автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Развитие континуально-дискретной методики решения задач статики и динамики периодических систем и сред

ЫПС РОССИЙСКОЙ ЗЕД'ЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДША ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРОВ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

На правах рукописи

СУХАРЬ АЛЕКСАНДР ЕВГЕНЬЕВИЧ

УДК 624.04:624.01:681.3(043.3)

РАЗБИТИЕ КОНТИНУАЛЬНО - ДИСНРЕШОЙ МЕТОДИКИ РЕШЕНИл ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СРЗД

05.23.17. Строительная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1992

Работа выполнена ь Московском Ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени институте инженеров железнодорожного транспорта.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор технических наук,

профессор Б.Я.Лащеников.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ- доктор технических наук,

профессор Г.И.Пшеничнов.

- кандидат технических наук М.Н.Михайлов.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Центральный научно-исследовательский

Защита состоится " 24" июня ' 1992 г. в 15 час.

Московском институте инженеров железнодорожного транспорта по адресу: 101475, ГСП, г.Москва, А-55, ул.Образцова, дом 15, ауд.7618.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Просим Вас принять участие в защите и направить Ваш отзыв в двух экземплярах, заверенный печатью, в Ученый Совет института.

Автореферат разослан "22." М ДА •' 1992 г.

'Ученый секретарь специализированного Совета доктор технических наук, пгобессот)

институт строительных конструкций им. В.А.Кучеренко.

на заседании специализированного совета Д 114.05.02 при

В.П.Мальцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем. Стремление к эффективности и технологичности в промоченном к гражданском строительстве, авиа- и судостроении, других областях техники расширяют сферу применения известных и вызывают появление новых конструкций и материалов, состояния из большого числа одинаковых элементов. Подобные структуры могут рассматриваться как системы к среды периодического строения. .К ним относятся сетчатые, перфорированные, ребристые, многослойные, складчатые, гофрированные и ряд других конструкций, различные виды пористых и композиционных материалов. Удовлетворение требований к интенсификации проектирования, расчета, научных исследований, а . лкже создание новых конструкционных материалов и внедрение прогрессивных конструктивных ресений невозможно без разработки новых и соверленствования существующих методов расчета.

В диссертации развивается континуально-дискретный метод расчета периодических систем и сред (ВДМ) в форме метода пе-ремеиений. ВДМ основывается на том, что поведение периодической структуры должно полностью определяться ее элементом периодичности и способом связи этого элемента с остальными. Он предполагает получение дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемой среды на основании принимаемой конечной-элементной аппроксимации полей перемещений, сведение (редукцию? этих уравнений к системе дифференциальных уравнений относительно небольшого одела неизвестных, решение краевой задачи для этих неизвестных и последующее уточнение деформированного состояния конструкции путем возврата на дискретный уровень периодической среды. Занимая промежуточное по-

поженив между дискретным (предполагающим явное описание в расчетной модели каждого элемента периодической среды) и континуальным (заменяющим среду некоторым кваэиконтиниумом) подходами к расчетам периодических систем и сред, ЦДЛ пытается реализовать лучшие черты, присущие обоим направлениям.

Применение метода конечных элементов для решения задачи на ячейке периодичности обеспечивает необходимую гибкость при описании любых сред. Во всех предыдущих работах практически использовались только дифференциальные уравнения второго порядка, что резко сужа..о круг рассматриваемых задач. Известно, что существуют среды, поведение которых не может быть описано дифференциальными уравнениями' второго порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка не могут описать и свойство, присущее всем периодическим структурам - дисперсию волн, распространяющихся в таких средах. Эти обстоятельства требуют

учета в дифференциальных уравнениях членов с производными бо-.

в

лее высокого порядка.

Цель' работы - распространение континуально-дискретной методики на область динамических задач и задач изгиба периодических систем и сред. В связи с этим возникают три основные проблемы, требующие своего решения:

- получение удобных выражений для коэффициентов систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемых структур и содержащих члены с производными до любого -го

•порядка;

- понижение размерности (редукция) таких систем дифференциальных уравнений;

- оценка точности предлагаемой методики.

Научная новизна. Получены выражения для формирования матриц

коэффициентов дифференциальных уравнений движения, описывающих поведение линейно упругих периодических систем и сред при малых перемещениях и учитывающих члены с производными до любого М-го порядка, а также выражения для формирования матриц коэффициентов статических граничных условий.

