автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Иерархические модели управления системами неоднородной структуры

00553352^

На правах рукописи

Ф,

Расина Ирина Викторовна

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Улан-Удэ- 2013

2 Б СЕН ¿013

005533522

Работа выполнена в НОУ ВПО Сибирская академия права, экономики и управления, г. Иркутск

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор В.И. Гурман Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М.М. Хрусталев доктор физико-математических наук, профессор Д.Ш. Ширапов доктор технических наук А.Ю. Горнов

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Защита состоится 18 октября 2013 г. в 1400 час. на заседании диссертационного совета Д 212.022.10 в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Бурятский государственный университет» по адресу: 670000, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, д. 24 "а".

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Бурятский государственный университет»

Автореферат разослан «_» 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы и степень разработанности Математическое моделирование разнообразных процессов и систем тесно взаимосвязано с проблемой принятия решений при управлении этими процессами и системами на основе построенных моделей. Это неоднократно подчеркивали в своих трудах такие авторитетные ученые, как H.H. Красовский, H.H. Моисеев, В.М. Матросов, А.А.Самарский.

В 70-х годах прошлого века обнаружилось, что традиционные модели оптимального управления (непрерывная и дискретная), для которых были получены такие фундаментальные результаты, как принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, достаточные условия оптимальности Кротова, теория экстремальных задач Дубовицкого и Милютина, не охватывают всех возможных постановок задач оптимизации. На практике существует обширный класс систем, структура которых неоднородна, в частности, может изменяться с течением времени. Примерами служат технологические процессы, движение роботов, космические перелеты и т.п.

Это привело к появлению серии работ, где рассматриваются системы с переменной структурой (C.B. Емельянов), дискретно-непрерывные системы (ДНС) (В.И. Гурман), логико-дннамические системы (С.Н. Васильев, A.C. Бортаковский) и другие системы подобного типа, которые также часто называют гибридными системами (А.Б. Куржанский, Е. Santis, M.S. Branichy, R. Herbar).

В связи с активным изучением импульсных процессов (Я.З. Цып-кин, Б.С. Попков, А.Б. Куржанский, Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович, В.А. Дыхта, С.Т. Завалищин, А.Н. Сесекин, F.L. Pereira, M. Haddad, Chellaboina, S. G. Nersesov), развитием робототехники и усложнением технологий интерес к моделированию, исследованию и оптимизации систем неоднородной структуры резко возрос.

Это подтверждают и прошедшие в 2011-2012 г.г. 18-й Конгресс IFAC, 4-я и 5-я Всероссийские мультиконференции по проблемам управления, 4-ая конференция IFAC «Анализ и решения гибридных систем», семинар IFAC GSSCP-2012 «Обобщенные постановки и решения задач управления».

В настоящее время при изучении подобных систем основные усилия математиков направлены на обобщение понятия решения системы дифференциальных уравнений, описывающей модель управляемого процесса. Это влечет усложнение не только применяемого математического аппарата, но и построенных на этой основе алгоритмов оптимизации и их

реализации в вычислительных процедурах. Если для однородных систем разработано большое количество таких методов и алгоритмов в работах H.H. Моисеева, Д.Е. Охоцимского, Т. М. Энеева, H.A. Крылова и Ф.Л.Черноусько, Л.И. Шатровского, Г. Дж. Келли, Д. Джекобсона, В.А. Срочко, A.C. Булдаева и др., то литература по численным методам в гибридных системах значительно беднее.

В работе развивается альтернативный подход на основе представления систем неоднородной структуры иерархической моделью управления, где нижний уровень составляют системы однородной структуры, а верхний, дискретный, уровень обеспечивает их целенаправленное взаимодействие. Для их исследования применяются принципы расширения и локализации и предлагаются аналоги общих достаточных условий оптимальности Кротова, позволяющие получить новые теоретические результаты и построить эффективные алгоритмы, применимые к решению практических задач, оставаясь в рамках традиционных для задач оптимального управления предположений.

Цель работы и задачи исследования.

Цель исследования - разработка иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, достаточных условий оптимальности и методов оптимизации на их основе. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- разработка концепции иерархической модели управления динамической ДНС и ее обобщение на системы сетевой структуры;

- вывод общих достаточных условий улучшения и оптимальности управления для построенных моделей и их конкретизация;

- построение и оценка множеств достижимости для ДНС;

- обобщение на ДНС основных методов теории вырожденных задач оптимального управления;

- разработка методов последовательного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления ДНС на основе общих достаточных условий улучшения и локализации;

- применение концепции ДНС для представления и исследования импульсных и магистральных решений однородных систем и в других случаях, когда неоднородности возникают в ходе поиска и реализации различных решений;

- решение прикладных задач для неоднородных систем, моделируемых на основе предложенного иерархического подхода.

Научная новизна иерархического подхода к моделированию и оптимизации неоднородных динамических систем, развиваемого автором с

середины 1970-х годов, сохраняется до сих нор, как показывает сравнение его с основополагающими подходами в доминирующей ныне теории гибридных систем. Все основные результаты, полученные в диссертации на его основе, также являются новыми и не имеют аналогов в мировой литературе.

Среди них и новая версия модели ДНС с соответствующими условиями оптимальности, которая существенно расширяет сферу их применения по сравнению с предшествующими версиями.

Теоретическая ценность заключается в разработке иерархических моделей управления системами неоднородной структуры, получении для них достаточных условий оптимальности и построении на их основе методов оптимизации и ряде обобщений этих результатов, в том числе и на системы сетевой структуры.

Использование иерархической двухуровневой модели дало возможность эффективно декомпозировать соответствующие задачи управления, прежде всего оптимального управления, на «однородные» подзадачи так, чтобы применить нетрадиционные методы, развитые в работах В.Ф. Кротова и его последователей с сохранением важных методологических особенностей предложенной В.Ф. Кротовым 50 лет назад теории:

-формулировка задачи и условий оптимальности в терминах минимизирующей последовательности, поскольку для современных нелинейных прикладных задач типично отсутствие оптимального элемента в желаемом классе кусочно-непрерывных управлений;

- построение теории на основе принципа расширения, в корне отличного от метода вариаций, который преобладал и преобладает в вариационном исчислении и теории оптимального управления;

- потенциальная конструктивность, существенная ориентация на прикладные задачи, активные преобразования модели объекта управления.

Одновременно открываются новые перспективы исследований в области систем неоднородной структуры.

Практическая ценность заключается в существенном расширении круга приложений указанных выше принципов и методов и возможностей исследования сложных современных систем в различных областях. Это продемонстрировано, в частности, на подробно проанализированных примерах из космонавтики, робототехники, биологии, в первой и четвертой главах и при решении прикладных задач в пятой главе. Результаты диссертацонной работы использованы при выполнении проектов РФФИ (09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», 12-01-00256-а «Исследование импульсных и гибридных управляемых систем на

основе дискретно-непрерывных моделей»), РГНФ (11-02-00171 «Системный анализ стратегий устойчивого развития на примере Бурятской части Байкальского региона »), при подготовке учебного пособия Шмидт Ф.К. Основы моделирования и оптимизации физико-химических процессов: учебное пособие/ Ф.К. Шмидт, И.В.Расина— Иркутск, Изд-во Иркут. ун-та, 2012, —359 с. (модель дискретно-непрерывного процесса, достаточные условия его оптимальности и задача моделирования и оптимизации химико-фармацевтического процесса).

Методология и методы исследования. В работе используются общие принципы и методы математического моделирования, достаточные условия оптимальности Кротова, принципы расширения и локализации, специальные методы теории вырожденных задач.

Положения, выносимые на защиту.

1. Иерархические модели и общие достаточные условия оптимальности типа Кротова для представления и оптимизации неоднородных систем.

2. Достаточные условия оптимальности в форме Беллмана как для общей нелинейной ДНС, так и для ее важных частных случаев: линейной и линейно-квадратической ДНС.

3. Внешние оценки множеств достижимости ДНС на основе общего принципа расширения и семейств расширяющих отображений, аналогичные внешним оценкам для систем однородной структуры.

4. Обобщение на ДНС основных понятий и специальных методов теории вырожденных задач оптимального управления для систем однородной структуры. Среди них метод сингулярных расширений и метод кратных максимумов как специальная конкретизация общих достаточных условий Кротова.

5. Серия методов и алгоритмов итерационного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления и единая итерационная процедура для ДНС на основе общего принципа локализации глобальных достаточных условий улучшения и оптимальности.

6. Теоретические приложения ДНС: методы представления и исследования импульсных процессов и магистральных решений в вырожденных задачах. Схемы применения концепции ДНС для дискретизации непрерывных управляемых систем и использования ранее разработанных программных комплексов моделей с постоянными параметрами, изменяющимися по требованию в процессе функционирования.

7. Обобщение модели ДНС и достаточных условий оптимальности на системы сетевой структуры.

8. Постановки и решения содержательных примеров и прикладных задач на основе предлагаемого подхода.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность полученных результатов подтверждена строгими формулировками п доказательствами серии теорем и четкой интерпретацией решений практических задач.

