автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.02, диссертация на тему:Теоретическое исследование процессов растворения и вымывания соле и карстовых пород при фильтрации под-земных вод в областях с криволинейными и свободаными гpaницaми

КИ1ВСЫСИЙ УНГОЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

ВЛАСЮК Анатолш Павлович

УДК 532.72:532.546:517.54:51

ТЕОРЕТИЧНЕ ДОСЛ1ДЖЕ*' ПРОЦЕС1В РОЗЧИНЕГ ТА ВИМИВАННЯ СОЛЕЙ I КАРСТОВИХ ПОР1Д ПРИ ФШЬТРАЦЙ П1ДЗЕМНИХ ВОД В ОБЛАСТЯХ 3 КРИВОЛШ1ЙНИМИ ТА ВШЬНИМИ ГРАНИЦЯМИ

05.13.02 — матемаТпчне моделювання в науковпх дослщженнях

АВТОРЕФЕРАТ

дпсертац11 на одобуття паукового ступеяя доктора техй1чних паук

Ктв 1996

Дисертац1ею е рукопис.

Ч

Робота виконана в Укра1нському 1нститут1 1нженер1В водного господарства (м. Píвн9).

Науковий консультант: доктор техн!чних наук,

професор Лаврик Володашир 1ваиович

0ф1ц1йн1 опоненти: член-кореспондент НАН.УкраГни, доктор ф!зико-математичних наук, професор Скопецький Василь Васильевич

доктор ф1зико-математичних наук, професор Глущенко Аццр1й Арсеййович

доктор техн1чних наук, ведучий науковий сп1вроб1тник Поляков Вадим Леонт1йович

Пров1дна орган1зац!я - Льв1вський державний ун!верситет 1мен1 1вана Франка

Захист в!дбудеться год.

на зас!данн1 спец1ал130ван0! вчено! ради ДО).01.20 при Ки!вському ун1верситет1 1мен1 Тараса Шевчвнка за адресов: 252127, КиГв-127, пр-кт . Академ1ка Глушкова, 6, факультет к1бернетики.

3 дисертацХею мокна ознайомитмсь в науков!й 01бл1отец1 Ки1вського ун!верситету.

Автореферат роз1сланий 1996 року.

Вчений секретар спец!ал1зовано! вчено! ради, кандидат ф1зико-математичних

наук, доцент ^ 31нько П. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн!сть теми. В сучасних умовах штенсивного роз-штку енергетшш, промисловост! та с!льського Суд1вшщтва великого значения набувають проблеми, пов'яз'ан! з ст!йк!стю г!дротехн!чних сггоруд, атомних електростанцМ та !ншх важ-дивих енергётичних об'ект!в I комплекс!в, як! часто в силу обставин будуються в несприятливих г!дрогеолог!чних умовах -залягавдя л!д ниш водорозчинних пор!д, загальнИ? закарсто-ваност! грунт!в, ¿ектон1чних розлом!в та 1н.

Шсля введения вищезгаданих споруд в експлуатац1ю, водо-розчинн! породи, як! залягають в.1х основ!, внасл!док ф!льт-рацИ п1дземних вод або води, яка в!льно заповтое пори грун- ' ту, говШдо розчиняються, в результат! чого в!дбуваеться вшивания i винесення солей ф1льтрац!йним потоком у нижн!й б'еф. Кр1м цього в!дбуваеться зм!на пористост! грунту, зб!ль-шуються витрати р!дини та швидкост! ф!льтрзц!1 п!д даними спорудами. В багатьох випадках в практиц! такого буд!вництва мають м!сце короз!я п!дземно! частиш таких споруд,утворення карстових ос!дань та каверн в ix основах (як приклад - Р!вне-нська ЛЕО), що мозкуть призводити до деформацП елемент!в Су-д!вель та ix авар!й.

В зв'язку з цим виникае необх!дн!сть у волод!нн! !нформа-ц!ею про швидк!сть прот!кання процес!в розчинення i вимивання солей 1 карстових пор!д та оцхнку величини деформацП грунт!в при утворенн! карстових ос!дань i каверн в основах даних споруд, що дасть молш1в!сгь оц!йити ст!йк!сть споруд, як! ОуДу-ються в таких г!дрог80ло?!чних умовах.

Питаниями розчинення п!дземних грунт!в i пор!д та Ix переносом в п!дземних водах займались 0. М. Щукарев, 1.Г. Богу-ський, И.О. Каяндер, А. Нернст, О.М. Патрашев, М.Х. Арутюнян, С. М. нумеров та 1н.

В1домими роботаш 1.1.Ляшко, B.I. Лаврика.А.А. Глущенка, I.B. Серг!енка, В.В. Скопецького.'О.Я. 0л1йника, В.С.Дейнеки, М.О. Вериг 1на, B.C. Шержукова.В.М. Школаевського, B.C. Голу-Оева.Г.А. Аксельруда та 1нших дан! досл!дкення Сули поставлен! на строгу математичну основу ! отримали значний розвиток.

В. даних роботах враховувались не вс! фактори, що вплива-ють на процеси розчинення ! мосопереносу розчикшх речсвин при ф!льтрац!Г п!дземних вод.

В дисертац1йн1й робот! процеси мзсспер^носу розчиншх ре-

човин при ф!льтрацП п!дземних вод моделюються з врахуванням таких фактор1в: град!ента концентрацП розчинних1речовин (мо-лекулярно! та конвективно! дифуз!!), геометрично! форми обла-'ст! ф!льтрац11, змхни швидкост! ф1льтрац1! на р!зних д!лян-ках облает! ф!льтрац11; впливу поля швидкост! ф!льтрац!! на компоненти коефШента конвективно! дифузИ; виду к!нетики масообм 1ну мне р!дкою 1 твердою фазами; вшшву температур!! п!дземних вод; неодаор1дност1 та ан!зотроп11 п!дземних грун-т!в ! пор!д; наявност! вьпьних границь при Оознап1рн1й ф!льт-рацы; зм!ни положения границ! розчинення пор!д, що вимивають-ся п!дземними водами, яка шучаеться в ход! поОудови розв'язку.

Побудовано математичн1 модел! процес!в масопереносу роз-чиннйх пор1д,зокрема солей I карстових пор!д, що залягають в основ! г!дротехн!чних та енергетичних об'ект!в'х комплекс!в у вигляд1 сольових включень та пласт1в або !х частин.Розглядаю-ться також р!зн! ф!зичн!'модел! розчинення. Задача полягае в в тому, щоб визначити к!льк!сть розчинних речовин, зокрема солей 1 карстових пор!д, що вимиваються з основ даних споруд при ф!льтрац!1 п!дземних вод.

Мета роботи. Сформулювати фгзичн! 1 математичн! постановки задач розчинення та вшивания солей I карстових пори, як! залягають в основах г!дротехн!чних та енергетичних споруд 1 комплекс!в, при ф1льтрад1! п!дземних вод в складних областях ф!льтрац!! з криволш1йними ф!ксованими границями, в!льними нерухомими та в1льними рухомими границями при неод-нор!дност1 та ан1зотроп11 грунту.Розробити чисельн! та чисе-льно-анал1тичн! метода розв'язання поставлених задач для до-сл!дження процес!в розчинення та вимивання солей 1 карстових пор!д, як1 моделюють утворення карстових ос!дань та каверн в основах г1дротехн!чних та енергетичних споруд 1 комплекс1в.

Основн! завдання:

Для досягнення дано! мети розглядались так! питания:

- формулювання ф!зичних 1 матемагичних постановок задач розчинення 1 вимивання солей, як! залягають-' в основах г!дро-техшчних та енергетичних споруд г комплексе для складних областей в неоднор!дно-ан!зотропних середовшцах;

- методика ¿ведения вих!дно! крайово! задач! масопереносу в ф!зичн!й облает! до крайово! задач! в допом!жн!й комплекс-н!й площин! + (зокрема, площин! комплексного потенц!алу ш = ф + I ф), де ф1зичн!й облает! в!дпов!дае

параметричний прямокутник;

- розробка чисельного методу конформних та кваз!конформних в!добра;кень нобудови р!зницевих с1ток в обласгяг складно! геометрично! Форш (однозв'язних областях, криволШйних чотирикутниках, двозв'язних та тризв'язних областях) в ■ прям!й 1 оСернен!й постанови!;

- реал1зац!я методики управления системою кривол!н!йних координат за допомогою чисельного методу кваз!конформних в1-дображень з метд>ю досягнення локальних згущень 1зол!н1й р!зницево! схтки в окол! окремих меж розглядувано! облает! або в окремих !! п!добластях;

- програмна реал1зац!я розроблених алгоритмов побудови'рхзни-цевих с!ток в крквол!н!йних чотирикутних, однозв'язних,двозв'язних ! тризв'язних областях та проведения чиевльних ек-сперимент!в для отримання каталогу чисельних конформних та кваз!конформних в!добрв!кень найб!лын характерных областей;

- розробка чисельного методу розв'язання змхшаних крайових задач для систем диференц!альних ргвнянь елгатичного типу в кривол!н!Йних чотирикутниках та його застосування до розв'язання крайових задач бэзнап1рно! фмьтрац!! з в!лькими нерухомими границями;

- отримання на основ! балансу сол! нових (балансних)' крайових умов на меж! фронту розчинення сольового пласта як для нэрухомого, так ! для рухомого фронту розчинення пласта;

- розробка чис8льно-анал1тичного методу розв'язання крайових задач масопэреносу розчинйих рэчовин при ф!льтрац!1 п!д-земних вод в допом!кн1й облает! з прямол!н!йними ф!ксова-ними границямй та в областях, як! р!вном!рно деформуються;

- розробка чисельно-анал1тичного методу розв'язання крайових задач класу Стефана та Стефана-Вериг!на,як1 моделюють розчинення солей 1 карстових пор!д в умовах фазових пэретворень;

- програмна реал!зац!я розроблених алгоритм!в розв'язання крайових задач розчинення та вийивання солей 1 карстових пор£ц з основ г!дротехн1чних га енергвтичних споруд 1 комплексе та проведения чисэльних экспериментов при вар!ац!! р!зш!Х парамэтр!в з метою отримання прогнозу еволюц!! ут-ворэння карстових ос!дань та каверн в основах даних споруд, побудованих на закарстованих грунтах.

Рсновн! положения,: втесен! на захист. На захист вино-сяться:

1. Постановка нових крайових задач розчинення та вимиван-ня солей 1 карстових пор!д, як! залягають в основах г!дротех-н!чних та енергетичних споруд ! комплекс1в, при ф!льтрацП п!дземних вод в складних областях з кривол1н1й!шми ф1ксовани-ми границями, в1льними нерухомими та в!льшши рухомими грани-цями при неоднор1дност! та ан1зотроп1! грунту.

2. Метода конформних 1 кваз!конформних в!добраа:ень зве-дення вих1дно! крайово! задач! масопереносу в ф!зичн!й облас-т1 до крайово! задач! в допом!жн!й комплексной площин! С = 1+ + £ 11 (зокрема, площин! комплексного потенц!елу ш = (р +( ф), де ф!зичн1й облает! в!дпов!дге параметричний прямокутник.

3. Чисельн! метода конформних та кваз!конформних в!доб-ражень побудови р!зницевих с!ток в областях складно! гесмет-рично! форми (однозв'язних областях, кривол!н!йких чотирикутниках, двозв'язних та тризв'язних областях) в прям!й 1 обер-нен!й постанови!.

4. Метод управл!ння системою кривол!н!йних координат за допомогою чисельного методу кваз!конформних в!дображень з метою досягнення локальних згущень 1зол!н!й р!зницево! с!тки в окол! окремих мая розглядувано! облает! або в окремих II п1д-областях.

5. Методика програмно! реал!зац11 алгоритм!в побудови р!зницевих с!ток в кривол!н!йних чотирикутниках, однозв'язних, двозв'язних та тризв'язних областях та проведения чисель-них експеримент!в для отримання каталогу чисельних конформних та кваз!конформних в!дображень найб!лып характерних областей.

