автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.01, диссертация на тему:Универсальный метод расчета магнитных полей и процессов электрических машин с дискретно распределенными обмотками

/¡ж

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА, и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЩИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

КУЗНЕЦОВ Вячеслав Алексеевич

УДК: 621.313.018.013.0(31.24(043)

УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ШБИТНЫХ ПОЛЕЙ И ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШН С ДИСКРЕТНО РАШРЕДЕ1ЕННШИ ОШОТКАМИ

Специальность 05.09.01 - электрические машины

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в Московском энергетическом института на кафедре электромеханики.

Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки и

техники РС2СР, доктор технических наук профессор Сипайлов Г.А.;

доктор технических наук профессор Бут Д.А.;

доктор технических наук профессор Шакарян 30. Г.

Ведущее предприятие: Всесоюзный научно-исследовательский институт производства и технологии электрических га шин (ЕНШИИЗЛ)

Зашита диссертации состоится "_"_1990 г.

в ауд. _в_час.__мин. на заседании специализированного Совета Д 053.16.05 при Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции энергетическом институте.

Отзывы в двух экземплярах, заверенное печатью, просим направлять по адресу: IG5835 ГСП, Москва, Е-250, Красноказарменна; ул., д.14, Ученый Совет МЭИ

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МЭИ.

Автореферат разослан _"_19_г,

Ученый секротарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Дяя нынешнего этапа научно-технической револвдии характерно интенсивное внедрение электрических машин э существующие энергетические установки, в большинство технологических процессов, распадение области применения устройств с электромеханическими преобразователями.' Создание современных энергетических систем, электромеханических установок, изделий, включающих в себя электрические машины (ЭМ), требует совершенствования уровня их качества. Показатели качества ЭМ объединяют не только традиционные характеристики расхода материалов при изготовлении, КПД, надежности, трудоемкости, стоимости в производстве и обслуживании, но и стоимость и ресурсоемкость всех элементов, сопрягаемых с ЭМ.

При проведении научно-исследовательских и проектно-конструк-торских работ по созданию ЭМ и установок с ними неизбежен этап моделирования, позволяющего с минимальными затратами рассмотреть показатели и режимы работы Ш как автономно, так и в совокупности с присоединенными устройствами и элементами. Математическое моделирование ЭМ и установок с ними при использовании мойных современных универсальных и функционально ориентированных ЗИЛ позволяет решить задачи оптимизации 314 применительно к любой целевой функции, исследовать поведение 211 л систем с шага в различных рутинных и экстремальных ситуациях.

Существенным, элементом полной модели, естественно, является модель Ш. Проблемы моделирования ЭМ лежат в русло общее задач моделирования. Электрическая машина может быть отнесена к категории сложных систем, объединяющей в себе электромагнитные, электрические, волновые, тепловые, механические явления. Построение полной адекватной математической модели Ш представляет собой нереальную техническую задачу ни в ближайшем, ни даже в отдаленном будущем ввиду чрезвычайно высокой размерности объекта. Понижение размерности полной модели может быть достигнуто на основа установления внутри объекта слабых взаимодействий. Опыт исследования ЭМ схядэ-тельствует об относительной независимости, например, тепловых и электрических якюний для многих надо в ЗА, о возможности разделения механических а волновых явлений. Возникает целая система допущений, принятие которых приводит к положению о независимости уравнений, описывающих различные стороны процессов в ЯД. Шооте с тем, принятие тех или иных допущений должно быть проведено с достаточной осторожностью, чтобы но бши нарушена их с^изичеокая

обоснованность. Ряд уравнений, описывающих электромагнитные процессы в ЭЛ. являются принципиально жесткими. Их имманентная жесткость обусловливается большой разницей собственных значений матрицы, входящей з уравнение переменных состояния. Пренебрежение любой из составлявших процесса, сколь бы привлекательны« и обоснованны,; оно ни давалось, обычно приводит к недопустимому искажению .рассчитываемого электромагнитного явления.

При переходе от полной к адаптивной модели в теории ЗМ широко используется и второй прием, приводящий к упрощению задачи высокого порядка. Зто - методы декомпозиции. которые позволяет получить решение как комбинацию решений отдельных задач невысокого порядка. Особенно очевидны преимущества такого подхода при анализе электрических систем, т.е. структур высокого порядка с линейными элементами. Однако и в таких нелинейных системах, как ЭМ,метод декомпозиции наиал широкое применение благодаря тому, что на основе обширных экспериментальных и теоретических работ были сфо-рмулироЕаны допущения, не приводящие к существенным ошибкам в расчетах и натинейннх ЗМ. Наиболее полно допущения, позволяющие реализовать аналитические методы расчета с использованием диакоп-тических приемов, являющихся эффективным средством декомпозиции, изложены в трудах З.Арнольда, Р.Рихтера, К.И.Шенйера, а также Р.А.Лютера, М.П.Костенко, Г.Н.Петровз и многих других.

Декомпозиция магнитного поля в ЗИ дала возможность аналитического нахоздеяия магнитных долей в отдельных областях ЗМ. Это относится прежде всего к области поля в гладком воздушном зазоре, в зазоре с односторонней зубчатостью, где с помощью методов разделения переменных и конформных отображений удалось решить ряд задач, косящих фундаментальный характер. Для униполярного поля введено понятие коэффициента зазора, приближенно используемое и для областей с двухсторонней зубчатостью, для которых развит метод гарлонических нроводимостей.

После -декомпозиции и применения принципа отвердения магнитные доля в локальных зонах могут быть рассчитаны с атоицаа метода отображений, а также гра$оаналитическими и графическими методами, Последние с развитием ЭВМ были существенно потеснены численными методами, с помощью которых успешно рассчитываются магнитные пол и во всем пространстве ЭМ. Пионерами в этом вопросе в СССР были К.С.Дешрчян, Я.Б.Данилзвич, Я.А.Новик, В.Б.Домбровский и др., за рубежом - Е.А.ЕгЛеСчс , Р.^и^ег и др. Численные расчеты

позволяют получить с требуемой точностью все необходимые значения потокосцеплений обмоток ЗМ. Однако вычислительные затраты при анализе процессов в системах с ЭМ оказываются настолько велики, что совместное решение уравнений магнитного поля и электрических процессов оказывается до сего времени невозможным. Сокращение вычислительного времени достигается при использовании схем замещения, в которых области непрерывного магнитного поля преобразуются в дискретные проводимости или магнитные сопротивления. Схемы замещения могут включать в себя как линейные, так и нелинейные проводимости.

Следующий этап понижения порядка исходной системы - переход к понятиям линейных, не зависящих от насыщения, индуктивных параметров обмоток ЭМ. Возможно также использование линеаризованных параметров, соответствующих какой-либо рабочей точке. На основе понятия параметров разработана линейная теория Ш, созданы такие эффективные методы расчета, как методы симметричных составляющих, символический, преобразования координат, врашэюшцхся полей,пригодные для исследования переходных процессов. Тем самым реализован многоуровневый подход к созданию моделей ЭМ, когда степень понижения порядка исходного явления в модели определяется условиями решаемой задачи. Сам процесс выбора уровня модели не является простой задачей, т.к. заранее неизвестны результаты, получаемые при исследовании модели. Естественно при этом желание тлеть дело с моделью наиболее возможно высокого уровня, обеспечивающую требуемое качество моделирования шгнитного поля.

Отсутствие качественных моделей ЗМ особенно заметно при создании' и исследовании таких новых типов ЭМ, в которых неправомерно использование обычных допущений, характерных для Я1! традиционных конструкций.-В большей мере это относится к машинам с явно выраженной зубчатостью, где магнитное поле очень сильно зависит от взаимного положения сердечников с близкими числами зубцов и трудно выделить основную гармонику поля, с обмотками с дробным числом пазов на полюс и фазу, создающими плотный спектр высших и низших гармонических индукции. В таких машинах целесообразно бывает отка-гаться от концепций гармонического анализа вращающихся магнитных юл ей. Произвольная форма магнитных потоков во времени часто сочетается с несинусоидальными формами токов и напряжений обмоток, что делает совершенно неприемлемыми классические методы анализа SM.Ec-ш при этом учесть, что 3!Д с несинусоидальными токами в обмотках

'работают совместно с полупроводниковыми элементами, то анализ процессов в таких ЗМ требует создания новых методов расчета, новых типов моделей. Предпочтительным будет метод, оперируший с мгновенными значения!,к токов и напряжений, максимально точно воспроизводящим реальные условия. Тенденция к использованию мгновенных значений электрических величин ветвей электрической схемы, включающей обмотки SM, наблюдается в настоящее время в связи с постоянно расширяющаяся возможностями вычислительной техники. Представление электрических величин мгновенными значения!,ш позволяет сохранить полную информацию о них, не прибегая к разложению в какие-либо ряды неизбежно в усеченном виде. Анализ в мгновенных значениях пригоден для любых несимметричных структур как магнитных, так п электрических, боз использования понятия параметров.

Несмотря на широкий выбор существующих моделей, в ряде случаев создания новых типов ЗМ, особенно несимметричных в магнитном отношении, питаемых несимметричной системой токов и напряжений,со слоеной структурой магнитного поля, которого сильно зашей? от перемещения ротора, в условиях сильной нзякнвйности материалов, наличии наведенных токов желательно использоглкие моделей, в которых в достаточной мере сохранена информация о сувэстБугжем в 3J магнитном поле. Модели такого уровня должны быть пригодными для репения задач исследования электрических процессов в цоцях и электромеханических - в системах при одновременном воспроизведении магнитных полей в ЭМ. Это новый, качественный этап в прогрессе методов моделирования.

