) порождается правилом (П1) в 'гом и только в том случае, когда она удовлетворяет условию наследования Н; в том случае, когда для любого jcard(7¿) = 1, она удовлетворяет условию НПО; в том случае, когда к = 1 и j/1 = 0, функция С7(-) порождается правилом (¡] 1), если и только если она удовлетворяет условию Н П С О.

В работе представлены полученные компьютерным моделированием графики зависимости среднего числа выбранных вариантов от мощности множества А. Число критериев принято равным 5, оценки вариантов принимались в виде целых чисел равномерно распределенных в интервале [0,100]. Исследованы зависимости для правила Слейтера, для правила С'(А) = Hiei G(A,I,Q), где I составляют всевозможные семейства критериев числом card (7) = 4; и для правила С"(Л) = П1егС(Л,7,1), где I составляют те же семейства критериев, причем как для случая "точечных" (не интервальных) оценок вариантов, т.е. Vz, Vigi(x) = hi(x), так и в предположении интервальных оценок вариантов при ограничениях Vx,Vi g¡{x) - fti(x) < 10 и 9i{x) - Ы(х) < 20.

Результаты компьютерного моделирования показывают, что что с помощью введенных правил выбора можно избежать известного недостатка процедур паретовского типа в многокритериальных задачах, когда число вариантов в выбираемом множестве слишком велико. Исполь-

пах:

— снижение ущербов, связанных с обострением экологической ситуации;

— снижение затрат на природоохранные мероприятия на основе выбора паиболее эффективных их сочетаний;

— снижение остроты экологической ситуации, в первую очередь, в ареалах с наиболее высокими ее значениями;

— учет реальных возможностей выделения ресурсов на природоохранные мероприятия.

В соответствии с этими принципами формируется и оценивается ряд комплексов мероприятий. Для того, чтобы сформировать комплекс мероприятий в предлагаемом методе сами мероприятия оцениваются по двум критериям: по снижению оценки остроты по всему ареалу проведения мероприятия (y?i), и по величине предотвращаемого этим мероприятием ущерба на единицу затрат (tpi).

В этом двухкритериальном пространстве множество А всех

мероприятий представляется множеством точех, "разбросанными" по плоскости, причем установить абсолютное преимущество одного мероприятия по сравнению с другими в общем случае невозможно.

В то же время для выбора конкретных мероприятий какой-либо порядок в множестве этих мероприятий построить крайне важно.

Для отого предполагается использовать процедуру разбиения множества А всех мероприятий на классы "равноценных" элементов "с установлением строгого порядка между классами.

Указанная процедура строит разбиение А на классы {Лх,..., Лт} следующим образом

»-i

Ai = {х € А\ U Ai\x 6 FPar(N,0,у?) П ЯДЛГ.О.у?)}, у=1

где А„ — О, Fpa,(N, 0, оператор паретовскогр выбора на множестве критериев <pi и 92j, FU(N, 0, (р)- оператор выбора р-победителя на этом же множестве критериев. Очевидно, что зта процедура осуществляет раобиепие множества А (на конечное число классов в силу конечности А), и при этом каждый раз в множества A¡ входят паретовские варианты, но может быть не все. Процедура разбиения А каждь5й раз "настраивается" выбором подходящего параметра р. В частности, если р > тп — 1, то си-

аование введенных процедур позволяет сократить число выбираемых вариантов при надлежащем выбор? параметров р1 и семейств критериев

и-

Заметим, что при незначительном обобщении условия локальности, используемого в главе 5 основного текста при исследовании третьей модели коллективного выбора, удается получить иные правила агрегирования. В этих правилах при выполнении дополнительных ограничений типа монотонности, нейтральности, анонимности и некоторых других ограничениях вариант х выбирается, если он явлется недоминируемым в не менее чем к критериях, и доминируется другими вариантами не более чем в л других критериях. Такая более общая модель исследовалась в работах [13,28,31].

В главе 2 "Выбор комплекса природоохранных мероприятий" рассматривается задача охраны окружающей среды в регионе, которая состоит в проведении комплекса мероприятий, позволяющих снизить антропогенные нагрузки и обеспечить поддержание динамического экологического равновесия.

