автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез анизотропийных регуляторов для дескрипторных систем

005006545

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

СИНТЕЗ АНИЗОТРОШШНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УДК 517.997 + 681.51

На правах рукописи

Белов Алексей Анатольевич

Москва-2011

-8 ДЕК 2011

005006545

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

СИНТЕЗ АНИЗОТРОПИЙНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНЫХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

УДК 517.997+ 681.51

На правах рукописи

Белов Алексей Анатольевич

Москва-2011

Работа выполнена в Институте проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Научный руководитель:

доктор технических наук Курдюков А.П.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Добровидов A.B.

доктор физико-математических наук Ткачев С.Б.

Ведущая организация

Московский институт электроники и математики

Защита состоится « и» и 2011 года в ///.со на заседании

диссертационного совета Д 002.226.02 при Учреждении РАН Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (ИЛУ им. В.А. Трапезникова РАН) по адресу: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИЛУ им. В.А. Трапезникова РАН. Автореферат разослан «_/£_» У/ 2011г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 002.226.02., канд. техн. наук

В.Н. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке алгоритмов анализа и синтеза анизотро-пийных регуляторов для дискретных дескрипторных систем.

Актуальность темы. Классическое представление систем управления, соответствующее совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть получено путем выбора некоторого множества неременных, известных как фазовые переменные. Однако, существуют практические ситуации, в которых физические переменные (называемые дескрипторными переменными или дескрипторами) не могут быть выбраны в качестве фазовых переменных естественным способом для описания математической модели системы в пространстве состояний. Зачастую выбранные дескрипторные переменные не описывают систему полностью и с высокой достоверностью в том плане, что между переменными могут быть алгебраические соотношения. Такой выбор может привести к вырожденности модели системы, так как некоторые из отношений этих переменных являются динамическими, а другие статическими. Следует также заметить, что математическая модель в форме пространства состояний может быть получена исходя из предположения о том, что рассматриваемый объект управляется по принципу причинности, однако в некоторых случаях состояние системы в прошлом может зависеть от его состояния и входного сигнала в будущем. Подобные свойства системы нарушают предположение о принципе причинности. В таких ситуациях дескрипторная модель при описании подобных систем является необходимой. Выражаясь математически, модель дескриптор-ной системы формируется как множество связанных между собой дифференциальных (в дискретном случае разностных) и алгебраических уравнений, которые включают в себя информацию как о статических, так и о динамических ограничениях реального объекта управления.

Дескрипторные системы нашли свое приложение при моделировании движения летательных аппаратов (Б. Стивене), химических процессов (Л. Дай), в схемотехнике (Р. Ныокомб), экономических системах (Д. Люенбергер), соединенных вместе систем высокого порядка, технических системах, энергетических системах и в робототехнике.

Особый интерес представляют собой задачи ЬС^в/Яг и #оо управления для дескрипторпых систем. В данном случае система управления проектируется из предположений о некотором внешнем возмущении, действующем на систему. Данные теории появились и получили свое развитие для обыкновенных линей-

ных систем.

Анизотропийная норма системы представляет собой частный случай стохастической нормы и применяется, когда возмущение является гауссовской случайной последовательностью с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией. В этом случае коэффициент усиления от внешнего возмущения к управляемому выходу описывается анизотропийной нормой передаточной функции системы. Средняя анизотропия последовательности случайных векторов является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (окрашенности), или, что то же самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от белого шума. Вычисление средней анизотропии гауссовской случайной последовательности и анизотропийной нормы системы составляют задачи анизотропийного анализа. Применение аппарата анизотропийного анализа для дескрипторных систем при вычисления нормы системы, а также при решения задач синтеза является актуальным и представляется привлекательным с практической точки зрения. В данном случае полученные регуляторы формируют закон управления, меньший по энергетическим затратам и лишенный консервативности, присущей Яоо-регуляторам.

Цель работы. Целью диссертационной работы является разработка методов анализа и синтеза анизотропийных регуляторов для линейных дескрипторных систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Обобщено понятие анизотропийной нормы на класс линейных дескрипторных систем. Разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы. Получены достаточные условия иннерно-сти дескрипторной системы. Разработан алгоритм синтеза регулятора в форме обратной связи по состоянию, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, математические модели которых заданы в дескрип-

торной форме, и позволяют осуществлять синтез новых линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, нежели широко использующиеся сегодня Яоо-оптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Обобщение понятия анизотропийной нормы на класс линейных дескрпп-торных систем.

2. Алгоритм вычисления анизотропийной нормы для дескрипторной системы.

3. Достаточное условие шшерности дескрипторной системы.

4. Методика построения оптимального анизотронийпого регулятора для дескрипторной системы при полном измерении вектора состояния.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах лабораторий 1 и 7 ИПУ РАН, I и III Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация "(ИПУ им. В.А, Трапезникова РАН, г. Переславль-Залесский, 2009, п. Ярополец, 2011); на XI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, 2010, на 14й Международной студенческой олимпиаде по теории автоматического управления, г. Санкт-Петербург, 2011.

Публикации. Основные результаты опубликованы в одной статье [2], одной брошюре [1| и трех тезисах докладов на конференциях [3,4,5].

Структура и объем работы.Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена па 90 страницах, содержит 1 таблицу и 5 иллюстраций. Библиография включает 111 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и значимость исследуелюй проблематики, дан обзор, литературы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

Первая глава посвящена подробному изложению теории дискретных де-скрипторных систем. Рассмотрены основные свойства и отличия дескриптор-ных и обыкновенных систем.

Многие физические процессы описываются с помощью дифференциально-алебраических уравнений (т.е. в дескрипторной форме).

Линейные дескрипторные системы описываются уравнениями:

Ех(к + 1) = Ах{к) + Ви(к);

у{к) = Сх{к) ( ]

где х{к) е R" - вектор состояния, и(к) € Rm - управление, у(к) £1®- вектор наблюдения. Матрица Е € Rnx" может быть вырождена. Будем предполагать, что rank (Е) = n¡ < п. А, В, С - известные действительные матрицы соответствующих размерностей.

Для дескрипторных систем справедливы следующие утверждения и теоремы.

Определение 1. Пара матриц (Е,А) называется регулярной, если существует такое число А, что det(AE — А) ф 0.

Теорема 1. Линейная дискретная дескрипторная система (1) имеет решение если и только если регулярен матричный пучок (zE — А) (регулярна пара матриц (Е, А)).

Определение 2. Система (1) называется причинной, если ее решение х(к) полностью определяется значениями x(j) и u(j) при 0 < j < к — 1.

Для системы

Ех{к + 1) = Ах(к) (2)

или для пары {Е, А), определим обобщенный спектральный радиус в виде:

р(Е,А) = max |А| Аег| det(zE~A)=Q

Определение 3. Рассмотрим систему (1).

1. Пара (Е, А) называется причинной, если deg(det(í5 — Л)) = гапк(Е)

2. Пара (Е, А) называется устойчивой, если р{Е, А) < 1

3. Пара (Е, А) называется допустимой, если она является регулярной, причинной и устойчивой.

Важными понятиями в исследовании дескрипториых систем являются понятия эквивалентных форм.

Определение 4. Рассмотрим две дескрипторные системы

Ех{к +1) = Ах(к) + Ви{к), (3)

у(к) = Сх(к),

и

Ёх{к + \) = Ах{к) + Ви(к), (4)

у(к) = Сх{к).

