автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Решение задач расчета тонких упругих оболочек в форме развертывающихся геликоидов и их параболическое изгибание

РГБ ОД

- 5 Ю ш

На правах рукописи

АБДЕЛЬ САЛЯМ МУХАМЕД АЛИ

УДК 624.074.43.04

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ТОНКИХ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК П ФОРМЕ РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ГЕЛИКОИДОВ И ИХ ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ ИЗГИБАНИЕ

Специальность 05.23.17 - строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1998

Работа выполнена ьа кафедре сопротивления материалов Российского университета дружбы народов.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор технических наук, профессор С.Н. Кривошапко

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор технических наук, профессор С.Б. Косицын;

кандидат технических наук, доцент Ю.К. Басов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

ЦНИИСК им. Кучеренко

Защи-: д состоится " 16 "__июня__ 1998г. в " " часов на заседании

диссертаи:г>:»п;.-го Совета Д 053.22.08 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117302, г.Москва, ул.Орджоникидзе, до:- 3, аудитория № 348.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, дом 6.

Автореферат разослан

мая

1998 г.

И. О. ученого секретаря диссертационного Совета доктор технических наук, профессор

Б.И. Дидух

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Геликоидные оболочки можно видеть в конструкциях машин различного назначения, в форме специального строительного оборудования. Они могут быть одним из главных элементов сооружений, например, пандусы многоэтажных гаражей. Рассматриваемые оболочки лежат в основе многих изобретений и важных технических решений. Винтовой конвейер (шнек), шнековый подъемник, винтовые лопасти смесеприготовительных машин литейного производства, винтовые опоры, заглубляемые в грунт (якорные опоры), винтовые компрессорные машины, лопасти бурошнековых машин - вот далеко не полный перечень областей применения геликоидальных оболочек в машиностроении и строительстве.

Оболочки в форме развертывающихся геликоидов и резных линейчатых поверхностей Мошка обладают выразительными архитектурными образами и дают возможность перекрывать как круглый так и трапециевидный планы. Эти оболочки позволяют устраивать опоры в разных уровнях. Они допускают возможность их усиления системой винтовых ребер или системой прямолинейных балок.

Свойство развертывающихся геликоидов развертываться на плоскость без складок и разрывов можно использовать для выполнения разверток, для получения элементов заданных геометрических размеров из стандартных (плоских) заготовок без предела, что упрощает технологический процесс изготовления детали или сооружения.

Таким образом, актуальность работы не вызывает сомнений. Решаемые в диссертационной работе проблемы обусловлены необходимостью повышения эффективности применения ЭВМ при геометрическом моделировании и конструировании торсов-геликоидов, построении разверток их пересечений с другими поверхностями, необходимостью обеспечения всеми исходными геометрическими параметрами задач расчета этих оболочек по моментной теории, созданием методик определения компонентов НДС и решением ряда прикладных задач.

Можно отметить, что прямые и косые геликоиды являются объектами пристального внимания ученых. Однако разработкой методов расчета оболочек в форме торсов-геликоидов и резных поверхностей Монжа занимаются только на кафедре сопротивления материалов РУДН и профессор С.Б. Косицын из МГУПС МПС РФ. О применении рассматриваемого класса оболочек в реальных конструкциях и сооружениях говорится в работах Люкшина B.C., Турыше-ва В.А., Белкина А.Е., Бейлина И.Я., Лисхольма А., Мартиросова А.Л., Криио-шапко С.Н. Определенную информацию по данному вопросу дают BottcherS., Stahl, Soh Tadashi, Fujimoto Toshio и другие.

Цель работы заключается в поиске эффективных практических аналитических и численных методов расчета на прочность торсов-геликоидов по моментной теории в геометрически и физически линейной и нелинейной постановках. Изучение возможностей построения линий пересечения торсов-геликоидов с цилиндрами и плоскостями на плоскостных развертках и выдача практических рекомендаций по их построению также составляют цели работы.

Научная вовнзва работы.

