автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях

На правах рукописи

ГРАФСКИЙ ОЛЕГ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ТЕОРЕТИКО-КОНСТРУКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯХ

Специальность 05.01.01 Инженерная геометрия и компьютерная графика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре «Прикладная геометрия» Московского авиационного института (Государственный технический университет).

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

ИВАНОВ Геннадий Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

ТУЗОВ Александр Дмитриевич

доктор технических наук, профессор ВОЛКОВ Юрий Степанович

доктор технических наук, доцент КАЛИНИН Виктор Александрович

Ведущая организация: Тульский государственный

университет (300600, г. Тула, проспект Ленина, 92)

Защита состоится «_»_2004 г. в_часов на

заседании диссертационного совета Д 212. 125. 13 при Московском авиационном институте (Государственный технический университет) по адресу: Москва, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ

Отзывы на автореферат в одном экземпляре, заверенные гербовой печатью, просим присылать по адресу: 125993, Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, 4, МАИ, отдел Ученого секретаря.

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.В. Маркин

2,005"- Ч

#¥•#6 53

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Начертательная геометрия, постоянно совершенствуясь в образовательном и прикладном аспектах, до сих пор не имеет общеупотребительных способов решения задач с участием мнимых элементов (МЭ). Анализ показывает, что у ряда геометрических задач графическое решение находится не в полном соответствии с аналитическим из-за проблемы изображения на чертеже МЭ.

В начертательной геометрии указанная проблема, прежде всего, относится к задачам на взаимное пересечение алгебраических поверхностей. Здесь имеют место случаи несоответствия полученного построения на чертеже либо теореме Безу, либо сути других теорем, на основе которых решаются указанные задачи. Такое обстоятельство явилось одной из причин отказа от чтения лекций по совместному курсу аналитической и начертательной геометрии в вузах, хотя еще Г. Монж отмечал: «Следует пожелать, чтобы обе эти науки изучались вместе: начертательная геометрия внесла бы присущую ей наглядность в наиболее сложные аналитические операции, а анализ, в свою очередь, внес бы в геометрию свойственную ему общность». Поэтому одной из главных проблем в параллельном изучении графических и аналитических способов решения геометрических задач является обучение студентов изображению на поле чертежа как действительных, так и МЭ, что равносильно приведению в полное соответствие графических построений аналитическим решениям. Это было бы и более эффективно при изучении студентами других фундаментальных и специальных дисциплин, поскольку рассматриваемая проблема не ограничивается преподаванием начертательной геометрии. В этом плане следует отметить следующие важные области знаний.

Во-первых, это основания геометрии в интерпретации неевклидовых метрических геометрий Кэли - Клейна и псевдоевклидовой метрики. Известно, каждая метрическая геометрия характеризуется своим абсолютом (некоторые из них являются мнимыми) и типами мероопределения длин отрезков и углов между прямыми. Здесь рассматриваются мнимые точки пересечения прямой с абсолютом и мнимые касательные, проведенные к абсолюту. В псевдоевклидовой геометрии расстояние между двумя точками может быть действительной величиной, равной нулю и мнимой. Поэтому разработанные модели МЭ в перечисленных вопросах могли бы способствовать и более успешному изучению оснований геометрии.

Во-вторых, это вопросы алгебраической геометрии, например, определение характеристик плоских алгебраических кривых линий, конструктивные построения в бирациональных преобразованиях, формообразование поверхностей: например, при установлении порядка, класса и других характеристик кривой, определяемых по формулам Плюккера, часть ее точек и касательных к ней проведенных могут быть мнимыми; в бирациональных преобразованиях часть фундаментальных точек и двойные точки на носителях соответственных точек также могут быть мнимыми; у алгебраических кривых линий ветви, прохо е точки, явля-

ются мнимыми, и естественно полагать, что они имеют определенную форму, следовательно, при обобщении на трехмерный случай следует отметить, что мнимые полости алгебраических поверхностей могут приобретать другие вполне определенные геометрические формы. Поэтому указанные вопросы алгебраической геометрии также требуют разработки способов изображения перечисленных выше МЭ.

В-третьих, это вопросы теории поля, которые решаются посредством конформных отображений, задаваемых функциями комплексного переменного. Их исследование в прикладных задачах приобретает практическую значимость. Вследствие этого на современном этапе разработка нового научного направления в начертательной геометрии по моделированию комплексной плоскости и комплексного пространства на действительной евклидовой плоскости является актуальной.

Таким образом, объектом диссертационного исследования является совокупность теоретических и прикладных вопросов, в которых возникает необходимость моделирования мнимых элементов, а предметом исследований — мнимые элементы, конструктивное оперирование которыми является целесообразным в начертательной геометрии и других областях знаний.

На основании вышеизложенного определены цель и основные задачи диссертационного исследования, которому предшествовали разработки, выполненные в соответствии с планом фундаментальных исследований Министерства путей сообщения на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика» Дальневосточного государственного университета путей сообщения (ДВГУПС).

Цель работы. Разработка теории моделирования мнимых элементов, обеспечивающей возможность их визуализации в синтетическом обосновании фундаментальных вопросов геометрии и конструктивных решениях теоретических и прикладных задач.

Поставленная цель требует решения следующих основных задач:

- на основе историко-литературного обзора введения в геометрию МЭ, анализа способов их моделирования, сформулировать наиболее важных теоретические и прикладные проблемы, требующие моделирование и визуализацию МЭ;

- разработать в проективной и метрической интерпретациях теорию моделирования МЭ плоскости и метод их визуализации, позволяющие привести в полное соответствие аналитические и синтетические решения;

- на основании разработанного метода изображения МЭ плоскости предложить конструктивные способы в освещении ряда вопросов алгебраической геометрии, в частности теории алгебраических кривых и бирациональных преобразований;

- применить разработанный метод визуализации отображений известными комплексными функциями, имеющими прикладное значение в задачах теории поля;

- теоретические основы моделирования и визуализации МЭ плоскости обобщить на пространство трех измерений в проективной и метрической интерпретациях;

- применить разработанный метод моделирования и визуализации МЭ к решению задач начертательной геометрии, формообразованию поверхностей и получению неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна;

— исследовать возможности выполненных теоретических разработок в приложении к физическим процессам и явлениям, определить в соответствии с полученными результатами перспективные направления новых исследований, рассмотрев одно из них, направленное на повышение качества ионно-плазменного покрытия изделий из износостойких материалов.

Методика выполнения работы. Главной методической особенностью работы является рассмотрение вопросов как в метрической, так и проективной интерпретациях. Каждая из основных задач представляет собой комплекс взаимосвязанных вопросов, рассмотрение которых основывается на методах проективной, начертательной, аналитической, исчислительной, многомерной геометрий, теории функций комплексного переменного и поля, классических способов геометрических построений, программирования и компьютерной визуализации, что позволяют судить о достоверности полученных результатов.

Теоретической базой исследования явились основополагающие работы:

- по проективной геометрии Ж.-В. Понселе, X. Штаудта, Я. Штейнера, М. Шаля, Э. Лагерра, Г. Ганкеля, Н.В. Ефимова, Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухи-на, Г.Б. Гуревича и других ученых;

— по развитию идей неевклидовых геометрий Ф. Клейна, А. Кэли, А. Пуанкаре, В. Бляшке, В.Ф. Кагана, Д.М.Ю. Соммервилля, Б.А. Розенфельда, И.М. Яглома и их учеников;

- по исследованиям в аналитической и алгебраической геометрии К.А. Андреева, Э. Штуди, В.А. Реуса, Г. Дарбу, П.К. Рашевского, Д. Кокса, Дж. Литтла, Д. (УШи и других отечественных и зарубежных ученых;

- по вопросам геометрического моделирования в начертательной геометрии И.С. Джапаридзе, К.И. Валькова, З.А. Скопеца, П.В. Филиппова, ВЛ. Волкова, включая способы построения МЭ в работах Ф.М. Суворова, В. Швана, Г.С. Иванова, А.Г. Гирша, К.К. Конакбаева.

— по автоматизации проектирования и визуализации геометрических объектов в области прикладной геометрии Ю.И. Бадаева, В.А. Бусыгина, Ю.И. Денискина, В.Г. Ли, В.Е. Михайленко, К.М. Наджарова, В.М. Найдыша, B.C. Обуховой, А.Л. Подгорного, А.Д. Тузова, В.И. Якунина и их учеников.

Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость работы заключается в том, что в диссертации для моделирования МЭ предложена система проекционно-связанных координатных полей: девяти плоских полей (2-поле) в двумерном случае и двадцати семи объемных (3-поле) - в трехмерном пространстве. В каждом случае система полей, состоящая из квадратичного, линейно-квадратичных и линейных полей, позволяет в зависимости от сочетания координат точек (действительных и мнимых) рассматривать их образы одновременно на нескольких полях с учетом возникающих между ними соответствий. Этот подход отличается от моделирования комплексной плоскости и комплексного пространства в многомерном действительном евклидовом пространстве достаточной простотой и не требует знаний многомерной геометрии, что является основным уело-

вием для ее овладения инженерно-техническими работниками. В итоге получены следующие результаты, имеющие научную новизну:

- установлено, что введением дополнительного квадратичного поля можно моделировать геометрические образы в полном объеме, включая их действительные и мнимые составляющие; при обобщении на трехмерный случай аналогичную роль играет квадратичное 3-поле;

- установлены характерные свойства соответствий, возникающих между указанными полями, включая определение инвариантных и слабоинвариантных элементов, а также структуры полей, выявленной на основе разработанной их классификации;

- разработаны конструктивные способы построения соответственных точек; для получения однозначных соответствий предложено линейно-квадратичные поля и квадратичное поле рассматривать как модели двух- и четырехлистных рима-новых поверхностей;

- на основе предложенного метода изображения МЭ разработаны способы моделирования абсолюта евклидовой плоскости и трехмерного пространства;

- разработана методика геометрического анализа и визуализации кривых высших порядков, позволяющая проследить в квадратичном поле их инцидентность как действительным, так и мнимым областям;

- предложен способ графического определения характеристик плоских алгебраических кривых, полностью соответствующий известным формулам Ю. Плюккера, а также всех точек (действительных и мнимых) взаимного пересечения этих линий;

- предложен способ построения соответственных точек для бирациональных преобразований в пучке слабоинвариантных прямых, на которых индуцируется эллиптическая инволюция; для одной из специализаций этих преобразований с двумя мнимыми фундаментальными точками показана возможность их конструктивного определения;

- разработан и графически реализован способ формообразования и построения поверхностей четвертого порядка, имеющих в качестве главных сечений коники; установлено, что мнимые продолжения таких поверхностей образуют новые поверхности того же порядка.

Практическая значимость. Практическую значимость исследований составляют результаты, базирующиеся на моделировании МЭ плоскости и пространства. Разработанная методика применима к задачам начертательной геометрии (в том числе и к задачам, в которых не требуется моделирование МЭ: построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм; построение точек пересечения кривой линии с криволинейной поверхностью и др.), а также к теории алгебраических кривых и поверхностей, основаниям геометрии, теории функций комплексного переменного и решаемых на ее основе прикладных задач. В частности, получены следующие результаты:

- создана методика, обеспечивающая полное соответствие результатов, получаемых при графическом и аналитическом решении задач на плоскости и в пространстве;

- на основании разработанных структурной схемы и системы полей созданы модели МЭ, отличающиеся своей наглядностью и простотой, позволяющие инженерно-техническим работникам не овладевать специальными разделами высшей математики;

- создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли — Клейна, которая может служить методическим материалом при изучении курса оснований геометрии;

- представлены способы построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями, наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере профиля обтекания Жуковского - Чаплыгина разработан алгоритм его построения с последующей компьютерной визуализацией;

- представлены уточнения по вопросам моделирования картины электростатических полей с учетом прохождения их через мнимые области; даны графические способы по построению силовых и эквипотенциальных линий для двух разноименных и двух одноименных равных зарядов.

На защиту выносятся:

- метод моделирования МЭ в предлагаемой системе координатных полей и способы построения соответственных точек, инцидентных этим полям на плоскости и в пространстве;

- классификация по определению структуры полей;

- способ приведения многозначных соответствий, устанавливаемых между полями, к однозначным;

- способ визуализации МЭ в решении позиционных задач на плоскости и в бирациональных преобразованиях;

- метод геометрического анализа характеристик плоских алгебраических кривых линий;

- метод построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями и способ визуализации мнимых точек плоскости с координатами двух комплексных переменных;

- способы визуализации МЭ в решении задач начертательной геометрии;

- метод формообразования и способ построения поверхностей четвертого порядка, имеющих в качестве главных своих сечений коники;

- метод построения в квадратичном поле системы плоскостей и абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли — Клейна;

- метод образования псевдоевклидовой метрики на плоскости и способ определения расстояний между двумя точками в псевдоевклидовой геометрии на евклидовой плоскости;

- синтетический метод определения параметров физических величин с позиции специальной теории относительности;

- методы анализа электростатических полей посредством их отображения в поля моделирования МЭ.

Реализация результатов исследования. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на предприятиях тяжелого машиностроения и авиационной промышленности (г. Оренбург) в виде методик и рекомендаций, обеспечивающих качественное покрытие изделий при использовании ионно-плазменных технологий; в проектном институте «Дальгипротранс» (г. Хабаровск) в качестве базы данные графические и аналитические модели), используемые при проектировании строительных сооружений. Результаты исследований используются в учебном процессе Дальневосточного государственного университета путей сообщения на кафедрах «Электротехника, электроника и электромеханика» при изучении студентами третьего курса разделов теории электромагнитного поля и «Начертательная геометрия и инженерная графика» при изучении темы «Образование поверхностей» и решении позиционных задач, в которых целесообразно изображать МЭ, а также в задачах не требующие их моделирования (построение линии среза геометрических тел, собственных и падающих теней и т.д.).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены, обсуждены и (или) представлены в виде тезисов докладов:

- на международных конференциях: «Проблемы транспорта Дальнего Востока» (Владивосток, 1995,1997); «GrapЫCon'2002» (Нижний Новгород, 2002);

- всероссийских конференциях: «Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для народного хозяйства» (Ленинград, 1984); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта в новых условиях развития Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1993); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1997); «Актуальные вопросы современной инженерной графики» (Рыбинск, 2000);

- всероссийских семинарах-совещаниях заведующих кафедрами графических дисциплин (Пенза, 1999; Нижний Новгород, 2000; Ростов-на-Дону, 2001; Саратов, 2004);

- региональных и межвузовских конференциях: «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1995); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1999); «Фундаментальные и прикладные исследования — транспорту» (Екатеринбург, 2000); «Графическое образование: вопросы теории, истории и практики» (Хабаровск, 2000);

- научно-технических и научно-методических конференциях ДВГУПС (Хабаровск, 1974, 1976, 1987,1989, 2002);

- межкафедральном научно-методическом семинаре ДВГУПС (Хабаровск, 1984,1986,1988,2003);

- научно-методических семинарах кафедры «Начертательная геометрия и инженерная графика» Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта (Ленинград, 1977); кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Омского государственного технического университета (Омск, 2000);

- расширенном заседании кафедры «Прикладная геометрия» Московского авиационного института (Государственный технический университет, Москва, 2003,2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 42 научные работы, включая 2 монографии. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные автором самостоятельно.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав (разделов), заключения. Содержит 276 страниц текста, 18 таблиц, 178 рисунков и библиографический список использованных источников (230 наименований). Общий объем - 404 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность проблемы, сформулирована цель работы, поставлены задачи исследования, определены положения, которые выносятся на защиту, методика выполнения работы, научная новизна и практическая значимость, приведены сведения об апробации работы, структуре и объеме диссертации.

