автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Спектральный метод моделирования и идентификации объектов с распределенными параметрами

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ПАРАМЕТРАМИ.

1.1. Обзор интегральных преобразований, применяемых для решения уравнений в частных производных

1.1.1. Одномерное преобразование Лапласа

1.1.2. Двумерное преобразование Лапласа

1.1.3. Конечные интегральные преобразования . #

1.1.4. Постановка задачи исследования

1.2. Спектральная теория нестационарных систем . . . управления .,

1.3. Структурное описание объектов с распределенными параметрами

1.4. Идентификация объектов с распределенными параметрами

Глава 2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ С

РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТР АМН.

2.1. Спектральные характеристики функции нескольких аргументов

2.2. Дифференцирование функции нескольких аргументов

2.3. Интегрирование функции нескольких аргументов

2.4. Умножение функции нескольких аргументов

2.5. Переменная передаточная функция объекта с распределенными параметрами

Глава 3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД В ЗАДАЧЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

3.1. Многомерные объекты с распределенными параметрами.

3.2. Структурная теория распределенных объектов

3.3. Структурная идентификация объектов с распределенными параметрами

3.4. Параметрическая идентификация.

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ.

4.1. Решение уравнений диффузии

4.2. Моделирование нейтронной кинетики реактора атомной электростанции.

Актуальность проблемы. ХХУ1 съезд КПСС указал, что стратегическая цель партии - более глубокий поворот народного хозяйства к многообразным задачам, связанным с повышением благосостояния народа. Это означает незыблемость долговременной ориентации на неуклонный рост эффективности социалистического производства [ij. Ключевая проблема повышения эффективности хозяйствования - научно-технический прогресс. В этих целях партией поставлена задача органического соединения достижений научно-технической революции с преимуществами социалистической системы хозяйства и массового использования высокоэффективных систем машин, технологических процессов, обеспечивающих комплексную механизацию и автоматизацию производства, техническое перевооружение

Для этого необходим переход к широкому применению техники, дающей приращение производительности труда. В 11-й пятилетке темпы ее обновления ускоряются примерно в полтора раза Но чем мощнее становится наш производственный аппарат, тем актуальнее задача использования его с максимально возможной эффективностью, чтобы конечный результат давал наивысший экономический эффект.

Эти принципиальные установки ХХУ1 съезда КПСС предъявляют высокие требования к кибернетическим системам управления различными народнохозяйственными объектами, будь то предприятие или отрасль, звено технологического цроцесса или машина. Нельзя обеспечить качественное управление ими, если их математическая модель не известна с достаточной степенью точности.

Построение моделей осуществляется теоретическими и экспериментальными методаш. Проблема идентификации требует совершенствования ее математического обеспечения, так как в каждом конкретном случае сложно построить математическую модель, адекватную реальной системе. Для увеличения степени адекватности приходится учитывать многомерность, нестационарность, распределенность объекта. Если вопросы автоматического управления стационарными сосредоточенными объектами хорошо изучены, написано много монографий, учебников [б,15,32,59,62,77,80j, разработаны эффективные методы расчета таких систем, то для решения задач автоматического управления нестационарными объектами с распределенными параметрами (ОРП) такие методы недостаточно развиты из-за сложности аппарата уравнений математической физики. Поэтому совершенствование методов моделирования и идентификации реальных ОРП представляет собой актуальную задачу ближайшего и будущего времени.

Цель работы - разработать метод, позволяющий решать задачу моделирования ОРП, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, а также системами дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. На основании разработанного метода решить задачу структурного описания ОРП, а также задачу структурно-параметрической идентификации.

Метод исследования. Существует ряд методов, описывающих динамику ОРП. Однако, эти методы не адекватны объектам, представляемым дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами, в результате чего не находят широкого применения в практике автоматического управления.

В нашей стране разработана спектральная теория нестационарных систем управления Q6SJ. Эта теория эффективно решает задачи автоматического управления объектами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. Но для исследования ОРП она не применялась, тогда как ее основные положения позволяют успешно решать задачи автоматического управления нестационарными ОРП.

