автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Задачи типа пересечений уровня случайным процессом и их приложение в авиации при исследовании проблем безопасности посадки

Г* г о

Г'\ о

СД

. . - Российская академия наук Вычислительный центр

На правах рукописи

СЕМАКОВ СЕРГЕЙ ЛЬВОВИЧ

УДК 519.216:51-74:629.7.077

ЗАДАЧИ ТИПА ПЕРЕСЕЧЕНИЙ УРОВНЯ СЛУЧАЙНЫМ ПРОЦЕССОМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ В АВИАЦИИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ПРОБЛЕМ БЕЗОПАСНОСТИ ПОСАДКИ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные метода и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1995

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете гразданской авиации

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Г.А.Агасандян

доктор физико-математических наук, профессор В.В.Калашников

доктор технических наук, профессор А.А.Натан

Ведущая организация:

Центральный аэрогидродинамический институт

Защита диссертации состоится " 18 " Л-Н^Вчх^^л^, 1996_ г. в )3 ч. на заседании диссертационного совета Д002.32.05 при Вычислительном центре РАН по адресу: 117967, Москва, ул. Вавилова, 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИ РАН. Автореферат разослан " " 199_5* г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д00.32.05 кандидат физико-математических наук ЬхЪа В.А.Еушенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи типа пересечений - сравнительно недавно оформившийся раздел теории случайных процессов, во многом обязанный своим возникновением и развитием насущным потребностям решения практических задач, возникающих в различных при-, кладных областях. Рассмотрим реализацию случайного процесса у (г) непрерывного аргумента х и зафиксируем произвольное число и. Предполагая реализацию у(х) непрернвной, взаимное расположение какого-либо ее участка и уровня и можно охарактеризовать с помощью следующих параметров: х* - момент первого достижения уровня и, реализацией у{х). Л* - число пересечений уровня и реализацией ц{х) снизу вверх, Л~ - число пересечений сверху вниз, х* - интервал между двумя последовательными пересечениями уровня и снизу вверх и сверху вниз, - интервал мезду пересечениями сверху вниз и снизу вверх, п - число локальных максимумов, превышающих уровень и, И - высота локального максимума, превышающего уровень и. Этот перечень в случае необходимости можно и расширить, вводя, например, подобные параметры, связан- ' ные с локальными минимумами реализации. Если рассматривается многомерный процесс у(г)={у1(£),...,у (я)}, то речь может идти о пересечениях и достижениях границы некоторой заданной области в йп. Параметры 1х, и тГ в пределах одной реализации могут принимать более одного значения и вместе с параметрами х*, Л'+, /Г, т изменяются случайным образом от одной реализации к другой. Статистические характеристики этих случайных величин и вероятности связанных с ними событий и являются предметом изучения рассматриваемого раздела теории случайных процессов. После математической формализации к решению таких задач сводятся проблемы, возникащие, например, в радиофизике, радиотехнике, авиации, биологии, медицине, в теории информационно-измерительных систем, теории массового обслуживания, теории надежности, теории управления запасами, при расчетах показателей безопасности машин и конструкций, прочности материалов, максимальных нагрузок в электросетях промышленных предприятий, при изучении морских волн и качки судов, при статистическом исследовании наводнений и засух, в задачах оценки неровностей шероховатых поверхностей.

Решения прикладных проблем, сводящихся к задачам типа пересечений, основаны на фундаментальных математических результатах- Первым систематическое изучение задач типа пересечений начал Райе (Rice s.o.). Эвристическими методами в 40-ых годах он получил ряд важных для приложений результатов, в частности, формулу для среднего числа пересечений фиксированного уровня. На выявление наиболее слабых условий справедливости этих результатов и математически безупречные формулировки и доказательства соответствующих утвервдений и их дальнейших обобщений и применений потребовались десятилетия и усилия многих известных математиков, занимающихся исследованием свойств выборочных функций случайных процессов. За последние несколько десятков лет глубокие результаты, связанные с решением задач типа пересечений, получены Крамером (СгашегН.), Лидбеттером (Leaübet-ter M.R.5, Слепяном (Sleplan D), Ю.К.Беляевым, В.П. Носко, В.И. Питербаргом, Берманом (Berman S.U.), Линдгреном (Lindaren G.), Маркусом (Marcus М.В.), Р.Н. Мирошиным и др. Много обзорных работ прикладного характера написано В.И. Тихоновым.

Одной из практически важных, но не решенных задач рассматриваемого раздела теории случайных процессов является задача об определении (или хотя бы оценке) функции распределения момента первого выхода многомерного случайного процесса на выделенную часть границы заданной области в Яп. Такие задачи при различных конфигурациях, области возникают в тех случаях, когда функционирование исследуемой стохастической системы соответствует положению изображающей ее точки в заданной области G фазового пространства системы, причем последствия выхода точки за пределы G могут быть различны в зависимости от того, через какую часть 0,0 ее границы QG произойдет этот выход. Часто встречающимся в приложениях и потому важным является случай, когда область G является полупространством ta: Zj>u.) - множеством точек z€ñn, у которых значение координаты Zj больше и. В этом случае задача заключается в определении вероятности того, что первое достижение уровня и компонентом VjW процесса у{х) произойдет на заданном промежутке (х',х") и в момент этого достйжения окажется выполненным условие (у1.....где D - задан-

ное подмножество в Я'1-1, что соответствует выходу процесса у{х) за пределы С через часть (г1,+ 1,...,

2п)€Ш ее границы ас?=(г: В частности, эта задача акту-

альна в авиации, поскольку она неизбекно возникает при изучении многих вопросов, касающихся безопасности посадки летательных аппаратов. Для диффузионных марковских процессов данная проблема, как показал Л.С. Понтрягин, может быть сведена к решению смешанной задачи для уравнения в частных производных. Для нр-марковских процессов эта и близкие к ней задачи рассматривались только в одномерной постановке и линь для стационарных нормальных процессов с ковариационными функциями частного вида. В диссертации рассматриваемая задача решается для непрерывных процессов у(х) с дифференцируемым компонентом а затем некоторые из полученных результатов применяются к исследованию проблем обеспечения точности и безопасности посадки самолетов.

Цель работы. Исследовать возможные варианты поведения выборочных функций случайного процесса по отношению к пересечениям некоторого фиксированного уровня. Разработать метод, который позволял бы подходить к оценке вероятности событий, связанных с пересечениями и достижениями уровня. Получить двусторонние оценки вероятности события, заключающегося в том, что первое достижение фиксированного уровня компонентом многомерного случайного процесса происходит на заданном промежутке изменения независимой переменной и в момент этого достижения оказываются выполненными заданные ограничения на другие компоненты процесса.

Применить полученные результаты в задачах авиации при исследовании проблем точности и безопасности посадки: на основе найденных оценок предложить метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата и реализовать его на примере самолетов; использовать найденные оценки для изучения влияния управления тягой двигателя самолета на точность и безопасность приземления и при построении оптимальной стратегии посадки.

Научная новизна работы. Предложена схема, позволящая подходить к оценке вероятности событий, связанных с пересечениями и

достижениями уровня случайным процессом. Действуя по этой схеме, нукно 1) с помощью прямого перебора рассмотреть возможные варианты поведения выборочных функций случайного процесса по отношению к пересечениям заданного фиксированного уровня,

2) по критерию числа пересечений снизу вверх и сверху вниз найти удобное разбиение множества выборочных функций на пучки,

3) вводя вероятности таких пучков, попытаться выразить через них вероятности интересующих событий, 4) сами же вероятности пучков и их комбинации оценить с помощью среднего числа пересечений и плотности совместного распределения значений процесса в фиксированных точках.

При исследований сначала одномерного случайного процесса по этой схеме получены оценки вероятности события, заключающегося в том, что первое достижение фиксированного уровня происходит на заданном ьромблугке изменения независимой переменной. После этого предлагаемая схема распространена на многомерный случай, и найдены оценки вероятности события, заключающегося в том, чгс первое достижение фиксированного уровня компонентом многомерного случайного процесса происходит на заданном промежутке изменения независимой переменной и в момент этого достижения оказываются выполненными заданные ограничения на другие компоненты процесса.

