автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Автоматизация компьютерных методов исследования неравномерности двумерных волокнистых материалов

ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Манько Ольга Владимировна

ДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СИСТЕМ В

ПРЕДСТАВЛЕНИИ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

на правах рукописи

(01.04.02 - теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Физическом институте им. П. Н. Лебедева Российской Академии наук

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических паук профессор Аллилуев Сергей Павлович (Московский физико-технический институт)

Доктор физико-математических наук Климов Василий Васильевич (Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской Академии наук)

Доктор физико-математических наук профессор Мир-Касимов Руфат Мир-Асадулла оглы (Объединенный институт ядерных исследований)

Ведущая организация

Институт общей физики им. А. М. Прохорова Российской Академии наук

Защита состоится 18 сентября 2006 г. в 12.00 на заседании Ученого совета Д002.023.02 Физического института им. П. Н. Лебедева РАН по адресу: 119991 Москва, Ленинский проспект, д.53

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического института им. П. Н. Лебедева РАН

Автореферат разослан

0£ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д002.023.02

доктор физико-математических наук ' /. ¿с—£-"Я. Н. Истомин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена новым и актуальным проблемам квантовой теории, рассматриваемым в представлениях, связанных с представлением фазового пространства с использованием и применением зависящих от времени интегралов движения в моделях, описываемых нестационарными гамильтонианами, а также обсуждению томографического подхода в случаях спиновых и непрерывных переменных и явления запутанности квантовых состояний.

Актуальность проблемы

Квантовая механика, основанная на уравнении Шредингера для волновой функции, а также уравнении фон Неймана для матрицы плотности, позволила объяснить широкий круг физических явлений. В последние два десятилетня появились проблемы, требующие более глубокого понимания квантовой механики. Одной из таких проблем являются попытки сформулировать квантовую теорию наиболее близким образом к формулировке классической теории, предпринимавшиеся с самого начала развития квантовой механики. Вигнером в 1932 году была введена функция, названная позднее функцией Вигнера, являющаяся аналогом функции распределения в фазовом пространстве для классической частицы в классической статистической механике. Для этой функции Мойалом в 1949 году было получено уравнение эволюции, похожее на уравнение эволюции для классической функции распределения в фазовом пространстве, но содержащее постоянную Планка и всю информацию, полностью эквивалентную информации, содержащейся в уравнении на матрицу плотности. С аналогичными целями были введены и другие представления для матрицы плотности, называемые представлениями фазового пространства и объединяемые общей конструкцией звездочного произведения, а именно, функция Глаубера-Сударшана (1963 г.), функция Хусими (1940 г.), смешанная матрица плотности Блохщщева (1940 г.). В последнее десятилетие появился еще один подход к описанию состояния частицы, названный томографическим подходом (или "вероятностным представлением") и являющийся, как показано в диссертации, новым вариантом метода звездочного квантования, связанного с представлением фазового пространства.

Интегралом движения называется такой оператор, действующий в пространстве состояний физической системы, среднее значение которого не меняется в

процессе эволюции системы. Задача нахождения всех независимых интеграл лов движения системы эквивалентна нахождению оператора эволюции системы, удовлетворяющего уравнению Шредингера. Задача о многомерной квантовой системе осцилляторов, описываемой гамильтонианом - общей квадратичной формой с линейными членами по операторам координат и импульсов с зависящими от времени коэффициентами этой формы, с использованием интегралов движения подробно изучалась во многих работах. Специфика физически интересных квантовых систем, моделируемых многомерным осциллятором, заключается в том, что для них можно решить классическую задачу до конца, тем самым получая явно ответ и для квантовой задачи. Рассмотрение таких систем является одной из целей диссертационной работы и ей посвящена первая глава диссертации. Интересными объектами являются квантовые цепочки осцилляторов с зависящими от времени параметрами, рассмотренные в данной диссертационной работе. Обзор работ, посвященных возможности моделирования осцилляторными цепочками различных физических процессов, приведен во введении диссертации.

В связи с изучением новых возможностей генерации неклассического света, одной из которых является параметрическое возбуждение системы, представляет интерес рассмотрение процессов, происходящих при параметрическом воздействии на осциллятор (моделирующий, например, джозефсоновский контакт, ион в ловушке) и цепочку осцилляторов (моделирующих систему связанных джозефсоновских контактов). Кроме того, представляет интерес рассмотреть специальные виды параметрического воздействия в виде очень коротких во времени импульсов, аппроксимируемых ¿-зависимостью частот от времени. Такая зависимость, рассмотренная в данной диссертационной работе, позволяет точно решить классические уравнения движения и явно получить параметры сжатия и корреляции в системе связанных квантовых осцилляторов.

Параметрический осциллятор, подвергнутый периодическому воздействию в виде коротких импульсов, моделируемых серией ¿-толчков частоты (параметрическая раскачка типа Кронига-Пенни) рассматривается в первой главе диссертации. Изучение движения ионов в ловушках является актуальной задачей, в связи с обсуждением возможных моделей квантового компьютера, а так как ион в ловушке Паула описывается моделью осциллятора с зависящей от времени частотой, то изучение параметрического осциллятора, подвергнутого серии 5-толчков частоты и учет затухания в системе, также представляет интерес. Кроме того, для описания джозефсоиовского контакта также можно

использовать модель квантового колебательного контура (математический аналог квантового осциллятора). В связи с возможными приложениями к описанию квантовых колебательных контуров конечной добротности, моделирующих джозефсоновские контакты с неравным нулю омическим сопротивлением, интересно также рассмотреть затухание в квантовых системах. В диссертационной работе затухание описано с использованием модели Калдиролы-Канаи.

В последнее время возник интерес к изучению различных неклассических состояний света в связи с проблемой создания гравитационных антенн, развитием теории неразрушающих квантовых измерений, изучением новых возможностей генерации неклассического света. Большое внимание стало уделяться анализу статистических свойств неклассического электромагнитного поля, рассмотрению многомерных функций распределения фотонов в многофотонных неклассических состояниях электромагнитного поля, поэтому в диссертации подробно рассмотрены различные неклассические состояния квантовых систем.

Изучение статистических свойств света в различных неклассических состояниях до сих пор является интенсивно исследуемой проблемой и ей посвящена вторая глава диссертации. Статистика света в когерентном состоянии является статистикой Пуассона, поэтому эти состояния считаются наиболее близкими к классическим и часто называются классическими. Неклассическими состояниями считаются такие состояния света, статистики которых не являются пуас-. соновскими статистиками. Такими состояниями являются сжатые когерентные состояния, сжатые коррелированные состояния, четные и нечетные когерентные состояния. Функции распределения вероятностей по числу фотонов в сжатых когерентных, сжатых коррелированных, четных и нечетных когерентных состояниях являются непуассоновскими, они обладают осцилляциями, которые исследовались во многих работах по статистическим свойствам сжатого света, обзор которых приведен во введении диссертации. В последние годы статистические свойства неклассических состояний света являлись предметом интенсивных экспериментальных и теоретических исследований.

Функция распределения вероятностей по числу фотонов является диагональным матричным элементом матрицы плотности в фоковском базисе. В диссертации функция распределения вероятностей по числу фотонов в многомодовом гауссовом состоянии общего типа выражена через многомерные полиномы Эр-мита с равными парами индексов. Подробно рассмотрен двухмодовый случай.

Еще одним примером применения теории нестационарных квадратичных систем является распространение оптических параксиальных пучков в линейных

оптических системах и наличие у них универсальных инвариантов. Теория оптических пучков в параксиальном приближении обладает двумя интересными свойствами. Первое свойство - это существование математической аналогии между квантово-механическим уравнением Шредингера и параболическим уравнением Леонтовича-Фока, являющимся аппроксимацией волнового уравнения в параксиальном приближении. Второе свойство - это аналогия между эволюцией параксиальных оптических пучков, распространяющихся в линейных оптических системах, и эволюцией квантовых систем, описываемых квадратичными по операторам координат и импульсов гамильтонианами. Универсальные инварианты сохраняются по мере эволюции квантовой системы или по мере распространения вдоль оптической оси пучка в пространстве и не зависят от конкретных коэффициентов квадратичной формы в квантовом гамильтониане (для квантовых систем) или от параметров линейной оптической системы. Рад-личные универсальные инварианты находились независимо многими авторами в квантовой механике, в теории пучков классических частиц, в теории оптических пучков. Обзор литературы по данному вопросу приведен во введении. Для некоторых классов гамильтонианов, а именно, для любых неоднородных многомерных нестационарных квадратичных форм от операторов, коммутаторы и антикоммутаторы между которыми являются С-числами, существуют универсальные инварианты, зависящие от начального состояния и вида коммутационных соотношений, но не зависящие от того, чему равны коэффициенты соответствующих квадратичных или линейных форм. В диссертации общая теория применена к параксиальным оптическим пучкам и получены универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, а также исследовано их сохранение в условиях неквадратичности среды. В третьей главе диссертации универсальные инварианты получены для джозефсоновских контактов (рассмотренных в первой главе), моделируемых квантовым колебательным контуром, и оптических пучков, распространяющихся в световодах (параксиальное приближение Леонтовича-Фока), описываемых моделью двумерного осциллятора.

В классической статистической механике функция распределения вероятностей в фазовом пространстве является основным инструментом для описания состояния частицы. В квантовой механике чистое состояние описывается комплексной волновой функцией. Смешанные квантовые состояния описываются матрицей плотности. Квантовая механика принимает во внимание соотношения неопределенностей, найденные Гейзенбергом, Шредингером и Роберт-соном. Из-за соотношения неопределенностей координата и импульс не могут

быть измерены одновременно. Совместное распределение вероятностей координаты и импульса не существует для квантовой системы. Измеряемыми величинами в квантовой механике являются величины типа координаты, импульса, энергии. Но возможна и такая физическая постановка вопроса: как измерить само квантовое состояние системы (то есть функцию Вигнера, матрицу плотности)? Известно, что при решении этого вопроса удалось показать, что можно задавать состояние квантовой системы не только квазираспределениями, например, функцией Вигнера, но и настоящими распределениями вероятностей. В последние годы задача измерения квантового состояния интенсивно исследовалась теоретически и экспериментально. В работах Бертранов была найдена связь функции Вигнера с измеримым распределением вероятностей для наблюдаемой, являющейся повернутой на заданный угол координатой в фазовом пространстве системы. Функция Вигнера одномерной системы была выражена через эту измеримую нормированную положительную функцию распределения с помощью преобразования Радона, (с интегрированием по углу поворота в фазовом пространстве). В этой связи схема измерений квантового состояния для непрерывной наблюдаемой типа координаты или импульса была названа схемой оптической томографии, и эта схема была применена в экспериментах группы Раймера по реконструкции квантового состояния моды электромагнитного излучения и в работах Волмсли по молекулярной спектроскопии, а также, в экспериментах по измерению сжатого вакуумного состояния света, генерируемого оптическим параметрическим осциллятором (работы группы Млынека) и однофотонного фоковского состояния (работы Львовского) (краткий обзор экспериментальных работ приведен во введении диссертации). Реконструкция квантово-мехапического состояния иона в ловушке обсуждалась в работе Ва-лентовича и Фогеля.

