автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Разработка методов и вычислительных алгоритмов реализации и идентификации стохастических билинейных систем

\ ч >'к

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАХСКОЙ ССР

КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. АЛЬ-ФАРАБИ

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ РЕАЛИЗАЦИИ И ИДЕНТИФИКАЦИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

05.13.16. — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Па правах рукописи

Шуакаев Марат Капашевич

УДК 519.3;533.6.011

А вторефер а т диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма - Ата 1991

Работа выполнена в Казахском Ордена Трудового Красного Знамени политехническом институте им.В.И.Ленина. Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор АСАУБАЕВ К.Ш.

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук, профессор Ш.С.Смагулов; кандидат технических наук, доцент С.П.Соколова

Ведущая организация -

Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований АН СССР

Защита состоится "30» января * 1992 г. вч.

на заседании специализированного совета К 058.01.16 при Казахском Государственном Университете им. Аль-Фараби по адресу; 480012, г.Алма-Ата, ул.Масанчи, 39/47 в ауд. 3/6 Университета.

Отзывы на автореферат направлять пс адресу:

480121, Алма-Ата, Тимирязева,46,Казахский государственный

университет,ученому секретарю

Автореферат разослан 199/г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

И.Ф.ЖЕРЕБШЪЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

р.йо™. В «п™™, „_

¡-у"данзийческих систем сложилось два направления. Одно из них основано на изучении поведения системы в ее пространстве состояний, другое-на изучении преобразования "вход-выход", осуществляемое системой.

Методы "пространство состояний" и "вход-выход" при исследовании стохастических динамических систем взаимно дополняют друг друга. Если первый является удобным в качественном исследовании наиболее "тонких" свойств системы, то второй дает возможность развивать количественные метода исследования глобальных свойств системы.

Имеется достаточно много работ,посвященных исследованию в этих направлениях. Например, в концепции отображения "вход-выход" доказаны теоремы существования реализации в абстрактном гильбертовом пространстве с привлечением аппарата алгебр и групп Ли для нелинейных стохастических систем . Однако, методы и вычислительные алгоритмы реализации и идентификации в нелинейном непрерывном случае отсутствует1. В связи с этим следует актуальность работ по развитию методов "пространства состояний" и "вход-выход" для исследования нелинейных систем.

Цель работы. Целью работы является разработка методов и вычислительных алгоритмов, которые позволяют;

- находить вольтерровскио модели нелинейной системы полиномиального типа, билинейных стохастических систем и исследовать их свойства сходимости и конечности;

- решить задачу реализации, т.е.по отображению "вход-выход" в нелинейном детерминированном случае через известные ядра Вольтерра находить параметры одномерной нелинейной системы полиномиального типа , в стохастическом непрерывном случае по последовательности взаимно-корреляциошых функций восстанавливать параметры устойчивой билинейной стохастической системы, а в стохастическом дискретном случае по билинейной корреляционной последовательности находить параметры " управляемой " дискретной стохастической билинейной системы:

- решить задачу идентификации, т.е. по отображению "вход-выход" восстановить параметры реального об'екта и ее модели для одномерных нелинейных систем полиномиального типа, стохастически устойчивых

билинейных - систем и проанализировать меру близости об'екта и модели;

- осуществить достоверность полученных теоретических результатов и вычислительного эксперимента на ЭВМ.

Научная новизна. В работе на основе развития методов "пространства состояний" и "вход-выход" решена научная проблема создания методов и вычислительных алгоритмов задач реализации и идентификации для одномерных нелинейных систем полиномиального типа и билинейных стохастических систем. Новыми являются следующие результаты ;

1. Методы построения вольтерровских моделей одномерных нелинейных детерминированных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем , обеспечивающих в отличие от известных методов:

а) получение универсальной структуры ашроксимационной модели с невырожденной ганкелевой матрицей в нелинейном детерминированном случае;

б) доказательство теоремы существования и единственности с достаточным критерием сходимости стохастического ряда Вольтерра в билинейном стохастическом случае и предложен алгоритм вычисления ядер Вольтерра;

в) установление связи между стохастическими рядами Вольтерра и нильпотентными алгебрами Ли.