В ходе реализации описанной схемы для широкого класса непрерывных процессов получены достаточные условия равенства нулю пределов типа

П г 00 ->

lim s РкУЛЛ-1'Vb

(.<=1..... n J

где х'^хп<х.с...<г,<...сг .er =х" - разбиение заданного отрез-

vj • 1 t Л**) Tt

ка [x' ,x" ] промежуточными точками хл ,г2,... ,х{,... , а событие ¿Zk{xl_^,xl) означает, что случайный процесс у{х) пересек заданный уровень на промежутке (x(_1",art) ровно 2й раз; для стационарных гауссовсних процессов найдены требования к ковариационной функции, при соблюдении которых эти достаточные условия выполняются. Проведено исследование некоторых условных вероятностей горизонтального окна - пределов

Ilm 7{D(r,x+5)|C(r,i+ö)>,

где С Cr,2+5) - событие, заключающееся в том, что на промежутке Сг.ан-б) произошло пересечение заданного уровня J-ьш компонентом многомерного процесса, а D(x,,г+6) - событие, заключающееся в том, что имело место событие С(х,х+д) и в момент пересечения заданного уровня указанным компонентом на промежутке (х,х+б) остальные компоненты процесса оказались в заданных границах.

На основе некоторых из полученных результатов предложен и реализован на примере самолетов метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата. G использованием этого метода предложено решение двух актуальных проблем обеспечения безопасности посадки, в процессе исследования которых неизбежно возникает задача расчета вероятности успешного приземления:

- из условия соблюдения требований, налагаемых на вероятность успешного приземления и - в случае вынувденного ухода на второй круг с касанием палубы - максимальную просадку траектории самолета после схода с палубы, предложена и проиллюстрирована на примере схема выбора диапазона допустимых моментов увеличения тяги двигателя при посадке самолетя на корабль;

- по принципу максимизации ожидаемой полезности последовательности развития события для дерева решений, соответствующего процессу посадки самолета (на корабль или сушу) и предусматривающего возможность максимум двух уходов на второй круг, предложен алгоритм построения оптимальной стратегии посадки, предписывающий в зависимости от конкретной обстановки принятие одного из двух возможных решений: либо решения о продолжении захода на посадку с последующей попыткой приземления, либо решения об уходе на второй круг.

Практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение при исследовании динамики стохастических систем, описывающих поведение реальных объектов. В частности, предложенный метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппарата может быть использован для оценки качества и выбора наилучшего по вероятности закона управления самолетом

- б -

при посадке. Такие расчеты были проведены и показали высокую эффективность предложенного метода.

Вывода, полученные при изучении управления тягой двигателя самолета при посадке и при построении стратегии посадки, могут быть использованы при выработке практических рекомендаций по управлению и принятию решений.

Основанная на полученных результатах и описанная в работе схема апостериорной оценки безопасности посадки гражданских самолетов по записи системы регистрации параметров полета включена в план научно-исследовательских работ МГТУГА и начата её реализация.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались на IX (1984) и X (1985) научных конференциях МФТИ, ЦАГИ (1985), ВЦ АН СССР (1988), всесоюзной (1992) и международной (1994) конференциях МГТУГА, на научных семинарах на кафедрах динамики полета и управления (1985) и математических основ управления (1988) МФТИ, в МГУ (198Т), ИЛИ АН СССР (1988), МАИ (1988), КАИ (1990), МИ АН СССР (1992), МГТУГА (1993). По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из восьми глав, сводки основных результатов, заключения и списка литературы из 93 наименований. Условно ее можно разделить на две части. Первая часть включает главы 1, 2, 3, 4 и содержит результаты математического характера. Вторая часть состоит из глав 5, 6, 7, 8 и показывает возможности применения некоторых результатов, полученных в первой части, к исследованию проблем обеспечения точности и безопасности посадки самолетов. Объем работы - 286 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава, включающая §§ 1.1-1.3, носит вводный характер. В § 1.1 кратко охарактеризованы предает и структура исследования. В § 1.2 обозначен круг вопросов, относящихся к рассматри-

ваемому разделу теории случайных процессов, и перечислен ряд примеров из областей приложений, приводящих к задачам типа пересечений уровня случайным процессом. В § 1.3 дан обзор наиболее известных и важных для приложений фундаментальных результатов, касающихся среднего числа пересечений фиксированного уровня случайным процессом, характеристик экстремальных значений случайного процесса и распределения промежутков длительности пребывания случайного процесса выше фиксированного уровня. При этом сначала приводится существо результата, которое может быть получено нестрогими методами, не предполагающими аккуратного выявления всех условий его справедливости, а затем формулируется соответствующее точное и математически строго доказуемое утверждение .

Во второй главе (§§ 2.1-2.3) ставится задача, решаемая в диссертации и связанная с определением функции распределения момента первого выхода многомерного случайного процесса на выделенную часть границы заданной области. Приводятся известное решение этой задачи для диффузионных марковских процессов и известные оценочные решения близких по постановке задач для частных случаев немарковских одномерных стационарных нормальных процессов.

В § 2.1 задача формулируется на качественном уровне. Показано, что к ней сводится проблема оценки точности приземления летательного аппарата.

В § 2.2 приводится обобщение задачи, сформулированной в § 2.1, и - для диффузионных марковских процессов - ее известное сведение к решению смешанной задачи для уравнения в частных производных. Пусть в п-мерном евклидовом пространстве Яп движется точка Миг), перемещение которой описывается случайным процессом у(х)={у1{х),...,у (я)). Независимой переменной х является любая непрерывно и монотонно меняющаяся переменная, например, время или один из компонентов процесса у (я), удовлетворяющий указанному условию. В начальный момент точка находилась в положении М(г0)=г=(21,...,г ). Пусть известно, что геО, где О - заданная область в Яп. Обозначим через 9(7 границу области б,

а через д^й - какую-либо часть границы <ЭС. Требуется определить вероятность ,х",г) того, что точка И первый раз выйдет на границу области С в какой-либо момент х" из промежутка (х',х") и этот выход произойдет на часть 5 £? границы ЭС.

Выписывается краевая задача для определения функции ф(я,2)= =ф(х0,х,ъ) в случае диффузионных марковских процессов. Приводится серия примеров, касающихся одномерного случая, когда удается получить точное аналитическое решение для ф(я,а). Приведем один из этих примеров. Пусть уЦ) - диффузионный марковский процесс, определяемый уравнением йу=ёсИ+аг&цЦ), где б, о2 -постоянные, t - время, г](1) - винеровский процесс, для которого Мт)(1)=о, Шт)(£ ]2=| t,-tг!, М - знак математического ожи-

дания. К процессу у(1), допускающему такое представление, могут быть сведены некоторые процессы, встречающиеся в приложениях, например, процесс изменения численности изолированной биологической популяции. Вероятность фи,г) того, что случайный процесс у(И к моменту t выйдет из интервала (у1,у2) при условии у(0)=2, у1<2<у2, дается решением краевой задачи

бф _бф 1 _бгф

д1 дг * вгг 12

Ф(г,У1)=Ф(1,у2)=1, ф(0,2)=0, у,<2<у2.

Это решение выписывается аналитически:

г

- ^(2-у. )г- -У,

о 1 го2 ;

фа,2)=1- ы(?,г-у 1) -ехр где функция ии,и) определяется по формуле

Г5 ^-ИДжрШ/а2}] , _ -) ^

в которой через 7 обозначена разность у2-у1■

В § 2.3 формулируется точная математическая постановка задачи, решаемой в диссертации. Пусть у(х)=(у1 уп(х)} - п-мерный действительный случайный процесс, и - дейст-

вительное число. Будем рассматривать процессы у(х) двух типов:

а) процессы, определенные на отрезке txQ,x"], х >-<в, х"<«>, для которых

?{у^х0)>и}=1; (1)

б) процессы, определенные на полуинтервале (;r0,x"l, х^-™, х"<со, для которых

Ilm ?ly Лх)>и}=). (2)

о

Пусть произвольно заданы: х'е (г0 „z"), D - подмножество (п-1)-мерного евклидова пространства Лп~1. Определим событие

("существует х*€(х' ,х") такое, что для любого х<х* у^{т)>и, уj(х*)=и, (у1(х*),...,(г*),у/+1(х-).....yn(x*))eD

При D=i?n_1 (что соответствует одномерной задаче) для обозначения события Zß будем использовать также символ Z. Требуется определить условную вероятность ?lZv\n события ZD при условии, что произошло событие Г=1уj (xQ) >ti), если рассматриваются процессы типа а); Г={существует £00>х0 такое, что для любого хе €(х0,т00) уj(x)>u), если рассматриваются процессы типа б). Физический смысл условий типа (1), (2) состоит в тем, что в начальный момент система, описываемая процессом у(х), находится в известной области фазового пространства. В данном случае эта область определяется неравенством

Для немарковских процессов поставленная задача не решена даже в одномерном случае. Известно лишь несколько асимптотических решений некоторых задач, близких по постановке к рассматриваемой в одномерном случае и связанных с определением вероятности невыхода одномерного случайного процесса за пределы заданной границы. Причем все результаты относятся к стационарным нормальным процессам с ковариационными функциями частного вида. В заключительной части § 2.3 приводятся два наиболее известных из этих результатов, принадлежащих Еерману и Р.Н. Мирошину.

