автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез многопрограммных систем управления на основе метода позиционной оптимизации

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СОЛОВЬЕВА Инна Владимировна

СИНТЕЗ МНОГОПРОГРАММНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПОЗИЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (по прикладной математике и процессам управления)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2010

003492382

Работа выполнена на кафедре моделирования экономических систем факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Николай Васильевич.

доктор физико-математических наук, профессор Веремей Евгений Игоревич

кандидат физико-математических паук, Зарсцкий Дмитрий Викторович

Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН

Защита отстоится « »__2010 в _часов па заседании совета Д-212.232.50 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9, Менделеевский центр.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9. Автореферат размещен на сайте www.spbu.ru

Автореферат разослан « _2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

Г. И. Курбатова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Алгоритмы и методы современной математической теории управления применяются, при моделировании, анализе и реализации движения управляемого объекта. Основными являются задачи построения управлений, обеспечивающих объекту управления заданные программные движения, задачи стабилизации программных режимов и задачи оптимизации управляемых систем. Основы теории и ее методы заложены в исследованиях JI.C. Понтрягина, H.H. Красовского, В.И. Зубова, Р. Калмана, В.А. Якубовича и других ученых. Наиболее распространенный подход при решении задачи стабилизации программных движений управляемых динамических систем состоит в построении управлений вида обратной связи различных типов: непрерывного, дискретного, релейного.

Сложные системы, отражающие возможность многосценарного поведения объекта, используются в технике и физике, в медицине, социологии и экономике. Возможность работы таких систем в зависимости от начальных условий, внешних воздействий и ограничений, в режиме реального времени представляет особый интерес. Поэтому актуальными являются задачи многопрограммного управления, учитывающие реальные условия функционирования и эксплуатации объекта управления, что в конечном итоге повышает эффективность его функционирования. Их суть состоит в поиске одного управления, которое реализует заданный набор программных движений в зависимости от начальных условий и обеспечивает их асимптотическую устойчивость.

Задача многопрограммной стабилизации была впервые сформулирована в работах В. И. Зубова. В них рассмотривалась проблема представления правых частей систем дифференциальных уравнений, имеющих наперед заданное конечное семейство решений, а также задача синтеза управлений, которые реализуют заданную совокупность программных движений и обеспечивают их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. Особое внимание уделялось представлению таких управлений в линейных стационарных управляемых системах. При этом полученные результаты были апробированы на задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле. В дальнейшем результаты В.И. Зубова были распространены Н.В. Смирновым на класс билинейных систем и систем типа Лотки-Вольтерры.

Развитие современной вычислительной техники, прежде всего ее производительности и быстродействия, делает актуальными задачи управления

в режиме реального' времени. В данной работе предлагается модифицировать многопрограммное управление с учетом возможностей измерения состояния системы и вычисления управляющих воздействий по ходу движения объекта управления.

Целью диссертационной работы является разработка конструктивных алгоритмов построения многопрограммных позиционных управлений для нескольких классов управляемых систем: линейных, билинейных и типа Лотки - Вольтерры.

Методы исследования. В работе используются методы обыкновенных дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории оптимального управления и оптимизации.

Научная новизна. Новыми являются представленные в данной работе результаты: метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени; условия существования многопрограммного позиционного управления и алгоритмы его построения для линейных, билинейных управляем!,IX систем и систем типа Лотки - Вольтерры для случаев полной и неполной обратной связи.

Практическая ценность работы. Описанные в данной работе конструктивные методы многопрограммной стабилизации в режиме реального времени могут быть использованы в задачах анализа и синтеза систем управления движением технических объектов, а также в экономических и социальных системах.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на 38-й, 39-й и 40-й научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" (г. Санкт-Петербург, апрель 2007, 2008 и 2009 гг.); на 5-й всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, май 2008 г.); на 11-й международной конференции "Humans and computers" (г. Аизу, Япония, ноябрь 2008 г.); на ежегодном научно-методическом семинаре кафедры моделирования экономических систем СПбГУ "Сентябрьские чтения" (2008, 2009 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 работ, одна из которых [8] в журнале, рекомендованном ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем составляет 94 страницы машинописного текста. Работа содержит 7 рисунков. Список литературы включает 58 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, сформулирована цель работы и кратко описана основная идея предлагаемого подхода. Также во введении приведен обзор содержания диссертации но главам и параграфам.

Первая глава посвящена задачам многопрограммного управления в различных классах управляемых систем. Объектом исследования первой главы является система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая описывает движение некоторого управляемого объекта

х=Р(*,х,и), (1)

где х = (х1,..., хп)т - п-мерный вектор фазового состояния системы, и = (и1,..., иг)т - г-мерпый вектор управляющих входов, вектор-функция Р(*,х,и) € х К" х Ег).

