автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка объектно-ориентированного пакета программ прочностного расчета сетчатых и слоистых армированных конструкций из полимерных композиционных материалов

На правах рукописи

МАРЧЕНКО АРКАДИЙ ЮРЬЕВИЧ

РАЗРАБОТКА ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАКЕТА ПРОГРАММ ПРОЧНОСТНОГО РАСЧЕТА СЕТЧАТЫХ И СЛОИСТЫХ АРМИРОВАННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальности:

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ 01.02.06 - динамика и прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новокузнецк 2005

Работа выполнена в Новокузнецком филиале-институте Кемеровского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук,

профессор Каледин Валерий Олегович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Самсонов Виктор Иванович

Защита состоится 22 июня 2005 г. в 14-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан 20 мая 2005 г.

Ученый секретарь

кандидат технических наук, доцент Рояк Михаил Эммануилович

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева СО РАН

диссертационного совета

Чубич В.М.

15ЯЧ ^

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Создание новых и совершенствование существующих конструкций машиностроительного назначения требует анализа их прочности и несущей способности на всех этапах проектирования. Одним из общепризнанных путей снижения общих затрат на проектирование, разработку и опытную доводку промышленных изделий является увеличение доли исследований, проводимых при предэскизной и эскизной проработке. Такие исследования на ранних стадиях проектирования включают неотъемлемым компонентом математическое моделирование.

В то же время, несмотря на имеющиеся хорошо разработанные методики математического моделирования отдельных аспектов механического поведения различных классов конструкций, до сих пор отсутствуют достаточно развитые средства компьютерной поддержки принятия проектно-конструкторских решений Существующие универсальные программные комплексы (в основном импортные) чрезмерно дороги и недоступны для модификации ввиду закрытости кода Кроме того, они не всегда учитывают специфику анализа частных классов конструкций при экстремальных воздействиях, поскольку это связано с использованием специальных определяющих соотношений между физико-механическими параметрами состояния материала.

Целью работы является создание средств компьютерной поддержки прочностных расчетов новых видов пространственных конструкций типа сетчатых и слоистых оболочек из полимерных композиционных материалов.

Идея работы состоит в выделении в математической модели конструкции структурной и функциональной составляющей, формулировке абстракций, определяющих геометрические, топологические и физико-механические свойства модели, определении основных функций модели в целом и её составных частей и построении в рамках объектно-ориентированной технологии программирования иерархии объектов, описывающих механическое поведение оболочечных конструкций.

Научная новизна работы определяется:

разработанной методикой объектно-ориентированного

проектирования пакетов программ математического моделирования механического поведения оболочечных конструкций;

разработанным универсальным пакетом программ математического моделирования с полностью открытым интерфейсом;

реализацией программ прочностного расчета новых видов

конструкций - сетчатых и спирально армированных оболочек;

результатами исследования упругого деформирования и

устойчивости сетчатых и спирально apмиpo6aíй¿íы#6й(ЙЙWM.ЬHA,, 1 : г г г г ЬИЬЛНОТЕКА |

СПетеИУРГ//Л»й

О» Ж(Г

TJi.it

Методы исследования включают' методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования, метод конечных элементов для построения дискретной модели, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка.

Достоверность результатов обеспечивается использованием апробированных математических моделей упругого деформирования и линейной устойчивости, хорошо разработанных методов численного решения краевых задач; сравнением результатов тестовых расчетов с аналитическими решениями соответствующих задач и исследованием сходимости; сопоставлением отдельных расчетно-теорегических результатов с данными эксперимента.

Практическая значимость работы состоит: в разработке методики, алгоритмов и комплекса программ для расчета напряженно-деформированного состояния пространственных конструкций типа сетчатых и слоистых оболочек;

в возможности использования результатов расчетов и пакета программ при проектировании силовых конструкций машиностроительного назначения для теоретической оценки несущей способности на ранних стадиях проектирования;

в количественных оценках параметров напряженно-деформированного состояния, позволяющих проводить анализ влияния геометрических и упругих параметров на напряжения, деформации и устойчивость сетчатых и слоистых оболочек.

Работа выполнялась в соответствии с Целевой комплексной программой "Интеграция" Министерства образования РФ (проект Р-0045) и с планом НИР Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета. На защиту выносятся:

объектная формулировка математической модели статического деформирования и устойчивости оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов;

пакет программ прочностного расчета, адаптированный к особенностям структуры и физико-механических свойств оболочечных конструкций;

методика геометрического моделирования слоистых и сетчатых оболочек, учитывающая соотношения между углами и координатами армирующих ребер и волокон;

методика реализации частных видов расчетных схем в объектно-ориентированном пакете программ;

результаты параметрического исследования статического напряженно-деформированного состояния и устойчивости цилиндрической трехслойной подкрепленной оболочки и конической

сетчатой оболочки из полимерных композиционных материалов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г); на XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Истра, 2001 г); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Владимир, 2003 г.); на Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001 г.); на межвузовском научном семинаре «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 2002 и 2003 г.); на Ш Региональной научно-практической конференции студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2003

г).

Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 10 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 104 наименований и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 146 страниц, в том числе 79 рисунков и 5 таблиц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации; представлены основные концепции работы, определяющие ее научную новизну и практическую значимость; сформулирована цель и задачи работы, приведено краткое содержание работы по главам.

В первой главе проведен обзор основных методов и результатов математического моделирования механического поведения, прочности и устойчивости пространственных конструкций из полимерных композиционных материалов.