Схема оптической томографии была модифицирована в схему, в которой используется для реконструкции квантового состояния измерение нормированной и положительной функции распределения для непрерывной наблюдаемой, являющейся координатой, измеренной не в одной системе отсчета в фазовом пространстве, а в ансамбле систем отсчета, связанных друг с другом линейными преобразованиями поворота и изменения масштаба. Эта схема названа схемой симплектической томографии. Обратимое отображение функции Вигнера квантового состояния на положительное распределение вероятностей для непрерывных наблюдаемых величин (координаты и импульса) было использовано в ряде работ, чтобы дать формулировку квантовой динамики, как класси-

ческого статистического процесса. С этой точки зрения подход Мойала к квантовой эволюции, как к статистическому процессу, был усовершенствован в том смысле, что вместо функции квазираспределения Мойала {функции Вигнера), которая может принимать отрицательные значения, было введено положительное распределение вероятностей измеряемых переменных, описывающее произвольное квантовое состояние и его эволюцию. По существу томографические схемы для измерения квантового состояния используют новое представление в квантовой механике, отличающееся от представления Вигнера тем, что состоянию системы в этом представлении взаимоодназначно сопоставляется не квазираспределение, а настоящая функция распределения вероятностей измеряемой физической величины. Данный подход к проблеме описания квантово-механических систем был назван "вероятностным представлением" квантовой механики, и было показано, что в рамках нового "вероятностного представления" квантовой механики, существует функция распределения вероятностей, названная томограммой, такая, что квантовое состояние может быть описано с помощью положительного измеримого распределения вероятностей, как и в классической статистической механике. Этот результат был получен благодаря тому, что в дополнение к рассмотрению измеримой физической наблюдаемой в фиксированной системе отсчета в фазовом пространстве квантовой системы, были рассмотрены различные системы отсчета в фазовом пространстве. Дополнительные параметры, различающие разные системы отсчета, заменяют информацию, закодированную фазой волновой функции. В рамках введенной формулировки квантовой механики в диссертации были рассмотрены различные квантовые системы, такие, например, как ион в ловушке Паула.

В диссертации рассмотрена еще одна актуальная проблема, а именно, описание состояний дискретной квантовой наблюдаемой, типа спина, с помощью распределения вероятностей. Для этой сугубо квантовой величины также важна физическая задача: как измерить квантовое состояние спиновой степени свободы? Квантовая задача о спине связана с описанием поведения спинора, она отличается от задачи о квантовой системе с одной степенью свободы, описываемой непрерывной наблюдаемой. Попытка ввести описание состояний дискретной квантовой наблюдаемой, типа спина, с помощью классического распределения предпринимались и ранее, но положительная функция распределения вероятностей, описывающая произвольное состояние спш'1а, есть результат диссертации. В диссертации для произвольного значения спина предложена схема измерения его квантового состояния, приведен вывод инвариантной формы для

оператора плотности спинового состояния через интеграл по углам, задающим ось квантования, от произведения измеримой вероятности значений проекции спина на выделенное направление и шаровых функций, суммированных с коэффициентами Клебша-Гордана, найдено уравнение эволюции для спиновой томограммы, являющееся аналогом уравнения Паули для частицы со спином 1/2.

Томограммы квантового состояния являются стандартными функциями распределения вероятностей, следовательно, все характеристики функций распределения вероятностей, известные в теории вероятностей, могут быть использованы и для томограмм квантовых состояний. Наиболее важными характеристиками, связанными с функциями распределения вероятностей являются энтропия и информация. Поэтому в диссертации исследована связь между сим-плектическими томограммами и энтропией, введено понятия томографической энтропии и информации. Томографические энтропия и информация получены для спиновых состояний, как в случае спинового состояния одной частицы, так и в случае состояния нескольких частиц. В квантовой механике фон Нейман ввел понятие энтропии, связав ее с оператором плотности. Поэтому установление связи между томографической энтропией и энтропией фон Неймана является актуальной задачей, и эта задача была решена в диссертации в случае спиновых состояний, то есть, была исследована связь между томографической энтропией, информацией Шэннона и энтропией фон Неймана.

Еще одной модификацией томографического метода измерения квантового состояния является томография счета фотонов. В этой схеме измеряется распределение по дискретному числу квантов (фотонов) в исследуемой моде, дополнительно зависящее от контролируемых фазы и амплитуды внешнего классического поля, накладываемого на поле сигнала, находящегося в квантовом состоянии. Данная схема была названа "томографией счета фотонов" в связи с тем, что в рамках этого метода оператор Плотности может быть восстановлен из измеряемой экспериментально статистики фотонов. Томография счета фотонов отличается от симплектической томографии, в которой измеряемая величина является непрерывной. В томографии счета фотонов измеряемая величина (число фотонов) является дискретной величиной, изменяющейся в бесконечных пределах, в отличие от измеряемой величины в методе спиновой томографии, значение которой лежит в конечном интервале, поэтому ее исследование является также актуальной задачей. В диссертации показано, что томограмма счета фотонов смешанного гауссова состояния является функцией распределения ве-

роятностей по числу фотонов для состояния, описываемого функцией Вигнера со сдвинутами аргументами. В результате, развивая схему рассмотрения гауссовых состояний, использованную во второй главе, томограмма счета фотонов для смешанного одномодового гауссова состояния была выражена через полиномы Эрмита от двух переменных, а томограмма счета фотонов для многомодово-го смешанного гауссова состояния через полиномы Эрмита от 2N переменных. Кроме того, была получена томограмма счета фотонов для двухмодовых гауссовых состояний, как функция от полиномов Эрмита от четырех переменных, и были подробно исследованы томограммы счета фотонов для двухмодового сжатого коррелированного состояния, четных и нечетных когерентных состояний.

В классической механике наблюдаемые величины задаются некоторыми функциями координат и импульсов. Умножение таких функций определяется стандартным правилом поточечного умножения значений функций в каждой точке фазового пространства. Можно ввести определение стандартного правила умножения функций с помощью задания интегрального ядра. С помощью интегральных ядер можно определять произведения функций, отличные от поточечного. Если потребовать только ассоциативность умножения, можно найти различные формы ядра. Ассоциативное произведение функций, отличающееся от обычного, называется звездочным. Звездочное произведение находится во взаимооднозначном соответствии с обычным правилом умножения операторов, реализуемом в каком-либо представлении, и обычным умножением матриц этих операторов. Квантовая механика отличается от классической, в частности тем, что наблюдаемые величины в обычной формулировке квантовой механики описываются операторами. Замена функций операторами для физических наблюдаемых величин при переходе от классической к квантовой механике (квантование) делает язык описания квантовой механики отличным от языка классической статистической физики. Идея квантования с помощью звездочного произведения заключается в том, что, так как матричные элементы матриц операторов представляют собой функции, то можно отождествить и в квантовой механике с наблюдаемыми величинами обычные функции, снабдив их звездочным правилом умножения. Квантование при помощи звездочного произведения изучалось во многих работах и является актуальной задачей современной теоретической физики. Поэтому в диссертации обсуждено обратимое отображение квантовых наблюдаемых величин, описываемых операторами в гильбертовом пространстве, и числовых функций (символов операторов) в фа-

зовом пространстве, подчиняющихся правилам звездочного произведения. Показано, что симплектическое томографическое преобразование наблюдаемых величин является обратимым преобразованием от операторов к их символам в формализме звездочного квантования, и найдено ядро звездочного произведения томографических символов операторов. Кроме того введен формализм звездочного произведения для томографических символов спиновых операторов.

В диссертации исследованы томографические функции распределения вероятностей (томограммы) как для квантовой так и для классической систем.

В связи с развитием таких направлений как квантовая теория информации и квантовая криптография, а также, в связи с задачей создания квантового компьютера, потребовалось более глубокое понимание основ квантовой механики. Ряд квантовых состояний близок к классическим, другие состояния не имеют классического аналога. Примером квантовых состояний, пе имеющих классического аналога, являются запутанные (несепарабельные) состояния составных систем, которые имеют чисто квантовую природу корреляций между подсистемами. Исследование сепарабельности квантовых состояний является актуальной задачей. Данным проблемам, посвящено большое число работ. Критерий сепарабельности, основанный на свойствах матрицы плотности, исследовался в работах Переса и Городецких. В работе Саймона критерий сепарабельности Переса-Городецких был применен при исследовании перепутанности состояния двухмодового электромагнитного поля. Подход к проблеме сепарабельности квантовых состояний, основанный на описании состояний томографической функцией распределения вероятностей, рассмотрен в диссертации.

В квантовой механике часто используются неравенства Белла. Вероятностная природа этих неравенств широко обсуждается в современной литературе. Поскольку в вероятностном представлении квантовой механики квантовые состояния ассоциируются с обычными вероятностями, естественно использовать это представление для анализа неравенств Белла и рассмотреть связь между нарушениями неравенств Белла и явлением перепутанности состояний системы, что и было обсуждено в диссертации.

Цель диссертационной работы теоретически исследовать сжатые, коррелированные состояния различных параметрических осцилляторных моделей, обсудить статистические свойства и функции распределения вероятностей по числу фотонов в различных состояниях электромагнитного поля, найти универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, обсудив их сохра-

нение по мере распространения пучков, рассмотреть динамику и статистические свойства квантовых систем в представлении фазового пространства (томографическое представление квантовой механики), обсудив как непрерывный случай (симплектическая томография), так и дискретный случай (метод спиновой томографии и томографии счета фотонов).

Новизна работы заключается в следующем:

Найден ранее неизвестный в теоретической физике класс сохраняющихся величин в параксиальной оптике - универсальные инварианты параксиальных оптических пучков;

Предложена схема спиновой томографии;

В рамках симплектической томографии для состояний непрерывных наблюдаемых величин обсужден томографический пропагатор;

Метод симплектической томографии применен к движению ионов в ловушке Паула;

Установлена связь томографического представления со звездочным произведением;

Введено понятие томографической энтропии и информации;

Получено новое необходимое условие сепарабельности квантовых состояний.

Практическая ценность работы

На основе моделей, изученных в диссертационной работе, представляется возможным предложить практический способ возбуждения сжатых коррелированных состояний. Полученные универсальные инварианты параксиальных оптических пучков могут быть применены при анализе распространения импульсов в световодах, а также при анализе различных систем: джозефсоновских контактов, электромагнитных полей. Новый подход к проблеме перепутанности квантовых состояний может быть использован в квантовой теории информации.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были'доложены диссертантом и обсуждены на следующих конференциях и семинарах: 1. Семинар ОГДН ИЯИ АН СССР (1988 г.)

2. Ill Всесоюзное совещание "Квантовая метрология и фундаментальные физические константы"(Ленинград, 1988 г.)

3. Всесоюзное совещание "Проблемы квантовой оптики "(Дубна, 1988 г.)

4. Школа-семинар "Представления групп в физике"(Тамбов, 1989 г.)

5. XVIII, XXI, XXIII Международные коллоквиумы "Теоретико-групповые методы в физике"(Москва, 1990 г.; Гослар, Германия, 1996 г.; Дубна, 2000 г.)

6. IV Рабочее совещание "Рассеяние, реакции, переходы в квантовых системах и методы симметрии" (Обнинск, 1990 г.)

7. I и II Международные семинары "Сжатые и коррелированные состояния" (Москва, ФИАН, 1990 г.; 1992 г.)

8. Сессия Отделения ядерной физики АН СССР по физике элементарных частиц и ядерной астрофизике (Москва, МИФИ, 1990 г.)

9. II и V Международные Вигнеровские симпозиумы (Гослар, ФРГ, 1991 г.; Вена, Австрия, 1997 г.)

10. V Международное рабочее совещание "Методы симметрии в физике" (Обнинск, 1991 г.)

11. Международный семинар "Сжатие, группы и квантовая механика" (Баку, 1991 г.)

12. Международный семинар "Гармонический осциллятор" (Университет Мэриленда, США, 1992 г.)

13. Семинар Теоретического отдела ИЯИ АН СССР (1992 г.)

14. Коллоквиум физического департамента Университета Виланова (Филадельфия, США, 1992 г.)

15. Семинары оптической лаборатории Корейского университета, Института стандартов KRISS, Института науки и технологии KAIST , Института электротелекоммуникаций ETRI, Университета Чонджу (Южная Корея, 1992 г.)