В третьей главе (§§ 3.1-3.5) оценивается вероятность ViZ\D. В § 3.1 показано, что Р{гл|Г>=Р{2с>, в частности, РСг|Г)=РШ,

т. е. вместо оценок условной вероятности можно заниматься оценками соответствующей безусловной вероятности.

В § 3.2 подучены верхняя и неубывающая последовательность нижних оценок вероятности РШ. Введем необходимые определения.

Определение 1. <? (я^ ,хг) - множество непрерывных на промежутке от ^ до х2 скалярных функций, которые не совпадают тождественно с постоянной и ни в одном из интервалов этого промежутка. Под промежутком от хл до хг может пониматься любой из [х1,хг1, 1х^,хг), Ц.д^).

Определение 2. Функция й(х)Ф ,хг) в точке € ,хг) имеет пересечение уровня и, если для любого е>0 существуют х' е(х*-а,х*+а) и х"£(х*-е,х*+£) такие, что (Л(х')-и)' • Щх" )-и)<0.

Определение 3. Функция ,хг) в точке х*€

€(х1 ,хг) имеет выход за уровень и, если существует е>0 такое, что Ых)^и для любого хе (х*-е,х*), П{х)^и для любого

Опр-е деление 4. Функция 1х{х)&и(х^,хг) в точке €(х^,хг) имеет вход под уровень и, если существует е>0 такое, что для любого хе(х*-е,х*), 1г(х)$и для любого хе

с (х* ,х*+е).

Определение 5. Функция П(х)€Си(х1 ,х2) в точке

имеет касание уровня и, если П(х*)=и и существует е>0 такое, что 7г(х)-и не меняет знака в интервале (х*~е,х*+е).

Ниже, говоря о пересечениях, входах и выходах, будем подразумевать пересечения уровня и процессом Уj{x), входа под уровень и и выходы за уровень и процесса у^(г). Обозначим через Ща^,г2), и~(х^,х2) и К*(х^ ,хг) средние числа, соответственно, пересечений, входов и выходов на промежутке (х1,хг).

Теорема 3.1. Пусть 1) с вероятностью 1 выборочные функции УJ^x) принадлежат множеству 011(хо,х") и не имеют касаний уровня и на промежутке (х0,х"), Н(х0,х" )<«>•, 2) {х' )=и)= =0; 3) выполнено условие (1), если переменная х изменяется на отрезке 1х0,х"), х0>-а>, х"<а>, или выполнено условие (2), если х изменяется на полуинтервале (х0,х"], х0>-а>, х"«*>. Тогда

Г(гМ')-/(г0,1')+ру1^(10,1')] ^ РШ < !Г(х',х"). (3)

Доказательство

зовании событий А (х0,х), п-\,2,

основано на введении и исполь-, где А~^(х0,х) - событие, состоящее в том, что на промежутке (х ,х) произошло ровно т пе-

У3(х)

и -

ресечений уровня и процессом \jjix), причем первое пересечение было входом. Например, на рис. 1 изображена реализация 2^(2"), приводящая к

событию

Ал{х^,хг). Опуская

Рис.

вероятность ?{к\)^Агк{х0,х"))

в левой части двойного неравенства (3), получаем

простое следствие из теоремы 3.1.

Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.1 для вероятно-ст РС2} справедливы оценки

я~(х' ,х"{х0,х") $ рш а Г(х' ,х"). В теореме 3.1 не указывается способа вычисления вероятности

оо

Р{йу1^гг(х0,х')}. В следующей теореме 3.2 устанавливается неубывающая последовательность конструктивных (т. е. вычисляемых)

со _

нижних оценок вероятности РС^у1,Д2А>>, что позволяет существенно улучшить вычисляемую нижнюю оценку Я~{х' ,х" )-вероятности РШ. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теорем ЗА. Тогда при любом разбиении х0<х^ <.,.<хп_1<х=х" промежутка (х0,х")

таном, что для любого £=1,...,п-1 РСу^)=и}=0, справедливы неравенства

- Г(х0,х")

где

N {х' ,х')-Г1х0,2")+& $ РШ « N {х' ,х"),

А=дц.....

(4)

Причем если к ияехщмся точкам разбиения

1=1,...,п-1, доба-

вить новые точки хЛ, для которых (х^)=и)=0, то величина Д может от этого разве лишь возрасти.

Замечание 3.1. При фиксированном числе п-1 тенек ■разбиения х1,..., , 2, величина ,... ,хп), определяемая формулой (4), не фиксирована: она может меняться в зависимости от расположения точек х ,..., х. Огтижиънъй выбор точек х г,п_1 такой, при котором Л принимает наибольшее значение.

Иначе говоря, оптимальный выбор заданного числа л-1 точек разбиения сводится к отысканию точки максимума функции (п-1)-ой переменной.

После теоремы 3.2 естественно возникает вопрос о существовании и величине предела Ilm А(х1.....z ) при измельчении разбиения промежутка (х ,х"). Ответ на этот вопрос, а также точное выражение для РШ через числа /Г, lf+ и lim A(xt. ,х ) дают результаты, полученные в § 3.3.

Теорема 3.3а. Пуст выполнены условия 1), 2) теоремы. 3.1, переленная х изменяется на множестве ix х0>-ю, х"<оо, и выполнено условий (1). Пусть xQ<x^<...<xl<...<x =x" и

xQ=xQ<x^<...сгг<...<хп=х' - произвольные разбиения отрезков [х0,х"3 и [х0,х']; ~2{yJ{xi)=u)= 0 для любого i=1,2,...,n,

u P(j/^(Xj)=u}=Q для любого 1=1,2.....т. Тогда если

г и® . (5)

Г «о» С* -гг (=1 <- ■>

L<=t.....п J

то существуют пределы

„ .....

Г «аа(х

(.{=1.....п. j

lim A(i1....,ij=Altift№otr'),

Г maxlä -г U = 1, . . . ,m J

u справедливо равенство

РШ=/Г(х' ,x" ,x")+AUra(x0,x")~AIim(x0,x' ).

При жом смысл чисел Al{)a(x ,х*) и Аг{т(х0,х') состоит в том,

что

со со

WW >=P{feyi<WW

Следующая теорема - аналог теоремы 3.3а для процессов типа ö).

Теорема 3.36. Пустъ выполнены условия 1.), 2) теоре-жы 3.1, переменная х изменяется на лыохестве (xQ,x" I, xQ>-oo, х"<m, и выполнено условие (2). Яустгъ ^ €(£0,;г'); х1<тг<...<г{<

<...<хп=х" и. х1=х1<х2<...<хг<.. .<хт=х' - произвольные разбиения отрезков и lxy ,х' ]; ?{.yJ(xi )=u)=0 для любого

i=1,2,...,тг, u HyJ{xl)-u}=0 для любого 1=1т. Если при любом Выборе точки, x1i(xQ,x') выполнено условие

Г «Blif-i,.,)^, L J

.....tl j

то существуют пределы

lim lim h(x.,...,xri)=A1.(xn,x"),

(.1=2.....n J

Ilm Ilm ¿№,.....ij^^.i),

V*o f7 ^V^z-i 0

.....m )

(6)

РШ=/Г(г' ,x")+Llln[x0,x" )-hUn{x0,x' ).

и справедливо равенство P<

При этол

0 < 1u.<Io-1') - ^ л .....V ^х^-

О $ А1Ы(х0,х') - Ilm Ш.,...,хт) $ н+{х0,х^),

Г шав(31-®1_1

(_ i =2.....та J

а числа Ь.11ш(х0,х") и illm(x0,s') идаш топ же смысл, что и в теореме 3.3a, т. е.

Доказательство теорем 3.3а, 3.36 основано на соотношениях, полученных в процессе доказательств теорем 3.1 и 3.2, и использовании условий (5) и (6).

Достаточные условия справедливости предположений вида (5), (б) дает теорема 3.4.

Теорема 3.4. Пусть с верстностью 1 выборочные функции у ,{х) непрерывны на отрезке lx^x-^1 и принадлежат тожеству гТ1). Пусть TUjj (j)=u}=0 для любой точки xi[Xj.,Xjj] за исключением, бить может, конечного числа почек. Пусть cyvißm&y-ет постоянная С>0 такая, что для любого достаточно мелкого разбиения xj-x^:x2<...<xi<...<xn_^<xn=x11 выполняется неравенство

< + 1=1,..., П-1,

где функция г(т) удовлетворяет условию

п-1 СО -X ,-Х.л

Ilm 2 2 = о.

f, r»<*t+i:VUo <=1 m=0 2

t = 1.....J

Тогда

n-1 CO

f llffl =0. (8) [i=T?f.X{.küX{

Доказательство основано на неравенстве

00 со гт

Р{ Mi <*»•*.+i>} < 2 ЕПВ (х^х^)},

т=0 ä=I

где события Вп определяются следующим образом:

Вш, *'»1 >) >U}n

fe=1,2.....2m, m=0,1,2.....

