автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Управление формой растянутых систем на основе функционального сложения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

Киевский государственный технический университет Р Г Б 0«}роительства и архитектуры

1 i ш 1994 На правах рукописи

ЧАН ХОНГ ХАЙ

У,®. 515.2

УПРАВЛЕНИЕ ЗОРМОЙ РАСТЯНУТЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО СЯСШШ

Специальность 06.01,01 - Начертательная геометрия и инженерная графика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Киев - 1994

Работа выполнена в Киевском государственном техническом университете строительства и архитектуры.

Научный руководитель: - доктор технических наук,

профессор КОВАЛЕВ С.Н. Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор ОБУХОВА. B.C. -- кандидат технических наук, доцент ГРЙБСВ С.Н. Ведупря организация: КИЕВ ЗНИИЭП

Защита состоится " 26 " октября 1994 года в 13 часов на заседании специализированного совета Д 068.06.0В при Киевском государственном техническом университете строительства и архитектуры по адресу: 252037 Киев-37, Воздухофлоский проспект, 31, КГТУСА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУСА.

Автореферат разослан сентября 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук, • доцент

ПЛОСКИЙ В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. " Теоретической основой геометрических разработок в области формирования поверхностей на основе дискретного моделирования являются работы С.Н. Грибова, С.Н. Ковалева, В.Е. Михайленко, В.М. Найдыша, A.B. Павлова, А.Л. Подгорного, Н.И. Седлецкой и др. На этой основе решены конкретные проблемы моделирования дискретных сетей. Решены задачи управления формой для удовлетворения требований, предъявляемых к проектируемым растянутым конструкциям. При создании геометрической модели пространственного покрытия на стадии эскизного проектирования очевидна необходимость четкого представления о сути процесса формирования, о параметрах управления формой дискретных моделей, о возможностях оперативного изменения хода расчетов.

Процесс управления формой растянутых систем нисит особый характер. Растянутые сети могут различаться между собой некоторыми факторами, при которых форма растянутой сети не может быть произвольной. Ее параметры связаны между собой таким образом, что' сеть всегда остается равновесной. Оцном из способов управлений формой растянутых систем является функциональное сложение, которое позволяет изменять геометрические параметры растянутой сети, не нарушая ее равновесия.

В связи с этим настоящая работа посвящена исследовании метода функционального сложения как операции над геометрическими (фигурами, и возможностей применения этого метода для управления формой растянутых сетей.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с научном направлением кафедры начертательной геометрии, инженерной и

- г -

машинной графики КГГУСА.

Цель работы : Выработать и создать алгоритмы управления формой растянутых сетей на основе функционального сложения применительно к проектированию криволинейных архитектурных объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие теоретические и прикладные геометрические задачи:

1. Установить и сформулировать принципы функционального сложения точечных пространств.

2. Выявить соответствия между пространствами, порождаемые координатным сложением.

3. Представить функциональное сложения пространств как цепь соответствий.

4. Изучить влияние параметров и весовых коэффициентов при параметрах слагаемых фигур на форму и положение суммарного результата.

5. Разработать метод функционального сложения на плоскости и в трехмерном пространстве для непрерывных и дискретных множеств.

6. Разработать способы управления формой растянутых систем путем применения функционального сложения.

Методика исследований. В работе использовались методы аналитической, проективной и начертательной геометрий, теория параметризации, методы вычислительной математики.

Теоретической базой настоящих исследований стали.работы:

- По вопросам конструирования поверхностей и геометрического моделирования: Г.С. Иванова., В.Е. Михайленко, B.U. Най-дыша, B.C. Обкховой, A.B. Павлова, АЛ. Подгорного, С.А. Фролова и их учеников.

л

- По вопросам дискретного моделирования поверхностей с учетом специальных требований и условий: С.Н. Грибова, С.Н. Ковалева, В.Е. Михайленко, В.М. Найдыша, А .Л. Подгорного и их учеников.

• - По вопросам преобразования кривых и поверхностей : А.И. Высоцкого, B.C. Обуховой, Н.И. Седлецкой и др.

В работе использованы результаты исследований Р.И. Вороб-' кевич и П.В. Самчука в области функционального сложения.

Научную новизну работы составляют:

1. Установление свойств функционального сложения с весовыми коэффициентами и соответствий мевду слагаемыми фигурами.

2. Применение сложения геометрических фигур как преобразования пространства.

3. Создание алгоритмов, позволяющих управлять формой растянутых сетей на. основе сложения заданных равновесных сетей.

