автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Внешняя устойчивость резонансов в динамике движения космических аппаратов с малой асимметрией

На правах рукописи

\

ЛЮБИМОВ ВЛАДИСЛАВ ВАСИЛЬЕВИЧ

ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ В ДИНАМИКЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ

Специальность 05.07.09 Динамика, баллистика, управление движением летательных аппаратов

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

<1 О ГРНШЙ

I имо>

£

САМАРА - 2009

003476229

Работа выполнена на кафедре динамики полета и систем управления Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. Королёва» (СГАУ)

Научный консультант:

доктор технических наук, профессор Заболотнов Юрий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Асланов Владимир Степанович

доктор технических наук, профессор Горелов Юрий Николаевич

доктор технических наук, профессор Соллогуб Анатолий Владимирович

Ведущее предприятие: Государственный ракетный центр

«КБ имени академика В. П. Макеева», г. Миасс

Защита состоится 23 октября 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного cobi Д 212.215.04 при Государственном образовательном учреждения высшего профессионалы« образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТ имени академика С. П. Королёва» по адресу: 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СГАУ Автореферат разослал 4 сентября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212^15.04 кандидат технических наук, доцент

А. Г. Прохоров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике вращательного движения космических аппаратов (КА) с малой асимметрией.

Актуальность проблемы. В динамике возмущенного движения КА различных типов и назначения неизбежно возникают резонансные явления, связанные с реализацией целочисленных соотношений между частотами динамических систем. Влияние резонансов на движение КА значительно усиливается, если в рассматриваемых динамических системах наблюдается устойчивые околорезонансные режимы движения, когда резонансные соотношения между частотами поддерживаются в течение достаточно длительного времени в силу действующих возмущений. Это приводит к дестабилизации движения КА и, как следствие, к невыполнению целевых задач космического полета.

Под внешней устойчивостью резонанса понимается устойчивость данного резонанса вне малой резонансной зоны ширины порядка Ге, где е - малый параметр задачи. Внешняя устойчивость резонанса приводит к притяжению траекторий динамической системы к резонансным зонам и, как правило, к реализации длительных резонансных режимов движения КА. С точки зрения динамики движения КА, близких по форме и по массово-инерционным характеристикам к осесимметричным, это приводит к эволюции угловой скорости вращения вокруг продольной оси КА к ее резонансным значениям с последующей потерей устойчивости движения по углам ориентации КА.

Исследованиям устойчивости резонансов при движении КА внутри малых резонансных зон (внутренней устойчивости резонансов) посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов. В то же время, проблема исследования внешней устойчивости резонансов применительно к динамике движения КА до настоящего времени практически не рассматривалась. Это, видимо, связано с тем, что изменение медленных переменных системы, обусловленное внешней устойчивостью резонансов, проявляется в высших приближениях метода усреднения. Аналитическое исследование данного явления представляет собой достаточно сложную задачу. Однако, использование современных математических пакетов с их возможностями в плане символьных преобразований позволяет существенно продвинуться в этом направлении.

Резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов, проявляются во многих задачах динамики движения КА, таких, как спуск в атмосфере неуправляемого космического аппарата с малой асимметрией, возмущенное вращательное движение по орбите спутника с сильным магнитом на борту и других. Все эти задачи, относящиеся к классу задач пассивной стабилизации движения (аэродинамической, магнитной, гравитационной), естественно включают в себя оценку точности и устойчивости подобных режимов движения КА. Причем анализ известных работ и математических моделей, относящихся к этому направлению исследований, показывает, что любая задача пассивной стабилизации движения КА сводится к исследованию колебаний в многочастотной системе при действии возмущений и неизбежно приводит к необходимости изучения эволюционных эффектов, обусловленных внутренней и внешней устойчивостью резонансов.

Состояние проблемы. Основополагающие результаты по исследованию резонансов в динамических системах с медленными и быстрыми переменными принадлежат Боголюбову Н. Н„ Аносову Д, В., Арнольду В. И., Моисееву Н. Н., Волосову В. М., Митропольскому Ю. А., Хапаеву М. М., Нейштадгу А. И., Белецкому В. В., Ярошевскому В. А., Найфэ А., Мозеру Ю., и др. В этих работах заложены основы теории резонансных динамических систем и показано, что основными методами исследования резонансных явлений в двухчастотных и в многочастных задачах являются методы возмущений, в частности, методы усреднения. Так, например, еще в замечательной работе Арнольда В. И. «Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике» (Успехи математических наук, 1963, 18, вып.6) исследуется

проблема малых знаменателей, которые неизбежно появляются в асимптотических решениях для динамических систем с несколькими частотами. Появление малых знаменателей, которые, по сути, представляют собой резонансные соотношения между частотами системы, связано не столько с применяемыми математическими методами, а с самой сущностью решаемых задач, в которых эволюционные изменения медленных переменных определяются возникающими резонансами. Проблема внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА также связана с влиянием малых знаменателей, которые появляются в высших приближениях метода усреднения при построении усредненных систем дифференциальных уравнений.

В работе исследуются две задачи пассивной стабилизации движения КА: аэродинамическая стабилизация спускаемых КА в плотных слоях атмосферы и магнитная стабилизация спутника в геомагнитном поле на орбите.

Решению задачи устойчивости движения КА в атмосфере и влиянию резонансов на их движения посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных специалистов. Здесь следует отметить работы американских ученых Платуса Д., Мерфи К., Найфэ А., Бредди Д. и других, которые впервые поставили и изучали проблему резонансного движения КА в атмосфере. Параллельно с исследованиями за рубежом данная проблема активно исследовалась отечественными учеными. Основные результаты по исследованию резонансного движения космических аппаратов в атмосфере содержатся в работах Ярошевского В. А., Шилова А. А. и Гомана М. Г., Бюшгенса Г. С., Студнева Р. В., Асланова В. С., Заболотнова Ю. М., Тимбая И. А. и др. Хотя во многих этих работах исследовались эволюционные изменения медленных переменных, в частности, исследовалось возникновение нерезонансной закрутки КА вокруг своей продольной оси в атмосфере, однако, эти эволюционные изменения не связывались с появлением малых знаменателей в усредненных уравнениях в нерезонансном случае, то есть проблема внешней устойчивости резонансов не рассматривалась.

Задача о движении по орбите КА - спутника с сильным магнитом на борту, включая исследования резонансов, рассматривалась в работах Белецкого В. В., Хентова А. А., Сарычсва В. А., Сазонова В. В., Садова Ю. А., Сидоренко В. В., Овчинникова М. Ю. и др. Однако исследования внешней устойчивости возникающих резонансов в этих работах также не проводилось.

Термин «внешняя устойчивость резонанса» принадлежит Садову Ю. А. Им была исследована общая двухчастотная почти гамипьтонова система с двумя быстрыми переменными. Внешнюю устойчивость резонансов в рассматриваемой гамильтоновой системе Садов Ю. А. связал с появлением малых знаменателей в высших приближениях усредненной системы дифференциальных уравнений. Данное явление притяжения траекторий к резонансным зонам еще на нерезонанспых участках движения системы в силу появления резонансных знаменателей в методе усреднения он связал также с проявлением эволюционных резонансных эффектов, проявляющихся также лишь в высших приближениях метода усреднения. Проведенные им исследования имеют большое значение для теории внешней устойчивости резонансов, так как в них рассмотрены математические аспекты возникновения данного явления.

Таким образом, обзор известных работ, посвященных различным аспектам влияния резонансов на динамику движения КА, показывает, что вопросы внешней устойчивости резонансов в данных прикладных задачах практически не рассматривались.

Научная проблема, решению которой посвящена диссертация, состоит в отсутствии методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА, предназначенных для анализа и синтеза значений их параметров, и исключающих нарушение ограничений на контролируемые характеристики полета КА.

Цель работы. Целью работы является разработка методов и математических моделей исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов, анализ закономерностей возникающих резонансных эффектов и выбор на этой основе параметров КА, приводящих к выполнению заданных ограничений на параметры его движения на различных участках космического полета.

Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на применении метода усреднения и метода интегральных многообразий.

2. Построены математические модели для анализа внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА в рассматриваемых прикладных задачах: квазилинейные математические модели для малых углов нутации (углов атаки), нелинейные модели движения по исследуемым интегральным многообразиям.

3. Разработан метод построения резонансных кривых (кривых, определяющих положение резонансных зон) в нелинейном случае, базирующийся на применении метода интегральных многообразий.

4. Получены усредненные математические модели с учетом высших приближений для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах.

5. Произведен сравнительный анализ рассматриваемых резонансных эффектов с точки зрения их влияния на эволюцию медленных переменных, определяющую вращательное движение КА, и получены условия их реализации.

6. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными.

7. Определены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

8. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул.

9. Произведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область в задаче динамики движения спускаемых КА в.атмосфере.

10. Разработаны методики учета внешней устойчивости резонансов при проектировании космических аппаратов, осуществляющих неуправляемый спуск в атмосфере и КА - спутников с магнитной системой ориентации.

11. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Объект исследования. Объектом исследования являются резонансы, возникающие в возмущенном движении КА, условия их внешней устойчивости, и методики проектирования КА с учетом влияния рассматриваемых резонансных эффектов.

Предмет исследования. Предметом исследования является динамика возмущенного вращательного движения КА при реализации аэродинамической и магнитной систем пассивной стабилизации на различных участках его космического полета.

Методы исследования. При исследовании внешней устойчивости резонансов, для получения математических моделей, аналитических формул, оценок, условий устойчивости использовались методы и подходы, разработанные и развитые Ляпуновым А. А., Боголюбовым Н. Н., Моисеевым Н. Н., Арнольдом В. И., Тихоновым А. Н., Нейштадтом А. И., Хапаевым М. М., Ярошевским В. А., Садовым Ю. А. и др.

Научная новизна представленных в диссертации результатов заключается в следующем.

1. Разработан метод исследования внешней устойчивости резонансов в задачах пассивной стабилизации движения КА (аэродинамической и магнитной).

2. Разработан метод построения резонансных кривых, определяющих положение резонансных зон в нелинейной динамической системе, основанный на совместном применении метода интегральных многообразий и метода усреднения,

3. Получены новые математические модели, допускающие аналитический анализ внешней устойчивости резонансов в рассмотренных задачах динамики движения КА.

4. Установлены причины эволюционных эффектов, приводящих к притяжению траекторий рассмотренных динамических систем к резонансным зонам, и проанализировано влияние сложной асимметрии КА на внешнюю устойчивость резонансов.

5. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонансов для общей двухчастотной динамической системы с медленными и быстрыми переменными.

6. Построены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что разработанные методы, теоремы и построенные математические модели основаны или являются развитием известных математических положений и методов, таких, как теория устойчивости Ляпунова А. А., метод усреднения, теория возмущений динамических систем, методы численного анализа. Результаты работы не противоречат известным опубликованным результатам в этом направлении.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты, описывающие влияние внешней устойчивости резонансов и резонансных эффектов на движение космических аппаратов, доведены до простых аналитических выражений и оценок, которые удобны для инженерных расчетов при проектировании КА. Выявленные в работе закономерности по влиянию сложной асимметрии на устойчивость резонансов позволяют повысить качество проектирования КА, так как ведут к исключению нерасчетных режимов его движения. Разработанные методы и методики реализованы в виде программных продуктов, удобных для практического использования.

На защиту выносятся.

1. Методы исследования внешней устойчивости резонансов в задачах аэродинамической и магнитной стабилизации движения КА.

2. Метод построения резонансных кривых в нелинейном случае, базирующийся на применении теории интегральных многообразий.

3. Квазилинейные и нелинейные математические модели, усредненные в нерезонансном случае и предназначенные для получения условий внешней устойчивости резонансов при движении КА.

4. Теорема о внешней устойчивости резонанса в динамической системе с медленными и быстрыми переменными.

5. Общие закономерности, условия и области внешней устойчивости резонансов в рассмотренных прикладных задачах движения КА.

6. Результаты сравнительного анализа условий внешней и внутренней устойчивости главного резонанса при движении КА в атмосфере и определение обобщенных параметров асимметрии, влияющих на оба вида устойчивости.

7. Результаты анализа условий внешней устойчивости резонансов для спускаемых капсул с большими баллистическими коэффициентами.

8. Методика определения областей допустимых значений параметров асимметрий КА, учитывающая разработанные методы исследования внешней устойчивости резонансов.

Реализация результатов работы. Научные и практические результаты работы внедрены и используются на ведущих предприятиях отрасли: Федеральном государственном унитарном предприятии «Государственный научно-производственный ракетно-космический центр «ЦСКБ-ПРОГРЕСС», г. Самара, Государственном ракетном центре «КБ имени академика В. П. Макеева», г. Миасс.

Математические методы и методические разработки автора и созданное им программное обеспечение используется: при проектировании малых спугников с магнитом на борту в Институте космического приборостроения ГОУ ВПО «Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва» (СГАУ); в учебном процессе

СГАУ при подготовке студентов по специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления».

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 18 всероссийских, международных и отраслевых конференциях, в числе которых: Научные чтения по космонавтике (1997-1998 г., 2002 г.), Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия Циолковского К. Э. (1996 г.), российско-европейская летняя космическая школа (2003 г.), международная конференция «Авиация и космонавтика-2006», Научно-технические семинары по управлению движением и навигации летательных аппаратов (1997 г., 1999 г., 2002 г., 2005 г., 2007 г.), международная конференция «Научные и технологические эксперименты на автоматических космических аппаратах и малых спутниках» (2008 г.), и др. Исследования автора диссертации в области динамики систем, проводимые совместно с группой коллег, дважды поддерживались РФФИ (проект №99-01-00477 и проект №07-01-96606). Часть материалов диссертации докладывались на научном семинаре В. В. Белецкого, проходившем на физико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 40 печатных работах, в том числе одной монографии [1] и одиннадцати статьях в журналах из списка ВАК для докторских диссертаций [2]-[12].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 7 глав, заключения, списка использованной литературы и приложения. Объем диссертации 353 е., из них 340 страниц машинописного текста, 105 рисунков, 10 таблиц, 2 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткая характеристика рассматриваемой проблемы, обосновывается актуальность работы, формулируется цель исследований, показывается практическая ценность диссертации, приводятся сведения о публикациях и перечисляются положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации посвящается описанию проблемы исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах. Приводится обзор известных работ по теории резонансов в динамических системах, их устойчивости и математическим методам исследования. Обсуждаются известные результаты по исследованию резонансов в задачах динамики движения КА. Рассматриваются понятия внешней и внутренней устойчивости резонансов для систем стандартного вида с двумя быстрыми фазами. С математической точки зрения, внешнюю устойчивость резонанса определяют усредненные в нерезонансном случае уравнения, в которых появляются малые знаменатели в высших приближениях метода усреднения.

Перечисляются основные направления исследований, связанные с резонансами, возникающими в общих динамических системах и прикладных задачах:

- определение резонансов, возможных в системах;

- оценка возмущений переменных при прохождении системы через резонансы;

- получение и анализ условий внутренней устойчивости резонансов;

- получение и анализ условий внешней устойчивости резонансов;

- оценка вероятности захвата в резонанс, то есть вероятности реализации длительных резонансных режимов движения.

Показывается, что традиционно рассматривались первые три направления исследований. Данная работа посвящена в основном исследованию четвертого направления применительно к задачам динамики возмущенного движения КА. Кроме того, в работе устанавливается связь между условием внешней устойчивости резонансов, условием захвата в резонансную область в вероятностной постановке и условием внутренней устойчивости резонанса. В заключение первой главы содержатся задачи, на которые разбивается исследование поставленной в работе проблемы.

Во второй главе рассматриваются математические модели, являющиеся исходными для исследований внешней устойчивости резонансов в данной работе. Для того, чтобы разработать метод исследования внешней устойчивости резонансов, сначала рассматривается, модельная задача о возмущенном движении твердого тела (ТТ) вокруг неподвижкой точки в случае, близком к случаю Лагранжа, которая является аналогичной по форме записи уравнений движения задачам о движении КА с малой асимметрией.

В этом случае исследование резонансных движений волчка Лагранжа в возмущенном случае сводится к исследованию резонансов в нелинейной системе, имеющей следующий вид:

с/2е/л2+/^(Х<0) = 4/, (Х, <р,в)+/2 (х, <р, в)с10 /Л], (1)

¿ф/ Л = <р0 (X, 0) + £Ф, (X, <р, 0, £/9 / £//) , где в и ср - углы нутации и собственного вращения (быстрые переменные), медленные переменные, среди которых содержится угловая скорость вращения ТТ а г), е >0 - малый параметр, /ь /2, Ф\, О - функции, периодичные по фазе <р с периодом 2л, Г и Ф0 - известные функции переменных % и в . Уравнение для угла прецессии у отделяется от системы (1) и здесь не записано. Ось 2 в невозмущенном случае (е =0) является осью динамической симметрии ТТ.

Уравнения (1) описывают нелинейную систему дифференциальных уравнений, которая позволяет исследовать резонансные эффекты только посредством численных методов. По этой причине в работе рассматривается получение приближенных квазилинейной и нелинейной (низкочастотной) систем уравнения движения, позволяющих использовать известный метод усреднения для изучения указанных эффектов.

Применение асимптотических методов для анализа полученной системы усложняется большим количеством возмущений, которые необходимо учитывать. В данной модельной задаче учитываются возмущения от малого смещения центра масс от оси динамической симметрии тела и малые постоянные в связанных с телом осях моменты АМХ, ЛМу, ЛМг. Причем способ

введения малого параметра в систему связан с выделением порождающего решения и исследованием поведения системы в окрестности этого решения. В этом случае малый параметр е используется как безразмерный коэффициент (или масштабный коэффициент), указывающий на вид порождающего решения. Успех использования асимптотических методов в этом случае определяется близостью порождающего и точного решений друг к другу.

При получении квазилинейной модели исходная система нелинейных уравнений (1) приводится к комплексной форме. Проводится замена переменной в на комплексную

переменную £ = ¡ве"У, а коэффициенты возмущающих моментов 02, Сп представляются в виде

степенных рядов: вг = +Ог2в2, Оп = вп1в + Оя303, где 0 = -Щ, £ = .