Предположим, что существуют две невырожденные матрицы <5 и Р такие, что

х{к) = Рх(к) (5)

и С}ЕР = ¿7,(3 АР = А, С}В = В, СР = С. Систелш (3) и (4) будем называть системами ограниченной эквивалентности (СОЭ).

Существуют следующие эквивалентные формы.

Первая эквивалентная форма.

Определение 5. Если пара матриц (Е, А) является регулярной, то существуют две невырожденные матрицы С} и Р такие, что

ЯЕР = <&«(/„„#). Я АР = сНаё(Ль 1П2) (6)

где щ+П2 = п, А\ е К"1*"1, N € К"2*"2 - нильпотент.

Рассмотрим систему

хх{к + 1) = А1Х1(к) + Вт{к) (7)

У\{к) = С\Х\(к)

N1^+1) = х2(к) + В2и{к) (8)

»(*) = С2х2(к)

у(к) = С1Х1(к) + С2х2(к) = У1(к) + у2(к) (9)

с преобразованием координат:

( ) = Р-1х,хх{к) е Кп1хп*,х2(к) € К"2*"2 (10)

\ х2{к) )

Уравнения (7)-(9) определяют первую эквивалентную форму (ЭФ1), обычно называемую стандартной декомпозицией. Вторая эквивалентная форма.

Определение 6. Если пара матриц (Е,А) является регулярной, то существуют две невырожденные матрицы <31 и Р\ такие, что система (3) эквивалентна следующей:

х\(к+1) = А\\Х1(к) + А\2х2(к) + В\и,

0 = А2\Х1{к) + А22х2(к) + В2и, (11)

у(к) = С1х1(к) + С2х2(к)

(12)

где

Уравнение (11) определяет вторую эквивалентную форму (ЭФ2) системы (3).

Полное состояние дескрипторной системы системы, записанной в первой эквивалентной форме, определяется по формуле:

Х(к)=р11\х1{к) + р1°1]х2{к) =

1 ) (А^т + ^А^ВМ*))-

= Р

0 /

(13)

= Р ( о ) ( о ) Р'1х{0) + Е'=° -

-Р^Е^о^вмк + г) у(к) = Сх(к)

которая характеризует состояние х(к) и измеряемый выход у(к) системы в момент времени к.

Еще одним отличием между обыкновенными и дескрипторными системами дискретного времени является то, что дескрипторные системы не всегда имеют решения для любых начальных условий. Это можно легко показать с гюмощыо (13) при к = 0. Получаем:

которая носит название согласованных начальных условий, удовлетворяющих состоянию 2г(0).

В отличие от обыкновенных систем в пространстве состояний, дескрипторные дискретные системы имеют несколько типов управляемости и наблюдаемости.

С-управляемость (полная управляемость)

Как было сказано ранее, дескрипторная система не всегда является причинной, поэтому состояние системы в текущий момент времени к зависит не только от начальных (доя прямой подсистемы), но и конечных (для обратной подсистемы) условий, если система задана на конечном горизонте.

Определение 7. Состояние системы, при котором известны начальные условия для прямой подсистемы и конечные условия для обратной будем называть краевыми условиями и обозначать \х\{0)/Х2{Ь)}

Определение 8. Система (3) называется С-управляемой, если для любых краевых условий [11(0)/х2(£)] аи £ 1" существует такой момент времени кг,0 < к\ < Ь и управление и(0),и(1), ...,и(Ь), что х(к\) = ги.

Я-управляемость

Для любых фиксированных конечных условий Х2 (Ь) 6 Ш? ввеДем обозначение Л(хг(£)) Для описания множества достижимости для (3), с произвольным начальным состоянием, которое упрощенно будем называть начальное множество достижимости:

или в другой форме

Л-1

(14)

Я{х2(Ь)) = 6 К", 3x1(0), 0 < ¿1 < Ь, и(0),и(1),..., и(Ь) : х(к\) = т}

Очевидно, что начальное множество достижимости R(x2(L)) зависит от хгЩ. Для различных Xi(L) множества достижимости R{xi{L)) могут быть различными.

Определение 9. Система (3) называется управляемой в начальном множестве достижимости (R-управляемые), если для любых фиксированных конечных условий X2(L) состояние системы с любыми начальными условиями с помощью управляющего входного сигнала может быть переведено в любую точку из R(xi(L)) за конечное время.

R-управляемость гарантирует управляемость для любого состояния из начального множества достижимости.

Y-управляемость (причинная управляемость)

При выборе управления в виде обратной связи по состоянию

u(k) = Kx{k)+v(k),k = 0,l,...,L (15)

где К 6 jjmxn _ постоянная матрица, а v(k) - новый управляющий сигнал, замкнутая система (3) будет иметь вид:

Ex(k + 1) = (А + ВК)х{к) + Bv{k) (16)

Определение 10. Система (3) называется причинно (каузально) управляемой (Y-управляемой), если существует обратная связь вида (15) такая, что замкнутая система (16) является причинной.

Вторая глава посвящена краткому изложению анизотропийного анализа обыкновенных линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств, с указанием ссылок на первоисточники.

Средняя анизотропия гауссовской стационарной случайной последовательности W, генерируемой формирующим фильтром с передаточной матрицей G(z) 6 Ц™у'т из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей, равна

7Г

МЮ = ~ findet j JljGMG»} du. (17)

—7Г ^

Последовательность W полностью определяется формирующим фильтром G, поэтому наряду с обозначением A(W) используется эквивалентное обозначение

5(G).

Анизотропийная норма дискретной линейной стационарной системы с передаточной матрицей F е ш-мерным входом IV и р-мериым выходом Z определяется как

lFlQ=sup|i&: Сева}, «>0, (18)

где через

ga = {Ge Н?хт: A(G) а} (19)

обозначено множество формирующих фильтров, генерирующих из гауссовского белого шума V с нулевым математическим ожиданием и единичной ковариационной матрицей гауссовские случайные последовательности W = G * V со средней анизотропией, ограниченной сверху заданным неотрицательным параметром а.

В третьей главе диссертационной работы рассматриваются обобщения Яг и Дх-норм дескрипторной системы. Также вводится понятие анизотропийной нормы дескрипторной системы в частотной области. Разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы во временной области. Рассмотрим дискретную дескрипторную систему F, описываемую уравнениями

Ех(к +1) = Ax(k)+Bw(k), у(к) = Cx(k) + Dw(k), где Е, А, В, С, D - матрицы соответствующих размеров. Передаточной функцией системы (20) называется матричнозначная функция

F(z) = zC(E - zA)~lB + D.

Пусть F € , т.е. F(z) аналитична при \z\ < 1 и имеет конечную Н00-норму, определяемую выражением:

НЛ1оо = sup оmax(F(eiu)).

—■К<й!<1Г

Тогда в частотной области анизотропийная норма дискретной дескрипторной системы определяется аналогично анизотропийной норме обыкновенной системы.

Определение 11. Для заданного а > 0 а-анизотропийная норма системы F определяется как

lF|||a = sup{||FG||2/||G||2: G е Ga}, (21)

т.е. как наибольший коэффициент усиления (отношение среднеквадратиче-ских значений выхода у и входного возмущения ю) по отношению к классу формирующих фильтров

йа = {в е Н?хт : А(0 < а} .