2. Методы и вычислительные алгоритмы реализации и идентификации для одномерных нелинейных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем, обеспечивавших в отличие от известных методов:

а) доказательство теоремы существования аппроксимационной билинейной реализации для нелинейной детерминированной одномерной системы и разработку алгоритмов реализации и идентификации;

б) доказательство теоремы о вычислении последовательности взаимно-корреляционных функций, что позволяет разработать методы и вычислительные алгоритмы реализации и идентификации для устойчивых стохастических билинейных систем.

Практическая ценность'' работы. На основе теоретических результатов работы было создано научно-методическое и программное обеспечение задач' реализации и идентификации для одномерных нелинейных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем. При непосредственном участии автора был создан пакет прикладных программ "ЗБСРИУ".

Апробация работа.Основные результаты диссертации докладывались

и обсуждались;на семинарах "Ряда Вольтерра и теория управления" под руководством проф.К.Ш.Асаубаева,"Численные методы механики сплошной среды" под руководством проф.Ш.С.Смагулова, На Республиканской конференции по проблемам вычислительной математики (Алма-Ата,1988), на IX Республиканской научной конференции (Алма-Ата,1989), на Всесоюзном совещании "Методика использования ЭВМ при изучении математических курсов в высших учебных заведениях страны" (Караганда,1991). Публикации.Основные результата диссертации опубликованы в б работах. Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обосновывается актуальность темы исследований, касащейся затрагиваемых в работе вопросов. Сформулирована цель работы и кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе приводятся актульность теш исследований, дается краткий обзор литературы, касащейся затрагиваемых в работе вопросов и сформулирована постановка задачи диссертационной работы.

В первом параграфе главы дается обзор основных направлений исследований сформировавшихся в теории рядов Вольтерра.

Первое, разработанное Ю.С.Попковым , использует метод анализа преобразования "вход-выход", который базируется на описании системы некоторым функционалом . Это позволяет рассматривать систему как преобразователь процесса, действушцего на его входе, в выходной процесс. Для изучения преобразования "вход-выход" не требуется информации о внутренней структуре системы,его свойства удается исследовать в терминах глобальных характеристик системы как целого. Приложение этого направления развито в теории идентификации.

Второе - устанавливает связь между обыкновенными (стохастическими) дифференциальными уравнениями и детерминированными ( стохастическими) рядами Вольтерра, с последущим изучением связи между рядами Вольтера и алгебрами Ли.

Исследование сходимости в теории рядов Вольтерра ведется, в основном, на базе двух методов;принципа сжатых отображений и мето-

да мажорантных рядов. Показано,что применение обоих методов приводит одному и тому же критерию сходимости.

Изучение связи между рядами Вольтерра и алгебрами Ли приводит к исследованию свойства конечности ряда Вольтерра.

Третье направление решает обратную задачу по отношению к второму направлению.Оно решает задачу нахождения связи между описанием системы детерминированными ( стохастическими ) рядами Вольтерра и соответствующими моделями в концепции "пространства состояний". Этр направление развивается как теория реализации и идентификации.Далее приводится краткий обзор второго направления из которого следует, что имеются различные методы, описыващие связь между обыкновенными дифференциальными уравнениями и соответствующими рядами Вольтерра для различных детерминированных нелинейных систем,но в стохастическом нелинейном случае эта задача изучена еще слабо. Делается обзор работ по исследованию свойств сходимости и конечности вольтерров-ских моделей,который резюмирует,что критерии сходимости нелинейных детерминированных систем носят локальный характер, а также слабо изучены вопросы сходимости стохастических рядов Вольтерра и их связи с алгебрами Ли.

Во втором параграфе главы приводится обзор методов детерминированной и стохастической реализации.Из которого следует,что теория нелинейной детерминированной реализации разработана достаточно полно с применением аппарата алгебр и групп Ли. Существует алгоритмы реализации в билинейном случае, а в нелинейном случае имеются только теоремы существования реализаций, а их алгоритаы отсутствуют. Стохастический нелинейный вариант теории реализации разработан только в дискретном билинейном случае.

В третьем параграфе главы дается обзор подходов детерминированной и стохастической идентификации, использующие метод реализации. Он показывает, что работ в данном направлении мало.

