автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах

КАЗУНИНА Галина Алексеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ КИНЕТИКИ КЛАСТЕРОВ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ (моделирование вероятностным клеточным автоматом)

Специальность 05.13.18 - « Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

— • Г-, Г* А Л

\ С Уса ¿Он

Кемерово - 2010

4854011

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования « Кузбасский государственный технический

университет»

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

Алексеев Дмитрий Валентинович

Официальные рецензенты: доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Смолин Алексей Юрьевич (Институт физики прочности

и материаловедения СО РАН, г. Томск);

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Ханефт Александр Вилливич (Кемеровский

государственный университет, г. Кемерово);

доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник

Огородников Василий Александрович

(Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН)

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

Защита состоится «29» марта 2011 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан « 20 » января 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м.н.

Сорокин С.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Прогнозирование разрушения различных материалов (горные породы, гетерогенные материалы и др.) является актуальной научной задачей, в основу решения которой в настоящее время положена кинетическая теория прочности (работы школы С.Н. Журкова). Эта феноменологические модель и ее модификации используются при интерпретации экспериментальных данных по импульсной эмиссии (акустической, электромагнитной). Однако, прогнозирование разрушения нагруженных материалов по характеристикам импульсной эмиссии сталкивается со следующей принципиальной трудностью. Случайный процесс импульсной эмиссии несет информацию о кинетическом процессе накопления повреждений, фиксирует образование новых или «прорастание» уже имеющихся повреждений путем регистрации выделения энергии при образовании каждого повреждения. По характеристикам акустической эмиссии можно косвенно оценить координаты дефектов в пространстве, но отсутствует непосредственная информации о пространственном распределении элементарных повреждений, а особенно их группировке в кластеры и характеристиках этих кластеров. В то же время для прогнозирования разрушения именно пространственное распределение повреждений представляет главный интерес.

Кластерная структура повреждений в нагруженных материалах, характеризующая пространственное распределение элементарных повреждений, по степени изученности существенно отстает от исследования процесса их накопления, что обусловлено следующей причиной. Непосредственное наблюдение кластерной структуры повреждений доступно лишь при помощи таких сложных методов, как спектроскопия грубого рассеяния света (на прозрачных материалах), а для непрозрачных материалов, которые, как правило, и представляют наибольший интерес, при помощи рассеяния рентгеновских лучей, что практически невозможно реализовать в динамике. Поэтому информацию о кластерной структуре элементарных повреждений чаще получают лишь опосредованно, после макроскопического разрушения материала, например, по исследованию геометрии поверхности разрушения. Поскольку экспериментальное исследование одновременного наблюдения накопления повреждений и образуемой ими кластерной структуры на настоящем уровне развития технологии практически не представляется возможным, своевременным и актуальным представляется проведение подобного исследования при помощи методов компьютерного моделирования, которые предоставляют единственно доступную и одновременно уникальную возможность исследования кинетического процесса накопления элементарных ' повреждений и эволюции их кластерной структуры как единого процесса пространственно-временной эволюции распределенной динамической < , системы. Согласно современным представлениям твердые материалы под

нагрузкой, превышающей предел упругости, представляют собой многоуровневую иерархическую систему дефектов структуры, эволюция которой направлена на минимизацию внешнего воздействия на всех масштабных уровнях и достигающую на стадии, предшествующей разрушению, состояния самоорганизованной критичности, которое характеризуется фрактальным пространственным и временным самоподобием на всех иерархических уровнях. Благодаря этому, переход на макроскопический уровень может быть описан без обращения к деталям элементарных актов образования дефектов, опираясь только на геометрические характеристики кластерной структуры повреждений (перколяционные модели).

В силу того, что случайный процесс накопления элементарных повреждений в твердых материалах на стадии хрупкого разрушения является существенно нелинейным и необратимым, наиболее подходящей математической моделью описания этого процесса является модель вероятностного клеточного автомата, которая позволяет исследовать широкий класс эволюционных процессов в таких разнообразных областях как газовая динамика, химическая кинетика, физика твердого тела, биология и экология.

Цель работы

Разработка новой математической модели вероятностного клеточного автомата, алгоритмов и программ для моделирования кинетического процесса накопления и пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений как единого динамического процесса.

Основная идея работы

Использование для моделирования накопления и эволюции ансамбля элементарных повреждений новой модели вероятностного клеточного автомата, работа которого определяется набором вероятностей в соответствии с кинетической теорией прочности, характеризующих процессы образования элементарных повреждений по нескольким взаимодополняющим механизмам и генерирующих временные ряды кинетических зависимостей числа элементарных повреждений и кластеров элементарных повреждений как результат эволюции пространственной кластерной структуры.

Задачи исследования:

• Разработать и реализовать математическую модель вероятностного клеточного автомата для моделирования процесса эволюции кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах;

• Исследовать при помощи разработанного клеточного автомата характеристики случайного процесса эволюции кластерной структуры элементарных повреждений для типичных сценариев

накопления повреждений, определяемых режимами нагружения материала;

• Сопоставить результаты моделирования с данными по импульсной эмиссии и выделить в характеристиках случайного процесса эволюции элементарных повреждений особенности, которые можно было бы интерпретировать как «предвестники разрушения».

Методы исследования

• Объектно-ориентированное программирование для алгоритмов вероятностных клеточных автоматов и его реализация в системе Windows-программирования Microsoft Visual Basic 6.0;

• Компьютерное моделирование процесса пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений при помощи нового вероятностного клеточного автомата на базе реализованного программного решения;

• Статистическая обработка данных моделирования в электронных таблицах Microsoft Excel.

Научные положения, защищаемые автором

1. Метод моделирования эволюции ансамбля элементарных повреждений в нагруженных горных породах с помощью двумерного вероятностного клеточного автомата является эффективным методом одновременного исследования временной кинетики накопления элементарных повреждений и пространственной конфигурации образуемых ими кластеров, поскольку он позволяет одновременно получать такие разнообразные характеристики ансамбля элементарных повреждений как кинетические кривые числа элементарных повреждений и числа кластеров повреждений, функции распределения кластеров по размерам и локальной плотности, выборочные временные корреляционные функции, статистику нормированного размаха Херста.

2. Конфигурация кластеров повреждений имеет фрактальную структуру, которая характеризуется универсальной степенной зависимостью между числом элементарных повреждений в кластере и его среднеквадратичным радиусом: \f(R) = 22 R" с показателем степени 1,56 <D< 1,67. При этом средняя концентрация элементарных повреждений, при которой происходит разрушение системы, в два-три раза меньше классического порога перколяции.

3. Процесс формирования кластерной структуры элементарных повреждений является автомодельным по параметру локальной плотности, что выражается в независимости функций распределения числа кластеров по их локальной плотности от средней плотности элементарных повреждений и сценария моделирования на протяжении всего процесса эволюции. При этом относительная доля мелких

кластеров составляет примерно 50% вплоть до момента образования соединяющего кластера (разрушения системы). На заключительной стадии эволюции, непосредственно предшествующей образованию соединяющего кластера, почти половина элементарных повреждений сосредоточена в нескольких (менее десятка) крупных кластерах.

4. Моделируемая система демонстрирует поведение, типичное для сложных неравновесных систем, склонных к катастрофам, что проявляется в наличии на заключительной стадии эволюции системы:

а) перемежаемости - вымирания на заключительной стадии эволюции кластеров промежуточных размеров, что проявляется в образовании у функции распределения числа кластеров по размерам широких и высоких ступеней;

б) сильного роста числовых характеристик распределения кластеров по размерам: дисперсии, вариации, масштаба и степени критичности.

5. В качестве критериев перехода ансамбля элементарных повреждений на заключительную стадию эволюции, непосредственно предшествующую разрушению, можно использовать поведение характеристик временного ряда «число элементарных повреждений», а именно появление четко выраженного излома на зависимости статистики нормированного размаха Херста и прохождение выборочной корреляционной функции через локальный минимум. В пользу сформулированных критериев свидетельствует то, что:

а) Указанные особенности в поведении характеристик временного ряда « число элементарных повреждений» проявляются на тех же временах эволюции системы, при которых кластерная структура начинает обнаруживать поведение, характерное для неравновесных систем, склонных к катастрофам;

б) Сравнение корреляционных функций и статистики нормированного размаха Херста, получаемых при измерении потока импульсов электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород, который характеризует процесс образования микротрещин, с результатами моделирования показывает их хорошее качественное согласие.

Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации достигается

• Использованием при построении модели накопления повреждений всесторонне проверенных на современном уровне фундаментальных физических и математических теорий (механика разрушения, кинетическая теория прочности, теория случайных процессов, фрактальных временных рядов, клеточных автоматов);

• Тестированием алгоритма модели на предельных режимах, соответствующих кластерам Хошена -Копельмана и Хаммерсли-Лиса-Александровица;

• Необходимым для статистической обработки объемом информации, получаемой в процессе компьютерного моделирования;

• Хорошим качественным согласием данных моделирования с существующими экспериментальными результатами по измерению потока импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

• Для моделирования процесса пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений использован метод двумерных вероятностных клеточных автоматов и на его основе исследован кинетический процесс накопления элементарных повреждений и образуемой ими кластерной структуры как единый эволюционный процесс распределенной динамической системы;

• Реализованы клеточно-автоматные модели накопления элементарных повреждений с учетом внутренней динамики системы через изменение вероятности прорастания периметров кластеров от их размера;

• Исследовано поведение функций распределения кластеров элементарных повреждений по размеру и локальной плотности на всем протяжении эволюции системы от начала до момента разрушения. Установлена автомодельность функций распределения по локальной плотности кластеров, а также тот факт, что относительная доля мелких кластеров составляет примерно 50% на всем временном интервале эволюции вплоть до наступления разрушения;

• Установлено, что моделируемая система кластеров элементарных повреждений демонстрирует поведение, типичное для неравновесных систем, склонных к катастрофам, что проявляется в вымирании кластеров промежуточных размеров и резком росте дисперсии, вариации, масштаба и степени критичности распределения кластеров по размерам при средней концентрации элементарных повреждений, равной примерно 70% от конечной концентрации;

• Установлено, что прохождение корреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений», которая может быть измерена экспериментально, через точку локального минимума (переход в область отрицательных значений) служит качественным критерием перехода эволюции кластерной структуры на стадию, непосредственно предшествующую разрушению;

• Промоделирован процесс накопления повреждений для режимов периодического нагружения и показано, что корреляционные функции

временного ряда « число элементарных повреждений» определяются типом и частотой внешней нагрузки.

Личный вклад автора состоит

• В формулировке физической концепции и математической модели кинетического процесса накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры вероятностными клеточными автоматами;

• В разработке программного решения для алгоритма двумерного вероятностного клеточного автомата;

• Проведении вычислительного эксперимента, статистической обработки и интерпретации полученных экспериментальных результатов, формулировке всех основных результатов и выводов.

Научное и практическое значение работы

Полученные в диссертации результаты позволяют развивать перспективные направления компьютерного моделирования процессов разрушения нагруженных горных пород (а также и других твердых материалов) для разработки на их основе критериев перехода к необратимому разрушению с дальнейшим переходом к построению конкретных методик прогнозирования разрушения по результатам измерения случайного процесса импульсной эмиссии (электромагнитной, акустической) нагруженных горных пород.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались на: международной конференции « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2003), седьмом Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем - 2004» ( Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2004), конференции с участием иностранных ученых « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» ( Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2005) , конференции с участием иностранных ученых « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2007), VIII Международной школе-семинаре «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород » (Физико- технический институт им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, 2010); семинарах Института физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск) и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (г. Новосибирск).

Публикации

По проблематике диссертации автором опубликована 21 работа. Основные результаты диссертации полностью опубликованы в 12 статьях рецензируемых журналов (перечень ВАК).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 189 страницах, включая 87 рисунков, 5 таблиц, и библиографии из 169 наименований.

Основное содержание работы

В первой главе диссертации дан анализ состояния вопроса исследования процесса накопления повреждений при разрушении горных пород и других твердых материалов. Обоснованы преимущества методов компьютерного моделирования, в частности, вероятностных клеточных автоматов, для исследования процессов накопления повреждений в натуженных горных породах. Предложена физическая модель кластерной структуры элементарных повреждений. Обоснована основная идея диссертации и задачи исследования.

Для моделирования кинетического процесса накопления повреждений используется решеточная модель, описывающая конфигурацию элементарных повреждений па целочисленной решетке. Каждый узел решетки может находиться в двух состояниях - неповрежденном (свободном) или поврежденном (оккупированном). Когда элементарные повреждения локализуются на соседних узлах решетки, они объединяются в кластеры по некоторому правилу, определяемому только геометрией решетки. Текущая конфигурация элементарных повреждений образует фрактальную кластерную структуру, определяемую числом кластеров и характеристиками каждого кластера. Временная эволюция кластерной структуры элементарных повреждений осуществляется при помощи дискретных временных шагов (циклов), в ходе которых происходят переходы узлов решетки в поврежденное состояние. Переход узла из неповрежденного состояния в поврежденное контролируется набором вероятностей перехода в соответствии с кинетической теорией прочности, который может быть либо фиксированным на протяжении всего процесса (статические сценарии моделирования), либо изменяться от цикла к циклу (динамические сценарии).