Вторая задача, при решении которой могут быть использованы модели Ш с воспроизведением реального магнитного поля, это создание новых расчетных метода« и формуляров, учитывающих в первую очередь насыщение сердечников ЗМ. Нынешнее состояние с точностью эткх методик дане для Ш традиционной конструкции является неудовлетворительным, т.к. они основаны на довольно грубых допущениях, не соответствующих возмоаностям современной вычислительной техники.

Непосредственным толчком для представляемой работы явились идеи, высказанные А.В.Ивановым-Смоленским по возможности разработки нового метода расчета магнитных полей ЭМ. Первоначально метод получил название метода проводнмостей зубцовых контуров (МПЗК). Усилиями многих научных работников, принявших участие в его разработке , МПЗК получил дальнейшее развитие и' в настоящее время приобрел характер универсального, т.к. он позволяет одновременно моде-

лировать и магнитные поля и процессы в ЗМ, пригоден для любых ЭМ с зубчатыми сердечникам!.

В представляемой работе сделана попытка теоретического обобщения и решения научной проблемы создания универсального метода моделирования ЭМ на основе максимально возможного с точки зрения современных ЭВМ воспроизведения их магнитного поля. При совершенствовании 33,1 модели магнитного поля могут пропорционально усложняться.

Цель и задачи работы.

1. Создание принципов формирования моделей магнитного поля ЗМ на основе представления обмоток в виде совокупности магнитных оболочек.

2. Разработка нелинейных математических моделей ЭМ универсального характера, пригодных для исследования магнитных полей и процессов произвольного характера и любим видом несимметрии без введения индуктивных параметров, за исключением параметров лобового рассеяния.

3. Разработка общей системы уравнений электромеханических процессов для ЗМ с дискретной структурой обмоток; создание алгоритмов и программы их решения на единой математической базе.

4. Исследование магнитных полей, процессов и электромагнитных усилий в Ш нетрадиционных конструкций.

5. Внедрение разработанных методов моделирования в практику научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ по созданию ЭМ различных мощностей (турбо- и гидрогенераторы дая ГЭС и ГАЭС, асинхронные и линейные двигатели, автономные генераторы).

6. Разработка и внедрение различных конструкций ЭМ и их элементов (высоковольтный синхронный гидрогенератор, дуговые модели электрических машин, подшипники погружных электродвигателей для насосов, управляемые реактивные двигатели, автономные генераторы).

Научная новизна.

Сформулирована общая концепция расчета магнитного поля ЭМ в линейном приближении ко основа представлений катушек в виде совокупности магнитных оболочек, отзечаюиая положениям метода Грина. Разработаны способы расчета параметров зубцовых контуров численными и аналитическими методами; созданы алгоритмы к программы численного расчета параметров этих контуров.

Разработаны способы формирования эквивалентных расчетных схем замещения магнитных цепей ЭМ в линейном и нелинейном прнбли-

женки, воспроизводящее магнитные поля ЭМ с любой степенью дробности. Показаны варианты размещения источников МДС в ветвях схем замещения, вытекающие из форм магнитных оболочек катушек обмоток.

Предложено использовать новую матрицу структуры обмоток.позволяющую определять МДС в ветвях ЭРСЗ по токам ветвей электрических схем, а в ее транспонированной форме - потокосцепления ветвей обмоток Ш по магнитным потокам ветвей схемы замещения с учетом полей рассеяния.

Составлены уравнения для магнитных и электрических цепей ЗМ, представляющие, в сущности, уравнения Максвелла, преобразованные в интегральную форму применительно к ЭМ с дискретной структурой ферромагнитных сердечников и обмоток.

В разработанной электромагнитной модели 3.5, пригодной для расчета магнитных полей, периодических и переходных процессов в фазных координатах, не используются понятия индуктивных параметров, воспроизводятся явления насыщения и наведенные токи.

Разработаны методы решения уравнений универсальной электромагнитной модели ЗМ, основанные на единой базе для электрических и шгнктных цепей - узловом методе. Предложены способы ускорения решения и его сходимости. Показаны возможности реализации и описаны эквивалентные расчетные схемы замещения, использующие модели магнитного паля на протяжении одного и двух полюсных делений,сформулированные в терминах скалярного и векторного магнитных потенциалов.

Проведен анализ принципов работы управляемых реактивных двигателей (УРД) и изложены рекомендации по Ьыбору режимов работы. Разработаны модели магнитного поля, составлены системы уравнений УРД. Создана упрощенная методика расчета УРД, а также его модели двух уровней: для автономной работы фазы и с учетом их взаимного влияния.

Предложен новый тип моделей ЭМ, в которых допустимо предположение о сравнительно слабой зависимости потокосцеплений ветвей обмоток от поворота зубчатого ротора, при этом сохраняется двухсторонняя зубчатость сердечников. Влияние пазового рассеяния воспроизводится полностью, в отношении же дифференциального рассеяния ' предполагается, что оно не зависит от поворота ротора. Для ряда ЭМ с относительно слабой зависимостью магнитного поля в зазоре от поворота ротора такое допущение несущественно влияет на совокупное поле и результирующие потокесцепления обмоток, однако вы-

таслительное время сокращается весьма значительно.

Рассчитаны и экспериментально измерены электромагнитные силы, действующие в ЗМ с крупно зубчатыми структурами, составлены программы их расчета. На основании теории подобия произведен анализ 1рименяемых формул для расчета усилий, проведен отбор формул,приходных для сред с нелинейными характеристиками.

Созданы модели и разработана методика расчета подшипникового /■зла двигателей ПЗД, находящегося во вращающемся магнитном поле. Спроектированы дуговые модели участков высоковольтного гидрогенератора; на основе их испытаний оптимизирована конструкция сердеч-шков и демпферной обмотки этого генератора.

Практическая ценность. Разработанный универсальный метод гредставляет собой теоретическое обобщение научных работ кафедры аектромеханики в направлении решения проблемы создания моделей Ш, пригодных для одновременного расчета их магнитных полей и ¡нализа процессов в системах и установках о подробным воспроизведшем влияния нелинейностей характеристик намагничивания.Созданий метод пригоден для анализа любых ЭМ с дискретным распределени-!М токопроводящих областей и особенно эффективен для несигдметрич-щх в магнитном и электрическом аспектах ЭЛ. Модели, составленные ¡о универсальному методу, оперируют с естественными мгновенными 1начениями токов, напряжений, пйтокосцеплений ветвей электрической хеш не используя понятия индуктивных параметров пространст-юнных и временных гармонических,, т.е. не прибегая к .методам гар-гонического анализа. По сравнению с аналогичными работами по соз-;анию моделей ЗМ универсальный метод использует наименьшее число упущений, его возможности более широкие, результаты легко обозре-аемы.

Предложенные модели реализованы в виде алгоритмов и программ, рименяемых в течение длительного времени в различных организаци-х. С использованием этого метода выполнены и защищены более ?0 андидатских диссертаций.

Реализация результатов работа. Работы по созданию универсаль-ого метода проводились в русле научных работ по постановлениям КНТ СССР, Минэлектротехпрома, Минэнерго, ! ' • ^

•оь: распоряжению Совета Министров СССР от 15 ишя 1965г. Я П46р; остановлению ГК СМ СССР по Науке и Технике от 26 декабря-1968г. 435 (приложение й 3) по решению научно-технической проблемы .01.200; постановлению ГК СМ СССР по науке и технике от 3.12.71 465 шифр 0.01.225 и 0.01.235; по постановлению ГК СМ СССР по На-

уке и Технике от 17.12.75 И 542 по решению Научно-технической проблемы 0.01.05 - "Создание энергетического оборудования и гидротехнических сооружений гидро- и гидроаккумулируюших и электростанций для сложных природных условий", постановлению СМ СССР а 900 от 27.10.69 (шифр 0.01.235, - приложение 375 от 9.12.67; постановлению ГКНТ СССР и Госплана СССР от 12.12.80 Л 472/248 (шифр 0.01.05.06.01.ИГА) и координационному плану АН СССР по проблеме 1.9.2.; приказу Минвуза СССР М 192 - по постановлению ЦК КПСС и СМ СССР от 27.01.86 Я ' .; постановлению ЦК КПСС и СМ от 15.07.85 Л . " ., приказу Минвуза СССР Я 192 от 05.12.85 "Разработка быстрых турбогенераторов повышенного напряжения для транспортабельных электроустановок"; постановлению ГКНТ СССР Я 555 от 30.10.85 программа 0.01.05, задание СЯ.Об.Па.

Результаты работы использовались при создании высоковольтного гидрогенератора ВВГС 525-32 мощностью 14,5 МВт напряжением ПО кВ для Сходненской ГЭС, во ВНИПТИЗЛ г.Владюшра при создании опытных образцов управляемых реактивных двигателей, при разработке новых материалов для подшипников погружных асинхронных электродвигателей дяя насосов нефтяных скважин.

Разработанные при участии автора методики расчета применялись во ШИИЗлектромаш г.Ленинграда при расчетах турбо- и гидрогенераторов, коллективом "Время" при создании шаговых двигателей, различными предприятиями при расчете автономных генераторов различных мо гадос те Е.

Методики расчета били переданы научным группам ряда кафедр МЭИ: электрических станций, автоматизации и релейной зашиты,электрооборудовании летательных аппаратов. Результаты научных исследований автора используются в учебном процессе в курсе "Электромагнитные расчеты" и "Математическое моделирование в электромеханике".