6. Чисельний метод розв'язання зм!шаних крайових задач для систем диференц!альних р!внянь ел!птичного типу в криво-л1н1йних чотирикутниках та його застосування до розв'язання крайових задач безнап1рно! ф!льтрац11 з в!льними границями.

7. Нова балансна гранична умова на меж! фронту розчинення солей.К1нематична умова,яка виражае закон руху фронту розчинення солей та карстових пор!д,на меж! рухомого фронту розчинення. Р1вняння руху фронту розчинення з врахуванням впливу термодифузН на процес розчинення.

8. Чисельно-анал1тичний метод розв'язання крайових задач масопереносу розчинених- речовин при ф!льтрацИ шдземних вод в допом!кн1й облает! з прямол!н!йними ф!ксованими границями та в областях, як! р!вном!рно деформуються.

9. Чисельно-анал!тичний метод розв.'язання крайових,задач

класу Стефана та Стефана-Вериг!на, як! моделюють розчинення солей 1 карстових пор!д в основах г1дротехн1чних та енергети-чних споруд в умовах фазових перетворень.

10. Виконання програмно! рэал!зац!1 розроблених алгорит--м!в розв'язання крайових задач розчинення та вимивання солей 1 карстових пор!д з основ г!дротехн!чних та енэргетичних споруд 1 комплекс 1в та проведения чиселышх эксперимент^ при' вар!ац!! р!зних параметр^, результатом яких е отримання прогнозу еволющ! утворешш карстових освдань. та каверн в основах даних споруд, побудованих на закарстованих грунтах, та проведения 1нженерних розрахушав 1 впровадження отрнманих результата.

Наукова новизна 1 'георетичне значения роботи. Наукова новизна отриманих в робот1 результата полягае в розробц! ме-тод!в математичаого моделювання та прогнозування складних ф1-зико-х1м1чних процес!в, пов'язаних з розчиненням та вимиван-ням солей 1 карстових пор!д при ф!льтрацИ пвдземних вод в областях з кривол!н!йними ф!ксованими границями, выьними не-рухомими границями та границами, що рухаються в результат! фазових перетворень.

Внасл!док проведених в робот! досл!джень, одержан! так! нов! результата:

Виведено нову балансну граничну умову на меж! фронту розчинення солей. На мек! рухомого фронту розчинення отримано кгаематичну умову, яка виражае закон руху фронту розчинення солей 1 карстових пор1д. Виведено р1вняння руху фронту розчинення з врахуванням впливу термодифуз!! на процес розчинення. Виконано постановки нових актуальных задач п!дземно! г!дро-механ!ки, що стосуються моделювання та прогнозування утворения карстових ос!дань та каверн в основах г!дротехн!чних та енэргетичних споруд 1 комплекс!в; створено !х математичн! мо-дэл!; розроблено I теоретично обгрунтовано чисельно-анал!тич-н! метода розв'язання в1дпов!дних крайових задач, як! включа-ють розробку чисельних алгоритм!в,конформних та кваз!конформ-них вхдобракень побудови р!зницэвих схток в областях складно! геометрично! форми (однозв'язшк, криволШйних чотирикутних, двозв'язних та тризв'язних-областях) в прям!й 1 обернен!й постанови!; запропонована та реал!зована методика управл!ння системою кривол!н!йних координат 3 метою досягнення' локалышх згущень !зол!н!й р!зниц9Во! с!тки в окол! окремих меж облает!

фхльтрац!! або в окрвмих II п!добластях за допомогою чисель-них кваз!конформних в!дображень;зд!йснено перетворення вих!д-но! крайово! задач! в ф!зичн!й облает! до крайово! задач! в 'допом!жн!й комплексна площин! С = £ + 4 17, де ф!зичн!й облает! в!дпов!дае парамэтричний прямокутник; розроблено ефектив-нх чисельно-анал!тичн! метода II розв'язання в перетворэн!й област1; створено необх!дне програмне забезпечення, адаптова-не до сучасних ПЕОМ; проведено в!дпов!дн! чисельн! експери-менти та виконано !х анал!з.

За допомогою розробленого в робот! п!дходу отримано чи-сельно-анал!тичн! розв'язки ряду нових важливих двовимхрних 'нестац!онарних крайових задач, що моделюють розчинення солей 1 карстових пор!д в областях ф!льтрацИ з кривол!н1йними та в!льними нерухоюми ! рухомими границями. Розьинуто асимпто-тичний метод Вишика-Люстерника та розроблено алгоритм кутових погранфункц!й розв'язання двовим!рних крайових задач поземного масопереносу в областях ф!льтрац1!, що мхетять сольов! включения, при наявност! кривол!н!йних границь, а такок дво-вим!рних крайових задач класу Стефана I Стефана-Вериггаа в областях, як! р!вном!рно деформуються.

Розроблен! 8 робот! метода можуть бути застосован! до розв'язання крайових задач г1дро-аеромехан!ки, електро-магн!-тостатики, плоско! теорИ пружност! та !шшх задач механ!ки суц!льного середовища, як! описуються под!бними математични-мй моделями.

Практичне значения. Проведен! в робот! досл!дження по розрахунку поля швидкостей ф!льтрац!!, поля концентрац!й солей, температурного поля- ! маси розчинених речовин при ф!льт-рацП п!дземних вод в областях з кривол!н!йшши та в!льними границями, враховуючи неоднор!дн!сть та ан!зотроп!ю грунту, можуть бути використан! при розв'язанн! р!зних конкрэтних практичних задач, зв'язаних з оц!нкою величин деформац!й гру-нт!в при проходженн! процесу розчинення та вшивания солей 1 карстових пор!д з метою прогнозування ст!йк'ост! г!дротехн!ч-них та енергетичних споруд ! комплекс!в, дають можлив!сть пройодити !нженерн! розрахунки при розробц! багатьох практич-них мхроприемств, направлених на запоб!гання- аварМ даних споруд внасл!док !х ос!дань; дають . можлив!сть прогнозувати утворення карстових ос!дань та каверн в основах даних споруд.

Достов!рн!сть отриманих результат!в забезпечуеться ко-

ректн1стю 1 строг1стю постЗновок задач,засгосуванням теоретично обгрунтованих математичних мвтод!в досл!джэння 1 розв'я-зання задач; встановленням порядк!в точност! отриманих асимп-тотичних розклад!в розв'язк!в задач; отриманням автомодельних розв'язкхв для пор!вняння !х з наближеними розв'язками; вико-.,-ристашям сучасних чисельних метод!в 1 засоб!в обчислювально! техшки.

Достов!рн!сть здобутих результат!в з використанням чисельних метод!в конформних та кваз!конформних в!добракень п!д-твердкуеться багатьма конкретними прикладами по сп!вставленню кривол!н!йних р!зницевих с!ток складно! конф!гурац1! з р!зни-цеилми с!тками, отриманими за допомогою точних формул конформ-' ного в!добракення.

■Для наближених розв'язк!в ряду задач проведено моделюван-ня на сп0ц!ал1зованих установках ЕГДА в Укра1нському 1нститу-т! !нженер1в водного господарства, що дало достатньо добре сп!впад!ння результат!в,

Вяровадкеняя. Робота вшсонувалась у в!дпов!дност! з планом науково-досл!дних роб!т Зах!дного наукового центру по те-М1: "Застосування конформних та квазпсонформних в!дображень До розв'язання крайових задач математично! ф!зики в областях складно! геомэтрично! фор?.®".одним 1з сп!вкер!вник!в йко! був автор. Отриман! в робоФ! результата 1 розроблена автором методика розрэхунку величиш деформац!й грунт!в п!д г!дротехн!чни-ми та енергетичними спорудами I комплексами внасладок вимиван-ня солей знайилй впровадження'на кафедрах основ 1 фундамен-' т1в,г1дрот9хн1чних споруд Укра!яського !нституту 1нкенер!в водного господарства при виконанн! курсових та дипломних роб!т.

Результата робота застобовая! при прогнозуванн! параметра ф!льтрац!йно! {сонсол!дац1! та 1! впливу на ст!йк!сть уко-с!в земляпо! гребл! хвостосховища Стебницького державного • Мрничо-х1м1чного п!дприемства "Яол1м1нерали.

Результата робота використйвувались при прогнозумнн! ^еволюц1!! утворення карстових ос!дань та каверн в основ! г!д-ротехн!чних та енергетичних•споруд Р!внбнсько1 атомйо! елект-ростанцИ т%у грунтах основи вэрхнього бесейну Дн!стровсЬко! Идроанумулюючо! електросташШ.

Результата теорэтичних дослЩшь, отриман! в дён!й робо-систематично використовуються в 1?эвчальному' процчс! Укга-Гнського 1нституту !йжеиер!а водного госпог^ретйа. Розро^т'нч'

в poöoTi комплексна програма побулови г1дродинам!чних cîtok фьпьтрацы в областях складно! конфИщюц! î використовуеться студентами, аспхрантами та викладачами вузу для виконання кур-сових, дапломних та науково-досладш: роб1т. На основ! дос-л!днень та розробок автора, ni д його кер!вництвом розроблено 1 впроваджено в навчальний процес програмний комплекс з дисци-пл!ни "Матвматичнх метода та модел! в =розрахуйках на ЕОМ". Використання розробленого комп!лятора та його адаптац!я до кониретних програм даного комплексу дозволило реал1зувати вибраций наб!р чисельних метод!в в автоматизсваному режшл! i не потребуе глибоких знань з мов програмування.

Апробац1я роботи. Основн! результата i роздйш дисерта-цМ в' перход з 1988 р. по i996 р. доловiдались i обговорюва-лись на pi3HHX мниародних, всесоюзнвд, республ!канських i В1домчих наукових конференц!ях i семхнарах, в tîm числх на: кафедрах обчислювально! математики, г!дротехнхчних споруд, осйов £ фундамент 1в та заседаниях технхчнод ради Украхнсько-го шституту 1нкенер!в водного господарства (Р!вне, 1988 -1995); MiCbKOMy ceMÎHapi математшив м. Рхвне (кер. проф. В.Ю. Слюсарчук,Р1вне, 1989 - 1992); неуковпх ceMiHapax в!дд!~ лу математичного моделювання та прогнозування Хнгтитуту Пд-роб1олог!! HAH Укра!ни (кер. проф. B.I, Лаврик, Ки!в, 1988 -V995); науковому.семхнар! кафедри прикладао! математики Льв1в* сысого державного ушверситету шен! 1вана Франка (кэр. проф. Я.Г. Савула, Льв!в, 1996); .об'еднаному науковому семйарх кафедри моделювання складних систем i кафедри обчислювально! математики Ки!вського ушверситету 1мен! Тараса Шевченка (Кер. чл.- кор. HAH Укра!ни, проф. Б. М. Бублик, проф. О.Г. Наконечний, проф. СЛ. Ляшко, Кихв, 1995); науковому се-Mtoapi кафедри математичнох ф!зшш Ки!вського унхверситету îmshî Тараса Шевченка (кер. .проф. A.A. Глушенко, Кшв, 1995); науковому ceMiHapi в!дд!лу !Ь 175 Систем автоматизаци моделювання проблем еколог!! та енергетшш Науково! ради HAH Укра!-ни по проблемх "К1бернетики" HAH Украхни 1нституту Kiöepne-тики 1мен! В.М.Глушкова HAH Украпш (кер. чл.-кор. HAH Укра!-ни, проф. В.В. СкопецькийДихв, 1995); засЩанШ. секцН математичного моделювання 8ах!дного■паукового центру АН Укра!н-сько! PCP (Черн1вц1,1988); Вс&ссюййй конферэнцП по геомет-ричн!й" Teopiï функЩй (НовошНрськ, 1983); конференцП "Роз-виток прикладно! математики в -гаххдному perioni" (Львхв,

1991); Всэукрашсыай наукев!й нонференц!! "Н0В1 п!дходи до розв'язання диференцхалышх р!внянь" (Льв1в, 1994); Перш1й м1кнародн!й конферэнцП по 1Нформац!йШ1х технолоПях 1 системах (Льв1в, 1993); ПершМ мкнародшй конфзрёнцИ "Чисельн! методи в пдравлзд! 1 г!дродинам1Щ" (Донецьк, 1994); школ!-сем!нар! "Нел1н1йн1 граничн! задач! математично! ф!зики т-з 1х застосування"' (Терноп!ль, 1994); ВсеукрашськШ конфэренцП "Застосування обчислювально! технИси, математйчного моделю-вання та матемагичних методов у наукоЕих досл1дкеннях"(Льв1в, 1994); науково-тёхн1чгШ конфэренц11, присвячеяхй 70-р1ччю УПВГ (Равна, 1992)1 наукойому сем!яар!, присвяченому 80-р!ч-чю-з дня народкзвня Г.М. Полок!я (Ки!в; 1994); науково-тех-Н1чй!й конфоренцП, присвячен!Я 50-р1ччю перемоги у Ведший В!тчизнян1й В1ЙН1 (Р1вне, 1995).

