автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Исследование и оптимизация линейной оценки прогнозирования при случайных импульсных искажениях в данных

На правах рукописи

Шкулев Александр Анатольевич

ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ ОЦЕНКИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ИСКАЖЕНИЯХ В ДАННЫХ

05.13.17 - "Теоретические основы информатики"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Н. Новгород - 2004

Работа выполнена на кафедрах: "Математика и информатика"

Нижегородского государственного лингвистического университета (НГЛУ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор В.В. Савченко

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор В.А. Утробин кандидат физико-математических наук, доцент Д.Т. Чекмарев

Ведущая организация:

НОУ Нижегородский институт экономического развития (НИЭР)

Защита состоится "__"_2004 г. в_часов на

заседании диссертационного совета Д212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу: 603600, г. Н. Новгород, ГСП-41, ул. Минина, 24, НГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке НГТУ.

Автореферат разослан "_"_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук__А.П. Иванов

I

Подписано в печать 05 05.04. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная Печать офсетная. Уч.-изд л. 1,0. Тираж 100 экз Заказ 300

Нижегородский государственный технический университет Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул Минина. 24.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Обработка информации на фоне помех на протяжении многих лет является одной из актуальных задач теоретической информатики. Зачастую не удается добиться достаточного качества обработки временного ряда ввиду возможного наличия в исследуемом периоде данных большого количества непредсказуемых событий (помех), особенно в задаче экономического прогнозирования. К непредсказуемым событиям относятся такие, для предвидения которых в момент составления прогноза нет необходимых данных, или такие, природа которых неопределенна. Между тем, математическая модель может содержать либо детерминированные, либо случайные величины.

Значительный вклад в решение проблемы оптимального прогнозирования временных рядов внесли работы H.A. Колмогорова, Дж. Бокса, Г. Дженкинса, Т. Андерсона, Е М. Четыркина, Ю.П. Лукашина, Б.Б. Розина, В.В. Савченко, А.Т. Надеева, В.Б. Головченко, и других российских и зарубежных ученых.

В последнее время очень часто обработка информации ведется с использованием авторегрессионной модели наблюдений и процедур декорреляции (обеления) выборочных данных с использованием обеляющих фильтров (ОФ), в том числе выполненных в адаптивном варианте. Во многих случаях они имеют явные преимущества по сравнению с другими методами статистической обработки данных.

Однако их эффективность значительно снижается в случае наличия в обозримой ретроспективе одного или нескольких отсчетов, подверженных действию импульсных помех (ИП), т.к. большинство методов нацелено на обработку конечной стационарной последовательности данных. Во-первых, сама ретроспектива многих процессов принципиально ограничена во времени. И, во-вторых, дополнительным жестким ограничением на максимальный объем используемых наблюдений является нестационарный характер многих процессов, что особенно характерно в экономике. В данном случае воздействие импульсных помех сильно усугубляет проблему недостаточности выборочных данных.

Наличие проблемы пораженных и недостоверных данных в выборке при отсутствии достаточно эффективных, а тем более универсальных методов их восстановления и обуславливает, в конечном итоге, актуальность данной работы.

Целью данной работы являются исследование влияния импульсных помех на качество линейной оценки прогнозирования (ЛОП), а также разработка метода ее защиты от интенсивного потока импульсных помех.

В процессе достижения поставленной цели в диссертационной работе были рассмотрены следующие задачи:

1. Вывод и обоснование критерия качества линейной оценки прогнозирования на основе иифпрчаунпняп^ меупики Кульбака-Лейблера; | ''^ НАЦИОНАЛЫ!АЯ J

2. Анализ влияния случайных импульсных искажений на качество обработки информации при решении задач различного рода с использованием критерия минимума информационного рассогласования (МИР);

3. Разработка цифрового алгоритма восстановления данных, подверженных воздействиям импульсных помех;

4. Разработка цифрового алгоритма обнаружения импульсных помех и исследование его эффективности;

5. Анализ эффективности ЛОП с защитой от импульсных помех в задаче прогнозирования социально-экономических процессов.

6. Анализ эффективности разработанного алгоритма в задачах подавления комбинированных помех в радиотехнических системах и распознавания речевых сигналов методом обеляющего фильтра.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей и математической статистики, теории информации, а также методы математического моделирования в лабораторных и натурных условиях с применением разработанной компьютерной программы на ЭВМ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Качество линейной оценки прогнозирования в случае воздействия помех может быть описано с помощью критерия минимума информационного рассогласования;

2. Наличие импульсных искажений негативно влияет на качество обработки информации;

3. Разработанный алгоритм восстановления пораженных данных позволяет практически полностью устранить влияние импульсных помех. Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих

полученных результатах:

1. Разработан критерий минимума информационного рассогласования для оценки динамических свойств линейной оценки прогнозирования;

2. Исследована проблема наличия импульсных помех в выборке и подтверждена ее актуальность;

3. Разработан цифровой алгоритм восстановления данных, подверженных воздействиям импульсных помех;

4. Исследовано влияние основных параметров импульсных помех на качество обработки информации;

5. Проведен анализ эффективности разработанного алгоритма с использованием предложенного критерия минимума информационного рассогласования;

6. Обосновано преимущество разработанного алгоритма по сравнению с традиционными алгоритмами борьбы с импульсными помехами.

Практическая ценность работы состоит в разработке и исследовании новыхг алгоритмов 'защиты от импульсных помех, а также реализации программного" пакету автоматишрованной системы обработки данных и

прогнозирования «Invest-ХР», предназначенного для решения широкого круга практических задач. Практическая ценность диссертационной работы подтверждается актами об использовании ее результатов в учебном процессе Нижегородского государственного лингвистического университета и Нижегородского государственного технического университета.

Основные результаты диссертационной работы апробированы в докладах на научных конференциях:

- II Всероссийской НТК "Методы и средства измерений физических величин" (Н. Новгород, НГТУ, 1997);

- Всероссийской НТК посвященной 80-летию нижегородской радиолаборатории (Н. Новгород, НГТУ, 1998);

- Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их применение к математической экономике "ОПУ-2000" (Тамбов, ТГУ, 2000);

- V Всероссийской НТК "Методы и средства измерений физических величин" (Н. Новгород, НГТУ, 2000);

- V Всероссийской НТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н. Новгород, НГТУ, 2002).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 4 статьи, из них 2 в журнале СО РАН «Автометрия». Кроме того, при участии автора было подготовлено и опубликовано учебное пособие.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, разработка алгоритмов и программного обеспечения, проведение экспериментальных исследований с использованием математических моделей и реальных процессов. Савченко В.В., как научному руководителю, принадлежат постановка задачи обнаружения и восстановления данных, а также формулировка общего подхода к ее решению.

Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 103 наименования, и занимает 134 машинописные страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы. Аннотировано по главам излагается содержание диссертации.

В первой главе сделан обзор основных подходов и методов решения задачи прогнозирования.

В § 1.1 вводится понятие модели авторегрессии, которая записывается следующим образом:

х(п) = a,jc(« -1 ) + а2х(п - 2) + ... + амх(п - M) + rj(n) (1)

Здесь ,..., ам - вектор коэффициентов авгорегрессии заданного порядка М<со, 7](п) - порождающий белый шум с нулевым математическим ожиданием М[т7(и)] = 0 и постоянной дисперсией огп = const.

В случае использования авторегрессионной модели наблюдений будем иметь следующую линейную зависимость оценки прогнозирования:

х(п) = а,х(п-1) + ... + амх(п-М) (2)

Дисперсия ошибки прогнозирования м[(х(и) - х(п))2 ] = огп - const равна в рассматриваемом случае дисперсии порождающего шума.

Оптимальный прогноз по формуле (2) получается при использовании в

данном выражении оптимального вектора параметров а — {я,, / = 1 ,Л/|:

& opt = К мхм ^м . (3)

Здесь ки = М[х(я)хд, ] - Л/-вектор (столбец) коэффициентов автокорреляции, KUxM = ~ автокорреляционная Л/х М-матрица анализируемого

процесса. хм = col(x(n — 1),дг(и — 2),...,х(и —

АО) - вектор-столбец

последовательности отсчетов временного ряда.

При отсутствии достоверных сведений относительно корреляционных свойств процесса в выражение (3) вместо неизвестных коэффициентов корреляции подставляются их статистические оценки, формируемые по выборке {*(«)} одним из известных методов.

В зависимости от используемого метода получают в конечном итоге различные модификации адаптивной оценки прогнозирования (2). При этом с точки зрения практических потребностей предпочтение отдается новым методам с высокими динамическими свойствами, основанным на эффекте выбеливания или декорреляции случайного временного ряда. Типичным представителем данного класса методов является известный метод максимальной энтропии (метод Берга), впервые разработанный в задаче спектрального оценивания. Его центральным звеном служит адаптивный линейный декоррелятор решетчатой структуры.

Для анализа динамических свойств декоррелятора решетчатой структуры в § 1.2 вводится критерий МИР, основанный на использовании универсальной метрики Кульбака-Лейблера:

In

W

(4)

Суть информационного критерия заключается в том, что он характеризует степень различия функций плотности вероятности двух процессов. Нулевое значение информационного рассогласования означает полную идентичность многомерных функций распределения. Это означает, что одно из распределений содержит полную информацию относительно другого распределения случайного процесса. Иногда величину информационного

рассогласования называют величиной взаимной энтропии двух рассматриваемых распределений.

В качестве критерия оптимальности линейной оценки прогнозирования используется величина информационного рассогласования, которая в случае анализа авторегрессионных процессов записывается следующим образом

у(М,Щ = \па2(М,М) + а\(М,М) -шип ^

Здесь ег*(М,Л0, <у\(М,Я) - зависимости дисперсий порождающего шума и

ошибки прогнозирования от двух исходных параметров адаптивной оценки: порядка модели М и объема анализируемой (обучающей) выборки N. Чем меньше величина у(М^), тем лучше модель (1) согласована с исходным временным рядом и тем точнее в конечном итоге оценка (2). Для практического применения критерия МИР необходимо раскрытие зависимостей о\(М,№) в явном виде. Однако сделать это через набор априори заданных параметров не удается ввиду проблемы априорной неопределенности. Поэтому в (5) мы вынуждены заменять неизвестные значения дисперсий порождающего шума и ошибки прогнозирования их текущими выборочными оценками.

По-видимому, наилучший результат дают оценки максимального правдоподобия по формуле средней квадратичной величины:

^^ £(*(')-*(>))2 (б) " т 1=М* 1

1 ЛЧ*

-г £(*(*)-т? (?)

* 1=ЛГ+1

Здесь ширина окна усреднения или объем «тестовой» выборки. Таким образом, в качестве оценки дисперсии порождающего шума выступает дисперсия нескомпенсированного остатка модели, вычисляемая по «обучающей» части выборки - по которой собственно и происходит настройка АР-параметров. Оценка <г\ производится по «тестовой» части выборки, которая исключена из процедуры настройки модели.

В § 1.3 приведены результаты экспериментального исследования предлагаемого критерия оптимальности линейной оценки прогнозирования, а также результаты сравнения критерия МИР и критерия минимума дисперсии ошибки прогнозирования. Показано, что в асимптотике, т.е. при бесконечном объеме однородной выборки эти критерии являются эквивалентными. На основании полученных результатов сделаны следующие выводы: 1. Полученное аналитическое выражение для кривой адаптации в информационной метрике Кульбака-Лейблера характеризует скорость сходимости линейной оценки прогнозирования. При больших объемах наблюдений кривая адаптации в теоретико-информационном смысле сводится

к общеизвестному критерию среднего квадрата ошибки прогнозирования. Сделанные выводы подтверждены результатами математического моделирования.

2. Основываясь на кривой адаптации можно исследовать динамические свойства каждой конкретной оценки прогнозирования в зависимости от применяемого метода адаптации и от ее параметров: порядка М и объема выборки N. Проблема состоит лишь в способе раскрытия зависимостей ст*(М,Ы) и сГу (М, /V). В тех случаях, если эти зависимости не раскрываются в явном виде, можно использовать их статистические оценки по конечным реализациям ошибки прогнозирования внутри и вне интервала адаптации: хм(п) и г(п) соответственно.

Во второй главе ставится и решается задача автоматического восстановления данных, искаженных воздействием импульсных помех. В § 2.1 экспериментальным путем обосновывается актуальность проблемы наличия помех. Это подтверждается приведенными результатами математического моделирования на довольно общем примере прогнозирования временного ряда типа «авторегрессия» при действии потока случайных импульсных помех. При этом рассматриваемый поток формировался путем взятия отсчетов в некоторые случайные моменты времени с выхода генератора гауссовского «белого»'шума

с дисперсиеи сгип , согласованной по величине с дисперсиеи анализируемого

2

АР-процесса &вх в отсутствие помех.

