Синтез регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию

Зацепилова, Жанна Валерьевна

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию

кандидата технических наук: Зацепилова, Жанна Валерьевна
город: Москва
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.01
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Синтез регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию»

Автореферат диссертации по теме "Синтез регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию"

005004364

ЗАЦЕПИЛОВА Жанна Валерьевна

СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ПО СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ

Специальность: 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

- 1 ДЕК 2011

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2011

005004364

Работа выполнена в Федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» на кафедре «Автоматизация технологических процессов и производств».

Научный руководитель: доктор технических на.ук, профессор

Честнов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Курдюков Александр Петрович

кандидат технических наук Зыбин Евгений Юрьевич

Ведущая организация: Институт проблем точной механики

и управления РАН, г. Саратов

Защита диссертации состоится "/У 2011 г. в // часов на

заседании Диссертационного Совета Д.002.226.01 при Учреждении Российской Академии Наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН по адресу: 117997, Москва, ул. Профсоюзная 65, ИПУ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской Академии Наук Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.

Автореферат разослан 2011 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д.002.226.01 доктор технических наук

В.К. Акинфиев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вопросы синтеза регуляторов линейных многомерных систем, обеспечивающих выполнение требований к точности регулирования, являются одними нз центральных в теории и практике автоматического управления.

В классической теории автоматического управления для объектов с одним входом и одним выходом требования к качеству системы формировались на основе ясных физических представлений на языке частотных характеристик разомкнутой системы. Однако решение задач управления многомерными системами на основе классических подходов связано со значительными трудностями.

С появлением в 1960г. работ А.М.Летова и Р.Е.Калмана для линейных многомерных систем с квадратичным функционалом качества была решена проблема синтеза регулятора по состоянию, обеспечивавшего асимптотическую устойчивость замкнутой системы. При этом сам функционал оптимизации (его структура и коэффициенты) считается заданным, что при практическом синтезе регуляторов на основе процедур ЬС} -оптимизации вынуждает применять подбор весовых коэффициентов квадратичного критерия с целью обеспечения заданных требований к показателям качества замкнутой системы, в частности, требований к точности при действии типовых внешних возмущений (ступенчатых или гармонических), которые в постановке задачи ЬС} -оптимизации не участвуют.

Первые работы, посвященные выбору коэффициентов функционала оптимизации для обеспечения заданной точности при действии ступенчатых внешних возмущений, были начаты в конце 1960-х гг. А.Г.Александровым. В дальнейшем решение задачи синтеза с учетом требований точности путем выбора весовых матриц функционала проводились в линейно-квадратичной постановке в работах Ю.К.Тимофеева, Ю.В.Садомцева, Е.Ф.Волкова, Н.Н.Ершова, А.Г.Александрова, В.Н.Честнова.

Нее -теория оптимизации рассматривает исчезающие внешние возмущения и помехи измерения ограниченные в ¿2-норме (конечной энергии), что не позволяет непосредственно применять ее результаты для внешних возмущений с ограниченной мощностью (бесконечной энергии). В 1998 г. была поставлена. и решена задача синтеза регуляторов заданной точности при действии нолигармоническнх возмущений с известным числом гармоник на основе непрерывных процедур Нж-оптимизации (А.Г.Александров, В.Н.Честнов).

Существенным ограничением этих подходов в рамках ЬЦ- и Нж-задел является явная зависимость выбираемых коэффициентов функционала опти-

мизации от числа гармоник внешнего возмущения. В рамках этих подходов точность оценивалась максимумом модуля отклонения регулируемых переменных от нуля. Работа 1998 г. В.Н.Честнова., где точность оценивается на языке средних квадратов регулируемых переменных, позволила снять указанное ограничение и решить задачу синтеза непрерывных Нх -регуляторов при неизвестном числе гармоник.

Целью диссертационной работы является развитие подходов к синтезу регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по состоянию и по измеряемому выходу на основе теорий Ь(5- и Я«, -оптимизации при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений и помех измерения с неизвестными амплитудами, частотами и их числом. При этом точность оценивается на языке средних квадратов регулируемых переменных и управляющих воздействий, что далее упоминается как среднеквадратичный критерий.

Указанная цель достигается решением следующих конкретных задач:

1. Разработка подхода к синтезу непрерывных регуляторов состояния заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе ¿<5-теории оптимизации.

2. Построение процедуры синтеза непрерывных регуляторов но измеряемому выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе ЬС} -теории оптимизации.

3. Разработка подхода к синтезу дискретных регуляторов состояния заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе Нх -подхода.

4. Построение процедур синтеза дискретных регуляторов по выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе Нх-подхода.

Решение поставленных задач опирается на исследование частотных свойств замкнутых ЬС} и Нх -субоптимальных систем и выбор структуры и коэффициентов квадратичного функционала оптимизации (в случае -минимаксного).

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе используются процедуры ЬС^- и Нм -теорий оптимального управления, аппарат теории матриц, техника линейных матричных неравенств (ЬМ1).

Новые научные результаты. В процессе решения поставленных задач получены следующие новые научные результаты, выносимые автором на защиту:

1. На основе процедур Ьф-оптимизации развит подход к синтезу непрерывных регуляторов состояния заданной точности, обеспечивающий желаемые ограничения на средние квадраты регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности детерминированных гюлига.рмонических

внешних возмущении с неизвестным числом гармоник, приложенных к объекту аддитивно с управлением. Сформулированы строгие правила выбора структуры и коэффициентов весовых матриц квадратичного функционала оптимизации, разрешающие эту задачу, и указаны ограничения на суммарную мощность управляющих воздействий, парирующих внешние возмущения указанного класса.

2. Для линейных многомерных минимально-фазовых объектов с одинаковым числом измеряемых (одновременно регулируемых) переменных и управлений, подверженных действию ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений с неизвестным числом гармоник, предложен способ построения регуляторов по выходу, обеспечивающих заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных, когда наблюдатель состояния строится на базе процедуры восстановления ро-бастности (ЬТИ), предложенной Дж.Дойдом и Г.Стейиом, а регулятор состояния на базе процедур ¿<3-оптимизации. Указаны ограничения на средние квадраты управляющих воздействий, подавляющих внешние возмущения указанного класса.

3. Развит подход к синтезу дискретных регуляторов по состоянию и по выходу, обеспечивающих заданный среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы, который включает в себя ограничения на средние квадраты регулируемых переменных и управлений, при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармоничсских внешних возмущений и помех измерения с неизвестным числом гармоник. При решении используется процедуры дискретной Я«,-субоптимизации (2-Рикка.ти подход), а учет требований точности основан на выборе весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации.

4. Рассмотрена задача синтеза дискретных регуляторов по выходу, обеспечивающих заданный среднеквадратичный радиус установившегося состояния (не содержащий управляющих воздействий) при отсутствии помех в измеряемом выходе. Ее численное решение использует технику линейных матричных неравенств для вырожденной задачи Я«,-субоптимизации.

Все результаты работы объединяет в единое целое принцип частотных матричных неравенств для передаточной матрицы замкнутой системы, в рамках которых может быть выражена цель проектирования регулятора. Интерпретация таких частотных неравенств на языке средних квадратов регулируемых переменных и управляющих воздействий при действии полигармонических внешних возмущений позволяет решить поставленные задачи синтеза регуляторов путем выбора структуры и коэффициентов квадратичного функционала оптимизации, соответствующей ЬС,}- или Н^ -задачи.

Практическая ценность полученных результатов заключается в их конструктивности и практической направленности, что привело к разработке инженерных процедур синтеза линейных многомерных систем автоматического управления при действии полигармонических внешних возмущений и помех измерения (с неизвестными амплитудами, частотами и их числом), ограниченных по мощности. Помимо заданной точности полученные непрерывные регуляторы по состоянию и по выходу гарантируют значительные многомерные запасы устойчивости по фазе (более 60°) и коэффициенту усиления (более 2-х) на физическом входе объекта, что крайне важно для практических приложений.

Реализация результатов. Результаты диссертационной работы использовались при проектировании электроприводов на Электростальском заводе тяжелого машиностроения (ОАО ЭЗТМ), а также внедрены в учебный процесс Электростальского политехнического института ФГОУ ВПО НИТУ "МИСиС", на что имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ" (Астрахань, 2009), Первой традиционной всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Переславль-Залесский, 2009), Летней Школе молодых ученых в рамках Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22" (Иваново, 2009), Международной научной конференции "Проблемы управления, передачи и обработки информации (АТМ-ТКИ-50)" (Саратов, 2009), 2-ой Российской конференции с международным участием "Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (УКИ-10)" (Москва, 2010), Конференции "Управление в технических системах (УТС-2010)" (Санкт-Петербург, 2010), XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2011), XXIV Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24" (Киев, 2011), 4-ой Международной конференции "Системный синтез и прикладная синергетика (ССПС-2011)" (Пятигорск, 2011), а также на двух научных семинарах по теории автоматического управления (руководитель - заведующий лабораторией № 7, д.т.н. Поляк Б.Т.) Института проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова (Москва, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах. перечень которых приведен в конце автореферата. 3 статьи опубликованы в научных журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения, приложений н списка литературы, который содержит 131 наименование. Объем диссертационной работы 148 страницы; в текст включено 33 рисунка.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется проблема, определяется цель работы и решаемые задачи, указываются методы исследования, новизна работы, научная и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе рассматривается синтез непрерывных регуляторов состояния линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию при действии ограниченных по мощности внешних возмущений из класса полигармонических функций с неизвестными амплитудами, частотами и числом гармоник. Математической и алгоритмической основой решения этой проблемы (при любой заданной точности) служат процедуры Lg-оптимизации, а полученные результаты опираются на частотные свойства замкнутых LQ-оптимальных систем и выбор структуры и коэффициентов квадратичного функционала оптимизации. Полученные регуляторы по состоянию гарантируют высокие запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления na. входе объекта.

В этой главе рассматривается объект, вектор состояния которого доступен измерению, а возмущения и управления приложены в одной точке (или могут быть сведены к этому)

х = Лх + Biw + B2U, ъ = Cix, (1)

где x(i) € R" - вектор состояния объекта (1) с произвольными начальными условиями ж(0), u(i) £ Rm - вектор управления, z(f) € Rmi - вектор регулируемых переменных. w(f) € Rß - вектор внешних неизмеряемых возмущений, Постоянные числовые матрицы А , В\, В->, С\ известны (В 1 = В2) ■ Пара матриц (Л, В^) предполагается стабилизируемой, а пара (Си А) - детектируемой.

Закон управления строится в виде (где К - искомая числовая матрица)

и = Кх. (2)

Компоненты вектора внешних возмущений полигармонические функции (с неизвестными амплитудами Wik. начальными фазами ipik, частотами шь

и числом гармоник р ) р

= Wik sin(Wti + ^ik), i = T7/J, К. P < 00, (3)

средний квадрат (мощность) которых ограничена т

№)=ümx fJwKt)dt = £rw%^iv;\ 1 (4)

где w* (i = 1,/i) -- заданные числа.

Средние квадраты регулируемых переменных определяются соотношениями

(г?) = Hm ^ У 4(t)dt >0, i = (5)

Аналогично определяются средние квадраты управляющих воздействий {и]), j=~Lm.

Задача 1. Найти стабилизирующий регулятор состояния (2) такой, чтобы средние квадраты регулируемых переменных замкнутой системы (1), (2) при действии возмущений из класса (3), (4) удовлетворяли требованиям [г* > 0 (г = Lmi) - заданные числа)

г =1^7. (6)

Задача решается двумя способами.

Первый из них опирается на решение матричного уравнения Риккати

AJP + РА- PB2R-1B\P = -CjQCi, (7)

где Р = Рт Ji 0 - решение (7), а закон управления строится в виде

u = Кх, К = -B7lBlP, (8)

и доставляет минимум квадратичному функционалу (при w = 0 в (1))

J = min J (zTQz + uT2?u) dt, (9)

где Q и R - симметрические положительно определенные весовые матрицы, выбираемые проектировщиком.

Определим передаточные матрицы замкнутой системы (1), (8)

Tnw{s) = K{sl - Ad)~1B2. Tzw(s) = C\{sl - Aci)~1B2, Acl = A + B2K, (10)

первая из которых связывает вектор управляющих воздействий и, а вторая - вектор регулируемых переменных z с вектором внешних возмущений w.