16. Европейские конференции по квантовой оптике (Давос, Швейцария, 1993 г.; 1995 г.; Сан Фелицио, Испания, 2001 г.; Кастельвечи Пачуоли, Италия, 1998 г.)

17. Зимняя школа по квантовой оптике (Мирамаре-Триест, Италия, 1994 г.)

18. Конференция НАТО (NATO Advance Study Institute) "Электронная теория и квантовая электродинамика 100 лет спустя" (Эдирне, Турция, 1994 г.)

19. IV, V, VI, VII, VIII, IX Международные конференции "Сжатые состояния и соотношения неопределенностей" (Таежуан, Шанкси, Китай, 1995 г.; Бала-тонфюред, Венгрия, 1997 г.; Неаполь, Италия, 1999 г.; Бостон, США, 2001 г.; Пуэбла, Мексика, 2003 г.; Безансон, Франция, 2005 г.)

20. Рабочее совещание по нелинейностям "Шумы в нелинейных системах"

(Мирамаре-Триест, Италия, 1995 г.)

21. Адриатическая конференция "Интерферометрия II" (Мирамаре-Триест, Италия, 1996 г.)

22. Второй Международный симпозиум по фундаментальным проблемам в квантовой физике (Овиедо, Испания, 1996 г.)

23. Семинар лаборатории неклассического света Института Макса Планка (Берлин, Германия, 1996 г.)

24. Международная конференция "Симметрия в науке X" (Брегенс, Австрия,

1997 г.)

25. Адриатическая конференция по джозефсоновскому туннелированию, отражению Андреева и эффектам в мезоскопических структурах (Мирамаре-Триест, Италия, 1997 г.)

26. Семинар Института физики (Белград, Югославия, 1997 г.)

27. Международные конференции по когерентной и нелинейной оптике (ICONO) (Москва, 1998 г.; Санкт-Петербург, 2005 г.)

28. Международная конференция "Комбинационное рассеяние" (ФИАН, Москва,

1998 г.)

29. Адриатическая конференция "Квантовая интерферометрия III" (Мирамаре-Триест, Италия, 1999 г.)

30. Второй международный симпозиум "Квантовая теория и симметрии" (Краков, Польша, 2001 г.)

31. Международная конференция по квантовой электронике (IQEC/LAT) (Москва, 2002 г.)

32. Конференция, посвященная столетию Вигнера (Печь, Венгрия, 2002 г.)

33. IX Международные чтения по квантовой оптике (Санкт-Петербург, 2003 г.)

34. Семинар по физике многофотонных процессов (ИОФАН, 2004 г.)

35. Международное рабочее совещание по классическим и квантовым интегрируемым системам (Дубна, 2005 г.)

36. Международная школа-семинар для молодых ученых "Квантовые измерения и физика мезоскопических систем" (Суздаль, 2005 г.)

37. Семинар по квантовой информации в Университете Милана (Милан, Италия, 2005 г.)

38. VIII Симпозиум "Фотонное эхо и когерентная спектроскопия" (Светлогорск, 2005 г.)

39. Международная конференция "Новые направления в квантовой механике: Фундаментальные аспекты и приложения" (Палермо, 2005 г.)

40- Семинары по теоретической радиофизике (КРФ ФИАН, 1996 г.; 2005 г.)

41. Семинар отделения квантовой радиофизики (КРФ ФИАН, 2005 г.)

42. Семинар теоретического отдела Физического факультета Университета Неаполя (2005 г.)

Публикации

Основу диссертации составляют результаты, опубликованные в 60 научных статьях. Статьи указаны в конце автореферата, в том числе: статьи в. реферируемых журналах - 37, сборники трудов международных конференций - 15. Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве, является определяющим.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Основные результаты и защищаемые положения сформулированы в заключении. Диссертационная работа представлена на 249 страницах машинописного текста. Список литературных ссылок - 453 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели исследования, кратко изложено содержание и актуальность работы, приведен краткий исторический экскурс и обзор литературы по теме диссертации.

В первой главе изложена общая схема описания нестационарных квадратичных систем и исследованы сжатые коррелированные состояния различных параметрических осцилляторных моделей.

В связи с изучением новых возможностей генерации неклассического света, одной из которых является параметрическое возбуждение системы, представляет интерес рассмотрение процессов, происходящих при параметрическом воздействии на осциллятор (джозефсоновский контакт, ион в ловушке) и цепочку осцилляторов (моделирующих систему связанных джозефсоновскнх контактов). Кроме того представляет интерес рассмотреть специальные виды параметрического воздействия в виде очень коротких во времени импульсов, аппроксимируемых ¿-зависимостью частот от времени. Такая зависимость, рассмотренная в данной диссертационной работе, позволяет точно решить классические уравнения движения и явно получить параметры сжатия и корреляции

в системе связанных квантовых осцилляторов, интересно также рассмотреть затухание в квантовых системах.

В первом параграфе первой главы общая схема описания нестационарных квадратичных систем обсуждена на примере одномерного параметрического осциллятора с произвольной зависимостью частоты от времени. Во втором параграфе подробно рассмотрено параметрическое воздействие на осциллятор со специальной временной зависимостью частоты, того же типа, что в известной модели периодического пространственного потенциала Кронига-Пешш, а именно,

N-1

n2(t) = w$ - 2к Y, à(t - кг), ыо

где wo - частоты осциллятора до первого ¿-толчка, а к - сила <5~толчка, г -промежуток времени между толчками. Найдены параметры сжатия и корреляции. Например, показано, что после серии дельта-толчков частоты квантовая дисперсия координаты равна

fj Ок

МО = + Un-2 + sin[2wo(i - (» - 1)Г)] - XUn-lUn-2

4к2 9к 1

+~i/n2_1sin2[w0(t - (n - l)r)J - —f/n_xi/n_2sm[2wo(t - (n - -)r)]),

Uq Wo

где Un(cos<f>) -полиномы Чебышева второго рода, а аргумент полиномов Чебы-шева равен

X к •

— = cos ф — cos ШпТ Н--sin WoT.

2 w0

Ковариация координаты и импульса в сжатом коррелированном состоянии не

равна нулю, и после серии дельта-толчков имеет вид

й К2 о 1к

= ^{[(1 + 2-2)^-! + Ul_2 - xi/n-lf/„-2]2 - sin[2wo(i - (n - 1 )т)]

г ojq wo

Ои2 nK loi

- — cos[2wo(i - (n - 1)т)] - — r/n-it/„-2sin[2w0(i - (n - -)r)]]2 - lp. (1) Wd wo . z

Получаем, что после серии дельта—толчков возникают два явления: статистическая зависимость координаты и импульса и сжатие флуктуации одной из

переменных за счет роста флуктуации другой переменной. Кроме того в параграфе подробно исследована зависимость энергии квантовых флуктуаций от силы 5-толчков, их периода и числа. В третьем параграфе рассмотрен одномерный затухающий осциллятор с дельта-толчком частоты. Затухание учтено в рамках модели Калдирола -Канаи. Исследованы случаи слабого и сильного затухания, а также параметрическая раскачка, действующая на свободно движущуюся частицу. В четвертом параграфе результаты второго параграфа обобщены на случай с затуханием и рассмотрен одномерный затухающий осциллятор с возбуждением Кронига-Пенни. В пятом параграфе общая схема рассмотрения параметрического осциллятора применена к параметрическому джозефсо-новскому контакту, представлен обзор литературы по этому вопросу. Указано на возможность получения аналога нестационарного эффекта Казимира при помощи параметрического возбуждения джозефсоновского контакта. Приведены условия и получены ограничения на критический ток и емкость перехода, при которых можно моделировать джозефсоновский контакт квадратичным гамильтонианом квантового колебательного контура. Кроме того показано, что, изменяя определенным образом критический ток перехода, можно управлять квантовыми шумами тока и напряжения. Отмечено, что при изменении критического тока перехода возникают два явления: сжатие квантового шума тока или напряжения и статистическая зависимость между флуктуациями тока и напряжения.

В 6-10 параграфах рассмотрены модели различных видов параметрических цепочек осцилляторов. Задача о многомерной квантовой системе, описываемой общей неоднородной квадратичной формой с линейными членами по операторам координат и импульсов с зависящими от времени коэффициентами, подробно изучалась во многих работах. Было показано, что решение квантовой задачи полностью задается решением классической задачи, выражаемым действительной симплектической матрицей Л размерности 2-ЛГх2ЛГ есть число степеней свободы) и действительным Л^всктором, отвечающим сдвигу в неоднородном симплектическом преобразовании. Именно эти параметры задают 2ЛГ' независимых линейных по операторам координат и импульсов интегралов движения. Однако, параметры неоднородного симплектнческого преобразования (или классическую траекторию параметрического многомерного осциллятора) находить в явном виде не всегда удается. Специфика физически интересных квантовых систем, моделируемых многомерным осциллятором, как раз заключается в том, что для них можно решить классическую задачу до конца, тем

самым получая явно ответ и для квантовой задачи. Такими интересными объектами являются квантовые цепочки осцилляторов с зависящими от времени параметрами, рассмотренные в данной диссертационной работе.

В шестом параграфе приведена общая схема рассмотрения многомерного параметрического осциллятора. В седьмом параграфе общая схема рассмотрения применена к цепочке параметрических осцилляторов, и построены сжатые коррелированные состояния параметрической цепочки осцилляторов с произвольной зависимостью частот от времени без учета затухания, а в восьмом параграфе затухание учтено в рамках модели Калдирола-Канаи. В девятом параграфе рассмотрена цепочка осцилляторов со специальной зависимостью частот осцилляторов и частоты взаимодействия от времени, выбранная в виде дельта-толчка частот, и исследовано возбуждение сжатых коррелированных состояний в данной системе. В десятом параграфе подробно рассмотрена система двух связанных осцилляторов с дельта-толчками частот. Исследованы эффекты сжатия и корреляции на примере двух связанных осцилляторов с ¿-^толчком частоты при наличии затухания, учтенного в рамках модели Калдирола-Канаи, обсуждено влияние затухания и параметров ¿-толчков (силы 5-толчков собственной частоты осцилляторов, силы ¿^толчка частоты взаимодействия и величины временного промежутка между ¿-^толчками) на данные эффекты. Показано, что статистическая зависимость координат и импульсов в цепочке возникает благодаря двум причинам: существованию зависящей от времени части в собственных частотах и частоте взаимодействия, во-первых, и наличию затухания в системе, во-вторых.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию статистических свойств и функций распределения вероятностей по числу фотонов в различных состояниях электромагнитного поля.