Публ!кац11 результата» По тем! дасертац!! опусШковано 25 друкованих роб1т.

Структура I обсяг роботп. Дисэртац!я складаеться !з вступу, шести роздШв 1 вйсяовкхв, якг разом з рисункам м!стять 298 сторгаок машинописного таксту, списку л!терату-рн 13 392 наймэнуваяь та додатк!в з граф!ками 1 таблацягги.

ЗМ1СТ РОВОТИ

У вступ! обгрунтована актуаяьн!сть теми» сформульована мэта досл!даень, наукова новизна отряманих результат та IX Практична цпшхсть, даеться короткий: огляд основних робхт по гем 1 дисертацх! га анотацгя отриманнх рэзультатхв.

В партоглу роздШ розглядаитьея ф!зична 1 математична постановки задач розчшення, втаавання 1 вкшсенйя солей х карстових пор!д з основ г!дротехй1чИйх та енэргзтичних споруд 1 комплексе та викладен! основа! принцшш тдходу да розв'язання в1дпов!дши нрайових задач в областях з крйЕолШйнпмн фхксойанамй та нев!домями (вхльшлта) як нэрухомшй, так 1 рухошш грашщями. Суть цього пхдходу ггалягае у вшсорйстан-"н! конформних та кваз!конформнкх Ё!доОрагень йобудовй р!зш-цевпх ' с!ток в таких областях.

Як в!дойо, при невеликих концентрацхях (до 100 г/Л) про-цэс масоперенэсу м!груючих речовин при ф!льтр8Ц1! Шдэемних вод в н9однор!дних анхзотроинах сёродовгацах моунз опксатй таков системою дкференц!ал!них р!внянь. - ф1льтрац1! Шдземних вод

д = - зг grad h , _ dlv V = 0 , (1)

- конвективно! дифуз!! розчинениа речовин

dlv(D grad с + D.jfigrad Т - DB grad Р) ~ v grad с =

* §f.- • ™

- конвективно-дафуз1йного теплопереносу о

div(\ grad Г;- р ард grad Т = ст , (3)

- к!нетики розчинення

ЯГ*/(с.№.с*,11*,Тл,-,...лп) (4)

при в!дпов!дних крайових умовах на меж! облает! ф1льтрац!1. Тут ti = - вектор швидкост1 ф1льтрац!!; h - п'езомет-

ричний нап!р; эе, D, Dx, DB, \ - в1дпов1дно коеф1ц1енти (тен-зори) ф!льтрац!1, конвективно! дифузП, термодифузИ, бародифуз!! та ефективно! теплопров!дност! Бологого грунту; c(x,y,t), i N(x,y,t) - масов! концентрац!!.розчинено! речови-ни в точц1 z=x+ly в момент часу t в!дпов!дно в р1дк!й. (на одиницю об'ему розчину) i в тверд!й (на одиницю об'ему пористого середовйща) фазах; с , JTm- масов1 концентрацИ речовини в р1дк!й ! тверд1й фазах в умовах р1вноваги; о - порист1сть сёредовища; 77 - константи, як1 _характеризуют швид-Чс1сть масообм!ну; T(x,y,t) ~ <51жуча температура пласта в точ-ц1 z = х + 1у в момент часу t; ср - питома 1,еплоемн1сть поро-вого розчину; ст - питома -теплоемнЮть грунту при сталому об'ем1; р - густина скелету грунту.

В робот! розглядаються наступи! випадки к!нетики масо-обм!ну: а) -Щ- - О - масообм!н м!ж р!дкою та твердою фазами в!дсутн!й; б) -g|- = 7-gf- ~ миттеве встановлення р!вноваги м!ж р!дкою та твердою фазами; в) Щ = 7(c-c^J визначаеться л!н!йиою залежн!стю.

На мея! фронту розчинення Г^ задаеться концентрац!я граничного насичення

0(x.y.t)í = Си ( (5)

або б!льш строга (балансна) гранична умова, отримана в дан!й робот! на оейов! умови балансу сол! м меж! фронту розчинення сольового пласта,

дс , JL + v _ _ (6)

да б - товщша дифузШгосо яримэкэвого шару, Й - внутр!шня нормаль до меж! фронту розчинення.

На 'рухошй меж! фронту розчинення нр!м дього задаеться це кйгематична умова, яка вирааае закон руху фронту розчинення 1 мае внгляд в!дпов!дно: а) для'одновишрного випадку

- _ V до(~Ц) • (7)

аТ ~ р Л

да 1(1)- товпцща зони повного або неповиого (зонн короз!!) розчинення, коеф!ц!ент, що залепить в!д пористост! ц!е! зони; б) для двовш!рного випадку

т 1 (3)

09, (8)

t=l

де - площа зони повного або неповвого (зони короз!I)

розчшншя, Ш) - геометричний параметр, що характеризуй с!-мэйСтво Фронт!в розчинення пласта.

Зг1дно розробдэного в робот! пИдходу зд1йснено зведення математичних моделей досл!д;;:ува1шх задач до в!дпов!дних крайо-вих задач в крнаолшхйнж координатах V комплексно! облас-т! парамэтричного прямокукайса.зоярэма, до кривсшнШтх координат <р,ф облает! комшйксного ттенц!алу за допомогои спряиэ-нйх гардгон!чШ1Х фупяЩй, пз задовольяяють систеьф Коих-Рхмана

йбо квазхгаркояхчпкх функц!й, що задовольняють систему р!в-йянь Ведьтргм!

^Г= тм ^ - ^с р«'^. ^* по;

р(£,г]} - характеристика 1сваз конформного воображения. Р^внязшя (10).вжористовуюгься Дда управл!йнй кряволШйяою сйсте!.ш координат.з мэтов згущзння !зол!н!й р!зницево! с!т-_ ки а опол! йатересутих мза розглядувано! облает! чи в окрэ-1.2К 51 п1добластях. ' * ■ .

Р^вняпня койвэктивйо!. дифузН розчинэиих рвчовин (2) в *бэзрозм!рш« крйвол1н1йних координатах, що генеруютьей за до-покогою довхльно! пари гврМон1чних функц!Й

ПрЯЙМЭ ВНГЛЯ^

А — + + + ГШ

д£г д1-д1) дг}г 01 бг> д1

д9 2 -

^.[о,.^ * ^ Й - -2 * -гег. |

л + г - -тгв' - и.

5 - (С, - - - Уг^п]] +

+ ^'-[^р! - ^ 'ф£ * уа] * г,г- ^ -

(Этр »«»ч + э?г + щт ^ • „ I =-(5, - Вг)^-^« - Уфъ + - УгЛч]]

Рп" ^ - + «Л] +

-2

'' .„г _ ^ ""г .„ , -""г

бй. ,31),

ЭГ -У^п ' аг

1 % + зтг

■ дд, щ~ 'И

дэ - якоб!ан оСврнэного в1добрашння. Отримано частков! випадки зашсу р!вняння (11) при воображениях (9), (10).

В зм!нних ф, ф Бведеного комплексного потенц!алу ш = - <р + {ф р!вняння (2) та крайов! умови на фронт! розчинення (5), (8) приймуть вигляд

(12)

аГ

Г—-•Ь^ф,

Д-<

, дс

2.3$

ф=ОС

1 Ф, (13) г )■>

де |и1, 1^1 - коеф!ц!енти в1дпов1дно по-

здовяшьо! (вздовж л1нхх теч!1) 1 поперечно! (вздовж екв!по-тенц!ально! л!н11) конвективно! дифуз!!; \г - в!дпов!дао параметрй поздовкньо! х поперечно! г!дродашам1чно! дисперс!!;

Ь - в!дпов!дн! коефпценти молекулярнох дифуз!! вздовж осей кривол1н1йних координат; £](!.) - зведена ф!льтрац1йна нитрата р!дини.

У випадку розм!щення пласта, що розчиняеться, на л!н!! теч!! аОо на екв1потенц!альн1Й л2н1! гранична умова (6) п!с-ля перетворекня до нових безрозм!рних зм!нних <р, ф прийме в!дпов1дао вигляд:

(

Ф J |Г

(

D +'6v

= 7.

= f.

H4J

ff5J

В формулах (14), (15) вэрхн!й знак в!дпов1дае розм!щенню роз-' чинно! меж! в1даов1дно на границах ф = ф0 + О, ф-= фд + о, а шпкн1й - ф = ф0 - О, ф = ф0 - О.

, Другий розд!л присвячений розробц! чисельного методу кон-формних та квазхконфоршшх ввдобракень побудови р1зницевих cl-ток в криволШйннх чотиршсутниках, як! адацтован! до розв'я-зання на них крайових задач ф!льтрацы i масопвренооу розчинэ-них'.речовин (розд!л 5, б). Гут вщцлено характера! варханти постановок задач про конформна i кваз1конформнз вхдображення кривол1н1йних чотирикутних областей на параметричний прямокут-ник, як! в!др!зняються способом задания граничь облает!.

Початок розвитку методу побудови р!зшщевих о'йок за до-помогою в1добракень покладено в роботах Winslow A.M. з викори-станням гармонхчшк вхдобракень.В подальшому цей метод розвд-вався в роботах Годунова С.К..Прокопова Г.П.,Ваб1щэвича n.M., Thompson J. P., Thames P.O., МазИп Ö.l'-'., Warai Z. W, та 1н.

Узагальнена постановка задач х формулюеться наотуршм чином! нэхай задано в1дпов1да1сть конформного вздображення пара-Мвтричного прямоку.тнкка на кривоя1н1йний'чотйрикутник (рис.1)

2/'

Р

11

3

2 О h,

п

4

——1

а)

п 0)

Рис. 1.

еа допомбгою задания йога границ! йкэ складаеткя

з чотирьсм кускоВо-гладких жорданових кривих, заданих р!внян-нями в неявному > -г

8,(х((;,Ю.у(^ю) = 0 . (х,у) е Г' , (=77?,

1 'О (V *

параметричному

х

або дискретному виглядт

<хю> Ую>' 1=и7И • (х10• Ую-» «

^пг IV' ' Кг ¿V «

' Шукаеться в!дображення = + 1у(1,т)) в клас!

конформних або кваз!конформних в!дображэнь.

При в!дшуканн! чясельного оберненого в!дображэння аот-р!бно визначити: модуль облает! <?2, що •забезпечуе !снувания даного оберненого в1добракення» координату внутршнхх вуэлЗЕв с!тки, координати "плаваючих" вузл1в по контуру, облает!.

В наведен!й постанови! для кривол!н!Йного чотирикутнйка вузли передбачаються "плаваючими" по всьому контуру границ! облает! С?2 при умов! анал!тичного П задания. Мэдуль облает! визначений постановкою задач!, але нев!домий (шукаеться в °ход! побудови в!добразюння). До дано! постановки зводиться побудова р!зницево! конформно! с!тки в будь-як!й ск!нченк!й однозв'язн!й Облает! С2, обмежен!й кусково-гладкою спрямлюва-ною жордановою кривою Ге, яка розрхзана на чотири частили до-в!льним чином.

Досл!джено питания.!снування та единост! розв'язку пос-тавлених задач про конформна ! кваз!конформне воображения кривол1н!йного чотирикутника на параметричний прямокутник при рхзних способах задания його границ!.

