автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Комбинаторное декодирование линейных блоковых кодов

ВВЕДЕНИЕ $

1. КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

1. 1 Декодирование по минимуму расстояния.

1.2 Декодирование по информационным совокупностям .,

1.3 Перестановочное декодирование и декодирование с помощью покрывающих полиномов.

1.4 Комбинированное декодирование по информационным совокупностям.

1. 5 Обобщения алгоритмов декодирования по информационным совокупностям.

1.6 Выводы и замечания по разделу.3?

2. СЛОЖНОСТЬ ДЕКОДИРОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ БЛОКОВЫХ КОДОВ .ЗЯ

2. 1 Оптимальные и подоптимальные методы декодирования.

2. 2 Сложность декодирования по информационным совокупностям. -4

2.3 Сложность декодирования с использованием укорочений. Применение сортировки.

2.4 Декодирование с использованием надкодов . №

2. 5 Выводы и замечания по разделу.

3. ДЕКОДИРОВАНИЕ КВАЗИЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ 81 3. 1 Симметричные коды ^

3. 2 Существование "хороших" квазициклических кодов.Яв

3. 3 Декодирующие совокупности линейных кодов.3%

3. 4 Декодирование по обобщенным информационным совокупностям.

3. 5 Построение т-покрытий из кодовых слов. Таблица декодеров по обобщенным информационным совокупностям.JOS 3. 6 Декодирование с использованием надкодов. Табличные алгоритмы.

3.7 Декодирование кодов (24,12) и (48,24) 42S

3. 8 Выводы и замечания по разделу -i2£

4. КОДИРОВАНИЕ И ДЕКОДИРОВАНИЕ НА ТРАНСПОРТНОМ УРОВНЕ СЕТИ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ fM

4. 1 Сеть с коммутацией пакетов. Основные допущения.f-^

4. 2 Избыточное кодирование как средство уменьшения задержки сообщений.

4. 3 Бесприоритетная передача срочных сообщений.М

4. 4 Анализ вероятности доставки сообщений в сети с потерями.

4. 5 Кодирование в сетях с ненадежными каналами.

4. 6 Оценки эффективности кодирования на транспортном уровне при неэкспоненциальных моделях задержки.

4. 7 Выводы и замечания по разделу.

5. ДЕКОДИРОВАНИЕ В ЗВЕНЕ СЕТИ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ

5.1 Постановка задачи кодирования в классе каналов. .ш

5. 2 Расчет вероятности ошибки при декодировании в метрике Хзмминга.^

5. 3 Метрическое описание каналов с группированием ошибок. . .49S

5. 4 Метрики для марковского канала.

5. 5 Кодирование в марковской метрике.

5. 6 Декодирование для класса каналов 221 5. 7 Выводы и замечания по разделу.

Теория декодирования блоковых кодов исторически развивалась в направлении построения простых или относительно простых алгоритмов исправления ошибок заданной кратности применительно к тем конкретным классам кодов, которые такое декодирование допускают. На этом пути был достигнут ряд практически важных и математически глубоких результатов, сформировавших в значительной степени теорию кодирования как науку, находящуюся на стыке техники связи и дискретной математики. К таким результатам следует отнести создание алгоритмов алгебраического декодирования кодов БЧХ [13,150] и их обобщений [23,42,46], разработку алгоритмов мажоритарного декодирования геометрических кодов [98,150], алгоритмов декодирования каскадных и обобщенных каскадных кодов [19,116].

Расширение практики использования кодов при хранении и передаче информации, а также повышение требований к качеству декодирования в традиционных для кодов областях применения, с одной стороны, и значительное увеличение возможностей техники при реализации сложных алгоритмов, с другой стороны, определили интерес к изучению методов декодирования, применимых к кодам с произвольной структурой и позволяющих исправлять ошибки сверх кратности, определяемой кодовым расстоянием.

Разработанные алгебраические (алгебра-геометрические) методы декодирования и, прежде всего, алгоритм Берлекэмпа [16,37] и его модификации [71,148], допускают сравнительно простую реализацию. Однако они:

1) применимы к исправлению ошибок в кодах, представимых в специальном виде и не применимы к кодам с произвольной структурой;

2) позволяют исправлять только те ошибки, кратность которых не превышает половины "конструктивного" расстояния кода, последнее же для многих лучших линейных кодов существенно уступает минимальному;

3) не всегда эффективны для исправления не независимых, например, группирующихся ошибок.

Указанные недостатки алгебраических методов декодирования, конечно, не дают оснований подвергнуть сомнению то значение, которое имеют эти методы декодирования для современной теории и практики помехоустойчивого кодирования. Однако они определяют рамки эффективного использования алгебраического декодирования и предполагают необходимость рассмотрения методов декодирования, применимых к более широким классам кодов.

Алгебраические методы декодирования остаются вне конкуренции при передаче информации по сравнительно "хорошим" высокоскоростным каналам связи, при декодировании ошибок заданной кратности кодом, представленным в стандартной алгебраической форме (ситуация легального пользователя в криптографии), и ряде других ситуаций.

Для тенденций развития техники связи в настоящее время характерно, однако, стремление как можно более полного использования возможностей теории кодирования - использование лучших известных кодов ( к которым алгебраические методы декодирования не всегда применимы) в сочетании с декодированием по максимуму (или "почти" по максимуму) правдоподобия.

Кроме того, появился целый ряд новых для теории кодирования задач, в которых принципиально требование исправления ошибок с помощью кодов, стандартный алгебраический вид которых не известен. Такова ситуация в криптографии с открытым ключом (например, при криптоанализе системы Мак Элиса) и в ряде задач сетевого обмена (например, при борьбе с обгонами ).

Все это делает актуальным изучение общих методов декодирования, т. е. методов, применимых к декодированию всех и почти всех линейных кодов. Общие методы декодирования не используют специальные свойства применяемых кодов, и сложность их реализации, как правило, выше, чем у алгебраических.

В диссертации решается научно-техническая проблема создания общих методов декодирования линейных блоковых кодов для повышения качества систем передачи, хранения, защиты и обработки информации широкого назначения.

Все известные общие методы декодирования линейных блоковых кодов являются комбинаторными.

Под комбинаторными методами декодирования понимают обычно алгоритмы , состоящие в отборе по некоторому правилу подмножества кодовых слов (множества кандидатов), внутри которого затем производится поиск декодированного варианта принятого вектора. Такие алгоритмы, заданные на линейном коде как на дискретной математической структуре, не опираются на специальные алгебраические свойства кода и применимы ко всем линейным кодам.

Целью диссертационной работ ы является всестороннее исследование комбинаторных методов декодирования и возможностейих применения в задачах передачи и защиты информации.

Для достижения этой цели в работе рассматриваются следующие основные задачи и вопросы:

1. Разработка единого описания комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов .

2. Исследование потенциальных (асимптотических) возможностей различных методов комбинаторного декодирования с целью выделения перспективных направлений создания декодеров лучших линейных кодов.

3. Разработка эффективных комбинаторных декодеров конкретных кодов конечной длины, ориентированных как на аппаратную, так и на программную реализацию.

4. Исследование возможностей применения методов комбинаторного декодирования в сетях передачи информации как на нижних, так и на верхних уровнях сетей.

5. Исследование возможностей применения задачи декодирования для построения систем защиты информации.

Методы исслед о в а н и я.

Для решения поставленных задач в работе использовались методы теории кодирования, комбинаторного анализа, алгебры, теории вероятностей и теории алгоритмов.

Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Дано общее с единых позиций описание комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов, позволяющее сформулировать общий подход к построению комбинаторных декодеров линейных кодов.

2. Развит аппарат асимптотического анализа сложности декодирования линейных кодов. Проведен сравнительный анализ сложности комбинаторных алгоритмов. Получена лучшая среди известных оценка сложности декодирования линейных блоковых кодов в дискретных каналах без памяти.

3. Доказано существование широкого множества квазициклических кодов,асимптотически приближающихся к границе Варшамова Гилберта.

4. Предложены новые комбинаторные алгоритмы декодирования линейных блоковых кодов. На основе этих алгоритмов построены декодеры для ряда лучших циклических и квазициклических кодов, имеющие наименьшую сложность среди известных декодеров этих кодов.

Сформулированные в пп. 1-4 результаты работы позволяют говорить о создании в диссертации теории комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов.

5. Предложен метод кодирования-декодирования на транспортном уровне сети передачи данных, ориентированный на уменьшение средней задержки сообщений в сети.

6. Построен класс "марковских" метрик для описания каналов различной природы, допускающий комбинаторное декодирование. Предложен подход к решению задачи обеспечения надежности передачи в звене сети передачи данных на основе комбинаторного декодирования и метрического описания каналов .

7. Проведен криптоанализ существующих криптографических систем с публичным ключом. Предложен класс новых систем с публичным ключом на основе задачи полного декодирования.

8. Предложена система цифровой подписи на основе использования задачи декодирования.

Практическая ценность и внедрение работы.

Практическая ценность работы определяется тем, что :

1. Предложенные в разделе 3 новые методы комбинаторного декодирования позволили получить : класс программных декодеров, обладающих возможностью эффективного обмена памяти и времени,- для ряда циклических и квазициклических кодов декодеры из этого класса являются наиболее простыми среди известных программных декодеров (табличное декодирование, раздел 3.6); класс устройств для декодирования циклических и квазициклических кодов, ориентированных на высокоскоростное применение; для ряда циклических и квазициклических кодов декодеры из этого класса являются наиболее простыми аппаратными декодерами среди известных (комбинированное декодирование, раздел 3.3; новизна этих декодеров подтверждена авторскими свидетельствами [197-210]).

2. Предложенный в разделе 4 алгоритм кодирования декодирования на транспортном уровне сети передачи данных и разработанная в этом разделе методика применения этого алгоритма позволяет во многих случаях повысить такие характеристики сети, как средняя задержка сообщений, средняя задержка приоритетных сообщений, вероятность доведения сообщений и др.

3. Предложенное в разделе 5 декодирование с использованием марковского расстояния позволяет повысить характеристики качества передачи информации в ряде каналов с памятью.

Результаты диссертационной работы в части построения простых декодеров циклических и квазициклических кодов использованы в научно-исследовательских работах и внедрены во ВНИИРА(г. С.Петербург), НПО "Красная Заря" (г. С.Петербург), НИИ АА (г. Москва ).

Результаты работы в части кодирования на транспортном уровне сети передачи данных использованы в научно-исследовательских работах и внедрены в НИИ Программных систем (г. С.Петербург).

Результаты работы в части декодирования в каналах с памятью использованы в работах НИИ АА (г. Москва) и НПО им. Коминтерна (г. С.Петербург).

Теоретические результаты работы используются в ряде учебных курсов, читаемых студентам СПГУАП.

Использование результатов подтверждается соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на :

-VI, Vil, VI11, IX и X Всесоюзных симпозиумах по проблеме избыточности в информационных системах (г. СПб, 1974,1977,1983, 1986,1989, соответственно) ;

- VI1(1977,г.Вильнюс), IX(1988,г.Одесса) Всесоюзных конференциях по теории кодирования и передачи информации;

- Х( 1985, г. Тбилиси), XI (1986, г. Рига), XI11 (1988, г. Алма-Ата) и XVI(1991,г.Винница) Всесоюзных школах по вычислительным сетям;

- 11(1990,г.Спб), VI(1998,г.Псков) Международных симпозиумах по алгебраической и комбинаторной теории кодирования;

- V(1991, г. Москва), VI (1993, г. Молле,Швеция), VI1 (1995, г. Спб) Российско-Шведских международных симпозиумах по теории информации;

- Международной конференции по защите информации (1993,г.Москва);

- 11 и 111 Республиканских научно - технических конференциях "Методы и технические средства обеспечения безопасности информации" (г. С.Петербург, 1995, 1996);

Международных симпозиумах IEEE по теории информации (1993, г. Сан-Антонио, США , 1997, г. Ульм, Германия); на ряде других Всесоюзных конференций и совещаний, а также на постоянно действущем семинаре по теории кодирования ИППИ РАН. Публикации. По теме диссертации опубликовано более 60 печатных работ, в том числе 3 учебных пособия и 14 авторских свидетельств.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Единое описание и асимптотический анализ сложности декодирования линейных блоковых кодов, дающие в совокупности основы теории комбинаторного декодирования.

2. Метод декодирования линейных блоковых кодов с использованием надкодов, дающий лучшие среди известных декодеры ряда оптимальных или подоптимальных циклических и квазициклических кодов.

3. Метод кодирования на транспортном уровне сети передачи данных, обеспечивающий уменьшение средней . задержки сообщений в сети с коммутацией пакетов.

4. Метод декодирования в каналах с памятью на основе разработанной системы марковских метрик.

5. Метод построения функций с закрытыми дверями на основе задачи декодирования линейных кодов, позволяющий получить новые системы публичных ключей и цифровой подписи.

Работа построена следующим образом.

В первой главе дается введение в теорию общих методов декодирования. Формулируются классические комбинаторные методы декодирования - алгоритмы декодирования по информационным совокупностям, перестановочное декодирование, декодирование с помощью покрывающих полиномов. Хотя глава носит в основном обзорный характер, в ней изложена созданная при участии автора и ставшая общепринятой концепция общих методов декодирования, основанная на идее комбинирования (совместного использования) классичеких алгоритмов.

Вторая глава посвящена асимптотическому анализу сложности декодирования линейных блоковых кодов. Основное внимание уделяется сложности декодирования "почти" по максимуму правдоподобия. Современные успехи в области этого анализа связаны с построением двух алгоритмов - декодирования с использованием покрытий (автор,1989) и декодирования на основе сортировки (Думер,1988). В главе дается полное изложение и анализ этих методов и предлагается новый комбинаторный алгоритм декодирования, обеспечивающий лучшую известную оценку сложности почти всех линейных блоковых кодов по максимуму правдоподобия.

Третья глава посвящена построению декодеров кодов конечной длины. Асисмптотическое исследование сложности декодирования, проведенное во второй главе для "почти" всех кодов, позволило в зтойглаве предложить ряд алгоритмов декодирования конкретных кодов. В качестве объекта исследования рассматривались циклические и квазициклические коды. Для обоснования выбора такого объекта в главе доказано существование "хороших" квазициклических кодов, в частности, кодов, лежащих на границе Варшамова-Гилберта при любых рацианальных скоростях кодирования. В главе предложен ряд лучших среди известных декодеров оптимальных и подоптимальных циклических и квазициклических кодов.

4-6 главы работы посвящены применению комбинаторных методов декодирования в задачах связи и защиты информации. Изложение в этих главах ориентировано на применение комбинаторных методов декодирования в сетях передачи данных.

