автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Булево усреднение в моделях систем управления и в моделях статистической механики

Введение

Булево усреднение в модели одномерного решетчатого газа

1.1 Постановка задачи о непериодических конфигурациях в модели Хаббарда.

1.2 Области существования периодических конфигураций в булевом усреднении.

1.3 Хаббардовы конфигурации.

1.4 Построение канторовой лестницы для периодических конфигураций

1.5 Зависимость числа вращения траектории булева усреднения от параметра при произвольном начальном условии

1.6 Доказательство теоремы 1.1.

1.7 Доказательство теоремы 1.2.

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Объектами исследования в диссертации являются:

1) Булева усредняющая процедура 1, если < ф; ип = (0.1) 0, если Ъип-{ > Ф, где ф — действительное число, (7^) (г Е ЛГ) — последовательность действительных чисел, (глп) (п 6 Z) — двусторонняя последовательность из нулей и единиц. Булева усредняющая процедура была введена в 1992 г. М.М. Кипнисом [14] и применялась для описания моделей статистической механики и систем управления (аналого-цифровых преобразователей и широтно-импульсных систем управления).

2) Модели статистической механики, в которых энергия выражается формально определенным гамильтонианом Хаббарда н = -ф X) щ + X ц-зщщ. (0.2) гег ег, j£Z

Здесь — энергия взаимодействия частиц на расстоянии г единиц; ип указывает на наличие (ип = 1) или отсутствие (ип — 0) частицы в п-ом месте на прямой; ф — химический потенциал. В других моделях ип = 1 указывает на положительную направленность спина частицы, занимающей п-ое место на прямой, а ф — напряженность внешнего поля. Булева усредняющая процедура (0.1) минимизирует формальный гамильтониан (0.2).

Линейный Кванто- Блок фильтр ватель усреднения

Рис. 0.1: Аналого-цифровой преобразователь с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием.

3) Системы управления и их компоненты: а) Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (leaky integration) (рис. 0.1). Здесь ип указывает выход двухуровневого квантователя на тг-ом такте работы; хп — аналоговый сигнал; (ji) есть последовательность коэффициентов в передаточной функции линейного фильтра. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает выходной сигнал ип квантователя Q в аналого-цифровом преобразователе для постоянного входного аналогового сигнала хп = х при обозначении ф = х E^i Ъб) Широтно-импульсная система управления со структурой, указанной на рис. 0.2.

Импульсный Объект элемент управления

РЕ и

Рис. 0.2: Широтно-импульсная система управления.

Здесь и — выходной сигнал импульсного элемента РЕ, — импульсная переходная функция объекта управления. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает релейные режимы широтно-им-пульсных систем, в которых ип указывает полярность управляющего сигнала на тг-ом такте работы импульсного элемента в релейном режиме; ф — внешний сигнал; ^ есть интеграл от импульсной переходной функции по г-ому периоду модуляции.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является исследование моделей систем управления и статистической механики посредством изучения динамики булева усреднения.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые результаты: доказано, что доля единиц в последовательности, порожденной булевой усредняющей процедурой (1.4), зависит только от значения параметра ф и не зависит от начальных условий булева усреднения (последовательности (ип) при п < 0), указанная зависимость имеет вид канторовой лестницы; сформулированы достаточные условия образования периодической последовательности в булевой усредняющей процедуре.

Приложение абстрактных результатов о булевом усреднении к моделям статистической механики позволяет утверждать, что кан-торова лестница описывает зависимость концетрации частиц газа в основном состоянии от химического потенциала при любом (в том числе непериодическом) начальном распределении частиц на прямой. В предшествующих работах Дж. Хаббарда [25] (1978), П. Бака и Р. Бруинсмы [18] (1982), С. Буркова и Я. Синая [9] (1983), М. Кипниса [13] (1994) аналогичный результат был получен только для периодических распределений частиц на прямой.

Из полученных результатов следует, что для аналого-цифровых преобразователей с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием [22, 23, 26, 28, 35, 30] в произвольных режимах существует однозначная зависимость выходного сигнала от постоянного входного аналогового сигнала, имеющая вид канторовой лестницы. До сих пор этот результат был известен только для периодических режимов работы аналого-цифрового преобразователя. Получена оценка выходного сигнала при изменяющемся аналоговом сигнале.