Квазилинейная система уравнений движения принимает вид:

(¡§ , „ , ,,, ЛФ 1 г , й(

(2)

Л _

где Ф=1р + р - быстрая фаза, С,-,/ = 1...4 - некоторые положительные постоянные, /(§,о>г,Ф) - известная функция своих переменных, а>2 - угловая скорость тела относительно его продольной оси, у - угол прецессии тела.

После замены переменных квазилинейная система (2) приводится к стандартному виду систем с быстрыми и медленными переменными, к которым можно применять метод усреднения: сЫЛ = е2(г,у,е), ¿у1Ж = е>{г) + еГ(г,у,е), (3)

где 2 = (а\,а2,а>г) и у = (эд.уг.Ф) " вектор медленных и быстрых переменных, а(г) = (й>1,<а2)"частоты> )',г) и Г(:,у,е) - функции, периодичные по быстрым фазам У\,хр2,Ф с периодом 2л и состоящие из конечного числа гармоник. Здесь § = а^е"1'1 +а2е"''2, 0(, ¿?2 " амплитуды колебаний, а у!\,ц>2 - фазы колебаний комплексной переменной £.

Систему стандартного вида (3) можно записать как систему с двумя быстрыми фазами. Она значительно проще исходной нелинейной модели и позволяет производить аналитические исследования эволюции, вызванных резонансными эффектами от нескольких резонансов и анализировать внешнюю устойчивость этих резонансов. Недостатком этой модели является относительно небольшой диапазон изменения угла в (до величин порядка25...30 град)

Этого недостатка лишена нелинейная низкочастотная модель, поскольку ее можно использовать для описания движения при углах в в диапазоне бе[0,л/2). Для получения низкочастотной модели движения исходная нелинейная система (1) упрощается методом интегральных многообразий, что значительно облегчает ее применение для анализа резонансных явлений. В работе рассматриваются вопросы, связанные с выполнением условий теоремы о существования интегрального многообразия для исходной системы уравнений движения. Низкочастотная система уравнений, описывающая движение по интегральному многообразию, в исходных переменных представляет собой стандартную систему с одной быстрой фазой <р:

<1(р1 ск = р(а2,0) -I- ¡{01 (<ог, ср, в, аа), <1аг / Л = цФ2 («г, ср, в, аа), (4)

ав = с191Ж = Нх(аг,ср,ц), е=у(х) + Я2(<а2,<р,^), (5)

где ц = 4е, т =}И- медленное время; р(а2,0) = э2,0); Од =у(ог0)- корень уравнения

р(а2,в) = 0, причем ЬР15в(а1 о)>0; Ф\(а2, ср,в,ая ),Ф2(ог, <р,в, ая )-известные функции, периодические по фазе ср с периодом 2л и включающие конечное число гармоник. Здесь выражения (5) описывают интегральное многообразие. В отличие от исходной системы (1), низкочастотная система (4)-(5) позволяет производить усреднение с последующим анализом внешней устойчивости резонанса при больших углах в (до л/2).

В заключение во второй главе определяются резонансы, возникающие в рассматриваемой модельной задаче в квазилинейной и нелинейной моделях движения, и производится их сравнение.

В третьей главе обосновывается методика выбора параметров метода интегрирования, обеспечивающих необходимую точность численного расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов. В качестве основного метода интегрирования используется классический метод интегрирования Рунге-Кутты с постоянным и переменным шагами.

При численном исследовании нерезонансных и резонансных движений механических систем с высокими частотами, для обеспечения необходимой точности вычислений в некоторых случаях возникает необходимость использования специальных методов интегрирования или методов высокого порядка точности. Одним из способов получения достоверных результатов, оставаясь в рамках классических методов, является применение метода усреднения. Метод усреднения позволяет изучить эволюцию медленных переменных с учетом высших приближений. Однако при численном интегрировании усредненной системы необходимо определять параметры метода интегрирования так, чтобы обеспечить согласованность погрешности интегрирования с погрешностью высших приближений метода усреднения. При этом погрешность численного интегрирования должна быть меньше погрешности высших приближений метода усреднения, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях.

Системы уравнений (3) и (4)-(5) представляют собой стандартные уравнения с двумя и одной быстрыми фазами соответственно. Общий вид таких систем следующий:

^=еХ(х,у,£), (6)

Л

&-=о(х) + еУ(х,у,е), (7)

т

где х - вектор медленных переменных, у - вектор (или скаляр) быстрых фаз, е - малый параметр, а(х)- вектор-функция частот, Х(х,у) и У(х, у) - вектор-функции, периодичные по фазам у с периодом 2л и имеющие конечное число гармоник.

Применение метода усреднения в нерезонансном случае для стандартной системы (6)-(7) заключается в поиске такой замены переменных

х = х° +£х1(х",у") + е2+..., (8)

у = у°+еу1{х0,у0)+е2+..., и такой системы уравнений для новых переменных х", у":

¿х°/Ж = £А1(,х0) + £2А2(.х0) + е3 +..., (9)

¿у"/Л^со(х°) + еВ]{х") + £2 +..., правые части которой не содержат вращающихся фаз у".

Неизвестные функции Х[, у\, А\, Л2, В1 асимптотических разложений (8)-(9) определяются по известной методике метода усреднения.

Для усредненной в нерезонансном случае системы уравнений движения (квазилинейной или низкочастотной) в итоге получаем следующие оценки величины шага при численном интегрировании методом порядка точности р (приближения метода усреднения определяются в нерезонансном случае по известной методике):

1) если первое приближение метода усреднения А\ ф 0, то О(к) < 0{^[е),

2) если второе приближение А2 * 0, при А\ = 0, то 0(к) < ,

3) если третье приближение А^^О, при А\ = 0, Л2 = 0, то 0(К) < ).

Для усредненной в резонансном случае системы уравнений движения приближения А\, А2, А3 определяются также по известной методике, но в резонансном случае, В результате в резонансном случае имеем следующие оценки:

1)пусть А] =0 и А2 ф0,тогда 0{К) <0{Щв),

2)пусть А] =0, А2 =0 и Аз ¿0,тогда 0(й)<0(л/?).

В частности, при численном интегрировании с шагом А по усредненным уравнениям (низкочастотным или квазилинейным) методом Рунге-Кутты четвертого порядка для определения угловой скорости шг при движении ТТ с малой асимметрией существует три

области изменения шага интегрирования: 1) 0(И) < 0(е 1/2), 2) 0(/г) е [<9(£"2),0(£|/'))],

3)0(й)>0(е|/4). В первой области численное интегрирование по усредненным уравнениям позволяет использовать данные уравнения для определения угловой скорости аг в нерезонансном и резонансном случаях. Во второй области численное интегрирование по усредненным уравнениям в резонансном случае позволяет определять значения шг, однако, использовать аналогичные уравнения, усредненные в нерезонансном случае, для нахождения значений <а2 этом случае не представляется возможным, так как погрешность вычислений численным методом превышает погрешность метода усреднения. По этой же причине в третьей области нельзя использовать усредненные в обоих случаях уравнения для расчета эволюции угловой скорости аг. Аналогичные интервалы для параметров интегрирования (констант автоматического выбора шага) были получены при использовании интегрирования с переменным

Полученные оценки для параметров численного интегрирования усредненной системы позволяют повысить достоверность численных расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов.

В четвертой главе проводится подробное исследование внешней устойчивости

резонансов и влияния связанных с ней эффектов на эволюцию медленных переменных в

возмущенном движении ТТ вокруг неподвижной точки в случае, близком к случаю Лагранжа.

Для анализа рассматриваемых резонансных эффектов на нерезонансных участках движения

определяются асимптотические решения метода усреднения до второго порядка включительно. С

помощью полученных усредненных уравнений определяются условия возникновения и основные

факторы, влияющие на эволюцию угловой скорости о2.

Наличие возмущений в рассматриваемых системах может привести к появлению малых

резонансных знаменателей. В частности, в квазилинейной системе (3) возможны следующие

резонансы: о, -Ю| 2 ~ 0, ог-2о\ 2 +й>2 1 и 0, где <3| 2 =/г<з2/2 + О0 - частоты колебаний,

1-2т2 —

шд = а? /4 + й>о , «о = сопи - частота колебаний при <з2=0, 1г=1г/1, 1 = (1х+1у)/2,

1х,/у,!г — главные осевые моменты инерции ТТ. Следовательно, в квазилинейной системе (3) могут существовать четыре резонансные угловые скорости: о^' = ±<3д /-Д — 1Х ,

агг2 = ±3оо /-27г , которые симметричны относительно нуля.

Анализ приведенных выше резонансных угловых скоростей показывает, что эволюцию системы на нерезонансных участках к резонансным зонам определяет зависимость со1(1). Усредняя уравнение для угловой скорости <з2 системы (3), получим (далее верхний индекс для усредненных медленных переменных г" — б°| опущен):

(^.уеА1+егА2. (10)

А(а| ,01 ,&>,) /4(01,^9,0,)

В рассматриваемом случае: А\ =0, Л2 = —!—=——соэ(Ф^) - ——!—=——со+

(а2-ш |) (аг-о2)

, /б(°1 <а2>аг) ^ ^ г-

+ '—-—5—соз(Ф^)--'-=—со5(Ф1/), со- обобщенный параметр, зависящии

(шг ~2о>1 +Ш2) (сог —2Ц>2

от действующих возмущений, а;д - амплитуды угла нутации. Здесь функции /у, у = 3...6 являются знакопостоянными на каждом нерезонансном участке.

Усредненное уравнение (10) описывает поведение медленной переменной а2 вне резонансных областей порядка О(-Уе). В знаменателях выражений (10) содержатся резонансные расстройки частот, которые определяют влияние резонансов на эволюцию шг. Для анализа внешней устойчивости резонансов по полученным уравнениям строятся графики зависимостей {с1а2 /о7} = /(са2), иллюстрирующие возможные случаи поведения медленной переменной шг (например, рисунок 1). Характерной особенностью зависимостей, приведенных на рисунке 1, является наличие устойчивых (неустойчивых) резонансов и стационарных точек, расположенных вблизи резонансов, определяющих области, где производная с1а2/Ж принимает значения разных знаков. Направление эволюции угловой скорости аг показаны стрелками. Поэтому переменная а, на нерезонансных участках с течением времени стремится к какому-либо резонансу или к стационарной точке. Вид графиков, аналогичных случаю, показанному на рисунке 1, зависит от сочетания знаков выражений /у,у = 3...6, соъФ^. Так, рисунок 1

соответствует случаю /у,/ = 3...6>0, со8Ф(/>0. Анализ эволюций усредненной переменной

Рисунок 1 - Резонансные эффекты при вращении тела вокруг неподвижной точки

аг посредством уравнения (10) позволяет выделить следующие эволюционные резонансные эффекты:

1. Увеличение скорости изменения медленной переменной <иг, сопровождающееся уменьшением скорости изменения быстрых переменных у, при приближении к резонансам

ог , аг ,

2. Наличие вблизи резонансов областей притяжения (отталкивания) значений <вг;

3. Существование при определенных условиях (созФ^ = 0 и ¡Д||- =0) вблизи резонансов устойчивых или неустойчивых стационарных точек, обозначаемых на рисункс 1 как .

В низкочастотной системе (4)-(5) возможна реализация главного резонанса, оказывающего наибольшее влияние на нерезонансные эволюции переменных. Главный резонанс возникает при выполнении условия: <зг -И|2 «0. Решая данное уравнение, получаем резонансное значение

г "1/2

угловой скорости <аг: а2 = ±а0 /(1 - /г) . Здесь частота ш0=/(в). Переменная в при применении метода интегральных многообразий также становится медленной переменной (движение системы происходит по интегральному многообразию).

В нелинейном случае (4)-(5) резонансная расстройка частот аг - <3| 2 ~ 0 зависит от двух

медленных переменных а2 и в, поэтому на эволюцию низкочастотной системы на нерезонансных участках, связанную с резонансными эффектами, оказывают влияние обе эти переменные о)г, в. Усредняя уравнения для этих переменных, находим:

01)

Л

= еА°+е2А%, (12)

В нашем случае А? =А,в= 0, Л? = Мв'°г) «ящ + созац +

(«г-О),2) (юг-ш12)2 (Шг -<а1>2) Ае _ ММА +Мв,а>г) '+ М^А

(сог-031,2) (©г-®1,2) (<32 -0\2) (®г"ш1,2)

Здесь функции /„(0,oz),л = 7...13 - функции, знакопостоянные на каждом нерезонансном участке и зависящие от возмущений, cos cpj, sin (pj - обобщенные параметры, зависящие от действующих возмущений (параметров асимметрии ТТ и малых моментов А Мх, AM у, AMZ ).

Система (11)-(12) является автономной системой второго порядка. Возможные в ней резонансные эффекты удобно анализировать на плоскости переменных (<э2,0). Для примера на

a

рисунке 2 показан один из возможных случаев поведения траекторий системы (11)-(12) (A¡ = 0,

А" =0). Рассматривается случай, когда на эволюцию медленных переменных, определяющее влияние оказывает слагаемое /7, зависящее от малого смещения центра масс Ауи малых моментов ЛМХ, A My. В этом случае возможные варианты поведения системы выглядят так:

резонансные кривые <а£(0) (изображенные на рисунке 2 жирной линией) разбивают плоскость на три области, и эволюция переменных шг, в определяется принадлежностью начальных условий шг(0), 0(0) соответствующей области и знаком произведения f-¡ cas<p<j, характеризующего величину возмущений.

Если f-j cos<pur>0, то положительная часть резонансной кривой <и£(0)>О притягивает фазовые траектории. Если /7 cosq>j<0, то устойчива отрицательная часть (<а£(б)<0). Скорость изменения медленных переменных az, в, как это следует из (11)-(12), увеличивается при приближении к резонансной кривой о ¡(в), а скорость изменения быстрой фазы (р, напротив, уменьшается.

<о , с-1

Рисунок 2 — Резонансные эффекты на плоскости переменных 6

Кроме того, при значениях угла в в интервале (70° <в < 90°) вблизи резонансной кривой ш£(0) возможно появление особых точек, устойчивость (или неустойчивость) которых совпадает с устойчивостью (или неустойчивостью) соответствующей части резонансной кривой. Появление особых точек вблизи резонансной кривой объясняется наличием в выражениях для функций А®

знаменателей, зависящих от квадратов резонансных расстроек частот (о2 -012)2.

Пусть на эволюцию медленных переменных определяющее влияние оказывает функция /8 (обратно пропорциональная квадрату расстройки частот (аг -са^^и зависящая от малого смещения центра масс Ау и малых момен тов А,ИХ, ЛМу). Тогда поведение системы на рассматриваемой плоскости переменных также изменяется, причем притяжению траекторий при

caz> arz к резонансной кривой в этом случае соответствует отталкивание траекторий от той же

кривой при £Вг < шг2 , или наоборот.

В работе показано, что различные варианты поведения нелинейной системы (11)-(12) зависят от реализуемого сочетания возмущений, действующих на ТТ, и построена полная картина возможных движений ТТ в рамках учитываемых возмущений.

Формулируется и доказывается теорема о внешней устойчивости отдельного резонанса для систем уравнений, описывающих возмущенное движение ТТ вокруг неподвижной точки. Как показано в работе, для этого вместо одной из медленных переменных системы необходимо ввести новую переменную: резонансную расстройку частот А{х).

Тогда внешнюю устойчивость резонанса А(х) = 0 в системе (6)-(7) можно определить следующим образом.

Определение. Резонанс А(х) - 0 внешне устойчив в некоторой нерезонансной области D(A), если для любого А>0, можно найти такие Л| (A>Aj>0), е0>0, L>О, что для всех А(х),

определенных из системы (6)-(7) при Л) >|4)|> £1/2 и 0<г<£0 на интервале f0 <(<(• = —

выполняется условие г"2 <|zl|< А, где = Л(ха), х0 =x(Jq), a t* определяет момент выхода 1/2

А{х) на границу е - окрестности резонанса.

Следовательно, о внешней устойчивости резонанса Л(х)=0 в случае нескольких медленных переменных можно говорить лишь применительно к некоторой области D(A), поэтому внешняя устойчивость носит локальный характер.

Теорема (о внешней устойчивости резонанса А(х) = 0). Пусть для системы (6)-(7) выполнены следующие условия:

1) существует положительно определенная по переменной А функция Ляпунова V(A) системы (6)-(7), допускающая по переменной А бесконечно малый высший предел, которая является ограниченной в области ~Je(X) <|z)|<A и имеет вид V = А2;

2) равномерно относительно А из области <|л|<А

существует среднее

... .. 1'+?дУдА,

ч>(4)= hm — I--dt,

т Г->оо Т J дА di

и для всякого р>е"2 можно указать такое 5 > 0, что если Щ> р, то tp(A)<-5 ( при /гО,

'о = 0);

3) существуют суммируемые функции F(t) и M(t), постоянные /-'о и А/о, а также

неубывающая функция у.(a), lim (й) = 0, такие, что в области ф{Х) <U|<A имеют место

д->0

,v /2

неравенства: \v(A')- V{A")\¿ хЛ\л'~ ¿"|)F(0. —=V, | F(l)dí <, Fq(í2 - íj ), ||Af(40|<M(0,

dt ''

¡г

jM(l)dí<M0(l2-<1>на любом конечном отрезке ['ь'г]. А" и А'- значения переменной А в '1

моменты времени (2 и соответственно.

При выполнении условий 1)-3) резонанс А(х) = 0 внешне устойчив. Основным условием внешней устойчивости резонанса А(х) = 0 в представленной теореме является условие отрицательности усредненной производной функции Ляпунова, вычисленной с

учетом действующих в системе возмущений. При этом, в качестве функции Ляпунова 2

используется выражение V = А .

В этом случае условие внешней устойчивости резонанса Д = 0 можно записать в форме:

(13)

где 5 >0 • известная величина.