В первом параграфе, исследованы статистические свойства одномодового смешанного состояния света, задаваемого гауссовой функцией Вигнера, получено явное выражение для функции распределения вероятностей по числу фотонов в одномодовом смешанном гауссовом состоянии света через полиномы Эрмита от двух переменных с равными индексами, показано, что выражения для функции распределения вероятностей числа фотонов в моде, полученные в виде рядов в различных статьях, обсужденных во введении диссертации, мо-

гут быть существенно упрощены, если учесть связь между этими рядами и полиномами Эрмита от двух переменных с равными индексами. Кроме того показано, что выражения для функции распределения вероятностей по числу фотонов, полученные ранее для когерентного света, сжатого света, сжатого коррелированного света, состояния термодинамического равновесия и сжатого состояния термодинамического равновесия, являются частными случаями выражения, полученного в данном параграфе для функции распределения вероятностей по числу фотонов. Функция распределения вероятностей по числу фотонов, полученная в первом параграфе, выражена через пять, имеющих ясный физический смысл, параметров, а именно, через две дисперсии, кова-риацию и два средних значения квадратурных компонент фотонов. Проведено исследование двух комбинаций этих параметров, а именно энергии квантовых флуктуаций и параметра смешанности квантового состояния, который отличает смешанное квантовое состояние от чистого квантового состояния. Найдено явное выражение для полиномов Эрмита от двух переменных с равными индексами и исследованы различные частные случаи этого выражения. Полученные математические формулы для полиномов Эрмита использованы для получения функций распределения вероятностей по числу фотонов в частных случаях од-номодовых смешанных состояний света, задаваемых функциями Вигнера общегауссова типа, а именно, в случае состояния термодинамического равновесия и в случае состояния термодинамического равновесия, подвергнутого сдвигу. Исследованы различные частные случаи чистых квантовых состояний одномо-дового света (сжатое вакуумное состояние, сжатое коррелированное состояние и когерентное состояние), обсуждены свойства функции распределения вероятностей по числу фотонов в этих состояниях. Показаны отличия в свойствах функций распределения вероятностей по числу фотонов в смешанном состоянии н в чистом состоянии. Исследовано влияние явления сжатия на вероятности наблюдения четного и нечетного числа фотонов и на осциллирующее поведение функции распределения вероятностей по числу фотонов как в чистом, так и в смешанном состояниях. Получена асимптотическая формула для функции распределения вероятностей по числу фотонов в случае больших значений числа фотонов. Исследовано поведение функции распределения вероятностей по числу фотонов в сжатом коррелированном состоянии света при различных температурах, коэффициентах сжатия и корреляции, показано, что осцилляции функции распределения вероятностей в сжатых коррелированных состояниях ослабевают с ростом температуры.

Во втором параграфе рассмотрен случай многомодового смешанного состояния света, заданного гауссовой функцией Вигнера, исследованы его статистические свойства, получена функция распределения вероятностей по числу фотонов в виде функции от многомерных полиномов Эрмита с равными парами индексов, проведена параметризация гауссовых состояний через коэффициенты симплектического канонического преобразования квадратурных компонент и исследована разница между функциями распределения вероятностей по числу. фотонов в смешанных и чистых многомодовых состояниях. В случае ЛГ-модового смешанного гауссова состояния света вся информация о сжатии в модах, статистической зависимости между модами, влиянии теплового шума содержится в 2Дг2 + ^ действительных параметрах. Физический смысл этих параметров зависит от представления оператора плотности, выбранного при рассмотрении проблемы. В вигнеровском представлении все параметры имеют наиболее ясный физический смысл, а именно, 2ЛГ из них - это средние значения квадратурных компонент, а 2Nг + N параметров выражаются через матричные элементы матрицы дисперсий квадратурных компонент. Во втором параграфе второй главы, выбрано вигнеровское представление оператора плотности, и функция распределения вероятностей по числу фотонов многомодового смешанного гауссова состояния выражена через многомерные полиномы Эрмита, аргументы которых и задающие их матрицы определены через матрицы дисперсий и средние значения квадратурных компонент фотонов.

В третьем параграфе результаты первого и второго параграфов распространены на двухмодовый случай. Функция распределения вероятностей по числу фотонов в дпухмодовом сжатом коррелированном состоянии выражена в явном виде как через полиномы Эрмита от двух переменных, так и через полиномы Эрмита от четырех переменных, зависящих в обоих случаях от двух параметров сжатия, относительной фазы между двумя осцилляторами, их ориентации и четырехмерного сдвига в фазовом пространстве квадратурных компонент. Продемонстрированы осцилляции функции распределения вероятностей по числу фотонов в двумерном сжатом коррелированном состоянии. Кроме того, получена формула для функции Вигнера двухмодового сжатого коррелированного состояния и вычислены средние значения и дисперсии числа фотонов в модах. Функция распределения вероятностей по числу фотонов двухмодового сжатого коррелированного состояния усреднена по одной из мод. Усредненная функция распределения вероятностей по числу фотонов выражена через двумерные полиномы Эрмита, вычислен фактор Фано и исследован тип статистики.

В четвертом параграфе, в качестве примера двухмодовых состояний рассмотрены четные и нечетные когерентные состояния, проведено исследование их статистических свойств, приведены их функции Вигнера и функции распределения вероятностей по числу фотонов. Функции распределения вероятностей по числу фотонов в четных и нечетных когерентных состояниях усреднены по одной из мод и найдены усредненные функции распределения вероятностей по числу фотонов, приведены дисперсии, средние числа фотонов в модах и факторы Фано в четных и нечетных когерентных состояниях. Показано, что функция распределения вероятностей по числу фотонов в четном когерентном состоянии является суперпуассоновской, а в нечетном когерентном состоянии - субпуассо-новской.

В пятом параграфе обсуждены некоторые формулы для гауссовых функций Вигнера и получены соотношения между производящими функциями, связанными с многомерными полиномами Эрмита.

Третья глава диссертации посвящена универсальным инвариантам параксиальных оптических пучков.

В первом параграфе приведена общая схема построения универсальных инвариантов для квадратичных квантовых систем.

Во втором параграфе проанализировано распространение импульсов света в световодах. Пользуясь формальной аналогией между уравнением Гельмголь-ца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока и нестационарным уравнением Шредингера, найдены в явном виде универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, сохраняющиеся по мере распространения пучка вдоль оси г и не зависящие от конкретного вида коэффициентов в квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат х, у. Универсальные инварианты найдены как в случае любой квадратичной зависимости диэлектрической проницаемости от координат, так и в случае аксиально—симметричной среды (волоконный световод), а также для планарного световода. Физический смысл простейших инвариантов состоит в том, что при распространении гауссова пучка в квадратичной среде сохраняется отношение радиуса корреляции к ширине пучка. Показано, что, так как в параксиальном приближении не только уравнение Гельмгольца, но и полное волновое уравнение можно представить в виде, аналогичном уравнению Шре-

дингера, то в случае любой (достаточно плавной) зависимости показателя преломления от продольной координаты существуют универсальные инварианты, включающие в себя временные моменты (описывающие пучки, ограниченные не только в пространстве, но и во времени).

В третьем параграфе обсуждены вопросы сохранения полученных универсальных инвариантов в случае неквадратичности среды. Показано, что в этом случае универсальные инварианты, вообще говоря, зависят от г, но когда ангармонические члены малы, универсальный инвариант (как функция от г) будет колебаться около начального значения. При этом для некоторых классов начальных состояний размах колебаний может быть величиной высшего порядка малости по сравнению с ангармоническими членами. Такая ситуация имеет место для гауссовых начальных состояний (когда функция взаимной когерентности является экспонентой от квадратичной формы), поскольку в нулевом приближении гауссово состояние остается гауссовым с нулевыми средними первого порядка, если оно было таковым в начальный момент времени. Кроме того, изучено поведение универсальных инвариантов в различных случаях отклонения среды от квадратичной и показано, что, изучая степень несохранеиия универсальных инвариантов, можно получить степень отклонения среды от квадратичной.

В четвертом параграфе, объединив результаты пятого параграфа первой главы и второго параграфа третьей главы, построены универсальные инварианты для джозефсоновского контакта, сохраняющиеся во времени при любой зависимости от времени критического тока и емкости перехода. В области значений фазы, когда гамильтониан джозефсоновского контакта нельзя заменить на гамильтониан квантового колебательного контура, получено уравнение, определяющее форму зависимости от времени универсального инварианта, и предложено изучить погрешности моделирования джозефсоновского контакта квантовым колебательным контуром в различных областях изменения фазы, исследуя степень несохранения данного универсального инварианта.

Четвертая глава диссертации посвящена динамике и статистическим свойствам квантовых систем в представлении фазового пространства. Целью данной главы является подробный вывод и анализ томографических методов: томографии спиновых состояний, симплектической томографии и томографии счета

фотонов. В рамках вероятностного представления квантовой механики квантовое состояние непрерывной переменной описывается симплектической томограммой, при помощи которой можно восстановить матрицу плотности, используя известное преобразование Радона. В рамках спиновой томографии оператор плотности состояния любого спина j выражается через измеряемую вероятность проекции спина на произвольное направление. Полученное распределение вероятностей зависит дополнительно от двух углов, задающих направление в пространстве и стандартного оператора, зависящего от шаровых функций и, следовательно, от этих углов. Данное выражение хотя и аналогично преобразованию Радона схемы оптической томографии, по, тем не менее, существенно от него отличается, так как связано с дискретной наблюдаемой величиной. Томография счета фотонов отличается от спиновой томографии тем, что в ней дискретная наблюдаемая величина изменяется в бесконечных пределах, в то время как в спиновой томографии значения наблюдаемой величины принадлежат конечному интервалу.

Четвертая глава состоит из трех частей. В первых шести параграфах введена схема спиновой томографии, обсуждена ее инвариантная .форма, введено вероятностное представление спиноров, изучено преобразование спиновых томограмм при повороте систем координат в пространстве и разложение спиновой томограммы по сферическим функциям, а также приведены примеры спиновых томограмм. При обсуждении квантовой задачи о спине в вероятностном представлении квантовой механики используется тот факт, что диагональные элементы матрицы плотности квантового состояния произвольного спина являются неотрицательными числами и их сумма равна единице. Физический смысл этих элементов состоит в том, что они являются вероятностями обнаружить значение проекции спина на фиксированную ось в пространстве. Поэтому диагональные элементы матрицы плотности квантового состояния спина отождествлены со спиновыми томограммами, которые зависят от значений проекции спина частицы на фиксированную ось в пространстве и от углов Эйлера, как от параметров. В схеме спиновой томографии если известна спиновая томограмма ы(гп], о, /?) квантового состояния частицы с произвольным спином j, то можно восстановить матрицу плотности данного состояния спина. Спиновая томограмма ш(т,1,а,{3) является положительной нормированной функцией, зависящей от двух углов Эйлера а, ¡3 и проекции спина тщ (зависимость от третьего угла Эйлера 7 исчезает, то есть, спиновая томограмма является функцией точки на единичной сфере). Формула восстановления, являющаяся одним ira результатов

диссертации, имеет вид

£ E.(2i3+1)2 ± /(-l)mM™b«,/3)0&t(*,0,7)

j3=0m3=—jfs mi=—j

vY 3 3 h\( 3 3 h \ dn_ _ , ^ (J)

V"H -mi ojUi -m'2 rn3j8n2 K '

где

h I Jm >= m I >> з2 I jm >= j(j + 1) I jm >, j - полуцелое или целое неотрицательное число, m = — j, —j + 1,..., j — 1, j, Pmm.'- матричные элементы, отвечающую оператору плотности рв) в базисе из собственных векторов | jm > операторов квадрата спина и проекции спина на ось z

<jm\pW\jm'>=p£m,, (>U) = £ £ pHL ! J'» >< Зт' I •

m—~j m'——j

Матричные элементы неприводимого представления группы вращений определяются - функцией Вигнера

где

и р(а-ь\х) - полином Якоби. Интегрирование производится по совокупности трех углов Эйлера, то есть,

JdQ = dot £ sin fidp d-y.

a величины

/ j 3 h \ ( j j h \ \mj —mi 0 ) ' \m'1 —m'2 тз/ являются 3j - символами Вигнера.

Таким образом, любое состояние спина можно задавать не только матрицей' плотности, но и спиновой томограммой. Квантовое состояние спина определено, если известна вероятность проекции спина на выделенное направление w{m\,a,0), измеренная во всех произвольно повернутых системах координат.

Следовательно, можно использовать спиновую томограмму, которая содержит даже избыточную информацию, вместо комплексных спиноров и матриц плотности для описания состояний спиновых систем.

В седьмом параграфе введено понятие энтропии в произвольном состоянии в вероятностном представлении квантовой механики (томографической энтропии) и обсуждена связь томографической энтропии спинового состояния с эн-тропиями фон Неймана и Шэннона.