Влияние механического напряжения на образование элементарных повреждений на узлах решетки моделируется при помощи трех вероятностей, которые контролируют работу автомата. Вероятность

образования нового элементарного повреждения (оккупации ячейки) Росс моделирует действие механических напряжений, усредненных в пространственных масштабах, много больших характерного размера элементарного повреждения и определяется условиями нагружен ия материала. Вероятность прорастания периметра pspr моделирует действие концентрации напряжения вблизи уже имеющегося элементарного

повреждения. Вводится также увеличенная вероятность И тег слияния кластеров, сблизившихся на критическое расстояние. Конечной стадией

эволюции кластерной структуры считается конфигурация, в которой образуется кластер, соединяющий противоположные стороны решетки. Образование соединяющего кластера интерпретируется как разрушение блока, а число циклов, необходимых для образования соединяющего кластера, отождествляется со временем разрушения . Конфигурация

кластерной структуры на решетке в конкретный момент времени задается числом кластеров, а также характеристиками каждого кластера. Каждый конкретный кластер характеризуется массой М (числом элементарных

повреждений, образующих кластер), среднеквадратичным радиусом ш (называемым также радиусом циркуляции), размахами по вертикали У и горизонтали X и локальной плотностью. Если положение ячейки кластера задается парой целых чисел - безразмерными координатами узла решетки (и,/и), то размах кластера - это максимальное (по всем парам ячеек) значение разности координат двух ячеек. Квадрат среднеквадратичного радиуса кластера произвольной формы, вычисляется по следующей формуле:

М(„,т) \М ) \М{„,т) )

Здесь суммирование ведется по всем ячейкам кластера, а дополнительное слагаемое 1/6 добавлено для согласования определения с непрерывным случаем, в котором квадрат среднеквадратичного радиуса полностью

заполненного прямоугольного кластера Л2 ={Х2 + К2)/12, а для кластера из

одной ячейки К2 = 1/6. С помощью данного определения среднеквадратичного радиуса локальная плотность кластера записывается в виде

М {Хг+У2) Я2 12 ХГ

Такое определение локальной плотности дает ее максимальное значение, равное единице, именно для сплошных прямоугольных кластеров, для которых М = X -У .

Кластерная структура в целом характеризуется при помощи функций распределения кластеров по массам и радиусам, зависимостями между среднеквадратичным радиусом и массой кластеров, зависимостями локальной плотности кластеров от их размера и т.п. Сценарии моделирования накопления повреждений приведены в таблице 1.

Во второй главе диссертации описан вероятностный клеточный автомат:

приведена концепция алгоритма моделирования, дано формальное математическое описание клеточного автомата, представлены логическая и физическая реализации этой концепции, представлен программный комплекс для моделирования разрушения.

Формально клеточный автомат представляется как композиция двух клеточных автоматов (КА), Первый основной вероятностный клеточный автомат N1 работает независимо и моделирует процесс разрушения, образуя фрактальную кластерную структуру. Вспомогательный второй автомат Х2 выполняет многократную перемаркировку кластеров, которая необходима для идентификации каждого отдельного кластера и описания кластерной структуры. После выбора сценария моделирования и ввода входных параметров каждый цикл алгоритма генерации случайного процесса накопления повреждений работает в следующей последовательности:

• проращиваются периметры существующих кластеров;

• сливаются кластеры, сблизившиеся на критическое расстояние;

• образуются повреждения на неповрежденных узлах решетки;

• формируется кластерная структура элементарных повреждений.

Таблица ]. Сценарии моделирования накопления повреждений

Сценарий Вероятности, кон тролирующие процесс

Однородный статический Постоянные вероятности оккупации ячейки росс, прорастания периметра р5рг и слияния кластеров ршг.

Неоднородный статический и внешний динамический Постоянные вероятности прорастания периметра р и слияния кластеров ртгг, зависящая от координат и времени (через механическое напряжение) вероятность оккупации ячейки рпсс(х,1) = ржс ехр(усг(х,1)/кТ).

Динамический внутренний Постоянные вероятности оккупации ячейки росс и слияния кластеров р:п.г, зависящая от размера кластера вероятность прорастания периметра

Проращивание периметров кластеров осуществляется по алгоритму Хаммерсли - Лиса - Александрович, шаг которого осуществляется путем образования периметра кластера присоединением с заданной вероятностью к оккупированным ячейкам их ближайших соседей, и с дальнейшим участием в росте кластера только ячеек периметра. Конечная кластерная структура ансамбля элементарных повреждений формируется по алгоритму Хошена -Копельмана путем построчного сканирования решетки, сопровождаемого присоединением поврежденных узлов решетки к левым и верхним кластерам, а также слиянием кластеров, пара ячеек которых оказались ближайшими соседями. При этом по ходу формирования всех кластеров происходит автоматическое обновление их характеристик. Каждый временной цикл завершается уничтожением кластерной структуры, сформировавшейся на предыдущем шаге, и формированием новой кластерной структуры, то есть на

п

выходе временного цикла проводится полная перемаркировка всех ячеек, занятых элементарными повреждениями. Все точки выходных данных формируют временные ряды числа занятых ячеек (также отдельно числа ячеек периметра и числа новых одиночных ячеек) и числа кластеров. По полученным реализациям временных рядов вычисляются все их необходимые характеристики (распределение по массам и размерам, статистика нормированного размаха Херста, корреляционные функции и т.п.).

Таблица 2. Пользовательские объекты программного решения, их свойства и методы

Объект Назначение Свойства и методы Базовый объект для реализации

Ячейка Хранение Координаты ячейки, Модуль класса

данных о номер кластера, Visual Basic 6.0

состоянии узла метод визуального

в текущий отображения ячейки в

момент окне рисунка.

времени.

Кластер Хранение Список всех ячеек Объект Collection

данных о кластера с (коллекция) Visual

состоянии фиксированным Basic 6.0, основанный

кластера в номером, масса, на базовом объекте

текущий размахи по «Ячейка» с функциями

момент горизонтали и вычисления всех

времени. вертикали, радиус циркуляции, локальная плотность атрибутов кластера

Периметр Хранение Список всех ячеек Основан на объекте

данных 0 периметра кластера «Кластер»

периметре

кластера в

текущий

момент

времени

Кластеры Хранение Список всех Динамический массив

данных 0 кластеров в текущий объектов «Кластер»

наборе момент времени

кластеров

Периметры Хранение Список периметров Динамический массив

данных 0 всех кластеров в объектов «Периметр»

периметрах конкретный момент

всех кластеров времени

Рис. 1. Кластеры повреждений на решетке 256 х 256. Общий вид кластерной структуры перед разрушением для внутреннего динамического сценария (а) и соединяющие кластеры для внутреннего динамического сценария (Ь), однородного статического сценария (с), и внешнего динамического сценария (d).

Ядро описанного алгоритма реализовано на Microsoft Visual Basic 6.0 в виде однодокументного Windows приложения с программным подключением Microsoft Excel в качестве клиента автоматизации для сохранения и обработки выходных данных. Основные сервисы являются либо оригинальными программными решениями, либо оригинальными реализациями известных алгоритмов в рамках построенной объектной модели. Тестирование алгоритма проводилось на предельных режимах, соответствующих перколяционным кластерам Хошена - Копельмана (один цикл), а также одиночному кластеру Хаммерсли - Лиса - Александровича. Список пользовательских объектов программного решения приведен в

таблице 2, примеры визуализации кластерной структуры для различных сценариев моделирования - на рис.1.

В третьей главе диссертации представлены результаты моделирования накопления элементарных повреждений при разрушении нагруженных материалов для качественно различных сценариев, описанных в таблице 1.

Исследование кинетики ансамбля элементарных повреждений

Установлено, что число циклов до появления соединяющего кластера отождествляемое со временем разрушения системы Т/т, для всех рассмотренных сценариев определяется главным образом вероятностью появления нового элементарного повреждения росс. При этом в дважды логарифмических координатах имеет место линейная зависимость с угловым коэффициентом -0,99 + 0,01 в случае базового однородного статического сценария моделирования. Это полностью соответствует модели процесса при условии росс«1: 1п(и>)«-!п(/?,ет) + 1п(-1п(1-^)), где <1Г »0,59 -

критическая плотность элементарных повреждений, при которой происходит образование соединяющего кластера в случае классической перколяционной модели на квадратной решетке.

Наблюдаемая кинетическая зависимость числа кластеров элементарных повреждений носит универсальный характер для всех рассмотренных сценариев и имеет вид асимметричного колокола (рис,2): накопление кластеров по закону полинома второго порядка для ТIТГш < 0,45 через узкую переходную зону сменяется линейным убыванием числа кластеров, начиная с Т1Т^1П >0,55. Число вновь возникающих элементарных повреждений в ходе

эволюции системы слабо убывает для однородного статического и внешнего динамического сценариев моделирования. Для внутреннего динамического сценария моделирования наблюдается рост числа вновь возникающих элементарных повреждений, обусловленный ростом скорости образования элементарных повреждений за счет прорастания периметров кластеров на временах Т 0,7 (рис.2).

Сравнительный анализ поведения временных автокорреляционных функций, характеризующих зависимость между значениями случайной величины во временном ряду, разделенными интервалом г, и определяемых формулой:

N

£(х(| +г)-*)(*(')-*)

К(т) = Ш-----,

К*(о-

показывает, что для всех рассмотренных сценариев моделирования характер корреляционной функции временного ряда «число кластеров элементарных повреждений» носит универсальный характер: начальный участок

положительной корреляции длительностью Т/Т/1П& 0,2 относительных

единицы сменяется участком отрицательной корреляции длительностью 77 7),„ ~0,5, который на временах Т/ ~ 0,7 вновь сменяется участком

положительной корреляции (рис.3). Это полностью соответствует поведению кинетической кривой числа кластеров: накопление - переходная зона - спад. Однако, корреляционная функция более четко определяет границы этих участков. В отличие от корреляционной функции числа кластеров поведение корреляционной функции для временного ряда «число образовавшихся за цикл элементарных повреждений» не только существенно зависит от сценария моделирования, но значительно изменяется во времени.

Т/Иш

Рис. 2. Сравнение кинетической зависимости числа кластеров и числа оккупированных ячеек для внутреннего динамического сценария моделирования: 1- суммарная кривая вновь возникающих элементарных повреждений , 2 - кластеры , 3 - вновь возникающие одиночные повреждения, 4 - периметры.

Сравнение корреляционных функций для числа кластеров и числа элементарных повреждений принципиально важно потому, что переход системы на стадию, предшествующую, разрушению наиболее ярко проявляется в кинетических зависимостях числа кластеров элементарных повреждений. В то же время в экспериментах, как правило, измеряются характеристики, связанные с кинетикой образования новых повреждений.

Как показывает сравнение поведения корреляционных функций временных рядов «число кластеров» и «число элементарных повреждений», середина участка отрицательной корреляции на корреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» соответствует появлению второго участка положительной корреляции на корреляционной функции ряда «число кластеров» (рис.3). Это соответствует также середине участка линейного убывания числа кластеров на кинетической кривой (рис.2), на котором общее число кластеров в системе составляет менее половины от их максимального

числа, что можно интерпретировать как переход системы на стадию необратимого разрушения.

Рис, 3. Сопоставление корреляционных функций числа элементарных повреждений (1), числа кластеров элементарных повреждений (2), числа одиночных элементарных повреждений (3) и числа ячеек периметров кластеров элементарных повреждений (4) для динамического внутреннего сценария моделирования.

Исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста для всех рассмотренных сценариев моделирования показало, что на всем интервале эволюции системы для всех рассмотренных сценариев моделирования временные ряды « число вновь возникающих элементарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений» являются персистентными.

а б

Рис. 4. Зависимость нормированного размаха Херста от числа циклов в дважды логарифмических координатах, а - однородный статический сценарий моделирования: 1 -кластеры элементарных повреждений; 2, 3 - элементарные повреждения, б - внутренний дииамичсский сценарий: 1 - кластеры элементарных повреждений; 2, 3 -элементарные повреждения.4- прямая с угловым коэффициентом Н='Л.

Статистика нормированного размаха К(1)/5(1) для случайного процесса накопления кластеров элементарных повреждений в дважды логарифмических координатах описывается линейной

зависимостью с коэффициентом детерминации Л2 »0,99. Показатель Херста Н в ходе эволюции системы незначительно убывает от значения //«0,99±0,01 до значений Н - 0,95 + 0,01. Для случайного процесса накопления элементарных повреждений на временных зависимостях статистики нормированного размаха в дважды логарифмических координатах наблюдается два прямолинейных участка с угловыми коэффициентами, отличающимися от полутора до четырех раз в зависимости от сценария моделирования (рис.4). При этом второй линейный участок начинается на временах, составляющих примерно 70% от времени разрушения системы.

Эволюция кластерной структуры ансамбля повреждений

Для всех исследованных сценариев моделирования зависимость массы кластера элементарных повреждений от его среднеквадратичного радиуса описывается универсальной степенной зависимостью

М(К) = 2гЯ°

со значениями показателя степени в интервале

1,520 + 0,003< О< 1,680±0,003, что свидетельствует о фрактальной структуре кластеров (рис.5).

Временные зависимости средней плотности элементарных повреждений (концентрации дефектов) существенно различаются для разных сценариев моделирования. Для базового однородного статического сценария моделирования предельная плотность, при которой происходит разрушение, соответствует порогу перколяции классической перколяционной модели на квадратной решетке и составляет с1с =0,59 ±0,01. К существенному снижению предельной плотности (концентрации дефектов) приводит включение в процесс моделирования вероятности слияния кластеров,

сблизившихся на критическое расстояние Ртег- Для однородного статического и внешнего динамического сценариев моделирования имеет место линейный рост плотности вплоть до ее предельного значения ¿с = 0,27 ± 0,02. Для динамического внутреннего сценария имеет место экспоненциальный рост плотности до предельного значения с1с = 0, 37 ±0,02. Локальная плотность (сплошность) соединяющих кластеров в случае базового однородного статического сценария моделирования самая большая и составляет р - 0,37 ± 0,02. Для однородного статического сценария моделирования с подключением к управлению процессом вероятности прорастания «периметров» и вероятности слияния сблизившихся на критическое расстояние кластеров локальная плотность

соединяющего кластера почти в четыре раза меньше и составляет р = 0,10+0,01. Кластер в этом случае становится более рыхлым (рис. 1с). В случае динамического внутреннего и динамического внешнего сценариев моделирования локальная плотность соединяющего кластера снова возрастает и составляет р - 0,37 ± 0,02; р = 0,27 ± 0,02 соответственно (рис. 1Ь, 1(1).

