автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Управляемость систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра

МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ II. Г1. ОГАРЕВА

УДК 51 7.938 на правах рукописи

РГ5 ОД

1 R ДЕК 71П1

Львова Людмила Львовна

УПРАВЛЯЕМОСТЬ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА

05.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор М. Т. Терехин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. Малышев,

кандидат физико-математических наук П. А. Шаманаев

Ведущая организация:

Тамбовский государственный

университет имени Г. Р. Державина

Защита состоится "27" декабря 2000 г. в час.мин, на заседании специализированного Совета К.063.72.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан " НОД^Я- 2000 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

С. М. Мурюмин.

6/, 618 РЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблемы управляемости систем, описывающих поведение каких-либо объектов, часто возникают при решении различных задач у инженеров, физиков, экономистов. Развитие методов, использующих математическое моделирование реальных процессов, повлекло за собой создание математической теории управления (см. работы Понтрягина Л.С., Красовского H.H., Зубова В.И., Воскресенского Е.В.). Одной из важнейших и малоразрешенных проблем в этой теории остается краевая задача, связа1шая с необходимостью привести управляемый объект в задашюе конечное состояние. При этом особый интерес представляют методы исследования и расчета нелинейных управляемых систем в критических случаях (т. е. в случаях, когда линейное приближение для системы не является вполне управляемым). Настоящая работа посвящена исследованиям именно в этом направлении.

Целью даппой работы является изучение зависимости свойства управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений от малых изменений параметра.

Методика исследования. Решения исследуемой системы рассматриваются в окрестности известного движения. Требуемое управление отыскивается в виде разложений в ряд по известным базисным функциям. Задача сводится к определению условий существования решений недифференциальной системы уравнений относительно постоянного вектора. Доказательства теорем основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.

Научная новизна. Исследуется нелинейная система дифференциальных уравнений самого общего вида. В формулировках теорем, определяющих достаточные условия управляемости, отсутствуют предположения о полной управляемости системы линейного приближения. Рассмотрена задача существования нескольких управлений, разрешающих одну и ту же краевую задачу и отличающихся друг от друга лишь на небольшом отрезке времени.

Теоретическая и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты представляют собой развитие методов математической теории управляемости систем обыкновенных дифференциальных

уравнений. Доказанные теоремы имеют прикладное значение и могут быть использованы при исследовании различных задач физики, химии, экологии.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Условия управляемости системы дифференциальных уравнений, получаемые при использовании матриц линейного приближения.

2. Алгоритм исследования задачи в случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по управлению, параметру и фазовым переменным членов изучаемой системы.

3. Критерии существования множества управлений, разрешающих краевую задачу при фиксированном значении параметра.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара но качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Дубне, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на заседаниях V Крымской Международной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алуште, на семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского, на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения в математической экономике" в г. Тамбове.

Публикации. Основные результаты работы отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы (нумерация сквозная), 6 рисунков, заключения и библиографического списка литературы. Общий объем диссертации - 106 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 78 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоотовшие актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.

Первая глава имеет вводный характер. В ней начинается изучение задачи об управлении объектами, движете которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, предложен метод определения вида решения с точностью до членов нужного порядка.

В первом параграфе описывается постановка задачи, вводятся основные определения.

Рассматривается система п дифференциальных уравнешш

¿ = /(í,jс, и, Я), (1)

где jcsR", ueRr - управление, я е Rm -векторный параметр.

Множество допустимых управлений и — кусочно-непрерывные на отрезке [(0,/,] г-мерные вектор-функции. При любом управлении «(•) в и под решением системы (1), определенном на отрезке [/0>/]], понимается непрерывная на этом сегменте вектор-функция *(•), дифференцируемая во всех точках этого сегмента, кроме, может быть, конечного числа точек, и удовлетворяющая в точках дифференцируемости системе (1).

Система (1) рассматривается наряду с условиями

x(i0)=x0, 4fx)=xu (2)

<i

f ф(/, х{(), v(i), л)с!е = J0 , (3)

'о

где х0, — л-мерные векторы, Ф(/,л,и,л) - /-мерная вектор-функция, ./0 - I -мерный вектор.

Ставится следующая

ЗАДАЧА 1.1. Найти вектор-функцию *{•), определенную на сегменте [/o,'i] и при некоторых и(»)е[/, l&Rm удовлетворяющую равенствам (1), (2), (3).

Символом х(-,и(»),Я) будем обозначать решение системы (1), соответствующее управлению и(»)е(/ и значению параметра Лей™, удовлетворяющее условию Я)=л0,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Пусть ЯеДи. Пару («{•), Я) на-

зовем согласованной с задачей 1.1, если вектор-функция *(•, Я) является решением задачи 1.1.

