автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями

На правах рукописи

Хаметов Дмитрий Владимирович

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ-БЕЛЛМАНА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО УПРАВЛЯЕМЫМ ПРОЦЕССАМ С МАЛЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка

информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена на кафедре кибернетики Московского Государственного института электроники и математики (МИЭМ)

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Афанасьев В. Н. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Данилов В.Г. доктор физико-математических наук, профессор Чеботарев A.M.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится «30 » {М£Ь$_2006 г. в /& часов на

заседании диссертационного совета Д 212.133.01. в Московском Государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский переулок, 4/12.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского Государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан _2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук

Д.О OGA

S€>74

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена теоретическому исследованию проблемы построения асимптотик решения задачи оптимального управления динамическими системами без последействия находящихся под воздействием малых случайных возмущений с адаптивной функцией потерь.

Актуальность темы. В теории оптимального управления динамическими системами существует два подхода. Первый подход основан на принципе максимума JI.C. Понтрягина [1,14], а второй - на методе динамического программирования [1,14]. Известно [1,14], что первый подход дает необходимые условия существования оптимальных управлений. Второй подход обычно применяется для оптимального управления динамическими системами без последействия. При практическом использовании метода динамического программирования возникает ряд трудностей: не существует строго обоснованной методики вывода соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, кроме того, неясно в каком смысле существуют фигурирующие в нем производные от решения, а также разрешимо ли это уравнение.

В последнее время в проблеме разрешимости уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана имеется существенный прогресс. Так в работах В.П. Маслова и его учеников [11] получены условия разрешимости этого уравнения, основанные на идемпотентном анализе. А.И. Субботиным [13] был предложен метод, названный им минимаксным, построения обобщенных решений этого уравнения. Ранее, С.Н. Кружковым [5,6], а затем в работах Crandall С.Н., Ishii H. и Lions P.L. и ряда других авторов [19,20] была разработана методика построения обобщенных решений задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, которая получила название метода исчезающей вязкости.

Параллельной с теорией оптимального управления динамическими системами развивалась теория оптимального управления случайными процессами диффузионного типа. В работах P.JI. Стратоновича [12], Г.Е. Колосова [4], А.Н. Ширяева [16], Ф.Л. Черноусько и В.Б. Колмановского [15], У. Флеминга и Р. Ришела [14], Н.В. Крылова [7,8] и других авторов была обоснована возможность применения метода динамическогр программирования

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА

для решения задач оптимального управления случайными процессами диффузионного типа. Эти результаты позволили дать вероятностную трактовку методу исчезающей вязкости, как задачи оптимального управления процессами диффузионного типа с малой диффузией.

Проблеме построения асимптотик решения задач оптимального управления с малыми случайными возмущениями были посвящены работы W. Fleming [14], У. Флеминга и Р. Ришела [14], В.В. Баклана и Л.А. Зуева [2], С. Holland [18], P.L. Lions [20]. Необходимо отметить, что в них такая асимптотика была построена в предположении, что вторая производная функции Беллма-на (по пространственным переменным) существует и ограничена либо в предположении, что оптимальное управление существует и непрерывно.

Цель работы. Целью диссертационной работы являлась разработка методики построения асимптотики функций Беллмана, соответствующей задаче оптимального управления динамическими системами без последействия находящимися под воздействием малых случайных возмущений (типа '^белого шума") с аддитивным критерием "в малом" и "в целом".

Методика исследования. В диссертации применяются методы функционального анализа, выпуклого анализа, теории уравнений в частных производных параболического типа, теории обобщенных функций, теории случайных процессов.

Научная новизна. В работе для задач оптимального управления динамическими системами без последействия находящимися под воздействием малых случайных возмущений типа "белого шума" с ад дитивным критерием установлены условия существования двух членов асимптотического разложения функции Беллмана "в малом" и "в целом".

Обоснованность научных результатов. Все результаты диссертационной работы сформулированы в виде теорем, которые содержат развернутые доказательства.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическую ценность представляют следующие результаты:

1) достаточные условия существования главного члена асимптотических разложений "в малом" и "в целом" для функции Белл-мана;

2) первая поправка к главному члену асимптотического разложения, которая учитывает вклад малых случайных возмущений типа ''белого шума" в асимптотику функции Беллмана.

Следующие результаты работы имеют практическую ценность:

1) методика построения разрывных управлений при синтезе оптимальных управляемых динамических систем без последействия;

2) методика учитывающая влияние малых случайных возмущений типа '^белого шума" на качество оптимального управления.

Апробация работы. Основные результаты докладывались:

1) на Международной конференции и 5 Международном симпозиуме молодых ученых, аспирантов. Инженерная защита окружающей среды. М.О. Р.Ф., ЮНЕСКО, Москва, 2001;

2) на конференции Математические методы в технике и технологии. ММТТ-15. 2002, Тамбов;

3) на научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых специалистов МНЭМ в 2005 и 2006 годах;

4) на научном семинаре кафедры "Кибернетика" в МИЭМ;

5) на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной математике (осенняя открытая сессия) г. Сочи - Дагомыс, 1-7 октября 2005г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], список которых содержится в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 196 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дается обоснование актуальности избранной темы, приводится обзор основных результатов относящихся к данной проблеме, определяются цели и направление исследований, а также содержится характеристика работы.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер. В ней содержатся необходимые для изложения результатов сведения из функционального анализа, теории обобщенных функций, теории вероятностей и теории случайных процессов.

