автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование процессов самоорганизации при ионной бомбардировке подложки и при образовании полос адиабатического сдвига в материалах

/копией

РЯБОВ ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ САМООРГАНИЗАЦИИ ПРИ ИОННОЙ БОМБАРДИРОВКЕ ПОДЛОЖКИ И ПРИ ОБРАЗОВАНИИ ПОЛОС АДИАБАТИЧЕСКОГО СДВИГА В МАТЕРИАЛАХ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ 1 ° Н0Я 2011

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2011

4859486

Работа выполнена в Национальном Исследовательском Ядерном Университете «МИФИ»

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

Лауреат Государственной премии СССР, доктор физико-математических наук, профессор Кудряшов Николай Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

начальник математического отдела профессор Трощиев Виталий Ефимович, ГНЦ РФ ТРИНИТИ

доктор физико-математических наук, доцент Мисюрин Сергей Юрьевич, Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН

Ведущая организация: Ярославский Государственный Университет

им. П.Г. Демидова

Защита состоится «Ж» декабря 2011 г. в Л часов Ж. минут на заседании диссертационного совета Д212.130.09 в Национальном Исследовательском Ядерном Университете "МИФИ" по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98, 323-92-56

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан » ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Леонов A.C.

Общая характеристика работы

Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные математические модели, описывающие процессы самоорганизации диссипативных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки и при формировании полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Актуальность работы. Процессы произвольного или вынужденного образования устойчивых пространственно-неоднородных структур, возникающие и результате эволюции неустойчивости в однородных открытых системах, проявляются в природе и во многих физических экспериментах. В настоящее время структуры такого типа принято называть диссинативными. Этот термин введен И. Пригожиным, который отмечал, что для образования таких структур в открытых системах необходимы диссипативпые процессы. Классическим примером образования диссипативных структур являются процессы образования ячеек Рэлея-Бенара, реакция Белоусова-Жаботннского, вихри Тейлора и д.р.

Процессы самоорганизации диссипативных структур характерны для многих неравновесных систем. Они наблюдаются в гидродинамических, биологических и химических системах, а также при распространении фронта пламени, в поведении сыпучих материалов, в плазме, нелинейной оптике и т.д.

В данной диссертации изучаются процессы самоорганизации диссипативпых структур, которые наблюдались в экспериментальных работах по исследованию процессов ионной бомбардировки поверхности полупроводниковых подложек и при формировании полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

В 70-х годах прошлого века установлено, что при ионной бомбардировке поверхности подложки происходит процесс самоорганизации упорядоченных структур в виде ячеек, бугорков или ряби в зависимости от значений физических параметров задачи. Эти эксперименты представляют собой значительное технологическое

открытие и ставят ряд вопросов относительно механизмов, отвечающих за формирование данных структур.

Получаемые в результате ионной бомбардировки подложки обладают рядом полезных свойств и используются для защиты оборудования от высоких температур, агрессивных сред и различных типов износа. Данные подложки применяются при изготовлении светоизлучающих устройств на основе кремния (при создании солнечных батарей), в спектроскопии, микроэлектронике, селективном нанокатализе, они необходимы для записи информации со сверхвысокой плотностью.

Явление формирования кластеров наноструктур при ионной бомбардировке поверхности полупроводниковых подложек интенсивно исследуется с использованием экспериментальных методов. В ряде работ длительность облучения образцов составляла от 5 до 16 часов. Таким образом, возникает необходимость разработки математической модели и комплекса расчетных программ, позволяющих объяснить результаты, полученные в экспериментах и сделать прогноз о поведении поверхности подложки.

Еще одним важным и интересным примером самоорганизации структур, рассмотренным в диссертации, являются процессы формирования полос адиабатического сдвига (ПАС) в материалах при деформациях. В последние годы данное явление привлекает к себе большое внимание. Это обусловлено тем, что полосы адиабатического сдвига являются одним из механизмов разрушения материалов при высокоскоростных сдвиговых деформациях. В материалах эти полосы становятся более хрупкими, чем окружающие участки, так что в случае продолжительной деформации происходит разрушение материала вдоль полос. Известно, что область локализации ПАС составляет примерно от 1 до 500 мкм. Данное явление наблюдалось в ряде технологических процессов атомной, военной н космической промышленности и при проведении многих физических экспериментов. Примеры таких процессов встречаются при пробивании материала, обработке материала давлением, при механической

обработке материала, фрикционной сварке материала и прессовании. Возможность возникновения полос адиабатического сдвига отмечалась при работе ядерного реактора, а также при запуске и крушении шаттлов. В последние годы это явление обсуждается при разработке методов создания новых сплавов и материалов. Оказалось, что подобные процессы могут вызывать не только разрушение, но и упрочнение материала. В ряде зарубежных и отечественных публикаций показано, что эффект "залечивания" пор при ударно-волновом нагружении значительно выше по сравнению со статическим сжатием той же амплитуды.

В ряде экспериментальных работ установлено, что при высоких начальных скоростях деформации имеют место процессы самоорганизации полос адиабатического сдвига. Однако, до настоящего времени, по существу, отсутствовали работы по численному моделированию процессов, происходящих при самоорганизации полос адиабатического сдвига в материалах.

Целью диссертации является исследование нелинейных математических моделей, описывающих процессы самоорганизации упорядоченных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки и при формировании полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Методы исследования. Исследование нелинейных математических моделей в диссертационной работе строилось на основе численных и аналитических методов. При формулировке математических моделей использовались законы сохранения. При построении численных решений применялась теория разностных схем и псевдоспектральные методы. Для построения точных решений дифференциальных уравнений с учетом переменных бегущей волны использовался метод "простейших" уравнений. Символьные вычисления при выполнении работы проводились с использованием пакета прикладных программ МАРЬЕ. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++ и МАТЬАВ.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• Разработана математическая модель для описания процессов самоорганизации кластеров наноструктур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Сформулирована математическая модель формирования полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях;

• Построены точные решения нелинейных эволюционных уравнений для описания процессов ионной бомбардировки поверхности подложек;

• Разработаны алгоритмы и на их основе реализованы программы, позволяющие проводить численное моделирование процессов формирования структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке в одномерном и двумерном случае;

• Изучено влияние физических параметров задачи на формирование наноструктур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Разработан численный алгоритм и на его основе реализован комплекс программ, позволяющий исследовать процессы формирования полос адиабатического сдвига в материалах;

• Исследована роль физических параметров математической модели в процессах формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

• Изучены процессы самоорганизации полос адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали.

Научная новизна работы:

• Предложена математическая модель, описывающая процессы самоорганизации кластеров наноструктур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Получены точные решения эволюционных уравнений для описания процессов ионной бомбардировки поверхности подложки в одномерном и двумерном случае;

• Определен диапазон изменения управляющих параметров, в котором наблюдаются упорядоченные структуры при иошюй бомбардировке подложки;

• Показано, что при больших временах облучения учет слагаемых высокого порядка приводит к существенному влиянию на процессы формирования наноструктур на поверхности подложки при ионной бомбардировке;

• Установлено существование критического значения начальной скорости деформации, до которой температура плавления в одной полосе адиабатического сдвига достигается быстрее, чем в другой;

• Получены оценки количества сформировавшихся полос адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране н стали в результате сдвиговых деформаций;

• Рассчитаны расстояния между полосами адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали при различных значениях начальной скорости пластической деформации.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются совпадением полученных численных результатов с тестовыми точными решениями, экспериментальными данными и результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Научный семинар кафедры "Прикладная математика" НИЯУ МИФИ "Проблемы современной математики" в 2009 - 2011 годах;

2. Всероссийская конференция "Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях", НИЯУ МИФИ, Москва, 27-29 мая 2009 года;

3. Школа-семинар " Нанотехнологии производству — 2009", НИТУ МИСиС, Москва, 21-26 сентября, 2009 год;

4. Международная конференция аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2010", МГУ, Москва, 12-15 апреля 2010 года;

5. IX Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур", НИ СГУ, Саратов, 4-9 октября 2010 года;

Б. Конференция "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", МИФИ ИАТЭ НИЯУ МИФИ, Обнинск, 14 18 мая, 2011 год;

7. Ежегодная Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 20092011 года.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Созданный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию процессов формирования структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке позволяет формулировать рекомендации по получению данных структур при проведении экспериментов;

2. Разработанный комплекс программ может быть использован при проведении численных экспериментов по исследованию полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях, что позволяет уменьшить издержки на проведение экспериментов по изучению данного процесса;

3. Полученные в рамках диссертационной работы точные решения нелинейных эволюционных уравнений могут использоваться для тестирования комплексов программ по расчету процессов

формирования наноструктур па поверхности подложек при ионной бомбардировке;

4. Результаты диссертационной работы использованы в качестве материалов при выполнении федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" в рамках государственных контрактов П28, П1222.

На защиту выносятся:

• Математическая модель для описания процесса распыления поверхности подложки при ионной бомбардировке;

• Точные решения семейства нелинейных эволюционных уравнений для описания процессов иошюй бомбардировки поверхности подложек в одномерном и двумерном случае;

• Комплекс программ, позволяющий проводить математическое моделирование процессов эволюции топографии поверхности подложки при иошюй бомбардировке в режиме реального времени;

• Результаты численного моделирования процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при иошюй бомбардировке;

• Программный комплекс для моделирования процессов образования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

• Результаты вычислительных экспериментов по моделированию процессов формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 19 публикациях, в том числе 6 работ опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, двух приложений и списка литературы. Диссертация содержит 138 машинописных страниц и 53 рисунка. В список литературы включено 146 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, приводится общая характеристика диссертационной работы, а также ее структура, дается краткий обзор литературы по тематике работы.