Глава 4 посвящена рассмотрению возможностей применения комбинаторного декодирования для сборки сообщений на транспортном уровне сети передачи данных с коммутацией пакетов. В работе предложен метод нетрадиционного использования линейных кодов с комбинаторным декодированием (автор совместно с Г. А. Кабатянским,1985) не для исправления искажений при передаче информации, а для уменьшения средней задержки сообщений в сети. Предложена модель описания кодирования на транспортном уровне. Получены условия выгодности кодирования на транспортном уровне для ряда законов распределения задержки пакетов и непараметрические оценки выгодности.

В отличие от нетрадиционного применения кодирования, описанного в 4 главе, глава 5 рассматривает сетевую задачу кодирования в звене передачи данных с обычных для использования кодирования позиций необходимости повышения надежности связи. Задача кодирования в звене передачи данных, т.е. задача выбора кода и метода декодирования для соответствующего уровня сети, имеет однако специфику по сравнению с задачей кодирования в канале. Эта специфика связана с требованиями унификации средств защиты информации в сети и состоит в необходимости рассмотрения кодирования в классе, вообще говоря, неоднородных каналов. Для решения этой задачи в пятой главе предложен подход, основанный на введении класса марковских метрик, позволяющих описать широкий класс каналов связи с памятью. Такой подход позволяет организовать адаптацию декодирования к каналу связи, изменяя метрику, в которой проводится декодирование. В главе показана эффективность циклических кодов в марковских метриках, что в сочетании с возможностью их комбинаторного декодирования позволяет говорить о некотором продвижении в решении задачи кодирования в звене сети передачи данных.

Глава 6 посвящена применению методов комбинаторного декодирования в криптографии с открытым ключом. Появившаяся в связи с распространением на практике сетей независимых пользователей и бурно развивающаяся в последние годы криптография с открытым (публичным) ключом оказалась привлекательной для применения методов теории помехоустойчивого кодирования. Для создания функций с закрытыми дверями, играющих ключевую роль в системах с публичным ключом, необходима трудная массовая задача. Такой задачей может служить задача декодирования линейных кодов. Одна из первых функций с закрытыми дверями - функция Мак Элиса - была основана на использовании задачи декодирования и стимулировала проникновение кодовых методов в криптографию. Криптоатака на систему Мак Элиса - это решение задачи декодирования линейного кода, не имеющего или имеющего неизвестную алгебраическую структуру, требует применения общих методов декодирования линейных кодов. Криптоанализ системы Мак Элиса на основе применения общих методов декодирования позволил найти ее (системы) модификации. В главе предложен ряд новых систем с публичным ключом, повышающих эффективность системы Мак Элиса , а также разработана цифровая подпись, основанная на задаче декодирования.

I. КЛАССИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ

Настоящий раздел представляет собой введение в теорию общих методов декодирования линейных блоковых кодов. В нем приводятся классические комбинаторные алгоритмы декодирования линейных кодов, известные уже на протяжении трех - четырех десятилетий, и рассматриваются современные идеи развития этих алгоритмов, положенные в основу данной работы.

Основные результаты исследования могут быть сформулированы следующим образом:

1. Дано общее с единых позиций описание комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов, позволяющее сформулировать общий подход к построению комбинаторных декодеров линейных кодов.

2. Проведен асимптотический анализ сложности декодирования по информационным совокупностям как основы для построения комбинаторных методов декодирования.

3. Развит аппарат асимптотического анализа сложности декодирования линейных кодов.

4. Получена оценка сложности декодирования линейных блоковых кодов в дискретных каналах без памяти, лучшая среди известных.

5. Доказано существование широкого множества квазициклических кодов, асимптотически приближающихся к границе Варшамова-Гилберта

6. Предложен ряд новых комбинаторных алгоритмов декодирования линейных блоковых кодов. На основе этих алгоритмов построены декодеры для ряда лучших циклических и квазициклических кодов, имеющих наименьшую сложность среди известных декодеров этих кодов.

7. Сформулированные в пп. 1-6 результаты глав 1-3 работы позволяют говорить о создании в диссертации теории комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов.

8. Предлжен метод кодирования-декодирования на транспортном уровне сети передачи данных, ориентированный на уменьшение средней задержки сообщений в сети.

9.Проведено исследование кодирования на транспортном уровне сети. Получены параметрические и непараметрические оценки выгодности кодирования в надежных и ненадежных сетях.

10. Построен класс "марковских" метрик для описания каналов различной природы, допускающий комбинаторное декодирование. Предложен подход к решению задачи обеспечения надежности передачи в звене сети передачи данных на основе комбинаторного декодирования и метрического описания каналов .

И. Проведен криптоанализ существующих криптографических систем с публичным ключом. Предложена модификация системы Мак Элиса.

12. Предложен класс новых систем с публичным ключом на основе задачи полного декодирования.

13. Предложена система цифровой подписи на основе использования задачи декодирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена исследованию комбинаторных методов декодирования линейных блоковых кодов.

Практика последних десятилетий потребовала развития методов, применимых для декодирования не только кодов из некоторых специальных классов, но пригодных для исправления ошибок во всех или почти всех кодах. Новые постановки задач в связи и криптографии, с одной стороны, и требования к качеству передачи, предполагающие необходимость исправления ошибок сверх половины кодового расстояния, с другой стороны, стали источником того внимания, которое сегодня уделяется развитию общих и, в частности, комбинаторных методов декодирования.

Проведенное исследование охватывает следующие основные вопросы:

1. Разработка общей классификации комбинаторных методов декодирования. Сравнительный анализ их сложности.

2. Изучение потенциальных возможностей комбинаторных методов декодирования. Асимптотический анализ сложности этих методов.

3. Разработка эффективных декодеров лучших известных кодов конечной длины. Ориентация при этом сделана на построение декодеров симметричных, и в первую очередь, циклических и квазициклических кодов.

4. Разработка методов кодирования-декодирования для сетей передачи данных: а) изучение возможностей использования алгоритмов кодирования - декодирования на верхних уровнях сети; б) исследование задачи декодирования в звене передачи данных.

5. Изучение возможностей применения методов декодирования линейных кодов в задачах обеспечения информационной безопасности.

Главы 1-3 работы посвящены изучению собственно комбинаторных методов декодирования. Главы 4-6 охватывают вопросы применения методов декодирования линейных блоковых кодов в системах передачи и защиты информации.

1. Албади М. , Викер С. Б. (Alabbadi М., Wicker S.B.) Digitalsignature schemes based on eгго г-с о г гесting codes. In IEEE International Symposium on Information Theory, January 17-22 1993. San Antonio, Texas, U.S.A.

2. Аснис И.Л., ФеДоренко С.В. Таблицы покрытий для декодирования по s-совокупностям // Тр. Междунар. семинара по защите информации. Тез.докл. Москва, 1993. С.22.

3. Аснис И., Федоренко С., Крук Е. , Мирончиков Е. (Asnis I., Kruk Е.А., Mironchikov E.T., Fedorenko S.V.) Decoding by S-sets. Fifth joint sоviet-swedish internatinal Workshop on Information theory, 1991, p. 113-115.

4. Аснис И., Федоренко С., Крук Е. , Мирончиков Е. (Asnis 1.,

5. Fedorenko S., Krouk E., Mironchikov E.) Tables of coverings for decoding by S-sets// Lecture notes in computer science. Springer Verlag, vo1.829. 1 994 .