Пусть для системы (1) заранее решены некоторые специальные задачи программного управления, то есть построены N программных движений Х].(£),..., Ха-(£), которые обеспечиваются программными управлениями и^),..., илг(£). Управления ] — 1, Ы, построены в классе ограниченных и непрерывных при t > 0 функций. Число программных движений N не связано с размерностью системы (1) и размерностью пространства управлений.

В первом параграфе приведен краткий обзор результатов но задачам многопрограммной стабилизации в различных классах управляемых систем. Это необходимо для удобства восприятия преемственности постановок задач многопрограммного управления, а также их новых модификаций, рассматриваемых в последующих параграфах. В нем рассматривается решение задачи 1.1 (Задача многопрограммной стабилизации). Для системы (1) построить управление

и = и(х,£), (2)

которое реализует заданные программные движения при програм-

мных управлениях и_,(£), ] = при этом обеспечивает асимптотиче-

скую устойчивость Такие управления называются многопрограммными стабилизирующими или .многопрограммными.

Задача 1.1 в работах В.И. Зубова, Н.В. Смирнова решена с помощью многопрограммного управления в виде интерполяционного полинома Лаг-

ранжа - Сильвестра

Аг /

и(х, 0 = X) ( + СОИ*) ~

„¿^ (**(*) - > Л, ~ Мт2' (3)

для различных классов управляемых систем в случаях полной и неполной обратной связи.

В §2 поставлена новая задача 2.1 (Задача многопрограммного позиционного управления). Для системы (1) требуется построить управление, которое реализует заданные программные движения хД£) при программных управлениях ] — 1. Лг, при этом обеспечивает асимптотическую устойчивость х^(£) в режиме реального времени.

Пусть для каждого программного движения из заданного набора Х1(£),..., Хд'(£), для вектора, у<-(/;) = х(£) — х^г) построена система в отклонениях

ы$ = с1кыъуыт- (4)

Для решения задали стабилизации нулевого решения системы (4) в классе дискретных управлений и для построения стабилизирующего управления х(у*;(£)), применяется метод позиционной оптимизации, который позволяет определять компоненты вектора ^(у^Ц)) в режиме реального времени.

В данной работе при решении задачи 2.1 используется следующий вид многопрограммного управления:

«

Управление ит(х, £) вида (5), как и многопрограммное стабилизирующее управление и(х, I) вида (3), обладает свойством ит(х](1), I) = и,-(7), то есть обеспечивает замкнутой системе (1), (5) заданные программные движения ] = 1, N, но в отличие от него не гарантирует их асимптотическую устойчивость.

Определение 2.1. Управление вида

и(х(4), 0 = ит(х(4),«) + У(ук(4)), (б)

которое обеспечивает замкнутой системе заданный набор программных движений и обеспечивает их стабилизацию в режиме реального времени

функционирования объекта, будем называть многопрограммным позиционным управ лени ем*

В §3 изложена суть метода позиционной оптимизации, разработанного Р.Ф. Габасовым, на примере линейных нестационарных управляемых систем и указана возможность его применения для некоторых нелинейных систем.

В §4 описана процедура использования метода позиционной оптимизации и для решения задачи стабилизации нулевого решения нелинейной системы в отклонениях (4). Он применяется для построения следующего управления:

Определение 3.5 Функцию v(y;t(i)), t > 0, ук £ G называют ограниченным стабилизирующим программно-позиционным управлением системы (4) в области G, если:

1) v(0) = 0, t > 0]

2) I! v(yj.(£)) ||< L,t> 0, yt € G.

3) траектория замкнутой системы

у, = Gk(yk, v(yk(t))), улт(О) = ум, уw € G (7)

является непрерывным решением уравнения у> = Gfc(y fc, v(t)), yfc(0) = у ко при v(t) = v(yk(kh)), t € [kh, (к + 1 )h), к = 0,1,...

