автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Регулярные математические модели систем с управлением: инвариантность, симметрии

РГБ ОД I 4 ЛВГ 1995

На правах ¡ч/ттмгм

ЯКОВНШО ГшшадиП Николаевич

регуляиш математические модели систем с управташш« шиишггаость, (жжгом

пь.013.10 - Тм>рптичвскиг» оонопм матемптического модолм|и)нв».пи, числитшн метода и комплексы нротрямч

лвтогтоерат

диссиртпчии но соискпнио учоной отигюпи доктора фюнко■мвтпмотичрсиих нмук

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических неук профессор Гусятников П.Б. доктор физико-математических наук профессор Дородницын В.А. доктор физико-математических наук профессор Хрусталев М.М.

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН.

на заседании диссертационного совета Д 002.32.05 при Вычислительном центре РАН по адрос.у: 117333, Москва, ул. Вавилова, д. 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке при Математическом институте РАН.

Защита состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш обусловливается широкой распространенностью природных и искуствэшшх процессов типа "вход-выход". Диссертационная робота посвящена исследованию математических моделей процессов этого типа: систем дифференциальных уравнений ±=Ф(£ ,х,и) - управляемых систем. Входим воздействием является измеримая функция и(£), на значения которой наложено ограничение: ши, выходом - частное х(1) или общее х{г,хо) решение системы. Необходимость привлечения регулярных в том или илом смысле математических моделей объясняется тем, что управляемые системы нерегулярны по своей природе. В систому с управлением можно "впрячь" ±=и<р>({.д:)+(1-и)<р2(1.х) две системы x=^pll(t.x) и ±=<ргЦ,х) с существенно различными свойствами . При к=1 - одна система, при и=0 -другая, при и* I, ««О - "гибрид", 1фи и(1) - множостпо систем дифференциальных урввнвтй функциональной мощности, причем свойства систем могут резко отличаться. Известно, например, что укало переключаясь с одной неустойчивой системы на другую, также неустойчивую, можно создать третью систему - устойчивую. В работе внимание сосредоточено не на различиях мовду системами, а, напротив, на свойствах, которые присущи всем дифференциачькым уравнениям, полученным из уравнений управляемой системы подстановкой в Ш5 различных допустимых управлений иЦ): общие первые интегралы, общие инвариантные функционалы, общие группы симметрия а т.д. Введенное в работе понятие! регулярности дает возможность вычислять упомянутые объекты, опираясь на конечное число систем дифференциальных уравнений, определенным образом связанных с уравнениями системы с управлением.

В работе исследуется твкжэ следующая . актуальная проблема математического моделирования: адекватность модели реальному процессу. Обсуздчется следущий аспект этой проблемы: создание то-изстна и равной мере адекватных моделей и выбор из этого шояэет -ну той модоли, которая удобна для решения, конкретной задача. Одно га таких множеств одинаково адекватных моделей - класс .эквивалентности, состоящий да систем, связанных неособенными - возможно нолинойлыми - заменами пнромагошх состояния. На основа теоретако-групповых свойств, инвариантных относительно закон переменных.

решается коирос о наличии в классе систем с особыми свойствами:

ЛИНВЙН11МИ, бЛОЧНЫМЙ, ИернрХИЧВСКИМИ И Т.Д. ОбСуЗДаеТСИ ТаКЖе во П{юс о вычислении замени переменных, иирь»вод>ии,с»Й одну систему из класса аквивалентности в другую и решающую задичу декомпозиции той или иной глубшш. Для достаточно широкого подкласса рогу лир НиХ СИСТОМ классу ОКВИВаЛОНТНОСТИ, Определенному ВЫ1№, ставится в взаимно однозначное соответствие модель, ужатая до "долы«« пеку да": множество допустимых управлений и и набор чисел С1 - структурных постоянных грушш, связанной с системами класса. На основ«» в той модели решаются инвариантным вощюсы о количестве стационарных и нестационарных интегралов в интегральном базиса, о наличии особых участков в оптимальном управлении и т.д. Исследован вощкх: об аквивалентности дифференциальной х=<(Ц,х,и) и коночной ,1') №(•.) - функция) моделей, т.е. существует ли такой оператор К, согласумциЯ входи: и(£) -К(и(£)), и(£ )=К )). что выхода г(« ) у систем при любых начальных состояниях совпадлот. Выделен подкласс регулярных систем, для которых ответ положите лен, т.е. соответствующий реальный процесс возможно адекватно модели^вать дифференциальной или конечной системами.

Целями работы шшштся:

/у]я математических диИеренциальннх моделей управляемых П{х>цес -сов введение понятия регулярности, охватынамцего достаточно и1и;ю-кий класс систем;

- сопоставление динамическим щкм^с.спм т»«>|хчтнк<>~пу ¡шоних и ко • печных моделей;

- изучение ни основе введенных моделей различных аюЯств динамических щкщвссоп, в о(ч)бенности тех овиЯств, которые не минимгсн при заменах переменных:' управляемость, иннвршштнооть. возможность пиаром надменных придать системе специальный вид, количе -ство пнрамет{к>н в допускаемой группе и ее структура и т.д.

Методы исследования определяя/ген оеливи' в работе математической. моделью управляемого процесса - .г~ ф(£.. 1,и), и^и, - и три -буют применения общей теории дифференциальных уравнений, теории локальных групп и алгебр Ли, методов группового анализа ди.1ф>рен-цивлышх ураыияый, основных положений аналитической механики, отчасти, дшмйренциально-гйометричесжп'о взгляда на обч-ект. Несмотря на активное использование конструкций общей алгебры.

- b -

вследствие локальности всех построений основным языком в работе является язык математического анализа. Для замкнутости изложения н нерпой вспомогательной главо приведена информация о группах преобразований к соответствуй!',их им алгебрах Ли, о линейных системах дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, о группах, допускаемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, о взаимосвязи мовду симчзтриями в уравнениях Гамильтона и первыми интегралами.

Научная новизна. Для математических моделей .r=<p(t,х,и), iMJ, процессов с управлением введено оригинальное определение регулярности и показана конструктивность введенного понятая. В частости, задача нахождения первых интегралов и задача построения инвариантных функционалов сводится к решошш систем, состоящих из коночного числа дифференциальных уравнения, по зависящих от управлений.

Значительная часть диссертационной работы посвящена екммзт-риям в системах с; управлением и написано на основе пионерских работ автора по этому вопросу.

Теоретическая н практическая значимость работы состоит п том, что в ней раскрываются новно грани проблемы "динпмическиЛ процесс типа "вход-выход" и его математическая модель". Наряд/ с традиционной моделью - даффорэнциальшм уравнением - без снижения уровня адекватности введены л изучат : конечная, (без производных) связь между входом и выходом; теоретико-групповая шдель, в которой динамику састоми полностью определяет набор чисел - структурные ПОСТОЯННЫЙ некоторой группы. МНОГОЧИСЛвШШв lipWMftpH (более ТСО стр. текста) подтверждает работоспособность введенных понятий и «налитических алгоритмов, в том числе, и для нрягтппо?ги интересных процессов. В частности, подробна обсуждена .гошойчяя пеяп-тошмяая система, к которой сводится задаче управления в окрестности опорного движения. Изучены с точки зрения вычисления групп симметрия и декомпозиции уравнения продольного движения летательного аппарата в атмосфере.

Апробация работа и публикация. В остова дяссертациотюй работы -- публикации автора [I - 431. Из соямпстних публикация П -4, ?,5, 26, 431 в работе иснользовтш только те результаты, кото рые принадлежат автору. Результаты работы докладывались и облук-

дались на различных научных собраниях - от научных соминаров кя~ теоретической механики МФТИ, на которой автор имеет честь работать нею спою сознательную жизнь, до мевдународних конференций -- и опубликованы в сборниках тезисов [25 - 431. По тем!» диссертации в 90-й года для студентов, аспирантов и сотрудников читались циклы лекций: в ШТК, в Иркутском университета, Киевском политехническом институте, Новосибирском электротехническом институте и др.