Из условия (13) следует, что для данной функции Ляпунова резонанс А = 0 будет внешне устойчивым, если знаки выражений А и (¿Л/Л) будут различными. Наоборот, если знаки выражений А и (с1А/Ж) совпадают, то рассматриваемый резонанс будет являться внешне неустойчивым.

Для примера запишем данное условие в квазилинейном случае для резонанса Л = и2 - м| = 0. Для этого найдем полную производную (¿/Л /Л): Ыа\ дА ¿а,

ЛI даг Л

-2

П 7 1 дА дах 1г 1гаг

При ¡2 <1 примем,что: -= 1--- = 1---->0.

8аг да>2 2 4ад

Усредненное уравнение (¿/<а2 / Л} для рассматриваемого резонанса имеет вид /<ЛзД /з(в1,о2>ог)

. , , . ^05^). (15)

М I (й)2-й)1)

Как показано на рисунке 1 при аг > о^1 производная (с1а2 /Ш)<0 по крайней мере при о2 <<з2. С другой стороны, при 0<<з2 < а?1 усредненная производная (Лаг / Л)>0. Так как частная производная ЗЛ/Э<з2 положительна, то на данных нерезонансных участках знаки выражений (с1шг / Л) и (с/Л / Л) совпадают.

Итак, для резонанса Л = <а2-Ю|«0 при аг > ш2' имеем Л>0 и (г/Л/Л) <0, а при 0<о2 < - А< 0 и (с!А / Л) >0. Поскольку знаки функций А и (с!А/Л) противоположны, то резонанс А = а2 - = 0 согласно условию (13) является внешне устойчивым.

Аналогичным образом рассматривается в квазилинейном случае внешняя устойчивость резонансов -й>2 «0, а2 -2<3] +02 ~ О, сог-2а>2 +Ш] «0. Производится сравнительный анализ внешней устойчивости рассмотренных четырех резонансов. Показывается, что при малых углах нутации в главные резонансы аг - <3| 2 ~ 0 имеют большую область притяжения по сравнению с резонансами а>2-2<3| 2+»2,1 ~0, что объясняется большей величиной производной (с!У / с11) для главных резонансов.

В нелинейном случае условие внешней устойчивости для главного резонанса А = а2 2 = 0 имеет такой же вид (13), однако полная производная усредненной функции

(¿Л/А) определяется более сложным выражением:

с1А\ дЛ /с!в\ | с дА Ыа,

, ~ , , • - > , • (16) <Л/ дв \А/ 5ш2 \ <й 1

Здесь расстройка частот является медленно изменяющейся функцией двух переменных

Л = Л(б,ш2), а выражения для производных определяются из уравнений (11) и (12). Показано,

что в этом случае правая часть условия (13) пропорциональна Л"'. При этом условие (13) не

содержит слагаемых с квадратами расстроек частот в знаменателях (члены ), а

производные (-р-}, содержат. В нелинейном случае также возможны внешне устойчивые

или внешне неустойчивые резонансы, когда знаки выражений (13) отрицательны или положительны с обоих сторон данного резонанса вне резонансной области. В отличие от квазилинейного случая здесь возможна ситуация, когда знаки выражения (13) при Л<0 и Л>0 противоположны. Будем называть такие резонансы полуустойчивыми.

На рисунке 3 представлено поведение нелинейной системы в трехмерном пространстве переменных (8,az,V). При этом может быть получена полная картина эвошоций медленных переменных в нерезонансных областях, прилегающих к резонансам. На рисунке 3 в горизонтальной плоскости (в,а2) показана резонансная кривая, разделяющая фазовую плоскость на три подобласти I, II и III. При этом положительная ветвь резонансной кривой "притягивает" к себе траектории из областей I и И (внешне устойчивый резонанс). С другой стороны, отрицательная ветвь резонансной кривой "отталкивает" от себя траектории из областей II и III (внешне неустойчивый резонанс).

V, с 2

30

6, град

ю,. с

Рисунок 3 - Внешне устойчивый и внешне неустойчивый резонансы

Одновременно с этим величина функции Ляпунова У>0 при приближении к внешне устойчивому резонансу уменьшается. Следовательно, при 02 >0 резонансная кривая соответствует внешне устойчивому резонансу в областях I и II, а при (Вг<0 - внешне

неустойчивому резонансу. Проводились также расчёты нерезонансных траекторий по исходным нелинейным уравнениям, подтвердившие справедливость полученных результатов. При этом оказалось, что при дальнейшем движении внешне устойчивый резонанс, показанный на рисунке 3, переходит во внутренне устойчивый.

Кроме внешней устойчивости резонансов анализируется также условия устойчивости околорезонансных стационарных точек, возникающих при реализации рассматриваемых резонансных эффектов. Производится сравнительный анализ внешней устойчивости резонансов и устойчивости данных стационарных точек.

В пятой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче спуска космического аппарата с малой асимметрией в атмосфере. В этой главе рассматриваются следующие вопросы:

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных КА в атмосфере при малых углах атаки (квазилинейные уравнения) и при больших углах атаки (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении КА в атмосфере;

- получение усредненных уравнений движения КА на нерезонансных участках движения при малых и больших углах атаки и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- исследование внешней устойчивости резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул с малой асимметрией;

- сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонанс в вероятностной постановке;

- разработка методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА с малой асимметрией.

Учитывается действие следующих возмущений: массово-инерционная асимметрия КА, аэродинамическая асимметрия, влияние демпфирования и медленного изменения параметров движения центра масс. Резонансные эффекты иллюстрируются на примере совместного влияния массово-инерционной и аэродинамической асимметрий на движение в атмосфере КА в нелинейном случае (применяются нелинейные низкочастотные уравнения движения). Обобщенные параметры асимметрии в данном случае имеют следующий вид:

4 = +1>".?2? . тх\ = -—(>»& + СуХ Ау)1ёа 1 £ - ЬуШ^а ,

тхг = -^—(т^.+С^А=^а-1х,а}221ёа,тл = М/^)2 + (А!)2 ,шв2=-т^/тх,

со$в2 = гпх2 (тх = А1/тл ,са$2вз = -Туг ¡тА, Аг^А^И, Ау = Ау/I. - относительные

смещения центра масс, - аэродинамические коэффициенты асимметрии формы,

А1 = (]2-1у)/1, А1 = А1/1, 7 уг = 1уг /1, I Ху = 1 ху! 1,1 х: = И -инерционная асимметрия, Су\, т:п - коэффициенты поперечной аэродинамической силы и восстанавливающего

момента, 1 = (1у+12)/2, а>12 = 1хах 12±аа, аа = уТ^а2/4 + а2 , 1Х-1ХН, а = т2пЧ^с1ёа!I' частота колебаний при шх - О, Ь п характерные длина и размер КА, q-скоростной напор, Iу, , 1ху, IХ2,!у2 - моменты инерции КА.

Для анализа возникающих при движении КА в атмосфере резонансов в нелинейном случае разработан метод построения резонансных кривых (Космические исследования.-2003.-Т.41,№ 5). В данном методе производится разделение решений системы на медленную и быструю составляющие и при помощи метода интегральных многообразий проводится выделение частот, зависящих от медленных переменных, что позволяет строить резонансные кривые (поверхности), определяющие положение резонансов в данной системе.

Усредненные по быстрой фазе в нелинейные уравнения для угловой скорости вращения КА относительно продольной оси ах и для угла атаки я на нерезонансных участках с учетом первых трех приближений имеют вид:

[юх! тА со$(292 - 2в3)

^ _I_>1

ШЛ А±ьа

\ Л / 8 }2^да

3<з, За, 1

/11 2Л4

да, (да*)

Л3 до>х

дА , я-^

£

где /,

тА соь(2вг-2вг)

)А2/2

д1Л

да х

Л-3

3 дл а/2 дг/2 л

8ах дшх

даV

2 . 2шца125т а

/2 =-=--К

й512 !

2а„

-),/з

ЗА дах

Щ,г 5'п я , _ ^

: 7, 7Л, Л

_ тгпц$1с1&а ~~~ /

Малый параметр е характеризует величину возмущающих моментов от массовой, инерционной и аэродинамической асимметрий. Уравнения (17) и (18) описывают эволюцию угловой скорости ах и угла атаки я на нерезонансных участках движения, вызванную влиянием главного резонанса ¿1=0. Эти уравнения содержат в знаменателях резонансные расстройки частот Д в разных степенях. При приближении к резонансу величина Щ уменьшается, поэтому скорость изменения переменных <ох и а увеличивается. Так проявляют себя эволюционные резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов. На рисунке 4 показаны эволюции медленной переменной ах, вызванные влиянием резонанса А=0. Кривая 1 показывает изменение со временем резонансных значений угловой скорости ах. Кривые 2 и 3 описывают поведение, соответственно, усредненной (согласно уравнению (17)) и не усредненной угловой скорости ах. Из рисунка 4 следует, что усредненные значения медленной ах (17) качественно повторяют поведение этой переменной до ее усреднения. Кроме того, на рисунке 5 наблюдается увеличение скорости изменения переменной ох при приближении к резонансу А=0.

40

0 15 30 45

Рисунок 4 - Резонансный эффект при спуске КА в атмосфере Из уравнений (17) и (18) следует, что скорости изменения переменных ах и а прямо

пропорциональны обобщенному параметру асимметрии соз(202-2бз). Характер

поведения этих медленных переменных относительно резонанса ¿1=0 определяют также выражения, стоящие в фигурных скобках в уравнениях (17) и (18). Например, при выполнении условий

/5|<|/6|

/7 + -

8/4

cos(202 — 263)

(19)

где/5=^

2Л4

Si'

дах да 0Ш 2

а

/,2 а2/2

л2 дах2

/1V2

5Л Зш,

Л

. S\h

Э2Л

до г

ti

дах да да дА 9/2

34

Л

да. За,

дах'

, резонанс Л -0 влияет

на изменение переменных ах и я в пределах нерезонансных участков движения («притягивает» их к себе или «отталкивает» от себя) вне зависимости от того, с какой стороны по отношению к нему происходит эволюция (Л>0 или Л<0). Такое влияние резонанса на эволюцию переменных возможно только для КА с сочетанием нескольких видов асимметрии (одна из которых является

инерционной асимметрией с обобщенными параметрами тЛ, 03). Напротив, при выполнении условий

|/5|>|/6|.|/7¡

8/4

т \ тх

) cos(202-

203)

(20)

влияние резонанса А-0 на изменение переменных ах и а противоположно на участках справа и слева от него (Л>0 или Л<0). Например, при выполнении первого условия (20), если при Д>0 резонанс Д =0 «притягивал» значения угловой скорости а>х на нерезонансных участках, то при Д<0 он будет их «отталкивать». Выполнение условия (19) или условия (20) определяется сочетанием параметров асимметрии тх , т л, 02, 0з.

Внешнюю устойчивость главного резонанса А=0 для КА с рассматриваемым сочетанием асимметрий удобно анализировать с помощью введения соответствующей функции Ляпунова

V = Л2 . В результате условие внешней устойчивости главного резонанса примет вид:

dt / 3av \ dt

?х.у (21)

и / да\Л/

Напротив, если (с/К/Л)>0, то главный резонанс является внешне неустойчивым. При реализации внешне полуустойчивого резонанса знаки производной (с!У / dt) при ах >ах >0 и

г — 1

при 0 < ах < ах различны. На рисунке 5 показаны эволюции медленных переменных ах(с ) и

а (град) в пространстве (ах,а,У) при полуустойчивых резонансах + а£. При этом, если

ах >ах >0 и резонанс ах >0 внешне устойчив {(¿1УI< 0), то при 0 <ох < ах тот же

резонанс является внешне неустойчивым >0). Аналогично, при 0>ах>а>х

отрицательный резонанс а£ < 0 является внешне устойчивым, однако, при ах < а£ < 0 тот же резонанс уже внешне неустойчив.

В таблице 1 представлены области внешней устойчивости (неустойчивости) главного резонанса Л = ах - а^г а 0, соответствующие КА с различными видами асимметрии. На рисунке 6 под цифрами 1 и штриховкой обозначены области внешней устойчивости резонанса, под

цифрой 2 - область внутренней устойчивости резонанса, а цифрой 3 - области, из которых не происходит притяжения траекторий к внешне устойчивому резонансу. Нижняя граница областей внешней устойчивости 1 по величине совпадает с границей резонансной зоны (порядка V?). На верхней границе областей внешней устойчивости по величине |л| производная {(IVI по

малому параметру е имеет порядок больший, чем внутри данных областей, в результате внешней устойчивости резонанса здесь не наблюдается.

Таблица 1__

Вид асимметрии КА Вид внешней устойчивости главного резонанса Условие внешней устойчивости Область внешней устойчивости

Смещение центра масс и аэродинамическая асимметрия Устойчивый 4ё<Щ<1/е

Смещение центра масс и аэродинамическая асимметрия Неустойчивый 4ё<\л\<\и

Массово-инерционная и аэродинамическая асимметрия Устойчивый ^ = 2£3/ММ2<0 41 <\А\<1/Уё

Массово-инерционная и аэродинамическая асимметрия Неустойчивый ^ = 2г3/(*)М2>0 4ё<\л\<1 ¡Не

Массово-инерционная и аэродинамическая асимметрия Полуустойчивый 41 <\л\<м41

В пятой главе также проводится совместный анализ трех условий: условия внешней устойчивости резонансов (21), условия попадания системы в резонансную область в вероятностной постановке и условия внутренней устойчивости КА с малой аэродинамической и массово-инерционной асимметриями. Установлено, что условие внешней устойчивости главных резонансов при малых углах атаки (с/К] 2 / <й)<0 и условие внутренней устойчивости главных

резонансов для космических аппаратов с малой массовой и аэродинамической асимметриями

—А —А

зависят от одного обобщенного параметра асимметрии тх ш cos(0|-62).

Известно, что вероятность попадания траектории в резонансную область для КА с данными асимметриями при малых углах атаки определяется величиной параметра

—А / \

•утхт cos(0] -62). При этом для асимметрии, близкой к ортогональной (0| -02 ~ л и™ 0) ,

параметр ijmx тА cos(0j - 02) может принимать значения (при достаточно большой его величине), приводящие к одновременному выполнению трех перечисленных условий.

Установлено, что для КА с малой инерционной и аэродинамической асимметриями условие внешней устойчивости резонансов зависит от обобщенного параметра асимметрии

т (т ) cos (201 - 263) . Условие гарантированного захвата (вероятность попадания траектории в резонансную область близка к единице) определяется величиной обобщенного параметра Следовательно, при больших углах атаки для КА с инерционной и аэродинамической асимметриями внешняя устойчивость главного резонанса и вероятность захвата зависят от величины угла 0, -03. Однако, данная зависимость имеет более сложный характер, чем при малых углах атаки для КА с малой массовой и инерционной асимметриями, так как условие внешней устойчивости определяется через величину 2(0j-03), а вероятность захвата - через величину угла 0] - 03.

Кроме того, в данной главе решается задача учета резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА. Записываются условия, позволяющие избежать негативного влияния данных явлений на вращательное движение аппарата. По найденным условиям строятся области допустимых отклонений параметров асимметрии КА.

Задачу проектирования баллистического КА, совершающего неуправляемое движение в атмосфере, можно условно разбить на следующие этапы:

Л, с

Рисунок 6 — Области внешней устойчивости главного резонанса при е = 0,1

1) предварительный выбор облика и конструктивно - компоновочной схемы КА;

2) уточнение проектных параметров КА и определение допустимых отклонений параметров от их номинальных значений.

<dV/dt>, с

В настоящей работе рассматривается методика проектирования КА с малой начальной угловой скоростью вращения, величина которой определяется неточностью работы системы отделения аппарата от орбитального комплекса. Записывается условие, позволяющее избежать закрутки почти осесимметричного КА за счет влияния эволюционного резонансного эффекта от малых начальных значений угловой скорости ах до значений, при которых реализуется длительный резонанс (рисунок 5). Известно, что длительный резонанс в свою очередь приводит к значительному увеличению угла атаки (до 180 градусов). Такие значения угловой скорости сох и угла атаки а способны привести к аварийным ситуациям (например, к нарушению в работе парашютной системы).

Предполагается, что в невозмущенном случае КА совершает движение при малых углах атаки. Ставится задача нахождения таких максимальных значений параметров асимметрии, при которых угловая скорость ах в процессе спуска КА приближается к своим резонансным

значениям ох, без реализации длительного резонанса А = шх-а 12 »0. Ограничения по угловой скорости сох в этом случае имеют вид:

minfflj < ох < ах = тахо*. (22)

При малых углах атаки производная угловой скорости ах пропорциональна величине

—А —А

обобщенного параметра асимметрии П = тх т cos(6i - в2) •

Здесь т

2 2 2 2 где mf = - — пА + — Сх] Лг - 1хга\, = ~—mf0 - — Сх, Ау + 1ха\,

тл У" тл mzi тл

2 2 _

sin = т\ I тА, cos0| = -т2 I тл, mxl =----Cy\Ay-ixya f2,

тл mz!

т*г = - —т'К-—СуХ А=-1Х2а12, $тв2=-тх1/т£, соэ в2=тх2/т*, а = / ,

Щ\ тг\

Су\' Сх\• тг\ > т'уо. т%, т'хЛ и т'хс0 ' коэффициенты аэродинамических характеристик КА.

В этом случае Сх=Сх1, Су = Суа, т1п - та1па, где коэффициент Сх[ и частные

производные Су и определены при а-0. Поэтому условие (22) может быть обеспечено выполнением следующего неравенства:

|Я| =тх тА соб(0, -в2) < \Ог|, (23)

где Ог - максимально допустимое значение параметра О, при котором еще выполняется условие (22). Величина Ог определяется численным моделированием по начальным условиям движения и параметрам асимметрии. Например, для спускаемой капсулы «Радуга», имеющей форму конуса, длиной 1,47 метра и массой 350 кг, получено следующее значение параметра П,

= 10"4.

Для расчета допустимых значений асимметрий функция О представляется в виде:

О = к11хгАу + к11ХуА1 + к2'п'^()Ау + к2т%Л: + к}т^01Ху + к3т%1Х2, (24)

Сх! + Су1 , су\ , 1 где к\ =--, к2 = —, к} =--=—.