4) система, (7) асимптотически устойчива в G. Здесь G - ограниченная окрестность начала координат при v(t) — О

Введем интервал времени Т = [£*, t*], U <t* < +оо, на котором решается задача программного управления, с шагом дискретностиh — (t*—t*)/Kt где К - целое число. Определим функцию v(y*(t)), t £ Т, как дискретное управление v(yfc(£)) = v(yk(U + kh)) при t £ [U + kh, i* + (к + 1 )h), к — 0, К — 1. Обозначим Th = {t„, t* + Л,..., t» + kh,..., t*} - множество моментов переключения. Тогда может быть поставлена следующая

Вспомогательная (сопровождающая) зас?ачаоптимального управления для построения программно-позиционного управления в классе дискретных управлений:

г

В(z) = min V / I Vi{yk{t)) I dt, П.....

y*(i) = Gt(y,(i),v(yfc(i))),_ (8)

Ук(и) = г, yk(t*) = (0,...,0)T, \vi\<L, i = \~r, teT=[t„t*],

где Ук{т) ~ множество возможных начальных значений 2, если эта задала имеет решение при фиксированном т, г — у£(т)„ у£(т) € Ук(г)11 <= Т[т) =

Система в отклонениях (4) нелинейна, поэтому для решения задачи (8) необходимо построить кусочно-линейную аппроксимацию нелинейности. Для этого область фазового пространства П разбивается на подобласти в зависимости от знаков координат у^, ] = 1, п фазового вектора. При этом учитывается, что для каждой границы двух областей выполнено условие: у^ = 0, ] = 1,п. В каждой подобласти строятся линейные аппроксимации О^у/,, + С^ правой части нелинейной системы (4). Используемый здесь алгоритм аппроксимации приведен в пункте 4.1.

Для построения решения задачи (8) рассматривается последовательность вспомогательных задач. В каждый момент времени т вспомогательная задача с аппроксимирующей системой имеет вид

где 1?; - момент перехода системы из области Qj в П|. Предполагаемое количество моментов перехода из области в ГЗ; определяется с помощью поля направлений в рассматриваемые моменты времени.

Теорема 4.1. Если величина/11 - обеспечивает существование допустимого решения вспомогательной задачи, /12 < ЩТ11 ''-з ~ время, необходимое для вычисления реального положения системы (8), то для решения задачи (8) в режиме реального времени величина шага к должна удовлетворять условиям к < тш{/11, /¿2} и к >

Вторая глава состоит из четырех параграфов, в которых задача 2.1 решена для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки Вольтерры в случаях полной и неполной обратной связи. В §5 рассматриваются линейные управляемые системы, находящихся в условиях постоянно действующих неизвестных ограниченных возмущений. Предполагается, что неизвестные возмущения не могут быть учтены в математической модели. При этом с ними не могут справиться программные управ-

ук = Б^ + С^V, з = О I уф) еО)}, •Ук = Т>1Ук + С(у, 1={1 \уф)еП,}, j,leJ,Je{ Щ | укЩ = у*(Гп^)}, у*М = г, у,(Г) = (о,..., 0)т, <Ь, г = 1~г,

(9)

ления.

x(t) = A (t)x(t) + B(t)u(t) + F(t), (10)

где матрицы A(i) = {a):j(t)}, B(£) = {МОК z - M, J = T7". & = F(t) € C(t € [0, +00)).

Рассмотрим систему (10), замкнутую управлением (б). Для некоторого программного режима Xk из заданного набора xi(i),..., Xjv(î) система в отклонениях для системы (10), (G) нелинейна. Прежде, чем строить для нее линейно-кусочные аппроксимации, необходимо показать ограниченность многопрограммного управления (5). Ответ на этот вопрос даст следующая

Теорема 5.1. Если выполнено условие

mf || x,(i) - ху(£) а > 0, i ф j, (11)

то многопрограммное управление вида (5) для системы (10) ограничено:

,§ \ 2(ЛГ-1)

Il um(x, t) ||< ЛГитах - + 1 , ит(И = max || u¿(t) || . (12)

\a / j=i.Ar

Следствие 5.1. Для многопрограммного позиционного управления (б) справедлива оценка

/S \ 2(ЛГ-1)

Il u(x,i) HNumnx(- + l) +L. (13)

Достаточное условие существования многопрограммного позиционного управления для системы (10) дает

Теорема 5.2. Если заданные программные движения xi(t),..., х,у(£) системы (10) различимы при t > tц > 0 и отделены друг от друга, то есть выполнено условие (И), то существует реализующее их многопрограммное позиционное управление (б), которое обеспечивает стабилизацию каждого из них в режиме реального времени.

В §6 рассматривается билинейная управляемая система

х = (A(t) + ¿B):(îk]x + F(t), (14)

\ î=I '

где х - n-мерный вектор фазового состояния; щ,... ,иг- скалярные управления; A(t)t B,;(i), i — l,...,r, - вещественные, непрерывные (n х u)-матрицы с ограниченными при t > 0 элементами; F (t) - вещественная, непрерывная вектор-функция, заданная при t G [0,+00),

Как и в §5 получена оценка многопрограммного управления (5) и достаточные условия существования многопрограммного позиционного управления (б) для системы (14).

