автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Использование многопроцессорного компьютера для расчета теплового баланса в термоэлектрическом охладителе

На правах рукописи

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОПРОЦЕССОРНОГО КОМПЬЮТЕРА ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА В ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ОХЛАДИТЕЛЕ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре математического моделирования сложных процессов и систем Московского физико-технического института (государственного университета)

Научные Кандидат физико-математических наук доцент

руководители: | Шипилин Анатолий Вениаминович |

Кандидат физико-математических наук доцент Кривцов Владимир Михайлович

Официальные Доктор физико-математических наук оппоненты: профессор Елизарова Татьяна Геннадьевна

Кандидат физико-математических наук доцент Шершков Валерий Васильевич

Ведущая организация

Открытое Акционерное Общество «Импульс»

Защита состоится 25 марта 2005 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета К 212.156.02 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ.

Автореферат разослан 24 февраля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета // кандидат физико-математических наук

Федько О.С.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена

численному моделированию тепловых процессов в полупроводниковом термоэлектрическом охладителе. Главная тема исследования - построение алгоритма решения полной системы уравнений теплового баланса с соответствующими реальности граничными условиями.

Проблемы термоэлектрических процессов в полупроводниках являются неотъемлемой частью развития современной полупроводниковой электроники. В различных областях техники (в частности, космической) широко применяются термоэлектрические охладители - в том числе в таких устройствах, где тенденция к миниатюризации налагает существенные ограничения как на размеры самих охладителей, так и на возможности отвода тепла от «горячих» спаев термоэлементов. При существенно ограниченном теплоотводе задачу расчета и проектирования термоэлектрических охладителей необходимо решать в комплексе с задачей о теплообмене с окружающей средой. Кроме того, значительное влияние на тепловое поле в микрохолодильниках может оказать тепловыделение на коммутациях, припоях, подводящих проводниках и т.д.

Важное место при создании дешевых, компактных и высокоэффективных полупроводниковых термоэлементов занимает численное моделирование. Сложность решения такого класса термоэлектронных задач обусловлена тем фактом, что при моделировании требуется проведение больших серий расчетов одного и того же прибора с различными значениями силы тока и композиционно-геометрическими характеристиками составляющих элементов.

Расчет всей термоохладительной батареи требует большого объема вычислительных ресурсов и памяти ЭВМ ввиду ее значительной длины. В связи с этим аналитическое рассмотрение задачи оказывается неприемлемым ввиду чрезвычайной громоздкости получаемых при расчете выражений. Поскольку описываемая батарея состоит из большого количества одинаковых элементов, то в настоящей работе предложена и исследована возможность одновременного численного расчета этих элементов на многопроцессорной ЭВМ. Решается задача о разделении всей рассматриваемой области на подобласти (без перекрытия). Выбрано необходимое разделение границ подобластей и отработан метод стыковки решения.

Целью настоящего исследования является разработка метода эффективных расчетов двумерных многоэлементных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями коэффициентов теплопроводности композиционных материалов, различными геометрическими размерами слоев, различными граничными условиями теплоотвода и силой электрического тока, протекающего через термобатарею. Исследуется сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также практическая эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

В соответствии с поставленной целью были определены следующиезадачи:

1. Моделирование тепловых процессов в термоэлектрической охлаждающей батарее, в двумерном стационарном случае.

2. Разработка итерационного метода решения смешанных краевых задач с разделением на подобласти. Распараллеливание задачи на многопроцессорной ЭВМ, вопросы стыковки решений на границах, а также различные (комбинированные) методики расчетов модельной задачи в различных подобластях термоохладителя.

3. Расчет двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными характеристиками и в различных режимах работы, сравнение с имеющимися экспериментальными данными для верификации.

4. Анализ сходимости численного метода, скорости расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно.

5. Исследование эффективности работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования, в частности, итерационный метод приближенной факторизации (с потоковой прогонкой), а также метод аналитического разложения искомого решения в ряды Фурье. Предлагаемый метод был успешно реализован при моделировании данной задачи на многопроцессорном вычислительном комплексе «Суперкомпьютер МВС 1000М».

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что в данной работе разработан и применен численный метод, позволяющий рассчитывать тепловые процессы в термоэлектрической батарее с использованием многопроцессорного компьютера с распараллеливанием вычислений в различных отдельных элементах, что существенно облегчает расчет крупных термобатарей, состоящих из большого числа схожих между собой термопар.

Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации

заключается в том, что разработанная методика применима для широкого круга прикладных задач по расчету многоэлементных термоэлектрических структур, в которых выполняется стационарное уравнение теплового баланса Существует возможность моделирования различных типов таких структур, в которых используются различные материалы, задан различный тип граничных условий, и с помощью представленной методики реализуется подбор оптимальных геометрических параметров различных компонентов данных структур.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Итерационный метод решения смешанных краевых задач с разделением на подобласти (без перекрытия). Распараллеливание задачи на многопроцессорной ЭВМ, вопросы стыковки решений на границах, а также различные (комбинированные) методики расчетов модельной задачи в различных подобластях термоохладителя.

2. Реализация предложенного метода в виде расчетов двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями композиционных материалов и различными типами граничных условий.

3. Оценка эффективности предложенного численного метода, сходимости численных решений и скорости расчетов в зависимости от числа задействованных процессоров ЭВМ.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях:

Iterative Method for Matching Solutions to the Heat Balance Equations for Different Parts of a Thermoelectric Cooler // Abstracts of the Conference on Parallel Computational Fluid Dynamics, May 13-15, 2003, Moscow, Russia «Прогрессивная техника и технология машиностроения, приборостроения и сварочного производства», Киев, 1998

XL, XLIII, XLV ежегодных научных конференциях Московского физико-технического института, Москва - Долгопрудный, 1997-2002 гг.

Основные результаты диссертации обсуждались и были одобрены на научных семинарах кафедры математического моделирования сложных процессов и систем МФТИ (2001 - 2004 гг.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 1 статья в научном журнале, 1 препринт, 5 статей в сборниках трудов научных конференций.

Содержание работы

Общий объем диссертации составляет 115 страниц, в том числе 100 страниц основного текста Список литературы включает 62 наименования.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка литературы и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель и определены задачи исследования, а также дано краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена постановке задачи распределения тепла в термоэлектрической охлаждающей батарее - полупроводниковой структуре, в двумерном случае. Приведены модели используемых электрофизических параметров, рассчитано распределение электрического тока в различных частях термоэлектрической батареи, учтены эффекты Пельтье и Томсона. Рассмотрены различные типы граничных условий.

Термоэлектрическая охлаждающая батарея (ТЭОБ) состоит из большого количества элементов, последовательно соединенных между собой и расположенных на общем основании. В данной работе тепловой процесс рассчитывался на конструкциях, состоящих из различного числа таких однородных элементов (от 2 до 64), т.е. в области, изображенной на рис.1, 2. На рис. 2 можно увидеть трехмерное изображение термоохлаждающей батареи, где стрелками отмечен поток воздуха, отводящийся с холодной и горячей поверхностей.

АжмовА Дюммрнк Хошш Пртой

Рис.1

Стационарное распределение температур в неоднородной термоэлектрической среде описывается следующим уравнением:

¿1^т)+р]2-т^а + арешег=0,

(1)

- удельное

£РеШег

где К - коэффициент теплопроводности среды; сопротивление;

} • вектор плотности тока; Л- абсолютная термо-ЭДС.

Первое и второе слагаемые в уравнении (1) связаны с явлением теплопроводности и выделением джоулева тепла. Третье слагаемое связано с тепловым эффектом при протекании электрического тока в неизотермической среде (эффектом Томсона) и может быть представлено в виде:

где

(2)

- коэффициент Томсона.

Слагаемое, обозначенное как 0. РеШег , характеризует так называемое тепло Пельтье, то есть поглощение или выделение тепла при прохождении электрического тока через контакт различных проводников. Граничные условия для данной задачи имеют следующий вид:

дт

На верхней границе ^

на нижней границе

; ;

левой границе ; на правой границе

Здесь <3В- поток тепла, отводящегося от охлаждаемого элемента; О температура окружающей среды.

Вторая глава содержит описание методики расчета полной системы уравнений. Рассматривается итерационный метод решения смешанных краевых задач с разделением на подобласти (без перекрытия). Исследуется распараллеливание задачи на многопроцессорной ЭВМ, вопросы стыковки решений на границах, а также различные (комбинированные) методики расчетов модельной задачи в различных подобластях термоохладителя.

При моделировании расчетная область (см. рис.1) разбивалась на 6 типов различных частей, которые в реальной термобатарее многократно повторяются в заданном порядке.

Рис.3

На рис.3 изображена расчетная область для модельной задачи, рассмотренной в этой работе. Она состоит из шести типов различных частей, разделенных вертикальными прямыми 1,2,3,4,5,...,п. Области (1-2), (2-3), (3-4), (4-5),...,(п-1,п) многократно повторяются в реальной термобатарее.

Области (1-2), (3-4),..,(п-1,п) состоят из полупроводниковых столбцов различной проводимости и участков припоя, контактов и алюминиевой подложки с тонким слоем диэлектрика. Поскольку в полупроводниковых столбцах уравнение (4) нелинейно, то решение в этих областях можно получить только численно. Назовем эти области в дальнейшем полупроводниковыми.

Области (2-3), (4-5),...,(п-2,п-1), изображенные на рис.3 как в-в (воздух -внутренний), состоят из воздушного зазора, а также участков припоя, контакта и алюминия с диэлектриком. Такие области назовем областями аналитического решения.

Области, изображенные на рис.3 как в-л (воздух - левый) и в-п (воздух -правый), являются левой и правой соответственно воздушными краевыми областями и искусственно вводятся для задания температуры на левой и правой границе этих областей.