Первый раздел диссертации посвящен построению нелинейных математических моделей, которые описывают процессы образования кластеров наноструктур на поверхпости подложек при ионной бомбардировке и описывают процессы формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

В разделе 1.1 обсуждаются процессы ионной бомбардировки поверхности полупроводниковых подложек. Рассмотрены сценарии взаимодействия падающих на поверхность твердого тела ионов с атомами кристаллической решетки подложки. С учетом того, что энергия падающих ионов е лежит в пределах от 1 до 100 кэВ и масса падающего иона больше массы атома подложки, установлено, что преобладающим процессом взаимодействия ионов и атомов подложки является физическое распыление. Если энергия падающих ионов превышает энергию связи частиц кристаллической решетки, то при ударе о поверхность они начинают выбивать атомы с поверхности или вызывать каскад столкновений.

Для описания довольно сложного процесса каскадов столкновений и распыления поверхности подложки в работе предполагается, что ион проникает в вещество и останавливается в некоторой точке Р, высвобождая свою кинетическую энергию согласно распределению

Рис. 1. Схема распределения энергии при проникновении иона вглубь материала

Гаусса с поперечной длиной ц и продольной шириной сг

Т?< N £ ( 2'2 Х'2 + т

где б - энергия иона, X', У, 2' - расстояния от точки Р до точки О в направлении траектории иона, см. Рис.1.

Связь между функцией, описывающей профиль поверхности И, и скоростью эрозии Уо в поверхностной точке О дается формулой

^ = -У0{1 + Н1 + Ь1У'2-КЧ% (2)

где К - коэффициент температурного сглаживания поверхности подложки, Уо определяется из соотношения

У0 = А[ Ф{г)Е{г)йг. (3)

Лг

Здесь Л - постоянная величина, зависящая от сечения рассеяния и поверхностной энергии связи атомов, Ф(г) - коррекция потока ионов вследствие вариации локальной кривизны поверхности, К -поверхность, каждый элемент которой дает вклад в общую энергию,

внесенную ионами.

В диссертации показано, что из системы уравнений (1), (2), (3) можно получить следующее дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию профиля поверхности с течением времени

дИ дк % (дН\2 Л /дЬ\2 д2Н дЧ

„ /дн\ (д2к\ , (дь\ (дЧ\ „ дЧ п дЧ

кдх) \дх2у \дх) \ду2) дх3 дхду2

„ дЧ _ <94Л п 54/г . дЧ . Л <95Л

-Дсхтг-т - ^ттп Уху + С1-5~ч + С2а о 4 + 437

сдх4 то<9у4 Худх2ду2 ^Зж5 ^&г<92/4 ^дх3ду2

(4)

где коэффициенты и0, 7> ^х. "у) 6г> £</> ^ь ^2, Агх, Ас», Сь С2, Сз гх, Ту, гху, тух - функции физических параметров задачи, таких как угол падения, плотность потока ионов, их энергия, глубина проникновения и т.д.

В случае нормального падения ионов на поверхность подложки уравнение (4) принимает вид

дк (дЧ дЧ\ , дЧ\

ГдЧ дЧ дЧ дЧ

~ Г + Здх2ду4 + дхЮу2 + ду6

(5)

где г'о, V, г, О, А зависят от значений физических параметров.

Таким образом, в диссертационной работе показано, что эволюция поверхностной морфологии подложки при ионной бомбардировке с течением времени описывается уравнением (4). Проведено обсуждение физического смысла параметров, входящих в уравнение (4), и их влияния на процессы распыления поверхности. Рассматриваются некоторые частные случаи уравнения (4). Обсуждается процесс распыления быстровращающейся подложки.

В разделе 1.2 рассмотрен процесс сдвиговой деформации

бесконечного слоя несжимаемого упруго-пластического материала высотой 0 < у < Я, см. Рис. 2. Построена математическая модель,

описывающая процессы формирования полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях в виде

VI--Оц = О,

Р

о, - р. Уу =

СрТ( = кТуУ+0а£р, (6)

ё^Е-ЧТ,^),

/ ё'Ут. Jo

где первое уравнение представляет собой закон сохранения импульса, второе уравнение есть следствие закона о деформации, третье -суть закон сохранения энергии, четвертое уравнение - это закон пластической текучести. Здесь г>(у, ¿) - скорость слоя частиц материала в направлении деформации, а(у, Ь) - напряжение, Т(у, - температура, ер(т/, V) ~ пластическая деформация, £р(у, £) - скорость пластической деформации, ^ - модуль упругого сдвига, С - теплоемкость, к

коэффициент теплопроводности, р плотность материала, /3 коэффициент Тейлора-Куни.

Второй раздел посвящен построению точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке в одномерном и двумерном случае.

Поскольку в диссертации анализ процессов образования кластеров наноструктур при ионной бомбардировке проводится на основе численных алгоритмов, возникает задача о разработке способов проверки адекватности и эффективности соответствующего алгоритма. Для этого целесообразно воспользоваться точными решениями соответствующих задач.

С этой целью во втором разделе представлено обсуждение методов построения точных решений неинтегрируемых дифференциальных уравнений. Для построения точных решений в данной работе использован метод простейших уравнений как наиболее эффективный.

В частности, построены точные решения в виде уединенных волн и волн переключения для уравнений, описывающих процесс распыления поверхности подложки в одномерном случае. Изучено влияние параметров на профиль и скорость распространения волн. Показана зависимость амплитуды полученных решений от скорости их распространения.

Показано, что уравнение (4) без учета слагаемых пятого и шестого порядка, описывающее процессы формирования диссипативных структур на поверхности подложки при ионной бомбардировке, имеет точные решения в виде комбинаций гиперболических, эллиптических и элементарных функций. Также построены точные решения уравнения (4) при <1= £ = Сз = £* = £» = П1 = Пг = 7 = 0.

Третий раздел посвящен численному исследованию процесса распыления поверхности подложки при ионной бомбардировке в одномерном случае. Данный процесс описывается уравнениями

щ + ипих + аихх + ¡Зиххх + 5ихххх = 0, (7)

щ + иих + аихх + 0иххх + &ихххх + виххххх = 0, (8)

где а, 0,5,0 - постоянные. Показано, что в одномерном случае распыления поверхности подложки уравнение (4) сводится к (7) и (8) при п = 1 с учетом замены переменных и = 1гх.

Сформулированы краевые задачи, описываемые уравнениями (7),

(8) с учетом периодических граничных условий. На основе конечно-разностных и псевдоспектральных методов разработаны алгоритмы, позволяющие моделировать процессы формирования диссипативных структур на поверхности подложек в одномерном случае. Проведена проверка построенных алгоритмов с использованием полученных в диссертации точных решений. Продемонстрирована эффективность и корректность работы соответствующих алгоритмов.

Исследовано влияние показателя нелинейности п, входящего в уравнение (7), на процессы формирования диссипативных структур. Показано, что дисперсионное слагаемое приводит к стабилизации профиля поверхности с течением времени. Установлено, что при 1 ^ п < 1.5 и а = Р/^/сРу ^ 0.37 имеет место процесс формирования структур. Изучена зависимость амплитуды диссипативных структур от величины параметра а.

|*ш< М!й

л/ лш

м МШ М,

А/ шш Ш)

16л

32л

Рис. 3. Хаотические и периодические структуры, а - <т = 2, ¡1=1, б -а = 6, ц = 1.

Исследовано влияние дисперсии пятого порядка на процессы формирования упорядоченных структур, описываемых уравнением (8). Показано, что в зависимости от управляющих параметров а = /3/ х/сгу и ¡х = 0\/а/73 поведение системы носит хаотический или регулярный характер (Рис. 3). Таким образом, установлено существование критического значения параметра а* при фиксированном значении параметра /л, при котором наблюдаются процессы формирования упорядоченных структур. Установлено, что кривая <т*(^) делит

плоскость (ц, и) на две области. Первая область соответствует хаотическому поведению системы, вторая - регулярному (Рис. 4).

о* 4

2

О

Рис.4. Зависимость сг*{ц,) для уравнения (8).

Также изучены волновые процессы, описываемые дифференциальными уравнениями (7), (8) при периодических граничных условиях. Исследована устойчивость полученных в диссертационной работе решений.

Четвертый раздел диссертационной работы посвящен численному моделированию процессов распыления поверхности подложки.

Рассматривается процесс ионной бомбардировки поверхности плоской подложки, схема которого представлена на Рис. 5. Сформулирована математическая модель, описывающая данный процесс, представляющая собой смешанную краевую задачу для дифференциальных уравнений (4), (5) с учетом периодических граничных условий, для случая наклонного и нормального падения ионов соответственно. Построены дисперсионные соотношения для

модельных уравнений. Обсуждается основная причина неустойчивости, возникающая при ионной бомбардировке поверхности подложек.

С использованием псевдоспектрального метода, разработан численный алгоритм решения задачи о распылении поверхности плоской подложки при ионной бомбардировке. На основе построенного алгоритма реализован комплекс программ, позволяющий проводить математическое моделирование данных процессов. Проведена верификация построенного алгоритма с использованием полученных точных решений. Проведено сравнение построенного алгоритма решения задачи с конечно-разностным методом. Продемонстрирована эффективность псевдоспектрального алгоритма.

При проведении математического моделирования процессов распыления поверхности подложки значения физических параметров задачи варьировались в интервалах е = 1 — 100 кэВ, К = 0.5 — 10 нм. в = [0°, 90°). Здесь е - энергия ионов, Я средняя глубина проникновения ионов в подложку, в угол падения ионов, отсчитываемый от нормали к плоской поверхности.

Исследовано влияние дисперсионно-диссипативных слагаемых пятого и шестого порядка в модельном уравнении (4) на процесс формирования диссипативных структур на поверхности подложки при ионной бомбардировке. Обсуждается временная эволюция средней высоты профиля поверхности подложки и дисперсии. Показано, что в случае наклонного падения ионов учет слагаемых пятого и шестого порядков существенно влияет на поверхностную морфологию подложки. Установлено, что в случае нормального падения ионов на поверхность подложки учет слагаемых выше четвертого порядка в модельном уравнении не влияет на процессы формирования диссипативных структур даже на длительных временах распыления.

