автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка методов и алгоритмов обработки информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов

На правах рукописи

ПОЛЕНОВА Юлия Евгеньевна

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ НА ОСНОВЕ СОВМЕСТНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ, ВРЕМЕННЫХ И ЧАСТОТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Специальность: 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации» (информационно-телекоммуникационные системы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Белгород 2006

Работа выполнена в Белгородском государственном университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Травин Геннадий Александрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Харламов Геннадий Юрьевич;

доктор технических наук, старший научный сотрудник Храбростин Борис Владимирович

Ведущая организация: Военная академия воздушно-космической обо

Защита состоится 16 ноября 2006 года в 16 часов на заседании диссертационного совета ДС 212.015.04 в Белгородском государственном университете, по адресу: 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгородского государственного университета.

Автореферат разослан «_» октября 2006 года.

роны им. Г. К. Жукова, г. Тверь

Ученый секретарь диссертационного совета

Савотченко С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди комплекса задач, возлагаемых на средства контроля воздушно-космического пространства, распознавание объектов по их координатным и некоординатным признакам и обработка получаемой информации представляют собой одну из сложных и актуальных научно-технических проблем. Решение этой проблемы осуществляется на основе применения информационных средств радио- и оптического диапазонов длин волн. Так, для контроля космического, пространства создан специальный радиооптический комплекс, содержащий активные радиолокационные и оптико-электронные информационные средства. Для решения задачи контроля воздушного пространства наряду с активными применяют автономные и многопозиционные системы пассивной локации (МСПЛ).

Качественные показатели систем получения и обработки информации можно повысить на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов. В средствах МСПЛ, особенно в частотно-временном анализаторе (ЧВА) с быстрым спектральным анализом (БСА), в ходе первичной обработки информации взаимное влияние частотных и временных параметров сигналов, несомненно, учитывается. В то же время при вторичной обработке информации на пункте управления совместному использованию пространственных и частотно-временных параметров сигналов уделяется недостаточное внимание. В первую очередь это касается решения задачи отождествления результатов измерений в разнесенных пунктах приема.

Кардинальным решением проблемы отождествления результатов измерений пространственных координат источников радиоизлучения (ИРИ) может послужить использование результатов оценивания частотно-временных параметров сигналов (средняя несущая частота, спектр сигнала, длительность и период следования импульсов и др.). Идея параметрического отождествления результатов измерений высказывалась. Однако алгоритмы обработки информации не были разработаны и решение проблемы оставалось на уровне идеи. В связи с этим разработка и исследование алгоритмов обработки информации в

3

целях решения рассматриваемой проблемы требуют своего решения. Ввиду ее сложности необходимо выполнить широкомасштабное математическое моделирование.

В лазерных информационных системах необходимость учета взаимного влияния пространственных и временных параметров сигналов носит иной характер, особенно при облучении объекта импульсом со сверхразрешением в радиальном направлении. В то же время несмотря на особенности электромагнитного излучения в радио- и оптическом диапазонах длин волн, в вопросах обработки информации можно найти много общего. В связи с этим в плане постановки задачи не следует раздельно рассматривать обработку информации в различных диапазонах длин волн, целесообразно искать общность и взаимное использование полученных результатов. Эта общность наиболее ярко проявляется при рассмотрении алгоритмов оценивания частотно-временной структуры сигналов ИРИ в средствах радиотехнического контроля воздушного пространства и в лазерных информационных системах при пространственно-временной обработке сигналов со сверхразрешением в радиальном направлении. Проведенный краткий анализ дает основание считать тему диссертации актуальной.

Объектом исследования являются системы контроля воздушно-космического пространства.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы обработки информации в угломерных системах пассивной локации и лазерных системах на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов.

Целью диссертационного исследования является совершенствование методов и алгоритмов обработки радиотехнической и лазерной информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов.

Для достижения поставленной цели сформулирована научная задача, а именно: разработка методов и алгоритмов обработки информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов.

Декомпозиция поставленной задачи в диссертационной работе свелась к рассмотрению совокупности следующих частных логически взаимосвязанных задач:

1. Угломерные системы пассивной локации с обработкой информации в частотно-временном анализаторе с быстрым спектральным анализом.

2. Разработка алгоритмов распознавания - отождествления сигналов источников радиоизлучения в угломерных системах пассивной локации.

3. Разработка методов обработки информации в лазерных системах со сверхразрешением объектов в радиальном направлении на основе учёта взаимного влияния пространственных и временных параметров сигналов.

Совокупность указанных задач и определяет в основном структуру и содержание данной диссертационной работы.

Методы исследования: теоретические и математическое моделирование.

В результате проведенного диссертационного исследования в работе получен ряд новых научных результатов, основные из которых выносятся на защиту:

1. Математическая модель физических устройств моноимпульсного пеленгатора.

2. Алгоритмы распознавания-отождествления, разработанные на основе совместного использования пространственных и частотно-временных параметров сигналов.

3. Алгоритмы пространственно-временной обработки лазерных сигналов при априорной неопределенности формы поверхности объекта.

4. Метод определения формы поверхности объекта на основе совместного использования пространственных и временных параметров лазерных сигналов.

Научная новизна работы заключается в совершенствовании методов и алгоритмов обработки радиотехнической и лазерной информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов и содержит следующие результаты:

1. Математическая модель физических устройств моноимпульсного пеленгатора.

2. Алгоритмы и математическое моделирование цифровой обработки информации в моноимпульсных пеленгаторах угломерной системы пассивной локации.

3. Алгоритмы распознавания-отождествления, разработанные на основе совместного использования пространственных и частотно-временных параметров сигналов.

4. Аналитическое выражение для пространственно-временной корреляционной функции флуктуаций сверхкороткого импульса, рассеянного на кривой шероховатой поверхности.

5. Алгоритмы пространственно-временной обработки лазерных сигналов при априорной неопределенности формы поверхности объекта.

6. Метод определения формы поверхности объекта на основе совместного использования пространственных и временных параметров лазерных сигналов.