При предположении допустимости системы Е, определяемой выражением (20) существуют невырожденные матрицы IV и V такие, что

\¥ЕУ = (Иаё(Л.,0),

Тогда исходные уравнения (20) дескрипторной системы можно записать во второй эквивалентной форме (11):

х\(к + 1) = АпХ1(к)+А12Х2(к) + В1и](к),

0 = А21Х1(к) + А22Х2(к) + В2и!(к), (22)

у(к) = С1Х1(к) + С2х2(к) + Ои>(к),

причем блок А22 в (22) является невырожденной матрицей. Заметим, что матрицы Ш к V находятся из сингулярной декомпозиции

Е = и(Иаё(3,0)гТ,

в которой и и Z — вещественные ортогональные матрицы, а 5 — диагональная матрица порядка г, образованная отличными от нуля сингулярными значениями матрицы Е:

IV = (11а§(5-1''2,1п-г)иТ, V = г^Б-1!2,1п-г).

Невырожденность матрицы А22 позволяет выразить х2(к) через х\(к), используя второе из уравнений (22):

х2{к) = -А^{А21хх{к) + В2ги(к)). (23)

Подстановка (23) в первое и третье из уравнений (22) приводит последнюю систему к виду

Х1(к + 1) = Ах1(к) + Вш(к),

у{к) = СХ1(к) + Би)(к), ^

где

Л = Л,. — 4,„ Л"1 Дг., П — П, _ 4,„4г1и„

(25)

А = Ап - АцА^Ац, В = В1-А12А2^В2, С = С1-С2А^А21, Ъ = О-С2А^В2.

Полученные уравнения (24) описывают систему, которая эквивалентна исходной системе (20) как входо-выходной оператор, но имеет состояние xi меньшей размерности, подчиняющееся обыкновенному разностному уравнению. Справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть дескрипторпая система F в (20) является допустимой. Тогда ее а-апшотропийная норма может, быть вычислена как анизотропий-ная норма эквивалентной ей обыкновенной системы (24) по формуле

Здесь q € [0, ||Fи матрицы П, L, £ определяются путем решения трех уравнений: уравнения Риккати

R = A^RÄ + q^Ä+L1^-^, L = E(ÄrRÄ+ qÄ^Ä), Е = (Im~BTRB-qDTD)-1 (с дополнительным условием р{А + ВL) <1), уравнения Ляпунова П = (А + ВЬЩА + Ulf + BZBT,

а такэюе уравнения специального вида

1 , , / тТ, \ а = ~2 yiY (LULT + Е) J '

в которых матрицы А, В, С, D определены выражениями (25).

В четвертой главе поставлена и решена задача синтеза оптимального ани-зотропийного регулятора для дескрипторной системы при полном измерении вектора состояния. Рассмотрим линейную стационарную дискретную дескрип-торную систему, заданную уравнениями:

Ex(k + 1) = Ах(к) + Biw(k) + В2и(к)

z(k) = Сц(к) + Dnw(k) + D12u(k) (26)

y(k) = x(k) (27)

где x(k) € R" - вектор состояния, w(k) 6 Rmi - возмущающее воздействие, u(k) £ К"12 - управление, z(k) 6 RPl - управляемый выход. Будем предполагать, что наблюдению доступен весь вектор состояния. Е, А, Bi,Cj, Du, Du, -известные матрицы соответствующих размерностей, rank (В) =пj < п.

Задача синтеза анизотропийного регулятора для дескрипторной системы подобна задаче синтеза анизотропийного регулятора для обыкновенной системы и может быть сформулирована следующим образом: для заданной системы (26) и неотрицательного уровня средней анизотропии а > 0 входного возмущения W необходимо найти регулятор в форме обратной связи по состоянию К 6 /С, которй минимизирует а-анизотропийную норму замкнутой системы:

К)|||в = sup {И^Мк ; G € GaJ —»inf,

КеК

Решение задачи синтеза

Условие оптимальности - седловая точка

Для всякого допустимого формирующего фильтра С? € Са и всякого внутренне стабилизирующего регулятора К б К.(Р) введем множества

Х2(С)=ЛГ0шш||^(Я*)||2, СеЕа (29)

к ее (30)

Множество (29) образовано регуляторами, являющимися решением взвешенной .Яг-оптимизационной задачи, которая соответствует предположению, что на вход системы поступает "окрашенный"шум IV = СУ. Такой регулятор К € АГ(-Г) минимизирует дисперсию выхода Z при входном возмущении IV = СУ. Определенное в (30) множество состоит из формирующих фильтров, порождающих гауссовские входные шумы с наихудшей для замкнутой системы спектральной плотностью.

Лемма 1. Если регулятор К является неподвижной точкой отображения К-а о С®, то этот регулятор является решением задачи (28).

Кроме того, предполагается, что система (26) является причинно управляемой и стабилизируемой.

Наихудший формирующий фильтр замкнутой системы

Теперь рассмотрим дескрипторную систему следующего вида:

Ех(к + 1) = Ах{к) + Ви(к); (31)

у(к) = Сх(к) + Юи{к)\ (32)

Ее передаточная матрица определяется выражением

P(z) = C(zE — А)-1 В + D Пусть также выполняются следующие предположения:

rank ( А В ) = rank ^ д j (33)

Лемма 2. Система (31) является иннером, если существует матрица R = RT, удовлетворяющая условию ETRE > О, такая, что:

BTRB + DTD = I (34)

BTRA + DTC = 0 (35)

ATRA + CTC -ETRE = 0 (36)

Пусть Kfc = Kxk - искомый закон управления, тогда выражения для замкнутой системы примут вид:

Ex{k +1) = (A + B2K)x(k) + BlW(ky, (37)

z(k) = (Cj + DttK)x(k) + Dnw{k)\

где пара (Е, А + В2К) является допустимой.

Введем следующие обозначения А = А + В2К, С\ = С\ 4- D\2K

Теорема 3. Пусть система (37) является допустимой, q € [0, HFHoo). Пусть формирующий фильтр системы (37) имеет следующее представление в пространстве состояний:

A + BL ВТ}!2 L £V2

G =

(38)

где матрицы Ь и Е удовлетворяют уравнению Риккати, записанному ниэ/се.

ЕТ В.Е = АтВА + яСтС + ЬтТ,-1Ь (39)

Е = (1т-яО'[1Оп-ВтПВ)~1 (40)

Ь г Е(ВТЛЛ + дИ^С), (41)

а ЕТНЕ > 0 Тогда формирующий фильтр (38) является наихудшим формирующим фильтром для замкнутой системы (37).

Теорема 4. Пусть система является управляемой, тогда для любого неотрицательного уровня средней анизотропии а > 0 существует единственная пара (q,R) со скалярным параметром q G (0; A")) Ile»2 и допустимым

решением R с ETRE > 0 следующего уравнения Риккати

ETRE = ÂTRÂ + qCTC + LTE-1L (42)

S = (Im-qDl1Dn-BTRB)-1 (43)

L = S (BTRÂ + qDjlC) (44)

такое, что

(45)

где P e Knx" - грамиан управляемости формирующего фильтра G, определяемого при решении обобщенного проекционного уравнения Ляпунова

ЕРЕТ = (Л + BL)P(Â + BL)T-—P{B'SiBTPf + (I- Pl)BEBT(I - Pif (46)

P = (/ - Pr)P(I - Prf

где

Построенный таким образом фильтр является представителем семейства наихудших формирующих фильтров для замкнутой системы, чей уровень средней анизотропии равен а.

