автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмическое и программно-методическое обеспечение для математического моделирования рассеяния и излучения электромагнитного поля в бортовой аппаратуре космических аппаратов

На правах рукописи

Костарев Игорь Степанович

АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАССЕЯНИЯ И ИЗЛУЧЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В БОРТОВОЙ АППАРАТУРЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

05.13.18-

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 2 ЛЕН 2011

005005798

Работа выполнена в открытом акционерном обществе «Научный производственный центр «Полюс» и Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Научный руководитель - доктор технических наук,

старший научный сотрудник Газизов Тальгат Рашитович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Дмитренко Анатолий Григорьевич (Томский государственный университет);

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Тимченко Сергей Викторович (Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники)

Ведущая организация Открытое акционерное общество

«Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнева»

Защита состоится 29 декабря 2011 года в ' * на заседании диссертационного совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, ул. Ленина, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники.

Автореферат разослан «¿2 &» ноября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Необходимым этапом проектирования регулирующей аппаратуры систем электропитания космических аппаратов (КА) является анализ электромагнитной совместимости (ЭМС). Это связано с тем, что наблюдается тенденция роста мощностей, рабочих частот, усложняется функционал и состав аппаратуры, уменьшаются ее массогабаритные параметры и увеличивается плотность компоновки, что приводит к влиянию дополнительных паразитных параметров емкостного, индуктивного, резистивного характера и увеличению уровня излучаемых электромагнитных помех (ЭМП). Особенность работы регулирующей аппаратуры систем электропитания заключается в переключении режимов в зависимости от орбитального положения КА, что приводит к изменению излучаемых ЭМП. Соответственно, возрастает сложность прогнозирования динамически изменяющихся ЭМП и анализ их влияния на работу регулирующей аппаратуры и других блоков КА. Особенно актуальным анализ ЭМС бортовой аппаратуры КА стал при появлении требования на проведение такого анализа в технических заданиях на проектирование КА.

Состояние вопроса. Активно ведутся исследования методов моделирования электромагнитного (ЭМ) поля и его влияния на электронные устройства. Основным направлением здесь является совершенствование существующих либо разработка новых, более быстрых, точных и универсальных моделей, алгоритмов и методов расчета рассеяния и излучения ЭМ поля. При этом получены существенные результаты. В теоретические исследования, разработку методов, алгоритмов и моделей анализа ЭМС значительный вклад внесли зарубежные и отечественные ученые: Р. Харринггон, A.B. Глиссон, С.М. Рао, Д.Р. Вильтон, Дж Варне, Д. Уайт, A.A. Харкевич, А.Д. Князев, B.C. Кармашев, и др.

Однако обзор существующих исследований выявил нерешенные задачи. В частности, недостаточно исследованы возможности совершенствования существующих алгоритмов расчета рассеяния ЭМ волны. Нет методики расчета ЭМП на основе высокочастотных моделей, учитывающих паразитные параметры емкостного, индуктивного и резистивного характера реальных компонентов схемы и конструкции. В существующем программном обеспечении отсутствует возможность решить все поставленные перед разработчиками задачи, а цена их очень высока. Поэтому создание программ расчета рассеяния ЭМ волны на основе усовершенствованных алгоритмов и разработка методики математического моделирования излучения ЭМП на основе высокочастотных моделей с учетом паразитных параметров являются актуальными.

Цель исследования - разработка алгоритмов и комплекса программ для расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, а также методики математического моделирования излучения ЭМП для проектного анализа ЭМС. Для её достижения надо: усовершенствовать решение задачи рассеяния ЭМ волны; программно реализовать разработанные алгоритмы; разработать методику проектного анализа ЭМС КА.

Диссертация выполнена в соответствии с планами НИОКР, проводимых ОАО "НПЦ "Полюс" в рамках «Федеральной космической программы России на 2006-2015 гг.» по теме "Гироскоп-2", а также с планами хоздоговорных и госбюджетных НИР ТУСУРа.

Методы исследования: методы теории электрических цепей и электромагнитного поля, линейной алгебры и вычислительной математики, структурного и объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна

1. Выведены соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов при расчете (методом моментов и И.'МЛЗ-функций) рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы.

2. Разработан усовершенствованный алгоритм расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, отличающийся использованием соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов.

3. Предложен способ уменьшения времени решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) итерационным методом В1СС81аЬ при расчете рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, отличающийся использованием аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица для применения быстрого преобразования Фурье (БПФ) при перемножении матрицы на вектор.

4. Разработана методика математического моделирования излучения от бортовой аппаратуры космического аппарата, отличающаяся использованием высокочастотных моделей, учитывающих паразитные параметры компонентов.

Практическая значимость

1. На основе выведенных соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов и усовершенствованного алгоритма создан комплекс программ для расчета рассеяния ЭМ волны.

. 2. Показано, что использование соотношений для вычисления интегралов в виде конечных комбинаций элементарных функций позволяет с меньшими временными затратами получить решение в точке сингулярности, к которому сходится решение методом Ньютона-Котеса при увеличении задаваемой точности.

3. Предложенный способ уменьшения времени решения СЛАУ за счет увеличения скорости перемножения матрицы на вектор позволяет сократить общее время расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы.

4. Разработанная методика позволила выполнить проектный анализ комплекса автоматики и стабилизации двух КА «Глонасс» и КА «Ресурс ДК» и стала основой программно-методического обеспечения для анализа ЭМС на ОАО «НПЦ «Полюс».

Достоверность полученных результатов подтверждена теоретическим обоснованием разработанных моделей, сравнением результатов

моделирования с опубликованными результатами других авторов и экспериментальными данными, актами внедрения.

Использование результатов диссертации

1. На основе полученных в диссертационной работе результатов были проведены расчеты для комплексов энергопреобразующей аппаратуры систем электроснабжения КА «Глонасс» и «Электро».

2. Методика проектного анализа ЭМС использовалась при разработке моделей и расчете ЭМ излучения в зависимости от режимов работы комплексов энергопреобразующей аппаратуры системы электроснабжения космических аппаратов «Глонасс» и «Ресурс-ДК».

3. Соотношения для вычисления интегралов в моделях рассеяния, алгоритмы расчета рассеяния использовались в ходе выполнения ОКР по г.к. № 4216 от 24.11.2010 г. по постановлению № 218 Правительства РФ.

Личный вклад автора. Все результаты работы получены автором лично или при непосредственном его участии.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на следующих конференциях: Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов «Научная сессия ТУ СУР», Томск, 2005, 2006, 2007 гг.; Всерос. науч.-техн. конф. молодых специалистов «Основные направления и формы использования инновационных разработок при создании ракетно-космической техники», Королев, 2008 г.; Науч.-техн. конф. молодых специалистов ОАО «ИСС» имени академика М.Ф. Решетнева», Железногорск, 2008 г.; Международная конф. «Перспективы использования новых технологий и научно-технических решений в ракетно-космической и авиационной промышленности», Москва, Институт проблем РАН, 2008 г.; Науч.-техн. конф. молодых специалистов «Электронные и электромеханические системы и устройства», ОАО «НПЦ «Полюс», Томск, 2006, 2008,2009, 2010 гг.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 20 печатных работ, в т.ч. 2 статьи в журналах из перечня ВАК, 4 патента РФ на изобретение, 4 патента на полезную модель и 1 свидетельство.

Структура и объем работы. Диссертация содержит на 148 е.: введение, 4 главы, 53 рис., 15 табл., заключение, список литературы из 101 наим. В приложении на 15 с. приведены копии документов (акты внедрения, 1 свидетельство, 3 патента на полезную модель и 4 патента на изобретения).

Положения, выносимые на защиту

1. Выведенные соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов (посредством разложения в ряд Тейлора и учета его четырех членов) позволяют в точке сингулярности до 12 раз быстрее получить решение, к которому сходится решение методом Ньютона-Котеса при увеличении задаваемой точности.

2. Усовершенствованный алгоритм, использующий соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов всех элементов матрицы, позволяет рассчитать токи рассеяния ЭМ волны квадратной поверхностью с погрешностью до 5%.

3. Решение СЛАУ итерационным методом BiCGStab при расчете рассеяния ЭМ волны квадратной поверхностью, использующее аппроксимацию исходной матрицы матрицей Теплица, при погрешности решения до 8%, уменьшает время решения до 12 раз по сравнению с методом Гаусса.

4. Разработанная методика математического моделирования позволяет провести оценку излучения от бортовой аппаратуры космического аппарата с учетом паразитных параметров компонентов.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ 1. Анализ методов и комплексов программ для расчета электромагнитной совместимости радиоэлектронной аппаратуры Для решения задач рассеяния и излучения ЭМ поля необходим анализ существующих численных методов, способов решения, основанных на них, а также программного обеспечения. В гл. 1 представлен обзор основных численных методов анализа ЭМС, способов дискретизации геометрических моделей, методов уменьшения времени перемножения матрицы на вектор и существующего программного обеспечения и приведена теоретическая основа метода решения задачи рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы (С.М. Рао, Д.Р. Вилтона, A.B. Глиссона). На основе обзора сформулированы цель и задачи работы, кратко обоснованные ниже.