(7)

Замечание 3.2. Условие (7) выполняется, если е(х)= =х1+а, а>0.

Доказательство проводится непосредственной проверкой.

В § 3.4 результаты, полученные в §§ 3.2 и 3.3, применяются к гауссовским случайным процессам. В частности, следующая теорема 3.5 в предположении нормальности и стационарности процесса t^(x)=y} (x)-Tty (х) устанавливает условия, которые нужно наложить на Ми С(х), чтобы можно было использовать теорему 3.4 й утверждать выполнения равенств типа (8), в частности, (5) и (6).

Теорема 3.5. Пусть у {х)=т{х)+£{х), где т(х)=Щ^х) -жтзжтическое ожидание процесса у^{х), £(х) - стационарный га-уссовский процесс с дисперсией ог=М£г(х) и ковариационной функцией г(х)=Ш£(,тК (аг+-х)}/а2. Пусть I - конечный промежуток из области определения процесса у(х), и пусть существуют постоянные го>0, А>0, а>0, В>0, (3>0 такие, что

1) г(т) дважды дифференцирует на отрезке С0,хо], г'(0)=0, г*(0)<0,

|г"(т1)-г'<х2)|:£А|т1-хг|а Vx1fx2: а1,хг€(0,хо);

2) т(х) непрерывна на I, дифференцируем в любой внутренней точке промежутка I,

\ш' (^ ) - т' KBI^-^l ^ Vr1fa?2: l^-x, |<xQ.

Тогда существуют, положительные консжтпы х*. С, 7 такие, что Vx€(0,x*) и Чхе1 (такого, что x+iel) имеет люсто неравенство

Р{ (у (х)>и)П(у^ (37+х )<и)П [уj (х+2х)>и)}$Ст1+1г.

Доказательство основано на непосредственном вычислении вероятности Р((у (я)>и)П(у^(г^О<и)П(у^иг+2х)>и)}.

В § 3.5 с кратки}® комментариями приводится сводка основных результатов, полученных в главе 3.

В четвертой главе (§§ 4.1-4.5) изучаются некоторые условные вероятности горизонтального окна и получены оценки вероятности P{ZD} при DcRn~\ D/Rn~1. Обозначим через fix.bx) условную вероятность того, что в момент (первого) входа компонента уЛх)

под уровень и на промежутке 1х,х±Кх) было выполнено ограничение

(У,. .....ПР11 Условии, что упомянутый вход

произошел; через g(x,Дx) - условную вероятность (при том же условии) того, что до момента (первого) входа компонента у^ (х) под уровень и на промежутке [х,х+Ах) этот компонент уже пересек уровень и какое-либо четное число раз; через Н(х1,хг ) - вероятность того, что первый вход компонента (г) под уровень и произошел на промежутке [х:,хг), х2>х1. В § 4.1 доказан следующий результат.

Теорема 4.1. Пуст ь выполнены условия теоремы 3.1, т. е. 1) с верожностъю 1 выборочные функции у3(х) принадлежат множеству ) и не имеют тсаний уровня и на промежутке

и0,£"), И(х0,х")<оо\ 2) (£')=и)=0; 3) выполнено условие (1), если переменная х изменяется на отрезке 1х0,х" ], х0>-оо, х"«х>, или выполнено условие (2), если х изменяется на полуинтервале {х ,х"], х0>-со, х'«».. Тогда для любого п=1,2,... справедливы неравенства

Ах ={х"-х' )/п, х ъ=х' -И&-1 )Ьх . Если при каком-либо k

Л 1ЬЛ R

¿(хпк,Ах^)=1, то состветствущие слагаемые сумм равны нулю.

В § 4.2 устанавливаются некоторые свойства функций /(х,&х) и g(x,hx). Представим f(x,Lx) в виде f(x,la)=f1(x,Ьл)/^1г{х,Ьх), где fjix,Ах) - вероятность того, что на промежутке ix,x+Lx) произошел вход компонента Uj(x) под уровень и и в момент (первого) такого входа (у1..........2/nHD; fn(x,hx) - вероятность того, что компонент У3(х) имел хотя бы один вход под уровень и на промежутке 1х,х+Ьх).

Лемма 4.1. Пусть Vxtlz' ,x"+tx.1 lim fTT(x,Ax)=0, и

Ьх+О

пусть ixtlx',х~1 и ЧЬхе(.0,Ьхо] f^Uv,Lx)>0, где bxQ>0. Тогда функции f(x,hx) и g(x,Lx) непрерывны по совокупности переменных в области xelx' ,х"], Ахе(0,Ахо].

1-Я«HZ-Ш,

п П V п

где

. у ^.LX^h^.X^bXj

п

П 1"в<*шА>

VI

Предположим, что Vre [я', г"] существуют пределы

11л fix,Ах) = F(x), Ilm g(x,Ax) = G(x). (9)

(я,Ла:)»(х,0) (x, Ах )*■( x ,0)

Определим функции fix,Ax), g(x,Ax) Vxttx' ,x" ] и VAX€[0,AXQ] по формулам

fg(x,Ax), teO;

f(x,Ax)=

'f(_x,Ax),

g(x,Ax)=

G(r), Ax=0.

Лемма 4.2. Пусть выполнены, условия леммы 4.1 и существуют пределы (9). Тогда VA3:eIO,Ar0] существен точные верхние грани

s.(Ax) = sup \}(x,Ax)-F(x)|, £ (АХ) = sup

причем

lim BAhx) = Ilm s (Дг) = 0. йж*о Г &х*ю е

В § 4.3 из теоремы 4.1 с использованием лемм 4.1 и 4.2 предельным переходом при я*® устанавливается теорема 4.2.

Теорема 4.2. Пусть 1) существует Ах0>0 такое, что

sup g(x,Ax) < 1;

аг£ [я' , х" ] Ах(. (о. äzq]

2) существует непрерывная на отрезке ix' ,х") функция р(х), удовлетворяющая условию х

JpCr)<2i = h(x^,

при любых х1 и хг таких, что х1<х2, x1 ,x2zlx',х" 1; 3) выполнены условия теорем. 4.1 и лемми 4.2. Тогда

х" х"

[ - J < PtV < J

X' X' X'

F(.x)p(x) 1-G(x)

■dx. (10)

где

Из работ Ю.К. Беляева следует, что при дифференцируемом процессе функция 1(х) может быть вычислена по формуле

п~(х) Пх) = -4—, п (х)

О

О -СО

•шг(и1.........."Л-

о

-оо

- плотность совместного распределения значений у}(х) и тх(ил,. ..,uí_J[,\lJ,VJ,u.j^л,...,un) - плотность совмест-

ного распределения значений ул(х),...,у}_у(х),у^х),у^(х), №)»...,УпШ. Что же касается функций р(х) и в^х), то вопрос об их вычислении остается открытым. Однако если мало число №+(х0,х*), то нестрогие качественные рассуждения, основанные на предыдущих результатах и определении функций р(х) и в(х), позволяют высказать гипотезу, что

х" х" х"

X' X' X'

где погрешность при каждом переходе не превосходит числа Ку(х0,х"). Эта гипотеза и теорема 4.2 позволяют, в свою очередь, высказать предположение, что вероятность Р{2Д> можно аппроксимировать вычисляемым интегралом х" х"

= |гг~(д:)<1г = ,х") X' X'

с погрешностью, не превосходящей числа И*(х0,х").

В § 4.4 показано, что это предположение соответствует действительности.

Теорема 4.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.1, т. е. 1) с вероятностью 1 выборочные функции у, (х) принадлежат тожеству О^(х0,х") и не имеют касаний уровня и на промежутке (х0,х"), Я(х0,сс" )<со; 2) ?{yJ(x' )=и)=0; 3) выполнено условие (1), если пэреленная х изменяется на отрезке х0>-<о,

х"<а>, или выполнено условие (2), если х изменяется на полуинтервале (х0,х"], х" <оо. Тогда

Щх' ,х")-В+(.х0,х") < Р{ЯВ> ,х"). (11)

Теорема 4.4 улучшает нижнюю оценку вероятности давае-

мув теоремой 4.3.

Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы, 4.3. Тогда при .иобом разбиении промежутка (х0,х") - х0<х^<.. .<х <х =х" - таком, что 41=1,...,л-1 Р(у.(х.)=и)=0, справедливы

тъ з 1

неравенства

Я~{х' ,х" (х0,х")+Ь £ « /Г^(х'.зГ). (12)

где

Причем если к илехщился точном разбиения х{, (=1,... ,п-1, добавить новые точки для которых Р{у (¿,ь)=ц>=0, то величина Д может от этого разве лижь возраст.

