автореферат диссертации по геодезии, 05.24.01, диссертация на тему:Устойчивость и минимаксное оценивание при математической обработке геодезических измерений

; о

сл

Государствен .ын комитет Российской Федерации по высшему образованию

Санкт-Петербургский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Государственный горный институт им.Г.3.Плеханова (технический.университет)

УДК 523.1 На правах рукописи

ЯГ-'^СЛЕНКО Александр Степанович'

УСТОЙЧИВОСТЬ И ййИйАНСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПРИ МАТЕ'ЛАТИЧЕСКОИ ОБРАБОТКЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ. ИЗМЕРЕНИЙ

Специальность № 05.24.01 - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание учеяоП степени доктора технических няу;'

СтЛетг-рбург

Работа выполнена в Белорусской сельскохозяйственной академии

Официальные оппоненты:

дояг-т- технических наук, профессор ИАШИМОВ M.'J. доктор, технических наук, профессор ЕЫВШЕВ В.А. доктор технических наук, профессор ХЛЕБНИКОВ A.B.

Ведущее предприятие : Ыосковское азрогеодезическое

предприятие

/Защита диссертации состоится " ^ " ^ ^

1Э9^г. в ¡3 час. &£) мин. на* заседании специализированного совета Д.063.15^Ов Санкт-Петербургскоа государственны горной институте иы .Г .В .Плеханова по адресу: . 155026, г.Санкт-Петербург, 21-я линия, дон 2, ауд.

С диссертацией ыожно озвакоииться в библиотеке Санкг-Пегзрбургского государственному горного институт,, Автореферат разослан

¡яагог горного институт,, у

JA* Я^Л-О Z-ig хэ94 р.

Ученый секретарь . ВС\ п

специализированного к—

совета доц.!1»Т.троф5шов

ОБЩ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальности темы. Качество всех геодезических работ,в том гисле и математической обработки выполняемых при этом измерений, арактеризуется точностью конечных результатов.

При этом с цельп повышения производительности труда и эффек-ивности производства необходимо совершенствование как организа-ии процесса выполнения измерений, так и алгоритмов их математи-еской обработки, по котор::м находятся оценки определяемых пара-етров. Методы оценивания определяются условиями, в которых про-зводятся измерения, а также наличием качественной и кожчествен-зй информации о них. При этом неопределенность о качестве, т.е. эчности как измерений, так и исходных данных, может быть различит. Кроме того, опибки измерений могут содержать в своей сово-тности наряду со случайными также грубые и систематические, [формация об их распределении з измерениях мояет быть настолько 'определенной, что окажется невозможным применение для уравнива-» :я метода наименьших квадратов, который обосновывается предполо-ниями теоремы Гаусса-Улркова.

В связи с этим актуальной является проблема разработки таких тодов обработки геодезических измерений, которые обладают устой-востьп к нарушениям предположений названной теоремы. Как отмеча-гя в решениях УП Международного симпозиума по геодезическим вы-:лениям, актуальными будут исследования по разработке методов авнивания, устойчивых к грубым ошибкам измерений и построения зхастических моделей, принимал^их во внимание любую доступную Ьормацию об измерениях. При неполной .информации о точности из-)ений актуальной задачей является получение гарантированных ;нок, связанных с минимальным риском по точности определяемых )аметров. Такие опенки принято называть минимаксными.

Поскольку планирование измерений тесно связано с методам;; учения оценок, то возникает необходимость реяения вопросов имизации геодезических сетей при минимаксном оценивании, а ке обработки данных," связанных с применением современных тич;ен/й в вычислительной технике.

Целью работы является:

I. Построение стохастических моделей, принимающих

л^бую доступную информацию об измерениях. Установление в связи с этим распределений, ведущих к таким методам уравнивания геодезических измерений, которые обеспечивают минимальный риск з оценке неизвестных параметров.

2. Еквод распределений, на основе которых строятся методы уравнивания,устойчивые к грубым ошибкам.

3. Устойчивое к грубым ошибкам оценивание в. одномерном и многомерном случаях.

4. Минимаксное оценивание при уравнивании геодезических сетей.

5. Энтропийный подход к обоснованию минимаксных стратеги":.

5. Оптимальное планирование измерений при минимаксном оценивании.

7. Рекуррентное оценивание для методов, отличных от метода наименьших квадратов.

8. Программирование разработанных алгоритмов уравнивания на ЭВМ.

Об-^ктом исследований являются вопрссы построения стохастических моделей, принкмажцих во внимание различную доступную информацию об измерениях, обоснование устойчивых к грубым оакб-кам и минимаксных алгоритмов уравнивания, алгоритмы оптимального планирования измерений при минимаксном оценивании, рекур-рчтного оценивания и программирования разработанных алгоритмов на ЭВМ.

Методика исследований базируется на теории функционального анализа, вариационного исчисления, теории вероятностей и математической статистики, линейкой алгебры и теории информации. Результаты теоретических выводов реализованы в виде программ для ЭВМ типа СМ 1420 и ЕС 1Сиб с соответствующей проверкой на различных объектах.-

Научная новизна работы заключается в следующем:

- найдены распределения,на основе которых сттюятся методы оценки параметров положения и рассеивания, устойчивые к грубым ошибкам;

- разработан и теоретически обоснован алгоритм устойчивого оценивания названных параметров в одномерном и многомерном случаях;

- разработаны и теретически обоснованы алгоритмы минимаксного оценивания при уравнивании геодезических сетей;

'-расширено минимаксное оценивание для различной полноты информации о точности исходных данных и измерений;

-дано обоснование минимаксного оценивания с точки зрения теории информации;

-разработан алгоритм оптимального планирования измерений при минимаксном оценивании, обладающий общностью по сравнению с существующим;

-разработан вопрос рекуррентного оценивания для методов уравнивания, отличных от ШК

Практическая ценность

По результатам, выполненных исследований составлены следующие программы для ЭВМ типа СМ 1420 и ЕС 1036:

- программа устойчивого уравнивания плановых комбинированных геодезических сетей с оценкой точности определяемых параметров;

. - программа уравнивания и оценки точности плановых комбинированных геодезических сетей с учетом ошибок исходных данных, пчрормацпч о которых неполная; программа составлена на основе алгоритма минимаксного оценивания;

- программа оптимального планирования измерений в плановых комбинированных геодезических сетях при минимаксно-.! оценивании.