Предположим, что пара (к0(*),Я0) согласована с задачей 1.1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Пару (к0(*), До) назовем устойчивой по параметру, если для любого положительного числа можно указать такое число 5г >0, что при всех значениях вектора ЯеЛ", удовлетворяющих условию \Я-Я0\<ё2, существует управление ы(»)е I/, |и(/)-«0(<| < , при котором пара (»(•), Я) согласована с задачей 1.1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Пару («0 (•), Л0) назовем устойчивой по управлению, если для произвольного положительного числа можно указать такое число 62 > о, что при любом управлении »(•) е и, 1К')~ мо('1 - существует параметр X е Йт, |Я-Я0| < , при котором пара («(•), я) согласована с задачей 1.1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Пару (и^До) назовем устойчивой, если для произвольного положительного числа бх существуют управление и(») е и, и параметр 1е«я, |Я-Я0|<5ь при которых пара («(•}, Я) согласована с задачей 1.1, причем вектор-функция и(>) не равна тождественно и0(?) на отрезке [/о,']] или Я*Я0.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Пару (и0(»),Я0) назовем условно устойчивой по параметру, если свойство разрешимости задачи 1.1 сохраняется при любых малых изменениях некоторых из компонент вектора Я0.

Во втором параграфе решения исследуемой системы рассматриваются в окрестности некоторого заданного движения. После замены переменных система (1) преобразуется в систему

у=А(1)у + + у, V, //), (4)

где уеКи, V<= Н\ pelt", hm^'y'v,/^sO, р = tna.x|y|,|vj,j^}. Краевые ус-

р->а р

ловия (2) преобразуются в условия

Л'о) =>{'.)=о, (5)

а условия (3) принимают вид

А

¡MOyi^D^tXtj+D^-b^yiOA'l^' =0, (6)

'о

где liraа0, р = max|yj,|v|,|4 />^>0 р

ЗАДАЧА 2.1. Найти вектор-функцию >(•), определенную на сегменте и при некоторых v(»)gU, реЯт удовлетворяющую равенствам (4), (5), (6).

Символом >(•, v(«), р) будем обозначать решение системы (4), удовлетворяющее условию >'(f0>v(»),/;)=O, v(»)е и, psRm.

Пусть Y(t) - фундаментальная матрица системы у = A{t)y, К(/0) = Е, Е - единичная матрица.

ТЕОРЕМА 2.1. Для того, чтобы пара (v(*),р), v(»)eU, |jv(»|<i0, pelt™, \р\<Sq, была согласовала с задачей 2.1 необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла равенству

[у-'СМ'М^+^Ф+ЙСЛЯ'^ВрЬ^^=0 (7)

'о

и равенству (6), в котором следует положить y(t)= \{t,v(*\p).

ТЕОРЕМА 2.2. Если вектор-функция g(t,y,v,p) удовлетворяет в замкнутой области £2 = {(/, у, v, р). t е [/0, /,} шах|>|, |vj, ¿>"0} условию Липшица относительно переменных у, v, и, то существует такое число й-, > 0, что для всех v(«)eU, jv(«)j <5{, peRm, \p\<S}, решение >{•, v(»), р) может быть представлено в виде

y(t, v(-), р) = р{(, v(-))+ Q(t)p + r(t, v(.\ p), (8)

где I\p(t, v(»)|s, Л >0 - некоторое число, îim^^*^ s о на отрез-

£-»0 S

ке [/<,,/,], s = max{j|v(»|j,j//j}.

При любом фиксированном // е Rm, < вектор-функцию v(»)e U, |v(»| < , удовлетворяющую равенствам (6) и (7) будем отыскивать в виде

н

где (у7 (•)} - система линейно независимых на отрезке [¿о,'iL скалярных функций, dj - г-мерные векторы, подлежащие определению, N — произвольное, но фиксированное натуральное число. Положим

V(') О О ... О s2(t) О О ... О ... sN(t) о о ... о"

О sl{i) О ... О О s2(i) 0 ... О ... О ^(f) О ... О

S{t) =

О ... О О О ... О 0 i2(/) .,. О ... О О sN(t)

\-v-' Л-v-'

г г

d - colon(d[,...,dp/),

получим

v(/)=Ä('V- (9)

После подстановки (9) равенство (8) примет вид

y(l, d, //)= P(t)d + Q{f)ß+r(t,d, ß). (10)

где />(/)= s(4)d4, ö(/)=y(/)Jy-|(iX:(i>/i.