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях Московского энергетического института в 1966-1987г.г., на Всесоюзной конференции к 100-летию изобретения трехфазного асинхронного двигателя (Москва, МЭИ, 1989г.), 5-й межвузовской конференции по физическому и математическому моделированию (Москва, 1968г.), Всесоюзной конференции "Современные проблемы энергетики и электротехники ;(М.осква ,1977г.), на Н Всесоюзной межвузовской конференции по теории и методам расчета нелинейных цепей й систем (Ташкент, 1982г.), на 9-й научно-технической конференции АЛИИТА (Алма-Ата, 1987г.), на 1-й Всесоюзной конференции по электромеханотрокике (Ленинград,

1987г.), на Ж международном научном коллоквиуме (г.йльменау.ГДР, 1965г.), на международном симпозиуме 815ЕР' 88 (г.Пекин, КНР, 1988г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 научных работ, 7 учебных пособий и 2 монографии,

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованной литературы. Она содержит 305 страниц машинописного текста и 110 рисунков.

Основное содержание работы.

В главе первой анализируются особенности подхода к организации моделей магнитного поля ЗМ.

Система уравнений, описывающих состояние ЭМ, может быть записана на основе уравнений Максвелла, которые при относительно небольших скоростях Ш, т.е. для квазистационарного поля могут быть переписаны для ротора и статора в ах собственных системах координат. Дня статора может быть использована неподвижная система координат, для ротора - вращающаяся. При анализе электромагнитного поля учитываются реальные размеры ферротел и обмоток,магнитные и электрические свойства сред, перемещение ротора по отношению к статору. В описание магнитного поля и процессов входят кроме уравнений Максвелла, записанных при допущении о квазистационарности поля, следующие уравнения: _

- непрерывности для векторов магнитной индукции В и плотности тока проводимости 3 ;

- связи между векторами для шгнитного и электрического полей?

- для внутренних граничных условий на границах между средами, относимыми к статору и ротору;

- для граничных условий на поверхности, отделяющей область статора от области ротора;

- движения для угла еС, характеризующего положение ротора по отношению к статору, и его производных.

Такая система уравнений исчерпывающим образом характеризует объемное поле в любой вращающейся или линейной электрической машине при единственном допущении о квазистационаряости этого шля. В принципе путем решения этих уравнений можно проанализировать стационарные и нестационарные магнитные процессы в произвольной электрической машине с учетом всех влияющих факторов. Однако реа-

лгзация этой пршщпшальной возможности встречает на своем пути трудно преодолимые препятствия. Из-за большой сложности эта система уравнений в полном виде не может быть решена аналитическим путем.

Один из способов упрощения решения - это переход от непрерывных сред - к дискретным, сосредоточенным. Первоначально уравнения Максвелла переводятся в уравнения Лапласа и Пуассона в терминах дая скалярного или векторного магнитных потенциалов и рассчитываются магнитные потоки частей ферромагнитных сердечников, потокосцепления обмоток ЭМ. Знание магнитных потоков позволяет определить потери на перевдгничивание, магнитные напряжения к по интегральней форме одного ез уравнений Максвелла, принимающего вид закона полного тока, - потребную МДЗ обмоток. Вектор вычисленных потокосцеплений обмоток позволяет перейти к решению дифференциальных уравнений, описывающих процессы в электрических цепях, составной частью которых являются обмотки ЗМ. На этом этапе представляется возможны.! формирование адаптивной модели с ограниченным набором только тех переменных, которые признаются существенными, что значительно сокращает вычислительные, затраты.

Схега расчета - от магнитного поля к выходным параметрам,характеристикам и процессам в 3.1 является очевидной. Однако ее практическая реализация наталкивается на серьезные трудности,обусловленные сложностью расчета магнитных полей во внутреннем пространстве ЗЛ. Аналитические методы оказались эффективными при расчете магнитных полей в локальных подобластях: в пазах и меиполюеннх пространствах, в зазорах при предположении о наличии односторонней зубчатости, в зонах элементов зубцов и ярм, в гладком зазоре для магнитного поля, возбуждаемого распределенным скалярным магнитным потенциалом в виде суммы гармонических или ступенчатой функции. При этих расчетах за основу принималось диакоптическое разбиение общего пространства ЭМ на подобласти. Оно выражалось в предположении о независимости поля исследуемой подобласти от прочего пространства; на границах подобласти вводились граничные условия чаще всего первого рода. В ряде задач, как например, при расчетах пазового рассеяния, осуществлялся конволюционный переход от параметров распределенного магнитного поля к параметру сосредоточенному - проводимости для какой-либо заранее выделенной зоны пространства.Проводимости вводились как для расчета магнитных потоков в сердечниках и зазорах, так и дая определения потокосцеплений обмоток. Конволютом. т.е. свертка непрерывного пространства магнитного поля к

дискретной схеме, включающей в себя конечное число элементов -проводимостей, составляет сущность перехода к схемам замещения магнитной цепи ЗМ. Схемы замещения магнитной цепи конструируются на базе ряда допущений. Самыми характерными из них являются допущения о постоянстве магнитного скалярного потенциала вдоль участков поверхностей ферромагнитных сердечников и определенности направлений магнитного потока внутри элементов, на которые разбивается пространство ферромагнитных сердечников. Предполагается такие, что границы между элементами сердечников тлеют постоянные магнитные потенциалы. После такой дискретизации нз основе конво-язсционного подхода к расчету.магнитного поля можно приглепить методы теории линейных и нелинепншс цепей, традиционно и элективно используемых в электротехнике. В случае линейных схем замещения может быть осуществлена предельная конволюция - к индуктивным параметрам обмоток. Переход к понятиям индуктивных параметров оказался чрезвычайно плодотворнш и позволил создать расчетные методики, до сих пор используемые в практике. В сочетании с такими методами, как символический метод, метод симметричных составляющих, метод преобразования координат удалось создать целый ряд моделей, пригодных как для анализа самой ЗМ, так и для исследования ее функционирования в электромеханической и электрической системах в симметричных и несимметричных режимах.

Нелинейность характеристик намагничивания, иногда весьма существенная, имеющая место в ЗМ, .заставила критически переосмыо-лить понятие параметров. Экспериментальные исследования, проведенные во ЕШИЗлектромаи Г.В.Карповнм, особенно убедительно свидетельствуют о неправомерности предположения о постоянстве индуктивных параметров ЗМ. Для синхронных машин индуктивные сопротивления OCd. н Хс^. обнаруживают сильную зависимость не только от токов обмотки возбуждения к якоря, но и от угла нагрузки.

В услошях изменения синхронных параметров, применение расчетных методик, разработанных в предположении их постоянства, приводит к заметным ошибкам.

При расчетах ЯЛ широко используются численные методы: методы конечных разностей (МКР), конечных элементов (МКЗ), граничных элементов (lire), интегральных уравнений. Эти хорошо разработанпыэ и лногонратно апробированные методы носят универсальный характер. Эдвако попытки создания на их основе достаточно полных математических моделей ЗМ, пригодных для анализа периодических п переход-

них процессов, обычно приводят к неприемлемым затратам вычислительного времени. В определенном смысле упомянутые методы облада< ют излишней информативностью, т.к. они связаны с необходимостью расчета магнитного поля во всем внутреннем пространстве ЭМ без всяких исключений. Мезду тем, в ряде случаев распределение магнитной индукции внутри элемента сердечника может представлять ин терес лишь для уточнения распределения поторь от магнитного поля и в очень слабой степени влияет на общее потокосцепление катушки 'находящейся в пазах этого сердечника. Обмотки ЭМ, дискретно сое редоточенные в пазах сердечников, обладают свойством "интегрирования" магнитных потоков, делая несущественным распределение пол внутри элементов сердечников. Поэтому естественная дискретизация моделей магнитного поля-ЗМ, диктуемая структурой сердечников и размещенных в них обмоток, вытекает из органической структуры 2М когда предельной единицей информативности становится элемент сер дачника с размещенной на нем обмоткой или ее частью. Распределение поля внутри этого элемента считается второстепенным и не вли яет на потокосцепление сцепленной с элементом части обмотки. При такой естественной дискретизации модели может быть достигнута оп ределенная гармония между достаточной подробностью воспроизведения магнитного поля с целью сохранения основной информации о нем и существенным сокращением вычислительного времени из-за укеньше ния порядка расчетной схемы, в которой осуществлен переход от большого числа малых элементов к малому числу больших элементов. Степень конволвдионности, т.е. степень понижения размерности мо дели магнитного поля ЗМ, определяется требованиями рассматриваемой проблемы, точности предполагаемых результатов, располагаемым вычислительными и программными средствами.

Недостатком ряда моделей, методик и программ расчета модели розания является плохая обозреваемость физических основ моделей получаемых промежуточных и окончательных результатов. Некоторые программы в большой степени замкнуты на самих создателей и труда воспроизводимы. В связи с этим к используемым и создаваемым моде лям желательно предъявлять и требования определенной естественно ти, логическим итогом которой является хорошая обозреваемость рз зультатов. На нынешнем уровне развития средств вычислительной те ники этому отвечает подход, при котором методами декомпозиции ыа нитное поле анализируемой ЭМ разделяется'на независимые области. Затем при введенных граничных условиях, не слишком сильно искажа

шдх реальное поле, проводится конволвдия свертка непрерывного [ространства к сосредоточенным магнитным проводимостям. На полугенную схему замещения магнитной цепи накладывается система ис-•очников МДС.