За допомогою чисельиих конформних та кваз!конформних вхдобракень запропоновано 1 розроблено,дек!лыса обчислюваль-них алгоритм!в автоматично! побудови р1зницевих с!ток в криво-л!н!йних чотирикутниках. При цьому використано р!зницев!-орто-гойальн! С1тки всередан! розрахунково! облает! з "плаваючими" вузлами по ф!зичному проф!лю меж!. Пхд "плаваючими" вузлами, вперие запровадаеними в робо'гах 8. .К. Годунова 1 Г. П. Проко-пова, потр!бно розум!ти т! кшцев! вузли !зол!н!й рхзницево! с!тки, порождено! в!дпов!дним коиформним чи кваз!конформним

воображениям прямокутно! £!тки параш гричного прямокутника, одна координата яких обчпслюеться за даними постановки зада-ч!,а 1нша - знаходиться з рхЕНЯННЯ граничного контура облает!.

Перш! два алгоритма Сазуються на чпеедьному розв'язашп двох посл!довностей р!зшщевих задач Д!р!хле в!дпов!дно для р!внянь Лапласа та системи р!внянь Кош!-Р!мана, чергув»нн! ' внутршпх !терацхйних процес!в по уточнешго координат внут-рлшхх вузл!в рхзтщэво! ехтки 1 "плаваючпх" вузл!в по меж! облазтх, а такок зовнхшнхх !терац!йних прсцес!в по уточнению модуля облает!, який виступае параметром регуляризац!! дано! задачх.

Тр-зтМ алгоритм грунтуешься на ¡.шшлзацЛ ьархацШюго фупкцхоналу Р!мана та наступному чиевлыюму розв'язанн! нел1-шйиих систем рхвнянь единичного типу.

Запропонована та реа.плзовзна методика управлхнчя системою криволхньЧшх координат в криволппйвгл чотиршеутниках з використанням одного класу нэлйййяих кваз1кои$ормних в!доб-ракень,

Конформн! рхзницевх с1тк1! криволЬййних координат в кги-тзолпййноиу чотиршеутшжу щгошшш (х,у), розглянутх в п. 2.1, 2.2, ь прообраза"« рхвномхрша (кзадрзтних або прямскут-ьглх) рхзницевпх с1ток координат в парамзтрпчному прямокутшпеу Сс шгащшга И,г}}. Так! р1зявц0в1 с!тки усп!шко застосован! для побудовя за допомогоо чис9лык>-анал1тачних ютод!в наблп-квнйх розв'язк!в кройових задач про розчинепня, впаивания та перенесения солей ! карстових' пор1д в областях з кривол!н!и-нпми грашшями (див. розд!л 6), як! однак не иотребують згу-кеннл хзолХнхЯ еггкк в окрзгшх подобластях розглядувано! облает! (МльтрацП.

Для йхлыл точного дослхдкешш процее!в розчшхення, вшивания та ввивезшш солей I карстовпх порхд в ок.олх окрешсс г.;е>:-; сблястг ФьльтрацЦ аОо в окгемпх II п!добластях (в окол! грзннпь пласта солх, ко розчкняетЬея, на виходх ф!льтрац!йно-го потоку, в околх шдзешю! частшш флютбета гхдротехн'хчно! •споруди, в окол! поверий еольового включения, шо залягае Есередин! облаетI) часто вшгнсае потреба в управлйн! ¿полднями рхзяицэ&л с гига з метою досягнення локальних н згущень в даних п!доб,пастях. В зв'язку з ним використано квчзжонфер-мн! вхдобракення, розгллнут! в п. 1.2.3.

Для реал!зацИ нетолики управлЙаш системою ¡'ригели. ;

них координат розроблено дв! математичн! модел!, одна з яких базуеться на чисельному розв'язанн!'' системи р!внянь Бельтра-м1, а друга - обернено!^ квазьл.упйно! елштично! системи ' р!внянь типу р!внянь Пуассона - нелшШю! системи р!внянь ел1птичного типу.

В першгй з них породжуючими криволМйнх^ координата ви-бираються нел1нхйн! кваз!конформш вхДображення з другою парою характеристик 6 _ Р1,(Ю _ \ = рга) Бх , " ^ = р2(и , (16)

■ де р|(т])/рг)(и > 1, а в друПй - квазШнМна ел!птична система р!вняннь типу р!внянь Пуассона

Г + = Р'?^ • 1 + V = р1^ - ' (17)•

В ф!зичн1й площин! реал!зац!я проблемй управления для першо! математично! модел! зд!йснюеться за допомогою чисель-ного розв'язання системи р!внянь Бельтрам! 1-го порядку (з врахуванням ■ перепозначення характеристик р1 (т\) = ("(]),

Рг(£) = р^и)

р (V , . рНЮ

у = -х - у = -. х (18)

* р'( V) ' рти 4

або, зг!дно друго! математично! модел!, систем! р!внянь елга-тичного типу 1з зм!шшми коеф1ц!ентами

2 1 2 1 Р Р Р( Рт,

1 •ГЕ5 + ~2 ХгГП + ~7 ^ + ~2 Хг> = 0 >

Р Р Р Р (19)

2 12 1 ( ' р Р Ре Рг,

у % + -¿г Ут + =

при умовах (18) для функвдй £ = 1(х,у) 1 т) = т}(х,у) на сторонах параметричного прямокутника. Комплексним записом системи р!внянь (18) е р!вняння

р'(т\) - Рга)

2 = - -„- г,. (50)

I , р (т\) + 4

В залеяшост! в1д потреби ступеня згущення 1зол1н!й р!з-ничево! с!тки в окол! окремих меж або в пхдобластях розгляду-вано! облает! вибором характеристик квйзхконфэрмного вЩобра-

ж9ння (18) зд!йснюеться упдавлхння (зг^щення) !зол1н1й р!зни-цево! с!тки вздовк одн!е! oci координат Of; або От) та вздовя двох осей координат 0£ 1 ОЧ] одночасно. I хоча зм!на характеристик кваз конформного вхдображення виклич'е зм!ну 1зол!н!й рЪзшщзво! схтки по BCift облает!, ефект ц!е! змши Суде най-б!льи зяачимий в окол! певних меж або в окремих падоблагтях ф!зично! облает!, причому останнМ досягаеться вибором характеристик кваз!конформного воображения.

Параметром регуляризецН даних обернених задач чисельно-го конформного та квазконформного воображения служить модуль параметричного прлмокутника G^, уточнения якого зд!йсню-еться !терац!Яним методом. Причому для уточнения модуля при иваьйсонфорюшх в!добракеннях потр!бно врахувати його змхну при цих воображениях, що заоезпечуеться вибором характеристик "даного воображения.

Як в!домо, довОьний розв'язок р!вняння (20) мою бути представлений по деякому гомеоморф!зму цього р!вняння £ = = С7ГСчерез аналНичлу функц!ю ) = г.Використовуючи що властив!сть, в роботi побудовано гомеоморфизм

£ v

i. + 1-q. =■ J d% H'f -f— dt, (21) ' ' ' oPS(V 0P(t> як11й прямокутник Gc площинп ГС J в!добракае в прямокутник (0<i1<a1, СХт)(<Ь;) площини ft, J, де

1 а, Ъ

а, = Г 4— dx , b. = Г -4— dt .

' о Р^ ? 0P(t)

Якщо прямокутник Gc коиформко вхдобразити за допомогоп г

функцИ z = на область то задача воображения прл-

мокутника Gс на область Gc буде розв'язана функц!ею

При вхдображеш! за допомогого гомеоморфизму (21) -квад-..ратна с!тка прямокутника площини ((,) перетворюеться в прямокутну ехтку, паралельну осям координат i ft), прямокутника Gt ±з значним згущонням л!н!й £ =con3t 1 tj =■ const в )

М1сцях, де характеристика воображения р,(Ч,VJ »1■ Таким чином, при вибор! характеристики квазгдонформног:: в1доОра«а?пня

р,Г£,т)) = P',(V)/Pзд1йснк?ться управления систею*!

волМйних координат вздовк двох кривол!н!йних осей . 0Ç i Оц одночасно.

Якщо необх!дно згущ<ушя лш!й .,с!тки xfÇ0,T)J=:f, y(i0,i])=y É(o6pa3iB лшМ Ç=£0= const),то характеристику р1 кваз!конформ-ного в!дображення (20) виберемс- залежною т!льки'в1д С: р, = =p,CU=p~2(4J. Для здМснення управлишя системою кривол!нШ-них коордашат по Оц характеристику р; квэз!конфоршого в!до-Сражения (20) виберемо залешою т!лъки в!д у: р1 = р^т)).

Розробленг алгоритми побудови р!зницевих cîtok програмно* реализован! в систем! програмувашя Turbo Pascal i адаптован! для ПК IBM PC AT та IBM-сумicmix комп'ютер1в. Розроблвно комплекс програм для чисельно! автоматично! побудови р!зницевих с!той в кривол!н!йних чотирикутниках та однозв'язних областях.

На основ! запропоноваяих i розроб^ених алгоритмхв проведено чисельш експерименти, в результот! якях - отримано каталог в!дображень найб!льш характерних обла'стей.

Як приклад застосування розробленого подходу, проведено комп'ютерну в!зуал!зац1Ю гздродинам!чних пол!в в криволппй-них чотирикутних областях.

В третьему роздъл! розроблена автоматична побудова р!з-ницевих ci ток за допомогою чисельних конформних та кваз!кон-¡рормних в!дображень в двозв'язшх ! в тризв'язних областях.

Вид!лено характерш варианта постановок, задач конформного та квазконформного втдображення двозв'язних ! тризв'язних областей на параметричний прямокутник з використанням "плава-ючих" по мек! вузл!в, ф!ксованих та "втлышх" poppisie. Сфор-мульован! постановки вщнзняються способом задания границь облас™! та вибором розргзу.

Узагальнена постановка задач! конформного та кваз1кон-формного в!дображення двозв'язно! области формулюеться насту-пним чином. Нехай задано в!дпов1д1ясть конфоршого (квазшон-формного) в!дображення парэметричного прямокутника G^ на роз-р1зану двозв'язну К1льцеву область Gz за допомогою задания проф!лю меж! Vг = T1z U Г^ р1Еняннями в неявному

gJx(Z,v),y(Z,ri}) = О, к=1,г,

параметричному

х = xk(t), -у =cyk(t)- Ъ=1,2 або, дискретному вигляд!

z(ihr0) = xl0, y(ih1t0) • ую, l=U7n,-

хап1гглп2) = xlJO, у( Ihj ,irihg) = yim, t=TJ7n.

Крйл цього, р!вняниям i(x,.y) =,0 задано фшсований розр1з

1з сторонами f1zг, т^', що з'едауе крив! Г*', Г2.

У випадку "в1лыюго" розр!зу '7 на ньому задаються умо-ви перходичностх

x(0,jh2) = x(rihvJh2), y(0,jh2) = y(nhrJti2), ,x(h1tJh2) = x((n+1)hvjh2), x(h1,Jh2) = x((n+1 )hrJh2).

■ Шукаеться в!добракення z(^)=x(£,ri)+iy(Z,r]) параметрично-го прямокутника на розргзану двозв'язну область в класх кон-форчнкх або квазшонфоркних вгдображень. При вщпуканн! чи-сельного обернвяого в!добракення потргбно визначити: модуль облает!, координата внутрашпх вузл!в р!зницево! ехтки, координата "плаваючих" вузл!в по контуру облает!, координата вузл!в фпссованого або "вхльного" розрхзу.

Досл!дзкено питания хсиування та единост! розв'язку пос-тавлэних задач про конфоргае або кваз!конформне вхдображення двозв'язно! та тригв'язнэх областей на параметричний прямоку-тник.Запропоновано ! розроблано дек!лька обчислювалышх алго-ритм!в побудовц рхзницэвих ехток в двозв'язних та тризв'яз-них областях за допомогою ' чисэльних конформних та кваз!кон-формних в!доОражень з вшсористанням ортогональних с!ток все-рэдин! облает!, методики "плаваючих" вузлхв, "в!лышх" та фйссованих розр!з!в.