В квантовой механике чистое состояние системы задается вектором \ф) в гильбертовом пространстве. Смешанное состояние описывается матрицей плотности р. В вероятностном представлении квантовой механики состояние описывается томограммой, зависящей от случайной переменной и от дополнительных параметров. Дополнительные параметры, от которых зависит томограмма, задают систему отсчета, в которой измеряется наблюдаемая величина. Замечательно, что существует взаимноодназначное соответствие (обратимое отображение) между матрицей плотности р и томограммой и>

р «-»ш.

Томограмма является функцией распределения вероятностей. Следуя схеме рассмотрения Шэннона, используемой в классической теории вероятностей, каждому квантовому состоянию (заданному томограммой ш) ставится в соответствие энтропия называемая томографической энтропией квантового состояния. Она зависит от дополнительных параметров, задающих систему отсчета. Известна конструкция унитарной спиновой томограммы, имеющей вид

и(т,и(п)) = ^гп\и+{п)ри(п)Ут),

где п — 2j + 1, п-мерная матрица Г/(п) - унитарная матрица. Применение формализма энтропии Шэннона к унитарной спиновой томограмме позволяет определить унитарную томографическую энтропию, как функцию па унитарной группе. В результате, получаем

5(Е/(п)) = - £ и (т,[/(п)) 1пи/ (т, и(п)).

Энтропия фон Неймана имеет вид

= -Тг[р1пр].

Существуют элементы унитарной группы (п = 2_/ + 1), которые диаго-

нализуют матрицу плотности р. Для этих элементов томограмма равна

функции распределения вероятностей, которая точно совпадает с собственными значениями матрицы плотности. Это означает, что томографическая энтропия для этих значений элементов унитарной группы равна энтропии фон Неймана для спиновых состояний, то есть,

С другой стороны для элементов И^Нп) томографическая энтропия принимает минимально возможное значение. Данное условие является следствием того, что функция распределения вероятностей задается диагональными элементами матрицы плотности в базисе, подвергнутом унитарному повороту, а это распределение является более гладким, чем распределение, задаваемое собственными значениями матрицы плотности. Поэтому энтропия фон Неймана равна минимальному значению томографической энтропии Б ([/(п)). Обсужденные в седьмом параграфе энтропия и информация позволяют изучать свойства составных квантовых систем с новой точки зрения.

Вторая часть четвертой главы состоит из девяти параграфов (с восьмого по шестнадцатый) и посвящена обсуждению схемы симплектической томографии. В восьмом и девятом параграфах рассмотрены состояния для непрерывных наблюдаемых величин в вероятностном представлении квантовой механики. В десятом параграфе рассмотрен "томографический" пропагатор. В одиннадцатом параграфе вероятности перехода между квантовыми состояниями выражены через интеграл перекрытия симплектических томограмм. В двенадцатом параграфе получен "томографический" пропагатор для квадратичных систем и приведено уравнение, решением которого он является. В тринадцатом параграфе модель параметрического осциллятора, рассмотренная в первой главе, использована для описания движения иона в ловушке Паула, рассмотрены сжатые коррелированные, четные и нечетные когерентные и нелинейные когерентные состояния иона в ловушках. В четырнадцатом параграфе движение иона в ловушке рассмотрено в вероятностном представлении квантовой механики. В пятнадцатом параграфе в качестве примера двухмодовых состояний рассмотрены двухмодовые четные и нечетные когерентные состояния и двухмодовые сжатые коррелированные состояния в вероятностном представлении квантовой механики, приведены их симплектические томограммы. В шестнадцатом параграфе получено уравнение для томограммы, являющееся аналогом уравнения

Паули для частицы со спином.

Третья часть четвертой главы состоит из двух параграфов и посвящена обсуждению известной томографии счета фотонов. Томография счета фотонов является еще одной модификацией томографического метода измерения квантового состояния. В этой схеме измеряется распределение по дискретному числу квантов (фотонов) в исследуемой моде, дополнительно зависящее от контролируемых фазы и амплитуды внешнего классического поля, накладываемого на поле сигнала, находящегося в квантовом состоянии. Данная схема была названа "томографией счета фотонов" в связи с тем, что в рамках этого метода оператор плотности может быть восстановлен из измеряемой экспериментально статистики фотонов. В семнадцатом параграфе обсуждена томограмма счета фотонов смешанного гауссова состояния, которая является функцией числа фотонов п и комплексного числа ■у = Ясу+г 1т7- Томограмма счета фотонов - это функция распределения вероятностей по числу фотонов (вероятность иметь п фотонов) в состоянии с оператором плотности, подвергнутым сдвигу, а именно,

"(гг,7) = (п|£>(7)р£-1(7)К

где оператор р - это оператор плотности исходного квантового состояния, а /)(7) - оператор сдвига, порождающий когерентное состояние из вакуума. Функция Вигнера, соответствующая преобразованному оператору плотности, совпадает с функцией Вигнера для исходного оператора плотности, но со сдвинутыми аргументами. Развивая схему рассмотрения, использованную в первом параграфе второй главы, получаем томограмму счета фотонов для смешанного одпомодо-вого гауссова состояния в явном виде, как функцию полиномов Эрмита от двух переменных ^^(Уь 2/г), где П), п2 - неотрицательные целые числа, а именно,

ш(п,7) = Л>(7)#<*>Ы7),У2(7)) ' п!

Матричные элементы матрицы 11, определяющей полином Эрмита, заданы формулой

ту _ д* _2 (су - о,? - 2гам) _ 1 -

Ни - 22 - 1 -(- 2Т 4- Ы • - 1 + 1Т 4- 4с('

где сГр-2, сг?2, а-рц - матричные элементы матрицы дисперсий квадратурных компонент в состоянии с оператором плотности р. Аргументы полинома Эрмита равны

2/1(7) = У2(7) =

V3

2Т - Ad - 1

х [{(g) - i(p) + %/27*) (T - 1) + (а№ - aqq + 2iapi) (<9) + i(p) + V27)] .

где (p), (g) - средние значения квадратурных компонент фотонов в состоянии с оператором плотности р. Функция Po(j) имеет вид

где Ь = 1 + 2Т + 4с?, Т- это след матрицы дисперсий, а й - ее определитель.

В восемнадцатом параграфе получена томограмма счета фотонов для много-модового смешанного гауссова состояния в виде функции от полиномов Эрмита от 2ЛГ переменных. В двадцать втором параграфе получена томограмма счета фотонов для двухмодовых гауссовых состояний, как функция от полиномов Эрмита от четырех переменных, и в качестве примеров рассмотрены томограммы счета фотонов для двухмодового сжатого коррелированного состояния, для двухмодовых: четных и нечетных когерентных состояний. Кроме того, в семнадцатом и восемнадцатом параграфах введены томографические энтропии, связанные с томограммами счета фотонов.

В пятой главе изучена связь введенных в предыдущих параграфах томограмм со стандартным звездочным квантованием.

В первом параграфе рассмотрены функции и операторы наблюдаемых величин в рамках общей схемы звездочного квантования, изучено звездочное произведение функций наблюдаемых величин. В вероятностном представлении квантовой механики квантовое состояние описывается семейством функций распределения вероятностей (томограммами). Введем оператор А и поставим ему в соответствие его символ - функцию /д(х), где.х = (хьхг, хз) = (X, ¡л, I/). В вероятностном представлении квантовой механики символ оператора - это томограмма ц, и), зависящая от координаты X и параметров (¿иу, задающих систему отсчета, а именно,

А(7) = — схр {-1 [(2*ет + 1) (<р> + V2lm-r)2 + (2арр+1) ((9) + ^Иет)2]}

х ехр ((р) + \/21т7) ((g) + \^Re7)] ,

х

Оператор U{x) в этом случае равен

W(x) = U{X, ц, и) = 6(Х -nq- vp).

Операторы q и р являются операторами координаты и импульса. В рассматриваемом случае обратное преобразование имеет вид

А = f wA (X, ¡л, v)V(X, p,u)dX dp. du,

где

X>(x) = "D(X, p, v) = — exp (¿X — ivp — г/^'/) •

27Г

В первом параграфе было найдено ядро звездочного произведения символов в схеме симплектической томографии, в явном виде оно имеет форму произведения ¿-функции и экспоненты, а именно,

х exp (i{ - и2р,) + 2Хг + 2Х2 - + »*>*}).

Кроме того, в первом параграфе было приведено соответствие между оператором и его символом для спиновых переменных в инвариантной форме.

Во втором и третьем параграфах обсуждены примеры использования звездочного произведения. В четвертом параграфе рассмотрены наблюдаемые как вероятности и показано, что не только положительные операторы плотности можно отображать на функции распределения вероятностей, но и наблюдаемые (эрмитовы операторы), а также неэрмитовы операторы.

В шестой главе обсуждены запутанные состояния с учетом томографического описания классических и квантовых систем.

В первом параграфе обсуждена возможность введения единой схемы описания квантовых и классических систем, схема симплектической томографии применена для описании состояния системы в классической статистической механике и исследованы томографические функции распределения вероятностей (томограммы) как для квантовой так и для классической систем.

Во втором параграфе обсуждены неравенства Белла и связь между нарушениями неравенств Белла и перепутанностью состояния в вероятностном представлении квантовой механики.

В третьем параграфе рассмотрены симплектические томограммы классических и квантовых систем.

В четвертом параграфе сделан обзор работ по критериям сепарабельности состояний,и предложен подход к проблеме сепарабельности (неперепутаиности) для ЛГ-модового квантового состояния, основанный на свойствах томограммы как совместной функции распределения вероятностей, и получено новое необходимое условие сепарабельности состояния многомодового электромагнитного поля.

В заключении диссертации обсуждаются полученные результаты и приводятся основные выводы работы.

ВЫВОДЫ

В диссертации решена задача возбуждения сжатых коррелированных состояний в параметрических осцилляторных моделях и исследована зависимость характеристик сжатия и корреляции от параметров воздействия, а также обсуждено описание состояний квадратичных систем и их статистических свойств в вероятностном представлении квантовой механики.

НАУЧНЫЙ ВКЛАД

В диссертационной работе общая схема исследования нестационарных осцилляторных моделей использована для описания явлений, возникающих в различных физических объектах под действием параметрической раскачки. В частности, данная схема применена к джозефсоновскому контакту и к движению ионов в ловушках. Кроме того, общая схема исследования нестационарных осцилляторных систем применена, к распространению гармонических волновых полей в слабонеоднородных средах, основываясь на математической аналогии уравнения Гельмгольца для компонент поля в параксиальном приближении Леонтовича-Фока и нестационарного уравнения Шредингера. Для параксиальных оптических пучков, распространяющихся в среде с произвольно изменяющимся вдоль пучка параболическим поперечным профилем диэлектрической проницаемости, найдены универсальные инварианты, т. е., определенные интегральные величины, сохраняющиеся вдоль оси пучка независимо от продольного изменения диэлектрической проницаемости. Обсуждено влияние на указанные инварианты эффекта непарайоличности среды. Для параметрического

джозефсоновского контакта построены сохраняющиеся величины, независящие от конкретного вида изменения параметров систем.

В диссертационной работе построены решения уравнения Шредингера для квантового осциллятора и квантового затухающего осциллятора, подвергшихся периодическому воздействию, аналогичному известному периодическому потенциалу типа Кронига-Пенни. Показано, что в результате этого воздействия осциллятор переходит в сжатое коррелированное состояние, и вычислены коэффициенты сжатия и корреляции. Кроме того, основываясь на асимптотическом поведении и свойствах полиномов Чебышева второго рода, исследована зависимость энергии квантовых флуктуаций, которая определяет максимально возможные эффекты сжатия и корреляции, от силы дельта-толчков, периода между ними и количества толчков. Исследовано влияние параметров дельта-толчков и затухания на коэффициенты сжатия в рамках аналога феноменологической модели Калдирола-Канаи для параметрической цепочки осцилляторов с затуханием.