'0 <0

В третьем параграфе уточняется вид формулы (10). Предполагается, что вектор-функция g(t, у, v, fi) определяется равенством:

g(t, У,V, /<)= g,(/, у, V, (i,>', V, n), где у, v,/j) - форма i-го по-i~2

а »it. у, V w) t 1

рядка от компонент векторов j, v, /i, lim —---—— = o, /1 [/o> <i J,

p->0 рЧ

p = max|}j, |vj, j^j}. Показано, что в этом случае равенство (10) может быть представлено в виде

у{(, d, //)= Pif)d +()(,);, + ¿гД/, d, л.(/, d, ¡л), (11)

¡=2

где rt(t,d> ß) — форма ¡-го порядка от компонент векторов d, //,

i^o= t е [i0, ij], er = max|i/(,

Используя представление (11) задача 2.1 сводится к системе п + 1 недиференциальных уравнений

где {(К /-А — форма к -го порядка от компонент векторов <1, /1,

= ег^пихкЫ}-

Вторая глава посвящена изучению условий устойчивости пары М*)До)-

В четвертом параграфе исследуется случай, когда для положительного ответа на вопрос об устойчивости пары («о(*)>Л)) достаточно рассмотрение лишь линейной части уравнений (12).

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть число N таково, что гЫ>п+1. Тогда, если rangF = п -+ /, то пара (и0(>), А,) устойчива по параметру.

ТЕОРЕМА 4.2. Если гащМ = п+1, то пара (и0(«), Л,,) устойчива по управлению.

Положим К - [/■', м].

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть число N таково, что г,д/+т>Тогда, если гап^Н = п + 1, то пара (щ(►), устойчива.

В замечаниях к теоремам 4.1, 4.3 указаны признаки условной устойчивости пары (!/„(•), V) ™ параметру. Рассмотрены следующие примеры: задача о движении спугника по орбите вокруг тела большой массы, исследование системы, описывающей динамику популяций "хищников" и "жертв".

Пятый и шестой параграфы посвящены исследованию системы в критических случаях, когда тщН=у<п \ ! и свойство устойчивости пары (!;,-,(•), Я,,) оказывается зависимым также от вида нелинейной части уравнений. Первый критический случай (§5) требует рассмотрения свойств как линейных, так и нелинейных членов системы (12), второй критический случай (§6) возникает при условии отсутствия линейной части уравнений (12).

С помощью элементарных преобразований система уравнений (12) может быть приведена к виду:

{b + ük{z)+w,(z)=0, ^

где г = cohn{d, /;), первая группа содержит у уравнений, вторая - n+1-y уравнений, R - ух(r,V + m)-матрица, - /-мерные вектор-

фушсции, - (/ + я - /)-мерпыс вектор-функции, и7;Дг) -

формы Л -го порядка от переменных г1,s2,...,zrN*m, lim =

г

Если в определении 1.5 устойчивости пары (цД»), Д0) множество допустимых управлений и заменить на множество управлений и1 = {и(»)е и -.и^)-м0(г)+>(/),где г(.) = , то будет справедлива

ЛЕММА 5.1'. Если гап%К.-у <«+/, то для устойчивости пары («оМ^о) необходимо существование единичного вектора е е такого, что йе = 0 и ч;А.(е)=0.

R

тк{е\

, где

Введем замену переменных: г = р{е+а). Положим 0 =

Шк (е) - матрица Якоби вектор-функции щ (г) в точке г=«.

ТЕОРЕМА 5.2. Пусть число N таково, что гЫ+т>п+1') тогда, если существует единичный вектор е е такой, что выполнены равенства Не=о и и гип^о = п+1, то пара (м0{*),Я0) устойчива.

Предложен алгоритм дальнейшего исследования задачи в случае, если замена переменных г = р{е+а) не дала положительных результатов.

В качестве примера рассмотрена задача управления движением материальной точки переменной массы.

Третья глава посвящена исследованию системы (1) в некоторых специальных случаях.

Седьмой параграф содержит изложение метода последовательных приближений в случае, когда система

¿ = (14)

обладает свойством полной управляемости.

Положим Я (г) = У (ф(/).

ТЕОРЕМА 7.1. Если матрица ^H(t)HT{t)dt неособенная,

'о

то существует управление v(»)e{/, при котором система (14) имеет решение у(»), удовлетворяющее краевым условиям y(t0)=у„, y('i)=y,, каковы бы ни были п -мерные векторы у0 и yt.

Предложен алгоритм построения последовательных приближений >'*(•)■

В качестве нулевого приближения возьмем систему (4) при ц = о. Положим v0(i)ssO, тогда y0(r)sO.