В разделе 1 на основании проведенного историко-литературного обзора по моделированию МЭ в геометрии отмечено, что в настоящее время нет графической реализации, адекватной аналитическим выражениям, приводящим к комплексным числам. В начертательной геометрии это проявляется особенно остро, поскольку полученные решения известными синтетическими методами не всегда соответствуют в полной мере аналитическим. В алгебраической геометрии (в теории алгебраических кривых линий и поверхностей, бирациональных преобразованиях) вопросы моделирования МЭ не рассматриваются с конструктивных позиций. А как показал проведенный в этом разделе анализ некоторых теоретических вопросов (основания геометрии) и технических задач (теория поля), их решение должно осуществляться с применением конструктивных способов моделирования МЭ. Этим обосновывается ряд наиболее важных теоретических и прикладных проблем, требующих моделирования и визуализации МЭ, и подтверждается актуальность диссертационного исследования.

В разделе 2 изложены теоретические основы моделирования и визуализации МЭ на плоскости.

В подразд. 2.1 обосновывается предлагаемый метод моделирования МЭ. Основная идея метода заключается в формировании системы координатных полей, связанных между собой такой совокупностью композиций отображений, которая позволяет наглядно рассматривать образы как с действительными, так и с мнимыми значениями координат и, следовательно, моделировать МЭ.

Указанная система, представленная в виде структурной схемы на рис. 1, со-: стоит из следующих девяти проекционно-связанных координатных полей: линейных полей 7СГ, 7Tj, Я ri\ линейно-квадратичных полей Я^, Kgi, Ящ',

квадратичного поля яд. В квадратичном поле я ^ координаты точек принимают

—> 2 ~ 2 ? следующие значения: х = х ; для х - ±а => х = а , для х - т => х = -а ;

у = .у2; для у = у = Ь2, для ^ = 6/ => = -Ъ2.

Л Л

Рассматриваемое отображение Т: (х, у) Ь-> (5с, у) = {х , у ) не является преобразованием, так как не обладает свойством взаимной однозначности, поскольку обратное отображение имеет вид Г-1 : (х, у) Н-» (х, у) — (±4%, ± л/^).

Рис. 1. Структурная схема взаимосвязи полей

На основании этого обосновывается первое предложение: каждому квадранту квадратичного поля Я"? определенно соответствует одно из четырех линейных полей, которое покрывает его четырежды (устанавливается одно-четырехзначное соответствие точек).

Линейное поле я г (Охгуг ) рассматривается как область моделирования действительных элементов. В этом поле координаты точек принимают только действительные значения х = хг = ±а, у = уг =±Ь. В остальных линейных полях я ¡г, Я), лпредназначенных для моделирования МЭ, координаты точек принимают соответственно следующие значения: х = ±аг, у=уг—±Ь; х = ±ш, у = ±Ы; х~хг = ±а, у= ±Ы. Для визуализации точек, инцидентных этим полям, производится на соответствующих осях координат мнимое преобразование с последующей симметрией относительно начала координат. В таком случае полученные координаты точек примут вид xi —1х, yi = у1. Тогда точки, инцидентные указанным полям, будут иметь следующие координаты: в поле я ¡г{Ох^уг)

Xj =+a,yr -±b; в поле Я",-) х,- = +а, yj = +Ь; в поле itri(Oxryi) хг = ±а, у, = Т2>.

Этим обосновывается следующее, или второе предложение-, оси координат 0.x,. и {Оуг и отличающиеся различной структурой являются противоположно направленными.

Линейно-квадратичные поля рассматриваются как промежуточные при осуществлении отображений точек линейных полей в квадратичное поле.

В исследуемых отображениях имеют место следующие зависимости:

хг =хг = х, где хг >. 0; уг - уг - у, где уг > 0; xt = xf = -х, где xi > 0;

л

у, = У( = —у, где yt > 0. Здесь Охг = Ох и Oxt = -Ох являются противоположно направленными положительными полуосями. Аналогично рассматриваются полуоси Оуг — Оу и Оу( = -Оу.

На рис. 2 в качестве примера приведены отображения действительной окруж-

2 2 2 2 2 2 НОСТИ sr ал г (х + У = Г => хг +уг — Г ) И МНИМОЙ окружности 5, С ЯI

2 2 2 2 2 2 (х + у =—r Xj + = г ) в квадратичное поле посредством указанных

выше линейно-квадратичных полей. Представленная система полей наглядна, так как дает возможность рассматривать наряду с действительными и мнимые элементы, последние в зависимости от сочетания координат точек бывают трех видов. Каждый из видов МЭ инцидентен определенному полю. Квадратичное поле является центром системы полей как структурно в данной системе, так и в виде объемлющего поля, поскольку на него отображаются все плоские поля. По положению образов в этом поле можно судить о принадлежности прообразов тем или иным линейным полям.

В подразд. 2.2 исследуются характерные свойства исследуемых отображений линейных полей в квадратичное поле. В частности определены инвариантные элементы, класс соответственных точек, типы устанавливаемых соответствий. Кроме того, исследовано отображение координатных сеток, установлены тригонометрические зависимости между углами, представлена структура полей и разработана их классификация, установлены аналитические зависимости, характеризующие указанную выше многозначность отображений: Nр — 2Лр; р = JV2 —п, где Nр - численное выражение многозначности; Ар - натуральное число, означающее разность ступеней при отображении одного поля в другое (здесь р - номер ступени поля: р= 0 - линейное поле; р = 1 - линейно-квадратичное поле;

г

р = 2 - квадратичное поле); N — сумма степеней координат поля, которое является областью определения в обратном отображении.

Рис. 2. Изображения действительной 5Г и мнимой окружностей в предложенной системе полей

Представленные зависимости справедливы для любого п -мерного случая. Известно, что приведение многозначных соответствий к однозначным производится в теории функций комплексного переменного посредством римановых поверхностей с определенным числом листов. Поэтому в работе предлагается рассматривать квадратичное поле как четырехлистную модель, а линейно-квадратичные поля — как двулистные модели римановой поверхности.

В подразд. 2.3 выполнен анализ исследуемых отображений с проективных позиций. Здесь приведена проективная модель квадратичного поля Лд (рис. 3). На

этой модели наглядно представлены образы циклических точек / /00 (/°° = I°° = С°°; С°° 6 I °°, где / 00 - несобственная прямая линия) и изотропных прямых линий , 50, инцидентных началу координат О: = = 10, где

Показано прохождение образов окружностей действительного и мнимого радиусов через образы циклических точек.

При отображении линейных полей в квадратичное поле приведен проективный подход к метрическому определению соответственных точек на координатной оси посредством анализа известных классических приемов построений. В частности установлено, что рассматриваемые соответствия на оси координат находятся в полном соответствии с главным предложением X. Штаудта

{—О, а, 1, (Р") = —1. Поэтому для определения соответственных точек использована возможность построения полного четырехугольника, а также применения классических теорий и построений в определении МЭ (Ж.-В. Понселе, X. Штаудт, Я. Штейнер, А. Реус, Г. Ганкель, В. Шван, Г.С. Иванов, А.Г. Гирш).

В подразд. 2.4 представлены графоаналитические исследования в разработке способов построения соответственных точек. Отмечено, что геометрическим аппаратом определения этих точек в прямом отображении (линейных полей в квадратичное поле) может служить инверсия, произведенная на осях координат. Установлено, что построения в декартовых прямоугольных координатах приводит к известному полярному соответствию, а построения в полярных координатах хорошо согласуется с учением о радикальной оси (всего предложено пять способов построения соответственных точек).

Раздел 3 посвящен отображениям, преобразованиям и геометрическому анализу алгебраических кривых линий плоскости.

В подразд. 3.1 на основании результатов исследований (разд. 2) представлена метрическая группа преобразований в квадратичном поле Геометрический смысл данного вопроса состоит в том, что полученные образы в квадратичном поле рассматриваются относительно квадрантов этого поля. Так как каждому его квадранту в обратном отображении соответствует определенное линейное поле, то вследствие этого при осуществлении трансляции, вращения, симметрий, гомотетии в квадратичном поле получены определенные соответствия между точками в том или ином линейном поле, а также между точками разных линейных полей.

На основании проведенных исследований раскрыты такие виды отображений в линейных полях, которые позволяют рассматривать взаимосвязанные действительные и мнимые элементы образа на одном поле. Это привело к формированию новых способов построений в определении МЭ при решении конкретных геометрических задач.

В подразд. 3.2 представлены моделирование и визуализация МЭ в решении позиционных задач на плоскости. В частности рассматриваются вопросы построения мнимых точек пересечения прямой линии с коникой, а также такие случаи, когда при взаимном пересечении коник из четырех искомых точек пересечения две либо все четыре точки являются мнимыми. Решение задач представлено как в линейных полях, так и в квадратичном поле. Также показано, что отдельные задачи имеют более простые построения, если исходные линии рассматривать посредством преобразований движения в линейно-квадратичном поле. Представленные задачи проанализированы с позиций их решения способами Ж.-В. Понселе, А. Ре-уса, А. Г Гирша. При этом помимо более наглядного решения в квадратичном поле, предложен и более простой способ построения мнимых точек пересечения прямой линии с окружностью в линейных полях, основанный на анализе построений в квадратичном поле.

В подразд. 3.3 рассмотрены исследуемые отображения для геометрического анализа алгебраических кривых линий.

Исследованиями (подразд. 3.1) установлено, что различным положениям прямых линий квадратичного поля соответствуют в линейных полях эллипсы, гиперболы (в том числе окружности и равносторонние гиперболы) и их вырожденные виды. Аналогично установлено, что в общих случаях коникам квадратичного поля соответствуют в линейных полях кривые линии четвертого порядка.

Поэтому на первом этапе решалась обратная задача: по заданному образу (рассматривается коника) квадратичного поля исследуются прообразы в линейных полях. Для того чтобы в каждом примере не принимать ту или иную кривую линию, предложено рассматривать постепенное видоизменение (превращение) коники одной формы в другую. Тем самым в линейных полях наблюдается не только постепенное видоизменение кривых четвертого порядка, но и появляется возможность наблюдать прохождение этих линий в поля моделирования МЭ, а также проводить геометрический анализ (порядок и класс кривой, наличие двойных точек) алгебраических кривых линий. В частности рассмотрена лемниската Бернул-ли действительной плоскости (рис. 4)

у которой одна из двойных точек является действительной узловой, а две другие совпадают с циклическими точками, наличие которых, как правило, устанавливается аналитически с использованием однородных координат. В квадратичном поле

Я» ей соответствует криволинейный отрезок ОЬу параболы (рис. 5). В этом слу-

чае наряду с двойной точкой О (рис. 6) будет иметь место двойная точка С°°, в

которую отображается пара циклических точек и 1°°. Но так как в прямом и обратном отображениях точка О сама себе соответствует (является инвариантной), то ее следует считать за одну двойную точку.

Рис. 4. Лемниската Рис. 5. Отображение лемнискаты

Бернулли поля Л г (Оху) в параболу поля 7Г„ (Оху )

Рис. 6. Парабола квадратичного поля с двойной точкой С00

Точке С°° в обратном отображении соответствуют две точки 1"° и 7°°, таким образом, каждая из них является двойной. Поэтому лемниската Бернулли относится к виду бициркулярных кривых линий четвертого порядка, широко применяемых в известных инженерных задачах. К основным характеристикам этой кривой в соответствии с формулами Плкжкера относятся следующие: п = 4 - порядок кривой; к = 6 - класс кривой (число касательных действительных и мнимых);

d =3 - число двойных точек (О - узловая; и 100 - изолированные); Г = 0 -число точек возврата; t = 4 - число двойных касательных; У/ = 6 - число точек перегиба. Покажем, как эти числовые характеристики можно определить графически. С этой целью рассмотрена в поле 7СГ лемниската Бернулли и показано ее мнимое продолжение в остальные линейные поля Я^ И (рис. 7).

Рис. 7. Лемниската Бернулли в системе линейных полей

Порядок кривой определяется по максимальному числу точек пересечения прямой с алгебраической кривой. В данном случае такой прямой в поле жг может быть прямая, параллельная оси ординат и пересекающая лемнискату в четырех точках. Кроме того, можно рассмотреть прямую линию аг (у= а), которая пересекает лемнискату в поле лг в двух точках Аг и Вг. Так как уравнение прямой у = а имеет тот же смысл и в поле Ж ¡г, то будут иметь место еще две точки А1г, В^ на мнимом продолжении лемнискаты с мнимым продолжением прямой аг (а1Г). Прямая, заданная уравнением у=Ъ (прямая Ъг сжг, ее мнимое продолжение прямая Ь1г СЯ"^), пересекает только мнимые продолжения лемнискаты в четырех точках 1)Г, ..., 4{г.

Класс кривой определяется по максимальному числу касательных, проведенных из одной точки. Такой точкой выбрана точка Ру а Оуг, которую можно рассматривать в поле жг и в поле ж ¡г. Как видно из рис. 7, общее число касательных равно шести. Двойные касательные имеют место только на полях Жг и Ж/ (на жг эти касательные условно представлены стрелками и и их общее число равно четырем. Число точек перегиба равно шести (дважды считаемые точка О и

На основе проведенного конструктивного анализа кривых линий рассмотрено их взаимное пересечение. На рис. 8 с этой целью показаны лемниската Бер-нулли и овал Кассини.

Согласно теореме Безу имеем шестнадцать точек пересечения, из которых только четыре являются собственными действительными (А| , > , А^г),

а остальные мнимыми. Наличие всех собственных точек можно установить в квадратичном поле (рис. 9), а включая и несобственные точки - по проективной модели (рис. 10).

В данном случае имеем четыре собственные мнимые точки

¡г, Вг,г, вз,>, 54¡г' инцидентные полю жтак как ВеШЖд. Остальные точки следует считать несобственными

тОО ТОО л

циклические точки 1 и 1 ).

Рис. 8. Взаимное пересечение лемнискаты Бернулли 5 и овала Кассини Ъ (поле Жг)

мнимыми; они совпадают с циклическими точками и , их образы

Рассмотренный пример нагляден, а несложные аналитические выкладки (не приводятся) подтверждают предлагаемую методику моделирования и визуализации МЭ.

Рис. 9. Образы лемнискаты и овала Кассини инцидентные полю к

Я

Рис. 10. Проективная интерпретация взаимного пересечения лемнискаты Бернулли и овала Кассини

В подразд. 3.4 рассмотрены бирациональные преобразования на примере преобразования Гирста, широко применяемые при моделировании алгебраических кривых линий. Здесь исследованы два аспекта, когда инвариантной линией явля-2

ется окружность с1 : моделирование двух мнимых фундаментальных точек и ; построение соответственных точек, при котором на слабоинвариантной прямой устанавливается эллиптическая инволюция. В последнем аспекте приведены два случая: первый случай - все три действительные различные Р -точки являются собственными (точка ^ принимается за центр преобразования); второй случай

- преобразование с несобственным центром .

При расположении фундаментальной точки внутри инвариантной окруж-2

ности с1 две другие фундаментальные точки ^ и ^ будут являться мнимыми.

2 2 2

Так как эти точки определяются операцией ~ Р Пс/ , где /> - пре-

дельная кривая преобразований, то в аналитическом виде неоднородные координаты точек ^2 и Рг будут определяться из решения системы двух уравнений, которым соответствуют указанные окружности. Установлено, что точки и будут иметь следующие координаты: ^(д: = —аш,у = Ы), = — а; у = —Ы). Отсюда сделан вывод о том, что они являются комплексно-сопряженными.