Объём и структура работы.. Диссертационная работа изложена на 395 машинописных столиц. Библиография содержит 98 наимоноинний.

Структуру работы характеризует

ОГЛАВЛЕНИЕ

введение.................................................................................4

ГЛАВА I. ЗСШЮГАТЕЛЫШ СТЕЧЕНИЯ КЗ ТЕОРИИ.................

локашкх групп ли..................................................................27

5 Т. Основные понятия теории груш преобразования..............27

§ 2. Одаоиараметркчвсюге группы преобразования....................31

5 3. Полные системы..........................................................................Зв

§ 4. Многопараметричвскив группы преобразований..................47

5 5. Группы, допускаемые системами обыкновенных........

даМ^ренциальных уравнения..................................................74

§ S. Симметрии в уравнениях Гамильтона..................

и первые интегралы..................................................................82

ГЛАВА II. РЕГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ С УПРАВЛЕНИЕМ....................................92

§ 7. Определение регулярной систем«.....................

Проверка на регулярность......................................................93

5 в. Первые интегралы. Управляемость........................................I0G

5 9. Примеры регулярных систем....................................................115

ГЛАВА III. ШВЛГИАНТНОСТЬ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТШ.................

относител1>к0 впешйх возмущений....................................144

510. Определения инвариантности..................................................144

511. Критерии инвариантности........................................................150

§12. Синтез инвариантных систем..................................................IG4

513. Примири инвариантных систем................................................172

ГЛАВА IV. СЖУЕТОТ ПО СОСТОЯНИЮ В РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМАХ............203

514. Определение. Условия для симметрия по состоянию________203

JI5. Симметрии но состоянии при отсутствии..............

первых интегралов....................................................................224

516. Примеры вычисления симметрия но состоянию....................241".

ГЛАВА V. системы С ПРОСТО ТРАКТОВКОЙ ГРУППОЙ..............

СИШ7ГЙЙ ПО С00Т0Я1Г/Ю (L-C'/CTiMU).................

§17. Определения. Приведет«« к Ъ-систнмам. Примири............202

5Т8. 'Инвариантное моделирование................................................201

§ТЯ. Фундаментальная система рошетай....................

Коньчнмв модели........................................................................307

§20. Тооретико-групловяя декомпозиция......................................321

521. Пврвн«.« иптигрйш в »«висимоста от ограничений......

ни упр/ншшно.................................................330

ГЛАПА VI. Ш070РНЕ ЗАДАЧИ ТЕОШ УП?АВЛК!Г/Л................................34Т

'■Г,2. Слтичяльное уjipiH.iji.-fjiHfi: ynposswrar» ОДяимягаа.......

щкициии ммкоичумч Л.С.Поитрягина,.................

«к oöut« управлении....................................................................3-12

5?.3. тбяльнсст!. регулярных систем с упргнишниом................352

5?.4. ТЧчмжи« додячя управляемости с привлечением........

i'jiyuu симметрия рваного тяш>..............................................3RI

ПЛК-ТОЧТ-ЗГ/К.......................................................................зяо

Литеретурч....................................................................................................3R5

КРАТКОЕ СОДШМШ РА1Х/ГЫ С целью и.ун/к.-п'ь оочовну» суть работы и в , соотвьтствии с них^Я в иоел«луи<91М тексте по срнтюнив с большой

ф )['«'■'Я - Д,|<Тй[1ТН!даЯ - ослнбмчш строгость определений И утперх-д«'Н«а, Т) рнФгс щшяги стикишн ну моря ция яирагрьЬоп. в<:ж<лсттю чего, м«.-!1чршх, номера формул, г,п|«»д&лоИий, теорем, »римвро» в д,«ч;орт1)!1«я нечин.'оУгсл с номера п.чрнгры;.1'!, ao-B'ivipiix, ссылка да-Ä'»f> Д;-егГ|:>1 Ни НИ гляву, ii НЯ НПрЯГрЬф. Нумерицчл ^«»рмул н ееторе-.Ji'ip:-iTn lie eiiiie.'iüH с нумерацией (¡ормул и диссортяцаи.

Регулярность и денной работе ионимм^гся и еле думаем ечшую. PiH:cMnTi».n!>!i<Trtfl системе с управлением

i -.;•(/,,.Т.Ii), , (1 )

•J.y»4'.i'.iojuj»»M.-i:r.ii« Kw>j»il онр»д.»ляг.¥ся прешм.) чмгмчз «ujotuww

AA|iI<.ji><H;nbJi'«inx и ЧЧ'■:(,№<]и донустимнх ¡жачоонЯ ли«

управления п. Предполагается, что множество U позволяет создать по крайней море две разные правые части у системы (Т). Системе соответствует оператор полного дифференцирования по независимой переменной t (временч)

X(u) = + Г <pl(£..x,u)2-v , (?.)

i =I ö Xх

который рассматривается как семейство операторов, параметризованное допустимыми управлениями u*-.U. При фиксированных значениях переменных i, х в атом семействе выделяется базис, т.е. и (2)

подставляются такие допустимые управления ии, и%..... и^, что

операторы

X, = L- 4 Zy lt.aJ-OTp , (3)

' UL t^t > дх

где (l ,.г)-ф1 (i ,x,ut), линейно ннсвйаыш - ранг матриц, составленной из ковфф.идоентов, равен р+I, а подстановка в (?) ла>бого ДРУ1ЧМЧ) допустим<>го управления приводит к оператору, который' ли нвйно связанно выражается через операторы Хо. Xt.....Х^:

X(u) - Е Г'(С,х,и)Х . (А)

1 *«

Множество оператора (3) названо в §7 В-сястеиой. Дпмыи система

онерато;к)в X , X ..... X пополнив тел (§3): дд>| каждой пары ви-

числяетси коммутатор; если он независим от «шряторон, принадлежащих системе, то добаш^втон к ней, если же зависим, - отбрасывается. Процедура повторяется до тех пор, пока на очередном наго все вновь вычисленные оиератори не будут отброшены. Полная система, состоящая ил В системы (3) и операторов

X ¿-f'(ia')-— . J(---'p+l"7m , (Г>)

i .. dz'

вычисливших в в^цеосе пополнения, соде{;жит не 6oj.eu чем (п»Т) одоратор, fiti.i)i му в кавдой точке t, х (цхцедурн наполнения к;..м>ч на. Ocmoitymiocn. onojwTopo« (3), (5) названа в §7 К-систвиоЯ.

Система (1) называется регулярной (57) в области, 'принадле-%ч«1(1Й пространству {время £ - состояние х), если в каждой точка .г области: Т.один и тот же набор постоянных допустимых управления ио.....и выделяет В-систему (3); 2.одна и та же последовательность коммутаторов приводит к Р-система X , X..... X ,

X ^ .....X.

Определений регулярности, а также все дальнейшие определения, утверждения, построения - локальны: справедлива в некоторой области пространства {время ( - состояние г).

Построенные В- и ?-систеш состоят та конечного количества операторов и, вообще говоря, но исчерпывают информацию о регулярной оистима (I). Но о многих важных свойствах системы (I) по В- и Р--системам можно судить. Например, первые интеграл» тЦ ,х) - фикции, сохраняющиеся на решениях ¿(1). «(/), - удовлетворяют систем!» Хи^-О. .ЬТХТга, где - операторы (3), (5) (58). Количество первых интегралов в интегральном базисе равно разности п-ш между размерностью п системы (I) и числом т, определяющим количество операторов (3), (5) в Р-систвмв, По Р-сиотомо «троится .также состоящая на конечного количества операторов Расистам» (57), при исмнзи которой находятся стационарный первые интегралы ш(х). Рас-шщютто призеры локазняавт конструктивность исследования конк-]х>танх систем на регулярность и на наличие тотримиаимшх первых интегралов (§9). Для линейной неавтономной систем!