Считая, что все приближения, включая (к 1)-не, построены, рассмотрим систему к-то приближения

y = + vA1(/X (15)

Построим управление vk (•) гак, чтобы система (15) имела решение у Л*), удовлетворяющее краевым условиям (5) и равенству h h

¡MiM)+D2(th(<bD3{t)n}it • (16)

<о 'о

Будем отыскивать управление ук (•) в виде

где v£(f)= Нт(г К, ак - постоянный вектор, wk(t) - кусочно-непрерывная на отрезке [/o.'i] вектор-функция такая, что

= (17)

'о

Так как матрица F обратима, находим вектор ак и вектор-функцию

vH*):

v;(/b '¡г-ЩсСЬ+¡К'.Л-I W № ■

ч

Введем обозначение

vi (/)=у(')\ [нт (ФУ -i (mtwdi, л... (й ч-xiiï м)Ы ■

'о

Вектор-функцию удовлетворяющую равенствам (16) и (17) будем отыскивать в виде:

где <1к -вектор, требующий определения.

Пусть [/->,(<Ы(')+ »7('К(') + ¡Ъ+■ <»('=Ук-\('IЧл(<)-• Вектор

'о

<}к определим таким образом, чтобы были справедливы равенства

Ц

где (ц [

Л, сп == . Введем обо-

значение 0 =

LC2J

ТЕОРЕМА 7.2. Если га%'6' = п+1, то существует положительное число д такое, что произвольному вектору /ле Ит, удовлетворяющему неравенству |р\<6 можно поставить в соответствие управление у(») е и, разрешающее задачу 2.1.

В восьмом параграфе исследуется проблема единственности управления, разрешающего для системы

у = А(1)у + В{1)чу, и),

краевую задачу

Я'оЬ-^М-

Решение указанной задачи (задача 8.2) отыскивается следующим образом. Пусть г,Дг - числа, удовлетворяющие неравенствам ¿о < т + Ат<11, Лг>0.

1) На отрезке [<0,г], если гс # г, положим »(|)=о.

2) В промежутке (г, г-(-Л г] вектор-функцию у(») определим так, чтобы было справедливо равенство:

г+Дг

[ г-Ш'М'НгЫ'. = «• О»)

г

3) В промежутке (г + Лг,/,],если г + Аг*/ь положим у(г)з0.

После подстановки у(?)= система уравнений (18) примет вид:

тьД? г+Дг

X г

где символом г(1,<!) обозначена вектор-функция g(t,y(t,d\s(l)cl).

г+Дг

Положим 1-(т,Ат) =

г

ТЕОРЕМА 8.1. Если существуют числа т, Дг,

удовлетворяющие условиям <г</ь г+Дг</ь Дг>0, такие, что то для любого положительного числа 5 существует вектор-функция у(»)е(/, являющаяся решением задачи 8.2 и удовлетворяющая условиям ||у(/||<5, на отрезке [/о.Л]-

Указаны случаи, когда поставленную задачу удается решить, не прибегая к вычислениям матриц /"'(/), ¿"(г,Дт), которые могут оказаться достаточно сложными.

ТЕОРЕМА 8.2. Если существует число г, г е [<0, г:) такое, что гап^т)8(г)=п, то для любого положительного числа б существует вектор-функция т(*)е I), являющаяся решением задачи 8.2 и удовлетворяющая условиям |[у(/|<<5, 0 на отрезке ['о>'|]-Если вектор-функция определяется равенством

где gk(',v) - форма порядка к от компонент вектора V, Нш = то

Н^О |у|*

вектор-функция может быть записана в виде: г(/,(/)=гА(/,с/)+г» (/,«/),

г, {Ц)

' Щк '

Пусть шах гап^в{т^{т) = у <п, вместо системы (19) рассмотрим систему,

гЧ'ЬА)

=о,

_ ^т (20)

Дг Ат

где первая группа содержит у уравнений, вторая - п-у уравнений,

Ит1М1) = о, 0.

Дг-»0 Дг Дг-»0 Ат Дг-»0 Д ГШ Дг-»0 Д гш\

М-м 11 |4->о 11

где rk(t,ä) - форма порядка А от компонент вектора d, lim = 0.

Wh0 \d\

ТЕОРЕМА 8.3. Пусть существует число ге[г0,^) и единичный вектор ееЯм такие, что I) Г(г)е=0, 2) гк{т,е) = 0, 3)

Г К{г)

rang

D7k{ r,e)

= л, где Drk(г,с) — матрицаЯкоби вектор-функции rk{t,d) в

точке с1=е, тогда для любого положительного числа в существует вектор-функция v(•)e(/, являющаяся решением задачи 8.2 и удовлетворяющая условиям у(г) т- 0 на отрезке [/о,^]-

Применение результатов восьмого параграфа рассмотрено при изучении условий возникновения релаксационных колебаний в электрическом контуре, содержащем элемент с нелинейной вольтамперной характеристикой.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехину за постоянное внимание к работе, а также Львовой Т., Усатому Н. за помощь при компьютерной верстке.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Львова Л. Л. К вопросу управляемости нелинейных систем // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. / под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 466-473.