В §7 рассматривается управляемая система типа Лотки-Вольтерры

х = Рх + <2(х)х + и, (15)

где (п х п)-матрицы Р = ... ,рп}, С}(х) = (Паё{д1х,... ,дях},

Чь • • ■ > Чп — строки матрицы С^ц = {ду, г = 1, п, ] = 1, п}.

В качестве желаемых программных режимов в модели (15) рассматриваются N положений равновесия хь к = 1, Дг.Они обеспечиваются управлениями

и*. = - ^ + Хк-' 1 = к = 1,Ы. (1С)

Теорема 7.1. Если выполнено условие

Ы || х, — х^ || > а > 0, г ф з, (17)

то многопрограммное управление вида (5) системы (15) ограничено:

(■ § ч 2(Л'-1)

||ит(х, < Ми^ ( - + 1 , итаж = шах || || . (18) \а /

Теорема 7.2. Если заданные положения равновесия систе-

мы (15) различимы при 4 > ¿ц > 0, то есть выполнено условие (17), то существует реализующее их многопрограммное позиционное управление (С), которое при этом обеспечивает стабилизацию каждого из них в режиме реального времени.

В §8 рассматривается модификация задачи многопрограммного позиционного управления 2.1 для случая неполной обратной связи.

Предполагается, что для системы в отклонениях (4) задано уравнение выхода (измерительного устройства)

2к(1) = Щ4)ук(0, (19)

где Н(£) - вещественная, непрерывная при 4 € [0,+оо), ограниченная (тп х п)-матрица.

В этом случае прямое использование алгоритмов §4 невозможно. Поэтому необходимо построение специального идентификатора состояния системы для получения оценки Ук.{1) вектора Ук,{+<) по значениям Для оценки должно выполняться асимптотическое свойство

У*(*)-У*(*)~» 0, £->+оо; (20)

чтобы ее можно было использовать при построении многопрограммного позиционного управления

и(х(4),4) = ит(х(«),4) + у(у*(*)). (21)

Для решения поставленной задачи в классе линейных систем предложен идентификатор состояния следующего вида

Лг _

+ В(е)у(у,(0) + Нк(ук) + w(yfc(t),yfc(t)). (22)

Форма идентификатора (22) повторяет соответствующую систему в отклонениях за исключением управляющего сигнала ш, который обладает свойством: XV = 0, если = и строится по методу позиционной оптимизации для обеспечения асимптотики (20).

В §8 эта идея реализована также для билинейных систем и систем Лотки - Вольтерры.

В третьей главе сформулировал общий алгоритм многопрограммной позиционной оптимизации для линейных и билинейных управляемых систем и систем типа Лотки - Вольтерры.

1. Первый этап (Предварительный). Синтез модифицированного многопрограммного управления. Вывод системы в отклонениях. Аппроксимация нелинейности. Вычисление стартового стабилизирующего управления.

1.1. В зависимости от вида исходной системы для желаемых программных режимов проверяем выполнение условий теорем 5.1, или 6.1, или 7.1. Если они выполнены, то переходим к 1.2, ииа.че нельзя построить многопрограммное позиционное управление.

1.2. Используя желаемые программные режимы Х[,..., хд- вычисляем 111,..., иД'; например, по формулам (16) для системы Лотки-Вольтерры.

1.3. Определяем значения моментов времени т = + кк, к = 0, К — 1 и вычисляем значение ит(х(£), £) по формуле (5).

1.4. Определяем элементы системы в отклонениях (4). Для линейных, билинейных систем и систем типа Лотки-Вольтерры она нелинейна, поэтому переходимм к пункту 1.5.

1.5. Аппроксимируем нелинейную систему в отклонениях линейными функциями.

1.5.1. В заданной области фазового пространства Г2 для каждой компоненты вектора отклонений выполняется а* ^ у^ ^ а*, г = 1 ,п. Разбиваем область П па подобласти в зависимости от знаков координат фазового вектора уи-

1.5.2. Составляем уравнения для ограничений на коэффициенты аппроксимирующих функций, с учетом их равенства па границах рассматриваемых областей.

1.5.3. Методом наименьших квадратов находим необходимые для линейной аппроксимации коэффициенты.

1.5.4. Вычисляем погрешность аппроксимации. Если она превышает допустимое значение, то увеличиваем число подобластей £1г. В этом случае границы П.; описываются уравнениями уы = 0 и уы = се^, а* 5$ а^ а*. Возвращаемся к пункту 1.5.1. Если погрешность допустима переходим к пункту 1.6.

1.6. Определяем элементы сопровождающей задачи оптимального управления для рассматриваемых систем: количество областей П,;, через которое предположительно будет проходить решение, начальные условия и ограничения Ь на управление.