Приведем, теперь, обозначения необходимые для изложения результатов.

Пусть Я+ = [0, ос), Яп - п-мерное евклидово пространство, если Уа,Ь ей", то (а, 6)-скалярное произведение в нем, а

Через А обозначим борелевское пространство.

Обозначим Д. = {я € Дп : |х| < г}, СТц = (0,Т) х Д..

Пусть В-матрица, через ||Б|| - обозначим её норму; Е = {5^)

е д Г 1,1=7

- те х п-матрица, причем = < ^ ■ •

Пусть Г С ВТ- - область и / : (О, Т) х Г —► Я1 - функция через /«, /х(— V/), /ц, Д/ - обозначим, соответственно, ее частную производную по градиент по х, матрицу вторых производных и, наконец, оператор Лапласа примененный к этой функции, т.е.

АД*, я) = £

Через С1,г((0, Т)хД") обозначим банахово пространство функций один раз дифференцируемых по { и I раз по х с нормой обозначаемой через ||/||С1,1. Пусть Со°(Стн) - пространство бесконечно дифференцируемых с носителем - Ста-

Через Ьр{Стк) - обозначим банахово пространство измеримых функций /(¿, х) с конечной нормой

т

11/1= / о Дя

Через И^'^Сгд),^ е (1, оо), - соболевскоепространство, определяемое как замыкание по норме функций

И/И^'ЧСт*) = К/Их-р (Стя) + 11/«1и„(Стк) + И/хЦьрССтд), где V/ € С0°°(Стл).

Через bv(Dr) обозначим пространство зарядов на Dr, вариа-дня которых конечна на Dr.

Запись п.в. означает, что некоторое утверждение выполнено почти всюду относительно меры Лебега.

Перейдем к краткому изложению основных результатов работы. Начнем с постановки задачи оптимального управления с малыми случайными возмущениями.

Пусть а : R+ х Rn х А Rn - борелевская функция, обозначаемая a(t,x, 7), удовлетворяет условиям (К):

i) a(t,x,j) для любых (t,x) непрерывна по 7;

ii) для любых (í,x,7) существует константа L такая, что

\a(t,x,i)\<L(l + \x\).

Пусть на стохастическом базисе (Í2, F, (^Ft)teR+> Р) задан непрерывный слева (предсказуемый) случайный процесс а. = {at,!Ft)t>o со значениями в А называемый стратегией, значение которого в момент времени t будем обозначать щ и называть управлением в момент времени t. Пусть на этом стохастическом базисе задан также W — {Wt^t)t>о - стандартный n-мерный винеров-ский процесс. £ £ (0,1] - параметр. Положим x)(í) = х + eWt, где Vx G Rn. Интеграл Лебега относительно меры Р будем обозначать буквой М.

Определение 1. Стратегию а. назовем е - регулярной если для

любых е > 0 и х е Í2"

г т

Мехр{± f(a(s,x£(0 x)(s),a3),dWs)- f |a(s,^0l)(s),as)|2ds} =

о о '

= 1.

Здесь и ниже интеграл по винеровскому процессу понимается как стохастический интеграл Ито [10], Т > 0 - горизонт, Множество е - регулярных стратегии обозначим через R£.

Отметим, что условие К^ гарантирует, что Re ф 0. Для е > 0 равенством определим новую вероятностную меру Рае (эквивалентную мере Р)

Р* 4 М1А(и)ехр{1 f(a(s, zf0¡x)(s),ав), dWa) -

о

т

- 5* ЛФ. *№,«)(*)• "•)№»

где УА € Тт. Относительно меры Р" в силу теоремы Гирсано-ва [10], процесс (®(0,х)(*)> удовлетворяет стохастическому

уравнению

t

<Ч0,х)(*) = Х + j X(0,x)(3)' + £W?'e,

(1)

где (Wta'e, Tt)t>o - п-мерный винеровский процесс относительно меры Ра е. Известно, что для любого е > 0 стохастическое уравнение (1) имеет единственное слабое решение [10]. Отметим, что стохастическое уравнение (1) описывает эволюцию управляемой динамической системы без последействия находящуюся под воздействием малых случайных возмущениях, типа "белого шума", причем малость случайных возмущений характеризует параметр ее (0,1].

Перейдем к описанию целевого функционала. Пусть с, / : R+ х Rn х А —> R1 - борелевские функции, обозначаемые через c(t,x, "f),f(t, я, 7), соответственно. Пусть Ф : Rn —» R1 - борелев-ская функция. Определим теперь функионал потерь

Т т

л f / с(т>х(о i)(T)iQr) dr

rt(xe(o,x);<z.) = J f(s,x\0tX){s),<xa)e> ' ds+

Обозначим через

средние потери относительно меры Ра е, где через Ма £ - обозначен интеграл Лебега относительно меры Ра Е. Определение 2. е-регулярную стратегию а. назовем е-допустимой, если для любого х е Яп | ^ (х, а.) | < оо. Множество е-допустимых стратегий обозначим через £>о,г-

Целью управления является выбор такой е-допустимой стратегии а0, что

Jg(x,a°) = inf Jg(x,a.).