Изучены процессы формирования диссипативных структур на поверхности подложки при нормальном падении ионов. Численные эксперименты показали, что в зависимости от глубины проникновения ионов в материал подложки наблюдается формирование двух типов поверхности, что иллюстрируется на Рис. 6. Показано, что первый тип

Рис. 6. Типы поверхностной морфологии. Нормальное падение ионов в = 0. а, б Я = 0.5 ям при * = 500, 35 х 103 с; г, д Я = 2 нм при i = 500,50 х 103 с. При 6 = 3 кэВ.

структуры характеризуется формированием упорядоченных бугорков на поверхности подложки, второй - формированием на поверхности шестигранных впадин. Определены диапазоны изменения физических параметров задачи, для которых имеют место процессы формирования бугорков и впадин. Характерный размер полученных структур варьировался в пределах от 1 нм до 30 нм.

Рассмотрены процессы формирования диссипативных структур на поверхности подложки при наклонном падении ионов. Изучено влияние угла падения ионов на процессы формирования диссипативных структур. Исследовано влияние глубины проникновения ионов в материал подложки на процессы формирования диссипативных структур. Установлено, что данный процесс при ионной бомбардировке наклонным пучком делится на три стадии. В частности, показано, что вторая стадия соответствует процессам формирования устойчивой ряби на поверхности подложки, как показано на Рис. 7. Проведена классификация дефектов, встречающихся при формировании ряби

Рис. 7. Формирование поверхностной ряби. Классификация дефектов. a-e t = 250,500,750,1000,2000,3000 с. При R = 3.36 нм, е = 3 кэВ, в = 40°.

на четыре основных типа(Рис.7). Проведено сравнение полученных результатов с экспериментом. Установлено, что численные результаты качественно согласуются с экспериментами по ионной бомбардировке поверхности полупроводниковых подложек.

Пятый раздел содержит результаты численного моделирования процессов образования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Сформулирована постановка задачи, описывающая процессы формирования полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях с учетом плоской симметрии. Приведены численные значения теплофизических и пластических характеристик исследуемых материалов, в частности, стали марки НУ-100, обедненного урана Б11-0.75Т1 и алюминия 7039 А1. Обсуждается актуальность исследования свойств данных материалов.

Разработан численный алгоритм решения задачи формирования полос адиабатического сдвига. Для построения конечно-разностного аналога системы уравнений, описывающей процесс формирования

ПАС, предложено использовать метод характеристик с итерационной процедурой по Ньютону. Проведено тестирование и обоснована эффективность построенного алгоритма.

Обсуждаются результаты численного моделирования процессов формирования полос адиабатического сдвига с учетом дефектов различного типа. Исследовано влияние граничных условий на процесс формирования ПАС. Показано, что в случае граничных условий первого рода процесс формирования ПАС происходит быстрее, чем в случае тепловой изоляции границ. Установлены стадии развития полосы адиабатического сдвига в материалах. Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными. Исследовано влияние параметров задачи на процесс образования полос адиабатического сдвига. В частности, рассмотрено влияние начальной скорости пластической деформации на процесс локализации. Установлена параболическая зависимость между критической деформацией и начальной деформацией.

Рассмотрены процессы самоорганизации полос адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали. Продемонстрирован квазипериодический характер данного явления, что иллюстрируется на Рис 8. В частности, показано, что в областях локализации для алюминия имеет место скачок температуры от Т ~ 50 К до Т ~ 600 К за 0.35 мке, для стали от Т ~ 160 К до Т ~ 1000 К за 2.5 мке и для обедненного урана от Т ~ 70 К до Т ~ 1200 К за 0.4 мке. Предложены две возможных оценки количества сформировавшихся полос адиабатического сдвига. Поскольку полосы адиабатического сдвига это области, в которых за короткие промежутки времени достигаются высокие температуры и деформации, в работе используется два расчетных способа для определения количества сформировавшихся ПАС. Первый способ базируется на температурном критерии, второй - на деформационном. Согласно первому методу, количество ПАС ЛГТ определяется как число локальных максимумов температуры в материале, величина которых превосходит наперед заданное значение Т„. Согласно второму

Рис. 8. Распределение теплофизических и пластических характеристик 7039-А1 по высоте образца в различные моменты времени, а -температура Т; б - скорость v; в - логарифм пластической деформации \g£p; г скорость пластической деформации ёр

у, мм

у, мм

методу, количество ПАС Ые равно количеству локальных максимумов деформации ер, величина которых превосходит е„. Показано, что деформационный критерий позволяет более эффективно рассчитывать количество сформировавшихся полос сдвига. Исследована зависимость количества образовавшихся ПАС от величины пороговой деформации и от начальной скорости пластической деформации. При использовании метода наименьших квадратов получены соответствующие оценки

= 5.19 + 0.000228ёо, А^2 = 12.111 + 0.00046е0, (9)

ЫЪЕ = -0.43 + 0.000268е0,

где ¿ц ^ 104 с"-1 - начальная скорость пластической деформации, - это оценки по МНК для алюминия 7039 А1, обедненного урана Ви-0.75Тл и стали марки НУ-100 соответственно.

мм

Рис. 9. Графики зависимости ^(Ь) и ^(Ьгк) ,^(ЬР0)(1,2) от ¿о- а,б - алюминий, сталь при е„ = 100,80,50,10 (3-6); в - обедненный уран £„ = 40,30,20,10 (3-6)

Формирование полос адиабатического сдвига в материалах приводит к возникновению трещин в местах их локализации, поэтому оценка расстояний между ПАС является важной задачей. В этой связи, на основе деформационного критерия и квазипериодичности явления предложена формула оценки среднего расстояния между полосами адиабатического сдвига

ь = §-, (Ю)

где Ь - расстояние между полосами сдвига, Ие - количество полос рассчитанных по деформационному критерию, Н - высота образца. По формуле (10) рассчитаны расстояния между полосами адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали в зависимости от начальной скорости пластической деформации ¿о. При ¿о = 4 х 104 с-1 в алюминии расстояние между ПАС составило Ь = 2.14 мкм, в обедненном уране Ь = 0.76 мкм и стали Ь = 3 мкм. Проведено сравнение полученных оценок (10) с теоретическими оценками Греди-Кипа, Райта-Оскендона (Рис,9). Установлено, что результаты численного моделирования лежат между оценкой Райта-Оскендона и оценкой Греди-Киппа. Продемонстрировано адекватное совпадение полученных результатов с теоретическими оценками Греди-Киппа.

В приложение А вынесены формулы для вычисления коэффициентов в модельном уравнении (4), описывающем процессы

образования наноструктур, возникающих при ионной бомбардировке поверхности подложки, в зависимости от реальных физических величин, таких как: угол падения ионов, глубина проникновения ионов в материал, плотность потока ионов и т.д.

В приложение В диссертации вынесен вывод формул матричной прогонки, позволяющих решать системы алгебраических уравнений с пятидиагоналыюй матрицей.

Заключение

Основные результаты, полученные при выполнении диссертационной работы, следующие

1. Сформулирована математическая модель для описания процессов распыления поверхности подложки при ионной бомбардировке;

2. Найдены точные решения эволюционных уравнений, встречающихся при описании процессов ионной бомбардировки подложки, необходимые для тестирования численных алгоритмов;

3. Определены диапазоны изменения управляющих параметров, при которых наблюдаются процессы формирования устойчивых периодических структур в одномерном случае ионной бомбардировки поверхности подложки;

4. Показано, что при наклонном падении пучка ионов на поверхность подложки учет слагаемых высокого порядка существенно влияет на поверхностную морфологию;

5. Установлено, что в случае нормального падения ионов на поверхность подложки, учет дополнительных членов в модельном уравнении не влияет на процессы формирования упорядоченных структур даже на длительных временах распыления;

6. Установлены диапазоны изменения параметров задачи, при которых наблюдаются процессы формирования упорядоченных бугорков и впадин;

7. Проведена классификация дефектов, возникающих при формировании периодической ряби на поверхности подложки при ионной бомбардировке в случае наклонного падения пучка ионов;

8. Предложено два критерия оценки количества сформировавшихся полос адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали. На основе данных критериев получены расчетные формулы оценки количества сформировавшихся ПАС в зависимости от начальной скорости пластической деформации;

9. Предложена формула для оценки расстояния между полосами адиабатического сдвига, основанная на деформационном критерии и квазиперноднчности явления.