Построение этих точек можно осуществлять в соответствии с исследованиями Ж.-В. Понселе, определив их как точки пересечения двух равносторонних гипер-

2 т

бол, которые являются мнимым продолжением окружностей р и с1 в поле жп. Эти точки можно определить в соответствии с учением о радикальной оси с последующим применением предложенного способа в подразд. 3.2.

В преобразованиях Гирста особое значение приобретает вопрос, когда при определении соответственных точек на слабоинвариантной прямой формируется эллиптическая инволюция. В этой инволюции двойные точки, необходимые для построения действительных соответственных точек, являются мнимыми. Этот вопрос детально исследован для случая, когда преобразования осуществляются с несобственным центром 7*}°°, а затем представлен для более общего случая (все три действительные различные Р -точки являются собственными). Для этого рассмотрено построение точек А, В> , С", соответственных точкам А, В, С, которые инцидентны прямой I, параллельной оси ординат (рис. 11).

Здесь точка 1? С Ъ строится на основе инверсии: полученные двойные точки

__л

(.О, £)) = Ьг\с1 являются действительными, поэтому на прямой Ъ формируется гиперболическая инволюция.

Рис. 11. Преобразования Гирста с инвариантной окружностью с1

Для построения точки С', соответственной точке Сб С, можно воспользоваться предложенным способом, описанным в подразд. 1.2. В этом случае результатом пересечения инвариантной окружности с прямой линией с будут являться пара мнимых точек которые и принимаются за двойные точки эллиптической инволюции на прямой с. На рис. 11 эти точки определены более простым способом, предложенным в подразд. 3.2. В представленном примере прямой / соответствует эллипс /', который состоит из множества действительных

точек, хотя в геометрическом аппарате их построения используются образы мнимых точек £>„■ и

В разделе 4 представлены исследования, связанные с теорией функций комплексного переменного. Здесь дан анализ функции исследуемого отображения, рассмотрены отображения с построением соответственных точек наиболее часто встречающимися комплексными функциями, исследованы моделирование и визуализация точек с координатами двух комплексных переменных.

В подразд. 4.1 установлено, что для исследуемой функции

условия Коши-Римана выполняются только на биссектрисе I и III квадрантов и координатных осях , т. е. функция дифференцируема только

на этих прямых линиях, в целом она не является аналитической.

Несложный анализ показывает, что функция в прямом отображении однозначна, т. е. при задании точки (что равносильно заданию модуля и аргумента комплексного числа) вполне определяется единственная точка М> ея^.

Обратная функция является двузначной, так как

Если в качестве точек гея"г рассмотреть множество точек, инцидентных окружности радиуса г: z — ré^ = r(cos <р + i sin ф), то придем к выражению

w = /О) = и(х, у) + iv(x, у) = х2 + iy2,

О Л >У

w = r (eos í? + /sin ф).

W -г

2 COS0 +/sin0 COS0+SÍI10

расположенной под углом — л к действительной оси абсцисс.

При анализе построений соответственных точек, установлено, если осуществлять аналогичные построения в поле я^ДОэд), то будет получен тот же результат. Точка Аг(- 6 7Сц будет размещаться именно в том же самом месте, где и точка А^, соответствующая комплексному числу Однако некоторый порядок в

построениях нарушится.

В подразд. 4.2 исследованы построения, направленные на графическую интерпретацию известных комплексных функций осуществляемых конформные отображения и поэтому имеющих большое прикладное значение. Подобный вопрос рассматривался П.В. Филипповым, предложенные им построения базируются на векторном представлении четырехмерного пространства с использованием гиперсечений и номограмм. Проведенные исследования также направлены на возможность графического выражения наиболее часто встречающихся комплексных функций. Но построения предлагается осуществлять посредством отображения точек, принадлежащих координатной сети (прямоугольной декартовой или полярной), в квадратичное, либо в линейно-квадратичные или линейные поля на примерах конкретных комплексных функций, не выходя за пределы двух измерений.

Построение соответственных точек осуществляется на основе анализа алгебраических выражений, получаемых при отображении исследуемыми функциями; все графические операции выполняются при помощи циркуля и линейки. Кроме того установлено, что если координатная сетка комплексной плоскости переходит в ортогональную сеть софокусных эллипсов и гипербол (отображения некоторыми тригонометрическими функциями, функцией Жуковского), то в квадратичном поле эта сеть имеет вид прямых линий. Более детальное исследование функции Жуковского при анализе профиля обтекания, позволило разработать алгоритм построения профиля крыла в автоматизированном режиме.

В подразд. 4.3 исследованы вопросы моделирования и визуализации мнимых точек, которые имеют координаты двух комплексных переменных: у = Ь^ Установлено, что такие координаты будут иметь место в том случае,

когда при определении мнимых точек пересечения окружности ,5 с прямой линией /, последняя не параллельна ни одной из координатных осей. На основании проведенных исследований сделан вывод о том, что действительные части комплексных координат определяются точкой которая является основанием перпендикуляра, проведенного из центра окружности л1 к прямой линии /. Координаты мнимых частей откладываются от точки Р параллельно соответствующим осям координат. На исследуемых примерах сделан также анализ построения соответственных точек в эллиптической инволюции, показано, что криволинейным рядом удобнее воспользоваться,

чем прямолинейными. Следует отметить, что при переходе к такой системе координат, когда центр окружности совпадет с началом координат, а прямая / параллельна оси координат, останутся в силе все исследования разд. 2.

В разделе 5 преследовалась цель обобщить теоретические основы моделирования и визуализации МЭ на пространство трех измерений. Если в разд. 2 для двумерного случая предлагалось формирование девяти полей, каждое из которых представляет собой плоское поле, то для трехмерного случая вводится понятие объемного, или 3-поля.

В под раз д. 5.1 конструктивно и структурно сформирована система взаимосвязанных 27 полей; по разработанным классификационным признакам установлено, что 10 полей имеют различные неповторяющиеся структуры. Для приведения многозначных соответствий к однозначным предложено квадратичное и линейно-квадратичные 3-поля отождествлять с координатной системой римановых поверхностей.

В подразд. 5.2 исследованы возможности квадратичного 3-поля П^^ как объемлющего по отношению ко всем линейным 3-полям. С этой целью рассмотрена проективная модель поля П^од (рис. 12), на которой наглядно представлено

прохождение образов сфер (более толстой линией выделен образ сферы Д^г) через прямую которая является образом несобственной мнимой окружности.

Рис. 12. Проективная модель квадратичного 3-поля

Следовательно, представленная модель позволяет моделировать прохождение образов линейных полей через бесконечно удаленные и мнимые области. Установлено, что всем плоскостям (образам) поля П^^ соответствуют в линейных 3-полях определенные квадрики (прообразы) и их вырожденные виды. Тогда, если прямую линию в поле П^^ рассматривать как носитель пучка этих плоскостей,

то в линейных полях прообраз этой линии можно рассматривать как биквадратную кривую линию взаимного пересечения квадрик.

В подразд. 5.3 проанализированы преобразования из группы движений в поле Пдо^. В частности показано, что эти преобразования позволяют моделировать как прообразы, инцидентные мнимым областям, так и новые поля, в которых можно осуществлять визуализацию МЭ совместно с действительными решениями.

Полученные теоретические результаты были положены в основу апробации исследований к задачам начертательной геометрии и ее приложениям, которые определены в сформулированных основных задачах.

В разделе 6 рассмотрено применение результатов исследований предыдущих разделов к вопросам начертательной геометрии, формообразованию поверхностей и неевклидовым геометриям, получаемым по схеме Кэли - Клейна.

Подразд. 6.1 посвящен восполнению того пробела в курсе начертательной геометрии, который не охватывает вопрос моделирования МЭ в теории взаимного пересечения квадрик. В связи с этим рассмотрены следующие случаи: квадрики с двумя точками соприкосновения; квадрики с общей плоскостью симметрии; случаи распадения биквадратной кривой на действительную и мнимую части.

В первом случае, как правило, рассматриваются две действительное точки соприкосновения, по которым пересекаются две кривые второго порядка — распавшаяся линия пересечения рассматриваемых квадрик (рис. 13).

Если указанные квадрики рассмотреть в квадратичном поле (рис. 14), то легко можно заметить. что их образы (плоскости имеют свое продолжение в другие октанты.

Рис. 13. Двойное соприкосновение двух эллиптических цилиндров

Рис. 14. Взаимное пересечение двух проецирующих плоскостей - образов эллиптических цилиндров

Следовательно, прообразы квадрик имеют мнимые продолжения в другие линейные поля также в виде квадрик. В некоторых из них точки соприкосновения будут «несуществующими». Этот вопрос подробно исследован, и сделан вывод о том, что рассмотренный пример представляет наглядный материал для случая, когда точки соприкосновения поверхностей являются мнимыми.

Рассмотренный пример можно отнести и ко второму случаю, когда рассматриваемые квадрики имеют общую плоскость симметрии. Этот вопрос детально рассмотрен на примере взаимного пересечения сферы с круговым конусом, которые в качестве проекций линии пересечения имеют окружность и параболу (часть параболы, когда в соответствующей теореме говорится о всей кривой). В этом случае вопрос исследован посредством построения мнимых продолжений указанных квадрик в другие линейные поля, в которых построены проекции линий пересечения, являющиеся мнимыми продолжениями указанных параболы и окружности.

В третьем случае предлагается осуществлять в зависимости от исходных данных симметрию образов квадрик относительно плоскостей уровня в линейно-квадратичных полях. Тогда, например, при взаимном пересечении соосных сферы и эллипсоида вращения, пересекающихся по одной действительной окружности и одной мнимой, переходим к круговым конусам, которые пересекаются по двум окружностям, визуализируемых на поле чертежа.

Способы решения задач элементарны и могут быть использованы в учебном процессе.

В подразд. 6.2 предложен метод формообразования поверхностей, которые являются «совокупным» образом некоторой алгебраической поверхности квадратичного поля Так как каждому октанту этого поля соответствует определенное линейное 3-поле, то тем частям алгебраической поверхности, которые бу-

дут заключены в рассматриваемых октантах, будут соответствовать в линейных 3-полях конкретные поверхности.

Идея этого метода подробно рассмотрена на примере задания в квадратичном поле Пдад косой плоскости. Предложено Формообразование косой плоскости производить посредством двух плоскостей Ф и Д (рис. 15), которые имеют соответственно уравнения

Рис. 15. Задание косой плоскости посредством двух плоскостей Ф и Д

Т [АМ] [СЛЧ ф

Тогда, исходя из известного соответствия__= формируемая по-

[им] [влч

верхность примет вид уравнения квадрики (соответствует формуле Клебша)

Так как соответствие между полями ^-gqg и Пг/г устанавливается зависимостями щ — х^ , «2 = Xj, W3 = Х3 , то это уравнение запишется как

что соответствует поверхности четвертого порядка.

Таким образом, задаваясь исходными плоскостями, инцидентными полю или соответствующими им квадриками с указанными параметрами, в линейных 3-полях формируем поверхности четвертого порядка Йф_д или £2д_ф.

Построение этих поверхностей основано на радиально-ортогональном способе, предложенном в подразд. 3.1. В таком случае рассматривается гиперэпюр пятимерного пространства. На рис. 16 представлена компьютерная реализация (Maple) косой плоскости (образ в поле i и ее некоторых прообразов - поверхно-

стей четвертого порядка в полях П

Поле Uqqq

ччч rrr и

ПолеП

rrr

Поле П,

Рис. 16. Компьютерная реализация формируемых поверхностей

В подразд. 6.3 рассмотрены исследуемые отображения в приложении к геометриям Кэли - Клейна. Здесь исследовалась возможность представить результаты исследований в виде интерпретаций, которые еще не нашли своего отражения в

вопросах построения неевклидовых геометрий с позиции геометрического аппарата начертательной геометрии.

Поскольку построение схемы Кэли — Клейна основано на использовании того или иного абсолюта с соответствующими типами мероопределения длин (МОД) отрезков и мероопределения углов (МОУ) между прямыми, то в первую очередь рассматриваются именно абсолюты всех девяти геометрий. Известно, что модели неевклидовых плоскостей можно интерпретировать квадриками (с определенными условиями), то предоставляется возможность рассматривать их в квадратичном поле в том числе с построением проективной модели. Тогда в таком поле

целесообразно построить некоторую систему, в которой модели плоскостей неевклидовых геометрий и соответствующий абсолют были бы логически и конструктивно связаны.

В основу предлагаемой интерпретации положено исследование А. Кэли по отношению абсолюта эллиптической геометрии Римана, который он рассматривал как «мнимый круг», получающийся в результате пересечения сферы (модель плоскости Римана) с «концентрическим конусом», или «исчезающей сферой».

На рис. 12 образ сферы поля Лггг (плоскость Д^ треугольника Еи Еи^Еи ) пересекается с образом кругового конуса поля (плоскость выражена пересе-

кающимися прямыми линиями Ц и "с^ с общей точкой О в начале координат). Это равносильно пересечению всех сфер поля Т1.ггг с бесконечно удаленной, или несобственной плоскостью (ее образ представлен треугольником [/^С "С").

В данном случае сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками (точнее, половина сферы) является моделью плоскости эллиптической

геометрии Римана, а отрезок (расположенный в пятом октанте)

служит образом абсолюта этой геометрии. Подобным образом можно рассматривать все остальные модели неевклидовых плоскостей с соответствующим абсолютом, кроме геометрий с параболическим типом МОД. Последние геометрии на плоскости с эти типом МОД (Евклида, Галилея и Минковского) аналогично можно рассмотреть на рис. 3.

Таким образом, квадратичное поле П^ позволяет моделировать как действительные, так и мнимые абсолюты совместно с соответствующей моделью плоскости рассматриваемой геометрии.

Учитывая, какое особенное значение придавал Ф. Клейн вопросу превращений неевклидовых геометрий, дальнейшие исследования были направлены на анализ трансформаций неевклидовых плоскостей с предоставлением компьютерной реализации на программированной основе. Кроме того, установлено, что переход от одной модели плоскостей к другой можно осуществлять при помощи поверхностей-посредников. В таком случае геометрический аппарат построений приводит к

двум видам (законам) устанавливаемых соответствий. Один из них находится в полном соответствии с задачами на определение мнимых точек пересечения коник (подразд. 3.2) и квадрик (подразд. 6.1), другой закон —для решения позиционных задач, не связанных с определением МЭ. Это задачи на построение точек пересечения кривой линии с поверхностью, построение линии среза, собственных и падающих теней группы геометрических тел и архитектурных форм.

В этом же подразделе исследовано определение расстояния между двумя точками с позиции квадратичных координат и представлена интерпретация моделирования псевдоевклидовой метрики, предложен геометрический аппарат по определению расстояний между двумя точками в геометрии Минковского.

Раздел 7 посвящен прикладным исследованиям из других областей знаний, связанных с анализом физических процессов и явлений.

В подразд. 7.1 представлены исследуемые отображения для определения значений физических величин или их отношений, рассматриваемых в специальной теории относительности. Установлено, что некоторые параметры физических величин можно привести в полное соответствие с геометрическим аппаратом, разработанным для моделирования МЭ в подразд. 3.1; предлагаемые интерпретации наглядны, позволяют анализировать результаты по элементарному чертежу. Результаты исследований сведены в таблицы.

В подразд. 7.2 определены перспективные направления в области изучения анизотропных свойств акустических и оптических кристаллов, теории электромагнитных полей. В частности, на основании приведенного материала рассмотрена возможность изучения сечений указательных поверхностей, коноскопических фигур и картин электростатических и магнитных полей по разработанному методу геометрического анализа алгебраических кривых линий (подразд. 3.3).