У випадку двозв'ягао! облает! з ф!ксованим розр!зом по-будова рхзшщэво! с!ткп аналогична побудов1 рхзницэвоГ сшга в 1фявол1н1йних чотирикутнжзх. 1нтерэс представляе побудова рхзницевих citok в двозв'ягшк областях з "в!лышм" розр!зом.

Координата внутрхнШх зузл1в xiJt yij, i~07ri . J=1 \ш-и визначаються в цьому вяладку !з розв'язку двох перШичит р1зншцевих задач типу ¿(pipe

( А и)и * о, •

> ^ <S2> ,

%runj • Uu = u«<uj- J"1-*-1'

да Л - р!зшцевий оператор Лапласа, *»1зиицев1Й «пчрптор К-:*ч 1 -

Р!мана або' б!льш загалыпшй елштичний р!зницевий оператор, що апроксимуе (22) на квадратнхй абс? ггрямокутн№ ciTUi, ви-значений на п'ятиточковоку шаблон! ,"хрест" або на-дев'ктиточ-'ковому шаблон! типу "ящик"; п!д и розум!еться х або у. Розроблено збйкн! алгоритм !х реал1зац!!.

Побудован! р!зницев!- схеми другого та пфвиценого (четвертого) порядку точност!, як1 апроксимують рхзницевий оператор Лапласа в!дпов!дно на п'ятиточковому шаблон! "хрест" та дев'ятиточковому шаблон! типу "ящик". Отримано розв'язок да-< них р1зниц9вих схем методом посл!довжй верхньо! релаксацП.

Реал!зована методика управления системою кривол!н!йиих координат в двозв'язних та тризв'язних областях з використан-ням одного класу нел!н!йних квазшонформних вхдображень (16). В ф!зичн!й площин! реал1зац1Я методики'управлхння зд!йснюеть-ся за допомогою систем р!внянь Бельтрам! (\rS). Вибором характеристик квазхконформного вхцобразжння (18) зд!йснюеться управлхння криволхнхйною системою координат - викликаються локальн! згущення !зол1н!й р!зницэво! cîtkh в окол! границь двозв'язно! та тризв'язно! облает! або всередии! розглядува-но! облает!. Параметром регуляризац!! даних обернених задач чисельного конфоршого та квазшонфоршюго. в!дображення служить модуль параметричного прямокутника для уточнения якого потр!бно врахувати його зм!ну при кваахконформних воображениях,що забезпечуеться кошфетним вибором характеристик даного в!дображення.

Розроблен! алгоритми побудови р!зницевих с!ток в двозв'язних ! тризв'язних областях програмно реал!зован! в систем! прлграмування Turbo Pascal, на основ! чого проведено чисе-льн! эксперимента та отримано каталог чисельних ко!$формних в!дображень найб!льш характернкх областей. Приклада побудови р!зницевих cItok за допомогою чисельних конформних в!добра-¡кэнь та реал!зац!я управл!ння !зол!нхями р!зницевих cItok за допомогою кваз!конформних в!добракень наведено на рис. 2, 3.

В четвертому розд!л! розроблено чисельний метод розв'я-зання класу зм!шаних крайових задач з в!льними нерухомиш границями в кривол!н!йних чотирикутгежах для систем диферен-ц!альних р!внянь першого пор.чдку^або для р!внянь другого порядку ел!лтичного типу. В!н реал!зуе розроблений в розд!лах 2, 3 дайо! роботи чисельний мето^. конформних в!дображень по-будовн р!зницевих с!ток в областях з крщол!н1йними ф!ксова-

Рио.З.

ними границами (однозв'язшк, крибояхнгйнкх чотирякутних та багатозв'язних областях). Яаний мето£ шве буш узэгальнений 1 на квазйсонформн! в!дойраження при нелегкому вибор! вершин криволш!йшх чотирикутникгв з врахуванням змиш модуд1в данях областей. '

Досл1джено характерн! вар!анти постановок змсшашк крайо-вих задач з нерухомями вмьними границами для систем диферея-ц!альних piBHHHb в частинних ноххдних першого порядку або для р1внянь другого порядку елхптичного типу, що розв'язуеть-с ся за допомого» чисеяьного методу конформних в!дображень.

Один з BapiaHTiB постановки задач! для кравояшШного чотирикутника.одна сторона (або ®3i сторони) якого е в1яьшю границею, формулюеться наступним чином: нехай чотирикутна область Gz хз задашши трьома криволшз:йнимй сторона?ст, як! ап~ роксимуються достатаьо густою таблицею точок *

ViJ' • Уы> f- К-

<хоу yOJ)< ^ • (*oj> y0j> f- {гз) '

або задаються анал!тично ° , • g,(X,y) = О, (х,у) е Г1. 1=1,3,4, (24)

а четверта е вгльною межвю параметра t !з задании образом

<pft; = а;, ф а; = ф,ш (25)

частини меж! образа G , де w(t) = ср f(t) * - гранична

(межове) значения шуканоГ анал1тичнох функцН v>{z); t озна-чае параметр,який може задаватись рхзшшл способами: t=x=Bez; t = arctg Щ; t = ö =arg z; t-r=]z];t=s, да s - дугова абсци-ca, для яких зростання (або спадання) t в!дпов!две додатно-му обходов! rzz. Для простота будено вважати, що t означае х= = Re z, кр!м того, w(t) - кусково-неперервно-диференцйовна функц!я. '

В площинх ш=<р+('ф комплексного потенц!алу в!льн1й меж! • Г^ в!дпов!дае межа Г^ . 1нш1 меж! облает! Gw, як! допойш-Ють в!льну межу до замкненого контура, задовольняють сп!вв!д-ношення

ФсФ,фГ= О. (£6)

Функц!! (25) задають гладку криву, а функц!я Ф(ф,ф) -куиково-гладк1 крив! з гладетстюеяа окремих частинах криво!

L1w = U Г1. 1=1,3,4. PiBHHHHH (26), Якк' зв'язуе д!йсну та

уявну частики аналхтично! функцх! е крайовою умовою на

контур! Г*, 1=1,3,4, при в!дшуканн! ю(г) всередин! облает!.

Шуканим е конформно воображения щ = <р+1-ф облает! на область б при умовах (23),(або (24)),(25),(26) на в!дпо-вШшх межах I в!льна межа Г^.

г

За допомогою чисельшхх конформних в!дображвнь рхзницеви-1сх с!ткаш1 з "плзваючими" вузлами розроблено та реал!зовано на ЕОМ алгоритма чисельного розв'язання даного класу задач з в!лънгми гражщями. Методика тобудови чисельного розв'язку наступна-

Опечатку знаходиться конформно в!добракення з чотирь-ма в!да!ченики точками, дв! з яких е образами к!нц!в в!льно! мек1, на параяетричшгй лрямокутшпе С^: О « а, О < т) Н Ь (С) - шюпцини. При цьоиу, нехай крива Ъ1 в!дпов!дае л!в!й ! верхнЯ сторон! параметричного ггрямокутника, а шгашя ! хгра-ва е образами криво! Г^. У випадку вар1анту, в!дм!ченого у у постанови! задача в дужках, кривхй Ъ1 в!дпов1дае никня сторона таранетричного прямокутшша.Алгоритм чисельно! побу-дова такого конформного в!дображення розроблен! в розды! 2. Шеяя чого будуеться чисельно конформно в!дображення параметричного прямакугаика на область з въльною мзкею Сг методом е!тск 13 задавши меггавими вузлами, що вхдповхдзютъ л!в1й ! верхшй сторон! параметричного прямокутника, 1 "умовно плавающими" вузлами, як! в!дпов!дають прав!й ! нижн!й сторонам прямакугаика. Методика визначення "плаваючих" вузл1в описана в роздШ 2. При цьому вйображенн! в!льна межа Г^ в!добража-еться у нижню сторону А^В^ прямокутника, а Г1, V3, Г*г - в!дпо-в1дно у л!ву (Лс1>с),верхню (С^с) 1 праву (В^С^) його сторони.

Дальше проводиться чиселышй розрахунок внутр!шн!х вуз-л!в р!зшщево! с!тки х1}, при визначеному модул! прямокутника. Останнхй знаходиться в результат! чисельного розрахун-ку конформного в!доСраження на б з уточнениям межових вуз-л!в як "плаваючкх" на заданих межах та !терац!йному уточнени! координат вузл!в вхльно! границ!, використовуючи останню гра-нкчну умову (25), з яко!

х=у~'(®) або (х,у) € Г^ ,

та одну з умов сртогчэнзльност! !зол!н!й р!зницево! с!тки в!льн!й границ!. Нэлриклад,

• С^Г оС ОГ1

Як приклад застосувашя розробденого методу 'наведено розв'язання задач! фхльтрацН з bíjh.ho» поверхнею в т!л! од-нор!дно-!зотропно! земляка! гребд!, обэрнена постановка яко! мае шгляд

Огршака гхдродкс-шчна р1задцзва círa» фЬаьтрацШюго штоку розгхянуто.Г задач!, за допомогою Я1-;о1 визначаються !н-nri гхдро^гиам! .в! характеристики. потоку.

Б- к "г тону розд1д"1 розроблено чиселыю-анал1тичн1 метода восв-'ЕзгоЗйЯ) двовгатршх нестацюнарша крайових задач масо-Еэреноеу розчинэнпх речоЕив лрк фъпьтрацП пхдземных вод в областях з криволшхЁяимг: фхксовашкк грансцяш. Дан! метода ссговуються на точной® та розробланнх в роздхлах 2,3 чисель-вих методах вовфоршак та кваэЛкйфоркних вхдображенъ побу-дови гхдродинашяэох скки фЫътааШвато штоку, катод! ло-хсально-одаювЕМхргзн: схем, аскштотнчному штод! Вшгава-йвс-терника та т-тад! кугових иогранфункщй.,

Викоркстанш розроблэшпс штодхв дало мохашшсть провести математшнэ пяделювагтя та крогшзування складнях фхзико-ziiaí4E3X процэсЗ®. п!дземнол г!дромзхаа!ки, зв'нзакет з проб-лбшву розотаЭ'ЕШ I вашшашя солей ! карстових пор!д, прогво-эувахшя Бх оехдань та утворення кавэрн в основах г!дротвхн!ч-Ess Tai еиэргетичних споруд í комплекс!в; ефективно проводите розрахунок розподхлу кондентрацИ-розчинених речовш по облает 1 фйльтрацП та вздовж окремих д1лянок мев!, а такой визна-чати касу рэчовини, що проходить через р!зн! д!лянки облает! ф!лырац!х та П границ!.Розглянут! задач! моделюють процеси розчгоюнкя, вимивання та винесення солей i карстових пор!д в шжаж моделей абсолютно непрониююго та сильно проникного т!л.

В п. 5.Т отримано розв'яэок двовим!рно! нестац!онарно! задач! розчияевия t винесення солей з основи г!дротехн!чнйх

скр ~ «Ц.

x(Q,$J = О. О $ < К,

= о, х(/,ф; ^ гг.

у(у.О) = О, О $ x(ty.O) < ti ,

y(q,Q) = ф, - ф, oí xdp.Q} $ 1г,

Я"*-« * = fc й-7»

та енергетичних споруд I комплексов для облает! ф!льтрац!! з

криволпийною границею при зале:кносг! компонент коеф!ц!ента

конвективно! дафузИ в!д швидкост! ф!льтрац!1.

Математична модель задач! в безрозмгрних криволйпйних

координатах ф, ф облает! комплексного потенц!алу ш = ® + £ф"

В загальноприйнятих позначеннях прийме вигляд

дх _ дц дх _ ди Щ---Эф-»

у(0,ф) = 0, у(1,ф.) = О , В(х(<р,0),у(1р,0)) = О , у(<р,0.)

Сф.Ф^ € С

(27,>

Уг(<?,ф)

д вф

В,

ас

<Эф.

<3ф

с(о,ф,!; = с(, дсГф.О,!;

ас-)

с?ф. асп.Ф.и

ъ

Ос д ф _

О ^ ф О, О ^ ф ^ 1,

1(с-1)

дс

зг

- = о,

= о,

С'ф

сСф.ф.о; = с

О"

Г2в;

,гзси

сзи

гзг; езз;

Тут:

с - концентрация сол! в розчин!, яка поступав з

верхнього б'ефа; с =?- зведена концентрац!я насиченого розчи-ну; с0 - розподхл концентрацИ по облает! ф1льтрпц1! в почат-ковий момент часу í=0 ; 7 - константа швидкост! масооОм!ну; и(ф,ф) - швидк!сть фьльтрацп; ¿лх,у}=0 - р!вняння шдземно-го контура г1дротехн1чно! споруди.