Достаточные условия выполнения предположения 1) теоремы 3.1 и справедливости известных формул для вычисления средних Я* и ДГ хорошо изучены и подробно изложены в работах Е.В. Булинской, Ю.К. Беляева, Крамера, Лидбеттера и др. (эти фундаментальные результаты приводятся в § 1.3 вводной главы 1).

В § 4.5 обсуждается эффективность полученных оценок и рассматриваются численные примеры. Согласно результату (11) разность между числом ¡(^(х'.х"), которое может Сыть вычислено, и значением вероятности Р{£0> не превосходит числа Ве-

личина последнего зависит от "склонности" компонента У^(-) совершать выходы за уровень у, т. е. пересекать уровень и снизу вверх. На рис. 2 изображены три типа процесса Сплошная

линия соответствует математическому ожиданию процесса, а пунк-

тирная - его характерной реализации. Поскольку физический смысл числа N+(sc,x") - это среднее число пересечений уровня и снизу вверх на промежутке {xQ,x"), то, глядя на рис. 2, сразу можно сказать, что в случаях а) и 6) N+(xQ,x") по порядку величины сравнимо с единицей. Поэтому в этих случаях пользоваться неравенствами (11) для оценки вероятности Р{ZD> не имеет смысла и необходимо обратиться к неравенствам (12), которые позволяют существенно улучшить (см. ниже) оценку искомой вероятности. Однако если процесс у^Сг) такого типа как на рис. 2,0), то число N+{xq,x") может оказаться достаточно малым и приемлемую оценку для Р{Гд} дадут уже неравенства (11).

Рассмотри« пример. Так как в полученных результатах (11) и (12) разность между верхней и нишей оценками не зависит от конфигурации подмножества D, а основной интерес представляет вопрос именно о степени близости этих оценок, то в примере можно считать для простоты, что D=Rn~1, т. е. заниматься оценками вероятности РШ. Пусть у^(х)=-aJx+a0+C(x), где ^>0, х£(-<в,х"), С(х) - центрированный гауссовский процесс, удовлетворяющий условиям гладкости, при которых справедливы формулы для ^ и Г. Тогда

К (х' ,х" ) $ Р Ш < N {х'.х"),

где й+(-со,^")= Ilm N*~(xq,x"). Пусть для определенности точки х'

и х" расположены симметрично относительно точки пересечения уровня и прямой t/=-а1 , а процесс СШ стационарен. Величины iT{x' ,х") и 1^{-<ю,х") при различных значениях параметров а1/о1 и Ь/а, где Ь=и-(-а1х"+aQ)=~a^x'+aQ-u, о и о1 - среднеквадратичные отклонения процесса С№) и его производной, представлены в таблице. Верхнее число в кавдой ячейке, разделенной пунктирной линией, соответствует значению ,х"), нижнее - значению /Г*"<-оо,ж"). Вероятность РШ заключена в пределах Р.,<РlZ}4Pz, где P^maxiO, 1Г(х' ,х" (-<о,х")}, P2=minC1, N~(x' ,х")).

Как видно, разность Р2-Р1 в значительной степени определяется отношением а1/а1 и уменьшается с его увеличением. Физический смысл отношения Q1/a1 состоит в том, что по нему можно судить, насколько сильно в среднем наклон реализаций процесса уЛх) от-

VI а1 £¡=1.5 -1=2 а1 а. а1

0,953 0,739 0,696 0,685 0,683 0,683 0,683

0,333 0,070 0,016 0,004 6,8-Ю-4 1,0-10~л 1,0.Ю-6

и 1 ,332 1,034 0,973 0,958 0,955 0,955 0,955

0,387 0,081 0,019 0,004 7,8.Ю-* 1,2.10~4 1 ,7-10_б

1,392 1,080 1,017 1 ,001 0,998 0,997 0,997

0,395 0,083 0,020 0,004 8,0.10"д 1 ,з.ю~д 1 ,7 И О-6

личается от наклона его математического ожидания. При малых а1/о1 это отличие велико и характер процесса такой, как, например, на рис. 2,6). При больших а1/о1 - отличие мало и имеем дело с процессом типа изображенного на рис. 2,6). При достаточно больших сц/а, разность Р2-Р1 становится пренебрежимо малой и искомая вероятность определяется с высокой точностью, которая все более улучшается при возрастании параметра а^/о^.

Наконец, покажем что неравенства (12) позволяют существенно улучшить оценку вероятности, даваемую неравенствами (11), причем, как правило, даже в том случае, когда п=2, т. е. когда при вычислении Д берется лишь одна точка х^ разбиения промежутка (х0,х"). Пусть в рассмотренном выше примере ковариационная функция процесса с (я) равна г(а)=ехр{-хг}. Тогда, например, при Ъ/а=0,8, а1/о1=0,5, х1 = (х"-х' )/2 неравенства (11) приводят к оценкам 0,492СР{2К0,804, а неравенства (12) - к оценкам 0,596< <РШ^0.804; при Ь/о=1, 0,/с^И, х:=х' +3(х'-х' )/8 - к оценкам, соответственно, 0,669<РШ$0,739 и 0,693<РШ«£>,739. В первом случае использование неравенств (12) вместо (11) позволило уменьшить верхнюю границу для относительной погрешности с 63,4% до 34,9%, во втором - с 10,5% до 6,6%.

В пятой главе (§§ 5.1-5.7) на основе некоторых результатов предыдущих глав (следствия 3.1 и теоремы 4.3) предложен метод расчета вероятности успешного приземления летательного аппара-

та. В этой же главе метод реализован на примере посадки самолета на корабль.

В § 5.1 дается общая характеристика и постановка задачи. Проблема обеспечения безопасности приземления летательного аппарата (ЛА), в частности, самолета имеет большое практическое значение. При решении этой проблемы возникают две основные трудности. Первая трудность - традиционная и связана с нелинейностью дифференциальных уравнений, описывающих движение ЛА. Однако при исследовании процесса посадки, когда случайные возмущения движению малы, правомерным и общепринятым является путь преодоления этой трудности, состоящий в линеаризации уравнений движения относительно заданной номинальной траектории посадки, по которой двигался бы ЛА при отсутствии случайных возмущений. Вторая трудность никак не связана с первой, является принципиальной, имеет место независимо от того, считается ли процесс посадки описывающимся решением нелинейной системы уравнений .движения или решением линейной системы, полученной в результате линеаризации исходной нелинейной. Эта трудность заключается в том, что при описании случайного процесса посадки не удается выбрать независимую переменную так, чтобы в момент приземления она принимала одно и то же значение для всех реализаций посадки. Это приводит к тому, что даже в том случае, когда при каждом значении независимой переменной (например, времени) известна плотность о совместного распределения компонентов случайного процесса, списывающего движение ЛА при посадке, нельзя ничего сказать о распределении этих компонентов в момент приземления ЛА, ибо момент приземления при разных реализациях процесса соответствует разным значениям независимой переменной.

Будем для определенности в качестве ЛА рассматривать самолет. Пусть его движение при посадке описывается п-мерным случайным процессом у(г)={у1 (¿г),.. .,уп[х)}т, где т - символ транспонирования, х - дальность полета, отсчитываемая с момента рассмотрения процесса посадки от некоторой фиксированной точки х0 посадочной поверхности (или ее продолжения), у1 - высота полета, у - вертикальная скорость. Будем формально считать, что участок пробега самолета по посадочной поверхности отсутствует.

гак что компонент у1 не обращается тождественно в нудь ни на каком интервале изменения независимой переменной х. Процесс у формально рассматривается при у. <0 и определяется в этом случае теми же уравнениями, которые описывают движение самолета на воздушном участке посадочной траектории, т. е. при у^>0. При этом аэродинамические силы, сила тяги, управления и возмущения получаются непрерывным продолжением соответствующих функций с области у^О на область у <О.

Наступление события определенного выше (на стр. 9), в данном конкретном случае, когда процесс у(х) списывает движение самолета, роль компонента у^ играет у1, а число и равно нулю, означает не что иное, как успешное приземление, поскольку физический смысл этого события состоит в том, что начальное касание самолетом посадочной поверхности (т. е. приземление) происходит на заданном участке (г' ,х") и в момент касания х* оказывается выполненным условие (у2(г*),...,у (т*))€Яся'1"1 на фазовые координаты Ук(х) самолета (например, вертикальную скорость, углы тангажа, крена), которое обычно конкретизируется следующим образом:

У^^Сг«)^1, й=2.....п.

где заданные действительные числа, определяющие

диапазон допустимых значений фазовых координат в момент приземления х*. Требуется определить вероятность Р успешного приземления, т. е. вероятность РС^}.