В неравенстве (23) имеем шесть неизвестных, поэтому для однозначного определения допустимых областей изменения параметров Ау,Л:,1 ху,~1 хг,,зададимся весовыми соотношениями между данными величинами. Пусть выполнено равенство:

су\ -т- Су\ -г 1ху 1Х2 т'у0

т21 и)г1 1-/* 1-/* т21 тл

Здесь р, - положительные действительные числа (веса), для которых справедливо тождество: б

£ р, = 6. Знаки в выражении (25) выбраны так, чтобы обеспечить максимальное значение /=1

параметра 17. Подстановка соотношения (25) в неравенство (23) позволяет найти искомую область допустимых значений. Однако, в данном решении без внимания остается вопрос об изменении функции Л в области допустимых значений, что не позволяет однозначно определить значения параметров асимметрии, при которых данная функции максимальна. Поэтому функция О (24) исследуется на экстремум и показывается, что экстремальное значение данной функции достигается на границе области.

Подставив соотношение для весов (25) в неравенство (23) окончательно получим искомую область допустимых значений для спускаемых КА в следующем виде:

4зрхсух £р1С>л -УзР2су] ■Мр2су1

.тФ , ^РЩ±<тФ №~Ртл (26)

л/3р5 л/3р5 ' -Узр6 20 -/Зр6

np(\-ix) _ ppd-ix) pPa-ix) - pPQ-ix)

'' <-7=-,--7=-< Ix

л/Зрз -|/Зр3 ' л/3р4 -Лр4

В случае, если параметры асимметрии находятся внутри данной области, то угловая скорость ах не достигает значений, при которых реализуется длительный резонанс.

В шестой главе производится сравнительный анализ движения в атмосфере легких спускаемых капсул (J1CK) (с баллистическим коэффициентом порядка

о

cxvS / т=0,003...0,03м/кг) и классических немалых спускаемых капсул (СК) (с меньшими баллистическими коэффициентами cxv S !т <0,003) с точки зрения влияния на их движение рассматриваемых резонансных эффектов. В результате анализа усредненных уравнений для угловой скорости юх были выявлены отличия в эволюционных резонансных эффектах при движении ЛСК и СК в атмосфере. Остановимся на них подробнее.

1. Максимум скоростного напора q и, следовательно, резонансной угловой скорости <ajf при движении ЛСК достигается ранее (высота 80...90 км), чем при движении немалого спускаемого аппарата (высота 40 км).

2. При нерезонансной закрутке за счет резонансного эффекта ЛСК раскручивается до больших значений ах, чем СК.

3. Меньший размер ЛСК по сравнению с СК при расчете аэродинамических характеристик приводит к расширению области свободно молекулярного течения газа и смещению данной области вниз по высоте полета ЛСК.

В диссертации проводится сравнительный анализ изменения коэффициента аэродинамического сопротивления от чисел Маха cxv (М) и изменения числа Кнудсена от высоты полета Кп(Н) на одной траектории для обеих рассматриваемых капсул ЛСК эксперимента YES2 и СК «Радуга». Показано, что граница области свободно молекулярного течения газа для капсулы

YES2 по сравнению с СК «Радуга» (определяется параметром ,—, где М-число Маха, Re-

VRe

число Рейнольдса) смещается вниз со 100 км до 80 км.

На рисунке 7 в качестве примера показаны эволюционные резонансные эффекты при

движении в атмосфере ЛСК YES2 (с XVS / т -0,0209 м2 /кг) и СК «Радуга» (cxvSIт =0,00215м 2/кг). На этом рисунке представлены: угловая скорость азх (кривая 1) и ее резонансные значения (кривая 2) для ЛСК YES2; угловая скорость ох (кривая 3) и ее резонансные значения (кривая 4) для СК «Радуга». Капсула в проекте YES2 называлась «Фотино» и использовалась в совместном европейско-российском тросовом эксперименте на КА «Фотон» в сентябре 2007 г. Эта капсула имела форму близкую к сферической с радиусом R=0,2m и массой т=б кг. Расчеты для рисунка 7 проводились при одинаковых относительных значениях асимметрий и начальных условий движения рассматриваемых капсул.

Рисунок 7 - эволюции угловой скорости ах для ЛСК YES2 «Фотино» и СА «Радуга»

Особое внимание уделяется анализу условий внешней устойчивости резонансов при движении ЛСК различных форм в атмосфере. Рассматривается внешняя устойчивость ЛСК, имеющих форму шара, конуса и цилиндра. Условие внешней устойчивости для ЛСК при малых углах атаки представляется в виде:

ЫУ\ , дА тхтА ,п . . .

—--—соз(0( -в2)<0. (27)

а

=+-

даг

/д

1 llal

—Г +-Í-

а° 4<в

Здесь а)2 =|- 5т"и?л/г/2т|. Из условия (27) следует, что для легких спускаемых капсул

сферической, конической и цилиндрической форм уменьшение массы легкой сферической капсулы т, по сравнению с немалыми спускаемыми капсулами, приводит к уменьшению величины производной (¿V / А) для главного резонанса А~ ах - <¿¡ 2 и 0. При этом резонансное

соотношение частот А = ах -0\ 2 становится ближе к резонансу А « 0.

При немалых углах атаки я условие внешней устойчивости главного резонанса '¿У\ дУ/</А\ .

— ) = —(— )<0 имеет более сложный вид, так как резонансная расстройка зависит еще от

di ,

5 А \ di

угла атаки я и

дА /daх 8а>г \ dt

дА ¡da \ „ dax

+—( — ). Кроме того, зависимость производных

мл

Г—) от массы капсулы от, ее характерного размера и площади, по сравнению со случаем малых

углов атаки, существенно усложнятся. Поэтому для более точного анализа влияния параметров ЛСК на внешнюю устойчивость главного резонанса при немалых углах атаки требуется, чтобы были известны: геометрическая форма капсулы и диапазоны возможных изменений ее массово-геометрических параметров.

В качестве примера исследуются эволюционные резонансные эффекты при движении в атмосфере легкой спускаемой капсулы УЕ82. Капсула возвращалась на Землю с помощью тросовой системы, развертываемой вне атмосферы. Допустимые параметры асимметрии капсулы определялись автором данной работы по методике, изложенной в пятой главе, исходя из обеспечения ограничений на угловую скорость сох и угол атаки я.

В седьмой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче движения на орбите КА - спутника с магнитной системой ориентации и рассматривается влияние резонансных эффектов на точность ее работы. Магнитная стабилизация движения данного КА обусловлена действием восстанавливающего магнитного момента, возникающего в геомагнитном поле. При этом учитываются возмущающие моменты от малого отклонения вектора напряженности магнита от оси динамической симметрии спутника (угол £| «1), момент от вязкого трения в

демпфере (Мш), моменты, вызванные инерционной асимметрией КА (параметр А1), и малые гравитационные моменты ЛМХ, АМ у, ЛМ2.

Для анализа движения КА с магнитом на борту используются (по аналогии с задачей о движении КА в атмосфере) низкочастотная нелинейная и квазилинейная системы уравнений.

Квазилинейный случай характеризуется малыми углами нутации в (угол между продольной осью X КА и вектором напряженности магнитного поля Земли Н). Раскладывая правые части квазилинейной системы в ряды Фурье, нетрудно определить, что наличие малого отклонения оси магнитного момента спутника (£[) и малых гравитационных моментов (АМу ф 0, АМг ф 0) приводит к появлению малых знаменателей следующего вида:

4,2 = о* -"1,2 = 0. 4) = 2ш£2 - о,.2 -йз2,1 =0. (28)

Здесь о12 = 1хах/2±щ - частоты колебаний КА, ад = д|/2о2/4 + <а2 , а - частота колебаний

спутника при ох=(), о 2 = ; . магнитный момент КА. Из уравнений (28)

^ ~ Лг

определяются резонансные угловые скорости: о^1 = ±аз / л/Г-7х , агх2 = 0.

В результате усреднения квазилинейных уравнений в нерезонансном случае было найдено уравнение для угловой скорости ах, учитывающее первые три приближения метода усреднения:

(с1ах/Л) = еА°* +е2Л^ + е*А°' . (29)

л1ГА 2 4

Здесь = (АМх+Маах)Их,А"х = 0,А?Х = - ° эт2/*

_д(о\2) МьтАА1а\2а2 л 9(2ох-От2)МьтАа1ш\ 2а2

+ —---—-!-соэ/1 +---—-'-С05у +

да>* 4/хА22ад 32/^о ¡а{2

_ 3(<ия') МьтЛА1а2га}га2 , _ дА 9МьтАА1а}2ш22о2 А + " -Гг—^---со+---—----а«)^ ±

472ха!,2 ^ 32/2ха04_2

±д(.ад2)(Мь) <2<а</<а д(од2) (А!)Ч,2аГ,2ю ¿о да* ' 411А12 С" + 8/^1,2 Л +

| лЛ/о^а^а2 (¿а'? т8(,а12)(А'])2а12а12а ¡¿а,

—/I

т

яг-4/«2, тА = , V =Л^4 +ДМуГх, т?=-АМгГ[, %туА=т^1тл,

сов/=т?/тА, ^ , АМх=Зци,-[у)г,2^/г\ АМу = Щ1Х - ¡,)ш !г\

АМ2 =3/<(/^ - /Х)Щ\Ц2 /г3, /(- гравитационная постоянная Земли, щ,г/2,'/з~ косинусы углов

Т/-Д - М-7 <1а тМ ЛИ

между радиусом-вектором положения КА г и связанными осями —= —--

Л 21а а

— 12-1у 1г+1у

, тм = Кес!у1)У, (!у1) - удельный магнитный момент КА, V- объем тела,

Ке - некоторый коэффициент пропорциональности, а] 2- амплитуды угла нутации. В частности, для круговой полярной орбиты напряженность геомагнитного поля изменяется следующим

_ с!Н Зне5ш2и йи _ _

образом: -=-, —. Здесь ¡ге - магнитная постоянная Земли, и - аргумент широты.

Л 2гЧ1 + Ззт2м Л

Напряженность геомагнитного поля изменяется периодически в процессе полета КА по орбите. Применяется модель геомагнитного поля в виде прямого диполя, когда поле планеты моделируется диполем, ось которого совпадает в осыо вращения Земли и направлена от северного полюса к южному полюсу.

Внешнюю устойчивость резонансов в данной задаче будем рассматривать на примере спутника с магнитной системой ориентации серии «Транзит», имеющего форму, близкую к сферической с максимальным диаметром 0,37 метра и массу 55 кг. На рисунке 8, построенном при движении полярного спутника по орбите, приводятся эволюции угловой скорости ох(1), вызванные резонансными эффектами (кривые 1-6). Данные эволюции вызваны влиянием знаменателей ^ 2 в уравнении (29) и аналогичны резонансным эффектам в задаче о движении КА с малой асимметрией в атмосфере. Однако, в отличие от этой задачи, при движении спутника с магнитом по орбите на вращательное движение спутника оказывает влияние изменение напряженности магнитного поля планеты. В частности, это приводит к периодическому изменению резонансных угловых скоростей (!) (рисунок 8, кривая 7). Кроме того, между резонансными значениями ыгх , ах2 = 0 имеются стационарные значения угловой скорости ах = -о14^-21 х ~1Х = 1х/1, показанные на рисунке 8 кривыми 8, которые незначительно изменяются периодически в процессе полета.

В таблице 2 записаны обобщенные параметры асимметрии и резонансные расстройки частот, которые в соответствии с уравнением (29) приводят к резонансным эффектам при движении спутника с магнитом по орбите. Следует отметить, что в соответствии с численными исследованиями диссипативный момент влияет на резонансные эффекты незначительно и приводит к некоторому уменьшению колебаний по угловой скорости ох.

Рассматриваются вопросы, связанные с внешней устойчивостью трех резонансов А[ = ах - О) = 0, А2 = ах - а2 = О и = 2ох-а\2~а2\= 0. Первые два резонанса оказывают

с магнитом по орбите в случае

влияние на нерезоиансную эволюцию угловой скорости ах, начиная с третьего приближения метода усреднения. Влияние же третьего резонанса проявляется только в четвертом приближении. Поэтому сначала рассматривается внешняя устойчивость первых двух резонансов. Для исследования внешней устойчивости резонанса Л|>2 ~ 0 (вне резонансных зон порядка

Л]2=0(т/е)) вводится в рассмотрение функция Ляпунова вида У]2 = Л}2.

Таблица 2

Обобщенные параметры асимметрии Резонансы Наличие зависимости от а,

а>х -Ш| 2 «0 Нет

Т72 Мъ—г дЛ

--—А л ЛШьт соя}^ Резонансы ах - а^ » 0, Нерезонансные выражения 2ох - а,у2 Нет

ах-о, 2 »0 2 °1,2

Резонанс Л| 2 ~ О будет внешне устойчивым при выполнении условия <0.

апрогив, если ^¿/^ 21> 0, то резонанс Дд к ® является внешне неустойчивым.

Производная от функции Ляпунова по времени на нерезонансных участках движения имеет вид

Л I ' дах \ Л / и да \ Л /

И

Анализ внешней устойчивости резонансов 4,2 =шх ~ а1,2 = 0. основанный на исследовании знаков выражения (30), показывает, что второе слагаемое в выражении (30) практически не влияет на внешнюю устойчивость резонансов при рассмотрении движения спутника на небольшом интервале времени по орбите. Кроме того, влияние второго слагаемого быстро ослабевает с ростом высоты орбиты спутника. Основное влияние на внешнюю устойчивость резонансов оказывает первое слагаемое выражения (30). При этом, данные главные резонансы будут являться внешне полуустойчивыми, поскольку знак производной 2 I

при Л\ 2 >0 и при Л] 2 <0 различен. Третий резонанс реализуется при условии А1 0. Внешняя

устойчивость третьего резонанса =2ах -Ш| 2 -«2,1 = 0 (равенство выполняется при о^=0)

при реализации первых двух проявляется в довольно узкой нерезонансной зоне, прилегающей к данному резонансу, и весьма несущественно влияет на эволюцию угловой скорости ах.

В работе предлагаются способы уменьшения и стабилизации угловой скорости ах, которые можно использовать при проектировании и эксплуатации спутников с магнитной системой ориентации.

Способ уменьшения угловой скорости ах. Для уменьшения угловой скорости ах требуется, чтобы рассматриваемый резонанс ¿¡=0 {А2 = 0) был внешне неустойчивым ({¿К,,2 / Л)

> 0) в интервале значений ах между данным резонансом и резонансом А3 = 0. Обеспечение такого условия неустойчивости способствует эволюции угловой скорости ах до значений ах»0 и осуществляется выбором знака и величины параметров асимметрии

,МЬ>тА.

Способ стабилизации угловой скорости ах. Другой способ стабилизации угловой скорости ах заключается в использовании значений угловой скорости, близких к стационарным

точкам 2<Эд-<3| 2 = 0. Для этого требуется, чтобы выполнялось условие

~ пр"•

стационарной точке Ас = 2ах - О) 2 =0. Отсюда получаем ах = ±<а/(4-2/*)"2. Обеспечени такого условия устойчивости осуществляется выбором знака и величины параметров асимметри

- — —а А

А1,Мь,т .«юр .

В приложении к диссертации приведены некоторые выражения в комплексной форме для квазилинейной системы уравнений движения КА в атмосфере, результаты моделирования угловой скорости ах для различных спускаемых аппаратов.

В конце работы приводятся копии актов о внедрении результатов диссертации и различных предприятиях и организациях ракетно-космической отрасли.

Основные результаты работы:

1. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на методе усреднения, методе интегральных многообразий и теории устойчивости движения.

2. Разработан метод построения резонансных кривых, основанный на применении метода интегральных многообразий и позволяющий анализировать условия возникновения резонансов в рассматриваемых нелинейных системах. Данный метод может быть использован для построения резонансных кривых в задачах с произвольными моментными характеристиками КА.

3. Получены усредненные в нерезонансном случае математические модели для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что из рассмотренных видов резонансов на внешнюю устойчивость резонансов наиболее существенное влияние оказывает главный резонанс.

4. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными, в которой определены условия внешней устойчивости резонанса в общем виде.

5. Проанализировано влияние различных сочетаний асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что внешняя устойчивость резонансов зависит от ряда найденных обобщенных параметров асимметрии. Показано, что влияние инерционной в сочетании с массовой или аэродинамической асимметриями приводит к реализации внешне полуустойчивых резонансов.

6. Проведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область (вероятностная постановка задачи) в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере. Показано, что для ортогональной асимметрии КА может наблюдаться одновременное выполнение этих трех условий.

7. Разработаны методики учета вешней устойчивости резонансов при проектировании КА - неуправляемых аппаратов, осуществляющих спуск в атмосфере и спутников с магнитной системой ориентации, совершающих движение по орбите. В результате для спускаемых в атмосфере КА разработана методика построения области допустимых значений параметров асимметрии, а для спутников с магнитной системой ориентации предложены способы уменьшения и стабилизации угловой скорости а>х.

8. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул. Проведено математическое моделирование резонансных эффектов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул эксперимента УЕЯ-2. Определена область допустимых параметров асимметрии данной сферической капсулы.

9. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Основное результаты диссертации отражены:

в монографии:

1. Любимов, В.В. Вторичные резонансные эффекты и устойчивость при движении твердого тела в атмосфере. Монография [Текст] / В.В. Любимов. - Самара: Изд-во Самарского науч. Центра Рос. акад. Наук, 2005.- 166 с. - ISBN-5-93424-220-2.

в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации:

2. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса в нелинейной системе с медленно и'¡меняющихся переменными [Текст] / В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. - 2002. - № 6. - С.52-58. - ISSN 0572-3299.

3. Любимов, В.В. Об особенностях в возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту [Текст] / В.В. Любимов И Известия вузов. Авиационная техника. -2009. - № 2. - С.29-31. - ISSN 0579-2975.

4. Любимов, В.В. Определение области допустимых значений параметров асимметрии при проектировании ЛСК «Фотино» [Текст] / В.В. Любимов // Полет. - 2009. - № 6. - С.36-40. -ISSN 1684-1301.