Основные результаты диссертации представлены в работах:

1. Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Sinelshchikov D.I. Nonlinear waves in media with fifth order dispersion//Physies Letters A. 2011. V. 375. P. 2051-2055;

2. Кудряшов H.A., Рябов П.Н. Свойства нелинейных волн в активно-диссипативной дисперсионной срсде//Изв. РАН Механика жидкости и газа. 2011. №3. С. 99-107;

3. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Стриханов М.Н. Численное моделирование формирования наноструктур на поверхности подложки при ионной бомбардировке//Ядерная Физика и Инжиниринг. 2010. Т. 1. №2. С. 151-158;

4. Кошкин В.И., Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Численное моделирование образования полос адиабатического сдвига при деформациях//Ядерная Физика и Инжиниринг. 2010. Т. 1. №5. С. 465-474;

5. Кошкин В.И., Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Моделирование квазипериодических процессов формирования полос адиабатического сдвига при деформациях//Математичсское моделирование. 2011. Т. 23. №10. С. 117-132;

6. Ryabov P.N. Exact solutions of the Kudryashov-Sinelshchikov equa-tion//Applied Mathematics and Computation. 2010. V. 217. P. 35853590;

7. Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Sinelshchikov D.I. A note on New kink-shaped solutions and periodic wave solutions for the (2 + 1)-dimensional Sine-Gordon equation//Applied Mathematics and Computation. 2010. V. 216. P. 2479-2481;

8. Kudryashov N.A., Ryabov P.N. Comment on Application of the (G'/G)-method for the complex KdV equatinon [Huiqun

Zhang, Commun. Nonlinear Sci. Nuiner. Simulat 15;2010:1700-1704]//Communieation in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2011. V. 16. P. 596-598;

9. Kudryashov N.A., Ryabov P.N., Sinelshchikov D.I. Comment on "new types of exact solutions for nonlinear Schrodinger equation with cubic nonlinearity"//Journal of Computational and Applied Mathematics. 2011. V. 235. №15. P. 4513 4515;

10. Рябов П.Н. Численное моделирование возникновения наноразмерных структур на поверхности подложки при ионной бомбардировке//"Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов в области нанотехнологии и паноматериалов", Сборник студенческих работ, НИЯУ МИФИ. 2009. С. 420;

11. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Периодические структуры возникающие в обобщенной модели Курамото-Сивашинского для описания турбулентности //Науч. сессия МИФИ-2009: Аннотации докладов. Т. 2. С. 128;

12. Зеленцов А.В., Кудряшов Н.А., Рябов П.Н. Численное моделирование формирования наноразмерных структур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке//Научная сессия НИЯУ МИФИ 2009. Сборник научных трудов. Т. 4. С. 24-26;

13. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Синельщиков Д.И. Численное моделирование формирования наноразмерных структур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке//П Всероссийская конференция "Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях". Сборник тезисов и докладов. М.:МИФИ. 2009. С. 372-373;

14. Кудряшов Н.А., Рябов П.Н., Чмыхов М.А. Образование наноразмерных структур на поверхности плоских подложек

при ионной бомбардировке//Школа-семинар "Нанотехнологии производству". 2009. Тезисы докладов. М.:МИСиС. 2009. С. 237240;

15. Рябов П.Н., Кудряшов H.A. Самоорганизация периодических структур и структур с гексагональной симметрией на подложке при ионной бомбардировке//Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2010. Аннотации докладов. Т. 2. С. 321;

16. Рябов П.Н. Образование полос адиабатического сдвига при экстремальных сдвиговых нагрузках//Международная конференция аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2010", Тезисы докладов;

17. Кудряшов H.A., Рябов П.Н. Формирование квазипериодических полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях//Материалы IX Международной школы "Хаотические автоколебания и образование структур". 2010. С. 81;

18. Кудряшов H.A., Рябов П.Н. Математическое моделирование формирования полос адиабатического сдвига при деформациях//Научная сессия НИЯУ МИФИ - 2011. Аннотации докладов. Т. 2 С. 188;

19. Кошкин В.И., Кудряшов H.A., Рябов П.Н. Численное исследование процессов формирования полос// Материалы конференции "Математические идеи П. JI. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". 2011. С. 121.

Подписано в печать: 31.10.2011

Заказ № 6173 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

1 Процессы самоорганизации в диссипативно — дисперсионных средах

1.1 Формирование диссипативных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки.

1.2 Образование полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях

1.3 Выводы по первому разделу.

2 Аналитические решения задач, описывающих процессы самоорганизации диссипативных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки

2.1 Метод простейших уравнений для построения точных решений неинтегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений.

2.2 Построение точных решений обобщенного уравнения Курамото-Сивашинского, встречающегося при описании процессов ионной бомбардировки поверхности подложки в одномерном случае

2.3 Точные решения уравнения пятого порядка, встречающегося при описании процессов ионной бомбардировки подложки в одномерно случае

2.4 Точные решения уравнения четвертого порядка, возникающего при описании процессов ионной бомбардировки подложки.

2.5 Точные решения уравнения шестого порядка, возникающего при описании процессов ионной бомбардировки подложки.

2.6 Выводы по второму разделу.

3 Численное моделирование процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложки при ионной бомбардировке в одномерном случае 50 3.1 Постановка задачи для численного моделирования процессов формирования периодических структур на поверхности подложки при ионной бомбардировке в одномерном случае.

3.2 Алгоритм и разностная схема для численного решения задачи, описываемой обобщенным уравнением Курамото-Сивашинского

3.3 Псевдоспектральный метод решения задачи о распылении поверхности, описываемой уравнением пятого порядка.

3.4 Результаты численного моделирования процессов формирования упорядоченных структур, описываемых обобщенным уравнением

Курамото-Сивашинского.

3.5 Результаты численного моделирования процессов формирования упорядоченных структур, описываемых уравнением пятого порядка

3.6 Выводы по третьему разделу.

4 Численное моделирование процессов самоорганизации диссипативных структур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке

4.1 Постановка задачи о распылении поверхности плоской подложки при ионной бомбардировке.

4.2 Алгоритм численного решения задачи о распылении поверхности плоской подложки при ионной бомбардировке.

4.3 Результаты численного моделирования процессов распыления поверхности при ионной бомбардировке

4.4 Выводы по четвертому разделу.

5 Численное моделирование процессов самоорганизации полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях

5.1 Постановка задачи для численного моделирования процессов формирования полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях

5.2 Алгоритм численного моделирования процессов формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

5.3 Результаты численного моделирования процессов формирования полос адиабатического сдвига с учетом дефектов первого типа.

5.4 Результаты численного моделирования процессов формирования полос адиабатического сдвига в случае дефектов второго типа.

5.5 Выводы по пятому разделу.

Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные математические модели, описывающие процессы самоорганизации диссипативных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки и при формировании полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Актуальность работы. К одному из важных проявлений нелинейной математической физики можно отнести процессы произвольного или вынужденного образования устойчивых пространственно неоднородных структур, возникающих в результате эволюции неустойчивости в однородной неравновесной системе. В настоящее время структуры такого типа принято называть "диссипативными структурами". Этот термин впервые ввел И. Пригожин [1], подчеркивая, что для образования данных структур в открытых системах необходимы диссипативные процессы. Следуя работам [2, 3], определим необходимые условия формирования диссипативных структур:

1. Процессы образования диссипативных структур имеют место только в открытых системах, поскольку только в них возможна компенсация потерь энергии из-за диссипации за счет внешних источников;

2. Диссипативные структуры возникают в системах, состоящих из большого числа элементов, например, атомов или молекул. Это обусловлено тем, что только в такой системе возможны коллективные синергетические взаимодействия ее частей, приводящие к перестройке самой системы;

3. Образование диссипативных структур наблюдается лишь в системах, описываемых нелинейными уравнениями для макроскопических функций;

4. Нелинейные уравнения должны обладать управляющими параметрами, при определенных значениях которых допускается изменение симметрии решения;

Классическим примером образования диссипативных структур является образование ячеек Рэлея-Бенара [4, б]. Ячейки Рэлея-Бенара представляют собой конвективные ячейки, формирующиеся в слое вязкой жидкости, подогреваемом снизу. В данной системе управляющим параметров является величина градиента температуры. При малых значениях температуры источника тепла с жидкостью ничего не происходит. Поступаемое тепло отводится за счет диффузии. Увеличивая градиент температуры, мы отводим систему все дальше от положения термодинамического равновесия. Таким образом, поступающее от источника тепло, не успевает отводиться путем диффузии. В результате наблюдается перенос тепла за счет перемешивания жидкости, т.е имеет место конвективный теплообмен. Внутри ячеек более нагретая жидкость движется вверх, а более холодная - вниз по краям [3]. Таким образом, течение жидкости становится упорядоченным, а жидкость принимает ячеистую структуру. По своей форме ячейки Рэлея-Бенара напоминают правильные шестиугольники или цилиндрические валы [5].

Другим классическим примером самоорганизации диссипативных структур является химическая реакция Белоусова-Жаботинского [6-8]. Данная реакция была открыта советским химиком Белоусовым Б. П. в 1951 году. В эксперименте Белоусова проводилось окисление лимонной кислоты броматом калия в кислотной среде. В присутствии катализатора, которым являлись ионы церия, были обнаружены автоколебания. Течение реакции носило периодический характер, то есть сопровождалось изменением цвета раствора от бесцветного к желтому и обратно. В работе А. Жаботинского [7] замечено, что если химический раствор, участвующий в реакции разместить тонким слоем, в нем возникнут волны изменения концентрации. Данные волны отчетливо видны невооруженным глазом в присутствии индикаторов. Так же Жаботинским предложена математическая модель, описывающая данную автоколебательную химическую реакцию [7].

Процессы самоорганизации упорядоченных структур наблюдаются во многих неравновесных системах различной природы. Например, в биологических и химических системах [1,6,7,9-11], в гидродинамических системах [5,12], при описании распространения фронта пламени [13], при описании поведения сыпучих материалов [3,14], в плазме [15], в электронных потоках [16], в нелинейной оптике [17] и т.д.

В диссертационной работе рассматриваются процессы самоорганизации диссипативных структур, которые наблюдались в ряде экспериментальных работ по исследованию процессов ионной бомбардировки поверхности полупроводниковых подложек [18,19]. Авторами установлено, что на поверхности подложки происходит самоорганизация периодических структур в виде ячеек, бугорков или ряби в зависимости от физических параметров задачи. Для получения подобных структур раньше использовались туннельно-зондовые методы. Однако данные методы являются методами локальной сборки изображения, что на больших объемах материалов представляется бесперспективным в практическом применении и реализации. Интерес представляют процессы самоорганизации упорядоченного наноизображения, поскольку они позволяют производить данные структуры на больших областях за одну стадию технологического цикла [20].