В результате были получены графики зависимости величины информационного рассогласования от объема обучающей выборки N (рис.1), представляющие собой кривые обучения линейной оценки прогнозирования при различных параметрах импульсных помех (мощности стгип и интенсивности по частоте повторения Г) (кривая 2 - /=0.1, <У2ИП = 0.1 <т2„, кривая 3 - 7=0.002,

сгип~ 0.5 о"„). Очевидно, что даже при низкой интенсивности помех и их дисперсии, много меньшей дисперсии входного процесса, мы имеем значительное отклонение от кривой, полученной в отсутствие помех (кривая 1), причем в худшую сторону. Особенно сильное влияние на качество линейной оценки прогнозирования помехи оказывают при малых объемах выборки.

Импульсные искажения отсчетов кардинальным образом меняют динамику прогноза даже в случае однократного своего воздействия (рис.2). Несомненно, полученная оценка прогнозирования (кривая 2) в указанном случае является непригодной для дальнейшего использования, т.к. недостаточно точно описывает динамику анализируемого процесса (пунктирная линия на рис.2) по сравнению с прогнозом, полученным в отсутствие ИП (кривая 1). Природа негативного воздействия ИП на ЛОП связана с использованием обеляющего фильтра в качестве основного звена обработки информации.

Так как класс авторегрессионных процессов является достаточно широким для того, чтобы охватить множество реально существующих процессов, то, несомненно, импульсные помехи будут уменьшать качество обработки сигнала даже при единичном своем воздействии. Это, в конечном итоге, может привести к негодности получаемых оценок к использованию. Чтобы уменьшить это влияние, необходим механизм устранения помех, который позволит восстановить всю имеющуюся последовательность выборочных данных.

В § 2.2 синтезируется алгоритм восстановления данных, подверженных влиянию ИП. Если один или несколько отсчетов в ретроспективе нам достоверно неизвестны, например, поражены импульсными помехами, то мы не можем однозначно вычислить линейную оценку прогнозирования. В указанном случае выражение (2) при учете (1) преобразуется к виду

х(п) = ахх(п -1) + а2х(п - 2)+... + а,х(п-¡) + ... + амх(п-М), (8)

где *(«-/) обозначает условное математическое ожидание для пораженного помехой отсчета. В случае неизвестного закона распределения раскрыть в явном виде формулу (8) обычно не удается. В этом и состоит основная суть рассматриваемой проблемы.

Предположим, что интенсивность действующей помехи по частоте ее повторения столь невелика, что в обозримой ретроспективе мы наблюдаем только один пораженный ею отсчет. При этом его номер (п-г) нам заранее известен, т.е. помеха своевременно была обнаружена одним из известных методов.

Перепишем для этого случая нашу АР-модель (1) для предыдущего момента времени <=л-1:

х(п -1) = ахх(п - 2) + агх(п - 3) +... + а,х(п -/) + ... + амх{п - М -1) + 77(71 -1). Решая это уравнение, будем иметь

х(п - о =

м

4-1-

(9)

Выражение (9) определяет в окончательном виде искомую оптимальную (приближенно) оценку линейного прогнозирования для случая действия одиночных помех.

Распространив полученный результат (9) по индукции на случаи действия в ретроспективе двух, трех и более импульсных помех в моменты времени Г=и-I/, п-12,...,п-1р, приходим к системе линейных уравнений в матричном виде

А(11,...,1р)х = Ь(1....../,), (10)

где матрица А(рХр) и вектор-столбец Ь(рХ 1) зависят от моментов действия импульсных помех и-//, п-12,...,п-1р. Например, при //=и-3, (р=2) и М=5

получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных:

{х(п -1) = ахх{п - 2) + агх(п - 3) + а3х(п - 4) + а4х(п - 5) + я5д:(и - 6), х{п - 2) = о,х(и - 3) + а2х(п - 4) + а,х(п - 5) + й4дг(« - 6) + аьх(п - 7).

Таким образом, для восстановления пораженных отсчетов по вышеописанному методу будем использовать следующий алгоритм:

1. На каждом шаге работы системы прогнозирования запоминаем текущий вектор АР-параметров аи....аи,

При обнаружении импульсной помехи в момент времени г=/ фиксируем набор АР-параметров, полученный на предыдущем шаге работы системы (в момент времени ¿=(г'-1)).

В следующий момент времени *=(1+1) восстанавливаем пораженный отсчет, используя зафиксированный в момент времени Л=(г-1) набор АР-параметров по формуле:

м

*(« +1) ~ £ о*,и,-!)*(' - к +1)

2.

3.

х(/) =

к~2

¡ау

В указанном случае мы неизбежно сталкиваемся со следующей проблемой: оцененный набор АР-параметров {а,} при малых объемах выборок зависит от момента их настройки, то есть {а,} = /(0. При небольшом объеме обучающей выборки величины АР-коэффициентов могут изменяться. Это особенно характерно для слабокоррелированных процессов. При этом задача восстановления дополнительно усложняется из-за необходимости повторного восстановления (уточнения) значения пораженного отсчета в моменты времени

В этом случае для восстановления пораженного отсчета х(/) будем подставлять его оценку прогноза, полученную в момент времени (г-1) по формуле:

и

*(') = £ я* (11)

ы

Идея восстановления пораженного отсчета заключается в его замене значением прогноза, полученном на предыдущем шаге работы системы прогнозирования. Этот подход позволяет получить восстановленную выборку уже в момент времени действия помехи, а не с задержкой в один или несколько последующих отсчетов, при этом повышая быстродействие всей системы при хорошем качестве восстановления.

Выводы теоретических исследований получили подтверждение по результатам ряда проведенных экспериментов в § 2.3 над анализируемым АР-процессом 10-го порядка. Показано, что благодаря использованию предлагаемого метода восстановления, нам удается значительно улучшить скоростные характеристики адаптивной оценки прогнозирования при любых параметрах помех и объеме выборки (кривые 2' и 3' на рис.1, соответствующие параметрам помех для кривых 2 и 3). Получаемые в этом случае прогнозы (кривая 3 на рис.2) значительно улучшаются в смысле описания динамики анализируемого процесса в будущем. При этом применение упрощенной формулы (11) вместо формулы (9) не приводит к значительным ухудшениям динамических свойств ЛОП.

По результатам исследований сделаны следующие выводы:

1. Воздействие случайной последовательности импульсных помех в существенной степени ухудшает качество линейной оценки прогнозирования, а также ее динамические свойства. При этом эффективность применения методов с высокими динамическими характеристиками практически сводится к нулю. Особенно сильно влияние помех при небольших объемах выборки, используемой в процессе настройки адаптивного фильтра, что значительно усугубляет и без того остро стоящую проблему малых выборок.