В § 5.2 изложена схема предлагаемого метода оценки Р, основанного на использовании результатов глав 3 и 4. При исследовании процесса движения самолета в качестве независимой переменной удобнее рассматривать не дальность, а время. Поэтому предпочтительнее иметь дело с плотностью распределения р, параметризованной не дальностью х, а временем г. В этом случае оценка Р вероятности Р может быть определена по формуле

Г В

где р,(и,,иг,...,и ) - плотность совместного распределения зна-

чений y1 (t),j/2(t).....¿zn(t); Г и i" - моменты прохождения точек x' и х" при движении самолета, описываемом математическим ожиданием процесса у(t). При этом |Р-Р|, т. е. погрешность оценки, не превосходит числа

f 00

AP=jdiJu2pt(0,u2)c2u2.

Пусть при заходе на посадку система управления самолетом (ручная или автоматическая) в целях обеспечения требуемого уровня безопасности полета стремится отслеживать некоторую заданную номинальную траекторию посадки, формируя управляющие воздействия по принципу обратной связи. Такое движение достаточно точно может быть описано решением линейной системы дифференциальных уравнений

ОУ (t)/dt=A1 (t)y(t)-hAs(t)h(t),

где A^t) и Аг (t) - детерминированные матрицы, h(t) - вектор взаимно независимых случайных функций с дробно-рациональными спектральными плотностями. В этом случае, как известно, плотность pt совместного распределения компонентов вектора у(t) можно считать гауссовской, а для определения моментов использовать корреляционный метод.

В §§ 5.3-5.7 описанная схема реализована при оценке вероятности приземления самолета корабельного базирования на палубу корабля-авианосца. Для иллюстрации метода достаточно ограничиться рассмотрением движения только в вертикальной плоскости. В качестве ограничений на фазовые координаты рассмотрены ограничения на относительные (по отношению к подвижной палубе) вертикальную скорость и угол тангажа -вп самолета,

В § 5.3 выписана система уравнений продольного движения самолета и проведена их линеаризация относительно прямолинейной номинальной траектории посадки. После этого осуществлен переход в систему координат Озу, связанной с кораблем.

В § 5.4 описана модель возмущений, использованная при расче,-тах. Возмущения обусловлены вертикальным и продольным компонентами атмосферной турбулентности и вертикальной и килевой качка-

ми корабля.

В § 5.5 выбрана структура закона управления при заходе на посадку :

в=0„+й Да+к ш ьй.£+й е., (13)

О a u z h. о 1 * г У

где cte1/dt=(-1/T)£1 + (1/2')(de/d£-). S - отклонение органа продольного управления, ао - значение е при движении по номинальной траектории, Да - отклонение угла атаки от номинального значения, о - угловая скорость, Т - постоянная времени. В качестве сигнала рассогласования е использовалось три типа линейных отклонений, соответствующих трем типам отслеживаемых глиссад: 1) отслеживание глиссада □," стабилизированной в пространстве по углу и линейными перемещениями реагирующей на вертикальные и килевые качания корабля; 2) отслеживание глиссады о, стабилизированной по углу и реагирующей только на вертикальные качания корабля; 3) отслеживание глиссады л, неподвижной в пространстве. Расчеты проводились для этих трех отслеживаемых глиссад и трех законов управления (13), соответствующих трем комбинациям значений коэффициентов &а, Р. , k, к , при задании которых

а ulz у

исследовались переходные процессы в продольном канале и использовался метод корневого годографа. Варьируемым параметром в каждом из девяти вариантов расчетов являлась бальность волнения моря, которая определяла интенсивность атмосферной турбулентности и качки.

В § 5.6 выписаны расчетные система уравнений и формулы для оценки вероятности. Расчетная система уравнений

&iz=Mzdi+i2<2q(t),

где Az - 16-компонентный вектор расширенного фазового пространства, q(t) - 4--компонентный вектор независимых винеровских процессов, A(t) - матрица размера 16*16, Q(t) - матрица размера 16*4. Эта система получается объединением линеаризованных уравнений движения, записанных в корабельной системе координат и с учетом выбранного закона управления, и уравнений, описывающих формирующие фильтры для продольного и вертикального компонентов атмосферной турбулентности и килевой и вертикальной качек ко-

рабля. Расчетная формула для оценки Р вероятности приземления самолета на участок (т' ,х") палубы с соблюдением ограничений

где р4(и1,и2,и3) - гауссовская плотность совместного распределения значений и, ), и3(£)г-вп(1); {Л01 -максимально допустимая (по абсолютной величине) относительная вертикальная скорость самолета в момент приземления, и - минимально и максимально допустимые относительные углы тангажа самолета в этот момент. При этом дисперсии и коэффициенты корреляции, входящие в р , определялись в процессе интегрирования системы (Ш/сИ=М+КАт+ЯО,!, где 1=М{А2(Лг)т>.

В § 5.7 результаты расчетов вынесены на графики и проведено их подробное обсуждение: исследовано, как точность приземления зависит от качества закона управления; проведено сравнение раздельного влияния атмосферной турбулентности и качки на точность приземления; проиллюстрирована связь между характеристиками модели возмущений и вероятностью успешного приземления. Например, оказалось, что для двух худших (по качеству переходных процессов и точности приземления) законов управления вероятность успешного приземления с увеличением волнения моря от нуля до четырех баллов не только не уменьшается, а даже незначительно возрастает. Этот неожиданный, на первый взгляд, результат объясняется характером атмосферной турбулентности над морской поверхностью: с увеличением волнения моря от нуля до четырех баллов интенсивность турбулентности уменьшается (средний ветер усиливается, но пульсации слабеют), и это уменьшение по влиянию на вероятность может быть более значительным, чем возрастание интенсивности качки.

Предложенный метод оказался исключительно эффективным в смысле точности оценок вероятности: величина числа ДР, характеризующая погрешность метода, оказалась пренебрежимо малой. Например, при отслеживании лучшей по вероятности успешного приземле-

на V и 15

у п

Г О К™1*

V п

ния глиссада при Сальности волнения моря от нуля до четырех величина ДР в зависимости от рассматриваемого закона управления не превосходила 1СГ16, 1СГ14 и Ю-10, а при Сальности волнения моря от четырех до шести - 10-а, 10~т и 1СГ5, причем меньше значения АР соответствовали лучшим по качеству переходных процессов и точности приземления законам управления. Это дает основание считать предложенный метод оценки вероятности успешного приземления практически точным и рассматривать формулу, по которой определяется Р, как готовый функционал для задачи синтеза оптимального в вероятностном смысле закона управления самолетом при посадке.

В шестой главе (§§ 6.1-6.5) исследуется возможность использования предложенного метода вероятностной оценки точности приземления самолета при более пологих, чем в случае посадки на корабль, посадочных траекториях, имеющих место при посадке на сушу.

В § 6.1 определена целевая направленность главы. Для этого внимание акцентируется на численном примере, который приводился в § 4.5 и в котором оценивалась вероятность того, что первое достижение нулевого уровня процессом у(д;)=-а1х+а0+С№). где яе е(-оо,х*], а^О и а0 - постоянные, а С (г) - центрированный гаус-совский процесс, произойдет на заданном интервале <Х ,х"), содержащем точку пересечения нулевого уровня прямой у=-а1л?«20. Исследование зависимостей нижней Р1 и верхней Рг оценок искомой вероятности от параметра о^Л^. где о^ - дисперсия процесса С'(г), показало, что при фиксированном значении о^ разность Р£-Р1 увеличивалась с уменьшением значения а1, характеризующего угол наклона прямой у=-а1х*-а0. При достаточно малых значениях а1 разность Р2-Р1 возрастала настолько, что сама идея оценки искомой вероятности с помощью значений Р1 и ?г теряла смысл.

Как было показано в главе 5, при определенных условиях процесс типа рассмотренного у(х) описывает изменение высоты полета при посадке самолета. При этом искомая вероятность имеет смысл вероятности приземления самолета на заданный участок посадочной поверхности, прямая у=-а1д,+а0 - смысл номинальной траектории

посадки, по которой двигался бы самолет при отсутствии возмущений, а точка пересечения этой прямой с нулевым уровнем - смысл расчетной точки приземления при движении по номинальной траектории. В случае посадки на корабль угол номинальной траектории посадки, определяемый значением о1, является таким, что приводит к практически нулевым или ничтожно малым значениям АР=Р2-Р1. Если же рассматривается посадка на сушу, то посадочные траектории более пологи, а значит, меньше значение а, и больше разность Pz-P,. Кроме того, при посадке на сушу возрастает длина х"-х' возможного участка приземления, что также приводит к увеличению значения Рг-Р,• Таким образом, возникает вопрос, не возрастет ли разность Рг~РА настолько, что предложенный в главе 5 метод оценки вероятности успешного приземления окажется для случая посадки самолетов сухопутного базирования неэффективным в том смысле, что искомая вероятность будет оцениваться слишком грубо из-за недостаточной близости нижней Р1 и верхней Pg оценок.