Научная значимость результатов исследования заключается в совершенствовании методов и алгоритмов обработки информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов. Разработанный подход к решению задачи структурного анализа адаптивных многопозиционных систем пассивной локации может служить основой для проведения научных исследований по рассматриваемой тематике. Созданные математические модели можно использовать для дальнейшего совершенствования алгоритмов обработки информации в многопозиционных системах пассивной локации. Установленная применимость в лазерных информационных системах алгоритмов оптимальной обработки радиотехнических сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры оказывается весьма плодотворной в проведении научных исследований.

Кроме того, полученные новые научные результаты расширяют представления о возможностях математического моделирования в решении задач обработки информации.

Практическая значимость результатов исследования заключается в следующем:

1. Обоснованный подход к решению задачи структурного анализа позво-

6

ляет вести разработку адаптивных многопозиционных систем пассивной локации, обеспечивающих высокие качественные показатели.

2. Внедрение разработанных алгоритмов распознавания-отождествления в МСПЛ может повысить их эффективность.

3. Разработанные алгоритмы распознавания образов применимы не только для решения задачи отождествления результатов измерений в УС, но и в решении задачи распознавания носителей ИРИ.

4. Метод определения формы поверхности объекта составляет основу для измерения оптической передаточной функции (ОПФ) системы атмосфера-телескоп, что, в свою очередь, открывает возможность решать задачи восстановления искаженных изображений.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций обеспечена корректностью постановки задач, всесторонним анализом возможных вариантов их решения на основе использования многочисленных литературных источников и опыта разработки станций радиотехнической разведки (РТР). Достоверность математических моделей физических устройств получения и первичной обработки информации в моноимпульсном пеленгаторе подтверждается совпадением вида сигналов на выходе реальных физических устройств и их соответствующих моделей. В основу разработки алгоритмов отождествления результатов измерений в УС положены фундаментальные достижения в теории опознавания образов по критерию наименьшего расстояния.

Полученные новые научные результаты имеют ясную физическую трактовку и не противоречат общепринятым представлениям.

Апробация результатов исследования. Основные теоретические положения и практические результаты работы докладывались и обсуждались на XI международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация связь» (ИЫМС * 2005) в Воронеже, а также на научно-технических конференциях Ярославского ЗРИ ПВО в 2002 г., ЦНИИП в 2005 г. (Моск. обл., г. Жуковский) и 2 ЦНИИ МО РФ в 2005 г.

Материалы диссертационной работы были опубликованы в 10 печатных работах, из них статей 8.

Структура и объем диссертационной работы. Работа состоит из введения, 3 разделов, заключения, списка использованных источников из 128 наименований и приложения. Содержание работы изложено на 174 листах машинописного текста, иллюстрируется 51 рисунком и 4 таблицами.

Личный вклад автора в проведённое диссертационное исследование состоит в следующем. Лично автором выполнено математическое моделирование физических устройств получения и первичной обработки информации в моноимпульсном пеленгаторе, а также разработаны алгоритмы и математические модели распознавания-отождествления сигналов ИРИ в МСПЛ. Кроме того, лично автором разработаны алгоритмическая и программная реализация задачи генерации последовательностей случайных объектов на основе их законов распределения для оценки эффективности алгоритмов автоматической классификации. Указанные положения составляют основу выполненного диссертационного исследования. При этом две статьи опубликованы без соавторов, причем одна из них в издании перечня ВАК [10].

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель работы и задачи исследования, приведены результаты исследования, отражены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, перечислены научные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе дается общая характеристика методов и алгоритмов обработки информации в угломерных системах пассивной локации.

По результатам проведённого анализа сложности радиоэлектронной обстановки обоснована актуальность задачи структурного анализа адаптивных МСПЛ. Математически поставленная задача формулируется в виде оптимизационной задачи: определить рациональный технический облик ^ системы на

Сп К/,0,.1

множестве возможных технических решений а^^гшп-—-^ ПрИ вы_

^заполнении ограничений: Ф'м еф°; Э'зм е Э°; С'рй е С°. В связи со сложностью

общей формализации и большой размерностью задачи структурного анализа адаптивных систем целесообразным является осуществление декомпозиции общей задачи на последовательность взаимосвязанных этапов.

Окончательные оценки делаются по интегральному показателю о = —ка"

р

■г»

чества вариантов реализации адаптивной системы, который характеризует обобщённую удельную стоимость обеспечения вероятности выполнения задачи системой (т.е. эффективность ее функционирования). Показано, что по интегральному показателю наиболее предпочтителен вариант, представляющий собой адаптивную комбинацию малобазовых УС и разностно-дальномерных систем и среднебазовой УС. Сочетание в нижнем звене угломерных и разностно-дальномерных принципов координатометрии и придают синтезированной структуре свойство адаптивности по отношению к спектрально-временным характеристикам принимаемых сигналов ИРИ. Поскольку в нашей стране среди возможных МСПЛ, к сожалению, нашли применение лишь угломерные системы, совершенствование алгоритмов обработки информации в таких системах до сих пор остаётся актуальным.

В УС задача координатометрии ИРИ решается триангуляционным методом по результатам измерения пеленгов при известных базах между моноимпульсными пеленгаторами (МП). При этом возникает проблема отождествления результатов измерений в пункте управления при многоцелевой воздушной обстановке. В диссертации разработан алгоритм матричного преобразования результатов измерений, для реализации которого необходимо построить матрицу преобразования получаемой информации. В целях решения этой задачи рассмотрен метод, основанный на использовании результатов оценивания частотно-временных параметров сигналов станциями РТР, которые входят в состав УС.

В качестве иллюстрационного примера рассмотрен случай отождествления сигналов ИРИ в пунктах приема по несущей частоте. В этом случае в каждом пункте приема наряду с определением азимутов целей необходимо также иметь оценки частоты принимаемых от них сигналов; координаты цели вычисляются по совокупности тех азимутальных оценок различных каналов, которым

соответствуют принимаемые колебания с примерно одинаковой несущей частотой.

Последующие исследования посвящены первичной обработке информации в средствах УС. Обращено внимание на то, что для обработки сигналов (обнаружения и измерения параметров) в современных радиотехнических средствах необходимо осуществлять спектральное преобразование за 1 мкс в полосе частот не менее 250...500 МГц, поскольку время существования сигналов ИРИ в эфире весьма невелико (от долей микросекунды до нескольких десятков микросекунд), а принимаемые сигналы могут быть очень широкополосными (до нескольких десятков мегагерц). В связи с этим в качестве предмета исследования выбран приемник, построенный с использованием аналоговых Фурье-процессоров на базе дисперсионных линий задержки, позволяющий вести обработку сигналов в полосе 500 МГц в реальном масштабе времени, что эквивалентно просмотру 500 параллельных каналов с полосой пропускания 1 МГц и обеспечивающий соответствие выходных сигналов во временной области комплексному спектру обнаруженного сигнала.