5. Заболотнов, Ю.М. Вторичный резонансный эффект при движении КА в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. - 1998.- Т. 36, № 2,-С.206-214.

6. Любимов, В.В. Резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в случаях, близких к случаю Лагранжа [Текст] / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия технические науки.- 2000.- № 10. - С.40-44. - ISSN 1991-8615.

7. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. - 2002. - № 1. - С.49-59. - ISSN 0572-3299.

8. Заболотнов, Ю.М. Нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела вокруг неподвижной точки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Прикладная математика и механика. - 2002. - Т.66, Вып. 3. - С. 410-417. -ISSN 0032-8235.

9. Заболотнов, Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. -2003.- Т. 41, № 5.- С.481-487. - ISSN 0023-4206.

10. Заболотнов, Ю.М. Устойчивость легкой конической капсулы при спуске в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов, A.B. Усалко // Известия Самарского научного центра Рос. акад. наук, 2005, - Т. 7, № 1. С. 118-123.

11. Любимов, В.В. Эволюция во вращательном движении динамически асимметричных космических аппаратов в атмосфере [Текст] / В.В. Любимов // Известия Самарского научного центра Рос. акад. наук, 2006, - Т. 8, № 3. С. 849-856.

12. Любимов, В.В. Оценка шага численного интегрирования одной усредненной системы уравнений движения твердого тела [Текст] / В.В. Любимов // Вестник транспорта Поволжья (Вестник Самарской государственной академии путей сообщения).- 2008. - №1 (13). - С.58-62.

в других изданиях:

13. Любимов, В.В. Приближенная оценка устойчивости капсулы при спуске в атмосфере [Текст] I В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. - 2005,- № 38. - С. 171-172. - ISSN 1991-8615.

14. Любимов, В.В. Оценка вероятности захвата в резонанс при движении динамически несимметричного твердого тела в атмосфере [Текст] / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. - 2007,- № 2. - С.110-115.-ISSN 1991-8615.

15. Заболотнов, Ю.М. Применение низкочастотного решения для исследования гойчивости резонансного движения КА в атмосфере [Текст] /Ю.М. Заболотнов, В.В. обимов// Математическое моделирование систем и явлений. Межвузовский сборник научных удов. - Самара,- 1995. - С.48-53.

16. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния асимметрии на движение космического парата в атмосфере при малых начальных угловых скоростях вращения [Текст] /Ю.М. оолотнов, В.В. Любимов// Депонир. в ВИНИТИ, № 611 -В 96,- 1996. - 20 с.

17. Заболотнов, Ю.М. Исследование раскрутки космического аппарата вокруг продольной и при спуске в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Тезисы докл. XXXI учных чтений, К.Э. Циолковского - Калуга - 1996. -С.57.

18. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на процесс зникновения закрутки космического аппарата при его движении в атмосфере [Текст] / Ю.М. эолотнов, В.В. Любимов//Тезисы докл. Всерос. конфер. "Математическое моделирование 13ико-механических процессов",- Пермь,- 1996,- С. 85-86.

19. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на нерезонансное :кручивание КА в атмосфере [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Тезисы докл. XXI учных чтений по космонавтике. - М,- ИИЕТ РАН,- 1997. -С. 105.

20. Заболотнов, М.Ю. Оценка вероятности реализации длительных резонансных режимов яжения при снижении возвращаемых космических аппаратов в атмосфере [Текст] /М.Ю. золотнов, В.В. Любимов// Тезисы докл. XXII Научных чтений по космонавтике,- М,- ИИЕТ ,Н,-1998. -С.111.

21. Любимов, В.В. Учет влияния вторичного резонансного эффекта при проектировании ¡вращаемых космических аппаратов [Текст] /В.В. Любимов II Вестник рос. акад. космонавтики . К.Э. Циолковского. Управление движением и навигация летательных аппаратов. - Самара. -Ж - С.159-161.

22. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при движении космических ларатов в атмосфере с малыми углами атаки [Текст] / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // стник рос. акад. космонавтики им. К.Э. Циолковского. Часть I. Управление движением и зигация летательных аппаратов. - Самара. -2000. -С.83-86.

23. Любимов, В.В. Оценка вероятности захвата в резонанс при движении твёрдого тела в 1ротивляющейся среде [Текст] / В.В. Любимов // Сб. науч. трудов. Повышение надежности и чговечности зданий и сооружений на железнодорожном транспорте. Выпуск 2. - Самара,-)1. - С.54-65.

24. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса при движении твёрдого тела юсительно неподвижной точки с малыми углами нутации [Текст] /В.В. Любимов // Тезисы кл. 2-й международной конференции "Актуальные проблемы современной науки", гественные. науки. Часть 1. -Самара,- 2001. - С.159.

25. Любимов, В.В. Анализ внешней устойчивости резонанса при входе асимметричного ;мического аппарата в атмосферу [Текст] /В.В. Любимов// Рос.-амер. науч. журнал, туальные проблемы авиационных и аэрокосмических систем: процессы, модели, эксперимент, (айтона Бич, Казань,- 2001,- Т.6.- Вып.2,- С.86-96.

26. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонансов при движении ИСЗ с сильным гнитом [Текст] /В.В. Любимов // Тезисы докл. XXVI Академических чтений по космонавтике. /1,- ИИЕТ РАН. - 2002. - С.105.

27. Любимов, В.В. Об условии реализации закрутки космических аппаратов с малой шметрией в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов // Сб. трудов X Всероссийского научно-техн. шнара по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Управление окением и навигация летательных аппаратов: - Самара. - 2002,- С. 102-106.

28. Любимов, В.В. Устойчивость стационарных нерезонансных точек в системе с цленно изменяющимися переменными [Текст] /В.В. Любимов // Межвуз. сб. науч. трудов с (кд. участием. Исследования и разработка ресурсосберегающих технологий на железно-южном транспорте. - Самара,- 2002. - Выпуск 23,- С.470-473.

г

29. Заболотнов Ю.М. Резонансные эффекты при вращательном движении космическс аппарата с малой инерционной несимметрией в атмосфере [Текст] /Ю.М. Заболотнов, В. Любимов, A.B. Иванов // Сб. трудов XI Всерос. науч.-техн. семинара по управлению движени и навигации летательных аппаратов. - Самара. - 2003,- С. 74-77.

30. Lyubimov V.V. Influence of asymmetry at rotational motion of lightweight re-entry vehicles in' atmosphere [Текст] /V.V. Lyubimov // Proceedings of the Russian-European Sumer Space School "Futi Space Technologies and Experiments in Space". European Space Agency.- Samara.- 2003. - pp. 167-168.

31. Любимов, B.B. Эволюционные резонансные эффекты при возмущенном движен тела относительно неподвижной точки [Текст] /В.В. Любимов // Сб. науч. трудов международным участием. Актуальные проблемы развития транспортных систем Российск Федерации. - Самара,- 2004. - С. 92-96.

32. Любимов, В.В. Вращательное движение твердого тела с аэродинамической инерционной асимметриями [Текст] /В.В. Любимов// Сб. науч. трудов. Повышение надежностт долговечности зданий и сооружений на железнодорожном транспорте. - Самара. - 2005. - Выпу 3. - С.112-116.

33. Любимов, В.В. Обеспечение устойчивости движения капсулы по углу атаки д безопасной доставки грузов на поверхность [Текст] /В.В. Любимов // Сб. науч. труда Актуальные проблемы развития транспортных систем Российской Федерации. - Самара - 200Í С. 111-115.

34. Любимов, В.В. Влияние шага интегрирования на точность вычислений п моделировании резонансного эффекта в нелинейной системе с малым параметром [Текст] /В. Любимов //Труды науч.-техн. конференции с междунар. участием. Перспективн: информационные технологии в науч. исследованиях, проектировании и обучении. Том ; Самара,-2006.- С.44-47.

35. Любимов, В.В. Влияние момента Магнуса на резонансное движение асимметричн возвращаемой капсулы в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов, A.B. Усалко// Тезисы докл. международной конференции. «Авиация и космонавтика-2006». -Москва. - 2006,- 62 с.

36. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса при движении в атмосфе космического аппарата с аэродинамической и инерционной асимметриями [Текст] /В. Любимов // Сб. трудов XII Всероссийского научно-технического семинара по управлеш движением и навигации летательных аппаратов. - Самара.- 2006. -С. 90-94.

37. Любимов, В.В. Построение области допустимых значений геометрических параметр для информационной поддержки космического аппарата, совершающего неуправляемый cnyci атмосфере [Текст] /В.В. Любимов //Сб. докладов II межрегиональной научно-практическ конференции «Информационные технологии в высшем профессиональном образовании». Самара,-2007.-С.94-95.

38. Любимов, В.В. Резонансный эффект при возмущенном вращательном движен спутника с сильным магнитом на борту [Текст] /В.В. Любимов //Сб. трудов XIII Всероссийскс научно-технического семинара «Управление движением и навигация летательных аппарато] Часть1. - Самара,- 2007. -С. 180-184.

39. Любимов, В.В. Исследование проблем доставки груза на поверхность с помопн легких капсул, совершающих неуправляемый спуск в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов // С докл. IV международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы развит транспортного комплекса». - Самара.-2008,- С.279-281.

40. Любимов, В.В. Исследование динамики вращательного движения легкой спускаем капсулы YES2, совершившей неуправляемый спуск в атмосфере [Текст] /В.В. Любимов //ТезИ! докладов международной конференции «Научные и технологические эксперименты автоматических космических аппаратах и малых спутниках»,- Самара,- 2008,- С.148.

Подписано в печать: 07.07.2009 г.. Формат: 60x84 1/16. Бумага офсетная.

Печать оперативная. Объем: 1,86 усл.печ.л., Тираж: 100 экз. Заказ № 489 Отпечатано в типографии ООО «Издательство СНЦ» 443001, Самара, Студенческий пер.. За, тел.: (846) 242-37-07

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Аналитический обзор работ потеории резонансов в динамических системах и по методам их исследования.

1.2. Внешняя устойчивость резонансов в динамических системах.

1.3. Решаемые в работе задачи;.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РЕЗОНАНСНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ;.50*

2.1 . Исходная нелинейная система уравнений движения.

2.2. Получение квазилинейной?системы уравнений;.592.3. Получение нелинейнотнизкочастотной^системы.уравнений*движения.

2.4- Некоторые вопросы-обоснования применимости; низкочастотных уравнений движения;.

2.5. Резонансы при движении твердого тела с малой асимметрией вокруг неподвижной; точки.75?

2.5U . Резонансы в квазилинейной системе движения твердого тела.

2.5.2. Резонансы,в нелинейной низкочастотной: системе движения твердого тела.

2.6. Основные результаты второй главы.

3. ВЫБОР ВЕЛИЧИНЫ ШАГА ПРИ ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ УСРЕДНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

С МАЛОЙй АСИММЕТРИЕЙ;.

3 .1. Оценка величины шага интегрирования усредненной системы в нерезонансном случае.92:

3,2. Оценки величины шага интегрирования усредненной системы в резонансном случае.

3 ;3 . Оценки величины.шага при численном интегрировании квазилинейной системы.

3.4. Выводы по главе;.

4. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ В ДИНАМИКЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ:.

4.1. Получение и анализ усредненной квазилинейной системы уравнений движения твердого тела; с малой асимметрией;.

4.2. Получение и. анализ; усредненной^ нелинейной низкочастотнойсистемы уравнений движения- твердого тела с малой асимметрией;.

413'; Вычисление вероятности -захвата в резонанс по начальным условиям движения космических аппаратовша сепаратрисе.;.

4.4. Теорема о внешней устойчивости резонанса.

4.5. Анализ условия внешней устойчивостирезотансошш'" устойчивости> стационарныхточек;в квазилинейном случае.

4.6: Анализ условия внешней устойчивости главного резонанса-в нелинейном* случае;.Л

4.7. Выводы по главе;.139'

5. ВНЕШНЯЯ УС ТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С МАЛОЙ

АСИММЕТРИЕЙ В А ТМОСФЕРЕ.

5:1. Математические модели движения? космических аппаратов в атмосфере.'.140?

5.1.1. Получение приближенных нелинейных уравнений движения космического аппарата в атмосфере.

5.1.2. Квазилинейные уравнения движения космических аппаратов^ атмосфере.

5:2'. Вторичные резонансные эффекты при движении* космических аппаратов в атмосфере.

5.3. Анализ внешней устойчивости рсзонаисов при движении космических аппаратов в атмосфере.

5.4. Вычисление вероятности захвата в резонанс при движении космических аппаратов с малой асимметрией.в атмосфере.

5.4.1. Оценка вероятности захвата в резонанс при спуске в атмосфере космического аппарата^ с массовой и: аэродинамической асимметриями.

5.4.2. Оценка вероятности захвата в резонанс при спуске в атмосфере космического: аппарата с инерционной и;аэродинамической асимметриями5.

5.5: Математическое моделирование резонансных эффектов при движении спускаемых космических: аппаратов;.

5:6. Мётоды учёта'резонансных эффектов при» проектировании возвращаемых космических аппаратов.233"

5.7. Выводы по главе.

6. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РКЗОНАНСОВ11РИ ДВИЖЕНИИ ЛЕЕКИЖСПУСКАЕМЫХ КАПСУЛ С МАЛОЙ АСИММЕТРИЕЙ^

АТМОСФЕРЕ.245'

6.1. Сравнительный анализ движения в, атмосфере'легких ш классических: спускаемых капсул.

6:2. Влияние резонансных эффектов на вращательное движение легких спускаемых капсул в*атмосфере;.

6.3. Анализ внешней устойчивости резонансовпри;движении легких спускаемых:капсул; в; атмосфере.

6.4. Математическое моделирование резонансных эффектов-при движении легких спускаемых капсул и рекомендации по их проектированию;.

6.5. Выводы по главе;.

7. ВНЕШНЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЗОНАНСОВ ПРИ ДВИЖЕНИИ НО ОРБИТЕ СПУТНИКА С МАГНИТНОЙ СИСТЕМОЙ

СТАБИЛИЗАЦИИ;.

7.1. Математические модели движения спутника с магнитом на борту.

7.1.1. Нелинейная математическая модель движения.

7.1.2. Получение приближенной нелинейной модели движения спутника.

7.1.3. Получение приближенной квазилинейной модели движения спутника.

7.2. Анализ внешней устойчивости резонансов при движении по орбите спутника с магнитом на борту.

7.2.1. Внешняя устойчивость резонансов в нелинейном случае.

7.2.2. Внешняя устойчивость резонансов в квазилинейном случае.

7.3. Рекомендации по изготовлению и эксплуатации космических аппаратов с магнитной системой ориентации.

7.4. Выводы по главе.

Диссертационная работа посвящена разработке математических моделей и методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике вращательного движения космических аппаратов (КА) с малой асимметрией.

В основе проведенных исследований внешней устойчивости резонансов лежат различные современные асимптотические и численные методы исследования динамических систем.

Актуальность работы. В динамике возмущенного движения КА различных типов- и назначения неизбежно возникают резонансные явления, связанные с реализацией целочисленных соотношений между частотами динамических систем. Влияние резонансов на движение КА значительно усиливается, если в рассматриваемых динамических системах наблюдается устойчивые околорезонансные режимы движения, когда резонансные соотношения/ между частотами поддерживаются в течение- достаточно длительного времени в силу действующих возмущений. Это приводит к дестабилизации движения КА и, как следствие, к невыполнению целевых задач-космического полета.

Под внешней устойчивостью резонанса понимается устойчивость данного резонанса вне малой резонансной зоны ширины порядка -Is, где s - малый параметр задачи. Внешняя устойчивость резонанса приводит к притяжению траекторий динамической системы к резонансным зонам и, как правило, к реализации длительных резонансных режимов движения КА. С точки зрения динамики движения КА, близких по форме и по массово-инерционным характеристикам к осесимметричным, это приводит к эволюции угловой скорости вращения вокруг продольной оси КА к ее резонансным значениям с последующей потерей устойчивости движения по углам ориентации А.

Исследованиям устойчивости резонансов при движении КА внутри малых резонансных зон (внутренней устойчивости резонансов) посвящено множество работ отечественных и зарубежных авторов. В тоже время, проблема исследования внешней устойчивости резонансов применительно к динамике движения КА до настоящего времени практически не рассматривалась. Это видимо, связано с тем, что изменение медленных переменных системы, обусловленное внешней устойчивостью резонансов проявляется в высших приближениях метода усреднения. Поэтому аналитическое исследование этого явления представляет собой достаточно сложную задачу. Однако использование современных математических пакетов с их возможностями в плане символьных преобразований позволяет существенно продвинуться в этом направлении.

В строгом виде формулируются условия внешней устойчивости резонанса для рассматриваемых систем. При этом, для- записи условий внешней устойчивости используется обобщенный второй метода Ляпунова, учитывающий применение метода усреднения в рассматриваемой системе. Функция Ляпунова рассматривается в нерезонансном случае и задается в виде квадрата резонансного соотношения частот. Анализ этих условий* позволяет обнаружить некоторые интересные результаты. В системе имеются* разнообразные возмущения, вызванные в практических задачах наличием на изделиях различных асимметрий.

Вторичные резонансные эффекты, связанные с внешней устойчивостью резонансов, проявляются во многих задачах динамики движения КА, таких как спуск в атмосфере неуправляемого космического аппарата с малой асимметрией, возмущенное вращательное движение по орбите спутника с сильным магнитом на борту и других.

Все эти задачи, относящиеся к классу задач пассивной стабилизации движения (аэродинамической, магнитной, гравитационной), естественно включают в себя оценку точности и устойчивости подобных режимов движения КА. Причем анализ известных работ и математических моделей; относящихся к этому направлению исследований, показывает, что любая задача пассивной стабилизации движения КА сводится к исследованию колебаний* в многочастотной системе при действии возмущений и неизбежно приводит к необходимости изучения эволюционных эффектов, обусловленных внутренней и внешней устойчивостью резонансов.