Практическая ценность. Способом функционального сложения решены задачи управления формой растянутых конструкций, удовлетворяющих предварительно заданным требованиям и условиям на стадии эскизного проектирования.

На защиту выносятся основные положения, составляющие научную новизну и практическую ценность работы.

Апробация работы. Основные работы доложены и обсуждены на 54-й и 55-й научно-технических конференциях Киевского государственного технического университета строительства и архитектуры, на Всеукраинской научно-методической конференции ХПИ , 1993, на научных семинарах кафедры начертательной геометрии, инженерной и машинной графики КГТУСА.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3-х глав, заключения, списка использованной лита-

2-4-libOO

ратуры 118 наименований. Работа содержит 78 страниц машинописного текста, 32 рисунков, 17 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе формулируются принципы и формируется алгоритм функционального сложения в общем и в частных случаях, на плоскости и в пространстве. Решается задача влияния весовых коэффициентов на форму и положение результирующей фигуры и выявляется соответствие между элементами слагаемых ^игур. Приведи

дены несколько свойств функционального сложения также примеры сложения линий на плоскости, сложения поверхностей и дискретных образов в пространстве.

Цусть в пространстве /или на плоскости/ заданы п фигур: Ф' , ,..., 4я ; Цусть также между точками этих фигур установлено определенное соответствие /рис.1/ :

м,' _ мГ — м?

Тогда функциональное сложение представляется как алгебраическая сумма произведений соответствующих координат соответственных точек данных фигур на определенные весовые коэффвди-енты. Мы получим координаты точек новой фигуры: Xi s k4xl + ics^l -1- • • • +

У1 - y'i -f ■ ■ ■ t k» У? . т >

«г. = + к*тЯ гя + ... + к„«г г

L = 4, 2, . - .

где xi , üt , - координаты точки м£ , принадлежащей (фигуре ф-j , а kj, - коэффициенты по координатам. Эти кооэффициенты выбираются в соответствии с условиями конкретных задач и определяются из системы вида < 1> по заданным координатам несколь-

Рис. I

ких фиксированных точек М< , М* ,..., И„ результирующей фигуры

ф . Количество п заданных фигур и m фиксированных точек

взаимнозависимы. Эта зависимость может быть определена при

параметрическом анализе задачи.

функциональное.сложение может быть выполнено.отдельно по

абсциосам, ординатам или аппликатам. В отдельных случаях одни

из координат соответственных точек остаются неизменными. Тогда

сложение выполняется лишь для одной или двух координат:

x¿ = or¿ = Хб = . = х£ ^ 2

У* s ((*{.« + + .. . + кяь У"

на плоскости /рис. I б/, или:

X¿ a X¿ — Хс = ... = X¿

y¿ = У1 = Ui = ... = УГ <3у

Zi - + -i-----f

в пространстве /рис. I в/. Кроме этого:

k, + k¿ + ... + íc„ а-1 в случае < 2 > и:

к, + +-... + к. = *

+ + А в случае <3>.

Задание соответствия между точками исходных $игур рассматривается как наперед заданное геометрическое условие в задаче функционального сложения. Соответствие между точками фигур можно задать аналитически или конструктивно. Простейшими из задаваемых соответствий являются аффинное и проективное, для которых установлены следующие свойства:

I. Результатом функционального сложения двух прямолинейных аффинных рядов точек является также прямолинейный ряд точек, находящийся в аффинном соответствии с каждым из слагаемых рядов.

.2. Результатом функционального сложения двух проективно

í

расположенных прямолинейных рядов точек является кривая второго порядка /рис. 3/. .

3. Результатом функционального сложения двух перспективно расположенных прямолинейных рядов точек является кривая, второго порядка.

В конкретных случаях исследовано влияние весовых коэффициентов на форму и положение результата. Выяснив это влияние, коэффициенты при слагаемых ki можно рассмотреть как параметры управления формой результирующей фигуры.

При сложении двух алгебраических кривых п -го и п -го порядков, соответствие между которыми установлено в пучке координатных прямых, мы получим кривую, порядок которой в общем случае равняется произведению т. и .Аналогичная ситуация возни- . кает и при сложении поверхностей. Например, при сложении двух поверхностей 20Г0 порядка: эллиптического параболоида Ф' и эллипсоида ф" /рис. 2/ получается поверхность 40Г0 порядкаф.

При функциональном сложении дискретных образов между ними устанавливается топологическое соответствие в трехмерном пространстве. Формулы сложения дискретных сетей имеют вид: = k f ta. ^sj +•••-»• ^иХг^-

Уi,j = к*», Ulj- + lf,,rl У^. + lct„ yg. <T4> £ kj = k^^fcjj -t k2Bf2 Z'fo +----

Результатом функционального сложения равновесных сетей является также равновесная сеть.