Рассмотрены развертывающиеся геликоиды, которые в зависимости от формы контурных (граничных) кривых могут быть заданы в криволинейной системе координат в линиях кривизн или в криволинейной неортогональной сопряженной системе координат.

Разработаны основные положения расчета торсов-геликоидов по моментной линейной теории с применением аналитического метода малого параметра, которые сводятся к следующему:

• система трех обыкновенных дифференциальных уравнений в перемещениях и методика их решения с применением метода малого параметра, предложенная в общем виде С.Н. Кривошапко, реализована для первых трех членов рядов разложения неизвестных перемещений по степеням малого параметра, за который принят тангенс угла наклона прямолинейных образующих торса-геликоида;

• получены в аналитическом виде векторные коэффициенты, входящие в первые три члена рядов разложения перемещений,

а с применением полуаналитического метода малого параметра стало возможным:

• привлечь аппарат асимптотического интегрирования для определения напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкого торса-геликоида и составить программу для ЭВМ для решения поставленных задач;

• реализовать предложенную методику на конкретных числовых примерах;

• впервые получить соответствующие эпюры внутренних моментов и усилий для 2-х типов развертывающихся геликоидов.

Для оболочек в форме резных линейчатых поверхностей Монжа применен вариационно-разностный метод, который дал возможность:

• построить вариант функционала Лагранжа для тонких и средней толщины оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига;

® разработать эффективный численный алгоритм и программу для ЭВМ, позволяющую исследовать напряженно-деформированное состояние оболочек данного типа;

• выполнить расчеты тонкой оболочки при различных типах граничных условий и оценить условия применимости безмоментнон теории.

Практическое значение работы.

Изучены и проиллюстрированы на конкретных примерах аналитические методы построения разверток на плоскость торсов-геликоидов с линиями пересечения их с плоскостями и цилиндрами. Приведены формулы для построения соответствующих разверток, что может найти применение при раскрое листовых элементов.

Из разных литературных источников собраны воедино признаки жесткости торсовых поверхностей, что имеет определенное значение при выборе условий закрепления краёв оболочек.

Предложено учитывать изгибающие моменты, возникающие при параболическом изгибании тонких упругих торсов-геликоидов.

Разработанная программа для ЭВМ, может быть использована при расчете реальных оболочечных конструкций в форме резных линейчатых поверхностей Монжа.

Достоверность результатов подтверждается сравнением их с результатами, полученными другими исследованиями для частных случаев длинных торсов-геликоидов.

Апробация работы.

Материалы диссертации были доложены и обсуждены на:

-XXIX (1993г.) и XXX (1994г.) научно-технических конференциях инженерного факультета РУДН;

- 10-ой Зимней школе по механике сплошных сред (г. Пермь, 1995г.);

- научном семинаре кафедры сопротивления материалов РУДН в феврале 1998г.

Публикации.

По материалам диссертации опубликованы 7 научных статей.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 52 наименований и приложения, содержащего 8 страниц результатов расчета на ЭВМ. Диссертация содержит 126 страниц машинописного текста, 38 рисунков, 5 страниц списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении раскрывается содержание предмета исследования. Отмечается, что до настоящего времени актуальны исследования по геометрии и расчету на прочность тонких упругих оболочек сложной формы, начатые под руководством д.т.н., профессора В.Г. Рекача на кафедре сопротивления материалов УДН в 1962 году.

Показывается, что первую попытку рассчитать на прочность оболочку в форме резной линейчатой поверхности Монжа предпринял Юханио Маруланда Арбелаис, затем появилась работа Фареса Милада Жоржа. В дальнейшем исследования по определению квазисимметричного напряженно-деформированного состояния торсов-геликоидов в линейной постановке продолжили С.Н. Кривошапко, Б. Г.Чандра, Сальман А. Аль Духейсат, К. Джаявардена.

Впервые анализ напряженно-деформированного состояния торса-геликоида с произвольными граничными условиями на четырех сторонах был проведен С.Б. Косицыпым при помощи МКЭ.

В качестве примера он рассмотрел торс-геликоид, нагруженный равномерно распределенной вертикальной нагрузкой, и жестко защемлённый по всем четырем сторонам.