В конце главы сформулирована постановка задачи, которая заклю- ■ чается в следующем:

- построить водьтерровские модели одномерных нелинейных детерминированных систем полиномиального типа, стохастических билинейных систем и исследовать их свойства сходимости и конечности;

- разработать метода реализации и идентификации для одномерных нелинейных детерминированных систем полиномиального типа и стохастических билинейных непрерывных во времени систем;

- разработать вычислительные алгоритмы реализации и идентификации для указанного выше класса систем.

Вторая глава посвящена разработке вольтерровских моделей одномерных детерминированных нелинейных систем и стохастических билинейных систем.

В первом параграфе главы рассматривается нелинейная система в "пространстве состояний" вида

x(t) = f(x) + uct)g(x). х(0) = 0 . (1)

y(t) = h(x(t)) . (2)

i

где u(t) - управление, u(t) « U=(u(t): t e [0,»),J|u(t)Idt<*,o0},

о

x(t) - состояние, X e R , y(t) - выход, а функции f(.)g(.).h(.) раскладываются в ряд Маклорена в некоторой окрестности начала координат, причем

п г>

f(0) = О, МО) - 0, g(0) - О, f(x) = I а,/ , -g(x)= J bkxk.

k:l k = 1

Требуется построить аппроксимационную вольтерровскую модель системы (1)-(2) представлящее отображение "вход-выход". Поставленная задача решается следущим образом. После нелинейной ( лексиграфической ) замены координат систему (1)-(2) можно представить в виде бесконечномерной билинейной системы. Осуществляя линеаризацию этой системы, путем введения замены переменного х' = ,

2с

получим конечномерную билинейную систему вида

(3) (4)

X = Ах + Nx u(t) + Bu(t) , y(t) = Cx' (t) .

at a» ■ ' Л Ь, • •• ъп

0 2a, . • 2an_4 N = 2ЬС 2b, .

0 0 . • 3Sn-2 0 зь0 . • зьп.2

0 0 . • nat . 0 0 . . nbt

b=(bo.0.....0)T , c= (с.....с ).

Исследование свойств системы (3)-(4) было проведено в общем случае на компактных связанных грушах Ли. Используя идею Бруни.о том,что решение системы (3)-(4) представляется как предел равномерно сходящейся последовательности решений соответствующих линейных систем на отрезке [0,11- Тогда решение системы (3)-(4.) запишется в виде следухцего ряда Вольтерра

00 ь & О.

уЦ) = I $ .....»^и^)...^»)©,..^ , (5)

V - 1

0 О О

где ...,».) - ядра Вольтерра,

А(1Н> ) ) А^-^)

V? =Се Ке N...е Ь , (1=1,2,...). (6)

Во втором параграфе главы находится решение стохастической билинейной системы вида

йхц) = (Ах(г) + штш +ьх(г)й«(г) , (7)

у(Ю = Сх(1;) , х(0) = х0 . (8)

где А,В - матрицы размерности п-<п,х(1;),Ь - п-мерные столбцы , - стандартный винеровский процесс, иШ - Функция огра}шченной вариации. Ка основании формулы Ито и метода последовательных приближений получается решение системы ( 7 ) - ( 8 ) в виде стохастического ряда Вольтерра с детерминирозанньми ядрами

1 о &.

1 I

У») = 2 Л" Л" .....)с1«(»а>...йИ& ). (9)

ООО

где V?. (г ,...) имеют вид (6).

Исследуются вопросы существования и единственности ряда Вольтерра (9) в гильбертовом пространстве на основании принципа сжатых отображений. Следует отметить, что свойства стохастической управляемости и наблюдаемости системы (7)-(8) были исследованы в [2].

В первом пункте третьего параграфа исследуется свойство сходимости аппроксимационной вольтерровской модели (5)-(6) для случая, когда ядра физически возможны,"устойчивы" и сепарабельны. Условие равномерной сходимости ряда (5) на отрезке [0,Т] пред-

ставляется в виде

lui <

J lfft(t)Idt

—00

Во втором пункте третьего параграфа главы даются достаточные критерии сходимости стохастического ряда (9). Ка основании результатов второго параграфа и этого пункта доказана следующая теорема:

ТЕОРЕМА I. Для билинейной стохастической системы (7)-(8) существует единственное ресение, представленное в виде ряда Вольтерра (6),(9), которое сходится при достаточном условии:для любых матриц А,В,С и любого фиксированного t существует оО, что при любом N

ИМ < *

В третьем пункте третьего параграфа главы устанавливается связь между стохастическими рядами Вольтерра и алгебрами Ли, которая позволяет исследовать свойство конечности ряда. Доказана теорема.