Результаты работы были представлены в докладах на следующих научных конференциях и семинарах: международная конференция «Математика, управление, интеллект», Иркутск, 2000; X международная конференция «Математика, экономика, образование», Ростов-на-Дону, 2002; международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», Ростов-на-Дону, 2002; международные конференции «Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе» 2005, 2007, 2008, 2011 в Иркутске; IV международная конференция «Математика, ее приложения и математическое образование», Улан-Удэ - Байкал, 2011; XV Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск, 2011; международная конференция «Динамические системы, нелинейный анализ и их приложения», Ереван, 2011; Школа-семинар «Модели, оптимизация и приложения импульсных и гибридных систем», Геленджик, 2011; VI международный научный семинар GSSCP-2012 «Обобщенные постановки и решения задач управления», Геленджик, 2012; Всероссийская конференция «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах», Санкт-Петербург, 2012; Российско-Китайский семинар «Теория оптимального управления и научные вычисления», Шанхай, 2012; международная конференция «Numerical Computations: Theory and Algorithms (NUMTA-2013)», Falerna (CZ), Italy, 2013; 5th IFAC International Workshop on Periodic Control Systems 2013 (PSYCO 2013), Caen, France; научный семинар Института программных систем им. А.К. Айламазяна РАН «Модели и методы теории управления»; российский междисциплинарный семинар «Теория систем и моделирование», научный семинар Бурятского государственного университета «Математическое моделирование и задачи управления».

Основное содержание работы

Диссертация состоит из введения, заключения, 5 глав и списка литературы.

Во введении показана актуальность работы, определены ее цель и задачи, дан обзор используемой литературы по моделированию и иссле-

дованию дискретно-непрерывных процессов. Также приведены материалы, основанные на общих представлениях о математическом моделировании и задачах, возникающих при исследовании моделей на абстрактном уровне на основе работ М. Месаровича, Я. Такахары, В.Ф. Кротова, В.И. Гурмана, В.М. Матросова, и изложены основные понятия и факты из теории непрерывных и дискретных управляемых систем однородной структуры, составляющие методическую базу проведенных исследований.

Глава 1. Модель дискретно-непрерывной системы. Условия оптимальности и глобальные оценки

В данной главе формулируется концепция дискретно-непрерывной системы. За основу берется абстрактная дискретная модель

х{к+1) = /(к,х{к),и(к)), к € К = {А;/,/с/ + 1, кг + 2,..., кР}, ие\3{к,х), ^

где к — номер шага (этапа), не обязательно физическое время, х и и — соответственно переменные состояния и управления, /— оператор. Все указанные объекты — произвольной природы (возможно различной) для различных к, и (к, х), — заданное при каждом к их множество, А:/, /изначальный и конечный шаги соответственно.

Предлагается следующая общая модель ДНС. Пусть на некотором подмножестве К' С К, кг,кр К', и = (ил,тс), ил — переменная управления произвольной природы, тс — некоторый непрерывный управляемый процесс, так что сечение множества и (к, х) при фиксированных х и иа есть допустимое множество ВС(А;, х, и'1) с соответствующей дифференциальной системой с1хс

хс= — = Г(2^,хс,ис), teT(z), (2)

а:с 6 Хс(г, 4) С ис 6 ис {г, Ь, хс) С г = (к, х, иа) .

Здесь п(к),р(к) — размерности указанных пространств в зависимости от шага к. Оператор правой части (1) сводится к следующему

/ (к, Х,и) = д (г, 7е), 7е = х% хсР) € Гс(г),

Гс(г) = {7С: и = т(г), х]\ = £(*), 1Р = б" ГЭД С

Здесь г = (к, х, — совокупность переменных верхнего уровня, играющая на нижнем уровне роль параметров, £/ = т(г), Ьр = х"} = £(г)— заданные функции г.

Решением этой системы считается набор т = (х{к), и{к)), где при к 6 К': и(к) = (ud(k), тс(к)) , тс(к) 6 Dc (z(k)), (называемый дискретно-непрерывным процессом), где тс(к) — непрерывный процесс (xc{k,t), uc(k,t)), t € T(z(k)), a Dc(z) — множество допустимых процессов mc, удовлетворяющих указанной дифференциальной системе (2) с дополнительными ограничениями при кусочно-непрерывных uc(k,t) и кусочно-гладких xc(k,t) (на каждом дискретном шаге к).

Множество элементов га, удовлетворяющих всем вышеперечисленным условиям, обозначим через D и назовем классом допустимых.

Эта модель представляет собой иерархическую двухуровневую управляемую систему. Нижний уровень — описания непрерывных управляемых подсистем на отдельных этапах. Верхний уровень связывает эти подсистемы и обеспечивает их целенаправленное взаимодействие.

Приводятся представительные примеры дискретно-непрерывных моделей из различных областей: космонавтика, робототехника, технологические процессы и производственные системы, биосистемы.

Далее в этой главе рассматриваются общие достаточные условия оптимальности, вырожденные задачи и оценки множеств достижимости для дискретно-непрерывной модели.

Ставится задача оптимального управления о минимуме функционала I = F(x(kp)) на множестве D дискретно-непрерывных процессов при фиксированных ki, kF,x{ki) и дополнительных ограничениях

х(к)еХ(к), хс € Xе (z, t), x{kF)eT. (3)

Достаточные условия оптимальности для такой модели представляют собой аналог условий Кротова для дискретных и непрерывных систем. Вводятся множество Е как расширение D за счет исключения дифференциальных и дискретных связей и функционалы <р(к,х) и (рс (z,t,xc). Последний можно рассматривать как параметрическое семейство функций от аргументов t, хс с параметром z, которые считаются непрерывно-дифференцируемыми по этим аргументам. Строятся следующие конструкции:

L=G(x(kF))~ Y^ R(k,x(k),u{k)))~ К\к >\tF

-*£(Gc(z(k), 7е)- J (jf{z(k),t) - I?(z(k),t,xe(t),ucmdt), K' tm

G(x) = F(x) + <p(kF,x(kF)) - ip(kr,x(ki)), 1= inf G(x),

ГПХ(А:р)

R(k,x,u) = <р(к + 1, f (к, х, u)) — (/с, х),

-V^CM/.^fo))- J »c(z,t)dt,

T(z)

(z, Í, Xе, = tpfcp (z, t, Xе, uc) + tf (z, t, Xе) ,

f sup {R(k, X, u):x€ X(k), и 6 U (к, x)}, k€ K\K', fj.(k) = <

[ - inf {Iе (z): x e X (fc), ud G Ud (fc, я)}, к e К', цс (z, t) = sup {Дс (z, t, xc, uc) : Xе e Xc(z, i), мс G Uc (z, t, xc) ,

Iе (z) = inf {Gc (z, 7е): 7е e Гс, 6 Xc(z, if)}.

Здесь и далее T —знак транспонирования.

Теорема 1.1.

1. Для любого элемента т € D и любых tp, ipc имеет место оценка

/(то) - inf I < Д = /(то) - I.

2. Пусть имеются два процесса то1 € D и m11 € Е и функционалы <р и iрс, такие, что L (то11) < L (m1) = / (то1) , и то11 Е D. Тогда 1(т11) < 1{т1).

Теорема 1.2. Пусть имеются последовательность сложных процессов {ms} С D и функционалы <р, tpc такие, что:

1) /хс (z, t) — кусочно-непрерывна при каждом z

2) R (к, xs (к), us (fc)) —► /х (Ar), к 6 К,

3) (ff(zs,í,xe(í)X(íc)) -f{z„t))dt - 0, к G К', ¿6T(zs);

4) Gc0zs,7sc)-r(zs)^0, А; 6 К';

5) G(xs (ÍF)) - Z.

Тогда последовательность {то8} — минимизирующая для I на D.

Различные способы задания функционалов <р, ¡р° определяют по существу конкретные методы решения задачи. Один из способов — соотношения типа Беллмана. Пусть Г^ (z) = 0 (z, 7е) = в (z, x°F) . Других ограничений на переменные состояния нет.

Получается следующая двухуровневая ДНС относительно функционалов tp и (/зс (z): tp (кр, х) = — F (х) ,

<р(к,х) = sup <p(k+l,f(k,x(k),u)), keK\K'\kF, (4)

u€U(k,x)

Нс(2,Ь,хс,р)=зир {ртГ(г,1,хс,ис):ис€ Vе хс)}, (5) (г, хсГ) = <р(к+1,в (г, хсР)), ср{к,х)= вир (рс{г,т{г) )), к £ К',

ил<ё\1л{1,х)

которая разрешается в порядке следования от кр к кг.

Схема Беллмана конкретизируется для двух важных частных случаев: линейной и линейно-квадратической задачи для ДНС.

Оценки множеств достижимости (МД). Для ДНС естественны два класса МД верхнего (дискретного) и нижнего (непрерывного) уровней. Для их оценок непосредственно распространен подход с использованием оценочных систем функций типа Кротова как для дискретных, так и для непрерывных систем, предложенный в книге Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления: монография / В.И. Гурман //— М.: Наука, Физматлит, 1985,-288 с.

Пусть для простоты К' = Юс не зависит от иа. Вводятся про-

извольные семейства {фа(к,х)}, а е А, хс)}, (3 е В, где

А, В—заданные множества функционалов типа Кротова для верхнего и нижнего уровней соответственно. Далее строится следующая вспомогательная (оценочная) ДНС. Верхний уровень (дискретный):

1>а (к + 1) = На {к. V (к)) = зир{(/?а (к+1,/(к, х, и)) :

и е и (к, х), х е X (к, и (к))}, ип (к/) = вир <ра [ки X/),

X {к, г/) = П (г^^^^^ПХо^), (6)

абА

где Хо — некоторая априорная внешняя оценка Хд, и — все семейство {¡/а},а 6 А.