Неоднородность структуры ЭМ вдоль оси не позволяет с доста-:очными основаниями переносить результаты расчета магнитного геля ) поперечном сечении на обмотку в целом. В теории ЗМ это обстоя-■ельство учитывается введением различных расчетных аксиальных ;чин сердечников, воздушного зазора, пазовых пространств.

Индуктивные сопротивления лобового рассеяния рассчитывают [втономно и используют в сосредоточенной форме.

Разработка моделей ЗМ преследует цель создания обобщенной структуры алгоритмов, инвариантных относительно различных типов юшаемых задач, сочетающих оптимальность решения с минимумом зат-ат. Чаще всего тлеет место интуитивное решение о сочетании сте-[ени близости к оригиналу и абстракции, при этом применяется мяо-•оступенчатый переход от магнитного паля к выходным параметрам и кратно с целью понижения размерности общей модели. При этом :рактически не удается избежать применения декомпозиции и конвенции.

Этап оптимизации структур ОД и их режимов может быть включен I общую схему модели, т.к. он прямо влияет на результаты расчета агнитных палей. В зависимости от требований задачи оптимизация гажет осуществляться на модели Ш .любого уровня.

В главе второй изложена концепция формирования схемы замеще-ия магнитной цепи ЗМ, опиралцаяся на основные идеи МПБК, но в астиренном варианте, позволяющая снять некоторые его ограничения. |дна из особенностей МПЗК - разделение процесса расчета магнитно-■о поля на два совершенно независимых этапа. На первом этапе рас-:читываются проводимости между отдельными участками поверхностей агнитных: сердечников - ферротел ЭМ. Протяженность каждого участ-а может быть выбрана произвольно и их количество определяется ■олько возможностями используемого метода для расчета проводимос-■ей и средствами вычислительной техники. Магнитная проницаемость >ерротел на этом этапе принимается равной бесконечности, так что ассчитываются проводимости только воздушного пространства. При азбиении поверхностей ферротел на участки исходят из определен-юй рутинности структуры сердечников ЭМ и очень часто предполагаемого с достаточными основаниями характера магнитного поля в тех

или иных зонах воздушных промежутков ЗИ. Чаще всего участками является коронки зубцов, боковые стенки пазов, полисных наконечников к т.д.

Задача определения магнитного поля в пространстве между форротслгми имеет аналогии с некоторыми задачам рассеяния,встречали,гися в квантовой механике и в электромеханике полых систем с рассеивающая! элементами. Для описания процессов рассеяния в квантовой механике используется аппарат - матрицы. Ее суть заключается в следующем. Пусть состояние входных токов описывается вектором состояния "Ур (аналогия с невозмущенным вектором квантово-механического состояния задачи рассеяния). Состояние электромагнитного поля описывается вектором У (аналогия с возмущенным вектором квантово-механической задачи рассеяния. Тогда

V-- [51 Уо.

Из свойств дифференциальных уравнений, связывающих входные токи и выходное электромагнитное поле, вытекает ряд фундаментальных свойств матрицы [£} - ее унитарность для систем без диссипации, а также возможность ее аналитического выражения через оператор дифференциального уравнения и его резольвенту - функцию Грина.

Б работе показано, что математическое описание магнитного поля системы ферротел и контуров с токами о беем оказался одинаковый тип дифференциального уравнения для искомой функции векторного А либо скалярного ^ магнитного потенциалов. Зто уравнение Пуассона, которое должно быть решено в однородной (_|"1=]Мо ) среде безграничного трехмерного пространства при определенных ограничениях, накладываемых на поведение искомой функции (или А ) на бесконечности. С ростом радиуса 2 функция должна изменяться пропорционально У^Л , где Д - любое положительное число.

Такие условия всегда воспроизводятся, если рассматриваемая система ферротел и контуров с токами локализована в пространстве.

При этих условиях поиск самого решения дифференциального уравнения принципиально осуществим. Искомое решение дает преобразованная формула Грина

$ ' V (¿»-и

( 2 - модуль радиуса - вектора, определяющего положение точки О-)

которая применительно к нашему случаю безграничного пространства (поверхность £ молено представить себе как поверхность пара, радиус которого стремится к бесконечности) существенно упрощается.

Подобие форм записи уравнений Пуассона и Лапласа для плоскопараллельных полей обуславливает равноправную применимость понятий векторного и скалярного магнитного потенциалов для решения задач по нахождению магнитных полей. Преимуществом понятий векторного магнитного потенциала является возможность достаточно точного воспроизведения областей вихревого поля - зон сечений токове-душих катушек и обмоток, что не разрешает скалярный магнитный потенциал. Вместе о тем, реализация граничных условий для А и осуществляется различным способом, что для ряда задач дает существенное преимущество методам, использующим понятие скалярного магнитного потенциала. Особенно заметнкми эти преимупества становятся при приближенных численных расчетах на ЭШ в присутствии сред с резко отличавшимися магнитными свойствами.

Идея применения понятий скалярного магнитного потенциала хорошо известна. В последние годы трудами советских и зарубежных ученых, среди которых особая роль принадлежит К.С.Дег.шрчяну и В.Л.Чечурину, скалярный магнитный потепциал успешно использовался для расчета не только потенциальных, но и вихревых областей поля. Расширение этих возможностей основано на теореме разложения Гальмгольца Г., по .которой векторное поле _ , которое обла-

дает вихрями гс?1 и истокагли с1и) Г(г)-5 , всегда

может быть разложено на два поля

такие, которые удовлетворяют условию •гЛ Г,©)» О,

Нетрудно показать, что при использовании понятия намагниченности М в выражении — /- -»

векторное поле Н будет обладать истока:,га

Наличие вихрей следует из первого уравнения Максвелла. По (2.2) вектор напряженности магнитного поля Н может быть представлен в виде суммы потенциального Н< и солекоидального Нг

полей _ .. -

Н'Н^Н,. (2.4)

Ненулевая дивергенция (2.3) приводит к необходимости введения магнитных зарядов с объемной плотностью р и поверхностной плотностью <э : д/

$и>-Н —БиЖ '-¿/уг^Ло ,

( уАг - относительная магнитная проницаемость).

При ограничениях, накладываемых на функцию М7 и ее производную ^ЧУЗп. » первый член в (2.1) обращается в нуль и функция с учетом (2.5) пригашает вид

тч ' 4Т | 2 /|5г]Чо^ г

После введения понятий магнитных зарядов катушки с тока&ш могут быть заменены, так называемыми, магнитными оболочками, внутри и на поверхностях которых распределены заряды. Магнитные оболочки обнаруживают два примечательных свойства, которые играют особую роль при организации схем замещения магнитной цепи, составленной с учетом насыщения сердечников. Магнитный потенциал Ч5 в точке О- от тока произвольного контура с током I оказывается независящим от формы оболочки $ , натягиваемый на этот контур

и определяется только телесным углом , под которым виден контур и с током из точки 04Т

.Второе свойство очевидно после применения теоремы Стокса к выражению для магнитного потока, проходящего через поверхность $ магнитной оболочки, натянутой на замкнутый контур

Ф - аз-фд^,

¡5 3 -и ,

т.о. магнитный поток через произвольную поверхность р оказывается зависящим только от положения и формы.контура I* этой поверхности и имеет постоянное значение для всех поверхностей,опираться на этот контур. При малом сечении контура аналогичное утверждение может быть сформулировано и для потокосцепления &то-

ад.

го контура.

Магнитная оболочка представляет, собой либо двойной заряженный слой (при малом сечении контура), либо сочетание двух простых заряженных слоев (при конечном сечении контура). При прохождении двойного слоя скачком изменяется потенциал, при прохождении одинарного - нормальная к поверхности слоя составляющая напряженности поля. В случае размещения магнитных оболочек, опирающихся на катушки с током, в области воздушных промежутков между сердечниками магнитные потенциалы сердечников будут равны нулю (рис. I). Магнитное поле будет создано только распределенными поверхностными зарядами, эпюры и которых оказываются ориентированными по двум координатным осям. Очевидно, что при принятом на рис. I варианте сочленения вертикальной и горизонтальной частей оболочки, распределение поверхностного заряда должно быть организовано и вдоль линии стыковки этих частей.

При известной функции Грина О потенциал магнитного поля от воздействия тока контура I определяется как

• 3 л

где интеграл рассчитывается по поверхности £> оболочки, натягиваемой на контур. Результирующее поле системы N контуров будет V

(I Н

Для'контуров с конечным поперечным сечением, в котором витки распределены с плотностью , потенциал магнитного поля определяется как

По рассчитанным потенциалам определяются магнитные потоки, потокосцепления, магнитные проводимости для потоков и потокосцеп-лений. При равенстве нулю потенциалов ферротея требуется рассчитать только проводимости взаимоиндукции ферротел и контуров ( витков) - САЗ 6т и проводимости взаимоиндукции контуров (витков)

- [Л166 •

Граничные условия при замыкании магнитной оболочки через зазор

'¡пттттттттххпхохгатттт^—@

■Рис. I.

Развернутая схеиа. замещения фрагмента области магнитного поля , !

к: _

--

РИС. 2.

Обозначил вектор потокосцеплений контуров (вкгаов) "гроз V , а вектор магнитных потоков, входами в феррстела ~ Ф , лектор токов катупея - I . Система уравнений для расчета потоков :: потокосцеплений может быть записана как

¥ - [Д] 6Л ; ФЧЛ1ТЛ.