х -- А{1)х + Т>(Пи + о(П. • хЖ, ы^ИсП1 .

подробно рассмотрен путь построения для яеВ интегрального базиса первых интегралов (пример 9.1). Вопрос сводится к вычислении матрицы фундаментальная решений некоторой линейной системы без управления. обсухлот так»» в общем виде линейная по управления) ■ )>№и;тая - система (пример 9.0)

.г1 <|£(М) + ¿иУ((,.х). .

1 1

Для рагулирчнх систем тесно связаны воирос о инрвнх интегралах и проблем« инвариантности относительно внешних воэчущптой. Расс»*>трена тжнришггность в сладу мчи х четырех смцслпх (более строго определения приведет! в §10).

1. Система.(I) слабо ®(1,х)-инварпантаа при t=T, если доя любой точки to, хо функционал Ф(Т,х(Т)) принимает одно и то же значение для всех траекторий х ( £ ), проходяа[их через точку fo, xt>.

2. Система (I) сильно $(t,x)-инвариантна, если она слабо ФЦ,£)-инвариантна при любом значении Т.

3. Система (I) слабо 0(t,х)-инвариантна на поверхности M(t,x)=0, если для любой точки io, хп функционал ®(tM,x(iM)) в момент £м пересечения траектории х{1) с поверхностью М(£,х)=0 принимает одао и то же значение для всех траекторий z(î), преходящих через точку ta, х0.

4. Система (I) сильно ®(t,x)-инвариантна на семействе поверхностей M(t,i)=c, если она слабо Ф(£) -ишшрйантня на поверхности M(t,z)-c=0 при 'любом фиксированном значении с.

Дня построения уравнений, которые связывают систему (I) с Функциями Ф(1,х) и M(t,x), участвующими в определениях 1-4, на основе ?-системы (3), (5) строится также полная i-система (§7): X —а -X ,. -., X ---X -X,, X =Х ,..., X =Х . Показывается (тао-

I 1 оr р р О p«-i р-и * 9 m m

рема ИЛ), что общее решение системы

\Ф = £ = 0, 1=ГГш , (S)

V-» дх

шеет вид

<5>(t,x) = Fa,«*».*).....uT-mit,x)) , (7)

где iif(t,x).....tiT~m(î,x) - интегральный базис первых интегралов

система (I), ? - произвольная функция. Доказывается (теорема II.3 и следствие из нее), что система (I) сильно Ф(£,а;)~инвп- риантна тогда и только тогда, когда функция <Шудовлетворяет системе (S), т.е. представима в виде (7). Система (I) слабо Ф(1,д:)-инварийЕтна при t=ï тогда и только тогда, когда функция Ф(Т,.т) удовлетворяет системе (в (6) подставлено t=T)

£й(Т,г)Й£ = 0, 1«Т7ш. t»i дх

и когда найдется первый интеграл w(t,x), с которым функция 'V(t,x) связным формулой Ъ(У,х)=ю(Т,х) _ (теорема II.2 и следствие из нее).

- и -

Инвариантности в смысле определений 3, 4 сводятся к определениям Т, 2 переходом в системе (I) к новым церемонным

£ « М(£,х), 2 - 2(*.х) ,

п результате чего условие М(£,х)=0 сводится к £=Т==0, М(г,х)=с - к £=Т, Т - любое число. Формулировка условий и возврат к исходным переменным приводит к следующим результатам.

Система (I) сильно Ф(£ ,х)-шшариантна на семейство поверхностей )4{1,х)~с тогда и только тогда, когда Функция Ф {£, .г) удовлетворяет системе

=. { {Хои)\ - (\то )Ф = '

(8)

+ £ <р' (£,,£)— =0. К=Г7ш " 81 .к Я а:1

(Хи,..., Хт - операторы (3), (5) ?-системы), общее решение которой имеет вид

4>а,х) = ?0Щ.х)Ми.х).....пР~т(1,х)) .

где 1,'""г"(£,.х) - интегральный базис первых интегралов

системы (I) (теорема ТГ.4 и следствие из нее).

Система (1) слабо Ф(£, ¡с)-инвариантна на поверхности (£ тогда и только тогда, когда функция Ф(£,,г) удовлетворяет система

® =

+

ы ( I , * > -- о О £

» 0, к=ХТга

м< I > »о Ох

(операторы X определены в формуле (8)), и когда существует первый интеграл !<>(£»£) системы, с которым Функция Ф(£,х) связана («¡едущим образом

^ ■ |ма.х)-о ч > / [ма.кич?

(тоорема ТТ.5 и следствие из неб).

Как исказивши? приведенные результаты, для того, чтобы система (I) была нетривиально инвариантна в смысле одного из определений I - 4, необходимо и достаточно наличие у системы нетривиального первого интеграла. Это обстоятельство, во-первых, присудит к выводу, что инвариантность и управляемость взаимно исключающие друг друх'а свойства, во-вторых, открывает возможности для синтеза инвариантных систом.

Под синтезом понимается такой выбор 1>(Ч,а,и) дополнительных переменных в регулярной система

х = <р(1 ,х,и,и), :ЫГ, и«и<ЛГ, и^К* . (Г))

чтобы система стала инвариантной в смысле одного из ощюдалений Т - 4 (51?.). Выбор функций о1(1,х,и), 1-ЛТа, основан на непуст.>го у с.истеми (9) интегрального базис» первых интегралов: при некото^юй функции «>(£.1) должно быть справедливо уравнение

- 2 , 0 , (10) I » I Ох

кото]м.1 можно» рассматривать, как алгебраическое уравнение дня нахождения синтезирующих функций 1 (услжие (ТО)

сх<>же с условиями, приведенными в "Хрусталем М.М. Ниобходиман и достаточные условия слабой инвариантности//Автиматика и телемеханика, "НКО, % 4. 0.Г7-2?,.") Каждом определение I - 4 накладывает определенные условия на ьходлций в (ТО) верный интеграл и»(4 ,х). .Учет »тих условий приводит для определений Т - 4 к алгебраическим у]шшенияш, кото)«м дол.ины удовлетворить функции i>(1,У,Х1) (Ф И М - функции, учнствупцие в определениях):

0Ф

т. £ ( —' 4 ( I - Т Ьр' (Г .л.и.и) + И * (I

. - . Яд.' Ох"

& (а)Л>(Т,х), Н(£,х) - п]Х)Извол1>ная Функция;

о д/ " ,„ „. А 0/ 0 Г г'Ф п

1 - » С/1.

/(£,<!•) - произвольная Функция;

П

3. Е { + ^ПГ I- М<Ш Ьри.х.п.о) +- М^ « 0 ,

I -« !)х Ох Ох

>)_(>, Н(£,.1) - произвольная функция; , ^ , <•)/ лм ^ о г оа> „ „ „. л г пи ^ ог я Ф п

/(К,Ф) - произвольная Функция.

На примерах покапана оЭДоктивность приведенных построений для исследования конкретных систем на инвариантность (5ТЗ). Подробно рассмотри»»! линейная нестационарная система

х = КЦ)х + Ь(£)и + с (О + V, , ЫГ ,

у кото[юй кнОором функций иЦ,х,и) предусмотрена возможность синтезировать инвариантность. Синтез проведен дня каждого из определений 1-4. Особо обращено внимание на возможность синтеза и{1,х) без измерения возмущений и(£).