6. Ассмус E. Ф. Матсон X. Ф. (Assmus E.F.Jr., Mattson H.F.Jr.) New 5-designs

7. J. Combinatorial Theory. 1969. V.6. If6.1. P. 122-151.

8. Axo A., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.

9. Барг А.М. Некоторые новые кодовые NP-задачи // Пробл. передачи информ. 1994.Т. 30 (3). С. 23-28.

10. Барг A.M. (В а г g A.). Complexity Issues in Coding Theory// In Handbook of coding Theory. Edited by V.S. Pless and W.C.Huffman. Amsterdam: Elsevier Science. 1998. Pp.649-754.

11. Барг A.M., Думер И.И. Алгоритм каскадного декодирования снеполным перебором кодовых векторов // Пробл. передачи информ. 1986. Т.22. N4 . С.3-10.

12. Барг A.M., Крук Е. А. , Ван Тилборг X. (вагд a., Krouk е. а.,van Tilborg Н.С.А.) Remarks on the hard-decision decoding of linear codes // Proc. IEEE Intern. Inform. Synpos.Inform.Theory, UlmC1997), p.31.

13. И. Барг A.M., Крук E. A. , Ван Тилборг X. (Barg A., Krouk E. A. ,van Tilborg H.C.A.)On the Complexity of Minimum Distance Decoding of Long Linear Codes. // IEEE Trans. on Inform. theory. 1998 v.(4 5) (в печати).

14. Берлекэмр Э. Алгебраическая теория кодирования. М.: Мир, 1971. 478 с.

15. Берлекэмп Е. Р. ( Berlekamp E.R.) Goppa codes //IEEE Trans. Info. Theory. 1973. I T- 1 9. P.590-592.

16. Берлекэмп E. P. , Мак Элис P. Дж. , Ван Тилборг X. С. А.е. R. Ber lecamp, R.J. Мс Elice, Н.С.А. Van Tilborg). On inherent intга сtabi1itg of certain coding problems // IEEE Trans. on Inform, theory. -1978,v.24, p.p.384-386.

17. Берман С.Д. Полупростые циклические и абелевы коды ii // Кибернетика. 1967. ВЫП. 3. С.21-30.

18. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М.: Мир, 1986. 576 С.

19. Блиновский В.М. Нижняя асимптотическая граница для числа слов линейного кода в произвольной сфере с заданным радиусом изfn // Пробл. передачи информ. 1987. Т.23. №2. С.50-53. q

20. Блиновский В.М. (Blinovski V.M.) Asymptotic Combinatorial Coding Theory, Klawer: Boston (1997)

21. Блох Э. JI. , Зяблов В. В. Обобщенные каскадные коды. М. : Связь,1976. 233 с.

22. Блох Э. JI. , Зяблов В. В. Линейные каскадные коды. М. : Наука, 1982. С. 230.

23. Блох Э. Л. , Попов 0. В. , Турин В. Я. Модели источников ошибок в каналах передачи цифровой информации. М. Связь. 312 с.

24. Бояринов И. М. Помехоустойчивое кодирование числовой информации. М. : Наука, 1983.

25. Бояринов И.М., Кабатянский Г.А. Обобщенные коды Гоппы // Тр. iv Междунар. симпозиума по теории информации. Тез.докл. МоСКВа-ЛеНИНГраД, 1976. 4.2. С.21-23.

26. Бриккелл Ф.Э., Одлижко Э. М. Криптоанализ: Обзор новейших результатов// ТИИЭР, т.76, 5,1988.

27. Брук Дж. , Нуар М. (Bruk J., Naor М.) The hardness of decoding linear codes with preprocessing// IEEE Trans. Inform. Theory, v.3 6. 1990. Pp.331 -335.

28. Ван Тилбург Дж. (Van Tilburg J.). On the McEliece public-key сryptоsуstem.// Advances in Cryptology (Crypto'88), S.Goldwasser, ed., Lecture Notes in Comput. Sci. vol.403, Springer, New York (1990), 119-131.

29. ВарДИ А., Бьери У. (Vardy A. and Be'ery Y.). More efficient soft decoding of the Golay codes.// IEEE Trans. Inform. Theory IT-37 (3) (1991), 667-672.

30. ВарДИ А., Бьери У. (Vardy A. and Be'ery Y.). Maximum likelihood soft decision decoding of BCH codes// IEEE Trans. Inform. Theory IT-40 (3) (1994), 546-554.

31. Варди A. (Vardy A.). The intractability of computing the minimum distance of a code.// IEEE Trans. Inform. Theory IT-43 (6) (1997), 1757-1766. Preliminary version: Proc. 29th ACM

32. Annual Sympos. on the Theory of Computing (STOC'97), ACM (1997), 92-109.

33. Вольфман Дж (Wolfmann J.) A Permutation Decoding of the (24,12,8) Goley Code // IEEE Trans. Inform. Theory. 1983. V.29. №5. P.748-751.

34. Габидулин Э. M. Комбинаторные метрики в теории кодирования

35. В кн.: 2 Международный симпозиум по теории информации. Цехкадзор. 1972.

36. Габидулин Э.М. Теория кодов с максимальным ранговым расстоянием// Проблемы передачи информации, 1985, т. 21, № 1.1. С. з- 1 б.

37. Габидулин Э. М. Оптимальные коды исправляющие ошибки решетчатой конфигурации//Проблемы передачи информации, 1985, т. 21, №2. С. 102-106.

38. Габидулин Э. М., Афанасьев В.Б. Кодирование в радиоэлектронике. М.: Радио и Связь, 1986. С.175.

39. Галлагер Р. Коды с малой плотностью проверок на четность М.: Мир, 1966. с.

40. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Советское радио,1974.-719 С.

41. Герч ф. (Gerth F.) Limit Probabilities for Coranks of

42. Matrices over GF(q)// In Linear and Multilinear Algebra 1986.v.19. pp.79-93.39.. Герасименко В. A. , Размахнин M.K. Защита информации в вычислительных, информационных, и управляющих системах и сетях. Зарубежная радиоэлектроника,1985, м8, c.4i-6i.

43. Герасименко В. А.,Размахнин М. К. Криптографические методы в автоматизированных системах. Зарубежная радиоэлектроника, 1982, м8, с.97-124.

44. Герасименко В. А. Новые данные о защите информации в автоматизированных системах обработки данных. Зарубежная радиоэлектроника, 1987, n9, с. 5-21.

45. Гоппа В.Д. Новый класс линейных корректирующих кодов // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1970. Т.6. Из. С.24-30.

46. Гоппа В.Д. Рациональное представление кодов и сь,д)-коды // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1971. Т.7. №з. С.41-49.

47. Гоппа В.Д. На неприводимых кодах достигается пропускная СПОСОбНОСТЬ ДСК // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1 974. Т. ю.1. С.111-112.

48. Гоппа В.Д. 0 декодировании (L,g)-кодов // ДАН СССР.1975. Т.222. №б. С.1309-1310.

49. Гоппа В.Д. Коды, ассоциированные с дивизорами // Пробл. передачи ИНфорМ. 1977. Т.13. N4. С.33-39.

50. Градштейн И. С. , Рыжик И. Р. . Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963.

51. Гэри М. , Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М. : Мир, 1982. 416 с.