Нижний уровень (непрерывный):

йс0 = Щ( 1,{ис0}), ус0{11) = рс01, »с01 = 5ир{<рсв(1г,хс):хс е X?},

Щ («, Ш) = 5иР6 ис (г, хс) (4,

Щ (*, Ш) =д,дв {хс: (I, хс) = Щ, ^ («, хс) < (3' Ф в} П Х§ (0 ,

Х^ (0 = П {хе € К": ^ (*, Xе) < и0 (*)} П (4) , (7)

Хо, Хд — возможные априорные внешние оценки. Непрерывная система и соответствующая ей оценка МД зависит от параметров к, х (которые

для краткости опущены). Связь между уровнями определяется следующими соотношениями:

Х^с (т{к)) = Ф, Xv(k)), + 1) = в(к, Х^ (к, Xv(k),W))).

Весьма важно, что среди этих оценок содержатся (при естественных дополнительных предположениях) точные оценки, совпадающие с множествами достижимости. Они получаются при специальном задании функционалов ip, ipc условиями, родственными рассмотренным выше соотношениям типа Беллмана.

Вырожденные задачи. Дается определение вырожденной задачи оптимального управления для ДНС как задачи, содержащей пассивные дискретные и/или дифференциальные связи, решение которой инвариантно относительно расширений класса допустимых, полученных исключением таких связей на некотором множестве дискретных шагов и/или временных интервалов. Для типичной вырожденной задачи с неограниченным множеством скоростей и/или множеством переходов строится производная задача, полученная исключением пассивных связей, и доказывается теорема об аппроксимируемости ее решения последовательностью из множества допустимых D. Кроме того, в случае линейной зависимости от управлений процессов верхнего и/или нижнего уровней, на ДНС распространяется метод кратных максимумов (МКМ), как специальный способ задания функций Кротова для однородных систем, и строятся обобщенные соотношения типа Беллмана. Для случая, когда обе системы верхнего и нижнего уровня линейны по управлениям

f(k, X) = д(к, х) + h(k)u, fc = дс + hc(k, t, хс)ис, эти соотношения имеют вид:

(8) (9)

<pl(kF,y) = - inf F(x),

xeQ(kF,p)

v\k,y)= sup '/{k+l^ik + lJi^x^))), к £ K\K',

• EU (k,x)

<p? = - sup (<¿fc)T {ricxJc (ft, Z, t, Xе, uc) + r,¡),

.«EU'M

xc£Qc<.t,yc)

ipcl(k,z,d(z),yc) = sup ^(¿+1,^+1,0(^,7=))),

ude\Jd(k,x)

*ceQc(í,yc)

tpl(k,y) = sup ipcl(k,z,T{z),r](k,z,£(z))), ke K'.

ueVd(k,x(k)) xeQ (k,y)

Здесь ус = т]с(к^,х°), у = г](к,х), — интегралы соответствующей предельной системы и се аналога для верхнего уровня,

йхс/(1т = /гсис, йх/йт = /ш,

С2С, — соответствующие интегральные многообразия. По сравнению с обычными соотношениями для регулярных задач, где при каждом значении непрерывного и дискретного аргумента выполняются операции экстремума на множествах управлений, здесь присутствуют дополнительные операции экстремума на множествах С£с, С2 в пространствах состояний. Эта цепочка разрешается в порядке следования от /гр к /г/.

В случае тривиальных отображений г)с, т] : ус = х°, у = х эти соотношения переходят в обычные, которые для неограниченных управлений, не выполняются.

Глава 2. Методы улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления

На основе общих достаточных условий улучшения и оптимальности, полученных в предыдущей главе (теоремы 1.1 и 1.2), разработан ряд приближенных методов оптимизации дискретно-непрерывных процессов с использованием принципа локализации и на основе решения задачи улучшения элемента. Последняя формулируется следующим образом: задан элемент т1 6 О и требуется найти элемент гп11 € Ю такой, что 7(шп) < /(ш1).

Идея этих методов состоит в сведении задачи улучшения к задаче приближенной оптимизации в окрестности заданного элемента то1 путем аппроксимации конструкций достаточных условий и регулирования размеров окрестности по принципу локализации, описанному во введении (раздел 0.2). Согласно этому принципу, с помощью приближенных конструкций достаточных условий (либо точных конструкций, но для приближенной модели, например, линейной), решается задача о минимуме вспомогательного функционала

1п(тп) = (1 -а)/(ш) + а7(т1,ш), ае[0,1], (10)

где J(77гI,m) — функционал типа метрики.

Другой вариант — использовать сужения и„, и^, 11° множеств Т_1; и<г, ис. Сужения могут задаваться различным образом в зависимости от специфики конкретных задач, например, Т_1а = и„ П {и: |и — и1\ < а}, а € [0, оо), и т.п. Изменяя », можно достичь необходимой степени близости. В итоге получается алгоритм с параметром а, играющим роль регулятора,

настраиваемого при конкретном применении. Этот параметр выбирается так, чтобы разность 1(тп1) — 1(та) была наибольшей, тогда соответствующий элемент тп принимается за т11. Тем самым обеспечивается монотонность итерационного процесса.

Разработаны следующие три метода улучшения для случая, когда множества X и Xе — некоторые конечномерные пространства, а и , и IIе — множества из конечномерных пространств.

1. Метод локального улучшения основан на тейлоровской аппроксимации обобщенного лагранжиана в окрестности текущего приближения с точностью до малых второго порядка включительно и приводит к ДНС векторно-матричных уравнений для первых и вторых производных функций в которых присутствуют матричные уравнения Рик-кати.

2. Метод среднеквадратической аппроксимации. В этом методе функции (р, <рс ищутся в форме

<р(к, х) = ]Г фа{к)да{х), (11)

а

= (12)

Р

гДе {дп(х)}, {д^х)} — некоторые заданные наборы базисных функций, а {Фа}, {Ф1/}} — соответствующие наборы коэффициентов, подлежащих определению посредством аппроксимации рассмотренных выше соотношений типа Беллмана на некоторой сетке узлов по известному методу наименьших квадратов. Это приводит к некоторым ДНС относительно Фа, Ф%

фа(к) = К{к, {фа(к + 1)} , фа{кр) = фаР,

= (13)

с соответствующими связями между уровнями, вытекающими из схемы ДНС. Для оценки точности приближенного решения получен аналог глобальных оценок Кротова синтеза управления в непрерывных и дискретных системах. Метод не предъявляет жестких требований (непрерывность, дифференцируемость) к правым частям непрерывной системы нижнего уровня по сравнению с известными методами, основанными на тейлоровских аппроксимациях, что существенно расширяет круг практических приложений.

Оба метода отражают подход к проблеме реализации оптимальных управлений, альтернативный известному подходу в АКОР, где вместо упрощения (линеаризации) модели объекта предлагается использовать

линейное или линейно-квадратическое приближение функций Кротова-Беллмана и обобщенного лагранжиана Кротова в окрестности реализуемой программной траектории как для итерационного поиска оптимальной программы так и для приближенно-оптимального синтеза в ее окрестности, который автоматически получается по окончании итерационного процесса.

3. Минимаксный метод представляет собой обобщение метода Кротова (Кротов В.Ф. Итерационный метод решения задач оптимального управления/ В.Ф.Кротов, И.Н. Фельдман // Изв. АН СССР. Техн. киберн.— 1983—№2.—С. 160-168) на дискретно-непрерывные процессы. Получаются системы векторных уравнений для первых производных функций <р°, которые оказываются линейными и, следовательно, всегда имеют решение.

Для линейных систем с управляемыми коэффициентами этот метод реализуется посредством наиболее простых — линейных — конструкций </?, цзс без настроечных параметров. Этот случай рассматривается подробно ввиду его важности для современных задач управления квантовыми системами.

Все перечисленные методы улучшения управления могут быть использованы на отдельных итерациях в общей итерационной процедуре, формулируемой в конце главы с доказательством следующей теоремы.

Теорема 2.2. Пусть для ДНС (1), (2) построена итерационная процедура, где на каждой итерации используется любой из перечисленных методов улучшения и функционал I ограничен снизу. Тогда она генерирует улучшающую последовательность элементов {т8} 6 Ю, сходящуюся по функционалу, т.е. существует число 1*, такое что I* < 1{т$), 1{т3) —> I*.

Доказательство теоремы основано на свойствах указанных методов улучшения, обеспечивающих монотонность улучшающей последовательности. Для методов локальной и среднеквадратической аппроксимации это достигается подбором параметра а. Для минимаксного метода, не использующего настроечных параметров, предварительно сформулирована и доказана теорема 2.1 об улучшаемости начального приближения.

Кроме того сформулирована и доказана теорема 2.3 о достаточных условиях локальной оптимальности, связанных с методом локального улучшения второго порядка.

Глава 3. Теоретические приложения дискретно-непрерывной модели

В этой главе рассматриваются эффективные теоретические приложе-

ния концепции ДНС к исследованию управляемых систем, в том числе таких, которые изначально описываются как непрерывные, но при определенных режимах управления могут претерпевать дискретные изменения в характере поведения. Кроме того предлагаются некоторые важные для теории и практики обобщения.