а €Щ Т

Решение этой задачи при е > 0 следует из теории управляемых

процессов диффузионного типа [7,14]. Пусть:

i) D\T сужение на интервал [t,T], причем будем писать

аТ £ Щ,т>

й) 4,х) (*) = * + / в(г, (т), ar)dr + £(Wf - W? ,е);

iii) 4ма£[Ф(^г)(Г))е^{/с(г,^1г)(г),аг)йг} + т г

+ J f(T,xlt>x){T),aT)exp{jc{s,xlt>x)(s),aa)ds}dT]; (2)

t т

iv)vs(t,x)= inf Jf{x,af) - функции Беллмана. "ТеЩ.т

Сформулируем предположения. Условия (К):

i) любую из функций о, /, с, Ф обозначим через g{t, х, 7) и предположим, что для любых (t, х, 7) она непрерывна по 7, один раз дифференцируема по t и два раза по х причем, существует положительная константа К\, такая, что:

\9t(t,x,7)| + \gx{t,x,i)\ + \\gxx{t,x,i)\\ < Ки

ii) c{t, x,7) < 0.

Обозначим через F(t,x,q,p) = inf [(a(i, x,j), p) + f(t,x, 7) +

c(t,x,j)q] - измеримую функцию, которую назовем гамильтонианом. _

Если выполнены условия (К) то из теории управляемых процессов диффузионного типа [7,14] следует, что для лобого е > 0 vE(t, х) е С1'2((0,Т) х Л71) и является единственным решением задачи Коти для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана

Г vf(t, х) + F(t, х, v*(t, х), vex{t, х)) + £ A vE(t, я) = 0 I v*(t,x)\t=T=$(x), W

где F(t,x,v£,v%) = F(t,x,q,p)\qi=v*{t,x),p=v'x(t,x)-

Целью диссертационной работы является разработка методики построения двух членов асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнения (3) когда е2 —> 0.

Вторая глава посвящена построению главного члена асимптотического разложения "в целом" решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (3) и исследования его свойств.

Определение 3. Будем говорить, что борелевская функция v°(t, х) является главным членом асимптотического разложения "в целом" решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (3) если для любых (í, х) £ (О, Т) х Rn (Т - фиксировано) v°(t, х) = lim х).

Сформулируем наши предположения. Условие У/): i) Ф £ C2(Rn) и существует С\ > 0 такая, что ||Ф||с*(Я») < Си

ii) гамильтониан непрерывно дифференцируем по t,x,q,p, причем существуют положительные константы Ci — CtvlI\ — Ze большие или равные единицы такие, что для любых (t,x,q,p) справедливы неравенства:

а) |F(í,x,g,p)|<C2(l + |# + b|b),

б) Fq(t,x,q,p)< О,

в) |F{t, х, q,p)—Cz(Fp(t, х, q,p),p)—C4qFq(t, х, 1+11^(2, х, q, Р) I < Cs(l + |g| + |р1),

г) \Ft(t,x,q,p)\<C6(l + \q\l* + \p\1'),

д) \Fq(t,x,q,p)\<C7(l + \q\ls + ¡p|<°).

Теорема 1. Пусть ve(t,x) является решением задачи Коши для уравнения (3). Пусть выполнены условия У/). Тогда существуют подпоследовательность {£fc}fc>i и борелевская функция v°(t,x) £ Wp^^TRjtP € (1,оо), такие, что:

1) \\v£k — ^Ww^UCtr) ~ пРичем A®3 почти всех (í, х) существуют положительная константа Cg такая, что

2) для любого t £ [О, Т\ у Vo (t, х) существуют вторая производная по ж, в смысле теории обобщенных функций, являющаяся зарядом, и константа Сд > 0 такая, что

\\vxx\\bv(Dr) < Сэ-

3) v°(t,x) почти всюду удовлетворяет уравнению

v°(t, х) + F(t, х, Vo(t, х), v°x(t, х)) = 0, (4)

причем v°(t,x) |t=T—

Замечание. Утверждение теоремы 1 отличается от аналогичных утверждений работ С.Н. Кружкова [5,6], У. Флеминга и Р. Ришела [14], Crandell M.G., Ishii H., Lions L.P. [19,20] тем, что гамильтониан допускает квадратичный рост по р.

Для формулировки теоремы существования главного члена асимптотического разложения "в целом" решения задачи Коши для уравнения (3) нам понадобится дополнительные предположения.

Условие У ну. для любого te [0,Т] гамильтониан F(t,x, q,p) дважды дифференцируем по x,q,p и существуют положительные константы Сю, Сц и большие или равные единицы такие, что для любых (t,x,q,p) и в € Rn. \в\ < 1, справедливы неравенства:

е) |Fee(t, х, q,p)\ +1Feq(t, х, q,p)\ +1Fqq(t, x, q,p)| + \Fep(t, x, q,p)| + + |Fqp{t, x,q,p)| < Сц(1 + |g|£7 + |р|г*),

ж) (Fpp(t,x,q,p)e,e)>Cu\0\2-

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и условия У//). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) у решения задачи Коши для уравнения (3) существует главный член асимптотического разложения "в целом";

2) существует константа Ci 2 > 0 такая, что для любого t G [0, T] v°{t,x) + ^-\х\2 - выпуклая по х функция.

В конце этой главы рассмотрены два примера задач оптимального управления, которые интересны тем, что оптимальные управления являются разрывными.

В третьей главе рассматривается проблема построения двух членов асимптотики "в малом" для выше описанной задачи оптимального управления. Уточним, что мы понимаем под построением двух членов асимтотического разложения решения задачи Коши для уравнения (3) "в малом".

Определение 5. Будем говорить, что функция ve(t,x), являющаяся решением задачи Коши для уравнения (3), допускает построение двух членов асимптотического разложения "в малом", если существуют горизонт Т > 0 и борелевские функции v°(t, х) и v1 (t, х) такие, что для любых (t, х)

vE(t,x) = v°(t,x) + e2v1(t,x) + o(e2) (5)

(т.е. для любых (t,x) Ит^ ^{v€{t,x) - v°(t,x) — х)] = 0).