Рис.5. Взаимосвязь массы и размера кластеров: базовый однородный статический сценарий моделирования (1), однородный статический сценарий моделирования (2), внутренний динамический сценарий моделирования (3), внешний динамический сценарий моделирования (4).

Исследование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений по функциям распределения кнастеров

Локальная плотность (сплошность) кластера элементарных повреждений является его важной характеристикой. Для частного случая сплошных прямоугольных кластеров локальная плотность принимает максимальное значение, равное единице. С ростом радиуса кластера локальная плотность сначала падает (кластеры становятся более рыхлыми), а затем колеблется около некоторого постоянного значения. При этом с приближением концентрации дефектов к предельному значению появляется незначительное количество кластеров большого радиуса с относительно малой локальной плотностью.

Функция распределения числа кластеров по локальной плотности определяется как число кластеров, локальная плотность которых не превосходит заданной величины, и дает более детальную информацию о конфигурации кластерной структуры. Число кластеров при этом нормируется на полное число кластеров в данной реализации. Для всех рассмотренных сценариев моделирования функция распределения числа кластеров по локальной плотности имеет протяженный квазинепрерывный участок, практически совпадающий для всех значениях средней плотности оккупированных ячеек с! > 0,1 (рис.6). Такое поведение функций распределения указывает на автомодельность (подобие) формирования

18

кластерной структуры по параметру локальной плотности. При этом доля мелких кластеров, которым соответствует значение локальной плотности, близкое к единице, на всем протяжении процесса остается достаточно большой, порядка 50 %.

сценарий: средняя плотность повреждений 0,1 (1); 0,3(2). Внутренний динамический сценарии: средняя плотность повреждений 0,1 (3); 0,3 (4).

Функции распределения массы кластеров по размерам построены как зависимости суммарной массы кластеров, размер которых (среднеквадратичный радиус) не превосходит заданного значения, от среднеквадратичного радиуса кластера, нормированного на максимальный радиус в данной реализации. Поведение этих функций качественно различно для рассмотренных сценариев моделирования (рис.7). Близкое значение функций распределения массы кластеров при промежуточных средних плотностях элементарных повреждений (автомодельность) прослеживается только для однородного статического сценария, тогда как для динамического внутреннего сценария наблюдается « разбегание» функций распределения. Последнее можно объяснить тем, что для внутреннего динамического сценария, благодаря зависимости вероятности прорастания периметра от размера кластера, по мере роста средней плотности элементарных повреждений, средняя однородность системы разрушается уже вдали от порога формирования соединяющего кластера. Для всех рассмотренных сценариев моделирования отмечается наличие протяженных квазинепрерывных участков при значениях средней плотности элементарных повреждений, не превышающий примерно 70 % от значения предельной средней плотности для каждого режима (й?<0,7с!с). При дальнейшем увеличении средней плотности дефектов для всех рассмотренных сценариев моделирования в функциях распределения все больше проявляется ступенчатая структура - происходит сокращение длины квазинепрервыного участка, сопровождаемое характерным увеличением ширины и высоты ступеней на хвосте функции распределения. Появляются интервалы изменения радиуса кластера, которые не приводят к приращению массы

кластеров. Такое поведение функций распределения свидетельствует о том, что кластеры определенного размера вообще отсутствуют в моделируемой системе (или являются короткоживущими). Происходит «вымирание» кластеров промежуточных размеров по мере приближения системы к моменту разрушения. При этом масса соединяющего кластера составляет приблизительно 30% от полной массы системы и превосходит среднюю массу кластеров повреждений на несколько порядков.

Рис.7. Функция распределения кластеров по размеру. Однородный статический сценарий: средняя плотность повреждений 0,1 (1); 0,3(2). Внутренний динамический сценарий: средняя плотность повреждений 0,1 (3); 0,3 (4)

Особенности поведения числовых характеристик распределения кластеров элементарных повреждений.

По мере приближения к разрушению системы экспоненциально возрастают как средняя масса кластера элементарных повреждений <М>, так и среднеквадратичное отклонение а(М). При этом среднеквадратичное отклонение растет быстрее, чем среднее значение, что свидетельствует о неустойчивости системы. Среднее значение массы кластеров повреждений на несколько порядков меньше массы возникающего при разрушении соединяющего кластера и не дает представления о порядке величины возможных событий, которые могут происходить в системе. Для описания таких сложных систем в работах Малинецкого Г.Г. и соавторов вводится новая статистическая характеристика - масштаб, определяемая как отношение второго и первого начальных моментов распределения с плотностью вероятности р(х):

которая представляет собой среднее, взятое с весом х. Поскольку интегралы для числителя и знаменателя в этом выражении пропорциональны переменной х, их отношение является не чувствительным к потере части

данных о мелких событиях. Масштаб характеризует крупные события. Величина Ма(Х) показывает, событий какого масштаба следует ожидать от системы. Для компактных (некритических) распределений масштаб совпадает по порядку величины с математическим ожиданием (средним), поскольку интегралы для всех моментов набираются в одной и той же области, в то время как для распределений с тяжелыми (длинными) хвостами масштаб значительно превосходит среднее значение. Для сложных систем, склонных к катастрофам, имеют место два характерных масштаба (для типичных и для крупных событий), сильно различающихся по порядку величины. В качестве численной характеристики степени критичности системы вводится безразмерная характеристика, равная отношению масштаба к среднему: С(Х) = Ма{Х)/ <X >, которая для некритических распределений близка к единице, а для критических систем много больше единицы: С(Х)»1. Для моделируемой системы масштаб распределения кластеров повреждений но массам и степень критичности возрастают в ходе эволюции системы (рис.8). При этом для значений относительного времени 777^л» 0,7 скорость роста как масштаба, так и степени критичности существенно увеличивается.

0.6 0,7 0.В 0,9 1,0

Т/ТПп

Рис.8.3ависимость степени критичности распределения масс кластеров от времени до разрушения: 1 - однородный статический сценарий моделирования , 2 - динамический внутренний сценарий моделирования.

В четвертой главе диссертации проведено сравнение статистических характеристик случайного процесса накопления микротрещин, полученных в экспериментах по измерению электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород, с результатами компьютерного моделирования эволюции кластерной структуры элементарных повреждений. Представлено моделирование кинетики накопления элементарных повреждений под действием периодической внешней нагрузки.

Статистические характеристики импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород

Для сравнения использованы экспериментальные измерения импульсной электромагнитной эмиссии при нагружении таких горных пород как кварцевый диорит, порфирит, известняк. Выходные данные случайного потока электромагнитных импульсов распределялись по последовательным неперекрывающимся интервалам длительностью 50 секунд. Полное время до разрушения образцов составляло от несколько минут при разрушении клином до 50 минут при плоском контакте нагружающего устройства с исследуемым образцом.

Как показано в третьей главе настоящей диссертации, переход системы на стадию, предшествующую разрушению, наиболее ярко проявляется в кинетических зависимостях числа кластеров элементарных повреждений и корреляционной функции временного ряда «число кластеров элементарных повреждений». В то же время в экспериментах по импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород поток импульсов характеризует число вновь образующихся микротрещин и изменение размеров трещин, образовавшихся за предшествующее время. Поэтому сопоставлялись кинетические кривые, корреляционные функции и статистики нормированного размаха Херста временного ряда «число элементарных повреждений», полученные по данным компьютерного моделирования, и полученные по экспериментально измеренному потоку электромагнитных импульсов.

Особенности кинетической кривой для числа импульсов электромагнитной эмиссии (ЭМИ) соответствуют особенностям на их корреляционных функциях. Например, для образца порфирита (рис.9) число импульсов ЭМИ слабо монотонно нарастает с течением времени, значительно увеличиваясь перед разрушением образца на временах, составляющих примерно 70 - 80 % от времени до разрушения. При этом значения корреляционной функции переходят в отрицательную область и на временном шаге, составляющем примерно 40% от времени до разрушения, достигают минимального значения (середина отрицательного участка). Сравнение корреляционных функций случайного процесса «число элементарных повреждений» для динамического внутреннего сценария моделирования с корреляционными функциями для сигналов ЭМИ кварцевого диорита и порфирита относительных координатах показывает хорошее качественное согласие (рис.10). Во всех случаях переход значений корреляционной функции в отрицательную область предшествует росту числа сигналов ЭМИ перед разрушением образца. Таким образом, можно утверждать, что наблюдаемая смена знака корреляционной функции может рассматриваться как предвестник интенсификации процесса образования элементарных повреждений.

Для проверки этого факта были проанализированы зависимости статистики нормированного размаха Херста для всех исследованных образцов. На временных зависимостях статистики нормированного размаха в дважды логарифмических координатах четко наблюдаются два линейных участка,

22

коэффициенты наклона которых различаются от полутора до трех раз в зависимости от конкретного образца (рис.9). При этом второй линейный участок начинается на временах, составляющих примерно 70% от времени до разрушения системы. Этот факт качественно согласуется с результатами моделирования вероятностным клеточным автоматом в случае динамического внутреннего сценария, который использован и при сравнении поведения корреляционных функций.

Рис.9. Характеристики импульсной электромагнитной эмиссии для порфирита: число импульсов (нормированное) и корреляционная функция (а) и нормированный размах Херста (б).

Рис.10. Сравнение поведения корреляционных функций: 1 - моделирование вероятностным клеточным автоматом (динамический внутренний сценарий), 2 -порфирит, 3 - кварцевый диорит.

Таким образом, поведение показателя Херста для случайного процесса «число элементарных повреждений», полученное моделированием, качественно согласуется с поведением показателя Херста для потока импульсов ЭМИ, наблюдаемым экспериментально как в настоящей работе, так и в более ранних работах.

Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений под действием периодической внешней нагрузки

Изменение механических напряжений в ходе моделирования достигается включением временной зависимости средних напряжений сх(.х,0 в формулу для вероятности образования нового элементарного повреждения Рос^х, 0 = росс(Т)ехр(усг(х,0/кТ).

Рассмотрены следующие конкретные виды изменения внешнего напряжения от минимального сгт1п до максимального<ттю значения: 1)симметричный знакопеременный режим нагружения а{() = сг0кт(я: г/т); 2)иульсационный знакопостоянный режим нагружения о(г) ~ <т0(1 + кт^т/ /т)); 3)асимметричный знакопостоянный режим нагружения,

а(/) = сг0(о'1 +8т(ят///«)). Установлено, что для пульсационного и асимметричного знакопостоянных режимов нагружения время до разрушения системы определяется главным образом средним постоянным

напряжением цикла нагружения ат = ——убывая с ростом этого

напряжения. Для всех видов нагружения с уменьшением частоты колебаний нагрузки в 4 раза время до разрушения системы уменьшается примерно на 15 - 20 %.

Рис. 11. Кинетическая зависимость и корреляционные функции числа элементарных повреждений (1) и числа кластеров элементарных повреждений(2) для симметричного знакопеременного режима нагружения.

Частота колебаний внешней нагрузки существенно влияет на формирование кинетических кривых числа вновь возникающих элементарных повреждений и числа кластеров элементарных повреждений. При этом число вновь возникающих элементарных повреждений непосредственно следует за

колебаниями внешней нагрузки (рис.11). Поведение корреляционной функции для временного ряд «число элементарных повреждений » существенно зависит от вида и частоты внешней периодической нагрузки нагрузки. Для случаев симметричного знакопеременного и пульсационного знакопостоянного режимов нагружения корреляционные функции временного ряда «число элементарных повреждений» имеют явный периодический характер.

Сопоставление данных моделирования с экспериментом может дать информацию о характере случайных внешних воздействий, которым подвергается исследуемый материал, например, выявить периодические составляющие, приводящие к уменьшению времени до разрушения системы.

Заключение

В диссертации предложен и реализован способ моделирования кинетического процесса накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах на основе новой модели двумерного вероятностного клеточного автомата, и продемонстрирована его эффективность для моделирования разнообразных режимов нагружения при хорошем качественном согласии результатов моделирования с имеющимися экспериментальными результатами измерения импульсной электромагнитной эмиссии ншружелных горных пород.

Основные результаты диссертации являются совокупностью теоретических положений, которую можно квалифицировать как крупное научное достижение в разработке методов моделирования накопления повреждений и статистических критериев перехода к необратимому разрушению, используемых для построения методов прогнозирования разрушения на основе результатов измерения случайного процесса импульсной эмиссии (электромагнитной, акустической) нагруженных материалов.

Основные выводы, следующие из результатов проведенного исследования:

1. Предложен и реализован способ моделирования кинетического процесса накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах при помощи нового двумерного вероятностного клеточного автомата, отличительными чертами которого является следующее:

а) Кинетическая временная зависимость числа элементарных повреждений порождается изменением пространственной конфигурации кластеров элементарных повреждений за счет случайных процессов образования повреждений на свободных узлах решетки и прорастания образовавшихся ранее кластеров повреждений;

б) Работа автомата контролируется тройкой вероятностей (образования нового элементарного повреждения, прорастания периметра образовавшегося ранее кластера и слияния кластеров при их сближении на критическое расстояние), которая и конкретизирует

25

сценарий моделирования, определяемый как внешними условиями нагружения материала (статический, динамический, однородный, неоднородный), так и внутренней динамикой ансамбля кластеров (зависимость вероятности прорастания периметра от размера кластера);

в) Реализация алгоритма работы автомата на основе объектно-ориентированного программирования в системе Microsoft Visual Basic 6.0 с подключением Microsoft Excel в качестве клиента автоматизации для сохранения и обработки выходных данных при помощи дополнительных макросов, позволила получать такие разнообразные характеристики моделируемого процесса как временные ряды числа образовавшихся элементарных повреждений и числа образуемых ими кластеров, дважды логарифмические зависимости статистики нормированного размаха Херста и выборочные временные корреляционные функции этих временных рядов, а также функции распределения кластеров по размерам и локальной плотности.