Целью работы являлось получение таких решений, которые были бы как достаточно "грубыми", так и легко интерпретируемыми с точки зрения пользователя. Другой целью была также возможность быстрого просмотра большого числа вариантов проведения природоохранных мероприятий при различного рода ограничениях.

Эти цели были достигнуты путем создания человеко-машинной системы выбора стратегии проведения комплекса природоохранных мероприятий (см. [22,24]), которая использовалась при создании проекта охраны окружающей среды в Ярославской области.

Выбор эффективного комплекса мероприятий осуществляется в несколько этапов:

а) оценка качества окружающей среды в единой шкале;

б) установление перечня мероприятий с территориальной привязкой, определение характеристик мероприятий, оценка мероприятий по системе критериев;

в) выбор системы эффективных мероприятий.

Этапы а) и б) осуществляются для каждой из трех основных компонент природной среды (почвенно-растительного покрова, воздушного и водного бассейна) независимо.

Выбор комплекса мероприятий основывается' на следующих принци-

стема А{ есть просто "расслоение" множества А парето-оптимальными вариантам!!.

Разработанная система использовалась при выборе комплекса природоохранных мероприятий в Ярославской области. В отой области хорошо развиты как промышленность, так и сельское хозяйство. Экологическая систуация в области характеризуется загрязнением воздушного бассейна, связанным с промышленными выбросами в атмосферу, загрязнением водного бассейна - рек Волга, Которосль и др., нарушениями почвенно-растительного покрова, снязанным с эрозией почв, накоплением ядохимикатов на возделываемых землях, с накоплением твердых бытовых отходов вокруг городов, чрезмерной вырубкой лесов и т.д.

На основании распределения полученных оценок были выделены 81 группа ячеек по территории, 17 - по водному и 8 - по воздушному бассейнам. В качестве мероприятий рассматривались самые разные способы воздействия на источники загрязнения окружающей среды. Всего рассматривалось около 40 простых мероприятий по почвенно-раститель-ному покрову, из которых с учетом места их проведения и возможности построения "составных" мероприятий было сформировано 234 обобщенных мероприятий.

По водному и воздушному бассейнам было сформировано 68 и 32 обобщенные мероприятия соответственно. Дополнительными ограничениями выступали величина порогового значения оценки остроты ситуации. В ячейках с остротой ситуации ниже этого порога проведение мероприятий не предусматривалось. Сначало было выбрано такое пороговое значение остроты (Ль > 1), чтобы полностью устранить наличие загрязнения окружающей среды. При расчете оказалось, что затраты на реализацию соответствующих мероприятий весьма велики. Были также рассмотрены два дополнительных варианта, ориентированные на устранение ситуаций с наиболее высокой оценкой остроты. В первом таком варианте пороговое значение остроты принято равным К^ < 5, и во втором варианте било принято Д* 3.

При окончательном рассмотрении этих вариантов был выбран вариант с Я./, < 3.

В Части 2 Приложения приводится акт о внедрении разработанной системы и расчет экономического эффекта. Экономический эффект -2.25 млн. руб/год.

В главе 3 "Выбор сценариев долгосрочного регионального развития"

отмечается, что поставленная задача содержит в себе ряд взаимосвязанных подзадач определения сценариев развития отдельных подсистем функционирования региональной системы. К этим подсистемам относится иромышленно- производственный комплекс (промышленность, агрокомплекс, наука), система демографии и расселения, социальная инфраструктура (включающая такие блоки, как "жилье", "рекреация" .и т.д.), экологическая система, техническая инфраструктура (транспорт, энергетика, водоснабжение, строительство и т.д.).

Для решения поставленной задачи была разработана человеко-машинная система поддержки решений, которая применялась для решения задачи выбора сценариев развития Московского региона (см. [25,26]).