Нам понадобится определение единственного решения задачи Ко-

ши для уравнения (4) "в малом". *

Определение 6. Будем говорить, что функция v°(t, х) является

решением задачи Копта для уравнения (4) "в малом", если суще- i

ствуют Т > 0 и непрерывная на (t,x) € (0,Т) х Rn функция

v°(t,x) такие, что:

1) для любых х € Rn v°(t, х) - абсолютно непрерывная по t функция;

ii) для любых (i, х) v°(t,x) - непрерывно дифференцируемая по х функция;

Ш) функция v°(t,x) обращает равенство т

Ф(х) + / F(s,x,v°(s,x),v°(s,x))ds = v(t,x) t

в тождество.

Определение 7. Будем говорить, что v°(t,x) - единственное решение задачи Коши для уравнения (4) "в малом", если из того, что v°W(f,i),i = 1,2 - два решения задачи Коши для уравнения (4) "в малом", причем v°(t,x)\t=T — следует, что v°W(t,x) = v°W(t,x). Сформулируем наши предположения.

Условия У my. 1) пусть Ф(х) G С3(Лп) и существует константа Ciз такая, что ||Ф(х)||сз(Я») < С13;

2) гамильтониан F(t,x,q,p) для любых (t,x,q,p) один раз диф-фернцируема по i и три раза по г = (x,q,p) € R2n+1 причем существуют константы Си — Сп и - большие или равные единицы такие, что:

i) \F(t, х, q,р) - Cu(Fp{t, х, q,р),р) - C15qFg{t, х, q,p)| + + \Fx{t,x,q,p)\<C16(l + \q\ + \p\y,

ii) \Ft(t, z)\ + \Fp{t,z)\ + \Fq(t,z)\ + \\F,2(t,z)\\ +

+ \]\Fzzz{t,z)\\\ < Cir(l + telie + Ip!'10);

iii) Fg(t,x,q,p) <0. ' f Теорема 3. Пусть выполнены условия Ущу Тогда существует единственное решение задачи Коши для уравнения (4) "в малом",

причем существует константа С is > 0 такая, что !1г,0||с1.= ((0,Тт)хД") < Cl8-

Замечание. Утверждение теоремы 3 дает новые достаточные

условия (по сравнению с работами [3,9,14,17,18,20]) разрешимости задачи Коши для уравнения (4) "в малом". Кроме того, в процессе доказательства этой теоремы получены оценки снизу и сверху (независящие от е) для временного горизонта Т > Q, на котором для любого te[0,T] норма матрицы vxx(t,х) ограничена в С (К1).

Основным результатом главы 3 является следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть выполнены условия Уц1)- Тогда vE{t,x) -решение задачи Копт для уравнения (2) допускает построение двух членов асимтотического разложения "в малом", причем функции участвующие в разложении (5) обладают следующими свойствами:

1) функция v°(í, х) 6 СХ'2((0,Т) х Д") является единственным решением задачи Копт для уравнения (4) "в малом" и существует константа Cis > 0 такая, что |¡u°||ci,2 < Cíe,

ii) функция Е Wp'1(Ctr),P € (1,оо), является единствен-

ным обобщенным решением задачи Коши для уравнения

V¡ (t, X) + Fq(t, X, V° (t, X), V® (í, x))vl (í, X) + +(Fp(t,x,v°(t,x),v°(t,x)),Vv1{t,x)) + l A v°(t,x) = 0 п.в. (6)

v4t,x) \t=T~ 0,

причем существует константа Cjg > 0 такая, что для почти всех (t, х) справедливо неравенство

|í>a(f,z)| + \v¡{t,x)\ + < С19.

Замечания. 1) Из утверждения теорема 3 следует, что функция г;1 (í, х) - первая поправка к главному члену v°(t, х) асимптотического разложения учитывает влияние малых случайных возмущений.

2) Поясним в каком смысле задача Коши для уравнения (6) имеет единственное обобщенное решение:

i) задача Коши для уравнения (6) имеет обобщенное решение и1^,^), если:

а)«1 («,*)€ W^(.CTR),pe(l,<x>)%

б) равенство (6) выполняется почти всюду,

в) для почти всех (t,x) vl{t,x) - удовлетворяет (6),

r) vl(t,x)\t-T = 0; ii) задача Коши для уравнения (6) имеет единственное обобщенное решение vl{t,x) если из того, что v°^(t,x),i = 1,2, - два решения уравнения (6), причем v1(-^(t,x)\t=T = 0, следует, что х) = vxW{t,x) для почти всех (t,x) G [0,71 х Rn. В главе четыре рассматривается частный случай уравнения (1) когда гамильтониан не зависит от q (c(t, х, а) = 0) , т.е. мы рассматриваем задачу Коши для уравнения

Г vEt(t,х) + ii(i,х, t£(t,х)) + 4 Д vE(t,х) = 0 (1 ч 1 v'(t,x)\t=T=$(x), К 1

где Fi(t,x,p) = inf [(a(i,x,7),p) + /(i,x,7)],

7 ел

fifox^i.x)) = F{t,x,p)\p=v.{tiX).

Здесь рассматривается проблема построения асимтотики решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (1а) "в целом". Также как и в главе 3 здесь построены два члена асимптотического разложения.