2. Синтезированный алгоритм восстановления искаженных выборочных данных позволяет практически полностью устранить негативное влияние действия импульсных помех на качество обработки сигнала, в частности, прогнозирования случайных процессов. При этом удается значительно снизить информационное рассогласование используемой модели и исследуемой выборки данных, что доказано путем математического моделирования с использованием в качестве входного сигнала процесса типа «авторегрессия». Причем достигаемый эффект - улучшение точности прогнозирования в условиях действия ИП. Этот эффект возрастает при увеличении интенсивности помех по частоте повторения /, а также их мощности <Тгип.

Третья глава посвящена задаче обнаружения импульсных помех. В § 3.1 ставится задача обнаружения ИП, которая формулируется в следующем виде: найти конструктивную оценку индикаторной функции импульсной помехи

|0, Я,. |0,Л(Х)5Л,.'

где Х(Х) - функционал, определяющий решающую статистику обнаружителя, ко - некоторый пороговый уровень. Решение принимается в пользу гипотезы #о (помеха присутствует) при Х(Х)>Хо и в пользу гипотезы Нх (помеха

•Чи лп' 02)

отсутствует) при Следовательно, для решения задачи обнаружения ИП

необходимо определить выражение для решающей статистики и найти оптимальное значение порогового уровня. В § 3.2 выводится выражение для решающей статистики обнаружения помех в случае использования АР-модели наблюдений и обеляющего фильтра в качестве обнаружителя помех. Оно имеет вид

а] = *){М,И) ^ агч аг„{М,К)

При использовании вместо неизвестной дисперсии ошибки прогнозирования ст](М,К) ее оценки вне интервала адаптации, а также при расчете дисперсии порождающего шума сг*(М,К) как оценки дисперсии ошибки прогнозирования внутри интервала настройки адаптивного фильтра, будем иметь решающую статистику в виде

(х(п)-х (п))2

где х(п). линейная оценка прогноза и-го отсчета, полученная в момент времени (=п-1. Процедура оптимизации порога обнаружения Хо описана в § 3.3 и состоит в выборе его необходимого значения для обеспечения требуемых вероятностей ошибок первого и второго рода.

Проведенные эксперименты, результаты которых приведены в § 3.3, доказывают высокую эффективность работы алгоритма обнаружения помех в составе системы восстановления пораженных данных по сравнению с другими методами обнаружения помех. При этом его надежность возрастает с увеличением мощности помех, а также при снижении их интенсивности.

По результатам теоретических и экспериментальных исследований сделаны следующие выводы:

1. Обеляющий фильтр можно эффективно использовать для обнаружения импульсных искажений в данных в случае анализа процессов типа «авторегрессия». При этом решение об отсутствии или присутствии помехи принимается на основе критерия минимума отношения дисперсии ошибки прогнозирования и дисперсии порождающего шума.

2. Эффективность обнаружения и восстановления при увеличении интенсивности импульсных помех по частоте своего повторения снижается незначительно. Доказано, что надежность работы любого обнаружителя возрастает при увеличении мощности импульсных искажений.

В четвертой главе описана автоматизированная система защиты информации от импульсных помех и прогнозирования, описана ее структурная схема, определены ее основные блоки, дано краткое описание последовательности выполняемых процедур. Параграф 4.3 посвящен практическому примеру использования разработанной автоматизированной системы прогнозирования. Рассмотрена одна из актуальных задач из области экономического анализа и управления - задача прогнозирования динамики

12

рыночной конъюнктуры. В качестве анализируемого процесса были выбраны ежедневные котировки индекса S&P 500.

Пример прогноза на 10 шагов в будущее от момента 01.10.2002 с использованием параметров N=400, М= 40 представлен на рис. 3 (кривая 2). Для сравнения на том же рисунке кривая 1 - реальная динамика рыночных цен в период с 24.09.2002 по 15.10.2002. Видно, что прогноз без устранения обнаруженной помехи 01.10.2002 (кривая 2) не согласован с реальной динамикой (кривая 1) и качество данного прогноза явно неудовлетворительное. После восстановления отсчета, полученного 01.10.2002, нам удалось получить более качественный прогноз динамики поведения индекса на следующие 10 торговых дней (кривая 3 на рис. 3).

900 i---------------

880 ---------л---------j-------}

860-------ктт---------/

840- — --— ^

820 - ^----Г4!^1 -X -'

800 ----------ч--

\ /

780 -------------А-----

760 --------------------

740 ---------------

jy & & # & & & J' & & & &

УУУУёwww//

Рис.З

Эффективность разработанного алгоритма была также исследована в задаче подавления комбинированных помех в § 4.4. При этом проводились измерения коэффициента подавления пассивной помехи

_ 2

„ (У П ,ю

без использования системы восстановления и при ее задействовании. Здесь <т2я,ю, (Т2п,вых - мощность пассивной помехи на входе и выходе системы подавления помех. В качестве компенсатора помех использовался ОФ 10-го порядка, а комбинированная помеха моделировалась как аддитивная смесь АР-процесса также 10-го порядка и случайной последовательности ИП. Результаты, полученные для различных соотношений дисперсии импульсных 2

помех <Уи и дисперсии коррелированной составляющей комбинированной 2

помехи показаны на рис. 4. Здесь пунктирной линией показаны результаты,

~Т"

2 У

/ 3 i

/ Л 1 — 1 I S 1—1 ,__-1 • / —

— ч X \ /

полученные с устранением потока ИП, а сплошной линией - без его устранения. После восстановления пораженных данных удается резко повысить эффективность подавления пассивных помех, т.е. добиться высоких значений коэффициента подавления помехи.

Рис.4 Рис.5

В § 4.5 исследовалась эффективность предлагаемого метода в задаче распознавания речевых сигналов, подверженных действию помех. В качестве речевого сигнала использовалось слово «один». Для обнаружения и восстановления пораженных отсчетов использовалась АР-модель 10-го порядка. Для моделирования импульсных помех использовались отсчеты «белого» гауссовского шума с дисперсией равной дисперсии исходного речевого сигнала. На графике (рис.5) изображены оценки вероятности

Кправ.

распознавания слова «один» ^ = ——— (Кправ - количество верных

Кобщ.

распознаваний слов из серии испытаний, Ко6щ - общее количество испытаний) при использовании для распознавания метода ОФ и корреляционного метода. На рисунке сплошной линией показаны результаты, полученные без устранения потока ИП перед распознаванием, а пунктирной линией - с задействованием системы восстановления.

По результатам, описанным в главе, сделан ряд важных выводов:

1. Приведенные в главе примеры практического использования процедуры оптимизации линейной оценки прогнозирования при наличии импульсных искажений в выборочных данных позволяют говорить о высокой степени актуальности поставленной в работе задачи оптимизации прогноза, особенно при существенных ограничения на объем используемых данных. В целом ряде случаев это приводит к серьезному повышению эффективности прогнозирования динамики социально-экономических процессов.