Реализация работы ' По программе устойчивого уравнивания выполнена обработка геодезической сети города Минска. Результаты уравнивания доложены на техсовете Белорусского картографогеодезического предприятия (БелКГЛ) комитета Белгеодезия при СМ Республики Беларусь и приняты в производство. Способ уравнивания рекомендован при проектировании уникальных геодезических сетей. Экономическая эффективность представлена в акте внедрения.

Апробация работы

Результаты исследований, докладывались ежегодно на нлут'с-производственных конференциях по итогам научно-исследовательс:--:'?: работ в 1960, 1983,1939,1990 годах Белорусской сельскохсзя.";;:;. ной академии, нэ 50-й конференции по итогам научно-исследсз'-с л:: -ких работ в Белорусском технологическом институте гл.:. на республиканской научно-производственной кзнферетг/и г:.-ч

"Геодезическое обеспечение народного хозяйства БССР" в Г,

на техническом совете БелКГЛ в 1993 г.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано

в II научных работах. *

Объем работы. Диссертация написана на ¿02 листах машинописного текста, в том числе 250 стр. основного текста, сод-рти? о2 таблицы, 20 рисунков. Состоит из введения, в глав, вывозов, списка использованной литературы и приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РЛЕСШ

Во введении обосновывается выбор темы диссертации и ее актуальность. Кратко освещены-результаты исследования других авторов по проблемам устойчивости и мит.-лксног- огечлзаяи?. Определены цели исследований.

В первой главе на основе вариационного подхода да:; вавоч распределений, связанных с устойчивым и кинимакенш: оцениванием.

Отмечается, что на практик? часто допускается нарулсн"е условий применимости теоремы Гаусса-Маркова, которой обоснсвылд-чтсп применение метода наименьших квадратов для математической обработки геодезических измерений. В таком случае ставится задача разработки более обшего метода обработки измерений.Это в свою очередь связано с проблемой исследования общего закона распределения сшибок измерений. Однако из-за ограниченности количества измерений на практике такое исследование выполнить невозможно. 3 то же время могут быть известны некоторые характеристики распределения ошибок (островершинность, симметричность и др.), а такхе некоторая информация о точности измерений. В таком случае рекомендуется на основании полученной информации подобрать такую функцию плотности распределения вероятностей ошибок измерений, при которой достигается максимальная дисперсия в оценке неизвестных параметров и которая тем самым предохраняет от возможно большего риска при определении,количества информации Зишера. Идея такого подхода принадлежит Хьюберу. Поскольку полнее изложение этой идеи в существующей геодезической и магматической литературе отсутствует, то в настоящей диссертации она доведена до практической реализации.

В основу идеи Хьсбером ¡закладывается выражение количест-

ва информации йишзра

С ;

Йр-п-я* (I)

где у - функция плотности распределения вероятностей, вид которой в общем случае может быть следующим

(2)

6

Вначале звд функции , доставляющей минимум (I), на-

ходится по параметру сдвига £ . В таком случае (2) представляется так

.¿/=/ (си- -Ь) (3)

Выражение ( I ) называют функционалом Фишера. Его экстремум, в данном случае минимум, находится при условиях, налагаемых на функцию плотности Ц . В качестве обязательного здесь выступает условие нормировки

усСзс = 1.

(4)

Другие условия записываются в соответствии с информацией о точности измерений и о поведении функции плотности в области ее определения.

Если на функции у налагагтся условия типа

С5)

то для поиска экстремума (I) по и записывается функционал Лагранжа

ЗО.У)\7+ ?> \яЦ)сЬ:, (о)

где у) - множитель Лагранта.

Для решения этой задачи варипцкоипго исчгелениг ¡»ходит:г дифференциал (б) в екыело Срезе и на его оснсгэ пыг.^д;:?':.^

в последующем уравнение Эйлера-Лагранжа

U' <? U" ,

С ff-ij+Щ ™

или, в предположении,

Ll. = Vy (8)

'' -.....

Иг радения (0) с учетом (3) находится явный знд функции плотности, доставляющей минимум функционалу (I).

В качество примера приводятся следующие случаи. I. Если ¡томе условия нормировки (4) известка точность измерений, т.е.

\-icrucLoc. - /,

I

(10)

тс (9) прилет вид

-¿i и!'i-и. C?, +?<¡/zz) -О. (п)

Его реае.:-:ием будет функция плотности нормального распределения. Здесь и в дальнейшее. -"X считается нормирозан-исй веткчллой.

2. В случас атсутствия информации о точности измерений, т.е. условия. (10) к островершинности функции плотном в центре распределения (скачок первой производной) вид (9) будет таким

-<U * LL-? = Ut

а его решением - .тг.-нкция плотности распределения Лапласа.

3. Ппрэчк л еторая производная фучкции Lj непрерывны. 5у;игцип пготьости и центре распределения имеет максимум. Тогда решалием (12) будет

ифсо^ , [-Ç (13) •

Здесь также информация ci votoocth кзаерений отсутствует.

4. При тех ce условигх футсщир плотности в центре распределения имеет шшкда. Тогда га (12) исходи кг

" А

где А - нормирувдкй zos^iweur.

££екно заялзчзгть, что йотаксной стратегией катекатичес-еой обребст». геодезических измерений при достоверно кз-вестнэ!; точности кзкереиий (условие СО)) является иетсд каиигньзд: киггчрсгйв, который в ыстздэ ьакскшлы.ого правдоподобия iLi") гкводстся кз £уншкя плотности rapsta-льного явлга^е^с.ч psr.eiaîSM (II).

Случат соответствуют другие ккншакснко етратз-

гии обработки измерений. ¡¿аизтссижк они названы на основе аркискенхл методе каксмтяьного прагдспсдобпя по цияг* пхотклгтй, гогтавсвгки аша-хсуа функционеру Ш.