52. Davis R. The Data Encription Standart in perspective, IEEE Com., 1978, N16, p.5-9.

53. ДЖОНСОН Д. С. (D.S.Johnson.) The NP-сomp1еtеness column: An ongoing guide.// Edition 3, 18 and 22, J. Algorithms 3 (1982), 182-195; 7 (1986), 584-601; 11 (1990), 144-151.

54. Диффи В., Нелман M. (Diffie W. ,He 1lman M.) In AFIPS. // Conference Proc., 1975, p.109.

55. Диффи В., Нелман M. (Diffie W. ,He 1lma n M.) Com. of ACM, v.19.M3, March 1975, p.17-23.

56. Диффи В., Нелман M. (Diffie W. ,He 1lman M.) New directions in cryptography, IEEE Trans. Infom. Theory, 1975, v.IT-22, N5, p.644-654.

57. Додунеков C.M. Минимальная блоковая длина линейного q-ичного кода с заданными размерностью и кодовым расстоянием // Пробл. передачи информ. 1984. Т.20. №4. С.11-22.

58. Дорш Б. (Dorsch В.) A decoding algoritmfor binary block codes and J-nary output channeIs//IEEE Trans. Inform. Theory. v.20. 1974. Pp.391-394.

59. Думер И.И. Два алгоритма декодирования линейных кодов // Пробл. передачи информ. 1989. Т.25. №l. С.24-32.

60. Думер И.И. Декодирование линейных кодов по минимуму расстояния //Тр. v Междунар. семинара по теории информации "Сверточные коды; связь с многими пользователями". Тез.докл. Москва, 1990. С.50-52.

61. Думер И. И. ( Dumer I.) Suboptimal decoding of linear codes

62. IEEE Trans. on Inform, theory. IT-42 (6) 1 996. P. 1981 -1 996.

63. Думер И. И. , Зиновьев В. А. , Зяблов В. В. Каскадное декодирование по минимуму обобщенного расстояния // Проблемы управления и теории информации. 1981. Т. 10. № 1. С. 3-19.

64. Дэвенпорт Дж., Сирз И., Турнье Э. Компьютерная алгебра.

65. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.: Мир, 1991.

66. Дзйвид Г. Порядковые статистики. Москва. Наука. 1979.

67. Евсеев Г.С. О сложности декодирования линейных кодов // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1983. Т.19. №і. С.3-8.

68. Евсеев Г.С., Крук Е.А. Об одном алгоритме декодирования КВ кодов//В кн.Тр.vi Всесоюз. симпоз. по проблеме избыточности в информационных системах. JI, 1974. 4.1. С.26-30.

69. Евсеев Г.С., Крук Е. А. Об одном неполном алгоритме декодирования (2u-l,u) -КОДОВ//В кн.: Системы обработки и передачи информации. Тр. ЛИАП, вып. 87. 1974. С. 49-54.

70. Евсеев Г. С. , Крук Е.А. Об одном классе кодов, исправляющих пакеты ошибок//В кн. : Системы обработки и передачи информации. Межвуз. сб. , Л. 1976. С. 19-23.

71. Евсеев Г. С. , Ивлиев А. Я. , Крук Е. А. О построении системдля мажоритарного декодирования линейных кодов// Вопросы кибернетики. 1977, вып. 34. С. 91-98.

72. Ehrsam W.,Matyas S., Меуег C.,Juchman W. А С гyptogгаphi с Key Management Scheme, IBM Systems Journal, 1978, v.17, N2, p. 106-125

73. Захаров Г.П. Сети передачи данных., Л., ЛЭИС, 1976.

74. Зиновьев В.А. Обобщеннные каскадные коды.// Пробл. передачи информ. 1976. Т.12. №1. С. 6-15.

75. Зоргер У. К. (Sorger U.K.). A new Reed-Solomon code decoding algorithm based on Newton's interpolashion.// IEEE Trans. Inform. Theory IT-39 (2) (1993), 758-765.

76. Зяблов В. В., Коробков Д.Л., Портной С.Л. Высокоскоростная передача сообщений в реальных каналах. М. : Радио и связь. 1990. 288 с.

77. Зяблов. В.В. , Пинскер М.С. Списочное каскадное декодирование // Пробл. передачи информ. 1981. Т.29. №4. С.29-34.

78. Зяблов В. В. , Сидоренко В. Р. Граница сложности декодирования линейных блоковых К0Д0В//Пр0бЛ. передачи информ. 1993. Т.29. №з. С.3-9.

79. Кабатянский Г. А. О существовании хороших циклических "почти" линейных кодов над непростыми подполями// Проб. передачи информ. , 1977. Т. 13. №3

80. Кабатянский Г. А. , Крук Е. А. . Кодирование уменьшает задержку.// В кн. "X Всесоюзная школа-семинар по вычислительным сетям11 4.2 Москва-Тбилиси. 1985 г.

81. Кабатянский Г. А. , Крук Е. А. Об избыточном кодировании на транспортном уровне сети передачи данных// В кн= Помехоустойчивое кодирование и надежность ЭВМ. Москва. Наука. 1987.

82. Кабатянский Г. А. , Крук Е.А. Кодовый метод бесприоритетной передачи срочных сообщений// В кн. " Труды XI Всесоюзной школы-семинара по вычислительным сетям" Ч.2 М.- Рига, 1986 г.

83. Кабатянский Г. А. , Крук Е.А. Кодирование сообщений в сети ЭВМ // В кн. Труды IX Всесоюзной конф. по теории кодирования и передачи информации.М.-Одесса.1988.С.175-179.

84. Кабатянский Г. А. , Крук Е. А.Кодирование в сети с ненадежными каналами // В кн. " Труды XIИ Всесоюзной школы-семинара по вычислительным сетям" Ч.2 М,- Алма-Ата, 1988 г.

85. Kabatianski G., Krouk E.Coding Decreases Delay of Messages in Networks// Proceedings of 1993 IEEE International Symposium on Information Theory, San-Antonio, Texas, U.S.A.

86. Калдербенк A. P. , Слоэн H. Д1. A. ( Calderbank A.R., Sloane

87. N.J.A.) New Trellis codes based on latticesand cosets//IEEE Trans. Inform. Theory, v.33. 1987. Pp.177-195.

88. Камерон П. , Ван Линт Дж. Теория графов, теория кодирования и блок-схемы. М. : Наука. 1980

89. Касами (Kasami Т.) A Decoding Procedure for

90. Ми 11ірle-Ег гоr-Coггесtіng Cyclic Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1 964. V.10. №2. P. 134- 138.

91. Касами (Kasami T.) A Gі 1 bert-Varshamov Bound for Quasi-Cyclic Codes of Rate 1/2// IEEE Trans. Inform. Theory. 1974. V.20. №5. P. 679.

92. Кеннеди P. Каналы связи с замираниями и рассеянием. М. , Сов. Радио, 1973. 307 с.

93. Кеттер Р. (R. Kotter). Fast generalized minimum distance decoding of algebrа і с-де отеtгу and Reed-Solomon codes.// IEEE Trans. Inform. Theory IT-42 (3) (1996), 721-737.

94. КОНТИ A. (Canteut A.) A New algoritm for finding mimimum weight words in large linear codes// Proc. 5th IMA Conference Cryptography and coding. Lect. Notes Comput. Science, 1025. Pp.205-212.

95. Кладов Г.К. Мажоритарное декодирование линейных кодов // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1972. №3. С.21-26.

96. Кларк Дж. мл., Кейн Дж. Кодирование с исправлением ошибок

97. В СИСТемаХ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ. М.: РаДИО и СВЯЗЬ,1987.