Для оценки технических характеристик частотно-временного анализатора (ЧВА) с быстрым спектральным анализом (БСА) сигналов ИРИ разработана и исследована имитационная математическая модель (рис.1).

На вход модели поступают сигналы из конструктора ансамбля сигналов. При этом можно подавать любую комбинацию из трех сигналов (хотя их число может быть произвольным) из меню видов сигналов с возможностями вариации параметров в пределах, необходимых для имитации любых ИРИ. В блоке спек-троанализатора сигналы подвергаются БПФ на интервале от 0 до 1 мкс.

В ходе исследования модели получен ряд новых результатов. Так, например, установлено, что при обработке сигналов на фоне собственных шумов наличие полосового ограничителя в приемном тракте с ростом амплитуды сигнала приводит к появлению нечетных гармоник, что, в свою очередь, проявляется при обработке в широкополосном ЧВА. Учитывая различия в распределении амплитуд по гармоникам, сигналы можно отселектировать после обработки в амплитудном квантователе на выходе ЧВА. Кроме того, на модели по импульс-

10

ному сигналу определялась пороговая чувствительность канала с БСА при изменении длительности импульса. Установлено, что изменение длительности на один порядок соответствует потерям в 20 дБ. Показано, что потенциальные потери при приеме таких сигналов можно уменьшить, если предусмотреть частотное разделение канала спектрального анализа на несколько параллельных каналов при соответствующем уменьшении длительности выборки ансамбля сигналов и шума.

Рис. 1. Структурная схема модели амплитудного моноимпульсного пеленгатора с обработкой сигналов в ЧВА.

Для решения задачи пеленгования ИРИ по результатам обработки сигналов на выходе ЧВА, для комплексного решения вопросов согласования динамического диапазона входных сигналов и тракта ЧВА, а также оценки влияния нелинейных эффектов при наличии ограничения в каналах, в структурную схему модели ЧВА с БСА был введен ряд дополнительных элементов (рис. 1). В схему модели включены блоки (окна) ограничителя сигналов, каналы имитации трех антенн (левая, правая, ПБЛ), состоящие из системы частотного кодирования и уплотнения, соответствующих аттенюаторов и блоков формирования

собственных (коррелированных) шумов.

Имитационное моделирование показало, что при обработке информации необходимо учитывать свойства (амплитуду и ширину спектра) и положение в этой области доминирующего сигнала, идентифицированного с соответствующей антенной. Затем с помощью модели амплитудного моноимпульсного пеленгатора (АМП) находятся коэффициенты пропорциональности, связывающие их с константами приемных антенн, а именно: уровнями пересечения диаграмм направленности трех антенн и крутизной углового дискриминатора, а также выделяются признаки положения пеленгуемого ИРИ в главных лучах или в области боковых лепестков

Второй раздел содержит разработку алгоритмов распознавания - отождествления сигналов источников радиоизлучения в угломерных системах пассивной локации.

Более глубокое изучение актуальной задачи отождествления результатов измерений показывает ее сложность и неочевидность, в связи с чем на уровне идеи, развитой в предыдущем разделе, не следует останавливаться — необходимо разработать алгоритмы ее решения и провести широкомасштабное математическое моделирование. При этом задачу параметрического отождествления следует рассматривать как частный случай задачи опознавания образов.

На рис. 2 изображена структурная схема моделируемой системы, предназначенной для решения сформулированной выше задачи. Функционально разработанную модель можно разделить на две части — одна часть моделирует работу физических устройств (Блок моделирования физических устройств), другая часть представлена алгоритмами цифровой обработки информации и распознавания сигналов, которая является основной в модели моноимпульсного пеленгатора. В то же время без моделирования физических устройств невозможно построить модель цифровой обработки информации в моноимпульсном пеленгаторе. Блок моделирования физических устройств содержит (см. рис. 3): 1. Блок геометрических расчётов, алгоритмы функционирования которого позволяют имитировать перемещение целей в пространстве и поворот антенн приёмных пунктов.

Рис. 2. Структурная схема модели параметрического отождествления.

2. Генератор сигналов, позволяющий моделировать любые виды сигналов ИРИ. Для максимального приближения к реальной ситуации алгоритм формирования сигналов оперирует с ковариационными матрицами с отличными от нуля ковариациями пар признаков. Ковариации формируются по случайному алгоритму, учитывающему дисперсии признаков. Разработаны алгоритмическая и программная реализация задачи генерации последовательностей случайных объектов на основе их законов распределения для разработки и оценки эффективности алгоритмов автоматической классификации.

3. Управляемый усилитель служит для масштабирования сигналов, имитируя их различный уровень. Масштабированный сигнал складывается на сумматоре с шумовой составляющей, получаемой от генератора шума, представляющего собой генератор псевдослучайной последовательности.

Рис. 3. Детализированная функциональная схема блока моделирования физических устройств.

Основным алгоритмом первичной цифровой обработки сигналов является алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) с прореживанием по времени, использующий свойства последовательностей с числом выборок N = 2":

где IV = е /(2т/Л°, к — номер выборки.

Раздел содержит обоснование применяемого в модели алгоритма БПФ с иллюстрацией на примерах наиболее сложного его участка — перестановки данных.

Для модели разработаны алгоритмы распознавания образов, которые работают с набором характерных признаков объектов. Эти признаки позволяют распределять объекты по категориям (классам), где под классом понимают совокупность образов, имеющих одни и те же признаки. Исследованы алгоритмы опознавания образов по критерию наименьшего расстояния, составляющие теоретическую базу для разработки прикладных алгоритмов с учётом особенностей решаемой задачи:

(X - М()Т(Х - М,) <: (X - М, )Т(Х - М,), (2)

где X — вектор текущего измерения, МА — математические ожидания классов

объектов.