Исследованы статистические свойства квадратичных квантовых систем, находящихся в чистых и смешанных гауссовых состояниях. Системы рассмотрены как в представлении Вигнера, так и в вероятностном представлении квантовой механики. Показано, что рассмотренные томографические схемы являются примерами квантования с использованием звездочного произведения. В вероятностном представлении квантовой механики обсужден допустимый класс томограмм. Обсуждено квантовоподобное представление классической статистической физики. Неравенство Белла, а также связь между нарушениями неравенства Велла и перепутанностью квантовых состояний рассмотрены в вероятностном представлении квантовой механики. Обсуждены условия сепарабельности квантовых состояний.

Получены следующие основные научные результаты

1. Для квантового осциллятора, который подвергается параметрической периодической раскачке (временной аналог модели Кронига-Пенни), аналитически определены энергия квантовых флуктуаций, коэффициенты сжатия и корреляции. Исследована их зависимость от характеристик воздействия (силы дельта-толчков частоты, их периода и числа).

2. В результате применения известного метода квантовых интегралов движения к модели цепочки параметрических осцилляторов аналитически опреде-

лены дисперсии координат и импульсов, коэффициенты корреляции и сжатия как для случая произвольной зависимости частот от времени, так и для случая специальной временной зависимости частоты в виде серии дельта-толчков и проанализирована возможность генерации сжатых состояний.

3. Подробно исследована модель двух взаимодействующих гармонических осцилляторов, собственная частота которых и частота взаимодействия подвергаются дельта-толчкам. Показано, что при дельта-толчке собственных частот возникает ббльший эффект сжатия, чем при дельта-толчке частоты взаимодействия.

4. Аналитически получены новые универсальные инварианты параксиальных оптических пучков, распространяющихся в слабонеоднородных средах. Проанализировано поведение универсальных инвариантов в случае неквадратично-сти среды и указан способ проверки квадратичности среды по степени несохранения универсальных инвариантов.

5. Функции распределения вероятностей числа фотонов в одномодовом, двух-модовом и многомодовом сжатых и коррелированных состояниях света получены в явном виде и выражены через полиномы Эрмита от двух, четырех и 2Ы переменных, соответственно.

6. Получена инвариантная форма спиновой томографии.

7. Получены новые формулы для специальных функций, связанных с многомерными полиномами Эрмита.

' 8. Вычислены томограммы счета фотонов для одномодовых, двухмодовых и многомодовых гауссовых состояний в виде функций от многомерных полиномов Эрмита.

9. Введено понятие томографической энтропии как характеристики квантового состояния и получена томографическая энтропия для одномодовых, двухмодовых и многомодовых гауссовых состояний, описываемых томограммами счета фотонов.

10. Найдено новое необходимое условие сепарабельности многомодовых состояний фотонов.

На защиту выносятся следующие положения

1. Нахождение в явном виде новых интегралов движения, содержащих явную зависимость от времени доя систем (цепочек) параметрических осцилляторов с

затуханием, возбуждаемых короткими импульсами (дельта-толчками) и нахождение с их помощью явного вида решений уравнений Шредингера, отвечающих сжатым состояниям, получение пропагаторов и вероятностей переходов между энергетическими состояниями (без использования теории Еозмущений). •

2. Получение в явном виде функций распределения вероятностей по числу фотонов в одномодовом, двухмодовом и многомодовом квантованном электромагнитном поле для сжатых и коррелированных чистых и смешанных состояний, описываемых гауссовыми функциями квазираспределения Вигнера и выраженных через специальные функции - многомерные полиномы Эрмита, а также исследование статистических характеристик и их изменения для сжатых состояний фотонов, таких как средние значения чисел фотонов, их дисперсии и корреляции в случаях слабого и сильного сжатия, а также для высоких и низких температур.

3. Построение и применение квантовых универсальных инвариантов для параксиальных оптических пучков света, распространяющихся в неоднородных средах с параболическим профилем показателя преломления, а также исследование изменения универсальных инвариантов для пучков света, распространяющихся в неоднородных средах с непараболическим профилем показателя преломления.

4. Построение вероятностного представления (томографического представления) для спиновых состояний и обнаружение связи спиновой томографии со схемой квантования с использованием звездочного произведения. Введение новых понятий томографической энтропии и томографической информации как характеристик спиновых состояний и установление их связи с энтропией фон Неймана.

5. Построение томографического представления для операторов, зависящих от непрерывных переменных (координаты, импульса), как квантования с использованием звездочного произведения, нахождение в явном виде ядра звездочного произведения, исследование в новом представлении таких задач, как заряженная частица со спином 1/2, движущаяся в магнитном поле, и нон в ловушке.

6. Исследование томографического представления по числу квантов (фотонов) и получение в явном виде томограмм гауссовых сжатых состояний много-модового электромагнитного поля с установлением связи фотонной статистики с соотношениями неопределенностей для квадратурных компонент фотонов.

7. Введение томографического представления в классической статистической

механике и исследование (получение) классического предела квантовых' уравнений эволюции в томографическом представлении.

8. Нахождение нового подхода к проблеме сепарабельности квантовых состояний и формулировка этой проблемы как свойства совместной функции распределения вероятностей, а также получение нового необходимого условия сепарабельности многомодового электромагнитного поля.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. В. В. Додонов, О. В. Манько, "Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков", Труды III Международного Семинара по Теоретико-Групповым Методам в физике, Юрмала, 1985, с .432 (1986) Москва: Наука

2. V. V. Dodonov, О. V. Man'ко, "Universal invariants of paraxial optical beams," in: Group Theoretical Methods in Physics Proceedings of the Third Seminar [Yurmala, May 1985] (V. V. Dodonov, M. A. Markov, V. I. Man'ko, eds.), VNU Science Press, Utrecht, v. 2, p. 523 (1986)

3. В. В. Додонов, О. В. Манько, "Универсальные инварианты параксиальных оптических пучков", Компьютерная оптика, выпуск 1. Физические основы, под редакцией А. М. Прохорова, Е. П. Велихова, Из-во Международного центра научной и технической информации, М., 1987, с. 84

4. В. В. Додонов, В. И. Манько, О. В. Манько, "Коррелированные состояния и шумы в колебательном контуре", Измерительная техника, N 2, с. 7 (1990)

5. О. V. Man'ko, "Correlated states of quantum chain," in: Proceedings of the XVIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Moscow (1990), Lecture Notes in Physics, v. 382, p. 461, Springer-Verlag (1991)

6. О. V. Man'ko, "Coherent states of the quantum parametric damped chain," in: Proceedings of the XVIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Moscow (1990), "Quantum Field Theory, Quantum Mechanics and Quantum Optics." Pt. 1. Symmetries and Algebraic Structures in Physics, Proceedings of Lebedev Physical Institute, v. 187, p. 237 (1991) Nova Science Publ.

7. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Squeezing in quantum parametric chain," Nuovo Cimento A, v. 107, N 5, p. 513 (1992)

8. О. V. Man'ko, "Quantum parametric chain in Wigner representation,"

in: Proceedings of the Second International Wigner Symposium, Goslar, 1991, World Scientific, p. 496 (1993)

9. O. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonclassical states of trapped ion," Preprint ICTP, IC/96/39

10. O. V. Man'ko, "Squeezed states of damped oscillator chain," in: Proceedings of Workshop on Harmonic Oscillators, College Park, Maryland, USA, 1992, NASA, Conference Publication, v. 3/97, p. 171, (1993)

11. V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Time-dependent oscillator with Kronig-Penney excitation," Phys. Lett. A, v. 175, p. 1 (1993)

12. O. V. Man'ko, "Correlated states of Josephson junction," J. of Korean Physical Society, v. 26, N 4, p. 1 (1993)

13. O. V. Man'ko, "Correlated states of a quantum oscillator chain acted by short pulses," in: Proceedings of the II International Workshop Squeezed states and Uncertainty Relations, Moscow, 1992, p. 399 (1993)

14. O. V. Man'ko, Leehwa Yeh, "Correlated squeezed states of two coupled oscillator with delta-kicked frequencies," Phys. Lett. A, v. 189, p. 268 (1994)

15. V. V. Dodonov, 0. V. Man'ko, V. I. Man'ko, L. Rosa, "Thermal noise and oscillations of the photon distribution for squeezed and correlated light," Phys. Lett.

A, v. 185, p. 231 (1994)

16. V. V. Dodonov, 0. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Photon distribution for one-mode mixed light with a generic Gaussian Wigner function," Phys. Rev. A, v. 49, N 4, p. 2993 (1994)

17. V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Multidimensional Hermite polynomials and photon distribution for polymode light," Phys. Rev. A, v. 50, p. 813 (1994)

18. V. V. Dodonov, V. I. Man'ko, O. V. Man'ko, "Photon distribution for multimode mixed light," Bulletin of the Lebedev Physics Institute, Allerton Press, N 4, (1994)

19. V. V. Dodonov, O. V. Man'ko, V. I. Man'ko, P. G. Polynkin, L. Rosa, "Delta-kicked Landau levels," J. Phys. A: Math. Gen., v. 128, p. 197 (1995)

20. O. V. Man'ko, "Correlated squeezed states of two coupled damped oscillator with delta-kicked frequencies," J. Russ. Laser Res., v. 16, N 4, p. 333 (1995) Plenum Press, New York

21. O. V. Man'ko, "Damped oscillator with delta-kicked frequencies," in: Proceedings of IV International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, China, 1995, NASA Conference Publication, v. 3322, p. 235, Gaddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland

22. O. V. Man'ko, "Damped oscillator with Kronig-Penney excitation," Nuovo Cimento

B, v. Ill, N 9, p. 1111 (1996)

23. O. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonclassical states of a trapped ion,"

J. Russ. Laser Res., v. 17, N 5, p. 439 (1996) Plenum Press, New York

24. О. V. Man'ko, "Symplectic tomography of nonlinear coherent states of a trapped ion," Phys. Lett. A, v. 228, p. 29 (1997)

25. О. V. Man'ko, "Tomography of a trapped ion," "Physical Applications and Mathematical Aspects of Geometry, Groups and Algebras," Goslar, Germany, v. 2, p. 60 (1997) World Scientific, Singapore, eds. M. D. Doebner, W. Scherer, C. Schulte

26. О. V. Man'ko, "Quantum oscillator with Kronig-Penney excitation in different regimes of damping," in:Proceedings of NATO Advanced Institute "Electron Theory arid Quantum Electrodynamics - 100 years later," Edirne, Turkey, 1994, NATO-ASI series, p. 133 (1997), Plenum Press, New York

27. О. V. Man'ko, "Symplectic tomography of Schrodinger cat states of a trapped ion," in: Proceedings of the International Conference "New Developments on Fundamental Problems in Quantum Physics," Oviedo, Spain, 1996, Foundamental Theories of Physics, Kluwer Academic Publishers, Netherland, eds. M. Ferrero, A. van <3er Merwe, p. 225 (1997)

28. В. И. Манько, О. В. Манько, "Томография спиновых состояний", ЖЭТФ, т. 112, выпуск 3(9), с. 430 (1997)

29. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Quantum state in probability representation and tomography," J. Russ. Laser Res., v. 18, N 5, p. 407 (1997) Plenum Press, New York

30. О. V. Man'ko, G. Schrade, "Photon statistics of generic two-mode squeezed coherent light," J. Russ. Laser Res., v. 18, N 6, p. 511 (1997) Plenum Press, New York

31. О. V. Man'ko, "Tomography for spin states and classical formulation of quantum mechanics," in: Proceedings of International Conference "Symmetries in Science X," Bregenze, Austria, 1997, p. 207 (1998), eds. B. Gruber, M. Ramek, Plenum Press, New York