98. Клейнрок JI. Вычислительные системы с очередями. Москва. Мир, 1979.

99. JI. Клейнрок. Коммуникационные сети. Стохастические потоки и задержки сообщений. Москва. Наука, 1970.

100. Клейнрок JI (l. Kleinrock, W. Naylor). On Measured Behavior of the ARPA Network// AFI PS Conf. Proc. , National Computer Conf., 1974, vol. 43, pp. 767-780.

101. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т.з. М.: Мир, 19 78.

102. Коффи Дж. , Гудман (Дж. Coffey J.T., Goodman R.M.)

103. The complexity of information set decoding // IEEE Trans. Info. Theory. 1990. IT-36. №5. P.1031-1037.

104. Колесник В.Д., Мирончиков Е.Т. Декодирование циклических кодов. М.: Связь,1968.

105. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш., Курс теории информации, М., Наука, 1982.

106. Конвей Дж. , Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы, т. 1,2. М. Мир. 1990

107. Коржик В. И., Финк Л. М. Помехоустойчивое кодирование дискретных сообщений в каналах со случайной структурой. М. Связь, 1975.

108. Коржик В. И. , Осмоловский С. А. , Финк Л. М. Универсальное стохастическое кодирование в системах с решающей обратной связью// Проблемы передачи информации, 1974, ы4, с.12-21.

109. Крачковский В. Ю. , Крук Е. А. Метод адаптивной передачи каскадными кодами по каналам с памятью// В кн: Помехоустойчивое кодирование и надежность ЭВМ. М. Наука,1987.

110. Крук Е. А. О существовании "хороших" квазициклических кодов// В кн. :v11 Симпозиум пр пробл. избыточ. в информ. системах, JI. 1977.

111. Крук Е. А. Класс оптимальных кодов для параллельных каналов// В кн.:v11 Симпозиум пр пробл. избыточ. в информ. системах, Л. 1977.

112. Крук Е.А. О кодах с заданной группой симметрии// Вопросы кибернетики. 1977, вып. 34

113. Крук Е. А. Класс квазициклических кодов// В кн. :v11 Всесоюз. конф. по теории кодирования и передачи информ. Вильнюс, 1978.

114. Крук Е.А. Метрики для марковского канала// В кн. :Х Всес. Симпозиум пр пробл. избыточ. в информ. системах, Л. 1989.

115. Крук Е.А. Граница для сложности декодирования линейных блоковых кодов // Пробл. передачи информ. 1989. Т.25. №з.1. С. 103- 107.

116. Крук Е.А. Надежные методы передачи, хранения и обработки информации. Учебное пособие. ЛИАП. 1990.

117. Крук Е.А. К вопросу о существовании хороших квазицикличеких кодов// В кн. Совещание по распределенным вычислительным сетям cds -92. М. 1992. С. 196-197.

118. Крук Е.А. Кодовые криптосистемы с открытым ключом//

119. В кн.: "Разработка математической модели, методов и алгоритмов защиты информации в коммуникационных сетях и анализ ихэффективности", под редакцией В. В. Зяблова, М., 1992. С.62-69.

120. ИЗ. Крук Е. А. (е. Krouk). A new Public Key С г у р t о s у s t em. Sixth Joint Swedish-Russian International Workshop on Information Theory Moelle, Sweden, 1993, pp. 285-286.

121. KpyK E. ( Krouk E.) On the Probability of the Error Decoding in the Gilbert Channel// Proceedings of International Workshopon Information Protection, M., 1993.

122. Крук E. А. Кодовая цифровая подпись// В кн. Тр. Республиканской научно технической конференции "Методы и технические средства обеспечения безопасности информации" С. Пб. 1995.

123. Крук Е. А. , Мирончиков Е. Т. , Таубин Ф. А. , Трофимов А. Н. Основы построения цифровых систем связи. Учебное пособие. JI. 1987. 87 с.

124. Крук Е. А. , Семенов С. В. О числе проверочных символов абелевых кодов// В кн.:v111 Всесоюз. Симпозиум по пробл. избыточ. в информ. системах, JI. 1983.

125. Крук Е. А. Семенов С. В. К вопросу об эффективности кодирования на транспортном уровне сети // В кн. :IX

126. Всесоюз. Симпозиум пр пробл. избыточ. в информ. системах, JI. 1986.

127. Крук Е. А. , Семенов С. В. Об оценивании числа информационных совокупностей линейного блокового кода// В кн. : Системы обработки и передачи информации. Межвуз. сб. JI, вып. 87. 1988. С. 4-8.

128. Крук Е.А. Семенов С.В. Исправление пакетов ошибок кодами с малой плотностью проверок на четность// В кн. Труды IX Всесоюзной конф.по теории кодирования и передачи информации. М. -Одесса. 1988. С. 220-224.

129. Крук E.A., Семенов С. В. . Уменьшение задержки сообщения в пакетных радиосетях с помощью кодирования на транспортном уровне. Электросвязь. 1994, №9, с.

130. Крук Е. А, Семенов С. В. (Krouk Е.A., Semenov S.V.).1.w-Density Parity-Chek Burst Eггог-Соггeкting Codes// 2 International Workshop "Algebraic and combinatorial coding theory" Leningrad, 1990. P.121-124.

131. Крук E. А, Семенов С. В. (Krouk E.A., Semenov S.V.). On theexistence of good quasi-cyclic codes// Proceedings Seventh Joint Swedish-Russian International Workshop on information Theory. St. -Petersburg, Russia. 1995. Pp. 164 -1 66.

132. Krouk E., Sorger U. A public key cryptosystem based on total decoding of linear codes// Proceedings of VI International Workshop "Algebraic and combinatorial coding theory". Pskovs, 1998. P. 158-160.

133. Крук E.A., Трояновский Б. К. 0 сложности декодирования линейных кодов// В кн. :IX Всесоюз. Симпозиум по пробл. избыточ. в информ. системах, JI. 1986. С. 142-143.

134. Крук Е. А. , Трояновский Б. К. 0 сложности декодирования линейных КОДОВ. В КН. "IX симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах", ч. 2, Л. , 1986, с, 143-144.

135. Крук Е. Т. , Трояновский Б. К. , Федоренко С. В. 0 программной реализации декодеров. Техника средств связи. Серия ОТ. 1987, вып. 4, с. 5-13.

136. Крук Е. А. , Трояновский Б. К. , Федоренко С. В. 0 сложности программной реализации блоковых кодов // Тр. X симпозиума по проблеме избыточности в информационных системах. Тез.докл. 4.1. Л. : ЛИАП, 1989. С. 38.

137. Крук Е. А. , Федоренко С. В. Табличные декодеры блоковых кодов // Тр. 16 всесоюзной школы-семинара по вычислительным сетям. Тез.докл. 4.2. Москва-Винница, 1991. С.49-52.

138. Крук Е.А., Федоренко С.В. Декодирование по обобщенным информационным совокупностям. Проблемы передачи информации. 1995. Т. з 1. №2. С.54-6 1 .

139. Лафоркад А. , Варди A. (Lafourcade А. , Vardy А. ) Lover bounds on trellis сomp1iesitуоf block codes//IEEE Trans. Inform Theory. V.41. 1995.

140. Ли P. Дж. , Брике Л E. Ф. ( Lee P.J. and Brickell E.F.) An observation on the security of McEliece's public-keyсryptosуstem. Lecture notes in computer science. Springer-Ver1ag. Vol. 330. Advances in Cryptology EUROCRYPT'88, pp.275-280. 1989.