Стыковка решений проводится по вертикальным участкам границ подобластей 1,2,3,4,5,...,п и подобных им, для которых приводятся специальные граничные условия и алгоритм стыковки.

В полупроводниковых столбцах решается уравнение (4) со смешанными, выбранными специальным образом граничными условиями. Как уже говорилось, расчет в электронных и дырочных полупроводниковых столбцах

(области N и Р на рис.3) проводился одновременно, параллельно для всех частей.

Решение для температурных полей в подобластях в-л и в-п, а также во всей промежуточной подобласти в-в ищется аналитически, так как в этих областях уравнения теплового баланса являются линейными. При этом на вертикальных границах 2,3,4,5,...,п-1. промежуточных областей (в-в) и на границах 1,п для воздушных областей в-л и в-п задаются значения температуры, полученные из численного решения уравнения (1) в областях (1-2), (3-4),...,(п-1,п). Поскольку производные температуры по вертикали на этих границах имеют разрыв из-за того, что в областях (1-2),(3-4),..,(п-1,п) коэффициенты теплопроводности рвутся, промежуточные области в-в, области в-л и в-п делятся на семь подобластей, границы которых отмечены штриховыми горизонтальными прямыми. В каждой из этих подобластей строится свое аналитическое решение для Т. При этом в распределении Т выделяется линейная часть, а нелинейный остаток раскладывается по гармоникам ряда Фурье.

При численном решении уравнения (1), в соответствии с методом приближенной факторизации, переход с /1-й на (п + \)-ю итерацию

производится в виде двух этапов - итерационный параметр, зависящий

от номера итерации):

(3а)

Оба уравнения (7) решаются численно методом скалярной прогонки. Так как коэффициенты теплопроводности многократно терпят разрыв, то для решения уравнения (76) при интегрировании по вертикали используется специальная разновидность метода - потоковая прогонка в вертикальном направлении.

Итерационный алгоритмрешениязадачи

Предложенная методика используется для решения рассматриваемой задачи на многопроцессорных компьютерах. Каждый процессор рассчитывает температурное поле в одном полупроводниковом столбце и в одной «воздушной» области аналитического решения, находящейся справа

от этого столбца (первый по номеру процессор «рассчитывает» также и левую воздушную боковую область слева от первого полупроводникового столбца). Стыковка решений, получаемых на различных процессорах, производится по вертикальным границам, отделяющим области аналитического решения от полупроводниковых областей, находящихся справа от них (рис.4).

I

Рис.4

Использовался следующий итерационный алгоритм. После задания р( 0)

начального приближения I) , равного нулю на границах 1,2....п, параллельно рассчитываются распределения температуры во всех полупроводниковых столбцах К, Р методом приближенной факторизации с использованием внутренних к итераций. Затем полученные значения

<т>(0) -Т-(О)

температуры и на левом и правом краю каждого

полупроводникового столбца служат краевыми условиями Дирихле для воздушных и прилегающих к ним областей. Каждый процессор, кроме первого (обозначим его условно номером р>1), передает массив значений температуры на левой вертикальной границе своего расчетного полупроводникового столбца на соседний слева (р-1)-й процессор. После этого определяется аналитическое решение во всех воздушных и прилегающих к ним областях «в-л», «в-п», «в-в», с использованием внутренних т-х итераций. По полученным аналитическим решениям с использованием горизонтальных производных температуры в этих областях вычисляются специальные передаваемые значения, массив которых каждый процессор, кроме последнего, передает своему «соседу» справа. Затем

глобальная s-итерация повторяется, начиная с расчета полупроводниковых областей и последующего аналитического решения с вычислением новых значений передаваемых массивов горизонтальных производных температуры для всех полупроводниковых областей. Итерационный процесс продолжается, пока глобальные итерации, заключающиеся в определении передаваемых массивов для всех полупроводниковых областей, не сойдутся.

Третья глава описывает вычислительные ресурсы, используемые в расчетах. Как уже говорилось выше, расчет модельной задачи проводился с использованием средств многопроцессорного вычислительного комплекса «Суперкомпьютер (СК) «МВС 1000М»» (рис.5). Рассматриваются программные и аппаратные ресурсы данного комплекса

Как уже говорилось во введении, расчет модельной задачи проводился с использованием средств многопроцессорного вычислительного комплекса «Суперкомпьютер (СК) «МВС 1000М»». Пиковая производительность СК «МВС 1000М» составляет Ю1г операций с плавающей точкой с двойной точностью в секунду. Общий объем оперативной памяти решающего поля -768 Гбайт. Программные и аппаратные средства СК «МВС 1000М» позволяют решать одну задачу с использованием всего вычислительного ресурса, а также разделять решающее поле на части требуемого размера и предоставлять их нескольким пользователям. Решающее поле СК «МВС 1000М» состоит из 384 двухпроцессорных вычислительных модулей (ВМ). Каждый ВМ включает:

• 2 процессора Alpha 21264 667 Мгц с кэш-памятью 2-го уровня объемом 4 Мбайта;

• 2 Гбайта разделяемой оперативной памяти;

• жесткий диск объемом 20 Гбайт;

• интерфейсную плату сети Myiinet;

• интерфейсную плату сети Fast Ethernet;

• интерфейсную плату видеоконтроллера;

• источник питания мощностью 600 вт.

Пиковая производительность одного ВМ составляет 2,7 млрд. операций с плавающей точкой с двойной точностью в секунду.

Вычислительные модули связаны между собой высокоскоростной сетью Myrinet2000 (пропускная способность канала равна 2000 Мбит/сек) и сетью Fast Ethernet (пропускная способность канала равна 100 Мбит/сек). Сеть Myrinet2000 предназначена для высокоскоростного обмена между ВМ в ходе вычислений.

Сеть Fast Ethernet предназначена для начальной загрузки программ и данных в ВМ, а также для передачи служебной информации о ходе вычислительного процесса.

Сеть Gigabit Ethernet предназначена для соединения решающего поля с управляющей ЭВМ и файл-сервером.

Сеть Myrinet2000 в СК «МВС 1000М» реализована на базе 6-ти 128-входовых полносвязных коммутаторов. При обмене данными между двумя ВМ с использованием протоколов MPI достигается пропускная способность на уровне 110 -150 Мбайт/сек.

Общее программное обеспечение

Компоненты общего программного обеспечения (ОПО) СК «МВС 1000М» поддерживают все этапы разработки параллельных программ пользователей, а также обеспечивают непосредственно выполнение процессов содержательной обработки на решающем поле. Они функционируют на ВМ и управляющей ЭВМ. В состав ОПО СК «МВС 1000М» входят:

1. операционные системы управляющей и резервной управляющей ЭВМ (ОС Linux RedHat 6.2 с поддержкой SMP);

2. операционная система вычислительных модулей (ОС Linux RedHat 6.2 с поддержкой SMP);

3. операционная среда параллельного программирования (пакет MPICH for GM версии не ниже 1.2..4);

4. программные средства коммуникационных сетей (Myrinet, Fast Ethernet);

5. инструментальные программные средства разработки системного и прикладного программного обеспечения, включая оптимизированные компиляторы языков программирования С, C++, FORTRAN фирмы Compaq, отладчик параллельных программ TotalView, а также средства профилирования параллельных программ;

6. средства параллельного администрирования, предназначенные для выполнения функций администрирования на всем решающем поле СК «МВС 1000М» или на его части.

Рис.5

Четвертая глава описывает результаты численного моделирования расчетной задачи. Проведены расчеты двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями коэффициентов теплопроводности композиционных материалов, различными геометрическими размерами слоев, различными граничными условиями теплоотвода и силой электрического тока, протекающего через термобатарею. Исследована сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

Расчетная область (см. рис.2) имеет размеры от 6.4 до 222 мм по горизонтали (в зависимости от количества задействованных процессоров - от 2 до 100 штук) и 2.5 мм по вертикали. Каждая полупроводниковая область имеет ширину 1.4 мм и высоту 2.5 мм. Реальные расчеты модельной задачи производились на 2, 4, 6, 12 и 64 процессорах. При этом приведенные ниже

результаты сходимости метода позволяют утверждать, что он может быть без труда распространен и на большее четное количество процессоров.

При аппроксимации уравнений каждая прямоугольная расчетная область разбивалась на прямоугольники линиями, параллельными осям координат (которые, в свою очередь, проходили по границам рассчитываемой области). Искомые функции определялись в узлах (I, /) сетки. Следует отметить тот факт, что расчетная сетка выбиралась таким образом, чтобы в области с большими градиентами искомых функций происходило сгущение сеточных линий. Алгоритм построения сетки заключался в следующем: задавались минимальный и максимальный шаги сетки (разные для каждой из областей -алюминиевого слоя, контакта, полупроводниковых областей, воздуха и т.д.). Предполагалось, что минимальный шаг находится в окрестности границ областей, составляющих данный элемент батареи ( Лт-рт 25 мкм до 100 мкм в зависимости от типа области и параметров сетки). Затем по мере удаления от этой границы размер шага увеличивался в геометрической прогрессии с некоторым коэффициентом (в проведенных расчетах он брался равным от 1.1 до 1.5), который может задаваться пользователем, до тех пор пока не достигал максимального значения.

В рассматриваемом образце верхнее и нижнее основания алюминиевые, высотой 0.1 мм ( А1г03 -95%, Мп...81), нижний край элемента холодный (охлаждающая сторона); верхний - горячий. Алюминиевое основание отделено тонким диэлектрическим слоем. Перенос тока в горизонтальном направлении между термопарами осуществляется по контактам - медным шинам, которые отделены от полупроводниковых элементов полудой -припоем.