Среди рассмотренных численных методов для решения задачи рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы выбран метод моментов. Для дискретизации моделей предложено использовать способ разбиения поверхности на треугольные элементы, т.к. он позволяет точное соответствие любой поверхности или границы и меньший порядок матрицы по сравнению с разбиением поверхности на прямоугольные элементы.

Рассмотренный метод решения задачи рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы требует алгоритмизации и усовершенствования. Вклад автора в решение этой задачи приведен в гл. 2.

Для уменьшения времени решения СЛАУ в задаче рассеяния ЭМ волны выбран метод БПФ для ускорения перемножения матрицы на вектор при решении СЛАУ итерационными методами. Вклад автора в решение данной задачи представлен в гл. 2 и 3.

Обзор существующего программного обеспечения показал, что оно не обладает в полной мере возможностями быстро и эффективно решить задачу излучения ЭМП. Однако, используя возможности существующего схемотехнического программного обеспечения, можно разработать методику, позволяющую рассчитать излучаемую ЭМП на основе выражений для напряженности электрического и магнитного полей. Вклад автора в решение данной задачи представлен в гл. 4.

2. Совершенствование решения задачи рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы Представлен подробный вывод соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления поверхностных интегралов и сравнение их времени решения с временем численного

интегрирования методом Ньютона-Котеса. Проведена оценка погрешности решения полученными формулами. Разработаны неусовершенствованный и усовершенствованный алгоритмы решения задачи рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы. Предложен способ уменьшения времени решения СЛАУ методом ЕИСС51аЬ за счет использования в нем БПФ при перемножении матрицы на вектор.

Для вычисления поверхностных токов необходимо вычислить элементы матрицы Ъ=[2тп] (т=1,2, ...,N,»=1,2, где N - число внутренних

смежных ребер треугольников поверхности) и вектора воздействий У=[К„] и решить СЛАУ относительно неизвестного вектора-столбца токов I=[/„]

г1=У. (2.1)

Алгоритм (неусовершенствованный) расчета рассеяния ЭМ волны для вычисления токов, протекающих на проводящей поверхности произвольной формы при воздействии внешнего ЭМ поля, представляет собой

1. Задаем частоту воздействия ю.

2. Разбиваем исследуемую поверхность на треугольные элементы, определяем координаты вершин треугольников, вводя обозначения, как на рис. 2.1, нумеруем в порядке, как на рис. 2.1, смежные ребра каждой пары треугольников и вычисляем длину /„ и-го ребра

&

©\ \® ж

\© ©\ с \© 3©\

<к

Рисунок 2.1- Тестовая поверхность

к=(2-2)

где (х",у", 2,") и (х2",Уг, ¿г") - координаты начала и конца и-го (и= 1,2, 3,..., Л^ ребра.

Вычисляем координаты центра ^-го треугольника, где q=l,.,.,M, где М— число треугольников

_ а о с л.Ч

.Я+Я+Ус

3

3 3 3 ^

Центр р-го (р= 1, ...,М) треугольника вычисляется по тем же формулам, что для ¿/-го.

Задаем расстояние Л через локальные треугольные координаты ^ и т^

д &ТЬР,9) = +[(4-у"с)(у! -+ ■ !+[(< - # - 4 • (.< - г?) - л •«-3. Вычисляем интегральные выражения

(2.4)

(2.5)

1{р ч) = Уг

№ (2.7)

2 1 К(%,т\,Р,Ч)

1^р,д) = 1(р,д) - 1^р,д)~1ц(р,д). (2.8)

4. Находим векторный и скалярный потенциалы, учитывая, что каждый из них связан с одной из сторон треугольника.

Для сторон а, Ъ, с:

¿Лр,я)=+ Цр,я)4 + 1,(р,яК], (2.9)

= ^[{ЦР,Я)~1М)У1 + ЦР,Я)у1 + ЦР,Я)Учс\ (2.10)

+1г(Р,Ф1+ЦР,яК\ (2.11)

где Аах, Аау, Аа1 - координаты векторного потенциала, 1\ - длина ребра а,

—'(Р^ (2.12)

_/ 2 я со е 4 7

= +(1л(р,д)-1(р,д))х1 + 1%{р,д)х:)\ (2.13)

Ау(р,я) = ^[щр,я)у1 +{1ч(р,я)-1(Р>я))у! + 1%(р,Я)Учс)\ (2.14)

АЬ!{Р,Я) = ^{Ь{Р'ЯК +(1Г1{р,д)-1(р,д))^+1^р,яК], (2.15)

где АЬх, Аьу, Аь2 - координаты векторного потенциала, /2 — длина ребра Ъ,

Ф„(Р,Я) = -т^2—Кр,яУ> (2.16)

) 2 к а Е

Лсх{р,я) = ^[цр,як+1г[{р,я)х1 +(1^р,д)-1(р,д))х«], (2.17)

а^Р,Я)=^[Ь(Р'Я)У! +1ч(Р,Я)У1 +{Ь(Р>Я)-ПР,Я))У!], (2.18)

ЛЛР,Я) = ^[1^Р,ЯК + 1ц(р,яК +(1^р,д)-1(р,д))2<с], (2.19)

где Асх, АСу, Аа - координаты векторного потенциала, /3 - длина ребра с,

фс(р,Я)= ,0ц/з 1(Р,9)- (2.20)

} 2 % со е

5. Вычисляем каждый элемент матрицы 2тп, связанный с граничными ребрами тип

ja 2

<t>,(p,q)-

, (2.21)

Ч(А<7) ' И, (А <7) К +

Ч[(/»+1),(?+1)] РГ}+ ' +А,У[(Р +!),(? + !)] РГ + +Л[(Р + 1).(? + 1)] РГ> .

где р^, р,^, р,/ - соответственно _)', 2 - проекции вектора, направленного к центру треугольника Т„+ от свободной вершины, р«(р+1), р;>(р+1), Р/г(р+1)-соответственно г - проекции вектора, направленного от центра треугольника Т„~ к свободной вершине, вместо / подставляется обозначение ¿г, Ъ или с, в соответствии с обозначением смежного ребра треугольников, т= 1, ...,И,п= 1, ..., ¿V, где ¿У- число смежных ребер.

о' = хр -хР

г ах ла

-\Р — цР .

Pay ~~ Уср У а 9 Р by ~~ Уср

-Уь> РУср-Ус

рР = ZP ~ZP, Pf =2" -Zp, Pp =ZP -z". raz cp "a 9 гЬг cp b 9 rcz cp с

6. Вычисляем вектор воздействий V=[K„]

Ю=1п

(2.22)

где р„ - вектор, направленный к вершине и от вершины треугольников Г„+ и

(2.23)

Т„, Е„ - электрические поля в центрах Т„+, Т„ с общим ребром п, где гпс± - радиус-векторы к центрам треугольников Т„+ и Т„

Е' (гпс±) = (£е0о+£фФоукг»е±,

(2.24)

где 0О, ф0 — определяют угол прихода плоской волны в сферических координатах, а волновой вектор к определяется как

Л Л Л

k = ¿(sin 0О cos ф0 х+ sin 0О sin ф0 у+ cos 0О z), (2.25)

где к = со-у/це = 2% / X, где ц, е - магнитная и диэлектрическая проницаемости окружающей среды, К - длина волны.

7. Зная элементы вектора воздействия Vn и матрицы Zmn и решив СЛАУ (2.1), находим вектор неизвестных /„.

8. Находим токи из базисных функций

J = -ZIJ„(r).

(2.26)

Усовершенствованный алгоритм расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы отличается от неусовершенствованного третьим пунктом, представляющим собой

вычисление поверхностных интегралов (2.5)-(2.7) через разложение в ряд Тейлора в виде.