В подразд. 7.3 на основе разработанной методики моделирования и визуализации МЭ предложены способы построения семейств силовых и эквипотенциальных линий идеальных картин электростатического поля двух равных точечных зарядов (разноименных и одноименных) как в действительной, так и мнимой областях. Полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе при изучении теоретических основ электротехники.

По известным экспериментальным и теоретическим исследованиям ионно-плазменного покрытия изделий проведен конструктивный анализ семейств силовых линий и даны уточнения и рекомендации, обеспечивающие качественное покрытие. При размещении в камере установки двух экранов подтверждено, что силовые линии можно рассматривать как алгебраические линии восьмого порядка, которые являются четырежды циркулярными. Предложено анализировать эти линии в поле моделирования МЭ с обоснованным построением всех мнимых ветвей, а с проективных позиций рассматривать их прохождение через циклические точки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что проблема моделирования МЭ в начертательной геометрии и ее приложениях является актуальной, а разработанная теория отвечает основной идее диссертации - приведению графических методов решения задач в полное соответствие с аналитическими. При этом в работе заложен такой теоретический подход, реализация которого позволяет решать задачу как синтетическими, так и аналитическими методами, а, следовательно, и с применением программирования и компьютерной графики. Выполненные исследования направлены на моделирование и визуализацию МЭ на плоскости и по полученным результатам обобщены на пространство трех измерений.

Все теоретические и практические результаты, представленные в диссертации, получены диссертантом самостоятельно и приводятся ниже.

1. Анализ классических приемов построений, с одной стороны, и известные методы отображения пространств друг на друга, с другой, позволили на их основе предложить такой метод моделирования МЭ, который имеет широкую область применения, включая задачи начертательной геометрии.

2. Установлено, что разработанный метод находится в полном соответствии как с главным предложением X. Штаудта, так и с теорией дополнений», или «мнимого продолжения», которую предложил Ж.-В. Понселе. При этом показано, что необходимые построения на чертеже можно выполнять несколькими способами.

3. Расширены возможности моделирования МЭ за счет введения системы проекционно-связанных полей (линейных, линейно-квадратичных, квадратичных). Установлено, что если линейные поля позволяют моделировать МЭ только в одной конкретной мнимой области, то в квадратичном поле можно проследить прохождение кривой линии или поверхности, как через действительную область, так и различные мнимые.

4. Исследована структура и разработана классификация полей, даны аналитические зависимости определения многозначности устанавливаемых соответствий между точками полей, которые справедливы для n-мерного случая. Для приведения к однозначным соответствиям предложено рассматривать линейно -квадратичные и квадратичные поля как модели римановых поверхностей.

5. Показано, что на проективной модели плоского квадратичного поля возможна интерпретация циклических точек, изотропных прямых, действительных и мнимых окружностей и циркулярных кривых высокого порядка, проходящих через эти мнимые точки. При обобщении полученных результатов на пространство трех измерений получена картина прохождения всех действительных и мнимых сфер, изотропного конуса через мнимую окружность, инцидентную несобственной плоскости.

6. Предложено графическое определение порядка, класса алгебраических кривых линий и других их характеристик, соответственных формулам Ю. Плюк-кера, а также точек взаимного пересечения этих линий, которые все или их часть

являются мнимыми. Дано обоснование построений соответственных точек в бира-циональных преобразованиях, когда на слабоинвариантной прямой линии устанавливается эллиптическая инволюция, а также построение в одной из специализаций этих преобразований двух мнимых фундаментальных точек.

7. На основании предложенного метода создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна, которая раньше рассматривалась абстрактно. Показано моделирование псевдоевклидовой метрики и определение расстояния между двумя точками в этой геометрии.

8. Представлены способы построения соответственных точек при отображениях различными комплексными функциями наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере построения профиля обтекания Жуковского — Чаплыгина разработан алгоритм и представлена его компьютерная визуализация;

9. Предложены и внедрены в учебный процесс (ДВГУПС, Хабаровск) методы решения ряда позиционных задач начертательной геометрии, требующих моделирования и визуализации как действительных, так и мнимых линий взаимного пересечения квадрик, что в совокупности обеспечивает полное решение задач; представленная методика позволяет достаточно просто решать задачи, и не требующие моделирования МЭ (построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм, точек пересечения кривой линии с поверхностью).

10. Предложен и внедрен (ОАО «Дальгипротранс», г. Хабаровск) способ формообразования поверхностей четвертого порядка, главными сечениями которых являются коники. Разработан и реализован радиально-ортогональный способ построения этих поверхностей; установлено, что полости некоторых поверхностей визуализируются в действительном пространстве посредством аналогичных построений в мнимых областях.

11. Предложены и внедрены (ДВГУПС, г. Хабаровск) способы построений как действительных, так и мнимых силовых и эквипотенциальных линий некоторых электростатических полей, поскольку только такие полные построения отражают геометрический смысл картины поля в целом.

12. Предложена и внедрена (Оренбургский станкозавод и ПО «Стрела», г. Оренбург) методика анализа моделирования картины электрического поля при применении ионно-плазменных технологий; методика предусматривает визуализацию в мнимой области силовых линий, при этом дается наглядная картина прохождения этих линий через циклические точки, инцидентные несобственной прямой.

Таким образом, разработанная теория моделирования и визуализации МЭ, круг теоретических и прикладных задач, рассмотренных в диссертации, их постановка, методы исследования и полученные теоретические и практические результаты относятся к новому научному направлению в начертательной геометрии и применимы к другим рассмотренным областям знаний.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Графский О.А. Анализ и построение неевклидовых плоскостей схемы Кэ-ли-Клейна [Электронный ресурс]/ О А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ - М., 1999. - Вып. 1. - № 1.-25 с. - Режим доступа: http.//www.mai.гu/~apg.

2. Графский О.А. Анализ построения и моделирования электростатических полей/ О.А. Графский // Известия ТулГУ. Сер. Физика. - Тула, 2004. - Вып. 4.

С. 19-33.

3. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: Монография / О.А. Графский. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 168 с.

4. Графский О.А. Геометрическое моделирование основных положений специальной теории относительности / О.А. Графский // Транспорт и связь: Межвузовский сб. научлр./ ДВГАПС. - Хабаровск, 1994. - С. 124-131.

5. Графский О.А. Геометрические преобразования в формообразовании поверхностей как гиперпроекций пятимерного пространства О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. - Хабаровск, 1998. - № 2- С.27-29.

6. Графский О.А. Исследование взаимосвязи моделей неевклидовых геометрий / О.А. Графский // Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин: Матер, семинара-совещ. завед. графических кафедр вузов России / ПГАСА. - Пенза, 1999. - С. 85-87.

7. Графский О.А. Исследование моделей неевклидовых плоскостей схемы Кэли — Клейна / О.А. Графский // Начертательная геометрия и компьютерная графика: Междунар. науч.-метод. сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. - Н. Новгород, 2000. - Вып. 5. - С. 171-175.

8. Графский О.А. Исследование отображений линейной плоскости в квадратичную на основе теории функций комплексного переменного [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2003. — Вып. 5. — № 9. - 10 с. - Режим доступа: http.//www. mai.ru/ ~apg.

9. Графский О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в декартовых координатах [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2003. — Вып. 5. - № 9. - 17 с. - Режим доступа: http.//www.mai .ru/~apg.

10. Графский О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в полярных координатах [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2003. - Вып. 5. — № 9. - 19 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

11. Графский О.А. История возникновения и проблемы моделирования мнимых элементов/ О.А. Графский // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика,- Тула, 2003. - Т. 9, вып. 3. - С. 85 -97.

рос. ил и,.... БИБЛИОТЕКА С. Петербург 09 МО акт

12. Графский О.А. К вопросу классификации преобразований на основе посредников преобразования / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. - Хабаровск, 1998. - №2. - С. 35-37.

13. Графский О.А. К вопросу построения фундаментальных образов в геометрии / О.А. Графский // 12-я Международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон'2002»: Труды конф. 16-21 сент., 2002 г. -Н. Новгород, 2002. - С. 346-353.

14. Графский О.А. К вопросу трансформации моделей схемы Кэли-Клейна / О.А. Графский // Начертательная геометрия и компьютерная графика: Междунар. науч.-метод. сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. - Н. Новгород. -2001.-Вып. 7.-С.23-29.

15. Графский О.А. Конструирование геометрических форм главными сечениями / О.А. Графский // Оптические и электрические процессы в кристаллах: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГАПС. - Хабаровск, 1996. - С. 72-74.

16. Графский О.А. Многомерный подход к образованию поверхностей главными сечениями моделей плоскостей схемы Кэли - Клейна [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2002. — Вып. 4. - № 5. - 10 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

17. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости: Монография / О.А. Графский. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 161 с.

18. Графский О А. Образы коник квадратичной плоскости [Электронный ресурс]/ О А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2003. - Вып. 5 — № 10. — 14с — Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

19. Графский О.А. Основы моделирования и визуализации мнимых элементов в трехмерном пространстве/ О.А. Графский // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика- Тула, 2003. - Т. 9, вып.З. - С. 111-126.

20. Графский О.А. Применение квадратичного поля к решению некоторых позиционных задач [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2004. - Вып. 6. — № 12. — 16 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

21. Графский О.А. Построение на плоскости моделей совокупности отображений действительных и мнимых образов/ О.А. Графский // Известия ТулГУ. — Сер. Математика. Механика. Информатика.-Тула, 2003.-Т.9, вып.З - С.98 -110.

22. Графский, О.А. Схема Кэли - Клейна и формообразование поверхностей [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2000. - Вып. 2. - № 3. - 19 с. - Режим доступа: http.//www. mai.ru/~apg.

23. Графский О.А. Типы соответствий при отображении окружности в прямую линию [Электронный ресурс]/ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 11 с. - Режим доступа: http.//www.mai .ru/~apg.

24. Графский О.А. Формообразование поверхностей на основе неевклидовых плоскостей схемы Кэли - Клейна с использованием пакета Maple V / О.А. Графский //Совершенствование графико-геометрической подготовки студентов в современных условиях: Сб. тр. Всероссийского семинара-совещания зав. кафедрами графических дисциплин / РГУПС. - Ростов-на-Дону, 2001. - С. 220-222.

ГРАФСКИЙ ОЛЕГ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ТЕОРЕТИКО-КОНСТРУКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ МНИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ИД № 05247 от 2.07.2001 г. ПЛД № 79-19 от 19.01.2000 г. Сдано в набор 01.09.2004 г. Подписано в печать 10.09.2004 г. Формат 60x84Vie. Бумага тип. № 2. Гарнитура Times. Печать плоская. Усл. печ. л. 2,0. Зак. 187. Тираж 100 экз.

Издательство ДВГУПС 680021, г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.

»179 80

РНБ Русский фонд

2005-4 14791

Введение.

1 Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов.

1.1 Историко-литературный обзор введения в геометрию мнимых элементов и способов их моделирования.

1.1.1 Открытие геометрической интерпретации комплексных чисел

1.1.2 Введение в геометрию мнимых элементов и анализ способов их моделирования.

1.2 Проблемы моделирования мнимых элементов в геометрии.

1.2.1 Моделирование мнимых элементов в теории алгебраических кривых и нелинейных преобразованиях.

1.2.2 Целесообразность моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях.

1.3 Моделирование мнимых элементов в прикладных технических задачах.

1.3.1 Вопросы моделирования картины электрического поля.

1.3.2 Анализ исследований повышения надежности износостойких ионно-плазменных покрытий.

Выводы по разделу 1 и постановка задач исследований.

2 Теоретические основы моделирования и визуализации мнимых элементов на плоскости.

2.1 Предлагаемый метод моделирования мнимых элементов.

2.1.1 Общие положения

2.1.2 Визуализация образов на полях с мнимыми значениями координат точек.

2.1.3 Структурная схема композиций исследуемых отображений

2.1.4 Система полей с действительными, мнимыми и квадратичными значениями координат точек.

2.2 Характерные свойства исследуемых отображений.

2.2.1 Определение инвариантных элементов, класса точек и типа соответствий.

2.2.2 Отображения координатных сеток.

2.2.3 Структура полей и их классификация.

2.3 Анализ исследуемых отображений с проективных позиций.

2.3.1 Проективная модель квадратичного поля.

2.3.2 Проективный подход к метрическому определению соответственных точек на координатной оси классическими приемами построений.

2.4 Графоаналитические исследования в разработке способов построения соответственных точек.

2.4.1 Построение соответственных точек в прямом отображении.

2.4.2 Исследование отображений в полярных координатах.

2.4.3 Анализ построений соответственных точек в прямом отображении.

2.4.4 Построение соответственных точек в обратном отображении

Выводы по разделу 2.

3 Отображения, преобразования и геометрический анализ алгебраических кривых линий в плоскости.

3.1 Метрическая группа преобразований в исследуемых отображениях.

3.1.1 Трансляция и вращение.

3.1.2 Отражения.

3.1.3 Гомотетия

3.2 Моделирование и визуализация мнимых элементов в решении позиционных задач на плоскости.

3.2.1 Способы построения мнимых точек пересечения прямой линии с коникой.

3.2.2 Построение мнимых точек при взаимном пересечении коник.

3.3 Исследуемые отображения в геометрическом анализе алгебраических кривых линий.

3.3.1 Взаимные превращения коник квадратичного поля.

3.3.2 Геометрический анализ кривых линий четвертого и высших порядков.

3.3.3 Взаимное пересечение кривых линий четвертого порядка

3.4 Моделирование мнимых элементов в преобразовании Гирста.

3.4.1 Моделирование мнимых F-точек.

3.4.2 Построение соответственных точек в эллиптической инволюции.

Выводы по разделу 3.

4 Исследования отображений на основе теории функций

• комплексного переменного.

4.1 Исследование и анализ функции отображения.

4.1.1 Исследование аналитичности функции отображения.

4.1.2 Анализ функции отображения.

4.1.3 Построение соответственных точек в комплексной плоскости.

4.2 Функции комплексного переменного.

4.2.1 Функция W = —

2 1 ЯП 4.2.2 Функция w = z . low

4.2.3 Функция w =

4.2.4 Функция Жуковского w = ^

Z + -\.

4.2.5 Функция w = е

4.2.6 Обзор тригонометрических функций.

4.3 Моделирование и визуализация точек с координатами двух комплексных переменных.

4.3.1 Метод изображения комплексных точек.

4.3.2 Апробация метода моделирования и визуализации комплексных точек.

4.3.3 Анализ построений при моделировании точек с комплексными координатами.

Выводы по разделу 4.

5 Основы моделирования и визуализации мнимых элементов в трехмерном пространстве.

5.1 Построение геометрического аппарата исследуемых отображений.

5.1.1 Принципы моделирования 3-полей.

5.1.2 Классификационные признаки и структура 3-полей.

5.1.3 Конструктивная и структурная схемы исследуемых отображений.

5.2 Квадратичное 3-поле.

5.2.1 Проективная модель квадратичного 3-поля.

5.2.2 Плоскости в квадратичном 3-поле.

5.2.3 Прямые линии в квадратичном 3-поле.

5.3 Отображения и преобразования в квадратичном 3-поле.

5.3.1 Характерные свойства и построение соответственных точек.

5.3.2 Движения в квадратичном 3-поле.

Выводы по разделу 5.

6 Исследуемые отображения в вопросах начертательной геометрии и ее приложениях.

6.1 Моделирование и визуализация мнимых элементов в теории взаимного пересечения квадрик.

9 6.1.1 Квадрики с двумя точками соприкосновения.

6.1.2 Квадрики с общей плоскостью симметрии.