2. Львова Л. Л. О разрешимости задач управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 66-72.

3. Львова Л. Л. Об управляемости нелинейных систем (тезисы доклада) // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов VII Международной конференции (Дубна, 24-29 января 2000 г.). М.: Прогресс-Традиция, 1999. С. 215.

4. Львова Л. Л. Об управляемости систем с параметром (тезисы доклада) // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы докладов V Крымской Международной математической школы (Крым,

Алушта, 5-13 сентября 2000 г.). Симферополь: Изд-во ТНУ, 2000. С. 102.

5. Львова Л. Л. Об управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (сообщение СВМО) // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: Изд-во СВМО, 1999. Т. 2, № 1. С. 99-100.

6. Львова Л. Л. Управляемость систем с параметром (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 5 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 23-25 мая 2000 г.). Рязань: Изд-во РГРТА, 2000. С. 15-17.

7. Львова JI. JI. Условия управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 73-80.

8. Львова Л. Л. Условия управляемости нелинейных систем с параметром // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000. Т. 5. Вып. 4. С.

9. Львова Л. Л. Условия управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-r. Рязань, 1999. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3506-В99.

10. Львова Л. Л. Вопросы управляемости нелинейных систем / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2ООО. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.2000, № 2637-В00.

475-476.

Введение.

Глава I, Основные свойства решений задачи об управлении.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Общий вид решения нелинейной системы.

§ 3. Уравнение связи между параметром и управлением

Глава II. Условия управляемости возмущенной системы.

§ 4. Решение задачи по первому приближению.

§ 5. Первый критический случай.

§ 6. Второй критический случай.

Глава III. Исследование системы в частных случаях.

§ 7. Метод последовательных приближений.

§ 8. О единственности решения задачи об управлении

Актуальность темы. В настоящей работе изучается нелинейная управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений. Правая часть системы непрерывна по фазовым переменным и зависит от параметра. При фиксированном значении параметра известно управление, которое переводит объект из заданного начального состояния в заданное конечное состояние. Задача исследования: выяснить вопрос о зависимости свойства управляемости системы от малых изменений параметра.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [5, 9-11, 16, 18, 30, 44, 49-52, 61, 64, 65, 68]. Особый интерес представляют методы исследования и расчета нелинейных управляемых систем, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями высокого порядка, что характерно для большинства реальных объектов.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования пары управление-параметр, разрешающей следующую краевую задачу: х(^)=х0, л^)-*!, (0.1) где х0, х1 - п -мерные векторы, ^ - фиксированные числа, х^) — решение системы п дифференциальных уравнений х = /(*,*,га), (0.2) в которой - и-мерная вектор-функция, иекг управление, ЛеЯ"1 - векторный параметр. Наряду с условиями (0.1) рассматривается система функционалов в которой Ф^,х,и,я) - /-мерная вектор-функция, J0 - 1-мерный вектор.

Методика исследования. Решения системы (0.2) рассматриваются в окрестности известного движения. Требуемое управление отыскивается в виде конечного ряда где - заданная система линейно независимых на отрезке кусочно-непрерывных скалярных функций, - искомые г-мерные векторы. Задача сводится к определению условий существования решений недифференциальной системы уравнений относительно постоянного вектора. Доказательства теорем основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Математическая теория управления возникла сравнительно недавно и успешно развивалась как теория оптимальных процессов [1, 8, 23, 32, 39, 47, 48, 62]. Классическое вариационное исчисление, принцип максимума и методы динамического программирования доставляют необходимые признаки оптимальности, которые могут быть использованы для большинства технических и других приложений. При этом одной из трудных и малоразрешенных проблем остается краевая задача, связанная с необходимок

0.3) стью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. Известные признаки оптимальности указывают главным образом внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени определенным образом. Задача подбора параметров, которые направляют траекторию в нужную точку, не имеет пока общего эффективного решения. Теоремы существования оптимальных управлений [8, 47] основываются на предпо--ложении о том, что есть возможность построить какое-либо допустимое управление, переводящее фазовую точку в начало координат (начальное состояние объекта принадлежит области управляемости).

Задача определения структуры области управляемости для системы с постоянными параметрами х = Ах+Ви, где хе/?й, иеКг, ||м|| <М>0, рассматривалась многими авторами

8, 24, 25, 33, 47, 48, 58, 59] и получила исчерпывающее решение.

Нелинейная система х = /(х,и), в которой и^и, и -множество кусочно-постоянных вектор-функций, изучалась в статье Алексеева Н.К., Реттиева Н.С. [2]. Для отображения <р:а-^С(а), ставящего в соответствие каждому а е (о,со) множество управляемости 0(а), получены условия, при которых число точек разрыва <р не более чем счетное.