Определим, что мы понимаем под построением двух членов асимтотического разложения решения задачи Коши для уравнения (1а) "в целом".

Определение 8. Будем говорить, что функция v£(t,x), являющаяся решением задачи Коши для уравнения (1а), допускает построение двух членов асимптотического разложения "в целом", если для заданного горизонта Т > 0 существуют борелевские функции v°(t,x) и ii1 (i, х) такие, что для почти всех (t, х) (относительно меры Лебега) справедливо разложение

vE (t, х) = v°(t,x) -f e2v1(t,x) + о(е2)

(т.е. для почти всех (i, х) lim ^[vs (i, х) —v°(t, x) - e2vl (t, x)] = 0).

Сформулируем наши предположения. - с

Условие У ¡у)- 1) Ф(х) 6 C3(Rn) существует константа С2о > 0 такая, что ||Ф(х)||сз(я») < С20;

2) Fi(t,x,p) е С1'2,3((0,Г) х Rn х Д") и для любых (t,x,p) существуют положительные константы Сг\ — С24 и ln,li2 большие или равные единицы такие, что:

i) существует ограниченная борелевская функция C(t,x), такая,

что \Р,(г,х,р)-С(г,х)(Р1р^,х,р),р)\ + \Р1х(Ь,х,р)\ < С21(1 + |р|),

и) + \Е1р(г,х,р)\ < С( 1 + |р|г"),

Ш) + ||.?1хр(М,р)|| + ||^рр(4,аг,р)|| < С22(1 + |р|г"),

Ьг) для любого 6 Е В™

С33|0|2 < №„Ц,х,р)е,$) < С24\6\2

причем С2з > \ + <5, где 6 € (0,

Теперь, опираясь на результаты главы 2 (теоремы 1,2), можно сформулировать основной результат данной главы. Теорема 5. Пусть выполнены условия УIV) ■ Тогда решение задачи Коши для уравнения (1а) допускает построение двух членов асимптотического разложения по малому параметру е2 "в целом" причем:

1) v0(t,x) £ Ж^р^^тя), р е (1,оо), - главный член асимптотического разложения "в целом" решения задачи Коши для уравнения (1а) и является решением задачи Коши для уравнения

/ у°(Ь,х) + Р1(1,хУх(1,х)) = 0

кроме того для всех £ и почти всех х существует константа С2ь > О такая, что

\у°&х)\ + \ь°(их)\ + \у°х(1,х)\<С25

и для любого < е [О, Т] у гг°(£, х) существует вторая производная по х, в смысле теории обобщенных функций, являющаяся зарядом;

И) V1 (¿, х) является единственным энтропийным решением задат чи Коши для уравнения

Г + (*!„(*, X, 17«), VI) + I Л V0 = О \ V1 |4=г= ф(г),

т.е. для любой т](Ь,х) 6 Сд°(Стд) справедливо неравенство: / / + V*7(4,х))+

ОН"

®)(ТАя.(*, х, + У*0^ (¿с))}А = О,

и существуют положительные константы С2&, С27 такие, что дня любого * € (О, Т] :

а) V1 х) > -С26 для любого х, *

б) 1Ии2(яг) < Сгг(т).

На защиту выносятся слудующие результаты:

1) условия существования главного члена асимптотического разложения "в целом" у решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (3) (теорема 2),

2) условия разрешимости задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (4) "в малом" (теорема 3),

3) условия существования двух первых членов асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (1) соответсвующего управляемым динамическим системам без последействия с малыми случайными возмущениями "в малом" (теорема 4),

4) условия существования двух членов асимптотического разложения решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (1а) "в целом" (теорема 5).

Список литературы.

1. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математи-чекая теория конструирования систем управления. М. Высшая Школа, 1998, 574 с.

2. Баклан В.В., Зуев Л.А. Управление диффузионными процессами с малой диффузией. Киев. Наукова думка. Сб. "Теория случайных процессов". 1976, вып. 4, с. 18-21.

3. Воробьев Е.М., Дубнов В.Л., Маслов В.П. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона - Якоби и волновы уравнением). М. МИЭМ. 1973, 133 с.

4. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. М. Наука. 1976, 257 с.

5. Кружков С.Н. Обощенные решения нелинейных уравнений первого порядка с многими независимыми переменными, I. Мат.

сборник (новая серия). 1966, т. 70(112), N 3, с. 394-415.

6. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения в частных производных, ч. 2. М. МГУ. 1970, 133 с.

7. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М. Наука. 1987, 400 с.

8. Крылов Н.В. Нелинейные элиптические и параболические уравнения второго порядка. М. Наука. 1977, 376 с.

9. Курант Р. Уравнения с частными производными. М. Мир. 1964, 830 с.

10. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М. Наука. 1974, 696 с.

11. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М. Наука. 1994, 144 с.

12. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М. МГУ. 1966, 319 с.

13. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнеий в частных производных первого порядка. М.-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003, 336 с.

14. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М. Мир. 1978, 316 с.

15. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б., Оптимальное управление при случайных возмущениях. М. Наука. 1978, 312 с.

16. Ширяев А.Н. Некоторые новые результаты в теории управляемых случайных процессов, Trans. 4th Prague Confer. Inform. Theory (1966), Prague. 1967, c. 131 - 203.

17. Fleming W.H. Stohastic control for small noise intenities. SIAM J. Control. 1971, v. 9. p. 473-517.

18. Holland C. Small noise open loop control problème. SIAM J. Control. 1974, v. 12.

19. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. A users guide to viscosity solutions. Bulletin A.M.S. N.S. 1992. v. 27. p. 1-67.