В работе1 получены частотные матричные неравенства для передаточных матриц (10) замкнутой системы (1). (7), (8)

£ Я, и е [о, оо]. (11)

Т^(-зы)Тм{]ш) < 47, (при Л = г/, г > 0), у€[0,оо]; (12) которые позволяют сформулировать следующую теорему.

Те о рема. 1. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибок регулирования) системы (1), (7), (8) при действии полигармонических возмущений (3), (4) е случае диаго}шльных весовых матриц <5 и Я. критерия (9) принадлежат множеству, определяемому неравенством

Ш] т.

(13)

¿=1 ]=\

а средние квадраты управляющих воздействий при Я, = г1, г > 0 и <Э > 0 (необязательно диагональной) принадлежат множеству, описываемому неравенством

5>?К4К||2, (14)

¿=1

где qi и г$ - элементы диагональных весовых матриц С} и И,, ||\у*|| = у'(л¥*)г«''* - евклидова норма вект.ора у/* = [ги^и^, с компонента-

ми из правых частей неравенств (4).

Следствием этой теоремы являются строгие правила выбора коэффициентов функционала оптимизации.

Следствие 1. Закон управления (7), (8) разрешает задачу 1 для объекта (1), если элементы диагональных весовых матрш^ и В. критерия (9) удовлет,воряют условиям

||ЛУ*||2 ___

д{ =—7Г~, 1 = \,ти г, = 1, j = 1,т. (15)

гг

Второй способ синтеза непрерывных регуляторов состояния опирается на процедуры конструирования регуляторов, оптимальных в смысле критерия обобщенной работы А.А.Красовского и сводится для устойчивых объектов управления к решению линейного матричного уравнения Ляпунова

АТР + РА — -С^Сь (16)

1 Александрой А.Г., Честной В,II. Синтез многомерных систем заданной томности, I. Применение процедур - оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1998. Л1 7. С. 83-95.

где Р ^ 0 его решение. При этом возмущения и управления должны быть приложены в одной точке.

В этом случае закон управления (8) является оптимальным в смысле функционала обобщенной работы (ю = 0 в (1))

ОС

3 = тш I (хтС?<ЭС,х + итЯи + х'РВгЯ-^Рх) <Й. (17) о

Используя частотные свойства, полученные в работе 2 для системы (1). (8), (16)

ТЦЧи)ОТх»,ии) < 0,5Я, и> 6 [0, со]; (18)

ТиЧ")Тии,(]и) < / (при Я = г/, г > 0), и; 6 [0, оо]; (19) в данной диссертационной работе формулируются следующие утверждения

Теорема 2. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибок регулирования) системы (1), (8), (16) при действии полигармопических возмущений (3), (4) в случае диагональных весовых матриц и Я принадлежат .множеству, определяемому неравенством

£д1(г?К0,5;£г,Ч2, (20)

¡=1 ¡=1

а средние квадраты управляющих воздействий при Я = г!, г > 0 и (} > 0 (необязательно диагональной) принадлежат множеству, описываемому неравенством

£<«?> < кн2. (21)

¡=1

Следствие 2. Закон управления (8), (16) разрешает задачу 1 для объекта (1), если элементы диагональных весовых матриц С} и Я удовлетворяют условию

® = —^^ г = 1:ть г, = 1, з=1,т. (22)

Сравнивая (15) и

(22) заключаем, что если выбирать весовые коэффициенты матрицы Я единичными, то для обеспечения выполнения требований к точности (6) элементы весовой матрицы Ц могут быть выбраны в два раза меньшими по сравнению результатами полученными на основе решения матричного уравнения Риккати. Очевидно также, что условие (21) гарантирует

2Александров Л.Г., Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур Ь<3 - оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 83-95.

четырехкратное уменьшение мощности управляющего воздействия в установившемся режиме по сравнению с (14), если объект устойчив.

В конце главы приведена связь оценок точности на языке средних квадратов и абсолютных значений.

Эффективность предложенных методов синтеза продемонстрирована на примере синтеза непрерывного регулятора состояния для взаимосвязанного электропривода.

В второй главе рассматривается задача синтеза непрерывных регуляторов по выходу линейных многомерных систем на базе процедур 1Л3-оптимизации, гарантирующих требуемую точность по регулируемым переменным в среднеквадратичном смысле при действии неизмеряемых ограниченных по мощности полигармонических детерминированных внешних возмущений с неизвестными амплитудами, частотами л числом частот. Рассматривается минимально-фазовый по управлению объект, у которого регулируемые переменные совпадают с измеряемыми, число управлений и регулируемых переменных одинаково, а внешние возмущения и управления могут быть приложены к объекту в разных точках В\ ф £?2 • Регулятор строится на базе наблюдателя полного порядка так, что дополнительно гарантируется наличие запасов устойчивости на входе объекта но фазе и коэффициенту усиления, имевших место для регулятора состояния (Дж. Дойл, Г. Стейн, 1981 г.).

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнениями

где дополнительно, по сравнению с (1) и (8), y(f) £ Rmi вектор измеряемых переменных, xc(i) £ RUr - вектор состояния регулятора (24). Ас, Ве, Сс, Dc - неизвестные матрицы регулятора (24). Измеряемые и регулируемые переменные совпадают С\ = Ci, mi — m,. Пара матриц (А, Вз) предполагается управляемой, а пара (Со, А) - наблюдаемой.

Компоненты вектора внешних возмущений w ограниченные полигармонические функции из класса (3), (4).

Задача 2. Найти стабилизирующий регулятор (24) такой, чтобы средние квадраты регулируемых переменных системы (23), (24) при действии возмущений из класса (3), (4) удовлетворяли требованиям

х = Ах + Biw + B2U, г = Cix, у = С2Х, хс = Асхс + Вс у, и = СсХс + Д:у,

(23)

(24)

где z\ > 0 (i — l,mi) - заданные числа.

Для объекта (23), у которого в общем случае В\ ф В2, строится вектор I эквивалентных внешних возмущений, приведенных ко входу объекта-

ОД = [С2{&1 - Л)-}В2}-гСг(*1 - = (26)

и находится число р такое, что выполнено частотное матричное неравенство

< Р21, ш е [0,и/], (27)

где ш* - граничная частота спектра внешнего возмущения .

Сначала предполагается, что матрица К регулятора, состояния (8) найдена на основе решения уравнения Риккати (7).

Закон управления строится на базе наблюдателя и = , где х(. 6 Л" -вектор состояния наблюдателя (фильтра) полного порядка

хс = Лхс + В2и + ^/(у-С2хс), К; = УС1, (28)

где У > О решение матричного уравнения Риккати

ЛУ + УЛТ - УС\С2У = -<Эо - аВ2УВ\. (29)

В правой части (29) С}0 и V - произвольные неотрицательно определенная и положительно определенная матрицы чисел, а достаточно большой положительный весовой коэффициент.

В этом случае матрицы регулятора (24) имеют вид

Ас = А + В2К-К}С2, ВС = К1, Сс = К, Дс = 0. (30)

Теорема 3. Пусть рассматривается минимально-фаз о вый объект (23) у которого С\ = С2, ггц = т2 = т. Тогда при Я —г1, где скаляр г > 0, и достаточно большом а в (29) неравенства теоремы. 1, а также следствия

1 в системе с наблюдателем (23), (24), (28), (29) остаются в силе с точностью до замены в соотношениях (13) - (15) |^*||2 на р2|К*||2.

Таким образом, если объект минимально-фазовый, то в асимптотике (а —► со) имеет место результат, аналогичный случаю полного измерения состояния, если частоты внешнего возмущения не превышают а/. Если В\ — В2, то р = 1, а и" = ос.

Если матрица К регуляторе, состояния (8) найдена на основе решения уравнения Ляпунова (16), а закон управления строится тга основе (28), (29), то имеет место

Теорема. 4. Пусть рассматривается минимально-фазовый объект (23) у которого С\ = С2, тп1=т2 = т. Тогда при Я = г1, где скаляр г > 0, и достаточно большом а в (29) неравенства теоремы 2, а также следствия

2 е системе с наблюдателем (23), (24), (28), (29) остаются в силе с точностью до замены в соотношениях (20)-(22) |^*||2 на р2||\У*||2.

Также отметим, что порядок получаемого регулятора не превышает порядка исходного физического объекта, что важно для практических приложений. Практическая эффективность предложенных процедур проверена на примере синтеза непрерывного регулятора по выходу для взаимосвязанного электропривода.

В третьей главе рассмотрена задача синтеза дискретных регуляторов по состоянию и по измеряемому выходу для линейных многомерных объектов, подверженных действию ограниченных по мощности детерминированных полигармонических возмущений и помех измерения, содержащих произвольное число гармоник с неизвестными амплитудами и частотами.

Рассматривается дискретный объект управления

х(к + 1) = Ах(к) + B,w(A) + В2и{к), . .

z(k)=Cix(k), у(к) = С2х(к) + ф), к = 0,1,2..., 1 '

где х(к) £ Rn вектор состояния объекта (31), u(fc) 6 R,n вектор управления, z [к) € Я'™1 - вектор регулируемых переменных, у (к) 6 Rm- - вектор измеряемых переменных, w(к) £ й' - вектор внешних неизмеряемых возмущений, Tj(k) G Я'"2 - вектор помех измерения. Пара матриц (А, В2) предполагается стабилизируемой, а пара (С2, А) - детектируемой.

Закон управления ищется в виде

Xc(fc+ 1) = Асх,(к) + Всу(к), и (к) = СМк) + Dcy{k), к = 0,1, 2..., (32)

где Xc-(fc) G ЯПс - вектор состояния регулятора, Лс, Вс, Сс. £>с - искомые матрицы регулятора.

Компоненты вектора внешних возмущений и помех измерения ограниченные полигармонические функции

v _

wi{k) = YJVhssmfakT + ^u), к = 0,1.2..., i = 1^р<оо. (33) ¿■=1

Tlj(k) = YJ-rijqsin(^kT + pjq), к = 0,1,2..., l<i<oo, (34)

здесь амплитуды W{S, щ, начальные фазы ф^, ipjj, а также частоты и5; гармоник неизвестны (г = TJi, j = 1, т2, s = 1 ,р, q - 1,0- Число гармоник при этом также неизвестно 1^»<оо, 1 ^ I < 00. Т период дискретности регулятора (32).

Полагается, что средние квадраты (мощность) каждой компоненты внеш-

него возмущения и помехи подчинены условиям

1 Л 1 р — № = j|™c 77TIX)W = 2 w'*2 ' *= 1 ' ^ 1 ^ р < 00 •

(35)

V ;

*=0 î=l

_ __(36)

где w] (г = 1,/j), î)*j (j = l.jno) - заданные положительные числа.

Средние квадраты регулируемых переменных и управляющих воздействий определяются соотношениями

(гф = £>,»(*) >0. (37)

к-0

Требуется найти стабилизирующий регулятор (32) такой, что средние квадраты регулируемых и управляющих переменных замкнутой системы (31), (32) при действии возмущений и помех измерения из класса (33), (34) и (35), (36) соответственно удовлетворяли требованиям к точности

(z?Kz.;2, i = (wfKwf, i = (38)

где z* > 0 (г — 1, т\) и и* > 0 (j = l,m) - заданные числа.

Требования (38) не всегда можно выполнить, поэтому вводится среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы

m j t п\ m I 2v

= (39)

¿=i • }=1 J

который в одном показателе объединяет ограничения на средние квадраты регулируемых переменных и управлений.

Очевидно, что если (r^) ^ 1, то выполнены и условия (38). Задача 3. Для заданного числа f > 0 найти стабилизирующий регулятор (32) такой, чтобы при действии внешних возмущений и помех измерения из класса (33) — (36) выполнялось неравенство

(r;ù < 72. (40)

Если такого регулятора не существует, тогда необходимо найти регулятор, обеспечивающий минимально возможное значение числа 7 = 7*, для которого выполнено требование (40).

Решение поставленной задачи опирается на использование дискретных процедур субоптимальпого Нх-подхода путем выбора коэффициентов весовых матриц соответствующего минимаксного квадратичного функционала оптимизации. Задача численно решается на базе 2-Рпккати подхода.

Важную роль в получении результатов настоящей главы играет лемма, о средних квадратах, доказанная в диссертационной работе для дискретного случая.