Теоретические исследования диссертации дополнены серией численных экспериментов по сравнению быстроты установления доли единиц в последовательности, генерируемой булевой усредняющей процедурой, при различных условиях. Разработана программа, позволяющая исследовать процесс булева усреднения с помощью вычислительной техники.

АКТУАЛЬНОСТЬ. В 1978 г. Хаббардом [25] была рассмотрена модель решетчатого газа с антиферромагнитным взаимодействием. Энергия в этой модели выражалась с помощью гамильтониана, минимум которого достигался на периодических распределениях частиц на прямой. Позднее эта же модель рассматривалась П. Баком и Р. Бруинсмой [18] (1982), С. Бурковым и Я. Синаем [9] (1983). Основным результатом этих работ явилось утверждение о том, что в случае выпуклой функции взаимодействия зависимость концентрации газа в основном состоянии от химического потенциала среды имеет вид канторовой лестницы, и что эта канторова лестница полна. В 1994 М. Кипнис [13], применяя идеи теории управления, использовал булево усреднение для минимизации гамильтониана Хаббарда. Такой подход позволил получить те же результаты и при функциях взаимодействия, свободных от условия выпуклости. Во всех перечисленных работах вопрос о непериодическом распределении частиц на прямой не ставился. В настоящей диссертации показано, что существование и полнота канторовой лестницы в исследуемой модели сохраняются и при произвольном непериодическом распределении частиц.

В аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией с 60-х годов исследовалась идеальная сигма-дельта модуляция [26]. Описание работы таких моделей систем управления сводилось к динамике группы вращений окружности. С конца восьмидесятых годов появились работы Р. Грея [35], Д. Дельчампса [41], Л. Чуа [23] по АЦП с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием утечкой). Модель с утечкой оказалась более адекватной реальным АЦП. В этом случае работа АЦП описывалась при помощи итераций кусочно-линейных отображений. В диссертации доказывается полнота канторовой лестницы для итераций кусочно-линейного отображения, являющегося обобщением отображения, используемого в [35]. В 1993 г. в работе Д. Дельчампса [22] была рассмотрена модель АЦП с линейным фильтром (рис. 0.1), передаточная функция H(z) которого имеет вид оо 1

H{z) = £ -г (0.3) г'= 1 2 или т = £4> (°-4) i= 1 zl где р есть утечка (leakage), 0 < р < 1, или

ОО гу.

H(z) = z\ (0.5) i=1 2 где (71) — произвольная последовательность. Фильтр с передаточной функцией (0.3) соответствует идеальному сигма-дельта модулятору. Переход от (0.3) к (0.4) представляет собой переход к сигма-дельта модуляции с неполным суммированием. Передаточная функция (0.5) есть обобщение (0.4) и соответствует сигма-дельта модуляции с "неравномерной утечкой" суммирования. В этом случае АЦП будем называть сигма-дельта модулятором с обобщенным неполным суммированием. В 1995 г. М. Кипнис [12] разработал полную теорию периодических режимов в АЦП указанного вида. Однако, вопрос о непериодических режимах остался открытым. В диссертации показано, что канторова лестница описывает зависимость выхода АЦП от постоянного входа в произвольных непериодических режимах. В диссертации ослаблено необходимое в работах предшественников требование постоянства входного аналогового сигнала и дана оценка выхода АЦП по оценке входа.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Основная часть диссертации развивает теорию булева усреднения и имеет теоретический характер. Результаты, приведенные в диссертации, доказывают универсальность канторовой лестницы как графической харатеристики зависимости доли единиц в траектории булева усреднения от значения параметра ф. В приложениях теории булева усреднения это означает, что канторова лестница характеризует зависимость концентрации газа в основном состоянии от химического потенциала среды в модели Хаббарда и зависимость "вход-выход" сигма-дельта модулятора с обобщенным неполным суммированием как в периодических, так и в произвольных непериодических режимах.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В статистической механике модели с гамильтонианом Хаббарда, как указал П. Бак [18], описывают свойства интеркалированных графитов и органических проводников, интенсивно изучаемых в настоящее время в связи с обнаруженной в некоторых из них сверхпроводимостью. В диссертации получен результат о независимости концентрации газа в основном состоянии от начального распределения частиц на прямой. Тем самым снимается ограничение на периодичность конфигураций, что проясняет ситуацию в этой области статистической механики и в некотором смысле подтверждает правомерность использования процедуры булева усреднения для минимизации гамильтониана.

Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией широко применяются в аудиотехнике. Переход к сигма-дельта модуляции с утечкой трактуется в работах американских исследователей Р. Грея [35], Д. Дельчампса [41] и Л. Чуа [23] как указание на ро-бастность АЦП с сигма-дельта модуляцией. Переход к сигма-дельта модуляции с обобщенным неполным суммированием усиливает представление об этой робастности. Снятие условности характеристики "вход-выход" АЦП, обусловленной требованием периодичности последовательности сигналов квантователя, и оценка выхода АЦП по оценке переменного входа дают теоретическое обоснование для конструирования АЦП с заданными характеристиками в широких пределах.

В программе, разработанной для экспериментов по сравнению быстроты установления доли единиц в булевом усреднении, осуществлена имитация булевой усредняющей процедуры. Это позволяет исследовать динамику и рассчитывать параметры булева усреднения.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В доказательствах теорем, связанных с числом вращения булевой усредняющей процедуры, используется геометрическая теория равномерного 2-раскрашивания. При исследовании итераций отображений использовался метод ренорма-лизации.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва 1996 г.), международном семинаре ММАЯ 97 (Польша), российской конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия" (Челябинск 1997 г.), Воронежской школе "Современные проблемы механики и прикладной математики" (1998 г.), международном семинаре КБРСО 98 (Челябинск), семинаре проф. Б.М. Гуревича в Московском государственном университете.

ОПИСАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации — 71 страница. Список литературы содержит 41 наименование.

1. Асарин Е.А., Козякин B.C., Красносельский М.А., Кузнецов H.A. Анализ устойчивости рассинхронизированных дискретных систем. 1,11. М.: Наука. 1992.

2. Бакалинский JI.K. Булево усреднение в модели Хаббарда// Тез. докл. школы. Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж. 1998. С.35.

3. Бакалинский JI.K. Булево усреднение в случае быстро убывающей весовой последовательности// Сб. научных трудов преподавателей и аспирантов физико-математического ф-та Магнитогорского госпединститута. Магнитогорск. 1997. С.41-45.

4. Бакалинский JI.K. Динамика булева усреднения в одномерных решетчатых моделях с антиферромагнитным взаимодействием// Теоретическая и математическая физика. 1998. Т.117. №3. С.435-441.

5. Бакалинский JI.K. Инвариантность числа вращения булевой усредняющей процедуры// Тез. докл. Российской конф. "Математика накануне третьего тысячелетия". Челябинск. 1997. С.7.

6. Бакалинский JI.K. Канторова лестница для описания работы аналого-цифровых преобразователей// Тез. докл. IV Международного семинара "Устойчивость и нелинейные системы управления". Москва. 1996. С.77.

7. Бакалинский Л.К. Периодические траектории в контрпримере Данжуа// Фундаментальная и прикладная математика. (В печати).

8. Бакалинский JI.K. Полнота канторовой лестницы для итераций некоторого кусочно-линейно го отображения прямой в себя// Кибернетика и вычислительная техника. Киев. 1998. Вып. 120. С. 16-23.

9. Бурков С.Е., Синай Я.Г. Фазовые диаграммы одномерных решетчатых моделей с дальнодействующим антиферромагнитным взаимодействием// УМН. 1983. Т.38. Вып.4. С.205-225.

10. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993.

11. Керимов A.A. Об основных состояниях одномерных антиферромагнитных моделей с дальнодействием// Теор. и мат. физ. 1984. Т.З. С.473-479.

12. Кипнис М.М. Диссертация . доктора физ.-мат. наук Теория булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в сигналах управления, в преобразователях сигналов и в моделях статистической механики. Институт сист. анализа РАН. 1995.

13. Кипнис М.М. Одномерные модели статистической механики с гамильтонианом Хаббарда и функцией взаимодействия, свободной от условия выпуклости// ДАН. 1994. Т.336. №3. С.316-319.

14. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления// ДАН. 1992. Т.324. №2. С.273-276.