1.7. Вычисляем элементы, необходимые для применения адаптивного метода в моменты времени Т/¡.

1.8. Адаптивным методом решаем сопровождающую задачу оптимального управления в начальный момент времени £* и определяем стартовое управление у(£*,у£(£*)) и опору ТГф,

2. Второй этап (Основной). Синтез стабилизирующего позиционного управления в режиме реального времени.

2.1. На первом интервале [£*, + к) полагаем т = и используем в качестве стартового управления у (и,у £(£*)) и начальной опоры Тщ> для вспомогательной задачи в момент времени £», вычисленные на предварительном этане.

2.2. Полагаем у*(т, у%[т)) ~ Vl(r,y^(т)). На интервале [т, 7-4-/1) под действием управления v^(т, у£(т)) аппроксимирующая система (9) должна оказаться в состоянии у\{т + к). Замыкая систему сопровождающей задачи (8) первой компонентой управления у£(т)), получаем информацию о состоянии нелинейной системы у£(т + к), которое отличается от планируемого у®(т + к),

2.3. На интервале [т + 1г,т + 2Л) в качестве начальною положения берем реальное положение системы г - у £(т+Л,). Решаем сопровождающую

задачу оптимального управления адаптивным методом. В качестве начального управления используем у^т, уЦт)),..., Уд'_1_к(т, у Цт)) и значение опоры, вычисленное па [г, т + к). Если адаптивным методом построено решение у°(г + к, у¿.(т + Л)), то переходим к 2.4. Если допустимого решения нет, то переходим к пункту 2.5.

2.4. Полагаем г = т + к и переходим к пункту 2.2.

2.5. Замыкаем нелинейную систему управлениями уг(т! Ук(т))> ■ ■ ■ > ук-1-к(т' Ук(т)) на остальных интервалах и вычисляем у£(Г). Построенное у*(£, у£(£)) - искомое стабилизирующее управление.

Для многопрограммной позиционной оптимизации в случае неполной обратной связи можно использовать приведенный алгоритм, немного его изменив, поскольку нельзя использовать информацию о реальном состоянии системы напрямую. Это отразится на вспомогательных задачах оптимального управления, построенных для соответствующих систем в отклонениях. На каждой итерации при их решении на интервале [т, г + к) определяются у к, у к, V, V/ и значение у^ используется для построения управления (21) на интервале [г, т + к).

Параграф 10 посвящен реализации данного алгоритма. В среде МаШЬ разработаны программы, позволяющие вычислять значения многопрограммного позиционного управления для билинейных управляемых систем. Конкретные примеры иллюсгрируют результаты их численной реализации. Данный алгоритм применяется для систем типа Лотки-Вольтерры и использован для решения практической задачи управления запасами.

В заключении приводятся основные результаты, выносимые на защиту:

• новая постановка задачи многопрограммного управления, а именно задача многопрограммного позиционного управления; определение соответствующего понятия многопрограммного позиционного управления;

• метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени в случаях полной и неполной обратной связи;

• формулировки достаточных условий существования многопрограммного позиционного управления и доказательство его ограниченности в рассматриваемой области фазового пространства для линейных, билинейных управляемых систем и управляемых систем тина Лотки -Вольтерры;

• общий алгоритм синтеза многопрограммных управлений на основе метода позиционной оптимизации для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки-Вольтерры.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

1. Соловьева И.В. О методе оптимизации линейных систем управления // Процессы управления и устойчивость : Труды 38-й международной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., 9-12 апреля 2007 г. / Под ред. A.B. Платонова, Н.В. Смирнова. - СПб. : Изд-во С. -Петерб. ун-та, 2007. - С. 70 74.

2. Соловьева И.В. Оценка области притяжения положений равновесия в одной задаче многопрограммного управления // Процессы управления и устойчивость : Труды 39-й международной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., 7 10 апреля 2008 г. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. - СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2008. - С. 82-86.

3. Соловьева И.В. О позиционной оптимизации в задаче многопрограммной стабилизации системы Лотки-Вольтерры // Процессы управления и устойчивость : Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов. Россия, СПб., G-9 апреля 2009 г. / Под ред. Н.В. Смирнова, Г.Ш. Тамасяна. - СПб. : Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2009. - С. 67-72.

4. Соловьева И.В., Смирнов Н.В. Применение MATLAB для оценки области притяжения положений равновесия в одной задаче многопрограммного управления // Тр. IV конф. "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB". - 2009. - С. 501-506.

5. Соловьева И.В. Многопрограммное управление в одной задаче управления запасами // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой всероссийской конференции с международным участием. Ч. 2. Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2008. - С. 120-123.