Вторичные резонансные эффекты проявляются в высших приближениях метода усреднения и существенно сказываются на нерезонансных эволюциях медленных переменных (при равенстве нулю предыдущих приближений). Они объясняются присутствием резонансных соотношений частот в знаменателях высших приближений метода усреднения. Влияние этих знаменателей на скорость изменения медленных переменных тем больше, чем ближе система на нерезонансном участке движения к резонансной зоне.

На практике, вторичные резонансные эффекты могут способствовать сильной раскрутке изделия или вызвать эволюцию переменных системы до значений, при которых реализуется длительной резонанс. Такие режимы движения изделия являются недопустимыми, так как они приводят к нарушению заданных ограничений на параметры движения и могут явиться причиной аварийной ситуации. Поэтому разработка методов исследования вторичных резонансных эффектов и выбор на этой основе проектных параметров космических аппаратов, обеспечивающих заданные ограничения* на изменение параметров движения, является актуальной задачей.

Состояние проблемы. Разработка Боголюбовым Н.Н. метода усреднения послужило началом активного развития асимптотических методов в двадцатом столетии. В основном, прогресс в этом направлении математики был достигнут силами отечественных ученых. Среди большого разнообразия асимптотических методов с точки зрения рассматриваемой работы представляют непосредственный интерес труды по усреднению систем с медленными и быстрыми переменными, в которых возможен резонанс. Основополагающие результаты по исследованию резонансов в динамических системах с медленными и быстрыми переменными принадлежат Боголюбову Н.Н., Аносову Д.В., Арнольду В.И., Мозеру Ю., Моисееву Н.Н., Волосову В.М., Козлову В.В., Митропольскому Ю.А., Хапаеву M'.Mi, Нейштадту А.И., Белецкому В.В., Ярошевскому В.А., Найфэ А. др. В этих работах заложены основы теории резонансных динамических систем и показано, что основными методами исследования резонансных явлений в двухчастотных и в многочастных задачах являются методы возмущений, в частности, методы усреднения. Так, например, еще в замечательной работе Арнольда В.И. «Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике» исследуется проблема малых знаменателей, которые неизбежно появляются в асимптотических решениях для динамических систем с несколькими частотами. Появление малых знаменателей, которые, по сути, представляют собой резонансные соотношения между частотами системы, связано не столько с применяемыми математическими методами, а с самой сущностью решаемых задач, в которые эволюционные изменения медленных переменных определяются возникающими резонансами. Проблема внешней устойчивости резонансов в динамике движения КА также связана с влиянием малых знаменателей, которые появляются в высших приближениях метода усреднения при построении усредненных систем дифференциальных уравнений.

Кроме того, для упрощения нелинейных уравнений используется модификация метода интегральных многообразий А.Н. Тихонова. При исследовании вопросов, связанных с устойчивостью резонансов используется обобщение второго метода Ляпунова предложенное в работах М.М. Хапаева.

В рассматриваемой работе исследуются две задачи пассивной стабилизации движения КА: аэродинамическая стабилизация спускаемых КА в плотных слоях атмосферы и магнитная стабилизация спутника в геомагнитном поле на орбите.

Задаче устойчивости движения КА в атмосфере и влиянию резонансов на их движения посвящено большое количество работ отечественных и зарубежных специалистов. Здесь следует отметить работы американских ученых Платуса Д., Мерфи К., Найфэ А., Бредли Д. и других ученых, которые впервые поставили и изучали проблему резонансного движения КА в атмосфере. Параллельно с исследованиями за рубежом данная проблема активно исследовалась отечественными учеными. Основные результаты по исследованию резонансного движения космических аппаратов в атмосфере содержатся в работах Ярошевского В.А., Шилова А.А. и Гомана М.Г., Бюшгенса Г.С., Студнева Р.В., Асланова B.C., Заболотнова Ю.М., Тимбая И.А. и др. Хотя во многих этих работах исследовались эволюционные изменения медленных переменных, в частности, исследовалось возникновение нерезонансной закрутки КА вокруг своей продольной оси в атмосфере, однако, эти эволюционные изменения не связывались с появлением малых знаменателей в усредненных уравнениях в нерезонансном случае, то есть проблема внешней устойчивости резонансов не рассматривалась.

В" работе было выявлено, что при движении К А с малой асимметрией в атмосфере вторичный резонансный эффект в ряде случае переходит в длительный резонанс. Для реализации* длительного- резонансного эффекта в рассматриваемой» системе недостаточно выполнения только условия внешней устойчивости резонанса, поэтому в работе определяются условия захвата1 фазовых траекторий системы внутрь колебательной резонансной области (сепаратрисы) в вероятностной постановке, и приводится известное условие внутренней устойчивости- резонанса (устойчивость резонанса внутри малых резонансных зон). Фазовые траектории, при которых происходит захват в колебательную область, перемешаны случайным образом с траекториями прохода через сепаратрису. Следовательно, задача о нахождении величины возмущений, приводящих к захвату внутрь колебательной области должна решаться в вероятностной постановке. Для получения этих оценок вероятности в работе используются аналитические выражения для вычисления вероятности захвата фазовых траекторий в колебательную область по начальным условиям движения, описанного в трудах А.И. Нейштадта. Кроме выполнения условия внешней устойчивости и условия захвата в колебательную область для реализации длительного резонанса требуется выполнение условия внутренней устойчивости резонанса, полученное Заболотновым Ю.М. Это условие устойчивости использует производную функции Ляпунова, вычисленную с учетом действующих возмущений при движении внутри колебательной резонансной) области. При этом, в качестве функции Ляпунова используется-полная1 энергия невозмущенного колебательного движения. Совместный анализ трех условий: внешней устойчивости резонанса, попадания в резонансную область и внутренней устойчивости резонанса позволяет установить связь между ними, поскольку за. выполнение этих условий отвечают аналогичные обобщенные параметры. Кроме того, такого рода анализ позволяет определить в конкретных практических задачах область параметров,асимметрии, при которых' резонансные эффекты приводят к нарушению заданных ограничений на величины параметров,движения.

Задача' о движении по орбите спутника, с сильным магнитом на борту, включая* исследования- резонансов, рассматривалась в работах Белецкого В.В.,. Хентова А.А.,. Сарычева В'.А., Сазонова В.В., Садова Ю.А., Сидоренко В;В:, Овчинникова М.Ю., и др. Однако исследования- внешней устойчивости возникающих резонансов в этих работах также не проводилось.

Термин «внешняя устойчивость резонанса» принадлежит Ю.А. Садову. Им была, исследована; общая* двухчастотная почти гамильтонова- система- с двумя быстрыми переменными. Внешнюю устойчивость резонансов^«рассматриваемой* гамильтоновой системе Садов Ю.А. связал с появлением малых* знаменателей в, высших приближениях усредненной системы дифференциальных уравнений. Данное явление притяжения траекторий к резонансным зонам еще на нерезонансных участках движения' системы в силу появления резонансных знаменателей в методе усреднения- он связал также с проявлением вторичных резонансных эффектов, проявляющихся также лишь- в высших приближениях метода усреднения-. Проведенные им исследования имеют большое значение-для-теории внешней устойчивости резонансов, так как в них рассмотрены математические аспекты.возникновения данного явления.

Таким-образом, обзор известных работ, посвященных различным аспектам влияния* резонансов^ на- динамику движения КА, показывает, что вопросы, внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых прикладных задачах практически не рассматривались.

В' работе подробно рассматриваются две задачи. Это задача о спуске асимметричного КА в атмосфере и задача об орбитальном движении спутника с сильным магнитом на борту, имеющего асимметричный магнитный момент.

Научная проблема, решению-которой посвящена диссертация, состоит в отсутствии методов исследования внешней устойчивости резонансов в динамике движения- КА, предназначенных для анализа и синтеза их параметров, и исключающих нарушение ограничений- на контролируемые характеристики полета КА.

Цель, работы. Целью работы является- разработка методов и математических моделей исследования- внешней устойчивости резонансов1 в, динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов, анализ закономерностей возникающих резонансных эффектов* и выбор на этой основе параметров, КА, приводящих к выполнению заданных ограничений на параметры их-движения-на-различных участках космического-полета.

Таким образом, цель диссертационной работы состоит в решении? актуальной- и крупной научной проблемы, имеющей важное теоретическое И' практическое значение.

Для достижения этой цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Разработаны методы исследования внешней устойчивости резонансов.в динамике движения КА с малой асимметрией, основанные на применении метода усреднения и метода интегральных многообразий.

2; Построены математические модели для анализа внешней устойчивости-резонансов в динамике движения КА в рассматриваемых прикладных задачах: квазилинейные математические модели для малых углов нутации (углов атаки), нелинейные модели движения по исследуемым интегральным многообразиям.

3. Разработан метод построения резонансных кривых (кривых, определяющих положение резонансных зон) в нелинейном случае, базирующийся на применении метода интегральных многообразий.

4. Получены усредненные математические модели с учетом высших приближений для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах.

5. Произведен сравнительный анализ рассматриваемых резонансных эффектов с точки зрения их влияния на эволюцию медленных переменных, определяющую вращательное движение КА, и получены условия их реализации.

6. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными.

7. Определены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

8.Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул.

9.Произведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере.

10. Разработаны методики учета внешней устойчивости резонансов при проектировании космических аппаратов, осуществляющих неуправляемый спуск в атмосфере и КА - спутников с магнитной системой ориентации.

11. С целью повышения' достоверности* результатов1 численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

Объект исследования. Объектом исследования являются резонансы, возникающие в возмущенном движении КА, условия их внешней устойчивости, и методики проектирования КА с учетом влияния рассматриваемых резонансных эффектов.

Предмет исследования. Предметом исследования является динамика возмущенного вращательного движения КА при реализации аэродинамической и магнитной систем пассивной стабилизации на различных участках его космического полета.

Текст диссертации состоит из семи глав.

Первая глава диссертации посвящается описанию проблемы исследования внешней устойчивости резонансов в динамических системах."Приводится обзор известных работ по теории резонансов в динамических системах, их устойчивости и математическим методам исследования. Обсуждаются известные и новые результаты по исследованию резонансов в задачах динамики движения КА. На рис. 1.1 представлены известные результаты и новые результаты, полученные в данной работе.

Что было:

Что сделано:

Квазистатическое решение для угловой скорости сох движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Низкочастотное решение для угловой скорости сох движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Решение метода с учетом высших приближений метода усреднения для угловой скорости сох движения спутника с сильным магнитом при произвольных углах ну тации (случай, близкий к случаю Эйлера-Пуансо)

Условия внешней устойчивости резонансов! при движении КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту

Решения метода усреднения с учетом высших приближений для угловой скорости сох в нелинейном случае движения КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту при произвольных углах атаки

Решения метода усреднения с учетом высших приближений для угловой скорости сох в квазилинейном случае движения КА в атмосфере и спутника с сильным магнитом на борту

Решения метода усреднения с учетом двух приближений для угловой скорости сох в линейном случае движения КА в атмосфере при малых углах атаки

Рис. 1.1 — Сравнение новых и известных результатов

Рассматривается понятия внешней и внутренней устойчивости резонансов для систем стандартного вида с двумя: быстрыми фазами. С математической точки зрения, внешнюю устойчивость резонанса определяют усредненные в нерезонансном случае уравнения, в которых появляются- малые знаменатели: в высших приближениях метода усреднения.

Перечисляются основные направления исследований, связанные с резонансами, возникающими в общих динамических системах и прикладных: задачах:

- определение резонансов^ возможных в системах;

- оценка возмущений переменныхпришрохождении системы через резонансы;.

- получение и анализ условий внутренней устойчивости резонансов;

- получение и анализ.условий внешней устойчивости^резонансов;

- оценка вероятности захвата в резонанс, то есть, вероятности! реализации; длительных резонансных режимов движения. .

Показывается* что традиционно'рассматривались первые три направления* исследований: Данная? работа посвящена в основном? исследованию: четвертого направления применительно к задачам динамики возмущенного движения: КА. Кроме- того, в работе выявляется: связь между условием внешней устойчивости резонансов^ условием захвата в резонансную область в вероятностной постановке и условием внутренней? устойчивости резонанса. В: заключение первой главы содержаться-? задачи, на которые разбивается- исследование поставленной в работе проблемы. Принципиальная-, схема решаемых в. диссертации задач изображена на рис.1.2.

Во второй главе рассматриваются приближенные математические модели, являющиеся- исходными:; для; исследований внешней устойчивости резонансов в данной работе; (квазилинейная? и нелинейная): Чтобы сначала; отвлечься от особенностей конкретных прикладных задач динамики полета КА, связанных с неинерциальностью применяемых систем; координат и со спецификой; задания; сил и: моментов, рассматривается; модельная задача; о возмущенном- движении; твердого тела (ТТ) вокруг неподвижной точки. в случае близком к случаю

Лагранжа. Определяются резонансы, возникающие в рассматриваемой модельной задаче в квазилинейной и нелинейной моделях движения.

Рисунок 1.2 - Схема решаемых задач

В третьей главе обосновывается методика выбора параметров метода интегрирования, обеспечивающих необходимую точность численного расчетов при исследовании внешней устойчивости резонансов. В качестве основного метода интегрирования используется классический метод интегрирования Рунге-Кутты с постоянным и переменным шагами.

При численном исследовании нерезонансных и резонансных движений механических систем с высокими частотами, для обеспечения необходимой точности вычислений в некоторых случаях возникает необходимость использования специальных методов интегрирования или методов высокого порядка точности. Одним из способов получения достоверных результатов, оставаясь в рамках классических методов, является применение метода усреднения. Метод усреднения позволяет изучить эволюцию медленных переменных с учетом высших приближений. Однако при численном интегрировании усредненной системы необходимо определять параметры метода интегрирования так, чтобы обеспечить согласованность погрешности, интегрирования с погрешностью высших приближений метода усреднения. При этом погрешность численного интегрирования должна быть меньше погрешности высших приближений метода усреднения, как в резонансном, так и в нерезонансном случаях. Полученные в данной главе оценки для- параметров численного интегрирования усредненной системы, позволяют повысить достоверность численных расчетов при исследовании внешней устойчивости-резонансов.

Вг четвертой главе проводится подробное- исследование внешней устойчивости резонансов и влияния связанных с ней. эффектов» на* эволюцию* медленных переменных в возмущенном движении. ТТ вокруг неподвижной, точки. Для анализа, рассматриваемых резонансных эффектов на нерезонансных участках движения? определяются асимптотические решения метода' усреднения* до второго порядка включительно. G помощью полученных усредненных уравнений определяются условия возникновения- и основные факторы, влияющие на эволюцию угловой скорости со-. р

Формулируется и доказывается теорема о внешней устойчивости отдельного резонанса для систем уравнений, описывающих возмущенное движение ТТ вокруг неподвижной точки.

В пятой- главе- исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче спуска космического аппарата с малой асимметрией в-атмосфере: В этой главе рассматриваются следующие вопросы:.

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных КА в атмосфере при малых углах атаки (квазилинейные уравнения) и при произвольных углах атаки (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении КА в атмосфере;

- получение усредненных уравнений движения КА на нерезонансных участках движения при малых и произвольных углах атаки и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- исследование внешней устойчивости резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул с малой асимметрией;

- сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонанс в вероятностной постановке;

- разработка методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА с малой асимметрией.

Учитывается действие следующих возмущений: массово-инерционная асимметрия КА, аэродинамическая асимметрия, влияние демпфирования и медленного изменения параметров движения центра масс.

В шестой главе производится сравнительный анализ движения в атмосфере легких спускаемых капсул (JICK) (с баллистическим коэффициентом порядка cxvS/т =0,003.0,03м2 /кг) и классических немалых спускаемых капсул (СК) (с меньшими баллистическими коэффициентамиc^S/m<0,003) с точки зрения влияния на их движение рассматриваемых резонансных эффектов. В результате анализа усредненных уравнений для угловой скорости сох были выявлены отличия в эволюционных резонансных эффектах при движении JICK и СК в атмосфере.

В седьмой главе исследуется внешняя устойчивость резонансов в задаче движения на орбите спутника с магнитной системой ориентации и рассматривается влияние резонансных эффектов на точность ее работы. Магнитная стабилизация движения спутника обусловлена действием восстанавливающего магнитного момента, возникающего в геомагнитном поле. В седьмой главе рассматриваются следующие вопросы:

- вывод приближенных уравнений движения асимметричных спутника с магнитом при малых углах нутации (квазилинейные уравнения) и при произвольных углах нутации (нелинейные низкочастотные уравнения);

- построение резонансных кривых, определяющих положение резонансов в нелинейном случае при движении спутника по орбите;

- получение усредненных уравнений движения спутника с магнитом на нерезонансных участках движения при малых и произвольных углах нутации и анализ эволюционных резонансных эффектов по полученным уравнениям;

- анализ влияния различных асимметрий спутника на условия, внешней устойчивости резонансов в рассматриваемой задаче;

- разработка способа,уменьшения-и стабилизации продольной угловой скорости спутника, которые можно использовать, при проектировании и эксплуатации спутников с магнитной системой ориентацией.

Достоверность полученных результатов подтверждается- тем, что. разработанные методы, теоремы и построенные математические модели основаны или являются развитием известных математических положений и методов, таких как теория устойчивости А.А.Ляпунова, метод усреднения, теория возмущений динамических систем, методы численного анализа. Результаты работы не противоречат известным опубликованным результатам в этом направлении.

Практическое значение работы состоит в том, что основные результаты, описывающие влияние внешней устойчивости резонансов и резонансных эффектов на движение космических аппаратов, доведены^ до простых аналитических выражений и оценок; которые удобны «для инженерных расчетов при проектировании КА. Выявленные в работе закономерности по влиянию сложной асимметрии на устойчивость резонансов позволяют повысить качество-проектирования КА, так как ведут к исключению нерасчетных режимов его движения. Разработанные методы и методики реализованы в виде программных продуктов, удобных для практического использования'.