1Г

1 1 ^

с!^С!Т]у

(2.27)

Ш

1 1 ^

—---./Л.Р, ч) +

Щ>Т\,Р,Ч) 2

\ 6

——--- - у к -1 к Д (4, Т|, р, <?)+

Щ,Ч,Р,9) 2

\ о у

(2.28)

ЛЫ л • (2.29)

Ошибка аппроксимации и членами ряда Тейлора: еггог < - Дп +1)!. При размере сетки >./10 получим шах г-г = Л Х/10 при базисных и тестовых функциях для поверхности. Оценка ошибки аппроксимации для разных п и размеров сетки приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Количество членов ряда Тейлора Размер элемента сетки

Х./10 Х/2 0 Х/30 Х/40

1 39,4% 9,9% 4,4% 2,4%

2 11,7% 1,4% 0,4% 0,2%

3 2,6% 0,2% 3,2-10^% 110"2%

4 0,5% 1,41(Г2% 1,910"'% 4,510^%

Сравнение результатов решения интегралов численным методом Ньютона-Котеса и методом, основанным на использовании соотношений для вычисления поверхностных интегралов в виде конечных комбинаций элементарных функций, для пластины шириной 0,15 X при вычислении одного (в диссертации всех) диагонального элемента матрицы Z приведено в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Решение интегралов в точке сингулярности_

Способ решения интегралов Задаваемая точность решения интеграла (Л-1024)

1 од 0,01 0,001

результат 1, мс результат и мс результат и мс результат 1, мс

Численный Яе 4,814 10"* 95 4,902 10'8 453 5,10110'8 1322 5,293 10"8 6000

У/я -5,327-10"9 -5,32610'" -5,32410"" -5,32710""

Аналитический Яе 5,32810"8 502 5,328 10"8 502 5,32810"8 502 5,32810"8 502

М -5,327-10"" -5,327-10"" -5,32710"" -5,32710""

Значения диагональных элементов матрицы Z для пластины шириной 0,15 X при расчете интегралов с помощью соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций и численным методом с ростом точности интегрирования сходятся к результатам, полученным с помощью соотношений. При этом увеличение точности решения интегралов метода Ньютона-Котеса приводит к увеличению и времени на их вычисление (при точности решения 10~3 время численного интегрирования больше в 12 раз), а время на решение по выведенным соотношениям остается неизменным.

3. Разработка комплекса программ

В гл. 3 выполнена программная реализация разработанных алгоритмов расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы и проведен сравнительный анализ данных, полученных в результате программной реализации, с данными, представленными Глиссоном для пластин со стороной 0,15 X и 1 X при разной сетке. Проведен сравнительный анализ времени решения неусовершенствованным и усовершенствованным алгоритмами. Предложено использование БПФ в методе BiCGStab, позволяющее уменьшить время перемножения матрицы на вектор и, тем самым, ускорить решение СЛАУ. Проведен анализ времени работы усовершенствованного алгоритма с БПФ в методе BiCGStab при разном допуске обнуления и выявлено его оптимальное значение для каждого размера сетки на пластине со стороной 1 X.

Программно реализованы в виде функций Visual С++ следующие алгоритмы: неусовершенствованный, усовершенствованный,

усовершенствованный с вычислением только диагональных элементов матрицы Z, усовершенствованный с использованием БПФ в итерационном методе BiCGStab, перемножения матрицы на вектор с БПФ. Кроме того, реализованы методы решения двойных интегралов: Ньютона-Котеса и на основе соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций.

Исходные данные (частота воздействия, размеры пластины, размер сетки) задаются в модуле Triangl.h для разбиения поверхности на треугольные элементы. Выходными данными этого модуля являются координаты вершин и центров, длины сторон треугольников, длины векторов из центра треугольников к его свободной вершине. Они передаются в модуль Num_int.cpp, где из них рассчитываются поверхностные интегралы, в зависимости от выбранного способа: численный - метод Ньютона-Котеса или на основе соотношений. Полученные данные передаются в основной расчетный модуль Triangl.cpp, где вычисляется матрица Z и вектор воздействия V, передаваемые в модуль Solve.h, в котором решается СЛАУ методом (по выбору): Гаусса, BiCGStab или BiCGStab с БПФ. Выходными данными является вектор токов, записываемый в файл с расширением *.txt.

На рис. 3.1 показаны распределения модуля нормированной х-проекции тока |Jx/H"c\ по горизонтальному сечению квадратной пластины, полученные неусовершенствованным алгоритмом и опубликованные Глиссоном.

н

1,2 -|

1 -

0,8 -

0,6 -

0,4 -0,2-а

0 -I-

♦ 90 прямоугольников (Глиссон) □ 16 треугольников л 32 треугольника х 60 треугольников

♦ 90 прямоугольников (Глиссон) —о— 32 треугольника ^й—60 треугольников —X— 84 треугольника

*хл

Л X« □

0,025 0,05 0,075 0,1 0,125

Ж

0,93

XIX

Рисунок 3.1 - Результаты моделирования плоской квадратной пластины шириной

0,15 А. (а) и 1 X (б) неусовершенствованным алгоритмом и данные Глиссона Средние отклонения между данными Глиссона и результатами, полученными при максимальных разбиениях пластины (60 треугольников на рис. 3.1 а и 84 на рис. 3.1 б), составляют 10% и 4% соответственно. Это подтверждает корректность программной реализации.

Для сравнения на рис. 3.2 приведены результаты решения тех же задач при максимальных разбиениях, но усовершенствованным алгоритмом, а также с использованием его только для расчета диагональных элементов.

♦ 90 прям-ов (Глиссон)

X 60 треуг-ов (неусовершенствованный алгоритм) □ 60 треуг-ов (усовершенствованный алгоритм) о 60 треуг-ов (усовершенствованный ал горим: диагональ)

1 -

0,8 0,6 -0,4 -0,2 -0

J,

Я '

0*

♦ 90 прям-ов (Глиссон)

X 84 треуг-ка (неусовершенствованный алгоритм)

□ 84 треуг-ка (усовершенствованный алгоритм)

о 84 треуг-ка (усовершенствованный алгоритм: диагональ)

в

\ хО

я

0,02 0,04 0,06 0,(

0,1 0,12

0,14

ш

0,8 0,93 XIX

Рисунок 3.2- Результаты моделирования квадратной пластины шириной 0,15 X (а) и IX (б) тремя алгоритмами и данные Глиссона Средние отклонения между данными Глиссона и результатами, полученными при максимальных разбиениях пластины (рис. 3.2 а) и (рис. 3.2 б), составляют 5% и 3% соответственно, что лучше, чем данные, полученные неусовершенствованным алгоритмом (рис. 3.1 а) и (рис. 3.1 б). Результаты, полученные при использовании усовершенствованного алгоритма только для расчета диагональных элементов матрицы Д совпадают с результатами, полученными Глиссоном, со средним отклонением 3% и 2%, что говорит о повышенной точности такого подхода при вычислении в точках сингулярности.

Для уменьшения времени решения (в усовершенствованном алгоритме) предложено решение СЛАУ методом В1С08(аЬ с перемножения матрицы на вектор с помощью БПФ в двух местах в каждой итерации. По существу, замена обычного перемножения матрицы на вектор перемножением с

помощью БПФ означает аппроксимацию исходной матрицы Теплицевой. Это приводит к некоторому возмущению итерационного процесса из-за изменения вектора решения, получаемого на каждой итерации и увеличивает число итераций: на сколько — зависит от близости исходной матрицы к Теплицевой. Однако перемножение матрицы на вектор с помощью БПФ выполняется во много раз быстрее обычного (например, в 27 раз при #=2048). Таким образом, общее время решения СЛАУ может уменьшиться.

Исследована работа усовершенствованного алгоритма и усовершенствованного алгоритма с ускорением решения СЛАУ за счет использования БПФ для разного числа треугольников /V/- (и размера матрицы СЛАУ #): #/=84 (#=114), #/=426 (#=512), #/=1024 (#=2048), #/=1856 (#=4096). В качестве тестовой задачи использовалась квадратная пластина шириной 1А., метод решения СЛАУ- В1СОБ1аЬ и ВЮОБгаЬ с БПФ, задаваемая точность 7о/=10~8, значение допуска обнуления т=5'Ю~5, максимальное число итераций #,-,- 500. На рис. 3.3 представлены результаты расчета для редкой и частой сеток.

—о—Решение методом Гаусса —•— Решение методом ВКХККаЬ —йг— Решение методом ВКХгБЕаЬ с БПФ

3 - 3 х

2,5 - Н

2 -

1,5 "

1 -

0,5

- Решение методом Гаусса

- Решение методом

- Решение методом В1СС81аЬ с БПФ

0,01 0,17 0,32 0,47 0,62 0,79 0,94 0,01 0,17 0,32 0,47 0,62 0,79 0,94

Ж XIX

а б

Рисунок 3.3 - Результаты моделирования плоской квадратной пластины шириной 1 X, N/=84 (а) и Щ=\856 (б) Из графиков видно, что применение метода В1СС81аЬ с БПФ уменьшает точность. Среднее отклонение между данными В1Св81аЬ с БПФ и метода Гаусса для #/=84 (#=114) составляет 8%, а для #/=1856 (#=4096) уменьшается до 6%. Отметим, что здесь БПФ использовано в обоих местах алгоритма итерации, что максимально возмущает итерационный процесс, но дает приемлемую погрешность. Однако использование БПФ только в первом месте дает меньшее возмущение итерационного процесса и соответственно меньшую погрешность, но замедляет решение.