Оптимальный регулятор

Зафиксируем допустимый регулятор Ко с наихудшим формирующим фильтром из семейства Go G 0%. Далее рассмотрим задачу Яг-оптимизации, взвешенного объекта управления (которая в силу обратимости формирующего фильтра Go, эквивалентна стандартной задачи Яг-оптимизации):

ШР,Со)\\2^тиКе1С (47)

Таким образом, задача анизотропийной оптимизации была в итоге сведена к задаче стандартной Яг-оптимизации для дескрипторных систем.

Теорема 5. Пусть (26) является управляемой. Оптимальный регулятор по состоянию, решающий задачу взвешенной Н^-оптимизации, находится в виде:

К* = Г1 + Г2 (48)

г = (Гь Г2) = + Б^С)

где П определяется из решения уравнения Риккати:

Е?ТЕ, = Ат,ТА, + + ГгПГ П г (В„ТВ, + о12Ои) Г = -1\~1(В^ТА, + В\2С.),

где

В, =

Е О О Е А ВгЬ О А + ВгЬ В2 О

С. = (<71 КЦЬ),

Числовой пример

Рассмотрим дескрипторную систему:

+ 1) = Ах(к) + Впи(к) + В2и(к) г(к) = С!х(к) + Опы(к) + 012и(к) у{к) = х{к)

в которой

Е =

А =

В1 =

/ 0.35 1

0.63 -0.11

\ 0.54 0.3

В2 =

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

Сг = ( 1 0 0 ) Г>11 = 0.5 £>12 = 1 Система (53) является причинной, но не является устойчивой. Спектральный радиус динамической подсистемы р = 1.2702.

Яг-норма системы, замкнутой Яг-оптимальным регулятором, равна ||г = 0.9878

Яоо-системы, замкнутой Яоо-субоптимальньш регулятором, равна Ц/'Цоо = 1.8201

Таблица 1: Анизотропийпая норма замкнутой системы

а | 0.05 0.1 0.5 1.0 1 1.5

ши. 1 1.1353 1.1628 1.5968 1.7528 | 1.7967

Результаты поиска оптимального анизотропийного регулятора для разных уровней анизотропии а > 0 представлены в таблице 1.

Рис. 1: Управляемый выход г (к) (средняя анизотропия а=0.3)

Рис. 2: Сигнал управления и(к) (средняя анизотропия а=0.3)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы:

1. Проведено исследование линейных дескрипторных систем дискретного времени. Показано, что дескрипторные модели систем управления приводят к

алгебро-дифференциальным или алгебро-разностным уравнениям, в которых состояния системы не только подчиняются динамическим связям, но и алгебраическим соотношениям. Теория обыкновенных систем управления не может быть полностью перенесена на теорию дескрипторных систем, так как переход к алгебро-дифференциальной или алгебро-разностной модели описания системы управления сопряжен с появлением новых особенностей поведения последних.

2. Анизотропийная норма дескрипторной системы в частотной области определяется аналогично анизотропийной норме для обыкновенной системы. Так как исходная система предполагается допустимой и имеющей конечную //до-норму, то был предложен алгоритм вычисления анизотропийной нормы, опирающийся па вычисление анизотропийной нормы для обыкновенной системы, эквивалентной исходной дескрипторной. Такой подход позволяет избежать вычислительных сложностей, связанных с вычислением Яг-нормы дескрипторной системы, а также с решением обобщенного алгебраического уравнения Риккати. Работоспособность алгоритма показана на числовом примере.

3. Решена задача синтеза оптимального анизотропийного регулятора по состоянию в классе линейных дискретных дескрипторных систем. Методика решения задачи сводится к определению параметров наихудшего формирующего фильтра для замкнутой системы и замены исходной задачи анизотропийного управления задачей взвешенной Яг-оптимизации, в которой наихудший формирующий фильтр входит как часть расширенной подсистемы. Решение задачи сводится к решению двух уравнений Риккати - одно уравнение, определяющее параметры наихудшего формирующего фильтра, второе уравнение определяет параметры оптимального регулятора в задаче Яг-оптимизации для объекта, взвешенного наихудшим формирующим фильтром, решению обобщенного проекционного уравнения Ляпунова и решению уравнения специального вида, которые связаны между собой. В качестве иллюстрации работоспособности приводится числовой пример и моделирование замкнутой системы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Белов A.A., Курдюков А.П. Линейные дескрипторные системы дискретного времени. М.: ИПУ РАН, 2011. Ц 90 с.

2. Белов A.A., Курдюков А.П. Вычисление анизотропийной нормы дескрип-торной системы // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 6. - С. 51-63.

3. Белов A.A., Курдюков А.П. Анизотропийная норма дескрипторной системы // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII международного семинара. - Москва, 2010. - С. 46-48.

4. Belov A.A., Kurdyukov А.Р. Anisotropy-Based Control - a State Feedback Approach //8th International Conference on Process Control, Kouty nad Desnou, 2010,-P. C064a-l-C064a-6, - CD-ROM

5. Belov A.A. Anisotropy-Based Control for Discrete-Time Descriptor Systems via State Feedback // 14th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, 2011, - P. 134-140.

Личный вклад соискателя в публикациях. В публикациях, выполненных в соавторстве: в [1] было проведено исследование дискретных дескрипторных систем на основе зарубежной печати, полученные результаты изложены в работе; в [4| разработана методика для нахождения оптимального анизотропийного регулятора для обыкновенных систем при полном измерении вектора состояния; в |2|,[3] разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы, проведено моделирование.

В печать от 16.11.2011 Тираж 100. Заказ 104. 117997, Мсква, Профсоюная, 65 Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Введение

1 Основы теории дескрипторных систем

1.1 Примеры дескрипторных систем.

1.2 Основные понятия теории дескрипторных систем

1.3 Эквивалентные формы дескрипторных систем.

1.3.1 Первая эквивалентная форма (ЭФ1)

1.3.2 Вторая эквивалентная форма (ЭФ2)

1.4 Решение, временные и частотные характеристики дескрипторных систем.

1.4.1 Передаточная функция и реализации

1.4.2 Устойчивость.

1.4.3 Импульсные и частотные характеристики

1.5 Управляемость дескрипторных систем.

1.5.1 С-управляемость (полная управляемость)

1.5.2 R-управляемоеть.

1.5.3 Y-y прав ляемость (причинная управляемость)

1.6 Наблюдаемость в дескрипторных системах

1.7 Грамианы управляемости и наблюдаемости

1.8 Выводы.

2 Основные понятия анизотропийного анализа

2.1 Средняя анизотропия гауссовской случайной последовательности

2.2 Формула для средней анизотропии в пространстве состояний.

2.3 Анизотропийная норма линейной системы.

2.4 Формулы для анизотропийной нормы в частотной области.

2.5 Формулы для анизотропийной нормы в пространстве состояний

2.6 Выводы.

3 Нормы дескрипторной системы

3.1 Ьр2хт- и #2- нормы.

3.1.1 Вычисление 7?2н°Рмы.

3.2 и£т- и Я,*,- нормы

3.2.1 Вычисление .Яоо-нормы.

3.3 Анизотропийная норма.

3.3.1 Вычисление анизотропийной нормы

3.4 Выводы.

4 Синтез анизотропийного регулятора для дескрипторной системы

4.1 Постановка задачи.

4.2 Решение задачи синтеза.

4.2.1 Условие оптимальности - седловая точка

4.2.2 Наихудший формирующий фильтр замкнутой системы.

4.2.3 Оптимальный регулятор.

4.2.4 Числовой пример.

4.3 Выводы.