Своеобразным по српшмгап с систомйми без управлений является для регулярных систем вопрос о допускаемых группах. Система АлфЬзронциплышх уравнений в нормальной форма ¿> <{»((,х) пваимио. однозначно связана со своим об8(им реш&пи&м , £ ,ха). Поэтому симметрию можно эквивалентно определить или как- преобразование х » х , не меняющее вид урапн&шга или - сохраняющие

соткупносчъ рвманиЯ , £0 ). • Неоднозначность тродятчмя

симмитрйи в систем» С уЯр8Ш!0нивм (I) спязйн» с Тем, что СИСТОМи можно но резному ставить в соответствие совокупности р*м«чий (514), например, как совокушюсть интегральных воронок: шда«« точек, дпстшкимих из (£с>, Хо) за некоторое время 1-!о- В работе в качестве онроднлшига счмметрим - симметрии по состояний - 'принимается ¡греобразова)гае ¡таремэшш состояния х~х(£ ,:с), вид прав1« частой снстеич, т.о. в нотк церемонных »¡ястнма (Г) ириобрстает гад

•{у - уЦ.х.и)

Основным объектом изучения являются однопараметрическио группы симметрий по состоянию (допускаемые группы)

х = (II)

для которых многие вопросы ревюптся на уровне инфшштезималышх операторов

- операторов симметрия. Доказывается (теорема 14.1), что регулярная система (I) допускает грушу симметрия по состоянию (II) тогда и только тогда, когда справедливы уравнения

[^Д! = 0, к=0Тш . У/ = 0 . 3=07р , (13)

где X. - операторн (3), (5) Р-системы, - функции в линейной связи (4), У - оператор (12) группы (II), Г-,-1 - коммутатор. Подробная запись уравнений (13) приводит к системе однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка для ко-«.¡Фшцентов У) оператора (12) (следствие I из теоремы 14.1). Итерационная процедура сводит вопрос о нахождении всех коэффициентов

ц операторов симметрия к поиску решений П (£, х,т]*.....т]4) полной

системы

= V' + £ а.*)"— = 0, а=ОТш. 1-и , (14)

1.1«« дц

где , а^ПТт. - операторы (3), (5) ?~системы, ,2.) - некоторые функции, и к независимым связям

= £ 1=(рТ7п , (15)

I»»

между переменными г)1.....т/'. Если в (14) и (15) 1=0, то единственным решыш-м является 1}'=0. ]-Т7гГ, что соответствует группе 5=0!, т.е. единственное преобразование симметрии - тождественное. Если то у полной системы (14) существует ч решений

-п^а.х)...., а^г 7)^(1,1), (1ег|£(1.х)|-о . его

111 I*<

н» основе которых строится общее решение для функций г]1.....ч'1

где - произвольные перни в интеграла системы (I). Коэ№<--

циенты Т)4*4 (£ ,:г),..., 1)"(I ,,х) определяются соотношением (15). Окончательно вопрос о нахождения групп симметрия решает следукциЯ результат (теорема 14.2): совокупность кожИмциентов операторов (12), соответствующих однопаряметркческим группам симметрия по состоянию (ТТ), имеет вид

| ч | ^ I

Т) = Е (1,1), гяпк|т£и,х)| = q, 3=Г,п, (р?п, (17)

V а 4

где ш'((,:г).....ш''(С ,х) - нриивольнне парша интогрялн систем!

(I), а для вычисления алиментов матрицы (£| используются ремонт! (16) полной систем! (14) и конечное ''оотношение (ТГ>). Тегско кяк у систем боз управления, совокушюсть опврпто|юв сим-метрий (12) - алгебра Ли, обозначенная в 514 : линейная комбинация и коммутатор операторов симметрия - оператор симметрия (теорема 14.3).

В отличие от систем обыкновенных диЭДлронцинлышх уравнений, у которых мноюотпо операторов симметрия всегда имеет функциональную мощность (теорема 5.2), у системы с управлением (I) воз-»аш равннв ситуации. Если в соотношениях (14) и (Т5) с;-0, то единственное преобразование симметрии: %-х. Если же для ч выполняется то ситуация определяется наличием или отсутствием у системы (Т) нетривкалышх первых интегралов. Скучай, когд.)

интигрлльний бееис первых интегралов к^ ____ уР^Ц.х)

непуст, соответствует Функциональной мощгоотя множества операторов симметрия: функции ш (I,х) в фо|<мул» (Т7) имеьп1 вид .....ьГ~"Ц,х)), где (■.....■) - произвольны« функции.

Определения $1егулярной системы требует локализовать рассмотрение н области пространства ¡f" [t ,х) - (n+1')-мерной совокупности точек- При наличии нетривиальных первых интегралов свойства системы можно изучать на инвариантных поверхностях и> (t ,л)~с1, на каждой поверхности система (I) индуцирует свою систему с управлением. Как показывает пример 16.I, системы на разных инвариантных поверхностях могут существенно отличиться своими свойствами, в том числе и с точки зрения симметрия но состоянии.

Из формулы (17) следует, что при пустоте интегрального базиса первых интегралов системы (I) мно*&клч» коэффициентов i¡(t,:r} операторов симметрия определяется формулой

i 4 i , i

i| - Ei((1,i)í!, rank|r¿ (i,.r)j = q, l=T,r¡, q-;n , (ТВ) i. * *

где Функции i¡'(í,.r) - результат конкретных вычислений, с - П[м-извольные постоянны«. Из формулы (18) слодуот, что алгебра А операторов симметрия по состоянии (12) - конечномерная алгмбра Ли с базисом

\ " !-Т ,о . ÍT5»)

Ох

Прячем размерность q алгебры не превышай! размерности n iij» »стран -о.тва состояний. Так как коммутаторы онер»т< .i >>в У т>мои» операторы симметрия, в силу формулы (ТО) справедливы равенства

(y л ] -» £ (г y l.j-t.-q , (йп)

> ■»

где числа 0" - структурные постоянные ((-мерной алгебр» ;ы и ({-параметрической группы симмитрий но состоянии

X -- í(t,x,'0. i-Ч" . (-'о)

которая ivvr.o/гниявАйваетси кооператорам П'.)) (5¡).

В ;»ТОМ случае - При отсутствии НОТриеиалг.НЫХ Первых интегра лов - рассмотрена независимая от o6k?íjv случая процедура выиела пия но;^||ициомтов операторов симметрия (515). Пр"Чедура ев..дитси

к решению тюлю интегрируемой системы дифференцмлчшх урнн.чонич » частных произподгшх первого порядка, разрешенных отшччпч<лы:.> производных (теорема 15.2).

У регулярных систем (Т) с- нетривиальной «шч<Л{к>1& <;и«"»триИ А (с)1тА к!) цвлопйпряшмшоа заменой церемонных д.ХПпч.см

декомпозиции «шинельного вида. Докапывяется (тг«о|*>М!) 15.3), что регулярная система (I) допускает ^-парамотрачпекум группу сиччот-рий по состоянию (21) ((¡<п) п том 15 только в тем случае, если дшИ«омо{ф«змом х -—«• у, г систему (I) можно да»комгь:»и|хи»« ть, именно придать вид

- Ф' (£.>/.»). ' -г;п• 'I. (

- :': -¡С (••)г>(1,ц.и). кт,ч . ("•:>

I а I

причем для адамантов (я) княдр.'<тной матрицы (я){ 1<ии"лии««тс!»

"О, (21)

С 7, .7, ! _ £ СУ 7. . 1..1 -ТГч . (;:Г.) где пб< .значено

■■■ • . 1 т.ч . ' с/я)

V -- > 0

Ч.«У!Я <!( / <-'">Н№|Д,'!»1Т СИ) структурнимя ¡«>С1\-1НН|(ИМЯ Групгш <-Им'.1>гП;.1.', л с^-отвитствут-ед Лм (см. (20)). Ячяаи« структу грушш

- «П»ли1*к:ть, ННСЯ'МЧ ГК>Д1'рУПЛ И Т.Д. - Д)|«1Т 1Ч.'-.М.)ЯЬСГ|> углуЛцТЬ

док«чл,|- .з;»ци-1<: нридять мптрици а (23) ь'лд г. тот

или ¡ш> -м ('М!)1'.1.н (530). До:«л»ит»ш,стт •к«>[ч'»ми 15.3 солорг„»т пут.. )юст|»»«..|дч »«-манн переменных х -*—•■ >/. ■/.'. операторам г.мту. й (!'.') придаете.)! влд

V , ^ ОЧг)'!--, ЬПЧ. ¿-К'4 • (/'.7)

На пряморях показана работоспособность вычислительных процедур для нахождения груш симметрия, приведения системы (I) к декомпозированному виду (22), (23) (5Т6) и дальнейшей декомпозиции матрицы |<<\(2)| (520). В частности, подробно рассмотрены уравнения продольного движения летательного аппарата в атмосфере (пример Г6.3).