Первая глава посвящена изучению изгибания торсовых поверхностей. Приводятся известные теоремы, затрагивающие вопросы изгибания поверхностей нулевой гауссовой кривизны, формулируются свойства процесса изгибания. Приводятся описания наиболее распространенных аналитических методов построения разверток торсовых поверхностей и для датьнейшего использования принимается координатный метод построения разверток, с помощью которого даются 5 примеров построения разверток развертывающихся геликоидов с линиями пересечения этих геликоидов семейством однопараметрических плоскостей (х = / и у = х Р) и с линиями пересечения геликоидов с круговыми цилиндрами. Причем оси геликоидов и круговых цилиндров не совпадают. Например, параметрические уравнения линии пересечения развертывающегося геликоида

au . au

Х-a cos—psinu, у = a sin v + cos v,

-jm -Jm

с цилиндром (x + с)2 + >'2 = Л 2 будут иметь вид

г = bv-

bu_ -Jm

(1)

m . av (i),(2) av

xp = — sin-j= + uw'1 > cos,

a 4tn -Jm

Ур =

m a и (\)I2) ■ av

• — COS + uV'A'-l sin —= ,

a -Jm -Jm

где

U(IM2)=^rcsini;±^c2sin2l,_p

2 +c2 -r2 +2flccost;|

a

причем угол v изменяется в пределах

-a-г

<U< У0) = ;

-Ü + г

(2)

На рис. 1 ,а,б показано пересечение торса-геликоида с цилиндром и построена развертка с линией пересечения торса-геликоида и цилиндра (рис. 1, в).

Рис. 1

Рассмотренные в диссертации примеры ранее в • научно-технической литературе не рассматривались. Известны лишь примеры построения разверток торсов-геликоидов и линий пересечения их с плоскостями параллельными плоскости хОу (т.е. перпендикулярными к оси геликоидов).

Далее в диссертационной работе рассматривались аналитически неизгибае-мые торсовые поверхности и приводятся признаки жесткости этих поверхностей, которые затем используются для выбора условий закрепления краев оболочек нулевой гауссовой кривизны. В этой части исследований применяются результаты, полученные в статьях Ивановой-Каратопраклиевой И., Сабитова И.Х., Ефимова Н.В., Гаюбова К.Н., Михайловского В.И., Симокина ПЛ., Шеркузиева М. и других.

Условия закрепления на краях оболочки или по контуру должны обеспечивать аналитическую неизгибаемость торсовых срединных поверхностей.

Материалы первой главы опубликованы в статьях [1, 2, 7].

Во второй главе рассматривается моментная теория тонких упругих оболочек в форме длинного развертывающегося геликоида, находящегося под действием внешней нагрузки, от которой возникает квазисимметричное напряженно-деформированное состояние, зависящее только от одной криволинейной координаты U. Криволинейные координаты u (v — const) совпадают с прямолинейными образующими развертывающегося геликоида (1).

За основу была взята система 20 расчетных уравнений, полученная A.JI. Гольденвейзером, В.В. Новожиловым и Л.И. Балабухом, которая содержит так называемые "псевдоусилия". Эти уравнения были записаны применительно к оболочкам в форме развертывающегося геликоида. За независимый параметр s, была принята длина дуги винтового ребра возврата.

Подстановкой геометрических уравнений в физические соотношения с последующим использованием уравнений равновесия, С.Н. Кривошапко получил систему трех дифференциальных уравнений в частных производных восьмого порядка относительно перемещений срединной поверхности.

Для упрощения формы записи полученных трех дифференциальных уравнений и придания им удобного для дальнейших математических выкладок вида вводятся безразмерные криволинейные координаты а, р и безразмерные компоненты вектора упругого смещения:

щ —

а и т '

а3 и„

>?г

- 9А т '

м2---

т = а2 + Ь2, ц = — = tgcp, а

а иt В гп

а3 и.