32.. О. V. Man'ko, "Tomography of Nonlinear and Schrodinger Cast States of a trapped ion," in: Proceedings of V International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, Hungary, 1997, NASA/CP-1998-206855, p. 309, Goddard Space Flight Center, Greenbel, Maryland, 20771 (1998)

33. О. V. Man'ko, G. Schrade, "Photon statistics of two-mode squeezed light with Gaussian Wigner function," Physica Scripta, v. 58, p. 228 (1998)

34. В. И. Манько, О. В. Манько, С. С. Сафонов, "Описание спиноров с помощью функций распределения вероятностей", ТМФ, v. 115, N 2, р. 185 (1998)

35. О. V. Man'ko, "Optical Tomography and measuring quantum states of an ion in a Paul and in a Penning trap," Proceedings SPIE, v. 3736, p. 68 (1998)

36. О. В. Манько, "Классический пропагатор иона в ловушке Пеннипга и про-

цесс ВКР", Известия РАН, Серия физическая, т. 63 , N 6, с. 1095 (1999)

37. О. В. Маиько, "Классический пропагатор квадратичных квантовых систем", ТМФ, т. 121, N 2, с. 285 (1999)

38. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Classical propagator and path integral in the probability representation in quantum mechanics", J: Russ. Laser Res., v. 20, N 1, p. 67 (1999)

39. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, "Star-product of generalized Wigner-Weyl symbols on SU(2) group, deformations and tomographic probability distribution," Physica Scripta, v. 62, p. 446 (2000)

40. О. V. Man'ko, "Classical propagator for quadratic quantum systems. Example of a trapped ion," Fortschritte der Physik, v. 48, N 5-7, p. 463 (2000)

41. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, "Universal invariants of quantum-mechanical and optical systems," JOSA, v. 17, N 12, p. 2403 (2000)

42. V. V. Dodonov, О. V. Man'ko, "Universal invariants in quantum mechanics and physics of optical and particle beams," J. Russ. Laser Res., v. 21, N 5, p. 438 (2000)

43. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, "Wave function in classical statistical mechanics," J. Russ. Laser Res., v. 22, N 2, p. 149 (2001)

44. S. Mancini, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, P. Tombesi, "The Pauli equation for probability distributions," J. Phys. A: Math. Gen., v. 34, p. 3461 (2001)

45. О. V. Man'ko, N. V. Tcherniega, "The tomographic description of Stimulated Brillouin Scattering of light," J. Russ. Laser Res., v. 22, N 3, p. 201 (2001)

46. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, "Tomographic map within the framework of star-product quantization," in: Proceedings of Second International Symposium on Quantum Theory and Symmetries [Krakow, Poland, 2001], (E. Kapuschik,

A. Morzela, eds), World Scientific, p. 126 (2001)

47. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, G. Marmo, "Alternative commutation relations, star-products and tomography," J. Phys. A: Math. Gen., v. 35, p. 699 (2002)

48. A. B. Klimov, О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, Yu. F. Smirnov, V. N. Tolstoy, "Tomographic representation of spin and quark states," J. Phys. A: Math. Gen., v. 35, p. 6101 (2002)

49. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Photon-number tomography of multimode states and density matrix positivity," J. Russ. Laser Res., v. 24, N 5, p. 497 (2003)

50. О. V. Man'ko, "Photon tomography for two-mode squeezed states," in: Proceedings of the International Conference on Squeezed States and Uncertainty Relations, Puebla, Mexica, eds. H. Moya-Cessa, R. Jauregui, С. Hacyan, O. Castanos, Rinton Press, p. 254 (2003)

51. S. V. Kuznetsov, A. V. Kusev, О. V. Man'ko, N. V. Tcherniega, "Entanglement in the process of Stimulated Brillouin Scattering," Acta Physica. Hungarica, series "Quantum Electronics," v. 20/1, p. 11 (2004)

52. О. V. Man'ko, "Spin and quark states in the probability representation of quantum mechanics," Acia Physic a Hungarica, series "Heavy Ion Physics," v. 19/3, p. 313 (2004)

53. О. V. Man'ko, "Multidimensional Hermite polynomials, nonlinear states and photon distribution function in optical process," in: Proceedings of the XXIV International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics [Paris, 2002] Gmup 24, Physical and Mathematical Aspects of Symmetries (Jean-Pierre Gazeau, R. Kcrner, Jean-Pierre Antoine, S. Metens, Jean-Yves Thibon, eds.), v. 173, p. 573

(2003) : •■,

54. S. V. Kuznetsov, A. V. Kusev, О. V. Man'ko, "Tomographic and statistical properties of superposition states for two-mode systems," Proc. SPIE, v. 5402, p. 314

(2004)

55. S. V. Kuznetsov, О. V. Man'ko, "Entanglement and photon number probability distribution function for Stimulated Raman Scattering," Proc. SPIE, v. 5402, p. 302 (2004)

56. С. В. Кузнецов, А. В. Кюсев, О. В. Манько, Н. В. Чернега, "Томография и статистические свойства суперпозиционных состояний для двумодовых систем," Известия РАН, Серия физическая, т. 68, N 9, с. 1239 (2004)

57. О. V. Man'ko, V. I. Man'ko, "Probability representation entropy for spin-state tomogram," J. Russ. Laser Res., v. 25, N 2, p. 115 (2004)

58. Olga Man'ko, V. I. Man'ko, "Classical mechanics is not the h —* 0 limit of quantum mechanics," Los Alamos ArXiv, quant-ph/0407183 (2004)

59. Olga V. Manko, V. I. Man'ko, G. Marmo, Anil Shaji, E. C. Sudarshan, P. Zaccaria, "Partial positive scaling transform: a separability criterion," Phys. Lett. A, v. 39, p. 194 (2005)

60.. О. V.'Man'ko, "Heating map in classical and quantum mechanics," J. Russ. Laser Res., v. 26 , N 2, p. 109 (2005)

Подписано в печать ЗО- О^у 2006 г. Формат 60x84/16. Заказ № ¿Г/ ■ Тираж ¿0 экз. П.л. 2-/2^

Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинала-макета заказчика. 119991 Москва, Ленинский проспект, 53.Тел. 13251 28

Введение.

Глава 1 Аналитический обзор задач исследования неравномерности двумерных текстильных материалов.

1.1 Неравномерность волокнистых материалов.

1.2 Основные характеристики неровноты одномерных материалов.

1.3 Случайные поля как характеристики двумерных текстильных материалов.

1.4 Экспериментальные методы исследования неровноты двумерных материалов.

1.5 Методы исследования содержания сорных примесей в двумерных волокнистых материалах.

1.6 Методы компьютерного моделирования и их возможности при исследовании текстильных материалов.

1.7 Применение компьютерной техники и компьютерных технологий для исследования текстильных материалов.

1.7.1 Возможности современной компьютерной техники для сбора информации об образце.

1.7.2 Технологии обработки компьютерной графики.

Выводы по главе 1.

Глава 2 Моделирование случайной неровноты двумерных волокнистых материалов.

2.1 Моделирование случайных полей.

2.1.1 Модель дискретного поля - двумерного белого шума.

2.1.2 Модель пуассоновского изотропного поля

2.1.3 Моделирование поверхностей плоских волокнистых материалов

2.1.4 Исследование характеристик моделируемых полей.

2.2 Моделирование изображений полей неровноты.

2.2.1 Алгоритм моделирования изображений двумерных волокнистых материалов.

2.2.2 Анализ моделированных изображений полей неровноты

Выводы по главе

Глава 3 Методы выявления участков с локальной неровнотой на изображениях образцов двумерных материалов.

3.1 Виды нестационарной неровноты и проблемы ее распознавания на изображениях

3.2. Применение методов кластерного анализа для оценки засоренности двумерных волокнистых материалов.

3.2.1 Основные задачи кластерного анализа.

3.2.2 Кластер - анализ для распознавания сорных примесей на изображениях двумерных волокнистых материалов.

3.2.3 Верификация работы алгоритма на детерминированных бинарных изображениях.

3.2.4 Верификация работы алгоритма на моделированных изображениях образцов волокнистых материалов.

3.2.5 Верификация работы алгоритма на сканированных изображениях образцов волокнистых материалов.

3.3 Распознавания участков локальной неровноты на изображениях методами математической статистики.

3.3.1 Проблема выбросов случайных процессов.

3.3.2 Алгоритм выявления локальной неровноты на изображении образца.

3.3.3 Анализ работы алгоритма на модельных полях.

Выводы по главе 3.

Глава 4 Разработка автоматизированного модельно-исследовательского комплекса для анализа изображений волокнистых материалов.

4.1 Средства и возможности автоматизированного комплекса.

4.2 Структура данных.

4.3 Структура программного комплекса.

4.4 Работа с программным комплексом.

4.4.1 Настройка программного комплекса

4.4.2 Анализ изображения образца

4.4.3 Количество сорных примесей.

4.4.4 Моделирование.

4.4.5 Просмотр статистики БД.

Выводы по главе 4.

Одной из важных задач, стоящих перед текстильной промышленностью, является улучшение качества изделий. Рост объемов производства и ассортимента нетканых материалов требует особого технического контроля всех технологических операций, качества сырья, полуфабрикатов и готовой продукции. Неравномерность текстильных материалов по поверхностной плотности является одним из наиболее существенных факторов, определяющих их потребительское качество и экономические показатели процессов производства.

Существующие аналитические методы определения неровноты в основном ориентированы на исследования линейной плотности одномерного материала. Исследованием неровноты текстильных материалов с помощью таких традиционных характеристик, как корреляционная функция, спектральная плотность дисперсии, гистограмма распределения занимались такие ученые как А.Г. Севостьянов, В.П. Хавкин, А.Е.Черкасский.

Случайные поля дают возможность описывать такие показатели волокнистых материалов, как плотность массы материала, состав смеси волокон, пористость, процент сорных примесей, однородность поверхности по степени заполнения волокнами, по окрашенности и т.п. Осуществить оценку характеристик реального поля для выбранного показателя возможно лишь путем эксперимента: измерения значений показателя на образце (в лабораторных условиях) или на материале (в производственных условиях). В обоих случаях полученные экспериментальные данные подвергаются статистической обработке. В результате получают экспериментальные оценки характеристик волокнистого материала. В данной работе ограничились вопросами получения информации о материале на основании анализа образцов.

В качестве эталонов для выводов о качестве материала по исследуемому показателю используют либо значения показателей, общепризнанных как эталон материала, либо некоторые гипотетические значения так называемого «идеального» материала. Такой идеальный материал строится в виде некоторой математической модели, для которой рассчитываются значения показателей, принимаемые за эталонные.

А.Е. Черкасским были предложены теоретические модели идеальных однородных полей. Эти модели были построены как двумерные аналоги импульсных случайных потоков. Создание и реализация алгоритмов моделирования поверхностной плотности двумерных волокнистых материалов, имеющих идеальные характеристики, позволит эффективно оценивать качество исследуемых материалов.

Качество полуфабрикатов прядильного производства кроме равномерности по строению, структуре и расположению волокон характеризуется содержанием посторонних примесей и пороков. Существующие методы оценки волокнистых материалов на содержание сорных примесей и пороков основаны на визуальном контроле и ручном разборе. Создание автоматизированных методов выявления сорных примесей и пороков, основанных на обработке сканированных изображений образцов, позволит значительно сократить время на оценку показателей равномерности волокнистых материалов.

С совершенствованием компьютерной техники появились новые возможности и средства для исследования свойств материалов, среди которых на первом месте стоят сканирующие электронные устройства. Серийно выпускаемые устройства вполне пригодны по своим техническим характеристикам для получения исчерпывающей информации о неравномерности волокнистых материалов.