Дяя вьзадо фуккыШ А' » доетаьзлсис ыкша^'ч (I), по периметру кгеггтаба '3 в (2) пех¡годна ,Х примято пентр^омшной к Еьедена, новая першо.ишя

^ = i/2 /ос! - in. о" (15)

Нагатлг гагпреде.т -¡наг -2Г сагуртр irais: заоислигетс* эестшя ка тесрс.; i<rxcnr:!OcieS i«pv-/XA егмк <укп®й пгмкзетх иеренск;зих ^ к

= ,? (</'{Zj;/ И - -У.

я для гл.р^-гтрз ZL адесь рассмотрев« сгед-г^гв егу-

I. - ¿уигда* тоткзета вэркалькзго ?е.г;:рсдо-

1ггда, ей сеасмаиа (15)

е.

г'угг /м

• соответствует функции плотности распределен;1"

.¿апласа. ^огда

£ =

4'сс.'

> ¡ос!?^

, 1СС-1 .

'т -')

¿(х соответствует Ьункпии (13). Голца

•/ £ !сс1 ) = - соз I суг-/

^ /

у/ №

4. Есди Судет иметь вид (14), то

¡ос!

и г

^ 2/4/а:/

(9

(20)

■ Применение метода максимального правдоподобия по функции плотности Лапласа приводит к оценке параметра сдвига в виде медианы, а применение того метода по функциям плотности (17), (19), (20). приводит к оценке параметра (5" типа

П

РУ

(21)

При этом (21) является точней решением уравнения максимального правдоподобия, построенного на основании (17).

Из .(16) следует также, что оценкой масштаба в этом

случае Судет медиана модулеР отклонений, т.к.

Р (¡СХЦт-'з) = p(lO¿/¿(5) . (221

. з анализа полученных оценок следует, что наиболее устойчивы», по отнесению к загрязнению измерении гоубыми скобками являитск згенхн, полученные из тех методов обработки, которые базируются на функциях плотности, доотавлтоаих минимум функционалу (I) и выведенных при отсутствии информации о точности измерений. При этом особое место среди них занимает функция плотности распределения Лапласа.

3 рэбите-доказывается, что распределение Лапласа может ис-.пользоваться при обработке измерений, стандарты которых изменя- • атся по неустановленному закону. Задача формулируется так.

Пусть имеются измерения с нормальным распределением При этом <о неизвестно. Известен лишь факт'его изменения, и известно его среднее значение по всем измерениям, равное В . Необходимо вывести распределение, близкое к нормальномуА принимаемому часто в качестве исходной гипотезы при уравнивании, и удовлетворяющее приведенным условиям неравнотэчности измерений.

Для решения поставленной задачи используется расстояние Кульбака-Лейблера

f, =[ ífL ^L рсы C¿3L . (23)

где . <j>(CCj -функция плотности распределения

ptou^fasyfccc/G), (24)

/(О) - неизвестная функция плотности распределения величины , а {(СС/6) -функция плотности распределенияЛЙ2,&"У

В теории информации и статистике (23) гыратает информативное уклонение функции рСХ.) от .Чем меньше это уклонение, тем с меньшей точностью, т.е. с болыпей дисперсией, оценивается определяемый параметр. Таким образом функция плотности,рсх.), минимизирующая (23), приводит к гарантированным оценкам.

Сункция j-C<3) в (24) должна удовлетворять условие

Jfceido-1,

Необходимо найти функцию плотности частного распределен::?

оо

hccc.)- \¡C<5)f(3c/6)cLb

(25)

о

i

при минимуме расстояния (23).

Для ревадия такой вариационной задачи на основании (25) и (23) составляется функционал Лагран^а. Варьированием его по ■fC<5) составляется уравнение Лагража, из решения которого находится явный вид функции ¿C6J • Подстановка ее е £22' приводит к тучка;:::

ÍexJ в ■ '

"ассто^ниг- (¿3) кс удовлетворяет всем свойствам метрики. Тай

£ fí (C-, Р) . (23)

3 таком • случае может быть использовано расстояние Хеллингера

)Я - / Г7 " (29)

3 I

на основе которого в работе аналогичным образом строится вариационная зацгйа и выводится (27).

Со втсооР г да г,г. диссертации рассматривается устойчивое оценивание и одномерном случае.

На оснопч анализа результатов исследований отечественных и зарубежных авторов, посвоенных д.ашому вопросу, установлено, что к наптохдему времени не существует полной теории устойчивого оценивания по отношению к грубим ошибкам.

Для се развития в работе составлена вероятностная

модель совокупности случайных и грубых сстибок. • '

Если известна функция распределения случайных ошибок С-СЗС) и функция распределения грубых Н(-ЭС) , а таксе доля <£ грубых ошибок в их общей совокупности со случайными, то в работе установлено, что функция распределения такой совокупности имеет еид

Г(сс) ~ СНссс,), (30)

а функш.л плотности

((-Ъдох.)

-fw-

/сс/ ^ h

(31)

¿fieri , lccj7k

где ¿/(ОС), k. ССЕ.) _ функции плотности распределе- ' ния соответственно случайных и грубых сшибок, k. - параметр, разделяющий на числовой оси грубые сшибки от случайных.

Поскольку вид функции h- (рс-) практически неизвес- ' тен, то в качестве ее для уменьшения риска подбирается наиболее неблагоприятная по количеству информации Фишера функция плотности. Для вывода ее явного вида при известных £j(OC), €. , k- в работе формируются условия устойчив вости, которые сводятся к требования» непрерывности -j-tCC) , а также непрерывности и ограниченности функции у-' — £COQ-f СО.. Исх;дя из приведенных условий а соответствии с (12) выводится функция k.(3L) , достав-' ляювая минимум количества информации Зивера.

fl'Ck)

¡l(--X) -

/-¿г

в

(Ь <£'"'

ус

На, основании условия нормировки (4) устанавливаете.« сьязь

параметрами С и k. . В качестве примера тзхая связь в работе выводится для случая, когдь ffi'o:.) соответствует функция пдствости ко1з.ууть!:ог о р.; определит.