ТЕОРЕМА 2. Если набор матриц (N.aci^N.l?-целое) нильпотентен.то ряд Вольтерра (9) - конечен.

В заключении предлагается алгоритм реализации классов билинейных систем, имеющих конечные ряды Вольтерра.

Третья глава посвящена построению методов реализации для одномерных нелинейных детерминированных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем.

В первом пункте первого параграфа главы ставится следушая задача :

рассматривается отображение "вход-выход" I/O : U - Y ,

оэ

где U:(u(t): t е [0,®), J|u(t)|dt < ^ > о )- пространство управ-

о

лявдих функций,a Y - состоит из функций действительного ■ переменного, задаваемых с помощью ряда Вольтерра (5).

Задача реализации состоит в том,чтобы по данному отображению I/O (5), т.е. по заданным известны?-! функциям Wt(t,» ,... ) (i = 1,2,...), восстановить нелинейную систему вида (1)-(2), отображение "вход-выход", которое совпадало бы с i/o (5).

- ю -

Определение I. Будем говорить,что ашроксимационная реализация отображения "вход-выход" i/o: U -> Y имеет место, если для каждого с > 0 найдется система вида (3)-(4),функция выхода которой отличается от у(t) = l/0(u) на отрезке [0,Т] меньше, чем на с :

ly(t) - y£(t)l < * .

Решение поставленной задачи реализации следует из следующей теоремы;

ТЕОРЕМА 3. Для отображения "вход-выход" (5) существует аппрок;-симационная билинейная реализация вида (3)-(4).

Доказательство этой теоремы основывается на результатах первого параграфа первой главы, определения аплроксимационной реализации и алгоритма билинейной детерминированной реализации с использованием норм Фробениуса.

Во втором пункте второго параграфа главы предложен алгоритм нелинейной реализации.В силу нелинейности, ганкелева матрица реализации оказывается вырожденной.Поэтому.чтобы избегать особенность в векторах В и С вводятся малые параметры.

В первом пункте второго параграфа главы решается следующая задача:

рассматривается непрерывная билинейная стохастическая система

вида

dx = Ах (t)dt + Bxd"(t) , х СО) = xQ , (10)

у (t) = Сх et) , (11 )

где А,В - квадратные матрицы.х(г) - столбец, С -строка одинаковых размерностей, «(t) ~ стандартный Би;:еровский процесс.

Известны отображение "вход-выход" (9) для (IO)-(II) и последовательность взаимно-корреляционных функций

^(tî.K^t,*).....lyt,^.....ek)...

Тогда задача стохастической реализации заключается в том, чтобы по заданному отображению "вход-выход" (9) восстановить стохастически устойчивую билинейную систему (IO)-(II).

Решение поставленной задачи находится на основе теоремы о вычислении последовательности взаимно-корреляционных функций, метода детерминированной билинейной реализации и исследования стохастической устойчивости.. Вьщелим основной результат.

ТЕОРЕМА 4.Для отображения "вход-выход" (9) последовательность взаимно-корреляционных функций представляется в виде;

R^t) = Ey(0)y(t) = Се QC ,

y(0)y(t)(<o(»+h)-«(& ) A<t-Ö> AÖ Т

R, (t,^.) = lln E---— =Ce Be QC ,

hO h

0<»4<t (12)

y(P)y(t)(«(»-h)-<o(ö ). . +h)-<o(ö )

lUt,»......».)= Ilm E-------— =

hO h

А < t - & > A Ö T

= Ce 1 Be ... QC ,

0<\<V,<---«\ <t •

Теорема 4 показывает,что последовательность взаимно-корреляционных функций имеют вид ядер Вольтерра для детерминированных билинейных систем.

Во втором пункте второго параграфа предложен алгоритм стохастической билинейной реализации.

В третьем параграфе главы разработаны методы и алгоритмы реализации для дискретных однородных и неоднородных стохастических билинейных систем с одним входом.