Развитые информационные технологии обработки цифровых изображений открывают широкие возможности для создания методов оценки качества двумерных материалов по их сканированным изображениям.

Разработка компьютерных систем, автоматизирующих исследования свойств волокнистых материалов по их изображениям, является актуальной и перспективной задачей.

Целью данной диссертационной работы является решение создание автоматизированных методов исследования неравномерности двумерных волокнистых материалов. Решение этой задачи включает в себя следующие этапы:

- анализ существующих методов исследования неравномерности волокнистых материалов;

- разработка методов моделирования неровноты двумерных текстильных материалов, отражающих неравномерность по линейной плотности, включая локальные участки нарушения однородности поверхности материала;

- разработка методов и алгоритмов оценки неравномерности и методов выявления участков с локальной неровнотой на сканированных изображениях плоских волокнистых материалов;

- разработка автоматизированного комплекса для анализа изображений образцов двумерных материалов.

В работе использованы методы математического компьютерного моделирования, корреляционного и спектрального анализа случайных полей, математической статистики и кластерного анализа, современные методы компьютерной обработки графической информации, методы разработки автоматизированных комплексов.

В результате выполнения поставленной научно-технической задачи в работе впервые:

- разработаны теоретические основы и компьютерные модели изображений поверхностей двумерных волокнистых материалов, имеющих локальные нарушения неравномерности с случайными координатами и параметрами;

- исследовано влияния геометрических и пространственных характеристик моделирующих импульсов на свойства создаваемых поверхностей;

- разработаны методы выявления сорных примесей и пороков на сканированных изображениях волокнистых материалов; 6

- проведены эксперименты с программно реализованными алгоритмами и методами и доказана эффективность их применения для исследования качества волокнистых продуктов;

- разработана структура автоматизированного комплекса для анализа неравномерности двумерных волокнистых материалов по сканированным изображениям.

Разработки, выполненные в диссертации, использованы Научно-испытательным центром «Шелк» НО Учреждения «Центр «СКС» при исследовании образцов нетканых материалов для выделения сорных примесей, а так же в учебном процессе МГТУ им. А.Н. Косыгина при изучении курсов «Математические методы обработки данных», «Моделирование систем», «Методы прикладного моделирования», при выполнении курсового и дипломного проектирования.

Общие выводы

1. В результате исследований решена важная научно-техническая задача разработки методологии автоматизированного анализа сканированных изображений двумерных нетканых волокнистых материалов и моделирования поверхностей двумерных волокнистых продуктов.

2. Разработаны алгоритмы моделирования, которые позволили построить модели поверхностей плоских волокнистых материалов с параметрами, определяемыми геометрическими характеристиками структурных элементов, таких как клочки и комплексы волокон.

3. На основе известных работ по законам распределения размеров и форм клочков и теории формирования волокнистых материалов были разработаны математические модели расположения волокнистых клочков по площади образца для моделирования поверхностей двумерных материалов с «идеальными» характеристиками.

4. В результате исследований влияния параметров клочков на характеристики моделируемых полей получены зависимости среднего и среднеквадра-тического отклонения поверхностной плотности материала от геометрических параметров моделирующих импульсов, их амплитуды и угловой ориентации относительно продольной оси материала, которые доказывают правильность выбора схемы и методов моделирования.

5. Разработан алгоритм моделирования изображения поверхности волокнистого материала, имеющего локальные нарушения поверхностной плотности в виде особенностей изображений и поверхностей плоских волокнистых материалов. Результаты проведенных исследований работы алгоритма доказали возможность его использования для получения изображений образцов волокнистых материалов в виде цифровых матриц при варьировании числа локальных нарушений.

6. Моделированные изображения поверхностной плотности использовались как изображения «идеального продукта» для анализа сканированных изображений образцов плоских волокнистых материалов. Также результаты моделирования применялись для тестирования алгоритмов и разработанных на их основе программ для выявления локальных нарушений, в частности сорных примесей, на сканированных изображениях.

7. Для оценки статистической величины выброса значений цифровой матрицы изображения и выявления участков локальной неровноты применен специально разработанный алгоритм обнаружения локальных нарушений однородности поверхностной плотности двумерного волокнистого материала.

8. Впервые разработан алгоритм, позволивший на основе методов кластерного анализа оценивать количество сорных примесей и пороков в изображениях образцов плоских текстильных материалов.

9. Верификация алгоритмов на бинарных реальных и модельных изображениях доказала возможность их использования для изучения двумерных волокнистых материалов по их сканированным изображениям.

10. На основе разработанных алгоритмов и моделей создан автоматизированный модельно-исследовательский комплекс, позволяющий выполнять функции, связанные с анализом образцов волокнистых материалов и моделированием их изображений.

11. В составе комплекса разработана структура и программно реализована база данных для хранения информации по результатам анализа и моделирования. Предусмотрена возможность варьирования параметров исследования и моделирования образцов, графические средства просмотра изображений и результатов их анализа.

12. На основе проведенных исследований и разработанных алгоритмов созданы автоматизированные средства для анализа сканированных изображений поверхности плоских волокнистых материалов на неравномерность и выявления сорных примесей и других локальных нарушений, что позволяет значительно упростить и ускорить процесс оценки качества волокнистых продуктов.

1. Зотиков В.Е., Будников И.В., Трыков П.П.Основы прядения волокнистых материалов. - М.: ГНИЛ по легкой промышленности, 1959.

2. Севостьянов А.Г. Методы исследования неровноты продуктов прядения. -М.: Ростехиздат, 1962.

3. Севостьянов А.Г., Элькина Т.Н. Методы исследования неровноты плоских текстильных материалов. М.: Легкая индустрия, 1975.

4. Севостьянов А.Г., Элькина Т.И. Исследование характера неровноты по весу прошивного нетканого материала.- М.: Известия вузов, ТЛП, 1968, №2.С 305. Севостьянов А.Г. Механическая технология текстильных материалов. М.: Легпромбытиздат, 1989.

5. Мухитдинов М. Оптоэлектронные устройства контроля и измерения в текстильной промышленности.- М., 1982.

6. Варданян A.A. Исследование фотоэлектрического метода автоматического контроля развеса волокнистых продуктов.- Дисс. канд. техн. наук. М., 1972.

7. Труевцев Н.И., Труевцев H.H. и др. Механическая технология волокнистых материалов. -М.: Легкая индустрия, 1969.

8. Алексеев М.А., Черкасский, Хавкин В.П. Современные приборы и системы автоматического контроля неровноты нетканых материалов. Обзор информ.-ЦНИИТЭИлегпищемаш. М., 1976.

9. Бершев E.H., Куликова H.A. Технический контроль в производстве нетканых материалов. -М.: Легкая и пищевая промышленность, 1983.

10. Севостьянов А.Г., Севостьянов П.А. Моделирование технологических процессов (в текстильной промышленности).- М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984.-344с.

11. Семенов В.А., Труевцев H.H. Молирование процессов образования и свойств волокнистых холстов. М.: Текстильная промышленность, 1996, №5, с.20-23

12. Черкасский А.Е. Математическая модель двумерного текстильного продукта.- М.: Изв. вузов. Технолог, текст. пром-ти.1970.№4.с.46-49.

13. Черкасский А.Е. Неровнота нетканых материалов.- М.: Легпромиздат. 1989.

14. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.Н. Введение в статистическую радиофизику (случайные поля). М., 1978.

15. Красильников H.H. Теория передачи и восприятия изображений.- М: Радио и связь, 1986.

16. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002.

17. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. М: Мир, 2001.

18. Прэтт У. Цифровая обработка изображений:В 2т. М.: Мир, 1982.

19. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. -М.: Радио и связь, 1982

20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. Радио, 1974

21. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложение. М.: Мир, 1984

22. Современные способы оценки структурных изменений волокнистых клочков в приготовительных процессах переработки хлопка. М., ЦНИИТЭИ-легпром,1990

23. Левинский В.П. Закон распределения вероятностей для клочков разных размеров. Известия вузов. ТТП. №2, 1963.

24. Сергеенков А.П. Теория процессов, технология, оборудование подготовки смесей и холстообразования. М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2004

25. Щербаков М.И., Губина P.C., Чистякова Т.Н. Условия формирования равномерных волокнистых холстов. Текстильная промышленность, 1973, №2 с.62-64.

26. Дюран Б.,Одел П. Кластерный анализ. М.: Статистика, 1977.

27. Горячая И.С., Севостьянов П.А. Использование кластерного анализа для оценки неравномерности распределения волокон в поперечном сечении пряжи. M.: Сб. трудов аспирантов, №4, МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2002.

28. Лебедева В.И., Севостьянов П.А. Применение методов кластерного анализа для оценки засоренности двумерных волокнистых материалов. Иваново, Известия Вузов, Тех. текст, пром-ти. № 6,2005

29. Тихонов В.И. Выбросы случайных процессов. М.: Наука, 1970.

30. Закс Лотар Статистическое оценивание, пер. с нем.,- М., Статистика, 1976.

31. Лебедева В.И., Севостьянов П.А. Анализ и компьютерное моделирование изображений неравномерности нетканых волокнистых материалов М., Сб. научных трудов аспирантов. № 10. МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2005, с. 35

32. A. Singh, K.R. Salhotra, N.S. Kambo Some Studies on Tuft Weight Distribution in the Opening Room. Textile Research Jornal, 1976, v 46, № 8, c. 567-573.

33. Salhotra, N.S. Kambo A Probability Model for tuft Breakages. . Textile Research Jornal, 1977, v 47, № 8, c. 545-551.

34. Barellf, F. and Pujol, C., Sur la Distribution Statistique du Poids des Flocons en Ouverture et Ballage du Cotton et Fibranne, Bull. Inst. Textile, France 24, 617-635 (1970)

35. Колмогоров А.Н. О логарифмически нормальном законе распределения размера частиц при дроблении. Доклад Академии Наук СССР 1941, т.31 № 2, с.99-101

36. Сухарев В.В Автоматизированные методы моделирования волокнистыхпродуктов при проектировании систем измерения линейной плотно138сти.//Диссертация на соискание ученой степени к.т.н., М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2002. - 170с.

37. Ордов К.В. Компьютерное моделирование динамики процесса вытягивания волокнистого материала в вытяжных приборах.// Диссертация на соискание ученой степени к.т.н., М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, 2002. - 193с.

38. Роджерс Д., Адаме Дж. Математические основы машинной графики. М.: Мир, 2001.

39. Севостьянов А.Г. Современные методы исследования неровноты продуктов хлопкопрядения. М.: РОСТЕХИЗДАТ, 1966.-3 86с.

40. Севостьянов П.А. Математические методы обработки данных. М.: МГТУ им. А.Н. Косыгина, 2004.

41. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. М.: Наука, 1968.

42. Длин A.M. Математическая статистика в технике.- 3-е изд., перераб. М.: Сов. Наука, 1958.

43. Севостьянов А.Г. Применение радиоактивных излучений для контроля, регулирования и исследований в прядильном производстве. М.: Гизлег-пром, 1958.-59с.

44. Кирюхин С.Н., Соловьев А.Н. Контроль и управление качеством текстильных материалов. М.: Легкая индустрия, 1977.

45. Математические методы статистического контроля в текстильной промышленности. М.: Легкая индустрия, 1972.

46. Ермаков A.A. Разработка и исследование электротехнической системы управления линейной плотностью волокнистого текстильного материала: Дисс. канд. тех. наук-М.: МГТА, 1998 113с.

47. Аракелов С.Г. Влияние засоренности смеси неровноту пряжи, количество утолщений в ней, натяжение и обрывность в прядении. Дисс. канд. тех. наук-М.: МТИ, 1968.