Для б!льш точн!шого вивчення процес!в роз чтения, вими-вання та винесення солей ! карстових поргд на меш фронту розчниення зам!сть останньо! гранично! умови в (32) потр!Сно взяти паретворену до 0езрозм!рних зм!шшх ф, ф грашпну умо-ву, яка прийме вигляд

(34}

0 РФ +

} Ф=0

Для сольового пласта скшчештх розм!р!в, що эаймче час-тину водсупору, сстэння гранична умова в (32) нэстушт: дс(ц>,Я.г )

= О, ф * (0,<р,) и (ф3,1).

эф

с\<?,я,г) = 1

(35)

або

= и

Для простпшх виладйв п!дземного контура ггдротехлйчноЕ споруди (флютбе\э з! шпунтом або при його в!дсутност1) роз-

в'язок задач! (27)-(29) знаходиться в замкнутому вигляд1 ана-л!тичним методом конформного воображения обдаст! ф!льтрац11 на область комплексного потенщалу.

У випадку складн!шо! форми подземного контура Пдротех-н!чно! cnopy/pi для знаходження розв'язку обернено! задач! (27) -(29) використано розроблений в розд!лах 2-3 роботи чи-сельний метод конформних в!дображень побудови-г!дроданам!ч-но1 cItkk ф1льтрац!!.

Для крайово! задач! (30)-(35) на отриман!й р1зницев1й с!тц! побудована монотонна р!зницева схема задач! масоперено-су розчинених рачоыш та отршано П розв'язок локально-од-новимхрним методом O.A. Самароького. У внутр!шн!х вузлах pi-зницево! г1дродинам!чно1 с!тки, наприклад, р!зницев! р!внян-ня тдають вигляд:

И

Л?1 .

TJ „Ъ+0.5 ,П )пк + 0.5 л „к + 0.5

t,UO.S~t-f 1,J 1 1 ,1-0.5 1 ,{ + 0.5J tj U1,1-0.5 i-H ,J

д ^ 1, i-0.5 ij i-1tJ 1 IJ IJ

111

>.-(0.5 к

-г ^tj ~ °t} = 0.5-vtJ--ч- ; (36)

- O.ö-TvfjicYj'-D = 0.5-vfy iJ % iJ- , (37)

дэ Ц =• 1/(1 + R), R = 0.5h/Dv D1tl+o s = D^^+O.Sh^^j).

Нэвадао показати, що при достатн!й гладкост1 розв'язку ¡задач! £27)-(35) отримана р!зницева схема адативна ! волод!б сумарвдщ апроксшац!ею порядку 0(hs + %), h.= max(ht ,hs), стМка по початкових 1 граничних даних 1 прав!й частин!, а такой р!вном!рно зб!гаеться з вказаними точностями в клас! Бэшрервних коеф>щ!ент!в. Розв'язок "одновим1рних" р!знице-схем знаходиться методом прогошш.

Нот!к сол! з кр!вл! пласта (единичноf довкшт i ширини) на початковому етаи! ироцесу розчинання обчиолютться за формулою

Яс(х,ЪЛ) = - Т>2 = 02 V % |ф=0.

Величина деформацП пласта сол! в точц! х за час ! експ-луатац!! г!дротехн1чно! споруди наближено обчислюеться наступили чином'.

М(х^) = | 02 V -^- <И,

де рс - питома вага сол!.

Проведено чиселып експерименти для таких значень бэзро-змхрних параметра: 0 =70~б,1 ,=0.5, Ъ=5, X =1, Хг=0.1 ,анал!з результат1в якого при вар!ац1! рхзних параметров показав, що поздовкня дисперсивнхсть Х.( незначно впливае в порхвнянн! з поперечною дисперсивн!стю \ на величини поток1В сол! з кр!-вл! пласта та на деформацхю пласта.

В результат! розрахунку для параметр!в 21 =Ю м, Ь=50 м, х1 = 10 м, X = ! м, Я = 10 м, ж = 1 м/дабу, а = 0.4, 7=0,

= 2.2-103 кг/м3, с = 2 кг/и3, = О встановлено, що на

ГС п ' О _

протязх трьох рок!в експлуатацИ г!дротехн!чно1 споруди в!д-буваеться стаб!л!зац!я значень потокхв сол! з кр1вл! пласта. Так, наприклад, максимальна значения потоку зм!нюеться в!д величини 0.0318 кг/и2/добу до величини 0.0183 кг/мг/Ообу. Характерн! графши потокхв сол! з кр!вл! пласта наведен! на рис. 4. Максимальна величина дефэрмац!! пласта досягаеться п!д серединою флютбетэ ! становить 0.15 м за 50 рок!в експ-луатац!! споруди, що значно кэше в!дпов!дно! величини, обчи-слено! для стац!онарно! задач!. Рис.5 !лвструе еволюц!ю зони повного эбо неповного (зони короз!!) розчинення пласта на ¡тротяз! експлуатацИ г!дротехн!чно! споруди.

В п. 5.2 сформульовано постановки ! отримано розв'язки новнх двовим!рних нестэцхонарнкх крайових задач розчинення, вимивзння ! винесенкя соле:! х карсговпх пор!д в межах моделей сильно проншсиого х абсолютно непрогекнсго тхлз в областях фхльтрацгГ з краволШЯнтои грзяицяш, со м!стять сольов! включения '.рис. 6), при неоднор'лност! та ш1зотроп11 грунту та депущеян! переваги предас1в конвективного переносу над да-фузхйнлм.

* Допуиення про перевагу процесхз конвективного масопере-косу над дифузШшми призводить до появи .малого параметра в р!вняпн1 конвективно! дифузи матркатично! модел! задач!,за-

кг/ы^добу

Рис 4. Граф!ки потоку сод! ос (х,1) з кр!вл1 пласта в кокэн-ти часу X, ы!с.: \ (1), 2 (2)% 3 (3), 5 (4), 10 (5), 15 (6),

■20 (7), 30 (8):--при задана! грашчка! умови с = с„ на

фронт! розчинвння: ---- при задэнш ново! Оаланско!"ум°ви.

-6 -5 -4 -3 -2 ¡£>4 г 5 н 5 6

&О.-10 '

Рис 5. Еволщ1е зош побного розчинешш пласта через козкн! 10 рок!в експлуатацн г!дротехн!чно! споруди: - при задана! гранично! умови с = сп на фронт! розчинення; ---- прк заданн! ново! балансно! умови.

писано! в безрозмхрних 3míhjddc tp, тенщалу,

ф облает! комплексного по-

DÍ-ооНрЭ A^ffîïgprB ft С(о)'

2 e|e(ísJ

% 1 у, В (геН)

--- f M ' с ЦЯ % * N

Ц t D f Ji

■ф

г4

и>

Рис. 6.

Ö)

au Ä)2 дх к1 )к22 дх д'1 _ 1 дх _к12 Ох щ - тг^ ЭФ " ~ iqj~ Щ' щ- R^ Эф 7ё77 щ

gtíjгсф.ФЛУГФ.Ф;;^, ГФ.Ф; е 1=ттз

, (за;

Г39;

аес = S'

ö2c

э2с

сЦф.Ф) -5- + гзсФ.Ф;-

dqr dtp Зф

Э2с

Эф1"

ас ас

+ О.Сф.ф) — + Ô Гф.ф)— 9ф аф,

ас ас - 0(ф,ф>---— = О, (40)

1,о s с = с.гф.и, г с ' 1(11=0

Эф at с| - сгГф,í J,

<p=i до

(41)

= О,

1зс

с = С.,(ф,Т.), 1ф=0

. аф '«>=(

cl = a (<p,t), |1>=0

да аф !ф=о

О,

да I

аф

о,

í</2j

i ф r-ф + о т-О „2

(43)

,ir + - s?«1;д' f ,->.- n

2 i_1J_y____l£_EL-ü д'-ií T -Г,

---- - - e,() .

d » +0

у вкладку моделювання ■ сольоього включения сильно проникним

т!лом, г ,

= c5(q,t)

15С

l,MV0 (44)

[ v щ + С1

Ф=Ф J-o

у вштадку моделювання сольового включения абсолютно Нбярошш-

шш TtnoM, ,

с =с (ф,ф;, (45)

1 t-о

Оу = JiСХ(pi7, 0<ф<£3, г > 0Л(ф = Ф0, ф', i Ф -ч <р* £¡00 <р = ср , Ф* < ф < ф* ); t = 775,- лхнШй дпферэкидалып опэратори, як! зацаать rpaiurml умови на: вход! i виход! Ф1ЛЬТра!ДЙНОГО потоку, контур! Г1ДР018НПЧН01 споруди, водэ-ynopi, границах сольоьих ьключень; коефиценти сС(ф,ф),Р(ф,ф), 7(ф,ф),6(<р,ф;,5, (<м>) ,б.,(<р,ф), як! визначаються is розв'язку задач! фыштрацП. a sskok задан! фушшд! с с.(ф,С),

t = 1,2, c,((?,t), 1=3,4, CK(<p,t} ( ) - 06r«5!fHi i дос-

татньо глади, що дозволяють проводиги BCi подаиыа! викладкп; функцП с,, I = Т^Ъ, задовольтть, якио ц» и» застэрекэно, умови узгодження на негладких границях облает! П .

Побудовано розв'мзки да:шх сингулярно-збуренпх задач розчинення I вшившая сэлеЗ 1 карстовпх пор!д э використан-ням методики переходу до облает! комплексного потонЩалу, аналХтичш!Х та чкеельних методдв конформних ! квазхконфору-них В!до0ракень, методу характеристик, асиштотичного методу Вишка-Люстерникз та методу кутовкх гюгранфункцМ.

В залешост! в!д узгоддизняя почьтково! та граничнкх умов на шглглккх грэнгцях облает! аскйптотичяий созз'язок з;< дэч! (33)-(45) о'удуеться в одному з таких виглядгв:

с((?,ф,1;е) - + V" Еп , 146)

дэ

;shct Гф,ф,t;е.)+па ,ф, t ;s)+Q°(q>,vn.t (ФИ|,, t ;е),

[сгГф,ф,ifе./Р.tt (<p,r,l,i,£), Г--;,

[сг(ф,ф0,г,-вt,t)4Tir,v';' Г=-Г';

c(q)r<l'.t;f) ~ с* Лф,ф, t:?.) * 1'" ir" j р.г , м?)

Г =

с(<р, <р,г;е) = 8*((р,ф^,е) + Т + ,<Г + (43)

б'Гф.ФЛ.в; = -сСф.ф.г.е.-б; + + па.фд.э*,^; +

+ПГ5,Ф.е* ;б;+0°Гф,т}С),1 ,Ъ0;г)+й°(в0,т\0,Ъ ГФ.Т), Д,8,;е;+ + а'г©,f рс'Е.Ф.т.е; * р°а.с0^е0;£;+р°<ъс0.е0;б>

з2(в2,ф0,£,-е; 4 п^^.фдД.^.-е; + п/^.Фо.е^.-е; +

f а'&.ъ'.г-.е), Г=2,

де г=7 в1дпов1дае моделвванни солей 1 карстових гор!д сильно проникним Т1Лом, г = 2 ~ абсолютно непроникним т!лом.

Регулярн! частики асимптотики, дифузНШ поправки (внут-р!шн! пэрех!дн! шари), погрзниаров! поправки (звичайн!, боков! 1 кутов!) шукаються шляхом розклздання 1х в ск!нченн1 рядя Тейлора по малому параметру е, постановки у в1дпов1дн! да-ференц!альн! р1вняння 1 крайовг умови задач! ! яриргвнюванням коеф!ц!ент!в при однакових степенях е ,в обох частотах в!д-повтдних р!вностей. Члени цях розклад!в знаходяться 1з роз-в'язкгв з!дпов!дних крайових задач для звичайких диференщаль-них р!внянь !з сталими коефвдентами або для простпоих р!в-нянь в частшпшх похшшх 1 Екписуються явно в квадратурах.