Отличаются системы с управлением и без управления совокупностями преобразований сдвига вдоль своих решений. У системы обык-ноканных дифференциальных уравнений эта совокупность - однолара-метричвская группа. Для общего решения системы (I), в которое подставлено допустимое управление и(I), вводам обозначение

Каждой паро (u(t), s) соответствует преобразовала to, xit ••—► to*a, Ь t; Cto,xo,ö,) пространства (время t - состояние х). Так как для множества допустимых управлений и(£) характерна функциональная мощность, то совокупность сдвигов вдоль решений системы с управлением в типичной ситуации выходит за рамки любой конечно-параметрической группы. Существует класс систем - групповых, -для которых, несмотря на функциональную моиуюсть множества нар (u(t), з), совокупность преобразований хо ■«—► b i (tu ,xti,a) включается и коиечнопарамотричоскую группу (§17). Групповые системы имеют вид

х = h (t ,х ,t-t ) .

u<t> s О* О О '

£ 'tfi-zV, k-TTn ,

(28)

и для функций ф, (.г) выполнены условия

Х'шА(ф^(х)| = min(n,r), { Z uL<p*(i) - 0. с1 conat ) - ( с1 = 0, 1=ТТг >

(29)

(30)

fX Д 1 * Е^х,, 0" = conat, 1, ЛД-Г7г, (31)

v* ) i | k ' I )

гда обозначено

X. = £ (.г)— , j=T7r . (32)

Известно, что при выполнения условий (29) - (31) решения системы (2в) с постоянными и1 - однопарамотрачвскив подеруrrnu г-пчрамвт-рической группы

х = .....JT'V'...... (33)

которая вычисляется по операторам (32) (§4). Группе (33) и принадлежат все преобразования сдвига вдоль решений спстми (I) (теорема 17.3). Соответствие между парой (u(t ), э> и набором парамат^п \f в гругте (?>3) наводит вполне определенная система уравнений

= S <ç\(v)u>(t), uk(t0) = 0, k=T,r , (34)

>

в которую подставлен представитель пари u(i): решение v(t) определяет требуеммЯ набор параметров v=v(tn+3) в группе.

Групповая система (2в) л группа (33) представляют два класса систем тина "вход - выход": дифференциальные - вход п (28) u(i), выход jt(î); ттчта - вход в (,33) i;(i), выход/(î). Систему (28) и (33) эквивалентны в смысле существования такого оператора К, работящего независимо от начального состояния , что при согласовании входов w(i)=Ki«(t)), ii(.t)-tCl(v(t )}, выхода х ( t ) у систем при любых начальных состояниях совпадают (JI9). Голь оператора К играет система (34): К - решение v(t) системы дифференциальных уравнений, КГ4 - решение вягебрйичвской системы (detip'iu.KJ}. Доказывается, что при естественных условиях, наложенных На дифференциальную и конечную системы, справедганзо обратное утверждение: из факта 'эквивалентности следует вид (28) дифференциальной сяств-т и свойства (29) - (31) (теорема 19.2). Групповые системы обладают фундаментальной системой решений в более широком, чем принято, смысле (теорема 19.I): подстановка лмбохх) решения «({) енотами (34) в формулу

X * х(с*.....on,v1(t).....«'(О).

(К)('Т|м и НН ОСПОНе УрмВЧ^чч^* тпмгггпгц /'<\ питюпиииыр гкЛщас» (мидош* системы (фушсцал и (28) »1 (3-1) совпаду*«1).

Система (28) имеет ярко ьыраженную групповую природу, но ео группа симметрия может свестись к тождественному преобразованию (пример 16.2). Особоа место в классе групповых систем занимают системы - Ь-систеии - с квадратной матрицей {ф^(:г){ в правой чести (2в), т.е. систем;

* ■= ЕФ^Х;"1, ««и, к=ттп , (35)

I тз 1

для которых справедливо

гх .XI = Е с'х, и=Т7п , (37)

1 к«« '

где обозначено

Е

к = * Ох

(38)

Ь-системн, г: одной стороны грунповш», поэтому совокупность сдгигов вдоль решений - просто транзитивная группа (в (33) г---п); с .Другой стороны, имеит вид (22), (23) (неремииные у и система (22) отсутстар«1, в (23) г-х, /-и1, условия (24), (25) выполнены «следствия (36), (37)), поэтому Ь-сис.тема (35) доиускнет щккл'О транзитному») группу симметрия ш> состоянии (теорем» 15.3)

х '?(£ ..гг*......г",а*

(39)

о операторами

11:1:

ск'

!,.; т;г, .

(40)

Структур» обоих групп (33) и (ЗЭ) совпадают, т.о. услонин (37) и аналогичное условно для операторов (40) выполняются с одинаковыми постояшшми Две преобразования из разных групп (33) и (39) перестлновочнн. Оказывается, что кажду» групповуо системы (28) можно без потери mijoрмагцги привести к Ъ-еистнкв. При юг существует замена переменных Х*.....тГ •«—► z ,____ z, vî,..., пГ~г,

приводящая групповую системы (28) к вида

i»»

it1 =■ 0, 1=1 , n-г ,

1'до уравнения для л ~ L-системо (теорема 17.4). При п<г добавле нием к (28) уравнений

á"" = ¿ '<\"(x)ul. 1=ГТТ^п , (-il)

i = i

можно добиться тото, что расширешюя система (28), (41) -Т.-система с теми же структурными постоянными 0k , что и п (31) (теорема 17.5).

Примеры показывают, что роалыше процессы модулируются "осколками" Tf-систом. "Осколочность" возникает, во-первих, из-ан отсутствия у групповой сис.томн t/Я) дополняй^ х уравнения (41),

во-вторнх, из-за того, что некоторые из yirpaiwnmtt и',____ и"

равны нули, вслвдстнии чего в уравнениях олущенн соответствующие .етим управлениям функции <р'(х) и опущен» часть опарнторов (32) или (ЗЛ), Для реконструкции Ь-систома потешсляльный "осколок" коммутированием имемпдхся операторов дож>дитея до групповой системы (процедура не всегда оканчивается за конечное число шагов), которая при помола теорем 17,4 и 17.5 пригодится к Ь-еистеме. Так лин«ан»я аитономнан система i-/u>Bu - групповая, ей соотий-гствуот Ъ-система

Í ' ■ t П • ' и' '

X . Лг К . В и ,

с постоянными в (37) (нумерация операторов начинается с номера ноль):

О

1,к=ТТп .

(43)

- здесь и далее приводятся только ненулевые постоянные (Ук при 3<к. Управляемое движение с сопротивлением пропорциональным квадрату скорости тз=иЦ)-р(э}2 реконструируется сначала до групповой системы

2х О 2

. т.с

а затем до 3-;мрноЯ Ь-системы

' X '

У -

. 2 .

1 2х О 2 О О

Сх) 2х

2х еу

(44)

Г ы*

2

и

а

. и .

(45)

В (44) и (45) обозначено: ' х=пв, у=-2зр/т, и1 -и(!), и*-0, и*—р/(и)2. Для систем (44) и (45) равааства (31) и (37) выполняются с постоянными

С.

2.

С . - I.