В работе [42] Никольским М.С. для системы х = /(х,м) получена оценка изнутри для множества достижимости о(т): 0 еЫК аО(т), где К - некоторый эффективно вычислимый, выпуклый компакт.

Большое внимание проблеме управляемости дифференциальных уравнений уделяется в работе [29] Красов-ского H.H. Для линейной системы х = A(t)x+B(t)u+w(t), x(ta) = xa, x(tß)=xß задача об управлении рассматривается как проблема моментов. Формулируются необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, определена его зависимость от краевых условий. Рассматривается также задача управления квазилинейными объектами, поведение которых в окрестности точки jc = 0 описывается системами вида х = f(t,x)+g(t,x)u, x(ta) = xa, x\{ß)=§. Предполагается, что система линейного приближения является вполне управляемой на отрезке и с помощью метода последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго порядка малости по

Исследования квазилинейных систем были продолжены Альбрехтом Э.Г., Соболевым О.Н. в работах [3, 4]. В статье [3] рассмотрена управляемая система х = A(t)x+b(t)u+/jf(x,t) с краевыми условиями x{ta) = xa, x{tß)=xß. В предположении о полной управляемости системы первого приближения указан итерационный метод построения оптимального управления.

В работе [4] для задачи приведения квазилинейной системы в заданное состояние в заданный момент времени обоснована процедура вычисления оптимального управления по принципу обратной связи. Найдены первые интегралы оптимальной синтезированной системы.

Jt"

Проблеме синтеза управлений, разрешающих задачу перехода из одного фиксированного фазового состояния в другое фиксированное фазовое состояние, много внимания уделяется Зубовым В.И. [22]. В ряде случаев им найдена конструкция в синтезированной форме семейства требуемых управлений для линейных и квазилинейных систем, развиваются методы последовательных приближений для отыскания движений, удовлетворяющих краевым условиям (0.1).

Большое количество работ посвящено исследованию свойств локальной управляемости нелинейных систем [3538, 40, 43, 53, 56]. В работах [53, 56] рассматриваются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми. Исследуется проблема определения множества, в любой точке которого система управляема.

Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. [36-38] исследовали системы вида x = f(x)+Bu. В критических случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимые и достаточные условия управляемости нелинейных систем в малом.

В статье [40] Нарманов А.Я., Петров H.H. рассматривают вопросы о структуре множества управляемости, в частности о его размерности и границе.

В работе Пантелеева В.П. [43] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы x = A(t)x+b(t,u).

Задача попадания произвольной точки в начало координат подробно изучена Мастерковым Ю.В. [35]. Им исследовались множества локально управляемых (5?), устойчиво управляемых {Л) и А/-управляемых (.Л) систем. Доказано, что эти понятия не равносильны и установлены включения: Таким образом, выяснено, что свойство ТУ-управляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости.

Вопросы существования управлений, разрешающих краевую задачу решались различными методами [57, 63, 66, 67, 7]. М.Т. Терехин, Л.С. Землякова [18-21, 55] предлагают, например, метод вариации промежуточной точки. Е.В. Воскресенский, П.Г. Черников [12-14] используют разновидность метода сравнения: для исследуемой системы дифференциальных уравнений подбирается система сравнения, для которой аналогичная краевая задача является решенной, путем сравнения двух систем строится оператор сжатия, неподвижная точка которого может быть найдена методом последовательных приближений. Широкое распространение в нелинейной механике и особенно в теории колебаний получил метод усреднения, при использовании которого системе с периодической по г правой частью ставится в соответствие автономная система. В работах [7, 45] были предложены и обоснованы алгоритмы усреднения уравнений в случаях различных ограничений, налагаемых на управление.

Проблема зависимости свойства управляемости от параметра исследовалась М.Т. Терехиным в работе [54].

Содержание работы. В отличие от работ [3, 4, 36-38] настоящая работа содержит результаты исследования системы, являющейся нелинейной и по фазовым переменным, и по управлению. В то время как Красовский Н. Н. [29], Зубов В. И. [22], Альбрехт Э. Г., Соболев О. Н. [3, 4] основывались на предположении о полной управляемости системы линейного приближения, в предлагаемой диссертации не требуется обязательного выполнения данного условия (за исключением теорем восьмого параграфа). Критические случаи изучались и ранее^ но приводимые в работах [36-38] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по х высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю. В. [35] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. Кроме того, в отличие от других работ, сформулированные в настоящей работе условия управляемости определяют признаки существования специальных управлений в виде разложений в ряд по известным базисным функциям, что позволяет сделать важные выводы при решении прикладных задач.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глай, разбитых на параграфы.