В табл. 3.1 представлена зависимость числа итераций #„ и времени решения СЛАУ от оптимального допуска обнуления т при решении СЛАУ методом В1С081аЬ и методом ВЮС^аЬ с БПФ. В последнем использовалась замена обычного умножения матрицы на вектор умножением с помощью БПФ в двух вариантах: 1) замена в первом месте; 2) замена в двух местах.

Таблица 3.1

Время решения СЛАУ при оптимальном значении т_

Метод решения СЛАУ Число т реугольников Nf (число неизвестных)

X 84(114) 182 (256) 426 (512) 1024 (2048) 1856(4096)

ЕИС051аЬ 5-Ю"6 8,7 с. 13,8 с.

Г1(Г5 13,4 с. 46 с.

ПО"4 34,02 с.

КВКХ^аЬс БПФ по-5 7,5 с. 16,3 с. 24,1 с. 26 с

54 О"5 23,8 с.

2. ВЮС81аЬ с БПФ 5'Ю"6 Юс. 24,2 с.

Г10"' 32,1 с. 41 с.

ПО"4 30,6 с.

ОЕ - 75 с. 90,4 с. 198 с. 256 с. 312 с.

В таб. 3.2 представлено отношение времени решения методом Гаусса к времени решения методами В1СС81аЬ и В1СС81аЬ с БПФ, а также В1Св51аЬ к

В1Св81аЬ с БПФ при оптимальном значении т из табл. 3.1.

Таблица 3.2

_Отношение времен решения СЛАУ разными методами_

Отношение времен решения иНг Число треугольников Л^ (число неизвестных)

84(114) 182(256) 426 (512) 1024 (2048) 1856 (4096)

вЕ / В1С081аЬ 8,6 6,5 14,77 7,52 6,76

ОЕ/ЬВК^аЬсБПФ 10 5,53 8,21 10,75 12

6Е /2. ВКХ^аЬсБПФ 7,5 3,73 6,18 8,36 7,6

ВЮ081аЬ /1. В1С081аЬ с БПФ 1,16 0,84 0,55 1,42 1,8

В;С081аЬ / 2. В1СС8(аЬ с БПФ 0,87 0,57 0,41 1,05 1Д2

Как видно из табл. 3.2, решение СЛАУ методом ШСОБ1аЬ с БПФ, где БПФ используется для перемножения матрицы на вектор в первом месте, приводит к ускорению решения при =1856 в 12 раз относительно метода Гаусса и в 1,8 раза относительно ШССБ1аЬ.

4. Проектный анализ электромагнитной совместимости систем электроснабжения космических аппаратов

В данной главе разработана методика проектного анализа ЭМС для расчета уровней ЭМП, обеспечивающая, в отличие от традиционных методов исследования, основанных на формировании эквивалентных схем замещения и моделей сигналов для анализа различных видов помех, расчет амплитудно-частотного спектра помех во всем заданном диапазоне частот на основе использования высокочастотных моделей, учитывающих паразитные параметры и связи элементов схемы и конструкции.

Расчет контура с малой площадью 5, находящегося в диэлектрической среде с магнитной проницаемостью ц и диэлектрической проницаемостью в, по которому течет синусоидальный ток амплитудой / с длиной волны X, в соответствии с уравнениями Максвелла для напряженности электрического Е и магнитного Н полей в точке со сферическими координатами г, <р, 0 осуществляется по формулам:

£Г=О;£0=О;£ =

Я =

Я„ =-

2 я257

[х/2тсг-у(Я./2яг)2 -(/1/2лг)3 ^тО; //ф = О.

4л25/ Г .

Напряженности электрического и магнитного полей будем рассчитывать, исходя из предположения, что Е максимальна в плоскости ху (9 =±90°), а Я- на оси г (0=±О°, ±180°). Тогда с учетом того, что Х=2пс/а (где с - скорость света, со — угловая частота)

71 (ц/е)^£/(о

(ц/е)%/ю 2 сг2

= ^тах! =

¿7 2кг3

г^/и у

"Ы-

(4.1)

Для анализа наихудшего случая полагается, что дроссели и трансформаторы излучают ЭМП как соленоиды, индуктивность и габаритные размеры которых равны индуктивности рассеяния и габаритным размерам данного дросселя или трансформатора. Индуктивность соленоида длиной / и площадью поперечного сечения 5 с общим числом витков N равна Ь=кцМ2Б/1, где к — коэффициент размагничивания, зависящий от отношения длины соленоида к диаметру его витка.

Реальный ток элементов в контуре имеет явно выраженный несинусоидальный характер и для анализа ЭМС используются его амплитудно-частотные спектры, а также спектры напряженностей электрического и магнитного полей. Для их построения с учетом описания тока контура по результатам моделирования в виде цифрового массива данных необходимо дискретное преобразование Фурье.

Для построения спектров £ и Я, уравнение которых (4.1) содержит зависимости вида /со непосредственно перед процедурой разложения в ряд Фурье необходимо произвести и-кратное численное дифференцирование по времени исходной функции тока с учетом того, что для /(?)=/тахз1п(со?) производная ;'(г)=/тах(а соз(со /).

Рассмотрим пример расчета ЭМП силовой части комплекса автоматики и стабилизации (КАС), структурная схема которого приведена на рис. 4.2.

Рисунок 4.2 — Структурная схема имитационной модели силовой части КАС При проведении расчета по методике были получены значения напряженности электрического Е и магнитного Я полей (рис. 4.3).

Д дБмкА/м

О +

0,01

Рисунок 4.3 - Частотный спектр помех для электрического (а) и магнитного полей (б) Испытания КАС проводились в соответствии с методикой испытаний по определению уровня ЭМП, генерируемых блоком автоматики системы электроснабжения КА. Схема испытательной установки показана на рис. 4.4.

1 - заземляющая плоскость;

2 - испытываемый образец;

3 - локализованный участок максимального излучения;

4 - измерительная антенна;

5 - препятствие или стенка экранированного помещения;

6 - измерительный прибор

Рисунок 4.4 - Схема размещения КАС и испытательного оборудования Полученные при расчете спектры Е и Н зарядно-разрядного устройства с учетом эффективности экранирования сравнивались с экспериментальными (рис. 4.5). Видна согласованность результатов.

Рисунок 4.5 - Частотный спектр помех для электрического (а) (эксперимент - £эксп и расчет - £расч) и магнитного полей (б) (эксперимент -Яэксп и расчет - Ярасч)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе диссертационной работы рассмотрены следующие вопросы. Разработан алгоритм расчета рассеяния ЭМ волны, приведено его усовершенствование за счет выведенных соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов и представлен сравнительный анализ обоих алгоритмов с опубликованными результатами. Предложен способ уменьшения времени решения СЛАУ путем аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица в итерационном

методе В1СС81аЬ для применения БПФ при перемножении матрицы на вектор. Разработана методика математического моделирования для расчета излучения ЭМП бортовой аппаратуры космического аппарата.

Получены следующие результаты.

1. Выведены соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов.

2. Программно реализованы усовершенствованный и неусовершенствованный алгоритмы для расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями прямоугольной формы. Произведено тестирование, показавшее, что использование выведенных соотношений для вычисления интегралов позволяет с меньшими (до 12 раз) временными затратами получить решение в точке сингулярности, к которому сходится решение методом Ньютона-Котеса при увеличении задаваемой точности.

3. Предложенный способ решения СЛАУ итерационным методом В1СС81аЬ при аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица для применения БПФ при перемножении матрицы на вектор позволил уменьшить время расчета до 12 раз по сравнению с методом Гаусса.

4. Разработана методика проектного анализа ЭМС, обеспечивающая расчет амплитудно-частотного спектра помех во всем заданном диапазоне частот на основе использования высокочастотных моделей электронных устройств, учитывающих паразитные параметры и связи элементов схемы и конструкции.

Таким образом, представляется достигнутой цель диссертационной работы: разработка алгоритмов и комплекса программ для расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, а также методики математического моделирования излучения ЭМП для проектного анализа ЭМС. Тем самым решена задача применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ для обеспечения ЭМС бортовой аппаратуры космических аппаратов, имеющая существенное значение для космической отрасли.

Результаты диссертационной работы апробированы, опубликованы и внедрены в ОАО «НПЦ «Полюс» и ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнева».

ПУБЛИКАЦИИ ПО МАТЕРИАЛАМ ДИССЕРТАЦИИ Статьи в журналах из перечня ВАК

1. Костарев И.С., Куксенко С.П., Газизов Т.Р. Повышение эффективности решения системы линейных алгебраических уравнений итерационными методами, // Вест. Том. гос. пед. уни-та. Сер.: Естественные и точные науки. 2005. Спецвыпуск № 7, С. 150-155.