2 '

И> =

/Л

где а - радиус цилиндра, на котором лежит ребро возврата торса-геликоида, 2 тс ¿-шаг винтовых координатных линий s {и = const), , йу, uz -компоненты вектора упругого перемещения срединной поверхности оболочки.

В диссертации рассматривается длинный тонкий торс-геликоид, для которого система трех дифференциальных уравнений в частных производных вырождается в систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка относительно безразмерных параметров трех перемещений.

Далее показывается эффективность применения аналитического метода малого параметра для расчета тонких упругих оболочек в форме длинных торсов-геликоидов. За малый параметр ц < 1 принят тангенс угла наклона прямолинейных образующих. Следовательно, класс решаемых задач этим методом ограничен торсами-геликоидами, у которых угол наклона прямолинейных образующих менее 45°. Выбирая необходимое число членов рядов разложения

Ut = а,ц) = £ Я,(а) ц1', U2 = иг(а, ц) = £ У,(а) ц'',

/=о

¿=0

(5)

i=0

устанавливаем требуемую точность расчетов.

Для использования метода малого параметра систему трех расчетных уравнений необходимо представить в виде:

da I« da

В4 d С I dW a rfaVa da

а/л2 , 12m2 f d г,, ч..

■АигЗ

a a a

2 ad 1 d

+ u--<--

b da ada

a) da v '

1 2aJ 2Ja2 2a J

л/2_

д а

г„ . { 1 аМ г £ . 2а\У

-ч—г -*--г I \Е(1а + \------г —(/а + и —— -

2 а2Вх 2ВЛУ 12 ВА 2Л4Яа2 Й4

2а2/;2 \аВг <Р-\У а(л 1 /о2 и \„

ад аа2 Ь\. а?) (¡а \ I с1а

12(1 - у)т2В4

2аа г ,„„ 2а . 1 + За2 . 1-а2 . ,,,

+-г- а (ВУ+Х)с1а +-ТА ¡+—ц—-А 2+—т— А3. (6)

СВ\)-у)5 V ' (1 -V)/?4 2а В В4

Функция Е считается заранее определенной, А- произвольные константы интегрирования, которые находятся для каждого члена ряда из граничных условий. Таким образом, имеем три расчетных уравнения (6) для определения трех неизвестных параметров 11\ , £/2, (И Для определения первых членов рядов (5) необходимо решать систему трех порождающих уравнений, которые получаются из (6) при подстановке ц = 0. Для нахождения вторых членов радов (5) необходимо подставить ряды (5) в выражения (6), а затем выписать только члены, содержащие параметр (1. Для нахождения третьих членов рядов выписываем члены, содержащие параметр ц2 и т.д.

В диссертации аналитически определены векторные коэффициенты Щ(а), #/(а) и ^-(а), входящие в первые три члена ряда.

Учитывая только первые члены рядов (5), практически рассчитываем тонкие упругие кольцевые пластинки.

Учет двух первых членов рядов (5) равносилен применению теории пологих тонких упругих оболочек в форме развертывающегося геликоида. А принимая параметры перемещения IV, 1/\, Щ, включающие в себя три члена рядов (5), мы тем самым учитываем непологость рассматриваемой оболочки. Дальнейшее увеличение членов рядов (5) будет увеличивать точность расчета. При применении аналитического метода малого параметра ЭВМ использовалась на конечной стадии расчета для решения систем четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными, а также для выполнения простейших вычислительных операций. Все основные формулы для вычисления компонентов НДС получены в развернутом аналитическом виде.

В диссертационной работе рассмотрен также полуаналитический вариант метода малого параметра, в котором ЭВМ используется на более ранних этапах расчета для вычисления векторных коэффициентов ^(а), 7/, (а), Ц (а).

В основу расчета были положены те же дифференциальные уравнения (6), которые были переписаны в виде удобном для составления программ для ЭВМ. Для этого понадобилось выполнить некоторые алгебраические преобразования. Сам порядок расчета остался прежним.

Эти две методики могут хорошо дополнить друг друга. Если аналитический метод позволяет производить более углубленный анализ полученных результатов, то полуаналитический метод может быть использован ддя проверки полученных результатов. Полуаналитический метод впервые представлен в статье [3].