6.1.3 Случаи распадения биквадратной кривой на действительную и мнимую части.

6.2 Вопросы формообразования поверхностей.

6.2.1 Формообразование поверхностей как прообразов косой плоскости.

6.2.2 Аналитический метод формообразования косой плоскости и ее прообразов.

6.2.3 Многомерный подход к формообразованию поверхностей и геометрический аппарат их построения.

Р 6.3 Исследуемые отображения в приложении к геометриям

Кэли-Клейна.

6.3.1 Построение системы абсолютов и моделей плоскостей неевклидовых геометрий.

6.3.2 Трансформация моделей неевклидовых плоскостей.

6.3.3 Определение расстояний между двумя точками с позиции квадратичных координат.

Выводы по разделу 6.

Актуальность темы исследования. Начертательная геометрия, являясь на современном этапе учебной дисциплиной и базой прикладной геометрии, дает замечательный пример реализации своих методов в решении самых разнообразных задач, которые сводятся не только к элементарным построениям, но и отличаются большой наглядностью. Но эта дисциплина, постоянно совершенствуясь в образовательном и прикладном аспектах, до сих пор не имеет общеупотребительных способов решения задач с участием мнимых элементов (МЭ). Следовательно, графические построения не всегда находятся в полном соответствии с аналитическим решением той же задачи. В результате возникает проблема изображения МЭ на чертеже. Это обстоятельство явилось одной из главных причин отказа от чтения лекций по совместному курсу начертательной и аналитической геометрий (например, в МАИ), хотя параллельное изложение аналитических и синтетических методов было бы более эффективно при изучении студентами фундаментальных и специальных дисциплин.

Актуальность этой проблемы не ограничивается вопросами преподавания начертательной геометрии. Здесь также следует отметить особую значимость моделирования и изображения (визуализации) МЭ в таких областях знаний как основания геометрии (строение неевклидовых метрических геометрий), алгебраическая геометрия (теория алгебраических кривых линий и поверхностей, бирациональные преобразования), вопросы теории поля, позволяющие оперировать комплексными функциями, применяемыми для решения прикладных задач.

Представленная проблема моделирования и визуализации МЭ в начертательной геометрии, прежде всего, относится к задачам на взаимное пересечение алгебраических поверхностей. Например, биквадратная кривая при взаимном пересечении квадрик состоит из действительной и мнимой ветвей. Представление на чертеже в качестве решения только действительной ветви, нарушает известную теорему Безу. Но это только одна сторона исследуемого вопроса. Анализ известных теорем и решаемых на их основе задач показывает несоответствие полученного построения на чертеже сути теоремы. Например, теорема о линии пересечения двух квадрик, имеющих общую плоскость симметрии, утверждает, что ее проекцией на эту плоскость или плоскость ей параллельную является кривая второго порядка (не часть, а вся кривая). Но графически строится лишь часть указанной проекции линии пересечения. Следовательно, оставшаяся часть, которая на чертеже не строится, представляет собой проекцию или проекции мнимого пересечения рассматриваемых поверхностей. Или в теореме о двух точках пересечения любых двух кривых второго порядка, при* надлежащих одной квадрике, в графических построениях не рассматривается случай, когда эти точки являются мнимыми.

Создатель начертательной геометрии Г. Монж, имея в виду достоинства и недостатки графических и аналитических способов решения задач, отметил следующее: «Следует пожелать, чтобы обе эти науки изучались вместе: начертательная геометрия внесла бы присущую ей наглядность а наиболее сложные аналитические операции, а анализ, в свою очередь, внес бы в геометрию свойственную ему общность» (С. 28)1

Поэтому на основании всего вышесказанного, можно утверждать, что одной из главных проблем в параллельном изучении графических и аналитических способов решения геометрических задач является обучение студентов л изображению МЭ на поле чертежа.

Для указанных выше областей знаний, где вопросы изображения (визуализации) МЭ имеют важное значение, отметим, во-первых, проблему геометрической интерпретации получения неевклидовых геометрий Кэли - Клейна. Как известно, каждая из этих метрических геометрий характеризуется своим абсолютом и типом мероопределения длин отрезков и углов между прямыми линиями. Здесь следует отметить два основных положения, в которых приходится оперировать с мнимыми элементами: мнимыми точками как результатом пере

1 Монж, Г. Начертательная геометрия/Г. Монж; Пер. В.Ф. Газе; Под общей ред. Т.П. Кравца. -Л.: Изд-во АН СССР, 1947.-291 с. сечения прямой линии с абсолютом при эллиптическом типе мероопределения длины отрезка и мнимыми касательными, проведенными к абсолюту при таком же типе мероопределения величины угла между прямыми линиями. Кроме того, в некоторых геометриях сам абсолют является мнимым. Очевидно, имея метод моделирования МЭ, в том числе и несобственных, можно конструктивно подойти к моделированию всех девяти геометрий Кэли - Клейна, показав во взаимосвязи для каждой геометрии модель ее плоскости и соответствующий ей абсолют. Такая интерпретация может служить наглядным материалом для изучения основ неевклидовых геометрий.

Во-вторых, это вопросы алгебраической геометрии. Здесь наиболее значимыми как с теоретических, так и прикладных позиций следует отметить три аспекта, в которых целесообразно оперирование мнимыми элементами: формообразование алгебраических поверхностей; конструктивное определение характеристик алгебраических кривых линий; проведение анализа синтетических методов, применяемых в нелинейных (кремоновых) преобразованиях.

В теории алгебраических поверхностей недостаточно исследован вопрос их формообразования с позиции анализа координатных (главных) сечений этих поверхностей. В качестве указанных сечений могут выступать и коники, которые, как известно, имеют «мнимые продолжения», или «дополнения» (термин Ж.-В. Понселе). Следовательно, на основе этого можно прийти к способу формообразования поверхностей и этот вопрос требует обстоятельного рассмотрения.

Приоритет применения в геометрии МЭ принадлежит Ж.-В. Понселе. Пользуясь своим «принципом непрерывности», он отмечает целесообразность введения пары несобственных мнимых круговых (циклических) точек, через которые проходят все окружности, а также мнимой окружности, инцидентной несобственной плоскости, общей для всех сфер. Без такого понятия невозможно полно исследовать алгебраические кривые линии и поверхности, а также применять нелинейные алгебраические преобразования (кремоновы преобразования), широко используемые для конструирования технических форм различного назначения.

Как известно характеристики алгебраических кривых линий определяют по формулам Ю. Плюккера. При этом часть точек исследуемых кривых и касательных, к ним проведенных, особенно при анализе кривых более высокого порядка, обязательно будут мнимыми. Поэтому наряду с этими формулами конструктивное определение характеристик кривых даст более ощутимый эффект, если их анализ проводить параллельно с визуализацией МЭ. То есть определять характеристики плоских алгебраических кривых на таких «полных» их моделях, на которых можно было бы наглядно показать как действительные, так и мнимые точки для определения порядка кривой, а также действительные и мнимые касательные для определения ее класса.

В кремоновых преобразованиях при построении соответственных точек также возникает необходимость рассматривать МЭ. Например, в центральных преобразованиях, когда слабоинвариантная прямая пересекает инвариантную кривую в двух мнимых двойных точках. Кроме того, имеет место такая специализация указанных выше преобразований, когда некоторые фундаментальные точки являются мнимыми. Поэтому как сам геометрический аппарат преобразований, так и конструируемые им алгебраические кривые целесообразно рассматривать с позиции визуализации МЭ.

В-третьих, это теория поля. Известно, что конформные отображения, задаваемые функциями комплексного переменного позволяют решать прикладные задачи в таких областях, как гидро- и аэродинамика (например, задачи на обтекание и моделирование профиля обтекания), электростатика (моделирование картины электростатических полей), термодинамика (вместо проводников электричества рассматриваются проводники тепла, а вместо разности потенциалов - разность температур) и др.

При этом в указанных задачах с позиции теории поля широко используется понятие комплексного потенциала, от него переходят к силовым функциям и потенциальным. Такой переход позволяет моделировать, например, силовые и эквипотенциальные линии электростатического поля. При наличии определенных по знаку и форме зарядов (в гидродинамике им эквивалентно рассматриваются источники и стоки) возникают практические задачи по анализу этих линий. Их исследование и моделирование в прикладных задачах, например, для повышения качества ионно-плазменного покрытия изделий, приобретают практическую значимость.

Вследствие этого, на современном этапе разработка нового научного направления в начертательной геометрии по моделированию комплексной плоскости и пространства на действительной евклидовой плоскости является актуальной. Таким образом, объектом диссертационного исследования является совокупность теоретических и прикладных вопросов, в которых возникает необходимость моделирования мнимых элементов, а предметом исследований -мнимые элементы, конструктивное оперирование которыми является целесообразным в начертательной геометрии и других областях знаний.

На основании вышеизложенного определены цель и основные задачи диссертационного исследования, которому предшествовали разработки, выполненные в соответствии с планом фундаментальных исследований Министерства путей сообщения на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика» Дальневосточного государственного университета путей сообщения (ДВГУПС).

Цель работы. Разработка теории моделирования мнимых элементов, обеспечивающей возможность их визуализации в синтетическом обосновании фундаментальных вопросов геометрии и конструктивных решениях теоретических и прикладных задач.

Поставленная цель требует решения следующих основных задач: - на основе историко-литературного обзора введения в геометрию МЭ, анализа способов их моделирования, сформулировать наиболее важных теоретические и прикладные проблемы, требующие моделирование и визуализацию МЭ;

- разработать в проективной и метрической интерпретации теорию моделирования МЭ плоскости и метод их визуализации, позволяющие привести в полное соответствие аналитические и синтетические решения;

- на основании разработанного метода изображения МЭ плоскости предложить конструктивные способы в освещении ряда вопросов алгебраической геометрии, в частности теории алгебраических кривых и бирациональных преобразований;

- применить разработанный метод визуализации отображений известными комплексными функциями, имеющими прикладное значение в задачах теории поля;

- теоретические основы моделирования и визуализации МЭ плоскости обобщить на пространство трех измерений в проективной и метрической интерпретациях;

- применить разработанный метод моделирования и визуализации МЭ к решению задач начертательной геометрии, формообразованию поверхностей и получению неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна;

- исследовать возможности выполненных теоретических разработок в приложении к физическим процессам и явлениям, определить в соответствии с полученными результатами перспективные направления новых исследований, рассмотрев одно из них, направленное на повышение качества ионно-плазменного покрытия изделий из износостойких материалов.

Методика выполнения работы. Главной методической особенностью работы является рассмотрение вопросов как в метрической, так и проективной интерпретациях. Каждая из основных задач представляет собой комплекс взаимосвязанных вопросов, рассмотрение которых основывается на методах проективной, начертательной, аналитической, исчислительной, многомерной геометрий, теории функций комплексного переменного и теории поля, классических способов геометрических построений, программирования и компьютерной визуализации.

Теоретической базой настоящего исследования явились основополагающие работы:

- по проективной геометрии Ж.-В. Понселе, X. Штаудта, Я. Штейнера, М. Шаля, Э. Лагерра, Г. Ганкеля, Н.В. Ефимова, Н.А. Глаголева, Н.Ф. Четверухи-на, Г.Б. Гуревича и других ученых;

- по развитию идей неевклидовых геометрий Ф. Клейна, А. Кэли, А. Пуанкаре, В. Бляшке, В.Ф. Кагана, Д.М.Ю. Соммервилля, Б.А. Розенфельда, И.М. Яглома и их учеников;

- по исследованиям в аналитической и алгебраической геометрии К.А. Андреева, Э. Штуди, ВА. Реуса, Г. Дарбу, П.К. Рашевского, Д. Кокса, Дж. Литтла, Д. ОТНи и других отечественных и зарубежных ученых;

- по вопросам геометрического моделирования в начертательной геометрии И.С. Джапаридзе, К.И. Валькова, З.А. Скопеца, включая способы построения мнимых элементов Ф.М. Суворова, В. Швана, П.В. Филиппова, Г.С. Иванова, А.Г. Гирша, К.К. Конакбаева;

- по автоматизации проектирования и визуализации геометрических объектов в области прикладной геометрии Ю.И. Бадаева, В.А. Бусыгина, В.Я. Волкова, Ю.И. Денискина, В.Г. Ли, В.Е. Михайленко, К.М. Наджарова, В.М. Най-дыша, B.C. Обуховой, А.Л. Подгорного, А.Д. Тузова, В.И. Якунина и их учеников.

Научная новизна. Научная новизна и теоретическая значимость работы заключается в том, что в диссертации для моделирования МЭ предложена система координатных проекционно-связанных полей: девяти плоских полей (2-поле) в двумерном случае и двадцати семи объемных (3-поле) - в трехмерном пространстве. В каждом случае система полей, состоящая из квадратичного, линейно-квадратичных и линейных полей, позволяет в зависимости от сочетания координат точек (действительных и мнимых) рассматривать их образы одновременно на нескольких полях с учетом возникающих между ними соответствий. Этот подход отличается от моделирования комплексной плоскости и комплексного пространства в многомерном действительном евклидовом пространстве достаточной простотой и не требует знаний многомерной геометрии, что является основным условием для ее овладения инженерно-техническими работниками. В итоге получены следующие результаты, имеющие научную новизну:

- установлено, что введением дополнительного квадратичного поля можно моделировать геометрические образы в полном объеме, включая их действительные и мнимые составляющие; при обобщении на трехмерный случай аналогичную роль играет квадратичное 3-поле;

- установлены характерные свойства соответствий, возникающих между указанными полями, включая определение инвариантных и слабоинвариантных элементов, а также структуры полей, выявленной на основе разработанной их классификации;

- разработаны конструктивные способы построения соответственных точек; для получения однозначных соответствий предложено линейно-квадратичные поля и квадратичное поле рассматривать как модели двух- и четырехлистных римановых поверхностей;

- на основе предложенного метода изображения МЭ разработаны способы моделирования абсолюта евклидовой плоскости и трехмерного пространства;

- разработана методика геометрического анализа и визуализации кривых высших порядков, позволяющая проследить в квадратичном поле их инцидентность, как действительным, так и мнимым областям;

- предложен способ графического определения характеристик плоских алгебраических кривых, полностью соответствующий известным формулам Ю. Плюккера, а также всех точек (действительных и мнимых) взаимного пересечения этих линий;

- предложен способ построения соответственных точек для бирациональ-ных преобразований в пучке слабоинвариантных прямых, на которых индуцируется эллиптическая инволюция, применительно к бирациональным преобразованиям; для одной из специализаций этих преобразований с двумя мнимыми фундаментальными точками показана возможность их конструктивного определения;

- разработан и графически реализован способ формообразования и построения поверхностей четвертого порядка, имеющих в качестве главных сечений коники; установлено, что мнимые продолжения таких поверхностей образуют новые поверхности того же порядка.

Практическая ценность. Практическую значимость исследований составляют результаты, базирующиеся на моделировании МЭ плоскости и пространства. Разработанная методика применима к задачам начертательной геометрии (в том числе и к задачам, в которых не требуется моделирование МЭ: построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм; построение точек пересечения кривой линии с криволинейной поверхностью и др.), а также к теории алгебраических кривых и поверхностей, основаниям геометрии, теории функций комплексного переменного и решаемых на ее основе прикладных задач. В частности, получены следующие результаты:

- создана методика, обеспечивающая полное соответствие результатов, получаемых при графическом и аналитическом решении задач на плоскости и в пространстве;

- на основании разработанных структурной схемы и системы полей созданы модели МЭ, отличающиеся своей наглядностью и простотой, позволяющие инженерно-техническим работникам не овладевать специальными разделами высшей математики;

- создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли - Клейна, которая может служить методическим материалом при изучении курса оснований геометрии;

- представлены способы построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями, наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере профиля обтекания Жуковского - Чаплыгина разработан алгоритм его построения с последующей компьютерной визуализацией;

- представлены уточнения по вопросам моделирования картины электростатических полей с учетом прохождения их через мнимые области; даны графические способы по построению силовых и эквипотенциальных линий для двух разноименных и двух одноименных равных зарядов.