В основу подхода к'решешш задачи выбора сценариев регионального развития положена идея о проблемных ареалах, под которыми понимаются участки территории региона, ситуация в которых настолько отклоняется от некоторой, принимаемой в качестве эталона, что можно говорить о возникновении проблемной ситуации. 1

При решении задачи сначала производится анализ исходного состояния региона. Для этого выделяется ряд показателей, характеризующих функционирование упомянутых подсистем ргиона.

В качестве таких показателей, например, могут быть взяты экономические (основные фонды промышленности), демографические (возрастная структура населения, уровень образования, количество поселений на территории), социальные (количество и качество жилья, обепеченность местами отдыха), экологические (загрязнение почвы, воздуха, воды); показатели, характеризующие состояние технической инфраструктуры: обеспеченность электроэнергией, водоснабжением, мощность стройком-плекса и т.п.

Территория региона делится на элементарные ячейки (так называемые экономические микрорайоны или ЭМР) и каждый ЭМР оценивается по набору используемых показателей. Неточность исходной информации и неопределенность прогнозов делают необходимым переход к качественным оценкам, более грубым и поэтому, в каком-то смысле, более устойчивым к искажениям информации. Для отого количественные значения переводятся в ранговую шкалу остроты ситуции, формируемую методами кластер-анализа. Далее выделяются проблемные ареалы - совокупности ЭМР с высокой оценкой остроты.

Следующий этап — прогнозирование развития региона.

С использованием различных моделей устанавливаются показатели развития подсистем; при этом какие-то подсистемы принимаются за базовые, а развитие остальных подсистем определяется косвенно, по показателям развития базовых подсистем. Значение отдельных показателей предопределяет проведение мероприятий — развитие городов, строительство предприятий и т.д. Далее полученные по показателям оценки вновь переводятся в ранговые оценки остроты и вновь выделяются проблемные ареалы по некоторым показателям. Система мероприятий и показатели развита юдсистем, включая оценки остроты, определяют сценарий комплексного развития региона.

Построенные сценарии оцениваются по системе критериев, отражающей дисбаланс между прогнозируемой ситуацией и некоторой "эталонной". Для выбора лучших: сценариев используются модели многокритериального выбора.

В основу имитационной модели развития для генерации вариантов положено представление о том, что особенности развития региона определяются, прежде всего, размещением по региону мест приложения общественного труда, что, в свою очередь, может быть описано изменением распределения по региону городского населения.

Коль скоро траектория развития и, тем самым, изменения городского населения во всех ЭМР определены, то расчитывается связанное с этим изменение сельского населения и значение основных показателей для каждой из подсистем региона как функции от численности населения (городского и/или сельского). После этого вариант оценивается по системе критериев и передается в обработку по процедуре выбора.

Предполагается, что при имитации развития на заданную перспективу заранее оценивается предполагаемое среднее изменение городского населения по ЭМР, а также ожидаемые минимальные и максимальные изменения. Наборы таких изменений дают в некотором смысле "грубую структуру" множества вариантов стратегий. Множество разнообразных вариантов создается путем случайных вариаций "средних", "минимальных" и "максимальных" численностей населения в рамках достаточно общих ограничений на такие вариации.

Очевидно, что при различных требованиях к развитию региона критерии для оценки сценариев развития должны быть разными. Различия могут быть обусловлены, например, спецификой региональной структуры. Так, набор критериев для оценки сценариев развития региона, нахо-

'1.я1цсгося в курортной зоне, должен отличаться от критериев для оценки промышленного региона. В систему критериев входят, в частности, следующие критерии.

1) Основные фонды промышленности;

2) Обеспеченность региона продукцией сельского хозяйства;

.4) Дисбаланс в ¿-том ЭМР между потребностью в трудовых ресурсах и их наличном 1' :

таx{if-l>) »

4) Днсбалапс между потребностью в высококачественном жилье hf и его наличием h'

inax(A? - А*)

о) Обеспеченность научно-культурным потенциалом (музеи, университеты. научные учереждения и т.д.)

Г>) Уменьшение икологической напряженное; »:

max Pi(li — 1°) —» min, или -РД/, — I?) —> min,

* г

где ^ -агрегированная оценка экологической направленности ЭМР, I" -¡л а юпная или средняя оценка экологической напряженности, Р, -пзееле-ни'1 ЭМР. Очевидно, значение i,- зависит от состояния промышленности в ЭМР.