Поэтому, в качестве методологии для решения задачи моделирования и идентификации ОРП используется спектральная теория нестационарных систем управления.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в том, что:

- показана возможность использования спектральной теории нестационарных систем управления для описания ОРП;

- разработан алгоритм решения дифференциального уравнения в частных производных с переменными коэффициентами, удовлетворяющее некоторым начальным и граничным условиям I или П рода;

- разработан алгоритм решения систем дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями ;

- на основе спектрального метода разработана структурная теория ОРП;

- разработан алгоритм структурно-параметрической идентификации.

Практическая ценность работы. Разработанные алгоритмы и программы моделирования как одномерных, так и многомерных ОРП ориентированы на широкий класс объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Порядок частных производных, входящих в уравнение, не ограничивает возможности метода.

Разработанные алгоритмы идентификации позволяют проводить исследование ОРП в режиме нормального функционирования.

При проведении численных расчетов выполняются стандартные операции над матрицами: сложения, умножения, обращения 70 , поэтому метод удобен в использовании ЦВМ.

Реализация результатов работы. Разработанные теоретические вопросы, практические методы, алгоритмы и программы решения неоднородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами оформлены в виде пакета прикладных программ и сданы в Республиканский фонд алгоритмов и программ г, Киев ИК АН УССР и в специализированный отраслевой фонд алгоритмов и программ Киевского 1КБ АСУ.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на:

- симпозиуме "Теория нестационарных систем управления",'г.Севастополь, октябрь, 1978 г.

- Егором Всесоюзном симпозиуме "Теория нестационарных систем управления", г. Севастополь, 1979 г.

- республиканском семинаре "Адаптивные системы автоматического управления" Научного совета по проблеме "Кибернетика" АН УССР, г. Киев, май, 1978 г. ; октябрь, 1982 г.

- научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава Киевского политехнического института, март-апрель, 1978, 1979, 1980, 1981 г.г.

Первая глава посвящена обзору литературы по интегральным преобразованиям, позволяющим решать дифференциальные уравнения в частных производных. Рассматривается спектральная теория нестационарных систем управления, а также вопросы применения интегральных преобразований для решения задач идентификации и структурных преобразований.

Во второй главе приводятся правила, устанавливающие соответствие иещу операциями в пространственно-временной и спектральной областях.

В третьей главе рассматривается переменная передаточная функция ОРП. Решается многомерная задача, задача структурного описания и идентификации ОРП.

Четвертая глава посвящена вопросам практического црименения полученных результатов. Решается система дифференциальных уравнений в частных производных кинетики атомного реактора. Решается уравнение диффузии, описывающее распространение загрязнений в окружающей среде.

На основе выполнения научно-исследовательской работы обоснованы следующие выводы:

1) дифференцированию функции нескольких аргументов в спектральной области соответствуют операции умножения и алгебраического сложения матриц спектральных характеристик;

2) интегрированию функции нескольких аргументов в спектральной области соответствует операция умножения матриц спектральных характеристик ;

3) решению дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, а также системы дифференциальных уравнений в частных производных в спектральной области соответствует решение системы алгебраических уравнений;

4) структурная теория ОРП является обобщением структурной теории сосредоточенных систем. Правила соединения распределенных звеньев аналогичны правилам соединения сосредоточенных звеньев;

5) элементарные распределенные звенья образуются путем кронеке-ровского произведения элементарных сосредоточенных звеньев и единичной матрицы;

6) спектральная теория позволяет решать задачу структурно-параметрической идентификации ОРП, а также идентификации начальных и граничных условий.

В работе защищаются следующие результаты:

1) правила, устанавливающие соответствие меаду операциями в пространственно-временной и спектральной областях ;

2) алгоритм определения переменной передаточной функции ОРП по дифференциальному уравнению объекта;

3) алгоритм определения многомерной переменной передаточной функции ОРП по системе дифференциальных уравнений объекта;

4) формула, позволяющая вычислять переменную спектральную характеристику оператора дифференцирования, учитывающего краевые условия;

5) формула, позволяющая вычислять переменную спектральную характеристику оператора дифференцирования, учитывающего условия на правой границе;

6) структурный метод описания взаимосвязанных распределенных объектов;

7) алгоритм решения I и П краевых задач;

8) алгоритм идентификации параметров, начальных и граничных условий ОРП;

9) алгоритм структурной идентификации ОРП.