20. Lions P.L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi équations. Pitman. Boston. 1982.

Работы автора по теме диссертации

1. Хаметов Д.В. Модель распространения газообразных вредных

веществ в атмосфере. Инженерная защита окружающей среды. Международная конференция и 5 Международный симпозиум молодых ученых, аспирантов М.О. Р.Ф., ЮНЕСКО, М. 2001, с. 267-268.

2. Хаметов Д.В. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова с малым параметром при старшей производной. Математические методы в технике и технологии. ММТТ-15. Сб. трудов 15 научной конференции т. 2, 2002, Тамбов, с. 65-66.

3. Хаметов Д.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М. МИЭМ. 2005, с. 42-43.

4. Хаметов Д.В. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Беллмана, соответствующего управляемым диффузионным процесам с малой диффузией. Обозрение прикладной и промыш-леной математики, т. 12, № 3, 2005, с. 778-779.

5. Хаметов Д.В. Уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана "в малом". Математические модели. Сборние научных трудов МИЭМ, 2006, с. 207-217.

6. Хаметов Д.В. О разрешимости уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана "в малом". Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М. МИЭМ. 2006, с. 50-51.

I'

ИД №06117 от 23.10.2001

Подписано в печать 26.04.2006 Формат 60x84/16. Бумага типографская № 2. Печать -ризография. Усл. печ. л. 1Д Тираж 100 экз. Заказ

Московский государственный институт электроники и математики 109028, Москва, Б. Трёхсвятительский пер., 3/12

Центр оперативной полиграфии (495) 916-88-04,916-89-25

.2.006 fr 8 6 74 8674

Введение

Глава 1. Необходимые сведения из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов

Введение

§ 1. Области, функциональные пространства гладких функций

§ 2. Измеримые пространства с мерой. г

§ 3. Некоторые сведения из теории обобщенных функций.

§ 4. Сведения из теории вероятностей.

§ 5. Элементы теории случайных процессов.

Глава 2. Гланый член асимптотического разложения "в целом" решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями

Введение

§ 1. Постановка задачи. Вспомогательные результаты и замечания

§ 2. Априорные оценки для решения уравнения (1.4) и его производной по я.

§ 3. Априорные оценки для производных vf и v£xx решения уравнения (1.4)

§ 4. Предельный переход в уравнении Гамильтона-Якоби-Беллмана

§ 5. Существование главного члена асимптотического разложения в целом" решения задачи Коши для уравнения (1.4)

§ 6. Примеры.

§ 1. Постановка проблемы построения асимптотики "в малом" решение задачи оптимального управления с малыми случайными возмущениями . 90

§ 2. Оценки вторых производных v£xx и vxt решение задачи Коши для уравнения (1.4) . 98

§ 3. Главный член асимптотического разложения "в малом" решения задачи Коши для уравнения (1.4). 111

§ 4. Априорная оценка третьей производной по х решения задачи

Коши для уравнения (1.4) (равномерная по (e,t,x)).120

§ 5. Второй член асимптотического разложения "в малом" решении задачи Коши для уравнения (1.4) . 126

§ 6. Доказательство теоремы 1. 141

§ 7. Пример. 144

Заключение по главе 3.150

Глава 4. Асимптотика "в целом" решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана, соответствующего управляемым процессам с малыми случайными возмущениями 152

Введение .152

§ 1. Постановка задачи. Формулировка основного результата . 153

§ 2 Вспомогательные построения.157

§ 3. Уравнения для второго члена асимптотического разложения в целом" и условия его разрешимости.173

§ 4. Доказательство основного результата теоремы 1.188

Заключение по главе 4.189

Литература

190

Введение

1. К проблеме исследования поведения динамических систем, находящихся под воздействием случайных возмущений приводят многие задачи теоретического и прикладного характера [3], [7], [9], [14], [15], [22], [32], [45], [51]. При этом, часто бывает естественным предположение о малости (в том или ином смысле) случайных возмущений по сравнению с детерминированной составляющей движения. Задача изучения динамических систем находящихся под воздействием малых случайных возмущений впервые была поставлена [40]. В последствии эта постановка получила широкое рас-простронение в различных областях науки и техники [3], [7], [9], [14], [15], [22], [32], [43], [45], [51]. В связи с вышеуказанным представляется естественным разработка методов анализа динамических систем зависящих от параметров, характеризующих малость случайных возмущений. Последнее означает, что существует потребность в создании асимптотических методов анализа динамических систем находящихся под действием случайных возмущений когда параметры, характеризующие малость этих возмущений, стремятся к нулю. Разработка методов асимптотического анализа таких систем посвящена обширная литература [9], [10], [36], [45], [46], [51].