с; = г

(46)

Погружение В Ь-систему полезно, в частности, тем, что количество параметров в группе симметрии сравнивается с размерностью пространства состояний. Промежуточная система (44) допускает однопара-мэтрическую группу симметрия у-у+'с, а Ь-сястема (45) - трехгшра-метрическую:

х »-

х + т, (еу~ хя) ) ^"тГё

!/ + Т3 - 2 1П(1

► {•»О

4,2)

(47)

г (е'

- 1.1г) +

Т

1» 2

Из гругшы (47) можно извлечь, например, следующую пользу: найденное частное решений системы (45) при конкретных функциях и (I)

группе (47) "тиражирует" н общоо роконка - роль произвольных постоянных играют параметры г .

Принадлежность регулярной системы к классу Ь-систом выдергивает переход к другим переменным (518). Доказывается (теорема 18.1), что дою Ь-системн удовлетворяют условиям (36), (37) с одинаковыми постоянными С1, тогда и только тогда, когда они свя-зя;ш заменой переменных. Если две Ь-систеш, связанные преобразованием переменных, считать экотгаалоипплл, то каждому классу эквивалентности соответствуют постоянные С'1 я множество и допустимых значений для управлений:

- Е

2к = 2

< с1„, и > ¡к'

(48)

Соответствие - взаимно однозначно: по структурным постоянным С^ вычисляется представитель классе еквивалеяткостн (48) (в §4 приведены пять способов вычислопмя). Набор СС^, Ш являет собой пример инвариантной математической модели динамической системы. По атому набору мо:кно исследовать те свойства системы, которые сохраняются при заменах переменных. Принцип максимума Я.С.Понтря-гана получает для Ъ-систем формулировку (522), независящую от конкретного выбора переменных: оптимальное управление и(1) (например, по быстродействии) удовлетворяет условии

¿1Ш)й'и) = таг ,

где Ь.(£) - некоторое ненулевое решение системы

правая часть которой определяется постоянными С^. Инвариантный ответ получает вопрос об особых оптимальных управлешях у Ь-систем малых размерностей с ограниченным скалярным управлением и: у систем первого и второго порядков особых управлений нет, у Ъ-систош третьего порядка, если особое управление есть, то оно равно и==-С*я/С*я (теорема 22.2).

Для уравнения тз=и^)~р(в)% lul.il, которому соответствует Ь-системэ (45), инвариантная модель {С^ 1. II) определяется постоянными (46) и множеством

и = Г |и'|<1, и*=0, и3=-р/(т)2 ) .

Ь-система (см. (4?.))

Г Х° 1 ! ■ 1 0 ■ Г >/ 1

и. .41 I. . и .

соответствующая лилейной автономной систеш

х = къ + 82, х а е 5 с 1Г , (49)

определяется инвариантной моделью (С!^ 1, п>, где постоянные 1,,1,1с=иТп, приведет» б ('13), а множество допустимых управ-

лений в Тг-системо задаотся равенством

а == { и° = I, и = Вй, и « и С Нг > . (50)

В частности, получен инвариантами ответ на следующий иоп{юс: можно ли нелинейной системе с убавлением заменой пе1)еменннх придать линейный вид (49)7 Тогда я только тогда, когда нелинейной системе соответствует инвариантная модель (С*(, и), определенная условиями (43) и (50).

Перомешше и* в Ь-системэ, во-первых, нграмт роль управлявшие воздействий (или внешних возмущений), во-вторых, являются координатами в алгебре Ли с базисом (30) и элементами

X = £ и% = 2 Ф'.

1 =' I - ) = > ' в х

Во втором смысле понимается высказывание: множество II значений

для допустимых управлений и принадлежит подалгебре и т.д. Джазы-

внется (теорема 21 Л), что кнтегралышй базис стационарных пор

вых интегралов у Ъ-еистемы состоит из m Функций а' (г)..... ;f'"U)

тогда и только тогда, когда минимальная подалгебра, солирянпртн множество V, (л-ш)-мэрнв. Аналогичный результат (теорема 21.2)

определяет количество функций ю* (t,x),____ uT(t,x) а интвгральчо?»

базисе произвольных первых интегралов. Теоремы 2T.I л 21.2 использованы для исследования вопроса о наличии первых интегралов -гарантированного отсутствия управляемости - у конкретных систем (примеры 21Л И 21.2).

Ь-сястомы монополизировали свойство пореносишсгл (мобильности) жюднозначш решаемой задачи терминального уиртш*;м-! (523). Система (I) считается вполне управляемой, и из миожисп«> допустимых уиравлыий выделяется подмножество М(х ), кнздм'л представитель которой» переводит за конечное время сист» чу у. > начального состояния х в конечное х . Система считается исбкль •

Сш 1

ной, если представители u(f ) мпо,еоство M(jr —кг ), примеявшшо v. произвольному начальному состоит!» х , приведет к оОщому конечн-. >-му состоят»! я*.-Доказывается (теорема 23.Г), что иоб,ш.1Г>ст1.'> Сдл»дн1п- исключительно вполне управляемые Т,-систем;.

С целью наметать перспективу дальяейизтх исоледовапнй с ,t<; гкояьаовяиием разных групп симметрия - групп преобразований пространства Пфомн-еоогошма-унряш.мнив) - ¡яшм задача управляемости для хр-ч^.томлтиЗяош примера ï~u, |«|йТ (524). В отличив о';-снмммтрий по состоянию найденное множество однопяримитряческв \ групп симметрия - iij».»o6pft3f>i)ftima ироотрьяетьа {«ф^мдоостпят'.» управление) - имеет функциональную мопдость. На первом шаги р-ял» вля зидача управляемости два х-ругао< "тлрп-глру^г" очевидно« рмдо-hv'.k 7>П, U.-0 в достаточно аредстявительну*) совокупность реви.ниЗ, ырииодчя'.их сиотчму в пум,то состояние. Qhwa другие дво груш»" за счет увеличения времена процесса 1Н*>д«т управление и донуопь мно границы ¡util. Дален привлекается группа, которля ст[к;ит ро гаонис» по двум изпсмтшм и сохраняет допустимость управлений. Эта группа решает задачу нуль-управляемости : перевод сис rem из любого состояния в нулевое. Наконец, еще одна группа симметрия па основе подученных решения полностью решает задачу управляемости: перевод за коночное время любого состояния в .любое.

- 2G -

В заключении диссертационной работы приведены основные иоло-юиия, результаты и вывода.

I. Для математической модели x=q>(t,x,u), u»iU системы с управлением введено определение регулярности: в некото{юй области пространства {время-состояние), во-первых, один и тот же конечный

набор utll.....управлений определяет базисные операторы

0 *<р(£ ,х,и )дя (B-систему) в совокупности опораторш О -Hplt ,х,и)д , iW.J, во-вторых, одна и та же последовательность вычисления коммутаторов пох'ружает базисные операторы в полную систему (]?■-систему).

?,. Введено понятие первого интеграла системы с управлением, как функции w(t,x), являющейся первым интегралом дин каждой системы обыкновенных дтЭДеренциалышх уравнений i <р( £ ,x.u(t)) (в систему i-'j>( £ ,:r,u) подставлено конкретное допустимое у »ранение u(t)). показано, что, несмотря на вункциоияльпуы моадюсть множества систем .i'-ipU ,i,u(£)), дня р»гулярннх систем достаточно организовать поиск общих первых интегралов у систем, |:оот»я»гстнумних

базовым управлениям ut.....и . Количество функций в интегральном

базисе первых интегралов равно разности между размерность» iijxhjt ранствя состояний п и числом ю, опредюьш¿им количество операторов в У-системе.

'Л. Дин регулярных систем изучен «опрос об иш^рипнгносгиг относитодыю возмущений в смысле четырех известных, он^-долшеий: слабая Ф({ ,х)-иявари»нтность при £---Т и т.д. Показано, что натри ваяльнни иивориантаость в смысл» кяздого оиродикония ш.т>жн только при наличии у системы нетривиальных первых интегралов ш(£,:г), и функционплц Ф(/,х) должны определенным образом выражаться через ш{£,.т). основе атого факта доказаны критерии инвариантности и выведены алгебраические уравмония, которым должны удовлетворять функции, определяйте инвариантный синтез.