7) Затраты на проведение мероприятий

С —>inin>

i ci

где К¡„, - капиталовложения на проведение мероприятий в i - ом ЭМР и подсистеме а.

Еще одна группа критериев характеризует обеспеченность населения и производства транспортной инфраструктурой, етройкомплексом, водоснабжением с учетом затрат на проведение соответствующих мероприятий.

Блок выбора устроен следующим образом: критерии поделены па rpvmiu, в каждой группе используются различные процедуры агрегирования критериев; по агрегированным критериям выбираются варианты. Э : варианты предъявляются зкепертам. которые выносят решение

о корректировке показателей и требований, либо выбирают некоторый окончательный вариант.

Приведем пример процедуры выбора:

С(А) = {» G fc» : l(3ft' > : V£ € {¡i, - - ■,«»> LVx e A v.-(S') - e.(y) > <r.H + £.{*))

Эх £ A : n(z) - es(x) > ip¡{y) + сл-(у))1>,

где ki,kt < ti, n - чг "о критериев.

В этой процедуре предусмотрена возможность оперирования с интервальными критериальными оценками, заданными в виде интервала [<р(х),<р(х) + е(г)] значения критерия у>(г) Для сценария г. Смысл данного правила состоит в том, что выбранный вариант должен бы п, лучшим не менее чем по кг критериям и неонтимальным не более чем но ¿i критериям. Данное правило является прямым аналогом правил выбора, полученных в гл. 5, получающимся очевидным обобщением условия локальности для третьей модели голосования.

Разработанная система поддержки решений применилась для выбора сценариев развития Московского региона — системы населенных мест, тяготеющих к Москг.е. Эта система включает 18 областей России, располагается на территории '34-1.5 тыс. к», км, с населением 38.5 млн. чел. и 7!) 7 городскими поселениями.

Необходимость выбора именно такого региона была связана с том, что с ним било тесно связано раяпитие Москвы а предыдущие 50 60 лет. Так, за 1970-1985 гг. прирост населения Москвы н Московской области составил 33%, а общая численность населения региона снизилась на 7 10%. Указанны;! процесс привел к ухудшению экологической ситуации и обострению проблем функционирования социальной, производственной, транспортной п инжеперной инфраструктур в Москве и Московской области, а также к отставанию в социальна- экономическом развитии остальпых 17 областей.

Территория региона была разбита на 85 ЭМР, представляющих собой экономически замкнутые однородные единицы. Исходная информация о состоянии всех подсистем каждого ЭМР была представлена примерно 170 исходными показателями, которые агрегировались в 59 основных. Модели позволили строить разные варианты наборов прогнозных

характеристик, на основе которых выделялись списки необходимых мероприятий - создавались сценарии развития региона. Эти сценарии оценивались по 14 критериям, в которых учитывались различные характеристики функционирования подсистем региона.

В соответствии с имитациоппой моделью создавались различные "опорные" варианты расселения и размещения мест приложения труда.

Корректировка решений экспертами позволила отбирать в каждой серии 1-2 варианта сценария, которые использовались в качестве "опорных" при последующих применениях имитационной модели. Интерактивная процедура генерации и выбора сценариев с корректировкой результатов на каждом шаге выбора позволила выделить несколько рациональных сценариев, которые далее углублеино прорабатывались специалистами. Использование предлагаемой процедуры выбора позволило найти эффективный вариант размещения промышленных предприятий, существенно снижающий экологическую напряженность в регионе, найти наиболее эффективную схему транспортного обслуживания и получить ряд других преимуществ по сравнению с существовавшим ранее "базовым" проектом.

В Части 2 Приложения приводится ахт о внедрении разработанной системы. Экономический эффект оценен хак 15% снижение затрат по сравнению с "базовым" вариантом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В рамках задачи изучения рациональности индивидуальных мнений и коллективного решения введены и исследованы полностью критериальные модели с погрешностью. Обобщены классические модели с погрешнос тью, зависящей от »прилита, на случай зависимости от контекста сравнения- предъявленного множества X. Введен в рассмотрение новый тип бинарного отпотелая - слабый бипорядок.