Г=

В шоотому роздМ сформульовано фхзичнх I матеыатичнх постановки та отримано розв'язки давих задач розчинення та вимивання содей 1 карстових пор!д в рамках шдел! твердого тШ, розчинення якого вШувоегьси на його поверхщ з утво-ренням зони часткового (аош корозШ або поеного розчинення, гас в одаовш!рному так 1 в двовим!рному вшадку.

В зв'язку 13 складн1отю отримання розв'язку дзких задач, спочатку проводиться математнчна моделшанпя процэсхв розчинення 1 вимивання солей 1 карстових пор!д в одиовш!рному ви-падку.

Б п. 6.1 розглянуто задачу розчинення та вимивання солей х карстових пор!д, як! залягають у вигляд! сольового пласта в основ! г!дротехн!чних та енергетичних споруд I комплекс1в з врахуванням фазових перэтворень. Досл!дкено чисто дифуз!йне розчинення при наявносг! термодифуз!! монолхтного пласта сол! необмежених розм!р!в, перекритого зверху шаром грунту даа велико! потулшоот!. Розгляд дано! задач! мае на мет! одержат автомодельпий розв'язок для пор!вняння його а набликенши роз-в'язками двовим!рних задач, отриманих чисельйо-аналШгчнш.щ методами; вивчити вшшв термодафузН на твиЗц^сгь процзсу розчинення в гор!вняш! з чисто дафузхйним розчинениям.

Математична модель задач! в загальноприйнятих позначек-нях мае вигляд:

бЧ

О

агс

дх2

+ А

т

дх2

о

до

~оГ

-Щ)< X <а>) Ск t < а, (49)

О(Х,0) с0, 0(со, и в С0,

о(-Ю),г) - от,

ш

Сй

-о-

вс(-1(1),1)

вгт

\ - - с

вх2

дх

т

вт 1Г

- д*

-Щ)< х < еэ, О < X < 00, СК t <№,

дх ' (чЖ X <оо)\(Х-0),

(50)

(51) (53)

0< I «а (53)

(54)

Т(х,0)

Т1, -ох х <0,

СХ х <а>.

(55)

де с(х,г) - конценТрац!я сол! в ройчинеШЙ зон! та в грунт!;

О, Ьт - коеф!ц1енти дафузИ та тармодифуэИ в1япов!но; о -порист!сть грунту; 1а) - глибина зони повного розчинення пласта; Т(х^) - температура; ст - питона теплоемн!сть; X -коеф!ц!ент тешгапров1дност1; t - час.

■ Показано, що дана задача волод!е автомодельнЮтю, отри-маяо I! автомодельний розв'язок

» -^г"2 —==-). (56)

с 2,1а2{

де Ш) = — {е'^йх, а2 = С =

с(х^) = с^х.Х) + сг(х,Х), (57)

= с0 * /УФЙ; Г* - Г58;

<уи=-з--е • [егЛС-р/2; - егДСф-р/^], С59;

^ ^ гЬ2!

та закон руху фронту розчинення пласта

га; = га-пгг, (во)

»

дэ , а о£ визначаеться !з розв'язку нелШйного р!вняння [2р0'а еи + р0] • (г + ФГог;] - й- Гсп- со; = О, (61)

р0= 0Х-(ТГТ2).

77 Уй'/а2

■га2

В результат!,чисельного експерименту виявлено залежн1сть глибини зош! повного розчинення пласта в!д р!зних ф!зичних параметр!в пласта I грунту. Чиселън! результата прохлюстрова-н! в граф!чному х табличному вигляд!, в результат! анал!зу яких встановлено, що термодифузхя незначно впливае на процес розчинення пласта сол!. На швидость процесу розчинення значком м!рою впливае коеф!ц!ент молекулярно! дифуз!! та порис-т!сть грунту.

В п. 6.2 сформульовано фхзичну 1 магематичну постановку двоьЛмхрно! нестац!онарно! задач! розч!шення ! вимивання солей 1 карстових порхд в основ! г!дротехлгтих та енергетичних споруд 1 кошлексхв при умов! р!вном!рного розчинення кргвл!

пласта (рис. 7) та перэваги процесу конвективного переносу .над дифуз1йним.

Побудовано розв'язок дано! сингулярно-збурэно! задач! ыасолэреносу розчинених содей 1 карстових пор1д з вшсористан-нам методики переходу до обдаст! комплексного потенц!алу, анал!тичних та чисальних метод!в конформних 1 кваз1конформних в!добранень, методу характеристик та асимптотичиого методу Вншика-Люстеркика.

В(-оПрЗ АЩ

■(и I г!

а)

б)

РВС. т.

Крайозз задача й базрозгЛрния ф, ф облает! ком-

плексного по1екц1йду взгляд

дх _ р.т _ _

Щ> о*,) * щг ~ ~ ~су *

- О,

Вл О»

= о,

„ г агс 5гс1 ее ]

е е «* ГГф.фЛе- -—5 + —?---

I бф2 бф ] Зф J

Гф.фМ с^, О 4 ф « О < ф ^ О « ф ^ О < <р < 8с

. бф2 Йфг сгф.Ф.О; * С0ГФ,Ф;,

0«

* О,

—- о,

гбз;

Г65; Гбб; гбг;

гее;

-ш- - " ТГ

(72)

аф •

дв Ь=Ъ0+1(1) - глибинз зони повного розчинення пласта сол!; С^а) - повна ф!льтрац1йна витрата р!дини; О < е = « 1. -малий параметр.

Особлив!стю дано! задач!, яка ускладнюе II розв'язок, е те, що область ф!льтрацП в даному вшадку е кривол!н!йним ' чотирикутником,обмеженим двома екв!потенц!альними л!н!ями та двома л!н!ями течП, який деформуеться в час!.

Для б!льш прост!ших форм п!дземного контура г!дротехн!ч-но! споруди розв'язок задач! ф!льтрац!1 знаходиться в замкнутому виг ляд! анал!тичним методом конформного в!дображення з параметром (час С - параметр) облает! ф!льтрац!! £г на область комплексного потенц!алу за формулою

Для б!льш складн!ию! форми задания п!дземного контура г!дротехн!чно! споруди знаходаення розв'язку обернено! задач! ф!льтрац!1 проводиться розробленим в розд!лах 2, 3 чисельним методом конформних та кваз!конформних в!дображень облает! ф!льтрац11 на область комплексного потенц!алу або на парамет-рячний прямокутшгк. Р!зницева Г1др0динам!чна с!тка ф!льтрэ-ц!йного потоку отримана в розд}.л! 2.

Використовуючи асимптотичний метод Вишика-Люстерника, асЕМПтотичниЯ розклад задач! побудовзно в такому вигляд!:

с(ф,фД,е) = с(<р,ф,С,е) + ПГ5,ф»Г,е; + Ц°(Ц),Г] г,В) +

В ц!лому процедура побудови эсимптотичного розкладу розв'язку задач! повторюе побудову асимптотичного розкладу розв'язку задач! у випадку областей ф!льтрац!1 з ф!ксоваиими менами. Особлив!стю побудови розв'язку дано! задач! е побудова рухомого пограншару в окол! фронту- розч1шекня пласта. 3 ц!ею метою вводиться пограншарова зм!нна е окол! рухомого фронту розчинення ф ~ Ы{)

! будуеться в!длов1дна погранфункц!я в окол! ц!е! мен!

+ Ра.ф.ъ.е) + Яп . (73)

<зги-Ф

Г) =

яка повинна задовольняти так! вимоги: справдкувати р!вняння масопереносу !з заданою точйстю; л1кв!дувати нев'язку, ство-рену регулярною частшюю розв'язку задач! на фронт! розчинен-ня; не вносити нэв'язки на сторони ф = О. I х.= о.

В межах допущения р!вном!рного розчинення пласта визна-чено вс! погранфункц!! в явному вигляд!.

При визначенШ максшально! глибиш розчинешм ХЦ) по-гранфункцН £!*) знаходяться !з розз'язку ' простшшх крайових задач х мають нескладний вигляд. •

Глибина зош! повного розчинення пласта I (и тзнаходиться !з розв'язку задач! Кош!

до

dl _ D

сit ■ Р

ф мшат t

. ' K(u(l(t))) '

ф K(m(1(t))) K(m(l(t)))

еф

l(0)=0.

Для наближено!' !! оц!нки мокна скористатися формулою t

\ vs«9,Q0) .. М. (74)

В п. 6.3 розглянуто бхлыз складнЬний вшадок розчинення кр!вл1 пласта, форма фронту розчинення якого визначаеться 1з самого розв'язку задач!, отримуваного чисельнима методами. На меж! фронту розчинення пласта ставлятьси наступи! граничит умови:

аг

вс аг - в

В (75) I означае геоштричннй параметр, що яаракторазуе ci-мэйство фронт 1в розшшвння; Sfi> - нвда вони повного або нэ-повного (зона корозН) розчинення, заключена Mist початковим положениям пласта, який розчшяеться, ! фронтом розчинення.

Математична модель задач! 6 ' крявол!н!йнйх координатах ф, ф облает! зведеного комплексного потенц!алу ш = ф (>ф прийме вигляд

бх _ а» дх _ , % п. , , п ,

!)(0,<р} * О, y(1tiр) ' О t (77)

g(x((p,0),yiy,Q)) О, y((p,Q(t)) - b(t), О < (f ? 1, (78)

V

{

а п дс , а п ас _ 1 ,. , ас

- - ^ } - тгс-г; = гга;

о

. о ' ] о

те?;

сво;

гаг;

сг<р,ф,о; = с

Остання умова у (81) та отримана в дан!й робот! формула (82) задають крайов! умови на фронт! розчинення. Крайова умова (83) задае закон розчинення на фронт! розчинення сольо-вого пласта.

В облает! ф!льтрэц!1, що еволюц!онуе, чисельним методом конфэрмних та квазшонформпих в!добранень генеруеться рухома в час! конформна (що е прообразом р1ЕНом1рно! с!тки) або ква-з!конформна (1з згущенням вузл!в до фронту розчинення) г!дро-дянамхчна р!зницева с!тка, яка адаптуеться до рухомо! мек! фронту розчинення пласта сол!.

Побудована зб!жна монотонна р!зницева схема дано! зада-ч!,яка адитивна ! волод!е сумарною алрскс№'ац!ею, та отримано !! розв'язок локально-однов;ш!ртш методом 0. А. Самарського.

Обчислювалышй алгоритм побудови чисельного розв'язку дано! задач! використовуе розраховану р!зницеву с!тку фыьт-рац!йного потоку в при умов! "замороненост!" мел! фронту розчинення пласта на кокноуу крон,! по часу та нзетупнему зас-тосуванн! методу локально-однови,м!рних схем.

В результат! чисельного розв'язку даноГ задач! отримано поле швидкостей ф!льгрэц!1, поле концентрации розчинено! ре-човини, нове колокення Фронту розчинення солей г кзретових гюр1д та еволюц!п зони 1х розчинення, к!льк1сть розчинено!

речовини, винесено! з облает! ф!льтрац!!.

Проведений чисельниа эксперимент дае змогу прегкозувати

утворення карстових ос1дань та каверн в основах г1дротехн!ч-них та енергетичних об'ект!в 1 комшюкс!в, побудованих на за-карстованих землях.

Форма фронту канн непавнога аба повного розчинення в кожей момент чаоу в результат! розв'язку дано! задач! под!Сна форм! фронту розчшення при умов! незм!нних меж облает! ф!ль-трац!1 лише, з т!ш р!зницею, що розчинення проходить менш !нтенсивно.

Сл1д зауважити, що в процес! чисельно! побудови розв'язку дано! задач! використано алгоритм пункту 5.1 для розрахун-ку поля концентрат! розчинених речовин на кожному п!вкроц! по часу.