В §1 главы 1 описывается постановка задачи, вводятся основные определения, рассматриваются примеры нелинейных управляемых систем. В §2 исследуемая система сводится к более удобному для изучения виду. Вводится замена переменных, определяются линейные составляющие решения системы. В §3 содержится описание метода сведения задачи к системе недифференциальных уравнений относительно постоянного вектора. Предложен способ определения вида решения нелинейной системы с точностью до членов нужного порядка.

Вторая глава посвящена изучению условий устойчивости свойства управляемости системы (0.2) при малых изменениях параметра. В §4 исследуется случай, когда для положительного ответа на вопрос задачи достаточно рассмотрение линейной части системы (0.2), найдены оценки допустимых отклонений управления и параметра от заданных значений, при которых сохраняется свойство управляемости системы (0.2). Полученные результаты рассмотрены на примере решения задачи о периодических колебаниях численностей популяций в системах "хищник-жертва" и задачи исследования движения спутника вокруг материальной точки большой массы. В §5, §6 установлены критерии управляемости системы (0.2) в критических случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по параметру, управлению и фазовым переменным членов системы (0.2). Приводится пример решения краевой задачи движения материальной точки переменной массы в однородном поле силы тяжести.

В §7 главы 3 рассмотрен случай полной управляемости системы линейного приближения. Найдены условия разрешимости задачи (0.1)-(0.3), предложен способ определения ее решения методом последовательных приближений. В §8 исследуется вопрос о единственности управления, разрешающего краевую задачу при фиксированном значении параметра. Получены достаточные условия существования множества таких управлений, причем применение некоторых из предлагаемых теорем не требует знания фундаментальной матрицы для соответствующей линейной системы.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [6, 46, 60], по качественной теории -из [17, 41], по функциональному анализу - из [34, 26-28], по линейной алгебре - из [15, 31].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Условия управляемости системы (0.2)> получаемые при использовании матриц линейного приближения.

2. Алгоритм исследования задачи в случаях, когда требуется рассмотрение нелинейных по управлению, параметру и фазовым переменным членов уравнения (0.2).

3. Критерии существования множества управлений, разрешающих краевую задачу при фиксированном значении параметра.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Дубне, на XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, на заседаниях V Крымской Между

12 народной математической школы "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алуште, на семинаре Средне-волжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского, на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения в математической экономике" в г. Тамбове.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [69-78].

Заключение

Работа посвящена изучению нелинейной управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследовался вопрос о разрешимости краевой задачи при малых изменениях параметра. Применялся метод разложения управления в конечный ряд по заданным базисным функциям. Теоремы существования требуемых управлений доказываются с использованием метода неподвижной точки нелинейного оператора. Для частного случая полной управляемости соответствующей линейной системы предложен способ определения управления и решения с помощью метода последовательных приближений. Рассмотрен случай, когда требуется коррекция заданного решения на малом участке траектории. Соответствующие теоремы доставляют признаки разрешимости последней задачи, не требующие вычисления фундаментальной матрицы линейной системы, что является важным при исследовании неавтономных систем.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи из различных областей физики, экологии.

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979, 432 с.

2. Алексеев Н. К., Реттиев Н. С. О зависимости множества управляемости от параметра // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, №9.

3. Альбрехт Э. Г. Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем. // Дифференциальные уравнения, 1969. Т.5, №3. С. 430-442.

4. Альбрехт Э. Г., Соболев О. Н. Синтез систем управления с минимальной энергией. // Дифференциальные уравнения, 1995. Т.31, №10. С. 1611-1616.

5. Амелькин В. В Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

6. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

7. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. .\1.: Гос-техиздат, 1955. 344 с.

8. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, 408 с.

9. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972, 544 с.

10. Ю.Волков Й. К., Крищенко А. П. Качественный анализ модели развития популяции. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т 32., №11. С. 1457-1465.

11. П.Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976, 288 с.

12. Воскресенский Е. В. Методы сравнения в нелинейном анализе. Саранск: Изд-во Сарат. ун-та Саран, фил. 1999. 224 с.

13. Воскресенский Е. В., Черников П. Г. О сравнении и управляемости нелинейных систем. // Труды СВМО. Т.1, №1, 1998. С. 37-76.

14. Воскресенский Е. В., Черников П. Г. Управляемость численным процессом. // Труды СВМО. Т.2, №1, 1999. С. 3-17.

15. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492с.

16. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 152 с.

17. Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1997. С. 33-35.

18. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975, 496 с.

19. Иванов В. А., Фалдин Н. В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981, 336с.

20. Калман Р. Е. Об общей теории систем управления. Труды I Международного конгресса ИФАК, т. И, М.: Изд-во АН СССР, 1961.

21. Канарев Л. Е. О синтезе оптимального по быстродействию управления // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, №2, 1962.

22. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

23. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

24. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

25. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968, 476 с.