Г4

Алгоритм определения параметра положения строится,на основе применения ММП к (31) с учетом (32). При отом используется получаемый при разложении уравнения правдоподобия в ряд Тейлора сжимающий оператор

№4сзс)сЬх.

на основании которого строится сходящийся итерационный процесс Ньютона для определения параметра . Точность его определяется следующим образом :

¡Г^сххйх Тъ - —- . „ •

В тех с-т/иаях» когда » используется зависимость

у'/ссс) {¿¿¿¿-(у^ССО^'Х!. (35)

Дисперсия (34) минимальна лишь в случае ^ = •

йулавш приблтазнизм устойчивого значения параметра £ является медиааа. Установлено, что метод медианы связан с задачей наилучшего приближения функции и соответствует методу наименьших модулей (№0. Дисперсия медианы выводится в соответствии с (33), (34) и в случае, когда £/ГасЗ -функция плотности нормального распределения, равна

Г) - ,

(36)

где /2. - величина выборки, <о - параметр масштаба нормального распределения.

Нижняя грань дисперсии устойчивого значения параметра Ь в этом случае равна

П -

Об ~ ^ ' (37)

J^drzc^osCkj—)- (33)

Для вывода устойчивого значения параметра масштаба вводится новая величина

Z= ¿к/ОС/.

(39)

В данном случае для удобства выводов СИ принято нормированной случайной величиной. Из (39) следует, что может существовать.два значения критической величины » раз-

делявшей случайные ошибки от, "загрязнений": грубых, завышавших значение масштабами малых, занижавших его. Второй случай "загрязнений" имеет место при компенсации ошибок измерений. В первом случае >О , во втором -

Tip ~ Zfcv ^ О • В работе приведенные случаи рассмотрены з отдельности и совместно. Для нормального распределения случайной части ошибок при совместном появлении "загрязнений" компенсации и грубых функция плотности, доставляющая минимум функционалу Фишера; имеет ввд

и , / L (40)

'СйУ С -/-£) десс) ,.

(k, f

В работе установлена связь мезду величинами <£ , k/ ,

. Яункция плотности д.;я каждого случая в отдельности является частной по отношению к (40).

Применение метода максимального правдоподобия к (40) решает задачу определения устойчивого значения параметра масштаба. Для этого нормированная величина ОС представляется в виде ^ . где LL - измеренная величина. о

В заключение главы рассмотрено совместное определение параметров сдвига и масштаба в одномерном случае.

В третьей главе диссертации устойчивое оценивание распространено на многомерный случай, в честности, для

L.

уравнивания плановых комбинированных геодезических сете.'.

Начальное приближение устойчивых значений определяемых па-раметро находится по методу наименьших модулей. Целевой в данном, случае является функция

для которой находится минимум по определяемым параметрам. 3 (41) 2 =(1,1.....-Ьх/1 > Р-единичная , а в случае (27)- диагональная матрица величин, обратных к среднем стандартам измерений, /V/ -вектор модулей яогтразок измерений, /2_ -число измерений. Выраясение (41) соответствует сумме модулей поправок измерений. Ограничения на определяемые параметры X залг.сыБИ-отсл, исходя из исходной системы уравнений поправок, в виде

где А - матрица коэффициентов уравнений поправок,и,- свободный член. Для реле::ия задачи'оптимизации (41), (42) симплекс-методом необходимо, чтобы в ограничениях ,та все переменные налагались условия неотрицательности. Это.достигается исключением вектора X из уравнений (42). Таким образом видоизмененная система ограничений используется для сиплексного решения. Доказано, что нижняя граница дисперсии оценок МНМ , полученных симплекс-методом, в асимптотике определяется ковариационной матрицей

£ ^Г л/-/ ** ~ 2(!-£)*- > {43) где Л/=ЛТ^А , в =Рг

По результатам уравнивания методом наименьзнх модулей определяется £ для вычисления '(43), а также и Ад,

необходимые для устойчивого уравнивания.

На втором этапе выполняется уравнивание устойчивым методом максимального правдоподобия. В работе, в частности,

рассматриваете" уравнивание устойчивым методом наименьше: квадратов (УМНК). При этом уравнение правдоподобия имеет вид

а+ВА± = о. (44)

В (44)^ (1 - вектор, J -й элемент которого имеет вид 21 £) , а у^- - производная функции

правдбподобия по у ~-й составляющей вектора параметров , OC.¿ — с-е измерение. ¿3 - матрица нормальных уравнений. При этом

. , (сс-fcvU k-6

dt

б

Уравнивание в соответствии -с (44) и (45) монет выполняться в рамках KHK, но веса измерений в этом случае при /ОС- назначаются в соответствии с фор(,улой

Р-т^ • ' t465

' IUI и

Решение находится итерационным способом, при этом TS в (45) берется из предыдущей итерации." Нижняя граница дисперсии уравненного вектора определяется ковариационной матрицей

Отмечается, что недостатком симплексного реяенкя является невозможность получения ковариационной матрицы определяемых параметров. Для этого приходится вноеь составлять матрицу нормальных уравнений /V . С вычислительной точки зрения более удобным является процесс получения МНIi - оценок в схеме МНК при следующих весах измеренийt

Р-.Л— . I4S)

г 1тЛ

При этом реализуется итерационный процесс в соответствии с (14), а корреляционная матрица оцениваемых параметров вычисляется по формуле

а~1КссВ~1. . .с*»

Отмечается также, что (47) справедлива при известном параметре масштаба. Если же требуется совместное определение устойчивых значений параметра масштаба и вектора £ , то вначале производится уравнивание УШК в соответствии с (44)-(1о) при нулевом приближении параметра масштаба единицы Беса,поток на основание (40) определяется его устойчивое значение и в соответствии ; (49) определяется ковариационная матрица уравненных величин.

3 четвертой главе рассматривается минимаксное оценивание при обработке геодезических измерений, определено его место:

а) при установлении функций плотности, по которым строятся алгоритмы уравнивания;

б) при получении гарантированных характеристик точности определяемых величин, если неизвестны полные вероятностные характеристики ошибок измерений, а имеются лишь их предельно-возможные значения, или их дисперсии при неизвестных корреляционных моментах и др.;

в) в уравнивании с учетом ошибок исходных данных при недостающей информации об их точности.