141. Леон Дж. С. (Leon J.S.) A probabilistic algorithmfor computing minimum weight of large eг гоr-с о ггeсting codes. IEEE Trans. Inform. Theory. 1 988. IT-34. If 5 . p p . 1 3 54 1 3 5 9 .

142. Леон ДЖ. С. (L eon J.S.) Computing automorphism groups ofeг гоr-с о ггeсting codes.// IEEE Trans. Inform. Theory IT-28 (3) (1982), 496-511.

143. Лидл P., Нидерайтер Г. Конечные поля. Т. 1,2. М. Мир. 1990.

144. Matyas S., Meyer С. Generation, Distribution and Installation of Сriptographiс Keys, IBM Systems Journal, 1978, v.17, N2, p.126-137.

145. Мак Элис P.Дж. (R.J. McEliece R.J.) On the BCJR trellisfor block codes/ IEEE Trans. Inform. Theory. v.42. 1 996.

146. Мак Элис Р. Дж. (R.J. МсЕПесе R.J.) A Public Key

147. Cryptosystem based on Algebraic Coding Theory, DAN Progress Report 42-44, Jet Propulsion Laboratory, 1978, pp. 114-116.

148. Мак Вильяме Ф. Дж. (Mac Williams F.J.) Permutation Decoding of Systematic Codes // Bell Syst. Tech. J. 1964. V.43. P.485-505.

149. Мак-Вильямс Ф. Дж. , Слоэн H. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. / Пер. с англ.- М.: Связь, 1979.

150. Мизин И. А. , Богатырев В. А. . Анализ зарубежного опыта построения систем пакетной коммутации на примере сети arpa.

151. Мизин И. А. , Богатырев В.А. , Кулешов А. П. . Сети коммутации пакетов. М. Радио и связь, 1986.

152. Мизин И. А. , Уринсон JI. С. , Храмешин Г. К. Передача информации в сетях с коммутацией сообщений. М. : Связь. 1977.

153. Мирончиков Е.Т., ФеДоренко С.В. Декодирование (L,g)-кодов по обобщенным информационным совокупностям // Пробл. передачи информ. 19ЭЗ. Т.29. №4. С.94-98.

154. Мэсси Дж. Введение в современную криптологию.// ТИИЭР, т.76, 5, 1988.

155. Мэс СИ Д. JI. , Шауб Т. (Massey J.L. and Schaub Т.).1.near complexity in coding theory.// Coding Theory and Appl., Lecture Notes in Comput. Sci. vol. 311, G.Cohen and P.Godlewski, eds, Springer, New York (1998), 19-32.

156. Нидерайтер H. (Niederreiter H.) К паpsасk-tуресryptоsystems and algebraic coding theory, Probl. Control and Information Theory, vol. 15, pp. 19-34, 1986.

157. Пелликан P. (Pellikaan R.) On decoding by error location and dependent sets of error positions.// Discrete Math.106/107 (1992), 369-381.

158. Пинскер M.C. 0 сложности декодирования // Пробл. передачи информ. 1965. T.I. Ifi. С.113-116.

159. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 19 7 6.

160. Протоколы и методы управления в сетях передачи данных /ред. Ф. Ф. Куо/. М. Радио и связь. 1985.

161. Прэнж Е. (Prange Е.) The Use of Information Sets in Decoding Cyclic Codes // IRE Trans. Inform. Theory. 1962. V.8. If5. P.S5-S9.

162. Редди С. M. ( Reddy S.M.) A note on decoding of block codes // IEEE Trans. Info. Theory. 1969. IT-15. P.627-628.

163. Ривест P. , Шамир A. , Адельман Jl. (Rivest R. , Shamir A. ,

164. Adleman 1.) A method for obtaind digital signatures and public key cryptogra systems. Com. of ACM, 1978, v.21, N2, p.120-126.

165. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. М. Наука. 1982.

166. РуДОЛЬф Л. Д. , МиТЧеЛ М.Е. (Rudolph L.D., Mitchell М.Е.) Implementation of Decoders for Cyclic Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1 964. V.10. If 3 . P.259-260.

167. Семенов С.В. 0 реализации кодирования на транспортном уровне сети передачи данных// В кн. XL111 Всесоюзная научная сессия, посвященная дню радио: Тез. докл. М. Радио и связь. 1988. ч.1. с. 88.

168. Семенов С.В. , Крук Е. А. К вопросу эффективности кодирования на транспортном уровне сети передачи данных// В кн. IX Симпозиум по проблеме избыточности в информационных системах: Тез. докл. Л., 1986. с. 77-80.

169. Семенов С.В., Семенов А.В. Моделирование сети передачиданных с коммутацией пакетов в условиях сетевого кодирования// В сб. Проблемы передачи и обработки информации. СПб., 1991. с. 80-94.

170. Сидельников В. М., Шестаков С.0. Декодирование кодов Рида-Соломона при числе ошибок, большем (d-i)/2, и нули многочленов нескольких переменных// Пробл. передачи информ. 1994. Т.30. №1. С.51-70.

171. В. М. Сидельников, С. 0. Шестаков. 0 системе шифрования на основе кодов Рида-Соломона // Дискретная математика -1992, т. 4, вып. 3, с. 57-63.

172. Снайдерс Д. (Snyders j.). Partial ordering of error patterns for maximum likelihood soft decoding.// Algebraic Coding, G.Cohen et al., eds, Lecture Notes in Comput. Sci. vol.573, Springer, New York (1992), 120-125.

173. Снайдерс Д., Бьери (Snyders j, Be'ery). Maksimum likelihood soft decoding of binary block codes and decoders for the Golay с о d e//IEEE Trans. Inform. OTheory. v.35. 1 989.pp.963-975.

174. Советов Б. Я. Теория информации. JI. :ЛГУ. 1975.

175. Советов Б. Я. Эффективность введения избыточности в системы передачи телемеханической информации. Л. : Наука. 1972.

176. Советов Б. Я. , Стах В. М. Построение адаптивных систем передачи информации для автоматизированного управления. Л.: Энергоиздат, 1982.

177. Стейн Дж. М., Бхаргава В. К. , Таварес С. Е. (stein j.m.,

178. Bhargava V.K., Tavares S.E.) Weight distribution of some "best" (3m,2m) binary quasi-cyclic codes // IEEE Trans. Info. Theory. 1 975. IT- 21. P.708-71 1.

179. Стерн Дж. (stern J.) A method for finding codewords of small weight. Lecture notes in computer science. Springer-Ver1ag. Vol. 388. Coding theory and application, pp.106-113. 1989

180. Стифлер Дж. Теория синхронной связи. М. ¡Связь. 1975.

181. Сяо Д., Керр Д., Мэдник С. Защита ЭВМ, М. , Мир, 1982.

182. Трояновский Б. К. , Крук Е. А. , Милютин М. С. 0 программной реализации поэтапного декодирования//В кн. :IX Всесоюз. Симпозиум по пробл. избыточ. в информ. системах, JI. 1986.1. С. 144-148.

183. Тьюринг A.M. (Turing A.M.) On computable numbers, with an application to the Entsс heidungspгоb1em // Proc. London Math. Soc., ser.2. 1936. Vol.42. P.230-265.

184. Федоренко С.В. К оценке сложности программной реализации блоковых кодов // В сб. Пробл. обработки и передачи информации. СПб.: ЛИАП, 1991. С.66-72.