Предложенная методика реализована в 2-х числовых примерах. Были рассчитаны торсы-геликовды с <р = 3° и с <р = 15° на действие распределенной поверхностной нагрузки типа собственного веса, направленного вдоль оси геликоида. Задачи решались с точностью до шестого члена рядов (5).

Построены соответствующие эпюры изгибающих и крутящих моментов, нормальных и касательных сил. Граничные условия - жесткое закрепление двух винтовых краев геликоида (рис. 2).

Рис. 2

Материалы второй главы содержатся в статьях [3, 6].

Глава 3 посвящена вопросам численного анализа тонких упругих оболочек в форме резной линейчатой поверхности Монжа. На базе технической теории тонкостенных конструкций с учетом деформаций поперечного сдвига, разработанной И.Е. Милейковским и С.И. Трушиным, построены исходные геометрические соотношения и вариант функционала Лагранжа для оболочек данного типа. Представлены разностно-квадратурные аппроксимации, имеющие порядок относительной погрешности О (А2), что существенно ускоряет сходимость численного решения.

Разработанный численный алгоритм реализован в виде программы для ЭВМ. При решении системы линейных алгебраических уравнений в целях экономии оперативной памяти и для исключения работы с нулевыми элементами в программе реализована LDL7 - факторизация, при этом использована компактная форма хранения ленты матрицы в виде одномерного массива по столбцам.

Рис. 3

С помощью разработанных программных средств выполнено исследование напряженно-деформированного состояния тонкой оболочки в форме резной поверхности Монжа (рис. 3) при различных граничных условиях: свободное

опирание по контуру; опирание по контуру на диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и гибкие из плоскости; Показано, что второй вариант граничных условий в наибольшей степени отвечает безмоментному напряженному состоянию. Характер изменения тангенциального усилия Л'ц в направлении оси а по линии Р = к (рис. 3) представлен на рис. 4.

л/2 к а

-1о-1 о3

Л'ц, Н/м "15'°

Рис. 4

Материалы третьей главы опубликованы в статьях [4, 5].

Четвертая глава посвящена изучению процесса параболического изгибания тонкой упругой пластинки в торсовую оболочку. Параболическое изгибание - это изгибание торсовой упругой оболочки с сохранением прямолинейных образующих ее срединной поверхности. Параболическое изгибание используется при изготовлении металлических изделий в форме торсовых поверхностей. В процессе этого изгибания в изделии возникают внутренние усилия. С.Н. Кривошапко предложил использовать формулы Лява для определения изменения кривизн и кручения торсовой поверхности. Это позволило записать физические уравнения теории оболочек в виде

М^Эчкг, М2 = Б к2, # = А-= £ = О, где к\ = 0, к2 - главные кривизны торсовой поверхности.

Таким образом, задача определения внутренних изгибающих моментов сводится к отысканию главной кривизны к2 торсовой срединной поверхности.

В диссертации рассмотрено три численных примера отыскания внутренних изгибающих моментов, возникающих в процессе параболического изгибания тонкой упругой пластинки в соответствующую торсовую оболочку, например, в торсовую оболочку в форме резной поверхности Монжа, показанной на рис. 3.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ II ВЫВОДЫ

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссер-1ЦИОННОЙ работе, сводятся к следующему:

1. Получены уравнения линий пересечения торса-геликоида с однопарамет-ическими семействами плоскостей как в пространстве, так и на плоской ззвертке.

2. Получены уравнения линии пересечения торса-геликоида с круговым илиндром как в пространстве, так и на плоской развертке.

3. Система трех разрешающих обыкновенных дифференциальных равнений в перемещениях решена аналитически при помощи метода малого араметра. Получены в развернутом аналитическом виде векторные оэффициенты, входящие в первые три члена рядов разложения перемещений.

4. Предложен и реализован численно полуаналитический метод малого араметра, позволивший привлечь ЭВМ на более ранних этапах расчета.