Предложен новый способ понижения размерности линейных систем дифференциальных уравнений высоких порядков, рассмотрена специфика его применения и возможность уточнения.

Предложен численный способ редукции, позволяющий как определять коэффициенты дифференциальных уравнений, описываявдх поведение периодических систем и сред, так и получать дифференциальные уравнения желаемого вида, приближенно описывающие поведение этих сред.

Рассмотрен общий подход к оценкам точности в расчетах периодических систем и сред, применение которого к анализу точности используемой методики позволяет оценить относительна погрешность ожидаемых результатов.

Практическая ценность работы заключается в распространении континуально-дискретной методики на область динамических задач и задач изгиба периодических систем и сред и практической реализации этой методики на ЭВМ.

Достоверность полученных результатов подтверждается сравнением их с результатами других авторов и результатами расчета автора диссертации без использования ВДМ.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на матреслубликанской научно-технической конференции "Численные методы реиекия задач строительной механики, теории упругости и пластичности" в г.Волгограде- (1990 г.), УН Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике

- б -

в г.Москве (1991 г.), 1-й Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций" в г.Запорожье (1991 г.).

Публикаций. По материалам диссертации опубликовано четыре печатных работы.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Она содержит 236 страниц, в том числе: текстовая часть - 163 страницы, 42 рисунка, 6 таблиц, список литературы - 25 страниц, 228 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечена актуальность .темы, сформулированы цеЛл и задачи исследования и дана краткая характеристика работы.

Первая глава содержит краткий обзор методов статического и динамического анализа периодических систем и сред и начинается с краткого исторического экскурса. Второй раздел посвящен дискретному подходу к решению задач с разрывными свойствами. Прежде всего отмечаются работы С.Г.Лехницкого, В.А.Ломакина, Г.Е.Колчина, И.А.Биргера, Л.Э.Броккера, В.Г.Пискунова, И.Я. Амиро, В.А.Заруцкого, И.Н.Слезингера, Э.И.Григолюка, Л.А.Филь-штинского, И.Новински, Р.Кристенсена, Дж.Ахенбаха, А.Нильссона, в которых решения находятся при помощи периодических или обобщенных функций, а для описания элементов' среды используются уравнения теории упругости, либо различных технических теорий.

В силу своей универсальности, разностные методы получили широкое распространение в расчетах различных систем, в том числе и периодических. Начавшись в строительной механике с ра-

бот И.М.Рабиновича, Ф.Блейха, Е.Мелана, они нашли свое продолжение в работах В.А.Вовина, Б.Г.Коренева, А.А.Уманского, А.Р.Йканицына, В.З.Власова, А.Ф.Смирнова, А.Л.Филина, Дчс. Аргирися, Н.Тернера, Р.Клафа, Р.Медоша, Т.Пиана, О.К.Зенкевича, А.В.Александрова, H.H.Шапошникова, В.А.Игнатьева, J1.A. Розина, В.А.Постнова, А.С.Сахарова, П.Бенерджи, Р.Баттерфил-да, К.Бреббии, С.Уокера в этой области. Специфика применения разностных методов для подобных структур связана с учетом периодичности, проявляющейся-в периодических свойствах разрешающих систем уравнений.

Третий раздел рассматривает особенности континуального подхода к расчетам периодических структур. Предложенный Фойг-том и Рейссом, он развивался в работах Ф.Энгессера, С.Л.Тимошенко, А.Р.йканицына, А.Н.Крылова, И.Г.Бубнова, Л.Ф.Дапковича,

A.И.Сегаля, А.С.Колманка, И.Е.Милейковского, А.Я.Александрова,

B.В.Болотина, Г.И.Шеничнова, В.В.Васильева, А.Н.Гузя, А.К. Малмейстера и других авторов. Проведенный анализ позволяет отметить основные моменты построения упрощенных моделей периодических систем и сред. Такие модели получается путем асимптотического разложения функций, описываюгдах напряженно-деформируемое состояние ячейки периодичности с последующим разделением неизвестных на быстро- и медленно изменяювдеся и усреднением быстрых переменных. Основная часть результата обычно получается из решения некоторой усредненной задачи, уточнение напряженно-деформируемого состояния производится путем' возврата на дискретный уровень ячейки и решения задачи на ячейке периодичности. Подобный подход испольхован в работах А.Л.Гольденвейзера, И.Н.Векуа, Э.И.Григояока, В.В.Болотина, Н.С.Бах-валова, В.З.Лзртона, И.3.Андрианова, Б.Я.Лзцекикова, З.Санчес-

Лаленсии и др.