Выводы

1. Спектральный метод позволяет моделировать диффузионные процессы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа с граничными условиями первого или второго рода. Это дает возможность решать задачу обнаружения загрязнений в океане, а также задачу моделирования нейтронной кинетики реактора АЭС на тепловых нейтронах.

2. Для моделирования процесса распространения загрязнений в

Х-1,05 б ~5с*к со

U1 X

Рис* 4.2. Распределение потока нейтронов в пространстве в зависимости от управляющего воздействия X

- спектральным методом

--- численным методом океане спектральным методом необходимо выбирать размерность ПСХ, равную 9, в качестве базисных функций целесообразно использовать ортонормированные полиномы Лежандра или ортонормированные экспоненциальные функции, что обеспечивает точность моделирования не хуже 1%,

3. Для моделирования нейтронной кинетики ; реактора АЭС необходимо использовать ортонормированные полиномы Лежандра или ортонормированные экспоненциальные функции при количестве членов ПСХ, равном 9. Это обеспечивает приемлемую точность вычислений при минимальных затратах машинного времени. Возможность моделирования нейтронной кинетики в реальном масштабе времени позволяет использовать разработанный алгоритм в математическом .обеспечении тренажера АЗС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Диссертационная работа является развитием спектральной теории нестационарных систем управления на ОРП. Решены задачи моделирования, структурно-параметрической идентификации и задачи структурных преобразований.

2. В работе выведены правила, устанавливающие соответствия между операциями в пространственно-временной и спектральной областях. Правила позволяют рассмотреть решение дифференциальных уравнений в частных производных в спектральной области.

3. Решению дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, а также системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами в спектральной области соответствует решение системы линейных алгебраических уравнений, что позволяет алгоритмизировать задачу моделирования широкого класса ОРП.

4. Переменная передаточная функция распределенного объекта является ПСХ функции Грина. Поэтому, в отличие от известных передаточных функций, рассматриваемая адекватно описывает ОРП в спектральной области.

5. Рассмотренная в диссертации структурная теория ОРП является наиболее общей по отношению к структурной теории сосредоточенных объектов. Правила соединения сосредоточенных звеньев, элементарные сосредоточенные звенья могут быть получены из правил соединения распределенных звеньев, а наоборот нет.

6. Построение структурной теории на основе спектрального метода, в отличие от операторного метода, дает возможность решать задачи структурных преобразований нестационарных ОРП.

7. Спектральный метод обобщен на многомерные ОРП. Такое обобщение дало возможность разработать алгоритм решения системы дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, дало возможность использовать традиционные методы ТАУ для решения задач исследования многомерных ОРП.

8. Во всех разработанных алгоритмах выполняются действия над квадратными матрицами (сложение, перемножение, обращение), поэтому метод удобен в применении ЭВМ.

1. Материалы ХХУ1 съезда КПСС, - М.: Политиздат, 1981. -223с.

2. Агранович З^С., Повзнер А.Я. Применение операционных методов к решению некоторых задач математической физики, Харьков; Из-во Харьковского Государственного университета, 1954. -56с.

3. Адаптивные системы идентификации. /Под.ред. Костюка В.И. -Киев: Техн1ка, 1975. 288с.

4. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1,П. М.: Наука, 1973, 1974. -294с.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. -352с.

6. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. -768с.

7. Бутковский А.Г. Структурный метод для систем с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика, X 5, 1975, с.5-27.

8. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. -- М.: Наука, 1977. -320с.

9. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. -224с.

10. Ван дер Поль Б», Бреммер X. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа. М.: Из-во ИЛ, 1952.

11. Ватсон Г.И. Теория бесселевых функций. М.: йзд-во ИЛ, 1949.