Пусть имеется асимптотически устойчивая дискретная система вида

х(Л: + 1) = Ах{к) + Вы{к), 2{к) = Сх{к), к = 0,1,2... (41)

Обозначим через Ъш{е>^т) частотную передаточную (1\ х 1-2) -матрицу системы (41), связывающую вектор выходных неременных гбЛ1' с вектором входных воздействий е В.1'2 из класса (33), (35), которая удовлетворяет частотному матричному неравенству

1?а,(е-^№Тю(е*иТ) < Я, ^ [0, */Т}: (42)

где = сИад[ди %} и Д = (Иад[гь г2,---, П2] - некоторые положи-

тельно определенные диагональные матрицы соответствующих размеров.

Вводится вектор ш* = [ги^, .], компоненты которого фигури-

руют в правых частях аналогов неравенств (35) для сигнала Тогда имеет место следующая лемма о средних квадратах.

Лемм а 1. Пусть выполнено частотное неравенство (42), тогда средние квадраты установившихся значений выходных переменных устойчивой системы. (41) при действии входного сигнала из класса (33), (35) принадлежат множеству, описываемому неравенством

¿=1 ¿=1 где ¿; (I — ) - компоненты вектора г.

Когда вектор состояния объекта (31) доступен непосредственному измерению, а помехи отсутствуют (С2 = / , т? = 0) - закон управления строится в виде

и(к) = Кк(к), К = - (Д + В%РВ2)-1В1РА: (44)

где Р = Рт > 0 решение матричного уравнения Лурье-Риккати

А'РА-Р-А[РВ,{Н+В1РВ.2)-1В10РА+РВУ(1+ВТ-РВ„У1В1Р = -сТдс1,

(45)

где В1 = ч~1В\, а (5 = <5Т > О, Я = Яг > О, 7 > О задаваемые проектировщиком весовые матрицы и число.

Закон управления (44), (45) является оптимальным в смысле минимаксного квадратичного функционала (XV е 12)

ОС

J = пиптахУ>т(*;)дг(*;) + ит(Ь)Ди(*:) - (46)

ие1г и-еЬ ^^

¡ЫО

и обеспечивает выполнение целевого неравенства

\\Ъ4сс < 7 Т1ш{е-^т)Ты,{е^Т) < 1*1, и £ [0, п/Т]. (47)

где - дискретная передаточная матрица замкнутой системы, связывающая векторы г и г - расширенный вектор регулируемых переменных вида ъ = со1оп{Я11\ Я^и} = со1оп{Я112Схх, Я^и}. Определим передаточные матрицы замкнутой системы

Ттв = Цг1-Аы)-1Ви Тае = С1(г1-Аы)-1Ви Аа = А+В2К. (48)

На основе леммы 1 о средних квадратах сформулирована теорема. Теорема 5. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибокрегулирования) и управляющих воздействий системы (31), (44), (45) при действии полигармонических возмущений из класса (33), (35) принадлежат множеству, определяемому неравенством

7П1 VI

£^+£^К72|К||2, (49)

¿=1 ¿=1

где -к* = К, ..., и/*]т.

Следствие 3. Пусть диагональные элементы весовых матриц <3 и Я критерия (46) удовлетворяют условиям

« = г = г,} = —] = Т~пг, (50)

тогда среднеквадратичный радиус устлновившегося состояния замкнутой системы (31), (32) удовлетворяет целевому неравенству (40).

При синтезе дискретного регулятора по выходу измеряемый выход объекта (31) описывается уравнением у = С^х + г), где г/ вектор помех измерения из класса (34), (36).

Вводится расширенный вектор внешних возмущений ^ = со1оп{\у. т?} и расширенный вектор регулируемых переменных вида г, определенный выше.

с 1 =

Определяются матрицы В{ - [В1 0] 6 Л«*^"'*), В2 = В2Яг1>2

При синтезе регулятора по выходу далее будет использоваться результат'5 полученный для единичных весовых матриц (2 и Р. Для выполнения целевого неравенства

НЗк-Н« < 7 <=> ГКс ^ уг, ^'1) < 727, ш 6 [0, ж/Т] (51)

с регулятором по выходу (32) необходимо и достаточно, чтобы3 г) существовало решение Р — Рт ^ 0 дискретного уравнения

Р - ¿¿С: = ЛТР(7 + ЗДТР - ^Р)-1А

такого, что выполняется матричное неравенство В]Р(1+В2В1Р)~1 В\ < ~/21, и) существовало решение У = У7 ^ 0 второго дискретного уравнения Лурье-Риккати

¿¡Си

У - ВгВ{ = AV(I + ClG,Y - ^

-F) Л

такого, что + С^У)"1^ < у21,

иг) выполнялось спектральное условие на максимальное собственное значение матрицы РУ Ашах(РУ) < 72.

При этом один из таких регуляторов (32) (центральный) имеет матрицы Ас, Вс. Со, Ос. определяемые равенствами

Л = л + бр + в,3^с2, в, = -г~1ь2 + в2Ъ^ос

Ск = F2 + DlD^C2,

■2 -Г С52)

где

В = [В\, В2), В2 = 7Г\В2 + LiDi2)Di2, С2 = -D21(C2 + D21FX), DnDl, = (7 + ¿¡РВ,)"1 - BJP(I + B252TP)-1B1Bj(7+ +PB2BIY1PB2 - F2Y{Z + C2C2Y)~1Fj,

F =

DT21D21 = ' Fl F2

I + c2yz-lci)-\

r2B\ -Bi

г = 1- 7-2УР, Р(7 + в2в\р - 7-2515?р)-1д т, = [¿; 12]"= АУ(1 + с}с2у - 7-2С[С1^)-1[7_2б[ - с2т].

На основе леммы 1 о средних квадратах из (51), придем к следующему результату.

3Iglesias Р.А., GJover К. State-space discrete-time #„ control theory // Eur. Control Conf. Grenoble. 1991.

France, V. 2. P. 1730-1735.

Теорема 6. Средние квадраты регулируемых переменных (ошибок регулирования) и управляющих воздействий системы (31), (32) , (52) при действии полигармонических возмущений и помех из класса (33) — (36) принадлежат множеству, определяемому неравенством

mi m

+ (53)

i=1 J=1

Здесь w* = [Ц, w*2, w]0 7 ft, fa ..., r4jr.

Следствие 4. Пусть диагональные элементы весовых матриц Q и R критерия (46) удовлетворяют условиям

9. = —г=1,ттц; г, = —3 = 1,т. (54)

Тогда среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы (31), (32), (52) удовлетворяет неравенству (40).

В работе также рассмотрен случай, когда помехи измерения не учитываются, а среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы не содержит управляющих воздействий

(55)

¿=1

Это весьма важно, так как часто мощность управлений определяется мощностью приложенного к системе внешнего возмущения (это абсолютно справедливо, если управления и возмущения приложены к объекту в одной точке).

Вводится новый вектор регулируемых переменных г 6 К"11, связанный с исходным вектором физических регулируемых переменных г соотношением г = <51/2г. Тъв , Тгт - передаточные матрицы замкнутой системы (31), (32), связывающие вектор г с вектором внешних возмущений и вектор г с вектором соответственно

г = Т^УГ = а 1/2Т2ШШ, (56)

где С} - диагональная весовая матрица с положительными элементами, выбираемая проектировщиком.

Задача обеспечения заданного радиуса

(г1) < 72 (57)

опирается на решение вспомогательной вырожденной задачи Н^-оптимизацки

\ЫХ < 7 <=*■ Tjw(e~^r)QTzw(é'"T) < ri, и G [0, тт/Г]. (58)

На основе дискретной леммы 1 о средних квадратах, приходим к следующему результату.

Теорем а 7. Установившиеся ошибки по регулируемым переменным субоптимальной системы (31), (32). дискретный регулятор (32) которой найден в результате решения дискретной Нх -проблемы (58) при действии. внешних возмущений из класса (33), (35), принадлежат м.иоже-ству, описываемому неравенством,

¿«^KtVT- (59)

¿=1

Следствие 5. Регулят,ор (32). полученный на основе решения дискретной Н0с -проблемы (58), обеспечивает выполнение целевого условия (57), если элементы диагональной весовой матрицы Q выбирать из равенств

||w*!|2 _

* = Г". i=l.mi. (60)

Поскольку в задаче (58) регулируемый выход не содержит управлений, а помехи измерения отсутствуют, то численное решение такой задачи опирается на метод линейных матричных неравенств (LMI).

В четвертой главе рассмотрена задача синтеза синхронизирующего управления независимыми главными приводами трубоэлектросварочного агрегата. На основе предложенного подхода к синтезу (57), (58) построен цифровой регулятор по выходу, обеспечивающий заданные требования по точности рассогласования угловых скоростей двигателей при действии ограниченных внешних возмущений — отклонений моментов двигателей от номинальных.

Регулируемыми неременными в этой системе являются разность угловых скоростей приводов формовочного и калибровочного станов трубоэлектросварочного агрегата z\, а также токи приводных двигателей станов z2 и ¿з . Эти же переменные являются измеряемыми.

Матрицы дискретной модели (31) этого объекта для выбранного периода дискретности Т = 0,01с имеют вид

/0,8722 0

0,0038 0 о о

о, вею о

0.0063 о о

-10.5400 О

0,9782 О О О

-10,2899 О

0,9044 О О

0,8084 О

О,0020 О

0,3679 О

° \

0,8312

0,0033 О

0,434б/

В. =

' 0.0029 О

-0,0005 О О

V О

0 \

0,0046

-О, 0009 О

О ,

В->

82,8651 О

0.1221 О

108,0117

0 \

70,8683

О,1720 О

С\ =

а =

\ 0 98,5436/

Далее решается задача синтеза регулятора по выходу (32) такого, что при действии полигармонического внешнего возмущения из класса (33), (35) с ||\у*|| = 600 (что соответствует 20% от номинального момента двигателя), выполнялись требования к точности г\ — 1, г\ = 375, = 375.

Весовые коэффициенты диагональной матрицы (5 выбраны из равенств (60) ф1/2 = сйа^бОО 1,6 1,6].

В результате решения задачи (58) (реализовавшееся значение 7 = 0,8208) получен регулятор (32), с которым амплитудно-частотная характеристика (в функции псевдочастоты V = , где ш - частота входного сигнала)

замкнутой системы от внешнего возмущения к разности угловых скоростей (валки калибровочного стана проскальзывают и полный момент нагрузки приложен к приводу формовочного стана) приведена на рис.1 (а).

К-Н

оге —

•4-

0 0 025 0.05 0 С75 А1 0125 0.15

Время, с.

б)

Рис. 1. Результаты моделирования: а) амплитудно-частотная характеристика, б) переходный процесс по разности угловых скоростей при действии Мс\.

Из монотонно убывающей характеристики (рис.1 (а)), промасштабирован-ной амплитудой бООНм момента нагрузки видно, что амплитуда установившейся разности угловых скоростей для всех частот не превышает 0,4 рад./е., а наихудшим внешним возмущением является ступенчатое.

На рис.] (б) приведена реакция замкнутой системы на, ступенчатое внешнее возмущение амплитудой СООНм, приложенного к формовочному стану.

Таким образом построенный динамический регулятор обеспечивает рассогласование угловых скоростей, которое, согласно требованиям к системе, пе должно превышать 1 рад/с, а также время переходного процесса не более 0,25с.

В заключении диссертации подведены итоги проведенных исследований. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- разработана, методика синтеза, непрерывных регуляторов состояния заданной точности, которая обеспечивает заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений, на основе процедур LQ -оптимизации. При этом внешние возмущения должны быть приложены к объекту аддитивно с управлением. Сформулированы правила выбора структуры и коэффициентов весовых матриц квадратичного функционала оптимизации;

- предложены процедуры построения непрерывных регуляторов по выхода' заданной точности, обеспечивающие заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных, при построении наблюдателя состояния на базе процедуры восстановления робастности (LTR), при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений. При этом объект должен быть минимально-фазовым, а число измеряемых (одновременно регулируемых) переменных должно совпадать с числом управлений;

- разработан подход к синтезу дискретных регуляторов состояния и по выходу, обеспечивающий заданный среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы при действии детерминированных ограниченных по мощности полига.рмоничсских внешних возмущениях и помех измерения, на основе процедур Н^-оптимизации. Сформулированы правила выбора весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации;

- предложена методика синтеза дискретных регуляторов по выходу в случае отсутствия управляющих воздействий в среднеквадратичном радиусе установившегося состояния и помех в измеряемом выходе. Задача обеспечения заданного радиуса опирается на решение вырожденной эквивалентной Яос -проблемы оптимизации.