Публикации и апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в 40 печатных работах, в том числе одна монография и одиннадцать статей в журналах из списка ВАК для докторских диссертаций. Результаты работы докладывались на 15 всероссийских, международных и отраслевых конференциях, в числе которых, научные чтения по космонавтике (1997-1998г., 2002г.), научные чтения, посвященных разработке творческого наследия К.Э. Циолковского (1996г.), российско-европейская летняя космическая школа (2003-2004г.), российско-европейский семинар по аэрокосмическим наукам (2005г.), научно-технический семинар по управлению движением и навигацией летательных аппаратов (1997г., 1999г., 2002г., 2005г.), и другие конференции. Материалы диссертации докладывались на научном семинаре физико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова под руководством профессора В.В. Белецкого.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методы исследования внешней устойчивости резонансов в задачах аэродинамической и магнитной стабилизации движения КА.

2. Метод построения резонансных кривых в нелинейном случае, базирующийся на применении теории интегральных многообразий.

3. Квазилинейные и нелинейные математические модели, усредненные в нерезонансном случае и предназначенные для получения условий внешней устойчивости резонансов при движении КА.

4. Теорема о внешней устойчивости резонанса в динамической системе с медленными и быстрыми переменными.

5. Общие закономерности, условия и области внешней устойчивости резонансов в рассмотренных прикладных задачах движения КА.

6. Результаты сравнительного анализа условий внешней и внутренней • устойчивости главного резонанса при движении КА в атмосфере и определение обобщенных параметров асимметрии, влияющих на оба вида устойчивости.

7. Результаты анализа условий внешней устойчивости резонансов для спускаемых капсул с большими баллистическими коэффициентами.

8. Методика определения областей допустимых значений параметров асимметрий КА, учитывающая разработанные методы исследования внешней устойчивости резонансов.

1. ОПИСАНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Основные результаты работы:

1. Разработан метод, обеспечивающий устойчивость вращательного движения КА с малой асимметрией с учетом явлений внешней устойчивости резонансов, базирующийся на использовании метода исследования внешней устойчивости резонансов в задачах о пассивной аэродинамической и магнитной стабилизации КА, также полученном в работе.

2. Разработан метод построения резонансных кривых, основанный на применении метода интегральных многообразий и позволяющий анализировать условия возникновения резонансов в рассматриваемых нелинейных системах. Данный метод может быть использован для построения резонансных кривых в задачах с произвольными моментными характеристиками КА.

3. Получены усредненные в нерезонансном случае математические модели для аналитического исследования внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что из рассмотренных видов резонансов на внешнюю устойчивость резонансов наиболее существенное влияние оказывает главный резонанс.

4. Сформулирована и доказана теорема о внешней устойчивости резонанса в системе с медленными и быстрыми переменными, в которой определены условия внешней устойчивости резонанса в общем виде. Определены и построены области внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах при различных сочетаниях асимметрий КА.

5. Проанализировано влияние различных сочетаний асимметрий КА на условия внешней устойчивости резонансов в рассматриваемых динамических системах. Показано, что внешняя устойчивость резонансов зависит от ряда найденных обобщенных параметров асимметрии. Показано, что влияние динамической асимметрии приводит к реализации внешне полуустойчивых резонансов.

6. Проведено сравнение условий внешней и внутренней устойчивости резонансов с условием попадания в резонансную область (вероятностная постановка задачи) в задаче динамики движения спускаемых КА в атмосфере. Показано, что для ортогональной асимметрии КА может наблюдаться одновременное выполнение этих трех условий.

7. Разработаны методики учета эволюционных резонансных эффектов при проектировании спускаемых КА и спутников с магнитной системой ориентации, совершающих движение по орбите. В результате для спускаемых в атмосфере КА разработана методика построения области допустимых значений параметров асимметрии. Для спутников с магнитной системой ориентации получены способы уменьшения и стабилизации угловой скорости сох.

8. Исследована внешняя устойчивость резонансов при движении в атмосфере легких спускаемых капсул. Проведено математическое моделирование резонансных эффектов при движении в атмосфере JICK проекта YES-2. Определена область допустимых параметров асимметрии данной сферической капсулы.

9. С целью повышения достоверности результатов численного интегрирования и построенных асимптотических решений произведен выбор параметров метода интегрирования, учитывающий неизбежно возникающие погрешности численного интегрирования и методов асимптотического анализа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставлена и решена крупная научно-техническая проблема внешней устойчивости резонансов в динамических системах, описывающих вращательное движение космических аппаратов при действии разнообразных возмущающих факторов. Проведен анализ закономерностей возникающих при этом резонансных эффектов и осуществлен выбор на данной основе параметров КА, обеспечивающих выполнение заданных ограничений на условия вращательного движения на различных участках космического полета.

1. Акуленко, Л.Д. Применение методов усреднения и последовательных приближений для исследования нелинейных колебаний Текст. / Л.Д. Акуленко // Прикладная математика и механика. 1981. - Т.45, Вып. 5. -С. 771-777.

2. Акуленко, Л.Д. Возмущенные движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1979. - Т. 43, Вып. 5. - С. 771778.

3. Акуленко, Л.Д. Быстрое движение вокруг неподвижной точки тяжелого твердого тела в сопротивляющейся среде Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982.-№.3. - С. 5-13.

4. Акуленко, Л.Д. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии Текст. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, Ф.Л. Черноусько // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. - №. 5.-С. 3-10.

5. Алексеев, КБ. Маневрирование космических аппаратов Текст. / К.Б Алексеев, Г.Г. Бебенин., В.А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1970.416 с.

6. Аносов, ДВ. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями Текст. / Д.В. Аносов // Известия АН СССР. Серия математическая. 1960. - Т.24, Вып. 5. - С. 721-742.

7. Аржаников, Н.С. Аэродинамика летательных аппаратов Текст. / Н.С. Аржаников, Г.С. Садекова. М.: Высшая школа, 1983. - 359 с.

8. Арнольд, В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике Текст. / В.И. Арнольд // Успехи математических наук. 1963. - T.XVIII, Вып. 6. - С. 91-192.

9. Арнольд, В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы Текст. / В.И. Арнольд // Доклады АН СССР. 1965. - Т. 161, № 1. - С.9-12.

10. Ю.Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / В.И. Арнольд.- М.: Наука, 1979. -304 с.

11. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики Текст. /

12. B.И. Арнольд. М.: Наука, 1979. - 432 с.

13. Арнольд, В.И. Теория катастроф Текст. / В.И. Арнольд.- М: Наука, 1990. -128 с.

14. Асланов, B.C. Два вида нелинейного резонансного движения асимметричного КА в атмосфере Текст. / B.C. Асланов // Космические исследования. 1988. - Т.24, Вып.2.- С. 220-226.

15. Асланов, B.C. Нелинейные резонансы при неуправляемом спуске в атмосфере асимметричных КА Текст. / B.C. Асланов // Космические исследования. 1992.- Т.30, Вып. 5.-С.608-614.

16. C.В. Мясников // Космические исследования. 1996. - Т.34, Вып.6. - С. 626-632.

17. Асланов, B.C. Переходные режимы углового движения КА на верхнем участке траектории спуска Текст. / B.C. Асланов, И.А. Тимбай // Космические исследования. 1997. - Т.35, Вып.З. - С.279-286.

18. Асланов, B.C. Канонические переменные действие-угол при движении твердого тела под действием бигармонического момента Текст. /B.C. Асланов, И.А. Тимбай // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. № 1.- С. 17-30. - ISSN 0572-3299.

19. Асланов, B.C. Пространственное движение тела при спуске в атмосфере Текст. / B.C. Асланов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.-160 с.

20. Асланов, B.C. Движение вращающегося тела в сопротивляющейся среде Текст. / B.C. Асланов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. № 2.- С.27-39,- ISSN 0572-3299.

21. Асланов, B.C. Выбор формы космического аппарата, предназначенного для спуска в разреженной атмосфере Текст. /B.C. Асланов, А.С. Ледков // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. — 2008. №1. - С. 9-15.

22. Аэродинамика ракет. Текст. / Под. ред. Н.Ф. Краснова М.: Высшая школа, 1968 - 772 с.

23. Бабаков, И.М. Теория колебаний Текст. / И.М. Бабаков.- М: Наука, 1968.-560 с.

24. Баркин, Ю.В. Периодические и условно-периодические решения в задаче о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.В. Баркин // Прикладная математика и механика. 1981. - Т. 45, Вып. 3. - С. 535-544.

25. Белецкий, В.В. Магнитно-гравитационная стабилизация спутника Текст. / В.В. Белецкий, А.А. Хентов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1973. - № 4. - С. 543-554.

26. Белецкий, В.В. Вращательное движение намагниченного спутника Текст. / В.В. Белецкий, А.А. Хентов. М.: Наука, 1985. -288 с.

27. Белег}кий, В.В. Резонансные вращения спутника при взаимодействии магнитного и гравитационного полей Текст. / В.В. Белецкий, А.Н. Шляхтин // Космические исследования. -1984. -Т.22, Вып. 4. С. 499-508.

28. Белоконов, В.М. Ускоренный расчет траекторий снижения в атмосфере неуправляемых КА с учетом их движения относительно центра масс Текст. / В.М. Белоконов, И.В. Белоконов, Ю.М. Заболотнов // Космические исследования. -1983. Т.21, Вып. 4. - С.512-521.

29. Белоконов, В.М. Расчет траектории неуправляемого движения осесимметричного тела с учетом движения центра масс Текст. / В.М. Белоконов, Ю.М. Заболотнов / Труды VI чтений Ф.А. Цандера. М.: АН СССР, 1980.-С. 68-74.

30. Белоконов, В.М. Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спуске в атмосферу Текст. / В.М. Белоконов, М.Ю. Заболотнов // Космические исследования. 2002. -Т.40, Вып.5. - С. 1-12.- ISSN 0023-4206.

31. Бентсик, Э. Об одном виде регулярной прецессии твердого несимметричного тела в поле ньютоновского притяжения Текст. / Э.

32. Бентсик / Механика. Период, сб. перев. иностр. статей. М.: 1970. - № 2. -С. 3-8.

33. Бобылев, А.В. Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмосферу Текст. / А.В. Бобылев, В.А. Ярошевский // Космические исследования. 1999. - Т.37, Вып.5. - С. 512-524.

34. Боголюбов,Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Текст. / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. М.: Наука, 1974. - 504 с.

35. Боевкин, В.И. Ориентация искусственных спутников в гравитационных и магнитных полях Текст. / В.И. Боевкин, Ю.Г. Гуревич, Ю.Н. Павлов, Г.Н. Толстоусов. М.: Главная редакция физико-математической литературы. Наука, 1976. - 304с.

36. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики. Том И. Динамика Текст. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. -М.: Наука, 1985. 496 с.

37. Бюшгенс, Г. С. Динамика пространственного движения самолета Текст. /Г.С. Бюшгенс, Р.В. Студнев. М.: Машиностроение, 1967. - 226 с.

38. Васильева, А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений Текст. / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. - 420 с.

39. Вилъке, В.Г. Эволюция движения симметричного спутника с гибкими вязкоупругими стержнями на круговой орбите Текст. / В.Г. Вильке, А.В. Шатина // Космические исследования. 1994. - Т. 32, Вып. 4-5. - С. 51-61.

40. Вилъке, В.Г. Эволюция вращения симметричного спутника со сферической полостью, заполненной вязкой жидкостью Текст. / В.Г. Вильке, А.В. Шатина // Космические исследования. 1993. - Т. 31, Вып. 6. - С. 22-30.

41. АЪ.Волосов, В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем Текст. / В.М. Волосов, Б.И. Моргунов. М.: МГУ, 1971.-507 с.

42. Галлиулин, И. А. Регулярные прецессии твердого тела с одной закрепленной точкой Текст. / И.А. Галлиулин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1987. - №. 5. - С. 6-18.

43. Гоман, М.Г. Анализ резонансных режимов пространственного движения летательных аппаратов, имеющих плоскость симметрии, при полете в атмосфере Текст./ М.Г. Гоман / Труды ЦАГИ. М.: 1976. - Вып. 1789. -41с.

44. Гоман, М.Г. Неустановившиеся резонансные режимы движения неуправляемого аппарата при полете в атмосфере Текст./ М.Г. Гоман // Ученые записки ЦАГИ. 1977. - Т.8, Вып.6. - С.54-59.

45. Граммель, Р. Гироскоп, его теория и применения. Текст./ Р. Граммель // М.: Изд-во иностр. лит, 1952. -Т.1.-352 с.

46. Гребенников, Е.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем Текст. / Е.А.Гребенников, Ю.А. Рябов.- М.: Наука, 1979. 432 с.

47. Губин, Ю.П. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов Текст. / Ю.П. Губин, С.А. Ломов, В.Ф. Сафонов // Прикладная математика и механика. 1982. - Т. 46, Вып. 3. - С. 389-397.

48. Дёмин, В.Г. О периодических движениях твердого тела в центральном ньютоновском поле Текст. / В.Г. Дёмин, Ф.И. Киселёв // Прикладная математика и механика. 1974. - Т. 38, -С. 224.

49. Диментберг, М.Ф. Комбинационные резонансы в системах с периодическим параметрическим и случайным внешним возбуждением Текст. / М.Ф. Диментберг, Н.Е. Исиков // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - №. 1. -С. 24-29.

50. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения и обозначения Текст./ М.: ГОСТ 20058 - 80, 1981. - 115 с.

51. Журавлев, В.Ф. Прикладные методы в теории колебаний Текст./ В.Ф.Журавлев, Д.М. Климов.- М.: Наука, 1988.-328 с.

52. Заболотнов, М.Ю. Исследование колебаний вблизи резонанса при спуске КА в атмосферу Текст. / М.Ю. Заболотнов // Космические исследования. 2003. - Т.41, Вып.2. - С.186-192. - ISSN 0023-4206.

53. Заболотнов, Ю.М. Асимптотический анализ квазилинейных уравнений движения в атмосфере КА с малой асимметрией III Текст. / Ю.М. Заболотнов // Космические исследования. 1994. - Т.32, Вып.4-5. - СЛ12-25.

54. Заболотнов, Ю.М. Асимптотический метод для квазилинейных колебательных систем с непериодическим порождающим решением Текст. / Ю.М. Заболотнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1990. -Т.30, Вып.З. - С. 405-419.

55. Заболотнов, Ю.М. Метод исследования резонансного движения одной нелинейной колебательной системы Текст. / Ю.М. Заболотнов // Известия РАН. Механика твердого тела. -1999. Вып. 1. - С. 33-45.

56. Заболотнов, Ю.М. Анализ устойчивости резонансных режимов движения в атмосфере асимметричных летательных аппаратов Текст. / Ю.М. Заболотнов / Тезисы докладов 27 Научных чтений по космонавтике. М.: ИИЕТРАН, 1993.- С. 17-18.

57. Заболотнов, Ю.М. Исследование раскрутки космического аппарата вокруг продольной оси при спуске в атмосфере Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов / Тезисы докл. XXXI Научных чтений, К.Э. Циолковского.- Калуга.- 1996. -С.57.

58. Заболотнов, Ю.М. Исследование влияния возмущающих моментов на нерезонансное раскручивание КА в атмосфере Текст. / Ю.М.

59. Заболотнов, В.В. Любимов / Тезисы докл. XXI Научных чтений по космонавтике. -М.: ИИЕТ РАН, 1997. С. 105.

60. Заболотнов, Ю.М. Вторичный резонансный эффект при движении КА в атмосфере Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. 1998,- Т. 36, № 2.- С.206-214.

61. Заболотнов, Ю.М. Вторичные резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.М. Заболотнов,

62. B.В. Любимов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2002. - № 1.1. C.49-59.- ISSN 0572-3299.

63. Заболотнов, Ю.М. Нелинейные резонансные эволюционные эффекты при движении твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Прикладная математика и механика. 2002. - Т.66, Вып. 3. - С. 410-417.- ISSN 0032-8235.

64. Заболотнов, Ю.М. Применение метода интегральных многообразий для построения резонансных кривых в задаче входа КА в атмосферу Текст. / Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов // Космические исследования. — 2003.Т. 41, № 5.- С.481-487. ISSN 0023-4206.

65. Заболотнов Ю.М. Резонансные эффекты при вращательном движении космического аппарата с малой инерционной несимметрией в атмосфере Текст. /Ю.М. Заболотнов, В.В. Любимов, А.В. Иванов / Сб. трудов XI

66. Карапетян, А.В. Об устойчивости стационарных движений тяжелого твердого тела на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности Текст. / А.В. Карапетян // Прикладная математика и механика.- 1981.-Т.45, Вып. 3. С. 34-39.

67. Карапетян, А.В. О перманентных вращениях тяжелого твердого тела на абсолютно шероховатой горизонтальной поверхности Текст. / А.В. Карапетян // Прикладная математика и механика 1981. -Т. 45, Вып. 5. -С.39-45.

68. Карапетян, А.В. О влиянии диссипативного и постоянного моментов на вид и устойчивость стационарных движений волчка Лагранжа Текст. / А.В. Карапетян, И.С. Лагутина // Известия РАН. Механика твердого тела.- 1998. -Вып. 5.-С. 29-33.

69. Коклей, ТЖ. Динамическая стабильность симметрично вращающихся ракет Текст. / Т.Ж. Коклей // Ракетная техника и космонавтика. 1968.- Т.6. № 11.

70. Козлов, В.В. Новые периодические решения в задаче о движении тяжелого твёрдого тела вокруг неподвижной точки Текст. / В.В. Козлов // Прикладная математика и механика. -1975. Т. 39, Вып. 3. - С. 407-410.

71. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров Текст. / Г. Корн, Т. Корн. М: Наука, 1978. - 832 с.

72. Костров, А.В. Движение асимметричных баллистических аппаратов Текст./ А.В. Костров. -М: Машиностроение, 1984.- 272 с.

73. Котляков, В.Н. К проблеме допустимости применения прецессионных уравнений гироскопических компасов Текст. / В.Н. Кошляков, В.А.

74. Соболев // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - Вып. 4. - С. 17-22.

75. Кузмак, Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу Текст./ Г.Е. Кузмак.- М.: Наука, -1970. 348 с.

76. Ландау, Л Д. Механика Текст. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц.- М.: Наука, -1988.