Во второй главе функциональное сложение рассмотрено как преобразование пространства, если любая из фигур Ф1 считается исходной, другая - результатом, а все остальные - элементами аппарата преобразования. Если ф^ является результирующей фигурой, фи - исходной !\ <1,т f. И /, а {ф , ф' , ф",..., фи } \

3-4-460О

РИС. 2

\ ^ - элементами аппарата, то формулы преобразования

принимает вид:

= к« -I- + ... + + ...

+ Ск'.«ХГV

^ = с-^гч. к'^а^ сб>

^ ( ■+ к*«.« + -«-••• + К*и <ч

- + г} * к'д^г^... + *

^ к' г"*' к1 к:

где:

I а •<, 2 , • . .

На основании этих формул в виде функционального сложения может быть представлены различные известные преобразования, в частности конхоидальное, преобразование подобия, преобразование Маклорена и др.. Например в преобразовании Маклерена вер-зиера /рис. 4/строится путем сложения двух линий: окружности

= о

и прямой: Ы" = О

Формулы сложения принимают вид: X = X"

а = у' + з"

Соответственные точки двух слагаемых линий принадлежат пучку прямых с центром б .

В работе приведена также трактовка известного способа образования трансверсальных поверхностей конгруэнций с точки зрения функционального сложения.

В формулах функционального сложения -с 1> неизвестен па-

Рис. 4

раметр п /число слагаемых фигур ф1, необходимых для получения результирующей /. Параметр п может быть определен в результате параметрического анализа условия задачи. В общем случае коэффициенты ki получаются при решении системы: и, = ku,4 и; kMi2. и» + ... + к«,» чГ ..........................<"7>

где и попеременно принимает значения х., У , г , Для того, чтобы система < 7 > имела решение относительно к,, ,..., lcirl. число и неизвестных должно равняться числу m уравнений системы. Поэтому количество независимых слагаемых фигур п должно быть равно параметрическому числу Р результирующей фигуры:

n = Р <8>

В качестве примеров приведены случаи проведения прямой через 2 точки и эллипса через 5 точек способом функционального сложения. Прямая /параметрическое число равно 2/ является результатом сложения двух прямых. Эллипс /параметрическое число равно 5/ получается путем сложения пяти фигур, например двух эллипсов и трех прямых. В этих случаях соответственные точки находятся на пучке вертикальных прямых.

Дня дискретных сетей слагаемыми и результирующей фигурами являются сети, топологически соответствующие друг другу. В задачах функционального сложения сетей параметрическом числом является число независимых переменных параметров результирующей сети. Одна сеть <ф может быть получена при сложении нескольких сетей, параметрическое число которых вообще меньше, чем параметрическое число сети <£» . Количество и слагаемых сетей должно равняться параметрическому числу Р* результирующей сети: и = PR < 9 >

Число п может уменьшаться в случаях, когда существует комплектов соответственных узлов всех слагаемых и результирующей сети, координаты которых соответственно одинаковы. Тогда в системе уравнений < 7> для определения коэффициентов ка,, Л уравнений по каждой из коощинат / х., У или Ъ / заменяются одним уравнением:

к«^ + ки(2. ки,п = ^

Таким образом ъ этом случае количество слагаемых ^игур определяется формулой:

п = Рл _ I + * СЮ>

В задаче управления формой растянутой сети при варьировании положения одного закрепленного узла, число слагаемых сетей определяется с помощью формулы <Ю> .. Слагаемые сети выбраны с таким же контуром, как и у результирующей сети. Если закрепленный узел М » Положение которого должно изменяться, не является краевым, тогда у всех слагаемых и результирующей сетей краевые узлы имеют соответственно одинаковые координаты, значит ^ - « "1 . Поэтому количество слагаемых сетей равняется: и = = г2

Координаты незакрепленных узлов результирующей сети определяются сложением двух слагаемых сетей с определенными коэффициентами (ее.

Третья глава посвящена применению способа функционального сложения к управлению формой растянутых конструкций типа тентов Дискретной моделью тентового покрытия является растянутая сеть, которая формируется под воздействием, усилий, приложенных к ее

а

узлам, и возникающих в связях растягивающих напряжений, наловленных вдоль связей сети.

На форму тента существенное влияние оказывают различные

группы параметров:

- Форма опорного контура или положение точечных опор.

- Соотношение усилий в связях моделирующей сети различных направлений

- Соотношение усилий вдоль внутренних и контурных связей моделирующей сети.