- решена задача, синтеза дискретного регулятора по выходу заданной точности в системе автоматического регулирования главных приводов тру-

боэлектросварочного агрегата при действии типовых внешних возмущений. При этом основным требованием к системе является точность поддержания рассогласования скоростей приводов формовочного и калибровочного станов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в рецензируемых журналах из списка ВАК

1. Зацспплова Ж.В., Честнов В.Н., Салихов З.Г. Синтез цифрового регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатного стана // Изв. Вузов. Черная металлургия. 2011. А'® 7. С. 00-63.

2. Зацепилова. Ж.В.. Честнов В.Н. Синтез цифровых Н^-регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Автоматика и телемеханика. 2011. № 10. С. 39-51.

3. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе процедур ЬЦ -оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 19-34.

Публикации в других изданиях

4. Зацепилова Ж.В.. Честнов В.Н. Синтез Н^-регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов в МАТЬАВ / / Труды IV Всероссийской науч. конф. Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ. Астрахань: Издательский дом "Астраханский университет". 2009. С. 463 465.

5. Зацепилова Ж.В. Синтез и упрощение Н^-регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов // Сб. трудов Первой Традиционной всероссийской молодежной летней Школы "Управление, информация и оптимизация". Переславль-Залесский. 2009. С. 93-99.

6. Зацепилова Ж.В. К синтезу -регулятора синхронизации глазных приводов трубопрокатных станов // Сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22": Секция ШМУ. Иваново. 2009. С. 158-161.

7. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по инженерным показателям точности, времени регулирования и запасов устойчивости // Сб. трудов Международной науч. конф. "Проблемы управления, передачи и обработки информации" (АТМ-ТКИ-50). Саратов: СГТУ. 2009. С. 41-45.

8- Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез цифровых регуляторов для линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному

критерию // Сборник трудов 2-ой Российской конф. с междунар. участием "Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения" (УКИ-2010). М: ИПУ РАН. 2010.

9. Зацепилова Ж.В.. Честнов В.II. К синтезу цифровых регуляторов по выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию // Сб. трудов 3-ей мультиконф. по проблемам управления "Управление в технических системах" (УТС-2010). Спб.: "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор". 2010. С. 287 290.

10. Зацепилова Ж.В. Синтез цифровых Н^-регуляторов заданной точности по среднеквадратичному критерию // Гироскопия и навигация. 2011, № 2. Рефераты докладов XIII Конф. молодых ученых "Навигация и управление движением", СПб. С. 78.

11. Чсстпов В.Н., Зацепилова Ж.В. Синтез регуляторов при полига.рмони-ческих внешних возмущениях на основе критерия обобщенной работы // Сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24". Киев. 2011. Т. 2. С. 77-79.

12. Честнов В.II., Зацепилова Ж.В. Синтез ¿<3 регуляторов при ограниченных по мощности внешних возмущениях // Сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24". Киев. 2011. Т. 2. С. 79 81.

13. Честнов В.Н., Зацепилова Ж.В. Синтез цифровых регуляторов линейных многомерных систем заданной точности на основе ЬМ1 -подхода // Материалы IV Междунар. науч. конф. "Системный анализ и синергетика (Пятигорск, ССПС-2011)". Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2011. С. 78-85.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД АВТОРА В СОВМЕСТНЫХ РАБОТАХ

В [1] автору принадлежит решение задачи обеспечения заданной точности и численные расчеты цифрового регулятора, синхронизации главных приводов трубопрокатного стана, в [2, 3) - формулировки и доказательства теорем и численные расчеты, в [4] - постановка задачи синтеза регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатного стана, в [7] - решение задачи обеспечения заданной точности. В [8-9] автором сформулирована и доказана дискретная лемма о средних квадратах и получены строгие правила зыбора коэффициентов минимаксного квадратичного функционала в случае регулятора по состоянию и регулятора по выходу с единичной [8] и неединичной весовой матрицей при управлении [9]. В [11, 12] диссертанту принадлежат формулировки и доказательства теорем. В [13] автору принадлежит решение задачи 2 и численные расчеты.

Подписано в печать: 15.11.2011

Заказ № 6267 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш.. 36 (499) 788-78-56 www. aut ore ferat. ru

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Зацепилова, Жанна Валерьевна

Введение.

Существующие методы подавления влияния внешних возмущений и точность регулирования.

Глава 1. Синтез непрерывных регуляторов состояния.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Синтез регуляторов на основе -оптимизации.

1.3 Синтез регуляторов на основе критерия обобщенной работы

1.4 Связь оценок точности на языке средних квадратов и абсолютных значений.

1.5 Синтез регулятора взаимосвязанного электропривода трубо-электросварочного агрегата.

1.6 Выводы по главе 1.

Глава 2. Синтез непрерывных регуляторов по выходу.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Синтез регуляторов на основе ЬС} оптимизации.

2.3 Синтез регуляторов на основе критерия обобщенной работы

2.4 Синтез регулятора взаимосвязанного электропривода трубо-электросварочного агрегата.

2.5 Выводы по главе 2.

Глава 3. Синтез дискретных регуляторов на основе процедур Яоо оптимизации.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Синтез регуляторов состояния

3.3 Синтез регуляторов по выходу.

3.4 Синтез регуляторов по выходу на основе LMI теории

3.5 Синтез регулятора взаимосвязанного электропривода трубо-электросварочного агрегата.

3.5.1 Дискретный регулятор состояния.

3.5.2 Дискретный регулятор по выходу

3.6 Выводы по главе 3.

Глава 4. Синтез регулятора заданной точности для многодвигательного электропривода.

4.1 Технологический процесс и постановка задачи.

4.2 Математическая модель.

4.3 Преобразование модели к стандартному виду.

4.4 Синтез дискретного Н^ регулятора по выходу.

4.5 Запасы устойчивости.

4.6 Выводы по главе 4.

Введение 2011 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Зацепилова, Жанна Валерьевна

Актуальность темы. Проблема синтеза регуляторов, обеспечивающих выполнение требований к точности регулирования, то есть попадание установившихся значений регулируемых переменных в заданные допуски, при действии на систему ограниченных внешних возмущений, является одной из центральных в теории и практике автоматического управления.

Результатом бурного развития теории автоматического управления в военные и послевоенные годы XX века стала теория синтеза регуляторов для объектов с одним входом и одним выходом (классическая теория автоматического управления), которая опиралась на работы Г.Найквиста, Х.Боде, В.В.Солодовникова, И.Горовица, В.А.Бесекерского, Я.З.Цыпкина, Э.Джури. В ней требования к качеству системы (установившейся ошибке, времени регулирования, перерегулированию, запасам устойчивости по фазе и коэффициенту усиления) формировались на основе ясных физических представлений на языке частотных характеристик разомкнутой системы. Благодаря простоте синтеза регуляторов в случае одномерных систем (SISO — Single Input Single Output) для минимально-фазовых объектов особую популярность приобрел метод ЛАЧХ [25, 69].

Однако решение задач управления многомерными системами (MIMO — Multiple Input Multiple Output) связано со значительными трудностями и многие классические подходы и методы, работавшие для SISO систем, неприменимы к MIMO системам. Следует отметить, что в теории и практике автоматического управления многомерными системами сложился следующий взгляд на показатели качества: установившаяся ошибка, время регулирования и перерегулирование оценивается по каждой регулируемой переменной, а запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления - по каждому входу или выходу объекта.

С появлением в 1960-1961гг. работ А.М.Летова [46] и Р.Е.Калмана [38, 113], в которых была рассмотрена задача об оптимальной стабилизации линейных стационарных [46] и нестационарных [113] объектов при квадратичном функционале качества, для многомерных систем была решена проблема синтеза регулятора по состоянию, обеспечивавшего асимптотическую устойчивость. При этом сам функционал оптимизации, т.е. его структура и коэффициенты, считаются заданным (функционал постулируется).

Последнее обстоятельство при практическом синтезе регуляторов на основе процедур -оптимизации превращает математически строгие результаты в метод проб и ошибок с целью удовлетворения заданных требований к показателям качества замкнутой системы. В частности, требований к точности при действии тицовых внешних возмущений (ступенчатых или гармонических), которые в прстановке задачи -оптимизации никаким образом не участвуют. Это вызвало появление проблемы выбора коэффициентов функционала оптимизации, которые обеспечивают качество замкнутой системы [47].

Первые работы, посвященные проблеме выбора коэффициентов функционала оптимизации для обеспечения заданной точности при действии ступенчатых внешних возмущений были начаты в конце 60-х годов прошлого века А.Г.Александровым [3, 4], где была установлена связь вектора ошибок регулируемых переменных с весовой матрицей при состояниях функционала оптимизации. Задача синтеза регулятора в [13] рассматривается, когда число управлений равно числу регулируемых переменных, которые совпадают с измеряемыми. Решение этой задачи, основанное на применении прямого алгоритма восстановления недоступных измерению переменных состояния объекта, получено в [5].

В дальнейшем решение задачи синтеза с учетом требований точности путем выбора весовых матриц функционала проводились в линейно-квадратичной постановке в работах Ю.К.Тимофеева [71], Ю.В.Садомцева [60, 61, 65, 66], Е.Ф.Волкова, Н.Н.Ершова [24], А.Г.Александрова, В.Н.Честнова [14]. Развитие результата [14] на среднеквадратичный случай (точность оценивается средним квадратом каждой регулируемой переменной) одна из задач настоящей диссертации. Широта применения процедур

-оптимизации, помимо простоты построения регулятора, объясняется высокими запасами устойчивости по модулю и фазе, гарантируемыми на входе объекта.

Современные методы синтеза систем, такие как теории Н^- и Ь\/1\-оптимизации, метод инвариантных эллипсоидов и др., рассматривают широкий класс внешних возмущений и помех, но требования к точности зачастую не формализованы или не используются. Так, например, методы оптимизации не дают решения задачи обеспечения заданной точности, так как минимизация нормы передаточной матрицы замкнутой системы вовсе не означает, что установившиеся ошибки регулирования будут меньше заданных.

В работах [15, 78] была поставлена задача обеспечения заданной точности с использованием непрерывных и дискретных процедур Яоо -оптимизации, причем в [78] только для регуляторов состояния. В результате были определены правила выбора весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации при действии полигармонических внешних возмущений с известным числом гармоник, но неизвестными амплитудами и частотами.

Однако во всех вышеперечисленных работах, за исключением стохастической теории управления, точность систем оценивается максимумом модуля отклонения регулируемых переменных от нуля. При случайных возмущениях при известных спектральных характеристиках такой характеристикой обычно служит дисперсии регулируемых переменных (среднеквадратичные значения).

Первая работа, где точность оценивается на языке средних квадратов регулируемых переменных при действии детерминированных полигармонических внешних возмущений и помех, ограниченных по мощности (ограничены средние квадраты каждой компоненты), выполнена В.Н.Честновым [76]. Здесь требования к точности учитывались выбором коэффициентов минимаксного функционала оптимизации. Решение данной задачи позволило расширить класс внешних возмущений и помех по сравнению с [15] и рассматривать сигналы, число гармоник которых неизвестно. При этом синтез регулятора осуществляется на основе непрерывных процедур Н^ -оптимизации (2-Риккати подход), а дискретный случай этой задачи - предмет исследований настоящей диссертационной работы.

Проведенный краткий анализ показывает, что проблема синтеза многомерных систем с учетом требований точности при наличии внешних возмущений является актуальной и решенной лишь для частных случаев. Это обстоятельство определило направление исследований, цели и задачи диссертационной работы.

Цель работы: Развитие подходов к синтезу регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по состоянию и по измеряемому выходу на основе теорий и Н^ -оптимизации при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений и помех измерения с неизвестными амплитудами, частотами и их числом. При этом точность оценивается на языке средних квадратов регулируемых переменных и управляющих воздействий, что далее упоминается как среднеквадратичный критерий.

Указанная цель достигается решением следующих конкретных задач:

1. Разработка подхода к синтезу непрерывных регуляторов состояния заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе теории оптимизации.

2. Построение процедуры синтеза непрерывных регуляторов по измеряемому выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе теории оптимизации.

3. Разработка подхода к синтезу дискретных регуляторов состояния заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе Н^ -подхода.

4. Построение процедур синтеза дискретных регуляторов по выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе Н^ -подхода.