На защиту выносятся:

- метод моделирования МЭ в предлагаемой системе координатных полей и способы построения соответственных точек, инцидентных этим полям на плоскости и в пространстве;

- классификация по определению структуры полей;

- способ приведения многозначных соответствий, устанавливаемых между полями, к однозначным;

- способ визуализации МЭ в решении позиционных задач на плоскости и в бирациональных преобразованиях;

- метод геометрического анализа характеристик плоских алгебраических кривых линий;

- метод построения соответственных точек в отображениях комплексными функциями и способ визуализации мнимых точек плоскости с координатами двух комплексных переменных;

- способы визуализации МЭ в решении задач начертательной геометрии;

- метод формообразования и способ построения поверхностей четвертого порядка, имеющие в качестве главных своих сечений коники;

- метод построения в квадратичном поле системы плоскостей и абсолютов неевклидовых геометрий схемы Кэли - Клейна;

- метод образования псевдоевклидовой метрики на плоскости и способ определения расстояний между двумя точками в псевдоевклидовой геометрии на евклидовой плоскости;

- синтетический метод определения параметров физических величин с позиции специальной теории относительности;

- методы анализа электростатических полей посредством их отображения в поля моделирования МЭ.

Реализация результатов исследования. Результаты теоретических исследований, выполненных в диссертационной работе, внедрены на предприятиях тяжелого машиностроения и авиационной промышленности (г. Оренбург) в виде методик и рекомендаций, обеспечивающих качественное покрытие изделий при использовании ионно-плазменных технологий; в проектном институте «Дальгипротранс» (г. Хабаровск) в качестве базы данных (графические и аналитические модели), используемые при проектировании строительных сооружений. Результаты исследований используются в учебном процессе Дальневосточного государственного университета путей сообщения на кафедре «Электротехника, электроника и электромеханика» при изучении студентами третьего курса разделов теории электромагнитного поля и на кафедре «Начертательная геометрия и инженерная графика» при изучении темы «Образование поверхностей» и решения позиционных задач, в которых целесообразно изображать мнимые элементы, а также в задачах не требующие моделирования МЭ (построение линии среза, собственных и падающих теней и т. д.).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были доложены, обсуждены и (или) представлены в виде тезисов докладов: на международных конференциях: «Проблемы транспорта Дальнего Востока» (Владивосток, 1995, 1997); «GraphiCon 2002» (Нижний Новгород, 2002)-; всероссийских конференциях: «Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовке специалистов для народного хозяйства» (Ленинград, 1984); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта в новых условиях развития Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1993); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1997); «Актуальные вопросы современной инженерной графики» (Рыбинск, 2000); всероссийских семинарах-совещаниях заведующих кафедрами графических дисциплин (Пенза, 1999; Нижний Новгород, 2000; Ростов-на-Дону, 2001; Саратов, 2004);

- региональных и межвузовских конференциях: «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Дальневосточного региона» (Хабаровск, 1995); «Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири и Дальнего Востока» (Хабаровск, 1999); «Фундаментальные и прикладные исследования - транспорту» (Екатеринбург, 2000); «Графическое образование: вопросы теории, истории и практики» (Хабаровск, 2000);

- научно-технических и научно-методических конференциях ДВГУПС (Хабаровск, 1974, 1976, 1987, 1989, 2002);

- межкафедральном научно-методическом семинаре ДВГУПС (Хабаровск, 1984, 1986, 1988, 2003);

- научно-методических семинарах кафедры «Начертательная геометрия и инженерная графика» Ленинградского института инженеров железнодорожного транспорта (Ленинград, 1977); кафедры «Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика» Омского государственного технического университета (Омск, 2000);

- расширенном заседании кафедры «Прикладная геометрия» Московского авиационного института (Государственный технический университет, 2003, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано более 40 научных работ, включая 2 монографии, 10 тезисов докладов, 4 депонированные в ВИНИТИ и ЦНИИТЭИ МПС рукописи и 2 зарегистрированных в ВНТИЦентр отчетов о НИР. В указанный объем не входят статьи [7, 12, 39, 42, 58, 61, 72, 144, 210] и тезисы докладов [8, 13, 14, 38, 67, 75, 86, 140, 149, 175], опубликованные в рамках развития НИРС в соавторстве со студентами в научных сборниках молодых ученых, аспирантов и студентов ДВГТУ (Владивосток), ДВГУПС, ХГТУ (Хабаровск).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, семи глав (разделов), заключения. Содержит 276 страниц текста, исключая 18 таблиц, 178 рисунков и библиографический список использованных источников (230 наименований). Общий объем - 404 страниц.

Выводы по разделу 7

Результаты исследований прикладного характера позволяют сделать следующие выводы.

1. Установлено, что определение некоторых параметров физических величин, рассматриваемых с позиции специальной теории относительности, можно привести в полное соответствие с геометрическим аппаратом, разработанным в п. 3.1.2 для моделирования МЭ; предлагаемые интерпретации наглядны, позволяют анализировать результаты по элементарному чертежу.

2. Предложен ряд перспективных исследований в таких областях, как кристаллофизика, нелинейная оптика и теория электромагнитных полей, изучение которых может быть основано на разработанной методике геометрического анализа алгебраических кривых линий (подразд. 3.3).

3. На основании применения разработанной методики моделирования и визуализации МЭ в теории электрических полей получены следующие результаты: предложены способы построения семейств силовых и эквипотенциальных линий идеальных картин электростатического поля двух равных точечных зарядов (разноименных и одноименных) как в действительной, так и мнимой областях; полученные результаты могут быть использованы в учебном процессе при изучении теоретических основ электротехники; на основании экспериментальных и теоретических исследований ионно-плазменного покрытия изделий проведен конструктивный анализ семейств силовых линий и даны рекомендации, обеспечивающие качественное покрытие; в случае размещения в камере установки двух экранов, подтверждено, что силовые линии можно рассматривать как алгебраические линии восьмого порядка, которые являются четырех циркулярными; предложено анализировать эти линии в поле моделирования МЭ с обоснованным построением всех мнимых ветвей, а с проективных позиций рассматривать их прохождение через мнимые циклические точки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенные исследования показали, что проблема моделирования МЭ в начертательной геометрии и ее приложениях является актуальной, а разработанная теория отвечает основной идее диссертации — приведению графических методов решения задач в полное соответствие с аналитическими. При этом в работе заложен такой теоретический подход, реализация которого позволяет решать задачу как синтетическими, так и аналитическими методами, следовательно, и с применением программирования и компьютерной графики. Выполненные исследования направлены на моделирование и визуализацию МЭ на плоскости и по полученным результатам обобщены на пространство трех измерений.

В работе получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Анализ классических приемов построений, с одной стороны, и известные методы отображения пространств друг на друга, с другой, позволили на их основе предложить такой метод моделирования МЭ, который имеет широкую область применения, включая и задачи начертательной геометрии.

2. Установлено, что разработанный метод находится в полном соответствии как с главным предложением X. Штаудта, так и с теорией «дополнений», или «мнимого продолжения», которую предложил Ж.-В. Понселе. При этом показано, что необходимые построения на чертеже можно выполнять несколькими способами. 3. Расширены возможности моделирования МЭ за счет введения системы проекционно-связанных полей (линейных, линейно-квадратичных, квадратичных). Установлено, что если линейные поля позволяют моделировать МЭ только в одной конкретной мнимой области, то в квадратичном поле можно проследить прохождение кривой линии или поверхности, как через действительную область, так и различные мнимые.

4. Исследована структура и разработана классификация полей, даны аналитические зависимости определения многозначности устанавливаемых соответствий между точками полей, которые справедливы для «-мерного случая. Для приведения к однозначным соответствиям предложено рассматривать линейно-квадратичные и квадратичные поля как модели римановых поверхностей.

5. Показано, что на проективной модели плоского квадратичного поля возможна интерпретация циклических точек, изотропных прямых, действительных и мнимых окружностей и циркулярных кривых высокого порядка, проходящих через эти мнимые точки. При обобщении полученных результатов на пространство трех измерений получена картина прохождения всех действительных и мнимых сфер, изотропного конуса через мнимую окружность, инцидентную несобственной плоскости.

6. Предложено графическое определение порядка, класса алгебраических кривых линий и других их характеристик, соответственных формулам Ю. Плюккера, а также точек взаимного пересечения этих линий, которые или их часть являются мнимыми. Дано обоснование построений соответственных точек в преобразовании, когда на слабоинвариантной прямой линии устанавливается эллиптическая инволюция, а также построение в одной из специализаций этих преобразований двух мнимых фундаментальных точек.

7. На основании предложенного метода создана наглядная модель совместной интерпретации плоскостей и соответствующих абсолютов неевклидовых геометрий по схеме Кэли - Клейна, которая раньше рассматривалась абстрактно. Показано моделирование псевдоевклидовой метрики и определение расстояния между двумя точками в этой геометрии.

8. Представлены способы построения соответственных точек при отображениях различными комплексными функциями наиболее часто применяемых в прикладных исследованиях; на примере построения профиля обтекания Жуковского - Чаплыгина разработан алгоритм и представлена его компьютерная визуализация;

9. Предложены и внедрены в учебный процесс (ДВГУПС, Хабаровск) методы решения ряда позиционных задач начертательной геометрии, требующих моделирования и визуализации как действительных, так и мнимых линий взаимного пересечения квадрик, что в совокупности обеспечивает полное решение задач; представленная методика позволяет достаточно просто решать задачи, и не требующие моделирования МЭ (построение линии среза, собственных и падающих теней архитектурных форм, точек пересечения кривой линии с поверхностью).

10. Предложен и внедрен (ОАО «Дальгипротранс», Хабаровск) способ формообразования поверхностей четвертого порядка, главными сечениями которых являются коники. Разработан и реализован радиально-ортогональный способ построения этих поверхностей; установлено, что полости некоторых поверхностей визуализируются в действительном пространстве посредством аналогичных построений в мнимых областях.

11. Предложены и внедрены (ДВГУПС, Хабаровск) способы построений как действительных, так и мнимых силовых и эквипотенциальных линий некоторых электростатических полей, поскольку только такие полные построения отражают геометрический смысл картины поля в целом.

12. Предложена и внедрена (Оренбургский станкозавод и ПО «Стрела», Оренбург) методика анализа моделирования картины электрического поля при применении ионно-плазменных технологий; методика предусматривает визуализацию в мнимой области силовых линий, существенно влияющих на качество покрытия изделия, при этом дается наглядная картина прохождения этих линий через циклические точки, инцидентные несобственной прямой.

Таким образом, разработанная теория моделирования и визуализации мнимых элементов, круг теоретических и прикладных задач, рассмотренных в диссертации, их постановка, методы исследования и полученные теоретические и практические результаты относятся к новому научному направлению в начертательной геометрии, и применимы к области прикладной геометрии и компьютерной графики.

1. Алексеева, JI.B. Анизотропные свойства отражения и преломления световых волн в оптических кристаллах: Дис. . канд. физ.-мат. наук / JI.B. Алексеева. Хабаровск., 1999. - 113 с.

2. Аникеева, Н.П. Геометрическое моделирование картины электрического поля в камере осаждения износостойких покрытий: Дис. . канд. техн. наук / Н.П. Аникеева. М., 1998. - 127 с.

3. Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. — М.: Просвещение, 1966. 366 с.

4. Базылев, В.Т. Геометрия / В.Т Базылев, К.И. Дуничев. М.: Просвещение, 1975.-367 с.

5. Бакельман, И.Я. Инверсия / И.Я. Бакельман. М.: Наука, 1966. — 79 с.

6. Берже, М. Геометрия: В 2 т. Т.1./ М. Берже; Под ред. И.Х. Сабитова; Пер.с франц М.: Мир, 1984. — 560 с.

7. Берже, М. Геометрия: В 2 т. Т.2./ М. Берже; Под ред. И.Х. Сабитова; Пер.с франц. М.: Мир, 1984. — 368 с.

8. Бессонов, JI.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле/Л.А. Бессонов. — М.: Гардараки., 2001.-317 с.

9. Болдарев, А.В. О предельных переходах в геометрических моделях схемы Кэли-Клейна /А.В. Болдарев, О.А. Графский // Молодежь и научно-технический прогресс: Материалы региональной науч. конф./ ДВГТУ. — Владивосток, 2000. 4.1. - С. 28-29.

10. Боярчук, А.И. Применение методов проективной геометрии к решению конструктивных задач: Дис. . канд. техн. наук /А.И. Боярчук. Грозный, 1948. -181 с.

11. Буземан, Г. Проективная геометрия и проективные метрики / Г. Бузе-ман, П. Келли; Под ред. И.М. Яглома; Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной лит., 1957.-с 410.

12. Бутырин, П.А. Оценки интенсивности и качества электромагнитных процессов по площадям и длинам их траекторий / П.А. Бутырин, О.А. Шатуно-ва // Электричество. 2001. -№10. - С. 50-60.

13. Бюшгенс, С.С. Синтетическая геометрия / С.С. Бюшгенс, А.А. Глаголев // Математика в СССР за тридцать лет 1917 1947: Сб. статей под ред. А.Г. Ку-роша, А.И. Маркушевича, П.К. Рашевского. - М-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 939-989.

14. Вальков, К.И. Вопросы использования методов геометрического моделирования/ К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: сб. науч. тр./ ЛИСИ Л., 1968. - Вып.52. - С. 7-15.

15. Вальков, К.И. Лекции по основам геометрического моделирования / К.И. Вальков. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1975. 180 с.

16. Вальков, К.И. Метод предельного геометрического моделирования / К.И. Вальков // Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования: Краткие содержания докладов к XXVI науч. конф., 30 янв- 9 февр. 1968 г./ ЛИСИ Л., 1968. - С. 69-72.

17. Вальков, К.И. Об изучении эквивалентных пространств/ К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ ЛИСИ. Л., 1974. -№ 100.-С. 2-18.

18. Вальков, К.И. Применение методов геометрического моделирования в некоторых задачах специальной теории относительности / К.И. Вальков // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ ЛИСИ Л., 1968. -Вып. 52. - С. 64-84.

19. Вальков, К.И. Проекционные методы прикладной геометрии/ К.И. Вальков, И.С. Джапаридзе, И.И. Котов, Л.Н. Лихачев, З.А. Скопец // Тр. Московского науч.-методического семинара по начертательной геометрии и инженерной графике / МАИ. М., 1972. - С. 8-22.

20. Васильева, М.В. Аналитическая геометрия / М.В. Васильева // Вопросы дифференциальной и неевклидовой геометрии: Уч. зап./ МГПИ. М., 1983. -№208.-С. 352-394.

21. Вениаминова, З.Н. Об одном способе построения линий перехода поверхностей второго порядка / З.Н. Вениаминова // Тр. Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Советская наука, 1958. - С. 22-34.

22. Вольберг, О.А. Основные идеи проективной геометрии / О.А. Воль-берг. -М.-Л.: Учпедгиз, 1949. 188 с.

23. Вялков, В.И. Графоаналитические исследования топологических преобразований / В.И. Вялков, О.А. Графский // Прикладные вопросы начертательной геометрии: Сб.науч.тр./ ЛИИЖТ. Л., 1978. - С. 128-136. - Деп. в ЦНИИТЭИ МПС, 724/78.