2. Казанцев Ю.М., Костарев И.С., Лекарев А.Ф. Проектный анализ электромагнитной совместимости регулирующей аппаратуры автономных систем электропитания // Изв. Том. политехи, ун-та. 2010. Т. 317. №4. С. 124-128.

Свидетельство и патенты

3. Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8376 от

24.05.2007. <Система компьютерного моделирования сложных структур проводников и диэлектриков TALGAI> (Газизов Т.Р., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Заболоцкий A.M., Костарев И.С.), зарегистрированной в Отраслевом фонде алгоритмов и программ Госкоорцентра Минобрнауки РФ с присвоением номера государственной регистрации - per. номер ВНТИЦ 50200701103.

4. Патент РФ на изобретение №23399993. Казанцев Ю.М., Гордеев К.Г., Лекарев А.Ф., Костарев И.С. Способ управления обратным импульсным преобразователем постоянного напряжения со стабилизацией предельного тока. Заявка №2007124855. Приоритет изобретения 2.07.2007. Опубликовано

27.11.2008. Бюл. №33.

5. Патент РФ на полезную модель №79355. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Бевзенко И.Г., Самотин И.Е., Орлов П.Е., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Модальный фильтр. Заявка №2008127527/ 22(033781). Приоритет полезной модели 07.07.2008. Опубликовано 27.12.2008 Бюл. №36.

6. Патент РФ на полезную модель №79213.. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Бевзенко И.Г., Самотин И.Е., Орлов П.Е., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Устройство воздействия на аппаратуру. Заявка №2008127574/22(033831). Приоритет полезной модели 07.07.2008. Опубликовано 20.12.2008 Бюл. №35.

7. Патент РФ на полезную модель. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Бевзенко И.Г., Самотин И.Е., Орлов П.Е., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Устройство модального зондирования. Заявка №2008127580/22(033837). Приоритет полезной модели 07.07.2008.

8. Патент РФ на изобретение №2386964. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Орлов П.Е., Самотин И.Е., Бевзенко И.Г., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Устройство обнаружения, идентификации и диагностики многопроводных линий передачи. Заявка №2009108905/28(011919). Приоритет изобретения 10.03.2009. Опубликовано

20.04.2010 Бюл. №11.

9. Патент РФ на изобретение №2431912. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Бевзенко И.Г., Самотин И.Е., Орлов П.Е., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Устройство защиты от импульсных сигналов. Заявка №2010108518/07(012013). Приоритет изобретения 9.03.2010. Опубликовано 20.10.2011 Бюл. №29.

10. Патент РФ на изобретение №2431897. Газизов Т.Р., Заболоцкий A.M., Бевзенко И.Г., Самотин И.Е., Орлов П.Е., Мелкозеров А.О., Газизов Т.Т., Куксенко С.П., Костарев И.С. Устройство для нарушения работы аппаратуры за счет разложения и восстановления импульсов. Заявка №2010108518/07(012013). Приоритет изобретения 9.03.2010. Опубликовано

20.10.2011 Бюл. №29.

Другие публикации

11. Костарев И.С., Куксенко С.П. Повышение скорости решения системы алгебраических уравнений итерационными методами // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов ТУСУР. Томск, 2005. Ч. 1.С. 60-63.

12. Костарев И.С. Решения системы алгебраических уравнений итерационными методами // Материалы Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов ТУСУР. Томск,

2005. Ч. 1.С. 58-60.

13. Чириков Р. Е., Костарев И.С. Увеличение скорости решения системы линейных алгебраических уравнений с помощью быстрого метода многополюсника // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов посвященная 55-летию ТУСУР. Томск,

2006. Ч. 1.С. 34-37.

14. Костарев И.С., Анализ электромагнитной совместимости блока зарядного устройства аккумуляторной батареи на имитационной модели.// Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2006». Томск, 2006. Ч. 1. С. 116-118.

15. Чириков Р. Е., Костарев И.С. Обзор программ электродинамического моделирования. // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых специалистов ТУСУР. Томск, 2007. Ч. 1. С. 71-74.

16. Система компьютерного моделирования сложных структур проводников и диэлектриков TALGAT T.P. Газизов, А.О. Мелкозеров, Т.Т. Газизов, С.П. Куксенко, А.М. Заболоцкий, И.С. Костарев // Компьютерные учебные программы и инновации. М: ГОСКООРЦЕНТР, МФЮА, РУИ. 2007. № 10. С. 89-90.

17. Казанцев Ю.М., Лекарев А.Ф., Костарев И.С. Проектный анализ электромагнитной совместимости силовых электронных систем КА // 7-й Междунар. симп. по электромагнитной совместимости и электромагнитной экологии: Тр. симпозиума (Санкт-Петербург, 26 - 29 июня 2007 г.). СПб: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2007. С. 58-61.

18. Костарев И.С. Модели рассеяния в задачах анализа электромагнитной совместимости // Материалы науч.-техн. конф. молодых специалистов, Железногорск, 2008. С. 40-41.

19. Костарев И.С., Электромагнитное рассеяние поверхностями произвольной формы // Тез. докл. науч.-техн. конф. молодых специалистов «Электронные и электромеханические системы и устройства». Томск, 2008. С.171-174.

20. И.С. Костарев, A.B. Белоусов, О.В. Тверяков, Обеспечение точности и надежности проектируемых электромеханических систем ориентации космических аппаратов // IV Международная науч.-техн. конф. «Электромеханические преобразователи энергии», Томск, 2009. 153-157 с.

Тираж 100. Заказ № 1172. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел.: 53-30-18.

Введение.

1. Анализ методов и комплексов программ для расчета электромагнитной совместимости радиоэлектронной аппаратуры.

1.1. Численные методы анализа электромагнитной совместимости.

1.1.1. Метод конечных разностей.

1.1.2. Метод конечных элементов.

1.1.3. Метод моментов.

1.2. Способы дискретизации геометрических моделей в задачах рассеяния.

1.3. Решение задачи электромагнитного рассеяния на основе интегральных уравнений электрического поля.

1.4. Обзор методов уменьшения времени перемножения матрицы на вектор.

1.4.1. Метод сопряженных градиентов с использованием быстрого преобразования Фурье.

1.4.2. Быстрый метод многополюсника.

1.4.3. Многоуровневый быстрый алгоритм многополюсника.

1.4.4. Матричный декомпозиционный алгоритм и многоуровневый матричный декомпозиционный алгоритм.

1.5. Обзор комплексов программ для анализа электромагнитной совместимости.

1.6. Цель работы и формулировка задач исследования.

2. Совершенствование решения задачи рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы.

2.1. Оценка погрешности аппроксимации.

2.2. Аналитическое вычисление поверхностных интегралов в модели рассеяния.

2.3. Алгоритм расчета рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы.л.

2.4. Усовершенствованный алгоритм расчета рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы.

2.5. Решение системы линейных алгебраических уравнений итерационным методом с использованием быстрого преобразования Фурье при перемножении матрицы на вектор.

2.6. Основные результаты главы.

3. Разработка комплекса программ.

3.1. Программная реализация алгоритмов расчета рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы.

3.2. Тестирование программной реализации разработанных алгоритмов.

3.3. Основные результаты главы.

4. Проектный анализ электромагнитной совместимости системы электроснабжения космических аппаратов.

4.1. Методика проектного анализа электромагнитной совместимости.

4.2. Расчет электромагнитных помех комплекса автоматики и стабилизации космического аппарата на основе проектного анализа электромагнитной совместимости.

4.2.1. Создание моделей комплекса автоматики и стабилизации в программном комплексе Spice.

4.2.2. Результаты моделирования комплекса автоматики и стабилизации по разработанной методике.

4.3. Экспериментальное исследование комплекса автоматики и стабилизации космического аппарата.

4.4. Основные результаты главы.

Актуальность работы. Необходимым этапом проектирования регулирующей аппаратуры систем электропитания космических аппаратов (КА) является анализ электромагнитной совместимости (ЭМС). Это связано с тем, что наблюдается тенденция роста мощностей, рабочих частот, усложняется функционал и состав аппаратуры, уменьшаются ее массогабаритные параметры и увеличивается плотность компоновки, что приводит к влиянию дополнительных паразитных параметров емкостного, индуктивного, резистивного характера и увеличению уровня излучаемых электромагнитных помех (ЭМП). Особенность работы регулирующей аппаратуры систем электропитания заключается в переключении режимов в зависимости от орбитального положения КА, что приводит к изменению излучаемых ЭМП. Соответственно возрастает сложность прогнозирования динамически изменяющихся ЭМП и анализа их влияния на работу регулирующей аппаратуры и других блоков КА. Особенно актуальным анализ ЭМС бортовой аппаратуры КА стал при появлении требования на проведение такого анализа в технических заданиях на проектирование КА.