Решение поставленных задач опирается на исследование частотных свойств замкнутых ЬС}- и Н^ -субоптимальных систем и выбор структуры и коэффициентов квадратичного функционала оптимизации (в Яоо случае - минимаксного).

Методы исследования. При решении поставленных задач в работе используются процедуры Ы5- и Н^ -теорий оптимального управления, аппарат теории матриц, техника линейных матричных неравенств (ЬМ1).

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы (131 источник). Работа изложена на 148 страницах текста, включающего 33 рисунка.

Все главы данной работы, за исключением четвертой, построены по следующей схеме: формулируются задачи синтеза регуляторов линейных многомерных систем, гарантирующих заданную точность по среднеквадратичному критерию; приводятся процедуры синтеза регуляторов, опирающиеся на выбор коэффициентов весовых матриц соответствующего функционала оптимизации линейно-квадратичного или Н^ -субоптимального управления; рассматриваются примеры, которые иллюстрируют практическую применимость и эффективность предложенных методов; делаются выводы к главам.

В первой главе предложен подход к синтезу непрерывных регуляторов состояния линейных многомерных систем, гарантирующий, что средние квадраты регулируемых переменных не превышают заданных значений при действии ограниченных по мощности полигармонических внешних возмущений с произвольным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами. При этом указываются ограничения на средние квадраты управляющих воздействий, парирующих внешние возмущения указанного класса. Синтез основан на решении матричного уравнения Риккати стандартной процедуры ЬС} -оптимизации и решении матричного уравнения Ляпунова для устойчивых объектов на основе критерия обобщенной работы А.А.Красовского.

Сформулированы правила выбора коэффициентов весовых матриц при состояниях и управлениях линейно-квадратичного функционала оптимизации, разрешающих поставленную задачу, позволяющие исключить итерационный характер синтеза, обычно используемый на практике.

При этом на физическом входе объекта гарантируются высокие запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления.

Основные результаты данной главы изложены в [34, 83, 84].

Вторая глава посвящена процедурам синтеза непрерывных регуляторов по выходу линейных многомерных систем, обеспечивающих непревышение заданных значений средними квадратами регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности полигармонических внешних возмущений с произвольным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами.

При рассмотрении этой проблемы указываются ограничения на суммарную мощность управляющих воздействий, подавляющих внешние возмущения указанного класса.

При этом для построения регулятора состояния используется подход, развитый в главе 1, а построение наблюдателя неизмеряемого вектора состояния объекта осуществляется на основе процедуры восстановления робастности, предложенной в 1981г. Дж.Дойлом и Г.Стейном.

Вместе с этим, помимо выполнения требований к точности для минимально-фазовых объектов с одинаковым числом регулируемых (и одновременно измеряемых) переменных и управлений, запасы устойчивости на физическом входе объекта имеют значения, близкие к случаю полного измерения вектора состояния объекта.

В случае затянутых переходных процессов, даны рекомендации по повышению быстродействия системы.

Основные результаты второй главы изложены в [34, 83, 84].

В третьей главе рассматривается проблема синтеза дискретных регуляторов по состоянию и по выходу для линейных многомерных систем при действии ограниченных но мощности полигармонических внешних возмущений и помех измерения с произвольным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами с использованием дискретных методов Н^ -оптимизации. Требования к точности системы учитываются на основе среднеквадратичного радиуса установившегося состояния замкнутой системы, который в одном показателе объединяет ограничения на средние квадраты регулируемых переменных и управлений. Задача обеспечения заданной точности формулируется как задача обеспечения заданного радиуса. Решение задачи опирается на выбор структуры и коэффициентов весовых матриц минимаксного квадратичного функционала стандартной Н^-проблемы оптимального управления и численно решается на базе 2-Риккати подхода.

Рассматривается случай, когда помехи измерения не учитываются и среднеквадратичный радиус установившегося состояния не содержит управляющих воздействий. Такая задача обеспечения заданного радиуса использует решение вырожденной проблемы Я^-оптимизации и численно решается на основе техники линейных матричных неравенств.

В случае, если время регулирования превышает заданное, указывается путь обеспечения заданной степени устойчивости, определяющей требуемое быстродействие.

Основные результаты этой главы изложены в [31, 32, 33, 35].

В четвертой главе рассмотрены вопросы построения дискретного синхронизирующего регулятора по выходу в системе автоматического регулирования главных приводов (формовочного и калибровочного станов) трубо-электросварочного агрегата (ТЭСА) при действии ограниченных внешних возмущений, характерных для данного объекта управления. При этом требование синхронной работы приводных электродвигателей выражается через требование к точности поддержания разности угловых скоростей двигателей станов (определяющих скорость перемещения трубной заготовки).

Для построения регулятора в данной главе использовались алгоритмы синтеза, предложенные в третьей главе настоящей работы, которые опираются на дискретные процедуры Н^-оптимизации.

Проведен анализ динамических процессов в замкнутой системе, подтверждающий практическую эффективность предложенных методов.

Основные результаты данной главы изложены в [29, 30, 35].

Приложение содержит тексты программ в среде МАТЬАВ для синтеза регуляторов на основе предлагаемых методик, а также включает акты, подтверждающие практическое использование полученных результатов.

Основные научные результаты, полученные в работе и выносимые на защиту:

1. На основе процедур -оптимизации развит подход к синтезу непрерывных регуляторов состояния заданной точности, обеспечивающий желаемые ограничения на средние квадраты регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений с неизвестным числом гармоник, приложенных к объекту аддитивно с управлением. Сформулированы строгие правила выбора структуры и коэффициентов весовых матриц квадратичного функционала оптимизации, разрешающие эту задачу, и указаны ограничения на суммарную мощность управляющих воздействий, парирующих внешние возмущения указанного класса

2. Для линейных многомерных минимально-фазовых объектов с одинаковым числом измеряемых (одновременно регулируемых) переменных и управлений, подверженных действию ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений с неизвестным числом гармоник, предложен способ построения регуляторов по выходу, обеспечивающих заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных, когда наблюдатель состояния строится на базе процедуры восстановления ро-бастности {ЬТЯ), предложенной Дж.Дойлом и Г.Стейном, а регулятор состояния - на базе процедур -оптимизации. Указаны ограничения на средние квадраты управляющих воздействий, подавляющих внешние возмущения указанного класса.

3. Развит подход к синтезу дискретных регуляторов по состоянию и по выходу, обеспечивающих заданный среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы, который включает в себя ограничения на средние квадраты регулируемых переменных и управлений, при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений и помех измерения с неизвестным числом гармоник. При решении используется процедуры дискретной Нж -субоптимизации (2-Риккати подход), а учет требований точности основан на выборе весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации.

Все части работы объединяет в единое целое принцип частотных матричных неравенств для передаточной матрицы замкнутой системы, в рамках которых может быть выражена цель проектирования регулятора. Они естественно возникают в результате исследования частотных свойств замкнутых многомерных систем с Ы5 и Нж регуляторами. Интерпретация таких частотных неравенств на языке средних квадратов регулируемых переменных и управляющих воздействий при действии полигармонических внешних возмущений позволяет решить поставленные задачи синтеза регуляторов путем выбора структуры и коэффициентов квадратичного функционала оптимизации соответствующей ЬС}- или Н^-задачи.

Реализация результатов. Полученные результаты применялись на Электростальском заводе тяжелого машиностроения (ОАО ЭЗТМ) при проектировании системы управления многодвигательного привода (приводы формовочного и калибровочного станов) трубоэлектросварочного агрегата в краткосрочном режиме (валки одного из станов могут свободно проскальзывать), что подтверждается соответствующим актом о практическом использовании. Теоретические результаты, представленные в 1-3 главах, используются в учебном процессе при выполнении курсовых научно-исследовательских работ и дипломном проектировании на кафедре " Автоматизация технологических процессов и производств" Электростальского политехнического института (филиала) Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет Московский институт стали и сплавов (ЭПИ ФГОУ ВПО НИТУ МИСиС), что также подтверждается соответствующим актом.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IV Всероссийской научной конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ" (Астрахань, 2009), Первой традиционной всероссийской молодежной летней школе "Управление, информация и оптимизация" (Переславль-Залесский, 2009), Летней Школе молодых ученых в рамках Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22" (Иваново, 2009), Международной научной конференции "Проблемы управления, передачи и обработки информации

АТМ-ТКИ-50)" (Саратов, 2009), 2-ой Российской конференции с международным участием "Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения (УКИ-10)" (Москва, 2010), Конференции "Управление в технических системах (УТС-2010)" (Санкт-Петербург, 2010), XIII конференции молодых ученых "Навигация и управление движением" (Санкт-Петербург, 2011), XXIV Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24" (Киев, 2011), 4-ой Международной конференции "Системный синтез и прикладная синергетика (ССПС-2011)" (Пятигорск, 2011), а также на двух научных семинарах по теории автоматического управления (руководитель - заведующий лабораторией № 7, д.т.н. Поляк Б.Т.) Института проблем управления РАН им. В.А. Трапезникова (Москва, 2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, из них 3 статьи в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

1. Зацепилова Ж.В., Честное В.Н. Синтез -регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов в МАТЬАВ // Труды IV Всероссийской науч. конф. Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ. Астрахань: Издательский дом "Астраханский университет" . 2009. С. 463-465.

Личный вклад: автору принадлежит постановка задачи синтеза регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатного стана.

2. Зацепилова Ж.В. Синтез и упрощение Н^-регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов // Сб. трудов Первой Традиционной всероссийской молодежной летней Школы "Управление, информация и оптимизация". Переславль-Залесский. 2009. С. 93-99.

3. Зацепилова Ж.В. К синтезу Н^ -регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов // Сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22" : Секция ШМУ. Иваново. 2009. С. 158-161.

4. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по инженерным показателям точности, времени регулирования и запасов устойчивости // Сб. трудов Международной науч. конф. "Проблемы управления, передачи и обработки информации" (АТМ-ТКИ-50). Саратов: СГТУ. 2009. С. 41-45.

Личный вклад: автору принадлежит решение задачи обеспечения заданной точности.

5. Зацепилова Ж.В., Честное В.Н. Синтез цифровых регуляторов для линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Сборник трудов 2-ой Российской конф. с междунар. участием "Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения" (УКИ-2010). М.: ИПУ РАН. 2010.

Личный вклад: автором сформулирована и доказана дискретная лемма о средних квадратах и получены строгие правила выбора коэффициентов минимаксного квадратичного функционала в случае регулятора по состоянию и регулятора по выходу с единичной весовой матрицей при управлении.

6. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. К синтезу цифровых регуляторов по выходу заданной точности по среднеквадратичному критерию // Сб. трудов 3-ей мультиконф. по проблемам управления "Управление в технических системах" (УТС-2010). Спб.: "Концерн "ЦНИИ "Электроприбор" . 2010. С. 287-290.

Личный вклад: автором сформулирована дискретная лемма о средних квадратах и получены строгие правила выбора коэффициентов минимаксного квадратичного функционала с неединичной весовой матрицей при управлении в случае регулятора по выходу.

7. Зацепилова Ж.В. Синтез цифровых Нж -регуляторов заданной точности по среднеквадратичному критерию // Гироскопия и навигация, 2011, № 2. Рефераты докладов XIII Конф. молодых ученых "Навигация и управление движением" , СПб. С. 78.

8. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н., Салихов З.Г. Синтез цифрового регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатного стана // Изв. Вузов.

Черная металлургия. 2011. № 7. С. 60-63.

Личный вклад: автору принадлежит решение задачи обеспечения заданной точности и численные расчеты.

9. Честнов В.Н., Зацепилова Ж.В. Синтез регуляторов при полигармонических внешних возмущениях на основе критерия обобщенной работы // Сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24". Киев: Национ. техн. университет Украины КПИ. 2011. Т. 2. С. 77-79.

Личный вклад: автору принадлежат формулировки и доказательства теорем. !

10. Честнов В.Н., Зацепилова Ж.В. Синтез регуляторов при ограниченных по мощности внешних возмущениях // Сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24". Киев: Национ. техн. университет Украины КПИ. 2011. Т. 2. С. 79-81.

Личный вклад: автору принадлежат формулировки и доказательства теорем.

11. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез цифровых Яоо-регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Автоматика и телемеханика. 2011. № 10. С. 39-51.

Личный вклад: автору принадлежат формулировки и доказательства теорем, численные расчеты.

12. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе процедур -оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 19-34.

Личный вклад: автору принадлежат формулировки и доказательства теорем, численные расчеты.