4. Определено понятие иреобразчви.мл симметрии но <"чатончиы, как преобразования x^i{t,x), пероводи.цет систему л--■•(•{£, i:,п) в

систему x--q{t,x,u) с такой же правой часть»». №««<д«'»н у^нм-чм для нахождения коаЗДицюнто» оиъраторов, егх/п'ечч-.твуои-.и .>д>м!«-рпммтричьекмя группам симметрии по состоянии (доиускиоммх еру».«), и исследована возможность их решения. В отличие от систем i'»i»:» управления, у которых множество таких групп имеет Функця'.¡<>и:<>нуо

мощность, у систем с управлением диапозон групп симметрии по состоянии простирается от только тождественного преобразования до Функциональной мощности. Рели у регулярной систем!; интегральный базис первых интегралов пуст, то доказывается, что совокупность преобразований симметрии вкладывается в конечномернуп группу, причем количество q параметров в группе не превосходит размерности п пространства состояний. Для вычисления а требуются только дифференцирования к алгебраически« операции.

Г>. '/зучен вопрос о построении на основе группы симмс-триЯ замен переменных, приводящих к декомпозиции регулярной системы. Доказаны результаты, определяющие декомпозицию с учетом только факта наличия группы симметрия, а также определяющие более глубокую декомпозицию с учетом структура группы: абелевость, существование нормальных делителей и т.д.

б. Для систем с управлением и баз управления проведено сравнение множеств преобразований пространства (вр&мл-оостояплн > -сдвигов вдоль рекений. Для систем без управления это множество -однопараметрическая группа. Для систем с управлением типично, что зто множество выходит з& рамки лмбоЯ конечноннраматричоскоЗ группы. Вг-еден подкласс, регулярных систем - групповых, - дм которых множество преобразования сдвигов вдоль ревошй х(£,х ), несмотря на Функциональную моииюсть множества управлений и{1), пороадвмчих ,.т ), вкладывается в конечнопараметрическую группу. Уравнения группы х=х(х ,и) строятся .по уравнениям групповой систем!. Групповые системы эквивалентно моделируются д»Ийренцчалм1Ыми ±-<р(£,.г,и) и конечными х=х(.т ,м) системами. Эквивалентность донимается в смысле существования такого оператора К, раб&тамцел» независимо от начального состояния х , что при согласовании входов м{£ )-К*и(£>}, и(£ ЫГ'{и(£)) выхода х(£,хо) при лкрбнх начал!, них состояниях х совпадают. Групповые системы обладают фувдамеи-тапьной системой рвшпний в более широком смысле, чем принято: подстановка лехкгго рошешм определенной системы и-*$(»,и) » форму~ лу построенную на основе уравнений группы,

определит оЛщ&о решение группою« системы .Ыр(£,х,и) (Фущщия и(1) в ,х,и) и о й--^(и.и) совпадают).

- га -

7. Изучен подкласс регулярных, систем - Ь-систем, - для которых совпадают три числа: размерность пространства состояний, ко-./•ячостк! параметров а' и группе симметрия по состоянии х-х(х,г), количество параметров ь в группе сдви1'ов вдоль решений I -х(г. . К Тг-системам редукцией или "митиродуюдеЯ" приводятся V! групповые системы. С Ь-системой связан еще один набор чисел: совпадающие структурные постоянные С'к групп х-х[х,\) и . Доказывается, что двум Тг-системам соответствуют одинаковые ностояшше С^- тогда и только тогда, когда они связаны заменой переменных. Если две Ь-системы, связанные заменой переменных, считать оквива.яентвымл, то кмедому юк.ссу зквивалектности соответствуют постоянные С/ь и мжжч'.тво I' допустимых значений М" управления. Соответствие взаимно однозначно: по структурным постоянным вычисляется представитель класса эквивалентности. Набор 1С1 , Ш - инвариантная математическая модель системы с управлением. С использованием только информации (С^, и> для Ь-систаи изучена слодуйаде вопросы: вычисления количества стационарных т(х) « нестационарных первых интегралов в интвг-ршыюм Оазисе; инвариантная формулировка принципа макъ.ьчума Л.С. Понтрягина, - в частности, систему для сопряженных перемен-

них заменяет система 1^=- £ С£1ш1; нахождений особах опти-

мьлышх уиравльшгЯ, к притру, у Ъ-сис-тш третьего порядка с скалярным управлением особое управление с необходимостью равно 1^-С* /с* . Ъ-систвмц и только они обладают свойством мобильности в сл&дук«дум смнсле. Вводится множество М(х -ч-х ), каждый представитель которого переводит за конечное время систему из начального

состояния х в конечное х . Система считается иобшгькой, если 1» 1

представители иЦ) множества М(х —-х ), примененные к произвольному начальному состоянию х*, приведет к общему конечному состоянии х*.

1

О. К» многочисленных примерах - болом ТОО стр. текста - показана техника иссяедовааия различных вопросов и работоспособность вв&детшх аналитаческиз процедур.

9. С цель5> наметить перспективу дальнейших исследований для простого примера системы с ограниченным управлением вычислена совокупность нрообразованиЯ сяммэтриЯ - преобразований пространства {врс.чн-соетояние-управленио}. Совокупность имеет Функци-

оннльнуи мощность. С использованием разных групп из атой совокуе .мсти решена задача перевод» систем! из любого состояния в лск>ч».

Основные («¡дулптаты работ« отражены в следумцих публикации* •

0«Ю1Ы1, А*/Н Or-ffф tu

"I. Богоявленский к. А., Т->«ельянова И.С., Мархашон Л.М., Павло!», кий П.П., Яковенко Г.Н. Методы теории групп кюц., рял.них I((^образования в механике систем с конечным числом степеней ок>бодн//УстоЯчивопть движения, аналитически« механика, уп равленио движением/М: Наука, 1901. С.ВД-'ЛЗ. ?.. Fjíkhh Tí.'»Т., Паыювс.киЯ H.H., Чернондаков А.Н., Яковенко Г.Н. Рлдачи ^кторизяции управляемых динамично«»« систем и пек.> tojuih их нриложения//Теор. групп, методы в мех. Тр. нар. симноз., Новосибирск, 197В/Повосибнрок, Т97В. ОЛГ'ь 117.

3. Ь'утегми С.Д., Яковенко Г.И. Ткорвтико-Рруп««-вне жЯичсгм оптимального уиравления/ТКиберинт. и ннчисл. тинн./Ки-и«, ГПОЛ. пын.ГЛ. 0.2в-Л5.

4. е«влоц(-киЯ D.H., Я копен ко Г.Н. Группы, допускаемые дина*.» ча.-жими систем»ми//Методн оптимизации и их ирил оження/Нов., сиби(м-к: Наука, ТЯЯ?.. СЛГО-ТПО.

Г>. Яковенко Г.Н. "реакторный синтез оптимально,v< vHpaiouüinH.//

Автоматика и телемеханика. >i ft. Т972. С.Г>-ТГ.. П. Як->н«нк>> Г.Н. Оптимальным процессы на диОД>{ь)|«цирувмих мно ГС»'бразиях и непрерывных грушмх//Тр. XVIT научи. кон>|. ШСИ. I97T, сер. Аярофиз. и нрчкл. м»т./МГФЯ. Ч., TW3. 0.73- ПЛ.

7. ílkohéiüto Г.Н. Об оды*44 подход« к метематическ<'чшланло сложных сиотем//Труды УрнльскоЯ Koii.ii. "Организация И упраи лепие горным П(юизрг>д<.твемм. Г!вердло1«ен.ТГ)72. 0.R3 г,Г>. П. Яковенко Г.П. Необходимое ус-ление упреаляомоети//йо.'1р,

1Ц1ИК.И. мат./Иркутск. П.TOB-TVJ.