Метод отождествления по наименьшему расстоянию позволяет выбрать минимальное количество эталонных сигналов, к которым близки опознаваемые сигналы, для уменьшения числа рассматриваемых классов в других методах распознавания и дает им критерий оценки близости.

В большинстве задач классификации конструкторы систем не располагают полным описанием общих признаков, присущих объектам, которые подлежат опознаванию. В этих устройствах применяются обучающие измерения с делением пространства гиперплоскостями, образуемыми методом последовательной дихотомии по условию

ХТ(М, - М2) = ^М'М, - 1м*М2. (3)

Доказана теорема сходимости, суть которой заключается в следующем: если обучающие измерения линейно различимы, то адаптивный процесс

С0=0,

с Г Х^С^О (4)

после конечного числа адаптаций будет сходиться к вектору весовых коэффициентов, который разделяет обучающие измерения. Здесь через Сл обозначена

15

пороговая функция на п-й итерации, а У, = X, для всех X, е <», и У; = —X, для всех X, е со2.

Разработана и исследована статистическая модель системы опознавания образов. Получены соотношения, которые являются основными в машинном обучении и автоматическом опознавании образов:

Р,(Х) -> Р,(Х | X,) />(Х | Х„ Х2) ... -> Р,(Х |Х„ Х2, ..., X,), (5) где X, — обучающие измерения образов. Они показывают, что в оптимальном

опознавании (т.е. при минимальной вероятности неправильной классификации) обучающие измерения применимы при определенном ряде плотностей вероятности совокупности образов. Система оптимального опознавания должна использовать всю известную информацию для определения плотности вероятности всей поступающей неизвестной информации, что порой бывает нереализуемо.

Разработаны и исследованы алгоритмы машинного обучения. Обоснована структура построения вычислительного устройства функции правдоподобия для известных среднего значения и ковариации:

1 .1 _! 1 _! _1

ДХ) = ХТК",М-^ХТК-,Х = (К 2Х)Т(К 2М)-^(К 2Х)Т(К 2Х), (6)

где К — ковариационная матрица. Разработано адаптивное корреляционное вычислительное устройство функции правдоподобия. Получена асимптотическая формула для оценки вероятности ошибок распознавания:

-а&2

[е2 ах = —

л/2тг _Г 4к

е 8 42л

(7)

где к — число обучающих измерений, Д2 = (М2 - М,)/2, а = [ 1 + (2к) '] 2.

Достаточно подробно рассмотрена процедура разделения образов на два класса, которая является основой алгоритма классификации по решающему правилу

Р(Х,И)^с12-С22 Р(а>2) Р(Х;\со2) сгх-спР{а>У

где Су — функции цены.

Это связано с тем, что всегда происходит последовательное сравнение неизвестного образа с эталонными и неизвестными сигналами, полученными в предыдущих наблюдениях.

Исследованы вопросы реализации и приведены результаты оценок эффективности алгоритмов автоматической классификации при параметрической и непараметрической оценке качества.

Третий раздел посвящен разработке алгоритмов и методов обработки информации в лазерных системах со сверхразрешением объектов в радиальном направлении на основе учёта взаимного влияния пространственных и временных параметров сигналов.

Установлено, что при разработке методов обработки лазерной информации целесообразно воспользоваться апробированными и реализованными в станциях РТР алгоритмами оптимальной обработки сложных сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры. В решении задачи статистического синтеза возникает трудность практического вычисления отношения правдоподобия или его логарифма, связанная с неопределенностью ожидаемого (опорного) сигнала, который обозначают как Одним из пу-

тей исключения указанной неопределенности является представление Х{{) в виде обобщенного ряда Фурье

¿(/> = £¿^(0, (9)

V

где Ъу — неизвестные комплексные коэффициенты, — известные орто-нормированные функции (ортонормированный базис).

При представлении Х{С) в виде ряда (9) применяют мультикативно-ортогональный базис, в котором сдвинутые последовательно во времени на интервале А/ функции Котельникова заменяют на совокупность сомкнутых,

но не перекрывающихся между собой прямоугольных импульсов гес1(/) = ¥„(/) длительностью А/. При облучении объекта сверхкоротким импульсом интенсивность принимаемого сигнала будет изменяться во времени в зависимости от

17

априори неизвестной формы поверхности объекта, что можно считать аналогом неизвестной частотно-временной структуры радиотехнического сигнала. Таким образом, ожидаемое (опорное) изображение по аналогии с (9) можно представить в следующем виде:

/«Ло-Е^&о^с о. (ю)

V 9

Продолжая аналогию с оптимальной обработкой радиотехнических сигналов, опорное изображение необходимо также представить в виде обобщенного ряда Фурье в базисе не перекрывающихся, сомкнутых в пространстве областей площадью Д5\ При обработке информации в плоскости изображения необходимо обеспечить согласование величины Д51 с элементом пространственного разрешения системы "атмосфера-телескоп" и с элементом разрешения приемного устройства.

Решение задачи пространственно-временной обработки лазерных сигналов при априорной неопределенности формы поверхности объекта получило свое завершение в поэлементной обработке рассеянных сверхкоротких импульсов. Анализ отношения правдоподобия для пуассоновской статистики проводится в сопоставлении с корреляционным интегралом, применяемым в радиолокации, что делается с целью получения большей убедительности в полезности и правомочности проводимых аналогий. Приведенные формулы позволяют рассчитывать погрешности измерения времени запаздывания сигнала в каждом

элементе Д51 при различных уровнях сигнальных п с и помеховых п „ фотоэлектронов.

Последующие исследования связаны с особенностями получения информации при сверхразрешении объекта в радиальном направлении на основе совместного использования пространственных и временных параметров сигналов. Получено выражение для пространственно-временной корреляционной функции флуктуаций поля в следующем виде:

Г(Д«,/,г)= | | (ехр {-1(р(их, ) - Кр(иг, *2)} )(Ьс1с1хг (11)

Г'(с0 Г'(с/+г)

к

где <р(и,х) = -1—(х-и)2-г2к/(х)-12кИ(х); /(х) —функция, описываю-

2л

щая регулярную часть поверхности объекта; И(х) — случайная функция, описывающая шероховатости поверхности; Аи = и2~ м,; ги— длительность импульса; t = t2-tl.