Приведенный обзор публикаций и их сравнительный анализ показывают, что проблема построения упрощенных моделей для различных периодических систем и сред является актуальной и вызывает большой интерес специалистов по строительной механике и расчету сооружений.

Вторая глава посвящена основным уравнениям континуально-дискретного метода (1®0 для зада^ динамики периодических систем и сред и начинается с вводного раздела.

Во втором разделе ..олучены выражения для формирования матриц коэффициентов дифференциальных уравнений движения ВДМ, описывающих поведение линейно-упругих периодических систем и сред при малых перемещениях и учитывающих члены с производными до любого N -го порядка.

Пусть задана периодическая структура (рис. 1,а). Примем для нее периодическую дискретную модель (рис. 1,в), разбивая каждую ячейку периодичности на некоторое число конечных элементов (рис. Г,б) так, чтобы на этой конечно-элементной модели было возможно получение результата требуемой точности. В дискретной модели выделим минимальное подмножество узлов, периодически повторяющееся в пространстве - обобщенный узел (ряс. 1,г); пусть' Б - число узлов (будем называть такие узлы естественными в отличие от обобщенных), входящих б обобщенный узел.

Принимая конечно-элементную модель среды, мы, тем_самым, определяем некоторый разностный оператор' над вектором Еф перемещений узлов, составляющих обобщенный узел, описывающий поведение рассматриваемой среды (шаблон оператора показан на рис. I,д). Запишем этот оператор в виде уравнения равновесия некоторого обобщенного узла "О":

йчдка nopuoBuMHocTU:

Л Аг

■ 1 i -

о?

ХМ I/1., Г) 05О1ШННЫИ УЗРД:

¿У/

, Tw .

h u

Аисшпщ мсВедь гррЭы:

V ^гГ"

V Ify 1

В) ШаТмж разностного оператора;

Рис. i

1=0 (I)

где

, (м о1 ) - блок матрицы реакций (масс) области среды, соответствующий реакциям в наложенных связях по степеням свободы "О" -го обобщенного узла от единичных перемещений (ускорений) по направлениям степеней свободы " I "-го обобщенного узла;

-*т г—у —

= [ ' ' • Цэ*] ~ векто^ пеРеме®ений " (."-го обобщенного узла;

1Г =

¡С . - вектор перемещения "к"-го естественного узла, входящего в " I" -й обобщенный узел;.

- вектор нагрузки "0 "-го обобщенного узла. Выражая значения перемещений 110,(составляющих вектор ) в окрестности обобщенного узла "О" по формуле Тейлора через некоторые непрерывные, необходимое число раз дифференцируемые функции 2к , составляющие вектор 2 '

е! р! л!

где (х„; у0;г0) ~ координаты точки в "0"-м обобщенном узле, в окрестности которой выполняется разложение Тейлора; (х;.; ~ координаты аналогичной точки в ' I "-м обобщенном

узле;

. Прлучим дифференциальные уравнения N -го порядка, описывающие поведение данной среды, которые удобно записать в виде

4 ^^гЛнЭ^Рп! + и п

где ^ е р я.

~ 5о м Р! ^ п-КД(4)

у- матрицы коэффициентов; "Р" - вектор нагрузок по степеням свободы обобщенных узлов.

Соотношения (4) не очень удобны для практического применения, поэтому рассмотрим далее вариационную постановку задачи.

Пусть известна ячейка периодичности, дискретная модель и состав обобщенного узла принятой модели периодической структуры - рис. I. Обычным способом строим матрицы реакций (жесткости) $ , масс М и вектор нагрузки Р для одной ячейки периодичности. На основании.принятой конечно-элементной аппроксимации полей перемевений и скоростей ячейки периодичности заяисем выражение плотности полной энергии периодической структуры

где -»

¡¿1 - Э/Э±г ;

1(I - вектор перемещений " [„"-го естественного узла ячейки периодичности, ( 1= I, 2,... И );

П - число естественных узлов в ячейке периодичности;

( Му ) - блок матрицы реакций (масс) ячейки периодичности, соответствующий реакциям в наложенных связях по направлениям степеней свободы " и"-го естественного узла от единичных смещений (ускорений) по направлениям степеней свободы- "-го естественного узла ячейки периодичности;

р I - вектор нагрузки " и"-го естественного узла ячейки периодичности ;

V - объем ячейки периодичности.