Получаемые в результате ионной бомбардировки поверхности полупроводниковых подложек наноструктурированные ансамбли частиц обладают рядом полезных свойств и применяются для защиты оборудования от высоких температур, агрессивных сред и различных типов износа. С использованием данных подложек изготавливают светоизлучающие устройства на основе кремния (при создании солнечных батарей) [21], их применяют в спектроскопии, микроэлектронике, селективном нанокатализе [22], они необходимы для записи информации со сверхвысокой плотностью [23].

Явление формирования кластеров наночастиц при ионной бомбардировке поверхности полупроводниковых подложек исследовалось как экспериментально так и теоретически.

В работе [20] рассматривается процесс распыления поверхности полупроводниковой подложки СаЗЬ ионами аргона Аг+, падающими по нормали. Авторы установили, что при ионной бомбардировке происходит формирование наноразмерных островков. Полученные в эксперименте структуры имели однородное распределение по размерам и имели гексагонально-упорядоченную структуру. В работе показано,что расстояние между соседними частицами стремится стать постоянной величиной. Также было установлено, что размер полученных структур не зависит от температуры подложки. Более того, авторы предложили методику, позволяющую получать кластеры наночастиц на поверхности полупроводниковых материалов. В экспериментах [24, 25] по бомбардировке ионами Аг+ и Ые"1" подложек из меди Си и серебра Ag получено формирование однородных впадин по всей площади исследуемых образцов. В [26] при бомбардировке сапфировой поверхности ионами аргона Аг+ с энергиями в 0.3 — 2 кэВ под углом в 30° авторы отмечали формирование структурированной ряби на поверхности подложки. Также процессы образования структурированной ряби имели место при ионной бомбардировке поверхности кремния скользящим пучком ионов аргона с различными энергиями [27,28].

В работах [29,30] отмечалось, что существенной проблемой при технологическом применении наноструктурированных материалов является кристалличность полученных ансамблей частиц.

В работе [31] исследовалась степень упорядоченности структур на основе метода Фурье. Получены кривые спектральной плотности из АСМ-изображений подложки, изготовленной из кремния, распыляемой ионами аргона.

Впервые попытка дать теоретическое объяснение процессам формирования упорядоченных структур сделана в работах П. Зигмунда [32-34]. Автором разработано количественное описание данного процесса и предложена качественная модель взаимодействия проникающих ионов с атомами кристаллической решетки твердого тела. С учетом того, что бомбардируемая поверхность неоднородна, Зигмунд получил выражение, описывающие перенос энергии в процессе распыления. В работах [32-34] установлено, что скорость эрозии бомбардируемой поверхности характеризуется так называемым коэффициентом распыления, который определяется как среднее количество атомов, покидающих поверхность, на одно столкновение.

Дальнейшее развитие идеи Зигмунда получили в работах Бредли и Харпера [35]. Авторами установлено, что механизм формирования структур на поверхности твердых тел, предложенный в работах [32-34], приводит к нестабильности поверхности. Бредли и Харпер показали, что если не учитывать процессы, противодействующие данной неустойчивости, то все возмущения в виде плоских волн нестабильны. Таким образом, авторы предложили учитывать процессы поверхностной самодиффузии, что, в свою очередь, позволило объяснить существующие на тот момент экспериментальные данные. В работе [35] предложена математическая модель, описывающая процессы формирования ряби. Однако модель [35] имела ряд недостатков. С помощью нее не удалось предсказать процессы формирования ряби при низких температурах, а также ряд явлений, наблюдаемых при длительном распылении подложки посредством ионной бомбардировки (насыщения амплитуды ряби, поворота ряби на некоторый угол).

Продолжением работы [35] стали исследования Макеева, Куерно, Барабаси [3639], согласно которым процессы упорядочения имеют место за счет зависимости скорости распыления поверхности от ее кривизны и расположения относительно ионного пучка. С учетом данного факта авторами была построена математическая модель, описывающая процессы формирования - упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке. Основой построенной модели, являлся вывод нелинейного эволюционного уравнения четвертого порядка.

Численное исследование процессов формирования периодических структур при нормальном падении пучка ионов проводилось в работах [40,41]. В [42,43] численно изучалось распыление поверхности при наклонном падении пучка ионов.

В работе [44] исследованы модели ионного распыления поверхности, предложенные в работах [36-39]. В [44] установлено, что учет слагаемых более высокого порядка изменяет параметры ряби, отвечающие за количество волн и скорость роста высоты профиля поверхности. Автор говорит о том, что на поздних временах эффект от включения слагаемых более высокого порядка может препятствовать формированию ряби и изменять конечную топографию поверхности. В настоящее время по-существу отсутствуют работы по исследованию моделей, включающие слагаемые более высокого порядка.

Еще одним важным и интересным примером самоорганизации структур, изученным в диссертационной работе, являются процессы формирования полос адиабатического сдвига (ПАС) в материалах при деформациях. Данное явление привлекает к себе большое внимание. Это обусловлено тем, что полосы адиабатического сдвига являются основным механизмом разрушения материалов при высокоскоростных сдвиговых деформациях [45,46]. В материалах эти полосы становятся более хрупкими, чем окружающие участки, так что в случае продолжительной деформации происходит разрушение материала вдоль полос. Известно, что область локализации ПАС составляет примерно от 1 до 500 мкм. Данное явление наблюдалось в технологических процессах обрабатывающей, атомной и космической промышленностях, а так же во многих физических экспериментах. Примеры таких процессов встречаются при пробивании материала при высоких скоростях, при обработке материала давлением, при механической обработке материала, при фрикционной сварке материала, при прессовании [47-49]. В работах [50,51] отмечалось явление формирования полос адиабатического сдвига возникающих при работе ядерного реактора, а в работах [52,53] - при запуске и крушении шаттлов.

В последние годы это явление используется при создании новых сплавов и материалов. Оказалось, что подобные процессы могут вызывать не только разрушение, но и упрочнение материала. В ряде зарубежных и отечественных публикаций показано, что эффект "залечивания" пор при ударно-волновом нагружении значительно выше по сравнению со статическим. сжатием той же амплитуды [54,55].

Согласно Джонсону [56], первое наблюдение полос адиабатического сдвига представлено в научной статье Генри Треска в 1878 году [57]. В 1878 году в Париже Треска сделал доклад, посвященный деформации брусков платины при ударном нагружении. Эксперимент, который описывал Треска в своем докладе, проводился по следующему принципу: брусок платины помещался на наковальню, а затем подвергался удару молота. Начальная температура бруска в различных экспериментах варьировалась. В докладе Треска отмечал, что при соударении молота с поверхностью бруска вдоль линий, образующих при пересечении букву "X", происходил резкий нагрев материала до температуры, соответствующей красному свечению.

Спустя 40 лет после работы Треска, Мессей [58] независимо переоткрыл данное явление, назвав его полосами адиабатического сдвига. Данное название обусловливалось тем, что при высокой скорости нагрузки в материале за короткие промежутки времени образовывались полосы, в которых достигались очень высокие температуры, при отсутствии теплового выделения.

Явление образования полос адиабатического сдвига интенсивно исследовалось с использованием экспериментальных методов.

Так, например, в работе [59] авторы определили величину и скорость пластической деформации в полосе сдвига в 'образце, изготовленном из хромоникилевой стали. Для анализа процессов формирования ПАС авторы использовали перемещающийся под воздействием взрывного нагружения пробойник. Стальные образцы до испытаний имели химическую неоднородность, которая использовалась как своеобразные реперные линии. По наклону этих линий была установлена зависимость между шириной ПАС и величиной пластического сдвига. В работе [60] была измерена ширина зоны сдвига и определено значение деформации в этой зоне для стали марки НУ-100.

В большинстве экспериментальных работ направленных на изучение процессов формирования ПАС лежит подход, согласно которому результаты эксперимента определяются тогда, когда мы имеем полностью сформированную полосу сдвига. Однако такой подход не позволяет проследить эволюцию развития ПАС в материалах при деформациях.

В работе [61] предложен подход, который позволяет преодолеть эту трудность. Так в [61] проводилось динамическое нагружение тонкостенной трубки, изготовленной из слаболегированной стали марки НУ-100, помещенной в образец Кольски [62]. На поверхность образца наносилась сетка. Три камеры помещались вокруг образца, обеспечивая одновременные фотографии сетки на поверхности. Температура в двенадцати соседних ячейках сетки (в том числе и в области локализации ПАС) измерялась с использованием инфракрасного датчика и зеркальной антенны. Полученные авторами результаты показывают, что в узкой области шириной 20 мкм температура образца достигала 863 К, а деформация 1900%.

В работах [63-65] изучались процессы формирования ПАС в коаксиальном цилиндрическом титановом и стальном образцах. За счет управляемого взрыва в экспериментах Нестеренко и др. [63-65] создавались начальные скорости деформации порядка ¿о ~ Ю4с-1. В эксперименте показано, что в процессе деформации наблюдается явление самоорганизации полос адиабатического сдвига на внутреннем цилиндре образца. Развитие полос сдвига происходит от внутреннего цилиндра к внешнему. Установлено, что полосы адиабатического сдвига отстоят друг от друга в среднем на одинаковом расстоянии, что указывает на периодичность явления. Авторами показано, что с ростом начальной скорости деформации количество полос адиабатического сдвига растет.

Для оценки расстояния между ПАС использовались два различных теоретических подхода. В [66] авторы использовали методы теории возмущений для определения доминирующей моды неустойчивости. Они предполагали, что длина волны, соответствующая доминирующей моде, отвечала наиболее вероятному минимальному расстоянию между полосами адиабатического сдвига. В своей работе авторы рассматривали идеально пластический материал. В работе [67] Греди и Кипп выдвинули гипотезу, что образование полос сдвига в среднем будет равно толщине области неустойчивости. Эта толщина определяется коэффициентом диффузии момента вне полосы и временем, требуемым для коллапса напряжения внутри полосы. Принимая во внимание зависимость для давления и профиля температуры в полосе, они провели инженерный анализ полученных ранее результатов. В [68] использовался тот же подход, что и в [66], но с учетом самоупрочнения материала.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейных математических моделей, описывающих процессы самоорганизации упорядоченных структур при ионной бомбардировке поверхности подложки и при формировании полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях.