Главный рабочий элемент батареи - термоэлектрические

полупроводниковые ветви с N и Р- проводимостью. Полупроводниковые ветви имеют размер 1.4 х 15 мм (т.е. 1400 х 1500 мкм). В работе использовались экспериментальные значения ряда физических величин:

теплопроводность воздуха К% =2.41х10"4 Дж/см -с-К; теплопроводность алюминия = 2.302 Дж/см -с-К; теплопроводность диэлектрика теплопроводность припоя Дж/см

•С-К; теплопроводность шины-контакта =3,895 Дж/см -с-К; удельное сопротивление припоя удельное сопротивление

контакта площадь поперечного сечения припоя

S„ =1.4x10 3 см2; площадь поперечного сечения контакта St = 4.2х10_3 смг; площадь поперечного сечения термоэлектрических ветвей Sn/> = 1.96x10"2 см2.

При проведенных расчетах определяется влияние силы электрического тока на источник тепла и термо-ЭДС в составляющих элемента, а также на тепло Пельтье на спаях полупроводниковых столбцов. Изучается зависимость распределения температуры от задания внешнего теплового потока Q. Расчеты проводились при следующих допущениях: температура окружающей среды вблизи "холодной" поверхности термобатареи равнялась 260 К, температура вблизи "горячей" поверхности 290 К.

Вдоль левой границы области (в-п) 0„ =290К, вдоль правой границы области (в-п) - аналогичным образом: вп = 290 К.

Расчеты проводились для значений тока, равных 7=0.1 А, 0.3А, 1А, ЗА, 4А, 5А. При этом выяснилось, что задача остается физически оправданной лишь при известных значениях теплового потока на «холодной» границе термобатареи, причем этот изначально задаваемый поток различен для разных значений тока J.

Расчетная программа, составленная в ходе настоящей работы, позволяет произвольно изменять чрезвычайно большое количество физических параметров модельной задачи. В связи с этим после проведения большого количества различных расчетов можно, по всей видимости, подобрать ряд оптимальных параметров. Однако, основная цель настоящей работы заключается не столько в конструировании термоэлектрической охлаждающей батареи, сколько в разработке численного метода, который позволит рассчитывать процессы в конструкциях, состоящих из большого количества одинаковых (или, во всяком случае, схожих между собой) элементов. Данный приоритет целей заставил нас ограничить число изменяемых параметров модельной задачи - до пяти параметров. Перечислим их здесь:

1. Сила тока I, протекающего через ТЭОБ;

2. Граничный поток тепла на «горячей» поверхности ТЭОБ (числовые значения потока и и форма его профиля: параболическая или «псевдолинейная»);

3. Толщина диэлектрического слоя (между алюминиевыми основаниями и припоем);

4. Теплопроводность К среды в зазорах ТЭОБ и во внешнем пространстве (воздух или вакуум);

5. Ширина Дцд зазоров в ТЭОБ.

Приведем в сводной таблице изменяющиеся параметры модельной задачи, при которых проводились наши расчеты.

/,А 1,2,3,4,5

Сс*лд/. Вт/см2 0,1,2,3

, Вт/смг 0, 0,25, 1, 2, 3

Форма профиля граничного потока тепла Параболическая, «Псевдолинейная»

А о/о.. см 10"', 10", 10°

К, Дж/см -с-К 2,4 Ы0"4; 1(ГШ

^02 , СМ 4хЮ':,8х 10"'

На рис.ба представлено горизонтальное распределение температуры по всей расчетной области (64 термопары - 64 процессора) в различных сечениях при силе тока / = 1А; на рис.бб - такое же распределение, но для силы тока 3 А и для граничного потока тепла, изображенного на рис.ба.

Рис.66

В качестве иллюстрации сходимости предложенного алгоритма на рис.7

приводится зависимость от номера итерации 8

вдоль всех точек вертикальной границы N - области. Логарифмическая сходимость проиллюстрирована на рис.8: приводится зависимость величины

от номера итерации в одной из точек

вдоль вертикальной границы ^-области.

Рис.7

Рис.8

Заключение содержит общий обзор итогов настоящей работы и перспективы дальнейшего исследования модельной задачи. Исследована сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

Исследованы также области наиболее высоких температурных градиентов, могущих влиять на термоупругие нагрузки в батарее.

Перспективным выглядит распространение выбранной методики на трехмерную задачу с добавлением элементов модели переноса носителей зарядов (с учетом процессов генерации и рекомбинации электронов и дырок). Таким образом, задача приобретет законченный вид: в качестве исходных условий будет выступать не ток, протекающий через термобатарею, а напряжение на входящих контактах.

Основные результаты работы:

1. Предложена математическая модель для решения задачи распределения тепла в термоэлектрической охлаждающей батарее - полупроводниковой структуре, в двумерном случае. Рассчитано распределение электрического тока в различных частях термоэлектрической батареи, учтены эффекты Пельтье и Томсона, проведен анализ используемых электрофизических параметров. Рассмотрены различные типы граничных условий.

2. Предложен итерационный метод решения смешанных краевых задач с разделением на подобласти (без перекрытия). Исследовано распараллеливание задачи на многопроцессорной ЭВМ, вопросы стыковки решений на границах, а также различные (комбинированные) методики расчетов модельной задачи в различных подобластях термоохладителя. Предложен оптимальный выбор начального приближения, для эффективного получения содержательного результата расчетов.

3. Описан специальный расчетный прием, связанный с тем, что изолирующий диэлектрический слой между алюминиевым основанием термоохлаждающей батареи и шиной - контактом, чрезвычайно узок, и не имеется возможности уменьшать шаг разностной сетки до микроскопических

размеров для типового описания температурных процессов внутри этого слоя. Предложена специальная методика расчета диэлектрика и алюминиевого основания как единого образца с общими свойствами теплопроводности.

4. Проведены расчеты двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями коэффициентов теплопроводности композиционных материалов, различными геометрическими размерами слоев, различными граничными условиями теплоотвода и силой электрического тока, протекающего через термобатарею. Исследована сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

5. Исследованы области наиболее высоких температурных градиентов, могущих влиять на термоупругие нагрузки в батарее.

Списокпубликацийпотеме диссертации

1. Гогричиани М.Г., Шипилин А.В. Итерационный метод стыковки решений уравнений теплового баланса в различных областях термоохладителя. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2001. - Т.41, № 12 -С.1893-1906.

2. Гогричиани М.Г. Использование многопроцессорного компьютера для расчета теплового баланса в термоэлектрическом охладителе. - Препринт / Сообщения по прикладной математике. Вычислительный Центр им. А.А. Дородницына РАН. - М., 2002. - 49 с.

3. Gogrichiani M.G., Shipilin A.V. Iterative Method for Matching Solutions to the Heat Balance Equations for Different Parts of a Thermoelectric Cooler // Parallel Computational Fluid Dynamics. Section 8. Heat and Mass Transfer Problems. Abstracts of Parallel CFD Conference, Moscow, 2003 - P. 321-323.

4. Гогричиани М.Г., Шипилин А.В.. Расчет тепловых процессов в полупроводниковом термоохладителе // Прогрессивная техника и технология машиностроения, приборостроения и сварочного производства. Том III. Проблемы инженерной механики сплошных сред: Труды Международной научно-технической конференции. / Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт». - Киев, 1998. - С. 132-135.

5. Гогричиани М.Г. Использование многопроцессорного компьютера для расчета теплового баланса в термоэлектрическом охладителе // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды XLV научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2002. - С. 83.

6. Гогричиани М.Г. Итерационный метод стыковки решений уравнений теплового баланса в различных областях термоохладителя // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII. Прикладная математика и экономика: Труды XLIII научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т. - М. - Долгопрудный, 2000. - С. 50.

7. Гогричиани М.Г. Расчет тепловых процессов в полупроводниковом термоохладителе // Современные проблемы фундаментальной и прикладной физики и математики. Выпуск 1. Радиотехника, управление, математика: Труды XL научной конференции. /Моск. физ. - техн. ин-т. -М. - Долгопрудный, 1997. - С. 69.

Гогричиани Михаил Георгиевич

Использование многопроцессорного компьютера для расчета теплового баланса в термоэлектрическом охладителе

Автореферат

Подписано в печать 24/02/2005. Формат 60x90/16. Усл. печ. л. 1.0. Тираж 80 экз. Заказ №

Копировальный центр "СоруОепегаГ

0М2-Р&./3

г а с

22

Ш-*

У

1123

Введение

Глава I. Постановка задачи

1.1. Описание элемента термоэлектрической охлаждающей батареи

1.2. Система уравнений и граничных условий для расчета теплового процесса в 29 элементе батареи

Глава II. Метод решения полной системы уравнений

2.1. Описание численного метода 33 2.1а. Выбор начального приближения

2.2. Численное решение в полупроводниковых столбцах N и Р

2.3. Аналитическое решение в воздушных и прилегающих к ним областях

2.4. Другой способ аналитического решения в воздушной и прилегающим к ней 50 однородных областях

2.5. Итерационный алгоритм решения задачи

Глава III. Вычислительные ресурсы, используемые в расчетах

3.1. Общая структура МВС 1000М

3.2. Сетевые решения

3.3. Программное обеспечение

3.4. Общее программное обеспечение

Глава IV. Результаты численного моделирования

4.1. Анализ эффективности методики распараллеливания на основе сравнения 77 скорости расчетов

4.2. Анализ характеристик производительности термоохлаждающей батареи

В данной работе предложен и осуществлен метод решения уравнений теплового баланса, описывающих распределение тепла в термоэлектрическом охладителе с помощью параллельных вычислений.

Термоэлектрическая охлаждающая батарея является многослойной конструкцией, состоящей из материалов с разными коэффициентами теплового расширения, и включает в себя полупроводниковые ветви Ы- и Р-типа проводимости, припои, диэлектрические теплопереходы. Как правило, батарея состоит из множества электрически последовательно соединенных термопар из полупроводников И- и Р-типа. При прохождении постоянного тока через термопары происходит поглощение тепла на одних спаях термопар и выделение тепла на других (эффект Пельтье) [1], а также поглощение тепла внутри термоэлектрических ветвей термопар (эффект Томсона). Остановимся на этих явлениях более подробно.