Матрицы [М это;: системы уравнений не включают в себя проводимости типа ферротело - ферротело, т.к. их потенциалы ра:?:-::/ между собой.

Разенство потенциалов ферротел диктует порядок спрздзло;п:я проводимостей между участкам: фзрротел, на которая разбиваются. их поверхности. Каждому участку ферротела поочередно предается единичный магнитный потенциал и при бесконечно;; мзге:гт::о;: прок::-цаемости ферроты рассчитываются каггаюане потеки и вычисляется проводимости между возбузденнкл участком и прочих камечоккь:.:;: участками (рис, 2), Расчет ведется любым доступна.: способом з автономном решаю, так что точность вычисления полей л прзводксс-тей может быть заложена сколь угодно высокой. Крггрые прозсдпмос-тей для участков 1-2, 2-3, 3-4 и т.п. определяются для различных взаимных положений сердечников мзнины. Часть рассчитанных проно-димостей обнаруживает сильную зависимость от смещения сердечников, другая часть - незначительную, третья группа лровэдлмосте;: монет оказаться незначительной величины, что позволяет пх пекке-чить из рассмотрения.

Равенство скалярных магнитных потенппалоз сердачк::::ов приводит к, так называемым, особым ггакичн;?.? услогдям (ОТ/), при которых контуры с током обнаруживают специфическое свойство совладения ЛЕГЯЛТЯОЙ проводимости для полного потока, созданного контуром с током и проходящего через произвольную поверхность, размещенную в зазоре ЗМ, с магнитной проводимостью для похокосцоп-ления контура при униполярном намагничивании. Зто фундаментальное свойство контура с током относится к любому контуру, а не только к зубцовому, т.е. охватывающему один зубец. Разбиение поверхностей магнитных сердечников ЗМ на участки, в сущности, готовит все внутреннее пространство ЗМ к будущей дискретизации, предетавсеяли в виде совокупности дискретных элементов, выявлению: по конволю-ционнш принципам.

'Магнитные проводимости между выбранными участками рассчиты-

Баются как аналитическими методами, среди которых наиболее используем ..;згод конформных преобразований, так и с помощью Ш? и МКЭ. При большом числе вэрипн конформно преобразуемой зоны расчета применяется численно-аналитический, поиск координат вершин. Программы рзсчэтз составлены для всех методов; с успехом используется и , приближенный аналитический метод, дающий вполне удовлетворительные результаты. •

Равенство скалярных потенциалов сердечников приводит к благоприятному следствию, дополнительно понижающему размерность модели магнитного поля ЗМ. Область магнитного поля от возбужденного произвольного участка поверхности оказывается сильно локализованной в зоне самого участка и не распространяется на всю внутреннюю область ЭМ. Магнитное поле от возбужденной коронки зубца, например, обычно не распространяется более чем на 1*1,5 зубцовых деления в обе стороны от коронки.

В главе третьей изложены способы формирования схем замещения магнитного поля ЗМ на основе приемов, изложенных в предыдущей главе. Ввиду того, что в схему замещения магнитного поля должны быть включены и источники поля - НДС обмоток, то схема замещения названа эквивалентной расчетной схемой замещения - ЗРСЗ. Она позволяет связать между собой магнитные потоки сердечников и воздушных промежутков с потокосцеплениями обмоток ЗМ. Для расчета ЭРСЗ, представляющую собой цепную схему с сосредоточенными источниками поля, удобно применять теорию цепей, узловые и контурные методы, хорошо развитые и оснащенные эффективными приемами и программным обеспечением. ,

Непланарность расчетной схемы магнитного поля (рис. 2) дает • некоторые преимущества чисто узловым методам, при использовании которых приходится оперировать с легко обозримыми реально существующимя величинами : потенциалами узлов и потоками (токами) ветвей. Эти методы отличаются наиболее простой для машинной реализации процедурой формирования уравнений. Свойства узловых уравнений обеспечивают высокую'сходимость численных методов решения на ЭВМ; -математический аппарат узловых методов компактен и с равным успехом используется для электрических и магнитных цепей. При использовании узлового метода симметрические матрицы коэффициентов имеют положительные диагональные элементы, в то же время внедиагона-льные элементы матриц являются отрицательными или равными нулю. Спектр таких матриц является вещественным положительным, что га-

рантирует сходимость наиболее распространенных игерзцно.'пчх :.:ето-дов счета.

Схемы с сосредоточенными элементами могут быть океаны топо-лопгеескимй методами. Полное описание должно содержать пя^сркспав;

- способ соединения ветвей, т.е. участков схемы, ограниченных двумя узлами;

- источники поля в виде источников МДС или потоков, з:гаочае-мых в узлы или ветви;

- характеристики проводкмостей ветвей, линейные или неллкзй-ные, зависящие от протекающих потоков, приложенных МДС пли магнитных напряжений.

Способ соединения ветвей описывается наиболее просто в :.гат-ричной форме. В бэтбя:-: гтййа схемы задаются положительные га правления, все узлы и ветви нумеруются. Граф с указаняи-.а положктздь-ными шправленигл называется направленным. Для направленного графа вся информация о его структуре представляется матрицей ик-циденция ÇA! , типа "узел-ветвь". Катрпца кнцидз::цкп графа с Т узлами и Р ветвями имеет порядок Т*Р .В î,sa:rp;aie [AI без потери информации монет быть вычеркнута любая строга, тогда гатрииз с (Т-1) числом строк (узлов) становится редуцированной ?.г,?рп-цей. Уравнения с полной матрицей инциденте: не является лпиэГ'ло -независимыми. Для обеспечения пх линейной независимости з дальнейшем будет использоваться редуцированная матрица пкщгдздсгл.что будет соответствовать "занулению" потенциала одного из узлов ЭРСЗ.

Размещение источников поля - НДС в затеях ЭРСЗ определяется формами магнитных оболочек, условно натягиваемых на катузкк реальные обмоток, размещенных в пазах сердечников SM. В зависимости от форм оболочек расположение источников МДС, soc значение и ориентация будут различными. Общгл остается правило определения псссчки-ка МДС в произвольной ветви ЭРСЗ. Магнитная оболочка с номером

, т.е. двойной заряженный слой, пересекая любую К-ю езтзь ЭРСЗ, создает скачок магнитного потенциала в этой ветви, равный ЮТ £ j оболочки. Этот скачок скалярного потенциала воспроизводится включением в пересекаемую оболочкой ветвь ЭРСЗ источника НДС , равной МДС катушки, на которую натягивается оболоч-

ка. Различные способы формирования оболочек соответствуют разим вариантам замыкания лобовых частей проводов катушек, размещаемых в пазах. В случае замыкания проводов соседних пазов образуются, так называемые зубцовые контуры, которые иногда совпадают с конту-

рами реальных катушек. На ркс. 3 показано сечете управляемого реактивного двигателя (УРД) с числом зубцов статора Z\ =8 и зубаоз ротора Zz =6. Катушки 4-х фазной системы размещены сос-редоточедно на каждом зубце статора. Аналогичную обмотку тлел статор высоковольтного гидрогенератора мощностью 14,5 МВт, нап-ряг.онпе:.". НО кВ. -Схема замещения УРД по рис. 3 с нумерованными узлами (обведена кружками) и ветвюи дана на рис. 4. Схема включает в себя 28 узлов и 56 ветвей. Проводимости Ад , отмеченные двумя параллельными черточкам, являются линейными, они зависят от угла cL взаимного положения зубцов ротора и статора (рис.5).

При выбранной на рис. 4 концентрической системы нумерации узлов и зствей матрица акциденции [А~] ЭРСЗ в блочном виде приобретает упорядоченную форму (рис. 6), где матрицы LDl излом разностни: характер, а гатрицы ti] - единичные диагональные. Матрица представляет собой матрицу связей проводи-

мостей в зоне зазора.

Нелинейные проводимости ферромагнитных участков сердечников рассчитываются для выбранных в них направлений магнитных потоков. Число элементов, приходящихся на один зубец, желательно выбирать на один больше, чем число слоев обмоток в пазах, тогда потоко-сцешгенпя рассеяния'воспроизводятся с ошибкой не более 5%. На рис. 7 показан фрагмент графа 3PD3 насыщенной 3;1, зона зубцов которой разделена на 3 пояса. В пазах одного из сердечников(статора) размещена двухслойная обмотка. В общем случае провода обмотки в одном пазу могут принадлежать различным электрическим ветвям, по которьг.: протекают разные токи - и (рис. 8).

Вотвь AiB-t включает в себя проводимость рассеяния шли-

цевой части паза (в зоне высоты (рис. 8) и зазоре 5" )•

Ветвь Аг&г. воспроизводит проводимость для потока рас-

сеяния на высоте верхнего слоя обмотки. Ветвь А^Б^- про-

водимость A¿i дяя потока рассеяния на высоте fl£, нижнего слоя. Ветвь А4Аг. (или &t&¿. ) включает в себя нелинейную проводимость зоны зубца" на высоте + К и ¡2- . АгАь (пли * 1 - на высоте hvjl* hijz , А5А4 ( ЪъЪи ) -

на высоте Kl/2z •

Магнитные оболочки, натянутые на витки катушек,размещенных в пазах, пересекают ветви ЭРСЗ, создавая в них скачки скалярного потенциала. Оорлируя магнитные оболочки на рис. 8 так, чтобы они пересекали яргловую зону сердечника статора, получаем ЫДС ветвей

- 25 -

Поперечное сечение управляемого реактивного двигателя (УРД)

Схема замещения УРД с 2t-8, Z2 =6

'Рис. 6,

Кривая проводимое::: взав-иоиндувцпк зубцоаого контура

'Эрапгент града магнитной цепи насыщенной электрической и _л;:ны

пи

" Рис. 7.