2. В данной диссертационной работе рассматривается проблема разработки асимптотических методов исследования свойств управляемых динамических систем без последействия находящихся под воздействием малых случайных возмущений типа "белого шума". При этом выбор управления в таких системах осуществляется в соответствии с некоторым критерием, в качестве которого выступает минимум средних потерь. Здесь следует отметить, что такие динамические системы находящиеся под воздействием указаных выше случайных возмущений, представляют собой управляемые процессы диффузионного типа. Общая теория управляемых процессов диффузионного типа была построена в работах [22], [26], [46], [51]. Основными результатами этой теории для аддитивной функции потерь являются: 1) утверждение о том, что указанная проблема сводится к исследованию задачи Коши для некоторого нелинейного уравнения в частных производных второго порядка параболического типа, которое получило название уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана; 2) условия разрешимости этого уравнения. Из этой теории следует, что это уравнение является квазилинейным параболическим с малым параметром при старшей производной. Поэтому рассматриваемая проблема сводится к построению асимптотики при е —» 0 решения задачи Коши для уравнения где v£(t, х) - функция Беллмана определенная на (0,1] х (О, Т) х Rn со значениями в R1, F : R+ х R2n+1 —► R1, обозначаемая через F(t,x,q,p) следует отметить, что указанной проблеме посвящено относительно небольшое количество работ [4], [9], [51], [60], [61], [63]. Следует, однако, огово

1) риться, что проблеме обоснования предельного перехода в уравнении (1) когда е —► 0 посвященно большое количество работ. Подробный обзор результатов связанных с обоснованием этого предельного перехода в (1) и свойствами решений предельного уравнения v° + F(t,x,vQ,v°x) = О | v%=T = Ф(х) содержиться в работах [47], [57]. Анализ этих результатов содержиться во введении к второй главе диссертации.

В соответствии с общей теорией возмущений [36] существует два подхода построения асимптотик: "в малом" и "в целом". В диссертации для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана исследуются оба этих подхода, изложению которых посвящены главы три и четыре диссертации, соответственно. Следует отметить, что в этой работе строится не общее асимптотическое разложение решения v£(t,x) задачи Коши для уравнения (1), а только лишь его первые два члена, т.е. устанавливается справедливость представления решения в виде ve(t, х) = v°{t, х) + eV(t, х) + о(е2), (3) где v°(t,x) - решение задачи Коши для уравнения (2), a vl(t,x) - решение (в определенном смысле) задачи Коши для уравнения v] + Fq{t, х, г;0, v°x)vl + (Fp(t, х, v°x), W) + | Л г>° = О

4) vl\t=T — 0.

3. Перейдем к краткому изложению результатов диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся известные результаты из функционального анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов необходимые для изложения и доказательства результатов работы.

В главе два мы устанавливаем условия выполнение, которых обеспечивает: а) возможность проведения предельного перехода в (1) когда е2 —> 0; б) существование предела Iim ve(t,x). Здесь, следует отметить, е—>0 что в отличии от работ [47], [51] гамильтониан F(t,x,q,p) допускает квад-ратический рост по переменной р.

В главе три строится асимптотика решения задачи Коши для уравнения (1) "в малом", т.е. устанавливается существование горизонта Т > 0 и функций г;0 б х Я"), vl € х Д.), р G (1,оо),

Dr = {х £ Rn : \х\ < г}, - соболевское пространство [33], таких, что для v£{t,x) справедливо разложение (3), причем v°(t, х) удовлетворяет уравнению (2) a vx{t,x) - (4) (смотри теорему 1 главы 3).

В главе четыре строится асимптотика решения задачи Коши для уравнения (1) "в целом", т.е. для заданного горизонта Т > 0 устанавливается существование функций г;0 £ ^^((OjT) х Dr),p £ (1,оо), и vl{t>x), i) причем v°(t, х) является, обобщенным решением задачи Коши для уравнения (2), ii) vl{t,x) - энтропийным решением задачи Коши для уравнения (4) (в отличии от результатов главы 3), при этом ve(t, х) допускает разложение (3). Эти утверждения составляют содержание главы 4 (смотри теорему 1).

4. Сделаем несколько замечаний об обозначениях и соглашениях принятых в данной работе.

4.1 Знак = обозначает равенство по определению; V - квантор любой; индекс т "вверху справа"у матрицы означает транспонированную матрицу; \D\ - значение меры Лебега на множестве D; п.в. - означает, что некоторое утверждение выполняется почти всюду относительно меры Лебега;

- символ Кронекера; - означает эквивалентность утверждений.

4.2 В тексте диссертации нумерация формул проводится по системе: а) ссылка на формулу (2.3.1) означает, что первая цифра слева - номер главы (в примере глава 2), вторая слева цифра - номер параграфа (в примере параграф 3), третья - номер формулы в этом параграфе (в примере формула 1); б) ссылка вида (4.1) указывает на нумерацию внутри данной главы и означает формулу под номером (4.1) в параграфе 4.

5. В заключении выражаю глубокую признательность профессору В.Н. Афанасьеву за руководство этой работой.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М. Мир. 1967, 479 с.

2. Александров А.Д. Существование почти везде второго дифференциала выпуклой функции и некоторые связанные с ним свойства выпуклых поверхностей. Уч. зап. ЛГУ. 1939, т. 37, вып. 6, с. 3-35.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М. Высшая школа. 1998, 547 с.

4. Баклан В.В., Зуев JI.A. Управление диффузионными процессами с малой диффузией. Киев. Наукова думка. Сб. "Теория случайных процессов". 1976, вып. 4, с. 18-21.

5. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М. Мир. 1965, 276 с.

6. Беллман Р. Динамическое програмирование. М. Ил. 1960.

7. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М. Физ-матлит. 2003, 400 с.

8. Вайсборд Э.М., Жуковский В. И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. М. Сов. Радио. 1980, 304 с.

9. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флюктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М. Наука. 1979, 424 с.

10. Вентцель А.Д. Предельные теоремы о больших уклонениях для марковских случайных процессов. М. Наука. 1986, 176 с.

11. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М. Наука. 1976, 280 с.

12. Вольперт Л.И. Пространство BV и квазилинейные уравнения. Мат. сборник. 1967, т. 73, N 3, с. 255-302.