2. Проведенное моделирование эволюции кластерной структуры

элементарных повреждений для различных сценариев моделирования

позволило установить, что:

а) Предельная средняя концентрация элементарных повреждений, при которой происходит разрушение системы (образование соединяющего кластера) в 2 - 3 раза меньше классического порога перколяции, а соединяющие кластеры характеризуются низкой локальной плотностью. При этом как предельная средняя концентрация, так и локальная плотность кластеров определяются, главным образом, вероятностями слияния кластеров и прорастания периметров кластеров;

б) Конфигурация кластеров повреждений имеет фрактальную структуру, которая характеризуется универсальной степенной зависимостью между числом элементарных повреждений в кластере и его среднеквадратичным радиусом M(R) = 21 RL'\ 1,56<D< 1,67;

в) Для исследования кластерной структуры элементарных повреждений наиболее удобно использовать два взаимодополняющих вида функций распределения кластеров повреждений: по локальной плотности и по среднеквадратичному радиусу;

г) Функция распределения числа кластеров повреждений по локальной плотности практически не зависит от сценария моделирования и средней плотности дефектов, что указывает на автомодельность (подобие) формирования кластерной структуры дефектов по параметру «локальная плотность кластера»;

д) Не смотря на то, что в ходе эволюции системы общее число мелких кластеров убывает, их относительная доля в полном числе кластеров составляет 50% на всем протяжении процесса, вплоть до момента разрушения системы. При этом на конечной стадии эволюции почти

50% суммарного числа элементарных повреждений сосредотачивается в нескольких (менее десятка) кластерах, размеры которых более, чем на порядок превосходят средний размер всех остальных кластеров;

е) На конечной стадии эволюции системы, когда средняя плотность элементарных повреждений превышает 70% от ее значения, приводящего к разрушению, имеет место явление перемежаемости -наличие у функции распределения кластеров по среднеквадратичному радиусу широких и высоких ступеней, что свидетельствует о «вымирании» па этой стадии кластеров промежуточных размеров;

ж) Для всех исследованных режимов моделирования, поведение числовых характеристик распределений кластеров элементарных повреждений по размерам (дисперсия, вариация, масштаб, степень критичности) на временах, превосходящих Т/Т^я 0,7 характеризуется сильным

ростом, что свидетельствует о возникновении неустойчивости этих распределений перед разрушением системы, а также о том, что моделируемая система демонстрирует поведение сложной неравновесной системы, склонной к катастрофам;

з) При моделировании режимов периодического изменения внешней нагрузки, процесс формирования кластерной структуры по локальной плотности также является автомодельным. При этом для симметричного знакопеременного режима нагружения доля мелких кластеров в процессе разрушения при относительно низких частотах внешнего воздействия несколько выше, чем для знакопостоянных режимов нагружения и составляет примерно 70%. Функция распределения кнастеров элементарных повреждений по размерам для симметричного знакопеременного режима нагружения зависит от частоты внешнего воздействия: с понижением частоты уменьшается протяженность участка квазинепрерывности, а по мере приближения системы к разрушению наблюдается сильный рост вариации, масштаба и степени критичности распределения массы кластеров элементарных повреждений.

3. Исследованием кинетических кривых накопления элементарных

повреждений установлено, что:

а) Время разрушения (число элементарных циклов процесса до появления соединяющего кластера) определяется, главным образом, вероятностью образования нового элементарного повреждения и слабо зависит от вероятностей прорастания периметра и слияния кластеров;

б) Кинетическая кривая числа кластеров повреждений для всех рассмотренных режимов моделирования имеет три ярко выраженных участка: накопление кластеров по закону полинома второго порядка з, линейный спад при подходе к моменту разрушения системы и узкая переходная зона между ними;

в) Скорость образования элементарных повреждений незначительно убывает в ходе эволюции системы для сценариев, не включающих зависимость вероятности прорастания периметра от размера кластера, а для сценариев, включающих такую зависимость, скорость образования повреждений растет, что обусловлено ростом общей протяженности периметров кластеров в ходе эволюции системы;

г) В режиме периодического нагружения время разрушения определяется главным образом средним по времени цикла напряжением и незначительно уменьшается с уменьшением частоты изменения напряжения (на 15- 20% при изменении частоты в 4 раза). При этом на кинетической кривой числа кластеров элементарных повреждений появляются плато (где число кластеров почти не меняется), которые соответствуют на кинетических кривых числа элементарных повреждений интервалам, на которых замедлен процесс образования новых элементарных повреждений.

4. Исследованием статистики нормированного размаха Херста установлено,

что:

а) Для случайного процесса «число элементарных повреждений» на всем временном интервале эволюции системы значения показателя Херста Н > 1 /2, что указывает на персистентность этого процесса. Для всех рассмотренных сценариев моделирования на дважды логарифмической зависимости статистики нормированного размаха наблюдаются два четко выраженных линейных участка, причем второй линейный участок появляется при средней плотности элементарных повреждений, равной примерно 70% от ее предельного значения, приводящего к разрушению системы, и на временах, превосходящих Гя 0,7 ■ Т/т. При этом, значение показателя Херста на втором участке

превышает в 1,5 4 раза его значение на первом участке, в зависимости от режима моделирования;

б) Для случайного процесса число кластеров повреждений зависимость статистики нормированного размаха имеет лишь один линейный участок, которому соответствует показатель Херста Н > 1 /2, что указывает на персистентность и этого случайного процесса;

в) В режиме периодических нагружений на дважды логарифмической зависимости статистики нормированного размаха для числа элементарных повреждений также наблюдаются два четко выраженных участка. При этом для второго участка характерно наличие периодических составляющих процесса накопления элементарных повреждений, наиболее четко проявляющихся на относительно низких частотах.

5. Исследование временных корреляционных функций показало, что:

а) корреляционная функция для числа кластеров элементарных повреждений на конечной стадии эволюции имеет универсальный характер типа «затухающего колебания» с одним отрицательным и двумя положительными участками, в то время как корреляционная функция для числа элементарных повреждений имеет лишь по одному участку положительной и отрицательной корреляции;

б) Сопоставление характера эволюции корреляционных функций временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений» с кинетической кривой числа кластеров элементарных повреждений показало, что прохождение корреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений» через точку локального минимума соответствует середине участка линейного убывания числа кластеров на кинетической кривой, а также появлению второго участка положительной корреляции на корреляционной функции временного ряда «число кластеров»;

в) Поскольку корреляционная функция временного ряда «число элементарных повреждений» может быть получена из экспериментальных данных, прохождение этой функции через точку локального минимума можно рассматривать как качественный критерий перехода эволюции кластерной структуры на стадию непосредственно предшествующую разрушению;

г) Для режимов периодического нагружения корреляционные функции временного ряда «число элементарных повреждений» определяются типом и частотой внешней нагрузки и имеют явный периодический характер, что может быть использовано для выявления периодических воздействий на систему при контроле нагружаемых горных пород.

6. Сопоставлением кинетических кривых, корреляционных функций и статистики нормированного размаха Херста для случайного процесса «число элементарных повреждений» полученных моделированием с экспериментальными результатами измеренний потока электромагнитных импульсов от нагруженных образцов горных пород установлено что:

а) Наблюдаемый для потока импульсной электромагнитной эмиссии переход корреляционной функции в область отрицательных значений может интерпретироваться как предвестник интенсификации процесса образования микротрещин;

б) Наблюдаемый для потока импульсов электромагнитной эмиссии излом на зависимости статистики нормированного размаха Херста может интерпретироваться как переход системы на стадию, непосредственно предшествующую разрушению, длительность которой не превышает 40% от времени до разрушения.

7. Полученные в диссертации результаты указывают в качестве

перспективных направлений дальнейших исследований:

а) Разработку сценариев моделирования путем комбинирования изученных в диссертации базовых сценариев и добавлением дополнительных режимов внешних воздействий на систему и с обязательным включением учета внутренней динамики системы, для реализации динамической перколяции - включения зависимости контролирующих работу автомата вероятностей от текущего состояния всей кластерной структуры;

б) Разработку клеточных автоматов с тремя и более состояниями узла решетки - неповрежденный - частично поврежденный - полностью поврежденный;

в) Переход к моделированию накопления повреждений на трехмерных решетках.

Основные результаты диссертаиии опубликованы в работах: Статьи в рецензируемых журналах (перечень ВАК):

1. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Физика твердого тела. - 2006. - т.48, вып. 2.-е. 255 -261.

2. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Деформация и разрушение материалов. - 2009. - № 4 . - с. 7-11.

3. Алексеев, Д.В. Моделирование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Деформация и разрушение материалов. -2009,-№8.-с. 10-14.

4. Казунина, Г.А. Исследование кинетики накопления повреждений в нагружеттых материалах по импульсной электромагнитной и фотонной эмиссии [текст] / Г.А. Казунина, A.A. Мальшин // Известия ВУЗов. Физика. - 2009. - № 6 . - с. 46 - 49.

5. Алексеев, Д.В. Эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Химическая физика и мезоскопия. - 2009. - т. 11,. - № 2 . -с. 191-195.

6. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Химическая физика и мезоскопия. - 2009. - т. 11,. - № 3 . - с. 283 - 289.

7. Алексеев, Д.В. Кинетика кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах: моделирование вероятностным клеточным автоматом [текст] /Д.В. Алексеев, Г.А Казунина // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2006. -№ 1. -с.49 - 60.

8. Казушша, Г.А. Статистические распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах : моделирование вероятностным клеточным автоматом [текст] / Г.А. Казунина, J1.B. Баринова // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2006. -№ 2. -с. 46 - 52 .

9. Алексеев, Д.В. Модельное исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста [текст] /Д.В.Алексеев, Г.А Казунина // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2006. - № 4 . - с.69 - 74

10.Казунина Г.А. Статистические распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах [текст] / Г.А.Казунина, JI.B Баринова // Вестник Куз Г ГУ, 2005. - № 1- с.23 -28.

11.Казушша Г.А. Статистические характеристики импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород [текст] / Г'.А. Казунина , A.A. Малыпин // Вестник КузГТУ, 2006.- № 4 - с.19 - 25

12.Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений под действием периодической внешней нагрузки [текст] / Г.А.Казунина // Вестник КузГТУ, 2006. - № 5,- с.7 - 12.

Доклады и материалы конференций:

1. Алексеев, Д.В. Вероятностный клеточный автомат для моделирования накопления элементарных повреждений в нагруженных горных породах [текст] /Д.В.Алексеев, Г.А. Казунина // Геодинамика и напряженное состояние недр Земли: труды международной конференции, 06— 09 окт. 2003 г., Новосибирск: изд-во Института горного дела СО РАН, 2004 г.,- с. 184 - 187.

2. Казушша Г.А. Моделирование кинетики накопления повреждений в нагруженных горных породах с помощью вероятностных клеточных автоматов [текст]/ Г.А. Казунина // Геодинамика и напряженное состояние недр Земли: труды международной конференции, 06- 09 окт. 2003г., Новосибирск: изд-во Института горного дела СО РАН, 2004 г., с. 193 - 194.

3. Алексеев Д.В. Вероятностный клеточный автомат для моделирования кинетики кластеров на двумерной решетке [текст] / Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // // Моделирование неравновесных систем - 2004: Материалы седьмого Всероссийского семинара, 08-10 окт. 2004 г.,

Красноярск: изд-во Института вычислительного моделирования СО РАН, 2004 г., - с.6 - 7.

4. Алексеев, Д.В. Кинетика перколяционных кластеров на квадратной решетке [текст] /Д.В.Алексеев, Г.А. Казунина // Моделирование неравновесных систем - 2004: Материалы седьмого Всероссийского семинара, 08-10 окт. 2004 г., Красноярск: изд-во Института вычислительного моделирования СО РАН, 2004 г., - с.4 - 5.

5. Казунина Г.А. Автомодельность функций распределения кластеров на двумерной решетке [текст] / ГА. Казунина // Моделирование неравновесных систем - 2004: Материалы седьмого Всероссийского семинара, 08 - 10 окт. 2004 г., Красноярск: изд-во Института вычислительного моделирования СО РАН, 2004 г., - с.71 - 72.

6. Казунина, Г.А. Особенности кинетики кластеров элементарных повреждений: моделирование вероятностным клеточным автоматом [текст] / Г.А. Казунина // Моделирование неравновесных систем -2004: Материалы седьмого Всероссийского семинара, 08 - 10 окт. 2004 г., Красноярск: изд-во Института вычислительного моделирования СО РАН, 2004 г., - с.73 - 75.

7. Казунина, Г.А. Моделирование статистических функций распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах вероятностным клеточным автоматом [текст] / Г.А. Казунина, Л.В. Баринова // Геодинамика и напряженное состояние недр Земли: труды конференции с участием иностранных ученых, 10 - 13 окт. 2005 г., Новосибирск: изд-во Института горного дела СО РАН, 2006,-с. 166 - 172.

8. Казунина, Г.А. Статистика нормированного размаха Херста и временные корреляционные функции потока импульсов электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород [текст] / Г.А. Казунина // Геодинамика и напряженное состояние недр Земли: труды конференции с участием иностранных ученых, 02 - 05 окт. 2007 г., Новосибирск: изд-во Института горного дела СО РАН, 2009, - с. 260 -266.