Применение концепции ДНС для дискретизации непрерывных систем и повышения эффективности программного обеспечения. При дискретизации непрерывных процессов производится разбиение непрерывного отрезка времени, на котором определена непрерывная система (обозначим его [т/,тр]), на элементарные промежутки конечным (или счетным в случае неограниченного отрезка [т/,т^])) числом точек, каждой из которых присваивается целочисленный номер к:кх,к1 + 1 ,...,кр. Состояние х(к) системы верхнего уровня на шаге х(к) интерпретируется как состояние хс в начале элементарного отрезка [¿/(Аг), £/г(Аг)]. Тогда модель верхнего уровня можно рассматривать как искомую дискретную модель непрерывного процесса в неявном виде,

х(к + 1) = /(/с, х(к),и(к)), к е К = + 1,..., кЕ},

где оператор перехода / «расшифровывается» точно или приближенно лишь при использовании модели, на том этапе, когда это нужно, например, при применении развитых пакетов нелинейного программирования для решения дискретизованных задач оптимального управления со сложными краевыми условиями и фазовыми ограничениями (Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации: монография / Ю.Г. Евтушенко— М.: Наука, 1982,— 432 е.; Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления: монография / А.Ю.Горнов —Новосибирск: Наука, 2009,-277 е.). Получается частный случай общей модели ДНС (1),(2), где непрерывная подсистема нижнего уровня на каждом шаге представляет собой исходную систему на к-ом отрезке или ее подходящую аппроксимацию, хЧ(к) = х{к), х(к+ 1) = хср(к). В зависимости от гипотез о непрерывном управлении на элементарных промежутках, которые, в свою очередь, зависят от содержания задачи и целей дискретизации, одной и той же непрерывной модели могут отвечать различные дискретные модели и соответствующие процедуры дискретизации.

Предлагается также схема применения ДНС для использования имеющихся готовых программных комплексов моделей с некоторым набором постоянных параметров в новых приложениях, где эти параметры требуется менять во времени. Для этого создается над ними верхний, дискретный уровень, который обеспечивает соответствующую пошаговую

настройку готового программного комплекса и его функционирование на прилегающем промежутке времени. Тем самым строится двухуровневая иерархическая модель управления.

Разумеется, речь здесь в целом идет не о стандартной для программирования операции обращения к известной подпрограмме, а о выделении такой подпрограммы на алгоритмическом уровне, где она непосредственно «не видна» программисту, путем существенного преобразования исходной модели с элементами аппроксимации.

Характерными, для применения данного подхода, являются математические модели управления различными объектами по экономическим критериям с учетом активных инновационных процессов, которые как раз и ведут к эволюции параметров разработанных ранее моделей, не учитывающих инновации.

Представление импульсных процессов и магистральных решений. Процессы, порождаемые импульсными управляющими воздействиями, по существу дискретно-непрерывны, и концепцию ДНС естественно применить в качестве адекватного для них математического аппарата. Для этого отрезок Т разбивается системой точек {¿¿}, г = 0,1,..., д, £о = £/, 1Ч = На каждом промежутке (¿,, и+\) хд (г) зададим как решение системы (2) при некотором и = и(£), начинающееся из точки хд + 0), а в каждой точке {¿¡} — претерпевающей разрыв "вдоль некоторой траектории "соответствующей предельной системы, начинающейся ИЗ ТОЧКИ Х(1 {и — 0).

Множество таких решений представимо с помощью ДНС (1),(2), где к — порядковый номер левого или правого предела хч{Ь) в некоторой точке разрыва. Четные номера обозначают левые пределы, а нечетные — правые. Для нечетных к на нижнем уровне рассматривается исходная непрерывная система, Для каждого четного к — предельная система.

Полученная, таким образом, ДНС названа сингулярно ослабленной. Показано, что любое ее решение аппроксимируемо решениями исходной. Такое представление позволяет, в частности, применять условия оптимальности и алгоритмы оптимизации ДНС для решения задач оптимального управления.

Если предельная система вполне управляема на своих интегральных многообразиях, то, как известно, в этом случае возможно более «изящное» представление путем перехода к производной системе меньшего порядка. При этом используется интеграл у = г) а;) предельной системы, в общем случае нелинейной, который далеко не всегда выражается явно. В монографии (Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управле-

ния: монография /' В.И. Гурман //— М.: Наука, Физматлит, 1997,—288 с.) предлагается неявное двухуровневое описание производной системы, на нижнем уровне которой находится предельная система, а верхний описывает эволюцию во времени многообразия ее начальных условий. Сама трактовка и практическое применение этой нестандартной процедуры связано с дискретизацией системы верхнего уровня. В результате дискретизации получается практически реализуемое представление производной системы в виде ДНС.

Концепцию ДНС и итерационные алгоритмы из главы 2 удобно применять при практической реализации магистральных решений, характерных для задач вида

х = р(£, х, щ) + х)и2, Ь е £р], I = Е(х{Ьр)) —► ¡п£,

где «2 € Иг С т.е. в общем случае может быть ограниченным.

Под магистральным понимается решение указанной задачи в случае, если траектория решения той же задачи при неограниченном и2 кусочно-непрерывна (Гурман В. И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений. / В.И. Гурман // Автомат, и телемех.— 2003— №3— С. 61—71). Последнее получается как решение производной задачи. При аппроксимации разрывной траектории приходится иметь дело с неоднородными процессами, состоящими из участков, описываемых исходной и производной системами, что и мотивирует приложение модели ДНС.

Рассматривается важный частный случай — билинейная система, для которой переход к производной системе может быть выполнен аналитически, а производная система оказывается также линейной с управляемыми коэффициентами, что дает возможность применить алгоритм глобального улучшения без настроек. Если исходные управления не ограничены, то производная система эквивалентна исходной, и ее но существу можно рассматривать как новую модель, регулярную и удобную для дальнейшего всестороннего исследования и приложений, а не только для оптимизации.

Для иллюстрации приводится содержательный пример задачи управления квантовой системой на известной модели Ландау-Зинера, где переход к производной системе позволяет получить решение за 2 — 3 итерации вместо нескольких сотен для исходной модели

Глава 4. Модели сетевой структуры и другие обобщения

Здесь предлагаются обобщения рассматривавшейся в предшествующих главах модели ДНС и соответствующих условий на основе абстракт-

Рис. 1:

ной сети операторов. Рассматриваются иерархические двухуровневые модели, где верхний уровень модели — абстрактная сеть операторов, описанная во введении, а нижний уровень — различные динамические модели.

Сеть операторов представляет собой соединение N операторов произвольной природы

fk : Хк х Ufc Yfc (ук = /(к,хк,ик)).

по некоторой схеме, представляемой ориентированным графом (рис. 1). где Xfc олицетворяет множество входов к-го оператора, занятых в соединениях, а U/t - множество свободных входов.

Модель (1) — частный случай сети, цепочка операторов. Подробно рассматривается обобщение ДНС заменой этой цепочки сетью. При этом изменяются лишь условия оптимальности.

Задача оптимизации формулируется для верхнего уровня как задача о минимуме функционала

N

I = h(yic), h(fk(x,u)) = f°(k, х, и) 1

Достаточные условия улучшения и оптимальности для нее получаются по аналогии с теоремами 1.1, 1.2.

Вводятся произвольные функционалы tp(k, I, ук), к,1 = 1,..., N, такие что ¡р(к,1,ук) = 0, если отсутствует связь I —> к, представляемая равенством х(к, j, хк) = yi . Для номеров к € К' вводится параметрическое семейство (с параметром z) гладких функций <рс: Km(fc)+1 —> R.

Строится соответствующая модификация обобщенного лагранжиана:

L = - У! Rk - R'k,

К\К' К'

N

R(k, = 1, f(k, х, и)) - ip(l, к, х{к, I, ж))) - f°(k, х, и),

1=1

fi' = G(z,7c)+ J (Rc(z,t,xc(z,t),uc(z,t)) -nc{z,t))dt,

T(z) N

G {z, 7C) = Y, (V (k, l, Ук) - v {l, к, x (к, j, xk))) + i=i

+<pc(z,tr,xcI)-vc(z,tF,xcF)+ J tic{z,t)dt-Ik{e{z, 7C))),

T (z)

Rc (z, t, Xе, uc) = f (z, t, Xе, uc) + ifil (z, t, Xе) , ff (z, t) = sup {Rc: Xе e Xc(z, t), U6UC (z, t, жс)}, где 2/fc = 7е) при к G К', г/к = f(k,x,u) при к G К\К'. Обозначим

/х' (Л) = sup {G (z, 7е): 7е £ Гс (г), xf е Хс(г, i/),

xcF е Xc(z, if), 6 Ud(fc), i 6 X(A)},

В этих терминах формулируются и доказываются прямые аналоги теорем 1.1, 1.2 (теоремы 4.1, 4.2)

В качестве содержательного примера анализируется задача оптимизации водоохранных мероприятий в бассейне реки, где распределение концентрации загрязнений вдоль русел описывается линейной дифференциальной системой.

Рассматриваются другие возможные обобщения, когда однородные подсистемы нижнего уровня могут быть представлены моделями различной природы, отличными от обыкновенных дифференциальных систем: дискретная однородная подсистема, дифференциальная система в частных производных, дифференциальная система в функциональном пространстве.

Подробно описывается аналог ДНС, в которой оба уровня представлены дискретными системами. Это обусловлено его практической значимостью, поскольку при вычислениях, как правило, так или иначе производится дискретизация непрерывных систем. Вводятся обобщенный

лагранжиан и соответствующие конструкции, формулируются и доказываются достаточные условия оптимальности.

Все это существенно расширяет область приложений рассматриваемого иерархического представления. Важно также отметить его рекурсивный характер. Так, например, если в процессе оптимизации на нижнем уровне получается достаточно сложный закон управления, что приводит к неоднородности изначально однородной подсистемы, то ничто не мешает построить для нее свое иерархическое представление по той же схеме. Таким образом, могут быть получены представления из трех и более уровней.