- 12 -

Разобьем естественные узлы ячейки периодичности на в групп в соответствии с их положением в обобщенных узлах принятой дискретной модели - узлы, занимающие одинаковое пояснение в обобщенных узлах объединим в одну группу. Векторы перемещений узлов какдой к -Я группы (к = !,.*..£ ) распишем через вектор перемещений некоторой внутренней точки ¿ц и его производите с помощью формулы Тейлора аналогично (2). Подставляя оти зависимости в (5), получим

-)гда уравнения движения среды могут быть получены как уравнения Эйлера для функционала

3:пк£ем условия стационарности функционала (7) :

- М-* В' Г ■ ^ ~ ¿1" ]}

^м-1) пх! Ш-СУ.

х (0)

(к - I, 2,... & ).

Поскольку в рьзломениях Тейлоре (2) ограничивались чле-с произьодгЕыл не гьге г! -го порядке, пр дальней:;;:* преобразованиях будем считать, что при р С. > С<

I I * и. е", » г , -

Ь К - А . <- С - — А . I'

и, ———- О,

«еа»Р9г^ "ВхЧ-^В^ *' (9)

'.'.ог.агая нагрузку не зевисяаей ст и 1:;: производных к выполнял обычные преобразования над функцией )Г , по луч;;:/, условия стационарности функционала (7), которые удойно записать в виде:

Я: !,Ч- !1-C-S;

1 Z Z '

2-0;p=0; íjrC;

¡ti ~

где значения коэффициентов матриц í¡ , í^1^^, P могут быть определены путем поблочного суммирования элементов матриц Q , И к Р ячегки периодичности как

О"» - V eí р! a,! й к' (II)

п •! I ^ ^ Г Ь ltl& "

L ^ р: °fí

где Д... - нс-.'ср.-, перзогс и ::с;\"£дкегс уела к -й группы.

Ст.мегг.м четкр» sosun: с5сЛ:гза хогй£и!П!е.чгог дм Чдосокцц-

■:.->-.:--.::: ур:: ;r::;;¡ ПО):

I. -ги течки, в окрестности кстссоГ;_гнполня;тгся

Г Тейлора »-¡е зг.одлт п зкра'ледия для l-^-iiüA; (Ч^С^.

_ Я -

tc-.:t исходные качрлщ-х. у. н сдохегркчик относительно глоп'оГ» диагонали., тогда икео? гсето свойство екклетрии

_ ь- ti,и.

3. Если исходная í'wvki» :.мсс И гдеагскалька, тогда для

? ^ 7 0: - [01;

С14)

•*. LV.HS'eiiT '¿¿¡' r/атрпш ¡{ представляет сос'ой роакпкз с . -й наложенной езязи обобсеююго узла д'лсксетг.сГ; схекц среди ■ едяничксс смещений зсех обс£>'с«шкк уэлсв со направлена ¡ -я

степени свободы. Таким образом, матр-лца U ' д зля ere я. неотрицательной и имеет число нулек« ссЗгтггк;-• •: гаач-гний, сседзд;-

- 14 - . .

ЦОС с числом воз поясных независимых смещений обобщенного узла как жесткого целого.

В третьем разделе получены выражения для статических граничных условий, как условия стационарности функционала полной энергии системы со свободной вариацией на границе, в четвертом-предлсжен общий подход к оценкам точности.

Поскольку дифференциальные уравнения ДЦМ получаются путем разложений по формуле Тейлора, то, устремляя порядок системы дифференциальных уравнений к бесконечности, мы должны иметь ре~ тения, точно совпадающие с решениями, полученными на принятой дискретной модели по ШЭ. Реально же решается система дифференциальных уравнений меньшего порядка.

Рассмотрим случай статики: пусть известна система дифференциальных уравнений N -го порядка:

е=0; р.-о; ^--4; Зх5 ЭуРН^ ' (15)

Будем искать решение краевых задач для этой системы при помощи дискретного преобразования Фурье, тогда

где^; ; волновые числа гармоники вдоль осей х, у, 2 • Выполняя обычные преобразования, получим выражение для ,

' 'Г (17)

(16)

где Р^-изображение Р при дискретном преобразовании Фурье.