9. Казунина Г.А. Исследование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах (моделирование вероятностным клеточным автоматом) [текст] / Г.А.Казунина, Д.В. Алексеев //Физические основы прогнозирования разрушения горных пород: тезисы восьмой международной школы - семинара , 24-29 мая 2010 г., Санкт -Петербург: изд-во ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, 2010, - с. 43,

Автор выражает глубокую признательность профессору

О.Л. Бандман за поддержку работы, полезные замечания и советы.

Подписано в печать 12.01.11. Формат 60 х 84 /16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе.

Уч.-изд.л. 2. Тираж 100 экз. Заказ 6

ГУ ВПО КузГТУ, 650000, Кемерово, ул. Весенняя, 28

Типография ГУ ВПО КузГТУ, 650000, ул. Д.Бедного, 4А

Введение

Глава 1. Кинетические модели накопления повреждений при разрушении материалов

1.1 Разрушение как многостадийный кинетический процесс.

Состояние вопроса

1.1.1 Основные положения кинетической теории разрушения

1.1.2 Характеристики кинетического процесса накопления повреждений

1.1.3 Исследование процесса накопления повреждений методами компьютерного моделирования

1.2! Основная идея диссертации, цели и задачи исследования

1.2.1 Разрушение как результат эволюции кластерной структуры элементарных повреждений, цель и основная идея диссертации

1.2.2 Характеристики кластеров и сценарии моделирования

1.2.3 Цели и задачи исследования

Глава 2. Вероятностный клеточный автомат и алгоритм моделирования

2.1 Концепция алгоритма моделирования

2.2 Формальное описание клеточного автомата

2.3 Логическая реализация концепции

2.3.1 Объектная модель

2.3.2 Основные и вспомогательные сервисы

2.3.3 Прототип пользовательского интерфейса

2.4 Программный комплекс для моделирования разрушения

2.4.1 Программные средства и структура проекта

2.4.2 Реализация программного комплекса

2.4.3 Результаты отладки и примеры вывода данных

Глава 3. Компьютерное моделирование накопления элементарных повреждений при разрушении твердых материалов

3.1 Особенности кинетики эволюции кластерной структуры

3.1.1 Зависимость времени разрушения от вероятностей, определяющих процесс образования элементарных повреждений

3.1.2 Характер кинетических кривых числа элементарных повреждений и числа кластеров

3.1.3 Эволюция корреляционных функций числа элементарных повреждений и числа кластеров элементарных повреждений

3.1.4 Исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста

3.2 Эволюция кластерной структуры ансамбля повреждений

3.2.1 Степенной закон распределения числа элементарных повреждений в кластере в зависимости от его размера

3.2.2 Временная зависимость плотности элементарных повреждений

3.2.3 Характеристики соединяющих кластеров

3.3 Исследование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений по функциям распределения кластеров

3.3:1 Эволюция функций распределения кластеров по локальной плотности

3.3.2 Эволюция функций распределения кластеров по размеру

3.3.3 Особенности поведения числовых характеристик распределения кластеров элементарных повреждений

Глава 4. Некоторые прикладные вопросы моделирования кинетики накопления элементарных повреждений

4.1 Статистические характеристики импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород

4.2 Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений под действием периодической внешней нагрузки

Актуальность работы

Прогнозирование разрушения различных материалов (горные породы, гетерогенные материалы и др.) является актуальной научной задачей, в основу решения которой в настоящее время положена кинетическая теория прочности (школа С.Н. Журкова). Эта феноменологические модель и ее модификации используются при интерпретации экспериментальных данных по импульсной эмиссии (акустической, электромагнитной). Однако, прогнозирование разрушения нагруженных материалов по характеристикам импульсной эмиссии сталкивается со следующей принципиальной трудностью. Случайный процесс импульсной эмиссии несет информацию о кинетическом процессе накопления повреждений, фиксирует образование новых, или «прорастание» уже имеющихся повреждений путем регистрации выделения энергии при образовании каждого повреждения. По характеристикам акустической эмиссии можно косвенно оценить координаты дефектов в пространстве, но отсутствует непосредственная информации о пространственном распределении элементарных повреждений, а особенно их группировке в кластеры и характеристиках этих кластеров. В то же время, для прогнозирования разрушения именно пространственное распределение повреждений представляет главный интерес.

Кластерная структура повреждений в нагруженных материалах, характеризующая пространственное распределение элементарных повреждений, по степени изученности существенно отстает от исследования процесса их накопления, что обусловлено следующей причиной. Непосредственное наблюдение кластерной структуры повреждений доступно лишь при помощи таких сложных методов, как спектроскопия грубого рассеяния света (на прозрачных материалах), а для непрозрачных материалов, которые, как правило, и представляют наибольший интерес, при помощи рассеяния рентгеновских лучей, что практически невозможно реализовать в динамике. Поэтому информацию о кластерной структуре элементарных повреждений чаще получают лишь опосредованно, после макроскопического разрушения материала, например, по исследованию геометрии поверхности разрушения. Поскольку экспериментальное исследование одновременного наблюдения накопления повреждений и образуемой ими кластерной структуры на настоящем уровне развития технологии практически не представляется возможным, своевременным и актуальным представляется проведение подобного исследования при помощи методов компьютерного моделирования, которые предоставляют единственно доступную, и одновременно уникальиую возможность исследования кинетического процесса накопления элементарных повреждений и эволюции их кластерной структуры как единого процесса пространственно-временной эволюции распределенной динамической системы.

Согласно современным представлениям твердые материалы под нагрузкой, превышающей предел упругости, представляют собой многоуровневую иерархическую систему дефектов структуры, эволюция которой направлена на минимизацию внешнего воздействия на всех масштабных уровнях, достигающую на стадии, предшествующей разрушению, состояния самоорганизованной критичности, которое характеризуется фрактальным пространственным и временным самоподобием на всех иерархических уровнях. Благодаря этому, переход на макроскопический уровень может быть описан без обращения к деталям элементарных актов образования дефектов, опираясь только на геометрические характеристики кластерной структуры повреждений (перколяционные модели).

В силу того, что случайный процесс накопления элементарных повреждений в твердых материалах на стадии хрупкого разрушения является существенно нелинейным и необратимым, наиболее оптимальной моделью для описания этого процесса является модель вероятностного клеточного автомата, которая позволяет моделировать широкий класс эволюционных процессов в таких разнообразных областях как газовая динамика, химическая кинетика, физика твердого тела, биология и экология.

Цель работы

Разработка новой математической модели вероятностного клеточного автомата, алгоритмов и программ для моделирования кинетического процесса накопления и пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений как единого динамического процесса.

Основная идея работы

Использование для моделирования накопления и эволюции ансамбля элементарных повреждений новой модели вероятностного клеточного автомата, работа которого определяется набором вероятностей в соответствии с кинетической теорией прочности, характеризующих процессы образования элементарных повреждений по нескольким взаимодополняющим механизмам и генерирующих временные ряды кинетических зависимостей числа элементарных повреждений и кластеров элементарных повреждений как результат эволюции пространственной кластерной структуры.

Задачи исследования:

• Разработать и реализовать математическую модель вероятностного клеточного автомата для моделирования процесса эволюции кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах;

• Исследовать при помощи разработанного клеточного автомата характеристики случайного процесса эволюции кластерной структуры элементарных повреждений для типичных сценариев накопления повреждений, определяемых режимами нагружения материала;

• Сопоставляя результаты моделирования с данными по импульсной эмиссии, выделить в характеристиках случайного процесса эволюции элементарных повреждений особенности, которые можно было бы интерпретировать как «предвестники разрушения».

Методы исследования

• Объектно-ориентированное программирование для алгоритмов вероятностных клеточных автоматов и его реализация в системе Windows-программирования Microsoft Visual Basic 6.0.

• Компьютерное моделирование процесса пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений при помощи нового вероятностного клеточного автомата на базе реализованного программного решения

• Статистическая обработка данных моделирования в электронных таблицах Microsoft Excel

Научные положения, защищаемые автором

1. Метод моделирования эволюции ансамбля элементарных повреждений в нагруженных горных породах с помощью двумерного вероятностного клеточного автомата является эффективным методом одновременного исследования временной кинетики накопления элементарных повреждений и пространственной конфигурации образуемых ими кластеров, поскольку он позволяет одновременно получать такие разнообразные характеристики ансамбля элементарных повреждений как кинетические кривые числа элементарных повреждений и числа кластеров повреждений, функции распределения кластеров по размерам и локальной плотности, выборочные временные корреляционные функции, статистику нормированного размаха Херста

2. Конфигурация кластеров повреждений имеет фрактальную структуру, которая характеризуется универсальной степенной зависимостью между числом элементарных повреждений в кластере и его среднеквадратичным радиусом: m(R) = 22rdс показателем степени 1,56 < о <1,67 . При этом средняя концентрация элементарных повреждений, при которой происходит разрушение системы, в два-три раза меньше классического порога перколя-ции

3. Процесс формирования кластерной структуры элементарных повреждений является автомодельным по параметру локальной плотности, что выражается в независимости функций распределения числа кластеров по их локальной плотности от средней плотности элементарных повреждений и сценария моделирования на протяжении всего процесса эволюции. При этом относительная доля мелких кластеров составляет примерно 50% вплоть до момента образования соединяющего кластера (разрушения системы). На заключительной стадии эволюции, непосредственно предшествующей образованию соединяющего кластера, почти половина элементарных повреждений сосредоточена в нескольких (менее десятка) крупных кластерах.

4. Моделируемая система демонстрирует поведение, типичное для сложных неравновесных систем, склонных к катастрофам, а именно в наличии на заключительной стадии эволюции системы: а) перемежаемости — вымирания на заключительной стадии эволюции кластеров промежуточных размеров, что проявляется в образовании у функции распределения числа кластеров по размерам широких и высоких ступеней; б) сильного роста числовых характеристик распределения кластеров по размерам: дисперсии, вариации, масштаба и степени критичности

5. В качестве критериев перехода ансамбля элементарных повреждений на заключительную стадию эволюции, непосредственно предшествующую разрушению, можно использовать поведение характеристик временного ряда «число элементарных повреждений», а именно появление четко выраженного излома на зависимости статистики нормированного размаха Херста и прохождение выборочной корреляционной функции через локальный минимум. В пользу сформулированных критериев свидетельствует то, что: а) Указанные особенности в поведении характеристик временного ряда « число элементарных повреждений» проявляются на тех же временах эволюции системы, при которых кластерная структура начинает обнаруживать поведение, характерное для неравновесных систем, склонных к катастрофам; б) Сравнение корреляционных функций и статистики нормированного размаха Херста, получаемых при измерении потока импульсов электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород, который характеризует процесс образования микротрещин, с результатами моделирования показывает их хорошее качественное согласие

Достоверность научных положений, результатов и выводов диссертации достигается

• Использованием при построении модели накопления повреждений всесторонне проверенных на современном уровне фундаментальных физических и математических теорий (механика разрушения, кинетической теории прочности, теория случайных процессов, фрактальных временных рядов, клеточных автоматов)

• Тестированием алгоритма модели на предельных режимах, соответствующих кластерам Хошена -Копельмана и Хаммерсли-Лиса- Александровича

• Необходимым для статистической обработки объемом информации, получаемой в процессе компьютерного моделирования

• Хорошим качественным согласием данных моделирования с существующими экспериментальными результатами по измерению потока импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые

• Для моделирования процесса пространственно-временной эволюции ансамбля элементарных повреждений использован метод двумерных вероятностных клеточных автоматов и на его основе исследован кинетический процесс накопления элементарных повреждений и образуемой ими кластерной структуры как единый эволюционный процесс распределенной динамической системы

• Реализованы клеточно-автоматные модели накопления элементарных повреждений с учетом внутренней динамики системы через изменение вероятности прорастания периметров кластеров от их размера.

• Исследовано поведение функций распределения кластеров элементарных повреждений по размеру и локальной плотности на всем протяжении эволюции системы от начала до момента разрушения. Установлена автомо-дельность функций распределения по локальной плотности кластеров, а

4» также тот факт, что относительная доля мелких кластеров составляет примерно 50% на всем временном интервале эволюции вплоть до наступления разрушения.

• Установлено, что моделируемая система кластеров элементарных повреждений демонстрирует поведение, типичное для неравновесных систем, склонных к катастрофам, что проявляется в вымирании кластеров промежуточных размеров и резком росте дисперсии, вариации, масштаба и степени критичности распределения кластеров по размерам при средней концентрации элементарных повреждений, равной примерно 70% от конечной концентрации.

• Установлено, что прохождение корреляционной функции временного ряда «число элементарных повреждений», которая может быть измерена экспериментально, через точку локального минимума (переход в область отрицательных значений) может рассматриваться как качественный кри

10 терий перехода эволюции кластерной структуры на стадию, непосредственно предшествующую разрушению

• Промоделирован процесс накопления повреждений для режимов периодического нагружения и показано, что корреляционные функции временного ряда « число элементарных повреждений» определяются типом и частотой внешней нагрузки

Личный вклад автора состоит

• В формулировке физической концепции и математической модели кинетического процесса накопления повреждений и пространственно-временной эволюции их кластерной структуры вероятностными клеточными автоматами.

• В разработке программного решения для алгоритма двумерного вероятностного клеточного автомата

• Проведении вычислительного эксперимента, статистической обработки и интерпретации полученных экспериментальных результатов, формулировке всех основных результатов и выводов.

Научное и практическое значение работы

Полученные в диссертации результаты позволяют развивать перспективные направления компьютерного моделирования процессов разрушения нагруженных горных пород (а также и других твердых материалов) для разработки на их основе критериев перехода к необратимому разрушению с дальнейшим переходом к построению конкретных методик прогнозирования разрушения по результатам измерения случайного процесса импульсной эмиссии (электромагнитной, акустической) нагруженных горных пород.