Классическая теория [47] объясняла явление Пельтье тем, что электроны, переносимые током из одного металла в другой, ускоряются или замедляются под действием внутренней контактной разности потенциалов между металлами. В первом случае кинетическая энергия электронов увеличивается, а затем выделяется в виде тепла. Во втором случае она уменьшается, и убыль энергии пополняется за счет тепловых колебаний атомов второго проводника. В результате происходит охлаждение. С этой точки зрения следовало бы ожидать, что коэффициент Пельтье будет совпадать с внутренней контактной разностью потенциалов: <р2-(р1=———, где и ~ энергии Ферми у е контактирующих металлов. На самом деле это неверно. Дело в том, что по классической теории средняя кинетическая энергия теплового движения электронов в обоих контактирующих металлах одинакова. А это неверно вследствие различного положения уровней Ферми в обоих металлах. Классическое объяснение учитывает только различие потенциальных энергий по разные стороны границы раздела металлов, считая средние кинетические энергии их одинаковыми. Для того чтобы исправить объяснение, надо изменение потенциальной энергии при переносе электрона из одного металла в другой заменить изменением полной энергии. Исправленное таким образом объяснение, разумеется, справедливо не только для металлов, но и для полупроводников с электронной проводимостью.

Совершенно аналогичное объяснение можно привести и для того случая, когда в контакте находятся два полупроводника с дырочной проводимостью. Через границу раздела переходят, конечно, электроны. По одну сторону границы происходит рождение пар электрон-дырка, по другую - рекомбинация электронов с дырками. Один из этих процессов сопровождается выделением, другой - поглощением энергии. От соотношения между выделяющейся и поглощающейся энергией зависит знак коэффициента Пельтье.

Эффект Пельтье, как и все термоэлектрические явления, выражен особенно сильно в цепях, составленных из электронных и дырочных полупроводников. Рассмотрим контакт таких полупроводников. Допустим, что электрическое поле имеет такое направление, что ток идет от дырочного полупроводника к электронному. Тогда электроны в электронном полупроводнике и дырки в дырочном будут двигаться навстречу друг другу. Электрон из свободной зоны электронного проводника после прохождения через границу раздела попадает в заполненную зону дырочного полупроводника и там занимает место дырки. В результате такой рекомбинации освобождается энергия, которая и выделяется в контакте в виде тепла. Рассмотри теперь случай, когда ток проходит через границу раздела от электронного полупроводника к дырочному. Тогда электроны в электронном и дырки в дырочном полупроводниках будут двигаться в противоположные стороны. Дырки, уходящие от границы раздела, будут пополняться в результате образования новых пар при переходах электронов из заполненной зоны дырочного полупроводника в свободную. На образование таких пар требуется энергия, которая поставляется тепловыми колебаниями атомов решетки. Электроны и дырки, образующиеся при рождении таких пар, увлекаются в противоположные стороны электрическим полем. Поэтому пока через контакт идет ток, непрерывно происходит рождение новых пар. В результате в контакте тепло будет поглощаться. Таким образом, если ток идет от дырочного полупроводника к электронному, то тепло Пельтье выделяется. При обратном направлении тока оно поглощается. Это будет наглядно продемонстрировано в наших дальнейших расчетах.

А.Ф. Иоффе предложил [1] использовать явление Пельтье в полупроводниках для создания охлаждающих устройств. Как будет показано из анализа эффективности работы ТЭОБ, термоэлектрический метод охлаждения обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами охлаждения; главное из этих преимуществ - малость геометрических размеров термоэлектрического охладителя.

Дополнительным термоэлектрическим эффектом в полупроводнике при прохождении через него электрического тока является поглощение или выделение так называемого «тепла Томсона». Суть данного явления в том, что различные участки термопары нагреты неодинаково, а потому их физические состояния также неодинаковы. Неравномерно нагретый полупроводник должен вести себя как система находящихся в контакте физически разнородных участков. На этом основании Томсон пришел к заключению и подтвердил его экспериментально, что не границах таких участков должно происходить выделение или поглощение тепла Пельтье. Такое тепло получило название тепла Томсона, а само явление - явления Томсона. г Е

Е <г

Г-аЛТ 2 св4Т 2 э* I (охлаждение) I

-.1 (нагревание)

I (нагревание) I I (охлаждение) и - полупроводник а) б)

Рис. 1 г

С точки зрения электронной теории явления Томсона объясняется просто [47]. Рассмотрим полу проводник с электронной проводимостью. Пусть ТХ>Т2, т.е. градиент температуры направлен от точки 2 к точке 1 (рис. 1 а). Из-за диффузии концентрация электронов в точке 1 сделается меньше, чем в точке 2. Возникнет электрическое поле Е, направленное от 1 к 2, т.е. против градиента температуры. Если по проводнику течет ток в направлении ягаё Т (т.е. электроны двигаются в направлении поля Е), то поле Е будет замедлять электроны, а участок полупроводника 1-2 станет охлаждаться. Если же ток течет в обратном направлении, то произойдет нагревание участка 1-2. В дырочном полупроводнике соотношения будут обратными (рис. 16). Явление выглядит так, как если бы на обычные поток тепла, вызванный теплопроводностью, накладывался дополнительный поток тепла, связанный с прохождением электрического тока. В дырочных полупроводниках дополнительный поток тепла направлен в ту же сторону, куда течет электрический ток; в электронных направления электрического тока и тепла противоположны. Эффект Томсона считается положительным, если электрический ток, текущий в направлении градиента температуры, вызывает г нагревание полупроводника, и отрицательным, если при том же направлении он охлаждает полупроводник.

Термоэлектрическая охлаждающая батарея, таким образом, представляет собой последовательность термопар, соединенных между собой таким образом, чтобы эффекты Пельтье на спаях и Томсона внутри полупроводниковых ветвей были отрицательными и усиливали друг друга, с целью охлаждения исследуемого объекта.

Термоэлектрические охладители широко применяются в различных областях техники, в том числе в таких устройствах, где тенденция к миниатюризации налагает существенные ограничения как на размеры самих охладителей, так и на возможности отвода тепла от «горячих» спаев термоэлементов (см.[2]).

При существенно ограниченном теплоотводе задачу расчета и проектирования термоэлектрических охладителей необходимо решать в комплексе с задачей о теплообмене с окружающей средой. Кроме того, значительное влияние на тепловое поле в микрохолодильнике может оказать тепловыделение на коммутациях, припоях, подводящих проводниках и т.д. В связи с этим аналитическое рассмотрение задачи оказывается неприемлемым ввиду чрезвычайной громоздкости получаемых при расчете выражений.

Постараемся кратко проиллюстрировать основной существующий подход к моделированию полупроводниковых термоохладителей.

Общие традиционные принципы моделирования полупроводниковых приборов приведены в работе [23]. В работе [23] дается обзор достижений в области моделирования полупроводниковых приборов. Вначале приводятся основные уравнения поля с соответствующими граничными условиями. Затем описываются эмпирические модели физических механизмов, определяющих работу приборов, например, подвижности, лавинного умножения носителей, сужения запрещенной зоны. Далее кратко излагаются различные численные модели, большинство из которых разработано за последние два десятилетия, и обсуждаются методы дискретизации и решения уравнений моделей. Приводится ряд замечаний по поводу взаимосвязи между методами конечных разностей и конечных элементов. Рассматриваются упрощенные численные модели, и подчеркивается их полезность для определенных приложений. На ряде характерных примеров наглядно показываются возможности численного моделирования полупроводниковых приборов.

Наиболее распространенным подходом к описанию электрофизических процессов в полупроводниковых элементах является подход, основанный на использовании одночастичных функций распределения носителей заряда I - го сорта /]{р,г,[) по импульсам р, координатам г и времени г, где индекс / определяет принадлежность к той или иной долине или подзоне зоны проводимости и валентной зоны.

В начале работы [23] приводятся основные уравнения физических процессов в полупроводниковых приборах и граничные условия. Можно показать, что для полупроводниковых приборов с линейными размерами в несколько микрометров и меньше и в диапазоне частот до 1019 герц справедлива квазистатическая аппроксимация уравнений электрического поля. К ним относятся уравнения непрерывности для плотности электрического тока J:

Ъ = -д-Р- (1) и уравнение Пуассона для электростатического потенциала у/: г

Ау, = -£ (2) где е - диэлектрическая проницаемость.

Плотность пространственного заряда р складывается из плотностей зарядов подвижных носителей двух типов (электронов п и дырок р) и результирующей примесной концентрации N : р = я{р-п + и) (3) где д - (положительный) электронный заряд, а результирующая примесная концентрация равна сумме полных концентраций ионизированных доноров и акцепторов ЫА:

М = Мй-МА. (4)

Для полупроводников полный перенос зарядов складывается из переноса электронов в зоне проводимости и переноса дырок в валентной зоне:

J = JЯ+JP (5)

Такое разделение требует введения отдельных уравнений непрерывности для каждого типа носителей

6) от <7

7) от <7 где Я - результирующая скорость рекомбинации. В изотермических условиях плотности электронного и дырочного токов пропорциональны градиентам соответствующих электрохимических потенциалов, называемых квазиуровнями Ферми: п=-ЯМп"УФп-, (8)

Jp=-qцppVфp, (9) где ¡л - подвижность. Г

На идеальном контакте граничными условиями для электростатического потенциала и для концентрации носителей обоих типов являются условия

Дирихле: у = + Уарр1; (Ю) п = щ\ (11)

Р = Ро> (12) где Уарр, - приложенное к контакту напряжение; у/0, п0 и р0 - значения соответствующих переменных при нейтральности пространственного заряда и в равновесных условиях.