Глава 5. Прикладные задачи

В этой главе рассматриваются и исследуются на основе результатов второй и третьей глав прикладные задачи.

Управление химико-фармацевтическим процессом. В качестве объекта моделирования и оптимизации рассматривается одна из стадий производства анальгина, включающая в себя шесть этапов, из которых управляемыми являются лишь четыре. Строится ДНС, в которой вектор состояния верхнего уровня х определялся тремя технологическими параметрами. На нижнем уровне рассматриваются дифференциальные уравнения, описывающие химические реакции на каждом этапе.

На этой модели решалась задача о максимуме концентрации выходного компонента в момент окончания процесса. Использовался метод первого порядка, представленный в главе 2. Решение получено за 8 итераций. Концентрация конечного продукта по сравнению с первоначальной увеличилась в 4 раза.

Оптимальное управление рекламной деятельностью. Рассматривается модель управления рекламной деятельностью, которая представляет собой многомерный и многоэтапный аналог модели, исследованной в серии работ, в частности в монографии (Дыхта В.А. Оптимальное импульсное управление с приложениями: монография/ В.А. Дыхта, О.Н.Самсошок— М.: Наука, Физматлит, 2000—256 е.).

Предполагается, что бизнес-план компании предусматривает поэтапное изменение ассортимента и объемов выпуска товаров и услуг с учетом рыночной конъюнктуры и активной рекламной деятельности. Предстоит, спланировать стратегию деятельности компании, максимизируя общий экономический эффект.

Строится модель ДНС и формулируется соответствующая задача оптимального управления, которая оказывается вырожденной. Применяется метод кратных максимумов из главы 2, и находится почти анали-

тически хорошо интерпретируемое магистральное решение: В начальный момент соответствующего этапа делаются разовые инвестиции до достижения магистрального объема продаж. Далее производятся текущие вложения до некоторого определенного момента для поддержания магистральной интенсивности продаж, после чего они прекращаются.

Проведены расчеты на примере турфирмы, реализующей различные типы туров, сопровождаемых соответствующей рекламой.

Исследование стратегий устойчивого инновационного развития региона на многокомпонентной модели. Эта модель описывает взаимосвязанную динамику экономического, природо-социо- восстановительного и инновационного секторов. Управляющими воздействиями являются текущие выпуски отраслей, инвестиции в различных секторах и инновационная активность.

Исследуется задача оптимизации этих воздействий по критерию максимум функционала благосостояния — конечного значения дохода, накопленного на заданном периоде планирования, за вычетом штрафа за нарушение ограничений устойчивого развития. В целом это сложная многомерная вырожденная задача оптимального управления, которая не поддается напрямую исследованию общими методами. Для решения применялась следующая многоступенчатая процедура. 1. Принимаются идеализирующие, но достаточно естественные допущения, и производится ее преобразование методом сингулярных расширений к новой модели с радикальным снижением порядка системы, вплоть до первого при частичном учете инновационных процессов. 2. Находится ее решение почти аналитически средствами символьных вычислений как магистральное для исходной системы. Производится его итерационное улучшение как импульсного процесса, представляемого посредством ДНС, с полным учетом инновационных эффектов. 3. Найденное решение модифицируется (аппроксимируется допустимым процессом исходной модели) с учетом реальных факторов и ограничений, игнорированных при упрощениях. 4. Модифицированное решение принимается за начальное приближение и уточняется в итерационной процедуре для исходной модели. Наиболее исследованным автором является второй пункт схемы. Алгоритмы и схемы, представленные в главах 2 и 3 (итерационный алгоритм на основе среднеквадратической аппроксимации, представление импульсных процессов и модификация программного комплекса посредством ДНС) были применены непосредственно на этом этапе и опосредованно на этапе 4. Представлены расчеты для различных случаев агрегирования и результаты, полученные на этапе 2 для полностью агрегированной версии, в

которой состояние каждого сектора задавалось одномерной (скалярной) переменной. Кроме того, для этой же версии проведено исследование чувствительности модели к неопределенностям, связанным с агрегированным представлением инновационных процессов.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

1. Разработана иерархическая модель динамической ДНС; для нее получены общие достаточные условия типа Кротова улучшения и оптимальности управления и их конкретизации в форме Беллмана как для общей нелинейной ДНС, так и для ее важных частных случаев: линейной и линейно-квадратической ДНС.

Получены описания и внешние оценки множеств достижимости ДНС.

Проведено обобщение на ДНС основных понятий и специальных методов теории вырожденных задач оптимального управления, типичных для приложений.

2. Разработаны серия методов и алгоритмов итерационного улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления и единая итерационная процедура для ДНС на основе разработанных в первой главе достаточных условий улучшения и оптимальности и общего принципа локализации. Одно из преимуществ соответствующих алгоритмов, состоит в том, что в конце итерационного процесса «автоматически» строится локально оптимальный синтез управления в окрестности желаемой траектории. С этой точки зрения их можно рассматривать как вклад в развитие известной теории АКОР.

Как важный частный случай исследована ДНС, линейная по состоянию, с управляемыми коэффициентами. Для этой модели, в целом нелинейной, построен аналог минимаксного метода Кротова глобального улучшения управления, не требующий настроечных параметров.

3. В качестве теоретических приложений модели динамической ДНС предложены методы представления и исследования импульсных процессов и магистральных решений в вырожденных задачах для непрерывных в исходной постановке систем, когда неоднородности возникают в ходе поиска их решений при применении преобразований по методу сингулярных расширений. В важном частном случае билинейных систем эти преобразования могут быть выполнены аналитически, и априори выявляется магистральная природа искомого решения. В результате строятся новые модели таких систем в форме ДНС, регулярные и удобные для дальнейшего исследования.

Предложены схемы применения модели ДНС для дискретизации непре-

рывных управляемых систем, которые существенно отличаются по своей природе от систем обыкновенных дифференциальных уравнений, и использования ранее разработанных программных комплексов для моделей с постоянными параметрами, когда требуется эти параметры менять в процессе функционирования.

4. Разработан аналог модели ДНС для систем сетевой структуры, в которой на верхнем уровне фигурирует абстрактная сеть операторов; для нее получены достаточные условия оптимальности и улучшения как обобщение соответствующих условий для динамической ДНС.

Указаны возможности применения иерархического принципа для систем неоднородной структуры, где подсистемы нижнего уровня представлены различными моделями иными, чем обыкновенные дифференциальные системы.

Построен аналог модели динамической ДНС, у которой оба уровня дискретные, с учетом естественной дискретизации непрерывных подсистем ДНС на этапе вычислений.

5.Получены решения ряда примеров и прикладных задач, иллюстрирующие эффективность и практическую ценность разработанных методов. А именно, решены:

задача управления квантовой системой, на модели, полученной специальным преобразованием уравнения Шредингера с управляемым гамильтонианом,

моделирование и оптимизация химико-фармацевтического процесса,

моделирование и оптимальное планирование рекламной деятельности компании,

планирование стратегии устойчивого развития региона на социо-эколого-экономической модели с учетом инновационных процессов,

моделирование в форме дерева операторов бассейна реки, как объекта антропогенных воздействий, и оптимизация водоохранных мероприятий.

Эти результаты отвечают требованиям актуальности, новизны, теоретической и практической ценности.

Предложенные модели и методы могут быть использованы для решения широкого круга актуальных прикладных задач из различных областей, таких как космонавтика, робототехника, сложные технологические процессы, управление экономическими и региональными социо-эколого-экономическими системами, при проектировании систем управления объектами, состоящих из многих компонентов различной природы.

Модели и условия оптимальности для систем сетевой структуры служат основой для разработки в перспективе эффективных алгоритмов

оптимизации управления в таких системах по аналогии с таковыми для динамических ДНС, подробно представленными в работе.

В целом, не умаляя ценности результатов, полученных на основе различных подходов к представлению сложных систем неоднородной структуры, реализуемых другими научными школами, иерархический принцип, как весьма общий и эффективный, целесообразно развивать в направлении построения многоуровневых моделей сложных систем с целью их декомпозиции на достаточно простые системы однородной структуры и использования богатого арсенала математических методов, накопленных для таких систем.

Важный методологический вывод проведенных исследований состоит в том, что построение математической модели объекта может служить не только начальным этапом его математического исследования но и активным инструментом самого исследования; за счет целенаправленных точных или приближенных преобразований могут получаться новые модели того же объекта, более удобные, и рассматриваться как самостоятельные, которые можно рекомендовать и для других исследований.

Список публикаций по теме диссертации

Основные результаты диссертации отражены в совместных монографиях [20, 24] и 34-х статьях, в т.ч. 10-и статьях в рецензируемых журналах из списка рекомендованных ВАК.

Статьи в рецензируемых журналах из списка рекомендованных ВАК.

1. Расина И.В. Дискретизация непрерывных управляемых систем на основе обобщенных решений / И.В. Расина // Автомат, и телемех.— 2011- №6.-С. 171-178.

2. Расина И.В. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели / И.В.Расина И.В., А.О. Блинов, И.С. Гусева //Вести. Бурят, гос. ун-та. — 2011.— Вып. 9. Математика и информатика.— С. 36-42.

3. Гурман В.И. Улучшение и приближенно-оптимальный синтез управления в окрестности опорной траектории / В.И.Гурман, И.В.Расина // Автомат, и телемех — 2011— №12— С.24-37.