Личный вклад: автору принадлежит решение задачи 2 и численные расчеты.

Опубликованные работы, полностью отражают содержание диссертационной работы. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором лично.

СУЩЕСТВУЮЩИЕ МЕТОДЫ ПОДАВЛЕНИЯ ВЛИЯНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ТОЧНОСТЬ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Тематика данной диссертационной работы связана с обеспечением заданной точности системы при действии детерминированных полигармонических возмущений с неизвестными частотами, амплитудами и количеством гармоник. Поэтому, как одной из важных задач теории автоматического управления, уделим особое внимание проблеме подавления влияния неизмеряемых внешних возмущений. Кратко остановимся на главных направлениях ее развития.

Одним из важных направлений является теория инвариантности [45, 48, 53, 87]. Здесь параметры и структура системы управления выбираются так, чтобы регулируемые переменные не зависели от внешних возмущений. Начало развития этой теории можно отнести к работе Г.В.Щипанова, который сформулировал задачу " о компенсации внешних возмущений " [87]. Обобщив условия этой работы, Н.Н.Лузин [48] сформулировал принцип инвариантности одной из обобщенных координат динамической системы относительно возмущающего воздействия, который составляет основу методов теории инвариантности.

Особенностью этой теории являются существенные ограничения, которые накладываются на внешние возмущения и отсутствие ограничений на управляющие воздействия, что часто лишает задачу практического применения. В общем случае абсолютно инвариантную систему реализовать не удается, так как для этого требуется, чтобы охваченный внутренней обратной связью контур имел бесконечно большой коэффициент усиления. Кроме того, такие системы не удовлетворяют условию грубости [87], вследствие чего такая теория имеет узкие пределы применимости [72].

С середине XX века стали интересоваться задачей о подавлении влияния неслучайных ограниченных внешних возмущений. В 1940-е годы Б.В.Булгаков [23] занимался проблемой о накоплении возмущений (кривая

Б.В.Булгакова или диаграмма накопления [70]). Основное внимание тогда уделялось проблеме анализа максимального отклонения, вызываемого наиболее неблагоприятными ограниченными внешними возмущениями.

Важный класс задач решается в теории систем с переменной структурой (СПС). Толчком её появлению послужило сформулированное в 1957 г. предложение C.B. Емельянова использовать нелинейную коррекцию, в соответствии с которой в зависимости от состояния системы управления параметры обратной связи скачкообразно менялись. Эта идея оказалась крайне плодотворной и стала систематически применяться для улучшения качества регулирования при решении разнообразных задач управления. С 1963 г. C.B. Емельянов и В.И. Уткин используют СПС для управления по состоянию объектами при наличии внешних воздействий. При этом для стабилизации таких объектов достаточно информации только о величине внешних воздействий, а их изменение во времени не играет большой роли. Построению систем автоматического управления объектами с переменной структурой посвящены работы C.B. Емельянова , Б.Н. Петрова [27, 54], А.А. Красовского [44], но алгоритм такой работы сложен и вызывает трудности при его реализации.

В середине 70-х гг. стали рассматриваться задачи, когда имелась информация только о верхней границе внешних возмущений и минимизировалась абсолютная величина максимального отклонения регулируемой переменной от нуля. При этом внешние возмущения - произвольные ограниченные функции времени. Для минимально-фазовых дискретных объектов решение было получено в [90, 73]. Для неминимально-фазовых объектов эта задача была решена в работе Барабанова А.Е. и Граничина О.Н. [19]. За рубежом такие задачи были поставлены в 1986 г. [125] и получили решение в [97, 98] в дискретном и непрерывном случаях. Они получили названия задач 1\ - и L\ -оптимизации соответственно.

Однако минимизация указанного выше критерия вовсе не означает, что будут выполнены требования к точности в установившемся режиме, например, при типовых внешних возмущениях (ступенчатых или гармонических), атакже при случайных возмущениях с известными спектральными свойствами. Кроме того, передаточные функции Ь\ -оптимальных непрерывных регуляторов могут оказаться нерациональными [18, 22], что крайне затруднительно для их реализации. А порядок дискретных /1 -регуляторов может быть очень высоким.

Совсем другой подход подавления влияния произвольных ограниченных возмущений развит в [49, 57, 58, 75] и получил название метода инвариантных эллипсоидов, которые рассматриваются как аппроксимация достижимого множества. Регуляторы по выходу в непрерывном и дискретном случаях имеют конечный порядок, равный порядку объекта, что выгодно их отличает от регуляторов, построенных на основе Ь\ и техник.

Следует отметить, что во многих практических задачах, как правило, не требуется обеспечивать минимально возможные ошибки регулирования при действии типовых внешних возмущений (как это дает ¿1-техника). Важно обеспечить заданные ошибки регулирования, поскольку обеспечение минимально возможных ошибок приведет к неоправданному увеличению коэффициентов регулятора. Такой подход к синтезу регуляторов М1МО-объектов стал возможным после появления теории ЬС} -оптимизации в начале 60-х годов 20-го века.

Хотя постановка задачи -оптимизации не содержит внешних возмущений (в детерминированной постановке), построенные на базе этой технологии регуляторы сначала были исследованы в условиях действия ограниченных ступенчатых внешних возмущений. Причем процедуры ЬС} -оптимизации стали рассматриваться как средство, позволяющее влиять на установившиеся ошибки системы по регулируемым переменным, посредством выбора коэффициентов квадратичного функционала оптимизации. В рамках этого направления и выполнена настоящая диссертационная работа.

Впервые выбор коэффициентов функционала для решения задачи обеспечения заданной точности в рамках ЬС}-оптимизации начал рассматривать

A.Г.Александров. В [4, 5] он дает ограничение на выбор матрицы оптимизируемого функционала при заданных значениях вектора статических ошибок при постоянных внешних возмущениях.

B.Н.Честнова [И, 14].

В [71] рассматривается синтез регулятора по полному вектору состояния при постоянных внешних возмущениях в случае, когда управления и внешние возмущения прцдожены в одной точке. Е.В.Волковым и Н.Н.Ершовым в [24] приведена процедура синтеза наблюдателя Люенбергера, когда постоянные внешние возмущения приведены к выходу устойчивого объекта. В [11] для объектов с одинаковым числом регулируемых переменных и управлений при синтезе ЬС^ регуляторов состояния дан способ выбора весовой матрицы функционала, когда внешнее возмущение - гармоническое, ограниченной амплитуды и неизвестной частоты. В [60, 61] рассмотрены методы синтеза регуляторов при случайных возмущениях и предложены способы выбора весовых матриц, гарантирующих, что установившиеся дисперсии регулируемых переменных не будут превышать заданных величин. В дальнейшем эти результаты были развиты в [63, 64, 66]. В [66] также приведены достаточные условия статической регулируемости выхода при ступенчатых и случайных внешних возмущениях.

В [14] в рамках -оптимизации развит подход к синтезу регуляторов состояния и по выходу при полигармонических внешних возмущениях ограниченной мощности с неизвестными частотами, но известным их числом. Он опирается на выбор коэффициентов функционала, а регулятор по выходу строится на базе фильтра Калмана. Здесь, в случае регулятора состояния управления и возмущения должны быть приложены в одной точке, а в случае регулятора по выходу - объект должен быть минимально-фазовым с одинаковым числом управлений и регулируемых переменных.

Обобщение результата [14] на случай произвольного числа гармоник -одна из задач диссертации.

С середины 80-х годов XX века активно развивается теория Н^-оптимизации [102, 106, 105], которая позволяет решить задачу синтеза, если внешние возмущения представляются функциями времени конечной энергии (исчезающие функции времени, т.е. в классе функций из 1/2). Процедура синтеза в Н^ -задаче сводится к решению двух дуальных друг другу уравнений типа Лурье-Риккати, чем обеспечивается минимизация Н^ нормы передаточной матрицы замкнутой системы, которая связывает вектор регулируемых переменных и управлений с вектором внешних возмущений и помех измерения. При этом закон управления имеет структуру ЬС^С оптимального регулятора, включающего регулятор по полному вектору состояния и наблюдатель, дающий оценку неизмеряемого вектора состояния объекта.

Следует заметить, что методы Н^ -субоптимизации не дают решения задачи обеспечения заданной точности, так как минимизация нормы передаточной матрицы замкнутой системы вовсе не означает, что установившиеся ошибки регулирования будут меньше заданных.

Снять ограничения в рамках процедур Н^ -оптимизации помогли работы А.Г.Александрова и В.Н.Честнова [15, 76, 78, 80, 81]. С этой целью в [15] было введено понятие радиуса установившегося состояния, который представлял собой сумму взвешенных квадратов регулируемых переменных и управлений. Здесь, в отличие от [14], для регуляторов состояния управления и возмущения могут быть приложены в разных точках, а для регуляторов по выходу объект может быть любым, в том числе неминимально-фазовым. Решение задачи обеспечения заданного радиуса установившегося состояния достигалось выбором весовых коэффициентов соответствующего минимаксного квадратичного функционала, при этом использовались процедуры стандартной задачи Нж -оптимизации. Внешние возмущения предполагались детермипироваииыми полигармоническими с известным числом частот.

В [76] рассматривалась среднеквадратичное обобщение этой задачи для непрерывных систем, когда число гармоник неизвестно и может быть сколь угодно большим. Обобщение этого результата на дискретный случай -следующая задача настоящей диссертации.

Алгоритмы синтеза регулятора заданной точности должны быть по возможности простыми и понятными. В данной диссертационной работе рассмотрен синтез регуляторов линейных многомерных систем при действии ограниченных полигармонических возмущений с неизвестными амплитудами, частотами и произвольным числом частот, где учет требований к точности на основе LQ- и Н^ -оптимизации опирается на выбор коэффициентов функционала оптимизации и охватывает не рассмотренные ранее в [14, 15, 76, 80, 81] случаи. А полученные таким образом непрерывные регуляторы по полному вектору состояния и по выходу, помимо обеспечения заданных требований к точности, гарантируют высокие запасы устойчивости на входе объекта.

Запасы устойчивости многомерных систем с регуляторами состояния

Для практической реализации алгоритмов управления важно иметь регулятор, который, помимо заданной точности, обеспечивал конечные многомерные запасы устойчивости по фазе и коэффициенту усиления.

Переходя к результатам, непосредственно касающимся запасов устойчивости многомерных систем, отметим, что исторически сложилось так, что эти частотные понятия были первоначально введены для систем, построенных на основе процедуры LQ-оптимизации, которая целиком базируется на временных представлениях. Выдающуюся роль, положившую начало использованию частотных понятий в современной теории управления, сыграла фундаментальная работа P.E. Калмана [39]. В этой работе было введено понятие передаточной функции разомкнутой (по физическому входу объекта) оптимальной системы с регулятором состояния и получено так называемое условие оптимальности в частотной форме, связывающее модуль возвратной разности с параметрами функционала оптимизации. Обобщение этого условия на случай векторного управления было выполнено в работах [4, 91]. Оно сыграло важную роль в определении запасов устойчивости многомерных оптимальных систем, а матричное неравенство где И^^) - передаточная матрица разомкнутой системы, оптимальной в смысле квадратичного критерия качества которое является следствием условия оптимальности систем в частотной форме, послужило прообразом [117] для введения конструктивной оценки запасов устойчивости многомерных систем.

Анализ условия (0.1) позволил установить, что оптимальные в смысле функционала качества (0.2) системы со скалярным управлением (т = 1) имеют гарантированные запасы устойчивости по фазе (р3 ^ 60° и модулю Ь ^ 2 на физическом входе объекта управления, независимо от конкретного выбора коэффициентов функционала оптимизации [3, 91].

Заметим, что из [39] следует, что если функционал качества отличен от (0.2) и имеет более общий вид, а именно содержит взаимные произведения управлений и состояний, то запасы устойчивости таких оптимальных систем могут быть весьма малыми [11, 117]. В [62, 66] найдены ограничения на выбор элементов такого функционала общего вида, когда гарантируются определенные запасы устойчивости.