Состояние вопроса. Во всем мире ученые и разработчики активно ведут исследования методов моделирования электромагнитного поля и воздействия его на электронные устройства. Основным направлением здесь является совершенствование существующих, либо разработка новых более универсальных моделей, алгоритмов и методов, позволяющих быстрее, точнее и с приемлемыми затратами машинной памяти и машинного времени рассчитать рассеяние и излучение электромагнитного поля. При этом получены существенные результаты. В теоретические исследования, разработку методов, алгоритмов и моделей анализа ЭМС значительный вклад внесли зарубежные и отечественные ученые: Р. Харрингтон, A.B. Глиссон, С.М. Рао, Д.Р. Вильтон, Дж Барнс, Д. Уайт, A.A. Харкевич, А.Д. Князев, B.C. Кармашев, и другие.

Однако обзор существующих исследований выявил нерешенные задачи. В частности, недостаточно исследованы возможности совершенствования существующих алгоритмов расчета рассеяния электромагнитной волны. Нет методики расчета ЭМП на основе высокочастотных моделей, учитывающих паразитные параметры емкостного, индуктивного и резистивного характера реальных компонентов схемы и конструкции. В существующем программном обеспечении отсутствует возможность решить все поставленные перед разработчиками задачи, а цена их очень высока. Поэтому создание программ расчета рассеяния электромагнитной волны на основе усовершенствованных алгоритмов и разработка методики математического моделирования излучения электромагнитного поля на основе высокочастотных моделей с учетом паразитных параметров являются актуальными.

Целью исследования является разработка алгоритмов и комплекса программ для расчета рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы, а также методики математического моделирования излучения электромагнитного поля для проектного анализа ЭМС.

Для достижения поставленной цели надо сделать следующее.

1. Усовершенствовать решение задачи рассеяния ЭМ волны.

2. Программно реализовать разработанные алгоритмы.

3. Разработать методику проектного анализа ЭМС К А.

Диссертация выполнена в соответствии с планами научноисследовательских и опытно-конструкторских работ, проводимых ОАО "НПЦ "Полюс" в рамках «Федеральной космической программы России на 2006-2015 гг.» по теме "Гироскоп-2", а также с планами хоздоговорных и госбюджетных НИР ТУСУРа.

Методы исследования. В работе используются методы теории электрических цепей и электромагнитного поля, линейной алгебры и вычислительной математики. При создании комплекса программ использовались методы структурного и объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна

1. Выведены соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов при расчете (методом моментов и КЛУО-функций) рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы.

2. Разработан усовершенствованный алгоритм расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, отличающийся использованием соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов.

3. Предложен способ уменьшения времени решения системы линейных алгебраических уравнений итерационным методом В1Св81аЬ при расчете рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, отличающийся использованием аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица для применения быстрого преобразования Фурье при перемножении матрицы на вектор.

4. Разработана методика математического моделирования излучения от бортовой аппаратуры космического аппарата, отличающаяся использованием высокочастотных моделей, учитывающих паразитные параметры компонентов.

Практическая значимость

1. На основе выведенных соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов и усовершенствованного алгоритма создан комплекс программ для расчета рассеяния электромагнитной волны.

2. Показано, что использование соотношений для вычисления интегралов в виде конечных комбинаций элементарных функций позволяет с меньшими временными затратами получить решение в точке сингулярности, к которому сходится решение методом Ньютона-Котеса при увеличении задаваемой точности. и: 3. Предложенный способ уменьшения времени решения системы линейных алгебраических уравнений за счет увеличения скорости перемножения матрицы на вектор позволяет сократить общее время расчета рассеяния электромагнитной волны поверхностями произвольной формы.

4. Разработанная методика позволила выполнить проектный анализ комплекса автоматики и стабилизации двух космических аппаратов «Глонасс» и КА «Ресурс ДК» и стала основой программно-методического обеспечения для анализа электромагнитной совместимости на ОАО «НПЦ «Полюс».

Достоверность полученных результатов подтверждена теоретическим обоснованием разработанных моделей, сравнением результатов моделирования с опубликованными результатами других авторов и экспериментальными данными, актами внедрения.

Использование результатов диссертации

1. На основе полученных в диссертационной работе результатов были проведены расчеты для комплексов энергопреобразующей аппаратуры систем электроснабжения космических аппаратов «Глонасс» и «Электро».

2. Методика проектного анализа электромагнитной совместимости использовалась при разработке моделей и расчете электромагнитного излучения в зависимости от режимов работы комплексов энергопреобразующей аппаратуры системы электроснабжения космических аппаратов «Глонасс» и «Ресурс-ДК».

3. Полученные аналитические формулы для вычисления поверхностных интегралов в моделях рассеяния, алгоритм расчета рассеяния и усовершенствованный алгоритм расчета рассеяния использовались в ходе выполнения опытно-конструкторской работы по теме: «Разработка комплекса программных и технических средств для контроля информационных магистралей, обеспечения электромагнитной совместимости и исследования надежности унифицированного ряда электронных модулей на основе технологии "система-на-кристалле" для систем управления и электропитания космических аппаратов связи, навигации и дистанционного зондирования Земли с длительным сроком активного существования» по государственному контракту №4216 от 24.11.2010 г. по постановлению №218 Правительства РФ.

Личный вклад автора. Все результаты работы получены автором лично или при непосредственном его участии.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационных исследований докладывались на следующих конференциях:

- Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов «Научная сессия ТУСУР-2005», Томск, 2005 г.;

- Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов ТУСУРа «Научная сессия ТУСУР-2007», Томск, 2007 г.;

- Всероссийская научно-техническая конференция молодых специалистов «Основные направления и формы использования инновационных разработок при создании ракетно-космической техники», Королев, 2008 г.;

- Научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО «ИСС» имени академика М.Ф. Решетнева, Железногорск, 2008 г.;

- Международная конференция «Перспективы использования новых технологий и научно-технических решений в ракетно-космической и авиационной промышленности», Москва, Институт проблем РАН, 2008 г;

- Научно-техническая конференция молодых специалистов «Электронные и электромеханические системы и устройства», ОАО «НПЦ «Полюс», Томск, 2006, 2008, 2009, 2010 гг.

Публикации. Результаты выполненных исследований отражены в 20 печатных работах, в том числе двух статьях в журналах из перечня ВАК, четырех патентах РФ на изобретение, четырех патентах на полезную модель и одном свидетельстве отраслевой регистрации разработки.

Структура и объем работы. Диссертация содержит на 148 е.: введение, 4 главы, 53 рис., 15 табл., заключение, список литературы из 101

4.4. Основные результаты главы

1. Разработанная методика проектного анализа ЭМС позволяет рассчитать амплитудно-частотный спектр излучаемых помех в заданном диапазоне частот по вычисленному на имитационной модели току и полученной по результатам конструкторской проработки устройства площади контура, что дает возможность контролировать уровень помех на стадиях конструкторской проработки аппаратуры.

2. На примере КАС показан способ создания модели в программном комплексе SPICE для расчета ЭМП.

3. Приведен расчет излучения ЭМП прибора КАС, и выполнено сравнение результатов моделирования и эксперимента.

Заключение

В ходе диссертационной работы рассмотрены следующие вопросы. Разработан алгоритм расчета рассеяния ЭМ волны, приведено его усовершенствование за счет выведенных соотношений в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов и представлен сравнительный анализ обоих алгоритмов с опубликованными результатами. Предложен способ уменьшения времени решения СЛАУ путем аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица в итерационном методе В1С081аЬ для применения БПФ при перемножении матрицы на вектор. Разработана методика математического моделирования для расчета излучения ЭМП бортовой аппаратуры космического аппарата.

Получены следующие результаты.

1. Выведены соотношения в виде конечных комбинаций элементарных функций для вычисления интегралов.

2. Программно реализованы усовершенствованный и неусовершенствованный алгоритмы для расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями прямоугольной формы. Произведено тестирование, показавшее, что использование выведенных соотношений для вычисления интегралов позволяет с меньшими (до 12 раз) временными затратами получить решение в точке сингулярности, к которому сходится решение методом Ньютона-Котеса при увеличении задаваемой точности.

3. Предложенный способ решения СЛАУ итерационным методом В1СС81аЬ при аппроксимации исходной матрицы матрицей Теплица для применения БПФ при перемножении матрицы на вектор позволил уменьшить время расчета до 12 раз по сравнению с методом Гаусса.

4. Разработана методика проектного анализа ЭМС, обеспечивающая расчет амплитудно-частотного спектра помех во всем заданном диапазоне частот на основе использования высокочастотных моделей электронных устройств, учитывающих паразитные параметры и связи элементов схемы и конструкции.