24. Гвоздев, Ю.В. К вопросу о пересечении поверхностей второго порядка по плоским кривым: Дис. .канд. техн. наук/Ю.В. Гвоздев. Киев, 1959.-100 с.

25. Гершензон, Е.М. Электродинамика / Е.М. Гершензон, Н.Н. Малов. -М.: Академия, 2002. 352 с.

26. Гильберт, Д. Наглядная геометрия / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен; Пер.с нем. М.: Наука, 1981.-344 с.

27. Гирш, А.Г. Критерий мнимости коник при различном их задании / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ. -Омск, 1986.-С. 51-54.

28. Гирш, А.Г. Обобщение «сечений Вилларсо» на поверхности вращения с образующей коникой Электронный ресурс./ А.Г. Гирш // Прикладная геометрия: Электронный журнал. М.: МАИ, 2003. - Вып. 5. — №11.— 12 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

29. Гирш, А.Г. Точки пересечения и общие касательные двух окружностей / А.Г. Гирш // Начертательная геометрия и машинная графика в практическом решении инженерных задач: Межвузовский тематический сб. науч. тр./ ОмПИ. -Омск, 1987.-С. 53-57.

30. Гирш, А.Г. Уравнения первой и второй степени с комплексными коэффициентами и их графики / А.Г. Гирш // Геометрическое моделирование в практике решения инженерных задач: Сб. науч. тр./ ОмПИ. — Омск, 1991. — С. 79-85.

31. Глаголев, Н.А. Проективная геометрия / Н.А. Глаголев. М.: Высш. шк., 1963.-344 с.

32. Глазунов, Е.А. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии / Е.А. Глазунов // Труды Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. -М.: Советская наука, 1958. С. 35-69.

33. Графский, О.А. Автоматизированное проектирование трехмерных объектов / О.А. Графский, А.И. Соколовский // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. Хабаровск, 1997. -С. 91-96.

34. Графский, О.А. Анализ и построение неевклидовых плоскостей схемы Кэли-Клейна Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал /МАИ. М., 1999. - Вып. 1. - № 1.-25 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

35. Графский, О.А. Аппарат начертательной геометрии четырехмерного пространства / О.А. Графский, Ю.Р. Кунсман // Проблемы железнодорожного транспорта. Поиск, перспективы развития: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1993. - С. 143-149.

36. Графский, О.А. Аффинные преобразования в квадратичной плоскости Электронный ресурс. / О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 10. - 17 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

37. Графский, О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: Монография / О.А. Графский. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004.- 168 с.

38. Графский, О.А. Геометрическое истолкование квадратичных и мнимых плоскостей Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 23 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

39. Графский, О.А. Геометрическое моделирование основных положений специальной теории относительности / О.А. Графский // Транспорт и связь: Межвузовский сб. науч.тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1994. - С. 124-131.

40. Графский, О.А. Геометрические преобразования в построении собственных и падающих теней архитектурных форм / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С.41-43.

41. Графский, О.А. Геометрические преобразования в формообразовании поверхностей как гиперпроекций пятимерного пространства О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - № 2 — С.27-29.

42. Графский, О.А. Исследование взаимосвязи моделей неевклидовых геометрий/ О.А. Графский // Актуальные проблемы теории и методики графических дисциплин: Материалы семинара-совещания зав. графических кафедр вузов России / ПГАСА. Пенза, 1999. - С. 85-87.

43. Графский, О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в декартовых координатах Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 17 с. -Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

44. Графский, О.А. Исследование свойств квадратичной плоскости в полярных координатах Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 19 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

45. Графский, О.А. Исследование топологических преобразований с поверхностью преломления вращения / О.А. Графский// Материалы XXVIII науч.-технической конф./ ХабИИЖТ. Хабаровск, 1974. - Вып. 9. - С. 116-122.

46. Графский, О.А. Использование геометрических преобразований в построении линии среза некоторых фигур / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С.31-33.

47. Графский, О.А. К вопросу классификации преобразований на основе посредников преобразования / О.А. Графский // Бюллетень научных сообщений / ДВГУПС. Хабаровск, 1998. - №2. - С. 35-37.

48. Графский, О.А. К вопросу построения фундаментальных образов в геометрии / О.А. Графский // 12-я Международная конференция по компьютерной графике и машинному зрению «ГрафиКон-2002»: Труды конф. 16-21 сент., 2002 г. -Н. Новгород, 2002. С. 346-353.

49. Графский, О.А. К вопросу формообразования поверхностей / О.А. Графский, А.В. Горбунова, Н.В. Грязнова, А.В. Громов, А.А. Мамаев // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. -Хабаровск, 1997.-С. 82-87.

50. Графский, О.А. Конструирование геометрических форм главными сечениями/ О.А. Графский // Оптические и электрические процессы в кристаллах: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГАПС. Хабаровск, 1996. - С. 72-74.

51. Графский, О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости: Монография / О.А. Графский. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. - 161 с.

52. Графский, О.А. Образы коник квадратичной плоскости Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ.- М., 2003. Вып. 5, № 10. - 14 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

53. Графский, О.А. Построение моделей многомерных пространств Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2000. - Вып.2. - № 2. - 11 е.- Режим доступа: http.//www.mai.ru/ ~apg.

54. Графский, О.А. Стереографические проекции на квадратичной плоскости Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 10. - 14 с. - Режим доступа: http .//www. mai.ru/~apg.

55. Графский, О.А. Схема Кэли Клейна и формообразование поверхностей Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. - М., 2000. - Вып. 2. - № 3. - 19 с. - Режим доступа: http.//www. mai.ru/~apg.

56. Графский, О.А. Теоретические основы моделирования квадратичного пространства Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия:

57. Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. — 15 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

58. Графский, О.А. Типы соответствий при отображении окружности в прямую линию Электронный ресурс./ О.А. Графский // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2003. - Вып. 5. - № 9. - 11 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

59. Графский, О.А. Топологические преобразования в интерпретации специальной теории относительности / О. А. Графский, Д.Ю. Янголь, Р.В. Сто-вбчатый // Проблемы железнодорожного транспорта: Межвузовский сб. науч. тр./ ДВГУПС. Хабаровск, 1997. - С. 75-87.

60. Графский, О.А. Топологические преобразования окружности Евклида в окружности Минковского и Галилея / О.А. Графский; Хабаровский ин-т инж. жел.-дор. тр-та. Хабаровск, 1984. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ, 2676-84.

61. Графский, О.А. Топологические преобразования поверхностей второго порядка / О.А. Графский; Хабаровский ин-т инж. жел.-дор. тр-та. — Хабаровск, 1984. 6 с. - Деп. в ВИНИТИ, 2675-84.

62. Гурвиц, А. Теория функций/ А. Гурвиц, Р. Курант; Пер. с нем.- М.: Наука, 1968.-618 с.

63. Гуревич, Г.Б. Проективная геометрия / Г.Б. Гуревич. М.: Физматгиз, 1960.-320 с.

64. Гусев, Я.В. Построение линии взаимного пересечения некоторых поверхностей / Я.В. Гусев // Материалы второй конференции по начертательной геометрии Ташкент: ФАН, 1968. - Вып. 60. - С. 202-206.

65. Дарбу, Г. Принципы аналитической геометрии / Г. Дарбу. J1.-M.: Гл. ред. технико-теоретической лит., 1938. - 375 с.

66. Денискина, А. Р. Методы аппроксимации дискретных обводов в задачах твердотельного моделирования: Автореф. дис. .канд. техн. наук / А.Р. Денискина. М., 1999. - 18 с.

67. Джапаридзе, И.С. Начертательная геометрия в свете геометрического моделирования / И.С. Джапаридзе. Тбилиси: Ганатлеба, 1983. - 298 с.

68. Джапаридзе, И.С. О некоторых направлениях исследований в области геометрического моделирования / И.С. Джапаридзе // Начертательная геометрия и ее приложения: Межвузовский науч. сб. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1976. Вып. 1. - С. 71-80.

69. Джапаридзе, И.С. Построение конструктивных моделей пространств, их систематизация и связь с методами изображений, применяемыми в технике: Дис. . д-ра техн. наук / И.С. Джапаридзе. Тбилиси, 1965. - 363 с.

70. Димантов, Е.А. Построение некоторых кривых четвертого порядка на плоскости / Е.А. Димантов // Вопросы геометрического моделирования: Сб. науч. тр./ЛИСИ.-Л., 1973.-№80.-С. 108-127.

71. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия / Н.В Ефимов.-М.: Наука, 1971.576 с.

72. Ефимов, Н.В. Линейная алгебра и многомерная геометрия / Н.В. Ефимов, Э.Р. Розендорн. М.: Наука, 1970. - 528 с.

73. Иванов, Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований)/ Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1987. - 192 с.

74. Иванов, Г.С. Начертательная геометрия / Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1995. - 224 с.

75. Иванов, Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: Дис. . канд. техн. наук / Г.С. Иванов. -М., 1968.-149 с.

76. Иванов, Г.С. О моделировании одного множества рациональных поверхностей Электронный ресурс./ Г.С. Иванов // Прикладная геометрия: Электронный журнал / МАИ. М., 2002. - Вып. 4. - № 8 - 11 с. - Режим доступа: http.//www.mai.ru/~apg.

77. Иванов, Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г.С. Иванов. М.: Машиностроение, 1998. - 158 с.

78. Извольский, Н.А. Синтетическая геометрия / Н.А. Извольский. М.: Учпедгиз, 1941.- 131 с.

79. Ильин, В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, Э.Г. Поздняк. -М.: Наука, 1968.-322 с.

80. Каган, В.Ф. Основания геометрии. В 2 ч. 4.2: Учение об основании геометрии в ходе его исторического развития/ В.Ф. Каган. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — 344 с.

81. Каган, В.Ф. Очерки по геометрии / В.Ф. Каган. М.: Изд-во МГУ, 1963.-576 с.

82. Кантор, И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. М.: Наука, 1973.- 144 с.

83. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: В 2 т. Т.1./ Ф. Клейн; Под ред. М.М. Постникова: Пер. с нем. М.: Наука, 1989. - 456 с.

84. Клейн, Ф. Неевклидова геометрия/ Ф. Клейн; Пер.с нем. M.-JL: ОНТИ НКТП СССР, 1936. - 355 с.

85. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т.1: Арифметика. Алгебра. Анализ / Ф. Клейн; Под ред. В.Г. Болтянского; Пер. с нем. -М.: Наука, 1987.-432 с.

86. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т.2: Геометрия / Ф. Клейн; Под ред. В.Г. Болтянского; Пер. с нем.- М.: Наука, 1987.-416 с.

87. Ковалев, Д.К. Процессы намагничивания монодоменных ВТСП элементов и их применение в криогенных электрических машинах / Д.К. Ковалев, С.М.-А. Конеев, А.Е. Ларионов и др.// Электричество. 2002. - № 3. - С. 29-39.

88. Кокс, Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры / Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. ОТПи; Под ред. В.Л. Попова; Пер.с англ.- М.: Мир, 2000. -687 с.

89. Конакбаев, К.К. О мнимых точках пересечения прямой с коникой/ К.К. Конакбаев // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Тр. ин-та/ МАИ. М., 1970. - №205. - Вып. 4. - С. 33 - 42.

90. Кострюков, А.В. Геометрическая модель электростатического поля процесса нанесения ионно-плазменных покрытий / А.В. Кострюков // Конструирование поверхностей и их технические приложения: тематический сб. науч. тр./ МАИ -М, 1992,-С. 13-16.

91. Кострюков, А.В. Геометрическое моделирование процесса формирования поверхностей при осаждении тонкопленочных покрытий: Дис. . канд. техн. наук / А.В. Кострюков. М., 1992. - 191 с.

92. Котов, И.И. Аналитическая геометрия с теорией изображений /И.И. Котов, В.А. Маневич, А.Р. Зенгин. М.: Высш. шк., 1969. - 304 с.

93. Котов, И.И. Графические способы задания и построения форм поверхностей: Дис. . д-ра техн. наук. В 2 ч./ И.И. Котов. М., 1961. - 4.1. -169 е., 4.2.-212 с.

94. Кусебаев, У.К. Конструирование специальных геометрических моделей для описания электрического поля ЛЭП: Дис. . на соиск. ученой степени канд. техн. наук / У.К. Кусебаев. Киев, 1990. - 125 с.

95. Кучеренко, С.И. О некоторых кривых 4-го порядка // С.И. Кучеренко, Н.А. Никулин // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. Науч.-технический сб. Киев: Буд1вельник, 1980. - Вып. 30. - С. 69-71.

96. Кэли, А. Шестой мемуар о формах: Пер. с англ./ А. Кэли// Об основаниях геометрии: Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей; Ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. - С. 222-252.

97. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Гос. изд-во физико-мат. лит., 1958. -678 с.

98. Лобачевский, Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий / Н.И. Лобачевский; Пер., комментарии, вступ. ст. и прим. проф. В.Ф. Кагана. М.-Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1945. - 176 с.

99. Лунц, Г. Л. Функции комплексного переменного/ Г. Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. СПб.: Лань, 2002. - 304 с.

100. Макарова, Н.М. Двумерная неевклидова геометрия с параболической метрикой длин и углов: Дис. . канд. физ.-мат. наук / Н.М. Макарова. -Ю- Сахалинск, 1962. 205 с.

101. Малахов, Н.А. Построение линии пересечения поверхностей топологическими преобразованиями и графомеханическими способами: Дис. . канд. техн. наук / Н.А. Малахов. Л., 1954. - 176 с.

102. Маркушевич, А.И. Введение в теорию аналитических функций / А.И. Маркушевич, Л.А. Маркушевич. М.: Просвещение, 1977. - 320 с.

103. Маркушевич, А.И. Очерки по истории теории аналитических функций / А.И. Маркушевич. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1951. -127 с.

104. Милн-Томсон, J1.M. Теоретическая гидродинамика / JI.M. Милн-Томсон; Под ред. Н.Н. Моисеева; Пер. с англ. М.: Мир, 1964. - 655 с.

105. Михайленко, В.Е. Конструирование форм современных архитектурных сооружений / В.Е. Михайленко, С.Н. Ковалев. Киев: Буд1вельник, 1978. -112 с.

106. Михайленко, В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре / В.Е. Михайленко, B.C. Обухова, A.JL Подгорный. Киев: Буд1вельник, 1972 - 207 с.

107. Млодзиевский, Б.К. Основы аналитической геометрии на плоскости / Б.К. Млодзиевский. М. МОСПЕЧАТЬ, 1922. - 323 с.

108. Моиз, Э.Э. Геометрия / Э.Э. Моиз, Ф.Л. Дауне; Под. ред. И.М. Ягло-ма; Пер.с англ. -М.: Просвещение, 1972. 622 с.

109. Молодший, В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века / В.Н. Молодший. М.: Учпедгиз, 1963. - 262 с.

110. Мусхелишвили, Н.И. Курс аналитической геометрии/ Н.И. Мусхели-швили. СПб.: Лань, 2002. - 656 с.

111. Найханов, В.В. Обоснование содержания учебного курса «Геометрическое моделирование и инженерная графика»/ В.В. Найханов, В.В. Трифонова,

112. B.И. Якунин. Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский науч.-методический сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. Н. Новгород, 2001. - Вып. 6. - С. 4-8.

113. Нгуен, Ван Дьем. Применение квадратичного преобразования к построению линии пересечения поверхностей / Нгуен Ван Дьем // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. науч. сб. Киев: Бущвельник, 1971. - Вып. XIII. - С. 68-72.

114. Об основаниях геометрии: Сб. классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей; Ред. и вступ. ст. А.П. Нордена. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — 527 с.