4. Гурман В.И. Дискретно-непрерывные представления импульсных решений управляемых систем / В.И.Гурман, И.В.Расина // Автомат, и телемех — 2012— №8— С. 16-29.

5. Расина И.В. Итерационные алгоритмы оптимизации дискретно-непрерывных процессов / И.В.Расина // Автомат, и телемех.— 2012— №10— С.3-17.

6. Гурман В.И. Иерархическая модель неоднородной дискретной системы и ее приложения / В.И. Гурман, И.В. Расина, Е.А. Трушкова, О.В. Усенко // Управление большими системами.— М.: ИПУ РАН— 2013— Вып. 41— С.249-269.

7. Расина И.В. Вырожденные задачи оптимального управления дискретно-непрерывными процессами / И.В.Расина // Автомат, и те-лемех. — 2013— №2— С.38—52.

8. Расина И.В. Оптимизация линейных по состоянию дискретно-непрерывных систем / И.В.Расина, О.В. Батурина // Автомат, и телемех.— 2013- №4— С. 80-90.

9. Расина И.В. Оптимизация управления в билинейных системах / И.В.Расина, О.В. Батурина // Автомат, и телемех—2013— №5— С. 102113.

10. Расина И.В. Достаточные условия оптимальности в дискретной иерархической модели /И.В. Расина, О.В. Усенко //Вестн. Бурят, гос. ун-та. — 2013.— Вып. 9. Математика и информатика.— С. 33-38.

Статьи в других изданиях.

11. Расина И.В. Сложные дискретные процессы / И.В.Расина //В кн.: Методы оптимизации и исследование операций (прикладная математика).— Иркутск: СЭИ СО АН СССР- 1976- С. 64-70.

12. Расина И.В. Достаточные условия относительного минимума сложных дискретных процессов / И.В.Расина—М., 1978—11с.— Деп. в ВИНИТИ 10.11.78 №3456-78 ДЕП.

13. Агафонова И.А. Математическое моделирование и оптимизация процесса метилирования динатриевой соли сульфаминоантипирина / И.А.Агафонова, Л.Л.Гулин, И.В.Расина —М., 1978—19с.— Деп. в ВИНИТИ 10.11.78 №3457-78 ДЕП.

14. Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов / А.Г.Орлов, И.В. Расина // В кн.: Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления движением.— Новосибирск: Наука— 1979 — С. 257-261.

15. Орлов А.Г. Сложные процессы и достаточные условия относительной оптимальности / А.Г.Орлов, И.В. Расина // Управляемые системы.— Новосибирск: ИМ СО АН СССР- 1979. Вып. 18,- С. 39-46

16. Гурман В.И. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума / В.И.Гурман, И.В.Расина// Автомат. и телемех—1979— №10— С. 12-18.

17. Гурман В.И. Теоретические основы пакета прикладных программ по улучшению режимов и локальному синтезу управления / В.И.Гурман,

И.В.Расина, В.А. Батурин, A.A. Онхотоев, Е.В.Данилина, Е.Ю. Батурина // В кн.: Пакеты прикладных программ. Методы и разработки,— Новосибирск: Наука— 1981— С. 104-112.

18. Гурман В.И. Достаточные условия относительного минимума в задачах улучшения и синтеза управления / В.И.Гурман, И.В.Расина, В.А. Батурин, Е.В.Данилина // В кн.: Методы оптимизации и их приложения. — Новосибирск: Наука— 1982— С. 80-102.

19. Расина И.В. Метод оценки приближенно-оптимального синтеза в сложных дискретных процессах / И.В.Расина //В кн.: Методы оптимизации и их приложения.— Иркутск: СЭИ СО АН СССР— 1982— С. 98-108.

20. Гурман В.И. Приближенные методы оптимального управления: монография / В.И.Гурман, В.А. Батурин, И.В.Расина // — Иркутск: Изд-во Иркут. Ун-та — 1983— 192 с.

21. Бушмин С.Ю. Задача управления посадкой вертолета как сложный процесс / С.Ю.Бушмин, И.В.Расина — М., 1985—13 е.— Деп. в ЦН-ТИ ГА, 11.02.85 №303 ГА-85 ДЕП.

22. Расина И.В. Двухэтапная схема управления посадкой вертолета / И.В.Расина, Д.Е. Урбанович — М., 1987—12 е.— Деп. в ГОСНИИ ГА, 05.10.87 №571 ГА.

23. Расина И.В. Метод улучшения первого порядка для сложных процессов / И.В.Расина — М., 1989—9 е.— Деп. в ВИНИТИ 20.12.89 №7560 В-89.

24. Гурман В.И. Сложные процессы / В.И.Гурман, И.В.Расина //В кн.: Методы решения задач оптимального управления на основе принципа расширения: монография— Новосибирск: Наука— 1990.— С. 84—94.

25. Расина И.В. Метод улучшения второго порядка для сложных процессов / И.В.Расина — М., 1991—12 е.—Деп. в ВИНИТИ 23.07.91 №3137-В91.

26. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов / И.В.Расина // Юбилейный сборник научных трудов к 10-летию СИПЭУ— Иркутск: Изд-во «Макаров», 2004.— С. 180-192.

27. Гурман В. И. Методы улучшения на основе локальных и нелокальных аппроксимаций / В.И.Гурман, И.В.Расина // Материалы IV Международной конференции МПМО 11 «Математика, ее приложения и математическое образование». Часть 1.— Улан-Удэ, Байкал— 2011— С. 43-47.

28. Расина И.В. Приближенный синтез оптимального управления для

сложных процессов на основе аппроксимационных полиномов / И.В.Расина // Труды XV Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Том III: Оптимальное управление-Иркутск— 2011— С.82-86.

29. Гурман В. И. Модели, оптимизация и приложения дискретно-непрерывных (гибридных) управляемых систем / В.И.Гурман, И.В.Расина // Материалы международной конференции «Динамические системы, нелинейный анализ и их приложения». Ереван, 2011.— М.: ЦЭМИ РАН— 2011- С. 45-47.

30. Гурман В.И. Эволюция и перспективы приближенных методов оптимального управления / В.И.Гурман, И.В.Расина, А.О. Блинов // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения» —Переславль/Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна РАН— 2011— Вып. 2, Т. 2— С. 11-29.

31. Расина И.В. Дискретно-непрерывные модели и оптимизация управляемых процессов / И.В.Расина // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения»—Переславль/Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна РАН— 2011— Вып. 3, Т. 3— С. 49-72.

32. Расина И.В. Дискретно-непрерывные линейные и билинейные системы / И.В.Расина, О.В. Батурина // Материалы конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах (УТЭОСС)-2012». - Спб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»— 2012— С.215-218.

33. Расина И.В. Улучшение импульсных процессов на основе дискретно-непрерывной модели / И.В.Расина, А.О. Блинов // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика. — 2012— Вып. 1—С.42-51.

34. Расина И.В. Методы улучшения управляемых процессов / И.В.Расина // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика,— 2012— Вып.1— С.34-41.

35. Расина И.В. Нелокальный метод улучшения магистральных решений в задаче развития региона./ И.В. Расина, М.А. Аветян // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика. — 2012— Вып.2— С.26-34.

36. Гурман В.И. Моделирование водоохранных мероприятий в бассейне реки В.И. Гурман, О.В. Фесько, И.В. Расина // Вестн. Бурят, гос. ун-та. Математика и информатика. — 2013— Вып.1— С.4-15.

В статье [2] автором проведено исследование многокомпонентной модели развития региона и получена магистраль. В работе [3] на основе анализа задачи Летова аналитического конструирования регулятора

автором предложен ее нелинейный аналог, который используется для решения вырожденной задачи. В работе [4] автором предложена схема представления импульсных процессов в форме ДНС для случая неполной управляемости предельной системы, а в работе [6] предложена схема перехода к ДНС при использовании уже разработанного программного обеспечения для учета дополнительных параметров в задачах оптимизации. В [8] Расиной И.В. выполнена конкретизация общих положений ДНС для линейной системы и получен алгоритм улучшения. В [9] Расиной И.В. дан переход от билинейной системы к производной задаче. Последняя представлена автором в форме ДНС. Такое же представление сделано для примера. Работа [10] содержит предложенную автором математическую модель дискретного иерархического процесса. В работе [14] автору принадлежит доказательство достаточных условий оптимальности. В статье [13] Расиной И.В. предложен алгоритм градиентного типа для ДНС, и в форме ДНС представлен исследуемый химический процесс. В [15] получены условия относительного минимума второго порядка. В [16] Расиной И.В. выведены уравнения метода сильного улучшения, сформулирован алгоритм и проведены расчеты для иллюстративного примера. В работе [17] автором написан раздел по сложным процессам. Работа [18] содержит метод сильного улучшения и доказательство теоремы об улучшаемости первого приближения, метод приближенного синтеза оптимального управления на основе достаточных условий относительного минимума, расчеты для примера из химического производства, принадлежащие Расиной И.В. В монографии [20] автору принадлежит материал по сложным процессам, вывод уравнений метода слабого улучшения для непрерывных систем и метода приближенного синтеза оптимального управления на основе достаточных условий сильного минимума, а также исследование задачи оптимального управления посадкой вертолета на режиме авторотации несущего винта. В работах [21], [22] Расиной И.В. дано представление исследуемых моделей посадки вертолета в виде сложного процесса и сформулирован алгоритм решения поставленных задач оптимального управления. В коллективной монографии [24] для ДНС автором получен алгоритм улучшения первого порядка градиентного типа и приведены иллюстративные примеры. Работа [27] содержит анализ методов улучшения на основе достаточных условий оптимальности и метода глобального улучшения Кротова, проведенный автором. В работе [29] Расиной И.В. дана новая трактовка дискретно-непрерывного процесса. В обзоре [30] автору принадлежит анализ методов улучшения на основе достаточных условий оптимально-

сти, а также серии работ по дискретно-непрерывным процессам. В статье [32] Расиной И.В. разработан алгоритм улучшения для билинейной системы и найдена магистраль для улучшения в иллюстративном примере. Статья [33] содержит представление импульсных процессов в виде ДНС и алгоритм улучшения магистрали, которая трактуется как частный случай импульсного процесса. Указанные трактовки сделаны Расиной И.В. В работе[35] автором найдена магистраль ц предложена методика ее исследования. В работе[36] Расиной И.В. рассматриваемая задача сформулирована в виде сетевой структуры для проведения расчетов. Остальные указанные работы принадлежат лично автору.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному консультанту, профессору В.И. Гурману за его нелегкий труд и долготерпение, а также академику С.Н. Васильеву за постоянное внимание к работе. Кроме того автор признателен И.С. Гусевой, А.О. Блинову, О.В. Батуриной и О.В. Фесько за помощь в проведении расчетов.