Алгоритм знаходження р1зницвво! с!тки для певного моменту часу аналоПчний алгоритму побудови р!зницево! с!тки для зм!шано! крайово! задач! для системи р!внянь ел!птичного тшу з в!льною мэжею (розд!л IV). В!дм!нн!сть полягае лише в т!м, що в першому випадку модуль прямокутника в знаходився шляхом чиселыюго конформного воображениям 0щ на В дано-му випадку модуль Ш = облает! комплексного потенЩалу

знаходиться на кожному п!вкроц! по часу в результат! розв'язку задач! конвективно! дифузН розчинених речовин (динам!ч-ю! задач!), а саме - з гранично! умови (82) на фронт! розчй-нэння.

вксновки

Отриман! в дисертад!йн!й робоГ! результати теоретичних розробок мокуть бути викориетан! при розв'язанн! конкретних практичних задач, зв'яэшшх з оц!нкою вэличини деформац!й грунт!в, та прогнозуванн! утворення Карстових ос!дань 1 каверн в основах г!дротехн!чних та енергетичних споруд ! комплекс !в при проходкенн! проЦес!в розчинення ! вимивайня» Ц! результати направлен! на вир1шення ва!кляво1 Т<?хн1чно1 пробле-ми - прогнозування сПйкост! Даних об'ект!в, побудованих в несприятливих г!дрогеолог!чних умовах - залягаиня п!д там водорозчинних пор!д 1 пласт!в, загчльн!» закарстоЬаност! грунтов,, тектон!.чних- розлом!в та !».

Основдим. тЬдсумком. проведения в диceptэцiйaШ роврл^ др,-слФджень е:- розвиток актуального напрямку в математичному моделдаванАЙ

1 прогнозуванн! складних ф!зпко-х!м!чних процес!в п!дземно! г1дромехан1ки, що стосуеться постановки 1 розв'язання нових крайових задач розчиненнз 1 масопереносу розчхшешн речовии при ф!льтрац!1 шдземних вод в областях з кривол!н!йшми ф!к-сованими границями, в!льними нерухогатмя та в!льними рухомими границями, як1 моделюють утворення карстових ос!дань та каверн в основах г1дротехн1чних та еиергетичних об'ект1в 1 комплекс 1в; '

- створення адекватних математичних моделей поставлених задач розчинення та вшивания солей 1 карстових пор!д;

- розробка 1 обгрунтування чисельно-анал1тичних метод!в розв'язання в!дпов!даих крайових задач;

- створення програмного забезпечення, адаптованого до сучас-них ПЕОМ;

- проведения чисельного експерименту та його анал!з.

Зокрема в робот! отримано наступи! основн! результата:

1. Сформульовано ф!зичн! ! математичн! постановки нових крайових задач розчинення ! вимивання солей ! карстових по-р!д, як! залягають в основах г!дротехн!чних та еиергетичних споруд £ комплекс !в, при ф1льтрац1 г п!дземних вод в складних областях з кривол1н!йними ф!ксованими границями, вОьними не-рухомими тав!льними рухомими грашщями при неоднор!дност! та ая!зотроп!! грунту.

2. Зведено врпадну крайову задачу масопереносу в ф!зич-н!й облает! до крайово! задач! в допом!жн!й облает! парамет-ричного прямокуткшеа плошини С = £ + (зокрема, комплексного потенц!алу т = <р +£ ф), 1 сформульовано постановку ц!е! крайово! задач! в нов!й облает!.

3. Розроблено чисельнг метода коиформних та кваз!конфор-мних вЬдображень дня побудови р!зницевих с!ток в областях складно! геометрично! форма (однозв'язних областях, кривол!-н!йних чотирикутниках, двозв'ззних та тризв'язних областях) в прям!й ! обернен!й постановц!.

4. За допомогою чиселышх квазшжформних в1дображень розроблено методику управл!ння системою кривол!н!йних координат з метою досягнення локальних згущень !зол!н!й р!зницево! с!тки в окол! окремих меж розглядувано! облает! або в окремих I! п!добластях.

5. Виконана програмна реал!зац1Я алгоритмов побудови рхз лицевих с!ток в криволхшйних чотирикутииках, однозв'язних,

двозв'йзних 1 тризв'язшх областях, та проведено чисельний ек-сшеримент, в результат! якого отримано каталог чисельних кон-фармшх та кваз1конформних в!дображень найб!льш характерних областей.

6. Розроблено чисельний метод розв'язання змшаних крайових задач для систем даференщальних р!внянь ел!птичного типу в криволШйних чотирикутшжах та його* застосування до розв'язання крайових задач фтльтрзц!! з ьмьними границими*.

7. Виведено нову балаясну граничну умову на ме»1 фронту розчинення солей. На меж! рухомого фронту розчинення отримано к!нематичну умову, яка вира!яае закон руху фронту розчинення солей та карстових пор!д. Виведено р!вняння руху фронту розчинення' з врахуванням впливу термодифуз!! на процес розчинення.

8. Розроблено чисельно-анал1тичний метод розв'язання крайових задач масопереносу розчинених речовин в допом1ин!й облает! з прямол!н!йними ф!ксованими границями та в областях, як! р!вном!рно деформуються.

9. Розроблено чисельно-анал!тичний метод розв'язання

. крайових задач класу Стефана та Стефана-Вериг!на, як! моделю-ють розчинення 1 вимивання солей ! карстових пор!д в основах г!дротехн!чних та енергетичнкх об'ект!в 1 комплекс!в в умовах фазових перетворень.

10. Виконана программ реал!зац!я побудованих алгоритм!в „ розв'язання крайових задач розчинення та вимивання солей 1

карстових пор!д з основ г!дротехн1чних та енергетичних споруд ! комплекс!в та проведено чисельний эксперимент при вар!ац11 р!зних.параметр!в, в результат! якого отримано прогноз еволю-ц11 утворешя карстових ос!дань та каверн, в основах даних споруд ! комплекс1в,побудованих на закарстованих грунтах.

11. Основн! результата проведених досл!джень використан! при проведенн! !нженерних розрахунк!в при виконанн! ! впрова-дженн! науково-досл1дних роб!т на Р!вненськ!й атомн!й елек-тростанц!!, Стебницькому державному г!рничо-х!М!чному п!дпри-емств! Т1ол!м!нералп, Дн1стровськ!й у!дроакумулювч1й ел&стро-станц!!.

Автор ввакае сво!м обов'язком висловити вдибоку ггодяку' за ц!шп поради та пост!йну увагу при виконанн! дано! робота с своему науковому консультанту доктору 'техн!чних наук, профе-сору В. I. Лаврику.

OCROBHI РОБОТЙ, ЯК1 ОПУБЛ1КОВАН1 ПО ТЕМ! ДИСЕРТАЦИ:

1. Власюк А.П. Чисельне розв'язання задач! розчшекня i вине-сення пластовпх солей з основи г1дрогехн!чних споруд// Доп . HAH Укра!нй,-1Э95. - isT. - С. 37-39.

2. Власюк А.П. Некоторые случаи фильтрации под флютбетами в анизотропии средах// Мат. метода исследования фильтрации и массопереаоса.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.-С. 77-84.

3. Лаврик В.И., Власюк А.П. Некоторые задачи фильтрации и массопереноса в неоднородных анизотропных пористых средах.-Киев,1985.- 59.с.-(Препринт/АН УССР. Ин-т математики; 85.15).

4. Власюк А.П. UÖ одной сингулярно возмущенной задаче массопереноса растворимых веществ при фильтрации в однородной анизотропной среде// II Всесоюз. конф. "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физикеКиев, 9-11 сент. 1985 г.: Тез. докл.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985.- С. 55-57.

5. Лаврик В.И., Дао Минь Нгок, Власюк А.П. Математическое моделирование процессов изменения качественного состава поверхностных '"к подземных вод при их взаимодействии.- Киев, 1986. - 60 е.- (Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 86.52).

6. Лаврик В.И., Власюк А.П. Конвективная диффузия растворимых веществ при фильтрации в неоднородных изотропных грунтах// Теория гидродинамических моделей технических задач: Сб. науч . тр.. Свердловск; Свердл. пед. ин-т, 1988.- С. 95-103.

7. Власюк А.П. Чисельне розв'язання одн!е! задач! класу Сте-фана-Вериг!на// Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения.- Киев; Ин-т математики,1994.- С. 45-46.

8. Власюк А.П. Чисельне розв'язання одн!е! задач! конвективно! дифуз!! розчинених речовин з в!льною межею// Тез. доп. 1-! Шжнародно! конферешШ "Чисельн! метода в г!дравл!ц! 1 ПдродинамВД", Донецьк, 30 -серп. - 3 верес. 1994 р.-До-нецьк, ДонДУ, 1994. - С. 80.

9. Михальчук В.Г., Власюк.А.П. Применение квазиконформных отображений к управлению численным автоматическим построением разностных сеток// Тез. докл. Всесоиз. конф. по геометр, теории функций, Новосибирск, 18-20 окт. 1988 г.- Новосибирск, 1988. - С. 72.

it). Власюк А.П., Михальчук В.Г. Автоматическое построение конформных и квазиконформных отображений четырехугольных облпе-

тей с помощью разностных сеток с "плавающими" узлами. - Киев, 1989.- 55 с.-Шрелр./АН УССР. Ин-т математики; 89.79).

11. Власюк А.П., Михальчук В.Г. Автоматическое построение конформных и квазиконформных отображений двусвязных и трехсвяз-ных областей.г Киев, 1991.- 56 е.- (Препр./АН Украины. Ил-т математики; 91.57).

12. Михальчук В.Г., Власюк А.П. Застооувагшя конформних I квазйсонформних в!дображень до чисельно! автоматично! побудо-ви р!знидевих с!ток // Вибран! питания математичного анал!зу, алгебра 1 геометр!I. Збхрник наукових праць.- Льв!в-Р1внэ: Льв!вськэ математичне товариство - Р1внэнський пед. !н-т, 1991.- С. 39-48.

13. Власюк А.П., Михальчук В.Г. Чисельне розв'язання одного класу задач з в1лышми мэками в кривол!н!йних чотирикутниках для ел!птичних систем р!внянь. - Ки!в, 1994.- 24 е.- (Прэпр. /НАН Укра!ни. 1н-т математики; 94.36).

Власкк А.П. Теоретическое исследование процессов растворения и вшивания солей и карстовых пород при фильтрации подземных вод в^областях с криволинейными и свободными границами. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.13.02 - математическое моделирование в научных исследованиях. Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1996. Защищается 25 научных работ, которые содержат теоретическую разработку численных и численно-аналитических методов математического моделирования и прогнозирования сл05зшх физико-химических процессов подземной гидромеханики, связанных с проблемой растворения и вымывания солей и карстовых пород, прогнозирования просадок и образования каверн в основаниях гидротехнических и энергетических объектов и комплексов. -

А.P. Vlasyuk. Theoretical analysis of processes oi dissolution and cashing out of salts and piping during ground water seepage in domains with curvilinear and free boundaries. Doctor of technical scieftce thesis, specialization 05.13.02 -mathematical modelling in scientific analyses. Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 1996. 25 scientific works are defended. These works contain theoretical elaboration of numerical and numerically-analytic methods of mathematical modelling and forecasting for complex physical and chemical processes of underground hydromechanics which deal with the problem of dissolution and washing out salts and piping, with the prediction of the subsidence of rock in bases of hydro-technical constructions end cavity appearance in them.

Ключов! слова: фыьтраЩя, масоперенос, розчинення i вимивання солей, карстовт псроди, криволШйн! 1 в1лън! границ!, математичн! модел!, чисельно-анэл1тичн1 метода, крайова задача, чисельн! конформн! i кваз!конформн! воображения, р1зницев! ciTKii.^/J/

Шдо. до друку ¿3.04.36. <jopi.:t)T 60xC4/IG. líanip друк. О^с. друк. Ум. друк. арк. Л,55. Ум, <¿optío-BÍKd. <5,55. (.-Зл.-шд. орк. 2,0. Тира::; 100 пр. bau. öl). Безкоатошо.

В1дцруковшо в iHoiiiiyTÎ котоштшги ILVH J'i:païmi ¿5Ü6QI KitîB'4, ы(Ш, пул, Д'орсцпгЛвоька, t; •