Апробация

Основные положения диссертационной работы докладывались на: международной конференции « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (

11

Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2003), седьмом Всероссийском семинаре «Моделирование неравновесных систем - 2004» ( Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, 2004), конференции с участием иностранных ученых « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» ( Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2005) , конференции с участием иностранных ученых « Геодинамика и напряженное состояние недр Земли» (Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 2007), VIII Международной школе-семинаре «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород » (Физико- технический институт им. А.Ф. Иоффе, Санкт-Петербург, 2010)

Публикации

По проблематике диссертации автором опубликовано 21 работа. Основные результаты диссертации полностью опубликованы в 12 статьях рецензируемых журналов (перечень ВАК).

Основные результаты диссертации являются совокупностью теоретических положений, которую можно квалифицировать как крупное научное достижение в разработке методов моделирования накопления повреждений и статистических критериев перехода к необратимому разрушению, используемых для построения методов прогнозирования разрушения на основе результатов измерения случайного процесса импульсной эмиссии (электромагнитной, акустической) нагруженных материалов.

Перечислим основные выводы, следующие из результатов проведенного исследования:

1. Предложен и реализован способ моделирования кинетического процесса накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах при помощи нового двумерного вероятностного клеточного автомата, отличительными чертами которого является следующее: а) Кинетическая временная зависимость числа элементарных повреждений порождается изменением пространственной конфигурации кластеров элементарных повреждений за счет случайных процессов образования повреждений на свободных узлах решетки и прорастания образовавшихся ранее кластеров повреждений; б) Работа автомата контролируется тройкой вероятностей (образования нового элементарного повреждения, прорастания периметра образовавшегося ранее кластера и слияния кластеров при их сближении на критическое расстояние), которая и конкретизирует сценарий моделирования, определяемый как внешними условиями нагружения материала (статический, динамический, однородный, неоднородный), так и внутренней динамикой ансамбля кластеров (зависимость вероятности прорастания периметра от размера кластера). в) Реализация алгоритма работы нового вероятностного клеточного автомата на основе объектно-ориентированного программирования в системе Microsoft Visual Basic 6.0 с подключением Microsoft Excel в качестве клиента автоматизации для сохранения и обработки выходных данных при помощи дополнительных макросов, позволила получать такие разнообразные характеристики моделируемого процесса как временные ряды числа образовавшихся элементарных повреждений и числа образуемых ими кластеров, дважды' логарифмические зависимости статистики нормированного размаха Херста и выборочные временные корреляционные функции этих временных рядов, а также функции распределения кластеров по размерам и локальной плотности.

2. Проведенное моделирование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений для различных сценариев моделирования позволило установить, что: а) Предельная средняя концентрация элементарных повреждений, при которой происходит разрушение системы (образование соединяющего кластера) в 2 - 3 раза меньше классического порога перколяции, а соединяющие кластеры характеризуются низкой локальной плотностью. При этом как предельная средняя концентрация, так и локальная плотность кластеров определяются, главным образом, вероятностями слияния кластеров и прорастания периметров кластеров

Конфигурация кластеров повреждений имеет фрактальную структуру, которая характеризуется универсальной степенной зависимостью между числом элементарных повреждений в кластере и его среднеквадратичным радиусом М(Л) = 22110; 1,56 < й < 1,67 .

Для исследования кластерной структуры элементарных повреждений наиболее удобно использовать два взаимодополняющих вида функций распределения кластеров повреждений: по локальной плотности и по среднеквадратичному радиусу

Функция распределения числа кластеров повреждений по локальной плотности практически не зависит от сценария моделирования и средней плотности дефектов, что указывает на автомодельность (подобие) формирования кластерной структуры дефектов по параметру «локальная плотность кластера»

Не смотря на то, что в ходе эволюции системы общее число мелких кластеров убывает, их относительная доля в полном числе кластеров составляет 50% на всем протяжении процесса, вплоть до момента разрушения системы. При этом на конечной стадии эволюции почти 50% суммарного числа элементарных повреждений сосредотачивается в нескольких (менее десятка) кластерах, размеры которых более, чем на порядок превосходят средний размер всех остальных кластеров

На конечной стадии эволюции системы, когда средняя плотность элементарных повреждений превышает 70% от ее значения, приводящего к разрушению, имеет место явление перемежаемости - наличие у функции распределения кластеров по среднеквадратичному радиусу широких и высоких

170 ступеней, что свидетельствует о «вымирании» на этой стадии кластеров промежуточных размеров ж) Для всех исследованных режимов моделирования, поведение числовых характеристик распределений кластеров элементарных повреждений по размерам (дисперсия, вариация, масштаб, степень критичности) на временах, превосходящих Т/Т/т» 0,7 характеризуется сильным ростом, что свидетельствует о возникновении неустойчивости этих распределений перед разрушением системы, а также о том, что моделируемая система демонстрирует поведение сложной неравновесной системы, склонной к катастрофам з) При моделировании режимов периодического изменения внешней нагрузки, процесс формирования кластерной структуры по локальной плотности также является автомодельным. При этом для симметричного знакопеременного режима нагружения доля мелких кластеров в процессе разрушения при относительно низких частотах внешнего воздействия несколько выше, чем для 'знакопостоянных режимов нагружения и составляет примерно 70%. Функция распределения кластеров элементарных повреждений по размерам для симметричного знакопеременного режима нагружения зависит от частоты внешнего воздействия: с понижением частоты уменьшается протяженность участка квазинепрерывности, а по мере приближения системы к разрушению наблюдается сильный рост вариации, масштаба и степени критичности распределения массы кластеров элементарных повреждений

3. Исследованием кинетических кривых накопления элементарных повреждений установлено, что: а) Время разрушения (число элементарных циклов процесса до появления соединяющего кластера) определяется, главным образом, вероятностью образования нового элементарного повреждения и слабо зависит от вероятностей

171 прорастания периметра и слияния кластеров б) Кинетическая кривая числа кластеров повреждений для всех рассмотренных режимов моделирования имеет три ярко выраженных участка: накопление кластеров по квадратичному закону, линейный спад при подходе к моменту разрушения системы и узкая переходная зона между ними в) Скорость образования элементарных повреждений незначительно убывает в ходе эволюции системы для сценариев, не включающих зависимость вероятности прорастания периметра от размера кластера, а для сценариев, включающих такую зависимость, скорость образования повреждений растет, что обусловлено ростом общей протяженности периметров кластеров в ходе эволюции системы г) В режиме периодического нагружения, время разрушения определяется главным образом средним по времени цикла напряжением и незначительно уменьшается с уменьшением частоты изменения напряжения (на 15- 20% при изменении частоты в 4 раза). При этом на кинетической кривой числа кластеров элементарных повреждений появляются плато (где число кластеров почти не меняется), которые соответствуют на кинетических кривых числа элементарных повреждений интервалам, на которых замедлен процесс образования новых элементарных повреждений

4. Исследованием статистики нормированного размаха Херста установлено, что: а) Для случайного процесса «число элементарных повреждений» на всем временном интервале эволюции системы значения показателя Херста я >1/2, что указывает на персистентность этого процесса. Для всех рассмотренных сценариев моделирования на дважды логарифмической зависимости статистики нормированного размаха наблюдаются два четко выраженных линейных участка, причем второй линейный участок появляется при средней

172 плотности элементарных повреждений, равной примерно 70% от ее предельного значения, приводящего к разрушению системы, и на временах, превосходящих г «о,7-г,,,,. При этом ,значение показателя Херста на втором участке превышает в 1,5 + 4 раза его значение на первом участке, в зависимости от режима моделирования б) Для случайного процесса «число кластеров повреждений» зависимость статистики нормированного размаха имеет лишь один линейный участок, которому соответствует показатель Херста Н> 1/2, что указывает на перси-стентность и этого случайного процесса в) В режиме периодических нагружений на дважды логарифмической зависимости статистики нормированного размаха для числа элементарных повреждений также наблюдаются два четко выраженных участка. При этом для второго участка характерно наличие периодических составляющих процесса накопления элементарных повреждений, наиболее четко проявляющихся на относительно низких частотах

5. Исследование временных корреляционных функций показало, что: а) корреляционная функция для числа кластеров элементарных повреждений на конечной стадии эволюции имеет универсальный характер типа «затухающего колебания» с одним отрицательным и двумя положительными участками, в то время как корреляционная функция для числа элементарных повреждений имеет лишь по одному участку положительной и отрицательной корреляции б) Сопоставление характера эволюции корреляционных функций временных рядов «число элементарных повреждений» и «число кластеров элементарных повреждений» с кинетической кривой числа кластеров элементарных повреждений показало, что прохождение корреляционной функции временного ряда «число, элементарных повреждений» через точку локального минимума соответствует середине участка линейного убывания числа кластеров на кинетической кривой, а также появлению второго участка положительной корреляции на корреляционной функции временного ряда «число кластеров». в) Поскольку корреляционная функция временного ряда «число элементарных повреждений» может быть получена из экспериментальных данных, прохождение этой функции через точку локального минимума служит качественный критерием перехода эволюции кластерной структуры на стадию непосредственно предшествующую раз разрушению г) Для режимов периодического нагружения корреляционные функции временного ряда «число элементарных повреждений» определяются типом и частотой внешней нагрузки и имеют явный периодический характер, что может быть использовано для выявления периодических воздействий на систему при контроле нагружаемых материалов

6. Сопоставлением кинетических кривых, корреляционных функций и статистики нормированного размаха Херста для случайного процесса «число элементарных повреждений», полученных моделированием, с экспериментальными результатами измерений потока электромагнитных импульсов от нагруженных образцов горных пород установлено что: а) Наблюдаемый для потока импульсной электромагнитной эмиссии переход корреляционной функции в область отрицательных значений может интерпретироваться как предвестник интенсификации процесса образования микротрещин б) Наблюдаемый для потока импульсов электромагнитной эмиссии излом на

174 зависимости статистики нормированного размаха Херста может интерпретироваться как переход системы на стадию, непосредственно предшествующую разрушению, длительность которой не превышает 40% от времени до разрушения

7. Полученные в диссертации результаты указывают в качестве перспективных направлений дальнейших исследований: а) Разработку сценариев моделирования путем комбинирования изученных в диссертации базовых сценариев и добавлением дополнительных режимов внешних воздействий на систему и с обязательным включением учета внутренней динамики системы, для реализации динамической перколяции -включения зависимости контролирующих работу автомата вероятностей от текущего состояния всей кластерной структуры б) Разработку клеточных автоматов с тремя и более состояниями узла решетки: - неповрежденный - частично поврежденный - полностью поврежденный в) Переход к моделированию накопления повреждений на трехмерных решетках

Заключение

В диссертации предложен и реализован способ моделирования кинетического процесса накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах на основе новой модели двумерного вероятностного клеточного автомата, и продемонстрирована его эффективность для моделирования разнообразных режимов нагружения при хорошем качественном согласии результатов моделирования с имеющимися экспериментальными результатами измерения импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород.

1. Эйринг, Г. Основы химической кинетики Текст. / Г. Эйринг, С.Г. Лин, С.М. Лин. М.: Мир, 1983.- 522 с.

2. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел Текст. / С.Н. Журков // Вестн. АН СССР. -1968.- № 3, с.46 - 52.

3. Регель, В.Р. Кинетическая природа прочности твердых тел Текст. /

4. B.Р. Регель, А.И. Слуцкер, Э.Е. Томашевский.- М.: Наука , 1974.- 560 с.

5. Ратнер, С.Б. Физическая механика пластмасс Текст. /С.Б. Ратнер, В.П. Ярцев. -М.: Химия . 1992. - 320 с.

6. Бартенев, Г.М. Прочность и механизм разрушения полимеров Текст. /Г.М. Бартенев М.: Химия. - 1984. -274 с.

7. Журков, С.Н. Дилатонный механизм прочности твердых тел Текст. /

8. C.Н. Журков //Физика твердого тела. 1983.- т.25.- вып. 10. - с. 31193123.

9. Мелькер, A.M. О двух типах дилатонов Текст. / A.M. Мелькер, A.B. Иванов // Физика твердого тела. 1986. -т. 28, вып. 11.-е. 3396 -3402.

10. Мелькер, А.И. Атомный механизм разрушения термодинамически равновесного двумерного цепочечного кристалла Текст. / A.M. Мелькер, A.B. Иванов // Физика твердого тела. 1987. - т. 29, вып. 5. -с. 1556-1559.

11. Шевелев, В.В. К термофлуктуационной теории хрупкого разрушения материалов Текст. /В.В. Шевелев, Э.М. Карташев // Физика твердого тела. 1989. -т. -31, вып. 9. - с. 71 -75.

12. Ю.Шевелев, В.В. К статистической кинетике хрупкого разрушенияматериалов Текст. /В.В. Шевелев, Э.М. Карташев // Докл. АН СССР. 1989.-т. 36.-№ 6. - с. 1425 -1429.

13. Журков, С. Н. Физические основы прогнозирования механического разрушения Текст. /С.Н. Журков, B.C. Куксенко, В.А. Петров // Докл. АН СССР. 1981.-т. 259, вып.б-с. 1350-1353.

14. Петров, В.А. Статистическая теория кинетики микротрещин: Автореф. дисс.канд. физ.-мат. наук Текст. /В.А. Петров; ИМФ All УССР. -Киев, 1972. 25с.

15. Томашевская, И.С. Возможность предсказания момента разрушения образцов горных пород на основе флуктуационного механизма роста трещин Текст. /И.С. Томашевская, Я.Н. Халиуллин // Докл. АН СССР. 1972. -т. 207, вып. 3. -с.580 - 584.