77. Лебедев, А.А. Баллистика ракет Текст./ А.А. Лебедев, Н.Ф. Герасюта -М: Машиностроение, 1970.- 244 с.

78. Лифшиц, КМ. О явлении рассеяния заряженных квазичастиц на особых точках в р пространстве Текст. / И.М. Лифшиц, А.А. Слуцкин, В.М. Набутовский// Доклады АН СССР. -1961. -Т.137, № 3, - С. 553-556.

79. Любимов, В.В. Резонансные эффекты при вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в случаях, близких к случаю Лагранжа Текст. / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия технические науки,- 2000.- № 10. С.40-44.

80. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонанса в нелинейной системе с медленно изменяющихся переменными Текст. / В.В. Любимов // Известия Рос. акад. наук. Механика твердого тела. 2002. - № 6. - С.52-58.-ISSN 0572-3299.

81. Любимов, В.В. Внешняя устойчивость резонансов при движении ИСЗ с сильным магнитом Текст. /В.В. Любимов / Тезисы докл. XXVI Академических чтений по космонавтике. -М.: ИИЕТ РАН, 2002. С. 105.

82. Любимов, В.В. Приближенная оценка устойчивости капсулы при спуске в атмосфере Текст. / В.В. Любимов // Вестник Самарского государственного технического ун-та. Серия физико-математические науки. 2005.- № 38. - СЛ71-172.- ISSN 1991-8615.

83. Любимов, В.В. Вторичные резонансные эффекты и устойчивость при движении твердого тела в атмосфере. Монография Текст. / В.В. Любимов. Самара: Изд-во Самарского научного центра РАН, 2005.166 с. - ISBN 5-93424-220-2.

84. Любимов, В.В. Влияние момента Магнуса на резонансное движение асимметричной возвращаемой капсулы в атмосфере Текст. /В.В. Любимов, А.В. Усалко/ Тезисы докладов V международной конференции. «Авиация и космонавтика-2006». -М.: 2006.- 62 с.

85. Любимов, В.В. Эволюция во вращательном движении динамически асимметричных космических аппаратов в атмосфере Текст. / В.В. Любимов // Известия Самарского научного центра РАН, 2006, - Т. 8, №3. - С. 849-856.

86. Любимов, В.В. Резонансный эффект при возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту Текст. /В.В. Любимов/ Сб. трудов XIII Всероссийского научно-технического семинара

87. Управление движением и навигация летательных аппаратов». Часть 1. — Самара.- 2007. С. 180-184.

88. Любимов, В.В. Об особенностях в возмущенном вращательном движении спутника с сильным магнитом на борту Текст. /В.В. Любимов // Известия вузов. Авиационная техника. 2009. - № 2. - С.29-31. - ISSN 0579-2975.

89. Любимов, В.В. Определение области допустимых значений параметров асимметрии при проектировании ЛСК «Фотино» Текст. /В.В. Любимов // Полет. 2009. - № 6. - С.36-40. - ISSN 1684-1301.

90. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. Текст. / A.M. Ляпунов/ Докторская диссертация и статьи. -Ленинград-Москва: ОНТИ, 1935.-386 с.

91. Ляховска, Г.В. О вращательном движении ИСЗ в магнитном поле Земли Текст. / Г.В. Ляховска, А.А. Тихонов // Космические исследования. 1994. Т32, № 4-5. - С.62-67.

92. Магнус, К. Об устойчивости движения тяжёлого симметричного гироскопа в кардановом подвесе Текст. / К. Магнус // Прикладная математика и механика. 1958. - Т. 22, Вып. 1.

93. Маринбах, М.А. О ляпуновскмих периодических движениях тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в обобщенном случае Текст. / М.А. Маринбах // Прикладная математика и механика. 1981. - Т. 45, Вып. 5. - С. 800-807.

94. Маркеев, А.П. О плоских и близких к плоским вращениях тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. /А.П. Маркеев// Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. -№. 4. - С. 29-36.

95. Меркин, Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения Текст. / Д.Р. Меркин. М: Наука, 1971.- 312 с.

96. Митропольский, Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике Текст. / Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. М: Наука, 1973. -228 с.

97. Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики Текст. / Н.Н. Моисеев.- М: Наука, 1969. 380 с.

98. Нейштадт, А.И. О прохождении через резонансы в двухчастотной задаче Текст. / А.И. Нейштадт // Доклады АН СССР. -1975. Т.221, -Вып.2. - С.301-304.

99. Нейштадт, А.И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся параметром Текст. / А.И. Нейштадт // Прикладная математика и механика. -1975. Т.39. - С.621-633.

100. Овчинников М.Ю. Переходные движения спутника с магнитной системой ориентации в рамках простой модели гистерезиса Текст. /М.Ю. Овчинников// Космические исследования. 2000. - Т. 38, - №1. - С.78-84.-ISSN 0023-4206.

101. Основы теории полета космических аппаратов. Текст. / Под ред. Г.С.Нариманова и М.К.Тихонравова.-М.: Машиностроение, 1972. 608 с.

102. Охоцимский, Д.Е. Основы механики космического полета Текст. / Д.Е. Охоцимский, Ю.Г. Сихарулидзе М.: Наука, 1990. - 448 с.

103. Петров, Б.Н. Управление углом атаки космического аппарата посредством изменения центровки Текст. / Б.Н. Петров, Ж.С. Агеев, Б.В. Викторов, И.С. Уколов // Космические исследования. 1970. - Т. 8., Вып. 6. - С.855-861.

104. Раус, Э. Дэ/с. Динамика системы твердых тел. Текст. / Э. Дж. Раус. М: Наука, 1983. - Т. 2.- 544с.

105. Румянцев, В.В. Об устойчивости движения гироскопа в кардановом подвесе Текст. /В.В. Румянцев // Прикладная математика и механика. -1958.-Т. 22.-Вып. 3.

106. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 1. Движение демпфера Текст. ЯО.А.Садов// Космические исследования. -1970. Т. 8, Вып. 4. - с.547-556 .

107. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 2. Движение вектора кинетического момента в консервативном приближении Текст. /Ю.А.Садов// Космические исследования. 1974. - Т. 12, Вып. 4. -С.518-526.

108. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 3. Учёт изменения состояния демпфера Текст. /Ю.А.Садов // Космические исследования. 1978. - Т. 16.- Вып. 3. - С.345-352.

109. Садов, Ю.А. Быстрое вращение спутника с магнитным демпфером. 4. Диссипативная эволюция. Резонансные эффекты Текст. / Ю.А.Садов // Космические исследования. 1986. - Т. 24, Вып. 4. - С.553-564.

110. Садов, Ю.А. Вторичный резонансный эффект в двухчастотной почти гамильтоновой системе с быстрыми фазами Текст. /Ю.А.Садов/ Сборник: Устойчивость движения, Новосибирск: Наука, 1985. С. 179-184.

111. Садов,Ю.А. Вторичные резонансные эффекты в механических системах Текст. /Ю.А.Садов// Известия РАН. Механика твердого тела. 1990. -Вып. 4. - С. 20-24.

112. Садов, Ю.А. Системы с медленной эволюцией и вторичные резонансные эффекты Текст. /Ю.А.Садов/ Материалы II Всероссийского семинара по классической и небесной механике. Великие Луки. 1996.

113. Сазонов, В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа Текст. /В.В. Сазонов, В.В. Сидоренко // Прикладная математика и механика. 1990. - Т.54, Вып. 6, - С. 951-957.

114. Сарычев, В.А. Влияние диссипативного магнитного момента на вращение спутника относительно центра масс Текст. / В.А. Сарычев, В.В. Сазонов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1983. - № 2.

115. Сарычев, В.А. Движение спутника с постоянным магнитом относительно центра масс Текст. / В.А. Сарычев, М.Ю. Овчинников // Космические исследования. 1986. - Т.24, №4.- С.527-543.

116. Сергеев, B.C. Периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному Текст. /В.С.Сергеев // Прикладная математика и механика. — 1983, Т. 47, Вып. 1. -с. 163-166.

117. Сидоренко, В.В. Об эволюции движения тяжелого твёрдого тела под действием диссипативного возмущающего момента. I Текст. / В.В. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1991. -16 е.- Препринт. № 66.

118. Сидоренко, В.В. Об эволюции движения тяжелого твёрдого тела под действием диссипативного возмущающего момента. II Текст. // В.В.

119. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1991. -23 е.- Препринт. № 67.

120. Сидоренко, В.В. Разрушение адиабатических инвариантов на резонансах: пример из динамики твердого тела Текст. / В.В. Сидоренко.- М.: Институт прикл. матем. им. М.В. Келдыша РАН, 1995.- 24 е.- Препринт. -№76.

121. Стрыгин, В.В. Разделение движений методом интегральных многообразий Текст. / В.В. Стрыгин, В.А. Соболев. М: Наука, 1988. -256 с.

122. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Текст. / Под ред. Дж.Холла, Дж.Уатта.-М.: Мир, 1979.

123. Хазин, Л.Г. Условия устойчивости равновесия при резонансе 1:3 Текст. / Л.Г. Хазин., Э.Э. Шноль // Прикладная математика и механика. 1980. -Т. 44, Вып. 2, - С. 229-237.

124. Хапаее, М.М. Об усреднении в многочастотных системах Текст. / М.М. Хазин //Доклады АН СССР. 1974. - Т.217, Вып.5. - С.1021-1024.

125. Хапаее, М.М. Усреднение в теории устойчивости Текст. / М.М. Хапаев.- М: Наука, 1986. 191 с.

126. Хапаее, М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний Текст. / М.М. Хапаев.- М: Высшая школа, 1988. -184 с.

127. Хентое, А.А. Влияние магнитного и гравитационнного полей Земли на колебания спутника вокруг своего центра масс Текст. /А.А. Хентов // Космические исследования. 1967. - Т.5, №4. -С.554.

128. Хентов, А.А. Пассивная стабилизация искусственных спутников по магнитному полю Земли Текст. /А.А. Хентов// Космические исследования. 1967. - т.5. - №4.- С.563.

129. Черноусъко, Ф.Л. О движении спутника относительно центра масс под действием гравитационных моментов Текст. / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1963. - Т. 27, Вып. 3. - С. 474-483.

130. Черноусько, Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами Текст. /Ф.Л. Черноусько// Прикладная математика и механика. -1978. Т. 42, Вып. 1.- С. 34-42.

131. Четаее, Н.Г. О достаточных условиях устойчивости вращательного движения снаряда Текст. / Н.Г. Четаев // Прикладная математика и механика. 1943. - Т. 7, Вып. 2.

132. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике Текст. / Н.Г. Четаев.- М: Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

133. Шамолин, М.В. Семейство портретов с предельными циклами в плоской динамике твердого тела, взаимодействующего со средой Текст. / М.В. Шамолин // Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. - № 6.- С. 29-37.

134. Шилов, А.А. Влияние массовой и аэродинамической несимметрии тела на характер его пространственного движения Текст. / А.А. Шилов // Доклады академии наук СССР. 1968. - Т.183, №5.- С.1028-1031.

135. Шилов, А.А. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу Текст. / А.А. Шилов, М.Г. Гоман // Труды ЦАГИ.- 1975.- Вып. 1624.- 44 с.

136. Шилов, А.А. Динамическая устойчивость пространственного движения летательных аппаратов на больших углах атаки при некоторых видах инерционно-аэродинамической асимметрии Текст. / А.А. Шилов, А.Ф. Васильев // Труды ЦАГИ.- 1971. Вып. 1345. - 68с.

137. Ярошевский, В.А. Определение квазистатических режимов пространственного движения неуправляемого тела Текст. / В.А. Ярошевский // Ученые записки ЦАГИ. 1970. - Т.1, - Вып.5. - С.44-55.

138. Ярошевский, В.А. Движение неуправляемого тела в атмосфере Текст. / В.А. Ярошевский. М.: Машиностроение, 1978. - 168с.

139. Ярошевский, В.А. Метод ускоренного расчета быстрых квазипериодических движений на ЦВМ Текст. /В.А. Ярошевский, В.В. Воейков// Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т.4, Вып.1. - С.168-171.

140. Ярошевский, В.А. Анализ автоколебаний тела, близкого к осемметричному Текст. / В.А. Ярошевский //Космические исследования. -1980. Т. 18, Вып. 6. - С. 819-831.

141. Ярошевский, В.А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов Текст. / В.А. Ярошевский. М.: Наука. Физ.-мат. лит., 1988. -336 с.

142. Яхъя Х.М. Качественные исследования плоских и близких к ним движений твердого тела вокруг неподвижной точки Текст. / Х.М. Яхья // Прикладная математика и механика. 1981.- Т. 45, Вып. 4. - С. 618-623.

143. Aslanov V.S. Resonance at motion of a body in the Mars's atmosphere under biharmonical moment Text. / V.S. Aslanov // WSEAS TRANSACTIONS on SYSTEMS AND CONTROL. Issue 1. - Volume 3.- P. 33-39. -ISSN: 1991-8763.

144. Aslanov V.S. Chaotic behavior of the biharmonic dynamics system Text. / V.S. Aslanov // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. IJMMS-319179.- 2009. - 12 p.

145. Bennett, M.D. Roll resonance probability for ballistic Missiles with random configurational asymmetry Text. / M.D. Bennett// Journal Guidance, Control and Dynamics. 1985. - Vol.6, № 3.- P.222-224.

146. Bentsik, E. Su di un tipo di precessioni regolari per un corpo rigido asimmetrico soggetto a forze newtoniane Text. / E. Bentsik // Rendiconti Sem. mat. Univ. Padova. 1968-1969. - V.41. - P. 252-260.

147. Bootle, W.J. Spin variation in slender entry vehicles during rolling trim Text./ W.J. Bootle // AIAA Journal. 1971. - Vol.9, No.4.- P.729-731.

148. Clare, T.A. On resonance instability for fined configuration having non-linear aerodynamic properties Text./ T.A. Clare I I Jour. Spacecraft. 1971. - Vol. 8. -№3.

149. Euleri, L. Commentationes mechanicae ad theoriam corporum rigidorum pertinents Text. / L. Euleri // Opera omnia. Ser.2 V.8. Auctoritate et impensis societiarum naturallium Helveticae. Turici: Orell Fussli., 1965. 417 p.

150. Grammel, P. Die stabilitat der Staudeschen Kreiselbewegungen Text./ P. Grammel // Math. Z. 1920. - Bd.6, H. 1/2.- S. 124-142.

151. Grioli, G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico Text. / G. Grioli // Ann. mat. pura ed appl. 1947. -Ser.4. - V.26, fsc. 3-4. -P. 271-281.

152. Gylden, H. Undersokning af fall, der rotations-problemets losning kan uttryckas medelst reelt periodiska funktioner af tiden Text./ H. Gylden // Ofversigt af Kongl. Vetensk.-Akad. forhandlingar. -1893. V. 50, № 2. -P. 63-75.

153. Hoddapp, A.E. The effects of products of inertia on the roll behavior of ballistic re-entry vehicles. Text./ A.E.Hoddapp, E.L. Clark // AIAA Paper No 70-204.

154. Jane's Spaceflight Directory Text.- London, 1987.- 796 p.

155. Lyubimov, V.V. Influence of asymmetry at rotational motion of lightweight re-entry vehicles in the atmosphere Text. /V.V. Lyubimov // Proceedings of the

156. Russian-European Sumer Space School "Future Space Technologies and Experiments in Space". European Space Agency.- Samara.- 2003. P. 167-168.

157. Maple, C.G. Aerodynamic symmetry of a projetilem Text./ C.G.Maple, J.L.Synge // Quarterly of Appleed Mathematics. Jan. 1949. -Vol. 4.

158. Murphy, C.H. Response of an asymmetric missile to spin varying through resonance Text. / C.H. Murphy // AIAA. 1971. - Vol.9, №11.

159. Murphy, C.H. Nonlinear limit motion of a slighly asymmetric re-entry vehicles Text./ C.H. Murphy, J.W. Brandley // AIAA Journal.- July 1975. -Vol.13.-P.851-857.

160. Nayfeh, A.H. An analysis of asymmetric rolling bodes with nonlinear aerodynamics Text./ A.H. Nayfeh, W.S. Saric // AIAA Journal. 1972. -Vol.10, No.8. - P.1004-1011.

161. Neishtadt, A. Averaging, capture into resonances, and chaos in nonlinear systems Text. / A. Neishtadt // Nonlinear sience. 1990. - P. 14 .

162. Nicolaides, J.D. Non-linear resonance instability in the flight dynamic of missile Text./ J.D. Nicolaides, T.A. Clare // AIAA. P. 80-970.

163. Flatus, D.H. Dispersion of spinning missiles due to lift nonaveraging Text./ D.H. Platus // AIAA Journal.- July 1977.- Vol.15.- P. 915.

164. Platus, D.H. Roll resonance control of angle of attack for re-entry vehicle drag modulation Text./ D.H. Platus // American institute of aeronautical and astronautics, 80-1574.- 1980.-P. 175-181.

165. Platus, D.H. Ballistic re-entry flight dinamics Text. / D.H. Platus // Journal of guidance and control.- 1982. Vol.5.- № 1.

166. Price, D.A. A new treatment of roll-pitch coupling for ballistic re-entry vehicles Text./ D.A. Price, L.E. Ericsson // AIAA Paper No 69-101.

167. Routh, E.J. The advantced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. P.2. Text. / D.H. Platus // London: Macmillan, 1884.- 343 p.

168. Stephenson, W.B. The motion of high-fineness-ratio rolling stores Text. / W.B. Stephenson // TM 189-54-51. Sandia Copr.- Nov. 1954.

169. Tisserand, F. Sur le mouvementde rotationde la Terre autor de son centre de gravite Text. /F.Tisserand // C.r. Acad. Sci. 1885. -T. 101. - P. 195-199.

170. Tournaire. Memoire sur la rotation des corps pesant Text. / Tournaire // C.r. Acad. Sci. 1960. - T. 50. - P. 476-481.

171. Vaughn, H.R. Boundary conditions for persister roll resonance on re-entry vehicles Text. / H.R.Vaughn // AIAA Journal. June 1968.- Vol. 6. - P. 10301035.