6. Соловьева И.В. О позиционной оптимизации в одной нелинейной задаче многопрограммного управления //' Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой всероссийской конференции с международным участием. Ч. 2. Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 184-186.

7. Solovycva I. Positional optimization in a ccrtain problem of multiprograuinied control // Proceedings of the 11-th international conference on humans and computers. Japan, November 2008, Nagaoka University of technology. P. 359-3G3.

8. Смирнов H.B., Соловьева И.В. Применение метода позиционной оптимизации для многопрограммной стабилизации билинейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 253-201.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 09.02.10 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ № 1034/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ПОЗИЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЗАДАЧЕ МНОГОПРОГРАММНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

§ 1. Постановки задач многопрограммного управления.

1.1. Общая постановка задачи многопрограммной стабилизации.

1.2. Обзор результатов для линейных и нелинейных систем в случае полной обратной связи.

1.3. Многопрограммная стабилизация при неполной обратной связи.

§ 2. Модификация многопрограммного управления.

§ 3. Постановки задач позиционной оптимизации.

3.1. Задача позиционной оптимизации для случая линейных систем

3.2. Задача позиционной оптимизации для случая нелинейных систем.

3.3. Адаптивный метод в задаче позиционной оптимизации

§ 4. Применение метода позиционной оптимизации в задачах многопрограммного управления.

4.1. Аппроксимация нелинейных слагаемых управляемой системы по областям фазового пространства.

4.2. Позиционная оптимизация в задачах многопрограммного управления.

4.3. О точности метода

ГЛАВА 2. МНОГОПРОГРАММНОЕ ПОЗИЦИОННОЕ УПРАВЛЕ

НИЕ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

§ 5. Многопрограммные позиционные управления в линейных системах

5.1. Многопрограммное управление и вывод системы в отклонениях.

5.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых правой части системы.

5.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 6. Многопрограммные позиционные управления в билинейных системах.

6.1. Многопрограммное управление и вывод системы в отклонениях.

6.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых системы в отклонениях

6.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 7. Многопрограммные позиционные управления в системах типа

Лотки-Вольтерры.

7.1. Многопрограммное управление в модели взаимодействия видов.

7.2. Аппроксимация нелинейных слагаемых системы в отклонениях

7.3. Применение метода позиционной оптимизации для синтеза многопрограммного позиционного управления

§ 8. Многопрограммное позиционное управление в случае неполной обратной связи.

8.1. Линейные системы

8.2. Билинейные системы.

8.3. Системы типа Лотки - Вольтерры

ГЛАВА 3. АЛГОРИТМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 9. Общий алгоритм многопрограммной позиционной оптимизации

Алгоритмы и методы современной математической теории управления применяются, при моделировании, анализе и реализации движения управляемого объекта. Основными являются задачи построения управлений, обеспечивающих объекту управления заданные программные движения, задачи стабилизации программных режимов и задачи оптимизации управляемых систем. Основы теории и ее методы заложены в исследованиях Л.С. Понтрягина [32], Н.Н. Красовского [29], В.И. Зубова [24], Р. Каймана [27] и других выдающихся ученых. Наиболее распространенный подход при решении задачи стабилизации программных движений управляемых динамических систем состоит в построении управлений вида обратной связи различных типов: непрерывного, дискретного, релейного [24, 34, 35].

Сложные системы, отражающие возможность многосценарного поведения объекта, используются в технике и физике, в медицине, социологии и экономике [3, 11, 12, 30, 33, 54]. Возможность работы таких систем в зависимости от начальных условий, внешних воздействий и ограничений, в режиме реального времени представляет особый интерес. Поэтому актуальными являются задачи многопрограммного управления, учитывающие реальные условия функционирования и эксплуатации объекта управления, что в конечном итоге повышает эффективность его функционирования. Их суть состоит в поиске одного управления, которое реализует заданный набор программных движений в зависимости от начальных условий и обеспечивает их асимптотическую устойчивость.

Задача многопрограммной стабилизации была впервые сформулирована В.И. Зубовым в работах [23, 25]. В них рассмотрена проблема представления правых частей систем дифференциальных уравнений, имеющих наперед заданное конечное семейство решений, а также задача синтеза управлений, которые реализуют заданную совокупность программных движений и обеспечивают их асимптотическую устойчивость по Ляпунову. В |25] особое внимание уделяется представлению таких управлений в линейных стационарных управляемых системах. При этом полученные результаты применяются в задаче управления механическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа второго рода, и в задаче управления движением заряженных частиц в электромагнитном поле. В дальнейшем результаты В.И. Зубова были распространены Н.В. Смирновым на класс билинейных систем [55, 41] и систем типа Лотки - Вольтерры [31].