Задача определения прочности и устойчивости пространственных конструкций из полимерных композиционных материалов является предметом многочисленных исследований. Наиболее значительный вклад в развитие методов ее решения внесли А Я Александров, В.АБунаков, Г А Ванин, В.В. Васильев, В А.Ломакин, И.Ф.Образцов, Ю.В.Немировский, А.Я Григоренко и др В работах перечисленных авторов были построены теоретические основы математического моделирования статики, динамики и устойчивости конструкций из композиционных материалов с различными схемами армирования. С другой стороны, потребности расчета конструкций произвольной формы в широком диапазоне воздействий вызвали разработку

приближенных численных методов, развитых А.П.Деругой, О М Зенкевичем, В П Ильиным, В.А.Постновым, Л.Сегерлиндом и др., в которых существует принципиальная возможность учета сложной формы конструкции, но имеются количественные ограничения, затрудняющие достижение высокой точности результатов. Наиболее распространенным сеточным методом расчета полей напряжений и деформаций при произвольной форме конструкции из армированных материалов в настоящее время является метод конечных элементов В настоящее время существуют хорошо разработанные универсальные программные комплексы (в основном импортные), но они, с одной стороны, чрезмерно дороги, а с другой - ввиду закрытости кода недоступны для модификации, которая требуется для учета специфики строения и свойств новых классов конструкций

Поэтому для моделирования механического поведения оболочечных конструкций представляется актуальной разработка программных средств, имеющих открытый интерфейс и допускающих гибкую модификацию для учета особенностей новых видов конструкций машиностроительного назначения.

Во второй главе разработана методика объектно-ориентированного проектирования программ математического моделирования статического деформирования и устойчивости конструкций типа слоистых и сетчатых оболочек.

Исходя из анализа объекта моделирования, выделены две составляющие математической модели: параметры геометрической формы, внутреннего строения объекта и внешних воздействий как структурная модель, параметры отображения внешних воздействий на состояние конструкции, как функциональная модель

С использованием метода объектно-ориентированного проектирования построена объектная структура пакета прикладных программ (111111) математического моделирования методом конечных элементов (МКЭ) Выделены базовые объекты следующих категорий' абстракции сущности, соответствующие составляющим структурной модели и конечно-элементной сетки (геометрические объекты, топология, воздействия, жесткости); абстракции поведения, соответствующие математическим объектам (матрицы, интерполяторы, интеграторы, алгебраические решатели); абстракции виртуальной машины, соответствующие подзадачам математического моделирования и шагам подзадач

Абстракции виртуальной машины сгруппированы в три структурные составляющие пакета программ: препроцессор, с помощью которого достигается уменьшение трудоемкости формирования структурной модели; МКЭ-процессор, в котором реализованы вычислительные подзадачи; постпроцессор, упрощающий

анализ и интерпретацию результатов вычислительного эксперимента.

Математическая модель

Структурная

модель

Функциональная модель

Геометрия Топология

Структура материалов

Жесгсостные параметры

Определяющие соотношения материалов

Интегральные определяющие соотношения

Разрешающие уравнения системы

Кинематика ] Воздействия |

Рисунок 1. Структура математической модели

Панель инструментов

(Препроцессор ]

I

ЗГ) Редактор

Главное меню

Модель

Материал

| МЮ Процессор [-|Подзадача |

Импорт данных

Экспорт результатов

Система координат (СК)

Экспорт дискретной модели

Этап подзадачи

Степень свободы (СС)

_| Конструктивный элемент

Узел Параметры

сетки узла сетки

Решатель СЛАУ

Глобальная матрица

I Матричный преобразователь

Распределенная нагрузка

Конечный элемент (КЭ)

I

Конечный элемент

Матрица КЭ для подзадачи

Параметры* КЭ

| Аппроксиматор (Интегратор \-

Матрица упругости

[ Материал ]

б) процессор

а) препроцессор Рисунок 2. Динамическая структура классов Результатом работы препроцессора является построение агрегата подструктур, описывающих топологию, геометрию, материалы, жесткостные параметры, кинематические связи и воздействия.

Структура геометрических объектов является ориентированным списком и отражает топологию модели. Объекты списка находятся в отношении «клиент-сервер», причем самый верхний уровень иерархии занимают трехмерные объекты, которые владеют двумерными и используют их данные, а те, в свою очередь, владеют одномерными. Нижний уровень иерархии занимают нуль-мерные объекты - точки, из которых формируются одномерные. Использование полиморфизма позволяет построить эту структуру безотносительно к форме линий.

Для описания схемы армирования сетчатых и слоистых оболочек построены алгоритмы автоматического определения направлений

волокон и ребер, учитывающие геометрические соотношения между углами армирования и переменным радиусом оболочки От пользователя требуется задать только небольшое число параметров, что существенно упрощает формирование структурных моделей таких конструкций.

Основной частью разработанного пакета программ является МКЭ-процессор Он содержит объекты - подзадачи, которые связаны по данным. Реализованы подзадачи расчета статического деформирования и расчета устойчивости. Подзадача представляет собой полиморфный объект, производный от абстрактного класса «Подзадача» Управление подзадачей осуществляется интерактивно из окна подзадачи и отдельно задаваемыми опциями

Данные подзадачи хранятся в виде агрегата объектов -функциональной модели, которая автоматически формируется по структурной модели в соответствии с подзадачей По сравнению со структурной моделью, древовидная структура динамических связей объектов функциональной модели более разветвлена и содержит больше уровней иерархии Специфика используемых численных методов потребовала разработки классов категории «абстракция поведения», методы которых реализуют численное решение соответствующей краевой задачи

Центральное место в функциональной модели занимает класс «Конечный элемент» Виртуальные методы класса обеспечивают вычисление коэффициентов разрешающих уравнений перед ансамблированием модели и вычисление деформаций и напряжений после решения глобальных систем уравнений. Свойства абстрактного класса «Конечный элемент» наследуются в производных классах, которые могут отличаться формой конечных элементов, видом определяющих уравнений материала, способом аппроксимации искомых полей Классы конечных элементов образуют иерархию типа «родитель-потомок», что позволяет расширять библиотеку конечных элементов, используя свойства ранее реализованных классов Таким образом, объект «Конечный элемент» является полиморфным объектом, учитывающим специфику элемента функциональной модели