Особое место уделяется уравниванию с учетом ошибок исхо- -дньпс данных, так как этот вопрос имеет практическое и теоретическое значение в геодезии. В' связи с этим в работе выделены следующие случаи неполноты информации о точности исходных данных.

I. Точность исходных данных достоверно неизвестна.

Поскольку минимаксное оценивание является частным случаем байесовского при наименее благоприятном априорном распределении, то плотность совместного распределения параметра и измерения ОС можно записать в виде

= А (4.) СОС), (50)

'где h-(-i) - плотность априорного распределения параметра, а (СС) - плотность распределения ошибок измерений с определяемым параметром ^

В данном случае запись (50) возможна, так как при уравнивании с учетом сшибок исходных данных последние могут быть представлены в качестве определяемого параметра, связанного уравнениями поправок с измерениями.

В работе на основании интегрального неравенства типа ?ао-Крамера выводится количество информации Фишера для функции (50)

На основе вариационного исчисления, при условии нормировки, налагаемом на функцию (50), находится явный вид

h. Li) , доставляющей минимум функционалу (51). Она соответствует функции плотности распределения Лапласа. Вид функции П. ¿-i) не зависит от вида -¿t с\"Х) . В том случае, когда выполняется условие (10) для h-CiJ , ее вид соответствует нормальному закону распределения.

Если вектор исходных данных обозначить через ~Т~ , а измерений через X >■ 110 функция плотности их совместного распределения будет

■Зункция правдоподобия, соответствующая (52), при нормальном распределении вектора измерений примет вид

L^f_iVi.!-VTPV, (53)

где _ поправка в С -й параметр исходных данные,

\/ - вектор поправок измерений, Р - весовая матрица, /72. - число исходных данных.

Исходя из функции правдоподобия (53) составляется уравнение' правдоподобия типа ('14) и решение выполняется итерационным способом с заданной точностьэ з схеме метода наименьших квадратов. [Зри г том веса исходных данных уста- ■ навливаится по формуле '

2С

г) *

Я= —, ' (54)

а значение ■ берется из предьиушего приближения.

Точность оцениваемых параметров определяется ковариационной матрицей (49).

2. Неизвестны ковариационные моменты исходных данных. Полагая X/ вектором исходных данных, а Хх ~ вектором определяемых параметров, записывается известная система уравнений поправок

^ - | (55)

Vz = AXl + ЛzXz-L)

Несмещенная оценка векторов X/ и Хг, представляется е виде

/ X, ^ '

М - _ I и и II 1 (55)

V X, I ~

при условии

_ _ ¡ЗС \ /£ О \ £ ~ \pCrj А, Аи

(57)

нас!гЕьемок условием нескещенности(Г.Шеф$е,С.Закс), в котором

£ к £. ■ единичные матрицы соответствующих размеров. Б 31дакк1а предположениях задача минимаксного оценивания строится так. Необходимо найти матрицы Ё , С , 7Э , С , удовлетворявшие условию (57), такие, при которых наибольший по в авиационным моментам исходных данных след ковариаци---■-.-л-У,-. векторов X/ и Х^ будет минимальным.

,1:•; ре-с-кия записывается максимальный по ковариационным сшибок исходны;: дакнгл: след названной ковариационно:": м'-тгкш:. Гэоксльку, исходя кз (55), функция следа кова--.иг;:;:-:-::-:: векторов А/ я Х^ связана с ковариа-

рецепта.'.:,: ссибок исходна данных матрицами 5 и

'и , то максимум следа будет достигаться при условиях

Сс/п У О

£ст. сй-с. с1ст ? О С58)

I ^спг I ='( \

где ¿1 - номер определяемого элемента исходных данных по порядку, и /71. - соответственно номера строки и столбца соответствующего момента ковариационной матрицы ошибок исходных данных.

С учетом (58) записывается выражение максимального следа ковариационной матрицы гекторов X/ и Х&, минимум которого по элементам матриц ¿3 , С , 1Э , О необходимо найти при условии (57). На основе этого составляется функционал Лагранжа с матрицей неопределенных множителей А . .Строка С матрицы А , обозначаемая Д^ , находится из решения следующих нормальных уравнений :

/Ч" Лс - I. (59)

В (59) /\¿ записано в виде столбца. I - вектор, все элементы которого нулевые, кроме ¿1 - го, равного единице.

/V - матрица нормальных уравнений, составляемая на основании (53) при весовой матрице Рс , входящей в состаз системы уравнений'

получаемой в результате дифференцирования функционала Лагранжа по элементам строк , матриц б и С . По известной А/ , исходя из (60), вычисляются элементы ёс , ^ . Весь цикл Еычисленлй повтсрпетсл для всех с от / до где - число исходных данных, а £ - число неизвестные параметргз.

. . Этим . заканчивается одно приближение. Следующее выполняется с учетом результатов предыдущего до требуемой точности получения элементов искомых матриц или параметров. Дисперсии- параметров X/ и Х^, определяется по

тональным элементны катрше; /\

3. Известны лишь предельные значения ошибок измерений или исходных данных.

Е этом случае вектор ошибок подчиняется сле-

душщаму неравенству :

¿¿.а, (61)

где Л - вектор предельно возможных значений ошибок, г-леь'.енты которого для. уоне.^етркческих сетей (угловых, линейны-:, нивелирных) могут быть равны мизду собой.

Дея решения поставленной задачи исходной является система уравнений поправок

V = А X + (62)

Х- и-\ ,

(63)

несмещенная опенка которой найдется 'из вираже. 1ия

(64)

при условии несмещенности

-в-А = и. . (65)

Здесь т£.кп:е задача заключается в поиске такой вектор-строки , лр;; которой максимально возможная ошибка функции (64), получаемой уравнивания, будет минимальной. Соответствую—'./. ёу:-::-:т:зн2Л Лагранта имеет вид

Р -г (€-А -и.)Лт. (66)

:;5ние Лагранка в данном случае имеет вид

(67)

(68)

Р"' -сйау

1&1

Из (о8) с учетом (69) находится

ёТ= - РА АТ

Подстановка (71) в (65) приводит к уравнению

Л АГРА

(70)

(71)

(72)

из которого находится вектор множителей Лагранжа Д , а з последующем вектор (э

Задача решается итерационным способом до достикения заданной точности. Весовая матрица (70) вычисляется по результатам предыдущего приближения.