Выполнив статистическое усреднение в (11), получаем

/"(«(»♦»)) V Л ) \ 41 дх ] а2)

(12)

где а2, е — дисперсия и масштаб неровностей поверхности соответственно.

Аналогичное выражение получено для двумерного случая, в котором распределение интенсивности излучения в картинной плоскости

,2

/(х,у) = ехр

Л

(13)

Отмечается, что при нормальном законе распределения поля корреляционная функция полностью описывает его статистические характеристики.

Таким образом, при рассеянии сверхкороткого импульса поверхностью объекта пространственные и временные флуктуации поля в апертурной плоскости оказываются взаимосвязанными, что затрудняет решение задачи статистического синтеза алгоритмов оптимальной обработки сигнала, результаты которого изложены в Приложении.

Разработан метод определения формы поверхности объекта, основанный на его облучении сверхкоротким импульсом с последующим измерением скорости перемещения изображения, суть которого заключается в следующем. Представим себе некоторую точку А на поверхности объекта, освещенную передним фронтом импульса. Импульс распространяется в направлении оси Ъ со скоростью света с. Освещенная точка А вдоль оси X в картинной плоскости (Х,У) будет распространяться со скоростью

К 04)

tga

где о:— средний угол наклона элемента поверхности,

19

tga = ft(x). (15)

В плоскости изображения отраженный сигнал от этой «точки» будет распространяться вдоль оси ¿"со скоростью

Г с tga

где ^— фокусное расстояние оптической системы; Я — расстояние между картинной и апертурной плоскостями. Из этого соотношения следует, что

=-или а = агсгя-. (17)

* ЯУ{ ЯУ;

При распространении зондирующего сигнала вдоль линии визирования будут освещаться всё новые участки поверхности объекта, измерение по формуле (17) среднего угла наклона каждого из которых в разрешаемых элементах позволяет определить форму всей видимой части поверхности. Именно в этом состоит сущность разработанного метода. Завершенность выполненного исследования обеспечена оптимизацией обработки информации и оценками точностных характеристик.

В заключении сделано обобщение полученных новых научных результатов и представлены рекомендации на проведение дальнейших исследований. Так, например, высказано обоснованное предложение применить метод определения формы поверхности объекта для разработки нового метода определения оптической передаточной функции системы "атмосфера-телескоп" в активной интерферометрии. Использование результатов полного поляризационного зондирования объектов в радиодиапазоне может стать новым научным направлением в развитии оптической локации.

Обобщая полученные новые научные результаты, сделаны следующие выводы:

1. Совместное использование пространственных и частотно-временных параметров сигналов позволило разработать алгоритмы распознавания-отождествления, позволяющие устранить неоднозначности результатов измерений в многопозиционных системах пассивной локации.

2. При разработке алгоритмов пространственно-временной обработки ла-

20

зерных сигналов в условиях априорной неопределенности формы поверхности объекта весьма плодотворным оказалось использование последних достижений теории и техники оптимальной обработки радиотехнических сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры. Полученные результаты показали, что алгоритмы обработки радиотехнической и оптической информации имеют много общего.

3. Совместное использование пространственных и временных параметров лазерных сигналов со сверхразрешением в радиальном направлении позволило разработать новый метод определения формы объекта.

Основное содержание диссертационной работы полностью отражено в следующих научных работах автора:

1. Поленова Ю.Е. Учет взаимного влияния пространственных, временных и частотных параметров локационных сигналов в системах получения и обработки информации / Ю.Е. Поленова, И.Ф. Полюхин, В.В. Серых, Г.А. Травин // Вопросы специальной радиоэлектроники: науч.-техн.сб. Сер. «Общие вопросы радиоэлектроники». Вып.2. - Таганрог: Изд-во ТНИИС, 2001. -С. 221-225.

2. Поленова Ю.Е. Пространственно-временная корреляционная функция флук-туаций сверхкороткого импульса, рассеянного на кривой шероховатой поверхности / Ю.Е. Поленова, Г. А Травин // Научные ведомости БелГУ. Сер. «Физика». - Белгород, 2001. - №2 (15). - С. 125-129.

3.Поленова Ю.Е. Модель восстановления изображения в лазерном локаторе при двухпозиционном облучении объекта сверхкоротким импульсом / Ю.Е. Поленова, Г.А Травин // Актуальные вопросы разработки и внедрения высоких технологий в системы государственного и военного управления, образования, вооружения и военной техники военно-воздушных сил: тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф. - Ярославль: Изд-во ЯЗРИ ПВО, 2002. - С.36-37.

4. Поленова Ю.Е. Математическое моделирование приемного канала с быстрым спектральным анализом для обнаружения и определения параметров

источников радиоизлучения / Ю.Е. Поленова, Ю.Н. Седышев, В.А. Симаков,

21

Г.А. Травин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. сб. тр. - СПб., 2004. - Вып.10. - С. 170-179.

5. Поленова Ю.Е. Математическое моделирование моноимпульсного пеленгатора с обработкой информации в частотно-временном анализаторе / Ю.Е. Поленова, Р.К. Давлеткалиев, Ю.Н. Седышев, В.А. Тютюнник, Г.А.Травин // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. сб. тр. - СПб., 2004. - Вып. 10. - С. 180-191.

6. Поленова Ю.Е. Анализ моноимпульсного пеленгатора с обработкой информации в частотно-временном анализаторе по результатам математического моделирования / Ю.Е. Поленова, Ю.Н. Седышев, Р.К. Давлеткалиев, О.С. Кравцова // Научные ведомости БелГУ. Сер. «Физика». - Белгород, 2004. - Вып. 9. №3(20). - С. 151-156.

7. Поленова Ю.Е. Отождествление результатов измерения в угломерных системах пассивной радиолокации по частотно-временным параметрам сигналов источников радиоизлучения / Ю.Е. Поленова, О.С. Кравцова, Г.А. Травин, М.Г. Травин // Тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф. — Жуковский: Изд-во ЦНИИП, 2005.- С.189-190.

8. Поленова Ю.Е. Адаптивные системы пассивной радиолокации / Ю.Е. Поленова, О.С. Кравцова, Ю.Н. Седышев, В.М. Терешко, Г.А. Травин // Радиолокация, навигация, связь: сб. докл. XI междунар. научн.-техн. конф. — Воронеж, 2005. - Т.З. - С.1689-1692.