2. При оссяедошшми классической реляционной модели голосования напучен явный вид операторов, удовлетворяющих условиям суверенитета, монотонности и нейтральности, а также условию анонимности.

Получены новые типы операторов - "иерархическая федерация", "иерархическое представительство", "иерархическая коллегия", "г - система (&1, ^-большинств". Исследованы условия, при которых последний оператор порождает ациклические отношения.

3. Сформулирована и полностью решена задача аксиоматического построения яокальпых операторов в пространстве функций выбора.

Дм немонотонного случаи получено описание классов функций выбора, замкнутых относительно операторов "обобщенная федерация", "ан-ти-олпгархпя", "антн-синдикат", ''акти-диктатор", Получен аналог теоремы Учлсопа для классического случая.

4. Сформулировано петое условие локальности для реляционно- функциональных операторов, полностью решена иадача аксиоматического построения таких операторов.

Получены иоиые типы операторов голосования, обобщающих известные правила Парето и Копдорсе.

5. С использованием полученных результатов для раплзгшых моделей сформуяарояааа и решена задача качественного многокритериального выбора, исследована задача многовекторного выбора и обобщенного интервального выбора.

Введен и исследован параметрический класс процедур многокритериального выбора, охватывающий такие правила как правило Парето и Слейтера.

Показана возможность суженая множества Парето подходящим выбором параметров процедуры.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алескеров Ф.Т. Правила Парето интервального типа в задачах многокритериального принятия решений. — В трудах Международного научного семинара по современным методам припятия решений. IIPI», София, 1983

2. Алескеров Ф.Т. Принципы взаимоисключающих нейтральностей в задаче Эрроу коллективного выбора. — В кн.: IX Всесоюзное Совещание по проблемам управления (теоисы докладов), М., ВИНИТИ, 1983

3. Aizerman M., Aleskerov F. Local operators in models of social choice. — Systems and Control Letters, 1983, N 3.

4. Айзерман M.A., Алескеров Ф.Т. Задача Эрроу в теории группового выбора. — Автоматика и телемеханика, 1983, N 9.

5. Алескеров Ф.Т. Локальные процедуры многокритериального выбора. — В кн. Принятие решений в условиях многокритериальности и неопределенности (тезисы докладов IV Всесоюзного семинара по исследованию операций и системному анализу), М-, Высшая школа профсоюзного движения, 1983.

6. Алескеров Ф.Т. Формальные методы построения коллективных решений. — Теоисы докладов II Всесоюзной конференции по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации. М., ВИНИТИ, 1984

7. Айзермап М.А., Алескеров Ф.Т. Локальные функциональные операторы в теории голосований. — Автоматика и телемеханика, 1984, NN 5-7.

8. Aleskerov F., Vol'skiy V. Analysis of procédures in collective and multi-criteria décision making. — Preprints of 9th World Congress of International Fédération of Automatic Control. Budapest, Hungary, 1984.

9. Алескеров Ф.Т., Владимиров A.В. Модели коллективного принятия решений в иерархических организационных системах. — Тезисы докладов II Всесоюзной конференции по проблемам и методам принятия решений в организационных системах управления. М., ВИНИТИ, 1984 .

10. Алесхеров Ф.Т. Локальные процедуры построения коллективных решений в различных классах пространства функций выбора. — В сб. Анализ данных и экспертные оценки в системах управления. М., Институт проблем управления, 1985.

11. Анэерман М.А., Алескеров Ф.Т. Теория коллективного ныбора.

— В сб. Системы управления - теория и техника. ■ М., Институт проблем управления, 1985.

12. Aizerman М., Aleskerov F. Voting operators in the space of choice functions. — Social Science Working Papers 559, California Institute of Technology, Pasadena, CA, USA, 1985.

13. Aleskerov F. Procedures of multicriterial choice. — Preprints of the IP'AC/IFORS Conference on Control Science and Technology for Development. China. Beijing, 1985.