Предположим, будем искать решение краевых задач для системы (15) приближенно, решая краевые задачи для усеченной системы

- 16 -

^i-ro порядка (ftli^fl ):

Mi-. M; |i-erp; I = p

2=0; p-o; Эз f Э

Репение этих задач также может быть получена в виде (16), где

Применение континуальных методов к расчетам периодических систем и сред правомерно только тогда, когда действующая нагрузка и искомое решение достаточно плавно изменяются от одного обобщенного узла к другому (длина полуволны гармоники не ди.т.ет быть меньше расстояния между обобщенными узлами). 3 этом случае они могут быть представлены в виде (16) с ограничениями на величины 4.^. , £>s , ¿к :

CKc^T/dx; 0<Ук<7\/di)

где dx . dу, di — расстояние между обобщенными узлами вдоль осей х, у и 2 соответственно.

Для каждой S -К. -й гармоники спектра возмо.глых решений (20) может быть вычислена величина относительной погрешности решения краевых задач при помощи усеченной системы (19):

ll^-^l/llRot

Наиболыаая из них принимается в качестве общей сценки сочности

8 = max | S^sicl - -

В работе показано, что на решениях вида (16) бесконечная сумма матриц , . » ^

[I' .

L t= о; p»0; с^го; 1 J при

имеет конечным пределом матрицу , 1ГгА -й блок которой коетт быть определен путем поблочного суммирования элементов матрицы ячейки периодичности по формуле:

С-

Предложенный подход к оценке точности монет быть распространен и на область динамических задач.

Третья глава посвящена понижению размерности систем диф-ференциаль.шх уравнений КР. В первых двух разделах на простейших примерах показана необходимость обязательного исклачения части неизвестных перед приближенным решением краевых задач и рассмотрен вопрос о выборе базиса для редукции. Отмечено, что наиболее удобно принимать за основные неизвестные смещения обобщенного узла как жесткого целого, относя все остальные к зависимым неизвестным , подвергавшимся редуцированию. В третьем разделе предложен общий подход к редукции систем дифференциальных уравнений ВДИ высокого порядка.

Пусть в базисе, удобном для дальнейших преобразований, сис-

тема дифференциальных уравнений записана в виде

№ п® п(В> "21 к22 (1; Й; М-р = 111 И; р*о; <}.*»;

1 £ 1 % 0®

'5Ш'

(25)

где рЬ:. у,2 ) - функция, описывающая изменение нагрузок по всем степеням свободы обобщенного узла.

Предположим, что существует зависимость вида

а/а ^

2,-М

п ' —й—£— "

2 ио;5=о;к»о;

Подставляя (26) во вторую строку (25), учитывая ограничения (9) и группируя по степеням производных, будем иметь:

£ ш-цгп© 1 г 1 __

? 1 к»| ■** 1 г А 1-ГГГрП.""

I- МО: Ь'0\ К=о; ^ ОГМог*

*! £ Г-^ф®. к £ ?

Г (27)

Полагая выражения в квадратных скобках равными нулю для каждого сочетания 2 , р , , примем рекуррентные последовательности для определения неизвестных матриц коэффициентов

гг 4>о;х.о/1. • (28)

(кроме ; 5 = р ; К одновременно)

1- 1 г- 1-8 0: 1«о; к«о; л ' (29)

(кроме }* = £ ;5=р ; к3^, одновременно) Вычисляя , р^Ц^), подставляя зависимость (26) в первую строку уравнений (25), получим систему дифференциальных уравнений относительно ?4.:

Где I I П^Эд®.

р*©=*р©-1! £ I . (з:)

А А ио; к.о; '

После решения краевой задачи для системы (33), значен/я заги?и-мых неизвестных .¡¡^ определяются при псиос приближенного с:ст-::-

кения (26). Далее рассмотрен'вариант редукции систем уравнений

П(о°о)

для случая, когда матрица является нулевом и вариант ста-

тической конденсации для задач динамики.

В четвертом разделе предложен возможный вариант уточнения общего подхода к редукции систем дифференциальных уравнений, в пятом - численный способ редукции систем дифференциальных уравнений НДМ.

Четвертая глава посвящена использованию основных соотношений, получсиых в предыдущих разделах для анализа различных периодических структур и начинается с вводного раздела.

Второй раздел иллюстрирует применение дифференциальных уравнений второго порядка в задачах динамики периодических систем на примере двумерной сетчатой пластины, загруженной в плоскости пластины внезапно приложенной сосредоточенной силой.