Экземпляр класса «Конечный элемент» агрегирует вспомогательные объекты, виртуальные методы которых реализуют вычисление промежуточных результатов в соответствии с традиционной методикой дискретизации краевых задач методом конечных элементов Динамически тип взаимодействия объектов в данном случае определяется отношениями типа «клиент-сервер» и «клиент-агент-сервер» Как правило, эти объекты - полиморфные и учитывают специфику элементов модели. Аппроксимация искомых

полей реализована в иерархии классов «Интерполятор» Базовый класс содержит виртуальные методы вычисления базисных функций и их производных в произвольной текущей точке элемента. Конкретный вид этих функций определен в производных классах Набор реализованных интерполяторов достаточен для построения лагранжевых, серендиповых и некоторых эрмитовых элементов со сплайн-интерполяцией до третьего порядка Вычисление коэффициентов квадратичных форм энергии осуществляется полиморфным объектом «Интегратор»

Определяющие соотношения материала задаются полиморфным объектом, в котором в зависимости от типа материала вычисляются физико-механические константы в направлениях линий кривизны оболочки с учетом направлений армирования Реализованы классы объектов для материалов с термоупругими свойствами с учетом анизотропии и зависимости физико-механических констант от температуры

На этапе сборки матриц коэффициентов разрешающих уравнений получаются глобальные матрицы модели (жесткости, геометрической жесткости), для хранения и преобразования которых разработаны классы разреженных матриц высокого порядка Объект «Глобальная матрица» является полиморфным; производные классы отличаются способом хранения матриц и их факторизации Использование полиморфизма позволило разработать объекты - решатели алгебраических задач, не зависящие от способа хранения глобальных матриц.

Рисунок 3 Схема динамического взаимодействия объектов при решении задачи линейной статики

На рисунке 3 приведены динамические связи объектов для задачи линейной статики сетчатых и спирально-армированных оболочек.

Таким образом, на основе объектного подхода к проектированию и реализации программ разработан пакет программ с открытой архитектурой, в котором предусмотрено наращивание дополнительными модулями с применением СОМ-технологии.

В третьей главе предложена методика построения расчетной сетки конечных элементов для моделирования конструкций рассматриваемого класса. Учтено, что подкрепленные и сетчатые оболочки могут содержать участки, которые не являются частью поверхности вращения. Построение расчетной сетки для таких конструкций требует применения более сложных алгоритмов геометрического моделирования и обычно связано с возникновением погрешности аппроксимации формы, которая влияет на качество аппроксимации искомых полей (перемещений, деформаций и напряжений).

Для четырехугольных участков криволинейных поверхностей хорошо зарекомендовали себя методы интерполяции, например, метод Кунса (1967) в трактовке Форреста (1972), использующий только информацию о границах поверхности и некоторые вспомогательные скалярные функции.

Рисунок 5. Единичный Рисунок 4. Построение точки треугольник для отображения

криволинейной поверхности

Для треугольных участков поверхностей предложена модификация известного алгоритма, в котором используется стягивание в одну точку двух соседних вершин четырехугольника.

Суть предлагаемой модификации заключается в следующем.

1. Определяется опорный треугольник, сторонами которого являются отрезки, соединяющие вершины криволинейной области (рисунок 4).

2. В опорном треугольнике находится точка пересечения отрезков, соединяющих проекции точек криволинейных контуров на стороны опорного треугольника.

За точку поверхности принимается точка, радиус-вектор которой равен сумме радиус-вектора точки в опорном треугольнике и линейной

1

Предла^-^

гаемый . ^Метод Кунса

алгоритм \

—-----^

комбинации нормалей к сторонам опорного треугольника, причем коэффициенты линейной комбинации принимаются равными безразмерным координатам точки единичного треугольника, вычтенным из единицы (рисунок 5).Предлагаемый алгоритм сравнивался с алгоритмом метода Кунса при построении сеток на участке сферы, ограниченном тремя секущими плоскостями, проходящими через центр сферы, и участке конуса, ограниченном секущей плоскостью, проходящей через вершину и пересекающей основание конуса Анализировалось максимальное отклонение узлов построенной сетки от заданной поверхности ^отн.максХ^) > Л е [О,/?], где Л - расстояние от плоскости опорного треугольника до центра сферы или центра основания конуса. Результаты сопоставления представлены на рисунке 6.

бсггн так. %

24

18 12 6

"О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 % °0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 %

а) б)

Рис. 6. Относительная погрешность аппроксимации: а) для участка сферы; б) для участка конуса

Дополнительным критерием качества регулярности сетки служит отношение максимальной и минимальной площадей КЭ Для одной восьмой сферы алгоритм Кунса дает отношение площадей КЭ •^тах/^тш =4,701, предлагаемый алгоритм - 1,48; для участка конуса соответственно 2,397 и 1,982.

Таким образом, предлагаемый алгоритм дает меньшую погрешность и более равномерную сетку, чем алгоритм Кунса.

В четвертой главе приведены функциональные модели статического деформирования и устойчивости тонких, трехслойных и сетчатых оболочек и результаты исследования их свойств. Предпочтение отдавалось известным и достаточно изученным конечным элементам. Тем не менее, проводилось исследование точности на модельных задачах, для которых известны точные решения.

Для моделирования подкрепляющих элементов оболочечных конструкций исследован КЭ короткой балки сплошного прямоугольного сечения из полимерных композиционных материалов, с малым по величине модулем поперечного сдвига, в рамках сдвиговой модели балки Тимошенко. Получены зависимости поперечных перемещений от модуля поперечного сдвига и критической силы при

осевом сжатии. Максимальная погрешность прогибов 0,11% получается при величинах модуля Ох2 > 5,Ъ%ЕХ. Величина критической силы отличается от точной на 0,4% при Ох^53%Ех. Таким образом, решение достаточно точно в широком диапазоне соотношения модулей, что позволяет использовать его как для композиционных, так и для изотропных балок.