В [13] введено понятие передаточной функции ъи,;^) многомерной САУ, разомкнутой по V -ому физическому входу объекта управления [у — 1,т), когда остальные т — 1 входов замкнуты через регулятор. Это позволило в

1т + Я [1т + ^(¿0,)] > Я, Уы, (0.1) оо

0.2) о качестве запасов устойчивости многомерной САУ рассматривать набор 3т значений запаса устойчивости по фазе, модулю и показателя колебательности соответственно, определяемых по и-ому годографу АФЧХ wu(ju) (v = 1 , га). Применительно к оптимальным в смысле функционала качества (0.2) многомерным системам в [13] установлено, что для R — 1т имеют место неравенства ^ 60°, Lu ^ 2, Ми ^2 (и = 1,т). Для случая диагональной матрицы R и функционала оптимизации общего вида аналогичные исследования выполнены в [62, 66].

В 1967 году A.A. Красовским [43] была предложена процедура конструирования регуляторов, оптимальных в смысле так называемого критерия обобщенной работы [42].|В, отличие от известной процедуры LQ-оптимизации Летова-Калмана, оснрванной на решении нелинейного матричного уравнения типа Риккати [17], она сводится для устойчивых объектов управления к решению линейного матричного уравнения Ляпунова [42, 43], что с вычислительной точки зрения гораздо проще. Красовским A.A. было установлено [43], что коэффициенты усиления в каждом канале управления таких аналитически сконструированных систем можно независимо друг от друга менять в пределах от нуля до бесконечности без потери устойчивости замкнутой системой. Это свойство систем, оптимальных в смысле критерия обобщенной работы, предвосхитило будущее понятие о многомерных запасах устойчивости по коэффициенту усиления, введенному впервые в [68] (см. также [117]). В случае систем, оптимальных в смысле критерия обобщенной работы, условие оптимальности в частотной форме порождает следующее матричное неравенство, которому удовлетворяет передаточная матрица разомкнутой системы (по физическому входу объекта) [6, 117]

При этом запасы устойчивости и показатель колебательности, определяемые по годографам АФЧХ эдД^'и;), (и = 1 , га) составляют при Я — 1т [6]

0.3)

P3i/ ^ 90°, Lv —> оо, и = 1, га.

0.4)

Подчеркнем, что запасы устойчивости имеют место только в случае диагональной матрицы Я. В [117] построен пример, показывающий, что для произвольной Я > 0 запасы устойчивости по модулю для ю» могут быть весьма малыми.

Запасы устойчивости систем с устройствами восстановления вектора состояния

Подчеркнем, что рассмотренные выше оценки запасов устойчивости аналитически сконструированных систем справедливы лишь при полностью измеряемом векторе состояния объекта управления. Однако для большинства практических задач полный вектор состояния объекта недоступен непосредственному измерению, а сами измерения зашумлены. В этом случае исполь-\ зуются специальные динамические устройства (наблюдатели, фильтры Кал-мана) [16, 21, 41, 51, 91, 119, 120], служащие для восстановления полного вектора состояния по доступным непосредственному наблюдению физическим выходам объекта. Естественно ожидать, что запасы устойчивости систем с устройствами восстановления фазовых переменных будут отличаться от запасов устойчивости системы, имевших место при полном измерении вектора состояния. Анализу свойств систем с устройствами восстановления вектора состояния положила начало работа [5].

Исследование систем с наблюдателем Люенбергера [8] и фильтром Калма-на [8, 11, 101] показало, что замкнутые системы с фильтром и наблюдателем могут обладать весьма малыми запасами устойчивости по фазе и модулю на физическом входе объекта управления. В [8, 10] проанализированы причины возможности малых запасов устойчивости систем с наблюдателем. Они связаны с наличием взаимно-уничтожающихся при формировании характеристического полинома замкнутой системы полиномов, формируемых различными физическими устройствами (объектом и регулятором), в числителе и знаменателе передаточной функции системы, разомкнутой по физическому входу объекта. А как было показано в [7], при достаточно больших коэффициентах этих полиномов, запасы устойчивости по фазе и модулю указанной передаточной функции малы.

Неудовлетворительные свойства систем с наблюдателями породили стремление сконструировать наблюдатель [9] или фильтр Калмана [103] таким образом, чтобы запасы устойчивости по физическому входу объекта в системе с наблюдателем совпадали с запасами устойчивости гарантируемыми в этой точке при полном измерении вектора состояния объекта управления. Работы [9, 103, 104] показали, что в общем случае это возможно сделать, если объект управления минимально-фазовый, при этом требование минимальной фазо-вости естественно возникает из алгоритма построения наблюдателя [9] или фильтра [103, 104], поскольку полюса наблюдателя, являющиеся частью корней замкнутой системы, компенсируют нули объекта.

Наиболее полное обсуждение свойств систем с наблюдателями в рассматриваемом аспекте имеется в [117].Обеспечению запасов устойчивости по выходу объекта в системе с наблюдателем была посвящена основополагающая работа [116], которая и инициировала исследования [103, 104, 117]. Процедуры синтеза этого направления в зарубежной научной литературе получили наименование процедур восстановления робастности (robustness recovery или Loop Transfer Recovery - LTR). Они получили дальнейшее развитие в [96, 118, 121, 122, 124]. Такая процедура синтеза наблюдателей используется во второй главе настоящей работы.

В настоящее время известен ряд подходов, обеспечивающих хорошие запасы устойчивости системам управления, построенных с использованием наблюдателей полного порядка (В.Н.Честнов [1, 77]), регуляторов минимальной размерности, построенных на основе наблюдателя Люенберге-ра (Ю.В.Садомцев, Д.В.Иванов [37, 64]) и регуляторов минимальной размерности, построенных на основе дуального наблюдателя (Д.В.Иванов, Ю.В.Садомцев [36]). В [12] для систем с регуляторами по выходу исследуются причины малых запасов устойчивости по фазе и по модулю.

Заключение диссертация на тему "Синтез регуляторов линейных многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию"

4.6 Выводы по главе 4

В данной главе рассмотрены вопросы построения дискретного регулятора по выходу в системе автоматического регулирования главных приводов (формовочного и калибровочного станов) трубоэлектросварочного агрегата (ТЭСА) в краткосрочном режиме при действии типовых внешних возмущений.

При этом основным требованием к системе является поддержание разности скоростей приводов формовочного и калибровочного станов (рассогласование скоростей не должно превышать 1 рад/с). Помимо этого при синтезе учитывалось дополнительное требование, связанное с временем регулирования (0,25 е.).

Для построения регулятора использовались алгоритмы синтеза третьей главы настоящей работы, которые основаны на использование процедур Яоо-субоптимального управления и технике линейных матричных неравенств.

Проведен анализ динамических процессов в замкнутой системе при действии типовых внешних возмущений, характерных для данного объекта управления. Этот анализ подтвердил эффективность процедур синтеза регуляторов многомерных систем по заданной точности, развитых в третьей главе. Рассогласование скоростей двигателей формовочного и калибровочного станов на всех частотах не превышает 0,4 рад/с, а время переходного процесса для разности скоростей составляет 0,1 с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования, проведенные в данной диссертационной работе, могут быть сформулированы в виде основных результатов:

1. Разработана методика синтеза непрерывных регуляторов состояния заданной точности, которая обеспечивает заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений, на основе процедур -оптимизации. При этом внешние возмущения должны быть приложены к объекту,,аддитивно с управлением. Сформулированы правила выбора структуры и коэффициентов весовых матриц квадратичного функционала оптимизации.

2. Предложены процедуры построения непрерывных регуляторов по выходу заданной точности, обеспечивающие заданные ограничения на средние квадраты регулируемых переменных, при построении наблюдателя состояния на базе процедуры восстановления робастности (ЬТЛ), при действии ограниченных по мощности детерминированных полигармонических внешних возмущений. При этом объект должен быть минимально-фазовым, а число измеряемых (одновременно регулируемых) переменных должно совпадать с числом управлений.

3. Разработан подход к синтезу дискретных регуляторов состояния и по выходу, обеспечивающий заданный среднеквадратичный радиус установившегося состояния замкнутой системы при действии детерминированных ограниченных по мощности полигармонических внешних возмущениях и помех измерения, на основе процедур -оптимизации. Сформулированы правила выбора весовых коэффициентов минимаксного квадратичного функционала оптимизации.

4. Предложен метод синтеза дискретных регуляторов по выходу в случае отсутствия управляющих воздействий в среднеквадратичном радиусе установившегося состояния и помех измерения. Задача обеспечения заданного радиуса опирается на решение вырожденной эквивалентной Н^ -проблемы оптимизации.

5. Рассмотрена задача синхронизирующего управления независимыми главными приводами трубоэлектросварочного агрегата. На основе предложенного подхода к синтезу построен цифровой регулятор по выходу, обеспечивающий заданные требования по точности рассогласования угловых скоростей двигателей при действии ограниченных внешних возмущений, характерных для данного объекта.

Библиография Зацепилова, Жанна Валерьевна, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Агафонов П.А., Честнов В.Н. Одновременное обеспечение запасов устойчивости на входе и выходе многомерного объекта на основе Н^ подхода // Автоматика и телемеханика. 2004. № 9. С.110-119.

2. Агафонов П. А., Честнов В.Н. Синтез регуляторов по заданному радиусу запасов устойчивости с учетом внешних возмущений на основе Н^ подхода // Автоматика и телемеханика. 2004. № 10. С. 101-108.

3. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем управления // Автоматика и телемеханика. 1969. № 9. С. 176-182.

4. Александров А.Г. Частотные свойства оптимальных линейных систем с несколькими управлениями // Автоматика и телемеханика. 1969. № 12. С. 12-17.

5. Александров А.Г. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества. II // Автоматика и телемеханика. 1972. № 2. С. 17-29.

6. Александров А.Г. Свойства аналитически сконструированных линейных систем // Автоматика и телемеханика. 1975. № 10. С. 5-11.

7. Александров А.Г. Степень грубости и частотные показатели качества автоматического регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1976. С. 14-27.

8. Александров А.Г. Степень грубости систем с устройствами восстановления фазовых переменных // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1977. С. 105-118.

9. Александров А.Г. Прямой метод аналитического синтеза регуляторов. Неполная степень наблюдаемости // Известия ВУЗов СССР. Приборостроение. 1978. № 11. С. 34-39.

10. Александров А.Г. Аддитивная компенсация в многомерных системах с устройствами восстановления фазовых переменных // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвуз. научн. сб. Саратов: Сарат. политехи, ин-т, 1981. С. 68-81.

11. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986.

12. Александров А.Г. Запасы устойчивости систем оптимального и модального управления // Автоматика и телемеханика. 2007. № 8. С. 4-17.

13. Александров А.Г., Небалуев H.A. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов на основе частотных критериев качества. I // Автоматика и телемеханика. 1971. № 12. С. 12-20.

14. Александров А.Г., Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур LQ- оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 83-95.

15. Александров А.Г., Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности II. Применение процедур Нос -оптимизации // Автоматика и телемеханика. 1998. № 8, С. 124-138.

16. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.

17. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами (обзор зарубежной литературы) // Автоматика и телемеханика. 1977. № 3. С. 5-50.

18. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. С.-Петербург: Из-д-во С.-Петербургского ун-та, 1996.

19. Барабанов А.Е., Граничин О.Н. Оптимальный регулятор линейного объекта с ограниченной помехой // Автоматика и телемеханика. 1984. № 5. С. 39-46.

20. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Я-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. № 9. С. 3-32.

21. Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

22. Брусин В.А. Частотные условия Н -управления и абсолютной стабилизации // Автоматика и телемеханика. 1996. № 5. С. 17-25. проблемы

23. Булгаков Б.В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах с постоянными параметрами // ДАН СССР. 1946. Т. 5. Вып. 5. С. 339-342.

24. Волков Е.Ф., Ершов H.H. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статической точностью // Автоматика и телемеханика. 1981. № 7. С. 19-27.

25. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Ч I. Линейные системы регулирования одной величины. M.-JL: Энергия, 1965.

26. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.: Энергия, 1980.

27. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967. 340 С.

28. Системное проектирование средств автоматизации / С.В. Емельянов, Н.Е. Костылева, Б.П. Матич, H.H. Миловидов. М.: Машиностроение, 1978.

29. Зацепилова Ж.В. К синтезу Н^ -регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатных станов // Сб. трудов XXII Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-22" : Секция ШМУ. Иваново. 2009. С. 158-161.

30. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез цифровых Н^-регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Автоматика и телемеханика. 2011. № 10. С. 39-51.

31. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию на основе процедур 1/(2-оптимизации // Автоматика и телемеханика. 2011. № 11. С. 19-34.

