автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Экспертная система по организации процесса вычисления функций Матье

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имепи В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.16

На правах рукописи

ДОЛВЕЕВА Светлана Фплппповна

ЭКСПЕРТНАЯ СИСТЕМА ПО ОРГАНИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ МАТЬЕ

05.13.17 — теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском ордена Ленина н ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственном университете пм. Б. И. Ленина.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Г. Л. ШАДРИН

Официальные оппоненты:

член-корреспондент ЛТП РФ, доктор физико-математических наук, профессор А. В. ЧЕЧКИН,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник М. К. КЕРИМОВ

Ведущая организация: Московский педагогический университет.

Защита состоится г. в часов

на заседании специализированного совета К 053.01.16 в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107104, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета по адресу: 119882, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан 3г.

Ученый се] говета

ЕЦОВ

oi;;:^ характерис-шм. рлюти

Дурное равитие вычислительной техники привело к тому, что всо большее количество прикладных задач решается методами вшис-литольной математики. Процесс решения шюгих таких задач сводится к созданию тех или иных систем искусственного интеллекта (контроля и диагноза, прогноза и проектирования, системы управления, экспертные системы и т.д.), являющихся предметом информатики (Ф.Л. Бауэр, Н. Винер, А.П. Ершов, D.H. л'уравлев, ¿vi. Ма-зур, B.J1. Матросои, A.B. Чечкин, К,3. Шеннон и др.).

Так достаточно большое количество физических задач, связанных с к

олейательиыни и дафракционтии проблемами, приподят к дифференциальному уравнению

У (iL- JL f wX x:)j ^ О M

впервые описанному Матье в IB68 году. -¡етные или нечетные периодические с периодом я или i Ii решения этого уравнения называются функциями Матьо первого рода. Они соответствуют определенным значениям а(<^), называемые собственными значениями уравнения Матьо.

В связи с большой практической значимостью собственных функций уравнения Матьо в начале 50-х годоп появились работы, описывающие различные методы вычисления собственных значений и функций - матод краевых задач, метод итерационных уравнений, метод цепных дробей (Г. Бланш, Д. Клеш, И. Роуде, Р. Баракат, Э. Левин и др.), а также таблицы собственных значений и соиотвенных функций уравнения Матье (Г. Бланш, Д. Клемм, И. Роудс и др.).

Большинство из этих работ выполнено для действительного параметра, причем липь в.двух.из них приведены данные для собственных функций Матьо. Основная часть работ ограничивается вычислением собственных значений.'Наиболее доступные из них дапт собственные значения и собственные функции для |<j| ¿¿¡Г и порядка собственных функция m z-JS",

Существует лишь несколько работ, в которых приводятся ал. горитш вычисления собственных значений и собственных функций ^ уравнения Матьо для коыплексного ' (Г. Бланш, Д. Клеш, А.Я.

¡ЛЕ&рстена, Г.Я. Сермоно, H.H. Устинов, A.M. Березман, М.К. Керимов, C.I. Скороходов, Г.Л. Шадрин и др.). Таблиц для собственных Функций уравнения Матьо с комплексный параметром нет.

Актуальность данной работы определяется необходимостью вычисления функций Матье с комплексным параметром для достаточно большого по абсолютной величине q-

Цель иооледованшт заключается в построении экспертной системы по организации вычислений собственных значений уравнения Матье и коэффициентов разложения соответствующих функций Матьо в ряды Фурье.

■ мя реализации поставленной проблемы необходимо было решить ряд задач:

I) построить полную ультрасетевую модель вычисления собственных чисел и собственных Функция уравнения Матье;

'¿) построить высокоточные и устойчивые алгоритма вычисления собственных значений и Функций Матье;

3) построить асимптотические формулы для собственных чисел уравнения ..1атье с комплексны!.; параметром при / £-/ <» , выяснить условия их применимости и возможность использования в вычислениях;

4) составить программы, реализующие полную ультрасетеву^ модель;

ü ) провести тщательный контроль работы ¡экспертной системы и анализ ее возможностей.

Научная новизна настоящей работы состоит в создании полной улътрасотевой модели вычисления функций Матье и ее реализации п виде экспертной системы, позволяющей вычислять собственные значения уравнения Мятье и коэффициенты разложений функций Матье в ряды 'Турье для комплексного , и номера собственного

числа пъ £. л 5~.