- Соотношение усилий вдоль внутренних связей моделирующей сети и вдоль стабилизирующих тросов.

В работе рассмотрены растянутые сети со стабилизирующими тросами, сети с различными натяжениями в различных направлениях, ?ети с гибкими опорными контурами и т.п.

Управление формой тента за счет варьирования натяжения стабилизирующего троса рассмотрено на примере регулярной сети со стабилизирующим тросом в вертикальной плоскости. В качестве параметра управления формой сети задана аппликата одного узла М .принадлежащего тросу. Поверхность растягивается вдоль стабилизирующего троса в больщей степени, чем вдоль других связей. Поэтому растягивающие усилия в связях, расположенных вдоль стабилизирующего троса должны иметь коэффициент пропорциональности к длинам связей (к,) иной, чем в остальных связях (кг)»

Если план сети регулярный, то задача сводится к расчету лишь аппликат узлов сети.

Система уравнений равновесия принимает вид:

к + + «. - = о

для узлов Мц .принадлежащих тросу , ^ xx

ц. для остальных незакрепленных узлов,

где к « . '

Для того, чтобы узел М занял заданное положение необхо-

димо подобрать соответственную величину к , т.е. этот коэффициент в системе <11^ должен быть неизвестным. Тогда < II > становится нелинейной: она содержит "1 нелинейных уравнений , где ж - число незакрепленных узлов, принадлежащих стабилизирующему тросу.

Решение систем нелинейных уравнений, как известно, представляет объективную трудность. Этой трудности можно избежать, применив метод функционального сложения. Для этого слагаемые сети выбираются так, чтобы все их закрепленные узлы на контуре имели координаты, совпадающие с координатами соответственных

узлов результирующей сети. Тогда число слагаемых сетей равно 2.

■ ^

Для построения слагаемых сетей I и II коэффициенты к иогут принимать любые неодинаковые значения, например для сети I :

к' = а , для сети II : к" „ Ь . Тогда система уравнений равновесия <П> определения незакрепленных узлов сетей I и II становится линейной, решение которой не представляет трудности.

Аппликаты незакрепленных узлов результирующей сети определяются по формуле:

= + к^Е^-

где Ц и к.1 определяются в результате решения системы:

к< + кд. я А

+ кд^м" = «м

Растянутая сеть, моделируюцря поверхность тентового покрытия, может растягиваться вдоль двух различных направлений с различными усилиями. Растягивающие усилия в связях, расположенных по одному направлению, должны иметь коэффициент пропорциональности к длинам связей (1ц) иной, чем в связях, расположенных по другому направлению (кг).

Система уравнений равновесия для определения аппликат не-

закрепленных узлов сети принимает ввд:

к (--22^) + 21,,и- = о < 12 >

где к = к, /. Параметром управления формой сети является аппликата одного незакрепленного узла . М . Система 12 > нелинейная, так как к неизвестен.

При решении задачи способом функционального сложения слагаемые сети должны быть гомеоморфными результирующей сети. Аппликаты узлов сетей определяются путем решения систем < 12 > , в которых коэффициент к может задаваться произвольно. Количество слагаемых сетей равно 2.

Растянутая сеть с гибким контуром моделирует поверхность тента при условии задания координат опорных узлов. Уравнения равновесия для узлов краевого, контура отличаются от уравнений равновесия внутренних узлов, так как число сходящихся в них связей неодинакого, а напряжения на контуре могут быть больше, чем во внутренних связях. В качестве параметров управления формой сети могут приниматься координаты одного внутренного или краевого узла и отношение к коэффициента пропорциональности растягивающего усилия в связях, расположенных вдоль контура, к коэффициенту пропоциональности усилий во внутренних связях. Если заданы координаты незакрепленного узла М сети, тогда к должен быть неизвестным и система уравнений равновесия становится нелинейной. Во избежание непосредственно решения этой системы можно использовать способ функционального сложения. Число слагаемых сетей равно 2. Для определения незакрепленных узлов слагаемой сети коэффициент к может выбираться произвольно. '

При формообразовании тентовых покрытий, особенно в эскизной стадии, варьирование положения закрепленных узлов, как из-

мнение краевых условий сети, оказывает большое влияние на форму моделируемого покрытия. Дня получения оптимальной формы сети необходимо сравнивать варианты с различными заданиями закрепленных узлов. Известен способ определения равновесной сети путем составления и решения систем уравнений равновесия. В процессе варьирования положения одного или нескольких незакрепленных узлов решение уравнений равновесия может приводить к большему объему расчетов. Способом функционального сложения можно избежать этой трудности, особенно когда имеем несколько заранее рассчитанных сетей, топологически соответствующих требуемой сети. Эти сети принимаются в качестве слагаемых