В случае неидеальных контактов, например, контактов Шоттки, граничные условия имеют вид (см. [23]): л-Л =-Я*п(п-щ)\ (13)

•¿Р=Я*р(р-р0), (14) где - скорости термоэлектрической рекомбинации у контакта Шоттки; - единичный вектор, перпендикулярный границе раздела «металл — полупроводник». При бесконечно больших скоростях рекомбинации (идеальный контакт) эти уравнения переходят в (11) и (12).

Формулы (1)—(14) являются основополагающими выражениями, описывающими механизм переноса электронов и дырок в полупроводниковых приборах. Для решения систем таких уравнений, дополненных другими, частными, выражениями, используются методы дискретизации, сводящие исходную систему дифференциальных уравнений к алгебраической задаче в пространстве с конечной, хотя и достаточно большой размерностью. Из методов дискретизации, то есть вывода разностных уравнений, широкое распространение получили метод конечных элементов и метод конечных разностей. Метод конечных разностей основан на локальной аппроксимации дифференциального оператора некоторым разностным оператором, а в методе конечных элементов искомое решение глобально аппроксимируется набором функций формы, которые служат пробными функциями. При этом в процессе аппроксимации применяется разностный метод (Галеркина) или вариационный метод (Ритца) [23]. Обоим методам присуще разбиение всего объема прибора на подобласти и использование пробных функций.

Далее в работе [23] приводится иллюстрация применения метода конечных разностей и конечных элементов для дискретизации уравнения Пуассона, которое в интегральном представлении имеет вид: $Гус15 = --\рсЬ (15) в» £ V для любой подобласти V.

Отмечается также важная роль, которую играет согласование приближенных значений с физическим смыслом задачи. Это особенно важно в случаях, когда свойства решений определяются нелинейностями. Иными словами, применяемые пробные функции должны, прежде всего, отражать соответствующие физические процессы, независимо от того, служат ли они одновременно функциями формы или нет. Поэтому целесообразно выбирать в качестве пробных функций приближенные аналитические значения исследуемой задачи.

В качестве иллюстрации в работе [23] приводится анализ уравнения непрерывности для дырок (7), который приводит затем к аппроксимации Шарфеттера-Гуммеля [20] для плотности дырочного тока:

Г Фр,! +1 Фр,!

• 1 У-г У-Г

Р',+2 ( \ - ¥, е Ут -еУт

Нг Г у Ущ 1±. 06)

2 Л/+1 Л1 у уг е Ут -е т

Также очень удобна аппроксимация: Ч У У р.**-. 1

•-и

Данная разностная схема обычно имеет значительно более широкие пределы применимости, чем другие, более традиционные схемы, в которых плотности тока определяются из полиномиальных пробных функций для квазиуровня Ферми или для концентрации носителей. Если принять и

Фр,,-Фрл.\«Ут, то уравнение (16) будет соответствовать более привычным выражениям. Поскольку при его выводе такие допущения не были приняты, конечно-разностные аппроксимации (16) и (17) повышают точность численного моделирования или позволяют применять более грубые сетки в областях, где допущения, принятые при вычислении этого интеграла в аналитическом виде, нарушаются не слишком сильно.

Разностную схему Гуммеля можно обобщить и на многомерный случай. В этой ситуации составляющие плотности тока вдоль линий сетки в промежутках между узлами принимаются постоянными и аппроксимируются выражениями вида (16). Именно на базе схемы Гуммеля были выполнены первые работы по точному двумерному численному моделированию биполярных приборов. Такая схема пригодна как для прямоугольных, так и для треугольных сеток.

В литературе описаны и другие примеры физического подхода к дискретизации основных уравнений; например, в работе [42] на базе физических представлений получена точная аппроксимация механизма рекомбинации Шокли-Рида-Холла, а в работе [44] первый интеграл из одномерного уравнения Пуассона включен в разностную схему для приповерхностных областей с окисным покрытием.

В работе [22] рассматривается распространение разностной схемы Шарфеттера - Гуммеля на уравнение энергетического баланса в одномерном приближении. В работе выводятся сеточные значения электронного тока Зм и потока тепла 5

М ' ч(ум -¥,) , КВ(ТМ -Т,)

ХМ Х1 хм х1

Мт)] +Ытм/т,)]-Мт)1 ехр[(а„+1)1п(Г,+1/Г,Я-1 где ам - -кв - постоянная Больцмана; с - Ей. 0л/

ХМ Х1 х1+\ Х1 X ехР ехр где 3 = 5{т)=(т82)1(т8),

А = А (Т) = иги (те) [ (Т£) 2

-(*) энергозависимое» время релаксации отдельного столкновения.

Работа [23] хорошо дополняется работой [18], которая также производит общий обзор математического моделирования как метода исследования электронных процессов в элементах интегральных схем (ИС), определяющих электрические характеристики и их особенности. Основное внимание в работе [18] уделяется математическому моделированию элементов ИС с субмикронными размерами технологических неоднородностей. Именно такие элементы, по мнению авторов статьи, являются основой перспективных полупроводниковых приборов, обеспечивая последним высокую степень интеграции и быстродействие.

Отметим, что на субмикронных элементах наблюдается сильная неравновесность их электронно-дырочной плазмы, обусловленной соизмеримостью размеров технологических неоднородностей / и длин, характеризующих релаксационные процессы в ней. К таким характерным длинам относятся, например, длина энергетической релаксации носителей заряда Ле, длина релаксации импульса Я, длина парных столкновений Л. Наиболее сильно эффекты неравновесности выражены в элементах на основе материалов с хорошими динамическими параметрами носителей заряда, такими, как ваАв, 1пР и др. Однако, и в субмикронных элементах на основе кремния могут существовать области, в которых эффекты неравновесности весьма значительны. Важно также, что неравновсность электронно-дырочной плазмы в субмикронных элементах ИС обусловливает и нелокальность связи между напряженностью электрического поля и его параметрами.

Настоящая диссертационная работа не учитывает, однако, субмикронных неоднородностей полупроводниковых элементов, поскольку, во-первых, рассчитываемая (и реально применяющаяся в технике) ТЭОБ имеет размеры, намного превосходящие субмикронные, а во-вторых, добавление дополнительных «уточняющих» уравнений в исходную систему, хотя и повышает точность модели, но вместе с тем значительно увеличивает машинное время компьютерных расчетов, которое и без «субмикронных поправок» занимает в каждом случае несколько часов работы ЭВМ.

В работе [17] предложен метод численного решения системы уравнений физики полупроводников, описывающей поведение неравновесной электронной плазмы в полупроводниковых структурах. Работа подчеркивает, что ставшая уже классической в численном моделировании элементов интегральных схем («ИС») дрейфово-диффузионная модель [34], область применимости которой ограничена элементами с размерами, превышающими длины релаксации импульса и энергии носителей заряда, не позволяет учитывать неравновесность и нелокальность электронно-дырочной плазмы («ЭДП»). Несомненно, что для достаточно широкого класса приборов микроэлектроники эта модель дает приемлемые результаты, особенно если нас интересуют только выходные характеристики элементов. Однако, «внутренние» физические процессы, предсказываемые диффузионно-дрейфовой моделью и температурными моделями, принципиально различны. По-видимому, этим можно объяснить тот факт, что с начала 1980-х годов стали интенсивно развиваться подходы, связанные с использованием температурных моделей. Наиболее общее разделение таких моделей можно провести на гидродинамические и квазигидродинамические, которые справедливы в различных, вообще говоря, непересекающихся физических ситуациях. Квазигидродинамическая модель представляет собой сильно нелинейную систему параболических уравнений, решаемых совместно с уравнением Пуассона для потенциала электрического поля носителей заряда.

Данная работа [17] посвящена разработке методов численного решения квазигидродинамической модели применительно к полевым транзисторам с затвором Шоттки (ПТШ) на арсениде галлия. Рассчитывались кремниевые и арсенидгаллиевые ПТШ с субмикронными размерами. Вычислялось значение тока на стоке ПТШ, скорости дрейфа и эффективная температура вдоль канала ПТШ. Показано, что в значительной области скорость дрейфа электронов превышает и скорость насыщения, и максимальную равновесную скорость дрейфа; в области между затвором и стоком эффективная температура электронов существенно отличается от температуры решетки, что связано, очевидно, с наличием в этой области сильного электрического поля. Как показал анализ, распределение эффективной температуры сильно отличается от распределения, полученного из простого уравнения баланса мощности. Это свидетельствует о существенности процессов электронной теплопроводности и конвективного переноса электронной энергии, что обусловливает ограниченность применения при моделировании субмикронных арсенидгаллиевых и кремниевых ПТШ дрейфово-диффузионного приближения.

В работах [2-4] были представлены попытки расчета распределения температуры в различных элементах термоохладительных батарей в каждой точке расчетной сетки. Были получены численные решения системы уравнений теплового баланса. Вместе с тем, в работе [2], в методе численного решения данной системы не принималась в расчет двумерность модельной задачи, т.е. стационарная температура в различных слоях полупроводниковых каскадных термоохладителей полагалась одинаковой вдоль каждого горизонтального слоя. Кроме того, в качестве необходимых исходных данных для решения задачи, предложенного в работе [2], фигурируют величины, которые зачастую нелегко установить с требуемой точностью, например: эффективный коэффициент теплообмена охлаждаемого объекта, интегральный коэффициент теплообмена теплоотвода со средой. В модельной задаче налагаются ограничения на форму каскадного термоохладителя, что сужает область его применимости.

При решении главной задачи - определения температурных полей внутри термоохладителя - возникает вопрос о точности математической модели, т.е. об исходной системе уравнений, описывающих тепловые процессы в термоохладителе, и о задании начальных данных. Объективно говоря, в качестве начальных данных желательно использовать разность потенциалов, приложенную к контактам термоохладителя, и затем, используя одну из вышеуказанных моделей, переходить к вычислению протекающего электрического тока и к сопутствующим тепловым эффектам. Однако, чрезвычайная сложность такой модели в ее представлении как компьютерной расчетной программы затрудняет использование эффективных методов стыковки и распараллеливания задачи на многопроцессорной ЭВМ, чрезвычайно увеличивает машинное время расчетов и сужает допустимые размеры расчетных областей.