При моделировании используются различные классы динамических систем [5, 10, 22, 32, 34]. Билинейные системы представляют интерес в том случае, когда параметры линейной модели можно использовать в качестве управляющих воздействий. В некоторых случаях это связано с объективными особенностями объекта управления. С другой стороны, билинейные системы представляют собой более гибкое средство аппроксимации нелинейных систем по сравнению с линейными [21, 50, 52, 58].

Целью настоящей работы является разработка метода и алгоритма построения модифицированных многопрограммных управлений. Основная идея состоит в том, чтобы, отказавшись от интерполяционного полинома Лагранжа - Сильвестра как инструмента синтеза управления и(х, £), заменить явную обратную связь с коэффициентами усиления С3{t) на технологию стабилизации объекта в режиме реального времени на основе метода позиционной оптимизации.

Этот метод разработан Р.Ф. Габасовым и его учениками. В работах |6, 13] он применен для линейных стационарных и нестационарных систем с неизвестными ограниченными возмущениями. Оп также применяется и к нелинейным системам [15, 17]. В его основе лежат конструктивные методы теории оптимизации. Метод позволяет получать значения управления в классе ограниченных дискретных управлений. Основная его идея состоит в поэтапном построении управления в зависимости от текущего положения системы управления. В течении процесса управления производится корректировка компонент вектора управления с учетом информации о реальных положениях, в которых оказалась система под его воздействием на предыдущих промежутках времени. Математической основой этого подхода служат адаптивные методы решения задач линейного программирования [2, 6], они применяются для решения специальных вспомогательных задач.

В данной работе предложен метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени в случаях полной и неполной обратной связи. Кроме того, найдены условия существования многопрограммного позиционного управления и разработан алгоритм его построения для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки - Вольтерры.

Также в диссертации описан опыт численной реализации разработанного алгоритма для различных приложений, в частности, для задачи управления запасами.

Приведенные в данной работе конструктивные методы многопрограммной стабилизации в режиме реального времени могут применяться в задачах анализа и синтеза систем управления движением технических объектов, а также при моделировании экономических и социальных систем.

В работе использовались методы обыкновенных дифференциальных уравнений, математической теории управления, теории оптимального управления и оптимизации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 58 наименований. Объем составляет 94 страницы машинописного текста. Работа содержит 7 рисунков.

Основные результаты, которые получены в диссертации, и выносятся на защиту:

• новая постановка задачи многопрограммного управления, а именно задача многопрограммного позиционного управления; определение соответствующего понятия многопрограммного позиционного управления;

• метод синтеза многопрограммных позиционных управлений в режиме реального времени в случаях полной и неполной обратной связи;

• формулировки достаточных условий существования многопрограммного позиционного управления и доказательство его ограниченности в рассматриваемой области фазового пространства для линейных, билинейных управляемых систем и управляемых систем типа Лотки-Вол ьтерры;

• общий алгоритм синтеза многопрограммных управлений на основе метода позиционной оптимизации для линейных, билинейных управляемых систем и систем типа Лотки-Вол ьтерры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров А.Ю., Александрова В.М., Екимов А.В., Смирнов Н.В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб. 2005. 164 с.

2. Альсевич В.В., Габасов Р.Ф., Глушенков B.C. Оптимизация линейных экономических моделей: Статические задачи: Учеб. пособие. Минск: БГУ, 2000. 210 с.

3. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 2. С. 39-47.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

5. Андриевский Б.Р., Фрадков A.JI. Избранные главы теории автоматического управления. СПб.: Наука, 1999. 468 с.

6. Балашевич Н.В., Габасов Р., Кириллова Ф.М. Численные методы программной и позиционной оптимизации линейных систем управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, № 6. С. 838-859.

7. Балашевич Н.В., Р.Ф. Габасов, Кириллова Ф.М. Оптимальный регулятор для нестационарной системы // Доклады РАН. 2001. Т. 381, №4. С. 457-462.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы, 2 изд. М.: Наука, 1975. 631 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, 3 изд., Т. 1. М.: Наука, 1966. 632 с.

10. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. 408 с.

11. Бутковский А.Г. Дифференциально-геометрический метод конструктивного решения задач управления и финитного управления // Автоматика и телемеханика. 1982. № 1. С. 5-18.

12. Веремей Е.И., Корченов В.М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // Автоматика и телемеханика. 1988. № 9. С. 126-137.

13. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К проблеме синтеза оптимальных систем // Известия ВУЗ. Математика. 2001. № 12. С. 10-20.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Стабилизация нелинейных динамических систем при больших начальных возмущениях // Доклады НАН Беларуси. 2001. Т. 45, № 1. С. 25-28.

16. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Стабилизация систем с запаздываниями методами оптимального управления // Известия ВУЗ. Математика. 2002. № 12. С. 44-54.

17. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Ружицкая Е.А. Демпфирование и стабилизация маятника при больших начальных возмущениях // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 6. С. 29-38.

18. Габасов Р., Ружицкая Е.А. Стабилизация динамических систем с обеспечением дополнительных свойств переходных процессов // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 3. С. 139-151.

19. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, диффференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. 368 с.

20. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

21. Емельянов С.В., Коровин С.К., Никитин С.В. Классификация особенностей и критерии управляемости билинейных систем на плоскости // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. № 1. С. 42-46.

22. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 380 с.

23. Зубов В.И. Интерполяция систем дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 1. С. 28-31.

24. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

25. Зубов В.И. Синтез многопрограммных устойчивых управлений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318. № 2. С. 274-277.

26. Калинина Е.А., Утешев А.Ю. Теория исключения. Учебное пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ 2002. 72с.

27. Калмап Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

28. Кирии Н.Е., Нелепин Р.А., Байдаев В.Н. Построение области притяжения по методу Зубова // Диффсрепц. уравнения. 1981. Т. 17, № 8. С. 1347-1361.

29. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

30. Милованов В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30. Вып. 1. С. 137-147.

31. Петросян Л.А., Захаров В.В. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1997. 253 с.

32. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

33. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами //Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300-303.

34. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 200 с.

35. Смирнов Е.Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во С.Петербург. ун-та, 1997. 307 с.

36. Смирнов Н.В. Задачи многопрограммного управления и стабилизации в различных классах динамических систем // Труды Средневолжского мат. общ. 2005. Т. 7. № 1. С. 192-201.

37. Смирнов Н.В. Многопрограммная стабилизация линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи // Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 3. С. 40-44.

38. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Многопрограммные управления в одном классе социально-экономических моделей. Труды тринадцатой межвуз. конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Россия, Самара. 29-31 мая 2003 г. Часть 3. С. 152-155.

39. Смирнов Н.В. Синтез гибридного идентификатора полного порядка в задаче многопрограммной стабилизации // Автоматика и телемеханика. 2006. № 7. С. 41-52.

40. Смирнов Н.В. Синтез идентификаторов состояния в задаче многопрограммной стабилизации билинейных систем // Математические заметки. 2002. Т 72. Вып. 4. С. 535-546.

41. Смирнов Н. В., Смирнова Т. Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикл. математика и механика. 2000. Т. 64, № 6. С. 929-932.

42. Смирнов Н.В. Стабилизация семейства программных движений билинейной нестационарной системы // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 1998. Вып. 2, № 8. С. 70-75.

43. Смирнов Н.В., Соловьева И.В. Применение метода позиционной оптимизации для многопрограммной стабилизации билинейных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та. Серия 10. Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 3. С. 253-261.

44. Соловьева И.В., Смирнов Н.В. Применение MATLAB для оценки области притяжения положений равновесия в одной задаче многопрограммного управления // Тр. IV конф. "Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB". 2009. - С. 501-506.

45. Bruni С., Dipillo G., Koch G. Bilinear systems: ап appealing class of "nearly linear "systems in theory and applications // IEEE Trans, on Automatic Control. 1974. AC-19. № 4. P. 334-348.

46. Gabasov R., Kirillova F.M., Ruzhitskaya E.A. Realization of a bounded feedback in a nonlinear control problem // Cybernetics and Systems Analysis. 2009. Vol. 45, № 1, P. 96-104.

47. Krener A.J. Bilinear and nonlinear realizations of input-output maps // SIAM J. Control. 1975. № 13. P. 827-834.

48. Luenberger D.G. Observers for multivariable systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1966. AC-11. № 2. P. 190-197.

49. Slotine J.-J.E., Li W. Applied nonlinear control. New Jersey: Prentice-Hall, 1991. 461 p.

50. Smirnov N.V. Synthesis of multiprogrammed stable controls using the Luenberger observer. Preprints of the eleventh IFAC International Workshop: "Control Applications of Optimization". St. Petersburg, Russia. July 3-6, 2000. V. 1. P. 317-320.

51. Solovyeva I. Positional optimization in a certain problem of multiprogrammed control // Proceedings of the 11-th international conference on humans and computers. Japan, November 2008, Nagaoka University of technology. P. 359-363.

52. Svoronos S., Stephanopolos G., Aris R. Bilinear approximation of general non-linear dynamic systems with linear inputs // Int. J. Control. 1980. V. 31. № 1. P. 109-126.