Актуальность темы. Классическое представление систем управления как совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) может быть получено путем выбора некоторого множества переменных, известных как фазовые переменные. Однако, существуют практические ситуации, в которых физические переменные, то есть переменные, отражающие реальный физический процесс (называемые дескрип-торными переменными или дескрипторами) не могут быть выбраны в качестве фазовых переменных естественным способом для описания математической модели системы в пространстве состояний. Обычно выбранные дсскрипторные переменные, как и следует ожидать, не "описывают "систему достоверно в том понятии, что между ними могут быть алгебраические соотношения. Такой выбор может привести к вырожденности модели системы, так как некоторые из отношений этих неременных являются динамическими, а другие чисто статическими. Следует также заметить, что модель в пространстве состояний может быть получена предполагая, что рассматриваемый объект управления управляется по принципу причинности, однако в некоторых случаях состояние системы в прошлом может зависеть от его состояния и входного сигнала в будущем. Подобные свойства системы нарушают предположение о принципе причинности. В таких ситуациях дескрипторная модель при описании подобных систем является необходимой. Выражаясь математически, модель дескрипторной системы формируется как множество связанных между собой дифференциальных (в дискретном случае разностных) и алгебраических уравнений , которые включают в себя информацию как о статических, так и о динамических ограничениях реального объекта управления. Такие системы называются дескрипторными системами [41],[66]. В литературе дескрипторные системы также называют сингулярными системами [41],[37],[38], алгебро-дифференциальными (или алгебро-разностными) системами [5], [22], [35], обобщенными системами в пространстве состояний (или обобщенными системами) [30], неявными системами [25],[27] или системами с неполным вектором состояний [79], [80]. Они не принадлежат классу стандартных систем, так как стандартные модели не содержат в себе каких-либо алгебраических ограничений на фазовые переменные. Объект управления, описанный в дескрипториой форме, представляет собой особый вид уравнений в пространстве состояний, и таким образом может представить более широкий класс систем, чем их аналог в форме ОДУ.

Дескрипторные системы нашли свое приложение при моделировании движения летательных аппаратов [92], химических процессов [62], в схемотехнике [79], [80], экономических системах [70], соединенных вместе систем высокого порядка [71], технических системах [55], энергетических системах [87] и в робототехнике [75]. Дескрипторные системы имеют некоторые характерные отличия от стандартных систем. Следующие особенности дескрипторных систем не являются характерными для стандартных систем [31], [100]:

• Передаточная функция дескрипториой системы может не являться строго правильной.

• Для произвольных ограниченных начальных условий временная характеристика дескрипторных систем может проявлять импульсное или непричинное поведение.

• Дескрипторные системы обычно содержат три типа мод: ограниченные динамические моды, неограниченные динамические моды и нединамические моды; нежелаемое импульсное поведение в дескрипторных системах может генерироваться неограниченными динамическими модами.

• Даже если дескрипторная система является безымпульсной, она все равно может иметь разрывы первого рода из-за несогласованных начальных условий.

Так как дескрипторные системы составляют важный класс систем как с теоретической, так и с практической точек зрения, они являются объектом широкого изучения в течение последних трех десятилетий. Большое число фундаментальных понятий и результатов теории обыкновенных систем были успешно обобщены на дескрипторные системы. Среди них

• разрешимость алгебро-дифференциальных уравнений, исследования управляемости и наблюдаемости;

• канонические формы и представления дескрипторных систем ;

• минимальные реализации;

• эквивалентность систем;

• регулярность и регуляризация;

• устойчивость и стабилизация;

• модальное управление;

• линейно-квадратичное оптимальное управление;

• синтез наблюдателей и фильтрация;

• теоремы и уравнения Ляпунова;

• редукция модели;

• и Я«, управление;

• робастное управление.

Особый интерес представляют собой задачи ЬС^/Яг и #оо управления для дескрипторных систем. В данном случае система управления проектируется из предположений о некотором внешнем возмущении, действующем на систему. Данные теории появились и получили свое развитие для обыкновенных линейных систем.

Теория синтеза линейно-квадратичных гауссовских регуляторов появилась в конце 50-х годов 20-го века и связана с именем Р. Калмана. Эта теория смогла предоставить мощный инструмент для синтеза многомерных систем управления с квадратичным критерием качества [63]. Алгоритм управления проектировался из предположения, что на систему действуют возмущения в виде гауссовского белого шума. Данное предположение сводит задачу синтеза к задаче минимизации квадратичного • по управлению и состоянию функционала качества. Такая задача может быть сведена к задаче Яг-оптимизации, в которой в качестве функционала качества выступает Нъ-норма передаточной функции (в дальнейшем ПФ) системы. Наиболее существенным недостатком такого подхода является потеря устойчивости системы при малых возмущениях в описании модели, который был описан в работе[45]. Таким образом, возникла необходимость в поиске новых критериев качества.

Задача синтеза стабилизирующих регуляторов, минимизирующих Ях,-норму предаточной функции замкнутой системы была поставлена и решена [109] и получила свое развитие в работах [46,108, 48, 54, 57]. Такая задача является задачей оптимального управления, а Яоо-норма ПФ замкнутой системы - критерием качества. Здесь априорной информацией о входных сигналах является их принадлежность пространству Лебега Ия, то есть Интегрируемость с квадратом>. Поскольку Н^-иорма индуцируется нормой сигналов в Ьг (или, как еще говорят, подчинена этой норме), то в указанной задаче она может трактоваться как максимальный коэффициент усиления внешних возмущений, поэтому такие задачи называют также задачами подавления внешних возмущений.

В прикладных задачах кроме упоминавшегося выше свойства робаст-ности получаемых регуляторов по отношению к внешним возмущениям, важным свойством является степень их консервативности, то есть энергетических затрат органов управления объекта. Известно, что Яг-регуляторы не являются робастпыми по отношению к интенсивности входного возмущения [45], в то время как Яоо-регуляторы являются излишне консервативными.

В качестве одного из подходов, позволяющих снизить консерватизм Яоо-регуляторов, является подход, при котором система предполагается функционирующей в присутствии случайных возмущений с неточно известными вероятностными характеристиками. Наличие дополнительной информации о входном возмущении с одной стороны позволяет затрачивать меньше энергии на управление, а с другой позволяет отступить от жесткого предположения о том, что входное возмущение является белым шумом. Это направление связано с применением теоретико-информационных критериев качества и носит название стохастической Яоо-оптимизации.

Одним из таких информационных критериев является стохастическая норма ПФ замкнутой системы. Стохастическая норма индуцируется мощностной нормой случайных сигналов из заданного класса вероятностных распределений. Частным случаем стохастической нормы является анизотропийная норма. Эта норма применяется в случае, когда априорная информация о входном возмущении состоит в том, что возмущение — гауссовская случайная последовательность с нулевым средним и ограниченной сверху средней анизотропией [88, 10]. Последняя является мерой коррелированности компонент случайного вектора в последовательности (или как еще говорят <окрашенности>) или, что тоже самое, мерой отклонения последовательности случайной величины от гауссовского белого шума. Задача синтеза анизотропийного регулятора, минимизирующего анизотропийную норму ПФ замкнутой системы, была впервые поставлена в [10] и решена в [102]. В работе [11] показано, что а-анизотропийная норма, являясь функцией своего параметра а > 0, имеет Яг- и Я^-нормы своими предельными случаями, отсюда следует что и задача синтеза анизотропийного регулятора включает в себя классические задачи Н2- и Яоо-оптимизации как предельные случаи. В [18] показано, что отсюда следует, что Н2- и Я^-регуляторы являются предельными случаями анизотропийного регулятора.