Приведенные выводы распространены на уравнивание с учетом ошибок исходных данных при системе уравнении (35) и оцениваемой функции

Х-и,*, ^¿¿¿Лс ,

несмещенную минимаксную сценку которой

X - ё/ X, и

необходимо найти.

Условгз несмещенности для данного случая Судет

(74)

(То)

В общем возможны азриантн, когда условие (о!) распрз-с■гранено кок на исходит лашые, так и на игнер'эмик, •.!:::: ча каядий их -ЭД 3 отдельности. Ст итого зависит акт прение целевой функции. В работе рассматрнрадтеа наиболее характерный случсЛ, когда уедешао (61) удоплетзеряот тадыез сшибки ИСХОДНЫХ ДЯНН1К, Я ТОЧНОСТЬ ЧЯМ^рвУЛЯ дзетозээн. известна. Крома того, вьшодь: распрсг.трагтатся :: яд л о кто--функции.'

4. Ковариационные моменты ошибок исходных данных известны лкпь. частично.

Предлагается два способа решения задачи: способ детерминанта и способ следа, исходной для решения способом детерминанта является система уравнений поправок

VI =/4,Л, ¿, (75)

которая гтркЕсдит к системе нормальных уравнений

ЫХь + и^О, ^

где Ы-АТРАг , Р^ (Рг'^ЬЛЬТУ, Ц^А^Ри,

К - ковариационная матрица опибок исходных данных, Ри -магад:?. весов .измерений.

Задача ф~р:гулкруется следувц:и; образом. Необходимо найти мин; с г. сед ел и тел я матрицы /V по неизвестным ковариационны.; мзменто:.: матрицы' /С при условиях, неотрицательности главных миноре ь матрицы А. •

Регонпе выйдненэ методом наискорейного сцуска. Вектор неизвестных ковариационных моментов определяется итерациоч-

(78).

= )г/72 - число неизвестшк кова-

эиапиенных моментов, а

т>[ = ьр (Г)■ А1Р'Агы~'),

(72)

гд? - птх::зЕЭДная мзтипк /~> по ковариационному

■/.омекту - номером . Коэффициент ^ рекомендуется вычислять г.:- формуле

._ ^ УР , (80)

ЧТЭ

А*

однако для практического применения рекомендуется численный способ определения вторых'градиентов на основе (79). Полученные корреляционные моменты используются для составления матрицы К при уравнивании.

В способе слчда ставится задача поиска максимума следа ковариационной матрицы определяемых параметров, вычисляемой з соответствии с (55). Здесь также применяется метод наискорейшего спуска

.....ъьрт). vъpj-2 Т^с^йп.,

где

у' - :-омер ковариационного момента на множестве неизвестных ковариационных моментов, ГП- ■ имеют тот хе смысл, что и з (58). Кооффициент X должен удовлетворять неравенству -1

У 4 т.сис

'О с О/п.

(82>

где <£>с, - соответствующие стандарта элачентрз ис-

ходных данных.

Решение задачи а предлагаемом способе осуществляется а следующем порядке.

Находится нулевое приближение реаения (55). После этого вычисляется градиент следа л подбирается множитель >5'. В соответствии с (¿: [), вычисляется новое приближение вектора неизвестных ковариационних моментов. Проверяются условия неотрицательности глазных миноров.- При необходимости ¡5* корректируется. Если условия удослетворявтся, то при необходимости зачисления повторяются, начиная с (56). 3 конце главы приведено минимаксное оценивание при неполной информации о точности измерения в одномерном случае. Его результаты отряжены з выводах аэтотеферата.

3 пятоГ: гла'за раскрывается онтропийьый подход V: сбсс__

новдшх минимаксных стратегий. /л теории информации избостнз, ч"-о мерой неопрзделеннгста о системе является с-нг^яия. Пофисгечой в наяеа случае понимается :озс:.ут:н:сть изменений.

Решение вариационной задачи, реализующее минимум энтропии, приводит при определенных условия?: к ряду классических распределений (нормальному, равномерному, экспоненциальному). Б диссертации такой подход использоЕац для решения следующих задач.

Первая из них заключается в следующем. Известен закон распределения случайных ошибок измерений, факт их неравно-точности. Но веса измерений при среднем значении их стандарта, равном , неизвестны. Требуется найти распределение, доставляющее максимум энтропии системы случайных ошибок и изменяющихся стандартов измерений б

' Исае , О) = Н(■■*:.) (б). (83)

На основании (83) при известном распределении случайных сшибок и условиях нормировки и

'>>5+С'5)С1<.Э=£ (84)

составляется функционал Лагранжа. Решается вариационная задача к находится функция плотности системы величин 'X и

.г 26 . (СС-а)Ъ)

4 Те1 ;

4ССС;в) = —- в (85)

доставляющая максимум (83). На ее основании можно.найти частное распределение по ОС. - Б работе__показано, .что с практической гочки арония его можно заменить распределением Лапласа ( О, &) •

Вторая задача строится для системы двух коррелированных величин ОС, и ОО2,» когда достоверно неизвестен коэффициент корреляции между ними. В данном случае находится иакевдум энтропии системы величин «ЭС/ , и ко-аффлзхента корреляции £ . Плотность совместного распределения наличии ОС, , и 2 доставляющая минимум названной энтропии, имеет вид :

/ ■ [ * /л* ¿ЬазЗг

ЗГг \ '

г.?

На основе (£6) выводится плотность частного распределения -ректора X = СЭС/ • Показано, что на практике ее

также целесообразно заменить распределением Лапласа

- _

= -^ в/ * (87)

В конце глаеы приводится вывод распределений, доставляющих минимум дисперсии параметра при заданной энтропии. Показано, что такое распределение - нормальное, а его стандарт определяется по параметрам других распределений в соответствии с формулой

йг

где П - энтропия распределения.