Таблица 1. Минимальные собственные числа для пластины

Размеры сетки 2x3 2x5 2x10 2x20 4x20 4x40 4x80

Число КЭ модели 12 20 40 80 160 320 640

Соотношение 3/20 1/4 1/2 1/1 1/2 1/1 2/1

сторон КЭ

Собственное 0,222 0,211 0,206 0,205 0,206 0,206 0,206

число

Погрешность, % 8,152 2,593 0,112 0,078 0,047 0,011 0,014

Для моделирования сетчатых оболочек, с диагональными подкрепляющими элементами, проведено исследование треугольного конечного элемента (пластина Зенкевича). Исследована погрешность определения критических нагрузок от густоты и равномерности сетки. Результаты сопоставления с аналитическим решением приведены в таблице 1.

Рк,Н 70 60 £0 40 30 20 10

Рисунок 8. Зависимость критической силы от соотношения сторон На рисунке 8 приведена полученная зависимость критической силы от соотношения сторон пластины.

В пятой главе с использованием разработанной модели и пакета программ проведены параметрические исследования статического деформирования и устойчивости слоистых и сетчатых оболочек

В трехслойной цилиндрической оболочке с поперечным силовым набором и легким заполнителем под действием наружного избыточного давления и продольной сжимающей силы рассчитывались статические напряжения и критические нагрузки по устойчивости. Оценка точности проводилась сопоставлением результатов с независимым расчетом, в котором модель строилась на основе аппроксимации решения эрмитовыми сплайнами третьего порядка по меридиану и разложения в ряд Фурье по окружной координате Различие напряжений не превышало 1%, критических нагрузок - 10% Найдено, что в спектре критических нагрузок одна или две

0123456789^

наименьшие соответствуют изгибу оболочки в поперечной плоскости. При потере устойчивости по формам продольно-поперечного изгиба

прогибы максимальны вблизи опорного шпангоута (рисунок 9).

—

0,0009 0,0006 0,0003

о

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 71

Рисунок 9 Форма потери устойчивости при совместном действии внешнего давления и сжимающей продольной силы (прогиб) Удвоение момента инерции сечения шпангоута приводит к увеличению критической нагрузки на 15% Это подтверждает чувствительность модели к вариации конструктивных параметров.

Для сетчатой оболочки в виде усеченного конуса при действии сосредоточенных сжимающих сил, направленных вдоль оси оболочки, различие между результатами решения задачи статики пакетом «Композит» и разработанным пакетами составило 1,5%, устойчивости - менее 10%. Проведено исследование влияния на критические силы отклонений формы Получены зависимости коэффициента влияния несовершенств (рисунок 10) от амплитуды возмущения формы, отнесенной к толщине ребра.

а) б)

Рисунок 10 Зависимость коэффициента снижения критической нагрузки от амплитуды возмущения- а) при диагональном возмущении; б) при осесимметричном Наибольшее влияние на критическую силу оказывает осесимметричное возмущение - при амплитуде возмущения, равной толщине, коэффициент снижается до 0,5 При малых амплитудах возмущения (менее 0,5 толщины) наибольшее снижение вызывается несимметричным возмущением формы ячеек сетки По сравнению с гладкой оболочкой, чувствительность к малым несовершенствам формы (до 0,2 толщины) в 20 и более раз меньше

Полученные количественные оценки использованы при рациональном проектировании конструкций оболочечного типа

В работе получены следующие основные результаты.

1. Разработана объектная структура математических моделей краевых задач механики конструкций. Установлено, что для описания этих моделей достаточен набор базовых объектов следующих категорий: абстракции сущности, соответствующие составляющим структурной модели и конечно-элементной сетки; абстракции поведения, соответствующие математическим объектам; абстракции виртуальной машины, соответствующие подзадачам математического моделирования и шагам подзадач.

2. Разработан объектный пакет программ прочностного расчета, с полностью открытым интерфейсом, адаптированный к особенностям структуры и физико-механических свойств анизотропных оболочечных конструкций на основе предложенного объектного описания математических моделей краевых задач.

3. Разработан алгоритм геометрического моделирования криволинейных участков слоистых и сетчатых оболочек, обеспечивающий построение координатной поверхности и поля направлений армирования и существенно упрощающий для пользователя формирование структурных моделей таких конструкций Исследования показали, что по сравнению с существующими алгоритмами интерполяции погрешность моделирования получается в 3 раза меньше.

4. Разработана методика реализации частных видов расчетных схем в объектно-ориентированном пакете программ. По этой методике реализованы расчетные схемы моделирования тонких цилиндрических, сетчатых и трехслойных оболочечных конструкций. Показано, что модификация предлагаемого пакета для решения исследовательских задач механики конструкций занимает в 6-8 раз меньше времени, чем при процедурно-ориентированном подходе.

5. Получены количественные оценки зависимости параметров напряженно-деформированного состояния трехслойной подкрепленной цилиндрической оболочки от конструктивных параметров и конической сетчатой оболочки - от параметров локальных несовершенств формы. Подтверждена слабая чувствительность критических нагрузок потери устойчивости сетчатой оболочки из полимерных композиционных материалов к отклонениям формы, в 20 и более раз меньшая, чем для гладкой оболочки. Наибольшая чувствительность получена при осесимметричном возмущении формы.

6 Разработанная методика, пакет программ и полученные результаты исследования свойств математических моделей статики и устойчивости трехслойной оболочки использованы при выполнении хоздоговорной НИР по заказу ЦНИИ специального машиностроения, что подтверждено актом и справкой об использовании результатов работы.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Миткевич А.Б. Среда визуального формирования исходной модели для конечно-элементных расчетов. / А.Б.Миткевич,

B.О.Каледин, Вл.О.Каледин, А.Ю.Марченко // Информационные технологии и программирование. Межвузовский сборник статей. Вып. 1(10). - М.: МГИУ, 2004. - Ч. 2. - С.27-30.