Поэтому задача обобщения анизотропийной теории проектирования регуляторов для дескрипторных систем является неизученным и довольно перспективным направлением.

Изложение диссертационной работы построено следующим образом. Во введении обоснована актуальность и значимость исследуемой проблематики, дан обзор литературы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые па защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В главе 1 приводится подробный обзор теории дискретных дескрипторных систем. Рассмотрены основные свойства и отличия дескрипторных и обыкновенных систем.

В главе 2 дано краткое изложение анизотропийного анализа обыкновенных линейных систем управления. Эти результаты известны и поэтому приводятся в обзорной форме, без доказательств с указанием ссылок на первоисточники.

Глава 3 посвящена обобщению понятия анизотропийной нормы на класс дескрипторных систем и разработке алгоритма вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы.

В главе 4 поставлена и решена задача оптимального анизотропийного управления для дескрипторных систем по состоянию.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является разработка методов анализа и синтеза анизотропийных регуляторов для линейных дескрипторных систем.

Методы исследования. В работе применяются методы математической теории управления, линейной алгебры, теории функции комплексного переменного и теории вероятностей.

Научная новизна. Обобщено понятие анизотропийной нормы на класс линейных дескрипторных систем. Разработан алгоритм вычисления анизотропийной нормы дескрипторной системы. Получены достаточные условия иннерности дескрипторной системы. Разработан алгоритм синтеза регулятора в форме обратной связи по состоянию, минимизирующего максимальное значение анизотропийной нормы замкнутой системы по всем неопределенностям из заданного класса.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается результатами численного моделирования.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории управления линейными объектами, математические модели которых заданы в дескрипторной форме, и позволяют осуществлять синтез новых линейных регуляторов, обладающих меньшей степенью консервативности, нежели широко использующиеся сегодня Яоо-оптимальные регуляторы.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Обобщение понятия анизотропийной нормы на класс линейных де-скрипторных систем.

2. Алгоритм вычисления анизотропийной нормы для дескрипторной системы.

3. Достаточное условие иннерности дескрипторной системы.

4. Методика построения оптимального анизотропийпого регулятора для дескрипторной системы при полном измерении вектора состояния.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинаре лаборатории 7, I и III Всероссийских традиционных молодежных летних школах "Управление, информация и оптимизация" (ИПУ им. В.А, Трапезникова РАН, г. Переславль-Залесский, 2009, п. Ярополец, 2011); на XI международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления ИПУ РАН, Москва, 2010, на 14й Международной студенческой олимпиаде по теории автоматического управления, г. Санкт-Петербург, 2011.

Публикации. Основные результаты опубликованы в одной статье [3], одной печатной работе [2] и трех тезисах докладов на конференциях [4, 28, 29].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 90 страницах, содержит 1 таблицу и 5 иллюстраций. Библиография включает 111 наименований.

4.3 Выводы

В данной главе была рассмотрена и решена задача синтеза оптимального анизотропийного регулятора по состоянию в классе линейных дискретных дескрипторных систем. Методика решения задачи сводится к определению параметров наихудшего формирующего фильтра для замкнутой системы и замены исходной задачи анизотропийного управления задачей взвешенной ^-оптимизации, в которой наихудший формирующий фильтр входит как часть расширенной подсистемы.

В отличие от задачи анизотропийного анализа дескрипторных систем, задача синтеза не может быть сведена к аналогичной задаче для эквивалентной обыкновенной системы, потому что исходная система может быть непричинной.

Решение задачи сводится к решению двух уравнений Риккати - одно уравнение, определяющее параметры наихудшего формирующего фильтра (4.62)-(4.64), другое уравнение (4.70)-(4.72) - уравнение, определяющее параметры оптимального регулятора во взвешенной задаче Яг-оптимизации, решению обобщенного проекционного уравнения Ляпунова (4.66) и решению уравнения специального вида (4.65), которые связаны между собой.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты данной диссертационной работы:

1. Проведено исследование линейных дискретных систем дискретного времени. Показано, что дескрипторные модели систем управления приводят к алгебро-дифференциальным или алгебро-разностным уравнениям, в которых состояния системы не только подчиняются динамическим связям, но и алегбраическим соотношениям. Теория обыкновенных систем управления не может быть полностью перенесена на теорию дескрипторных систем, так как переход к алгебро-дифференциальной или алгебро-разностной модели описания системы управления сопряжен с появлением новых особенностей поведения последних. ,

2. Анизотропийная норма дескрипторной системы в частотной области определяется аналогично анизотропийной норме для обыкновенной системы. Так как исходная система предполагается допустимой и имеющей конечную Яоо-норму, то был предложен алгоритм вычисления анизотропийной нормы, опирающийся на вычисление анизотропийной нормы для обыкновенной системы, эквивалентной исходной дескрипторной. Такой подход позволяет избежать вычислительных сложностей, связанных с вычислением Яг-нормы дескрипторной системы, а также с решением обобщенного алгебраического уравнения Риккати. Работоспособность алгоритма показана па числовом примере.

3. Решена задача синтеза оптимального анизотропийного регулятора по состоянию в классе линейных дискретных дескрипторных систем. Методика решения задачи сводится к определению параметров наихудшего формирующего фильтра для замкнутой системы и замены исходной задачи анизотропийного управления задачей взвешенной Яг-оптимизации, в которой наихудший формирующий фильтр входит как часть расширенной подсистемы. Решение задачи сводится к решению двух уравнений Риккати - одно уравнение, определяющее параметры наихудшего формирующего фильтра, второе уравнение определяет параметры оптимального регулятора в задаче Яг-оптимизации для объекта, взвешенного наихудшим формирующим фильтром, решению обобщенного проекционного уравнения Ляпунова и решению уравнения специального вида, которые связаны между собой. В качестве иллюстрации работоспособности приводится числовой пример и моделирование замкнутой системы.

1. Баландин Д.Б., Коган М.М. Синтез оптимального робастного Tioo-управления методами выпуклой оптимизации // Автоматика и телемеханика. - 2004. - № 7. - С. 88-98.

2. Белов A.A., Курдюков А.П. Линейные дескрипторные системы дискретного времени. М.: ИПУ РАН, 2011. Ц 90 с.

3. Белов A.A., Курдюков А.П. Вычисление анизотропийной нормы дескрипторной системы // Автоматика и телемеханика. 2009. -№ 6. - С. 51-63.

4. Белов A.A., Курдюков А.П. Анизотропийная норма дескрипторной системы // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов XII международного семинара. Москва, 2010. - С. 46-48.

5. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы Новосибирск: Наука, 2000.

6. Бояринцев Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова. Ч Новосибирск: Наука, 2006. Ч 124 с.

7. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы // Изв. вузов. Матем., 2004, е 6, 6Ц13

8. Владимиров И.Г., Даймонд Ф., Клоеден П. Анизотропийный анализ робастного качества линейных нестационарных дискретных систем на конечном временном интервале // Автоматика и телемеханика. 2006. - № 8. - С. 92-111.

9. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // Доклады РАН. 1995. - Т. 342. № 3. - С. 583-585.

10. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Стохастическая проблема TLoo -оптимизации // Доклады РАН. 1995. Т. 343., № 5. -С. 607-609.

11. И. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов A.B. Асимптотика ани-зотропийной нормы линейных стационарных систем. // Автомами-ка и телемеханика. 1999. - № 3. - С. - .