Фрагмент схеиы магнитной цепи насыщенной электрической машины с МДС; выраженными через токи пазов

к,п Рис. 8

ЭРСЗ (рис. 8), явяяадяеся суаалоК еэтзой элсктричсс-

кой схемы обмоток ЭМ; Из сравнения рис.8 и 9 епдно, что в ветьяк ЭРСЗ должны быть размещены НДС, которые являются произведете:,! тока контура, образующего магнитную оболочку,на число витков, заключенное между ветвью ЭРСЗ и шлицэвой зоной паза. Так.кэ рис.8 очевидно, что магнитные оболочки, охватывающие ярмо, вообще нз пересекают ветвь , поэтому сухарная этой ветви разза

нулю. Оболочки частично охватывают ветви Аа&г. и Аэ&з п полностью охватывают ветвь А^ЁП . Поэтому з зотвл Аг&а действует МДЗ, равная полному току в контуре АаЬгВд , т.е.

= = Ю* •

В ветви Аь действует равная полное току б контуре А, » т.е.

(знак числа витков катушки принят обратным). , В ветви А4 размещена НДС, равная полног.у току з контурэ

ВЕедя понятие вектора МДС ветвей ЗРСЗ ^ вектора токов ветвей электрической цепи . ^

Ц-Ск^Ц^.-.-ид.-..ид] ,

можно установить их взаимную связь через мзтгщгу пресбсзпов-эм'тя токов ветвей электрической цепи в ЦЦС ЗРСЗ - {у«7]

Матрица имеет число столбцов, равное 0- - числу вет-

вей электрической цепи и число строк, равное Р - чтояу ветвей ЭРСЗ. Элементом это!: матрицы, расположенном в К-й строке и в ^ -м столбце, является число \*Эк , равное количеству витков с током 1е>4 » охватывающих К-ю ветвь ЗРСЗ (рис. £ и рис. 10. С целью упрощения в матрице на рис. 10 заполнена только эль-мантн на пересечении строк с номерами I, К-2, К-1, К, 11+1 и Р и столбцов + 1 и О. , соответствующие фрагменту рис. 9).

Ветви ЭРСЗ имеют проводимости- трех видов: постоянные; переменные, зависящее от магнитного потока каждой ветви, т.е.

Лккг^(Фк) ; переменные, зависящие от угла поворота ротора оС , т.е. АКК-{С^) • Диагональная матрица проводимое-

К расчету Магниткой цепи насыщенной электрической машины методой узловых потенциалов

Рис. 9.

Матрица преобразования токов ветвей электрической цепи в МДЗ ветвей ЗРСЗ цепи

НонеРЛ ве1йсм" элег.т Рм"1ес1:ои" «,сИ1|

-1 л с) "И 0-

II 0 и е г Л в е т В е, II Э Р С 3 "Я*

*

к-а 4-2,1 0 0

к-1 1 0 ''к-1,0

,к «К -Ч/а

кч

р

Рис. 10.

тей ветвей имеет порядок Р*Р и монет бить обозначена

СЛ(ФД)] .

Система уравнений для ветвей ЗРСЗ, составленная по псрзому и второму закону Кирхгофа для магнитных цепей, монет бить представлена одним-уравнением

[А][Л(ФДНШ1Т Ч^ЗиИ, (зд)

где Ф_- вектор магнитных потоков ветвей ЗРСЗ, егс размерность Р , ^ - вектор узловых магнитных потенциалов, пазмэркость

(Т-1 ),

"9" - символ композиции; выражение справа от него рэс-сщтривается как аргумент функции, находящейся слева от этого . символа.

Матричное уравнение (3.1) представляет собой спстег.у из (Т-1 ) нелинейных алгебраических уравнений, которая может бь:?ъ решена обычными методами относительно неизвестных потенциалов узлов, по которым рассчитывается вектор магнитных потоков ветвей. По магнитным потокам определяется потокосцепления ветвей электрической цепи те> с помощьэ той не матрицы , которая использовалась для перехода от токов ветвей электрической цепи к ВДС ветвей ЗРСЗ, г, ,-,1Х

Таким образом, матрица позволяет определить потско-

сцепления ветвей обмоток ЗЛ для магнитного поля, воспроизводящего потокосцепления полного поля с учетом дипаерештального :г пазового рассеяния. Эта матрица, в сущности?осуществляет присвоение каждой ветви ЭРСЗ некоторых чисел, равных числа:.; зхткоз той 1-ти иной ветва электрической цепи, сцепленной с этой нетою ЗРСЗ; она осуществляет связь мезду шгнитншш и алек?рзческгсс-1 величинами.

Тйава четвертая посвящена изложеапо особенностей пелнзл. математических моделей £М, составленных на основе универсального метода. Под универсальным методом понимается комплекс разработок, позволяющих сформировать модель, одновременно на едино-Г: масематп-ческой базе воспроизводить магнитные и электрические явления и быть пригодной для ЗМ самых различных конструкций. Единственным условием при этом выдвигается наличие зубчатых сердечников.

Дм описания величин в электрических цепях используются, аналогично магнитным цепям, узловые представления - вектор потей-

(4.1)

циалов электрической схемы - ^э • Структура электрической схемы1, вкл.ь/ащей обмотки, описывается матрицей электрической схемы

Уравнения, описывайте магнитные поля в ЭМ и процессы в ее электрической цепи, компонуются в единую систему:

[А]ф = 0 Ф-ЩФД^о^АЙП^Нб);

[А,Ги-0.

В приведенной системе из' 5-ти уравнений присутствует 5 неизвестных векторов: магнитных потенциалов узлов ЭРСЗ- ^ ; магнитных потоков - ф ; потокосцеплений_регвей обмоток ЭМ -

, токов ветвей электрической цепи - Ьь , потенциалов узлов электрической цепи - . Известными считаются матрицы ин-циденщи ЭРСЗ - [Д1> » электрической цепи - [Дэ1 , матрицы магнитных проводимостей ветвей ЭРСЗ - и активных сопро-

тивлений ветвей электрической цепи - , матрица структуры

обмоток. Считается, что в электрической цепи действует вектор Сс сторонних ЭДС, который может быть заменен на вектор источников сторонних напряжений Ц^ , Лобовое рассеяние обмоток ЭМ воспроизводится известным вектором ЭДС лобового рассеяния -

£т , который может быть определен и через индуктивности лобового рассеяния С^т^ '

ёт=~[Ц] -¡¡¡£ Ц -16

Б определенном смысле система (4.1) является дискретным аналогом уравнений Максвелла для магнитных явлений и процессов .в электрических цепях, включающих обмотки ЭМ.

Для описания движения ротора к (4.1) следует добавить уравнение механического равновесия моментов

3

(4.2)

где М - электромагнитный момент, Мс - сутлма сторонних моментов, 3 - момент инерции вращающихся частей агрегата. Уравнение для угла d. , характеризующего сдвиг ротора по отнозс-вга к статору - Я

oL=olo*J ; Q-SVjVir)«.

о

Электромагнитный момент М по данным расчета ЗРСЗ находится по предварительно рассчитанным значениям производной проводаюстэй воздушных пространств по углу' поворота

М=- Т ил lJA , ' (4.4)

где . Цд_ - ве;.^ор напряжений на "воздушных" ветвях ЭРСЗ, определяемый после расчета потенциалов Ч5 ЗРСЗ

tAltvf + [w]lb • (4.5)

Уравнения (4.1) + (4.5) представляют собой полную систему уравнений ЭМ, описывающей процессы электрического, механического и магнитного равновесия с учетом любых нелинейностеи магнитного или электрического характера. В системе (4.1) перзсе ж последнее уравнения представляют выражения первого закона Кирхгофа для магнитных и электрических цепей, второе и четвертое - второго закона Кирхгофа для тех же цепей. Обе пары связаны третьим уравнением, где матрица структуры [\Ч] имеет тот же смысл, что к ранее упомянутая матрица рассеяния [$] .

Для линейных или линеаризованных случаев система (4.1) упрощается до значений нкдуктивностей обмоток ЗМ в линейном и линеаризованном варианте.

При решении системы уравнений," описывающих распределение магнитных потоков в ЭРСЗ, преобразуем первые два уравнения з следующую форму + _ — ,

[АКЛ(Ф,о1)МСАГЧ> +Cw]t6)=0

и воспользуемся К-мерным методом Ньютона-Рафсона. Вектор потенциалов Ц3 на (Д-И)-й итерации определится из уже вычислеп-ного вектора этих потенциалов на 2 итерации

fH. Ц)Ф-(СА1 [ЛЬ [А]1)* • [А1[Л(Ф(^)]о([А]^Ф+

где ЕАз ] - матрица дифференциальных проводимостей ветвей ЭРСЗ ка ^ -и итерации. Для линейных ветвей элементы матрицы СЛзТ совпадают с соответствующими элементами матрицы [Д1 . Из последнего выражения видно, что определение якобиана не требует никаких дополнительных сведений о ЗРСЗ по сравнению с использованными ранее тялрпцзмя. По правдам, применяем»! для узлового метода, якобиан [Л!1 может быть построен и без применения в язном шде матрицы шциденции.