Методы исследования. Исследование нелинейных математических моделей в диссертационной работе строилось на основе численных и аналитических методов. При формулировке математических моделей использовались законы сохранения. При построении численных решений применялась теория разностных схем и псевдоспектральные методы. Для построения точных решений дифференциальных уравнений с учетом переменных бегущей волны, использовался метод "простейших" уравнений [69]. Символьные вычисления при выполнении работы проводились с использование пакета прикладных программ МАРЬЕ. Реализация численных алгоритмов проводилась на языке С++ и МАТЬАВ.

В диссертационной работе решены следующие задачи

• Разработана математическая модель, описывающая процессы самоорганизации кластеров наночастиц на поверхности подложки при ионной бомбардировке;

• Сформулирована математическая модель формирования полос адиабатического сдвига в материалах при сдвиговых деформациях;

• Построены точные решения нелинейных эволюционных уравнений для описания процессов ионной бомбардировки поверхности подложек;

• Разработаны алгоритмы и на их основе реализованы программы, позволяющие проводить численное моделирование процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке в одномерном и двумерном случае;

• Изучено влияние физических параметров задачи на формирование упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Построен численный алгоритм и на его основе реализован комплекс программ, позволяющий исследовать процессы формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

• Исследована роль физических параметров математической модели в процессах формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

Научная новизна работы:

• Предложена математическая модель, описывающая процессы самоорганизации кластеров наноструктур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Получены точные решения эволюционных уравнений для описания процессов ионной бомбардировки поверхности подложки в одномерном и двумерном случае;

• Определен диапазон изменения управляющих параметров, в котором наблюдаются упорядоченные структуры при ионной бомбардировке подложки;

• Показано, что при больших временах облучения учет слагаемых высокого порядка приводит к существенному влиянию на процессы формирования наноструктур на поверхности подложки при ионной бомбардировке;

• Установлено существование критического значения начальной скорости деформации, до которой температура плавления в одной полосе адиабатического сдвига достигается быстрее, чем в другой;

• Получены оценки количества сформировавшихся полос адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали в результате сдвиговых деформаций;

• Рассчитаны расстояния между полосами адиабатического сдвига в алюминии, обедненном уране и стали при различных значениях начальной скорости пластической деформации.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются совпадением полученных численных результатов с тестовыми точными решениями, экспериментальными данными и результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях, школах и семинарах:

1. Научный семинар кафедры "Прикладная математика " НИЯУ МИФИ "Проблемы современной математики" в 2009 - 2011 годах;

2. Всероссийская конференция "Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях", НИЯУ МИФИ, Москва, 27-29 мая 2009 года;

3. Школа-семинар "Нанотехнологии производству — 2009", НИТУ МИСиС, Москва, 21-26 сентября, 2009 год;

4. Международная конференция аспирантов и молодых ученых "Ломоносов — 2010", МГУ, Москва, 12-15 апреля 2010 года;

5. IX Международная школа "Хаотические автоколебания и образование структур", НИ СГУ, Саратов, 4-9 октября 2010 года;

6. Конференция "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", МИФИ ИАТЭ НИЯУ МИФИ, Обнинск, 14-18 мая, 2011 год;

7. Ежегодная Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2009-2011 года.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Созданный в рамках диссертационной работы программный комплекс по исследованию процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке позволяет дать рекомендации по получению данных структур при проведении экспериментов;

2. Разработанный комплекс программ может быть использован при проведении численных экспериментов по исследованию полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях, что позволяет уменьшить издержки на проведение экспериментов по изучению данного процесса;

3. Полученные в рамках диссертационной работы точные решения нелинейных эволюционных уравнений могут быть использованы при тестировании комплексов программ по расчету процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

4. Результаты диссертационной работы использованы в качестве материалов при выполнении федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы " в рамках государственных контрактов П28, П1222.

На защиту выносятся:

• Математическая модель для описания процесса распыления поверхности подложки при ионной бомбардировке;

• Точные решения семейства нелинейных эволюционных уравнений для описания процессов ионной бомбардировки поверхности подложек в одномерном и двумерном случае;

• Комплекс программ, позволяющий проводить математическое моделирование процессов эволюции топографии поверхности подложки при ионной бомбардировке в режиме реального времени;

• Результаты численного моделирования процессов формирования упорядоченных структур на поверхности подложек при ионной бомбардировке;

• Программный комплекс для моделирования процессов образования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

• Результаты серии вычислительных экспериментов по моделированию процессов формирования полос адиабатического сдвига в материалах при деформациях;

Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения, двух приложений и списка литературы.

Заключение

1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. — М.: Мир, 1979.

2. Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем // Соросовский образовательный журнал. — 1996. — № 8. — С. 109-116.

3. Трубецков Д. И., Мчедлова Е. С., Красичков Л. В. Введение в теорию самоорганизации открытых систем / Под ред. Б. П. Безручко,B. Д. Шалфеева. — М.: Физматлит, 2002.

4. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportent de la chaleur par convection en regime permanen // Ann. de Chinie de Phys.— 1901.— Vol. 23. P. 62.

5. Ван-Дайк M. Альбом течений жидкости и газа. — M.: Мир, 1986.

6. Белоусов Б. Периодически действующая реакция и ее механизм.— Горький: Изд-во ГГУ, 1951.

7. Жаботинский А. М. Концентрационные колебания / Под ред. Г. М. Франк.— М.: Наука, 1974.

8. Полак Л. С., Михайлов А. С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. — М.: Наука, 1983.

9. Марри Д. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. Пер. с англ. — М.: Мир, 1983.

10. Марри Д. Почему у леопарда пятна на шкуре // В мире науки. — 1988. — № 5. —C. 46-54.

11. Meinhardt H. Models of Biological Pattern Formation. — Academic, London, 1982.

12. Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по фоизике. Т. 7. Физика сплошных сред. — М.: Мир, 1966.

13. Sivashinsky G. I. Instability, pattern formation, and turbulence in flames // Ann. Rev. Fluid Mech. 1983. - Vol. 15. - P. 179-199.

14. Melo F., Unbanhowar P., Swinney H. L. Hexagonal, kinks and disorder in oscillated granular layers // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 75. - P. 3838-3841.

15. Self-organization of plasma-condensate quasi-equilibrium systems / V. I. Perekrestov, A. I. Olemsko, A. S. Kornyushchenko, Y. A. Kosminskaya // Fizika Tverdogo Tela. 2009. - Vol. 51. - P. 1003-1009.

16. О проверке одной гипотезы возникновения хаоса из структур в электронных потоках / В. Р. Ампилогова, А. В. Зборовский, Д. И. Трубецков, К. В. Худзик // Лекции по электроннике СВЧ и радиофизике. Саратов. — 1986. — С. 106-110.

17. Ахманов С. А., Воронцов М. А. Нелинейные волны: Динамика и эволюция.— М.: Наука, 1989.

18. Vasiliu F., Teodorescu I. A., Glodenu F. SEM investigations of iron surface ion erosion as a function of specimen temperature and incidence angle // Journal of Materials Science. — 1975. — Vol. 10. — P. 399-405.

19. Stewart A. D. G., Thompson M. W. Microtopography of Surfaces Eroded by Ion-Bombardment // Journal of Materials Science. — 1969. — Vol. 4. — P. 56-60.

20. Formation of ordered nanoscale semiconductor dots by ion sputtering / S. Facsko, T. Dekorsy, C. Koerdt et al. // Science. 1999. - Vol. 285. - P. 1551.

21. Dynamics of stimulated emission in silicon nanocrystals / L. Dal Negro, M. Caz-zanelli, L. Pavesi et al. // Appl. Phys. Lett. — 2003. — Vol. 82. P. 4636.

22. Емельянов В. И. Самоорганизация упорядоченных ансамблей наночастиц при лазерно-управляемом сосаждении атомов // Квантовая электронника. — 2006. Т. 36, № 6. - С. 489-506.

23. Valden М., Lai X., Goodman D. W. Onset of catalytic activity of gold clusters on titania with the appearance of nonmetallic properties // Science.— 1998,— Vol. 281, No. 5383.- P. 1647-1650.

24. Patterning a surface on the nanometric scale by ion sputtering / S. Rusponi, G. Costantini, F. Buatier de Mongeot et al. // Appl. Phys. Lett. — 1999. — Vol. 21. — P. 3318.

25. Rusponi S., Boragno C., Valbusa U. Ripple structure on ag(110) surface induced by ion sputtering // Phyics Review Letters. — 1997. — Vol. 78. — P. 2795-2798.

26. Wavelength tunability of ion-bombardment-induced ripples on sapphire / H. Zhou, Y. Wang, L. Zhou, R. L. Headrick // Physical Review B. 2007. - Vol. 75. -P. 155416.

27. Datta D. P., Chin T. K. Coarsening of ion-beam-induced surface ripple in si: Nonlinear effect vs. geometrical shadowing // Physical Review B. — 2007. — Vol. 76. — P. 075323.

28. Ripple pattern formation on silicon surfaces by low-energy ion-beam erosion: Experiment and theory / B. Ziberi, F. Frost, T. Hoche, B. Rauschenbach // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - P. 235310.

29. Ordering and self-organization in nanocrystalline silicon / G. F. Grom, D. J. Lockwood, J. P. McCaffrey et al. // Nature. 2000. - Vol. 407. - P. 358-361.

30. Yin Y., Gates B., Xia Y. A soft lithography approach to the fabrication of nanos-tructures of single crystalline silicon with well-defined dimensions and shapes // Adv. Mater. 2000. - Vol. 12. - P. 19.