12. Кицул П.И., Липцер Р.Ш. Рекуррентное оценивание случайных последовательностей. М.: Изд-во Института Проблем Управления РАН, 1974. 68 с.

13. Колмогоров А.Н, Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1972. 496 с.

14. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Синтез регуляторов по критерию минимума Tíoo -энтропии и анизотропийный синтез регуляторов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX международного семинара. Москва, 2006. - С. 142143.

15. Курдюков А.П., Максимов Е.А. Решение стохастической задачи Tíoo -оптимизации для линейных систем с параметрической неопределенностью // Автоматика и телемеханика. 2006. - №8. - С. 112141.

16. Пинскер М.С. Информация и информационная устойчивость случайных процессов, М.: Изд-во АН СССР, I960. № 7. - 201 с.

17. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.:Наука, 2002. 303 с.

18. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ М.: Мир. - 1989. - 656 с.

19. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-диффсрснциальных систем. Новосибирск: Наука, 2003.

20. Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989. 574 с.

21. Abou-Kandil Н., Freiling G., Ionescu V., Jank G. Matrix Riccati equations in control and systems theory, Basel-Boston-Berlin: Birkhauser-Verlag, 2000. 571 p.

22. Aplevich J.D. Implicit Linear Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1991.

23. Arov D.Z., Krein M.G. On computing the entropy integrals and their minima in generalized extension problems // Act. Sci. Mat. 1983. -V. 45.-P. 33-50.

24. Banaszuk A., Kociecki M., and Lewis F. L. Kalman decomposition for implicit linear systems. // IEEE Trans. Automat. Control, 37:15091514, 1992.

25. Belov A.A., Kurdyukov A.P. Anisotropy-Based Control a State Feedback Approach //8th International Conference on Process Control, Kouty nad Desnou, 2010, - P. - C064a-1 - C064a-6, - CD-ROM

26. Belov A.A. Anisotropy-Based Control for Discrete-Time Descriptor Systems via State Feedback // 14th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint-Petersburg, 2011, P. 134-140.

27. Beellena T. and Vandooren P. A numerical-method for deadbeat control of generalized state-space systems. //Systems k, Control Lett.,10:225-233, 1988.

28. Bendera D. J. and Laub A. J. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems. // IEEE Trans. Automat. Control, 32:672-687, 1987.

29. Bernhard H.-P. A tight upper bound on the gain of linear and nonlinear predictors for stationary stochastic processes // IEEE Trans, on Signal Processing. 1998. - V. 46, № 11 - P. 2909-2917.

30. Bernstein D.S., Haddad W.M. LQG control with an Tioo performance bound: a Riccati equation approach // IEEE Trans, on Automat. Control. 1989. - V. 34. - P. 293-305.

31. Bunse-Genster A., Byers R., Mehrmann V., and Nichols N.K. Feedback design for regularizing descriptor systems. // Linear Algebra Appl., 299:119-151, 1999.

32. Byrne G. D. and Ponzi P. R. Differential-algebraic systems, their applications and solutions. Comput. //Chem. Eng. ,1 2:377-382, 1988.

33. Byrnes C. I., Georgiou T. T., Lindquist A. A generalized entropy criterion for Nevanlinna-Pick interpolation with degree constraint // IEEE Trans, on Automat. Control. 2001. V. 46 - P. 822-839.

34. S. L. Campbell. Singular Systems of Differential Equations. San Francisco: Pitman, 1980.

35. S. L. Campbell. Singular Systems of Differential Equations II. San Francisco: Pitman, 1982.

36. Chu D. L., Chan H. C., and D. W. C. Ho. Regularization of singular systems by derivative and proportional output feedback. // SIAM J.Matrix Anal. Appl., 19:21-38, 1998.

37. Cover T.M., Thomas J.A. Elements of information theory. New York: Wiley, 1991. - 776 p.

38. Dai L. Singular Control Systems. Berlin:Springer-Verlag, 1989.

39. Diamond P., Kurdjukov A., Semyonov A., Vladimirov I. Homotopy methods and anisotropy-based stochastic Tioo -optimization of control systems // Report 97-14, The University of Queensland, Australia. -1997.-P. 1-22.

40. Diamond P., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. Anisotropy-based performance analysis of linear discrete time invariant control systems // Int. J. Control. 2001. - V. 74, № 1. - P. 28-42.

41. Doetsch G. Guide to the Applications of the Laplace and Z-Transforms, Van Nostrand Reinbold Company, London, 1971.

42. Doyle J.C. Guaranteed margins for LQG regulators // IEEE Trans, on Autom. Control. 1978. - V. 23. - P. 756-757.

43. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solutions to standard Ti.2 and Hoo -control problems // IEEE Trans, on Autom. Control. 1989. - V. 34. - P. 831-848.

44. Doyle J., Zhou K., Gover K., Bodenheimer B. Mixed H2 and Hoo performance objectives II: Optimal control // IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. - V. 39. - P. 1575- 1587.

45. Francis B.A. A course in Hoo-control theory. Lecture notes in control and information sciences. V. 88 - New York: Springer-Verlag, 1987. - 150 p.

46. Gantmaher F.R. Matrix Theory. 4th edition, 1988, Science.

47. Geromel C., Peres P.L.D., Souza S.R. Convex approach to the mixed H2 ¡'Hoo control problem for discrete time uncertain systems // SIAM J. Control and Optimiation. 1995. - V. 33. - P. 1816-1833.

48. Glover K., Doyle J. State-space formulae for all stabilazing controllers that satisfy an "Hoo-norm bound and relations to risk sensitivity // Systems k Control Letters. 1988. - № 11. - P. 167-172.

49. Gray R. Entropy and Information theory, New York: Springer, 1990. -284 p.

50. Green M., Limebeer D.J.N. Linear robust control. Englewood Cliffs. New Jersey: Prentice Hall, 1995. 538 p.

51. Gu D.-W., Tsai M.C., O'Young S.D., Postlethwaite I. State-space formulae for discrete-time Hoo -optimization // Int. J. Control. 1989. -V. 49. - P. 1683-1723.

52. Hemami H. and Wyman B. F. Modeling and control of constrained dynamic systems with application to biped locomotion in the frontal plane. // IEEE Trans. Automat. Control, 24:526-535, 1979.

53. Iglcsias P.A., Mustafa D. State-space solution of the discretc-time minimum entropy control problem via separation // IEEE Trans, on Automat. Control. 1993. - V. 38. - P. 1525-1530.

54. Ishihara J.Y., Terra M.H. A new Lyapunov equation for discrete-time descriptor systems // Proc of American Control Conf., Denver, 2003. P. 5078-5082.

55. Kailath T. Lnear Systems. Prentice-Hall Information ans System Sciences Series, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980.

56. Katayama T. (J,J')-spectral factorization and conjugation for discrete-time descriptor systems // Circuits, systems, and signal processing, 1996. V. 15. No. 5. P. 649-669.

57. Kumar A. and Daoutidis P. Feedback control of nonlinear differential-algebraic equation systems. // AIChE Journal,41:619-636, 1995.

58. Kwakernaak H., Sivan R. Linear optimal control systems. New York: Wiley, 1972. - 608 p.

59. P. Lancaster and K. Salkauskas, Transform Methods in Applied Mathematics. An Introduction, Canadian Mathematcal Society of Monographs and Advanced Texts. John Willey and Sons, New York, 1996.