9. Поленова Ю.Е. Программный комплекс генерации случайных последовательностей объектов для разработки и оценки эффективности алгоритмов автоматической классификации / Ю.Е. Поленова // Информационные технологии моделирования и управления, 2006. - №5(30). - С. 589-593.

10. Поленова Ю.Е. Частный алгоритм и программный комплекс для автоматической классификации случайных объектов/ Ю.Е. Поленова // Системы управления и информационные технологии, 2006. - № 2.1(24). - С. 176-178.

\

Подписано в печать 02.10.2006. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Усл. п. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 218. Оригинал-макет подготовлен и тиражирован в издательстве Белгородского государственного университета 308015 г. Белгород, ул. Победы, 85

Список принятых сокращений.

Введение.

1. Угломерные системы пассивной локации с обработкой информации в частотно-временном анализаторе с быстрым спектральным анализом

1.1. Методический подход к решению задачи структурного анализа адаптивных многопозиционных систем пассивной локации.

1.2. Разработка алгоритма матричного преобразования получаемой информации в угломерных системах пассивной локации для отождествления результатов измерений.

1.3. Математическое моделирование частотно-временного анализатора с быстрым спектральным анализом.

1.4. Математическое моделирование моноимпульсного пеленгатора с обработкой сигналов в частотно-временном анализаторе.

2. Разработка алгоритмов распознавания - отождествления сигналов источников радиоизлучения в угломерных системах пассивной локации

2.1. Структурная схема модели моноимпульсного пеленгатора с цифровой обработкой информации.

2.2. Блок моделирования физических устройств.

2.2.1. Алгоритм геометрических расчетов.

2.2.2. Алгоритм формирования сигналов.

2.3. Алгоритмы первичной цифровой обработки сигналов.

2.3.1. Алгоритм быстрого преобразования Фурье.

2.3.2. Алгоритмы цифровой фильтрации и восстановления сигналов

2.4. Алгоритмы распознавания образов.

2.4.1. Опознавание образов по критерию наименьшего расстояния.

2.4.2. Синтез пороговых функций.

2.4.3. Статистическая модель системы опознавания образов.

2.4.4. Машинное обучение.

2.4.5. Решающее правило.

2.4.6. Разделение на два класса.

2.4.7. Реализация и результаты оценки эффективности алгоритмов автоматической классификации.

2.5. Руководство по работе с моделью.

3. Разработка методов обработки информации в лазерных системах со сверх разрешением объектов в радиальном направлении на основе учёта взаимного влияния пространственных и временных параметров сигналов.

3.1. Анализ применимости в лазерных информационных системах алгоритмов оптимальной обработки радиотехнических сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры.

3.2. Оптимальная временная обработка сверх коротких лазерных импульсов в элементах пространственного разрешения.

3.3. Пространственно-временная корреляционная функция флуктуа-ций сверх короткого импульса, рассеянного на кривой шероховатой поверхности.

3.4. Метод определения формы поверхности объекта

Среди комплекса задач, возлагаемых на средства контроля воздушно-космического пространства, распознавание объектов по их координатным и некоординатным признакам и обработка получаемой информации представляют собой одну из сложных и актуальных научно-технических проблем. Решение этой проблемы осуществляется на основе применения информационных средств радио- и оптического диапазонов длин волн. Так, для контроля космического пространства создан специальный радиооптический комплекс, содержащий активные радиолокационные и оптико-электронные информационные средства. Для решения задачи контроля воздушного пространства наряду с активными применяют автономные и многопозиционные системы пассивной локации (МСПЛ). Современное состояние развития МСПЛ обстоятельно обсуждалось на симпозиуме «Состав вооружения системы ПВО Международных сил быстрого реагирования», проходившем с 22 по 24 мая 2000 г. в Валенсии, Испания. В своем докладе Т.Сместал, Х.Охра, А.Кнапског убедительно показали целесообразность и экономическое преимущество использования пассивных средств в качестве составной части единой системы ПВО. Отмечалось также, что потенциал использования пассивных средств в системах ПВО еще не полностью осознан и проанализирован, в связи с чем актуальным является проведение дальнейших исследований.

Качественные показатели систем получения и обработки информации можно повысить на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов. В средствах МСПЛ, особенно в частотно - временном анализаторе (ЧВА) с быстрым спектральным анализом (БСА), в ходе первичной обработки информации взаимное влияние частотных и временных параметров сигналов, несомненно, учитывается. Кроме того, средняя несущая частота принимаемого сигнала на каждом дискретном интервале наблюдения At в конечном итоге определяется по временному положению «сжатого» импульса.

В то же время при вторичной обработке информации на пункте управления совместному использованию пространственных и частотно-временных параметров сигналов уделяется недостаточное внимание. В первую очередь это касается решения задачи отождествления результатов измерений в разнесенных пунктах приема. Сущность этой проблемы и возможные пути ее решения обстоятельно проанализированы И. Кадаром на конференции Fusion 2001, проходившей с 7 по 10 августа 2001 г. в Монреале, Канада. Со ссылкой на многочисленные источники установлено, что в подходах к решению рассматриваемой проблемы использовались вероятностные методы. Кроме того, авторы известных работ использовали уравнения R- матрицы, основанные на вычислении нижней границы Крамера-Рао и не позволяющих решать задачу отождествления результатов измерений с требуемыми качественными показателями. Следует заметить, что в отечественной литературе также освещены именно вероятностные методы. В качестве признаковой в докладе предложено использовать траекторную информацию.

Предложенный метод является очередным шагом в решении проблемы отождествления. В то же время только этим методом проблема не решается. Например, при групповом полёте целей их траекторные признаки могут быть неразличимыми. Кардинальным решением проблемы отождествления результатов измерений пространственных координат источников радиоизлучения (ИРИ) может послужить использование результатов оценивания частотно-временных параметров сигналов (средняя несущая частота, спектр сигнала, длительность и период следования импульсов и др.). У каждого ИРИ будет своя «окраска» указанных параметров. Идея параметрического отождествления результатов измерений высказывалась. Однако алгоритмы обработки информации не были разработаны и решение проблемы оставалось на уровне идеи. В связи с этим разработка и исследование алгоритмов обработки информации в целях решения рассматриваемой проблемы требуют своего решения. Ввиду ее сложности необходимо выполнить широкомасштабное математическое моделирование.