Если слагаемые сети, топологически соответствующие результирующей, соде раса ¡от такие закрепленные узлы, как и у результирующей сети,- тогда количество слагаемых сетей равно т + \ , где ги - число узлов, положение которых варьируется. Например в задачах управления формой сети варьированием одного закрепи ленного узла количество слагаемых сетей равно 2, в случае варьирования 2-х закрепленных узлов количество слагаемых сетей будет 3. *

На рис. 5 приведено решение задачи управления формой сети варьированием положения трех закрепленных узлов: м00 , Ыод , 1.0-2 • Число т = 3, поэтому количество слагаемых сетей п = 4. Для получения абсцисс результирующей сети 3 слагаемые сети выбраны одинаковыми, но с различной ориентацией, для сокращения объема вычислений при предварительном расчете координат их узлов, а четвертая сеть может быть регулярной. На рисульке точки М , N » I. в плане занимают места: <3 , 3) ,<-0.5 , 2.5) <2.5 ,

и Ш

1(1)

а/ Топологическая схема

б/. Сеть I

в/ Сеть II

Результирующая сеть

Рис. 5

-I соответственно. Абсцисса любого незакрепленного узла результирующей сети определяется по формуле:

Ординаты Уц определяются аналогично.

ЗАКЛШЕНИЕ

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Установлены принципы функционального сложения, выведены формулы сложения на плоскости и в пространстве для непрерывных и дискретных множеств.

2. Выявлены соответствия мевду элементами пространства , порождаемые функциональным сложением. Установлены принципы задания этих соответствий в конкретных случаях.

3. Рассмотрено влияние весовых коэффициентов при слагаемых образах на форму и положение суммарного результата. Исследованы возможности исползования комбинации весовых коэффициентов в качестве совокупности параметров управления формой результирующей фигурц в функциональном сложении.

4. Решена задача параметризации аппарата функционального сложения для непрерывных фигур и дискретных сетей. На основе параметризации определено количество независимых слагаемых фигур, необходимых для получения требуемой фигуры.

5. Рассмотрено функциональное сложение как преобразование пространства. Выявлены формы представления ряда известных преобразований как функционального сложения.

6. Показаны возможности практического использования способа функционального сложения для оперативного управления фор-

мой поверхностей растянутых конструкций архитектурных покрытий. Основным преимуществом этого способа является простота получения желаемого результата.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Чан Хонг Хай . ¡функциональное сложение как преобразование. Тез. докл. на Всеукраинской научно-методической конференции. - Харков ХПИ, 1993.

2. Чан Хонг Хай. Спос1б визначения р1вноважних с1ток шляхом перетворення. // Прикл. геометрия и инж. гграфика. -К, 1994. -Вып. 56. -с. 115 - 117.

3. Чан Хонг Хай. Управление формой растянутой сети со стабилизирующим тросом. Тез. докл. на Международной научно-методической конференции. Львов, 1994.

Чан Хонг Хай. УправлЪшя формою розтягнутих с!ток на основ! функц!онального додавЪш. Дисертац1я на здобуття вченого ступе-ню кандидата техн1чних наук за спец1альн!сттью Об.01.01 -Пр1кладна геоыетр1я та 1нженерна графика. Ки1вський Державний техн1чний ун1верситет буд!вництва 1 архХтектури. Ки1в,' 1994.

ЗахХщаеться три наукових работт^як1 м1стять теоретична дос-л1ди;ення метода фунюцонального додавання стосовно до управляя формою кривих лЛний та поверхонь у неперерному або дискретному уявленн1. За результатами теоретичних досл!джень роз-роблено методику оперативного управл!ння формою розтягнутих коиструкцМв арх1тектур1, зокрема тентових конструкц!й , на этап1 еск1зного проектування.

Ключов! слова:

Метод функцХонального додавання, управл!ння, тент, розтягнута конструкц!я.

Iran Hong Hal. Manegment of a form of stretching nets on the tasic of functioning addition. The thesis to research on scientific degree of a candidate of technical science in spesiet-litjr 05.01.01 - Applied geometry and engineering graphic. Ihs Kiev State technical university of building and architeture, Kiev, 1994.

Three scientific acticls have been defendering.They include inside theoretical reaserching of a methid of functioning addion applying to manegment of form's curve lines and of surface in uninterrupted or discrete imagination. Owing to the results of theoretical reaserching is • parked out method of operation guiding a form of stretching designs in architeture, in parteculer awning structures, on the stage of freehand projection.