В связи с вышеизложенным было решено в качестве исходных данных рассматривать силу электрического тока, протекающего через термоохладитель, а основным уравнением, описывающим тепловые процессы в нем, считать стационарное уравнение теплового баланса, которое в дифференциальной форме имеет вид в нашем случае: &у{кЧТ)+р]2 - ТЦЧа + дРеШег = О пояснения см. в разделе 2 Главы I).

Отметим, что в настоящем уравнении учтены поток тепла в результате теплообмена, джоулево тепловыделение, а также тепловые эффекты Пельтье и Томсона, возникающие при прохождении тока через спаи различных материалов и через полупроводник, в котором присутствует отличный от нуля градиент температуры.

В работе [11] был произведен анализ применимости метода приближенной факторизации (по сути тот же, что и в настоящей диссертационной работе) для решения уравнения Пуассона, описывающего распределение электростатического потенциала в двумерных областях типа «металл -диэлектрик - полупроводник» со сложной геометрией и глубокими профилями металла, окисла и примеси.

Метод приближенной факторизации широко используется при расчетах потенциальных течений сжимаемого газа [27]-[29]. При этом для задач с сильной нелинейностью в правой части факторизованный оператор можно выбрать таким образом, что вторые производные разделены, и при реализации алгоритма каждая его часть обращается изолированно на своем шаге итерационного процесса. Получаемый таким образом факторизованный метод известен в литературе как метод ПФ1 (см. [27]). При расчете потенциальных течений сходимость такой схемы зависит от типа оператора и сильно ухудшается в области сверхзвуковых скоростей, когда тип уравнения становится гиперболическим. Необходимость в специальных приемах для обеспечения устойчивости процесса ограничивает область применения ПФ1 для решения такого класса задач. Однако, при расчете электрических потенциальных полей, когда уравнение имеет строго эллиптический тип, использование данного метода становится перспективным (см. [11]).

Одной из основных работ, оказавших влияние на выбор методики решения рассматриваемой модельной задачи, является работа [10]. В данной работе предлагается методика построения оптимальных итерационных схем приближенной факторизации для решения двумерных уравнений, описывающих установившиеся трансзвуковые потенциальные течения. Под оптимальными схемами понимаются итерационные факторизованные схемы с наиболее высокой скоростью сходимости. Показано, что при построении оптимальных факторизованных схем для уравнения потенциала необходимо учитывать преобразование координат и правильно распределять производные функций преобразования между двумя сомножителями факторизованного оператора. В работе находятся оптимальные значения итерационного параметра, определяющего устойчивость схемы, и описывается методика выбора оптимальной последовательности значений итерационного параметра, определяющего скорость сходимости итерационной схемы. Рассматривается задача решения разностных уравнений следующего типа: где 8Х и ¿Я, - разности для интерполирования вперед (например, 5Xфi = фм а 8Х к ¿>2 - разности для интерполирования назад (например,

17)

8Хф1 = ф1 - ). Коэффициенты А и В в общем случае предполагаются переменными.

Итерационную схему решения разностных уравнений (17) можно записать в виде:

МА = аЦф{")), где А = ф("*])-ф{п) - «поправка», вычисляемая на п+1-й итерации, а а -итерационный параметр.

В схемах приближенной факторизации оператор N представляется в виде произведения двух сомножителей: например, простейшая форма записи схемы приближенной факторизации 1-го типа [27] имеет вид: а -АЖЗх\а - В<5Ё<5г)л = ааь(ф(п)), где а - итерационный параметр, от выбора значений которого зависит скорость сходимости. На практике решение приведенного выше уравнения сводится к последовательному решению уравнений: (а-А6ХЗх)р = аа1(фм), (а-ВЙЖ^ = Г.

Такой итерационный процесс быстро сходится при оптимальной последовательности значений а. При расчете течения с помощью схемы переменных направлений возмущения быстро распространяются по всему полю течения, и поэтому ее скорость сходимости может быть очень большой. Однако, для реализации этой возможности нужно правильно разложить оператор N на сомножители и выбрать оптимальный набор значений итерационного параметра а.

В работе [7] были теоретически найдены условия сходимости итерационного метода, позволяющего сводить решение краевой задачи для уравнения

Пуассона в области, составленной из нескольких цилиндрических областей, к решению на каждом итеративном шаге краевых задач отдельно в каждой из составляющих областей. Как будет показано ниже, ряд приемов данной работы [7] может быть применен к расчету тепловых процессов в рассматриваемой нами модельной задаче.

В работе [8] исследуется и обосновывается допускающий полное распараллеливание итерационный метод с разделением на подобласти (без перекрытия) решения краевых задач для уравнения Аи+ц2и=/, где А -положительный эллиптический оператор второго порядка, /л - большой параметр. Рассматривается случай цилиндрической области с липшицевым сечением, на боковой поверхности задаются смешанные условия. Разбиение производится по гиперплоскостям, параллельным торцам. Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем порядка е ~ и 1 , где / -минимальная ширина слоев разбиения. В обсуждаемой здесь работе [8] рассматривается следующий случай: пусть область П - цилиндр П = Ах(д,б) в «-мерном евклидовом пространстве точек х = (х,.хл), где Л- ограниченная область с липшицевой границей в пространстве ЭГ"1точек *'=(*,,.,*„,), а<Ъ. Граница Г такой области П также является липшицевой (см. [31] и библиографию к ней). Исследуемый метод состоит в разрезании области О на т> 1 подобластей

1,2,.,т, представляющих собой слои (*) QJ =Ах(ауч,ау),У=/,2,.,т, где а = а0 <.<ат = Ь. Обозначим через /у ={а] -а]Л) ширины слоев через

А( = А х {а(}, /=7,2,.,т-1,

разделяющие поверхности, А0 = Аа, Ат =АЬ. Каждая итерация метода состоит из двух шагов. На первом шаге в каждой из подобластей решаются отдельные граничные задачи для основного исследуемого уравнения с условиями Дирихле на разделяющих поверхностях (*) и с исходными граничными условиями на остальных частях . На втором шаге нужно решать в каждой из отдельные задачи для однородного уравнения с условиями Неймана на А, с данными, определяемыми по результатам первого шага, и с однородными граничными условиями на остальных частях ¿Ю;.

Итерация завершается простым, без каких-либо подбираемых релаксационных параметров пересчетом, определяющим новые данные Дирихле на Л,,

1=1,2,.,т-1, для следующей итерации.

Как уже упоминалось выше, в работе [8] устанавливается, что рассматриваемый метод обладает скоростью сходимости геометрической прогрессии со знаменателем порядка е~м' , где / = тш/; - минимальная ширина слоев. По существу этот же метод для случая уравнения Пуассона в прямоугольнике с однородными граничными условиями при разбиении области на два прямоугольника в качестве примера был приведен в [32], и была установлена указанная выше скорость сходимости.

Как будет показано ниже, в данной диссертации применен ряд приемов из методики, описанной в работе [8]. Однако при этом методика не повторяет себя полностью, так как в ряде подобластей решение модельного уравнения может быть найдено в виде рядов элементарных функций, и это заставляет нас отказаться от повсеместного использования методики работы [8]. Кроме того, во многих случаях широко используются «демпфирующие» релаксационные параметры, которые первоначально не рассматривались в работе [8]. Однако, забегая вперед, можем утверждать здесь, что скорость сходимости метода (речь идет о «внешних» итерациях) схожа с теоретически выведенной в [8].

Важный элемент методики расчетов модельной задачи создан под влиянием работ [12]-[13]. В них рассматривается потоковый вариант метода прогонки для решения задач с сильно меняющимися коэффициентами (именно тот случай, который мы наблюдаем в нашей модельной задаче). В [12] рассматривается уравнение: хм7) —qu = —f, к>к0 >0, при решении которого поток w = —ки1 используется в качестве зависимой переменной. Рациональность такой замены отмечалась A.A. Самарским [9]. Это позволяет получить вариант метода прогонки, для которого имеет место один из видов линейной связи: u + ßw = y или СШ + W = у f где oc,ß,y - коэффициенты, определяемые в процессе решения. В [13] рассматривается, в частности, потоковый вариант метода прогонки на примере решения вышеуказанной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения: ku')-qu = -f, 0 < jc < I, q(x)> 0, 0<£<оо;

K(1)h + A(1)W = V(1), * = 0;

Л-Л(2)и> = И2), х = 1; к{а) > 0, Л(а)>0, к(а)+Л(а)Ф 0, « = 1,2

В настоящей диссертации потоковый вариант метода прогонки используется на втором этапе итерационного метода приближенной факторизации, который используется для нахождения температурных полей в основных элементах ТЭОБ.

Потоковый вариант метода прогонки может быть использован также в многомерных задачах при их решении локально одномерным методом.