Подписано в печать 04.09.2013. Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,8. Тираж 100 экз. Заказ 32 Отпечатано с готового оригинал-макета

в типографии Издательства ИГУ 664003, г. Иркутск, бульвар Гагарина, 36 тел. (3952) 24-14-36, e-mail: izdat@lavvinstitut.ru

НЕГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРАВА, ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

05201351585

На правах рукописи

Расина Ирина Викторовна

■ч

ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ НЕОДНОРОДНОЙ СТРУКТУРЫ

Специальность 05 13.18 — математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор В.И. Гурман

Иркутск - 2013

Оглавление

Введение 6

0.1 Математические модели и моделирование....................32

0.2 Абстрактные задачи оптимизации и улучшения ............33

0.3 Сеть операторов и достаточные условия

оптимальности..................................................39

0.4 Основные преобразования динамических систем

типа расширения ..............................................42

1 Дискретно—непрерывные системы. Условия

оптимальности и глобальные оценки 50

1.1 Модель дискретно-непрерывной системы.

Примеры ........................................................52

1.1.1 Описание модели........................................52

1.1.2 Аэрокосмические приложения ........................57

1.1.3 Робототехника и логико-динамические системы . . 60

1.1.4 Технологические процессы и экономика..............63

1.1.5 Биостемы................................................65

1.2 Достаточные условия улучшения

и оптимальности управления..................................67

1.3 Достаточные условия в форме Беллмана....................72

2

1.3.1 Линейная задача........................................73

1.3.2 Линейно-квадратическая задача......................74

1.4 Оценки множеств достижимости..............................76

1.5 Вырожденные задачи ..........................................83

1.5.1 Расширения ДНС и определение вырожденной задачи 83

1.5.2 Вырожденность задач для релаксационных ДНС . . 84

1.5.3 Метод кратных максимумов.

Обобщенные уравнения Беллмана....................91

1.5.4 Возможные приложения................................94

2 Методы улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления 96

2.1 Построение приближеных методов на основе

локализации глобальных условий..............................97

2.2 Улучшение процессов

по принципу локализации...................101

2.2.1 Метод локального улучшения второго порядка . . 103

2.2.2 Минимаксное улучшение ...............108

2.2.3 Итерационная процедура...............113

2.2.4 Линейная по состоянию ДНС.............118

3 Теоретические приложения дискретно-непрерывной модели 121

3.1 Дискретизация непрерывных систем ............121

3.2 Представление импульсных процессов ...........123

2

3.3 Применение концепции двухуровневой модели для повышения эффективности

программного обеспечения ..................141

4 Модели сетевой структуры и другие обобщения 145

4.1 Двухуровневая модель с обыкновенными дифференциальными системами...............146

4.2 Оптимизация водоохранных мероприятий

в бассейне реки.........................150

4.3 Другие обобщения и модификации..............157

4.3.1 Модель дискретно-дискретной системы (ДДС) . . . 159

5 Прикладные задачи 163

5.1 Управление химико-фармацевтическим

процессом............................163

5.1.1 Математическая модель и задача оптимизации . . 163

5.1.2 Построение ДНС и решение задачи .........166

5.2 Оптимальное планирование

рекламной деятельности....................170

5.3 Моделирование и оптимизация

устойчивого развития региона ................174

5.3.1 Описание модели и процедура оптимизации.....175

5.3.2 Поиск магистрального решения............180

5.3.3 Применение дискретной двухуровневой концепции . 186

5.3.4 Исследование чувствительности модели

к инновациям......................190

Заключение 195

Список литературы

с

Введение

Актуальность темы и степень разработанности

Системы с неоднородной структурой, дискретно-непрерывные управляемые процессы (ДНС), т.е. процессы с изменяющимся во времени описанием широко распространены на практике. Это связано с практическими потребностями автоматизации в различных областях. Примерами служат процессы химического производства, сложные космические операции, динамика роботов и логико-динамических систем, развитие организмов и биологических популяций.

Хотя систематическое изучение неоднородных процессов ведется достаточно давно в работах Е.А. Барбашина,Н.П. Бусленко, С.Н. Васильева, C.B. Емельянова, В.И. Гурмана, В.Ф. Кротова, A.B. Куржанско-го, В.М. Матросова, Миллера, Рубиновича, M.S Branicky . F.H Clarke, J. Warga , R.B. Vinter, Lygeros и многих других исследователей, в последние годы интерес к ним резко возрос со стороны разных научных школ в теории систем, управления и моделирования. Это подтверждает и прошедший в августе-сентябре 2011 г. 18-й Конгресс IFAC, на котором несколько секций рассматривали вопросы исследования таких систем. В октябре того же года они заняли солидное место среди докладов на проходившей следом 4-ой Всероссийской мультиконференции по проблемам управления, в июне 2012 на конференции IFAC по гибридным системам

в Копенгагене, а в сентябре 2012 г. — на VI Международном научном семинаре IFAC «Обобщенные постановки и решения задач управления» в Геленджике. Весьма полное представление о состоянии вопросов и о перспективах теории и приложений в этой области дает книга (Васильев С. Н. Интсллектное управление динамическими системами: монография. /С.Н. Васильев, А.К. Жерлов, Е.А.Федосов , Б.Е. Федунов. М: Физматлит, 2000. 352 е.), а также обзоры (Васильев С.Н. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем. /С.Н. Васильев, А.И.Маликов // Актуальные проблемы механики сплошной среды. Т.1. К 20-летию МММ КазНЦ РАН. Казань. Фолиант 2011 С.23-81 ; Миллер Б.М. Разрывные решения в задачах оптимального управления и их представления с помощью сингулярных пространственно-временных преобразований./ Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович // Автомат, и телемех. 2013. (В печати)). А некоторые аспекты из истории исследований изложены в статье (Васильев С.Н. Анализ динамики гибридных систем с помощью общих функций Ляпунова и множественных гомоморфизмов/С.Н. Васильев, A.A. Косов // Автомат, и телемех. 2011. №6. С. 27-47).

Поток публикаций по этой тематике неуклонно расширяется, значительная их часть объединяется под не установившимся пока термином «гибридные системы», к которым обычно относят дифференциальные системы с различными дискретными переключениями или управляющими воздействиями импульсного типа.

Значительная часть исследований неоднородных систем связана с задачами оптимизации управлений, когда методы оптимального управления для систем однородной структуры, ставшие уже классическими

(принцип максимума Понтрягииа, метод Бсллмана), непосредственно неприменимы. Для такого класса задач оптимизации с одной стороны требуется математическая модель, учитывающая специфику объекта, а с другой — математический аппарат, позволяющий находить решение поставленной задачи.

Формализованного определения математической модели не существует. Этот вопрос, а также проблема классификации математических моделей во многом отражающие взгляды авторов, их личный опыт и сферу применения конкретной модели затрагивались в работах (Ляпунов А А О математических проблемах кибернетики //Изв. Вузов Математика 1958. №5. С. 166-174 , Ляпунов А А Кибернетика и естествознание /A.A. Ляпунов, С.Л Соболев. М :изд-во АН СССР 1957 26 с , Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа, монография М Наука, 1981. 488 е.; Самарский А. А Математическое моделирование Идеи. Методы. Примеры: монография / А.А.Самарский, А П.Михайлов М Физматлит, 2002. 320 с. ; Мышкис А Д. Элементы теории математических моделей. М.: КомКнига, 2007. 192 с ; Советов Б Я. Моделирование систем: учебник / Б.Я. Советов, С А. Яковлев. М Высшая школа, 2001. 343 е.; Блехман И.И. Прикладная математика Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики- учебное пособие /ИИ Блехман, А.Д. Мышкис , Н.Г. Пановко. М УРСС, 2006 270 с , Pcicrls R. Model-Making m Physics // Contemp Phys , January—February 1980 v. 21. pp 3-17, Перегудов Ф И Введение в системный анализ учебник /Ф.И Перегудов, Ф.П Тарасенко. М • Высшая школа. 1989 320 с , Горбань А. Н. Демон Дарвина. Идея оптимальности и естественный отбор / А.Н.Горбань, Р.Г.Хлебопрос. М.. Наука. Физматлит, 1988 180 с )