32. Зацепилова Ж.В., Честнов В.Н., Салихов З.Г. Синтез цифрового регулятора синхронизации главных приводов трубопрокатного стана // Изв. Вузов. Черная металлургия. 2011. № 7. С. 60-63.

33. Иванов Д.В., Садомцев Ю.В. Синтез динамической обратной связи по выходу с учетом свойств грубости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2000. №3. С. 31-39.

34. Иванов Д.В., Садомцев Ю.В. Синтез грубых регуляторов по выходу на основе минимизации квадратичного функционала определенной структуры

35. Проблемы точной механики и управления. Сб. науч. трудов. Саратов: СГТУ, 2004. С. 37-44.

36. Калман P.E. Об общей теории систем управления. Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем // Тр. I Междунар. конгресса ИФАК. М.: Изд-во АН СССР. 1961. С. 521-547.

37. Калман P.E. Когда линейная система управления является оптимальной // Тр. американского общества инженеров-механиков. Сер.Д. 1964. № 1. С. 69-84.

38. Качалов Э.А. Методика расчета САР с устройствами БТУ 3501. Препринт. Электросталь: ПО " Электростальтяжмаш" , 1982.

39. Квакернаак X., Сивая Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

40. Красовский A.A. Аналитическое конструирование контуров управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1969.

41. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

42. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987.

43. Кулебакин B.C. Высококачественные инвариантные системы // Теория инвариантности и ее применение в автоматических устройствах. Труды I совещания по теории инвариантности, М.:ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1959. С. 11-39.

44. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. № 4,5,6. С. 436-443, 561-568, 661-665; 1961. № 4. С. 425-435.

45. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

46. Лузин H.H. К изучению матричной теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1940. № 5. С. 3-66.

47. Назин СЛ., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3. С. 106-125.

48. Острей К., Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ. М.: Мир, 1987.

49. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

50. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Синтез обратной связи по критерию робастности с помощью уравнений Риккати // Автоматика и телемеханика. 1997. № 11. С. 152-158.

51. Петров Б.Н. Принцип инвариантности и условия его применения при расчете линейных и нелинейных систем // Труды I Международного конфесса ИФАК по автоматическому управлению, т.1, Изд-во АН СССР, 1961. С. 159-275.

52. Системы с переменной структурой и их применение в задачах автоматизации полета / Под ред. Б.Н. Петрова и С.В. Емельянова. М.: Наука, 1968.

53. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах. JI.: Изд-во Ленинградского университета, 1987.

54. Петров Ю.П. Гарантирующее управление в линейных системах // Известия АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. № 3. С. 105-109.

55. Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных внешних возмущений: управление по выходу // Автоматика и телемеханика. 2008. № 5. С. 72-90.

56. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

57. Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука. 1986.

58. Садомцев Ю.В. Аналитический синтез регуляторов при случайных возмущениях // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратов, СПИ. 1978. С.39-57.

59. Садомцев Ю.В. Аналитическое конструирование регуляторов по заданным показателям качества. Развитие проблемы // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратовский политехнический институт, 1980. С. 32-48.

60. Садомцев Ю.В. Частотные показатели качества аналитически сконструированных систем // Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами. Тула. 1984. С. 21-32.

61. Садомцев Ю.В. Основы подхода к решению задачи стохастического линейного регулирования и слежения по критериям точности и грубости // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 4. С. 57-94.

62. Садомцев Ю.В. Грубость многомерных систем с наблюдателями пониженной размерности // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. №6. С. 71-81.

63. Садомцев Ю.В. Проблема статической точности в теории многомерных систем автоматического управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. №2. С.48-59.

64. Садомцев Ю.В. Конструирование систем управления с обратной связью по критериям точности и грубости. Саратов: СГТУ, 2003.

65. Садомцев Ю. В. Синтез динамических субоптимальных регуляторов пониженного порядка на основе Н00 -критерия // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 175-190.

66. Safonov M.G., Äthans М. Gain and phase margin for multiloop LQG regulators//IEEE Trans. Autom. Control. 1977. V. 22. № 2. P. 173-179.

67. Основы автоматического регулирования. / Под ред. В.В.Солодовникова. М.: Машгиз, 1954.

68. Теория автоматического регулирования. Т. 2. Анализ и синтез непрерывных и дискретных систем автоматическогоо регулирования / Под ред.

69. B.В.Солодовникова. М.: М.стр, 1967.

70. Тимофеев Ю.К. Статические ошибки аналитически сконструированных систем // Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб.: Саратовский политехнический институт, 1976. С. 53-60.

71. Фельдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963.

72. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 С.

73. Цыпкин Я.З. Теория импульсных систем. М.: Физматгиз. 1958.

74. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988.

75. Честнов В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности по среднеквадратичному критерию // Автоматика и телемеханика. 1998. № 12. С. 109-117.

76. Честнов В.Н. Синтез регуляторов многомерных систем по заданному радиусу запасов устойчивости на базе процедуры Ню -оптимизации// Автоматика и телемеханика. 1999. № 7. С. 100-109.

77. Честнов В.Н. Синтез цифровых Н^-регуляторов состояния многомерных систем заданной точности // Автоматика и телемеханика. 2005. № 8. С. 4651.

78. Честнов В.Н. Синтез робастных Н^ -регуляторов многомерных систем по заданной степени устойчивости // Автоматика и телемеханика. 2007. № 3.1. C. 199-205.

79. Честнов В.Н. Синтез Н^ регуляторов многомерных систем заданной точности и степени устойчивости // Автоматика и телемеханика. 2011. № 10. С. 170-185.

80. Честнов В.Н., Зацепилова Ж.В. Синтез LQ регуляторов при ограниченных по мощности внешних возмущениях //Сб. трудов XXIV Междунар. науч. конф. "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24". Киев. 2011. Т. 2. С. 79-81.

81. Честнов В.Н., Салихов З.Г. Синтез автоматического регулятора многоприводного трубопрокатного стана // Известия Вузов. Черная металлургия. 2008. № 5. С. 43-47.

82. Чиликин М.Г., Сандлер A.C. Общий курс электропривода. М.: Энергоиз-дат, 1981.

83. Щипанов Г.В. Теория и методы построения автоматических регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1. С.49-66.

84. Якубович В.А. Линейно-квадратичная задача оптимального гашения вынужденных колебаний при неизвестном гармоническом внешнем воздействии // ДАН. 1993. Т. 333. № 2. С. 170-172.

85. Якубович В.А. Оптимальное гашение вынужденных колебаний по заданному выходу системы // ДАН. 1994. Т. 337. № 3. С. 323-327.

86. Якубович Е.Д. Решение задачи оптимального управления для линейных дискретных систем // Автоматика и телемеханика. 1975. № 9. С. 73-79.

87. Anderson B.D.O., Moore J.В. Linear optimal control. N.Y.: Prentice-Hall. 1971.

88. Basar Т., Bernhard P. H^-optimal control and related minimax design problems: a dynamic game approach. Boston: Birkhauser, 1991.

89. Boyd S., Chaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequality in system and control theory. SIAM, Philadelphia. 1994.

90. Bryson A.E., Johansen D.E. Linear filtering for time-varying systems using measurements containing colored noise // IEEE Trans.Autom.Control. 1965. V.AC-10. № 1. P. 4-10.

91. Bucy R.S. Optimal filtering for correlated noise //J. Mathematical Analysis and Applications. 1967. V.20. № 1. P. 1-8.

92. Chen B.M., Sabery A., Sannuti P. A new stable compensator design for exact and approximate loop transfer recovery // Automatica. 1991. V.27. № 2. P. 257-280.

93. Dahleh M.A., Pearson J.B. ^-Optimal Feedback Controllers for MIMO Dickrete-Time Systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V. 32. № 4. P. 314-322.

94. Dahleh M.A., Pearson J.B. Ll optimal compensators for continuous-time systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. V. 32. № 10. P. 889-895.

95. Davison E.J., Ferguson I.J. The design of controllers for the multivariable robust servomechanism problem using parameter optimization methods // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. V. 26. № 1. P. 93-110.

96. Davison E.J., Patel P. Application of the robust servomechanism controller to systems with periodic tracking/disturbance signals // Int. J. Control. 1988. V.47. № 1. P. 111-127.

97. Doyle J.C. Robustnees of multiloop linear feedback systems // Proc. 18th IEEE Conf. on Decision and Control. San Diego. CA. Jan. 10-12. 1979. P. 12-17.

98. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and H^ control problem // IEEE Trans. Autom. Contr. 1989. V.34. № 8. P. 831-846.

99. Doyle J.C., Stein G. Robustnees with observers // IEEE Trans. Autom. Control. 1979. V. 24. № 4. P. 607-611.

100. Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: concepts for a classical/modern synthesis // IEEE Trans. Autom. Control. 1981. V. 26. № 1. P. 4-16.

101. Francis B.A. A course in Hoc control theory. New York: Springer-Verlag, 1987.

102. Francis B.A., Zames G. On Hoc, -optimal sensitivity theory for SISO feedback systems // IEEE Trans. Autom. Control. 1984. V.29. P.9-16.

103. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to Hoc control // Int. J. Control. 1994. V. 4. P. 421-448.

104. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. LMI Control Toolbox. User's Guide. Mathworks, Natic. Mass. 1995.

105. Grimble M.J. Robust Industrial Control Systems: Optimal Design Approach for Polynomial Systems. John Wiley and Sons, 2006.

106. Iglesias P.A., Glover K. State-space discrete-time Hqq control theory // Eur. Control Conf. Grenoble. 1991. France, V. 2. P. 1730-1735.

107. Iglesias, P.A., Glover K. State-space approach to discrete-time Hoc control // Int. J. Control, 1991. V. 54. № 5. P. 1031-1073.

108. Iwasaki T., Skelton R. All solutions for the general Hqq control problem: LMI existence conditions and state-space formulas // Automatica. 1994. V.30. № 8. P.1307-1317.

109. Kaiman R.E. Contributions to the theory of optimal control // Bol. Soc. Mat., Mexicana. 1960. V. 5. № 1. P. 102-119.

110. Kaiman R.E. New approach to linear filtering and prediction problem // Trans. ASME, J. Basic Eng. 1960. Vol. 82D.

111. Kaiman R.E. and Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory //J. Basic Eng. Trans. ASME. 1961. Ser.D. V.86. P. 95-108.

112. Kwakernaak H. Optimal low-sensitivity linear feedback systems // Automatica. 1969. V. 5. № 3. P. 279-285.

113. Lehtomaki N.A., Sandell N.R., Äthans M. Robustness results in linear-quadratic Gaussian based multivariable control designs//IEEE Trans. Autom. Control. 1981. V. 26. № 1. P. 75-92.

114. Li X., Lee E. B. Stability Robustness Characterizationand Related Issues for Control Systems Design // Automatica. 1993. V.29. № 2. P. 479-484.

115. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans. Autom. Contr. 1966. V.ll. № 2. P. 190-197.

116. Luenberger D.G. On introduction to observers // IEEE Trans. Autom. Contr. 1971. V. AC-16. P. 596-603.

117. Okada T., Kihara M., Furinata H. Robust control system with observer//Int. J. Control. 1985. V. 41. № 5. P. 1207-1219.

118. Saberi A., Chen B. M., Sannuti P. Loop Transfer Recovery: Analysis and Design. Springer Verlag, London, 1993.

119. Savkin A.V., Petersen I.R. Robust control with rejection of harmonic disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1995. V.40. № 11. P. 1968-1971.

120. Stein G., Äthans M. The LQG/LTR Procedure for Multivariable Feedback Control Design // IEEE Trans. Autom. Control. 1987. V.32. № 2. P. 105-114.

121. Vidyasagar M. Optimal rejection of persistent bounded disturbances // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. V. 31. P. 527-535.

122. Weinmann A. Uncertain Models and Robust Control. Wien-New York: Springer-Verlag, 1991.

123. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. J.Wiley. New York. Second printing. 1950.

124. Wonhem W.M. Stochastic problems in optimal control // IEEE Convention Record. Part 2. 1963. P. 114-124.

125. Wonhem W.M. On the separation theorem of stochastic control // SIAM J. Control. 1968. V.6. № 2. P. 312-326.

126. Yaesh I., Shaked U. A transfer function approach to the problem of discrete-time systems: H^ -optimal linear control and filtering // IEEE Trans. Automat. Control, 1991. V. 36. № 11. P. 1264-1271.

127. Zhou K., Doyle J.C., Glover K. Robust and optimal control. New Jersey: Prentice-Hall, 1996.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00