В качестве потенциального добавления к настоящей работе, исследующей специальный численный метод для расчета тепловых эффектов, можно привести результаты, описываемые в работе [19]. Автор работы справедливо отмечает, что электрический ток в полупроводниках при однородной температуре решетки Т0, но неоднородным распределением электрического поля (например, при наличии барьерного слоя) состоит из слагаемых, отвечающих за проводимость, диффузию и термическую диффузию. Первые двое слагаемых содержат в себе подвижность и коэффициент диффузии электронов, которые являются функциями электронной температуры Г, или, в общем случае, зависят от определенных усредненных величин на неравновесной, зависящей от величины электрического поля, функции распределения энергии электронов. Третье слагаемое соответствует градиенту электронных температур и аналогично общеизвестной термической диффузии газа в условиях градиента температур. В общепринятой теории, которая пренебрегает нагревом или охлаждением электронов, подвижность и коэффициент диффузии являются материальными константами, а термическая диффузия отсутствует. В противоположность случаю равномерных электрических полей, Т не является функцией единственно локального поля; она также зависит от электрического тока и может быть определена лишь при одновременном решении уравнений для потока носителей зарядов и сохранения энергии с граничными условиями на конкретной структуре. В качестве примера, работа [11] рассматривает выпрямитель, основанный на контакте металла и полупроводника с носителями заряда одного типа; детальный анализ включает в себя также обсуждение эффекта Пельтье. В области барьера Т больше, чем Т0 (т.е. эффект «горячих электронов») для обратного смещения, но меньше, чем Т0, (т.е. «холодные электроны») для прямого смещения. В работе [19], в частности, исследуется с помощью компьютерного моделирования поведение электронов при прохождении барьера Шоттки, учитывая рассеяние электронов на акустических фононах.

Расчет всей термоохладительной батареи требует большого объема вычислительных ресурсов и памяти ЭВМ ввиду ее значительной длины. Поскольку описываемая батарея состоит из большого количества одинаковых элементов, имеет смысл исследовать возможность одновременного расчета этих элементов на многопроцессорной ЭВМ.

В связи с этим возникает задача о разделении всей рассматриваемой области на подобласти (без перекрытия). Необходимо выбрать границы подобластей и метод стыковки решения.

Метод, изложенный в данной работе, был апробирован автором на модельном элементе аналогичного типа на однопроцессорной ПЭВМ [61]. Настоящая же работа описывает распространение метода на методику параллельных, многопроцессорных расчетов.

Следует отметить, что данной тематике при рассмотрении краевых задач для эллиптических уравнений посвящено большое количество работ. Автор хотел бы особо отметить работы [6-8], под влиянием которых выполнялось данное исследование.

В настоящей работе предложен итерационный метод разделения подобластей со стыковкой на границах решения, учитывающий специфику и особенности задачи. Целью работы является разработка вычислительной методики, позволяющей моделировать тепловые процессы в термоэлектрической батарее с использованием многопроцессорного компьютера с распараллеливанием вычислений в различных отдельных элементах.

Предлагаемый метод был успешно реализован при моделировании данной задачи на многопроцессорном вычислительном комплексе «Суперкомпьютер МВС 1000М». Результаты расчетов и возникшие при этом особенности также приведены в настоящей работе.

Работа состоит из Введения, четырех глав, Заключения, Списка литературы и Приложения.

Первая глава посвящена постановке задачи распределения тепла в термоэлектрической охлаждающей батарее - полупроводниковой структуре, в двумерном случае. Приведены модели используемых электрофизических параметров, рассчитано распределение электрического тока в различных частях термоэлектрической батареи, учтены эффекты Пельтье и Томсона. Рассмотрены различные типы граничных условий.

Вторая глава содержит описание методики расчета полной системы уравнений. Рассматривается итерационный метод решения смешанных краевых задач с разделением на подобласти (без перекрытия). Исследуется распараллеливание задачи на многопроцессорной ЭВМ, вопросы стыковки решений на границах, а также различные (комбинированные) методики расчетов модельной задачи в различных подобластях термоохладителя. Исследуется оптимальный выбор начального приближения, для эффективного получения содержательного результата расчетов. Описывается специальный расчетный прием, связанный с тем, что изолирующий диэлектрический слой между алюминиевым основанием термоохлаждающей батареи и шиной -контактом, чрезвычайно узок, и у нас нет возможности уменьшать шаг разностной сетки до микроскопических размеров для типового описания температурных процессов внутри этого слоя. В действительности такое детальное описание не имеет большого практического значения. Поэтому предложена специальная методика расчета диэлектрика и алюминиевого основания как единого образца с общими свойствами теплопроводности. Отметим, что даже малое изменение толщины диэлектрического слоя существенно влияет на данную теплопроводность и это отражается на температурных распределениях и, соответственно, на термонагрузках на прилегающих спаях. В главе также описывается, как решения в каждой из расчетных областей стыкуются друг с другом, причем если эти области относятся к сфере расчетов разных процессоров, то процессоры передают данные на соседние в ходе расчетов. Передача данных организована таким образом, чтобы процесс численных расчетов сходился к гладкому решению, и для этого подобраны специальные итерационные параметры.

Третья глава описывает вычислительные ресурсы, используемые в расчетах. Как уже говорилось во введении, расчет модельной задачи проводился с использованием средств многопроцессорного вычислительного комплекса «Суперкомпьютер (СК) «МВС 1000М»». Рассматриваются программные и аппаратные ресурсы данного комплекса.

Четвертая глава описывает результаты численного моделирования расчетной задачи. Проведены расчеты двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями коэффициентов теплопроводности композиционных материалов, различными геометрическими размерами слоев, различными граничными условиями теплоотвода и силой электрического тока, протекающего через термобатарею. Исследована сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи. Исследованы также области наиболее высоких температурных градиентов, могущих влиять на термоупругие нагрузки в батарее.

Общий обзор итогов настоящей работы и перспективы дальнейшего исследования модельной задачи приведены в Заключении.

Заключение

В работе предложена методика решения уравнения теплового баланса и исследуется двумерное распределение температур в термоэлектрической охладительной батарее, состоящей из большого количества последовательно соединенных термопар. Распределение температуры рассчитывается в области, состоящей из множества подобластей, отличающихся различными физическими свойствами и нелинейной зависимостью коэффициентов, входящих в уравнение теплового баланса.

Расчет всей термоохладительной батареи как единого объекта требует большого объема вычислительных ресурсов и памяти ЭВМ ввиду ее значительной длины, что в большинстве случаев вызывает серьезные трудности в вопросах моделирования. Поскольку описываемая батарея состоит из большого количества одинаковых элементов, то настоящая работа решает задачу одновременного расчета этих элементов на многопроцессорной ЭВМ.

В настоящей работе предложен итерационный метод разделения подобластей со стыковкой на границах решения, учитывающий специфику и особенности задачи. Главный итог исследования - разработка вычислительной методики, позволяющей моделировать тепловые процессы в термоэлектрической батарее с использованием многопроцессорного компьютера с распараллеливанием вычислений в различных отдельных элементах.

Основное решаемое уравнение здесь - двумерное уравнение теплового баланса в различных частях ТЭОБ, которое состоит из нескольких слагаемых. Эти слагаемые учитывают тепловую конвекцию вследствие теплопроводности среды, выделение джоулева тепла в токопроводящих участвках, а также поглощение тепла в полупроводниковых ветвях в результате термоэлектрических явлений Пельтье и Томсона. «Тепло Томсона» имеет характер распределенного в полупроводнике стока тепла. Что касается «эффекта Пельтье», то экспериментальные данные свидетельствуют о том, что тепло Пельтье в рассматриваемой задаче вносит значимый вклад в тепловой процесс лишь на границах полупроводниковых элементов с материалом припоя, прилегающего к ним. При этом на спае, располагающемся с «холодной» стороны полупроводникового элемента, тепло Пельтье поглощается, а на спае с «горячей» стороны тепло Пельтье, соответственно, выделяется.

В основе численных расчетов в каждом типе полупроводниковых столбцов лежит метод приближенной факторизации с разделением двумерной задачи на две одномерные (разновидность метода переменных направлений). Оба этих одномерных уравнения решаются численно методом скалярной прогонки. Так как коэффициенты теплопроводности многократно терпят разрыв, то для решения используется специальная разновидность метода - потоковая прогонка в вертикальном направлении. Такое чередование одномерных прогонок повторяется до тех пор, пока сходимость расчетной задачи не даст величину невязки, равную необходимой £. Теоретическая сходимость на практике, однако, осложняется тем, что величину шага разностной сетки невозможно снижать до предельно малых размеров, и поэтому практически достижимая относительная невязка достигает порядка 10'3 - 10"4.

Области воздуха (вакуума) между полупроводниковыми ветвями, а также прилегающие к ним области припоя и шины - контакта являются допустимыми для аналитического вычисления решения уравнения теплового баланса. Здесь происходит подгонка решений (сшивка) по горизонтальным границам раздела различных сред до получения необходимой точности решения (малости невязки).

Решения в каждой из расчетных областей стыкуются друг с другом, причем если эти области относятся к сфере расчетов разных процессоров, то процессоры передают данные на соседние в ходе расчетов. Передача данных организована таким образом, чтобы процесс численных расчетов сходился к гладкому решению, и для этого подобраны специальные итерационные параметры.

Проведены расчеты двумерных термоэлектрических охлаждающих батарей с различными показателями коэффициентов теплопроводности композиционных материалов, различными геометрическими размерами слоев, различными граничными условиями теплоотвода и силой электрического тока, протекающего через термобатарею. Исследована сходимость численного метода, скорость расчетов в зависимости от числа процессоров компьютера, задействованных в расчетах одновременно, а также эффективность работы термоохлаждающей батареи в зависимости от интенсивности теплоотвода, т.е. потока тепла на «горячей» поверхности термобатареи.

Исследованы также области наиболее высоких температурных градиентов, могущих влиять на термоупругие нагрузки в батарее.

Для удобства работы пользователей программа снабжена удобным пользовательским интерфейсом, позволяющим легко изменять входные параметры в пользовательском меню и получать нужные распределения искомых функций, линий температуры, графиков невязки - в наглядном графическом виде или на внешнем печатающем приборе.

Перспективным выглядит распространение выбранной методики на трехмерную задачу с добавлением элементов модели переноса носителей зарядов (с учетом процессов генерации и рекомбинации электронов и дырок). Таким образом, задача приобретет законченный вид: в качестве исходных условий будет выступать не ток, протекающий через термобатарею, а напряжение на входящих контактах.