2. Предлагаемый метод восстановления выборочных данных может быть успешно применен в широком круге таких практических задач, как

распознавание речевых сигналов и подавления комбинированных помех в системах селекции движущихся целей. При этом единственной настройкой системы под любую конкретную задачу является подбор порогового уровня обнаружителя импульсных помех. Предельная интенсивность потока помех, при которой обеспечивается приемлемая эффективность обработки информации, составляет /=0.015-0.02.

Сфера применения полученных результатов довольно обширна. К числу наиболее перспективных задач в данном направлении наряду с рассмотренными следует отнести те, в которых любое воздействие импульсных помех приводит к существенному снижению качества обработки информации. При этом рекомендуется использовать предлагаемую систему защиты от воздействия помех на любом этапе обработки, особенно на этапе подготовки (корректировки) данных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Исследовано влияние импульсных помех на качество линейной оценки прогнозирования. При этом применялся информационный критерий качества. Показано, что по сравнению с известным критерием минимума дисперсии ошибки прогнозирования информационный показатель более точно отражает влияние потока импульсных помех;

2. Предложен алгоритм защиты линейной оценки прогнозирования от импульсных помех. Его основу составляет идея восстановления пораженных отсчетов. Благодаря его применению достигается высокое качество линейной оценки прогнозирования даже при интенсивных потоках импульсных помех;

3. Получено аналитическое выражение для решающей статистики для принятия решения о присутствии или отсутствии импульсных помех в данных в случае анализа процессов типа «авторегрессия»;

4. Рассмотрена роль и применение линейной оценки прогнозирования в задачах обработки информации на фоне помех. Показано, что формирование линейной оценки прогнозирования является частью системы оптимальной обработки информации. Благодаря проведенным в диссертации исследованиям существенно расширяются границы области применения адаптивных линейных обеляющих фильтров при действии интенсивных импульсных помех;

5. Создан программный пакет автоматизированной системы обработки информации и прогнозирования на основе предложенного алгоритма защиты от помех.

ПУБЛИКАЦИИ m 2 О К ^

1. Акатьев Д.Ю., Грушин В.А., Шкулев A.A. Модел! 2006-4

случайного процесса в частотной области // Методы и с - . физических величин: тез. докл. II всерос. НТК. - Н.Новг 446 -С. 80.

2. Савченко В.В., Акатьев Д.Ю., Шкулев A.A., Бочаров п.». мсиисдоки.»* эффективности прогнозирования социально-экономических процессов на основе адаптивных методов спектрального анализа // Научно-техническая конференция факультета ФИСТ: тез. докл. всерос. НТК поев. 80-летию нижегородской радиолаборатории. - Н.Новгород.: НГТУ, 1998, - С.12.

3. Программное обеспечение биржевой игры на основе данных краткосрочного прогнозирования: Учебное пособие / В.В. Савченко, Д.Ю. Акатьев, A.B. Баринов, A.A. Шкулев. Под общей редакцией В.В. Савченко. - Н.Новгород: Нижегородский госуд. лингв, университет, 1999. - 87 с.

4. Савченко В.В., Шкулев A.A., Баринов A.B. Исследование динамических характеристик адаптивной оценки прогнозирования // Электронный журнал "Исследовано в России", 105, - С. 1393-1400, 2000. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2000/105.pdf

5. Савченко В.В., Баринов A.B., Шкулев A.A. Исследование динамических свойств адаптивной оценки прогнозирования // Методы и средства измерений физических величин: тез. докл. V всерос. НТК. - Н.Новгород.: НГТУ, 2000.-С. 32.

6. Савченко В.В., Баринов A.B., Шкулев A.A. Линейная оценка прогнозирования на основе метода обеляющего фильтра // Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике "ОПУ-2000": тез. докл. всерос. конференции. - Тамбов.: ТГУ, 2000, - С. 483-484.

7. Савченко В.В., Шкулев A.A. Повышение эффективности прогнозирования случайных временных рядов с пораженными отсчетами // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: тез. докл. V всерос. НТК. - Н.Новгород.: НГТУ, 2002. - С. 6-7.

8. Савченко В.В., Шкулев A.A. Адаптивная оценка прогнозирования на основе авторегрессионной модели наблюдений // Автометрия, 2002, №2. -С. 35-42.

9. Савченко В.В., Шкулев A.A. Линейная оценка прогнозирования случайного временного ряда при наличии выбросов // Автометрия, 2002, №6. - С. 6874.

10. Шкулев A.A. Исследование влияния импульсных помех на точность краткосрочного прогнозирования // Сборник научных трудов аспирантов НГЛУ. Выпуск IV, ч. II. - Н.Новгород: НГЛУ им. Н.А.Добролюбова, 2003. -С. 120-127.

Введение.

1. Линейная оценка прогнозирования и ее динамические свойства

1.1. Задача линейного прогнозирования. Синтез адаптивного алгоритма.

1.2. Анализ динамических свойств. Теоретико-информационный подход.

1.3. Результаты математического моделирования.

Выводы.

2. Проблема случайных импульсных искажений в данных

2.1. О влиянии случайных импульсных искажений на точность и динамические свойства линейной оценки прогнозирования.

2.2. Синтез оптимального алгоритма.

2.3. Результаты математического моделирования.

Выводы.

3. Обнаружение случайных импульсных искажений.

3.1. Задача обнаружения разладки случайного временного ряда.

3.2. Синтез алгоритма.

3.3. Оптимизация порога обнаружения.

3.4. Результаты математического моделирования.

Выводы.

4. Разработка автоматизированной системы прогнозирования и примеры ее практического применения

4.1. Разработка программного обеспечения.

4.2. Разработка автоматизированной системы прогнозирования.

4.3. Задача прогнозирования динамики рыночной конъюнктуры.

4.4. Задача селекции движущихся радиолокационных целей на фоне комбинированной помехи.

4.5. Задача распознавания речевых сигналов при действии импульсных помех.

4.6. Выводы.

Временной ряд - это расположение во времени статистического показателя, отражающего ход развития изучаемого процесса. Временные ряды исследуются с различными целями. Из них можно выделить две основные цели:

- определение природы ряда;

- прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям).

Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, можно с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные (например, использовать в теории для понимания сезонного изменения цен при анализе социально-экономических процессов). Не обращая внимания на глубину понимания и справедливость теории, можно экстраполировать затем ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.