12. Верлань А.Ф., Евдокимов В.Ф. Электронное моделирование передаточных функций. Киев.: Техн1ка, 1971. -231с.

13. Волик Б.Г. Динамические характеристики трубопровода. -Автоматика и телемеханика, № 3, 1965, с.539-543.

14. Воронов А.А. Основы теории автоматического управления.- М.:

15. Воронов А.А., Титов В,К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. -519с.

16. Галипын А.С. Нагревание двухслойной стенки с цилиндрической полостью. В кн.: Аналитические методы решения задач переноса тепла и вещества. Киев, Наукова думка, 1967, с.98-104.

17. Галицын А.С., Жуковский А.Н. Интегральные преобразования в задачах теплопроводности. Киев: Наукова думка, 1976. -282с.

18. Галицын А.С., Жуковский А.Н. О решениях первой и второй краевых задач теплопроводности для внешности эллиптического цилиндра. В сб.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1977, с.62-70.

19. Галицын А.С., Жуковский А.Н. Явный вид решения некоторых краевых задач уравнения теплопроводности в эллиптических координатах. В сб.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1977, с.18-28.

20. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. -- М.: Изд-во ИЛ, 1958. -47бс.

21. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и преобразования. - М.: Наука, 1971. -288с.

22. Диткин В,А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложение. М.: Изд-во Физматгиз, 1958. -178с.

23. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965. -466с.

24. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. -542с.

25. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа, 1975. -407с.

26. Дмитриев А.Н. Идентификация нестационарных объектов управления ортогональным методом моментов. В сб.: Автоматическое управление и вычислительная техника. Вып. 12. М.: Машиностроение, 1978, с.147-168.

27. Дущенко В.П., Кучерук И.М. Нестационарные поля потенциалов переноса тепла и массы в дисперсионных средах под воздействием инфракрасного излучения. В сб.: Аналитические методы решения задач переноса тепла и вещества. Киев, Наукова думка, 1967, с. 40-47.

28. Емельянов И.Я. и др. Управление и безопасность ядерных энергетических реакторов. М.: Атомиздат, 1975. -280с.

29. Жеребятьев Н.Ф., Лукьянов А.Т. Математическое моделирование уравнений теплопроводности с разрывными коэффициентами. М.: Энергия, 1968. -56с.

30. Жеребятьев И.Ф., Лукьянов А.Т., Подкопаев Ю.А. Применение интегральных методов для расчета времени затвердевания плоских отливок. В сб. Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1977, с.87-92.

31. Живоглядов В.П., Каинов В.К. Применение метода стохастической аппроксимации в проблеме идентификации. Автоматика и телемеханика, 1966, Уе 10, с.54-58.

32. Зайцев Г.Ф., Костюк В.И., Чинаев П.И. Основы автоматического управления и регулирования. Киев: Техн1ка, 1977. -472с.

33. Кадымов Я.Б. Переходные процессы в системах с распределенными параметрами. М.: Наука, 1968. -191с.

34. Кадымов Я.Б., Кулиев З.Я., Мягин С.И. Структурное моделирование на ЭВМ переходных процессов электрических систем с распределенными параметрами. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1970, & 4, с.29-36.

35. Карслоу Г., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. Изд-во ИЛ, 1948. -291с.

36. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, I98X. -544с.

37. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М.: Советское радио, 1975. -319с.

38. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. -712с.

39. Костюк В.И., Краскевич В.Е., Зеленский К.Х. Идентификация объектов с распределенными параметрами в режиме нормального функционирования. Изв. ВУЗов. Приборостроение, 1977, Л 10, с.35- 47.

40. Краскевич В.Е., Клевцов Ю.А. Спектральное представление линейных объектов с распределенными параметрами. Сб.: Кибернетика на морском транспорте, Киев, Техн1ка, 1981, вып.10, с.87- 94.

41. Краскевич В.Е., Клевцов Ю.А. Спектральный метод структурно-параметрической идентификации объектов с распределенными параметрами. В сб.; Вестник КПИ. Сер. Техническая кибернетика: 1981, вып.5, с.10-12.

42. Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической кибернетики. М.: Госэнергоиздат, 1962. - 415с.

43. Левенштейн М.Л. Операционное исчисление в задачах электротехники. -Л.: Энергия, 1972. -351с.

44. Липовой Г.С., Лаврик В.И. Применение метода интегральных преобразований к решению краевых задач для уравнения теплоперено-са. В сб.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1977, с.55-62.

45. Липовой Г.С. Применение метода интегральных преобразований к нестационарным задачам теории решеток. В сб.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев,

46. Наукова думка, 1977, с.173-183.

47. Луковский И.А. и др. Некоторые интегральные преобразования для эллиптических областей. В сб.: Аналитические, численные и аналоговые методы в задачах теплопроводности. Киев, Наукова думка, 1977, с.5-17.

48. Лурье А.И. Операционное исчисление. М.: Гостехиздат, 1950. - 429с.

49. Лыков А.В. Тепло и массообмен в процессах сушки. - М.: Госэнергоиздат, 1956. -464с.

50. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 559с.

51. Маковский В.А. Динамика металлургических объектов с распределенными параметрами. М.: Металлургия, 1971. -384с.

52. Мартыненко B.C. Операционное исчисление. Киев: Изд-во Киевского университета, 1965. -188с.

53. Маслов В.П. Операторные метода. -М.: Наука, IS73. 544с.

54. Минусинский Я,. Операционное исчисление, М.: Из-во ИЛ, 1956. -366с.

55. Мирахмедов Д.А. Идентификация динамических характеристик одного класса объектов с распределенными параметрами. Автореферат кандидатской диссертации. М.: Изд-во МЭИ, 1972.

56. Мосолов В.Е., Тихонов B.C. Определение передаточной функции гибкой нерастяжимой нити при пространственном обтекании потоком. Автоматика, 1979, й 4, с.24-30.

57. Нетушил А.В. Объект индукционного или радиационного нагрева как звено системы автоматического регулирования. Изв. АН СССР. Энергия и автоматика, 1962, 2, с.23-28.

58. Нобл Б. Применение метода Винера Хопфа для решения уравнений в частных производных. М.: Изд-во ИЛ, 1962. -279с.

59. Озмидов Р.В. Горизонтальная турбулентность и турбулентный обмен в океане. М.: Наука, 1968. -192с.

60. Основы автоматического управления. /Под ред. Пугачева B.C. М.: Наука, 1974. -720с.

61. Плеснер А.й. О включении операционного исчисления в спектральную теорию максимального оператора. ДАН, й I, 26, 1940.

62. Полоний Г.Н. Уравнения математической физики. М.: Высшая школа, 1964. -560с.

63. Попов Е.И. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1978. -256с.

64. Располов Б.М. Некоторые задачи оптимального управления процессами тепло- и массопереноса при сушке. Автоматика и телемеханика, & 2, 1968, с.185-193.

65. Самойленко Ю.И. Пространственно-распределенные системы автоматического управления. Автоматика и телемеханика, Л 2, 1968, с.57-69.

66. Смит О.Д. Автоматическое регулирование. М.: Физматгиз, 1962. -357с.

67. Смольников Л.П. Расчет нелинейных электромеханических систем. М.: Энергия, 1968. -103с.

68. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: Изд-во ИЛ, 1955. --668с.

69. Солодовников В.В. Частотный метод в теории автоматического регулирования. В сб.: Автоматическое управление и вычислительная техника. М.: Шшиностроение, вып.8, 1968, с.5-29.

70. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. -335с.

71. Таблицы и математическое обеспечение спектрального метода теории автоматического управления. /Под ред. Семенова В.В. М:.

72. Изд-во-МВТУ им. Баумана, 1973. -106с.

73. Теория автоматического управления. /Под ред. Нетушила А.В.- М.: Высшая школа, 1976. -400с.

74. Теория автоматического управления. /Под ред. Шаталова А.С.- М.: Высшая школа, 1977. -448с.