В шестой главе раскрывается оптимальное планирование измерений при минимаксном оценивании. В отличие от существующих описываемое оптимальное планирование учитывает ошибки исходных данных и в зависимости от информации об их точ- -ности планируются веса измерений. Кроме того, благодаря применению (56) и условии (57), алгоритм оптимального планирования отличается простотой в практической реализации. В диссертации раскрывается оптимальное планирование при ограниченной сумме весов и планирование при минимуме суммы весов и ограниченном критерии точности. В первом случае находится минимум следа ковариационной матрица определяемых параметров $р ¡(х,*^. • получаемого на основании (56) пси условии -

¿Я =г,- (83)

о - * -т-

гда - I а ~ -г огракичиаарцая постоянная-

величина. У '•'

J

Функционал Лагранг^а а данном случае клее? вид

Ьа основании (39) записывается, уравнение Лагранжа, из которого с учетом (53) находятся оптимальные веса измерений. Отмечается, что услоеий типа (39) может быть несколько. В случае неполной информации о точности исхоц.тых данных необходимо определить максимальный след ковариационной матрицы определяемых параметров по неизвестны;/ элементам ковариационной матрицы исходных даь.шх к, учитывав его, 'лйти минимум (90) по весам измерений.

Во втором случае находится минимум функционала

ггрг: ограничениях на точность функций уравненных есличин.

В данном случае такта необходимо определить наиболее неблагоприятную ковариационную матрицу ошибок исходных данных V. с ее учетом методом Лагранжа реяить поставленную задачу оптимизации .

£ седьмой главе диссертации приведены особенности оптимального планирования измерений и минимаксного оценивания.в триангуляции,представлены результаты обработки устойчиьым ие-тодсм наименьших квадратов обширной производственной геодезической сети триангуляции, а тесте изложены замечания по минимаксно:.--' оцениванию при невьта;коник услов/г несмещенности.

Особенности оптимального планирования измерений и ккникаг-снсгс. оценивание е триангуляция внзыьптег-прнм-нениек первого ллавпл! ^рс-лберг л." лшргЕ^к г орпсктнрше углы.

из осоСе.члсстг? заключается г. енчисллппп неолре-д'леннрх мн от/теле Г ."ьграинь, неоСхоцтаяс для вычисления г-тт.и'2-' ~ к.-ратгении

/2.

\ х I \ б,!'

где - вектор поправок в ориентирные углы, СС - вектор поправок в определяемые пункты, £2 я - некоторые

матрицы, обеспечивающие несмещенное оценивание X и X по измерениям ¿_,

Если записать уравнение поправок направлений

/X \

N ^ I / -

V -

(А.Д^у^ у и =у,

вектор поправок и услозия несмещенности

-ч

то функционал Лагракжа будет

(Д/А2)=£ ,

ка будет

(95)

где:

Д--(Д, Да), £ =

■£. - удвоенное число определяемых пунктов. Зг/ соответствующее уравнение Лаграняса примет вид

I АГРА, АГРАФУ$ ^ (96) \Л1РА, Л1РАг4"

Тогда

5£=Р(А,А-г,)Дг. (37)

Вторая особенность заключается з еькислзн;:;! козаокзциснноЯ матрицы определяемы:« пунктов в триачтуллт.п при уравнивании метолом, этлич-шм от МЖ. 5ели слетача норм.пл:>нкх ураз-иенкй им^ет зид (44), то точность оцс-низаомых парачс-гроз характеризуется ковариационно:! матрщз-Л (4ГЛ . Для. начисления Л. о. с—м вектор С2. представляется э эгде

зс

Тогда

или

(99)

(100)

где

№

Км е&щв^Щ-) ■

У*/

кеё- го7- ч Э1 '

(101)

(102)

(103)

Срз-'П 7

Следуя (100)-(ЮЗ) можно закличить, что матрица (9Э) соот-

г.етстгуе? матрице нормальных уравнений лишь при /

(104)

т

ьтоГ: же глсве описисаехся реализация алгоритмов устойчивого ур2!нив$.кия, минимаксного оценивания и оптимального пла-кигсбокпя измерений не. ЗВ.М. Применяемая структура програм-позволяет решать' поставленные задачи на других яэштах с использованием различной компьютер::;: гехкики г.

£ е-.гку:" гль?в приведена методик рекуррентного оце-й:;^.;::' .че/.^ьгт.'их для сСднх методов уравшаания. При этом с^сл«. ^эмулируется таз:

Зс-Х.)-ГП1П , (105).

'где Зсос^ - некоторый Функционал по неизвестным пара-' метрам. Записывается градиент функционала

7СХ) О

или

В случае уравнивания ларам етр:;ческкм способом с условными уравнениями критаспй оптжплг.нссти млеет следующий гид :

П-! у

где -0 - условное уравнение,

зектср :лнсяителе.'г Лаггела, /1 - число измерений ¿1 , Уд У? значяни-- ззктзроз неизвестны:: X а поправок

\/ , полученные после включения в уравнивание /г. -го измерения.

Доказано. соответствующие рекуррентные формулы имеют вид:

1 С/ . '

- V*/))

Уг -СС^СХ,:-/,(усХ,?-^-,)*- , 11С2)

г,ц9 X* , \ - обратные матрицы вторых гсаднентоз

2^/2(С~>Уг,Хг.) по X и V соответственно,

т-г

Сгу - матапцц ксооФнцлентоз уел эпик- *ггаз«вч;:Л по ^е"4" рыл X и V .

Алгсрпг?.! (115) и (117) :три умезчи су-.есг

закпя пйрь;-^ и зтэссгэ пте:->:гк сг.т.:мг>_-пнсст:{

ю о предал -еут-к ггар.ткегрям.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

основе вариационного исчисления установлен ряд функций плотности заспцеделения вероятностей, доставляющих при определенных условиях минимум функционалу количества информации Филера (I). Такие функции определены как по параметру сдвига, так и по параметру масштаба.