Таким образом, представляется достигнутой цель диссертационной работы: разработка алгоритмов и комплекса программ для расчета рассеяния ЭМ волны поверхностями произвольной формы, а также методики математического моделирования излучения ЭМП для проектного анализа ЭМС. Тем самым решена задача применения математического моделирования, численных методов и комплексов программ для обеспечения ЭМС бортовой аппаратуры космических аппаратов, имеющая существенное значение для космической отрасли.

Результаты диссертационной работы апробированы, опубликованы и внедрены в ОАО «НПЦ «Полюс» и ОАО «Информационные спутниковые системы» имени академика М.Ф. Решетнева».

1. Варне Дж. Электронное конструирование: Методы борьбы с помехами: Пер. с англ. Исаакян В.А. М.: Мир, 1990. - 238 с.

2. Сайт компании «Родник софт» Электронный ресурс. Режим доступа:http://www.rodnik.ru/product/sapr/ppiplis/quantic/omega.

3. Сайт компании Missouri University of Science and Technolodgy Электронный ресурс. Режим доступа: http://emclab.mst.edu/emap5.

4. Разевиг В.Д. Системы проектирования OrCad 9.2. М.: Солон-Р, 2003. -528 с.

5. Шабунин С.Н. Проектирование антенн с помощью пакета ELNEC: Методические указания по курсам "Распространение радиоволн и антенно-фидерные устройства в системах подвижной связи", "Антенны и устройства СВЧ". Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2001. 12 с.

6. Сайт компании «Родник софт», описание программы SuperNEC Электронный ресурс. Режим доступа:http://www.rodnik.ru/product/sapr/saprsvch/PoyntingSoftware/supernec.

7. Сайт компании Singularsoftware Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.singularsoftware.com/.

8. Описание программы CONCEPT II Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.tet.tu-harburg.de/enEN/enindex.php.

9. Сайт компании Amideon, описание программы EMC Systems Электронный ресурс. Режим доступа: http://amideon.net/emc-systems.

10. Сайт компании Computer Simulation Technology, описание программы MicroStripes Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.cst.com/Content/Products/MST/Overview.aspx.

11. ГОСТ Р 51319-99. Совместимость технических средств электромагнитная. Приборы для измерения индустриальных радиопомех. Технические требования и методы испытаний. М.: Госстандарт РФ, 2000. - 65 с.

12. Агапов С.В. Электронные САПР для моделирования электромагнитных излучений от межсоединений печатных плат // Проблемы электромагнитной совместимости технических средств: Сб. докл. Всерос. симпозиума. М.: 2002. С. 11-13.

13. Сосунов Б.В., Тимчук А.А. Применение метода конечных разностей временной области в задачах дифракции радиоволн // Вопросы ЭМС и расчета антенн и радиолиний / Под ред. В.П. Серкова, Б.В. Сосунова. -СПб.: ВАС, 1994.

14. Taflove A., Brodwin М. Numerical solution of steadystate electromagnetic scattering problems using the time dependent Maxwell's equations // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. Aug. 1975. - Vol. MMT-23. - P. 623630.

15. Taflove A., Umashankar K., Beker В., Harfoush F., Yee K. Detailed FD-TD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens // IEEE Trans. Antennas Propagat. February, 1988. - Vol. 36. - P. 247-257.

16. Silvester P., Chari М. Finite element solution of saturate magnetic field problems // IEEE Trans. Power Appar. Syst. 1970, V. 89. - № 7. -P. 1642-1651.

17. Харрингтон Р.Ф. Применение матричных методов к задачам теории поля // ТИИЭР. № 2 1967. - С. 5-19.

18. ТарасикВ.П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. М.: Изд-во Дизайн ПРО, 2004. - 640 с.

19. Liu Y., Ни J., Mei К.К. A novel fast iteration technique for scattering by 2D perfect conducting cylinders. // IEEE Trans. Electromagn. Compat. Feb. 2002. - V. 44. -№ 1. - P. 263-265.

20. Баландин Н.Ю., Шурина Э.П. Методы решения СЛАУ большой размерности. Новосибирск: НГТУ, 2000. - 132 с.

21. Перечень программных средств автоматизации моделирования, расчета и анализа тепловых режимов РЭА//Вопросы радиоэлектроники. Сер. ТРТО.- 1991.-Вып. 4. С. 87- 89.

22. Richmond J.H. A wire-grid model for scattering by conducting bodies. // IEEE Trans. Antennas Propagat. Nov. 1966. - V. AP-14. - № 6. - P. 782786.

23. Miller E.K., Deadrick F.J. Some computational aspects of thin-wire modeling, in Numerical and Asymptotic Techniques in Electromagnetics // R. Mittra, Ed. New York: Springer-Verlag, 1975. P. 260.

24. Lee K. S. H., Marin L., Castillo J. P. Limitations of wire-grid modeling of a closed surface // IEEE Trans. Electromagn. Compat Aug., 1976. -V. EMC-18. - № 3. - P. 123-129.

25. Knepp D.L., Goldhirsh J. Numerical analysis of electromagnetic radiation properties of smooth conducting bodies of arbitrary shape // IEEE Trans. Antennas Propagat. May 1972. - V. AP-20. -№ 3. - P. 383-388.

26. Albertsen N.C., Hansen J.E., Jensen N.E. Computation of radiation from wire antennas on conducting bodies // IEEE Trans. Antennas Propagat. -Mar. 1974. V. AP-22. - № 2. - P. 200-206.

27. Burke G.J., Poggio A.J. Numerical Electromagnetic Code (NEC) method of moments // Naval Ocean Systems Center, San Diego, CA, Tech. - July 1977. Document 116.

28. Newman E.H., Pozar D.M. Electromagnetic modeling of composite wire and surface geometries // IEEE Trans. Antennas Propagat. Nov. 1978. -V. AP-26. № 6. - P. 784-789.

29. Wang N.N., Richmond J.H., Gilreath M.C. Sinusoidal reaction formulation and scattering from conducting surface // IEEE Trans. Antennas Propagat. -May 1975. V. AP-23. - № 3. - P. 376-382.

30. Sankar A., Tong T.C. Current computation on complex structures by finite element method//Electron. Lett.-Oct. 1975. V. ll.-№ 20.-P. 481-482.

31. Wang J.J.H. Numerical analysis of three-dimensional arbitrary-shaped conducting scatterers by trilateral surface cell modeling // Radio Scl. Nov-Dec. 1978. V. 13. - № 6. - P. 947-952.

32. Wang J.H., Papanicolopulos C. Surface patch modeling of scatterers of arbitrary shapes // Antennas Propagat. Soc. Int. Symp. Digest. Univ. Washington, Seattle, WA. June 1979. - P. 159-162.

33. Jeng G., Wexler A. Finite element, boundary integral equation analysis of scattering problems // URSI Symp. on Electromagnetic Wave Theory Stanford Univ. Stanford, С A. June 1977. - P. 179-181.

34. Singh J., Adams A.T. A non rectangular patch model for scattering from surfaces // IEEE Trans. Antennas Propagat.- July 1979. V. AP-27. № 4. -P. 531-535.

35. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН. 1934. № 4. С. 793-800.

36. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне // Вычислительные методы и программирование Электронный ресурс. -2002. Т. 3. - Разд. 1. - С. 14-39. - Режим доступа к журн.: http://num-meth.srcc.msu.ru, свободный.

37. Bern М., Eppstein D. Mesh Generation and Optimal Triangulation // Computing in Euclidean Geometry // World Scientific Publishing Co. -1995.-P. 23-90.

38. Joe B. Construction Of Three-Dimensional Delaunay Triangulations Using Local Transformations // Computer Aided Geometric Design. 1991. -V. 8.-P. 123-142.

39. Owen S.J. A Survey of Unstructured Mesh Generation Technology // Proceedings of 7-th International Meshing Roundtable // Dearborn, MI. -1998.-P. 239-269.

40. Babushka I., Rheinboldt W.C. A-posteriori Error Estimates for Finite Element Method // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1978. - V. 12. - P. 15971615.

41. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и её применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. - 128 с.

42. Гвоздев В.И., Нефедов Е.И. Объемные интегральные схемы СВЧ элементная база аналоговой и цифровой радиоэлектроники. -М.: Наука, 1987.- 112 с.

43. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape // IEEE Transactions on antennas and propagation. May 1982. - V. 30. - № 3. - P. 409-418.

44. Glisson A.W. On the development of numerical techniques for treating arbitrary-shaped surface // Ph.D. dissertation, Univ. Mississippi. 1978.

45. Wilton D.R., Rao S.S.M, Glisson A.W. Electromagnetic scattering by arbitrary surfaces // Rome Air Development Center, Griffiss AFB, NY, Tech. Rep. RADC-TR-79-325. Mar. 1980.

46. Singh J., Adams A.T. A non rectangular patch model for scattering from surfaces // IEEE Trans. Antennas Propagat. July, 1979. - V. AP-27. № 4. -P. 531-535.