В первом пункте третьего параграфа главы предложен метод реализации дискретной однородной стохастической билинейной системы с одним входом, аналогичный методу непрерывной билинейной реализации. Отличие состоит в том , что в дискретном случае восстановленная система в " пространстве состояний " исследуется на управляемость.

Во втором пункте третьего параграфа реализация.дискретных стохастических неоднородных билинейных систем предложена на основе теоремы, устанавливавдая связь между неоднородными и однородными дискретны™ системами.

Рассмотрим дискретную неоднородную билинейную систему вида

х' (k+1) = Fdx' (k) + Gdx' (кМк) + Nd«(k) ,

у(к) = Н х (к)

- 12 -

и однородную дискретную систему

х(к+1) = Аах(Ю + В^ОсЖЮ

(14)

у НО = Сах(Ю .

ТЕОРЕМА 5. Любое отображение "вход-выход" реализованное системой (13) , кочет быть реализовано системой вида (14).

Следовательно,на основании этой теоремы можно применить метод реализации для неоднородных дискретных стохастических билинейных систем с одним входом.

Четвертая глава посвящена построению методов и алгоритмов идентификации дая нелинейных детерминированных одномерных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем.

В первом пункте первого параграфа главы рассматривается следующая задача;

цусть задано отображение "вход-выход"

1/0 : и У ,

СО

где и ; { Ш) : 1; е со,®),/ 1и(1;)1сН; < > о ) - пространство

о

управляющих функций,а У -состоит из действительных функций, заданных с помощью ряда Вольтерра

I & & ■ I ^

у(г)=1/0(и)= > X X......е1)и(г-»1)...и(1-»1){1в1...й»1>

о о о

(15)

где .....<\) - ядра Вольтерра неизвестны.

Задача нелинейной идентификации состоит в том,чтобы по известным множествам и и у восстановить нелинейную систему (1)-(2).

Задача стохастической непрерывной билинейной идентификации заключается в том, чтобы по заданному входу <о(г) и выходам - уЦ), у' (г) и условий налагаемых на системы, восстановить стохастически устойчивые билинейные системы (10)-(11) у. (18), имеющие меры близости ганкелевых матриц по норме Фробениуса и по взаимно-корреляционным функциям.

- 13 -

Укажем основные этапы метода идентификации:

- параметры реального об'екта (10)-(II) определяются согласно алгоритма стохастической реализации:

- в области 0<»к<...с^сг вычисляем значения взаимно-корреля-

со

ляционных функций модели об'екта ,... )> ,в выбранных

к —О

узловых точках с помощью выборочного среднего при уменьшающихся значениях ь. , согласно формул (12) для ограниченных значений к:

- методом наименьших квадратов аппроксимируем полученные решетчатые функции полиномами;

-по полученной последовательности взаимно-корреляционных функ-ю

ций (II (1;,в.....®к)> , используя алгоритм стохастической били-

у =о

нейнсй реализации, находи-? параметры билинейной стохастической системы (18).

Предложен алгоритм идентификации.Мера близости ганкелевьгх матриц об'екта и модели по норме Фробениуса позволяют более точно приблизить параметры об'екта и модели.

Для решения поставленной задачи по данным и и у переходим к алгебраическому отображению "вход-выход" вида

= Ок , (16)

где М - множество марковских параметров дискретной билинейной системы (14).

Очевидно,что определение марковских параметров дискретной билинейной системы из эксперимента "вход-выход" является линейной задачей. Но,поскольку матрица ик является необратимой,то желаемые марковские параметры не могут быть идентифицированы точно только с одним экспериментом.Поэтому имеется соответствующий мотод определения многоиндексных марковских параметров.К примеру,дважды индексные параметры получаются путем возмущения системы единичными импульсами в дискретных во времени точках к=0 и к=1 и могут быть вычислены для к^+1, 1^1 по формуле

= ПК) - М^ - . (17)

1 ' 1

Многократноиндексные параметры получаются аналогичным образом из уравнения (16).

По найденному множеству М находим ганкелеву матрицу н, а по ней

согласно алгоритму билинейной реализации определяется параметры А^. Вц.Са системы (14). Далее выводятся формулы связи между дискретными и непрерьюными билинейными системами, что позволяет восстановить параметры непрерывной билинейной системы.