16. Фролов // Механика композитных материалов. — 1979. № 2. - с. 195 -201.

17. Гор, А.Ю. Концентрационный порог разрушения и прогноз горных ударов Текст. / А.Ю. Гор, B.C. Куксенко , Н.Г. Томилин и др. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . —1989-№3.-с. 54-60.

18. Петров, В.А. О механизме и кинетике макроразрушения Текст. /В.А. Петров //Физика твердого тела.-1979.-т.21, вып.12.-е. 3681 -3686.

19. Петров, В.А. Термодинамический подход к микромеханике разрушения твердых тел Текст. /В.А. Петров // Физика твердого тела.-1983,- т.25, вып. 10.-е. 3110-3113.

20. Петров, В.А. Основы кинетической теории разрушения и его прогнозирование Текст. / В.А. Петров // Прогноз землетрясений .-1984,-№5.-с. 30-44.

21. Шемякин, Е.И. О свободном разрушении твердых тел Текст. / Е.И. Шемякин // Докл. АН СССР. 1988. - т.300, вып. 5. -с. 1090-1094.

22. Томилин, Н.Г. Статистическая кинетика и прогнозирование разрушения горных пород : Авгореф. дисс. .канд.физ.-мат. наук Текст. / Н.Г. Томилин; ФТИ им. А.Ф. Иоффе АН СССР. Л., 1989. -21 с

23. Пимонов, А.Г. Имитационная модель процесса трещинообразования в очагах разрушения горных пород Текст. / А.Г. Пимонов, В.В. Иванов // Физико-технические проблемы разработки полезных икопаемых . —1990- № 3-е. 34-37.

24. Иванов, В.В. Статистическая теория эмиссионных процессов в нагруженных структурно неоднородных горных породах и задача прогнозирования динамических явлений Текст. / В.В. Иванов, П.В.

25. Егоров, А.Г. Пимонов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . —1990. № 4. - с. 59 -65.

26. Иванов, В.В. Статистическая модель электромагнитной эмиссии из очага разрушения в массиве горных пород Текст. / В.В. Иванов, А. Г. Пимонов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . — 1989.- № 2. — с. 52 —56.

27. Ботвина, JI.P. Кинетика разномасштабного множественного разрушения Текст. / JLP. Ботвина, И.Б. Опарина // Докл. АН .- 1998 т.362. - № 6. - с. 762 -765.

28. Ботвина, J1.P. О характере графика повторяемости на различных стадиях дефектообразования и подготовки землетрясения Текст. / JI.P. Ботвина, И.М. Ротвайн, В.И. Кейлис- Борок , И.Б.Опарина// Докл. АН, 1995 т. 345. - № 6 - с. 809 -812.

29. Ботвина, Л.Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности Текст. / Л.Р. Ботвина. М: Наука, 2008. - 334 с.

30. Стаховский, И.Р. Масштабные инварианты в сейсмотектонике Текст. / И.Р. Стаховский, Т.П. Белоусов // Докл. АН 1996 .т. 347.- № 2,-с.252 -255.

31. Стаховский, И.Р. Параметры локального самоподобия систем активных разломов и пространственное распределение сейсмичности Текст. / И.Р. Стаховский, Т.П. Белоусов // Докл. АН 1997, т. 354. - № 4. - с. 545-548.

32. Смирнов, В.Б. О дискретности энергетической структуры сейсмичности Текст. / В.Б. Смирнов, С.И. Исполинова // Докл. AIT — 1995, т.342. № 6. - с. 809-811.

33. Соболев, Г.А. Основы прогноза землетрясений Текст. /Г.А. Соболев. -М: Наука, 1993. 313 с.

34. Соболев, Г.А. Физика землетрясений и предвестники Текст. / Г.А. Соболев, A.B. Пономарев М: Наука, 2003,- 270 с.

35. Томилин, Н.Г. Формирование очага разрушения при деформировании гетерогенных материалов (гранита) Текст. / Н.Г.Томилин, Е.Е. Дамаскинская, B.C. Куксенко // Физика твердого тела. 1994. - т. 36, вып. 10. - с. 3101-3112.

36. Бетехтин, В.И. Кинетика разрушения и динамическая прочность бетона Текст. / В.И. Бетехтин, B.C. Куксенко, А.И. Слуцкер, И.Э. Школьник // Физика твердого тела. 1994. - т. 36, вып. 9 .- с.2599-2698.

37. Веттегрень, В.И. Статистика микротрещип в гетерогенных материалах (граниты) Текст. / В.И. Веттегрень, B.C. Куксенко, Н.Г. Томилин,

38. М.А. Крючков // Физика твердого тела. 2004.- т. 46, вып. 10. - с. 1793 -1796.

39. Куксенко, B.C. Диагностика и прогнозирование разрушения крупномасштабных объектов Текст. / B.C. Куксенко // Физика твердого тела— 2005. -т. 47 , вып. 5.-е. 788 792.

40. Томилин, Н.Г. Статистическая кинетика разрушения горных пород и прогноз сейсмических явлений Текст. /Н.Г. Томилин, Е.Е. Дамаскинская, П.И.Павлов // ФТТ 2005. -т. 47 , вып.5 . - с. 955 - 959.

41. Завьялов, А.Д. От кинетической теории прочности иконцентрационного критерия разрушения к плотности сейсмогенных разрывов и прогнозу землетрясений Текст. / А.Д. Завьялов // Физика твердого тела-2005.-т. 47, вып.5 .-с. 1000- 1008.

42. Цай, Б.Н. Физические аспекты механизма разрушения горных пород Текст. / Б.Н. Цай // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 2004. - № 1. - с. 72 - 78.

43. Toussaint R. Fracture of disordered solids in compression as critical phenomenon. I. Statistical mechanics formalism Текст. / R. Toussaint, S.R. Pride //Phys. Rev. E .- 2002.-v.6^.- № З.-ч. 2А,- p. 0366135/1 -0366135/10.

44. Toussaint R. Fracture of disordered solids in compression as critical phenomenon. II. Model Flamiltonian for a population of interacting cracks Текст. / R. Toussaint, S.R. Pride // Phys. Rev. E .- 2002.-v.6^ .-№ З.-ч. 2A p. 0366136/1 - 0366136/9.

45. Toussaint R. Fracture of disordered solids in compression as critical phenomenon. III. Analysis of the localization transition Текст. / R. Toussaint, S.R. Pride // Phys. Rev. E .- 2002.-v.6<? .-№ З.-ч. 2A p. 0366137/1 -0366137/11.

46. Polinski Yu. Phase transition in the fractal clusters in the presence of electric fields Текст. / Yu. Polinski, T. Elperin // Phys. Rev. В 2000.-v.62. - № 19.- p. 12656- 12659.

47. Schmittbuhl J. Roughness of interfaccial crack fronts : stress weighted percolation in damage zone Текст. / J. Schmittbuhl, A. Hansen, G. George Batrouni. // Phys. Rev. Lett. - 2003 - v.90.- № 4 - p. 045505/1- 045505/4.

48. Приезжев, В.Б. Анизотропная перколяция плакетов модель разрушения твердых тел Текст. / В.Б. Приезжев, С.А Терлецкий // Физика твердого тела. - 1989. — т.31, вып.4. - с. 125 -128.

49. Штремель, М.А. О развитии вязкого разрушения как самоорганизация с вырождением размерности Текст. / М.А. Штремель, A.M. Авдеенко, Е.И. Кузько // Физика твердого тела. — 1995.- т. 37.- № 12. с. 3751 — 3754.

50. Авдеенко, A.M. Развитие неустойчивости пластического течения как самоорганизация Текст. / A.M. Авдеенко, Е.И. Кузько, М.А. Штремель //Физика твердого тела.- 1994. -т.36 —№ 10.-с. 3158-3161.

51. Avdeenko А. М. Instabiliti of plastic deformation as self-organizing fractal Текст. / A. M. Avdeenko, E.I. Kuzko // Phys. Rev. В 2001№ 6.-p. 064103 ( 1-6).

52. Соколов, И.М. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания Текст. / И.М. Соколов // УФН. 1986.- т.150. № 2 .-с.221 - 253.

53. Федер, Е. Фракталы Текст. /Е.Федер. М: Мир, 1991.-260 с.

54. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы Текст. /Б. М андельброт.- М: Институт компьютерных исследований , 2002. 656 с.

55. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные закон Текст. / М.Шредер.-Ижевск: НИЦ « Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-528 с.

56. Кроновер, P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории Текст. /.- М : Постмаркет, 2000. 352 с.

57. Фракталы в физике Текст. /М: Мир, 1989. -672 с.

58. Zaslavsky G.M. Multifractional kinetics Текст. / G.M. Zaslavsky // Physica A.- 2000.- v.288.-№ 1- 4,- p. 431- 443.

59. Ching Emily S.C. Multifractality of mass distribution infragmentation Текст. / S.C. Ching Emily // Physica A .- 2000-v. 288 № 1-4.-p. 402-408.

60. Inspolatov I. Correlation functions in decorated lattige models Текст. / I.Inspolatov, K. Koga, B. Widom // Physica A 2001.- v.291.- № 1 -4p. 49 -59.

61. Helali N. Computer simulation of fractal growth via a 2D-MECA percolative system representation extended nutrient relasing source (NRS) Текст. / N. Helali, B. Rezig // Physica A .- 2001.- v. 292,- № 1- 4.- p. 9 -25.

62. Шкатуляк, Н.М. Компьютерное моделирование фрактальной структуры хрупкой трещины Текст. / Н.М. Шкатуляк, В.В. Усов, А.А. Брюханов

63. Defect structures evolution in condensed matter. Computer simulation: 6 International School- Seminar , Barnaul, nov. 19-23 2001: Book of abstracts. Barnaul: Altai State Techn. Univ. 2001.- c.155 - 157.

64. Гулд, X. Компьютерное моделирование в физике Текст. /Х.Гулд, Я. Тобочник, Часть 2. -М.: Мир, 1990.-400с.

65. Hoshen J. Percolation and cluster distribution. 1. Cluster multiple labeling technique and critical concentration algorithm Текст. / J. Hoshen, R. Kopelman // Phys. Rev. 1976. - v.B 14. -p. 3488 -3496.

66. Martin Herrero J. Alternative techniques for cluster labeling on percolation theory Текст. / J. Martin - Herrero, J. Peon- Fernandez // J. Phys. A. - 2000.-V. 33.- № 9.- p. 1827- 1840.

67. Tsang I.J. Cluster diversity and entropy oln the percolation model: the lattige animal identification algorithm Текст. / I.J. Tsang, I.R. Tsang, D. Van Dyck // Phys. Rev. E. 2000 - v. 62.- № 5.- Pt A 6004 - 6014.

68. Santos M. A. Cluster statistics for a critical nonequilibrium model // Текст. / M. A. Santos, M. Chaves // Comput. Phys. Commun .- 1999.-p. 121-122, 408-410.

69. Chaves M. Scaling properties of the cluster distribution of a critical nonequilibrium model Текст. / M. Chaves, M. A. Santos // Physica A.-1999-v. 262.-№ 3 4 - p. 420 - 427.

70. Arndt P.F. Criterion for crack formation in disordered materials Текст. / P.F. Arndt, T. Natterman // Phys. Rev. B. // 2001.- v. 63,- № 13,- p. 134204/1 134204/8.

71. Bortnik B. Variation of cluster properties in lattige percolation problem: a prototype of phase transition Текст. / В. Bortnik, D. Lukman // Eur. Phys. J.-2000.-v. 16.-№ 1.-p. 113 117.

72. Баланкин, A.C. Упругие свойства фракталов, эффект поперечных деформаций и динамика свободного разрушения твердых тел Текст. / А.С.Баланкин// Докл. АН СССР. 1991. - т. 319 . № 5 . - с. 1098- 1101.

73. Баланкин, А.С. Фрактальная динамика деформируемых сред и топология разрушения твердых тел Текст. / А.С.Баланкин // Докл. АН . 1992. -Т.322. -№ 5. -с. 869 -874.

74. Бородич, Ф.М. Энергия разрушения фрактальной трещины, распространяющейся в бетоне или горной породе Текст. /Ф.М. Бородич // Докл. АН. 1992, т.325, № 6 .с. 1138-1141.

75. Бударин, А.Г. Математическая модель физических процессов с ^^ f спектром Текст. /А.Г. Бударин // Докл. АН 1998. - т. 359. - № 5. - с. 615-617.

76. Кобелев, B.JI. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве Текст. /B.JT. Кобел ев, Е.П. Романов, Я.Л. Кобел ев, Л.Я. Кобелев // Докл. АН 1998 -т. 361. - № 6. - с. 755-758.

77. Иванов, С.С. Оценка фрактальной размерности самоафинных множеств: метод встречного масштабирования дисперсий Текст. /С.С. Иванов // Докл. АН 1993.- т.332.- № 1. - с. 89 - 92.

78. Покропивный, В.В. Фрактальная поправка к прочности и вязкости разрушения хрупких твердых тел с учетом атомной шероховатости поверхности разрушения Текст. /В.В. Покропивный, В.В. Скороход // Физика твердого тела. 1995. -т.37, вып. 4, - с.1223 - 1225.

79. Гиляров, B.JT. Фликкер- эффект, фрактальные свойства разрушающихся материалов и проблема прогнозирования разрушения Текст. / B.JI. Гиляров// Физика твердого тела. 1994. - т. 36, вып. 8. — с. 2247-2251.

80. Савенков, С.С. Фрактально-кластерная модель откольного разрушения Текст. / С.С. Савенков // Журнал технической физики.-2002.-т. 72.-с.44-48.