31. Garo R., Vazquez L., Cuerno R. Production of ordered silicon nanocrystals by low-energy ion sputtering // Appl. Phys. Lett. 2001. - Vol. 78, No. 21. — P. 3316-3318.

32. Sigmund P. Theory of sputtering. I. Sputtering yield of amorphous and polycrys-talline targets // Physical Review. 1969. - Vol. 184, No. 2. - P. 383-416.

33. Sigmund P. A mechanism of surface micro-roughening by ion bombardment // Journal of Materials Science. — 1973. Vol. 89. - P. 1545-1553.

34. Sigmund P. Sputtering by ion bombardment: Theoretical concepts. In: Sputtering by Particle Bombardment I / Ed. by R. Behrisch. — Springer-Verlag, 1981. — P. 9-71.

35. Bradley R. M., Harper J. M. E. Theory of ripple topography induced by ion bombardment // J. Vac. Sci. Technol. A. 1988. - Vol. 6.- P. 230-2395.

36. Cuerno R., Barabasi A.-L. Dynamic scaling of ion-sputtered surface // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 4746-4749.

37. Makeev M., Barabasi A.-L. Secondary ion yield changes on rippled interfaces // Appl. Phys. Lett. 1998. - Vol. 72. - P. 906-908.

38. Makeev M., Barabasi A.-L. Ion-induced effective surface diffusion in ion sputtering // Appl. Phys. Lett. 1997. - Vol. 71. - P. 2800-2802.

39. Makeev M., Cuerno R., Barabasi A.-L. Morphology of ion-sputtered surfaces // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B. — 2002. — Vol. 197. — P. 185-227.

40. Kahng B., Jeong H., Barabasi A. L. Quantum dot and hole formation in sputter erosion // Appl. Phys. Lett. 2001. - Vol. 78. - P. 805-807.

41. Paniconi M., Elder K. R. Stationary, dynamical, and chaotic states of the two-dimensional damped Kuramoto-Sivashinsky equation // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 56. P. 2715-2721.

42. Dynamics of ripple formation in sputter erosion: Nonlinear phenomena / S. Park, B. Kahng, H. Jeong, A.-L. Barabasi // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83. - P. 34863489.

43. Javier M. G., Cuerno R., Castro M. Coupling of morphology to surface transport in ion-beam irradiated surfaces: Oblique incidence // Phys. Rev. B. — 2008. — Vol. 78.-P. 205408.

44. Carter G. Effect of surface-height derivative processes on ion-bombardmentinduced ripple formation. // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. - P. 1669-1672.

45. Bai V., Dodd B. Adiabatic Shear Localization. — Pergamon Press. Oxford, 1992.

46. Rogers H. Adiabatic plastic deformation // Annu. Rev. Mater. Sci. — 1979. — Vol. 9.-P. 283-311.

47. Schneider J., Nunes J. A. Characterization of plastic flow and resulting microtextures in a friction stir weld // Metall. Mater. Trans. B. — 2004. — Vol. 35. — P. 777783.

48. Seidel T., Reynolds A. Visualization of the material flow in aa2195 friction stir welds using a marker insert technique // Metall. Mater. Trans.— 2001.— Vol. 32A.— P. 2879-2884.

49. Moss G. Shear strains, strain rates, temperature changes in adiabatic shear bands // Shock Waves and High Strain Rate Phenomena in Metals / Ed. by L. Meyers, L. Murr. 1981. - P. 299-312.

50. Lee W. S., Liu C. Y., Chen T. C. Adiabatic shearing behavior of different steels under extreme high shear loading // Journal of Nuclear Materials. — 2008.— Vol. 374.-P. 313-319.

51. Gupta G., Was G. S., Alexandreanu B. Grain boundary engineering of ferritic-martensitic alloy t91 // Metallurgical and Materials Transaction A.— 2004.— Vol. 35. P. 717-719.

52. Rittel D. Adiabatic shear failure of a syntactic polymeric foam // Materials Letters. — 2005. Vol. 59. - P. 1845-1848.

53. Shear Failure of Inconel 718 under Dynamic Loads / D. A. Shockey, J. W. Simons, C. S. Brown, T. Kobayashi // Experimental Mechanics. — 2007. — Vol. 47. P. 723732.

54. Влияние статического и динамического сжатия на залечивание пор в меди / А. И. Петров, М. В. Разуваева, А. Б. Синани, В. В. Никитин // Журнал технической физики. — 1998. — Vol. 68. — Р. 125-127.

55. Петров А. И., Разуваева М. В. Локализация пластической деформации при ударно-волновом нагружении титанового сплава с трещиной // Журнал технической физики. — 2003. — Vol. 73. — Р. 53-55.

56. Johnson W. Henri tresca as the originator of adiabatic heat lines // Int. J. Mech. Sci. 1987. - Vol. 29. - P. 301-310.

57. Tresca H. On further applications of the flow of solids // Proc. Inst. Mech. Engrs. — 1878. Vol. 30. - P. 301-345.

58. Masse H. F. The flow of metal during forging // Proc. Manchester Assoc. Engineers.- 1921.-P. 21-26.

59. Zener C. Fracturing of metals / Ed. by F. Jonassen, W. Roop, R. Bayless. — American Society of Metals. Ohio., 1948.

60. Hartley K. A., Duffy J., Hewley R. H. Measurement of the temperature profile during shear band formation in steel deforming at high strain rates //J. Mech. Phys. Solids. 1988. - Vol. 36. - P. 251-283.

61. Marchand A., Duffy J. An experimental study of the formation process of adiabatic shear bands in a structural steel // J. Mech. Phys. Solids. — 1988. — Vol. 36, No. 3. — P. 251-283.

62. Duffy J., Campbell J. D., Hawley R. H. On the use of a torsional split Hopkinson bar to study rate effects in 1100-0 aluminum //J. Appl. Mech. — 38. — Vol. 1971. — P. 83-91.

63. Nesterenko V. F., Meyers M., W. W. T. Collective behavior of shear bands / Ed. by L. E. Murr, K. P. Staudhammer, M. A. Meyers. — Elsevier Science, Amsterdam, 1995. P. 397-404.

64. Nesterenko V. F., Meyers M. A., Wright T. Self-organization in the initiation of adiabatic shear bands // Acta Mater. 1998. — Vol. 46. — P. 327-340.

65. Xue Q., Meyers. M. A., Nesterenko V. F. Self organization of shear bands in stainless steel // Materials Science and Engineering A. — 2004. — Vol. 384. — P. 35-46.

66. Wright Т. W., Ockendon H. A scaling law for the effect of inertia on the formation of adiabatic shear bands // Int. J. Plasticity. 1996.- Vol. 12.- P. 927-934.

67. Grady D., Kipp M. The growth of unstable thermoplastic shear with application to steady-wave shock compression in solids //J. Mech. Phys. Solids. — 1987. — Vol. 35.-P. 95-118.

68. Molinari A. Collective behavior and spacing of adiabatic shear bands //J. Mech. Phys. Solids.- 1997.- Vol. 45. P. 1551-1575.

69. Kudryashdv N. A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. — 2005. — Vol. 24. — P. 1217-1231.

70. Броудай И., Мерей Д. Физические основы микротехнологии. — М.: Мир, 1985. — С. 496.

71. Abramowitz М., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — Dover Publications, Inc. New York, 1972.

72. Mullins W. W. Theory of thermal grooving // J. Appl. Phys. — 1957.- Vol. 28.— P. 333-339.

73. Meakin P. The growth of rough surfaces and interfaces // Phys. Rep. — 1993. — Vol. 235. P. 189.

74. Frost F. The role of sample rotation and oblique ion incidence on quantum-dot formation by ion sputtering. // Appl. Phys. A. — 2002. — Vol. 74. — P. 131-133.

75. Nikolaevskiy V. N. Dynamics of viscoelastic media with internal oscillators // Recent Advances in Engineering Sciences. — 1989. — P. 210-221.

76. Walter J. W. Numerical experiments on adiabatic shear band formation in one dimension // Int. J. Plasticity. 1992. - Vol. 8. - P. 657-693.

77. He J. H., Wu X. H. Exp-function method for nonlinear wave equations // Chaos Solitons Fractals. 2006. - Vol. 30. - P. 700-708.

78. Wang M. L., Li X., Zhang J. The (G'/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics // Phys. Lett. A. 2008. - Vol. 372. - P. 417-423.

79. Guo S., Zhou Y. The extended (G'/G)-expansion method and its applications to the Whitham- Broer-Kaup-like equations and coupled Hirota-Satsuma KdV equations // Applied Mathematics and Computation.— 2010.- Vol. 215. — P. 3214-3221.

80. Kudryashov N. A. Seven common errors in finding exact solutions of nonlinear differential equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulât. — 2009. — Vol. 15. — P. 3507-3529.

81. Kudryashov N. A., Loguinova N. B. Be careful with the Exp-function method // Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simulât. — 2009. — Vol. 14. — P. 1881-1890.

82. Kudryashov N. A., Soukharev M. B. Popular ansatz methods and solitary waves solutions of the Kuramoto-Sivashinsky equation // Regular and Chaotic Dynamics. — 2009. Vol. 14, No. 3. - P. 407-419.

83. Kudryashov N. A. On "new travelave solutions" of the KdV and the KdV Burgers equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulât.— 2009.— Vol. 14.— P. 1891-1900.

84. Kudryashov N. A., Ryabov P. N. Comment on: "Application of the G'/G-method for the complex KdV equation" Huiqun Zhang, Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulât. 15;2010:1700-1704. // Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulât. — 2011.— Vol. 16.-P. 596-598.

85. Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I. Comment on "New types of exact solutions for nonlinear Schrodinger equation with cubic nonlinearity" //J. Comput. Appl. Math. — doi:10.1016/j.cam.2011.02.028.

86. Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I. A note on "New kink-shaped solutions and periodic wave solutions for the (2 + l)-dimensional Sine-Gordon equation" // Appl. Math. Comput. 2010. - Vol. 216. - P. 2479-2481.

87. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys.- 1983. —Vol. 24.-P. 522-526.

88. Vitanov N. K. Modified method of simplest equation: Powerful tool for obtaining exact and approximate traveling-wave solutions of nonlinear PDEs // Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulât.- 2011.-Vol. 16.-P. 1176-1185.

89. Asian I. A discrete generalization of the extended simplest equation method // Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simulât. — 2010. — Vol. 15. — P. 1967-1973.

90. Kudryashov N. A., Démina M. V. Polygons of differential equations for finding exact solutions // Chaos, Solitons and Fractals. — 2007. — Vol. 33. — P. 1480-1496.

91. Конт Р. М., Мюзетт М. Метод Пенлеве и его приложения / Под ред. Н. А. Кудряшова. — Научно-изд. центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2011.-С. 315.

92. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной матеамтической физики. — Долгопрудный: ООО Издательский Дом "Интеллект", 2010. С. 368.

93. Lou S. К, Huang G., Ruan Н. Exact solitary waves in a convecting fluid j j J. Phys. A: Math Gen. 1991. - Vol. 24. - P. 587-590.

94. Kudryashov N. A., Zargaryan E. D. Solitary waves in active dissipative dispersive media // J. Phys. A Math. Gen.- 1996.- Vol. 29. - P. 8067-8077.

95. Fan E. G. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations // Phys Lett A. 2000. - Vol. 227. - P. 212-218.

96. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations / S. K. Liu, Z. T. Fu, S. D. Liu, Q. Zhao // Phys. Lett. A — 2001. -Vol. 289. P. 69-74.

97. Van Z. Y. The extended Jacobian elliptic function expansion method and its application in the generalized Hirota-Satsuma coupled KdV system // Phys. Lett. A. — 2003. Vol. 15. - P. 575-583.

98. Kuramoto Y, Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Prog. Theor. Phys. — 1976. — Vol. 55. — P. 356-359.

99. Кудряшов H. А., Чернявский И. Л. Нелинейные волны при течении жидкости в вязкоэластичной трубке // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2006. — № 1. С. 54-67.

100. Hopper А. P., Grimshow R. Nonlinear instability at the interface between two viscous fluids 11 Physics of Fluids. 1985. - Vol. 28. - P. 37.

101. Zakharov V, E., Shabat A. B. A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I // Functional Analysis and Its Applications. — 1974. — Vol. 8. — P. 226-235.

102. Zakharov V. E., Shabat A. B. Integration of nonlinear equations of mathematical physics by the method of inverse scattering. II // Functional Analysis and Its Applications. 1979. - Vol. 13. - P. 166-174.

103. Кудряшов Н. А., Мигита А. В. Периодические структуры, возникающие при учете дисперсии в одной из моделей турбулентности // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2007. — № 3. — С. 145-154.

104. Kudryashov N. A., Sinelshchikov D. I. Nonlinear evolution equation for describing waves in a viscoelastic tube // Appl. Math. Comput. — 2011. — Vol. 16. — P. 23902396.

105. Кудряшов H. А., Синелъщиков Д. И., Чернявский И. Л. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке // Нелинейная Динамика. — 2008. — Т. 4. — С. 69-86.

106. Benney D. J. Long waves on liquid films // J. Math. Phys. — 1966. — Vol. 45. — P. 150-155.

107. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом // Прикладная математика и механика. — 1988. — Т. 52. — С. 230-235.

108. Nagashima Н. Experiment on solitary waves in the nonlinear transmission line described by the equation ди/дт + и(ди/д£) — d^u/dt* = 0 // J. Phys. Soc. Japan.— 1979. Vol. 47. - P. 1387.

109. Non-linear saturation of the dissipative trapped-ion mode by mode coupling / В. I. Cohen, J. A. Krommes, W. M. Tang, M. N. Rosenbluth // Nuclear Fusion.— 1976. Vol. 16. - P. 971-992.

110. Topper J., Kawahara T. Approximate equations for long nonlinear waves on a viscous fluid U J. Phys. Soc. Japan. 1978. - Vol. 44. - P. 663-666.

111. Kawahara T. Formation of satured solitons in a nonlinear dispersive system with instability and dissipation // Phys. Rev. Lett. 1983. - Vol. 51. — P. 381-383.

112. Алексеев А. А., Кудряшов H. А. Особенности нелинейных волн в диссипативно-дисперсионных средах с неустойчивостью // Изв. АН СССР. МЖГ.— 1990.— № 4. С. 130-136.

113. Лобанов А. И., Петров И. В. Лекции по вычислительной математике. — Бином. Лаборатория знаний, 2010.

114. Kassam А.-К., Trefethen L. N. Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput. 2005. - Vol. 26. - P. 1214-1233.

115. Kudryashov N. A., Ryabov P. N., Sinelshchikov D. I. Nonlinear waves in media with fifth order dispersion // Phys. Lett. A. 2011. - Vol. 375. - P. 2051-2055.

116. Boyd J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods. — Dover Publications, Inc. Mineola, New York, 2001.

117. Cox S. M., Matthews P. C. Exponential time differencing for stiff systems //J. Сотр. Phys. 2002. - Vol. 176. - P. 430-455.

118. Maday Y., Patera А. Т., Ronquist E. M. An operator-integration-factor splitting method for time-dependent problems: Application to incompressible fluid flow //J. Sci. Comput. 1990. - Vol. 5. - P. 263-292.

119. Fornberg В., Driscoll T. A. A fast spectral algorithm for nonlinear wave equations with linear dispersion // J. Comput. Phys. — 1999. — Vol. 155. — P. 456-467.

120. Trefethen L. N. Spectral methods in Matlab. SIAM, Philadelphia, 2000.

121. De La Hoz F., Vadillo F. A numerical simulation for the blow-up of semi-linear diffusion equations // Int. J. Comput. Math. — 2009.— Vol. 86, No. 3.— P. 493502.

122. Ruuth S. J. Implicit-explicit methods for reaction-diffusion problems in pattern formation //J. Math. Biol. 1995. - Vol. 34. - P. 148-176.

123. Milewski P. A., Tabak E. G. A pseudospectral procedure for the solution of nonlinear wave equations with examples from free-surface flows // SIAM J. Sci. Comput. — 1999. Vol. 21. - P. 1102-1114.

124. Smith L. M., Waleffe F. Transfer of energy to two-dimensional large scales in forced, rotating three-dimensional turbulence // Phys. Fluids. — 1999. — Vol. 11. — P. 16081622.

125. Smith L. M., Waleffe F. Generation of slow large scales in forced rotating stratified turbulence // J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 451. - P. 145-169.

126. Бахвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. — М.: Бином, 2001.

127. Мэтъюз Д. Г., Финк К. Д. Численные методы. Использование Matlab / Под ред. Ю. В. Козаченко. — Издательский дом "Вильяме", 2001.

128. Cooley J. W., Tukey J. W. An algorithm for the machine calculation of complex fourier series // Math. Comput. 1965. - Vol. 19. - P. 297-301.

129. Duhamel P., Vetterli M. Fast fourier transforms: A tutorial review and a state of the art // Signal Processing. 1990. — Vol. 19. - P. 259-299.

130. Jacak L., Hawrylak P., Wojs A. Quantum dots. — Springer-Verlag, Berlin, 1998.

131. Ordered quantum dot formation on gasb surfaces during ion sputtering / T. Bobek, S. Facsko, T. Dekorsy, H. Kurz // Nucl. Instr. and Meth in Phys. Res. B. — 2001. — Vol. 178.-P. 101-104.

132. Sato K., Okamoto I., Kitamoto Y. Oblique ion nano-texturing technology for longitudinal recording media // Jpn. J. Appl. Rhys. — 2007. — Vol. 46. — P. 5139-5142.

133. Формалев В. Ф., Ревизников Д. JI. Численные методы. — Физатлит, 2004. — С. 400 с.

134. Yewande Е. О. Modelling and simulation of surface morphology driven by ion bombardment: Ph.D. thesis. 2006.

135. Pattern evolution on previously rippled au(001) by crossing-ion-beam sputtering / J. H. Kim, M. Joe, S. P. Kim et al. // Physical Review B. 2009. - Vol. 79. -P. 205403.

136. Nanostructuring with a high current isotope separator and ion implanter / Т. K. Chi-ni, D. Datta, S. R. Bhattacharrya, M. K. Sanyal // Applied Surface Science.— 2001. Vol. 182. - P. 313-320.

137. Carter G., Vishnyakov V. Roughening and ripple instabilities on ionObombardment Si // Physical Review B. 1996. - Vol. 54. - P. 17647-53.

138. Keller A., Facsko S., Moller W. Minimization of topological defects ion ion-indused ripple patterns on silicon // New Journal of Physics. — 2008. — Vol. 10. — P. 063004.

139. International alloy designations and chemical composition limits for wrought aluminum and wrought aluminum alloys. — 2009.

140. Рождественский В. JIЯненко H. H. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к задачам газовой динамики. — М.: Наука, 1978. — С. 678 с.

141. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988. - С. 290 с.

142. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — С. 512 с.

143. Кошкин В. И., Кудряшов Н. А., Рябов П. Н. Моделирование квазипериодических процессов формирования полос адиабатического сдвига при деформациях // Математическое моделирование. — 2011. — Vol. 23.р

144. Кошкин В. И., Кудряшов Н. А., Рябов П. Н. Численное моделирование образования полос адиабатического сдвига при деформациях // Ядерная физика и инжиниринг. — 2010. — Т. 1, № 5. — С. 465-474.