47. Glisson A.W., Wilton D.R. Simple and efficient numerical methods for problems of electromagnetic radiation and scattering from surfaces // IEEE Trans. Antennas Propagat. Sept., 1980. - V. AP-28. - № 5. - P. 593-603.

48. Harrington R.F. Field Computation by Moment Methods // New York: Macmillan.- 1968.

49. Zienkiewiez O.C. The Finite Element Method in Engineering Science // New York: McGraw-Hill. 1971.

50. Hammer P.C., Marlowe O.P., Stroud A.H. Numerical integration over simplexes and cones // Math., Tables Aids Сотр. 1956. - V. 10. - P. 130— 137.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1984. - С. 77-80.

52. Eng-Kee Chus, Xing-Chang Wei. Closed-Form Evaluation of the Integration of Green's Function for Method of Moments // IEEE Trans. Inst, of High Performance Comput May, 2008. - V. 8. - P. 942-945.

53. Hall A.R. Generalized method of moments // Oxford University Press. -2005.

54. Petrson A.F., Ray S.L., Mittra R. Computational methods for electromagnetics // IEEE Press. 1998.

55. Mahadevan K., Auda H.A. Electromagnetic field of a rectangular patch of uniform and linear distributions of current // IEEE Trans. Antennas Propag. -Dec., 1989.-V. 37.-№ 12.-P. 1503-1509.

56. Alatan L., Aksum M.I., Mahadevan K., Birand M.T. Analytical evaluation of the MoM matrix elements // IEEE Trans. Microw. Theory & Techn. -Apr., 1996.-V. 44. №4-P. 519-525.

57. Chua E.K., See K.Y., Liu Z.N. Accurate and eficient computation of MoM matrix involving 2D triangular basis function with line matching // Int. Jornal of Computational Methods. Sep., 2006. - V. 3. - № 3. - P. 355370.

58. Waldovgen J. The Newtonian potential of a homogenous cube // Jornal of Appl. Math. Phys. Sep., 1976. -V. 27. - P. 867-871.

59. See K.Y., Freeman T.V. Rigorous approach to modeling electromagnetic radiation from finite-size printed circuit structures // IEE Proc. Microw. Antennas Propag. Feb. 1999. - V. 146. № 1. - P. 29-34.

60. Костарев И.С, Куксенко С.П. Повышение скорости решения системы алгебраических уравнений итерационными методами // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых «Научная сессия ТУСУР-2005». 2005.-Ч. 1.С. 112-115.

61. Костарев И.С. Решения системы алгебраических уравнений итерационными методами // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2005». Томск, 2005.-Ч. 1.С. 109-112.

62. Костарев И.С, Куксенко С.П., Газизов Т.Р. Повышение эффективности решения системы алгебраических уравнений итерационными методами // Вест. Том. гос. пед. уни-та.: Серия Естественные и точные науки. 2005. Спецвыпуск № 7, С. 150-155.

63. Rinke J. Wijngaarden. Fast determination of 2D current patterns in flat conductors from measurement of their magnetic field // Physica 295. 1998. -P. 177-185.

64. Olshevsky V., Shokrollahi A. A Superfast Algorithm for Confluent Rational Tangential Interpolation Problem via Matrix-vector Multiplication for Confluent Cauchy-like Matrices // Contemporary Mathematics series. -2001.-V. 280.-P. 32-46.

65. Cui T.J., Chew W.C. Fast Algorithm for Electromagnetic Scattering by Buried Conducting Plates of Large Size // IEEE Trans, on Antennas and Propagat. June, 1999. - V. 47. - № 6. - P. 1116-1118.

66. Fang S., Torres-Verdin C., Guo-zhong G. A New Approximation for 3D Electromagnetic Scattering in the Presence of Anisotropic Conductive Media // 3DEMIII Workshop. Februaiy, 2003.

67. Greengard L., Rokhlin V. A Fast Algorithm for Particle Simulations // Journal of Computational Physics 135. 1997. - P. 280-292.

68. Coifman R., Rokhlin V. The Fast Multipole Method for Electromagnetic Scatering Calculations // IEEE Trans, on Antennas and Propagat.- Januare 1993,-№4.-P. 48-51.

69. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems // PWS Publishing Company 1996.

70. Cai-Cheng Lu, Chew W.C. Multilevel Fast Multipole Algorithm for Electromagnetic Scattering by Large Complex Objects // IEEE Trans, on Antennas and Propagat. Oct. 1997. - V. 45. - № 10. - P. 1488-1493.

71. Labreutche C. A Convergence theorem for the multipole method for 2 dimesional scattering problems // Matemating of Computation. April 1998. - V. 67. - №> 222. - P. 553-591.

72. Гольденберг JI.M. Цифровая обработка сигналов. M.: Связь, 1987. -221 с.

73. Чириков Р.Е., Костарев И.С. Алгоритм быстрого метода многополюсника // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР». Ч. 1. Томск, 2006.-С. 60-63.

74. Anderson C.R. An implementation of the fast multipole method without multipoles // SIAM J. Sci. Stat. Comput.- Apr. 1992. V. 13. - № 4. -P. 923-947.

75. Чириков Р. Е., Костарев И.С. Обзор программ электродинамического моделирования // Материалы Всерос. науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученыхв «Научная сессия ТУСУР-2007». Томск, 2007.-Ч. 1.С. 48-50.

76. Разевиг В.Д., Потапов Ю.В., Курушин А.А. Проектирование СВЧ устройств с помощью Microwave Office. М.: Солно-Пресс, 2003. -200 с.

77. Сайт компании Agilent Technologies, описание программы Agilent Technologies Электронный ресурс. http://www.agilent.com.

78. Сайт компании Ansoft, описание программы Ansys Электронный ресурс. http://www.ansoft.com.

79. EMSS ЕМ Software & Systems Ltd, FEKO Suite 5.3 user manual - Jan 2006.

80. Марков Г.Т., Васильев E.H. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Сов. радио, 1970. - 117 с.

81. Численные методы теории дифракции. Сб. статей. М.: Мир, 1982. -200 с.

82. Vrancken М., Vandenbosch G.A.E. Hybrid dyadic-mixed-potential and combined spectral-space domain integral-equation analysis of quasi-3D structures in stratified media // IEEE Trans Microwave Theory Tech. 2003. -V. 51.-P. 216-225.

83. Сайт компании Computer Simulation Technology, описание программы CST Электронный ресурс. http://www.cst.com.

84. Сайт компании QuickWave, описание программы QuickWave Электронный ресурс., http://www.qwed.com.pl.

85. CST GmbH Computer Simulation Technology, CST Microwave Studio 2006 // user manual. - 2006.

86. Банков С.Е., Курушин A.A., Разевиг В.Д. Анализ и оптимизация трехмерных СВЧ структур с помощью HFSS. М.: Солон-Пресс, 2005. - 224 с.

87. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. Ansys в руках инженера // Практическое пособие. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 272 с.

88. Костарев И.С. Электромагнитное рассеяние поверхностями произвольной формы // Тез. докл. науч.-техн. конф. молодых специалистов «Электронные и электромеханические системы и устройства». Томск, 2008. -С. 171-174.

89. Костарев И.С. Модели рассеяния в задачах анализа электромагнитной совместимости. // Матер, науч.-техн. конф. молодых специалистов. Железногорск, 2008. С. 4(М1.

90. Самарский A.A., Гулин А.В.Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

91. Куксенко С.П. Газизов Т.Р. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений с плотной матрицей. Томск, 2007.-206 с.

92. Казанцев Ю.М., Костарев И.С., Лекарев А.Ф. Проектный анализ электромагнитной совместимости регулирующей аппаратуры автономных систем электропитания // Изв. Том. политехи, ун-та. 2010. Т. 317. №4. С. 124-128.

93. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1971.-354 с.

94. Пат. № 2339993 РФ. Способ управления обратимым импульсным преобразователем постоянного напряжения со стабилизацией предельного тока/ Ю.М. Казанцев, К.Г. Гордеев, А.Ф. Лекарев, И.С. Костарев // Открытия. Изобретения. 2008. № 33.

95. Раушенбах Г. Справочник по проектированию солнечных батарей М.: Электроатомиздат, 1983. - 355 с.

96. Конструирование радиоэлектронной и электронно-вычислительной аппаратуры с учетом электромагнитной совместимости / А.Д. Князев, Л.Н. Кечиев, Б.В. Петров. М.: Радио и связь, 1989. - С. 39-50.

97. Шкоркин В.В. Обеспечение электромагнитной совместимости бортовых источников вторичного электропитания подавлением сетевых импульсных помех и рациональной компоновкой силовых элементов: автореф. дис. . к.т.н. Томск, 2010.- 129 с.