Исходный временной может представляться суммой случайных и детерминированных компонент, или являться коррелированным случайным процессом. Детерминированная (строго определенная) компонента может состоять из циклических компонент и так называемого тренда. Ярким примером циклической компоненты может служить сезонность - зависимость от времени года. Встречаются также циклы другой длительности, обусловленные появлением новых, а значит исчезновением старых товаров, технологий и научных методов. Тренд есть общее направление развития процесса в рассматриваемом периоде времени и чаще всего это результат постоянного воздействия какого-либо важного фактора. Однако тренд может быть всего лишь частью некоторого цикла с периодом большим, чем рассматриваемый временной отрезок.

Случайная составляющая временного ряда возникает в результате воздействия на исследуемый процесс огромного количества благоприятных и неблагоприятных для данного процесса факторов с различными последствиями, сроками действия. Применительно к экономическим процессам, например, к курсовой стоимости акций, можно сказать, что рынок формируется множеством покупателей и продавцов, каждый из которых преследует свои цели, - это может быть и спекулятивная игра, и скупка контрольных пакетов акций, и просто вложение временно свободных средств в надежде на прибыль. Вдобавок, рынок весьма неоднозначно реагирует на разного рода заявления политиков, экономистов, различного рода скандалы и слухи.

Однако не всегда удается добиться достаточного качества обработки временного ряда ввиду возможного наличия в исследуемом периоде данных большого количества непредсказуемых событий (помех), особенно в задаче экономического прогнозирования. К непредсказуемым событиям относятся такие, для предвидения которых в момент составления прогноза нет необходимых данных, или такие, природа которых неопределенна. Таким образом, кроме детерминированных и случайных величин бывают ещё и неопределенные [39]. Между тем, математическая модель может содержать либо детерминированные, либо случайные величины.

Непредсказуемые события могут быть двух видов: приводящие к долговременным изменениям статистических характеристик ряда (ступенчатое изменение) (рис. В. 1.6) и кратковременные случайные импульсные отклонения (импульсные помехи) (рис.ВЛ.а). В первом случае нарушается стационарность случайного процесса и осуществляется скачкообразный переход от одних статистических закономерностей к другим. При этом вся предшествующая выборка оказывается непригодной для последующего использования. Воздействие единичной импульсной помехи (ИП) не приводит к глобальным изменениям статистических характеристик случайного процесса. Однако выборка в данном случае оказывается также непригодной для получения каких-либо приемлемых статистических оценок. В указанном случае могут быть предложены несколько вариантов решения этой проблемы: а)

Рис. B.l - Возможные состояния временного ряда до и после воздействия непредсказуемых событий (случайное импульсное отклонение (а) и ступенчатое изменение (б)).

- отказ от использования выборки до момента воздействия импульсной помехи включительно. В этом случае проблема малых выборок обостряется в значительной степени, т.к. имеющегося объема наблюдений для настройки любой модели может оказаться недостаточно;

- устранение пораженного отсчета из выборки. В этом случае возможно нарушение сезонных циклических составляющих случайного процесса;

- устранение влияния пораженного отсчета путем его восстановления.

Последний вариант является наиболее предпочтительным, т.к. позволяет сохранить целостность выборочных данных.

Кроме рассмотренных социально-экономических процессов, эти проблемы возникают и при анализе процессов в радиосистемах. Обработка информации на фоне помех на протяжении многих лет является одной из актуальных задач радиотехники. Например, решение задачи защиты от стационарных коррелированных помех может осуществляться с использованием процедур декорреляции (обеления) выборочных данных [44] с использованием устройств автокомпенсации [90]. Т.к. в большинстве случаев вероятностные характеристики случайных процессов и помех неизвестны, или они изменяются во времени, то целесообразно использовать адаптивные алгоритмы декорреляции. Во многих случаях они имеют явные преимущества по сравнению с другими методами статистической обработки данных.

В общем виде структура обеляющего фильтра показана на рис. В.2.а. Ключевым звеном обеляющего фильтра является фильтр линейного предсказания (ФЛП). Его решетчатая реализация показана на рис. В.2.6. При анализе блок-схемы решетчатого ФЛП становится очевидной природа негативного влияния импульсных помех на качество обработки входной последовательности х(п). При прохождении импульсной помехи через ФЛП, она воздействует на него, как минимум, в промежуток времени At=M, где М— количество звеньев в фильтре. В этом случае не происходит полного а) б)

Рис. В.2. - Структурная схема обеляющего фильтра (а) и решетчатая реализация фильтра линейного предсказания (б). обеления» случайного процесса х(п), и, следовательно, снижается эффективность подавления комбинированной помехи.

Проблема импульсных помех также актуальна при решении широкого рода задач, а не только задачи прогнозирования временных рядов. Одной из них является задача подавления активных и пассивных помех в системах селекции движущихся целей в PJIC [90]. Любая РЛС подвержена воздействию пассивных помех, представляющих собой отражения от подстилающей поверхности, гидрометеоров (облака, дождь, туман и т.д.) и сосредоточенных местных предметов, как правило, искусственного происхождения (инженерные сооружения, здания, трубы заводов и т.д.). Пассивные помехи в общем случае нестационарны во времени и неоднородны в пространстве, их мощность может намного превышать мощность полезного сигнала.

Также проблема импульсных помех стоит очень остро и в задаче распознавания речевых сигналов. Импульсные искажения здесь возникают в основном в аналоговых и цифровых системах передачи речи и могут иметь различную природу: ненадежная работа системы питания, помехи от системы зажигания в автомобиле и т.п. В этом случае также необходима защита от импульсных помех для обеспечения надежности работы подобных систем.

Однако существует ряд методов, направленных на устранение импульсных помех. Вопросам построения систем, устойчивых к воздействию импульсной помехи, посвящено большое число работ [48, 79 и др.]. Многочисленные алгоритмы можно разделить на три группы [51]. К первой принадлежат способы борьбы, основанные на ограничении сигналов (схемы типа ШОУ, ШОС) или схемы с ключевыми АРУ. Однако, они применимы только к некоторым типам сигналов, приводят к их искажению, существенно уменьшают отношение сигнал/шум.

Ко второй группе принадлежат алгоритмы, основанные на непараметрических методах статистики [48], устойчивые к действию помех. Однако они требуют некоторой обучающей выборки из ансамбля помех, относительно которой формируется решающая статистика. Причем элементы выборки из ансамбля помех должны быть независимыми. Применение таких методов к типичной задаче обнаружения сигнала с неизвестным временным положением на интервале, содержащем много элементов разрешения по задержке на фоне коррелированных шумов, вызывает большие затруднения.

К третьей группе принадлежат адаптивно-компенсационные алгоритмы. Они весьма сложны и работоспособны при очень большом отношении помеха/сигнал, из-за чего резко уменьшаются границы их применения.