В лазерных информационных системах необходимость учета взаимного влияния пространственных и временных параметров сигналов носит иной характер, особенно при облучении объекта импульсом со сверхразрешением в радиальном направлении. В то же время несмотря на особенности электромагнитного излучения в радио- и оптическом диапазонах длин волн, в вопросах обработки информации можно найти много общего. В связи с этим в плане постановки задачи не следует раздельно рассматривать обработку информации в различных диапазонах длин волн, целесообразно искать общность и взаимное использование полученных результатов. Эта общность наиболее, ярко проявляется при рассмотрении алгоритмов оценивания частотно-временной структуры сигналов ИРИ в средствах радиотехнического контроля воздушного пространства и в лазерных информационных системах при использовании сигналов со сверхразрешением в радиальном направлении. В обоих случаях обработка информации производится в условиях априорной неопределенности пространственно-временной и частотно-временной структуры принимаемых сигналов.

Проведенный краткий анализ дает основание считать тему диссертации актуальной.

Объектом исследования являются системы контроля воздушно-космического пространства.

Предметом исследования являются методы и алгоритмы обработки информации в угломерных системах пассивной локации и лазерных системах на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов.

Целью диссертационного исследования является совершенствование методов и алгоритмов обработки радиотехнической и лазерной информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов.

Для достижения поставленной цели сформулирована научная задача, а именно: разработка методов и алгоритмов обработки информации на основе совместного использования пространственных, временных и частотных параметров сигналов. Декомпозиция поставленной задачи в диссертационной работе свелась к рассмотрению совокупности следующих частных логически взаимосвязанных задач:

Выводы

1. Основной особенностью разработки методов обработки лазерной информации является использование апробированных и реализованных в станциях радиотехнической разведки алгоритмов оптимальной обработки сложных сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры.

2. Применительно к обработке лазерной информации коэффициенты разложения bv{r,t), являющиеся функциями пространственных координат, необходимо, в свою очередь, также представить в виде обобщенного ряда Фурье в базисе неперекрывающихся, сомкнутых в пространстве областей площадью AS. При обработке сигнала в плоскости изображения величина AS должна быть согласована с элементом пространственного разрешения системы «атмосфера-телескоп» и с элементом разрешения приемного устройства.

3. Решение задачи пространственно-временной обработки лазерных сигналов при априорной неопределенности формы поверхности объекта получило свое завершение в поэлементной обработке рассеянных сверхкоротких импульсов. Анализ отношения правдоподобия для пуассоновской статистики проводится в сопоставлении с корреляционным интегралом, применяемым в радиолокации, что делается с целью получения большей убедительности в полезности и правомочности проводимых аналогий. Приведенные формулы позволяют рассчитывать погрешности измерения времени запаздывания сигнала в каждом элементе AS при различных уровнях сигнала пс и помехи пп.

4. Получено выражение для пространственно-временной корреляционной функции флуктуаций сверхкороткого импульса, рассеянного на кривой шероховатой поверхности. Установлено, что при рассеянии сверхкороткого импульса поверхностью объекта пространственные и временные флуктуации поля в апертурной плоскости оказываются взаимосвязанными. Эта взаимосвязь, как показано в Приложении, затрудняет решение задачи статистического синтеза алгоритмов оптимальной обработки сигнала. Поэтому возникает необходимость поиска новых путей повышения эффективности лазерных информационных систем при облучении объекта сверхкоротким импульсом.

5. Предложен и разработан эффективный метод определения формы поверхности объекта, основанный на его облучении сверхкоротким импульсом с последующим измерением скорости перемещения изображения. Завершенность выполненного исследования обеспечена оптимизацией обработки информации и оценками точностных характеристик.

Заключение

Обобщая полученные новые научные результаты, можно сделать следующие выводы:

1. Совместное использование пространственных и частотно-временных параметров сигналов позволило разработать алгоритмы распознавания-отождествления, позволяющие устранить неоднозначности результатов измерений в многопозиционных системах пассивной локации.

2. При разработке алгоритмов пространственно-временной обработки лазерных сигналов в условиях априорной неопределенности формы поверхности объекта весьма плодотворным оказалось использование последних достижений теории и техники оптимальной обработки радиотехнических сигналов при априорной неопределенности их частотно-временной структуры. Полученные результаты показали, что алгоритмы обработки радиотехнической и оптической информации имеют много общего.

3. Совместное использование пространственных и временных параметров лазерных сигналов со сверхразрешением в радиальном направлении позволило разработать новый метод определения формы поверхности объекта.

По полученным в диссертации результатам можно высказать предложения на проведение дальнейших исследований. Так, учет взаимного влияния пространственных и временных параметров лазерных сигналов открывает перспективу в решении одной из наиболее трудных и важных проблем оптической локации — определение оптической передаточной функции (ОПФ) [74, 78, 92] системы «атмосфера-телескоп». Облучение объекта сверхкоротким импульсом в активной интерферометрии позволяет устранить априорную неопределенность относительно пространственного расположения сигнала в картинной плоскости, что позволяет получать информацию о мгновенном значении ОПФ с последующим её использованием для восстановления изображений объектов в условиях атмосферных искажений сигналов.

Использование результатов полного поляризационного зондирования объектов в радиодиапазоне может стать новым научным направлением в развитии оптической локации.

1. Радиоэлектронные системы: справочник / под ред. Я. Д. Ширмана. М.: ЗАО "Маквис", 1998.-828 с.

2. Черняк, В. С. Многопозиционная радиолокация / В. С. Черняк. М.: Радио и связь, 1993.-415 с.

3. Вакин, С. А. Основы радиопродиводействия и радиотехнической разведки/ С. А. Вакин, JI. Н. Шустов. М.: Сов. радио, 1968. - 448 с.

4. Симаков, В. А. Построение адаптивных систем пассивной радиолокации на принципах разностно-дальномерной координатометрии /

5. B. А. Симаков // Научные ведомости БелГУ. 2005. - № 2 (22). - С. 211219. - (Сер. «Физика». Вып. 11).

6. Небабин, В. Г. Радиоэлектронные средства противорадиолокационных ракет / В. Г. Небабин, И. Б. Кузнецов // Зарубежная радиоэлектроника. -1990,-№7.-С. 67-79.