Впервые с помощью этого метода построены соответствующие эпюры згибающих, крутяших моментов, нормальных и касательных усилий, еремещений для развертывающихся геликоидов, нагруженных поверхностной агрузкой типа собственного веса.

5. Построен вариант функционала Лагранжа для тонких и средней толщины пругих оболочек в форме резных линейчатых поверхностей Монжа, азирующийся на уточненной технической теории оболочек с учетом еформаций поперечного сдвига.

6. Разработан алгоритм и программа расчета оболочек в форме линейчатой юверхности Монжа вариационно-разностным методом.

Выполнены численные расчеты при различных граничных условиях и дана ¡ценка условий применимости безмоментной теории.

7. Впервые получены аналитические выражения для вычисления изгибаю-цих моментов, возникающих непосредственно от процесса параболического (згибания тонкой упругой пластинки в торсовую поверхность в форме резной [инейчатой поверхности Монжа.

Результаты исследований отражены в следующих публикациях:

1. Абдельсалям Мухамед Али. Построение разверток с линиями сечения торса-геликоида однопараметрическим семейством плоскостей. //Современные проблемы теории пластин, оболочек и вопросы проектирования гражданских и промышленных сооружений: Сб. науч. трудов. /Под ред. В .А. Копнова. - М.: РУДН, 1993. - вып. 2. - с. 122-124.

2. Абдельсалям Мухамед Али. К вопросу о построении разверток с линиями сечения торса-геликоида однопараметрическим семейством плоскостей. //Расчет и проектирование гражданских, промышленных и гидротехнических сооружений: Сб. науч. трудов. /Под ред. М.И. Ерхова. - М.: Биоконтроль, РУДН, 1994. - вып. 3. - с. 11-15.

3. Кривошапко С. Н., Абдельсалям Мухамед Али. К вопросу о применении метода малого параметра для расчета тонкой оболочки в форма длинного торса-геликоида. //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч. трудов. /Под ред. В.А. Копнова. - М.: МБК "Биоконтроль", 1994. - вып. 4. - с. 3-11.

4. Абдельсалям М. Али, Иванов A.C., Трушин С.И. Расчет оболочек в форме резных линейчатых поверхностей Монжа вариационно-разностным методом. //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвуз. сб. науч. трудов. В А. Копнова. - М.: МБК "Биоконтроль", 1994. -вып. 4. - с. 47-57.

5. Абдельсалям Мухамед Али. Применение вариационно-разностного метода для решения задач расчета тонких упругих оболочек в форме резных линейчатых поверхностей Монжа //10-я Зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. док. - Пермь: РАН, 1995. - с 3.

6. Абдельсалям Мухамед Али, Кривошапко С.Н. Моментная теория расчета тонких оболочек в форме торсов-геликоидов при помощи метода малого параметра //10-я Зимняя школа по механике сплошных сред: Тез. док. -Пермь: РАН, 1995. - с 4-5.

7. Абдельсалям Мухамед Али. Аналитически неизгибаемые торсовые поверхности //Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. Межвуз. сб. научных трудов /Под ред. С.Н. Кривошапко -Волгоград; Изд-во "Перемена", 1996. - Вып. 7. - с. 30-34.

Analysis of Thin Elastic Shells in the Shape of Developable Helicoids and its Parabolic Bending

This work touchcs upon geometric problems and strength analysis of the elastic shells in the shape of developable helicoids. The process of development of surfaces on plane and the intersection of these surfaces with planes Monge and cylinders are

considered.

For the investigation of stress-strain state the system of ordinary differential equations in displacements are received. For solution of problem analytic and numerical variants of perturbation method were used.

The efficient numerical procedures for analysis of the shells in the shape of Monge ruled surface are proposed. The formulation of the problem is based on a minimum principle of Lagrangia functional. The finite difference energy method of discretization is used for reducing the initial continuum problem to finite dimensional problem. Some numerical examples of analysis of shells with determining displacements and stresses are presented.

Investigation of parabolic bending of thin developable shells is also considered. For the shell in the form of Monge ruled surface bending moments are determined.