9. Якоеенко г.ё. Критерий инвариантности управляемых систем// Метода оптимизации и и».с.лед. оынриций. Прикл. матемитик«/Ир-куток, ТП7П, С.71-70. ТО. Яковенко Г.К. Групповой Подход к управляомиоти и инвариант

ЦО.'Л'И ДНШЛМЧВСКИХ СИ(Т0Ц//КиЛер.яеТ. И ВЫЧИСЛ. ТеХН./пИеИ,

ТУ1П. Р-ны. Л:). 0,?.г> 39.

-so-

11. Яковенко Г.Н. О групповом подходе к проблема инвариантности систем с упр8ВЛ9пием//Даиамаие управляем. систем/Новосибирск: Науке, 1979. С.329-335.

12. Якоовнко Г.Н. Синтез оптимального управления па группе Ли третьего порядка/ЛСибернат. и вычисл. техн./Киев, 1981. Вып. 51. С.17-22.

13. Яхавонко Г.Н. Об эквивалентности математических моделей типа "вход-внход"//Киберн8Т. и вычисл. техн./Киев. 1982. Bun. 54. С.15-20.

14. Яковенко Г.Н. Управление на грушах Ли: первые интегралы, особые управлания//Кибернат. а вычисл. техн./Киев, 1984. Bun. 62. С.10-20.

15. Яковенко Г.Н. Однократность управляемости у групповых сис-том//Кибернет. и вычисл. техн./Киев. 1985. Вып. 85. С.39-43.

16. Яковенко Г.Н. Декомпозиция нелинейных управляемых систем с группой сшм8трий//М0ханика гироскопических систем/Киев: Ввда школа, 1986. Выл. 5. C-.I3I-I37.

17. Яковенко Г.Н. Нестационарные симметрии в системах с управле-шюм//Совремэнный групповой анализ/Баку, 1989. С.258-265.

18. Яковенко Г.Н. Вычисление груш симметрия для механических систем с управлением//Процасси управления в механических системах: Межвод. сб. науч. тр.Л№ГИ. И., 1990. C.28-3G.

19. Яковенко Г.Н. Группы симметрия в гладких системах с управла-нием//Соврбмешша грущювой анализ: метода и приложения/. ЛШН .Л.. 1990. ирепр. ЖГЗО. С.4-12.

20. Яковенко Г.Н. Решение задачи управляемости с использованием стшетрай//Прикладная механика а процессы управления: Mos-вод. сб. науч. тр./МФТИ. Ы.. 1991. С. 17-31.

21. Яковенко Г.К. Симметрии по состоянию в системах с унравлени-о«//Прикладная механика и математика: Межвед. сб. туч. тр./МФТИ. Ы.. 1992. C.I55-I76.

22. Яковенко г.Н. 'Фундаментальные решения с точки зрения теории управления// Современный групповой анализ: Мьжьед. сб. науч. тр./МФТИ. «., 1993. С.90-117.

23. Яковенко Г.Н. Групповые свойства данамячАских систем. Конечномерный случай. U.: Изд. МФТИ, 3994. 140 с.

24. Яковенко Г.Н. Инвариантный синтез регулярных систем //Проблем« математики в физических и технических задачах: Меявед. сб. науч. тр.ЛЮТИ. М., 1994. C.T8S-2T0.

Теттн бнступлятсП.

25. Кутепов С.А., Яковенко Г.Н. О структуре множества достижимости (тезисы)//Механика твердого тела. 1981. Ü в. С.1в5.

26. Кутепов С.Л., Яковенко Г.Н. Стабилизация нвхшюЗтх систем при дефиците управления//Динамика нелинейных процессов управления: Всесою. cnmwip: Тез.докл./М., 1907. С.41.

27. Яковенко Г.Н. Групповой подход ic построению моделей и исследованию управляешх систем//VI Всесош. совещание по проблемам управления: Реф. докл. Часть Т/ТЛ.: Наука. Т974. С.Т2-Т4.

РЯ. Яковенко Г.Н. Регулярные динамические систем«: упрякин ■ емость, инвараантность//Т[1 Всесош. совещание по проблемам у ¡травления: Тез. докл./М.: Наука, 1977. С.Г8-2Г.

29. Яковенко Г.Н. Законы сохранения в оптимальных механических процоссах//7Т Всесош. конф. ¡го «птим. управл. в механ. системах :Тез. докл./ Кн.-т. проблем мех. АК СССР. М., 1982. С.202.

30. Яковенко Г.Н. Групповые динамические системы с управлением: экспериментальное определение структуры//1Х Всесош. совещание по проблемам управления: Тед. докл./!-!., 1934. С.15-16.

ЗГ. Яковенко Г.Н. Многосвнзность системы в зависимости от ограничений на входные воздействия./П Всесош. совещание "Управление многосвязпыми системами": Тез. докл./JJ., 1984. С. 21-22.

32: Яковенко Г.Н. Управление механическими объектами с учетом симметрия//? Всесош. кон$. по унровл. в механ. системах: Тез. докл./Казань, 1985. С.28.

33. Яковенко Г.Н. Декомпозиция нелинейных еястем, донус.кничих группу симметрий//Дакомпозиция и координация в сложных системах: Всесош. конф.: Теп. докл./ЧГШ. Чюшбднск, ТЯОГ,. С.48.

34. Яковенко Г.Н. Математические модели, инвариантные относительно нетчайних замен тюременннх/Л1елйней1ше колебания механических систем: Всесош. конф.: Тез. докл./Горький, 1937. C.I4T-I42.

а?, -

за.

39

in.

и.

Нковенко Г.11. Динамическая симметрия и управление системой TrJi//VI Всосош. конф. но унравл. и механ. системах: Тез. Л"КЛ./ Л,..ион, 1908. С.167.

Пковенко Г.H. rpyiiHij симметрия у разрывных динамических еис-теч//Г'азршшие .динамические системы: Feen, конф.: тез. докл./Киев, 1990. С.49.

Яковенко Г.Н. Групповые сиччетрии в уравнениях динемики по-лета//П{»блеми управления и навигации авиационно-космических си'-тем: Мегдуьед. научн.-техн. конф.: Тез. докл./КВВИАИУ. Киев. Î99Î. С.TO-II.

Нковенко Г.Н. Декомпозиция разрывных динамических систем, доцускапда rpymiy симметрий/ТРазрнване динамические системы: Г'»оп. KovsJ..: Тез. докл./Киев, T99I. С.73-74. Якове»<о Г.Н. Вычисление полной группы симметрия по состоянии для системы с упра«лением//Сов|<еменныа груигк**>Я »нализ: Международный сэмияар: Тез. докл./У№, 1991. С.33. Яковенко Г.Н. Учет симметрия при формировании упревляквдх 1Х,щ*<ЯигилЯ//ТХ Байкальская школе семинар по методам оптимизации и.их приложениям, ТП Миждуна^дннй семинар но глобальной оптимизации: Тез. докл./Иркуток, СЗ;Т, Т99?.. С.90. Яковенко Г.Н. Инвариантные модели механических систем с управлением/ /Современный групповой анализ и задачи математического моделирования: XI Российский коллоквиум; Тез. докл./Самара, ТЗЭЗ. C.T4R-T49.

Яковенко Г.Н. Управляемые системы с. грутювой структурой: симметрии, фуадаменталммв решедам//1 -я Украинская конференция по автоматическому управлению АВТОМАТИКА-94: Тез. докл. Ч. 1/Киев, Т994. С.39.

Нкоценко Г.Н., Кутенон O.a. О структуре множества достижимости/ /VTTI Всесода.. совещание но проблемам управления: Тез. докл., кн. Т/Таллин, Т9Я0. Г,.29-31.