81. Davidsen J. J noise from self- organized critical models with uniform driving Текст. / J. Davidsen, H.-G. Schuster // Phys. Rev. E -2000.-v.62-№5.- Pt A.-p. 6111-6115.

82. Madjumdar Satya N. Persistence of a continuous stochastic process with discrete time sampling Текст. / N. Satya Madjumdar, Alan J. Bray, Georgec M.A. Ehrhard // Phys. Rev. E .- 2001 .-v.64.- № 1,- pt.2 p. 015101(4).

83. Knackstedt Mark A. Nonuniversaliti of invasion percolation two-dimensional systems Текст. / Mark A. Knackstedt, Muhammad Sahimi, Adrian P. Sheppard // Phys. Rev. E .- 2002.-v.65.- № 3.- pt.2 A p. 035101(4).

84. Madjumdar Satya N. Persistence in a stationary time series Текст. / Satya N. Madjumdar, Deepak Dhar // Phys. Rev. E .- 2001 -v.64 № 4 - pt.2 -p. 046123(8).

85. Karakasidis Т.Е. Two- regime dynamical behaviour in Lennard-Jones systems: Spectral and rescaled range analysis Текст. / Т.Е/ Karakasidis, A.V. Liacopoluos // Physica A.- 2004,-v. 333 -p. 225 240.

86. Алексеев, Д.В. Фрактальные модели роста трещин раскола горных пород Текст. /Д.В. Алексеев, П.В. Егоров, А.Г. Пимонов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1996.- № 2 -с. 48-53.

87. Пимонов, А.Г. Статистическое моделирование и прогноз разрушения горных пород в очагах горных ударов: Автореф. дисс. .докт. техн. наук Текст. / А.Г. Пимонов; Кузбасский гос. техн. ун-т.--Кемерово , 1997.- 41с.

88. Алексеев, Д.В. Теория токовых состояний, индуцируемых в массиве горных пород изменяющимися механическими напряжениями: Автореферат дисс. докт. техн. наук Текст. / Д.В. Алексеев; Кузбасский, гос. техн. ун-т.-Кемерово , 1993.- 39с.

89. Алексеев, Д. В. Механизмы электризации трещин и электромагнитные предвестники разрушения горных пород Текст. / Д.В.Алексеев, П.В.

90. Егоров, B.B. Иванов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 1992. № 6. - с. 27 —32.

91. Алексеев, Д. В. Механизм формирования квазистационарного электрического поля в нагруженных горных породах Текст. / Д.В.Алексеев, В.В. Иванов, П.В. Егоров // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1993 - № 2. - с. 3 - 6.

92. Алексеев, Д. В. Херстовская статистика временной зависимости электромагнитной эмиссии при нагружении горных пород Текст. / Д.В.Алексеев, П.В. Егоров, В.В. Иванов // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1993. - № 5 . — с.45 —49.

93. Алексеев, Д.В. Персистентность накопления трещин при нагружении горных пород и концентрационный критерий разрушения Текст. / Д.В.Алексеев, П.В. Егоров // Докл. АН , 1993.- т. 333.- № 6 . с. 779780.

94. Алексеев, Д.В. Статистические свойства электромагнитного и светового излучения при разрушении горных пород Текст. / Д.В.Алексеев, П.В. Егоров, A.A. Малынин // Вестник Куз ГТУ, 2005. -№ 1.- с.18-23.

95. Гиляров, B.JI. Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения материалов Текст. /В.Л. Гиляров // Физика твердого тела. 2005. -т. 47 , вып. 5 . -с. 808-811.

96. Гиляров, B.JI. Формирование степенных распределений дефектов по размерам в процессе разрушения материала Текст./ B.JI. Гиляров, М.С. Варкентин, В.Е. Корсуков, М.М. Корсукова, B.C. Куксенко// Физика твердого тела. 2010. -т. 52 , вып. 7.-е. 1311 - 1315.

97. Курленя, М.В. Регистрация и обработка сигналов электромагнитного излучения горных пород Текст. / М.В.Курленя, А.Г.Вострецов, Г.И.Кулаков, Г.Е.Яковицкая. — Новосибирск: Изд-во СО, РАН, ,2000.-232 с.

98. Лагунов, В.А. Компьютерное моделирование деформирования и разрушения кристаллов Текст. /В.А. Логунов, А.Б. Синани // Физика твердого тела. — 2001 .т. 43, вып.4. — с.649 650.

99. Овчинский, A.C. Моделирование на ЭВМ процессов накопления повреждений в твердых телах под нагрузкой/А.С. Овчинский, Ю.С. Гусев // Физика твердого тела. 1981. -т.23, вып.11, - с.3308 -3314.

100. Дамаскинская, Е.Е. Имитационное моделирование потока актов разрушения в гетерогенных материалах Текст. / Е.Е. Дамаскинская,

101. H X. Томилин // Физика твердого тела. 1991. -т.ЗЗ, вып. 1, - с.278 -286.

102. Nishiuma S. Dynamic scaling for crack growth in a medium containing many initial defects Текст. / S. Nishiuma, S. Miyazima // Physica A.- 2000,- v.278 № 3- 4.- p. 295- 303.

103. Слуцкер, А.И. Атомный уровень флуктуационного механизма разрушения твердых тел (модельно-компьютерные эксперименты) Текст. /А.И. Слуцкер // Физика твердого тела. 2005. -т. 47 . - № 5 . — с. 777-787.

104. Ревуженко, А.Ф. Модели полигонных систем трещин в горных породах Текст. /А.Ф. Ревуженко, C.B. Клишин // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1999. № 1.-е. 37 -50.

105. Мартынюк, П.А. Численное моделирование кинетического процесса накопления и слияния микротрещин Текст. / П.А. Мартынюк, Е.Н.Шер, Г.В. Башеев // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.— 1997, № 6 .- с. 50-59.

106. Башеев, Г.В. Образование зародышевой трещины при ударном разрушении хрупкого тела клином Текст. / Г.В. Башеев, В.П. Ефимов, П.А. Мартынюк // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых.- 1999.- №1.- с.52 59.

107. Башеев, Г.В. Статистическое моделирование разрушения горных пород при двуосном сжатии.ч.1: взаимодействие трещин сдвигаТекст. / // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . -2003,-№5.-с. 55-62.

108. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики Текст. /Г.Г.Малинецкий, А.Б. Потапов. М.: Эдиториал УРСС. -2000-336 с.

109. Малинецкий, Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики Текст. /- М: УРСС, 2002.- 337 с.

110. Зосимов, В.В. Фракталы в волновых процессах Текст. / В.В. Зосимов, Л.М. Лямшев // Успехи физических наук. 1995.- т. 165.-с.361 -401.

111. Von Neuman, J. Theory of self reproducting automataTeKCT./ J. Von Neuman // University of Illinois, Urbana, USA.—1966.

112. Toffoli, Т. Cellular automata as an alternative to (rather than approximation of) difftrential equation in modeling physics Текст. /Т. Toffoli//Physica D.- 1984.-v. 10.-p. 117-127.

113. Wolfram S. Statistical mechanics of cellular automata Текст. / S. Wolfram // Review of modern physics.- 1993.- v. 55.-p.607 640.

114. Wolfram S. Universality and complexity in cellular automata Текст. IS. Wolfram//PhysicaD.- 1984.- v. l.-p.91-125.

115. Ванаг, B.K. Исследование пространственно распределенных динамических систем методами вероятностного клеточного автомата Текст. /В.К. Ванаг // Успехи физических наук.- 1999.- т. 169. № 5 .-с.481 - 505.

116. Малинецкий Г.Г. Моделирование диффузионных процессов клеточными автоматами с окрестностью Марголуса / Г.Г. Малинецкий, М.Е. Степанцов //Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1998.-т.36.-с.1017- 1021.

117. Стефанов Ю.П. Численное исследование деформации и образования трещин в плоских образцах с покрытиями Текст. / Ю.П.

118. Стефанов, И.Ю. Смолин // Физическая мезомеханика. 2001.-т. 4.-№ 6.-е. 35-43.

119. Achasova S. Parallel substitution algorithm. Theoiy and application Текст. / S. Achasova, O.Bandman, V.Markova, S.Piskunov//Singapore: World Scientific.- 1994.- p. 198.

120. Bandman O. Computation properties of spatial dinamics simulation by probabilistic cellular automataTeKCT. /O.Bandman// Future Generation Computer Systems.- 2005.-Amsterdam: Elsevier- v. 21.- p. 633 643.

121. Бандман О.JI. Клеточно-автоматные модели пространственной динамики Текст./О.Л. Бандман // Системная информатика:методы и модели современного программирования.- сб. научн. труд.- Изд-во СО РАН.-Новосибирск- 2006. вып.Ю,- с. 59-113

122. Бандман О.Л. Отображение физических процессов на их клеточно-автоматные модели /О.Л. Бандман // Вестник Томского госуниверситета.- 2008.-№3,- с.21-30.

123. Бандман О.JI. Дискретное моделирование физико-химических процессов /О.Л. Бандман // Прикладная дискретная математика .- 2009.-№3.-с. 33-49.

124. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений Текст. / Под ред. Ю. Мураками .-т. 1,2 .М.: Мир 1990. —с. 1014

125. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения Текст. / Г.П. Черепанов-М.: Наука, 1974. 640 с.

126. Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series Текст. / A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, J.A. Vasano // Physica D. 1985,-v. 16.-№3-p. 285-317.

127. Dabul D. Universality of amplitude combinations in two-dimensional percolation Текст. / D. Dabul, A. Aharony, D. Stauffter // J. Phys.A -.2000-v.33.-№ 6.- p. 1123 1137.

128. Разработка приложений на Visual Basic 6.0 Текст. / M.: Русская Редакция .- 2000. 640с.

129. Принципы проектирования и разработки программного обеспечения Текст. / М.: Русская Редакция , 2000. 520 с.

130. Visual Basic 6.0. Руководство по программированию Текст. /М.: Microsoft Press, 1998.- 340с.

131. Visual Basic 6.0. Руководство по разработке компонентов Текст. /М.: Microsoft Press, 1998.- с.412

132. Алексеев, Д.В. Компьютерное моделирование физических задач в Microsoft Visual Basic Текст. /Д.В. Алексеев.- М.: СОЛОН- Пресс, 2004. 528с.

133. Петрусос, Е. Visual Basic 6.0. Руководство разработчика Текст. / Е. Петрусос.- Киев.- BHV, 2000.- с.459

134. Крейг, Дж. Visual Basic 6.0. Мастерская разработчика Текст. /Дж. Крейг, Дж. Уэбб. М.: Русская Редакция , 2000.- 618 с.

135. Мартин, Р.К. Быстрая разработка программ Текст. /Р.К. Мартин.- М С-Пб.: Вильяме, 2004.- 739с.

136. Подлазов, А.В. Самоорганизованная критичность и анализ риска Текст. / А.В. Подлазов //Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика.-2001.-т.9, №1-с.49-88.

137. Малинецкий, Г.Г. Парадигма самоорганизовапной критичности. Иерархия моделей и пределы предсказуемости Текст. /Г.Г. Малинецкий, А.В. Подлазов // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика1997.- т.5, № 5.-C.89- 106.

138. Богданофф, Д. Вероятностные модели накопления повреждений Текст. / Д. Богданофф, Ф. Козин. М.: Мир, 1989 - 344с.

139. Поляков, В.В. Акустическая эмиссия при деформации пористого железа Текст. /В.В. Поляков, А.В. Егоров, И.Н. Свистун // Письма в ЖТФ. 2001.-Т.27, ВЫП.22.-С. 14-18.

140. Берг, К. Анализ данных с помощью Microsoft Excel Текст. /К.Берг, П. Кэйри. М.:- Вильяме, 2005.- 460 с.

141. Казунина Г. А. Статистические распределения кластеров элементарных повреждений в нагруженных горных породах текст. / Г.А.Казунина, Л.В Баринова // Вестник Куз ГТУ, 2005. № 1,- с.23 -28.

142. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики накопления повреждений вероятностным клеточным автоматом текст. /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Физика твердого тела. — 2006. — т.48, вып.2 . -с. 255-261.

143. Алексеев, Д.В. Модельное исследование кинетики накопления повреждений методом нормированного размаха Херста текст. /Д.В.Алексеев, Г.А Казунина // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых . 2006. - № 4 . - с.69 — 74.

144. Казунина Г.А. Статистические характеристики импульсной электромагнитной эмиссии нагруженных горных пород (горных пород) текст. / Г.А. Казунина , A.A. Мальшин // Вестник КузГТУ.- 2006. № 4.- с.19-25.

145. Казунина Г.А. Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений под" действием периодической внешней нагрузки текст. / Г.А.Казунина // Вестник КузГТУ, 2006. № 5.- с.7 -12.

146. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики накопления элементарных повреждений в нагруженных материалах текст. /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Деформация и разрушение материалов.2009.-№4 .-с. 7- 11.

147. Алексеев, Д.В. Моделирование эволюции кластерной структуры элементарных повреждений в нагруженных материалах текст. /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Деформация и разрушение материалов. -2009.-№8.-с. 10-14.

148. Казунина, Г.А. Исследование кинетики накопления повреждений в нагруженных материалах по импульсной электомагнитной и фотонной эмиссии текст. / Г.А. Казунина, A.A. Мальшин // Известия ВУЗов. Физика. 2009. - № 6 . - с. 46 - 49.

149. Алексеев, Д.В. Эволюция ансамбля кластеров элементарных повреждений в нагруженных материалах текст. /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина // Химическая физика и мезоскопия. 2009. - т. 11,. - № 2 . -с. 191 - 195.

150. Алексеев, Д.В. Моделирование кинетики кластеров повреждений в нагруженных материалах текст. /Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина// Химическая физика и мезоскопия. 2009. — т.11. - № 3 . - с. 283 - 289.