Для проверки предложенного в п.3.3 способа редукции в третьем разделе получены дифференциальные уравнения, описывающие изгиб достаточно изученных систем. Принимая в качестве ячейки периодичности двадцатиузловой изотропный объемный конечный элемент и рассматривая его как элемент одно- и двухмерной структуры (рис. 2), при М = 4 получены уравнения изгиба изотропного стержня и пластины, совпадающие с известными уравнениями Эйлера и Софи Жермен-Лагранжа. Для пластинки с ромбической сеткой (рис. 3) получено уравнение изгиба, совпадающее с уравнением, найденным по монографии Г.И.Пшеничнова.

В четвертом разделе предложенная методика проверяется в задачах статического и динамического изгиба сетчатой, перфорированной, ребристых и слоистой пластинок (схема загружения и ячейки периодичности приведены на рис. 4). Принято шарнирное опцра-ние по контуру, что позволило выписать решения краевых задач для уравнений изгиба аналитически при помопи дискретного синус-пре-

- 19 - „ ,

OBOCUILgHHbm 45g \ (CTQPftgHb)

й Sbfir-e-v

ОБОБЩИМ« ЧЗЕ., { ПЛАСТИНА!

m t<f-4

i Y í)

^0.25 Xy JT^ А.Ч.: 0.7ÍÍ1V Pue. 2

Рртчдтд9 ПАШИНА

9чрйид периодичности ->Y

ху/. + -

â^ ârôr п , ЗУ4

Рцс-î

^•-ioV .

cM2'

= 0.25"

Ыетинл периодическом строения

Ячейки периодцциости пштин-. сетчши -пгрфориробшои U__ .Л

л.

у t.'--^ —" —

^/2 АЬ12 У

(й«ЧРРк)

-pPÍpUCTDlí -ортотропнои It ^-i

M, '

Рчдики периодичности пластин

В ЛЮО ' 60 • 0.2см. Ij ВШ « 60 • 0.2 см v_2 ГЛ. IQQMOQ'Qícm

E-2-iO6кг/См2; S = 0.25. рцс.

-трвушинои

Жл tw2jS*

li- i • t " iO '

^=0.3,

образования Фурье и преобразования Лапласа. Для расчета выбран случай, заведомо неблагоприятный для континуальных методов -когда структура содержит небольшое число ячеек периодичности (12x12), загружена внезапно приложенной сосредоточенной силой и массы сосредоточены в узлах.

Сравнений результатов расчета по ВДМ с результатами контрольных расчетов по ЫКЭ показало, что максимальная относительная погрешность определения вертикальных перемещений при помощи КР-уравненкй '-.¿твертого порядка составила 2% для сетчатой, 0.4% -перфорированной, 0.2% - сквозной ребристой, 10% - ортотролной и 14% - трехслойной пластины. Ловьшение порядка производных, учитываемых в уравнениях ВДМ позволяет понизить значение погрешности результата до 3.3% в ортотропной и 9.8^ - трехслойной панели. Анализ показал, что отклонения от контрольного результата связаны с недостаточно корректной формулировкой граничшх условий в аналитическом реиении.

В пятом разделе проведена оценка точности решения по КДМ задачи статического изгиба трехслойной панели (рис. 5,а).

Примем дискретную схему среды, разбивая каждую ячейку периодичности (рис.5,б) на три восемнадцатиузловых объемных конечных элемента лагранжева семейства. Выполняя преобразования в соответствии с (28) - (32), получим дифференциальное уравнение изгиба

Для случая шарнирного опирания запишем решение в виде

(34)

- 21 -плоскость си н мигни 5)

(у5) {2.™ (3.SO) Щ-№

E-Z-W^MlIa;

khi

Eí/E ~ ViO

t)

355 fil,-RM an. 8ȟ .

2% i% _

порядок

J'iy ПОРЯДОК А.У.

В)

го 20 1*0 i

ЖпориАоКА.!'

OL

tí ru

J , ^ ^nwpQ Г0рЦЗОНТДЛ~ЬНЬ1У

ПЕРЕМЕЩЕНА СЕЧЕНИЯ У

5.51

eraaj (№МКЭ

У

/.Ш "0pflA.DK JL.4

/У

[т К®

5.51 - Ш -W.

Tí ^ 2Х ОI < с/тдх = À TÍ"

о(п

1г®

РП. Iii ('¿Ом)

О

- 22 -

коэффициент уравнения (33) при Э VI^Р . На рис. (5,в) показана эпвра перемещений ниетей кромки панели.