Полная схема расчета - ЗРСЗ 31 включает в себя полное число пар полюсов. 3 ряде случаев, когда допустимо предположение о повторяемости магнитной и электрической структуры ЭМ, возможно моделирование на двух или даже одном полюсном делении. На рис. II показана ЗРСЗ на протяжении деух полюсных делений явнополюсной синхронной машины, составленная по принципам универсального метода. Точки а 4- з для левой и правой частей ЭРСЗ являются обшими. Для симметричного варианта ЗРСЗ рис. II можно сократить до одного полюсного деления, отделив половину ЗРСЗ рис. II по любой линии на протяжении одного полюсного деления. Точки ЗРСЗ, сдвинутые друг относительно друга на одно полюсное деление, должны быть "сшиты" с помошью конверторов инверсии потока, обеспечивающих одинаковы:'! знак потоков на границах ЭРСЗ

ф(зс) = ФО+Т).

Универсальный метод тлеет наибольшие преимущества перед традиционными способами расчета при анализе несимметричных в магнитном и■электрическом аспектах ЭМ, расчете несимметричных коротких замыканий, переходных процессов, анализе режимов питания ЭМ от полупроводниковых преобразователей, когда трудно обеспечить симметрию питающих токов и напряжений. При этом возможно исследование магнитной цепи как с учетом ее нелинейностей, так и в линейном варианте, когда осуществляется переход к понятиям параметров несимметричных электрических цепей, но рассчитанных на основе расчета магнитного поля, с учетом поворота ротора и т.д. Такой подход использован при исследовании асинхронизированных синхронных машин (АСМ) в режимах внутренних коротких замыканий, для которых фактически отсутствуют расчетные формулы. Этот же метод был принят для оптимизации схем обмоток однофазных асинхронных двигателей без пусковых элементов. Исследован процесс пуска асинхронных двигателей при обрыве произвольного числа стержней ротора, исследовались добавочные моменты однофазных конденсаторных асинхронных двигателей и т.п.

3 глава пятой отражены результаты исследования с помощью унг.вьреального метода таких ЭМ, которые имеют сильно выраженную зубчатость. К подобным ЭгЛ неправомерно применять понятия вращающегося магнитного поля, основной гармонической МДС, постоянных индуктивных параметров обмоток, тем более что в этих ЭМ нередко значительное насыщение. Еесинусоидальность токов и напряжений их обмоток вызываем необходимость также и совместного рассмотрения работы ГА и сопряженного с ней преобразователя с целью более эффективной оптимизации установки в целом. Числа зубцов статора и ротора БВГС номинальным напряжением 110 кВ близки между собой ( =42, 2 р =36). В управляемых реактивных двигателях (УРД) наблюдаются подобные соотношения ( ^'/^г » ^/10 и т.д.).

для такого типа 31.1 наиболее удобно проводить анализ с помощью мгновенных значений токов и напряжений, получаемых после преобразователя частоты, представляющего собой полупроводниковый ключ. Использование управляемого режима пита-

ния УРД привело к заметному повышению технико-экономических показателей установок регулируемого привода. Серийно выпускаются УРД с высотой оси вращения до 250 мм. Стоимость УРД ниже, чем у АД на 5*20£, итоговый КПД выше, чем у АД с преобразователем частоты.

Работают УРД при заметных насыщениях, особенно локального характера; максимум тока в катушках статора достигается в момент сближения зубцов статора и ротора. Эти особенности ре- .

жима приводят к необходимости использования для расчета ЭРСЗ (рис. •1) с детальным рассмотрением магнитного поля в области коронок зубцов. Разработаны приемы, позволяющее учитывать искривление магнитных силовых линий в зонах коронок зубцов при значительных углах м&жду зубцами ротора и статора. Система уравнений УРД,подобная (4.1), была решена при постоянной частоте вращения с помощью подпрограммы нахождения корней нелинейной системы уравнений 22>У5ТМ в векторной форма с .использованием - факторизации по алгоритму Краута.' При аппроксимации магнитных проводимостей ■ ЭРСЗ использовалась бикубичная онлайновая интерполяция подпрограммой 1Ш£и

Анализ УРД проводился по моделям чотырох уровней:

- с воспроизведением полного шгнитного поля;

- в предположении автономной работы фазы по характеристикам намагничивания УРД для разных углов поворота ротора;

- при переменном значении индуктивности фазы, зависящей от на-

сыщения и угла поворота;

- при постоянной индуктивности фззн.

Для всех перечисленных случаев решалась задача тока статора при подаче прямоугольного 1:гпр;!же::;:я лр:: рао-

ншс увдах включения. Исследования показала, что неучгт сзапгг'згч) влияния газ вносит погреиность в расчеты на уровне 1С-15;'.'.

Важным вопросом анализа УРД и ВВГС является озрз^а-с^з электромагнитных сил, дейстзузоорх на зубцы з условиях глубокого насыщения. Магнитные поля рассчитывались с помощью ГЛК? " силы определялись по вахяавяяям, экспериментальная ярозаркэ осуществлялась тэвзометрарованием на физической ¡логели БЗГС стью 300 кВт. Расчеты показала возможность асподьзоззккя аналитических выражений для насыщенны;': магнитных палей.

С использованием идей етнеаряззааи гапвшяк енотам 7?Л Разработана приближенная методика расчета токов и моментов У?;*.

В главе шестой списан новый вид моделей, органцзсганакх по универсальному методу, но пренебрегается ззап.жнм перемещение:: зубчатых сердечников. Это предположение возможно для 3:.1 с нэ слгг-ком сильной зубчатостью, что может быть уетаноалено при анализе линейного варианта ш по изиененлян индуктивностей ветгей об:.:оток при перемещении ротора. "Останов" ротора при воспроизведен:!:! зубчатости сердечников существенно сокращает время счета. Так, на расчет одного режима работы гидрогенератора ва ЭШ ЕС-IСо5 затрачивается от 20 до 40 с. процессорного времен-:; рэшешю сходится' за 8-12 итераций даже при довольно знсоких числах обусловленности матрицы Якоба.

Объем выделяемой процессором оперативной памяти для ЗРСЗ с 73 узлами и 175 ветвями - 192 КБайт.

При взаимно неподвижных сердечниках отпадает необходимость расчета потокосцегшений обмоток для разных углов сузщзпгя с ::сс-ледующим дифференцированием с целью определения ЭДС. Здесь удобнее воспользоваться понятием изображающего вектора потскосцояяе-ния V , модуль которого рассчитывается по известным сооткоие-ниям представлений 31,1 в продольно-поперечных осях ротора

где Уо. , V?, . V«; - потокосцепления фаз трехфазной обмотка статора, У А и - проекции изображающего вектора V на оси ротора.

На ЭРСЗ можно непосредственно получить потокосцепления Ч^ и

, "расщепляя" матрицу [\Vl на две составляющие ее перемножением на Ьт^гТГ И eos ЦгТ , где ОС - текущая координата паз.ч адоль поверхности статора. При дальнейшей обработке результатов расчета поля можно пользоваться приемами, развиты-, ш при анализе уравнений Парка-Горева.

В проекциях на оси ротора легче осуществляется моделирование установившихся режимов синхронных машин. При анализе режимов асинхронных машин математические модели организуются также в осях ротора и токи статора имеют частоту скольжения.

С помощью универсального метода были рассчитаны самые различные ЭМ и их элементы. Характеристики установившихся режимов определялись для турбогенераторов мощностью от 100 до 800 МВт (23 режима); сопоставлялись опытные данные с расчетными по универсальному методу и по 'диаграмме Потье. Рассчитывались регулировочные, U - образные и другие характеристики.

Установившиеся режимы рассчитывались для синхронных явнопо-люсных машин - гидрогенераторов Красноярской ГЭС и для ВВГС ГЭС "Сходня". Рассчитывались токи демпферной обмотки ВВГС дал режимов холостого хода и нагрузки. В подавляющем большинстве случаев универсальный метод продемонстрировал высокую точность и надежность.

Многократно универсальный метод использовался для анализа особых рехшмов и специальных машин переменного и постоянного тока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен универсальный метод расчета магнитных полей и процессов электрических машин, позволяющий учесть насыщение сердечников, любого вида электрическую несимметрию, несинусоидальность токов и напряжений, взаимное перемещение зубчатых сердечников.

2. Представлена система организации модели магнитного поля электрической машины, основанная на принципах декомпозиции и кон-волюции, дана расширенная трактовка метода проводимостей зубцовых контуров, позволяющая снять ряд его ограничений.

3. Разработана система размещения источников в модели магнитного поля, основанная на понятии магнитных оболочек контуров обмоток, позволяющая свободно менять расположение источников поля в ветвях магнитной схемы замещения. В модели воспроизводится схема реальной обмотки, использовать понятия пространственных гармонических МДС не приходится.

4. На основе узлового метода составлена система урозеекзй для расчета магнитных потоков в элемента;-; серккчкякол :: ::зз.мутных промеаутков между икш. Прадегавяевк алторагд: о::рс«олу::::я элементов магнитных схем замещения, даны способа оргз:;::г.эи;::1 матриц, описывающих структуру модели.