7. Макаров, JI. Перспективные зарубежные авиационные PJIC управления оружием / JI. Макаров // Зарубежное военное обозрение. 1992. - №10.1. C. 35-40.

8. П.Маркевич, С. Состояние и перспективы развития самолетов ДРЛО / С. Маркевич // Зарубежное военное обозрение. 2000. -№5. - С. 54-60.

9. Кирилов, А. Перспективные зарубежные беспилотные аппараты /

10. A. Кирилов // Зарубежное военное обозрение. 2002. - №3. - С. 46-50.

11. Афинов, В. Тенденции развития средств РЭБ авиации вооруженных сил США на пороге XXI века / В. Афинов // Зарубежное военное обозрение. -1998.-№6.-С. 28-35.

12. Афинов, В. Станции РЭП индивидуальной защиты боевых самолетов /

13. B.Афинов // Зарубежное военное обозрение. 1999. - №2.1. C. 34-41.

14. J.A.Roecker, Track Monitoring when Tracking with Multiple 2D Passive Sensors, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 27, No 6, pp. 872-876, November 1991.

15. J.A.Roecker, Effectiveness of Track Monitoring with Multiple 2D Passive Sensors, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 27, No 6, pp. 941-945, November 1991.

16. Y.Bar-Shalom and X.Li, Multitarget Multisensor Tracking: Principles and Techniques, YBS Publishing, Storrs, CT, 1995.

17. S.Deb, M.Yeddanapudi, K.R.Pattipati, Y.Bar-Shalom, A Generalized S-D Assignment Algorithm for Multisensor-Multitarget State Estimation, IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, Vol. 33, No 2, pp. 523-538, April 1997.

18. Y.Bar-Shalom and K.R.Pattipati, VARDAT 2.0 — VARiable dimension Data Association for Tracking, YBS Publishing, 1998.

19. R.L.Popp, K.R.Pattipati and Y.Bar-Shalom, m-best S-D Assignment Algorithm with Application to Multitarget Tracking, Proc. SPIE Conf. Signal and Data Processing of Small Targets, Vol. 3373, April 1998.

20. G.Shafer, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press 1976.

21. C.K.Chui. An Introduction to Wavelets, volume 1 of Wavelet Analysis and its Applications. Academic Press, Boston, 1992.

22. A.Bultheel. Wavelets with applications in signal and image processing. Academic Press, Boston, 2002.

23. Булычев Ю.Г., Таран B.H. Инвариантно-групповой метод отождествления пеленгов целей в триангуляционных многопозиционных системах пассивной локации. Радиотехника и электроника, 1987, вып.4.

24. Block H.D. Rev. Mod. Phys., 34, 123 (1962).

25. Widrow В., Self-Organizing Systems, 1962 (Yovits M., Jacobi G., Goldstein G., eds.), p. 435, Spartan Books, Washington, D.C., 1962.

26. Novikoff A.B.J., On Convergence Proofs for Perceptrons, Stanford Research Institute Report, 1963.

27. Braverman D.J., Trans. IRE, PGIT-8, 200 (1962).

28. Abramson N.M., Braverman D J., IRE Trans. Inform. Theory, 8, 558 (1962).

29. Guillemin E., The Mathematics of Circuit Analysis, Wiley, New York, 1949.

30. Anderson Т., An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, Wiley, New York, 1958.

31. Себестиан Г.С., Процессы принятия решений при распознавании образов, перевод с английского под ред. Иваненко В.И., -Киев: «Техника», 1965.

32. Keehn D., Learning the Mean Vector and Covariance Matrix of Gaussian Signals in Pattern Recognition, Stanford Electronics Laboratories Report, 1963.

33. Marin B.H., Le neurone cybernetique, l'Electricite Electronique Moderne, NR 265, 1972, P. 21-25.

34. Benzecri J.P., L'analyse des donnees Т. I et II, Dunod edit, Paris, 1979.

35. Advances in Communication Systems. Theory and Applications, Edt. by Balakrishnan A.V., Academic Press New York and London, 1965.

36. Фор А. Восприятие и распознавание образов. //Пер. с французского под ред. А.В.Серединского. -М: «Машиностроение», 1989.

37. Rabiner L.R., Gold В. Theory and Application of Digital Signal Processing., Prentice-Hall, inc. Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

38. Cooley J.W., Tukey J.W., An Algorithm for the Machine Computation of Complex Fourier Series, Math. Сотр., 19,297-301, April 1965.

39. Bergland G.D., A Guided Tour of the Fast Fourier Transform. IEEE Spectrum, 6, No. 7, 41-52 (1969). Русский перевод: Бергланд Дж.Д., Руководство к быстрому преобразованию Фурье, Зарубежная радиоэлектроника,№3, 1971.

40. Cooley J.W., Lewis P., Welch P.D., The Finite Fourier Transform, IEEE Trans, on Audio and Electro acoustics, 17, No. 2, 77-86, 1969.

41. Singleton R.C., A Method for Computing the Fast Fourier Transform with Auxiliary Memory and Limited High Speed Storage, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 15, No. 2, 91-98, June 1967.

42. Cooley J.W., Lewis P., Welch P.D., The Fast Fourier Transform Algorithm: Programming Considerations in the Calculation of Sine, Cosine, and Laplace Transforms, J. Sound Vib., 12, No. 3, 315-337, 1970.

43. Singelton R.C., An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier Transform, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 17, No. 2, 93-103, June 1969.

44. Pease M.C., An Adaptation of the Fast Fourier Transform for Parallel Processing, J. Assn. Сотр. Mach., 15, No. 2, 252-264, April 1968.

45. Rader C.M., Discrete Fourier Transforms When the Number of Data Samples is Prime, Proc. IEEE, 56, No. 6, 1107-1108, June 1968.

46. Cooley J.W., Lewis P., Welch P.D., The Fast Fourier Transform and Its Applications, IEEE Trans. Education, 12, 27-34, March 1969.

47. Gold В., Rader C.M., Digital Processing of Signals, -NY: McGraw-Hill, 1969. Русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка сигналов;-М: «Советское радио», 1973.

48. Bluestein L.I., A Linear Filtering Approach to the Computation of Discrete Fourier Transform, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 18, No. 4, 451-456, 1970.53