На защиту выносятся следующие основные положения:

I) полная ультрасетевая модель экспертной системы вычисления функция ¡'лтье;

'¿) высокоточный и устойчивкЯ алгоритм вычисления собственных функция Мятье с комплексным параыет5«м £ .основанный на методе ценных дробей.

.¡тактическая ценность исследования состоит в следующем:

1) реализована экспертная система по организации вычислений собственных значений, коэффициентов разложений и ряды 'т>урье для действительного и комплексного ' , /ej./ < i5"о , т. < ;

2) эта система позволяет составить таблицы собственных чисел и коэффициентов разложений собственных функций уравнения Матье в ряда Фурье со множителями связи (коэффициентами перехода от одной нормализации коэффициентов к другой).

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ CüÁ£P,JUUK FAoOTJ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения списка использованной литературы а пршэжения, содержит 6 таблиц •а 10 рисунков.

Р'о введении обосновывается актуальность избранной теш диссертации, .формулируются цели и задачи исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость работы, выдвигаются, основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе ("Постановка проблемы. Обзор литературы") рассматриваются основные понятия и термины, используемые в диссертации, ставится задача диссертационного исследования.

В первом § раскрываются основные понятия математической информатики; сведения о точке хе из множества X , информация о точке 20 из шожества X i приводится классификация носителей информации, рассматриваются решетки понятий для X и их шкалы. На основа понятия im формации о точке A.B. Чечкинш было обобщено классическое понятие отображения множеств. Если X - множество, L - решетка понятий для X , Р - решетка достоверностей, то декартово произведение

Р / L * X -- i (t)

называется улътраоанащениеа мнояества У , или ультрамю.теством над X t при этой само множество / будем называть опорным.

Пусть X, ,~ Jí „ - два множества, С : Х1 У.^ -отображение, и X, , - два ультраоснащения X, i .

Тогда отображение ^

С : X, X* ' .

называется ультраоператором над С■, еоли коммутативна диаграы-

/

✓ с

Ху------» х

✓ Ху

■у

С

V

л.

-> х.

где С, , - естественные проекции декартова произведения (I) на последний сомнокитель,

Ультраопоратор над тождественным отображением называется • сингулярным.

Ультраоперятор является математической моделью ультрасисте-мн (преобразователя данных об объектах одного множества X в данные об обьекгах другого множества У ).

Но втором § рассматривается уравнение Матье, его периодические решения и свойства этих решений. •

Собственные функции Магьо первого рода предсгавиш в виде: 0е

.£-0

соответствующие собатввннш числам типа . }

^л-м

(*.$) - Т ¿¿л*,0*»'

соответствующие ообственнш числеи типа с ;

Ч-) = £ ^а ^ А. - (*)

1*1 ■ соответствующие собственным чнслаы типа ;

1-е

соотеетстпугкцие собственный числам гипа ^¿к**- . Исг.элъзуится, кян правило, две нормализации коэффициентов этих функций:

I) нормализация, предложенная Айнсои-Гольдотейноц

• ■ - ь -

Ип

/ се^Сх.^с/х -- ¿!Г ;

о

2) нормализация, предложенная Стреттоном-Лорзе—|у-/1ютнероы:

У ('О' 9-)

для четных функций; • с/и

& I

/ г- о

I

для нечетных функций.

¡Три подстановке рядов (2) - (5) в дифференциальное уравнение (I) получаем следующие рекуррентные соотношения да се ^

' - ей Л - у. К --о , (ь)

(0--Ч) ^ - (*„ + ¿А,) - О, . ^

I '

(а, - 1 * у.) .Л, - $ Л - г? , (ч)

(й.- (1Г+ 0, - 5 * е

да* ¿ч^; ,

+ 3, - у. ^ , ^ ¿и)

(а- - ^ (6^ + ^ ;

да ^^ /ч.^;

(о. ¿л - £ ^ = л-з;

При подстановке /.'г вместо ж в уравнение (*) получим

' У* + (л. - ¿у. сА ¿¿) у = о ,

называемое модифицированным уравнением Матье и рассмотренное в третьем §. Первые роюения этого уравнения получаются при подстановке ц в формулы (2) - (5)

называется модифицированными функциями ¡.1атье или функциями Матье II рода, разлагающиеся в ряда функций Бесселя, коэффициенты-которых пропорциональны коэффициентам рядов .(2) - (5). Коэффициент пропорциональности этих рядов легко вычислим с помощью формул, приведенных в § И главы I.