2. Каледин В.О. О решении задач теории упругости в кусочно-неоднородном массиве с учётом условий на границах раздела / В.О. Каледин, Т.В.Бурнышева, А.Ю.Марченко // Вычислительные технологии.-2001. - Т.6. Специальный выпуск. -ч.2.

3. Каледин В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородного массива горных пород при действии массовых сил / В.О.Каледин, Т.В.Бурнышева, А.Ю.Марченко // Горный информационно-аналитический бюллетень.- М.: МГГУ, 2002. - № 1. -

C. 65-69.

4. Марченко А.Ю. Среда визуального формирования конечно-элементной модели / А.Ю.Марченко, В.О.Каледин // III Международная научно-практическая конференция / Материалы докладов - ЮРГТУ ПМ-2003. ч.1. - С.7-9.

5. Марченко А.Ю. Среда визуального формирования исходной модели для конечно-элементных расчетов / А.Ю.Марченко, В.О.Каледин // Тезисы докладов XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. - М.: МАИ, 2003. - 2т. - С.465-466.

6. Марченко А.Ю. Сервисные средства автоматизации расчета оболочечных конструкций // III Региональная научно-практическая конференция студентов и аспирантов. Доклады аспирантов и молодых ученых. Кемерово: КемГУ, 2003. - Ч. 2. - С.64-68.

7. Каледин В.О. О математическом моделировании полей напряжений в сложнопостроенном массиве горных пород / В.О.Каледин, Т.В.Бурнышева, А.Б.Цветков, А.Ю.Марченко // Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири (СИБРЕСУРС-8-2002): Доклады 8-ой Международной научно-практич. конференции. В 2 ч. - Томск: ТГУ, 2002. - 4.1. - С. 131-134.

8. Каледин В.О. Об учете условий совместности при расчете напряжений в кусочно-однородном массиве / В.О.Каледин, Т.В. Бурнышева, А.Ю.Марченко // XI междунар. конфер. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам / тезисы докл. - М.: МАИ, 2001. - С. 95-97.

9. Бурнышева Т.В. Напряжённо-деформированное состояние неоднородного массива горных пород при действии гравитационных сил / Т.В. Бурнышева, А.Ю.Марченко // Труды 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование».- Новокузнецк: НФИ КемГУ, 2001. - Т.1 - С. 47-50.

10. Каледин В.О. Моделирование статического деформирования стержневых систем и сетчатых оболочек / В.О.Каледин, А.Ю.Марченко // Материалы 4-й Всероссийской научно-практической конференции «Информационные технологии в экономике, науке и образовании. В 4 ч. - Бийск: Алт. ГТУ, 2004, ч.1. - С.99-101.

Подписано в печать 18.05.05. Формат 60 х 84 1/16. Бумага писчая. Ризография. Усл.печ.л. 1,0. Уч.-изд.л. 1,12. Тираж 150 экз.

Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета 654041, г. Новокузнецк, ул. Кутузова, 56, тел. 71-46-96

»11413

РНБ Русский фонд

7584

РИО НФИ КемГУ

«

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННО-АРМИРОВАННЫХ

ОБОЛ ОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

1.1. Анализ основных методов моделирования упругих конструкций.

1.2. Анализ основных методов математического моделирования устойчивости конструкций.

1.3. Анализ программных средств математического моделирования напряженно-деформированного состояния пространственных оболочечных конструкций из композиционных материалов.

1.4. Постановка задач исследования. Выбор методов исследования.

2. ОБЪЕКТНО-ОРИЕНТИРОВАННЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОИСТЫХ И СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.

2.1. Объектная структура математической модели.

2.2. Объектное строение структурной модели.

2.3. Объектная структура функциональной модели.

3. ОБЪЕКТНАЯ СТРУКТУРА ПАКЕТА ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Объектная структура препроцессора.

3.2. Объектная структура МКЭ-процессора.

3.3. Использование регулярностей строения конструкции.

3.4. Интерполяция поверхности и построение расчетной сетки для подкрепленных оболочек.

4. МОДЕЛИ СТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СЛОИСТЫХ И СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК.

4.1. Математические модели деформирования и устойчивости элементов fj силового набора.

4.2. Оценка точности моделирования статики и устойчивости элементов силового набора.

4.3. Математические модели деформирования и устойчивости оболочек с несовершенствами формы и диагональными подкрепляющими элементами.

4.4. Оценка точности моделирования статики и устойчивости пластин.

4.5. Математические модели деформирования и устойчивости круговой цилиндрической оболочки в линейной постановке.

4.6. Математические модели деформирования и устойчивости легкого и жесткого заполнителя трехслойной цилиндрической оболочки.

5. ПРИМЕНЕНИЕ РАЗРАБОТАННЫХ МОДЕЛЕЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ СТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СЛОИСТЫХ И СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕК.

5.1. Математическое моделирование статики и устойчивости трехслойной оболочки с легким заполнителем и силовым набором.

5.2. Оценка влияния величины локальных отклонений ребер сетчатой оболочки конической формы от поверхности вращения на критические силы.

Актуальность темы. Создание новых и совершенствование существующих конструкций машиностроительного назначения требует анализа их прочности и несущей способности на всех этапах проектирования. Одним из общепризнанных путей снижения общих затрат на проектирование, разработку и опытную доводку промышленных изделий является увеличение доли исследований, проводимых при предэскизной и эскизной проработке. Такие исследования на ранних стадиях проектирования включают неотъемлемым компонентом математическое моделирование.