185. Федоренко С.В. Сложность декодирования линейных блоковых кодов // Пробл. передачи информ. 1993. Т.29. №4. С.18-23.

186. Федоренко С. В. , Крук Е. А. ( Fedorenko S. , Krouk Е.) About block circulant representation of linear сodes//Pго сeedings of VI International Workshop "Algebraic and combinatorial coding theory".Pskovs, 1998.P. 116-118.

187. Форни Д. Каскадные коды. М. Мир. 1970.

188. Форни (f orney D.) Coset codes И: la tticesand related codes// decoding linear codes with preprocessing// IEEE Trans. Inform. Theory, v.3 4. 1988. Pp. 1 152 1 1 87.

189. Хелгерт X. Дж. , Стинаф P. Дж. (Helgert H.J., Stinaff R.D). Minimum Distance Bounds for Binary Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1973. V.19.

190. Хинмей В. (xinmei W.) Digital signature scheme based oneг гоr-с о ггeсting codes. Electronics Letters, 26(13), June 1990, pp. 898-899.

191. Хоффман JI. Дж. Современные методы защиты информации. М. ,1. СОВ.раДИО, 1980.

192. Цфасман М. А. , Влэдуц С. Г. (Tsfasman М.А. and Vladut).//

193. A lgеbгaiс-Geometгiс Codes, Kluwer, Dordrecht (1991).

194. Чен P. , Питерсон У. , Уэлдон Е. (Chen R. , Piterson. , Weldon E.) Some results on Quasi-Cyclic Codes// Information and Control, 15, 1969. C. 407- 423.

195. Чепыжов В. В. Новые нижние границы для минимального расстояния линейных квазициклических и почти линейных циклических кодов// Проблемы передачи информации. 1992. Т.28. №1. С.39-51.

196. Шеннон К. Теория связи в секретных системах. В кн. РабОТЫ ПО Теории ИНформаЦИИ И кибернетике, ИЛ, 1963, 879 с.

197. Шехунова Н.А., Мирончиков Е.Т. Циклические (Ь,д)-коды // ПробЛ. Передачи ИНфорМ. 1981 . Т. 17. №2. С.3-9.

198. Шива С. Ж. С. , ФаНГ К. С. , Тан X. С. Ю. (Shiva S.G.S., Fung к. е.,

199. Tan H.S.Y.) On permutation decoding of binary cyclic dоub1e-eггоr-с оггeсting codes of certain lenghts. IEEE Trans. Inform. Theory, 16(1970), p.641-643.

200. Шива С. Ж. С. , Фанг P. (Shiva S.G.S. Fung R. С. Permutation decoding of certain trip1e-eггоr-с оггeсting binary codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 18(1972), p.444-446.

201. ШоНХеЙМ Дж. (Schonheim J.) On Coverings // Pacific Journal of Mathematies. 1 964. Vol.14. P. 1 405- 14 1 1.

202. Шпарлинский И. E. (Shparlinski I.E.) Computational and Algorithmic Problems in Finite Fields.// Kluwer, Dordrecht

203. ШтаЛЛИНГ В. (Stalling W.) Network and Internetwork security principles and pracctice. IEEE Press. NY. 1995.

204. Щербина П.И. Кассетное декодирование. Минск, "Наука и1. Техника", 1974 г.

205. Эль Гамаль Т. (ElGamal Т.) A Public Key Cryptosystem and Signature Scheme based on Discrete Logarithms, IEEE Trans.on Information Theory vol. IT-31, Nov. 1985. pp. 469-472.

206. Эрдеш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в КОМбИНаТОрИКе. М.: Мир, 1976.

207. Элиа М. (M.Elia) Algebraic decoding of the (23, 12, 7) Golay code. // IEEE Trans. Inform. Theory IT-33 (1) (1987), 150-151.

208. Юстенсен Дж., Ларсен Дж. , Енсен Дж. , Хавемозе А., Хохолд Е.justesen J., Larsen K.J., Jensen H.E., Havemose A., Hoholdt T.) Construction and decoding of a class of algebraic geometry codes // IEEE Trans. Info. Theory. 1989. IT-35. N=4. P . 811-821 .

209. Юстенсен Дж. , Ларсен Дж. , Енсен Дж., Хавемозе А., Хохолд Е.justesen J., Larsen K.J., Jensen H.E., Hoholdt T.) Fast decoding of codes from algebraic plane curves // IEEE Trans. Info. Theory. 1992. IT-38. N4. P.111-119.

210. Устройство декодирования циклического кода. А. с. № 603138 от 21.12.77. Г.С.Евсеев, Е. А. Крук, Б. Д. Кудряшов.

211. Устройство порогового декодирования. А. с. №675613 от 29. 03. 79. Г. С. Евсеев, А. Я. йвлиев, Крук Е. А. , Н. А. Шехунова.

212. Декодирующее устройство. А. с. № 678675 от 16. 04. 79.- Г. С. Евсеев, А. Я. Ивлиев, Крук Е. А. , М. Л. Миневич, А. Н. Трофимов.

213. Адаптивное декодирующее устройство. А. с. № 797068 от 15.09.80. Г.С.Евсеев, А. Я. Ивлиев, Крук Е. А. , М. Л. Миневич,

214. Ф. А. Таубин, А. Н. Трофимов.

215. Декодер циклического кода. A.c. № 955840 от 4.05.82. Г.С.Евсеев, Крук Е. А. , М. Л. Миневич.

216. Декодер циклического кода. A.c. № 958318 от 4.05.82. Г. С. Евсеев, Крук Е. А. , М. Л. Миневич.

217. Устройство исправления стираний. A.c. № 1156260 от 15.01.85. Г. С. Евсеев, Крук Е. А. .

218. Устройство для исправления одиночных и обнаружения многократных ошибок. A.c. № 1162053 от 15.02.85. Г.С.Евсеев, Крук Е. А.

219. Устройство декодирования пакетных ошибок. A.c. № 1185614 от 15.06.85. Г.С.Евсеев, Крук Е. А.

220. Устройство для исправления и обнаружения ошибок. А.с № 1205312 от 15.09.85. Г.С.Евсеев, С.И.Ковалев, Крук Е. А.

221. Устройство для исправления пакетов ошибок. А.с. № 1293845 от 1.11.86. Г.С.Евсеев, Ю.Т.Ефимов, Крук Е. А. , Д. М. Лернер,

222. С. В. Семенов, Б. К. Трояновский.

223. Декодирующее устройство для исправления пакетных ошибок.

224. А. с. № 1300645 от 1.12.86. Г.С.Евсеев, Крук Е. А. , В.П.Лавров, С. В. Семенов.

225. Устройство для определения необнаруживаемых ошибок линейных кодов. A.c. № 1338076 от 1.11.86. В.Б.Абрамович, Г.С.Евсеев, Ю. Т. Ефимов, Крук Е. А. , Д. М. Лернер, С. С. Осипов.

226. Устройство для декодирования циклических кодов. A.c.1396039 от 15.01.88. Г.С.Евсеев, Крук Е. А. , С. В. Самуйлова, С. В. Федоренко.

227. ДЕКОДИРУЮЩИЕ СОВОКУПНОСТИ ЦИКЛИЧЕСКИХ и КВАЗИЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

228. В таблице приведены декодирующие совокупности ряда эффективных двоичных циклических и КЦ-кодов.