,.дя вычисления коэффициентов разложений {'¿) - (5) необходимо знать собственное значение а( /2-) уравнения №), которому соответствует искомое решение. Поэтому в § 4 подробно рассматриваются свойства собственных чисел уравнения, приводятся асимптотические формулы для собственных чисел уравнения Матье с комплексным параметром гфи I -~> 0 •

Г) пятом 5 производится постановка задачи: разработка интеллектуальной системы (в нашем случае это будет экспертная система ) по организации нахождения функций Матье. ¿ля этого необходимо создать полную ультрасетевую модель этой сис.теш.

Создание полной ультрасетевой модели'швозыоейо без построения базовых алгоритмов вычисления функций Матье, что р сбой очередь включает в себя получение асимптотик собственных чисел уравнения .Матьо при / -■» и исследование их в связи о

возможнозтыз использования при вычислениях. Все ото определяет исследовательский и математический этапы в построении экспертной системы.

Компьютерный этап в построении экслертной оиствш будзт вклгчать в себя создание программного обеспечения для всех со . элементов и комплексная отладка всех се элементов и узлов. В катаем случае - это и проверка достоверности полученных с ео по-

мощью результатов. . '

Во второй главе ("Базовые алгоритмы вычисления функций ¡>!атьв") в первом § приводится вывод асимптотических Фор;.!ул для собственных чисел-уравнения Матье с комплексным параметром -7 сто методом ВКБ - приближений.

• t

а. =■ паи, ~ -1а + 2-^- ' .

. I г./ Л -{'Г;

(п)

Си -- а^ и^ 4пг1 ~ ' ¿1- + X и

- I (¿м^Лмк) + 0{(-Ч-Уг).

Во втором §.приводится подробноэ исследование "двойных"го-чек уравнения Матьо, линий Стокса, которые возникают в связи с отга, а также областей применимости полученных формул.

В связи с большой трудоемкостью "идентификации" номера и области, в которой действует Формула (15) или (16) делается, пывод о нспрнмешгмостп асимптотически.": Формул для собственши *г."сол уравнения Матье с котчексннн параметром з качестве ггамальгсгх приближений для знчислений.

В третьем § приводятся основные методы вычислений функций Матьо: мотод-краевых задач, метод р<зкуррен?н!с: уравнений, метод цзтак дробей. В дальнейшем для определенности рассматривается япкеленио собстсешпга чисел типа методом цепных дробей

п ого модификаций. Лля этого вводятся следуйте обозначения:

(/ -г о-?

V п. Г, >

а у^ду

3 Л*-¡у

= * ■

То~,',1 посла :;э1сохор:с: преобразования рекуррентных соотношений

(б) - (8)'получка •'

;= ^

■ ' -/¿7™.»' ' М-/», г - 1, )

' = С Я тг1 Со^ I, Гл.-¿ъ г-

- о -

r lül ' 1 ' -- /к - , ■

Теперь можно Ьформулировать и доказать теорему I:

Число а является собственник значением для уравнения Матье тогда и только тогда, когда

= 9^-9«., - о («)

для некоторого /п. , для которого f конечно.

Учитывая в (17) рекуррентные соотношения (8) - (14) получим уравнение вида

где

'й-* 4 (о-) , . , (Н)

Подробнее рассмотрены в § 3 главы II,

Метод итерации к уравнения (1Ь) применить нельзя, так как .'для I í¡ ¡ >¿0 прекращает выполняться условие сходности итерационного процесса

I/Уа)1 i f < í .

. Поэтому эти уравнения заменяются уравнениями вида

Cfcc) - e¿- 4/cl) Z О -

к которым применялся метод Ньютона в комплексной области.

В четвертом § рассматривается вычисление коэффициентов разложений функций Матье в ряды <\>урье. ¿¿ш этого необходимо определить номер наибольшего по абсолютной величине коэффициента. Положим Лп - i ■ , тогда остальные коэффициенты определяются по фсрыулам .•""'.

Вычисления производятся, до тех пор, пока '

/1г. (лЛ * е Iуг € - псугшиееТ, ёкилыгиаи .

Пооле этого ыоя-ю нормализовать коэффициента любим извеотнш способом.

В третьей главе ("Зкопертнал. система оо организации вычислений функций Матье о комплексным параметром") отроится полная ультрасетевая модель экспертной систем, рассматривается компьютерный зтал ее построения, приводится практическое исследование полученной системы.