В § 6.2 приводятся уравнения движения, модель возмущений и закон управления, а в § б.3 - расчетные система уравнений и формулы для оценки вероятности. Эти параграфы отличаются от аналогичных в главе 5 лишь описанием модели возмущений (в данном случае качка отсутствует и несколько по-другому задаются интенсивности и масштабы атмосферной турбулентности) и некоторыми техническими деталями. Отметим, что при посадке на сушу в отличие от посадки на корабль на завершающем этапе воздушного участка номинальные траектории, как правило, не являются прямолинейными. Тем не менее для ответа на поставленный в § 6.1 вопрос достаточно было провести расчеты для номинальной траектории, прямолинейной вплоть до момента приземления.

В § 6.4 приводятся с комментариями структура и текст программ для ПЭВМ, в результате выполнения которых находятся оценки искомой вероятности в корабельном и сухопутном вариантах посадки. Программы написаны на языке JCHERAH-77.

В § 6.5 обсуждаются результаты расчетов. Вероятность оценивалась при х"-х'= 100, 300 и 5С0 м и для трех различных по качеству переходных процессов законов управления. Варьируемым па-

раметром являлся угол наклона номинальной траектории посадки. Как и следовало ожидать, большим размерам посадочного участка соответствует большая вероятность, и она монотонно возрастает с увеличением угла наклона номинальной траектории. При этом более "вялым" и затянутым переходным процессам, характеризующим качество закона управления, соответствуют меньшие значения Р, т. е. менее точное приземление. Оказалось, что изменение длины посадочного участка практически не влияет на погрешность метода ДР. Пренебрежимо малая погрешность АР даже при очень малых углах (0,25+0,5 град) наклона номинальной траектории позволяет положительно ответить на вопрос, поставленный в § 6.1, и сделать вывод о том, что предлагаемый метод может быть использован для сравнения законов управления по критерию вероятности успешного приземления и в сухопутном варианте посадки.

В заключительной части § 6.5 обсуждается перспективность метода для задач апостериорной оценки безопасности посадки гражданских самолетов по записи полетной информации. Недостаток используемых методов обработки полетной информации состоит в том, что они позволяют оценить лишь отдельные характеристики случайного процесса посадки и при том в фиксированные моменты времени (например, в момент пролета горца взлетно-посадочной полосы) и не позволяют оценить какие-либо интегральные показатели, важнейшим из которых является вероятность успешного приземления, позволяющая сделать объективный вывод о степени безопасности посадки в целом. На основе результатов 5-ой и 6-ой глав предложена схема, которая восполняет указанный пробел и позволяет по расшифровке записей системы регистрации параметров полета (ус-становленной на всех воздушных судах гражданской авиации) оценить вероятность успешного приземления, что, в свою очередь, дает возможность апостериори оценить технику пилотирования самолета и при необходимости внести в схему и характер пилотирования нужные корректировки, обеспечив тем самым профилактику авиационных происшествий.

В седьмой главе (§§ 7.1-7.6) исследуется влияние управления тягой двигателя на точность и безопасность посадки самолета на

корабль. При этом существенно используется предложенный в предыдущих главах метод расчета вероятности успешного приземления.

В § 7.1 излагается суть проблемы и предлагаемая схема ее решения. При посадке на корабль в случае позднего касания палубы ограниченная длина последней приводит к тому, что самолет не успевает остановиться и пилот вынужден уводить его на второй посадочный круг. При невысокой скорости схода с палубы есть вероятность значительной просадки траектории самолета после схода и, как следствие, касания вода и катастрофы. Поскольку скорость самолета после дачи тяги нарастает не мгновенно, пилот вынужден увеличивать тягу еще до момента предполагаемого приземления с тем, чтобы в случае возможного ухода на второй круг скорость схода с палубы была достаточно большой и практически исключала встречу с поверхностью моря. Но ранняя дача тяги и последующее увеличение посадочной скорости приводят, естественно, к худшей точности посадки и уменьшают вероятность успешного приземления. Таким образом, возникает вопрос о выборе некоторого приемлемого диапазона моментов дачи тяги: с одной стороны, нужно обеспечить достаточно высокую вероятность успешного приземления, а с другой - в случае позднего касания палубы и последующего вынужденного ухода на второй круг - незначительную максимальную просадку, которая не привела бы к касанию воды.

Схема посадки изображена на рис. 3. Через обозначен

Реальная траектория

Рис. 3

участок палубы, перелет которого приводит к уходу на второй круг. Предлагаемая схема решения задачи заключается в следующем. По методу предыдущих глав поточечно определяется вероятность перелета зоны в зависимости от момента tv увеличения тяги двигателя. После этого рассматриваются те траектории, которым соответствует фактический перелет участка заф. При этом оказывается, что при заданном моменте t дачи тяги скорость самолета в момент схода с палубы и, как следствие, максимальная просадка Н траектории после схода практически не зависят от разброса точек касания самолета с палубой и однозначно определяются моментом t . Это позволяет рассматривать участок движения самолета по палубе и после схода с нее в детерминированной постановке и путем интегрирования уравнений движения определить численно Я^ в функции от t . В результате получаются две зависимости: Р *(t ) и H(t). Существуют летные нормы,

л.о р lip р

ограничивающие максимально допустимые значения Р„„ и я . Из

НЗ Пр

условия непревышения этих значений и определяется диапазон возможных моментов f увеличения тяги двигателя.

В § 7.2 определяется зависимость Рнз от t , или от Ai, где At - промежуток времени, определяющий момент дачи тяги t и представляющий собой время от момента t до предполагаемого момента касания палубы в том случае, если бы увеличения тяги не произошло. Принимается, что с момента t тяга двигателя P(i) нарастает по экспоненциальному закону

где 1 - постоянная времени, характеризующая приемистость двигателя. Расчеты проводились при АР0-Р0, т. е. тяга после момента t асимптотически увеличивалась в два раза, и для трех значений постоянной т. Рассматривался самолет с теми же аэродинамическими характеристиками и тем же законом управления, что и в гл. 5.

В § 7.3 путем численного интегрирования уравнений движения (методом Рунге-Кутта четвертого порядка) определена скорость самолета в предполагаемый момент пролета участка з л в зависи-

■ Р0 при Шр,

(U)

P(t)=-

р

мости от в § 7.4 - скорость схода с палубы, в § 7.5 - максимальная просадка Н траектории после схода.

В § 7.6 из условия выполнения требований, налагаемых на Р__

НЗ

и Н^, определен диапазон допустимых моментов увеличения тяги при различных параметрах задачи, (формулированы основные результаты главы и рассмотренных в ней численных примеров, отражающие характерные качественные закономерности и числовые оценки интересующих величин.

1. Для непревышения максимально допустимого снижения самолета после схода с палубы в ряде случаев необходимо увеличивать скорость схода путем увеличения тяги до расчетного момента касания. При управлении углом атаки от асх=0 до абдл=15 град для ограничения максимальной просадки траектории //^>-2 м необходимо увеличение скорости самолета при сходе с палубы на Диох >

>10,5 " по сравнению со скоростью захода на посадку. Для создания указанного приращения скорости перевод органа управления тягой двигателя в новое положение, обеспечивающее увеличение тяги по закону (14) при АР0=Р0, должен быть сделан а) за время Л£>0,3с до расчетного момента касания палубы при постоянной времени двигателя ч=1с, б) за время дг>0,75с до расчетного момента касания - при т=1,5с и в) за время ,2с - при т=2с.

2. Увеличение тяги до момента касания палубы приводит к возрастанию вероятности перелета зоны и ухода на второй круг. При изменении тяги по закону (14), где ДР0=Р0, с момента соответствующего времени Aí=1c до расчетного момента касания, при рассмотренном законе управления в продольном канале вероятность Рнз при отсутствии волнения моря составляет а) Рнз=0,0172 при постоянной времени двигателя г=1с, б) Рнз=0,0129 - при х=1,5с и 8) Рнз=0,0108 - при т=2с. Если же увеличение тяги происходит на полторы секунды раньше, т. е. за время Дг=2,5с до расчетного момента касания, то а) при т=1с вероятность Рнд= =0,8312, т. е. увеличивается примерно в 50 раз по сравнению со значением Рнз=0,0172, соответствующим времени Д?=1с; б) при г=1,5с - Рнд=0,5123, т. е. увеличивается примерно в 40 раз; и б) при т=2с - Р =0,2873, т. е. увеличивается примерно в 30 раз.