75. Теория автоматического управления. Труды семинара, вып. I. - Киев: 1967. -194с.

76. Тимченко И.Е. Динамико-стохастические модели состояния океана. Киев: Наукова думка, 1981. -192с.

77. Тратнер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике, М.: Гостехиздат, 1956. -204с.

78. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г. Методы теории автоматического управления. М.: Наука, 1971. -513с.

79. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. -560с.

80. Шерман B.C. Об идентификации объекта с распределенными параметрами статистическими методами. Сб.: Идентификация и аппаратура для статистических исследований. - М.: Наука, 1970, с.222-—226.

81. Шигин Е.К. Классификация динамических моделей объектов регулирования химико-технологических процессов. П. Автоматика и телемеханика, 7, 1968, с. 160-174.

82. Юревич Е.И. Теория автоматического управления. JI.: Энергия, 1975. -416с.81. (XteHche- J. A. Tzctn-S^ozm-L frot IcneazlOi , Kepoit SZ-1, Ребгиьгу , J9SZ .

83. ZZ. Cole СПб. p. L, К hail L M С. Aden icjccaiconта Finite 1>фе*е/)се±.- AgME Тгап±у g3. DaiKo R. applications oj tkt FCntU1.pface. Тгмфэгм io linear Control

84. РгоЛ&м*&/АМ j. Conizol cxjxo! Opiim., V. IB , уУо I, 1920, pp. !-Z0.

85. Di Pclto <3., Glcppo 1. (Xppltcaicon o^ the Ерл1Ь>п Techyi^uz to D^t^uieof ■Рым-иг- We*»* Лс/entCfca^on- j. OpliK.Thzoy CLppl., 1973,*и,ЛЦ,Гр.М-99.

86. Faii/nan P J). W. Pctia/nei&izlolcYiiifacdlon tfoz a CCa^ of D^iAtiecIthi. ^Coydxol, 1 ПОtv. ll.So 6, pp. 919-940,86. doocl J.j. The ^hiezadtcon OCi^obcih^ cu\ol PzaciuzaJL Fouxiex1.ndon, I/. B~20lf>p. 3B/-3U,

87. Zl. Hum&iii P. le ca£cu£ ^Jn&bticp^e. ck. de-itx — Com pies Reyio/u^i. OLcclM.4ccv 1934, Relief,/99, pp. &51-SS0. gs. Hum&evt P: U ca&t+l aъ<х.ъйх&Othh. /936, A-36, pp. 43.9. jaeger J-^- The Ло&искСоъ ofa BobLt\clccu^ VcL&u.e л Docile Laplace

88. Ъспфгта-Иоп, But*. Asnesi. Qn^bh .бос., 1940, v. V6, РР- 68t~ 693.

89. JO, Рсгс,*Ж.<1Ъ*роигм. P.M., Во^лал. A.C. ЪиЫЬиШ PooAme.izx tydej**. ЛАк^сь-iion via. \ХУа.&-ук Fuh^icon. . J. . ^ci., l9tt,v.9,Mo i,f>p- Л'Z3.

90. U. PtAc/cAu-Ulle. F. J./ &оос!лоп R.E.1. Ло!е.п ofc JUixi

91. PatiCctx -С 3>&рил1сол. -Tlan± . A&ME j. B^c !9U.v. SS-J>,1. Жо l,fP- Y6J-Y6S.

92. Ph.Ullp-u>n Q.A. J-olt-ydi^CAito*

93. Л XHbixiJUdid ЛуЖ-**.— Лмегсслл jUbkfoy- Сотр^ууу ■ ^cur 4o\k,im. 92. G- R . Di^cU.ieo( AjpizM

94. ЛДекк UCCUOK : л Смел'* Fuac^OK аррхоаск.-Ъм±.А£П£. 19H V. 92-a, Ж, Z,rp. IV6-tSI.

95. Тгй/е^л^ <2- Ло(ек£с -ft'caiiOH. oft Moh&iiu. Di-i&UM P^tneiviof Co.i-bU. №Ofv.ll., M> 4,ff>. Ш-62Ч.