5. Для обеспечения связи аегду кзтгшзкя и элок:";;;"ес:;::-.а явленияш в- обмотках предложена новая .матрица структура сбмстох, число столбцов которой разно числу вэтвэй электрической схстп: га-шины, а число строк - числу ветвей магнитной схема змзцо^:.?. Разработана эквивалентная расчетная схема замеакнпй электричсско:: машины, позволяющая составить едзнув систему уразнвнлй да: здохс-риче'ских и магнитных явлений. Решение системы уревазйпй прозодпт-ся в мгновенных значениях ветвей электрической схемы. 2оспро::зэо-дится полное дзагнитное поле г.лкпны, вклкчакшз потокосцепленпя пазового и дифференциального рассеяния.

6. Для электрических машин, магнитное пелз з зазоре когеркх при перемещении зубцового-ротора изменяется не слишком сильно, разработан новый тип математических моделей, испсльзу:-х?1х проегади: электрические и г.агнитных величин на оси ротора. В этих моделях воспроизводится совокупное поле машины с допущение:.: об отсутствии влияния на дифференциальное рассеяние вращения зубчатого ротора, само же дифференциальное рассеяш!е (тек же, как и пазовое) воспроизводится. Вычислительное время в таких юдолях сокращается более, чем на порядок. При определении статических характеристик не приходится дифференцировать кривую изменения потокооцешхендя обмоток для нахождения их ЭДС.

7. На примере исследования управляемого реактивного дз;1тетоля описан многоуровневый подход к математическому моделированию электрических машин. Изложены особенности расчета венти-льпкх реактивных машин. Составлены программы расчета, рассчитаны л экспериментально исследованы электромагнитные сила, действующее между сердечниками с близким числом зубцов.

Универсальный метод использован для проектирования й усовершенствования узлов высоковольтного гидрогенератора на НО кВ, управляемых реактивных двигателей, асинхронных двигателей с порзмел-ной шириной полюсных наконечников, подшипниковых узлов погружных асинхронных двигателей. Он применялся для расчетов турбо- и гидрогенераторов различных мощностей.

Метод широко использовался в научных работах многих исследо-

вателей, свидетельство его эффективного применения содержится более в двадцати кандидатских диссертациях.

Данная работа представляет собой теоретическое обобщение и дальнейшее развитие универсального метода расчета магнитных полей и процессов в машинах, он является основой создания матештических моделей электрических машин, пригодных для анализа практически любых их конструкций с учетом насыщения, наведенных токов, вращения зубчатых сердзчников. При использовании универсального метода не пржодится эводить понятия индуктивных параметров, пространственных и временных гармонических, он оперирует только с естественными величинами.

Эффективность и точность метода доказана различными исследователями при решении разнообразных задач.

Основные работы, опубликованные по тема диссертации:

1. Универсальный метод расчета электромагнитных процессов в электрических г.кпинах./А.В.Иванов-Смолекский, Ю.В.Абрвмкия, А.И. Власов, В.А.Кузнецов; под ред. А.В.Иванова-Смоленского. - М.: Знергоатомиздат, 1986. - 215с.

2. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А. .Применение метода магнитных зарядов к расчету индуктивных параметров контуров электрических машин.//Электричество. - 1977. - itt. - С.20-25.

3. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А., Хвостов В.А. Применение метода проводимостей зубцовых контуров к расчету магнитного паяя й потокосцеплений насыщенной электрической машияы с учетом двухсторонней зубчатости сердечников. //Изв.ВУЗов, Электромеханика. - 1977. - №7. - С.771-783.

4. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А. Методы расчета магнитных полей. 4,1.: МЭИ. 1979. - 72с.

5. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А. Математическое и физическое моделирование электромагнитных полей и процессов в электрических машинах. -М.:МЭИ. 1979. - 82с.

6. Кузнецов В.А. Физическое и математическое моделирование электрических машин. Т.З.Сер. Электрические машины п трансформаторы. -М.: ШШШ1, 1981. -104с.

7. Кузнецов В.А. Исследование статических характеристик синхронной явногюлюсной машины с помощью сеточной модели. //Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт. - 1969. - Iii. - С. 152-157.

8. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А. Определений нгцуктпвкого сопротивления пазового рассеяния на основе метода провздп'ос-тей зубцовых контуров. //Электричество. - ISS6. - .'.'-З. - С.54--56.

9. Кузнецов В.А., Аль-Бэрбарави О.М. Расчет коэффициентов зубчатости больших воздушных зазоров. //Изв. АН СССР Энергетика и транспорт. - 1986. - Гб. - С.53-60.

10. Иванов-Смоленский A.B., Абрамкин й.В,, Власоз А.И., Кузнецов В.А. Расчет магнитного поля и параметров в системе ферротел и контуров с токами. - М. :МЭИ. IS86. - 111с.

11. Математическое описание электромагнитного поля в электрических машинах и расчет магнитного поля в зазоре с .учетом двухсторонней зубчатости. /Ю.В.Абрзмкин, А.В.Иванов-Смоленсянй, З.А.Кузнецов, М.А.Аванесов. - М. :МЭИ, 1984 - 70 с.

12. ИваноЕ-Смол^ чский А.З., Власов А.И., Кузнецов В.А., Родьхп.4 В.М. Расчет магнитной цепи турбогенератора методом прозодпмос-тей зубцовых контуров. //Электротехника. - ISS3. - .48. - С. II--13.

13. Иванов-Смоленский A.B., Етасов А.И., Кузнецов В.А.,Мартынов В.А. Расчет дифференциального рассеяния обмотки якоря язкопо-люсной синхронной машины. //Электричество. 1983. - .'.:3. -С.31--38.

14. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А. Математическое моделирование переходных процессов синхронной явнополюской машины с учетом нелинейных свойств ее магнитной системы. //Изв.АН СССР, Энергетика и транспорт. - 1967. - Л6. -С.

15. Дулькин А.И., Кузнецов В.А. Методы расчета демпферной обмотки высоковольтного гкдрогенератора//Тр.МЗИ, вкл.78, IS7I. - С.77--89.

16. Иванов-Смоленский A.B., Дулькин А.И., Кузнецов З.А., Смирнов -В.И. Расчет токов в демпферной обмотке синхронного генератора

в режиме холостого хода с учетом изменения собственной индуктивности контуров. //Электричество. - 1973. - .49. - С.20-25.

17. Кузнецов В.А. Расчет потерь в высоковольтном гидрогенераторе //Тр.МЭИ, вып.78, 1971. - C.II0-II9.

18. Дулькин А.И., Кузнецов В.А., Тамоян Г.С. Механические усилия, действующие на статор высоковольтного гидрогенератора//Тр.МЭИ, вып. 78, 1971. - C.IQ0-II0.

19. Кузнецов В.А., Лазарев А.Г. Исследование механических напряжений в магнитном клинэ.//Электротехника, -1986. - JS7. - С.38-41.

20. 3.Л.Кузнецов. Анализ формул для определения электромагнитных с.1л с позиций теор:ш подобия. //Электричество. - 1988. -KII.-

- С.77-82.

21. Кузнецоз З.А., Морозкин В.П., Токарев С.Б. К расчету магнитной цепи машины постоянного тока. //Электротехника. - 1989. -

- 115. - С.2-5.

22. йззнсв-Смолекскпй A.B., Кузнецов В.А., Аванесов М.А., Марты-ноз В.А. Расчет гармоник индукции поля зубцового контура при односторонней зубчатости, //ыажвуз.сб.научн.тр. - Иваново, 1981.

23. Иванов-Смоленский A.B., Абрамкин Ю.В., Власов А.И., Кузнецов ВсА. Расчет электромагнитных процессов в электрических машинах методом прозодимостей зубцовых контуров. //Сб.Выч.техн. и моделир. в энерг. - Киев.: Наукова Думка. - 1984. - С.149-168.

24. Иванов-Смоленский A.B., Абрамкин Ю.В., Власов А.И., 1фзнецов В.А. Универсальный метод расчета электромагнитных процессов

в электрических машинах. //Сб.Динамика эл.маш. - Омск. - 1985,- С.4-15.

25. Кузнецов В.А., Аль-Барбарави О М. Расчет коэффициентов зубчатости при относительно больших воздушных зазорах. /ДЗежвуз. сб. "Динам.реж.раб. и парам.эл.машин. - М.: МЭИ. - 1985. -

- j;73. - С.40-48.

26. Кузнецов В.А., Дмитриев В.М. Применение метода проводимостей зубцовых контуров дгся расчета токов в демпферной обмотке высоковольтного гидрогенератора //Тр.ЫЭИ, вып. 352. - 1978. -

" -C.II0-II4.

27. Кузнецов В.А., Дмитриев В.М. Схема замещения магнитной цепи высоковольтного гидрогенератора при расчете методом проводимостей зубцовых контуров. //Тр.МЭИ, вып. 4I0.-I979. -С.32-36.

28. Морозова Ю.А., Кузнецов В.А., Федотов А.И. Дифференциальные уравнения синхронной машины, с использованием энергии третьей гармоники для возбуждения. /Др.МЭН, № 346, - 1977. - С.9-12.

.29. Кузнецов В.А., Хвостов В.А. Расчет поля рассеяния полюсов мощных гидрогенераторов на ЦК.1. //Тр.МЭИ, Я 287. - 1976. --С.73-77.

30. Иванов-Смоленский A.B., Кузнецов В.А., Говгаленко В.П., Галкин А.К. Разработка математической модели асинхронизированной синхронной машины (АСМ) для исследования несимметричных и аварийных режимов работы.//Тр.МЭЙ, Ш! 20. -1987. - С.55-62.

11..ДП11..Ч11 К ...............Л-

lit" .1 ¿Г f'UMA J.tk.ll ^

I И'141 p.uj'itII Vi'MI К р. ¡1').., 1ч, ....... I)