3. Для ограничения вероятности посадки на аварийный барьер Раб<10"4 при допустимом числе повторений'захода на посадку п=3 вероятность перелета зоны после одного захода должна быть

Рдз< ■/ 10_4МЗ,0464, что требует увеличения тяги двигателя за время а) Д£ч1,4с до расчетного момента касания при постоянной времени двигателя т=1с, б) А4<1,65с - при т=1,5с и б) ди1,85с - при г=2с.

4. Чтобы в случае перелета участка а^ максимальная просадка траектории самолета после схода с палубы была меньше 2м, а вероятность посадки на аварийный барьер не превышала 1СГЛ, дача тяги двигателя должна производиться а) не раньше, чем за 1,4с, и не позже, чем за 0,3с до предполагаемого момента касания, если приемистость двигателя т=1с; б) не раньше, чем за 1,65с, и не позже, чем за 0,75с до предполагаемого момента касания, если х=1,5с; б) не раньше, чем за 1,85с, и не позже, чем за 1,2с до предполагаемого момента касания, если т=2с. Как и следовало ожидать, увеличение (уменьшение) т, что соответствует уменьшению (увеличению) приемистости двигателя, сдвигает диапазон допустимых моментов дачи тяги в сторону более ранних (поздних). К обратному результату по сравнению с изменением т приведет, очевидно, изменение приращения тяги АР0: уменьшение ДР0 сдвигает диапазон допустимых моментов t в сторону более ранних значений tp, а увеличение - в сторону более поздних.

В восьмой главе (§§ 8.1-8.5) рассматривается другая проблема, в процессе решения которой так же, как и в предыдущей главе, неизбежно возникает задача расчета вероятности успешного приземления. Эта проблема связана с построением стратегии посадки самолета.

В § 8.1 формулируется постановка задачи. В процессе посадки в зависимости от складывающейся обстановки необходимо принять решение о продолжении захода на посадку с последующей попыткой приземления или решение об уходе на второй круг. Речь здесь может идти как о посадке на сушу, так и о посадке на корабль. Выбор решения должен быть сделан в какой-либо момент из временного интервала начало и конец которого предполага-

заход на посадку с попыткой щшзеыления

уход на второй крут

касание Ш до точки х'

-о

пролет над точкой х'

о

грубое приземление

1

успешное приземление перелет участка (х',х")

I

летное происшествие

-о

, уход на второй круг с касанием ПП

II

заход на посадку с попыткой приземления

уход на второй круг

касание Ш до точки

грубое приземление

летное происшествие

-о

пролет над точкой х'

о-

1

успешное приземление перелет участка (а' )

-о

г уход на второй круг с касанием ПП

Г"-*

касание ПП до точки х'

пролет над точкой х'

грубое приземление | успешное приземление

летное происшествие

Рис. 4

ются известными и определяются следующим образом: - это наибольший момент такой, что если , то независимо от текущего положения самолета в фазовом пространстве практически всегда (с вероятностью 1) возможен успешный уход на второй круг; tг - наименьший момент такой, что если то для ухода на второй круг остается мало времени и решение о приземлении является более безопасным. Оптимальная стратегия должна отвечать на вопрос, в какой именно момент ) целесообразнее всего принимать решение и каким оно должно быть.

В § 8.2 кратко излагается принцип максимизации ожидаемой полезности последовательности развития событий, который используется для построения оптимальной стратегии посадки.

В § 8.3 построено дерево решений, соответствующее процессу посадки самолета. Оно изображено на рис.3. Дерево решений имеет три вида окончательных исходов: успешное приземление, грубое приземление и летное происшествие. Под успешным приземлением понимается приземление на заданный участок (х',х") посадочной поверхности (1Ш) с соблюдением заданных ограничений на фазовые координаты, под грубым приземлением - приземление на участок (х',х") с нарушением ограничений на фазовые координаты. Касание посадочной поверхности до точки х' приравнивается к летному происшествию. Если касание происходит за точкой х", то предполагается, что дальнейшее развитие событий возможно по двум путям: либо произойдет летное происшествие, либо - уход на второй круг с касанием посадочной поверхности. Из-за ограниченности запаса топлива число уходов на второй круг ограничено. Для определенности считается, что возможны только два ухода на второй круг, и, следовательно, если при третьем заходе на посадку происходит перелет участка (х',х"), то это событие равносильно летному происшествий.

Дерево решений имеет два узла-решения: I и II. В § 8.4 построена стратегия,. позволяющая в каждом из узлов I и II определить, какое из двух возможных решений должно быть принято, если момент принятия решения задан и совпадает с t: В пред-

положении возможности определения текущих фазовых координат самолета получены две пары выражений: одна - для узла I, вторая -

для узла II. Значения этих выражений есть ожидаемые полезности принятия решений о заходе на посадку и уходе на второй круг. Решение в каждом узле принимается в результате сравнения значений выражений соответствующей пары в момент t*=t1. При этом отдельные элементы этих выражений есть вероятности тех или иных событий, для оценки которых либо предлагается какой-либо способ, либо они могут быть определены по описанному в 5-ой и 6-ой главах методу расчета вероятности успешного приземления.

В § 8.5 предлагается алгоритм, позволяющий' за счет введения элементов прогноза движения самолета усовершенствовать построенную стратегию, освободившись от ограничения t*=i1.

Содержательным результатом является независимость построенной стратегии от полезностей окончательных исходов дерева решений, и, таким образом, не возникает необходимости в определении численных значений полезностей. Этот факт объясняется спецификой дерева решений, соответствующего процессу посадки самолета, и придает построенной стратегии определенную универсальность в смысле ее независимости от указанных полезностей.

Публикации по теме диссертации:

1. Семаков С.Л. Оценка вероятности автоматической посадки самолета на заданный участок взлетно-посадочной полосы // В сб.: Труды X конференции молодых ученых Московского физико-технического института. - Деп. в ВИНИТИ 19.02.86. Л 1160-В86. С.44-49.

2. Семаков С.Л. Первое достижение уровня случайным процессом в задачах динамики полета // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1986. № 4. С.55-59.

3. Семаков С.Л. Оценка вероятности приземления летательного аппарата на заданный участок поверхности с соблюдением ограничений на фазовые координаты // Ученые записки ЦАГИ. 1987. Т.18. » 3. С.54-61.

4. Семаков С.Л. Стратегия летчикз при посадке самолета // Изв. ВУЗов. Авиационная техника. 1987. JS 3. С.56-59.

5. Семаков С.Л. Первое достижение границ случайным процессом и вопросы точности и безопасности посадки самолета / Авторефе-

рат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М.: ВЦ АН СССР, 1988. 16 с.

6. Семаков С.Л. Первое достижение границ случайным процессом // Автоматика и телемеханика. 1988. Л 6. С.87-95.

7. Семаков С.Л. Вероятностная оценка точности приземления самолета. М.: ВЦ АН СССР, 1988. 68 с.

8. Семаков С.Л. Вероятность первого достижения уровня компонентом многомерного процесса на заданном промежутке с соблюдением ограничений на его другие компоненты // Теория вероятностей и ее применения. 1989. Т.34. А 2. С.402-406.

9. Семаков с.Л. Вероятность первого достижения уровня случайным процессом на заданном промежутке. М.: ВЦ АН СССР, 1989. 34 с.

10. Семаков с.Л. Стратегия автоматической посадки самолета // В сб.: Математическое моделирование и дискретная оптимизация. - М.: ВЦ АН СССР, 1989. С.35-46.

11. Семаков С.Л. Вероятностная оценка точности посадки самолета по данным МСРП // В сб.: Обеспечение безопасности полетов и эксплуатация воздушного транспорта в условиях становления рыночных отношений: Труда всесоюзной научно-технической конференции 19-20 мая 1992 г. - М.: МЖГА, 1992. С.44-52.

12. Семаков С.Л. Одна вероятностная задача о достижении уровня случайным процессом. М.: ВЦ РАН, 1994. 20 с.

13. Семаков С.Л. Одна вероятностная задача безопасности полетов // В сб.: Наука и техника гражданской авиации на современном этапе: Труды международной научно-технической конференции 14-17 марта 1994 г. - М.: МГТУГА, 1994. С.бТ-72.

14. Семаков С.Л. Управление тягой при посадке самолета. М.: ВЦ РАН, 1995. 28 с.

15. Семаков С.Л. Применение известного решения одной задачи о достижении границ немарковским процессом к оценке вероятности успешного приземления самолета // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. № 1.

По теме диссертации написано также 6 зарегистрированных научно-технических отчетов (без соавторов, общим объемом около

300 с.) в рамках научно-исследовательских работ ЦАГИ и МГТУГА.