13. Воробьев Е.М., Дубнов В.Л., Маслов В.П. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона -Якоби и волновы уравнением). М. МИЭМ. 1973, 133 с.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Основы динамического программирования. Минск. БГУ. 1975, 264 с.

15. Гардинер В.К. Стохастические методы в естественных науках. М. Мир. 1986, 528 с.

16. Голдстейн Г. Классическая механика. М. Наука. 1975, 415 с.

17. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М. И Л. 1962, 895 с.

18. Дафермос К.М. Квазилинейные гиперболические системы, вытекающие из законов сохранения. Сб. статей. "Нелинейные волны"М. Мир. 1977, с. 91-111.

19. Иосида К. Функциональный анализ. М. Мир. 1967, 624 с.

20. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ М. Наука. 1988, 280 с.

21. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука. 1968, 496 с.

22. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. М. Наука. 1976, 257 с.

23. Кружков С.Н. Обощенные решения нелинейных уравнений первого порядка с многими независимыми переменными, I. Мат. сборник (новая серия). 1966, т. 70(112), N 3, с. 394-415.

24. Кружков С.Н. Нелинейные уравнения в частных производных, ч. 2. М. МГУ. 1970, 133 с.

25. Кружков С.Н. Обобщенные решения уравнения Гамильтона Якоби типа эйконал, I. Мат. сборник. 1975, т. 98, с. 450-493.

26. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М. Наука. 1977, 400 с.

27. Крылов Н.В. Нелинейные элиптические и параболические уравнения второго порядка. М. Наука. 1977, 376 с.

28. Курант Р. Уравнения с частными производными. М. Мир. 1964, 830 с.

29. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М. Наука. 1967, 736 с.

30. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математической экономике. М. Наука.1985, 352 с.

31. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М. Мир. 1971, 371 с.

32. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М. Наука. 1974, 696 с.

33. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л. ЛГУ. 1985, 416 с.

34. Мазья В.Г., Шапошникова Т.О. Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций. Л. ЛГУ. 1986, 404 с.

35. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазикласическое приближение для уравнений квантовой механики. М. Наука. 1976, 292 с.

36. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М. Наука. 1988, 312 с.

37. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М. Наука. 1994, 144 с.

38. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М. Мир. 1977, 504 с.

39. Олейник О.А. Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. УМН., 1957, т. 12, N 3(75), с. 3-73.

40. Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем. ЖЭТФ, 1933, т. 3, N 3, с. 165-180.

41. Рождественнский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М. Наука. 1978, 688 с.

42. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М. Мир. 1979, 587 с.

43. Скороход А.В. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных уравнений. Киев. Наукова думка. 1987, 328 с.

44. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М. Наука. 1988, 371 с.

45. Стратонович P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М. Сов. радио. 1961,. 558 с.

46. Стратонович P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М. МГУ. 1966, 319 с.

47. Субботин А.И. Обобщенные решения уравнеий в частных производных первого порядка. М.-Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003, 336 с.

48. Тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М. Наука. 1974, 223 с.

49. Феллер В. Введение в теорию вероятностей, т. 2. М. Мир. 1967, 752 с.

50. Филлиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М. Наука. 1985, 224 с.

51. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М. Мир. 1978, 316 с.

52. Фридман А. Уравнеия с частными производными параболического типа. М. Мир. 1968, 427 с.

53. Халмош П. Теория меры. М. ИЛ. 1953, 427 с.

54. Bardi М., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal control and viscosity solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Birkhauser-Boston. 1988.

55. Conway E.D., Hopf E. Hamiltons theory and generalized solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equation. J. Math. Mech. 1964. 13. p. 939-686.

56. Crandall M.G., Lions P.L. Viscosity solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Trans. AMS. 1983. v. 272. p. 1-40.

57. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. A users guide to viscosity solutions. Bulletin A.M.S. N.S. 1992. v. 27. p. 1-67.

58. Dafermos C.M. Hyperbolic conserevation laws in continum physics. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New-York. 200. 443 p.

59. Danilov V.G., Maslov V.P., Volosov K.A. Mathematical modelling of heat and mass transfer processes. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London. 1995. 330 p.

60. Fleming W.H. Stohastic control for small noise intenities. SIAM J. Control. 1971. v. 9. p. 473-517.

61. Holland C. Small noise open loop control problems. SIAM J. Control. 1974. v. 12.

62. Hopf E. Generalized solutions of nonlinear equations of first order. J. Math. Mech. 1965. v. 14. p. 951-973.

63. Lions P.L. Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Pitman. Boston. 1982.Работы автора по теме диссертации

64. Хаметов Д.В. Модель распространения газообразных вредных веществ в атмосфере. Инженерная защита окружающей среды. Международная конференция и 5 Международный симпозиум молодых ученых, аспирантов М.О. Р.Ф., ЮНЕСКО, М. 2001, с. 267-268.

65. Хаметов Д.В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Научно-техническая конференция студентов, аспирантови молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М. МИЭМ. 2005, с. 4243.

66. Хаметов Д.В. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Белл-мана, соответствующего управляемым диффузионным процесам с малой диффузией. Обозрение прикладной и промышленой математики, т. 12, е 3, 2005, с. 778-779.

67. Хаметов Д.В. Уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана "в малом". Математические модели. Сборние научных трудов МИЭМ, 2005, с. 207-217.

68. Хаметов Д.В. О разрешимости уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана "в малом". Научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов МИЭМ. Тезисы докладов. М. МИЭМ. 2006, с. 50-51.