В то же время, несмотря на имеющиеся хорошо разработанные методики математического моделирования отдельных аспектов механического поведения различных классов конструкций, до сих пор отсутствуют достаточно развитые средства компьютерной поддержки принятия проектно-конструкторских решений. Существующие универсальные программные комплексы (в основном импортные) чрезмерно дороги и недоступны для модификации ввиду закрытости кода. Кроме того, они не всегда учитывают специфику анализа частных классов конструкций при экстремальных воздействиях, поскольку это связано с использованием специальных определяющих соотношений между физико-механическими параметрами состояния материала.

Поэтому актуальны прикладные исследования, направленные на создание средств компьютерной поддержки проектно-конструкторских решений и математическое моделирование механического поведения новых видов конструкций машиностроительного назначения при экстремальных воздействиях.

Целью работы является создание средств компьютерной поддержки прочностных расчетов новых видов пространственных конструкций типа сетчатых и слоистых оболочек из полимерных композиционных материалов.

Идея работы состоит в выделении в математической модели конструкции структурной и функциональной составляющей, формулировке абстракций, определяющих геометрические, топологические и физико-механические свойства модели, определении основных функций модели в целом и её составных частей и построении в рамках объектно-ориентированной технологии программирования иерархии объектов, описывающих механическое поведение оболочечных конструкций. Научная новизна работы определяется: разработанной методикой объектно-ориентированного проектирования пакетов программ математического моделирования механического поведения оболочечных конструкций; разработанным универсальным пакетом программ математического моделирования с полностью открытым интерфейсом; реализацией программ прочностного расчета новых видов конструкций - сетчатых и спирально армированных оболочек; результатами параметрического исследования упругого деформирования и устойчивости сетчатых и спирально армированных оболочек.

Методы исследования включают: методы объектно-ориентированного анализа и проектирования для разработки пакета программ математического моделирования, метод конечных элементов для построения дискретной модели, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка.

Достоверность результатов обеспечивается использованием апробированных математических моделей упругого деформирования и линейной устойчивости рассматриваемых конструкций, методов численного решения краевых задач; сравнением результатов тестовых расчетов с аналитическими решениями соответствующих задач и исследованием сходимости итерационных последовательностей; сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с данными эксперимента.

Практическая значимость работы состоит: в разработке методики, алгоритмов и комплекса программ для расчета напряженно-деформированного состояния пространственных конструкций типа сетчатых и слоистых оболочек; в возможности использования результатов расчетов и пакета программ при проектировании силовых конструкций машиностроительного назначения для теоретической оценки несущей способности на ранних стадиях проектирования; в количественных оценках параметров напряженно-деформированного состояния, позволяющих проводить анализ влияния геометрических и упругих параметров на напряжения, деформации и устойчивость сетчатых и слоистых оболочек.

Работа выполнялась в соответствии с Целевой комплексной программой "Интеграция" Министерства образования РФ (проект Р-0045) и с планом НИР Новокузнецкого филиала-института Кемеровского государственного университета.

На защиту выносятся: объектная формулировка математической модели статического деформирования и устойчивости оболочечных конструкций из полимерных композиционных материалов; пакет программ прочностного расчета, адаптированный к особенностям структуры и физико-механических свойств оболочечных конструкций; методика геометрического моделирования слоистых и сетчатых оболочек, учитывающая соотношения между углами и координатами армирующих ребер и волокон; методика реализации частных видов расчетных схем в объектно-ориентированном пакете программ; результаты параметрического исследования статического напряженно-деформированного состояния и устойчивости цилиндрической трехслойной подкрепленной оболочки и конической сетчатой оболочки из полимерных композиционных материалов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на 4-й Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2001 г.); на XI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Истра, 2001 г.); на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Москва-Владимир, 2003 г.); на Международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001 г.); на межвузовском научном семинаре «Численно-аналитические методы решения краевых задач» (Новокузнецк, 2002 и 2003 г.); III Региональная научно-практическая конференция студентов и аспирантов (Новокузнецк, 2003 г).

Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 10 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы из 104 наименований и 2 приложений. Общий объем диссертации составляет 146 страниц, в том числе 79 рисунков и 5 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

1. Разработана объектная структура математических моделей краевых задач механики конструкций. Установлено, что для описания этих моделей достаточен набор базовых объектов следующих категорий: абстракции сущности, соответствующие составляющим структурной модели и конечно-элементной сетки; абстракции поведения, соответствующие математическим объектам; абстракции виртуальной машины, соответствующие подзадачам математического моделирования и шагам подзадач.

2. Разработан объектный пакет программ прочностного расчета, с полностью открытым интерфейсом, адаптированный к особенностям структуры и физико-механических свойств анизотропных оболочечных конструкций на основе предложенного объектного описания математических моделей краевых задач.

3. Разработан алгоритм геометрического моделирования криволинейных участков слоистых и сетчатых оболочек, обеспечивающий построение координатной поверхности и поля направлений армирования и существенно упрощающий для пользователя формирование структурных моделей таких конструкций. Исследования показали, что по сравнению с существующими алгоритмами интерполяции погрешность моделирования получается в 3 раза меньше.

4. Разработана методика реализации частных видов расчетных схем в объектно-ориентированном пакете программ. По этой методике реализованы расчетные схемы моделирования тонких цилиндрических, сетчатых и трехслойных оболочечных конструкций. Показано, что модификация предлагаемого пакета для решения исследовательских задач механики конструкций занимает в 6-8 раз меньше времени, чем при процедурно-ориентированном подходе.

5. Получены количественные оценки зависимости параметров напряженно-деформированного состояния трехслойной подкрепленной цилиндрической оболочки от конструктивных параметров и конической сетчатой оболочки — от параметров локальных несовершенств формы. Подтверждена слабая чувствительность критических нагрузок потери устойчивости сетчатой оболочки из полимерных композиционных материалов к отклонениям формы, в 20 и более раз меньшая, чем для гладкой оболочки. Наибольшая чувствительность получена при осесимметричном возмущении формы.