Решения, получаете на принятой дискретной модели по МКЭ тоже ко гут быть выписаны в виде (34), но вместо должен стоять - диагональный элемент (соответствующий реакции по направлению оси 2 ) матрицы которая для каждой ¡4 -й гармошки решения определяется из матрицы Я* (24) как

■и.

Тогда относительная погрешность описания вертикальных перемещений уравнением (33) равна

в.-С$-8?>/9®.

Эпюра относительной погрешности определения вертикальных перемещений уравнением ВД.М (33) на спектре возможных гармоник решения (20) приведена на рис. 5,е. Видно, что на решениях с длиной полуволны гармоники меньше четырех длин ячейки периодичности (волновое число о(п>1Г ) происходит резкое ухудшение точности, но для рассматриваемого случая дифференциальное уравнение (33) должно давать практически точный результат. Значительная величина реальной погрешности (рис. 5,г) вызвана недостаточно корректным учетом граничных условий в решении (34), на что указывает и эпюра горизонтальных перемещений в приопорном сечении (рис. 5,д).

Шестой раздел иллюстрирует применение численного способа редукции систем дифференциальных уравнений, предложенного в п. 3.5 к задаче изгиба трехслойной панели со слабым средним слоем.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

Континуально-дискретный метод расчета периодических сис-

тем и сред (ЦЦМ) распространен на область динамических задач и задач изгиба периодических структур,

2. Получены выражения для формирования матриц коэффициентов дифференциальных уравнений, описывающих поведение линейно упругих периодических систем и сред при малых перемещениях и учитывающих члены с производи™ по пространственны?.) координатам до любого N -го порядка включительно, а также выражения для формирования матриц коэффициентов с.атических граничных'условий.

3. Предложен новый способ понижения размерности (редукции) линейных систем дифференциальных уравнений КДЧ высоких порядков, рассмотрена специфика его применения для ряда частных случаев и возможность уточнения. Для контроля получены дифференциальные уравнения, описывающие поведение ряда известных сред.

4. Предложен численный способ редукции, позволяющий как определять коэффициенты дифференциальных уравнений, описывающих поведение периодических структур, так и получать дифференциальные уравнения желаемого вида, приближенно описывающие поведение этих сред.

5. Рассмотрен общий подход к оценкам точности в расчетах пеоиодических систем и сред. Его применение к анализу точности используемой методики позволяет оценить относительную погрес-кость ожидаемых результатов.

6. Предлагаемая методика проверена на ряде задач статики, л динамики сетчатых, перфорированных, ребристых и слоистых конструкций. Проведено сравнение с результатами контрольных расчетов по МКЭ.

7. Создан ряд программ, реализующих данную методику кз сЪ.1.

Основное содержание диссертации спуб.лху-ганс а тг-

ботах:

1. Долотказин Д.В., Сухарь А.Е. О возможности применения континуально-дискретного метода к задачам распространения волн в одномерных периодических дискретных средах. - В кн.: Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности. Тезисы докладов межреспубликанской научно-технической конферёнции.- Волгоград, 1990. - С. 26-27.

2. Долотказин Д.В., Лащеников Б.Я., Смирнов М.Н., Сухарь А.Е. О применении континуально-дискретного метода к двумерным задачам динами*.л композиционных материалов периодического строения.// Труды I Всесоюзной конференции "Технологические проблемы прочности несущих конструкций'.' 24-26 сентября 1991г., Запорожье. -

С. 93-95.

3. молотказин Д.Б., Лащеников Б.Я., Смирнев М.Н., Сухарь А.Е. Расчет конструкций из пористых материалов.// УП Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации-докладов. 15-21 августа, Москва. - С. 139-140.

4. Сухарь А.Е. О статических граничных условиях в задачах динамики дискретных сред. - В сб.: Теоретические и опытные исследования инженерных сооружений на железнодорожном транспорте: Мелсвуг. сб. науч. тр./ ХабЖКГ. Хабаровск, 1991. - С. 43-49.

■ №

СУХАРЬ Александр Евгеньевич

РАЗВИТИЕ КОНТИНУАЛЬНО - ДИСКРЕТНОЙ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ И СРВД 05.23.17. Строительная механика

Сдано в набор Л Подписано к печати

Формат_б^маги 60x90 _1/16 „Объем^^ Заказ 9£>£Г _ Титаж 100 экз. Типография ШИГа, Москва, ул.Образцова, 15