26. Кузьмин Р. Н., Савенкова Н. П. Николаичев А. Н. Математические модели нелинейных динамических процессов в социологии. // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 437.

27. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

28. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968, 192 с.

29. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972, 576 с.

30. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

31. Мастерков Ю. В. О некоторых задачах управляемости нелинейных систем: Автореф. дис.канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Изд-во УГУ. 1999.

32. Митрохин Ю. С. Об управляемости в малом нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений оптимального регулиролвания.: Труды Рязан. ра-диотехн. ин-та. Рязань, 1976, вып. 69, С. 25-30.

33. Митрохин Ю. С. Степанов А. Н. Некоторые критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений: Труды Рязан. радиотехн. инта. Рязань, 1974, вып. 53, С. 62-67.

34. Митрохин Ю. С., Степанов А. Н. Критические случаи управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений оптимального регулирования. // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С. 61-70.

35. Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975, 528 с.

36. Нарманов А. Я., Петров Н. Н. Нелокальные проблемы теории оптимальных процессов. I. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. №4. С. 605-614.

37. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

38. Никольский М. С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №11. С. 14871491.

39. Пантелеев В. П. Об управляемости нестационарных линейных систем. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т 21., №4. С. 623-628.

40. Петрова В. В., Тонков Е. Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений. I // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65-72.

41. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21. №10. С. 1713-1717.

42. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

43. Понтрягин Л. С,, Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, 384 с.

44. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978, 552 с.

45. Ройтенберг Я. Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физматгиз, 1963, 140 с.

46. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. 304 с.

47. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

48. Седых Л. Г. Математическая модель процесса регулирования активности поверхностно-активных веществ. // Дифференциальные уравнения (Качественная теория):

49. Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1985. С.61-70.

50. Терехин М. Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений: Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

51. Терехин М. Т. Устойчивость управления по параметру. // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 1998. №1. С. 86-96.

52. Терехин М. Т., Землякова JI. С. Метод вариации промежуточной точки для исследования управляемости системы дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1994. С. 116-124.

53. Терехин М. Т., Землякова JI. С. Об управляемости систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (Качественная теория): Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ, 1995. С. 141-150.

54. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

55. Формальский А. М. Область управляемости систем, имеющих ограниченную величину и энергию управляющего воздействия. // Вестник МГУ, серия математика и механика, №5, 1970.

56. Формальский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974, 368с.

57. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

58. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения (Качественная теория с приложениями). М.: Мир, 1986, 246 с.

59. Barnett S. Introduction to mathematical control theory. O. U. P., Oxford. 1975.

60. La Salle J P., Lefschetz S. Nonlinear differential equations and nonlinear mechanics. Academic Press Inc., New York, 1963.

61. Lefever R., Nicolis G. Chemical instabilities and sustained oscillations. J. Theor. Biol., 30, 1971. P. 267-284.

62. May R. M. Stability and complexity in model ecosystems, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1973.

63. Mirca K., Womack B. F. On the controllability of a class of nonlinear system. // IEEE Transactions on automatic control. 1972. №4. P. 531-535.

64. Retchkiman Zvi., Silva-Navarro Gerardo. A vector Lyapu-nov function approach systems // Dyn. Sys. and Appl. -1998.-7, №4. P. 461-480.

65. Zeeman E. C. Differential equations for the heartbeat and nerve impulse, Salvador Symposium on Dynamical Systems, Academic Press, 1973. P 683-741.

66. Львова Л. Л. К вопросу управляемости нелинейных систем // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Часть II. Сб. науч. тр. / под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 466-473.

67. Львова Л. Л. О разрешимости задач управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 66-72.

68. Львова Л. Л. Об управляемости нелинейных систем (тезисы доклада) // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов VII Международной конференции (Дубна, 24-29 января 2000 г.). М.: Прогресс-Традиция, 1999. С. 215.

69. Львова Л. Л. Об управляемости систем с параметром (тезисы доклада) // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы докладов V Крымской Международной математической школы (Крым, Алушта, 5-13 сентября 2000 г.). Симферополь: Изд-во ТНУ, 2000. С. 102.

70. Львова Л. Л. Об управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений (сообщение СВМО) // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: Изд-во СВМО, 1999. Т. 2, № 1. С. 99-100.

71. Львова Л. Л. Условия управляемости нелинейных систем // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 73-80.

72. Львова Л. Л. Условия управляемости нелинейных систем с параметром // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000. Т. 5. Вып. 4. С. 475-476.106

73. Львова Л. Л. Условия управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед, ун-т. Рязань, 1999. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3506-В99.

74. Львова Л. Л. Вопросы управляемости нелинейных систем / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2000. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 17.10.2000, № 2637-В00.