6. Разработанная методика, пакет программ и полученные результаты исследования свойств математических моделей статики и устойчивости трехслойной оболочки использованы при выполнении хоздоговорной НИР по заказу ЦНИИ специального машиностроения, что подтверждено актом и справкой об использовании результатов работы.

Кроме того, отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ Новокузнецким филиалом-институтом Кемеровского государственного университета в рамках целевой программы «Интеграция» (проект Р-0042) и в учебном процессе в курсах «Научно-исследовательская работа студентов», «Численные методы решения краевых задач» и «Прикладные математические модели и проблемно-ориентированное программирование».

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. - 287 с.

2. Айронс Б.М. Задачи о собственных значениях матриц конструкции: исключение лишних переменных // Ракетная техника и космонавтика. -Т.З. 1965. № 5. - С. 207-211.

3. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ: В 2-х ч. / А.В.Александров, Б.Я. Лащенников и др. М.: Стройиздат, 1976. - Ч. 1. - 248 с.

4. Александров A.B., Лащенников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. — М.: Стройиздат, 1983.-488 с.

5. Алфутов H.A.,Зиновьев П.А.,Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984. — 264 с.

6. Александров А.Я. Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнений/ А.Я. Александров II Докл. АН СССР, 1973, № 2. -с. 291-294.

7. Автоматизация одного метода решения пространственных задач теории упругости/ М.А.Алексидзе, К.Н.Самсония II Численные методы механики сплошных сред. ВЦ СО АН СССР Новосибирск:, 1973, т.4, №5. -с. 177-182.

8. Амиро И.Я., Грачев O.A., Заруцкий В.А., Палъчевский A.C. Устойчивость ребристых оболочек вращения Киев: Наукова думка, 1987. - 160 с.

9. Апанович В.Н. Метод внешних конечноэлементных аппроксимаций. -Минск: Вышэйшая школа, 1991. 171 с.

10. Ю.Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.-744 с.

11. М.Бакулин В.Н., Каледин Вл.О. Конечный элемент круговой арки с конечной сдвиговой жесткостью // Механика композитных материалов. 1988. -№5.-С. 915-921.

12. ХЪ.Бакулин В.Н., Демидов В.И. Трехслойный прямоугольный конечный элемент естественной кривизны // Изв. вузов. Машиностроение. — 1978. -№ 5. - С. 5-10.

13. Ы.Бакулин В.Н., Рассоха А.А. Метод конечных элементов и голографическая интерферометрия в механике композитов. М.: Машиностроение, 1987. — 312 с.

14. Баландин М.Ю., Шурина Э.77. Методы решения СЛАУ большой размерности Новосибирск: НГТУ, 2000. - 70 с.

15. Берт Ч. Расчет оболочек // Композиционные материалы: В 8-ми т. М.: Машиностроение, 1978.- Т.7. - С. 210-265.

16. М.Биргер И. А., Пановко Я.Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник: В 3-х т. М.: Машиностроение, 1968. - Т.2. - 464 с.

17. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

18. Буч Гради. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++, 2-е изд. / Перевод с англ. М: «Издательство Бином», СПб.: «Невский диалект», 1999г. - 560 с.

19. Ванин Г.А., Семенюк Н.П. Устойчивость оболочек из композиционных материалов с несовершенствами. Киев: Наукова думка, 1987. - 200 с.

20. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

21. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел / Д.В.Вайнберг, А.С.Городецкий II Прикладная механика. 1972, № 8.

22. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: Гос-стройиздат, 1958. - 502 с.

23. Волков Л.И., Шишкевич A.M. Надежность летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1975.-294 с.

24. Голуб Дж., Ч.Ван Лоун. Матричные вычисления; Пер. с англ. М.: Мир, 1999.-548 е., ил.

25. Горощенко Б.Т., Дьяченко A.A., Фадеев H.H. Эскизное проектирование самолета. М.: Машиностроение, 1970. — 332 с.

26. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. -360 с.

27. Григолюк Э.И., Носатенко П.Я., Ширшов Ю.Ю. Напряженно-деформированное состояние армированного композита при свободном нагреве // Механика композитных материалов. 1989. - № 3. - С. 549-551.

28. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек И Механика композитных материалов. 1988. -№ 2. - С. 287-298.

29. Григоренко Я.М. Изотропные и анизотропные оболочки вращения переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1973. - 228 с.

30. Гурьев H.H., Поздышев В.Л., Старокадомская З.М. Матричные методы расчета на прочность крыльев малого удлинения. М.: Машиностроение, 1972.-260 с.

31. ЪА.Еременко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: изд. «Основа» при Харьк. гос. ун-те, 1991. - 272 с.

32. Расчет собственных колебаний анизотропных прямоугольных тел структурным методом конечных элементов / С.Ю.Еременко, A.A.Рассоха II Прикладная механика, 1989, т.25, №8, - с. 34-39.

33. Ершов Н.П. Состояние и перспективы развития расчетно-эксперимен-тальных работ в области проектирования тонкостенных конструкций из композиционных материалов // Механика композитных материалов. -1988.-№ 1-С. 86-92.

34. Ершов Н.П. Устойчивость неоднородных конструкций // Механика и процессы управления, тр. XXXI Уральского семинара. Екатеринбург: Миасский науч.-учеб. центр. 2001. - 386 с.

35. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. — 541 с.

36. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М.: Недра, 1974.4О.Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем М.: Физматлит, 1995. - 288 с.

37. Оценка надежности агрегата планера самолета с использованием ЭВМ (Описание комплекса МКЭ КОМПОЗИТ): метод, указ. По дипломному проектированию / A.A.Рассоха, В.О.Каледин II Харьков: ХАИ. 1981. -63 с.

38. А2.Каледин В.О. Численно-аналитические модели в прочностных расчетах пространственных конструкций / НФИ КемГУ.- Новокузнецк, 2000. -204 с.

39. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния горных пород применительно к нефтегазовым задачам / В.О.Каледин, В.П.Ластовецкий II Геофизика. 1999, - №3, - с. 63-68

40. Методика определения напряженно-деформированного состояния упругого массива при действии массовых сил / В.О.Каледин, А.Б.Цветков,

41. Н. Ф.Давыдкин II Науч.тенич. альманах: Проблемы развития транспортных инженерных коммуникаций. М.: Информационно-издат.центр «ТИМР». - 2002. №1. - С. 24-27.

42. Численно аналитические методы в задачах механики сплошной среды с усложненными физико -механическими свойствами: Отчет о НИР; Руководитель В.О.Каледин. - Г.р. № 01860119967. Новокузнецк, 1989. -88 с. - Деп. ВНТИЦ, инв. № 02900000491.

43. Каледин В.О. Об автоматизации параметрического исследования элементов силовых конструкций из композитов на стадии проектирования //

44. Теория автоматизированного проектирования: Сб. науч. тр. Харьков, 1986.-С. 81-87.

45. Каледин В.О., Карпий В.М. Об автоматизации расчета напряженного состояния анизотропных оболочек // Вопросы проектирования и технологии производства конструктивных элементов летательных аппаратов: Сб. науч. тр. Харьков, 1986. - С. 70-79.

46. Каледин В.О. Осесимметричное термоупругое деформирование спирально армированных оболочек. Динамика сплошной среды, 2001. Вып. 119. С. 57-61.

47. Кан С.Н., Свердлов И.А. Расчет самолета на прочность. М.: Машиностроение, 1966. - 519 с.

48. Кантин Г., Клаф Р. Криволинейный цилиндрический конечный элемент // Ракетная техника и космонавтика. 1968. - №6. - С. 82-88.

49. Квитка А.Л., Ворошко П.П., Бобрицкая С.Д. Напряженно-деформированное состояние тел вращения. Киев: Наукова думка, 1977. - 209 с.

50. Метод расчета НДС трехмерного слоистого массива / А.М.Линъков, ВВ.Зубков, Л.А.Милова, Н.А.Филиппов II Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела.; в 3-х частях. Часть 2. — Алма-Ата: Гылым, 1992.-с. 142-159.

51. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.-368 с.

52. Напряженно-деформированное состояние вокруг эллипсоидальной полости / А.НЛуръе II Докл.АН СССР, т.87 1952. - № 5.

53. Образцов И Ф., Васильев В.В., Бунаков В.А. Оптимальное армирование оболочек вращения. М.: Машиностроение, 1977. - 144 с.

54. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

55. Напряженной состояние в полом бесконечном цилиндре, вызванное движущейся нагрузкой / И.П.Олегин, И.Г.Перепелкин II Динамика и прочность элементов авиационных конструкций. Новосибирск: НЭТИ. — 1990.

56. ПЪ.Олегин ИП. Численно-аналитические методы исследования концентрации напряжений в элементах конструкций при пространственном напряженном состоянии // Дисс. . докт.техн.наук. Новосиб.: НГТУ, 2002, 274 с.

57. Размеростабильные платформы из композитов для научных исследований / А.В.Суханов, В.О.Каледин, Вл.О.Каледини др. II Тез. докл. 2-й Моск. междунар. конф. по композитам. М., 1994. -С. 125.

58. ПЬ.Парлетт Б. Симметричная задача собственных чисел. — М.: Мир, 1983. — 384 с.

59. Пагано Н. Роль эффективных модулей в исследовании упругих свойств слоистых композитов // Композиционные материалы. В 8-ми т. Т.2, М.: Мир, 1978,-с. 13-37.

60. Расчет неоднородных пологих оболочек и пластин методом конечных элементов / В.Г.Пискунов и др. Киев: Вища школа, 1987. - 200 с.

61. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Ленинград: Судостроение, 1974.-342 с.

62. Протасов В.Д., Филипенко A.A. Безмоментные цилиндрические оболочки с переменными параметрами упругости // Механика композитных материалов. 1984. - №3. - С. 493-502.

63. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. -Рига: Зинатне, 1988. 284 с.

64. Нагруженный стан для эллипсоидально порожени. / Г.М.Савин, Ю.М. Подилъчук II Докл. АН УССР. А № 1. - 1968. - с. 69-72.

65. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями / A.A. Самарский, В.Л.Макаров II М.: Высшая школа, 1987. -206 с.

66. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978.-592 с.

67. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979. — 392 с.

68. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. -349 с.

69. Размеростабильные платформы из композитов для научных исследований / А.В.Суханов, В.О.Каледин, Вл.О.Каледини др. // Тез. докл. 2-й Моск. междунар. конф. по композитам. М., 1994. - С. 125.

70. Съярле Ф. Метод конечых элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980,-512 с.

71. Тарнополъский Ю.М.,Жигун И.Г.,Поляков В.А. Анализ распределения касательных напряжений при трехточечном изгибе балок из композитов // Механика полимеров. 1977. - № 1. - С. 56-62.

72. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. - 592 с.

73. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. -М.: Мир, 1977. 189 с.97Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 389 с.

74. Chen L.-W.,Chern Н.-К. The vibrations of pre-twisted rotating beams of general orthotropy. J. Sound and Vibrations, 1993, 187, №3, p.529-539 (англ.)

75. Irons B.M. A frontal solution program for finite element analysis. Int. J. Numer. Meth. Eng., 1970, № 2, p.5-32 (англ.)

76. Isaakson G., Levy A. Finite-Element Analysis of Interlaminar Sheap in Fibrous Composites. J.Comp.Mat., v.5, № 4, 1971, p.273-276 (англ.)101 .Robinson J. Understanding finite element stress analysis. Robinson

77. Associates, England, 1981. 405 p. (англ.) 102.Sabir A.B., Lock A. C. A curved cylindrical shell finite element. - Int.J. Mech.