Практическое внедрение разработанного метода перспективно в термоэлектрических модулях на металлическом основании, выпускаемых, например, Открытым Акционерным Обществом «Импульс».

Перспектива применения термоэлектрических охлаждающих устройств обусловлена рядом их достоинств:

- экологической чистотой;

- отсутствием промежуточных газообразных и жидких хладоагентов;

- отсутствием компрессора, нагревателя и реле их включения и выключения;

- высокой надежностью и практически неограниченным ресурсом работы;

- независимостью от ориентации в пространстве;

- бесшумностью;

- возможностью создания миниатюрных устройств;

- переходом из режима охлаждения в режим нагревания за счет реверсирования тока и т.п.

Преимущества термоэлектрических охлаждающих устройств обеспечивают им широкую сферу применения:

- бытовая техника, в т.ч. портативные холодильники и воздушные кондиционеры для автомашин, офисов и т.д.

- медицинское, фармацевтическое, научное и лабораторное оборудование;

- химическая, биологическая и биохимическая отрасли;

- лазерная техника;

- радиоэлектронные устройства и компьютеры;

- военное и аэрокосмическое оборудование.

Заметим, что термоохлаждающая электрическая батарея работает как тепловой насос, так как при пропускании тока через ветви тепловая энергия перетекает с одной пластины на другую, что приводит к появлению холодной и горячей сторон. Если изменить направление тока, то изменятся на противоположные холодная и горячая стороны, и устройство для охлаждения становится устройством для нагрева, что может быть использовано в холодильниках "Ноу Фрост".

С целью дальнейшего усовершенствования и повышения эффективности термоэлектрического модуля в России разработана новая технология его изготовления и конструкция на металлическом основании вместо керамического, как у всех других аналогов. Данная разработка получила признание на выставке "Эврика-94" и завоевала Золотую медаль.

Модули на металлическом основании характеризуются рядом преимуществ по сравнению с ТЭМО на керамике, значительно расширяют область применения холодильных устройств и улучшают их основные показатели, обеспечивая:

- увеличение объема холодильной камеры;

- повышение холодопроизводительности, благодаря лучшей теплопроводности

- оснований;

- уменьшение времени выхода на режим;

- дополнительное понижение температуры в "каскадной" схеме компоновки ТЭМО;

- повышение механической прочности;

- создание более широких конструктивных возможностей, позволяющих изготавливать ТЭМО различных конфигураций.

В сочленении радиатора и ТЭМО на керамике имеются недостатки: малая теплопроводность керамики, ее хрупкость. Новая технология ТЭМО на металлическом основании позволяет горячую сторону ТЭМО конструктивно выполнить в виде ребристого радиатора. Такая конструкция повышает эффективность и надежность применения термоэлектрического охлаждения.

Внешний вид одного из типов термомодуля.

1. Иоффе А.Ф. Термоэлектрическое охлаждение. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1956.

2. Анатычук Л.И., Михайленко A.B., Павлова Л.А. О конструировании термоэлектрических охладителей с ограниченным теплоотводом. // Изв. вузов. Приборостроение. 1976. Т. 19. № 2. С. 113 116.

3. Анатычук Л.И., Семенюк В.А. Оптимальное управление свойствами термоэлектрических материалов и приборов. Черновцы: Прут, 1992.

4. Leong Н.Т., Martorana R.T. Finite-element thermal stress analysis of a thermoelectric cooler.// Proc. 12th Internat. Conf. on Thermoelectrics. Yokohama, Japan, November 9-11, 1993. P. 86-91.

5. Ройтберг Я.К. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений//ДАН СССР, 1964. Т.157., №4. С. 798-801.

6. Lushkina T.L., Blagorodov A.M., Dubov V.l. Thermoelectric Metal Base Module.// Proc. XIV Internat. Conf. on Thermoelectrics. St.-Petersburg, Russia, June 27-30, 1995. P. 428-430.

7. Матеева Э.И., Пальцев Б.В. О разделении областей при решении краевых задач для уравнения Пуассона в областях сложной формы.//Ж. вычисл. матем и матем. физ., 1973. Т.13. №6. С.1441-1458.

8. Меллер H.A., Пальцев Б.В., Чечель И.И. О быстросходящемся итерационном методе с разделением на подобласти решения краевых задач для эллиптического с параметром уравнения второго порядка.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1996. Т.36. № 10. С.26-45.

9. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

10. Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1968. Т.8. №3. С. 679-684.

11. Ъ.Дегтярев Л.М., Фаворский А.П. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969. Т.9. №1. С. 211-218.

12. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.

13. Гольцман Б.М., Кудинов В.А., Смирнов И.А. Полупроводниковые термоэлектрические материалы на основе Ве2Те3. М.: Наука, 1972.в.Босворт Р.А. Процессы теплового переноса. М.: Гостехтеориздат, 1957.

14. М.Бирюкова Л.Ю., Николаева В.А., Рыжий В.И., Четверушкин Б.Н. Алгоритмы квазигидродинамической модели для расчета процессов в электронной плазме субмикронных полупроводниковых структур.//Мат. моделирование, 1989. Т.1. № 5. С. 11-22.

15. Scharfetter D.L., Gummel H.K. Large-Signal Analysis of a Silicon Read Diode Oscillator.//IEEE Transactions on Electron Devices, January 1969, Vol. ED-16, №1, P. 64-77.

16. Николаева В.А., Рыжий В.И., Четверушкин Б.Н. Алгоритм решения квазигидродинамической модели электронной плазмы в двумерных полупроводниковых структурах.// М., Институт Прикладной Математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1986.

17. Ting-Wei-Tang. Extension of the Scharfetter-Gummel Algorithm to the Energy Balance Equation.//IEEE Transactions on Electron Devices, Vol. ED-31, No. 12, December 1984.

18. Энгль B.JI., Диркс X.K., Майнерцхаген Б. Моделирование полупроводниковых приборов//ТИИЭР, т.71,№1, январь 1983.

19. Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические устройства.// Киев, Наукова думка, 1979.

20. Ballhaus W.F., Jameson A., Albert J. Implicit Approximate-Factorization Schemes for Steady Transonic Flow Problems // AIAA Paper 77-634, 1977.

21. ShipИin А. V., Shlyonsky V.N. An Iterative Method for the Numerical Solution of the Semiconductor Plasma Equations // Comput. Maths and Math. Phys., 1992, Vol.32, No.l 1, pp. 1605-1615.

22. Пальцев Б.В. О смешанной задаче с неоднородными граничными условиями для эллиптических с параметром уравнений второго порядка в липшицевых областях. // Матем. Сб. 1996.1.91. №4. С. 59 116.

23. Польский Б. С. Численное моделирование полупроводниковых приборов. // Рига: Зинатне, 1986.

24. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. //УМН. 1983. Т. 38. № 2. С. 3-76.

25. Ъв.Ройтберг Я.А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений//ДАН СССР. 1964. Т. 157. №4. С.798-801.

26. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: Отдел вычислительной математики АН СССР, 1983.

27. Ъ%.Валиев К.А., Пашинцев Ю.И., Петров Г.В. Применение контакта металл-полупроводник в электронике. М.: Радио и связь, 1981.

28. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и методы разделения области в вариационных задачах // Вычислительные процессы и системы. Вып. 2. М.: Наука, 1985. С.173-226.

29. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир, 1984.

30. ЗеегерК. Физика полупроводников. М.: Мир, 1977

31. Самарский A.A. Теория разностных схем.//М.: Наука, 1989.

32. Конуэлл Э. Кинетические свойства полупроводников в сильных электрических полях. М: Мир, 1970.

33. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978.

34. R. Cook. Numerical simulation of hot-carrier transport in silicon bipolar transistors. IEEE Trans. Electron Devices, vol. ED-30, no.9, pp. 1103-1110, Sept. 1983.

35. Aiue M., Грибников 3.C., Мишин B.B., Сарбей О.Г. Горячие электроны в многодолинных полупроводниках. //Киев: Наукова думка, 1982.

36. Епифанов М.С., Шипилин А.В., Шленский В.Н. Численное исследование процесса переноса заряда в полупроводниковых фотопреобразователях. // Математическое моделирование, 1990, т.2, №3.

37. СивухинД.В. Общий курс физики. ТомЗ. Электричество//М., Наука, 1977.

38. Э.Й. Матеева. Решение уравнений Навье Стокса в сложных областях. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, 13, №2, 433-445.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., «Мир», 1971.51 .Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, «Наукова думка», 1965.

40. Агошков В.И. Методы разделения области в задачах математической физики // Вычисл. процессы и системы. М.: Наука, 1991. Вып.8. С. 3 — 52.

41. Майоров С.А., Руденко А.А., Шипилин А.В. О численном методе решения системы уравнений для потенциала и носителей заряда в полупроводниковых структурах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т.20 №1. С. 112-120.

42. Hanel D., Giese V. The influence of boundary conditions on the stability approximate-factorization methods // Notes Numer. Fluid Mech. Proc. 5 GAMM Cong. Numer. Meth. of Fluid. Mech. Paris, 1984.

43. Годунов C.K., Рябенький B.C. Разностные схемы. M., Наука, 1977.

44. Николаева В.А., Рыжий В.И., Четверушкин Б.Н. Метод расчета двумерных полупроводниковых структур в квазигидродинамическом приближении // ДАН СССР. 1988. - Т.298, №6. - С.1367-1370.

45. Аше М., Грибников З.С., Мишин В.В., Сарбей О.Г. Горячие электроны в многодолинных полупроводниках. Киев: Наукова думка, 1982.

46. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики // М.: Наука, 1985.

47. Мороз Р.В. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974.

48. Гогричиани М.Г. Использование многопроцессорного компьютера для расчета теплового баланса в термоэлектрическом охладителе // Препринт, Вычислительный Центр им. A.A. Дородницына РАН. М.: 2002.