Диапазон используемых моделей очень широк Об этом можно судить по ряду публикаций (Загадская Л С Моделирование системы управления морским портом « Методом ситуационной модели» /Л С Загадская, Ю И Клыков // Вопросы кибернетики М АН СССР, научн совет по компл пробл «Кибернетика» 1974 Вып 1 С 135-145 , Горстко А Б Имитационная система«Азовское море» // Труды ВНИРО ТСХУШ Вопросы математического исследования и моделирования экосистемы Азовского моря 1977 С 48-55, Поспелов Д А Ситуационное управление теория и практика монография М Наука, 1986 288с , Гурман В И Моделирование социо-эколого-экономической системы региона / Под ред В И Гурмана, Е В Рюминой М Наука, 2001 175 с , Данеев А В К теории реализации сильных дифференциальных моделей I /А В Данеев, А В Лакеев, В А Русанов, М В Русанов // Сиб журн Индустр Матем 2005 Т 8 ]У°1 С 53-63, Данеев А В К теории реализации сильных дифференциальных моделей II /А В Данеев, А В Лакеев, В А Русанов//Сиб журн Индустр Матем 2005 Т8 №2 С 46-56, Каляев И А Методы и алгоритмы коллективного управления в группах роботов учебное пособие / И А Каляев, А Р Гайдук, С ГКапустян М Физматлит, 2009 279 с , Каляев И А Самоорганизующиеся распределенные системы управления группами интеллектуальных роботов, построенные на основе сетевой модели / И А Каляев, А Р Гайдук С Г Капустин // Управление большими системами М ИПУ РАН 2010 Вып 30-1 С 605-639)

Математические модели нужно рассматривать как удобный инструмент для проведения исследований, поскольку натурный эксперимент далеко не всегда возможен Кроме того использование вычислительной

техники позволяет проводить многочисленные эксперименты, как по исследованию самой модели, так и для ее уточнения, а также решать самые разнообразные задачи

Как многократно отмечал в своих работах А А Ляпунов математические модели обладают важным свойством универсальности принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью Это является основанием для современной математической теории систем, занимающейся изучением математических моделей на достаточно абстрактном уровне, отождествлять понятия системы и модели Существует как у нас в стране, так и за рубежом большое количество научных школ, развивающих различные аспекты этой теории Отметим ряд наиболее известных их представителей М Ар-биб, В Н Бурков, С Н Васильев, В И Гурман, С В Емельянов Р Калман, ВМ Матросов, ДА Новиков, Д Мако, М Месарович, Я Такахара, П Фалб

Как уже отмечалось многие реальные объекты управления в том числе и непрерывные, по своей природе таковы, что в различных ситуациях проявляют различные свойства и плохо прсдставимы или вообще не представимы, целиком, в терминах классических дифференциальных систем К ним относятся объекты, описываемые дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями, дифференциальными уравнениями различных порядков на различных временных отрезках либо содержащие кроме дифференциальных уравнений объекты другой природы Спектр подобных объектов достаточно широк системы переменной структуры (Емельянов С В Теория систем с переменной структурой монография М Наука 1970 592 с ) дискретно-непрерывные си-

стемы (ДНС) (Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов. // Автомат, и телемех. 1973. №6. С. 53-58), непрерывно-дискретные (Васильев С.Н. Метод редукции в анализе непрерывно-дискретных динамических систем /С.Н. Васильев, Р.И. Козлов, А.В.Лакеев // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию Соболева «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений». Новосибирск: НГУ. 2008. С. 54), многоэтапные процессы (Габелко К. Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов. // Автомат, и телемех. 1974. №1. С. 72-80), логико-динамические, логико-управляемые системы (Vasilyev S.N. Logical Approach in Knowledge-Based Control. // Proc. of 21st SGES Intern. Conference on Knowledge Based Systems and Applied Artificial Intelligence (ES-2001)— Cambridge. 2001. P. 259-272., Васильев С.Н. Теория и применение логико-управляемых систем. // Труды 2-ой Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03). 2003. С. 23-52, ; Бортаков-ский A.C. Достаточные условия оптимальности управления детерминированными логико-динамическими системами // Информатика. Сер. Автоматизация проектирования. 1992. Вып. 2-3. С. 72-79; Бортаковский А.С Достаточные условия оптимальности автоматной части логико-динамической системы // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №6. С. 77-92; Тимченко Д. Н. Синтез логико-динамической системы оптимального управления нелинейным неголономным объектом типа «мобильный робот» // Технические науки в России и за рубежом. Материалы междунар. заоч. науч. конф. (г. Москва, май 2011 г.). М.: Ваш полиграфический партнер. 2011. С. 43-48; Бортаковский A.C. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными система-

ми / A.C. Бортаковский , A.B. Пантелеев // Автомат, и телемех. 1987. №7. С. 57-66. ), импульсные процессы (Цыпкин Я.З. Теория нелинейных импульсных систем./ Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попков Ю.С. М.: Наука. 1973. 416 е.; Дыхта В. А. Оптимальное импульсное управление с приложениями: монография / В.А. Дыхта, О.Н.Самсонюк. М.: Наука, Физматлит, 2000. 256 е.; Bensoussan A. Controle impulsionnel et in equations quasi-variationnelles: монография / A. Bensoussan , J.L.Lions. Paris. 1982. 364 P.; Миллер Б.M. Обобщенные решения дискретно-непрерывных и импульсных систем // Обобщенные функции в задачах управления и дифференциальных уравнениях. Свердловск: УРО АН СССР. 1992. С. 49-58; Миллер Б.М. Оптимизация динамических систем с импульсными управлениями: монография / Б.М. Миллер, Е.Я. Рубинович. М.: Наука, 2005. 429 с. ), гибридные системы (Гурман В.И. Модели и условия оптимальности для гибридных управляемых систем. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. №4. С.70-75; Точилин П. А. Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем./ П.А. Точилин, А.Б. Куржанский. М.: МГУ, 2008. 176 е.; Lygeros J. Lecture Notes on Hybrid Systems. Cambridge: University of Cambridge. 2003. 70 p.; Haddad Wassim M. Impulsive and Hybrid Dynamical Systems: Stability, Dissipativity and Control. / В.Хаддад , В.Челлабона , С.Г. Нерсесов (Wassim M.Haddad , Vijay Sekhar Chellaboina, Sergey G. Nersesov). Princeton University Press. 2006. 200 p.; Марченко В.M. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем./ В.М. Марченко, Ж.Ж. Луазо // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. No 5. С.728-740; Марченко В.М. О полной наблюдаемости гибридных дифференциально-разностных систем // ДАН. 2011. Т. 441. т. С. 179-182. и др.). Н.П.Бусленко (Бусленко Н.П. Ими-

тационное моделирование сложных систем монография М Наука 1978 399 с ) рассматривает непрерывно-дискретные системы как обобщающий (самый общий и самый сложный) класс сложных систем и называет такие системы агрегативными

Для решения задач оптимального управления системами не изменяющими структуру своего описания в течение рассматриваемого периода существует достаточно хорошо развитый математический аппарат основу которого составляют такие фундаментальные результаты как принцип максимума Л С Понтрягина (Понтрягин Л С Математическая теория оптимальных процессов монография / Л С Понтрягин В Г Болтянский, Р В Гамкрелидзе, Е Ф Мищенко М Физматгиз, 1961 391 с ) метод динамического программирования Р Бсллмана (Беллман Р Динамическое программирование монография М ИЛ 1960 401 с ) и достаточные условия оптимальности В Ф Кротова (Кротов В Ф Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума I //Автомат и телемех 1962 №12 С 1571-1583 Кротов В Ф Достаточные условия оптимальности для дискретных управляемых систем //ДАН СССР 1967 Т 172 №1 С 18-21), а также работы Н Н Красовского (Красовский Н Н Теория управления движением монография М Наука 1968 476 с), А А Красовского (Красовский А А Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование монография М Наука 1973 560 с) А Б Куржанского (Куржанский А Б Управление и наблюдение в условиях неопределенности монография М Наука 1977 394 с ) А Б Куржанского и Ю С Осипова (Куржанский А Б К задаче об управлении с ограниченными фазовыми координатами /А Б Куржанский, Ю С Осипов // Прикл

Матем. и мех. 1968. Т.32. №2. С. 194-202; Куржанский А. Б. Об одной задаче управления при ограниченных координатах. /А.Б. Куржанский, Ю.С. Осипов // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1970. №5. С. 2228.), Дж. Варги (Варга Дж. (Warga J.) Optimal control of differential and functional equations: монография/ Дж. Варга (J. Warga). New-York: Academic Press. 1972. P. 624.), А.Я. Дубовицкого и A.A. Милютина (Дубовицкий А.Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений /А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин // ДАН СССР. 1963. Т. 149. №4. С.1128-1132; Дубовицкий А.Я. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления: монография // А.Я. Дубовицкий, A.A. Милютин. М.: Наука. 1971. 112 е.), А.Г. Бутковского (Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами: монография. М.: Наука. 1965. 474 е.), А.Д. Иоффе, В.М. Тихомирова (Иоффе А.Д. Теория экстремальных задач: монография /А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. М.: Наука. 1974. 481 е.), A.M. Летова (Лотов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов, II. // Автомат, и телемех. 1960. Т. 21. №5. С. 436-441; Летов А. М. Динамика полета и управление: монография. М.: Наука. 1969. 360 с. ), А.С.Матвеева. В.А.Якубовича (Матвеев