15. Козякин B.C. Об анализе устойчивости рассинхронизованных систем методами символической динамики// ДАН СССР. 1990. Т.311 №3. С.549-552.

16. Леонов Н.Н. О точечном отображении прямой в прямую// Изв. ВУЗ. Радиофизика. 1959. Т.2. №6. С.942-956.

17. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка. 1989.

18. Bak P., Bruinsma R. One-dimensional Ising model and the complete devil's staircase// Phys. Rev. Lett. 1982. V.49. No.4. P.249-251.

19. Bakalinski L. On class of analog-to-digital converters// Proc. of International Workshop NDPCO 98. Chelyabinsk. 1998. P.36-37.

20. Bernoulli III J. Sur une nouvelle espece de calcul. Recueil pour les astronomes 1 (Berlin) 1772. P.255-284.

21. Christoffel E.B. Observatio arithmetica// Annali Mathemat. 1875. 2nd series. V.6. P.148-152.

22. Delchamps D. Nonlinear dynamics of oversampling A-to-D converters// Proc. of the 32nd IEEE CDC. Dec. 1993. San-Antonio.

23. Feely O. and Chua L. The effect of Integrator leak in Sigma-delta modulation// IEEE Trans, on Circuit and Systems. 1991. V.38. P. 1293-1305.

24. Gelig A.Kh. and Churilov Stability and Oscilations of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin. 1998. 362 p.

25. Hubbard J. Generelised Wigner lattices in one dimension and some applications to tetracianoquinodimethane (TCNQ) salts// Phys. Rev. B. 1978. V.17. P.494-505.

26. Inose M., Yasuda Y. and Murakami J. A telemetring system by code modulation E — A-modulation// IRE Trans. Space Electron. Telemetry. Sept. 1962. V.SET-8. P.204-209.

27. Khanin K.M., Sinay Ya.G. A new proof of M.Herman's theorem// Commun. Math. Phis. 1987. V.112. P.89-101.

28. Kieffer J.C. Analysis of dc input Response for a Class One-Bit Feedback Encoders// IEEE Trans. Comm. 1990. No.3. P.337-340.

29. Kieffer J.C. Sturmian minimal systems associated with the iterates of certain functions on an interval// Dynamical Systems. Lect. Notes in Math. V.1342. Springer-Verlag. N.Y. 1988. P.354-361.

30. Kipnis M. Boolean averaging in a model of Statistical Mechanics and in an Analog-to-Digital Converter// Russ. J. of Math. Phys. 1996. V.4. No 3. P.397-402.

31. Markoff A.A. Sur une question de Jean Bernoulli// Mat. Ann. 1882. V.19. P.27-36.

32. Milnor J. and Thurston W. On iterated maps of the interval// Lect. Notes in Math. V.1342. Springer-Verlag. N.Y.: 1988. P.465-563.

33. Morse M. and Hedlund G.A. Symbolic dynamics II: Sturmian trajectories// Amer. J. of Math. 1940, v.62, p.1-42.

34. Nitecki Z. Differentiate dynamics. MIT Press. Cambridge. 1971.

35. Park S.J., Gray R. Sigma-delta modulation with leaky integration and constant input// IEEE Trans, on Inf. Theory. Sept. 1992. V.38. No.4. P.1512-1533.

36. Pokrovsky V.L., Uimin G.V. On the properties of monolayers of adsorbed atoms// J. Phys. C.: Solid State Phys. 1978. Noll. P.3535-3549.

37. Siegel R., Tresser C. and Zettler G. A decoding problem in dynamics and in number theory// Chaos. 1992. V.2. No2. P.473-494.

38. Smith H.J.S. Note on continued fraction// Messenger Math. 1877. V. VI. P.l-14.

39. Stark J. Smooth conjugacy and renormalization for diffeomorphisms of the circle// Nonlinearity. 1988. No.l. P.541-575.

40. Veerman P. Symbolic dynamics of order-preserving orbits// Physica. 1987. V.29D. P.191-201.

41. Winchel C. and Delchamps D. Quantisation noice in sigma-delta modulators with multiple stages, imperfect integrators and time-varying inputs// Proc. of 1992 Conf. on Info Sciences and Systems. March 1992. Princeton. P. 156-161.