115. Обухова, B.C. Аналитический способ построения кривых 4-го порядка с одной трехкратной точкой / B.C. Обухова // Прикладная геометрия и инженерная графика: Межведомственный респ. науч.-технический сб. Киев: Бу-д1вельник, 1975. - Вып. 19. - С. 23-25.

116. Олоничев, П.М. Казанский геометр Федор Матвеевич Суворов / П.М. Олоничев// Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина,

117. A.П. Юшкевича. -М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. Вып. IX. -С. 271-316.

118. Пеклич, В.А. Высшая начертательная геометрия: Монография /

119. B.А. Пеклич. М.: АСВ, 2000. - 344 с.

120. Погорелов, А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. М.: Наука, 1968.- 176 с.

121. Привалов, И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. М.: Наука, 1967. - 444 с.

122. Протокол 40-го заседания. 20 ноября 1884 г./ Собрание протоколов заседаний секций физико-математических наук общества Естествоиспытателейпри Императорском Казанском университете. — Казань: Типо-литография Императорского ун-та, 1884. Т. 3. - С. 95-98.

123. Протокол 79-го заседания. 31 марта 1898 г./ Известия Физико-математического общества Императорского Казанского университета. Вторая серия. Казань: Типо-литография Императорского ун-та, 1898. Т. VIII. № 2. -С. 18-20.

124. Пчелкин, Б.К. Специальные разделы высшей математики (Функции комплексного переменного. Операционное исчисление)/ Б.К. Пчелкин. М.: Высш. шк., 1973.-464 с.

125. Рашевский, П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский. — М.: Наука, 1964. 664 с.

126. Розенфельд, Б.А. Геометрические преобразования в работах Леонарда Эйлера / Б. А. Розенфельд // Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина, А.П. Юшкевича. М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1957-Вып. Х.-С.371 -422.

127. Розенфельд, Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1976. - 413 с.

128. Розенфельд, Б.А. Многомерные пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1966.-648 с.

129. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Розенфельд. М.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1955. - 744 с.

130. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы пространства / Б.А. Розенфельд. М.: Наука, 1969.-548 с.

131. Розенфельд, Б.А. Стереографическая проекция / Б.А. Розенфельд, Н.Д. Сергеева. М.: Наука, 1973. - 48 с.

132. Рудой, К.А. Коноскопические картины в оптически активных одноосных кристаллах / К.А. Рудой, Б.В. Набатов, В.И. Строганов и др.// Кристаллография. 2003. -№ 2. - С. 334-339.

133. Рыжков, В.В. Лекции по аналитической геометрии / В.В. Рыжков. -М.: Факториал Пресс, 2000. 208 с.

134. Рыжов, Н.Н. О теореме Монжа / Н.Н. Рыжов // Тр. Московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: Советская наука, 1958.-с. 97- 100.

135. Рязанов, Г.А. Электрическое моделирование с применением вихревых полей / Г.А. Рязанов. М.: Наука, 1969. - 336 с.

136. Савелов, А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения: Справочное рук. / А.А. Савелов; Под ред. А.П. Нордена, М.: Гос.изд-во физи-ко-мат. лит., 1960.-293 с.

137. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высш. шк., 1999.-368 с.

138. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной/ А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. М.: Наука, 1970. - 304 с.

139. Седов, Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики / Л.И. Седов. М.: Наука, 1980. - 448 с.

140. Сиротин, Ю.И. Основы кристаллофизики / Ю.И. Сиротин, М.П. Шас-кольская. — М.: Наука, 1979. 639 с.

141. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / З.А. Скопец; Сост. Г.Д Глейзер. М.: Просвещение, 1990. - 224 с.

142. Скопец, З.А. Неевклидова и проективная циклография и ее применение к начертательной геометрии в евклидовом пространстве: Автореф. дис. . д-ра. физ.-мат. наук / З.А. Скопец. М., 1961. - 27 с.

143. Стинрод, Н. Первые понятия топологии. Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов / Н. Стинрод, У. Чинн; Пер.с англ. М.: Мир, 1967.-224 с.

144. Сухарев, Ю.П. Замечания о значении научных интерпретаций / Ю.П. Сухарев // Геометрические модели и алгоритмы: Межвузовский тематический сб. тр./ЛИСИ. Л., 1983.- С. 50-71.

145. Тарасов, Б.Ф. Аналитические выражения топологических преобразований / Б.Ф. Тарасов //Сб. тр./ ЛИИЖТ. Л., 1968. - Вып. 278. - С. 24-26.

146. Тарасов, Б.Ф. Ободном способе топологических преобразований / Б.Ф. Тарасов, О.А. Графский // Вопросы теории и практики начертательной геометрии: Сб. науч. тр./ ЛИИЖТ. Л., 1976. - С. 22-29. - Деп. в ВИНИТИ, 1180.

147. Татур, Т.А. Основы теории электромагнитного поля / Т.А. Татур. М.: Высш. шк., 1989.-271 с.

148. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. — М.: Наука, 1975.-576 с.

149. Фабер, Т.Е. Гидроаэродинамика / Т.Е. Фабер; Под ред А.А. Павельева; Пер. с англ. — М.: Постмаркет, 2001. — 560 с.

150. Федоров, Н.Н. Основы электродинамики / Н.Н. Федоров. М.: Высш. шк., 1980.-399 с.

151. Федотов, Г.И. Построение линии пересечения поверхностей в точке соприкосновения / Г.И. Федотов // Труды межвузовского семинара по начертательной геометрии / МАИ. М., 1959. - С. 74-83.

152. Филиппов, П.В. Векторное моделирование в начертательной геометрии многомерного пространства и некоторых ее приложениях: Дис. . д-ра техн. наук / П.В. Филиппов. — JI., 1966. -Т.1.-263 е., т.2. 576 с.

153. Филиппов, П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения / П.В. Филиппов. JL: Изд-во Ленинградского ун-та, 1979. -280 с.

154. Флоренский, П.А. Мнимости в геометрии / П.А. Флоренский. М.: Лазурь, 1991.-96 с.

155. Фор, Р. Современная математика / Р. Фор, А. Кофман, М. Дени-Папен; Под ред. А.Н. Колмогорова; Пер.с франц. М.: Мир, 1966. - 271 с.

156. Фролов, С.А. Методы преобразования ортогональных проекций / С.А. Фролов. -М.: Машиностроение, 1970. 152 с.

157. Ханинаев, Ж.С. О некоторых свойствах линии пересечения двух поверхностей второго порядка: Дис. . канд. техн. наук / Ж.С. Ханинаев. М., 1951.- 114с.

158. Хартсхорн, Р. Основы проективной геометрии / Р. Хартсхорн; Под ред. И.М. Яглома; Пер.с англ. М.: Мир, 1970. - 160 с.

159. Черняев, М.П. Константин Алексеевич Андреев как геометр / М.П. Черняев // Историко-математические исследования; Под ред. Г.Ф. Рыбкина,

160. A.П. Юшкевича. -М.: Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1956. — Вып. IX. С. 723 - 756.

161. Четверухин, Н.Ф. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин,

162. B.C. Левицкий, З.И. Прянишникова и др.; Под ред. Н.Ф. Четверухина. М.: Высш. шк., 1963. - 420 с.

163. Четверухин, Н.Ф. Начертательная геометрия как математическая наука / Н.Ф. Четверухин // Тр. межвузовского семинара по начертательной геометрии/ МАИ-ВЗЭИ. М., 1959. - С. 3-6.

164. Четверухин, Н.Ф. Проективная геометрия / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. 368 с.

165. Четверухин, Н.Ф. Теоретические основания начертательной геометрии. Ч. 1: Мировоззренческие вопросы в преподавании геометрии / Н.Ф. Четверухин.-М.: МАИ, 1971.-36 с.

166. Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. М.: Наука, 1969.-576 с.

167. Шван, В. Элементарная геометрия. Геометрия на плоскости / В. Шван; Пер. с нем. М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1937. - Т. 1. - 400 с.

168. Штейнер, Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга / Я. Штейнер; Под ред. Д.М. Синцова; Пер. с нем. М.: Гос. учебно-пед. изд-во, 1939. - 80 с.

169. Эйлер, J1. Основания алгебры: В 2 ч. Ч. 1. Аналитика определенная / J1. Эйлер; Пер.с франц. со многими присовокупленьями В. Висковатова. — СПб.: Императорская Академия Наук, 1812. — 410 с.

170. Юнг, Дж. В. Проективная геометрия / Дж. В. Юнг; Под ред. В.Ф. Кагана; Пер.с англ. Череповец: Меркурий-ПРЕСС, 2000. - 184 с.

171. Яглом, ИМ. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. 4.1. Аффинная геометрия / И.М. Яглом, В.Г. Ашкинузе. — М.: Учпедгиз, 1962. — 247 с.

172. Яглом, И.М. Геометрические преобразования: В 2 т. Т.1: Движения и преобразования / И.М. Яглом- М.: Гос.изд-во технико-теоретической лит., 1955.-282 с.

173. Якунин, В.И. Анализ научных исследований в прикладной геометрии / В.И. Якунин // Роль инженерной графики и машинного проектирования в подготовки специалистов для народного хозяйства: Тез. докл. респ. науч.-методической конф./ ЛПИ. JL, 1984. - С. 4.

174. Якунин, В.И. Проблемы и перспектива совершенствования дидактических основ обучения инженерным графо-геометрическим дисциплинам /

175. B.И. Якунин, Г.Ф. Горшков// Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика: Международный межвузовский науч.-методический сб. тр. кафедр графических дисциплин / ННГАСУ. Н. Новгород, 2000. - Вып.5.1. C. 4-8.

176. Якунина, М.Г. Интерпретация моделей плоскостей неевклидовых геометрий / М.Г. Якунина, О.А. Графский// Научно-технические и экономические проблемы транспорта: Материалы 58-й науч. конф. творческой молодежи / ДВГУПС. Хабаровск, 2000. - Т. 4. - С. 93-96.

177. Baker, H.F. An introduction to plane geometry. With many examples / H.F. Baker. Cambridge: The University press, 1943. - VIII. - 382 p.

178. Bereis, R. Darstellende Geometrie / R. Bereis.- Berlin: Akademie Verlag, 1964.-Т.1.-493 s.

179. Blaschke, W. Ebene Kinematik / W. Blaschke, H.R. Muller // Matematische Einzelschriften herrausgegeben von Wilgelm Blaschke. Miinchen: Verlag von R.OIdenbourg, 1956. - 269 s.

180. Blaschke, W. Projektive Geometrie / W. Blaschke // Biicher der Matematik und Naturwissenschaften / Wolfenbiitteler Verlagsanstalt, 1948. 2-te Aufl. - 160 s.

181. Fucke, R. Darstellende Geometrie / R. Fucke, K. Kirch, H. Nickel. Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1970. - 289 s.

182. Hankel, H. Die Elemente der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung / H. Hankel. Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1875. -256 s.

183. Hankel, H. Uber die Vieldeutigkeit der Quadratur und Rectification algebraischer Curven / H. Hankel. Leipzig: Leopold Voss, 1864. - 36 s.

184. Laguerre, E. Sur l'emploides imaginairesen g6ometrie / E. Laguerre // Oeuvres. Paris: Gauthier - Villars, 1905. - T.2. - P. 88-97.

185. Poncelet, J.-V. Traite des proprietes projectives des figures / J.-V. Poncelet // Applications d'Analyse et des Geometrie. Paris, 1862. - T.l. - 563 p., 1864 - T. 2. - 602 p.

186. Sommerville, D.M.Y. Bibliography of non-euclidean geometry / D.M.Y. Sommerville. New York: Chelsea publishing company, 1970. - 410 p.

187. Staudt, K.G.Ch. Beitrage zur Geometrie der Lage / K.G.Ch. v. Staudt. -Niirnberg: Verlag der Fr. Korrf schen Buchhandlung, 1856. Heft 1. - 129 s., Heft 2.-S. 131 -283, 1860. - Heft 3.-S. 285-396.

188. Staudt, K.G.Ch. Geometrie der Lage/ K.G.Ch. v. Staudt. Niirnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1847. -216 s.

189. Staudt, K.G.Ch. Von den reellen und imaginaren Halbmessern der Kurven und Flachen II. Ordnung / K.G.Ch. v. Staudt. Niirnberg: Verlag von Bauer und Raspe, 1867.-59 s.

190. Steiner, J. Einige geometrische Betrachtungen / J. Steiner // Oswald's klassiker der exakten Wissenschaften; Herasgegeben vov Rudolf Sturm. Leipzig: Verlag von Wilhelm Engelmann, 1901. - Nr. 123. - 125 s.

191. Steiner, J. Verlesungen iiber synthetische Geometrie: In 2 Theil. Erste Theil. Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung / J. Steiner; Rearbeitet von Dr. Geiser. Leipzig: Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1875. -208 s.

192. РОССИЙСКОЕ АВИАЦИОННО-КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО д RUSSIAN AIRSPACE AGENCY

193. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ Л FEDERAL STATE EN IERPRISE

194. ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ II PRODUCTION ASSOCIATION

195. MMHipaiHifHfMn II UflHMHftHi а—ш мrFEflfl" JA "STItELH460005. г Оренбург, ул Шевченко, 26 JB 26. Shevchenco. 460005 Orenburg. Ru:;ia

196. Тепефон. (3532) 65-71-00, Факс. (3532) 65-54-00 Te|.: (3532) 65-71-00; Fax (3532) 65-54-60fc'.n>cii/ strela&wail csu.ru E-mail: strela®mr.I osu.ru1. АКТ

197. Разработанная методика позволяет прогнозировать толщину осаждаемого слоя, как в процессе конструирования изделий, так и выбора схемы осаждения.

198. Ожидаемый годовой экономический эффект составит 2 млн. руб.

199. Примечание: настоящий документ не является основанием для финансовых расчетов.

200. Первый заместитель генерального директора Главный инженер1. Маркман A.M./

201. Открытое акционерное общество1. ОРЕНБУРГСКИЙ СТАНКОЗАВОД

202. Россия, 460513, г. Оренбург, ул. Ногина, б

203. Тел- (3532) 56-78-31, 56-93-46 Факс3532) 56-78-31, 56-78-45 E"Mail orstan@mail.esoo.ruот/У ^

204. Утверждаю: Генеральный директор Чапа^Йа И.В.1. На №от1. Акт

205. Ожидаемый годовой экономический эффект составит 750 тыс. рублей.

206. Примечание: настоящий документ не является основанием для финансовых расчетов.1. Главный инженерР1. М.М. Мерзликин

207. Госстрой России Дальневосточный проектно-изыскательский институт транспортного строительства

208. Министерство путей сообщениядальневосточный государственный университет путей сообщения680021, Россия, г.Хабаровск, Серышева, 47 Телефон: (4212) 35-95- 16, (4212) 34-30-76 Факс: (4212) 34 08 - 08. E-mail: root@festu.khv.ru1. От 2004 г. №

209. УТВЕРЖДАЮ: Ректор университета ^яепх^адокт. техн. наук, ;^профессорг-'^В.ЩГригоренко 06^04.2004 г.ъ'Р1. АКТ

210. Зав. кафедрой «Электротехника, электроника и электромеханика», докт. техн. наук, профессорроссийская федерация

211. УТВЕРЖДАЮ: Ректор университета техн. наукт профессор

212. Разработанный метод позволяет решать ряд задач, как на построение действительных, так и мнимых элементов, поскольку только в таком случае полученные построения находятся в полном соответствии с аналитическими решениями.

213. Зав. кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная графика»,докт. пед. наук, профессор Д.ф. Карева