Также существует ряд алгоритмов сглаживания импульсных помех. Сглаживание импульсного шума, очевидно, требует обнаружения искаженных элементов сигнала и последующего оценивания их значений по значениям неискаженных элементов. Вообще говоря, алгоритмы сглаживания таких помех должны быть двухпроходовыми с разметкой искаженных элементов на первом проходе и оценкой их сглаженных значений на втором проходе. Но для упрощения можно сделать алгоритм однопроходовым, совместив операции обнаружения и оценивания в одном проходе.

Разметка элементов изображения на искаженные шумом и не искаженные (обнаружение выбросов шума) может быть выполнена на основании проверки гипотезы о принадлежности центрального элемента некоторой локальной окрестности той же выборке, что и заданное большинство остальных элементов окрестности, или выпадения ее из этой выборки. Для решения этой задачи обычно используются алгоритмы, основанные на ранговых статистиках [6]. После этапа обнаружения элементы изображения, отмеченные как выбросы импульсного шума, заменяются их оценкой. В качестве оценки здесь обычно используются значения, полученные тем или иным сглаживанием по окрестности этих элементов, причем из этой окрестности исключаются элементы, отмеченные при обнаружении выбросов шума.

Характерными при сглаживании импульсных помех являются ошибки ложного обнаружения, которые приводят к нежелательному сглаживанию деталей изображения, и ошибки пропуска, из-за которых на изображении могут остаться несглаженные выбросы помех. Это обуславливается применением и низкоэффективных методов обнаружения помех и недостаточно точным их восстановлением, не учитывающим корреляционные свойства случайного процесса. Также надежность этих методов снижается также из-за возможного наличия в окрестности не одного, а нескольких выбросов помех.

Наличие проблемы пораженных и недостоверных данных в выборке при отсутствии эффективных, а тем более универсальных методов их восстановления и обуславливает, в конечном итоге, актуальность данной работы.

Целью работы являются исследование влияния импульсных помех на качество линейной оценки прогнозирования (ЛОП), а также разработка метода защиты ЛОП от интенсивного потока импульсных помех.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе были рассмотрены следующие задачи:

1. Вывод и обоснование критерия качества линейной оценки прогнозирования на основе информационной метрики Кульбака-Лейблера;

2. Анализ влияния случайных импульсных искажений на качество обработки информации при решении задач различного рода с использованием критерия минимума информационного рассогласования (МИР);

3. Разработка цифрового алгоритма восстановления данных, подверженных воздействиям импульсных помех;

4. Разработка цифрового алгоритма обнаружения импульсных помех и исследование его эффективности;

5. Анализ эффективности ЛОП с защитой от ИП в задаче прогнозирования социально-экономических процессов.

6. Анализ эффективности разработанного алгоритма в задачах подавления комбинированных помех в радиотехнических системах и распознавания речевых сигналов методом обеляющего фильтра.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей и математической статистики, теории информации, а также метод математического моделирования в лабораторных и натурных условиях с применением разработанного программного пакета на ПК.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих полученных результатах:

1. Разработан критерий критерия минимума информационного рассогласования для оценки динамических свойств линейной оценки прогнозирования;

2. Исследована проблема наличия импульсных помех в выборке и подтверждена ее актуальность;

3. Разработан цифровой алгоритм восстановления данных, подверженных воздействиям импульсных помех;

4. Исследовано влияние основных параметров импульсных помех на качество обработки информации;

5. Проведен анализ эффективности разработанного алгоритма с использованием предложенного критерия минимума информационного рассогласования;

6. Обосновано преимущество разработанного алгоритма по сравнению с традиционными алгоритмами борьбы с импульсными помехами.

Практическая ценность работы состоит в разработке и исследовании новых алгоритмов защиты от импульсных помех, а также реализации программного пакета автоматизированной системы обработки данных и прогнозирования «Invest-ХР», предназначенного для решения широкого круга практических задач. Практическая ценность диссертационной работы подтверждается актами об использовании ее результатов в учебном процессе Нижегородского государственного лингвистического университета и Нижегородского государственного технического университета.

Основные результаты диссертационной работы апробированы в докладах на научных конференциях:

- II Всероссийской НТК "Методы и средства измерений физических величин" (Н. Новгород, НГТУ, 1997);

- Всероссийской НТК посвященной 80-летию нижегородской радиолаборатории (Н. Новгород, НГТУ, 1998);

- Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их применение к математической экономике "ОПУ-2000" (Тамбов, ТГУ, 2000);

- V Всероссийской НТК "Методы и средства измерений физических величин" (Н. Новгород, НГТУ, 2000);

- V Всероссийской НТК "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н. Новгород, НГТУ, 2002).

По материалам диссертации опубликовано 10 научных работ, в том числе 4 статьи, кроме того, при участии автора было подготовлено и опубликовано учебное пособие.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

1. Исследовано влияние импульсных помех на качество линейной оценки прогнозирования. При этом применяется информационный критерий качества. Показано, что по сравнению с известным критерием минимума дисперсии ошибки прогнозирования информационный показатель более точно отражает влияние потока импульсных помех.

2. Предложен алгоритм защиты линейной оценки прогнозирования от импульсных помех. Его основу составляет идея восстановления пораженных отсчетов. Благодаря его применению достигается высокое качество линейной оценки прогнозирования даже при интенсивных потоках импульсных помех.

3. Получено аналитическое выражение для решающей статистики для принятия решения о присутствии или отсутствии импульсных помех в данных в случае анализа процессов типа «авторегрессия».

4. Рассмотрена роль и применение линейной оценки прогнозирования в задачах обработки информации на фоне помех. Показано, что формирование линейной оценки прогнозирования является частью системы оптимальной обработки информации. Благодаря проведенным в диссертации исследованиям существенно расширяются границы области применения адаптивных линейных обеляющих фильтров при действии интенсивных импульсных помех.

5. Создан программный пакет автоматизированной системы обработки информации и прогнозирования на основе предложенного алгоритма защиты от помех.

По результатам диссертационной работы сделаны следующие выводы:

1. Воздействие случайной последовательности импульсных помех в существенной степени ухудшает качество линейной оценки прогнозирования, а также ее динамические свойства. При этом эффективность применения методов с высокими динамическими характеристиками практически сводится к нулю. Особенно сильно влияние помех при небольших объемах выборки, используемой в процессе настройки адаптивного фильтра, что значительно усугубляет и без того остро стоящую проблему малых выборок.

2. Синтезированный алгоритм восстановления искаженных выборочных данных позволяет практически полностью устранить негативное влияние действия импульсных помех на качество обработки сигнала, в частности, прогнозирования случайных процессов. При этом удается значительно снизить информационное рассогласование используемой модели и исследуемой выборки данных.