В первом § строится два ультраосншцения множеотвй X (множества собственных функций уравнения Матье) . '

I * РП*Х , Р * М ,

где Р - элементарная решетка достоворносте.Л (р= о или I), . решэтка1предстаЕша в вида 1

■ и ч,

где ¿, - решетка четности со ¡скалой 3 « ^четность, нечетность^

решетка периодичности, со шсаясй Ш « (_ периодичность о периодом у , периодичность с периодом 2 Я , периодичность с периодом %I , периодичность с периодом 2 5>1 )

¿3- решетка номера фумидии со шкалой, состоящей иа всех нв-о трицательных чйс ел;

реиатка «уетра , со школой, состоящей из вез* яомплексных чисел. •Решотка М представлена в виде

-М М, * . . ' :

где ••! / - решетга собственных- чисел со талой из всех коиглекс-т.к чисел.

решетка а»первых, коэффициентов разложений функций йатье в ряды со якьйой, йозчадащеЯ с С«- -меряны пространством.

Построенный в третьем § главы II метод цепных дробей на основе . данных о точке Хо £ ■ X относительно разложения ( ) выдаёт, данные о точке х^ е X относительно разложения (20) и является отображением Е множества X на себя

£ : Х.^Х

Под этим опорным отображением можно построить ультраоператор

у V V

В : I -->

.Так как £ - тождественное отображение, то ультраоператор £ является сингулярным. Далее показано, что он осуществляет связь между терминальными носителями информации

Е : $(ъ>) —>

Связь между опорным отображением и ультраоператором можно изобразить следующим образом; . •.

Здесь I - предметная область, Z - информационная область, круй-каии изображены накопители, прямоугольником - ультрасиотеш.

Таким образом нами построена математическая. модель ультрасистемы - сингулярный ультраоператор, уточняющий сведения о собственных функциях уравнения Матье. '

' На рисунке видно, что ультраоистеыаыи будут и датчики d, и 'd^ . датчик Ы i производит сбор информации о конкретном объекте (функции) е- X .ив терминах шкалы Ш передает их б соответствующий накопитель. В нашей случае рыкала Ш будет состоять из различных приближений дня собственных чисел, /^тчик

({,пз всех возчокнмх сведений об объекте Ул выбирает' только часть, поэтому он является уточняющей сингулярной ультрасистемой.

Датчик также является уточняющей сингулярной ультрасистемой. Он по -еланиа пользователя производит выбор нормировки и осуществлю? ое, и позволяет производить вычисление собственных функций ..'лтьо I рода для действительного х .

Интеллектуальная система, включающая в себя накопители, ультрасистеш и датчики, называется ояспврпшнп системами.

Такт.! образом, построенная нами полная ультрасете^ая модель ягллется моделью экспертной систем:.

Во втором параграфе третьей главы оотюадвявтея програгаа, реализующая построенную полную ультсасвтецую модель экспертной с!;стс;лг, приводится пример ое работы, ■ .

В третьем п"рэгрг,-'в прозэдптоя полноэ исследование эксперт-, ной спстечы, подробно изучаются параметр?', при которых получаем достоверные результаты.

С Заключении подводятся основнкз итоги днссертациошюго лс-слеД'З'лнип.

В Ирилочиши нряьодзн лэвганг Ьрэграммв.

По теме диссертации опу5ли*а?ини сяэдугещв статьи:

1. долбеевя О/*, Асгштотнчесгая формула для собственных чисел уравнен:« «атьо с кемплокспнм параметром // Вычислительная математика и *изит. - М.: КГИй им. В.И. Ленина, К€7. -С. 121-125.

2. Долбеева С.'-5. Об одном методе вычислений собственных чисел уравнения '.'атье // Вмчислительная математика и математическая Физика. .- .1.: ,4ГШ им. В.И. Ленина, К86, С. 52-62.

'3. долбеева С.О. О применении асимптотически формул для собственных чисел урнадения Матье с кохшлеясяш параметром // вычислительная к ¡тематика и математическая физика. .-' :>!.: КП1Й им. В."^Ленина, 1Т;87. - С. 149-151. __ ' ______.......

Результаты исследования докладывались на семинаре кафэдры 'атрматкческой фдзшш ШГУ кн. В.И. Лзнана, на сэнанарэ. под им- . еодстеом профессора .'.Ьтросова.В.Л,