1.:етод максимального правдоподобия, основаннный на функциях, дгставлягсцих минимум функционалу Фишера, рассматривается как минимаксное оценивание, которое при наибольшей неопределенности о точности изменений приводит к устойчивым оценкам параметров. Наиболее ¿-стойчг.ьые кз кн.;:: для параметра сдвига- медиана вариационного ряда результатов измерений, для параметра масштаба - медиана модулей отклонений.

3. При достоверно известной точности измерений минимаксными являются оценки ¡.ГНК.

4. На основании расстояний Кульбака-Лейблера (23) к Хеллинге-ра (29) обосновывается применение закона Лапласа (27) для описания ошибок измерений при изменницеРея и достоверно неизвестной точности отдельных измерений.

5. Исходя из вероятностной модели (30),(31) совокупности слу-чайнкз и грубых ошибок, следуя Хьюберу, выводятся функции плотности распределения вероятностей сшибок, на основе которых ведется устойчивое раздельное и совместное определение параметров сд-внга у. масштаба.

-.Установлена идентичность метода медианы и метода наименьших модулей, как наиболее устойчивого и грубым ошибкам измерений.

7. В разработанном алгоритме уравнивания геодезических сетей устс .'-чивым способом для решения задачи необходимо знать лишь рас— т лсл-'нлс случайных ошибок и дол» грубых в их'совокупности со

Результаты уравнивания на есс-х этапах оцениваются ковариа-

9. На основе теоремы интегрального неравенства, типа Рао-Краме-"2. из решен/л ¿•равнения Эйлера-Лагража может быть определена фун-;:ц;-л п.-стности распределения ошибок исходных данных, доставляющая :.■;•:-:; ;.•.. ).: *ун:-:ц:'сч*:_-.у количества информации Сг.:цера при определенных тловил;:, налагаемых на сшибки исходных данных. При наибо-л-л :::ллл.ч:"- :•:-:: :г"2цпи об ошибках исходных, данных эта

функция соответствует закону Лапласа.

10. По функции плотности совместного распределения . ошибок измерений и исходных данных (52) составлен алгоритм уравнивания геодезических сетей, устойчивый к грубым сшибкам в исходных данных. Алгоритм является минимаксным, т.к. в нем находится максимум функции правдоподобия, при которой доставляется минимум функции количества информации 5ишера.

11. Практическому применении рекомендуется разработанные алгоритмы минимаксного оценивания:

- при неизвестных ковариационных моментах сшибок измерений и исходных данных (55)-(60);

- при известных лишь предельных значениях ошибок измерений (62)-(72) и исходных данных (73)-(75);

- при частично известных ковариационных моментах исходных данных (76)-(80) и (81),(82).

Приведены такие оценки и для одномерного случая:

а) если рассматривать ряд неравноточкых коррелированных мекду собой измерений одной и той же величины при известных дисперсиях, ко неизвестны:: корреляционных :;омен1ах, то минимаксной оценкой определяемой величины будет измерение с минимальной дисперсией;

б) если рассматривать ряд измерений одной и той же величины, для ошибок которых известно лкпь кк. предельно возможное значение, то минимаксной оценкой измеряемой величины в данном случае будет любая выпуклая комбинация этих измерений.

12. На основе теории информап'.м установлено:

а) если ошибки измерений подчинены нормальному закону распределения с изменяющимся и известным лишь в среднем (84) стандартом, то совместное распределение измерений и стандартов, соответствующее максимуму энтропии (83). будет распределение (65), на основе которого выводится частное распределение по измерениям. Однако с практической точки зрения его следует заменить распределением Лапласа, которое ближе к нему, чем нормальное и более утолщенное на "хвостах? что позволяет лучше учитывать грубые ошибки с тем, чтобы а последующем.при обработке их исключить;

б) если две случайные коррелированные величина имеет нормальное распределение с неизвестным коэффициентом корре-

ляпии,то совместное распределение этих величин и коэффициента корреляции выразится плотностью(85), соответствующей максимум!' энтропии системы этих двух случайных величин и коэффициента корреляции. На его основе находится частное распределение системы деух случайных величин, однако с практической точки зрения его рекомендуется заменить распределением Лапласа (87), т.к. оно имеет вид,близкий полученному на основе (85)частному распределению, что позволяет строить алгоритмы, учитывающие грубые ошибки измерений.

13.Алгоритмы оптимального планирования измерений при ограниченной сумме весов С39)—i90) и ограниченном критерии точности (SI) позволяют учитывать ошибки исходных данных при различной полноте информации о них. Это характеризует предлагаемые алгоритмы как более общие по сравнению с существующими. Применение условия несмещенности делает их простыми в практическом применении

14.Предлагаемое в работе рекуррентное оценивание неизвест- ■. нух величин при уравнивании обобщается на различные критерии оптимальности (105), при условии существования их первого и второго градиентов.

15.При составлении программ, реализующих разработанные алгоритмы ка 33.'.!, кспо.-ьзоЕань? современные средства программирования, позволяющие удобно выполнять программирование на других алгоритмических языках с применением различных компютеров и -ЭК.!.

гонеттание диссертации опубликовано в следующих

ris^ от ах:

1. ¡¿кникахсное оценивание и устойчивость при математической обработке гсгдезкческих измерений./Ярмоленко A.C. Белорусская се.- ■ сксхозяйственная' академия. Горки, 1983 , 52 с.-Библиогр.

назв.- рус. - Деп. в 2ШИ! 0I.C7.83 »5293-B 38.

2. Алгоритм устойчивого уравнивания геодезических измерений и минимаксное оценивание./Ярмоленко A.C. Белорусская сельско-хол-йсгвенная академия. Горки, 1939, 180 с.-Библиогр. 54 назв. -p/s.-Дез. в Ь^Гй 05.C7.d9, * 4455-В 29.

о. Ягмолгнкс A.C. Определение функции плотности вероятностей ошибок измерений ка основе вариационного исчисления. Геодезия и фотограмметр"я в горном дел». ¡.¡егвузовский научно-тематический сборник. Екатеринбург,1991.стр.7-15.

4. Ярмоленко '-Л. Определение функции плотности распределения ошибок измерений с применением вариационного исчисления. Геодезия и картография, 1992,Jr-З, стр.7-Ю.