60. P. Lancaster and M. Tismenetsky. The Theory of Matrices. Academic Press, Orlando, FL, 2nd edtion, 1985.

61. Lewis F. L. Descriptors systems: Decomposition into forward and backward subsystems. //IEEE Trans. Automat. Control,29:167-170, 1984.

62. Lewis F. L. Fundamental, reachability, and observability matrices for discrete descriptor systems. // IEEE Trans. Automat. Control, AC-30:502-505, 1985.

63. Lewis F. L. A survey of linear singular systems. // Circuits, Syst. Signal Processing, 5:3-36, 1986.

64. Luenberger D.G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1969. - 344 p.

65. Luenberger D. G. and Arbel A. Singular dynamic Leontief systems. // Econometrica, 45:991-995, 1977.

66. Luenberger D. G. Dynamic equations in descriptor form. // IEEE Trans. Automat. Control, 22:312-321, 1977.

67. Luenberger D. G. Time-invariant descriptors ystems. // Automatica, 14:473-480, 1978.

68. Mariton M., Bertrand R. A homotopy algorithm for solving coupled Riccati equations // Optimal. Contr. Appl. Meth. 1985. - V. 6. -P. 351-357.

69. McFarlane D.C., Glover K. Robust controller design using normilized coprime factor plant description. New York: Springer-Verlag, 1990. -127 p.

70. Mills J. K. and Goldenberg A. A. Force andposition controlofma-nipulators during constrained motion tasks. // IEEE Trans. Robot. Automat.,5:30-46, 1989.

71. Mustafa D., Glover K. Lecture notes in control and information sciences: Minimum entropy control. Springer-Verlag: New York, 1990.- 147 p.

72. Mustafa D., Glover K. Limebeer D.J.N. Solutions to the TLoo general distance problem which minimize an entropy integral // Automatica- 1991. V. 27., № 1. - P. 193- 199.

73. Narkis Y. Cost function calculation for stationary linear-quadratic systems with colored noise // IEEE Trans, on Automat. Control. 1992.- V. 37. P. 1772-1774.

74. Newcomb R. W. The semistate description of nonlinear time-variable circuits. // IEEE Trans. Circuits Syst.,2 8:62-71, 1981.

75. Newcomb R. W. and Dziurla B. Some circuits and systems applications of semistate theory. // Circuit, Syst, Sig. Process.,8:235-260, 1989.

76. Ortega J.M., Rheinboldt W.C. Iterative Solutions of Nonlinear Equations in Several Variables. New York: Academic Press, 1970.

77. Peters M. A., Iglesias P. A. The relationship between minimum entropy control and risk-sensitive control for time-varying systems // IEEE Trans, on Automat. Control. 1999. - V. 44. - P. 1065- 1069.

78. Petersen I.R. Stabilization of an uncertain linear system in which uncertain parameters enter into the input matrix // SIAM J. Control and Optimization. 1988. - V. 26., № 6. - P. 1257-1264.

79. Petzold, L.R. (1982), Differential/Algebraic equations are not ODE's, // SIAM J. Sei. Slat, Camp., 3, 367.

80. Rotstein H., Sznaier M. An exact solution to general four-block discrete-time mixed H2 fHoo problems via convex optimization // IEEE Trans, on Automat. Control. 1998. - V. 43., № 10. - P. 1475-1481.

81. Sarason D. Generalized interpolation in Tioo // Trans. American Math. Society. 1967. - V. 127. - P. 179 - 203.

82. Scott B. Power system dynamic response calculations. // Proc. IEEE, 67:219-247, 1979.

83. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to Hoo -optimization // Proc. 33rd IEEE Conf. on Decision and Control. Florida(USA), 1994. - P. 2249-2250.

84. Singh S.P., and Liu R.-W. Existence of state equation representation of linear large-scale dynamic systems, // IEEE Trans. Circuit Theory, 1973, Vol.Cf-20, No.5, P. 239 246

85. Stewart G.W. and Sum J.-G. Matrix Pertrubation Theory. Academic Press, New York, 1990

86. Stevens B. L. and Lewis F. L. Aircraft Modeling, // Dynamics and Control.N ew York: Wiley, 1991.

87. Stykel Tatjana. Analysis and numerical solution of generalized Lya-punov equations. Ph.D. thesis, Institut fur Mathematik, Techische Universität Berlin, Berlin, 2002.

88. Stykel Tatjana. Stability and inertia theorems for generalized Lyapunov equations. // Linear Algabra Appl., 355(l-3):297-314, 2002.

89. Stykel T. Input-Output Invariants for Descriptor Systems. San Francisco: Pitman, 2003.

90. Tsai M.C. On discrete spectral factorizations a unify approach // IEEE Trans. Automat. Control, 1993, V. 38: p. 1563-1567.

91. Chee-Fai Yung, Chih-Chieh Wang, Po-Feng Wu, He-Sheng Wang Bounded real lemma for discrete-time descriptor systems // Proc. 17th IFAC World Congress, Seoul, 2008. P. 9982-9986.

92. Semyonov A.V., Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P. Stochastic approach to iioo-optimization // Proc. 33rd IEEE Conf. Decision and Control. Florida. 1994. p. 2249-2250.

93. Vardulakis A.I., Karampetakis N. P., Antoniou E., Tzekis P. and Volo-giannidis S. "A decsriptor systems package for MATHEMATICA Department of Mathematics Aristotle University of Thessaloniki, 2003

94. Verghese G. C., Levy B. C., and Kailath T. A generalized state-space for singular systems. // IEEE Trans. Automat. Control, 26:811-831,. 1981.

95. Vladimirov, I.G., Kurdjukov, A.P., and Semyonov, A.V. Stocastic H^-optimization problem // Academy of Sciences perort, 1995. V. 343. No 5. c. 607-609.

96. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic Tioo -optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congress. San-Francisco(USA) - 1996. - P. 427-432.

97. Vladimirov I.G., Diamond P. and Kloedcn P. Anisotropy-based robust performance analysis of finite fiorizon linear discrete time varying systems // Automation and Remote Control. 2006, V. 67, No 8, P. 12651282.

98. Vladimirov, I.G., Kurdjukov, A.P., and Semyonov, A.V. On computing the anisotropic norm of linear discrete-time-invariant systems // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, 1996. p. 179-184.

99. Vladimirov I.G., Kurdjukov A.P., Semyonov A.V. State-space solution to anisotropy-based stochastic i/oo-optimization problem // Proc. 13th IFAC World Congress, San-Francisco, 1996. p. 427-432.

100. Wang He-Sheng, Yung Chee-Fai, Chang Fan-Ren. H^ control for nonlinear descriptor systems. London:Springer-Verlag, 2006.

101. Xu S., Lam J. Robust Control and Filtering of Singular Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences, Berlin, Springer- Verlag, 2006.

102. Yaesh I., Shaked U. A transfer function approach to the problems of discretc-time systems: Ti^ -optimal linear control and filtering // IEEE Trans, on Autom. Control. 1991. - V. 36, - R 1264- 1271.

103. Zamcs G. Feedback Minimax Sesitivity and Optimal Robustness // • IEEE Trans, on Autom. Control. 1983. - V. 28. - R 585-601.

104. Zhang H., Sun Y. Information theoretic interpretations for TLoo -entropy // Proc. 16th IFAC World Congress. 2005. - Th-M07-TO/6. - CD-ROM.

105. Zhou K., Gover K., Bodenheimer B., Doyle J. Mixed and Tiac performance objectives I: Robust perfomance analysis // IEEE Trans, on Automat. Control. 1994. - V. 39. - P. 1564- 1574.