3. Доказана высокая надежность обнаружителя импульсных помех, разработанного на основе метода обнаружения разладки в частотной области. При этом эффективность восстановления, при увеличении интенсивности импульсных помех по частоте своего повторения, снижается незначительно. Также показано, что эффективность работы любого обнаружителя возрастает при увеличении мощности импульсных искажений.

4. Приведенные примеры практического использования процедуры оптимизации линейной оценки прогнозирования при наличии импульсных искажений в выборочных данных позволяют говорить о высокой степени актуальности поставленной в работе задачи оптимизации прогноза, особенно при существенных ограничениях объема используемых данных. В целом ряде случаев это приводит к серьезному повышению эффективности прогнозирования динамики социально-экономических процессов.

5. Предлагаемый метод восстановления выборочных данных может быть успешно применен в широком кругу таких практических задач, как, например, распознавание речевых сигналов и подавление комбинированных помех в системах селекции движущихся целей. Т.к. решение этих задач основано на идее использования обеляющих фильтров, то, следовательно, для анализа качества обработки информации целесообразно использовать критерий минимума информационного рассогласования.

Сфера применения полученных результатов довольно обширна. К числу наиболее перспективных задач в данном направлении наряду с рассмотренными следует отнести те, в которых любое воздействие импульсных помех приводит к существенному снижению качества обработки информации. При этом рекомендуется использовать предлагаемую систему защиты от воздействия помех на любом этапе обработки, особенно на этапе подготовки (корректировки) данных.

Заключение

1. Адаптивные фильтры/ Под. ред. К.Ф. Коуэна, П.М. Гранта: Пер. с англ. -М.: Мир, 1988.-388 с.

2. Акатьев Д.Ю., Бочаров И.В. Распознавание речевых сигналов на основе метода обеляющего фильтра. // Электронный журнал "Исследовано в России", 148, стр. 1801-1809. МФТИ-2003.

3. Акатьев Д.Ю., Грушин В.А., Шкулев А.А. Моделирование разладки случайного процесса в частотной области // Методы и средства измерений физических величин: тез. докл. II всерос. НТК. — Н.Новгород.: НГТУ, 1997. -С. 80.

4. Андерсен Т. Введение в многомерный статистический анализ. М.: Физматгиз, 1963. - 500 с.

5. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. -756 с.

6. Беликова Т.П., Ярославский Л.П. Использование адаптивных амплитудных преобразований для препарирования изображений // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общетехн. 1974. - Вып. 14.

7. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. М.: Мир, 1989.-540 с.

8. Берг Дж. П., Люндбергер Д.Г., Венгер Д.Л. Оценивание ковариационных матриц с заданной структурой// ТИИЭР. 1982. т. 70. - №9. - С. 63-76.

9. Боровков А.А. Математическая статистика — М.: Наука, 1984.

10. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: Мир, 1974. Вып. 1 288 е.; Вып. 2 - 254 с.

11. Бочаров И.В., Акатьев Д.Ю. Распознавание речевых сигналов на основе корреляционного метода. // Электронный журнал "Исследовано в России", 131/030730, С. 1547-1557. МФТИ-2003.

12. Бриллинджер Д. Временные ряды. М.: Мир, 1980. - 536 с.

13. Векслер Л.С. Статистический анализ на персональном компьютере// МИР1. ПК, №2, 1992, с. 89-97.

14. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973.

15. Габитова А.Р. Нейронные сети как метод прогнозирования экономических показателей// Математическое моделирование экономических систем и процессов: тез. докл. всеросс. НПК. Чебоксары.: ЧТУ, 2000, - С. 44-45.

16. Галушкин А.И., Шмид А.И. Оптимизация структуры многослойных нейронных сетей с перекрестными связями // Нейрокомпьютер, 1992, №2. С. 7-11.

17. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. 3-е изд. М.: Наука, 1967.

18. Геминтерн В.И., Френкель А.А. Обобщенные модели авторегрессии и скользящего среднего в анализе временных рядов В кн.: Статистический анализ экономических временных рядов и прогнозирование. М.: Наука, 1973.

19. Герасимова А.В., Грачев JI.B. К вопросу о представлении обучающей выборки для парадигмы нейронных сетей с переменной структурой// Нейрокомпьютер, 1992, №3/4. С. 3-6.

20. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.

21. Горбань А.С., Россиев Д.Н. Нейронные сети на персональном компьютере — Новосибирск: Наука, 1996.

22. Гренджер К., Хатанака М. Спектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972.

23. Д.-Э. Бэстенс, В.М. Ван Ден Берг, Д. Вуд Нейронные сети и финансовые рынки М.: ТВП "Научное издательство", 1997. - 236 с.

24. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. М.: Мир. Вып. 1, 1971.-316 е.; Вып. 2, 1972.-288 с.

25. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981. - 199 с.

26. Кендэл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. - 736 с.

27. Кендэл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. - 899 с.

28. Кендэл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966.

29. Кильдишев Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: Статистика, 1973.

30. Клигенэ Н., Телькснис Л. Методы обнаружения моментов изменения свойств случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1983. № 10.

31. Козловских А.В., Ситников О.В., Шипачев В.И. Описание динамики курсов акций системой нелинейных дифференциальных уравнений// Математическое моделирование экономических систем и процессов: тез. докл. всеросс. НПК. Чебоксары.: ЧТУ, 2000, - С. 74-75.

32. Кузнецов С.Е., Халилеев А.А. Обзор специализированных статистических пакетов по анализу временных рядов: научный отчет М.: Центр "СтатДиалог", 1993.

33. Кузнецова К.С. Голодненко В.Н. К вопросу о количественной оценке точности прогноза// Экономика и математические методы. 1971. т. 7, вып. 6. С. 843-849.

34. Кулаичев А.П. Пакеты для анализа данных// МИР ПК, №1, 1995.

35. Кульбак С. Теория информации и статистика: Пер. с англ./ Под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Наука, 1967. - 408 с.

36. Левин Б.Р. Статистическая радиотехника М: Радио и связь, 1967

37. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964

38. Лукацкая М.Л. Статистические методы анализа динамических рядов в экономике: Автореф. дисс. на соискание учен, степени к.э.н. (Новосиб. гос. университет). Новосибирск, 1967.

39. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. М.: Финансы и статистика, 2003. - 416 с.

40. Лукашин Ю.П. Анализ временных рядов по методу авторегрессии-скользящей средней. Статистические методы анализа (алгоритмы и программы). М.: ИМЭМО АН СССР, 1975, вып 5.

41. Лэнинг Дж. X., Бэттин Р.Г. Случайные процессы в задачах автоматического управления. М.: ИЛ, 1958.42.45,4649