х(г) = Ах(1;) + ВхШ) ,

у£(0 = сх(г) . (17)

По билинейной системе (17) находим нелинейную систему (1)-(2).

Во втором пункте первого параграфа главы предложен алгоритм нелинейной идентификации.

Во втором параграфе предлагается метод и алгоритм стохастической идентификации билинейных непрерывных систем.

Рассматриваемый реальный об'ект описывается системой(Ю)-(11). Модель об'екта ищется в виде другой стохастической системы

йх' = д'х'йг + в'х'смю

у' =с'х'т , (18)

Ех' х'т = О* .

В качестве меры близости между об'ектом и моделью рассматривается разность ск (г,т4,... ,тк) между взаимно-корреляционными функциями

об'екта Ък(,х,тх,...,тк) и модели ^ (г.т1,... ,тк) .

В третьем параграфе предложен метод идентификации дискретных билинейных систем с одним входом.Приводятся обоснования применения . бесконечномерной ганкелевой матрицы для алгоритма идентификации и выбора вектора состояний модели об'екта.

Пятая глава посвящена общему системному и функциональному опи-анию пакета программ, предназначенного для решения задач нелинейной детерминированной и билинейной стохастической идентификации. Предлагается вычислительный эксперимент.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

- 15 -

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1.Проведен обзор и анализ основных методов реализации и идентификации нелинейных детерминированных и стохастических систем.

2.Разработаны вольтерровские модели одномерных нелинейных детерминированных систем полиномиального типа и стохастических билинейных систем.Исследованы in свойства сходимости и связь с ниль-потентньми алгебрами Ли.

3.Разработаны метода и алгоритмы реализации для указанного выше класса систем на'основе подучешюй формулы вычисления последовательности взаимно-корреляционных функций. В отличие от алгоритма детерминированной реализации используется мера близости ганкелевых матриц по норме Оробениуса.что позволяет расширить класс реализуемых систем.Другое отличие состоит в том, что в стохастическом билинейном случае восстановленные об'екты проверятся на устойчивость.

4.Разработаны методы и алгоритмы идентификации для одномерных нелинейных систем полиномиального типа и устойчивых билинейных' стохастических систем на основе решения задачи реализации.

5.Для повышения эффективности исследования задачи идентификации для указанного выше класса систем разработано программное обеспечение в виде пакета прикладных программ.

Основные результаты опубликованы в следующих работах;

1. Асаубаев К.Ш.,Шуакаев М.К. О некоторых свойствах вольтерровские моделей стохастических билинейных систем.//В сб."Модели,методы и системы автоматизации производственно-технологических процессов". Алма-Ата.КазПГИ,1990.-с.4-13.

2. Иуакаев М.К.,Усманов P.P. Об исследовании задач управляемости , наблюдаемости и стабилизации по отображению "вход -выход".-М., 1991.lc.-Деп.в ВИНИТИ,28.03.91,N 3209.

2- Асаубаев К.Ш.,Попков Ю.С..Шуакаев М.К. Анализ управляемости и наблюдаемости одного класса нелинейных систем методами алгебр Ли.//Тезисы Республиканской конференции по проблемам вычислительной математики.2-6 октября.-Алма-Ата,;Наука,1988.-с.9.

4. Асаубаев К.Ш. , Боровский Ю.В..Шуакаев М.К. О стохастической управляемости и наблюдаемости одного класса систем со случайными параметрами, //ix Республиканская научная конференция;Тезисы докла-

ДОВ. - Алма-Ата,198Э.-с. 100.

5. Асаубаев К.Ш., Боровский D.B..Шуакаев М.К. К алгоритму идентификации нелинейных систем полиномиального тала . // Совещание секции ТСО научно-методического совета по математике Госкомитета СССР по народному образованию : Тезисы докладов. 17-19 сентября. -Караганда,1991.-с.5.

6. Асаубаев К.Ш.,Боровский Ю.В.,Шуакаев М.К. К алгоритму идентификации стохастических билинейных систем . //Совещание секции ТСО научно - методического Совета по математике Госкомитета СССР по народному образованию : Тезисы докладов .17-19 сентября. -Караганда,1991.-с.б.