14. Алескеров Ф. Принятие коллективных решений с использованием процедур голосования. — Preprints of the Conference of Complex Control Systems, Bulgaria, Varna, 1985.

15. Aizerman M., Aleskerov F. Voting operators in the space of choice functions. — Mathematical Social Sciences, 1986, v.ll, N3.

16. Aleskerov F., Vladimirov A. Hierarchical Voting. — Information Sciences, 1986, v.39, N I.

IV. Алескеров Ф.Т., Вольский В.И. Анализ пределу;! выбора лучших вариантов на бинарных отношениях и числовое представление этих отношений. — Тезисы докладов X Всесоюзного Совещания по проблемам управления. М., ВИНИТИ, 1986.

18. Aizerman М., Aleskerov F. Structural properties of voting systems.

— In Topic» of General Theory of Structures. D.Reidei Publishing Company, 1987.

19. Алескеров Ф.Т., Владимиров А.В. Квазилокальные модели коллективного выбора. — Автоматика и телемеханика, 1987, N 3.

20. Алескеров Ф.Т., Вильнер М.Я., Владимиров В.В., Вольский В.И., Литваков Б.М., Новиков С.Г. Об использовании моделей многокритериального выбора в задаче выявления экологически проблемных ареалов.

— В сборнике тезисов докладов Всесоюзной конференции "Экологические и социально-экономические критерии в системе управления охраной природной среды", Самарканд, 1987

21. Aleskerov F., Volskiy V. Choice of the best variants on binary relations and the extremizational choice. — Preprints of 10th World Congress of International Federation of Automatic "Control. Munich, FRG, 1987.

22. Алескеров Ф.Т., Вильнер М.Я., Вольский В.И., Литпаков Б.М., Новиков С.Г. Формирование стратегии природоохранных мероприятий

в регионе. — Тезисы докладов И Всесоюзной школы "Прикладные проблемы управления макросистемами". М., ВИНИТИ, 1987.

23. Айзермаи М.А., Л леске »о в Ф.Т. Синтез локальных моделей кол-лектинного выбора. —Автоматика, 1988, N 1.

21. AleskiTov F., Vilrier M.,-Volskiy V., Litvakov В., Novikov S. Man-mashine System for a Rational Choice of Nature Conservation Strategy in a Region. — Preprints of 111 IFAC/JFIP/ 1F0RS/ 1EA Conference on Man-Mashine Systems, Oulu, Finland, 1988.

25. Алескеров Ф.Т., Новиков С.Г., Петров С.В. Моделирование Московского региона. — Тезисы докладов Всесоюзного семинара "Моделирование региональной экономики", Ташкент, Институт кибернетики АН Узбекской ССР, 19S8. "

26. Алескеров Ф.Т., Новиков С.Г., Петров С.В. Системы поддержхи решений для оценки проектов регионального развития. —- Тезисы докладов научно-практической школы-семинара "Программное обеспечение ЭВМ: индустриальная технология, интеллектуализация разработки и применения", Ростов-на-Дону, ВНШШС, 1988.

27. Алескеров Ф.Т. Модели интервального выбора. —Тезисы докладов XI Всесоюзного Совещания по проблемам управления. М., ВИНИТИ, 1989.

28. Алескеров Ф.Т. Модель многовекторного выбора. — Тезисы докладов ГН Всесоюзной конференции по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации. Одесса, Одесский политехнический институт, 1990.

29. Агаев Р.П., Алескеров Ф.Т. Условия представимости функции выбора в виде обобщецно-иятервалыюго выбора — Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации. Одесса, Одесский политехнический институт, 1990.

30. Айзерман М.А., Алескеров Ф.Т. Выбор вариантов (основы теории). — М., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1990.

31. Алескеров Ф.Т. Качественные модели многокритериального выбора. — В сборнике "Методы сбора и анализа сложпоорганизовашшх данных". — М., Институт проблем управления, 1991.

32. Aleskerov F. Binary relations, numerical comparisons with errors and rationality conditions for choice. — Social Science Working Papers 812,